人教A版高中数学必修四 《三角函数的图像与性质》学案
人教A版高中数学必修四人教三角函数的图象与性质教案(3)
三角函数的图象与性质（一）知识要点12sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图像和性质（1）定义域 （2）值域（3）周期性 （4）奇偶性 （5）单调性 （二）学习要点 1会求三角函数的定义域 2会求三角函数的值域3会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法。
如x y sin =与x y cos =的周期是π. 4会判断三角函数奇偶性 5会求三角函数单调区间6对sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>函数的要求 （1）五点法作简图（2）会写sin y x =变为sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的步骤 （3）会求sin()y A x ωϕ=+的解析式（4）知道cos()y A x ωϕ=+，tan()y A x ωϕ=+的简单性质 7知道三角函数图像的对称中心，对称轴 8能解决以三角函数为模型的应用问题 （三）例题讲解例1求函数3tan(2)4y x π=--的定义域，周期和单调区间。
例2已知函数()2sin(2)4f x x π=-（1）求函数的定义域； （2） 求函数的值域； （3） 求函数的周期； （4）求函数的最值及相应的x 值集合； （5）求函数的单调区间； （6）若3[0,]4x π∈，求()f x 的取值范围； （7）求函数()f x 的对称轴与对称中心；（8）若()f x ϕ+为奇函数，[0,2)ϕπ∈，求ϕ；若()f x ϕ+为偶函数，[0,2)ϕπ∈，求ϕ。
例3．（1）将函数1sin(2)24y x π=-的图象向______平移_______个单位得到函数1sin 22y x =的 图象(只要求写出一个值)(2)要得到1cos(2)24y x π=-的图象,可以把函数sin()cos()66y x x ππ=--的图象向______平移_______个单位(只要求写出一个值). 例 4.设x R ∈,函数21()cos ()2f x x ωϕ=+-(0,)2o πωϕ><<,已知()f x 的最小正周期为π,且1()84f π=. (1)求ω和ϕ的值; (2)求的单调增区间.例5.如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b (1)求这段时间的最大温差(2)写出这段曲线的函数解析式（四）练习题 一、选择题1.将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移6π个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是 A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=- 2.设0a >，对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值 3.函数y =1+cos x 的图象（A ）关于x 轴对称 （B ）关于y 轴对称 （C ）关于原点对称（D ）关于直线x =2π对称 4.已知函数f (x )=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π-,4π]上的最小值是－2，则ϖ的最小值等于 A.32 B.23C.2D.35.设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，则)(x f 的最小正周期是 A ．2π B . π C.2π D . 4π 6.已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝( )（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±17为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）8.已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是(A)[]1,1- (B) 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C)1,2⎡-⎢⎣⎦(D)1,2⎡--⎢⎣⎦9.函数1|sin(3)|2y x =+的最小正周期是（ ）Ａ．π2Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π10.函数()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调增区间为 A ．,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．()(),1,k k k Z ππ+∈C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ D ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭11.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（A ）sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（B ）sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（C ）cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（D ）cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭12.已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 13设ππ22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，，那么“αβ<”是“tan tan αβ<”的（ ） Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件14.函数y=21sin2+4sin 2x,x R ∈的值域是 (A)［-21,23］ (B)［-23,21］ (C)［2122,2122++-］ (D)［2122,2122---］ 二、填空题 15.sin()4y x π=-+在[0,2]x π∈的增区间是16.2cos 0()x x R ≥∈的x 的集合是17.8sin()48x y π=-的振幅,初相,相位分别是 18.tan 1x ≤,且x 是直线的倾斜角,则x ∈19.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值是＿＿＿＿。
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质学案新人教A版必修4
第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值学习目标:1.掌握y ＝sin x ,y ＝cos x 的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值．( 重点、难点 )2.掌握y ＝sin x ,y ＝cos x 的单调性,并能利用单调性比较大小．( 重点 )3.会求函数y ＝A sin( ωx ＋φ )及y ＝A cos( ωx ＋φ )的单调区间．( 重点、易混点 )[自 主 预 习·探 新 知]详细解析式y ＝sin x y ＝cos x图象值域[－1,1][－1,1]单调 性在⎣⎢⎡－π2＋2k π，π2＋2k π,k ∈Z 上递增,在⎣⎢⎡π2＋2k π，3π2＋2k π,k ∈Z 上递减在[－π＋2k π,2k π],k ∈Z 上递增,在[2k π,π＋2k π],k ∈Z 上递减最值x ＝π2＋2k π,k ∈Z 时,y max ＝1;x ＝－π2＋2k π,k ∈Z 时,y min ＝－1x ＝2k π,k ∈Z 时,y max ＝1;x ＝π＋2k π,k ∈Z 时,y min ＝－1确定m 、n 的值吗？[提示] 由正弦函数和余弦函数的单调性可知m ＝π2,n ＝π.[基础自测]1．思考辨析( 1 )y ＝sin x 在( 0,π )上是增函数．( ) ( 2 )cos 1＞cos 2＞cos 3.( )( 3 )函数y ＝－12sin x ,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值为0.( )[详细解析] ( 1 )错误．y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数,在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减函数．( 2 )正确．y ＝cos x 在( 0,π )上是减函数,且0＜1＜2＜3＜π,所以cos 1＞cos 2＞cos 3.( 3 )正确．函数y ＝－12sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为减函数,故当x ＝0时,取最大值0.[正确答案] ( 1 )× ( 2 )√ ( 3 )√2．函数y ＝2－sin x 取得最大值时x 的取值集合为________．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π－π2，k ∈Z [当sin x ＝－1时,y max ＝2－( －1 )＝3,此时x ＝2k π－π2,k ∈Z .]3．若cos x ＝m －1有意义,则m 的取值范围是________． [0,2] [因为－1≤cos x ≤1, 要使cos x ＝m －1有意义, 须有－1≤m －1≤1,所以0≤m ≤2.][合 作 探 究·攻 重 难]正弦函数、余弦函数的单调性( 1 )函数y ＝cos x 在区间[－π,a ]上为增函数,则a 的取值范围是________．( 2 )已知函数f ( x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1,求函数f ( x )的单调递增区间．[思路探究] 1.确定a 的范围→y ＝cos x 在区间[－π,a ]上为增函数→y ＝cos x 在区间[－π,0]上是增函数,在区间[0,π]上是减函数→a 的范围．2．确定增区间→令u ＝π4＋2x →y ＝2sin u 的单调递增区间．( 1 )( －π,0] [( 1 )因为y ＝cos x 在[－π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,所以只有－π＜a ≤0时满足条件,故a ∈( －π,0]．]( 2 )令u ＝π4＋2x ,函数y ＝2sin u 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π,k ∈Z ,由－π2＋2k π≤π4＋2x ≤π2＋2k π,k ∈Z得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π,k ∈Z .所以函数f ( x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π,k ∈Z .[规律方法] 1.求形如y ＝A sin( ωx ＋φ )＋b 或形如y ＝A cos( ωx ＋φ )＋b ( 其中A ≠0,ω>0,b 为常数 )的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得．2．具体求解时注意两点:①要把ωx ＋φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式将式子变形,将x 的系数化为正;②在A >0,ω>0时,将“ωx ＋φ”代入正弦( 或余弦 )函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当A <0,ω>0时同样方法可以求得与正弦( 余弦 )函数单调性相反的单调区间．提醒:复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律． [跟踪训练]1．( 1 )函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为________． ( 2 )已知函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ,则它的单调减区间为________． ( 1 )⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9,⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3( 2 )⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3( k ∈Z ) [( 1 )由π2＋2k π≤3x ＋π6≤3π2＋2k π( k ∈Z ), 得π9＋2k π3≤x ≤4π9＋2k π3( k ∈Z )． 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3, 所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6, x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9,⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3.( 2 )y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,由2k π≤2x －π3≤2k π＋π,k ∈Z ,得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3,k ∈Z ,∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3( k ∈Z )．]利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小．( 1 )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10;( 2 )sin 196°与cos 156°;( 3 )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 【2095】[思路探究] 用诱导公式化简→利用函数的单调性由自变量的大小推出对应函数值的大小[详细解析] ( 1 )∵－π2＜－π10＜－π18＜π2,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.( 2 )sin 196°＝sin( 180°＋16° )＝－sin 16°, cos 156°＝cos( 180°－24° )＝－cos 24°＝－si n 66°, ∵0°＜16°＜66°＜90°, ∴sin 16°＜sin 66°, 从而－sin 16°＞－sin 66°, 即sin 196°＞cos 156°. ( 3 )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋35π＝cos 35π,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0＜π4＜35π＜π,且y ＝cos x 在[0,π]上是减函数,∴cos 35π＜cos π4,即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. [规律方法] 三角函数值大小比较的策略 1利用诱导公式,对于正弦函数来说,一般将两个角转化到⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2或⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2内;对于余弦函数来说,一般将两个角转化到[－π,0]或[0,π]内.2不同名的函数化为同名的函数.3自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内,借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.[跟踪训练]2．( 1 )已知α,β为锐角三角形的两个内角,则以下结论正确的是( )A ．sin α＜sin βB ．cos α＜sin βC ．cos α＜cos βD ．cos α ＞cos β( 2 )比较下列各组数的大小: ①cos 15π8,cos 14π9;②cos 1,sin 1.( 1 )B [( 1 )α,β为锐角三角形的两个内角,α＋β＞π2,α＞π2－β,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,π2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,所以cos α＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝sin β.]( 2 )①cos 15π8＝cos π8,cos 14π9＝cos 4π9,因为0＜π8＜4π9＜π,而y ＝cos x 在[0,π]上单调递减,所以cos π8＞cos 4π9,即cos 15π8＞cos 14π9.②因为cos 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1,而0＜π2－1＜1＜π2且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增,所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－1＜sin 1,即cos 1＜sin 1.正弦函数、余弦函数的最值问题[探究问题]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在x ∈[0,π]上最小值是多少？提示:因为x ∈[0,π],所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4,由正弦函数图象可知函数的最小值为－22. 2．函数y ＝A sin x ＋b ,x ∈R 的最大值一定是A ＋b 吗？提示:不是．因为A >0时最大值为A ＋b ,若A <0时最大值应为－A ＋b .( 1 )函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2,x ∈R 的值域为________．( 2 )已知函数f ( x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b ( a ＞0 )．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时,f ( x )的最大值为3,最小值是－2,求a 和b 的值. 【2096】[思路探究] ( 1 )先用平方关系转化,即cos 2x ＝1－sin 2x ,再将sin x 看作整体,转化为二次函数的值域问题．( 2 )先由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2求2x －π3的取值范围,再求sin2x⎭⎪⎫－π3的取值范围,最后求f ( x )min ,f ( x )max ,列方程组求解．( 1 )[－4,0] [( 1 )y ＝cos 2x ＋2sin x －2 ＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－( sin x －1 )2. 因为－1≤sin x ≤1,所以－4≤y ≤0,所以函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2,x ∈R 的值域为[－4,0]．] ( 2 )∵0≤x ≤π2,∴－π3≤2x －π3≤2π3,∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1,∴f ( x )max ＝a ＋b ＝3,f ( x )min ＝－32a ＋b ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2＋ 3.母题探究:1.求本例( 1 )中函数取得最小值时x 的取值集合．[详细解析] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－( sin x －1 )2, 所以当sin x ＝－1时,y min ＝－4,此时x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π－π2，k ∈Z. 2．将本例( 1 )中函数改为y ＝cos 2x ＋sin x ,x ∈R 结果又如何？ [详细解析] y ＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54.因为－1≤sin x ≤1,所以－1≤y ≤54,所以函数y ＝cos 2x ＋sin x ,x ∈R 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54.[规律方法] 三角函数最值问题的常见类型及求解方法:( 1 )y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c ( a ≠0 ),利用换元思想设t ＝sin x ,转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值,t 的范围需要根据定义域来确定．( 2 )y ＝A sin( ωx ＋φ )＋b ,可先由定义域求得ωx ＋φ的范围,然后求得sin( ωx ＋φ )的范围,最后得最值．[当 堂 达 标·固 双 基]1．y ＝2cos x 2的值域是( ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[－2,0]D ．RA [因为x ∈R ,所以x 2≥0, 所以y ＝2cos x 2∈[－2,2]．]2．函数y ＝－cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增函数D ．先增后减函数C [因为y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上先增后减,所以y ＝－cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上先减后增．]3．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤5π6的值域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 [因为π4≤x ≤5π6,所以12≤sin x ≤1,即所求的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.]4．sin 2π7________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8( 填“＞”或“＜” ). ＞ [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π8＝sin π8,因为0＜π8＜2π7＜π2,y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数,所以sin π8＜sin 2π7,即sin 2π7＞sin ⎝⎛⎭⎪⎫－15π8.]5．函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间．[详细解析] 求函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间,转化为求函数y ＝sin 2x 的单调递减区间,由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π,k ∈Z ,得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π,k ∈Z ,即函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π( k ∈Z )．。
新人教A版高中数学(必修4)1.4《三角函数的图象与性质》教案2课时
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象教学目的：1、用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象；2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图；3、正弦函数图象与余弦函数图象的变换关系。
教学重点、难点重点：会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像难点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象教学过程：一、复习引入：正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有 MP r y ==αsin ，OM r x ==αcos向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．二、讲授新课：1、正弦函数图象的几何作法采用弧度制， x 、y 均为实数，步骤如下：（1）在 x 轴上任取一点 O 1 ，以 O l 为圆心作单位圆；（2）从这个圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份；（3）过圆上各点作x 轴的垂线，可得对应于0、6π、3π、、2π的正弦线；（4）相应的再把 x 轴上从原点 O 开始，把这0～2π这段分成 12 等份；（5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合；（6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。
2、五点法作图 描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，y sin x,x [0,2]=∈π的图象上有五 点起决定作用，它们是 描出这五点后，其图象的形状 基本上就确定了。
因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22πππ-π接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法。
注意：（1）描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够精确。
（2）几何法作图较为精确，但画图时较繁。
（3）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好。
（4）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在 x 轴、 y 轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用。
高中数学必修4《三角函数的图象与性质》教案
高中数学必修4《三角函数的图象与性质》教案高中数学必修4《三角函数的图象与性质》教案【一】教学准备教学目标1、知识与技能(1)了解周期现象在现实中广泛存在;(2)感受周期现象对实际工作的意义;(3)理解周期函数的概念;(4)能熟练地判断简单的实际问题的周期;(5)能利用周期函数定义进行简单运用。
2、过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象;从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义;根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
教学重难点重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。
教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。
众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(板书课题)【探究新知】1.我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片(投影图片)，注意波浪是怎样变化的?可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
(单摆运动、四季变化等)(板书：一、我们生活中的周期现象)2.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”?②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么?③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”?④对于周期函数的定义，你的理解是怎样?以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T;x必须是定义域内的任意值;f(x+T)=f(x)。
高中数学1.4.1三角函数图像与性质(1)学案新人教A版必修4
福建省泉州市唯思教育高中数学 1.4.1 三角函数图像与性质（1）学案 新人教A 版必修4【学习目标】1、能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由平移正弦曲线的方法画出余弦函数的图象；2、会用五点法画出正弦曲线和余弦曲线在一个周期上的草图；3、借助图象理解并运用正、余弦函数的定义域和值域。
【重点难点】五点法作正、余弦函数的图象；正、余弦函数的定义域和值域。
一、预习指导（一） 平移正弦线画出正弦函数的图象：1、 在单位圆中，作出对应于11,,,6326ππππ…的角及对应的正弦线； 2、 作出sin y x =在[0,2]π区间上的图象：（1）平移正弦线到相应的位置；（2）连线 3、 作出sin y x =在R 上的图象（二） 用五点法画出正弦函数在[0,2]π区间上的简图（三） 平移正弦曲线的方法画出余弦函数的图象： 思考：1、sin ,cos y x y x ==的图象有什么关系？为什么？2、由sin y x =的图象怎样作出cos y x =的图象？请在下图中画出cos y x =的图象。
（四）用五点法画出余弦函数在[0,2]π区间上的简图（四） 仔细观察正弦曲线和余弦曲线，总结正弦函数与余弦函数的性质： （1）定义域： （2）值域：对于sin y x =：当且仅当x = 时， max y = ；当且仅当x = 时，min y = ；对于cos y x =；当且仅当x = 时，max y = ；当且仅当x = 时，min y = 。
二、典型例题例1、 画出下列两组函数的简图：（1）cos ,y x x R =∈ ； 2cos ,y x x R =∈ （2）sin ,y x x R =∈ ； sin 2,y x x R =∈例2、 求下列函数的最大值及取得最大值时的自变量x 的集合： （1）cos 3xy = （2）2sin 2y x =-例3、 求函数y =的定义域。
例4、 求函数27sin 4sin 4y x x =-++的值域。
人教A版高中数学必修四 《三角函数的图像与性质》学案
三角函数的图象与性质学习目标：结合图像，理解并掌握正弦函数、余弦函数的性质。
②正弦曲线：正弦函数x y sin =,R x ∈的图像叫做正弦曲线。
作函数x y sin =,[]π2,0∈x 的简图的五个关键点是_______________________.正弦函数x y sin =,R x ∈是周期为_____ ________函数，它的值域是__________;当x=______________时,函数有最大值,是_____;当x=______________时,函数有最小值,是______;正弦函数x y sin =,R x ∈的单调递增区间是_______________,单调递减区间是________________.正弦曲线关于直线___________________对称，又关于点_____________对称。
2.余弦曲线：余弦函数x y cos =,R x ∈的图像叫做余弦曲线。
余弦曲线关于直线__________________对称，又关于点_____________对称。
余弦函数x y cos =,R x ∈是周期为______的________函数，它的值域是__________;当x=______________时,函数有最大值,是_____;当x=______________时,函数有最小值,是______;余弦函数x y cos =,R x ∈的单调递增区间是_______________,单调递减区间是________________. 作函数x y cos =,[]π2,0∈x 的简图的五个关键点是________________________________________. 。
的值求已知ααπ2cos ,53)sin()4(=-已知.)4cos(2cos),40(135)4sin(απαπααπ+<<=-求已知αααcossin,32tan+=求（1）；化简：（1）cos3cos sin3sin αααα+；（2）cos()cos()66ππαα++-；（3）cos15cos75-已知 sin +cos =53 ① , cos +s in =54 ②，求sin (+).已知， 且， 求cos ,sin αα的值。
人教A版高中数学必修四三角函数的图象与性质学案新(4)
三角函数性质与图像知识清单： 备注：以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象．．．．．．．．．．. 函数sin()y A x ωϕ=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x=−−−−→图例变化为②sin()y A x ωϕ=+(A >0,ω>0)相应地，①的单调增区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦−−−→变为2222k x k πππωϕπ-+++≤≤的解集是②的增区间.注:⑴)sin(ϕω+=x y 或cos()y x ωϕ=+（0≠ω）的周期ωπ2=T ;⑵sin()y x ωϕ=+的对称轴方程是2x k ππ=+（Z k ∈），对称中心(,0)k π；cos()y x ωϕ=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈），对称中心1(,0)2k ππ+； )tan(ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）. 课前预习1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 .2． 函数1π2sin()23y x =+的最小正周期T = ．3．函数sin2xy =的最小正周期是 4．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是5．函数22cos()()363y x x πππ=-≤≤的最小值是 6．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向 平移 个单位长度7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移3π个单位，所得图象的解析式是 .8． 函数sin y x x =+在区间[0,2π]的最小值为______.9．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +325（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期； ⑵求f (x )单调区间；⑶求f (x )图象的对称轴，典型例题例1、三角函数图像变换 将函数12cos()32y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？ 变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4y x π=-的图像？例2、已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最 小正周期T 和初相ϕ分别为 例3、三角函数性质求函数34sin(2)23y x ππ=+的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合变式1：函数y =2sin x 的单调增区间是 变式2、下列函数中，既是（0，2π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( ) (A)y =lg x 2 (B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2变式3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，求函数)125cos()12cos(x x y +--=ππ的值域变式4、已知函数12()log (sin cos )f x x x =-⑴求它的定义域和值域；⑵求它的单调区间；⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性.例4、三角函数的简单应用如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin （ωx ＋ϕ）＋b .（Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式．例5、三角恒等变换 函数y ＝xx cos sin 21++的最大值是 ．变式1：已知cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，求cos sin αα+的值． 变式2：已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．求()f x 的最大值和最小值． 实战训练1．函数x x f 2sin 21)(-=的最小正周期为2. 函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是____ 3．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于4．若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f =，则5．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =--的图象，则向量a = 6．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为 7．将π2cos 36xy ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为 8．若函数21()sin ()2f x x x R =-∈，则f(x)是最小正周期为 的 函数 9．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称 D ．关于直线x π=3对称 10．下列函数中，周期为2π的是（ ） A ．sin2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x =11．函数()sin ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是（ ） A ．5[,]6ππ-- B ．5[,]66ππ-- C ．[,0]3π- D ．[,0]6π-12．设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ） A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数13．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象（ ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位14．（07年全国卷二理2）．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 15．函数()sin 2cos2f x x x =-的最小正周期是16．已知函数)2sin(42cos 2ππ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 。
新人教版高中数学《1.4 三角函数的图像与性质(1)》学案必修四
最新中小学教案、试题、试卷
高中数学必修4《1.4 三角函数的图像与性质（1）》学案
一、教学目标：1．掌握正弦函数的图像和性质；
2．培养观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力；
3．培养数形结合和化归转化的数学思想方法
二、教学重难点：“五点法”画正弦函数图象；正弦函数的性质；运用几何法画正弦函数图象．
三、学习过程：
1、正弦函数x sin y =的图像：
2、正弦函数x sin y =的性质：函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性
例1 利用“五点法”画出函数[]π2,0,1sin ∈+=x x y 的简图．
用五点法作出下列函数的简图
R x x y ∈=,2sin
x y sin =
最新中小学教案、试题、试卷 例2比较⎪⎭⎫
⎝⎛7-sin π与)5(-sin π的大小
变式：比较250sin 0与260sin 0大小
例3 已知函数2)32sin(++=π
x y 求函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合．
变式：求y=x 2sin -函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合．
小结：1．正弦曲线：（1）几何画法． （2）五点法．
2．正弦函数的性质及应用．
作业： P 45 2、(1) (3) 3、(1) 4(1) 5 （2） （4）
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仅此学习交流之用
谢谢。
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.4 三角函数的图象与性质导学案
1．4三角函数的图象与性质1．4．1 正弦函数、余弦函数的图象学习目标1、会用“五点法”和“几何法”画正弦函数、余弦函数的图，体会“几何法”作正弦函数图象的过程，提高动手能力；2、通过函数图象的应用，体会数形结合在解题中的应用；3、三角函数图象和图象的应用；自主梳理1． 正弦函数（或余弦函数）的概念 任意给定一个实数x ，有唯一确定的值x sin （或x cos ）与之对应，由这个对应法则所确定的函数x y sin =（或x y cos =）叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域为 。
2． 正弦曲线或余弦曲线正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做 和 。
3． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：（1）正弦函数[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象中，五个关键点是： ， ， ， 。
（2）余弦函数[]π2,0,cos ∈=x x y 的图象中，五个关键点是： ， ， ， 。
预习检测1、函数)3sin(π+=x y 的定义域为____________________；值域为____________________；2、函数)3cos(2π-=x y 的定义域为__________________；值域为____________________；互动课堂 问题探究1：【例】 作出函数x y cos 31-1=在]2,2[ππ-上的图像；【变式】)23sin(π+=x y ；问题探究2：【例】已知]23,2[ππ-∈x ，解不等式23sin -≥x ；【变式】已知R x ∈，解不等式23sin -≥x ；问题探究3：【例】求下列函数的值域： （1）x x y sin |sin |+= （2）]6,6[),32sin(2πππ-∈+=x x y（3）1cos 2cos --=x x y【变式】求函数],3[,1sin 4sin 32ππ∈+-=x x x y 的值域；问题探究4： 【例】（1）讨论方程x x sin lg =解的个数；（2）若函数]2,0[|,sin |2sin )(π∈+=x x x x f 与直线k y =有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围；【变式】当k 为何值时，方程k x x =+|sin |2sin 有一解、三解、四解？课堂练习1、在同一坐标系内的函数x y sin =与x y cos =的图象的交点坐标是 （ ） A ． Z k k ∈),0,(π B Z k k ∈+),1,22(ππC Z k k k∈-+),)1(,2(ππ D Z k k k∈-+),2)1(,4(ππ2、下面有四个判断：① 作正、余弦函数的图象时，单位圆的半径长与x 轴上的单位长可以不一致； ② []π2,0,sin ∈=x x y 的图象关于)0,(πP 成中心对称； ③ []π2,0,cos ∈=x x y 的图象关于直线π=x 成轴对称； ④ 正、余弦函数的图象不超过两直线1,1-==y y 所夹的范围。
高中数学人教A版必修四教学案三角函数的图象与性质含答案
π
3π 2π
2
2
cos x 1 0 －1 0 1
2＋cos x 3 2 1 2 3
描点、连线，如图．
用“五点法”画函数 y＝Asin x＋b(A≠0)或 y＝Acos x＋b(A≠0)在[0，2π]上的简图的步
骤：
(1)列表：
x
π
0
π
3π
2π
2
2
sin x 或 cos x 0 或 1 1 或 0 0 或－1 －1 或 0 0 或 1
( ) 1
依次向左、右连续平移，得到 y＝sin x 的图象．在同一坐标系内描出 ，－1 ，(1，0)， 10
(10，1)并用光滑曲线连接得到 y＝lg x 的图象，如图．
6
(1)确定方程解的个数问题，常借助函数图象用数形结合的方法求解．
(2)三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数
9．方程 cos x＝lg x 的实根的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．无数
解析：选 C 如图所示，作出函数 y＝cos x 和 y＝lg x 的图象．两曲线有 3 个交点，故
方程有 3 个实根．
10
x 10．判断方程 sin x＝ 的根的个数．
10
x 3π
解：因为当
x＝3π时，y＝ ＝ 10
若函数 f(x)的图象与直线 y＝k 有且仅有两个不同的交点，则由图可Байду номын сангаас k 的取值范围是 (1，3)．
——————————————[课堂归纳·感悟提 升]———————————————
1．本节课的重点是“五点法”作正弦函数和余弦函数的图象，难点是图象的应用． 2．本节课要重点掌握正、余弦函数图象的三个问题 (1)正、余弦函数图象的画法，见讲 1； (2)利用正、余弦函数的图象解不等式，见讲 2； (3)正、余弦曲线与其他曲线的交点问题，见讲 3. 3．本节课要牢记正、余弦函数图象中五点的确定 y＝sin x，x∈[0，2π]与 y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上的关键五点分为两类：①图象 与 x 轴的交点；②图象上的最高点和最低点．其中，y＝sin x，x∈[0，2π]与 x 轴有三个交
人教A版高中数学必修四《三角函数的图像与性质》学案
高中数学《三角函数的图象与性质》学案 新人教A 版必修4学习目标：1.能借助图象理解正、余弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性；2．能熟练写出形如sin(2)6y x π=+、cos(2)3y x π=-等的单调区间. 学习重点:正、余弦函数的性质.学习过程: 一．问题情境：我们已经作出了正、余弦函数的图象；那么，利用图象可以得到正、余弦函数的哪些性质呢？二．建构数学：如图：正弦函数、余弦函数的主要性质：（1）定义域：__________.（2）值域：__________.当且仅当_________x =时，sin ,y x x R =∈取得最大值为______； 当且仅当_________x =时，sin ,y x x R =∈取得最小值为______； 当且仅当_________x =时，cos ,y x x R =∈取得最大值为______； 当且仅当_________x =时，cos ,y x x R =∈取得最小值为______；（3）周期性：____.T =（4）奇偶性：正弦函数是___函数，其图象关于____对称；余弦函数是___函数，其图象关于____对称.(5) 单调性:当x ∈_____________________时,sin y x =单调递增;当x ∈_____________________时,sin y x =单调递减;当x ∈_____________________时cos y x =单调递增;当x ∈_____________________时cos y x =单调递减.三.数学运用:例1 求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合: (1)cos;3x y = (2)2sin 2.y x =-例2 求函数sin(2)3y x π=+的单调增区间.四.课堂练习:1. 求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合:(1)1cos ;y x =+ (2)2cos .3x y =- 2. 求下列函数的单调区间:(1) sin();4y x π=+ (2) 3cos .2x y = 3.不求值,分别比较下列各组中两个三角函数值的大小: (1)0sin 250与0sin 260; (2)15cos8π与14cos .9π 4.五.课堂小结:六：课后反思。
高中数学 三角函数的图象与性质教案 新人教A版必修4
三角函数的图象与性质●知识梳理1.能利用“五点法”作三角函数的图象，并能根据图象求解析式.2.能综合利用性质，并能解有关问题.●点击双基1..定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数.若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0，2π］时，f （x ）=sin x ，则f （3π5）的值为 A.－21 B.21 C.－23 D.23 解析：f （3π5）=f （3π5－2π）=f （－3π）=f （3π）=sin 3π=23. 答案：D2..函数y =x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数A.（2π，2π3） B.（π，2π） C.（2π3，2π5） D.（2π，3π） 解析：用排除法，可知B 正确.答案：B3.函数y =sin 4x +cos 2x 的最小正周期为 A.4π B.2π C.π D.2π 解析：y =sin 4x +cos 2x =（22cos 1x -）2+22cos 1x + =432cos 2+x =424cos 1x ++43 =81cos4x +87. 故最小正周期T =4π2=2π. 答案：B4.y =5sin （2x +θ）的图象关于y 轴对称，则θ=_______.解析：y =f （x ）为偶函数.答案：θ=k π+2π（k ∈Z ） ●典例剖析【例1】 判断下面函数的奇偶性：f （x ）=lg （sin x +x 2sin 1+）.剖析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f （x ）与f （－x ）的关系. 解：定义域为R ，又f （x ）+f （－x ）=lg1=0，即f （－x ）=－f （x ），∴f （x ）为奇函数.评述： 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件.【例2】 求下列函数的单调区间：（1）y =21sin （4π－32x ）； 剖析：（1）要将原函数化为y =－21sin （32x －4π）再求之.（2）可画出y =－|sin （x +4π）|的图象.解：（1）y =21sin （4π－32x ）=－21sin （32x －4π）. 故由2k π－2π≤32x －4π≤2k π+2π⇒3k π－8π3≤x ≤3k π+8π9（k ∈Z ），为单调减区间；由2k π+2π≤32x －4π≤2k π+2π3⇒3k π+8π9≤x ≤3k π+8π21（k ∈Z ），为单调增区间. ∴递减区间为［3k π－8π3，3k π+8π9］， 递增区间为［3k π+8π9，3k π+8π21］（k ∈Z ）. （【例3】已知函数f （x ）=xx x 2cos 1cos 5cos 624+-，求f （x ）的定义域，判断它的奇偶性. 剖析：此题便于入手，求定义域、判断奇偶性靠定义便可解决，求值域要对函数化简整理.解：由cos2x ≠0得2x ≠k π+2π，解得x ≠2πk +4π（k ∈Z ）. 所以f （x ）的定义域为{x |x ∈R 且x ≠2πk +4π，k ∈Z }. 因为f （x ）的定义域关于原点对称，且 f （－x ）=）（－）（）（x x x 2cos 1cos 5cos 624+--- =xx x 2cos 1cos 5cos 624+-=f （x ）， 所以f （x ）是偶函数.评述：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.【例4】 判断f （x ）=x x x x cos sin 1cos sin 1++-+的奇偶性. 正确解法：取x =2π，f （x ）有意义，取x =－2π，f （x ）没有意义，故定义域关于原点不对称.∴f （x ）是非奇非偶函数.常见错误及诊断：一些学生不分析定义域是否关于原点对称，而急于函数变形，极易导致错误的结论.要注意判断奇偶性的步骤：一是分析定义域是否关于原点对称，二是分析f （x ）与f （－x ）的关系.●闯关训练1.函数y =x sin x +cos x 在下面哪个区间内是增函数A.（2π，2π3） B.（π，2π） C.（2π3，2π5） D.（2π，3π） 解析：2.为了使y =sin ωx （ω＞0）在区间［0，1］上至少出现50次最大值，则ω的最小值是A.98πB.2π197C.2π199D.100π解析：思考：若条件改为在［x 0，x 0+1］上至少出现50次最大值呢？3.定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=f （x +2），当x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|，则A.f （sin6π）＜f （cos 6π） B.f （sin1）＞f （cos1） C.f （cos3π2）＜f （sin 3π2） D.f （cos2）＞f （sin2）解析：4.若f （x ）具有性质： ①f （x ）为偶函数，②对任意x ∈R ，都有f （4π－x ）=f （4π+x ），则f （x ）的解析式可以是_______.（只写一个即可）.5.给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的；②y =|sin x |、y =|tan x |的周期分别为π、2π； ③若x 1＞x 2，则sin x 1＞sin x 2；④若f （x ）是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f （－2T ）=0. 其中正确命题的序号是____________.6.当α∈（0，π）时，求y =α2sin 1-－α2sin 1+.7.设x ∈［0，2π］，f （x ）=sin （cos x ），g （x ）=cos （sin x ），求f （x ）、g （x ）的最大值。
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.4 三角函数的图象与性质导学案(3)
2019-2020年高考数学三角函数的图像与性质导学案新人教版一、课标、考纲解读1、能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象，2、了解三角函数的周期性.3、借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；4、命题走向近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。
在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法.5、学习重点、难点三角函数的性质，特别是单调性和周期性以及最值是重中之重。
二、基础知识梳理1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像（请自己在对应图像后面画出任意一个周期的图象）小结：用“五点法”作正弦、余弦函数的图象．“五点法”作图实质上是选取函数的一个，将其四等分，分别找到图象的点，点及“平衡点”．由这五个点大致确定函数的位置与形状．、三角函数的性质函数y＝sinx y＝cosx y＝tanx定义域值域奇偶性对称性有界性周期性单调性最大(小)值⑴若相邻两条对称轴为x＝a和x＝b，则T＝．⑵若相邻两对称点(a，0)和(b，0) ，则T＝．⑶若有一个对称点(a，0)和它相邻的一条对称轴x＝b，则T＝．那么该结论可以推广到其它函数吗？三、典例精析例2. 已知函数f (x)＝(sinx －cosx)⑴ 求它的定义域和值域； ⑵ 求它的单调区间； ⑶ 判断它的奇偶性；⑷ 判定它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．考点一、三角函数的定义域问题 1．与三角函数有关的函数的定义域(1)与三角函数有关的函数的定义域仍然是使函数解析式有意义的自变量的取值范围．(2)求此类函数的定义域最终归结为用三角函数线或三角函数的图象解三角不等式．变式训练： 求函数y ＝－2cos 2x ＋3cos x －1＋lg(36－x 2)的定义域： 【分析】 本题求函数的定义域．(1)需注意对数的真数大于零，然后利用弦函数的图象求解．(2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零，然后利用函数的图象或三角函数线求解．【解析】 (1)函数定义域即下面不等式组的解集： ⎩⎨⎧－2cos 2x ＋3cos x －1≥036－x 2＞0解得：－6＜x ≤－53π或－π3≤x ≤π3或5π3≤x ＜6； 所以函数定义域为(－6，－53π]∪[－π3，π3]∪[5π3，6小结：1、用三角函数线解sin x ＞a (cos x ＞a )的方法(1)找出使sin x ＝a (cos x ＝a )的两个x 值的终边所在位置． (2)根据变化趋势，确定不等式的解集．2、用三角函数的图象解sin x ＞a (cos x ＞a ，tan x ＞a )的方法． (1)作直线y ＝a ，在三角函数的图象上找出一个周期内(不一定是[0,2π])在直线y ＝a 上方的图象．(2)确定sin x ＝a (cos x ＝a ，tan x ＝a )的x 值，写出解集． 考点二、三角函数单调区间的求法1．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间(－π2，π2)内的单调性．2．准确记忆三角函数的单调区间是求复合三角函数单调区间的基础．变式训练：已知函数f (x )＝sin2x ＋2sin x cos x ＋3cos2x ，x ∈R .求：(1)函数f (x )的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (2)函数f (x )的单调增区间．【解析】 (1)法一 ∵f (x )＝1－cos 2x 2＋sin 2x ＋3(1＋cos 2x )2＝2＋sin 2x ＋cos 2x ＝2＋2sin(2x ＋π4)．∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，f (x )取得最大值2＋ 2.因此，f (x )取得最大值的自变量x 的集合是{x |x ＝k π＋π8，k ∈Z }． 法二 ∵f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )＋sin 2x ＋2cos 2x＝1＋sin 2x ＋1＋cos 2x ＝2＋2sin(2x ＋π4)．∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，f (x )取得最大值2＋ 2.因此，f (x )取得最大值的自变量x 的集合是{x |x ＝k π＋π8，k ∈Z }．(2)f (x )＝2＋2sin(2x ＋π4)．由题意得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )．因此，f (x )的单调增区间是{x |k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )}小结：1、形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx ＋φ看作一个整体，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的减区间．2、形如y ＝A sin(－ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数，可先利用诱导公式把x的系数变为正数，得到y ＝－A sin(ωx －φ)，由－π2＋2k π≤ωx －φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的减区间，由π2＋2k π≤ωx －φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的增区间．2019-2020年高考数学 三角函数的性质导学案 新人教版一、课标、考纲解读1、三角函数的值域与最值以及性质的综合应用2、重点：三角函数的最值以及性质的综合应用 二、典例精析：考点三、三角函数的值域与最值例3 求下列函数的值域：（要注意总结方法）(1)y ＝2cos 2x ＋2cos x ； (2)y ＝3cos x －3sin x ； (3)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x .【解析】 (1)y ＝2cos 2x ＋2cos x ＝2(cos x ＋12)2－12. 当且仅当cos x ＝1时得y max ＝4，当且仅当cos x ＝－12时得y min ＝－12，故函数值域为[－12，4]．(2)y ＝3cos x －3sin x ＝23(32cos x －12sin x )＝23cos(x ＋π6)．∵|cos(x ＋π6)|≤1，∴该函数值域为[－23，23]． (3)y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x ＝(sin x ＋cos x )2－12＋2sin(x ＋π4)＝sin 2(x ＋π4)＋2sin(x ＋π4)－12＝[sin(x ＋π4)＋22]2－1，所以当sin(x ＋π4)＝1时，y 取最大值1＋2－12＝12＋ 2.当sin(x ＋π4)＝－22时，y 取最小值－1，∴该函数值域为[－1，12＋2]．求三角函数的值域(或最值)的常见题型及解法为：(1)y ＝a sin x ＋b cos x 型可引用辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中tan φ＝ba )．(2)y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型可通过降次整理化为y ＝A sin 2x ＋B cos 2x . (3)y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 型可换元转化为二次函数． (4)sin x cos x 与sin x ±cos x 同时存在型可换元转化．(5)y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d ⎝ ⎛⎭⎪⎫或y ＝a cos x ＋b c cos x ＋d 型，可用分离常数法或由|sin x |≤1来解决． (6)y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d型，可用斜率公式来解决．变式训练：已知函数f (x )＝2a sin(2x －π3)＋b 的定义域为[0，π2]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．考点四、三角函数性质的综合问题已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(3，－1)，m·n ＝1，且A 为锐角． (1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R )的值域．小结：1.从内容上看，主要有三种类型： ①自身综合，即将三角公式、图象和性质结合在一起．②三角函数与其他函数，如二次函数、指数函数等结合在一起．③与实际问题结合在一起，综合向量、几何等知识解决实际问题． 2．从题型上看，一般为解答题，难度为中档 3．从能力要求上看，要求学生具备一定的知识迁移能力与解决综合问题的能力． 三、当堂检测1．(xx·高考天津卷)设函数f (x )＝sin(2x －π2)，x ∈R ，则f (x )是 ( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数【解析】 f (x )＝sin(2x －π2)＝－cos2x .∴f (x )是最小正周期为π的偶函数，故选B.2．下列函数，在[π2，π]上是增函数的是 ( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin 2x D ．y ＝cos 2x 【答案】 D3．(xx·福建省厦门外国语学校第三次月考)下列命题正确的是()A．y＝sin(2x＋π3)在区间(－π3，π6)内单调递增B．y＝cos4x－sin4x的最小正周期为2πC．y＝cos(x＋π3)的图象是关于点(π6，0)对称D．y＝tan(x＋π3)的图象是关于直线x＝π6对称【解析】可验证y＝sin(2x＋π3)在区间(－π3，π6)内不单调；y＝cos4x－sin4x的最小正周期为π；y＝tan(x＋π3)的图象不关于任何直线对称；经验证C对．4．比较大小，sin(－π18)________sin(－π10)．【解析】因为y＝sin x在[－π2，0]上为增函数且－π18＞－π10，故sin(－π18)＞sin(－π10)．5．函数y＝3－2cos(x－π4)的最大值为________，此时x＝________.【解析】当x－π4＝2kπ＋π(k∈Z)，即x＝2kπ＋5π4(k∈Z)时，y的最大值5.。
人教A版高中数学必修四《三角函数的图像与性质》学案4
基本初等函数Ⅱ（三角函数）【学法导航】三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点。
第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。
当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。
总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力 方法技巧：1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复证明强化记忆，这是最有效的记忆方法。
诱导公式用角度制和弧度制表示都成立，记忆方法可概括为“奇变偶不变，符号看象限”，变与不变是相对于对偶关系的函数而言的2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中，显得十分重要，根据三角函数的，可简记为“一全正，二正弦，三两切，四余弦”，其含义是：在第一象限各三角函数值皆为正；在第二象限正弦值为正；在第三象限正余切值为正；在第四象限余弦值为正3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时，要注意用是否“同角”来区分和选用公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选取4.求三角函数值域的常用方法：求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外，结合三角函数的特点，还有如下方法：（1）将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域； （2）利用sin ,cos x x 的有界性求值域；（3）换元法，利用换元法求三角函数的值域，要注意前后的等价性，不能只注意换元，不注意等价性5. 三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象与性质，并挖掘： ⑴最值的情况；⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求sin()y A x ωϕ=+的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况．．．．．．．．．．．．．； ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；sin y x =的对称轴是2x k ππ=+()k Z ∈，对称中心是(,0)k π()k Z ∈；cos y x =的对称轴是x k π=()k Z ∈，对称中心是(,0)2k ππ+()k Z ∈tan y x =的对称中心是(,0)()2k k Z π∈注意加了绝对值后的情况变化. ⑷写单调区间注意0ω>.（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，并能由图象写出解析式．⑴“五点法”作图的列表方式；⑵求解析式sin()y A x ωϕ=+时处相ϕ的确定方法：代（最高、低）点法、公式1x ϕω=-. （三）正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换方法如下： 先平移后伸缩 si n y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象．【专题综合】例1.已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化例2.已知向量2(2cos sin )(sin cos )(3)a ααb ααx a t b =-=+-，2，=，，，y ka b =-+，且0x y ⋅=，(1)求函数()k f t =的表达式；(2)若[13]t ∈-，，求()f t 的最大值与最小值 解：(1)24a =，21b =，0a b ⋅=，又0x y ⋅=，所以22222[(3)]()(3)[(3)]0x y a t b ka b ka t b t k t a b ⋅=+-⋅-+=-+-+--⋅=，所以31344k t t =-，即313()44k f t t t ==-； (2)由(1)可得，令()f t 导数233044t -=，解得1t =±，列表如下：而(1)(1)(3)222f f f -==-=，，，所以max min ()()22f t f t ==-， 说明：本题将三角函数与平面向量、导数等综合考察，体现了知识之间的融会贯通。
人教A版高中数学必修四三角函数的图象和性质教案新
1.4.1正弦函数、余弦函数的图像----正弦函数的图象一、教学目标：1．知识目标：正弦函数的图象2．能力目标：(1)会用单位圆中的正弦线准确地画出正弦函数的图象(2)会用五点法画出正弦函数的简图3．情感目标：发展学生的数形结合思想，使学生感受动与静的辩证关系二、教学重点、难点：重点：用五点法画正弦曲线难点：利用单位圆中的正弦线画正弦曲线三、教学方法：借助较先进的教学手段引导学生理解利用单位圆中的有向线段表示三角函数值的办法，画出正弦曲线。
以讲授法为主。
四、教学过程：必修4 1.3.1正弦函数的图象性质(2)教学目标：1．知识与技能（1）理解正弦函数的性质（2）理解周期函数与最小正周期的意义2．过程与方法通过正弦函数的图像，进一步体会数形结合的思想方法。
3．情感、态度与价值观通过正弦函数性质的学习，培养学生“看图说话”的能力，即图形语言、文字语言与符号语言的转换，从而达到从直观到抽象的飞跃。
教学重点：正弦函数的性质教学难点：正弦函数的周期性教学方法：引导学生正弦函数的图像，观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动。
首先由形及数，数形结合，通过设置问题引导学生观察、分析、归纳正弦函数的性质，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得对正弦函数的性质的全面的理解与认识。
教学过程：R x t x ∈-=,3sin ，求t 的取值范围。
必修4 1.3.1正弦函数的图象性质(3)一、教学目标 （一）、知识与技能：1、初步认识振幅、周期、频率、初相的概念，认识正弦型函数；2、会“五点作图”作正弦型函数的图象。
例：x y sin 3=、x y sin 31=、x y 2sin =、x y 21sin =、⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 3πx y 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 3πx y 等；3、能够认识以上这些函数与正弦函数x y sin =图象的关系，即它们是如何通过正弦函数x y sin =图象平移、伸缩而得到；4、能够根据图象的特征写出正弦型函数的解析式，并能由解析式求出函数的周期、最值等；5、明确ϕω,,A的物理意义，把数学知识用在解决相关的物理等实际问题中的能力。
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三角函数的图象与性质
学习目标：结合图像，理解并掌握正弦函数、余弦函数的性质。
②
正弦曲线：正弦函数x y sin =,R x ∈的图像叫做正弦曲线。
作函数x y sin =,[]π2,0∈x 的简图的五个关键点是_______________________.
正弦函数x y sin =,R x ∈是周期为_____ ________函数，它的值域是__________;
当x=______________时,函数有最大值,是_____;
当x=______________时,函数有最小值,是______;
正弦函数x y sin =,R x ∈的单调递增区间是_______________,单调递减区间是________________.正弦曲线关于直线___________________对称，又关于点_____________对称。
2.余弦曲线：余弦函数x y cos =,R x ∈的图像叫做
余弦曲线。
余弦曲线关于直线
__________________对称，又关于点
_____________对称。
余弦函数x y cos =,R x ∈是周期为______的
________函数，它的值域是__________;
当x=______________时,函数有最大值,是_____;
当x=______________时,函数有最小值,是______;
余弦函数x y cos =,R x ∈的单调递增区间是_______________,单调递减区间是________________. 作函数x y cos =,[]π2,0∈x 的简图的五个关键点是________________________________________. 。
的值求已知ααπ2cos ,5
3)sin()4(=-
已知.)4cos(2cos ),40(135)4sin(απαπααπ
+<<=-求
已知αααcos sin ,32tan
+=求
（1）；
化简：（1）cos3cos sin3sin αααα+；（2）cos()cos()66ππαα++-；（3）cos15cos75-
已知 sin α+cos β=53 ① , cos α+s in β=5
4 ②，求sin (α+β). 已知， 且， 求cos ,sin αα的值。
已知均为B A B A ,,21sin ,53sin ==锐角，求:)22sin(B A +
62ππα<<15cos()617
πα-=
名师精编优秀教案。