宁夏银川一中2020届高三下学期第一次模拟考试 文科数学(含答案)
2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷(文科)
2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|40}A x x =-<，{|326}B x x =-<<，则(A B =I ) A ．3(,2)2-B ．(2,2)-C ．3(,3)2-D ．(2,3)-2．（5分）复数12z i =+，若复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12(z z =)A ．5-B ．5C ．34i -+D ．34i -3．（5分）下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(,0)-∞上单调递增的函数是( ) A ．2()f x x =B ．||()2x f x =C ．21()||f x log x = D ．()sin f x x =4．（5分）已知向量a r ，b r ，其中|||2a b ==r ，且()a b a -⊥r r r ，则a r与b r 的夹角是( )A ．6πB ．4π C ．2π D ．3π 5．（5分）为了坚决打赢新冠状病毒的攻坚战，阻击战，某小区对小区内的2000名居民进行模排，各年龄段男、女生人数如表．已知在小区的居民中随机抽取1名，抽到20岁50-岁女居民的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全小区抽取64名居民，则应在50岁以上抽取的女居民人数为( )A ．24B ．16C ．8D ．126．（5分）我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为( )A ．1003B ．1043C ．27D ．187．（5分）已知2sin()34πα+=，则sin 2(α= )A ．12B ．3 C ．12-D ．3-8．（5分）已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，且55a =，则9(S = ) A ．25B ．90C ．50D ．459．（5分）函数3||3()44x x f x =-的大数图象为( )A ．B ．C ．D ．10．（5分）在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若1b =，23,3c C π==，则(ABC S ∆= ) A 3B 3C 3D ．3411．（5分）已知椭圆22221(0) x ya ba b+=>>的两焦点分别是1F，2F，过1F的直线交椭圆于P，Q两点，若212||||PF F F=，且112||3||PF QF=，则椭圆的离心率为() A．35B．45C．34D．32512．（5分）已知定义在R上的函数满足(2)()f x f x+=-，(0x∈，2]时，()sinf x x xπ=-，则20201()(if i==∑)A．6B．4C．2D．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设x，y满足约束条件2102702350x yx yx y--⎧⎪+-⎨⎪+-⎩…„…，则23z x y=-的最小值为．14．（5分）如图，()y f x=是可导函数，直线:2l y kx=+是曲线()y f x=在3x=处的切线，令()()g x xf x=，其中()g x'是()g x的导函数，则g'（3）=．15．（5分）已知双曲线的方程为22221(0,0)x ya ba b-=>>，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为5(c c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为．16．（5分）如图所示，某住宅小区内有一正方形草地ABCD，现欲在其中修建一个正方形花坛EFGH，若已知花坛面积为正方形草地面积的23，则θ=．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，18a =，322(3)S a =+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）已知12n n T a a a =⋯，求n T 的最大值．18．（12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，13AB AC AA ===，2BC =，D 是BC 的中点，F 是1C C 上一点．（1）当2CF =，求证：1B F ⊥平面ADF ； （2）若1FD B D ⊥，求三棱锥1B ADF -体积．19．（12分）某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效．测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量（单位：)mg 进行统计．规定：植株吸收在6mg （包括6)mg 以上为“足量”，否则为“不足量”．现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表．已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株． 编号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 吸收量()mg683895662775 10 6788469（1）完成以22⨯下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？（2）若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取3株，求这3株中恰有1株“植株存活”的概率． 参考数据：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++20．（12分）已知动点M 到定点(1,0)F 的距离比M 到定直线2x =-的距离小1． （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 任意作互相垂直的两条直线1l ，2l ，分别交曲线C 于点A ，B 和M ，N ．设线段AB ，MN 的中点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求FPQ ∆面积的最小值． 21．（12分）设函数()xf x ax lnx=-． （1）若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，求实数a 的最小值；（2）若存在1x ，2[x e ∈，2]e ，使12()()f x f x a '+„成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线222:12x C y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB ．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x 的不等式|2||3||1|x x m --++…有解，记实数m 的最大值为M ． （1）求M 的值；（2）正数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+++…．2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|40}A x x =-<，{|326}B x x =-<<，则(A B =I ) A ．3(,2)2-B ．(2,2)-C ．3(,3)2-D ．(2,3)-【解答】解：Q 3{|22},{|3}2A x xB x x =-<<=-<<，∴3(,2)2A B =-I ．故选：A ．2．（5分）复数12z i =+，若复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12(z z =)A ．5-B ．5C ．34i -+D ．34i -【解答】解：由题意可知22z i =-+， 所以12(2)(2)415z z i i =+-+=--=-． 故选：A ．3．（5分）下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(,0)-∞上单调递增的函数是( ) A ．2()f x x =B ．||()2x f x =C ．21()||f x log x = D ．()sin f x x =【解答】解：2()f x x =，||()2x f x =在(,0)-∞单调递减； 21()||f x log x =是偶函数，且0x <时，21()()f x log x=-是复合函数，在(,0)-∞上单调递增，所以C 正确；()sin f x x =在定义域R 上是奇函数．故选：C ．4．（5分）已知向量a r ，b r ，其中|||2a b ==r ，且()a b a -⊥r r r ，则a r与b r 的夹角是( )A ．6πB ．4π C ．2π D ．3π【解答】解：由|||2a b ==r ，且()a b a -⊥r r r，所以()0a b a -=r r rg ，即20a b a -=r r r g ， 所以22a b a ==r r r g ，所以cos ||||a b a b θ===⨯rr g r r又[0θ∈，]π， 所以4πθ=，即a r 与b r 的夹角是4π．故选：B ．5．（5分）为了坚决打赢新冠状病毒的攻坚战，阻击战，某小区对小区内的2000名居民进行模排，各年龄段男、女生人数如表．已知在小区的居民中随机抽取1名，抽到20岁50-岁女居民的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全小区抽取64名居民，则应在50岁以上抽取的女居民人数为( )A ．24B ．16C ．8D ．12【解答】解：由题意20~50岁内女性有20000.19380⨯=（人)，即380X =， 所以50岁以上女性有2000373380377370250250Y =-----=（人)， 用分层抽样法在全区抽取64名居民，应在50岁以上抽取的女居民人数为2506482000⨯=（人)．故选：C ．6．（5分）我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为( )A ．1003B ．1043C ．27D ．18【解答】解：原图为正四棱台，两底的长分别为2和6，高为2， 该刍薨的体积为1104(436436)233V =++⨯⨯=，故选：B ．7．（5分）已知2sin()34πα+=，则sin 2(α= ) A ．12B ．3 C ．12-D ．3-【解答】解：由2sin()34πα+=，得3sin()4πα+=，231sin 2cos(2)[12()][12]2442sin ππααα∴=-+=--+=--⨯=．故选：A ．8．（5分）已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，且55a =，则9(S = ) A ．25B ．90C ．50D ．45【解答】解：根据题意，数列{}n a 为等差数列， 则19595()92994522a a a S a +⨯⨯====， 故选：D ．9．（5分）函数3||3()44x x f x =-的大数图象为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由题意，可知：x R ∈，33||||3()3()()4444x x x x f x f x ---==-=---，∴函数()f x 为奇函数，故排除C 、D 选项；又1213138()021644f ==-<-g Q ．故只有A 选项的图象正确． 故选：A ．10．（5分）在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若1b =，23,3c C π==，则(ABC S ∆= ) A 3B 3 C 3 D ．34【解答】解：由余弦定理可得，222cos 2a b c C ab +-=，即211322a a +--=，解可得1a =，则1133sin 1122ABC S ab C ∆==⨯⨯=故选：B ．11．（5分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点分别是1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，若212||||PF F F =，且112||3||PF QF =，则椭圆的离心率为( )A ．35B ．45C ．34D 【解答】解：由题意作图如右图， 1l ，2l 是椭圆的准线，设点0(Q x ，0)y ， 112||3||PF QF =Q ，∴点053(22P c x --，03)2y -； 又1||||c PF MP a =Q ，1||||cQF QA a=， 2||3||MP QA ∴=，又2053||22a MP c x c =--+Q ，20||a QA x c =+，2200533()2()22a a x c x c c ∴+=--+，解得，22056c a x c +=-，212||||PF F F =Q ，2053()222a cc x c c a ∴++=； 将22056c a x c+=-代入化简可得，223580a c ac +-=，即25()830c ca a-+=；解得，1ca=（舍去）或35c a =；故选：A ．12．（5分）已知定义在R 上的函数满足(2)()f x f x +=-，(0x ∈，2]时，()sin f x x x π=-，则20201()(i f i ==∑ )A ．6B ．4C ．2D ．0【解答】解：因为(0x ∈，2]时，()sin f x x x π=-，所以f （1）1sin 1π=-=，f （2）2sin22π=-=，因为(2)()f x f x +=-，所以(0)f f =-（2）2=-，(1)f f -=-（1）1=-， 所以(1)(0)f f f -++（1）f +（2）0=．因为(2)()f x f x +=-，将x 换为2x +，则(4)(2)f x f x +=-+，所以()(4)f x f x =+，即函数的周期为4，所以20201()505[(1)(0)i f i f f f ==⨯-++∑（1）f +（2）]0=．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设x ，y 满足约束条件2102702350x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪+-⎩…„…，则23z x y =-的最小值为 5- ．【解答】解：作出x ，y 满足约束条件2102702350x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪+-⎩…„…的可行域，当直线23z x y =-经过点(2,3)A 时，22335min z =⨯-⨯=-． 故答案为：5-．14．（5分）如图，()y f x =是可导函数，直线:2l y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，其中()g x '是()g x 的导函数，则g '（3）= 0 ．【解答】解：Q 直线:2l y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，f ∴（3）1=，又点(3,1)在直线l 上， 321k ∴+=，从而13k =-，f ∴'（3）13k ==-，()()g x xf x =Q ， ()()()g x f x xf x ∴'=+'则g '（3）f =（3）3f +'（3）113()03=+⨯-=故答案为：0．15．（5分）已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为5(c c 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为 32． 【解答】解：双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为0bx ay ±=，焦点坐标为(,0)c ±，其中22c a b =+∴一个焦点到一条渐近线的距离为225d c a b ==+，即5b c =， 因此，2223a c b c =-=，由此可得双曲线的离心率为32c e a ==故答案为：3216．（5分）如图所示，某住宅小区内有一正方形草地ABCD ，现欲在其中修建一个正方形花坛EFGH ，若已知花坛面积为正方形草地面积的23，则θ= arctan(23)- ．【解答】解：设CG x =，()FC y x y =<，则22FG x y =+，BC x y =+．Q 花坛面积为正方形草地面积的23， ∴2222()3x y x y +=+，即2240x y xy +-=． 24()10x x y y∴-+=． 解得23x y =或23xy=+（舍)． arctan(23)θ∴=-．故答案为arctan(23)．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，18a =，322(3)S a =+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）已知12n n T a a a =⋯，求n T 的最大值．【解答】解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题意得：1326a a a +=+ 所以28886q q +=+，即24410q q -+= 则12q =． 所以1418()22n n n a --=⨯=．（2）(7)321(4)21222n n n n n T a a a -+++⋯+-=⋯==，当3n =或4时，n T 取得最大值，且()64n max T =．18．（12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，13AB AC AA ===，2BC =，D 是BC 的中点，F 是1C C 上一点．（1）当2CF =，求证：1B F ⊥平面ADF ； （2）若1FD B D ⊥，求三棱锥1B ADF -体积．【解答】（1）证明：AB AC =Q ，D 是BC 的中点，AD BC ∴⊥．在直三棱柱111ABC A B C -中，1B B ⊥Q 底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，1AD B B ∴⊥．1BC B B B =Q I ，AD ∴⊥平面11B BCC ．1B F ⊂Q 平面11B BCC ，1AD B F ∴⊥．-------------（3分）在矩形11B BCC 中，11C F CD ==Q ，112B C CF ==，Rt DCF Rt ∴∆≅△11FC B ．11CFD C B F ∴∠=∠．190B FD ∴∠=︒，1B F FD ∴⊥．AD FD D =Q I ，1B F ∴⊥平面ADF ．-------------（6分）（2）解：AD ⊥Q 面1B DF，AD =又1B D =，1CD =，-------------（8分） 1FD B D ⊥Q ，Rt CDF Rt ∴∆∽△1BB D ，∴11DF CDB D BB =．∴13DF ==-------------（10分）∴11111332B ADF B DF V S AD -==⨯V g ．-------------（12分） 19．（12分）某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效．测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量（单位：)mg 进行统计．规定：植株吸收在6mg （包括6)mg 以上为“足量”，否则为“不足量”．现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表．已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株．（1）完成以22⨯下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？（2）若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取3株，求这3株中恰有1株“植株存活”的概率． 参考数据：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++ 【解答】解：（1）由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株； “吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株， 填写列联表如下：4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分计算2220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关；8⋯⋯⋯分（2）样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株，存活的1株， 设事件A ：抽取的3株中恰有1株存活，记存活的植株为a ，死亡的植株分别为1b ，2b ，3b ，4b ；则选取的3株有以下情况：{a ，1b ，2}b ，{a ，1b ，3}b ，{a ，1b ，4}b ，{a ，2b ，3}b ，{a ，2b ，4}b ，{a ，3b ，4}b ，1{b ，2b ，3}b ，1{b ，2b ，4}b ，1{b ，3b ，4}b ，2{b ，3b ，4}b共10种，其中恰有一株植株存活的情况有6种； 所以63()105P A ==．12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分 20．（12分）已知动点M 到定点(1,0)F 的距离比M 到定直线2x =-的距离小1．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 任意作互相垂直的两条直线1l ，2l ，分别交曲线C 于点A ，B 和M ，N ．设线段AB ，MN 的中点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求FPQ ∆面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：动点M 到定点(1,0)F 的距离等于M 到定直线1x =-的距离， 根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹C 是抛物线． ⋯（2分）2p =Q ，∴点M 的轨迹C 的方程：24y x =．⋯（3分）证明：（Ⅱ）设A ，B 两点坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ， 则点P 的坐标为12(2x x +，12)2y y +．由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =-，(0)k ≠， 由24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，得2222(24)0k x k x k -++=． △2242(24)416160k k k =+-=+>．⋯（5分）Q 直线1l 与曲线C 于A ，B 两点，∴12242x x k +=+，12124(2)y y k x x k+=+-=． ∴点P 的坐标为22(1k+，2)k ．⋯（6分） 由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为2(12k +，2)k -．⋯（7分）当1k ≠±时，有222112k k+≠+， 此时直线PQ 的斜率2222221112PQkk k k k k k+==-+--．⋯（8分） ∴直线PQ 的方程为222(12)1ky k x k k+=---， 整理得2(3)0yk x k y +--=． 于是，直线PQ 恒过定点(3,0)E ，当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点(3,0)E ．综上所述，直线PQ 恒过定点(3,0)E ． ⋯（10分） 解：（Ⅲ）由题意得||2EF =，FPQ ∴∆的面积12||(2||)42||S EF k k +⨯⨯+…．当且仅当1k =±时，“=”成立，FPQ ∴∆面积的最小值为4．⋯（12分）21．（12分）设函数()xf x ax lnx=-． （1）若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数，求实数a 的最小值；（2）若存在1x ，2[x e ∈，2]e ，使12()()f x f x a '+„成立，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由已知得()f x 的定义域为(0，1)(1⋃，)+∞，()f x Q 在(1,)+∞上为减函数，21()0()lnx f x a lnx -∴'=-+„在(1,)+∞上恒成立， 2211111()()24a lnx lnx lnx --=--„， 令2111()()24g x lnx =--， 故当112lnx =，即2x e =时， ()g x 的最小值为14-，14a ∴--„，即14a …a ∴的最小值为14． （Ⅱ）命题“若存在1x ，2[x e ∈，2]e ，使12()()f x f x a '+„成立”， 等价于“当[x e ∈，2]e 时，有()()min max f x f x a '+„”， 由（Ⅰ）知，当[x e ∈，2]e 时，[1lnx ∈，2]，11[2lnx ∈，1]， 221111()()()24lnx f x a a lnx lnx -'=-+=--+-， 1()4max f x a '+=， 问题等价于：“当[x e ∈，2]e 时，有1()4min f x „”， ①当14a --„，即14a …时，由（Ⅰ），()f x 在[e ，2]e 上为减函数，则2221()()24mine f x f e ae ==-+„，21142a e ∴--„， 21124a e∴-…．②当104a -<-<，即104a <<时，[x e ∈Q ，2]e ，1[2lnx ∴∈，1]，21()()lnx f x a lnx -'=-+Q ，由复合函数的单调性知()f x '在[e，2]e 上为增函数， ∴存在唯一20(,)x e e ∈，使0()0f x '=且满足：000()()min x f x f x ax lnx ==-+， 要使1()4min f x „，00111114424a x lnx ∴--<-=-„，与104a -<-<矛盾，104a ∴-<-<不合题意．综上，实数a 的取值范围为211[24e-，)+∞．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线222:12x C y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB ．【解答】解：（Ⅰ）曲线11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）可化为普通方程：22(1)1x y -+=， 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为22(1sin )2ρθ+=．（Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与曲线1C 的交点A的极径为12cos6πρ==射线(0)6πθρ=…与曲线2C 的交点B 的极径满足222(1sin )26πρ+=，解得2ρ=，所以12||||ABρρ=-=[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|2||3||1|x x m--++…有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足2a b c M++=，求证：111a b b c+++…．【解答】解：（1）由绝对值不等式得|2||3||2(3)|5x x x x--+--+=厔，若不等式|2||3||1|x x m--++…有解，则满足|1|5m+„，解得64m-剟．4M∴=．（2）由（1）知正数a，b，c满足足24a b c++=，即1[()()]14a b b c+++=∴11111111 [()()]()(11)(2414444b c a ba b b ca b b c a b b c a b b c+++=++++=++++⨯= ++++++厖，当且仅当b c a ba b b c++=++即2a b b c+=+=，即a c=，2a b+=时，取等号．∴111a b b c+++…成立．第21页（共21页）。
宁夏银川一中2020届高三数学第一次月考(文)
银川一中2020届高三年级第一次月考测试数 学 试 卷(文)姓名_________ 班级_________ 学号____ 2020.08 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U 是实数集R ，}034|{},22|{2<+-=>-<=x x x N x x x M 或，则图中阴影部分所表示的集合是( ) A ．}12|{<≤-x x B ．}22|{≤≤-x xC ．}21|{≤<x xD ．}2|{<x x2．函数)1(log 2)(2--=x x x f 的定义域是( )A. ),2(+∞B. )1,31(-C. )2,1(-D. )2,(--∞3．下函数x x f 1)(=（x>1）的值域是（ ）A.()()∞+∞-，，00 B. R C. ),1(+∞ D. )1,0( 4.列函数中，在其定义域是减函数的是( ) A. 1)(2++-=x x x f B.x x f 1)(=C. ||)31()(x x f = D. )2ln()(x x f -=5．设)(x f 是定义在R 上的函数，其图像关于原点对称，且当x >0时，32)(-=xx f ，则=-)2(f ( )A ．1B ．-1C ．41D ．411-6．区间[a,b]上( )A ．f (x)>0且| f (x)|单调递减B ．f (x)>0且| f (x)|单调递增C ．f (x)<0且| f (x)|单调递减D ．f (x)<0且| f (x)|单调递增 7. 函数)1(log )(++=x a x f a x 在区间]1,0[上的最大值与最小值之和为a ，则a =( )A ．41B ．21C ．2D ．48. 已知角θ的终边过点P(-4k,3k) 0≠k ,则θθcos sin 2+的值是（ ） A ．52 B ．52- C ．52或52-D ．随着k 的取值不同其值不同9．已知实数b a ,满足等式ba 32=，下列五个关系式：①;0ab <<②;0<<b a ③;0b a <<④;0<<a b ⑤.b a =其中可能成立的关系式有( )A ．①②③B ．①②⑤C ．①③⑤D ．③④⑤10．已知A=),(cos )cos(sin )sin(Z k k k ∈∂∂++∂∂+ππ则A 的值构成的集合是（ ）A. {}2211--，，，B. {}11-，C. {}22011--，，，，D. {}22-， 11．函数|log |)(3x x f =在区间a [，]b 上的值域为[0，1]，则a b -的最小值为（ ）A ．2B ．32C ．31D ．112．已知函数f （x ）是R 上的偶函数，且满足f （x+2）=f （x ），当x ∈[0，1]时，f （x ）=2－x ，则f （－2020.5）的值为( )A ．0.5B ．－1.5C ．1.5D ．1 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.当0<x<1时，2212)(,)(,)(-===x x h x x g x x f 的大小关系是____________________14. 函数f(x)在()∞+∞-，上是奇函数，当(]0，∞-∈x 时)1()(-=x x x f ，则当()+∞∈,0x 时，f(x)= _____________________15. 已知f(x)是R 上的偶函数，且在(－∞,0)上是减函数，则不等式f(x)≤f(3)的解集是_____________________16. 若tan θ=2，则2sin2θ－3sin θcos θ= 。
2020届宁夏银川文科数学高考试题试卷模拟测试题及答案
2020届宁夏银川一中文科数学高考三模试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2≤1}，B＝{x|3x＜1}，则A∪（∁R B）＝（）A．{x|x＜0}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x＜0}D．{x|x≥﹣1}2．（5分）若复数z与其共轭复数满足z﹣2＝1+3i，则|z|＝（）A．B．C．2D．3．（5分）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．2x±y＝0B．x±2y＝0C．3x±4y＝0D．4x±3y＝04．（5分）在区间（0，4]内随机取两个数a、b，则使得“命题‘∃x∈R，不等式x2+ax+b2＜0成立’为真命题”的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）若向量与平行，则＝（）A．B．C．D．6．（5分）F是抛物线y2＝2x的焦点，A、B是抛物线上的两点，|AF|+|BF|＝8，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．4B．C．D．37．（5分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（）A．若m⊥n，m⊥α，则n∥αB．若m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥αC．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β8．（5分）已知函数y＝f（x）的部分图象如图，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝x+tan x B．f（x）＝x+2sin xC．f（x）＝x﹣sin x D．9．（5分）已知函数，a＝f（20.3），b＝f（0.20.3），c＝f（log0.32），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b10．（5分）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（M．R．Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是（当|x|较小时，10x ≈1+2.3x+2.7x2）（）A．1.24B．1.25C．1.26D．1.2711．（5分）已知数列{a n}的通项公式是，其中f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，S n为数列{a n}的前n项和，则S2020的值为（）A．﹣1B．C．D．012．（5分）已知函数f（x）＝，若函数F（x）＝f（x）﹣mx有4个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，3﹣2）C．（，3﹣2）D．（，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为．14．（5分）已知实数x，y满足，则z＝3x﹣y的最大值为．15．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝3，S4＝10，则＝．16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PC＝2，BA＝BC＝1，∠ABC＝90°，点P到底面ABC的距离是；则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）某年级教师年龄数据如表：年龄（岁）人数（人）221282293305314323402合计20（Ⅰ）求这20名教师年龄的众数与极差；（Ⅱ）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；（Ⅲ）现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．18．（12分）（开放题）在锐角△ABC中，a＝2，_______，求△ABC的周长l的范围．在①＝（﹣cos，sin），＝（cos，sin），且•＝﹣，②cos A（2b﹣c）＝a cos C，③f（x）＝cos x cos（x﹣）﹣，f（A）＝注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．19．（12分）如图所示的多面体中，四边形ABCD是正方形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥DC，ED＝EF ＝CD＝1，∠EAD＝30°．（Ⅰ）求证：AE⊥FC；（Ⅱ）求点D到平面BCF的距离．20．（12分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y＝k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）与直线x﹣y﹣1﹣ln2＝0相切，求实数a的值；（Ⅱ）若不等式（x+1）f（x）≤lnx﹣在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝，曲线C的极坐标方程为ρ﹣6cosθ＝0．（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点A（1，0），若直线l与曲线C交于P，Q两点，P，Q中点为M，求的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+2|．（1）求不等式f（x）+f（x﹣2）＜x+4的解集；（2）若∀x∈R，使得f（x+a）+f（x）≥f（2a）恒成立，求a的取值范围．。
宁夏银川唐徕2020届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题 含解析
自由职业者的工资收入情况，对该行业 10 个自由职业者人均年收入 y( 千元 ) 与平均每天的工
作时间 x( 小时 ) 进行调查统计，得出 y 与 x 具有线性相关关系，且线性回归方程为
y 12x 60 ，若自由职业者平均每天工作的时间为 5 小时，估计该自由职业者年收入为
-1-
【详解】由
x x
1 2
0
得：
x 1 x
x解得：1
x
2
，
B
x
1
x
2
，
A B 1.
故选： C .
【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到分式不等式的求解，属于基础题.
2.已知复数 z 满足 1 i z i ，则 z （ ）
A. 1 1 i 22
【答案】A
B. 1 1 i 22
C. 1 1 i 22
D. 1 1 i 22
【解析】
【分析】
由复数的除法运算计算可得结果.
【详解】由 1 i
z
i
得：
z
i 1
i
i 1 i 1 i1
i
i
1 2
1 2
1i 2
.
故选： A .
【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.
3.等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 2S3 a3 a7 18 ，则 a1 (
x
对称，排除 C 和 D，当 x 1 时， f 1 e 1 1 0 ，排除 B，故 A 正确.
e
故选：A. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了奇函数的性质，属基础题. 8.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠 对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示, 则输出结果 n=( )
宁夏银川唐徕2020届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题 含解析
银川2020届高三年级第一次模拟考试文科数学考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.4．保持卡面清洁，不折叠，不破损.5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}0,1,2A =，集合102x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A. {}0,1B. {}1,2C. {}1D. {}2【答案】C 【解析】 【分析】由分式不等式的解法可求得集合B ，根据交集定义可求得结果.【详解】由102x x -≤-得：()()12020x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得：12x ≤<，{}12B x x ∴=≤<， {}1A B ∴⋂=.故选：C .【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到分式不等式的求解，属于基础题. 2.已知复数z 满足()1i z i +=，则z =（ ） A.1122i + B.1122i - C. 1122i -+ D. 1122i -- 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算计算可得结果.【详解】由()1i z i +=得：()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-. 故选：A .【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3372S a a 18=+=，则1a (= ) A 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】试题分析：由等差数通项公式和前n 项和公式,又337218S a a =+=,可得()112332818a d a d +=+=，解得1a 1,d 2.故本题答案选A.考点：等差数列的通项公式和前n 和公式.4.在“新零售”模式的背景下，自由职业越来越流行，诸如淘宝店主、微商等等．现调研某行业自由职业者的工资收入情况，对该行业10个自由职业者人均年收入(y 千元)与平均每天的工作时间(x 小时)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且线性回归方程为1260y x =+，若自由职业者平均每天工作的时间为5小时，估计该自由职业者年收入为（ ）A. 50千元B. 60千元C. 120千元D. 72千元【答案】C 【解析】 【分析】将5x =代入回归直线即可求得结果.【详解】令5x =得：12560120y =⨯+=，即估计该自由职业者年收入为120千元. 故选：C .【点睛】本题考查根据线性回归直线计算预估值的问题，属于基础题.5.已知角α顶点为原点，始边与x 轴非负半轴重合，点()P 在终边上，则()cos 6πα-=（ ）A.12B. 12-C.2D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角三角函数定义可求得sin ,cos αα，代入两角和差余弦公式可求得结果.【详解】()3,1P -在终边上，1sin2α∴==，cos 2α==-，111cos cos cos sin sin 666222πππααα⎛⎫∴-=+=⨯=- ⎪⎝⎭.故选：B .【点睛】本题考查利用两角和差余弦公式求解三角函数值的问题，涉及到任意角三角函数的定义，属于基础题.6.已知抛物线x 2＝－4y 的准线与双曲线2222x y a b-＝1(a>0，b>0)的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是( )A.B. 2C.D. 5【答案】A 【解析】抛物线x 2＝－4y 的准线为l ：y ＝1，显然双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，则e ＝2. 7.函数()1xxe ef x x-=--的部分图象大致为（ ） A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先由函数解析式可得函数()f x 为奇函数，再结合奇函数图像的性质逐一检验即可得解. 【详解】解：由已知可得函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()1x x e e f x xf x --=-+=-，则函数()f x 为奇函数，则函数()f x 的图象应该关于原点对称，排除C 和D ，当1x =时，()1110f e e =-->，排除B ，故A 正确.故选：A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了奇函数的性质，属基础题.8.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n =( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】开始，输入1,1,0,1a A S n ====，则2S =，判断210≥，否，循环，12,,22n a A ===， 则92S =，判断9102≥，否，循环，13,,4,4n a A ===则354S =，判断35104≥，否，循环，14,,8,8n a A === 则1358S =，判断135108≥，是，输出4n =，结束.故选择C. 9.如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ）A.3417B.23417C.517D.31717【答案】D 【解析】 【分析】首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB与CE所成角的平面角，在PCD∆中利用余弦定理求出cos DPC∠进而求出CE，再在GFH∆中利用余弦定理即可得解.【详解】如图，取PA的中点F，AB的中点G，BC的中点H，连接FG，FH，GH，EF，则//EF CH，EF CH=，从而四边形EFHC是平行四边形，则//EC FH，且EC FH=.因为F是PA的中点，G是AB的中点，所以FG为ABP∆的中位线，所以//FG PB，则GFH∠是异面直线PB与CE所成的角.由题意可得3FG=，1222HG AC==.在PCD∆中，由余弦定理可得2223636167cos22669PD PC CDDPCPD PC+-+-∠===⋅⨯⨯，则2222cos17CE PC PE PC PE DPC=+-⋅∠=，即17CE=在GFH∆中，由余弦定理可得222cos2FG FH GHGFHFG FH+-∠=⋅317172317==⨯⨯.故选：D【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.10.已知实数x，y满足521802030x yx yx y+-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y-+=经过该可行域，则实数k的最大值是（）A. 1B.32C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ． 当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-， 则k 的最大值为：32故选：B ．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 11.已知函数()sin cos f x x x =+，将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象.若()()122g x g x =-，则12||x x -的最小值为（ ） A.π2B. πC. 2πD. 4π【答案】A 【解析】 【分析】用辅助角公式，将()f x 化为正弦型三角函数，利用图像变换关系求出()g x ，再结合函数()g x 图像和性质，即可求解.【详解】()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π24g x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故()g x 的周期为π，且()max g x ()min g x =.因为()()122g x g x ⋅=-，所以()()12g x g x =-=或()()12g x g x =-=12ππ,2x x k k -=+∈N ， 所以12min π||2x x -=. 故选:A【点睛】本题考查函数恒等变换以及图像变换求函数式，考查三角函数的图像及性质，属于中档题.12.奇函数f （x ）在R 上存在导数()f x '，当x ＜0时，()f x '2x-＜f （x ），则使得（x 2﹣1）f （x ）＜0成立的x 的取值范围为（ ） A. （﹣1，0）∪（0，1） B. （﹣∞，﹣1）∪（0，1） C. （﹣1，0）∪（1，+∞） D. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】根据当x ＜0时，fx 2x-＜f （x ）的结构特征，构造函数()()2h x x f x =，求导得()()()(2)h x x xf x f x ''=+，由当x ＜0时，f x 2x-＜f （x ），得()()2h x x f x =在()0-∞，上是减函数，再根据f （x ）奇函数，则()()2h x x f x =也是奇函数，()()2h x x f x =在()0∞，+上也是减函数，又因为函数f （x ）在R 上存在导数f x ，所以函数f （x ）是连续的，所以函数h （x ）在R 上是减函数，并且()h x 与()f x 同号，将（x 2﹣1）f （x ）＜0转化为()21()0x h x -<求解. 【详解】设()()2h x x f x =，所以()()()(2)h x x xf x f x ''=+， 因为当x ＜0时，fx 2x-＜f （x ），即()()20xf x f x '+>，所以()()()(2)0h x x xf x f x ''=+<，所以()()2h x x f x =在()0-∞，上是减函数. 又因为f （x ）奇函数，所以()()2h x x f x =也是奇函数，所以()()2h x x f x =在()0∞，+上也是减函数，又因为函数f （x ）在R 上存在导数f x ，所以函数f （x ）是连续的，所以函数h （x ）在R 上是减函数，并且()h x 与()f x 同号，所以（x 2﹣1）f （x ）＜0()21()0x h x ⇔-<210()0x h x ⎧->⇔⎨<⎩或210()0x h x ⎧-<⎨>⎩解得1x >或10x -<< 故选：C【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若抛物线2:2(0)C x py p =>上的点P 到焦点的距离为8，到x 轴的距离为6，则抛物线C 的方程是_________. 【答案】28x y = 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，可得结果. 【详解】根据抛物线定义，8622p=-=，解得4p =， 故抛物线C 的方程是28x y =. 故答案为：28x y =【点睛】本题考查抛物线的定义，一般来讲，抛物线中焦点和准线伴随出现，属基础题. 14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________． 【答案】63- 【解析】 【分析】首先根据题中所给的21n n S a =+，类比着写出1121n n S a ++=+，两式相减，整理得到12n n a a +=，从而确定出数列{}n a 为等比数列，再令1n =，结合11,a S 的关系，求得11a =-，之后应用等比数列的求和公式求得6S 的值.【详解】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=， 当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，所以66(12)6312S --==--，故答案是63-.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.15.已知三棱锥-A BCD 的四个顶点都在球O 的球面上，且AC =2BD ，===AB BC CD AD O 的表面积_______【答案】4π 【解析】 【分析】根据题中所给的条件，取BD 中点O ，可以得到1OA OB OC OD ====，从而确定出球半径为1，利用球的表面积公式求得结果. 【详解】取BD 中点O ，由AB BC CD AD ====2BD =知1OA OB OC OD ====，∴球半径为1，表面积为4π， 故答案是：4π.【点睛】该题考查的是有关几何体的外接球的问题，涉及到的知识点有球的表面积公式，确定出球心位置是解题的关键. 16.已知R λ∈，函数24,()43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，当2λ=时，不等式()0f x <的解集是_____．若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是___． 【答案】 (1). ()1,4 (2). (]()1,34,+∞【解析】 【分析】分类讨论构造不等式组即可求得()0f x <的解集；分别令两段解析式等于零可求出所有可能的零点，以可能的零点来进行分段可确定符合题意的情况.【详解】由402x x -<⎧⎨≥⎩得：24x ≤<；由24302x x x ⎧-+<⎨<⎩得：12x <<，2λ∴=时，不等式()0f x <的解集为()1,4；令40x -=得：4x =；令2430x x -+=得：1x =或3x =，()f x 恰有两个零点，∴当()4,λ∈+∞时，1x =、3x =是()f x 的两个零点，满足题意；当(]3,4λ∈时，4x =、1x =、3x =是()f x 的三个零点，不合题意； 当(]1,3λ∈时，4x =、1x =是()f x 的两个零点，满足题意； 当(],1λ∈-∞时，4x =是()f x 的唯一零点，不合题意； 综上所述：λ的取值范围为(]()1,34,+∞.故答案为：()1,4；(]()1,34,+∞.【点睛】本题考查利用分段函数解析式求解不等式的问题、根据分段函数零点个数求解参数范围的问题；关键是能够通过所有可能的零点进行分段讨论，找到符合题意的情况.三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 【答案】(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得∠A 的大小； (Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论和三角函数的性质可得sin sin B C +的最大值. 【详解】(Ⅰ)()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++，()()2222a b c b c b c ∴=+++,即222a b c bc =++.2221cos 22b c a A bc +-=-∴=，120A ∴=︒.(Ⅱ)sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒-()1cos sin sin 6022B B B =+=︒+， 060B ︒<<︒，∴当6090B ︒+=︒即30B =︒时，sin sin B C +取得最大值1.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18.2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第二次会议，分别于2019年3月5日和3月3日在北京召开．为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在1575～岁之间的200人进行调查．并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间[)15,35和[]35,75内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”.经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为19:21，其中“青少年人”中有40人关注“两会”，“中老年人”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比是2:1．（1）求图中a ，b 的值；（2）现采用分层抽样在[)25,35和[)45,55中随机抽取8名代表，从8人中任选2人，求2人中至少有1个是“中老年人”的概率是多少？（3）根据已知条件，完成下面的22⨯列联表，并根据此统计结果判断：能否有99.9％的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”？ 关注 不关注 合计 青少年人 中老年人 合计()()()()()22=n ad bc K a b c d a c b d -++++ P (K 2≥k 0)0.500.40…0.0100.0050.001k 0 0.455 0.708 … 6.635 7.879 10.828【答案】（1）0.03250.0175a b =⎧⎨=⎩；（2）1328；（3）22⨯列联表见解析；有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”. 【解析】 【分析】（1）根据“青少年人”和“中老年人”的人数之比，结合频率分布直方图可构造方程求得结果；（2）由分层抽样原则可确定从[)25,35中抽取6人，从[)45,55中抽取2人，采用列举法得到所有基本事件和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式求得结果；（3）利用频率和总数计算得到频数，由此完成22⨯列联表，计算可得212.15710.828K ≈>，由独立性检验的思想可得到结果. 【详解】（1）“青少年人”和“中老年人”的人数之比为19:21，()()190.031040210.021040b a ⎧+⨯=⎪⎪∴⎨⎪+⨯=⎪⎩，解得：0.03250.0175a b =⎧⎨=⎩. （2）由分层抽样原则知：从[)25,35中应抽取0.03860.030.01⨯=+人，从[)45,55中应抽取0.01820.030.01⨯=+人；记从[)25,35中抽取的6人为：,,,,,A B C D E F ；从[)45,55中抽取的2人为,a b .则从8人中任取2人，有(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),A a ，(),A b ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),B a ，(),B b ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),C a ，(),C b ，(),D E ，(),D F ，(),D a ，(),D b ，(),E F ，(),E a ，(),E b ，(),F a ，(),F b ，(),a b ，共28种情况；其中至少有1人是“中老年人”的情况有：(),A a ，(),A b ，(),B a ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，(),D a ，(),D b ，(),E a ，(),E b ，(),F a ，(),F b ，(),a b ，共13种情况，∴所求概率1328p =. （3）“青少年人”共有()2000.01750.031095⨯+⨯=人，“中老年人”共有20095105-=人，则可得22⨯列联表如下：关注不关注合计 青少年人 40 5595中老年人 7035105合计 110 90 200()222004035557012.15710.8289510511090K ⨯⨯-⨯∴=≈>⨯⨯⨯，∴有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”．【点睛】本题考查补全频率分布直方图、分层抽样的应用、古典概型概率问题的求解、独立性检验的应用等知识，是对概率和统计部分知识的综合考查，属于常考题型. 19.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E 是1BB 的中点．（1）求证：截面1AEC ⊥侧面1AC ；（2）若1111AA A B ==，求1B 到平面1AEC 的距离【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）设O ，1O 分别为AC ，11A C 的中点，1AC 与1A C 相交于F ，//EF OB ，OB ⊥侧面1AC ,可得EF ⊥侧面1AC ，截面1AEC ⊥侧面1AC ；（2）求出1AEC 、11B EC 的面积及A 到平面11B BCC ，由1111B AEC A B EC V V --=可得1B 到平面1AEC 的距离.【详解】解：（1）设O ，1O 分别为AC ，11A C 的中点，1AC 与1A C 相交于F ．∵111ABC A B C －是正三棱柱，∴侧面1A C ⊥底面ABC ． ∵O 是正三角形ABC 边AC 的中点，∴OB AC ⊥． ∴OB ⊥侧面1AC ．∵11//OO BB ，11OO BB =，E ，F 是中点， ∴EBOF 是平行四边形．∴//EF OB ，∴EF ⊥侧面1AC ．又EF 平面1AEC ，∴截面1AEC ⊥侧面1AC ． （2）∵1111AA A B ==，则221151()2AE EC ==+=， 221112AC =+=1AEC 的面积为13622⨯=．又因为A 到平面11B BCC 的距离为， 11B EC 的面积为1111224⨯⨯=．设1B 到平面1AEC 的距离为d ， ∵1111B AEC A B EC V V --=， ∴16131334d ⨯⨯=⨯⨯，∴24d =． 即，B 1到平面1AEC 的距离为2． 【点睛】本题主要考查面面垂直及线面垂直的判定定理及三棱锥体积的计算，属于中档题，注意灵活运用三棱锥的性质及面面垂直的判定定理解题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，12||2F F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.（1）求C 的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得·PM PB 为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12,22143x y +=； （2）存在点P ，且0118x =.【解析】 【分析】（1）由已知条件得1c =，2a =，即可计算出离心率和椭圆方程（2）假设存在点P ，分别求出直线BM 的斜率不存在、直线BM 的斜率存在的表达式，令其相等，求出结果【详解】（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =， 又2ABF ∆的周长为8，所以48a =，即2a =， 则12c e a ==，2223b a c =-=. 故C 的方程为22143x y +=.（2）假设存在点P ，使得·PM PB 为定值.若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2M ⎛⎫-⎪⎝⎭， 则()209·14PM PB x =--. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为()1y k x =-，设点()11,B x y ，()22,M x y ，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=， 根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 由于()202,PM x x y =-，()101,PB x x y =-， 则()212120012•PM PB x x x x x x y y =-+++()()()()22200022221201202485312143x x k x k x x x k x x k x k --+-=+-++++=+因为·PM PB 为定值，所以2200048531243x x x ---=， 解得0118x =，故存在点P ，且0118x =. 【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及定值问题，在解答定值问题时先假设存在，分别求出斜率不存在和斜率存在情况下的表达式，令其相等求出结果，此类题型的解法需要掌握 21.设函数()sin xf x e m x n =-+（其中 2.71828e ≈⋯，m ，n 为常数）（1）当1m =时，对()0,x ∈+∞有()0f x >恒成立，求实数n 的取值范围；（2）若曲线()y f x =在0x =处的切线方程为10x y --=，函数()()2g x xf x x =+-的零点为0x ，求所有满足[]0,1x k k ∈+的整数k 的和． 【答案】（1）[)1,-+∞；（2）2-. 【解析】 【分析】（1）由()0f x '>恒成立可知()f x 单调递增，由此得到()()010f x f n >=+≥，进而求得结果；（2）由切线方程可确定()0f '和()0f ，从而构造方程求得,m n ；将()0g x =化为()210x h x e x=--=，由()h x '可确定()h x 单调性，利用零点存在定理可求得零点所在区间，进而得到k 所有可能的取值，从而求得结果.【详解】（1）当1m =时，()sin xf x e x n =-+，()cos 0xf x e x '∴=->，当0x >时，e 1x >，[]cos 1,1x ∈-，()0f x '∴>对任意的()0,x ∈+∞都成立，()f x ∴在()0,∞+单调递增，()()01f x f n ∴>=+，要使得对()0,x ∈+∞有()0f x >恒成立，则10n +≥，解得：1n ≥-， 即n 的取值范围为[)1,-+∞. （2）()cos x f x e m x '=-，()011f m '∴=-=，解得：0m =，又()011f n =+=-，2n ∴=-，()2xf x e ∴=-，()2xg x xe x =--，显然0x =不是()g x 的零点，20x xe x ∴--=可化为210xe x--=， 令()21xh x e x =--，则()220x h x e x'=+>，()h x ∴在(),0-∞，()0,∞+上单调递增. 又()130h e =-<，()2220h e =->，()311303h e -=-<，()2120h e-=>，()h x ∴在()3,2--，()1,2上各有1个零点，()g x ∴在[]3,2--，[]1,2上各有1个零点，∴整数k 的取值为3-或1，∴整数k 的所有取值的和为312-+=-.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到恒成立问题的求解、由切线方程求解函数解析式、函数零点问题的求解；求解整数解的关键是能够通过构造函数的方式，结合零点存在定理确定零点所在区间.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：12cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）已知点(2,0)P -，直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求11||||PA PB +的值. 【答案】（1）曲线C 的普通方程22(1)4x y ++=，l 的直角坐标方程20x y -+=（23【解析】 【分析】(1)直接利用转换关系式,将参数方程,极坐标方程和直角坐标方程进行转换; (2)将直线的普通方程化为参数方程,再利用参数的几何意义结合韦达定理求解.【详解】(1)已知曲线C :12cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩(α为参数), 则曲线C 的普通方程22(1)4x y ++=, 直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 则l 的直角坐标方程20x y -+=;(2)直线l的参数方程为222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数)代入曲线C :22(1)4x y ++=,化简得230t --=设A ,B 对应的参数分别为1t ,2t ,则12t t +=,123t t =-, 所以12121212121111|||||t t t t PA PB t t t t t t +-+=+==3==. 【点睛】本题考查参数方程,极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,考查直线参数方程的应用,难度不大.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()|4||1|f x x x =-+-，x ∈R .（1）解不等式：()5f x ≤；（2）记()f x 的最小值为M ，若实数a ，b 满足22a b M +=，试证明：22112213a b +≥++. 【答案】（1）{}|05x x ≤≤（2）证明见解析【解析】【分析】(1)先将()f x 化为分段函数形式,然后根据()5f x ,分别解不等式即可;(2)由(1)可得min ()3f x M ==,从而得到223a b +=,再利用基本不等式求出221121a b +++的最小值. 【详解】(1)()|4||1|f x x x =-+-25,43,1425,1x x x x x ->⎧⎪=⎨⎪-+<⎩. ()5f x ,∴2554x x -⎧⎨>⎩或14x 或2551x x -+⎧⎨<⎩, 45x ∴<或14x 或01x <,05x ∴,∴不等式的解集为{|05}x x ;(2)因为()|4||1||(4)(1)|3f x x x x x =-+-≥-+-=(当且仅当14x ≤≤等号成立), 所以()f x 的最小值3M =,即223a b +=,所以()()222222111112121216a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++⨯ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ 22221212216b a a b ⎛⎫++=++⨯ ⎪++⎝⎭1(26≥+⨯ 23=(当且仅当21a =,22b =等号成立). 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值,属于中档题.。
2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷(文科)(有解析)
2020年宁夏银川一中高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|2x2+x>0}，B={x|2x+1>0}，则A∩B=()A. {x|x>−12} B. {x|x>12} C. {x|x>0} D. R2.已知i是虚数单位，复数z1=3−4i.若在复平面内，复数z1与z2所对应的点关于虚轴对称，则z1·z2=()A. −25B. 25C. −7D. 73.下列函数中与函数y=12|x|的奇偶性相同且在区间(0,+∞)上单调递增的函数是()A. y=1x B. C. y=√|x| D. y=1x24.已知|a⃗|=1，b⃗ =(0,2)，且a⃗·b⃗ =1，则向量a⃗与b⃗ 夹角的大小为()A. π6B. π4C. π3D. π25.一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员人数为()A. 12B. 10C. 8D. 66.如图所示为某几何体的三视图，正视图是高为1，长为2的长方形；侧视图是高为1，底为32的直角三角形；俯视图为等腰三角形，则几何体的体积为()A. 12B. 1 C. 32D. 37.已知sin(π3−α)=13，则sin(π6−2α)=()A. −79B. 79C. ±79D. −298.已知数列{a n}是等差数列，S n是其前n项和，且S7=21，则a4等于()A. 1B. 2C. 3D. 69.函数f(x)=x22x−2−x的大致图象为()A. B.C. D.10.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若C=30°，b=3，△ABC的面积为3√34，则c=()A. 1B. 2C. √32D. √311.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点B与两焦点F1、F2构成等边三角形，则此椭圆的离心率为()A. 15B. √34C. √33D. 1212.已知f(x)满足f(x)+f(y)=f(xy)，且f(5)=m，f(7)=n，即f(175)=()．A. 2mnB. m+2nC. m+nD. 2m+n二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{x≥0x+y−3≥0x−2y≤0，则z=x+2y的取值范围是______．14.函数y=f(x)的图象在点P(3,f(3))处的切线方程为y=12x+2，f′(x)为f(x)的导函数，则f(3)+ f′(3)=______．15.双曲线Γ：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．16.如图所示在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD为正三角形，则△BCD的面积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足S4=2a4−1，S3=2a3−1．(1)求{a n}的通项公式；)，求b1+b2+⋯+b n的最大值．(2)记b n=log√2(16S n+118.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=π，D为AC中点，E为2BC上一点，且∠CDE=∠ABC．(1)求证：DE⊥平面BCC1B1；(2)若AA1=AC=2AB=2，求三棱锥D−BCB1的体积．19.2017年9月13日，国际奥委会在秘鲁首都利马举行的第131次全会上，最终确定巴黎为2024年夏季奥运会举办地、洛杉矶为2028年夏季奥运会举办地．一次会议决定两届奥运会的举办地是很少见的，原因是无国家申请举办2028年奥运会．某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：(1)根据已有数据，把表格数据填写完整；(2)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？(3)已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.已知抛物线C：x2=2y，过点A(0,1)且互相垂直的两条动直线l1，l2与抛物线C分别交于P，Q和M，N．(1)求四边形MPNQ面积的取值范围；(2)记线段PQ和MN的中点分别为E，F，求证：直线EF恒过定点．21.已知函数f(x)=e x−ax−1．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)是否存在实数a，使f(x)在(−2,3)上为减函数？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．22.已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：{x=4cos 2θy=4sin2θ(θ为参数)，C2：{x=t+1ty=t−1t(t为参数)．(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−m|+|x+1|(m∈R)的最小值为4．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈(0,+∞)，且a+2b+3c=m，求证：1a +12b+13c≥3．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A={x|x<−12,或x>0},B={x|x>−12}；∴A∩B={x|x>0}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：A解析：由题意可知z2=−3−4i，再利用复数的运算法则即可得出．解：由题意可知z2=−3−4i，所以z1z2=(3−4i)(−3−4i)=−16−9=−25．故选A．3.答案：C解析：本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．因为函数y=12|x|为偶函数，故排除A，再检验其他选项的单调性即可．解：函数f(x)=12|x|=f(−x)为偶函数，故排除A，y=cosx在区间(0,+∞)上有增有减，不符合题意，故排除B；y=√|x|在区间(0,+∞)上单调递增，符合题意；y=1x2在区间(0,+∞)上为减函数，不符合题意，故排除D．故选C．4.答案：C解析：由b⃗ =(0,2)可知，|b⃗ |=2，由向量夹角的公式求解即可．解：由b⃗ =(0,2)可知，|b⃗ |=2，，又夹角的范围为[0,π]，所以夹角为π3，故选C．5.答案：D解析：本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是解题的关键．设抽取的女运动员人数为x，根据在分层抽样中，在各部分抽取的比例相等求得x．解：设抽取的女运动员人数为x，∵在分层抽样中，抽取的比例相等，∴856=x42⇒x=6．故选：D．6.答案：B解析：解：∵正视图是高为1，长为2的长方形；侧视图是高为1，底为32的直角三角形；俯视图为等腰三角形，可得如图的四棱锥P−ABCD．平面ABCD⊥平面PCD，由正视图和俯视图可知AD=1，CD=2，P到面ABCD的距离为32．∴四棱锥P−ABCD.的体积为V=13×S ABCD×ℎ=13×1×2×32=1．故选：B．画出其直观图，判断几何体的高，计算底面面积，代入体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量．7.答案：A解析：解：∵sin(π3−α)=cos[π2−(π3−α)]=cos(π6+α)=13，∴sin(π6−2α)=cos[π2−(π6−2α)]=cos[2(π6+α)]=2cos2(π6+α)−1=2×19−1=−79．故选：A．由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8.答案：C解析：本题考查等差数列前n项和的性质.属于基础题．利用S7=7a4=21，即可求出结果．解：∵数列{a n}是等差数列，且S7=21，∴7a4=21，∴a4=3．故选C．9.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性，由函数为奇函数排除B，D，又由f(2)=1615>1，排除C，即可求解．解：因为f(−x)=(−x)22−x−2x=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除B，D，又f(2)=44−14=1615>1，排除C．故选A．10.答案：D解析：解：在△ABC中，由题意可得：S=12absinC，∴3√34=12×3asin30°，解得a=√3．∴c2=a2+b2−2abcosC=3+9−6√3×√32=3，解得c=√3．故选：D．利用三角形面积计算公式可得a，再利用余弦定理即可得出c．本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：D解析：本题考查椭圆的简单性质，求得|BF1|=a是关键，属于中档题．利用椭圆的性质知|F1F2|=2c，|BF1|=a，从而可求此椭圆的离心率．解：依题意，作图如下：∵|F1F2|=2c，|BE|=√OF12+OB2=√c2+b2=a，△BF1F2为等边三角形，|BF1|=|F1F2|=2c，a=2c，∴离心率e =c a =12． 故选：D ．12.答案：D解析：因为f(x)+f(y)=f(xy)，所以f(175)=f(25×7)=f(25)+f(7)=f(5×5)+f(7)=2f(5)+f(7)=2m +n ．13.答案：[4,+∞)解析：解：x ，y 满足约束条件{x ≥0x +y −3≥0x −2y ≤0，表示的可行域如图：目标函数z =x +2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由{x +y −3=0x −2y =0解得C(2,1)， 目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4,+∞)． 故答案为：[4,+∞)．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．14.答案：4解析：本题主要考查导数的基本运算，根据导数的几何意义是解决本题的关键，属于基础题． 根据导数的几何意义，即可得到结论．解：∵函数y =f(x)的图象在点P(3,f(3))处的切线方程为y =12x +2， ∴f(3)=12×3+2=72，f ′(3)=12， 即f(3)+f ′(3)=72+12=4， 故答案为：4．15.答案：8解析：本题考查了双曲线的性质及几何意义，由焦点到渐近线的距离为3，得√b2+a2=b=3，又2c=10，即c=5，所以a=√c2−b2=√52−32=4，从而得出结果．解：其中一条渐近线方程为y=bax，即bx−ay=0，因为焦点到渐近线的距离为3，得√b2+a2=b=3，又2c=10，即c=5，所以a=√c2−b2=√52−32=4，所以实轴长为2a=8，故答案为8．16.答案：√3+1解析：本题考查三角形的面积的最值的求法，注意运用余弦定理和面积公式，同时考查基本不等式的运用，属于中档题．运用余弦定理，表示出AC，进而用三角函数表示出S△BCD．解：在△ABC中，设∠ACB=α，∠ABC=β，由余弦定理得：AC2=12+22−2×1×2cosα=5−4cosα，∵△ACD为正三角形，∴CD2=5−4cosα，由正弦定理得：1sinβ=ACsinα，∴AC⋅sinβ=sinα，∴CD ⋅sinβ=sinα，∵(CD ⋅cosβ)2=CD 2(1−sin 2β)=CD 2−sin 2α=5−4cosα−sin 2α=(2−cosα)2， ∵β<∠BAC ，∴β为锐角，CD ⋅cosβ=2−cosα，∴S △BCD =12⋅2⋅CD ⋅sin(π3+β)=CD ⋅sin(π3+β) =√32CD ⋅cosβ+12CD ⋅sinβ=√32⋅(2−cosα)+12sinα=√3+sin(α−π3)，当α=5π6时，(S △BCD )max =√3+1．故答案为√3+1．17.答案：解：(1)设{a n }的公比为q ，由S 4−S 3=a 4得，2a 4−2a 3=a 4，所以a4a 3=2，所以q =2．又因为S 3=2a 3−1所以a 1+2a 1+4a 1=8a 1−1，所以a 1=1． 所以a n =2n−1． (2)由(1)知，S n =1−2n 1−2=2n −1，所以b n =log √2(16Sn +1)=2log 224−n =8−2n ，b n −b n−1=−2，所以{b n }是首项为6，公差为−2的等差数列， 所以b 1=6，b 2=4，b 3=2，b 4=0，当n >5时b n <0， 所以当n =3或n =4时，b 1+b 2+⋯+b n 的最大值为12．解析：(1)设{a n }的公比为q ，由S 4−S 3=a 4得，2a 4−2a 3=a 4，可得a4a 3=2=q ，由S 3=2a 3−1，可得a 1+2a 1+4a 1=8a 1−1，解得a 1.即可得出． (2)由(1)知，S n =1−2n 1−2=2n −1，可得b n =log √2(16Sn +1)=2log 224−n =8−2n ，b n −b n−1=−2，利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列与等差数列的通项公式与求和公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：(1)证明：∵ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，∴B 1B ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面ABC ，∴B 1B ⊥DE ， ∵∠CDE =∠ABC ，∠DCE =∠BCA ， ∴△EDC∽△ABC ，∴∠DEC =∠BAC =π2，即DE ⊥BC ，又B1B∩BC=B，∴DE⊥平面BCC1B1；(2)S△BCD=S△ABC−S△ABD=12×1×2−12×1×1=12，∵B1B⊥平面ABC，∴B1B为三棱锥B1−BCD的高，∴由等体积可得三棱锥D−BCB1的体积=13×12×2=13．解析：本题考查线面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确利用线面垂直的判定是关键．(1)证明：B1B⊥DE，DE⊥BC，即可证明DE⊥平面BCC1B1；(2)利用等体积法，求三棱锥D−BCB1的体积．19.答案：解：(1)根据题意，填写列联表如下：(2)根据表中数据，计算K2=100×(20×10−10×60)280×20×30×70≈4.762>3.841；∴能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关；(3)记抽取的5人分别为A、B、c、d、e，其中A、B为教师；从这5人中任意抽取3人，所以可能的基本事件是：ABc、ABd、ABe、Acd、Ace、Ade、Bcd、Bce、Bde、cde共10个；其中至多1位教师有7个基本事件，为Acd、Ace、Ade、Bcd、Bce、Bde、cde；故所求的概率值是P=710．解析：本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．(1)根据题意填写列联表即可；(2)根据表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；(3)利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．20.答案：解：(1)由题意可知两直线l1，l2的斜率一定存在，且不等于0．设l1：y=kx+1(k≠0)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则l2：y=−1kx+1(k≠0)．联立直线l1与抛物线的方程，有{y=kx+1,x2=2y,⇒x2−2kx−2=0．其中Δ=4k2+8>0，由韦达定理，有{x1+x2=2k, x1x2=−2.由上可得|PQ|=√1+k2|x1−x2|=√(1+k2)(8+4k2)，同理|MN|=√(1+1k )(8+4k)，则四边形MPNQ面积S=12|PQ||MN|=12√(2+k2+1k2)(80+32k2+32k2)．令k2+1k2=t≥2，则S=12√(2+t)(80+32t)=√8t2+36t+40．所以，当且仅当t=2，即k=±1时，S取得最小值12，且当t→+∞时，S→+∞．故四边形MPNQ面积的范围是[12,+∞)．(2)由(1)有x1+x2=2k，y1+y2=2k2+2，所以PQ的中点E的坐标为(k,k2+1)，同理点F的坐标为(−1k ,1k2+1)．于是，直线EF的斜率为k EF=k 2+1−(1k2+1)k+1k=k2−1k2k+1k=k−1k．则直线EF的方程为：y−(k2+1)=(k−1k )(x−k)⇒y=(k−1k)x+2．所以直线EF恒过定点(0,2)．解析：本题主要考查抛物线及其性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等数学思想．属于中档题．(1)设出直线l1，l2的方程，分别与抛物线联立，利用弦长公式求出|PQ|，|MN|的长度，写出四边形MPNQ的面积，利用换元法和二次函数的性质求出四边形MPNQ面积的取值范围；(2)由(1)分别求出点E和点F的坐标，写出直线EF的方程，判定出无论k取何值，直线EF恒过的定点．21.答案：解f′(x)=e x−a，(1)若a≤0，则f′(x)=e x−a≥0，即f(x)在R上递增，若a>0，e x−a≥0，∴e x≥a，x≥ln a．因此f(x)的递增区间是[lna,+∞)．(2)由f′(x)=e x−a≤0在(−2,3)上恒成立．∴a≥e x在x∈(−2,3)上恒成立．又∵−2<x<3，∴e−2<e x<e3，只需a≥e3．当a=e3时f′(x)=e x−e3在x∈(−2,3)上，f′(x)<0，即f(x)在(−2,3)上为减函数，∴a≥e3．故存在实数a≥e3，使f(x)在(−2,3)上单调递减．解析：(1)先求出函数的导数，再讨论①若a≤0，②若a>0的情况，从而求出单调区间；(2)由f′(x)=e x−a≤0在(−2,3)上恒成立．从而a≥e x在x∈(−2,3)上恒成立，从而f(x)在(−2,3)上为减函数，得a≥e3.故存在实数a≥e3，使f(x)在(−2,3)上单调递减．本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的范围，是一道基础题．22.答案：解：(1)对于C1：x+y=4cos2θ+4sin2θ=4，即x+y=4，x⩾0,y⩾0，对于C2：x2=t2+1t2+2，y2=t2+1t2−2，即有：x2−y2=4，(2)联立C1，C2，可得P点坐标为(52,32 )，设圆心为(a,0)a>0，则：a2=(52−a)2+94，即a=1710，则圆的直角坐标方程为：(x−1710)2+y2=(1710)2转换为极坐标方程为：ρ=175cosθ．解析：本题主要考查参数方程化为直角坐标方程以及圆的极坐标方程．23.答案：解：(1)f(x)=|x −m|+|x +1|≥|(x −m)−(x +1)|=|m +1|，所以|m +1|=4，解得m =−5或m =3． (2)由题意，a +2b +3c =3．于是1a +12b +13c =13(a +2b +3c)(1a +12b +13c ) =13(3+2b a +a 2b +3c a+a 3c +3c 2b +2b 3c )≥13(3+2√2b a ⋅a 2b +2√3c a ⋅a 3c +2√3c 2b ⋅2b3c )=3，当且仅当a =2b =3c 时等号成立，即a =1，b =12，c =13时等号成立， 故1a +12b +13c ≥3．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题． (1)根据绝对值不等式的性质得到关于m 的方程，解出即可； (2)求出a +2b +3c =3，根据基本不等式的性质证明即可．。
2020年宁夏高考文科科数学仿真模拟试题一(附答案)
A. 2 3 9
B. 3 18
C. 2 3 27
D.
3
54
10. 已知函数 f ( x) sin x cos x（
0 ），若 y f ( x ) 的图象与 y f ( x ) 的图象重
3
6
合，记 的最小值为 0 ，函数 g ( x)
A. [
2 k,
6
3
C. [
k,
12 2 3
k ]（ k Z） k ]（k Z） 2
∵ VF OAD 1 3
111
1
1
，
2
6
VOAD EBC
1
1
11 1 ，
2
2
11 2
∴该五面体的体积为： VF OAD VOAD EBC
62
.
3
19. （ 1）因为 r
8
i 1 xi x yi y
8
2
i 1 xi x
8
2
i 1 yi y
3953 1340 111
3953 37 111
0.96 .
所以气温与当天热饮销售杯数的负相关很强
（ ii ）记 [ x] 为不超过 x 的最大整数，如 [1,5] 1 ， [ 4,9] 5 . 对于（ i ）中求出的线性回归方程
y b?x a?，将 y [bx?] [a] ? 视为气温与当天热饮销售杯数的函数关系 . 已知气温 x 与当天热饮每杯
的销售利润 f x 的关系是 f ( x)
x7 2
xi x yi y
i1
i1
i1
3953.
x
15 ， y
100
，
2
36
1296
，
【精校】2020年宁夏银川一中高考一模数学文
2020年宁夏银川一中高考一模数学文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-1，1，3}，B={1，a 2-2a}，B ⊂A ，则实数a 的不同取值个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5解析：∵B ⊂A ，∴a 2-2a=-1或a 2-2a=3.①由a 2-2a=-1得a 2-2a+1=0，解得a=1. 当a=1时，B={1，-1}，满足B ⊂A.②由a 2-2a=3得a 2-2a-3=0，解得a=-1或3， 当a=-1时，B={1，3}，满足B ⊂A ， 当a=3时，B={1，3}，满足B ⊂A. 综上，若B ⊂A ，则a=±1或a=3. 答案：B2.已知z 是纯虚数，21+-z i是实数，那么z 等于( ) A.2i B.i C.-i D.-2i解析：由题意得z=ai.(a ∈R 且a ≠0). ∴()()()()()212221112++-+++==--+z i a a iz i i i ， 则a+2=0，∴a=-2.有z=-2i. 答案：D3.已知函数()2log 0()()30⎧=⎨≤⎩＞x x x f x x ，则14⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦f f 的值是( ) A.9B.19C.19-D.-9 解析：因为14＞0，所以()()22221log 22311log 449--⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝===-=⎭⎣⎦=f f f f f .答案：B4.已知x 、y 满足约束条件1000+-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩x y x y x 则 z=x+2y 的最大值为( )A.-2B.-1C.1D.2解析：作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论. 作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+2y 得1122=-+y x z ， 平移直线1122=-+y x z 由图象可知当直线1122=-+y x z 经过点A 时，直线1122=-+y x z 的截距最大，此时z 最大， 由010=⎧⎨+-=⎩x x y ，即01=⎧⎨=⎩x y ，即A(0，1)，此时z=0+2=2. 答案：D5.已知直线ax+by+c=0与圆O ：x 2+y 2=1相交于A ，B 两点，且则u uuu r ur g OB OA 的值是( )A.12- B.12 C.34-D.0解析：取AB 的中点C ，连接OC ，AC=2，OA=1，∴sin s 122in ∠=∠==⎛⎫⎪⎝⎭AC AOB AOC OA ， ∴∠AOB=120°，则1121120=⨯⨯︒=-uu u u u r r g OA cos OB .答案：A6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.96π-1)π-1)π解析：由三视图可知几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的，圆锥的底面半径为2，高为2，∴圆锥的母线长为，∴几何体的平面部分面积为6×42-π×22=96-4π，圆锥的侧面积为π×2×π，∴几何体的表面积为96-4ππ.答案：C7.已知角φ的终边经过点P(-4，3)，函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则f(4π)的值为( ) A.35 B.45 C.35-D.45-解析：由条件利用任意角的三角函数的定义求得cos φ和sin φ的值，再根据周期性求得ω的值，再利用诱导公式求得f(4π)的值. 由于角φ的终边经过点P(-4，3)，可得cos φ=45-，sin φ=35. 再根据函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π， 可得周期为2222ππ=⨯，求得ω=2， ∴f(x)=sin(2x+φ)， ∴4sin cos 425ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f . 答案：D8.已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是( )A.求数列{1n}的前10项和(n∈N*)B.求数列{12n}的前10项和(n∈N*)C.求数列{1n}的前11项和(n∈N*)D.求数列{12n}的前11项和(n∈N*)解析：经过分析本题为考查程序框图当型循环结构，按照循环体的特点先判断出数列，然后根据判断框的语句判断出计算的项数.根据题意，s=s+1n，n=n+2∴数列为{12n}又∵K≤10∴计算的是求数列{12n}的前10项和(n∈N*).答案：B9.某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天.甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是( )A.2日和5日B.5日和6日C.6日和11日D.2日和11日解析：由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等， 所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5， 据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日. 答案：C10.设函数f(x)=ln(1+|x|)-211+x ，则使得f(x)＞f(2x-1)成立的x 的取值范围是( ) A.(-∞，13)∪(1，+∞) B.(13，1) C.(13-，13)D.(-∞，13-，)∪(13，+∞)解析：根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论.∵函数f(x)=ln(1+|x|)-211+x 为偶函数， 且在x ≥0时，f(x)=ln(1+x)-211+x ， 导数为f ′(x)()2120112+++＞x x x ， 即有函数f(x)在[0，+∞)单调递增，∴f(x)＞f(2x-1)等价为f(|x|)＞f(|2x-1|)， 即|x|＞|2x-1|，平方得3x 2-4x+1＜0， 解得：13＜x ＜1， 所求x 的取值范围是(13，1). 答案：B11.设F 1，F 2是双曲线22221-=x y a b(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220+=uu u r uuu r u g uu rOP OF F P (O 为坐标原点)，且|PF 12|，则双曲线的离心率为( )A.12C.12解析：取PF 2的中点A ，则22+=uu u r uuu r uu rOP OF OA ， ∵()220+=uu u r uuu r u g uu rOP OF F P ，∴220=u r g u uuu rOA F P ， ∴2⊥uu r uuu r OA F P ，∵O 是F 1F 2的中点 ∴OA ∥PF 1， ∴PF 1⊥PF 2，∵|PF 1|PF 2|，∴2a=|PF 1|-|PF 2-1)|PF 2|， ∵|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2， ∴c=|PF 2|，∴1===c e a . 答案：D12.若函数f(x)=x 3-3x 在(a ，6-a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A.(1)B.[1)C.[-2，1)D.(-2，1)解析：根据题意求出函数的导数，因为函数 f(x)在区间(a ，6-a 2)上有最小值，所以f ′(x)先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a ＜1＜5-a 2，进而求出正确的答案.由题意可得：函数f(x)=x 3-3x ，所以f ′(x)=3x 2-3.令f ′(x)=3x 2-3=0可得，x=±1，因为函数f(x)在区间(a ，6-a 2)上有最小值，其最小值为f(1)，所以函数f(x)在区间(a ，6-a 2)内先减再增，即f ′(x)先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a ＜1＜6-a 2，且f(a)=a 3-3a ≥f(1)=-2，且6-a 2-a ＞0， 联立解得：-2≤a ＜1.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线y=x 2+1x在点(1，2)处的切线方程为 . 解析：求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可. 曲线y=x 2+1x ，可得y ′=2x-21x， 切线的斜率为：k=2-1=1.切线方程为：y-2=x-1，即：x-y+1=0. 答案：x-y+1=014.已知P 是△ABC 所在平面内一点，20++=uu r uu u r uu rPB PC PA ，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC 内的概率是 .解析：根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点.再根据几何概型公式，将△PBC 的面积与△ABC 的面积相除可得本题的答案.以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则+=uu r uu u r uu u rPB PC PD ， ∵20++=uu r uu u r uu rPB PC PA ，∴2+=-uu r uu u r uu r PB PC PA ，得：2=-uu u r uu r PD PA ，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点， 点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12， ∴S △PBC =12S △ABC . 将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为12==V V PBC ABC S P S . 答案：1215.对于数列{a n }，定义数列{a n +1-a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1=1，{a n }的“差数列”的通项公式为a n+1-a n =2n ，则数列{a n }的前n 项和S n = . 解析：∵a n+1-a n =2n ，∴a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+(a n-2-a n-3)+…+(a 2-a 1)+a 1 =2n-1+2n-2+2n-3+…+2+1=1212--n =2n-1，∴数列{a n }的前n 项和：S n =(2+22+ (2))-n =()21212---n n=2n+1-n-2.答案：2n+1-n-216.已知抛物线C ：y 2=2px(p ＞0)的焦点为F ，过点F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则AF BF的值等于 .解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 12=2px 1，y 22=2px 2，1228sin 23θ=++==p AB x x p p ，即有1253+=x x p ，由直线l 倾斜角为60°，则直线l的方程为：20⎫-=-⎪⎭p y x ，即2=-y p ，联立抛物线方程， 消去y 并整理，得 12x 2-20px+3p 2=0，则2124=p x x ，可得132=x p ，216=x p ，则312211236+==+p p AF BF p p.答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分.第17~21题为必考题，每小题12分，共60分；第22、23题为选考题，有10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，x ∈R ，(其中A ＞0，ω＞0，22ππϕ-＜＜)，其部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式.解析：(1)根据图象，可得函数的最小正周期T=8，结合周期公式得ω=4π.再根据f(1)=1是函数的最大值，列式可解出φ的值，得到函数f(x)的解析式. 答案：(1)由图可知，最小正周期T=(3-1)×4=8，所以24ππω==T . 又∵当x=1时，f(x)有最大值为1，∴f(1)=sin(4π+φ)=1，得242ππϕπ+=+k ，∴取k=0，得φ=4π.所以函数的解析式为()sin 44ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x .(2)已知横坐标分别为-1、1、5的三点M 、N 、P 都在函数f(x)的图象上，求sin ∠MNP 的值. 解析：(2)由(1)的解析式，得出M 、N 、P 三点的坐标，结合两点的距离公式得到MN 、PN 、PM 的长，用余弦定理算出cos ∠MNP 的值，最后用同角三角函数平方关系，可得sin ∠MNP 的值.答案：(2)∵f(-1)=0，f(1)=1且()5sin 5144ππ⎛⎫=⨯+=-⎪⎝⎭f .∴三点坐标分别为M(-1，0)，N(1，1)，P(5，-1)，由两点的距离公式，得， ∴根据余弦定理，得3cos5∠==-MNP .∵∠MNP ∈(0，π)∴sin ∠MNP 是正数，得4sin 5∠==MNP .18.如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD ，M 为AB 的中点，△PAD 为等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD.(1)证明：PM⊥BC.解析：(1)取AD中点O，连接PO，OM，DM，证明BC⊥平面POM，可得PM⊥BC. 答案：(1)证明：取AD中点O，连接PO，OM，DM，由已知得PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BC，∵∠DAB=60°，AB=2AD，∴△ADM是正三角形，∴OM⊥AD，OM∥BD，OM=12 BD，∴OM⊥BC∵PO∩OM=O，∴BC⊥平面POM，∵PM⊂平面POM，∴PM⊥BC.(2)若PD=1，求点D到平面PAB的距离.解析：(2)若PD=1，利用V P-ABD=V D-PAB，可求点D到平面PAB的距离. 答案：(2)∵PD=1，∠DAB=60°，AB=2AD=2PD=2，∴△ABD是直角三角形，BD⊥AD，∴∵PO=2，∴1134 -==VgP ABO ABDV S PO，设点D到平面P取AB的距离为h，由BD⊥AD，BD⊥PO，∴BD⊥平面ABD，∴BD ⊥PD ，∴△PBD 是直角三角形， ∴PB=2，在△PBD 中，PA=1，AB=PB=2， ∴△PBD 是等腰三角形，∴S △PAB =4， ∴由V P-ABD =V D-PAB ，可得41134gh ，∴h=5，∴点D 到平面PAB .19.为了解某市民众对某项公共政策的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，做出了他们的月收入(单位：百元，范围：[15，75])的频率分布直方图，同时得到他们月收入情况以及对该项政策赞成的人数统计表：(1)求月收入在[35，45)内的频率，并补全这个频率分布直方图，并在图中标出相应纵坐标. 解析：(1)根据频率的定义，以及频率直方图的画法，补全即可.答案：(1)1-0.01×10×3-0.02×10×2=0.3(2)根据频率分布直方图估计这50人的平均月收入.解析：(2)根据平均数的定义，求出平均数，并用样本估计总体即可.答案：(2)20×0.1+30×0.2+40×0.3+50×0.2+60×0.1+70×0.1=43(百元)即这50人的平均月收入估计为4300元.(3)若从月收入(单位：百元)在[65，75]的被调查者中随机选取2人，求2人都不赞成的概率.解析：(3)根据古典概型概率公式，分别列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，计算即可.答案：(3)[65，75]的人数为5人，其中2人赞成，3人不赞成.记赞成的人为a，b，不赞成的人为x，y，z任取2人的情况分别是：ab，ax，ay，az，bx，by，bz，xy，xz，yz共10种情况.其中2人都不赞成的是：xy，yz，xz共3种情况.∴2人都不赞成的概率是P=3 10.20.已知椭圆22221+=x y a b(a ＞b ＞0)的离心率e=2，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程.解析：(1)由离心率求得a 和c 的关系，进而根据c2=a2-b2求得a 和b 的关系，进而根据12×2a ×2b=4求得a 和b ，则椭圆的方程可得. 答案：(1)由32==c e a ，得3a 2=4c 2. 再由c 2=a 2-b 2，解得a=2b. 由题意可知12×2a ×2b=4，即ab=2. 解方程组22=⎧⎨=⎩a b ab ，得21=⎧⎨=⎩a b .所以椭圆的方程为2214+=x y .(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ，已知点A 的坐标为(-a ，0)，点Q(0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且4=uu u rguu r OB OA ，求y 0的值. 解析：(2)由(1)可求得A 点的坐标，设出点B 的坐标和直线l 的斜率，表示出直线l 的方程与椭圆方程联立，消去y ，由韦达定理求得点B 的横坐标的表达式，进而利用直线方程求得其纵坐标表达式，表示出|AB|进而求得k ，则直线的斜率可得.设线段AB 的中点为M ，当k=0时点B 的坐标是(2，0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，进而根据4=uu u rguu r OB OA 求得y 0；当k ≠0时，可表示出线段AB 的垂直平分线方程，令x=0得到y 0的表达式根据4=uu u rguu r OB OA 求得y 0；综合答案可得.答案：(2)由(Ⅰ)可知点A 的坐标是(-2，0). 设点B 的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k. 则直线l 的方程为y=k(x+2).于是A 、B 两点的坐标满足方程组()22214⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y k x x y ，消去y 并整理，得(1+4k 2)x 2+16k 2x+(16k 2-4)=0，由212164214--=+k x k ，得2122814-=+k x k ，从而12414=+ky k ，所以2222228421414⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-=--+=+⎝⎭+k k AB k k 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为(22814-+k k ，2214+kk). 以下分两种情况：①当k=0时，点B 的坐标是(2，0)， 线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是uu r QA =(-2，-y 0)，uu u rQB =(2，-y 0).由4=uu u rguu r OB OA ，得y 0=±. ②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为2222181414-=-+++⎛⎫⎪⎝⎭k k y x k k k . 令x=0，解得y 0=2614-+kk. 由uu r QA =(-2，-y 0)，uu u rQB =(x 1，y 1-y 0)，得()()210102222228646214141414--=---=++++⎛⎫ +⎪+⎝⎭uu r uu u r g k k k k QA QB x y y y k k k k ()()4222416151414+-==+k k k ，整理得7k 2=2，故k=7±， 所以y 0=综上，y 0=±或y 0=5±.21.已知函数f(x)=ax 3-x 2+bx(a ，b ∈R ，f ′(x)为其导函数，且x=3时f(x)有极小值-9.(1)求f(x)的单调递减区间.解析：(1)先求出函数的导数，得到方程组，求出a ，b ，从而求出函数表达式，进而求出函数的单调区间.答案：(1)由f ′(x)=3ax 2-2x+b ，因为函数在x=3时有极小值-9，所以276027939-+=⎧⎨-+=-⎩a b a b ，从而得133=-⎧=⎪⎨⎪⎩b a ，所求的f(x)=13x 3-x 2-3x ，所以f ′(x)=x 2-2x-3， 由f ′(x)＜0解得-1＜x ＜3，所以f(x)的单调递减区间为(-1，3).(2)若不等式f ′(x)＞k(xlnx-1)-6x-4(k 为正整数)对任意正实数x 恒成立，求k 的最大值.(解答过程可参考使用以下数据：ln7≈1.95，ln8≈2.08) 解析：(2)将问题转化为x+1+k x +4-klnx ＞0，记g(x)=x+1+k x+4-klnx ，通过求导得到函数的单调性，从而有g(x)≥g(k+1)=k+6-kln(k+1)，问题转化为k+6-kln(k+1)＞0，记h(x)=1+6x-ln(x+1)，通过求导得到函数h(x)的单调性，从而得到k 的最大值. 答案：(2)因为f ′(x)=x 2-2x-3，所以f ′(x)＞k(xlnx-1)-6x-4等价于 x 2+4x+1＞k(xlnx-1)，即x+1+k x+4-klnx ＞0， 记g(x)=x+1+k x+4-klnx ， 则g ′(x)=()()211+--x x k x ，由g ′(x)=0，得x=k+1，所以g(x)在(0，k+1)上单调递减，在(k+1，+∞)上单调递增， 所以g(x)≥g(k+1)=k+6-kln(k+1)， g(x)＞0对任意正实数x 恒成立， 等价于k+6-kln(k+1)＞0，即1+6k-ln(k+1)＞0， 记h(x)=1+6x -ln(x+1)， 则h ′(x)=2611--+x x ＜0，所以h(x)在(0，+∞)上单调递减，又h(6)=2-ln7＞0，h(7)=137-ln8＜0，所以k 的最大值为6.请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为22cos 2sin αα=+⎧⎨=⎩x y (α为参数)，曲线C 2的参数方程为2cos 22sin ββ=⎧⎨=+⎩x y (β为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程.解析：(1)曲线C 1的参数方程为22cos 2sin αα=+⎧⎨=⎩x y (α为参数)，利用平方关系消去参数可得曲线C 1的直角坐标方程，利用互化公式可得曲线C 1极坐标方程.曲线C 2的参数方程为2cos 22sin ββ=⎧⎨=+⎩x y (β为参数)，消去参数可得：曲线C 2的普通方程，利用互化公式可得C 2极坐标方程.答案：(1)曲线C 1的参数方程为22cos 2sin αα=+⎧⎨=⎩x y (α为参数)，利用平方关系消去参数可得：曲线C 1的普通方程为(x-2)2+y 2=4，展开可得：x 2+y 2-4x=0，利用互化公式可得：ρ2-4ρcos θ=0， ∴C 1极坐标方程为ρ=4cos θ. 曲线C 2的参数方程为2cos 22sin ββ=⎧⎨=+⎩x y (β为参数)，消去参数可得：曲线C 2的普通方程为x 2+(y-2)2=4， 展开利用互化公式可得C 2极坐标方程为ρ=4sin θ.(2)已知射线l 1：θ=α(0＜α＜2π)，将射线l 1顺时针旋转6π得到射线l 2；θ=α-6π，且射线l 1与曲线C 1交于O ，P 两点，射线l 2与曲线C 2交于O ，Q 两点，求|OP|·|OQ|的最大值. 解析：(2)设点P 极点坐标(ρ1，4cos α)，即ρ1=4cos α.点Q 极坐标为(ρ2，4sin(α-6π))，即ρ2=4sin(α-6π).代入|OP|·|OQ|，利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出. 答案：(2)设点P 极点坐标(ρ1，4cos α)，即ρ1=4cos α. 点Q 极坐标为(ρ2，4sin(α-6π))，即ρ2=4sin(α-6π).则1214cos 4sin 16cos cos 622πρρααααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-⎝⎭⎝-⎪=⎭g g g OP OQ 8sin 246πα⎛⎫ -⎪⎝⎭=-.∵α∈(0，2π)，∴2α-6π∈(6π-，56π)，当262ππα-=，即α=3π时，|OP|·|OQ|取最大值4.选修4-5：不等式选讲.23.设不等式-2＜|x-1|-|x+2|＜0的解集为M ，且a ，b ∈M. (1)证明：111364+＜a b . 解析：(1)由绝对值不等式的解法，运用绝对值的意义，可得1122-＜＜x ，则|a|＜12，|b|＜12，再由绝对值不等式的性质，即可得证. 答案：(1)证明：-2＜|x-1|-|x+2|＜0，可得|x-1|＜|x+2|，即有x 2-2x+1＜x 2+4x+4， 解得x ＞12-， 则x+2＞0，可得-2＜|x-1|-(x+2)，即有x ＜|x-1|，可得x-1＞x 或x-1＜-x ， 解得1122-＜＜x ， 则|a|＜12，|b|＜12， 1111111136363624⎛⎫+≤++⨯= ⎪⎝⎭＜a b a b .(2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小，并说明理由.解析：(2)运用作差法，可得：|1-4ab|2-4|a-b|2，由平方差公式，分解因式，结合a ，b 的范围，即可得到所求大小关系. 答案：(2)|1-4ab|＞2|a-b|.理由：|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-4ab-2a+2b)(1-4ab+2a-2b) =(1-2a)(1+2b)(1+2a)(1-2b)=(1-4a 2)(1-4b 2)， 由|a|＜12，|b|＜12，可得 4a 2＜1，4b 2＜1， 则(1-4a 2)(1-4b 2)＞0， 可得|1-4ab|＞2|a-b|.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
宁夏银川一中2020届高三数学第一次模拟考试试题 文
宁夏银川一中2020届高三数学第一次模拟考试试题 文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}21,1,3,1,2A B a a =-=-，且B A ⊆，则实数a 的不同取值个数为A ．2B ．3C ．4D ．52．已知z 是纯虚数,21iz +-是实数,那么z 等于 A ．-2iB ．2iC ．-iD ．i3．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x，则1[()]4f f 的值是 A ．9B ．－9C ．91D ．－91 4．已知x 、y 满足约束条件100,0x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则 z = x + 2y 的最大值为A ．-2B ．-1C ．1D ．25．已知直线0=++c by ax 与圆1:22=+y x O 相交于,A B 两点，且,3=AB 则⋅的值是A ．12- B ．12 C ．34-D ．06．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A ．96 B ．80＋42πC ．96＋4(2－1)πD ．96＋4(22－1)π7．已知角φ的终边经过点P(－4，3)，函数()sin()f x x ωφ=+(ω>0)的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π的值为 A ．35 B ．45 C ．－35 D ．－458．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是A ．求数列}1{n的前10项和)(*N n ∈B ．求数列}21{n 的前10项和)(*N n ∈ C ．求数列}1{n的前11项和)(*N n ∈D ．求数列}21{n的前11项和)(*N n ∈ 9．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是 A ．2日和5日 B ．5日和6日 C ．6日和11日 D ．2日和11日 10．设函数,11)1ln()(2x x x f +-+=则使得)12()(->x f x f 成立的x 的范围是 A ．)1,31( B ．),1()31,(+∞-∞Y C ．)31,31(- D ．),31()31,(+∞--∞Y11．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为 A ．2＋12 B ．2＋1 C ．3＋12 D ．3＋1 12．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是A ．(－5，1)B ．[－5，1)C ．[－2,1)D ．(－5，－2]yxO -1654321-1-21第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．曲线xx y 12+=在点（1，2）处的切线方程为______________． 14．已知P 是△ABC 所在平面内一点且PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是 .15．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝1，{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.16．已知抛物线C ：y 2= 2px (p > 0)的焦点为F ，过点F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则||||BF AF 的值等于__________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数R x x A x f ∈+=),sin()(ϕω(其中 )22,0,0πϕπω<<->>A ),其部分图像如图所示.(1)求函数)(x f 的解析式;(2)已知横坐标分别为－1、1、5的三点M 、N 、P 都在函数f (x )的图像上，求sin ∠MNP 的值.18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形， ∠DAB =60°，AB =2AD ，M 为AB 的中点，△PAD 为等边三 角形，且平面PAD ⊥平ABCD .(1)证明：PM ⊥BC ；(2)若PD =1，求点D 到平面PAB 的距离. 19．（本小题满分12分）为了解某市民众对某项公共政策的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，做出了他们的月收入（单位：百元，范围：[15,75]）的频率分布直方图，同时得到他们月收入情况以及对该项政策赞成的人数统计表：(1)求月收入在[35,45)内的频率，并补全这个频率分布直方图，并在图中标出相应纵坐标； (2)根据频率分布直方图估计这50人的平均月收入；(3)若从月收入（单位：百元）在[65,75]的被调查者中随机选取2人，求2人都不赞成的概率．20．(本小题满分12分)已知椭圆22221(0x y a b a b +=>>）的离心率2e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程.(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ，已知点A 的坐标为（,0a -），点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4=⋅QB QA ，求0y 的值. 21．(本小题满分12分)已知函数)('),,()(23x f R b a bx x ax x f ∈+-=为其导函数，且3=x 时)(x f 有极小值9-. (1)求)(x f 的单调递减区间；(2)若不等式k x x x k x f (46)1ln ()('--->为正整数)对任意正实数x 恒成立，求k 的最大值.(解答过程可参考使用以下数据：ln 7≈1.95，ln 8≈2.08)请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos β，y ＝2＋2sin β(β为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程；(2)已知射线l 1：θ＝α(0<α<π2)，将射线l 1顺时针旋转π6得到射线l 2：θ＝α－π6，且射线l 1与曲线C 1交于O ，P 两点，射线l 2与曲线C 2交于O ，Q 两点，求|OP |·|OQ |的最大值．23．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲． 设不等式0|2||1|2<+--<-x x 的解集为M ，且M b a ∈, （1）证明：416131<+b a ； （2）比较|41|ab -与||2b a -的大小，并说明理由.银川一中2020届高三第一次模拟文科数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．二．填空题：13. x-y+1=0-1； 14. 12; 15. 221--+n n ; 16. 3 三．解答题：17、解:(1)由图可知,1A =, 1分 最小正周期428,T =⨯= 所以2ππ8,.4T ωω===2分 又π(1)sin()14f ϕ=+=,且ππ22ϕ-<<，所以ππ3π444ϕ-<+<,πππ,.424ϕϕ+== 4分 所以π()sin(1)4f x x =+ 5分 (2)解法一: 因为ππ(1)sin (11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+= π(5)sin (51)14f =+=-,所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --, 8分 MN MP ==, 10分从而3cos 5MNP ∠==-, 11分由[]0,πMNP ∠∈,得4sin 5MNP ∠== 12分 解法二: 因为ππ(1)sin(11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+= π(5)sin (51)14f =+=-, 所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --, 8分(2,1),(4,2)NM NP =--=-u u u u r u u u r ,6NM NP ⋅=-u u u u r u u u r,NM ==u u u u r , 10分则3cos 5NM NP MNP NM NP⋅∠===-⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r 11分由[]0,πMNP ∠∈,得4sin 5MNP ∠==(12分)19.解：(1)1-0.01×10×3-0.02×10×2=0.3………………………2分………………………4分⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（百元）…5分（2）200.1300.2400.3500.2600.1700.143即这50人的平均月收入估计为4300元。
2020届宁夏银川一中高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题(解析版)
2020届宁夏银川一中高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|40}{|326}A x x B x x ，=-<=-<<，则A B =I （ ） A. 3(,2)2- B. (2,2)- C. 3(,3)2-D. (2,3)-【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合A ，解不等式求得集合B ，然后求两个集合的交集.【详解】由240x -<，解得22x -<<；由326x -<<，解得332x -<<，故3,22A B ⎛⎫⋂=- ⎪⎝⎭.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.复数12z i =+，若复数1z ， 2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =（ ） A. 5- B. 5 C. 34i -+ D. 34i -【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知22z i =-+，据此结合复数的乘法运算法则计算12z z 的值即可.【详解】由题意可知22z i =-+，所以212(2i)(2i)4i 5z z =+-+=-+=-，故选A ．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数的对称性，属于基础题.3.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(,0)-∞上单调递增函数是 （ ） A. 2()f x x =B. ||()2x f x =C. 21()log ||f x x = D. ()sin f x x =【答案】C 【解析】试题分析：A ：函数2y x =为偶函数，在(),0-∞上单调递减，B ：函数2x y =为偶函数，在(),0-∞上单调递减，C ：函数21log y x=为偶函数，在(),0-∞上单调递增， D ：函数sin y x =为奇函数． 所以综上可得：C 正确．考点：函数奇偶性、函数的单调性．4.若a =r 2b =r ，且()-⊥r r r a b a ，则a r 与b r的夹角是（ ）A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据相互垂直的向量数量积为零，求出a r与b r的夹角.【详解】由题有()20a b a a b a -⋅=-⋅=r r r r r r，即22b a a ⋅==r r r ，故cos 2cos b a a b θθ⋅=⨯⨯=⇒=r rrr， 因为[]0,θπ∈，所以4πθ=.故选：B.【点睛】本题考查了向量的数量积运算，向量夹角的求解，属于基础题.5.为了坚决打赢新冠状病毒的攻坚战，阻击战，某小区对小区内的2000名居民进行模排，各年龄段男、女生人数如下表.已知在小区的居民中随机抽取1名，抽到20岁~50岁女居民的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全小区抽取64名居民，则应在50岁以上抽取的女居民人数为（ ）男生 377 370 250A. 24B. 16C. 8D. 12【答案】C 【解析】 【分析】先根据抽到20岁~50岁女居民的的概率是0.19，可求出20岁~50岁女居民的人数， 进而求出50岁以上的女居民的人数为250，根据全小区要抽取64人，再根据分层抽样法，即可求出结果． 【详解】因为在全小区中随机抽取1名，抽到20岁~50岁女居民的概率是0.19 即：0.192000x=， ∴380x =． 50岁以上的女居民的人数为2000373380377370250250Y =-----=， 现用分层抽样的方法在全小区抽取64名居民， 应在应在50岁以上抽取的女居民人数为6425082000⨯=名． 故选：C.【点睛】本题考查分布的意义和作用，考查分层抽样，属于基础题．6.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）A.1003B.1043C. 27D. 18【答案】B 【解析】 【分析】由题得几何体为正四棱台，再利用棱台的体积公式求解.【详解】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2， 所以几何体体积1104(436436)233V =+⨯⨯=. 故选B【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查棱台体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7.已知2sin()4πα+=sin 2α=（ ）A.12B.C. 12-D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题中的角2α看作未知角，条件中的角4απ+看作已知角，由未知角与已知角的关系2()242ππαα+-=，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值.【详解】因为sin 42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 又因为2()242ππαα+-=，所以22()42ππαα=+-，则有2sin 2sin 2()42 sin 2()24 cos 2()412sin ()412ππααππαπαπα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-+⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=故选A.【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题. 8.已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，且55a =则9S =（ ） A. 25 B. 90C. 50D. 45【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式和等差中项的概念，即可求出结果.【详解】因数列{}n a 为等差数列且55a =，所以()199599=452a a S a +⨯==.故选：D.【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式和等差中项的概念的应用，属于基础题.9.函数f （x ）=3344x x -的大数图象为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除C 、D 项；再由当()0,1x ∈时，函数()f x 的值小于0，排除B ，即可得到答案.【详解】由题知，函数()f x 满足()333()3()4444xx x x f x f x ---==-=---，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除C 、D 项；又由当()0,1x ∈时，函数()f x 的值小于0，排除B ，故选A.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 10.在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若1b =，3c =，23C π=则ABC S ∆=（ ）D.34【答案】B 【解析】 【分析】首先根据余弦定理，即可求出1a =，然后再根据1sin 2ABC S ab C ∆=，即可求出结果.【详解】由余弦定理可知，2222cos c a b ab C =+-，即23+1a a =+，所以1a =，所以1sin 2ABC S ab C ∆==. 故选：B.【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形的中应用，同时考查了三角形面积公式的应用，属于基础题.11.已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的两个焦点分别是1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，若212PF F F =且1123PF QF =，则椭圆的离心率为（ ）A.34B.45C.35D.5【答案】C 【解析】 【分析】由题意作出草图，设点()00,Q x y ，从而由1123PF QF =可写出点00533,222P c x y ---⎛⎫ ⎪⎝⎭；再由椭圆的第二定义可得11c cPF MP QF QA a a ==，，从而可得2200533222a a x c x c c +=--+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而化简得到22056c a x c+=- ，再由212PF F F =及椭圆的第二定义可得223580a c ac +-=，从而解得． 【详解】由题意作出草图，如下图所示，其中12,l l 是椭圆的准线，设点()00,Q x y ，∵1123PF QF =， ∴点00533,222P c x y ---⎛⎫ ⎪⎝⎭；又∵11c cPF MP QF QA a a==， ， ∴23MP QA =， 又∵205322a MP c x c =--+ ，20a QA x c =+， ∴2200533222a a x c x c c +=--+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， 解得，22056c a x c+=-， ∵212PF F F =，∴2053222a c c x c c a ⎛⎫++=⎪⎝⎭； 将22056c a x c +=- 代入化简可得， 223580a c ac +-=， 即28530c ca a -⎛⎫⎪⎭+ =⎝ ； 解得1c a = (舍去)或 35c a =，所以椭圆的离心率为35.故选：C ．【点睛】本题考查了椭圆的性质应用及数形结合的思想应用，属于中档题．12.已知定义在R 上的函数满足(2)()f x f x +=-，2(]0,x ∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑（ ）A. 6B. 4C. 2D. 0【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分析可得()()4f x f x +=，即()f x 是周期为4的周期函数，结合函数的解析式求出()()1,2f f 的值，分析可得()()3,4f f 的值，进而可得()()()()12340f f f f +++=，又由()()()()()20201()5051234i f i f f f f ==+++∑，分析可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 满足()()2f x f x +=-， 则()()4f x f x +=，即()f x 是周期为4的周期函数，当(]02x ∈，时，()sin f x x x π=-，则()11sin 1f π=-= ，()22sin 22f π=-=， 又由()()2f x f x +=-，则()()311f f =-=-，()()422f f =-=-， 所以()()()()12340f f f f +++=，所以()()()()()20201()50512340i f i f f f f ==+++=∑.故选：D ．【点睛】本题考查函数的周期性的应用，关键是分析函数的周期，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设x ，y 满足约束条件2102702350x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则23z x y =-的最小值为__________.【答案】5- 【解析】 【分析】作可行域，结合目标函数所表示的直线确定最优解，解得结果．【详解】作出,x y 满足约束条件210?270?2350x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩的可行域，如下图：当直线23z x y =-经过点()23A ，时，min 22335z =⨯-⨯=-． 故答案为：5-．【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属中档题．14.如图，y=f （x ）是可导函数，直线l: y=kx+2是曲线y= f （x ）在x=3处的切线，令g （x ）=xf （x ），其中是g （x ）的导函数，则'(3)g ＝ ．【答案】0 【解析】试题分析：由题意直线: y=kx+2是曲线y=f （x ）在x=3处的切线，由图像可知其切点为（3,1）代入直线方程得k=,,所以.考点：导数的运算.15.已知双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c （c 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e 为__________. 【答案】【解析】试题分析：由题意可得：双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为，即.考点：双曲线的定义及性质.16.如图所示，某住宅小区内有一个正方形草地ABCD ，现欲在其中修建一个正方形花坛EFGH ，若已知花坛面积为正方形草地面积的23，则θ=________【答案】12π或512π 【解析】 【分析】设CG x =，FC y =，用x ，y 表示出草地和正方形的面积，根据面积比列出方程得出 x y． 【详解】设()CG x FC y x y ==<,，则22FG x y BC x y =+=+，．∵花坛面积为正方形草地面积的23， ∴ ()22223x y x y +=+，即2240x y xy +-=． ∴2410x x y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得 23x y =- 23x y =+，即tan 23θ=23+ ∴12πθ=或512π．故答案为：12π或512π．【点睛】本题考查了解三角形的实际应用，属于基础题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分)17.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，18a =，322(3)S a =+. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）已知12n n T a a a =L ，且n T 的最大值.【答案】（1）42nn a -=；（2）max ()64n T =.【解析】 【分析】（1）根据等比数列通项公式及求和公式，代入即可求得公比，进而求得通项公式．（2）根据等比数列的乘积，表示为指数为等差数列求和，进而求得n T ，再根据二次函数的单调性求得最大值即可．【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，由题意得：1326a a a +=+ 所以28886q q +=+，即24410q q -+= 则12q =所以141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）()()7321421222n nn n nT a a a -++++-===L L当3n =或4时，n T 取得最大值，且()max 64n T =.【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，等差数列求和公式的应用及最值求法，属于基础题． 18.在直三棱柱111ABC A B C -中，13,2,AB AC AA BC D ====是BC 的中点，F 是1CC 上一点.（1）当2CF =时，证明：1B F ⊥平面ADF ； （2）若1FD B D ⊥，求三棱锥1B ADF -的体积.【答案】（1）见解析（2）1029【解析】试题分析：（1）证明1B F 与两线,AD DF 垂直，利用线面垂直的判定定理得出 1B F ⊥ 平面ADF ；（2）若1FD B D ⊥ ，则1R R t CDF t BB D ∆~∆ ，可求DF ，即可求三棱锥1B ADF - 体积.试题解析：（1）证明：因为,AB AC D =是BC 的中点，所以AD BC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中，因为1BB ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，所以1AD B B ⊥, 因为1BC B B B ⋂=，所以AD ⊥平面11B BCC ，因为1B F ⊂平面11B BCC ，所以1AD B F ⊥. 在矩形11B BCC 中，因为1111,2C F CD B C CF ====，所以11Rt DCF FC B ∆≅∆，所以11CFD C B F ∠=∠，所以0190B FD ∠=,（或通过计算11FD B F B D ==1B FD ∆为直角三角形） 所以1B F FD ⊥，因为AD FD D ⋂=，所以1B F ⊥平面ADF . （2）解：因为AD ⊥平面1B DF，AD =因为D 是BC 的中点，所以1CD =，在1Rt B BD ∆中，11,3BD CD BB ===,所以1B D ==因为1FD B D ⊥，所以1Rt CDF BB D ∆~∆，所以11DF CD B D BB =，所以13DF ==，所以1111332B ADF ADF V S AD -∆=⨯=⨯=19.某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg )进行统计规定：植株吸收在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.（1）完成以22⨯下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？（2）若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取3株，求这3株中恰有1株“植株存活”的概率. 参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）填表见解析；不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关（2）35【解析】 【分析】（1）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； （2）用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值．【详解】解析：(1)由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填写列联表如下：2220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关 (2)样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株，存活的1株 设事件A ：抽取的3株中恰有1株存活记存活的植株为a ，死亡的植株分别为1b ，2b ，3b ，4b则选取的3株有以下情况：{}12,,a b b ，{}13,,a b b {}14,,a b b ，{}23,,a b b ，{}24,,a b b {}34,,a b b ，{}123,,b b b ，{}124,,b b b ，{}134,,b b b ，{}234,,b b b共10种，其中恰有一株植株存活的情况有6种 所以63()105P A ==(其他方法酌情给分.) 【点睛】本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题． 20.已知动点M 到定点()1,0F 的距离比M 到定直线2x =-的距离小1. （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线1l ，2l ，分别交曲线C 于点A ，B 和M ，N .设线段AB ，MN 的中点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点； （3）在（2）的条件下，求FPQ ∆面积的最小值. 【答案】（1）24y x =（2）证明见解析（3）4 【解析】 【分析】（1）由题意可知：动点M 到定点()1,0F 的距离等于M 到定直线1x =-的距离，由此利用抛物线的定义能求出点M 的轨迹C 的方程．（2）设,A B 两点坐标分别为()()1122,,x y x y ， ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭．由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =-，(0)k ≠，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得()2222240k x k x k -++=．由此利用根的判别式、韦达定理、直线的斜率、直线方程，结合已知条件能证明直线PQ 恒过定点()30E ，． （3）求出2EF =，利用基本不等式能求出三角形面积的最小值．【详解】解：(1)由题意可知：动点M 到定点()1,0F 的距离等于M 到定直线1x =-的距离.根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹C 是抛物线.2p =Q ，∴抛物线方程为：24y x =(2)设A ，B 两点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭. 由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠.由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得()2222240k x k x k -++=. ()24224416160k k k ∆=+-=+>.因为直线1l 与曲线C 于A ，B 两点，所以12242x x k +=+，()121242y y k x x k+=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭.由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-. 当1k ≠±时，有222112k k+≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121k y k x k k+=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0E ；当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0E . 综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0E .(3)可求得2EF =.所以FPQ ∆面积1212242S FE k k k k ⎛⎫⎛⎫=+=+≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当且仅当1k =±时，“=”成立，所以FPQ ∆面积的最小值为4.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线恒过定点的证明，考查三角形面积的最小值的求法，考查抛物线、根的判别式、韦达定理、直线的斜率、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 21.已知函数()ln xf x ax x=-. （1）若函数()f x 在()1,+∞上是减函数，求实数a 的最小值；（2）若存在1x ，22,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使()()12f x f x a '≤+成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）14（2）211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质求出导函数的最大值，从而求出a 的范围即可； （2）问题等价于当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()()min max f x f x a '≤+，通过讨论a 的范围，得到函数的单调区间，从而求出a的具体范围即可．【详解】解：已知函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞. (1)因为()f x 在()1,+∞上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立，即当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤.又222ln 111111()(ln )ln ln ln 24x f x a a a x x x x -⎛⎫⎛⎫'=-=-+-=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故当11ln 2x =，即2x e =时，max 1()4f x a '=-.所以104a -≤，于是14a ≥，故a 的最小值为14.(2)命题“若存在1x ，22,x e e ⎡⎤∈⎣⎦使()()12f x f x a '≤+成立”等价于“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有min max ()()f x f x a '≤+”.由(1)知，当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，max 1()4f x a '=-，所以max 1()4f x a '+=. 故问题等价于：“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有min 1()4f x ≤” ①当14a ≥时，由(2)知，()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为减函数， 则()222min1()24e f x f e ae ==-≤，故21124a e ≥-.②当14a <，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，1()ln ln 4x x f x ax x x x =->-，由(1)知，函数1()ln 4x x x x ϕ=-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上是减函数，()2222min ()244e e e x e ϕϕ==-=，所以2min 1()44e f x >>，与14a <矛盾，不合题意.综上，得实数a 的取值范围211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩ (α为参数)，曲线222:12xC y +=.（1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若射线((0)6πθρ=≥与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求AB .【答案】（1）2cos ρθ=，()222cos 2sin 2ρθθ+=；（25-. 【解析】 【分析】（1）由曲线1C ：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)化为普通方程，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得1C ，2C 的极坐标方程；（2）分别求得点,A B 对应的的极径21p r ==，根据极经的几何意义，即可求解. 【详解】（1）曲线1C ：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)可化为普通方程：()2211x y -+=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 曲线222:12x C y +=的极坐标方程为()222cos 2sin 2ρθθ+=.（2）射线(0)6πθρ=≥与曲线1C 的交点A 的极径为126cospr =射线(0)6πθρ=≥与曲线2C 的交点B 的极径满足22126sin p r 骣琪琪桫+=，解得25r =，所以12AB r r=-=.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23.已知关于x的不等式231x x m--+≥+有解，记实数m的最大值为M.（1）求M的值；（2）正数a b c，，满足2a b c M++=，求证：111a b b c+≥++. 【答案】（1）4M=；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式可求得235x x--+≤，所以15m+≤，解这个不等式可求得4M=.（2）由（1）得214a b c++=，将此式乘以要证明不等式的左边，化简后利用基本不等式可求得最小值为1.试题解析：（1）()()23235x x x x--+≤--+=,若不等式231x x m--+≥+有解，则满足15m+≤，解得64m-≤≤，∴4M=.（2）由（1）知正数a b c，，满足24a b c++=，∴()()111114a b b ca b b c a b b c⎛⎫⎡⎤+=++++⎪⎣⎦++++⎝⎭124b c a ba b b c++⎛⎫=++⎪++⎝⎭124⎛≥+⎝1=.当且仅当a c=，2a b+=时，取等号.。
2020年宁夏高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年宁夏高考模拟考试 文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【高三】宁夏银川一中届高三下学期第一次模拟考试 数学(文)
【高三】宁夏银川一中届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试卷说明：绝密★启用前(银川一中第一次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式：S圆台侧面积=第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．设集合M={x}，N={xx-k>0},若M∩N=，则k的取值范围为 A. B.（2，+∞） C.（-∞，-1） D.2．复数等于 A．-1+i B. 1+i C.1-i D.-1-i3设aR,则“1”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4设三角形ABC的三个内角为A，B，C，向量则C=A. B. C. D. 5．在等差数列{an}中，a1+a3+a5=105以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是 A．21 B．20 C．19 D．186．在?ABC中,三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,若a2-b2=bc,sinC=2sinB ,则角A=A300 B．450 C．1500 D．13507．运行如下程序框图,如果输入的,则输出s属于A．B．C．D．8．已知集合A={（x,y）-1≤x≤1.0≤y≤2},B={(x,y)}.若在区域A中随机的扔一颗豆子，则该豆子落在区域B中的概率为 A． B． C．1- D．9. 一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的表面积是A． B. +6 C. D. +3 10．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则f(2)= A. 11或18, B. 11 C. 17或18 D.1811．已知点M是y=上一点，F为抛物线的焦点，A在C：上，则MA+MF的最小值为A．2 B. 4 C. 8 D. 1012．已知定义在上的奇函数满足（其中），且在区间上是减函数，令，则f(a), f(b), f(c) 的大小关系（用不等号连接）为A．f(b)>f(a)>f(c) B. f(b)>f(c)>f(a) C. f(a)>f(b)>f(c) D. f(a)>f(c)>f(b) 13．某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为___、___、________.14．已知关于x,y的二元一次不等式组，则x+2y+2的最小值为_________15设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_________16. 函数f(x)=Asin((A,为常数，A>0，,0) (1)求的单调区间；(2)设,不等式（2x-4a）lnx>-x恒成立，求a的取值范围。
2020届宁夏银川一中高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题及答案
绝密★启用前2020届宁夏银川一中高三下学期第一次模拟考试文科数学试题卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}623|{},04|{2<<-=<-=x x B x x A ，则B A ⋂=A ．)2,23(- B ．)2,2(-C ．)3,23(-D ．)3,2(- 2．复数12z i =+，若复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =A ．5B ．-5C ．34i -+D ．34i -3．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在()0-∞，上是单调增函数的是 A ．()sin f x x = B ．2()f x x = C ．()2x f x = D ．21()log f x x= 4．已知向量a ,b ,其中2||,2||==b ，且a b a ⊥-)(，则a 与b 的夹角是A ．6πB ．4πC ．2πD ．3π 5．为了坚决打赢新冠状病毒的攻坚战，阻击战，某小区对小区内的2000名居民进行模排，各年龄段男、女生人数如下表．已知在小区的居民中随机抽取1名，抽到20岁-50岁女居民的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全小区抽取64名居民，则应在50岁以上抽取的女居民人数为1岁——20岁 20岁——50岁 50岁以上 女生373 X Y 男生377 370 250 6．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为A ．1003B ．1043C ．27D ．18 7．已知2sin π34α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin2α=A ．12B ．32C ．12-D ．32- 8．已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ,且55a =则9S =A ．25B ．90C ．50D ．459．函数443)(||3-=x x x f 的大致图象为 A ． B ．C ．D ．10．在三角形ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，若21,3,,3b c C π=== 则ABC S ∆=A ．3B ．34C ．32D ．3411．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别是12,F F ，过1F 的直线交椭圆于P,Q 两点，若212,PF F F =且1123,PF QF =则椭圆的离心率为A ．34B ．45C ．35D 32 12．已知定义在R 上的函数满足(2)(),(0,2]f x f x x +=-∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑ A ．6 B ．4 C ．2 D ．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020宁夏银川一中高三文数第1次模拟考试(带解析)
2020宁夏银川一中高三文数第1次模拟考试（带解析）一、单选题1.设集合A={0,2,4,6,10},B= ，则（）A. {2,3,4,5,6}B. {0,2,6}C. {0,2,4,5,6,,10}D. {2,4,6}2.设复数z满足z+i=3-i,，则的共轭复数=（）A. -1+2iB. 1-2iC. 3+2iD. 3-2i3.为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点（）A. 向左平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度4.若是非零向量,则“ ”是“ ”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）A. -1B. -2C. -5D. 16.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A. 72 cm3B. 90 cm3C. 108 cm3D. 138 cm37.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（）A. B. C. D.8.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图,若输入的a、b分别为14、18,则输出的a为（）A. 0B. 2C. 4D. 149.现有四个函数①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号排列正确的一组是（）A. ①④②③B. ①④③②C. ④①②③D. ③④②①10.设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在一点P，使得(|PF1|－|PF2|)2=b2－3ab，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. 4 D.11.等边三角形ABC的三个顶点在一个半径为1的球面上，O为球心，G为三角形ABC的中心，且．则△ABC的外接圆的面积为（）A. B. C. D.12.定义在R上的奇函数满足，且在[0,1)上单调递减，若方程在[0,1)上有实数根，则方程在区间[-1,7]上所有实根之和是（）A. 12B. 14C. 6D. 7二、填空题13.某班级有50名学生，现采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1—50号，并分组，第一组1—5号，第二组6—10号，……，第十组46—50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷(银川一中第一次模拟考试)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}623|{},04|{2<<-=<-=x x B x x A ，则B A ⋂=A ．)2,23(-B ．)2,2(-C ．)3,23(- D ．)3,2(-2．复数12z i =+，若复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =A ．5B ．-5C ．34i -+D ．34i -3．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在()0-∞，上是单调增函数的是 A ．()sin f x x = B ．2()f x x =C ．()2xf x =D ．21()log f x x= 4．已知向量a ,b ,其中2||,2||==b ，且⊥-)(，则a 与b 的夹角是A ．6πB ．4πC ．2πD ．3π 5．为了坚决打赢新冠状病毒的攻坚战，阻击战，某小区对小区内的2000名居民进行模排，各年龄段男、女生人数如下表．已知在小区的 居民中随机抽取1名，抽到20岁-50岁女居民的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全小区抽取64名居民，则应在50岁以上抽取的女居民人数为 1岁——20岁20岁——50岁50岁以上女生 373 X Y 男生377 370 250A ．24B ．16C ．8D ．126．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的 长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为 A ．1003 B ．1043C ．27D ．18 7．已知2sin π34α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin2α=A ．12B ．32C ．12-D ．32-8．已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ,且55a =则9S =A ．25B ．90C ．50D ．459．函数443)(||3-=x x x f 的大致图象为A ．B ．C ．D ．10．在三角形ABC 中，a,b,c 分别是 角A,B,C 的 对边，若21,3,,3b c C π===则ABC S ∆= A 3B ．34C ．32D ．3411．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别是12,F F ，过1F 的 直线交椭圆于P,Q 两点，若212,PF F F =且1123,PF QF =则椭圆的离心率为A ．34B ．45C ．35D ．32512．已知定义在R 上的函数满足(2)(),(0,2]f x f x x +=-∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑A ．6B ．4C ．2D ．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设x ，y 满足约束条件2102702350x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则z 2x 3y =-的最小值为__________.14．如图，y =f (x )是可导函数，直线l :y =kx +2是曲线y =f (x )在x =3处的切线，令g (x )=xf (x ),其中'()g x 是g (x )的 导数，则'(3)g =______.15．已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>,双曲线的 一个焦点到一条渐近线的 距离为53c (c 为双曲线的半焦距的 长）则该双曲线的 离心率为_____. 16．如图所示，某住宅小区内有一个正方形草地ABCD,现欲在其中修建一个正方形花坛EFGH,若已知花坛面积为 正方形草地面积的23。
则θ=________三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分) 17.（12分）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，18a =，322(3)S a =+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）已知12n n T a a a =L ，求n T 的最大值. 18．(12分)在直三棱柱111ABC A B C -中，13,2,AB AC AA BC D ==== 是BC 的中点，F 是1CC 上一点.（1）当2CF =时，证明：1B F ⊥平面ADF ； （2）若1FD B D ⊥，求三棱锥1B ADF -的体积. 19.（12分）某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg)进行统计.规定：植株吸收在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.编号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20吸收量(mg)6 8 3 8 9 5 6 6 27 7 5 10 6 78 8 4 6 9（1）完成以22⨯下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？吸收足量吸收不足量合计 植株存活 1植株死亡合计20（2）若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取3株，求这3株中恰有1株“植株存活”的概率. 参考数据：2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k ≥22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++20.（12分）已知动点M 到定点()1,0F 的距离比M 到定直线2x =-的距离小1. （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线C 于点,A B 和,M N .设线段AB ，MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点；（3）在（2）的条件下，求FPQ ∆面积的最小值.21.（12分）已知函数()ln xf x ax x=-． （1）若函数()f x 在()1,+∞上是减函数，求实数a 的最小值；（2）若存在212,[,]x x e e ∈，使()()12f x f x a '≤+成立，求实数a 的取值范围．(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线222:12x C y +=．（1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求12,C C 的极坐标方程； （2）若射线(0)6πθρ=≥与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求AB ．23．[选修4-5：不等式选讲]已知关于x 的不等式231x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M . （1）求M 的值；（2）正数,,a b c 满足2a b c M ++=，求证111a b b c+≥++.银川一中2020届高三第一次模拟数学(文科)试题参考答案一．选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABDBCBADABCD二．填空题：13.-5 ；14.0；15.2； 16.12或12三．解答题：17.解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题意得：1326a a a +=+所以28886q q +=+，即24410q q -+=则12q =-----6分 所以141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）()()7321421222n nn n nT a a a -++++-===L L ------9分当3n =或4时，n T 取得最大值，且()max 64n T =.-----12分 18.（1）证明：因为,AB AC D =是BC 的中点，所以AD BC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中，因为1BB ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，所以1AD B B ⊥, 因为1BC B B B ⋂=，所以AD ⊥平面11B BCC ，因为1B F ⊂平面11B BCC ，所以1AD B F ⊥.-------3分在矩形11B BCC 中，因为1111,2C F CD B C CF ====，所以11Rt DCF FC B ∆≅∆，所以11CFD C B F ∠=∠，所以0190B FD ∠=,（或通过计算115,10FD B F B D ===，得到1B FD ∆为直角三角形） 所以1B F FD ⊥，因为AD FD D ⋂=，所以1B F ⊥平面ADF --------6分 （2）解：因为AD ⊥平面1B DF ，22AD =因为D 是BC 的中点，所以1CD =，在1Rt B BD ∆中，11,3BD CD BB ===, 所以221110B D BD BB =+=因为1FD B D ⊥，所以1Rt CDF BB D ∆~∆， 所以11DF CD B D BB =，所以110103DF ==， 所以1111101021022332B ADF ADF V S AD -∆=⨯=⨯=分19. 解析：(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填写列联表如下：吸收足量吸收不足量合计 植株存活 12 1 13 植株死亡 3 4 7 合计15520分635.6934.5515713)13412(2022<≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关.………8分 (2)样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株. 设事件A :抽取的3株中恰有1株存活记存活的植株为a ,死亡的植株分别为1234,,,b b b b则选取的3株有以下情况：12{,,}a b b ，13{,,}a b b ，14{,,}a b b ，23{,,}a b b ，24{,,}a b b ，34{,,}a b b ，123{,,}b b b ，124{,,}b b b ，134{,,}b b b ，234{,,}b b b共10种，其中恰有一株植株存活的情况有6种 所以63()105P A ==（其他方法酌情给分.）………………………………12分 20．解：（Ⅰ）由题意可知：动点M 到定点()1,0F 的距离等于M 到定直线1x =-的距离.根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹C 是抛物线.∵2p =，∴抛物线方程为： 24y x =--------3分（Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭.由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠. 由()24{1y x y k x ==-，得()2222240k x k x k -++=.()24224416160k k k ∆=+-=+>.因为直线1l 与曲线C 于,A B 两点，所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由题知,直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-. -------------5分当1k ≠±时，有222112k k+≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121ky k x k k+=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0E ；当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0E . 综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0E .---------8分（Ⅲ）可求得2EF =.所以FPQ ∆面积1212242S FE kk k k ⎛⎫⎛⎫=+=+≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当且仅当1k =±时，“= ”成立，所以FPQ ∆面积的最小值为4.-----12分21．解：已知函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞U ． （Ⅰ）因为()f x 在()1,+∞上为减函数，故()()2ln 10ln x f x a x -'=-≤在()1,+∞上恒成立，即当()1,x ∈+∞时，()max 0f x '≤．又()()222ln 111111()()ln ln ln 24ln x f x a a a x x x x -'=-=-+-=--+-， 故当11ln 2x =，即2x e =时，()max 14f x a '=-．所以104a -≤，于是14a ≥，故a 的最小值为14． ………………………5分 （Ⅱ）命题“若存在212,[,]x x e e ∈使()()12f x f x a '≤+成立”等价于“当2[,]x e e ∈时，有min max ()()f x f x a '≤+” ．由（Ⅰ）知，当2[,]x e e ∈时，max 1()4f x a '=-，所以max 1()4f x a '+=． 故问题等价于：“当2[,]x e e ∈时，有()min 14f x ≤” ①当14a ≥时，由（Ⅱ）知，()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为减函数， 则()()222min124e f x f e ae ==-≤，故21124a e≥-．……………8分②当14a <，2[,]x e e ∈时，()1ln ln 4x x f x ax x x x =->-，由（Ⅰ）知，函数1()ln 4x x xx ϕ=-在2[,]e e 上是减函数，2222min ()()244e e e x e ϕϕ==-=，所以()2min 144e f x >>，与14a <矛盾，不合题意．综上，得实数a 的取值范围211[,)24e-+∞． …………………12分 22、解析： （Ⅰ）曲线11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）可化为普通方程:22(1)1x y -+=，………2分由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，………3分曲线2C 的极坐标方程为22(1sin )2ρθ+=．………5分（Ⅱ）射线(0)6πθρ=≥与曲线1C 的交点A 的极径为12cos36πρ==………6分射线(0)6πθρ=≥与曲线2C 的交点B 的极径满足222(1sin )26πρ+=，解得2105ρ=，…8分 所以122103AB ρρ=-=．………10分 23、解析：23(2)(3)5x x x x --+≤--+=， ………2分 若不等式231x x m --+≥+有解，则满足15m +≤，………3分 解得64m -≤≤.∴4M =. ………5分 （2）由（1）知正数,,a b c 满足24a b c ++=， ∴11111[())]()4a b b c a b b c a b b c +=++++++++………7分1)22(41)2(41=++⋅+++≥++++++=cb b a b ac b c b b a b a c b ………9分 （当且仅当,2a c a b =+=时，取等号.）………10分。