指数函数的单调性取决于底数a
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∵0<a=0.99<1,
∴y=0.99x在(-∞,+∞)上是减函数.
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
∵-1.01>-1.11,∴0.99-1.01<0.99-1.11.
(3)分别构造函数y=1.4x与y=0.9x. ∵1.4>1,0<0.9<1, ∴y=1.4x与y=0.9x在(-∞,+∞)上分别为增 函数和减函数.
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
题型三
例3
解简单的指数不等式
(本题满分12分)设y1= a3x+1,y2=a-2x,
其中a>0,且a≠1,试确定x为何值时,有:(1)y1=
y2;(2)y1>y2. 【思路点拨】 指数函数的单调性取决于底数a,
当底数a不确定时,要注意分情况讨论.
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第二章
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
变式训练
1.比较下列各题中两个值的大小:
(1)3π与33.14;
(2)0.99-1.01与0.99-1.11; (3)1.40.1与0.90.3.
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
解:(1)构造函数y=3x.
∵ a = 3>1 ,∴ y = 3x 在 ( -∞,+∞) 上是增函 数. ∵π>3.14,∴3π>33.14. (2)构造函数y=0.99x.
x+ 2
+ -
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第二章
来自百度文库
基本初等函数(Ⅰ)
解:(1)因为 5>1,所以函数 y= 5x 2 在 R 上是增函 + 数.由 5x 2>1,可得 x+ 2>0,解得 x>- 2,所以 不等式的解集为 {x|x>-2}. 1x 1 (2)因为 0< <1,所以函数 y= 2 在 R 上是减函 2
+
13x+1 1x- 2 数. 由 2 可得 3x+1≥x- 2, 解得 x≥ ≤2 ,
3 3 - ,所以不等式的解集为xx≥-2 . 2
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
备选例题
4 2 3 3 1.比较 3 3,23, -3 , 4 2的大小.
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
第2课时
指数函数及其性质
的应用
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
典题例证技法归纳
题型一 利用指数函数单调性比较大小
例1 比较下列各题中两个值的大小.
(1)1.82.2,1.83; (2)0.7-0.3,0.7-0.4;
(3)1.90.4,0.92.4.
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
当 0<a<1 时, y=ax(a>0,且 a≠ 1)为减函数, 由 a3x+1>a-2x,得 3x+1<- 2x, 1 解得 x<- .10 分 5
名师微博
不要忽略对底数a进行讨论.
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
1 所以,若 a>1,则当 x>- 时,y1>y2; 5 1 若 0<a<1,则当 x<- 时,y1>y2.12 分 5
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
【解】
(1)当 2-3x= 0,
2 即 x= 时, a2-3x= a0= 1. 3 2 所以,该函数的图象恒过定点 3, 1. (2)∵ u=2-3x 是减函数, ∴当 0<a<1 时,f(x)在 R 上是增函数; 当 a>1 时, f(x)在 R 上是减函数.
∵0.1>0,∴1.40.1>1.40=1.
∵0.3>0,∴0.90.3<0.90=1, ∴1.40.1>1>0.90.3,∴1.40.1>0.90.3.
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
题型二
指数型函数的单调性
例2 已知函数f(x)=a2-3x(a>0,且a≠1). (1)求该函数的图象恒过的定点坐标; (2)指出该函数的单调性.
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
【名师点评】
比较指数式大小的方法:
(1) 单调性法:比较同底数幂的大小,可构造 指数函数,利用指数函数的单调性比较大
小.要注意:明确所给的两个值是哪个指数
函数的两个函数值;明确指数函数的底数与1 的大小关系;最后根据指数函数的单调性来 判断.如本题(1). (2)中间量法:比较不同底且不同指数幂的大 小,常借助于中间值1进行比较.如本题(3).
变式训练
2.(2012· 合肥高一检测)已知函数f(x)=a-x(a>0
且 a≠1) 满足 f( - 2)>f( - 3) ,则函数 g(x) = a1 - x2 的单调增区间是________. 解析:f(-2)>f(-3),即a2>a3,显然0<a<1,令 t = 1 - x2 ,则 y = at 在定义域内单调递减,故应 求函数t=1-x2的减区间,易知为[0,+∞). 答案:[0,+∞)
基本初等函数(Ⅰ)
【解】
(1)由 a3x+1=a-2x,得 3x+1=-2x.
1 1 解得 x=- ,所以当 x=- 时, y1= y2.4 分 5 5 (2)当 a>1 时, y= ax(a>0,且 a≠ 1)为增函数. 1 由 a3x+1>a-2x,得 3x+1>- 2x,解得 x>- .7 分 5
【名师点评】
解关于x的不等式af(x)>ag(x)(a>0,
且a≠1)时,主要依据指数函数的单调性,它的 一般步骤为
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
变式训练
3.解下列不等式: 1 3x 1 1 x 2 (1)5 >1; (2) 2 ≤2 .
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
【名师点评】
形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的
函数的单调性的判断,常用复合函数法.利
用复合函数单调性:当a>1时,函数y=af(x)与
函数y=f(x)的单调性相同;当0<a<1时,函数 y=af(x)与函数y=f(x)的单调性相反.
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
【解】
(1) ∵ 1.82.2,1.83 可看作函数 y = 1.8x 的
两个函数值, ∵1.8>1,∴y=1.8x在R上为增函数, ∴1.82.2<1.83. (2)∵y=0.7x在R上为减函数,
又∵-0.3>-0.4,∴0.7-0.3<0.7-0.4.
(3)∵1.90.4>1.90=1,0.92.4<0.90=1, ∴1.90.4>0.92.4.