指数函数的单调性取决于底数a

∵0<a＝0.99<1，
∴y＝0.99x在(－∞，＋∞)上是减函数．
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
∵－1.01>－1.11，∴0.99－1.01<0.99－1.11.
(3)分别构造函数y＝1.4x与y＝0.9x. ∵1.4>1,0<0.9<1， ∴y＝1.4x与y＝0.9x在(－∞，＋∞)上分别为增 函数和减函数．
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
题型三
例3
解简单的指数不等式
(本题满分12分)设y1＝ a3x＋1，y2＝a－2x，
其中a>0，且a≠1，试确定x为何值时，有：(1)y1＝
y2；(2)y1>y2. 【思路点拨】 指数函数的单调性取决于底数a，
当底数a不确定时，要注意分情况讨论．
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第二章
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基本初等函数(Ⅰ)
变式训练
1．比较下列各题中两个值的大小：
(1)3π与33.14；
(2)0.99－1.01与0.99－1.11； (3)1.40.1与0.90.3.
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基本初等函数(Ⅰ)
解：(1)构造函数y＝3x.
∵ a ＝ 3>1 ，∴ y ＝ 3x 在 ( －∞，＋∞) 上是增函 数． ∵π>3.14，∴3π>33.14. (2)构造函数y＝0.99x.
x＋ 2
＋ －
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第二章
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基本初等函数(Ⅰ)
解：(1)因为 5>1，所以函数 y＝ 5x 2 在 R 上是增函 ＋ 数．由 5x 2>1，可得 x＋ 2>0，解得 x>－ 2，所以 不等式的解集为 {x|x>－2}． 1x 1 (2)因为 0< <1，所以函数 y＝ 2 在 R 上是减函 2
＋
13x＋1 1x－ 2 数． 由 2 可得 3x＋1≥x－ 2， 解得 x≥ ≤2 ，
3 3 － ，所以不等式的解集为xx≥－2 . 2
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基本初等函数(Ⅰ)
备选例题
4 2 3 3 1．比较 3 3，23， －3 ， 4 2的大小．
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基本初等函数(Ⅰ)
第2课时
指数函数及其性质
的应用
第二章
基本初等函数(Ⅰ)
典题例证技法归纳
题型一 利用指数函数单调性比较大小
例1 比较下列各题中两个值的大小．
(1)1.82.2,1.83； (2)0.7－0.3,0.7－0.4；
(3)1.90.4,0.92.4.
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基本初等函数(Ⅰ)
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
当 0<a<1 时， y＝ax(a>0，且 a≠ 1)为减函数， 由 a3x+1>a-2x，得 3x＋1<－ 2x， 1 解得 x<－ .10 分 5
名师微博
不要忽略对底数a进行讨论．
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基本初等函数(Ⅰ)
1 所以，若 a>1，则当 x>－ 时，y1>y2； 5 1 若 0<a<1，则当 x<－ 时，y1>y2.12 分 5
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基本初等函数(Ⅰ)
【解】
(1)当 2－3x＝ 0，
2 即 x＝ 时， a2-3x＝ a0＝ 1. 3 2 所以，该函数的图象恒过定点 3， 1. (2)∵ u＝2－3x 是减函数， ∴当 0<a<1 时，f(x)在 R 上是增函数； 当 a>1 时， f(x)在 R 上是减函数．
∵0.1>0，∴1.40.1>1.40＝1.
∵0.3>0，∴0.90.3<0.90＝1， ∴1.40.1>1>0.90.3，∴1.40.1>0.90.3.
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基本初等函数(Ⅰ)
题型二
指数型函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝a2－3x(a>0，且a≠1)． (1)求该函数的图象恒过的定点坐标； (2)指出该函数的单调性．
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
【名师点评】
比较指数式大小的方法：
(1) 单调性法：比较同底数幂的大小，可构造 指数函数，利用指数函数的单调性比较大
小．要注意：明确所给的两个值是哪个指数
函数的两个函数值；明确指数函数的底数与1 的大小关系；最后根据指数函数的单调性来 判断．如本题(1)． (2)中间量法：比较不同底且不同指数幂的大 小，常借助于中间值1进行比较．如本题(3)．
变式训练
2．(2012· 合肥高一检测)已知函数f(x)＝a－x(a>0
且 a≠1) 满足 f( － 2)>f( － 3) ，则函数 g(x) ＝ a1 － x2 的单调增区间是________． 解析：f(－2)>f(－3)，即a2>a3，显然0<a<1，令 t ＝ 1 － x2 ，则 y ＝ at 在定义域内单调递减，故应 求函数t＝1－x2的减区间，易知为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)
基本初等函数(Ⅰ)
【解】
(1)由 a3x+1＝a-2x，得 3x＋1＝－2x.
1 1 解得 x＝－ ，所以当 x＝－ 时， y1＝ y2.4 分 5 5 (2)当 a>1 时， y＝ ax(a>0，且 a≠ 1)为增函数． 1 由 a3x+1>a-2x，得 3x＋1>－ 2x，解得 x>－ .7 分 5
【名师点评】
解关于x的不等式af(x)>ag(x)(a>0，
且a≠1)时，主要依据指数函数的单调性，它的 一般步骤为
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基本初等函数(Ⅰ)
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基本初等函数(Ⅰ)
变式训练
3．解下列不等式： 1 3x 1 1 x 2 (1)5 >1； (2) 2 ≤2 .
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第二章
基本初等函数(Ⅰ)
【名师点评】
形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的
函数的单调性的判断，常用复合函数法．利
用复合函数单调性：当a>1时，函数y＝af(x)与
函数y＝f(x)的单调性相同；当0<a<1时，函数 y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．
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基本初等函数(Ⅰ)
【解】
(1) ∵ 1.82.2,1.83 可看作函数 y ＝ 1.8x 的
两个函数值， ∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数， ∴1.82.2<1.83. (2)∵y＝0.7x在R上为减函数，
又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.
(3)∵1.90.4>1.90＝1,0.92.4<0.90＝1， ∴1.90.4>0.92.4.