福建省福州文博中学2017届高三数学上学期期中试题文

福州文博中学2016-2017学年高三年第一学期期中考数学（文科）题目卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设i 是虚数单位，则复数1ii+= A. 1i + B.1i - C. 1i -+D. 1i --2. 设全集=U R,集合{}0A x x =≥,{}(3)(1)0B x x x =-+<,则=B A C U )( A. }03|{<<-x x B. }01|{<<-x x C. }10|{<<x xD. }30|{<<x x3. D 、E 、F 分别是ABC ∆的边AB 、BC 、CA 的中点，则DB DE CF -+= A.FDB.AEC. CDD. BF4. 已知135)cos(-=-απ且α是第一象限角，则sin α= A ．513- B ．1213 C ．1213- D ． 5135. 若函数()f x ＝xa （a ＞0，且a ≠1），若1(2)4f =，则函数y ＝log a x 的图像大致是6. 若函数()()2f x x a x π=+-，()cos(2)g x x a =+则下列结论正确的是A.R a ∈∀，函数()f x 和()g x 都是奇函数B.R a ∈∃，函数()f x 和()g x 都是奇函数C.R a ∈∀，函数()f x 和()g x 都是偶函数D.R a ∈∃，函数()f x 和()g x 都是偶函数7. 点M 、N 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱A 1B 1、A 1D 1的中点,用过A 、M 、N 和D 、N 、C 1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图,则该几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为① ② ③ ④．A.①、②、③B.②、③、④C.①、③、④D.②、④、③ 8. 已知正六边形ABCDEF 的边长为1，则AB AC ⋅的值为 A ．23-B ．23-C ．23 D ．23 9. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何?题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，n S 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则5S = A. 153116 B. 153216 C. 153316 D. 126210. 已知()sin()f x A x ωϕ=+（0A >0ω>，||2πϕ<，x R ∈）在一个周期的图象如图所示，当21)(=x f 时，=-)62cos(πx A ．21- B ．21 C ．23- D ． 2311.点A、B、C、D均在同一球面上,⊥AD 平面ABC ,5==AC AD ,3=AB ,4=BC ,则该球的表面积为A.32125πB. 225πC. π50D. 350π12. 定义在R 上的函数)(x f 满足：()()xf x f x x e '-=，且21)0(=f ，则()x f x x e ⋅的最小值为 A ．0 B ．21C ．1 D.2 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置．13．设函数()24,0(),log ,0x a x f x x a x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩若(1)3f =，则(2)f -的值为__________. 14．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥-,2,0,0x y x y x ，则目标函数2z x y =+的最大值为__________.15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足23A π=, 2223a bc c =+,则=bc__________. 16. 已知数列{}n a 中，11=a ，32=a ，且),2()1()1(211N n n S n S n nS n n n ∈≥-++=-+， 则30S =_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知函数)(x f =a b ⋅，其中=(x x 2sin 3,cos 2)，=（cos x ，1），x ∈R. （1）求函数)(x f y =的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,sin 2sin ,7,2)(,,,C B a A f c b a ===且 求△ABC 的面积．18.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项为和n S ，且32230,12a a S -==，数列{}n b 中，11b =，b n +1-b n =2. （1）求数列{}{}n n b a ,的通项n a 和n b ； （2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，,ABC ACD ∆∆都为等腰直角三角形，90ABC ACD ︒∠=∠=，E 为PA 的中点． （Ⅰ）求证：//BE 平面PCD ；（Ⅱ）若PAC ∆是边长为2的等边三角形，PB P BEC -的体积．E P20.（本小题满分12分）如图，公园有一块边长为2的等边．．ABC ∆的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等．．．．的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上.（1）设x AD =（0>x ），请用x 表示AE ；（2）在（1）的条件下，再设y ED =，请用x 表示y ；（3）如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又应在哪里？请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数2()ln m f x m x x=+（其中m 为常数），且1x =是()f x 的极值点．（Ⅰ）设曲线()y f x =在11(,())e ef 处的切线为l ，求l 与坐标轴围成的三角形的面积； （Ⅱ）求证：()4()f x f x '>．22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2cos 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标系下的方程；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x y的取值范围．福州文博中学2016-2017学年高三年第一学期期中考数学（文科）参考答案1-12.BBCB ADBD BBCC 13.2 14.6 15. 1216. 34/5 17. 解：(1) f （x ）=•=2cos 2x+sin2x ……………1分=sin2x +cos2x+1 ……………2分=2sin(2x+)+1 ……………3分令-+2k 2x++2k解得：- + kx+ k ……………5分函数y=f （x ）的单调递增区间是[- + k ，+ k ]（k Z ）………6分 （Ⅱ）∵f （A ）=2∴2sin(2A+)+1=2，即sin(2A+)= ……………7分． 又∵0＜A ＜π，∴A=．……………8分 ∵，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA=（b+c ）2-3bc=7 ①……………9分 ∵sinB=2sinC ∴b=2c ②……………10分由①②得c 2=．……………11分 ∴=．……………12分18. 解：（1）3q = ……………1分 a 1=3 ……………3分∴数列{a n }是等比数列 ∴a n =3n． ……………4分 ∵b n +1-b n =2， 即数列{b n }是等差数列，又b 1=1，∴b n =2n-1．……………6分（2）∵c n =a n •b n =(2n-1)•3n∵T n =1×3+3×32+5×33+…+(2n -3)3n -1+(2n-1)3n……………7分∴3T n =1×32+3×33+5×34+…+(2n -3)3n +(2n-1)3n +1……………8分两式相减得：-2T n =3+2×(32+33+34+…+3n )-(2n-1)3n +1=-6-2(n-1）3n +1……………10分∴T n =3+(n-1)3n +1……………12分19. 解法一：（Ⅰ）∵∆ABC 与∆ACD 都是等腰直角三角形，90,∠=∠=︒ABC ACD ∴ 45,ACB DAC ∠=∠=︒,AC AD ,∴ //BC AD ，12BC AD =，····················· 2分 取PD 中点F ，连结EF ,FC ， EPF∵E 为PA 的中点，∴//EF AD ，12EF AD =， ∴//EF BC ，EF BC =，∴四边形EFCB 为平行四边形， ∴//BE CF . ···························· 4分 又BE PCD ⊄平面,CF PCD ⊂平面,∴//平面BE PCD . ························· 6分（Ⅱ）∵2==PB BC PC ，∴222=+PC PB BC , ∴⊥BC PB . ···························· 7分 又⊥BC AB ,⋂=PB AB B ,∴平面⊥BC PAB . ························· 8分∵2,===PB AB PA∴222PA PB AB =+, ∴⊥PB AB . ···························· 9分∴112PAB S ∆=. ······················ 10分∴A BEC C PBE V V --=13∆=⋅⋅PBE S CB························ 11分 1132∆=⨯⋅PAB S CB113=⨯=. ··························· 12分 解法二：（Ⅰ）取AC 中点G ，连结,,BG EG ∵PE EA =∴//,EG PC又EG PCD ⊄平面,PC PCD ⊂平面,∴//EG PCD 平面.………………………………2分 ∵在等腰直角∆ABC 中，BG AC ⊥,CD AC ⊥ ∴//BG CD ,又BG PCD ⊄平面,CD PCD ⊂平面,∴//BG PCD 平面. ························· 4分 又BG EG G ⋂=,BG EAB ⊂平面,EG EAB ⊂平面 ∴//EAB PCD 平面平面. ······················· 5分 ∵BE EAB ⊂平面,∴//BE PCD 平面. ························· 6分 （Ⅱ）同解法一. 20.解：（1）∵ABC ADE S S ∆∆=21，即2360sin 21=⋅⋅ AE x ，∴xAE 2=（0>x ），①……………3D C EB A PG分（2）在ADE ∆中，60cos 2222⋅⋅-+=AE x AE x y ，即AE x AE x y ⋅-+=222，② ①代入②得：2)2(222-+=x x y (0>y )，∴2)2(22-+=xx y (21≤≤x ).……………6分（3）如果DE 是水管，22222)2(22=-⨯≥-+=xx y ，当且仅当224x x =，即2=x 时“”成立，故2min =y ， 即BC DE //，且2==DE AD 时，DE 最短；……………9分如果DE 是参观线路，记224)(xx x f +=，求导可知函数在]2,1[上递减，在]2,2[上递增， 故5)2()1()(max ===f f x f ，∴325max =-=y ，……………12分 即DE 为AB 中线或AC 中线时，DE 最长.21. （Ⅰ）由已知可得22()m m f x x x'=-，则(1)00f m '=⇒=或1m =，而当0m =与条件不符（舍去），∴1m =． (2)分所以1()ln f x x x =+，21()(0)x f x x x-'=>， 从而1()e 1e f =-，21()e e ef '=-，故切线l 的方程为：21(e 1)(e e )()ey x --=--， (4)分l 与坐标轴的交点分别为2(,0)eA ，(0,2e 2)B -，所以切线l 与坐标轴所围成的三角形的面积为1||||2ABO S OA OB ∆=⋅2e 2e-=． ………………6分（Ⅱ）对于21()(0)x f x x x -'=>， 当01x <<时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '=，当1x >时，()0f x '>．∴()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞递增，故min (())()(1)1f x f x f ===极小值． ………………8分又211()(0)f x x x x '=-+>，令1(0)t x x =>，则2211()()()(0)24f x h t t t t t '==-+=--+>， 从而max 11(())()24h t h ==，即max (4())4(2)1f x f ''==．………………10分故()14()f x f x '≥≥，但()f x 与4()f x '不同时取得最值， 所以上式等号不同时成立，即()4()f x f x '>成立． ………………12分22. 解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为0x y -+=，曲线C 的直角坐标系下的方程为221x y ⎛⎛+= ⎝⎝，……………………………………5分（Ⅱ）设cos , sin M θθ⎫+⎪⎪⎭，则cos sin 4x y πθθθ⎛⎫⎡+=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭………………………………10分。