导数学案(有答案)
高考数学理科一轮复习导数的概念及运算学案(含答案)
高考数学理科一轮复习导数的概念及运算学案（含答案）第三章导数及其应用学案13导数的概念及运算导学目标：1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义，求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x 的导数．熟记基本初等函数的导数公式(c，xm(m为有理数)，sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数)，能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数．自主梳理1．函数的平均变化率一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商________________________＝ΔyΔx称作函数y＝f(x)在区间x0，x0＋Δx](或x0＋Δx，x0])的平均变化率．2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义函数y＝f(x)在点x0处的瞬时变化率______________通常称为f(x)在x ＝x0处的导数，并记作f′(x0)，即______________________________．(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是过曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))的____________．导函数y＝f′(x)的值域即为__________________．3．函数f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，其导数也是开区间(a，b)内的函数，又称作f(x)的导函数，记作____________．4．基本初等函数的导数公式表原函数导函数f(x)＝Cf′(x)＝______f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝______(α∈Q*)F(x)＝sinxf′(x)＝__________F(x)＝cosxf′(x)＝____________f(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝____________(a>0，a≠1)f(x)＝exf′(x)＝________f(x)＝logax(a>0，a≠1，且x>0)f′(x)＝__________(a>0，a≠1，且x>0)f(x)＝lnxf′(x)＝__________5．导数运算法则(1)f(x)±g(x)]′＝__________；(2)f(x)g(x)]′＝______________；＝______________g(x)≠0]．6．复合函数的求导法则：设函数u＝φ(x)在点x处有导数ux′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x处的对应点u处有导数yu′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处有导数，且y′x＝y′u•u′x，或写作f′x(φ(x))＝f′(u)φ′(x)．自我检测1．在曲线y＝x2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则ΔyΔx为()A．Δx＋1Δx＋2B．Δx－1Δx－2C．Δx＋2D．2＋Δx－1Δx2．设y＝x2•ex，则y′等于()A．x2ex＋2xB．2xexC．(2x＋x2)exD．(x＋x2)•ex3．(2010•全国Ⅱ)若曲线y＝x－12在点(a，a－12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于()A．64B．32C．16D．84．(2011•临汾模拟)若函数f(x)＝ex＋ae－x的导函数是奇函数，并且曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标是()A．－ln22B．－ln2C.ln22D．ln25．(2009•湖北)已知函数f(x)＝f′(π4)cosx＋sinx，则f(π4)＝________.探究点一利用导数的定义求函数的导数例1利用导数的定义求函数的导数：(1)f(x)＝1x在x＝1处的导数；(2)f(x)＝1x＋2.变式迁移1求函数y＝x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求出其导函数．探究点二导数的运算例2求下列函数的导数：(1)y＝(1－x)1＋1x；(2)y＝lnxx；(3)y＝xex；(4)y＝tanx.变式迁移2求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝lnxx2＋1.探究点三求复合函数的导数例3(2011•莆田模拟)求下列函数的导数：(1)y＝(1＋sinx)2；(2)y＝11＋x2；(3)y＝lnx2＋1；(4)y＝xe1－cosx.变式迁移3求下列函数的导数：(1)y＝－；(2)y＝sin22x＋π3；(3)y＝x1＋x2.探究点四导数的几何意义例4已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．变式迁移4求曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程．1．准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点．(2)曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y＝x3在其过(0,0)点的切线y＝0的两侧．2．曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．(1)点P(x0，y0)是切点的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．3．求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当变形．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知函数f(x)＝2ln(3x)＋8x，则－－的值为() A．10B．－10C．－20D．202．(2011•温州调研)如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象，则函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在的区间是()A.14，12B．(1,2)C.12，1D．(2,3)3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝04．(2010•辽宁)已知点P在曲线y＝4ex＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A.0，π4B.π4，π2C.π2，3π4D.3π4，π5．(2011•珠海模拟)在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，|f(x2)－f(x1)|A．f(x)＝1xB．f(x)＝|x|C．f(x)＝2xD．f(x)＝x2题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝13t3－32t2＋2t，那么速度为零的时刻是__________．7．若点P是曲线f(x)＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．8．设点P是曲线y＝x33－x2－3x－3上的一个动点，则以P为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是__________________．三、解答题(共38分)9．(12分)求下列函数在x＝x0处的导数．(1)f(x)＝ex1－x＋ex1＋x，x0＝2；(2)f(x)＝x－x3＋x2lnxx2，x0＝1.10．(12分)(2011•保定模拟)有一个长度为5m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4m时，梯子上端下滑的速度．11．(14分)(2011•平顶山模拟)已知函数f(x)＝12x2－alnx(a∈R)．(1)若函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值；(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．自主梳理1.2.（1）(2)切线的斜率切线斜率的取值范围3.y′或f′(x)4．0αxα－1cosx－sinxaxlnaex1xlna1x5．(1)f′(x)±g′(x)(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)－自我检测1．C2.C3.A4.D5．1解析∵f′(x)＝－f′(π4)sinx＋cosx，∴f′(π4)＝2－1.∴f(π4)＝1.课堂活动区例1解题导引(1)用导数定义求函数导数必须把分式ΔyΔx中的分母Δx 这一因式约掉才可能求出极限，所以目标就是分子中出现Δx，从而分子分母相约分．(2)第(1)小题中用到的技巧是“分子有理化”．“有理化”是处理根式问题常用的方法，有时用“分母有理化”，有时用“分子有理化”．(3)注意在某点处的导数与导数定义式的区别：；；(4)用导数的定义求导的步骤为：①求函数的增量Δy；②求平均变化率ΔyΔx；③化简取极限．解(1)ΔyΔx＝＋－＝＝＝＝，∴＝－12.(2)ΔyΔx＝＋－＝＝＋－＋2＋＋＋2＋＝－＋＋2＋，∴＝－＋变式迁移1解∵Δy＝＋＋1－x20＋1＝＋＋1－x20－＋＋1＋x20＋1＝2x0Δx＋＋＋1＋x20＋1，∴ΔyΔx＝2x0＋＋＋1＋x20＋1.∴∴y'=＝2x2x2＋1＝xx2＋1.例2解题导引求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形．解(1)∵y＝(1－x)1＋1x＝1x－x＝，∴y′＝＝.(2)y′＝lnxx′＝－x′lnxx2＝.(3)y′＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)．(4)y′＝sinxcosx′＝－＝cosxcosx－－＝1cos2x.变式迁移2解(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3•ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)(3e)x－2xln2.(3)y′＝＋－＋＋＝＋－＋＝x2＋1－＋例3解题导引(1)求复合函数导数的思路流程为：分解复合关系→分解复合关系→分层求导(2)由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．解(1)y′＝(1＋s inx)2]′＝2(1＋sinx)•(1＋sinx)′＝2(1＋sinx)•cosx＝2cosx＋sin2x.(2)y′＝′(3)y′＝(lnx2＋1)′＝1x2＋1•(x2＋1)′＝1x2＋1•12(x2＋1)－12•(x2＋1)′＝xx2＋1.变式迁移3解(1)设u＝1－3x，y＝u－4.则yx′＝yu′•ux′＝－4u－5•(－3)＝－(2)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋π3，则yx′＝yu′•uv′•vx′＝2u•cosv•2＝4sin2x＋π3•cos2x＋π3＝2sin4x＋2π3.(3)y′＝(x1＋x2)′＝x′•1＋x2＋x(1＋x2)′＝1＋x2＋x21＋x2＝1＋2x21＋x2.例4解题导引(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异；过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．(2)求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率，只要求函数在该点处的导数即可．(3)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．解(1)∵y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x20.∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，即y＝x20x－23x30＋43.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为k＝x20＝1，解得x0＝±1，故切点为1，53，(－1,1)．故所求切线方程为y－53＝x－1和y－1＝x＋1，即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0.变式迁移4解f′(x)＝3x2－6x＋2.设切线的斜率为k.(1)当切点是原点时k＝f′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y＝2x.(2)当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)，则有y0＝x30－3x20＋2x0，k＝f′(x0)＝3x20－6x0＋2，①又k＝y0x0＝x20－3x0＋2，②由①②得x0＝32，k＝－14.∴所求曲线的切线方程为y＝－14x.综上，曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程为y＝2x或y＝－14x.课后练习区1．C2.C3.A4.D5.A6．1秒或2秒末7.28．12x＋3y＋8＝09．解(1)∵f′(x)＝2ex1－x′＝－－－－＝－－，∴f′(2)＝0.………………………………………………………………(6分)(2)∵f′(x)＝(x－32)′－x′＋(lnx)′＝－32x－52－1＋1x，∴f′(1)＝－32.……………………………………………………(12分)10．解设经时间t秒梯子上端下滑s米，则s＝5－25－9t2，当下端移开1.4m时，……………………………………………………………………(3分) t0＝1.43＝715，……………………………………………………………………………(5分) 又s′＝－12(25－9t2)－12•(－9•2t)＝9t•125－9t2，…………………………………………………………………………(10分) 所以s′(t0)＝9×715•125－9×7152＝0.875(m/s)．故所求的梯子上端下滑的速度为0.875m/s.……………………………………………(12分)11．解(1)因为f′(x)＝x－ax(x>0)，……………………………………………………(2分) 又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，所以2－aln2＝2＋b，2－a2＝1，……………………………………………………………（5分）解得a＝2，b＝－2ln2.……………………………………………………………………(7分)(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，则f′(x)＝x－ax≥0在(1，＋∞)上恒成立，……………………………………………(10分)即a≤x2在(1，＋∞)上恒成立．所以有a≤1.……………………………………………………………………………(14分)。
导数及其应用学案+作业 (答案)
变化率与导数、导数的计算1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义：f ′(x 0)是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．二、基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．1．用定义法求下列函数的导数．(1)y ＝x 2； (2)y ＝4x2.[自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ΔyΔx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2， 所以limΔx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2＝－8x 3. 根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →ΔyΔx.2．求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1；[自主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.3．求下列复合函数的导数： (1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5)． [自主解答] (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5由y ＝u 5 与u ＝2x －3复合而成，∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5)′(2x －3)′ ＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3)4.(2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x 由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成．∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 12)′(3－x )′ ＝12u －12(－1)＝－12u 12- ＝－123－x ＝3－x 2x －6.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ， ∴y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5.4．若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝( )A ．0B ．eC ．2eD ．e 2解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e. 5．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：－x sin x6．（1）曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[自主解答] (1)y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2.又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C7．若上题 (1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程．解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)， 由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x 2， ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.又∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20. ∴x 30＝－1，即x 0＝－1.∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)， 即3x －y ＋13＝0.导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．8．(1)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．(2)(直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)设切点的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝⎛⎭⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案：(1)y ＝4x －3 (2)B9．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2.10．曲线y ＝x －x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0作业111．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2)B ．2(x 2＋a 2)C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．12．已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .13．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0， 即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．14．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________.解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：815．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.16．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)， ∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.17．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝________.解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ， 以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )， 又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝503f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0. 答案：018．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的方程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0， 故所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3， 即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3⎝⎛⎭⎫14－1＝－94. 所以l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.19．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2，则⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20·(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.导数的应用(一)1．函数的单调性在(a ，b )内可导函数f (x )，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0. f (x )在(a ，b )上为增函数⇒f ′(x )≥0 f (x )在(a ，b )上为减函数⇒f ′(x )≤0⇔ 2．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其它点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)函数的极大值：函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．1.f ′(x )>0与f (x )为增函数的关系：f ′(x )>0能推出f (x )为增函数，但反之不一定．如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0，所以f ′(x )>0是f (x )为增函数的充分 不必要条件．2．可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f ′(x 0)＝0是可导函数f (x )在x ＝x 0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y ＝x 3在x ＝0处有y ′|x ＝0＝0，但x ＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点．3．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．20．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选B 函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝(x －1)(x ＋1)x，令y ′≤0，则可得0<x ≤1. 21．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________．解析：f ′(x )＝3x 2－a 在x ∈[1，＋∞)上f ′(x )≥0， 则f ′(1)≥0⇒a ≤3. 答案：322．已知函数f (x )＝ln x ＋k e x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间． [自主解答] (1)由f (x )＝ln x ＋ke x， 得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝1x e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)，令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0. 又e x >0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．23．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)e x，∴f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f′(x)＞0，即(－x2＋2)e x＞0，∵e x＞0，∴－x2＋2＞0，解得－2＜x＜ 2.∴函数f(x)的单调递增区间是(－2，2)．(2)若函数f(x)在R上单调递减，则f′(x)≤0对x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]e x≤0对x∈R都成立．∵e x＞0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立．∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．故不存在a使函数f(x)在R上单调递减．24．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2B．3C．4 D．5解析：选D∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f′(－3)＝0，∴a＝5.25．设函数f(x)＝x e x，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点解析：选D求导得f′(x)＝e x＋x e x＝e x(x＋1)，令f′(x)＝e x(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．26．若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点． (1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点．[自主解答] (1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0， f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，解得a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x .因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2.当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时，g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点． 当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0，故1不是g (x )的极值点． 所以g (x )的极值点为－2. 求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格； (4)由f ′(x )＝0根的两侧导数的符号来判断f ′(x )在这个根处取极值的情况．27．设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)因为f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1， 故f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b ， 从而f ′(x )＝6⎝⎛⎭⎫x ＋a 62＋b －a 26， 即y ＝f ′(x )关于直线x ＝－a6对称．从而由题设条件知－a 6＝－12，即a ＝3.又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0， 得b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1， 所以f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0， 即6(x －1)(x ＋2)＝0， 解得x ＝－2或x ＝1，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，－2)上单调递增； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )<0， 即f (x )在(－2,1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(1，＋∞)上单调递增．从而函数f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝21， 在x ＝1处取得极小值f (1)＝－6.28．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________．解析：f ′(x )＝x 2＋2x －3，f ′(x )＝0，x ∈[0,2]， 得x ＝1.比较f (0)＝－4，f (1)＝－173， f (2)＝－103.可知最小值为－173.答案：－17329．已知函数f (x )＝(x －k )e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值． [自主解答] (1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1. f (x )与f ′(x )的情况如下：所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)．(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k－1；当k －1≥1时，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.30．上题条件不变，求f (x )在区间[0,1]上的最大值．解：当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增． 所以f (x )在[0,1]上的最大值为f (1)＝(1－k )e.当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最大值为f (0)和f (1)较大者．若f (0)＝f (1)，所以－k ＝(1－k )e ，即k ＝e e －1. 当1<k <e e －1时函数f (x )的最大值为f (1)＝(1－k )e ，当ee －1≤k <2时，函数f (x )的最大值为f (0)＝－k ，当k －1≥1时，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减． 所以f (x )在[0,1]上的最大值为f (0)＝－k .综上所述，当k <ee －1时，f (x )的最大值为f (1)＝(1－k )e.当k ≥ee －1时，f (x )的最大值为f (0)＝－k .求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；31．已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16.(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值． 解：(1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ， 由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得a ＝1，b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ； f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,2)上为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 1＝2处取得极小值f (2)＝c －16. 由题设条件知16＋c ＝28，得c ＝12. 此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3， f (2)＝－16＋c ＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.课后作业232．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R解析：选A 函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ex >0，故单调增区间是(0，＋∞)． 33．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析：选C 依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )． 34．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2，当x ＝2时，f ′(x )＝0；当x >2时，f ′(x )>0，函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数，所以x ＝2为函数f (x )的极小值点． 35．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( )A ．－2或2B ．－9或3C ．－1或1D ．－3或1解析：选A 设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.36．若f (x )＝ln xx ，e<a <b ，则( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1解析：选A f ′(x )＝1－ln xx 2，当x >e 时，f ′(x )<0，则f (x )在(e ，＋∞)上为减函数，f (a )>f (b )． 37．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析：选A 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.38．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m 2－12×(m ＋6)>0.所以m >6或m <－3. 答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)39．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．解析：求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x .由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以对m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 答案：－440．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________． 解析：∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，⎩⎪⎨⎪⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝03×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，则x ＝0或x ＝2. ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：441．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间． 解：(1)∵f ′(x )＝2ax ＋bx . 又f (x )在x ＝1处有极值12.∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝12，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，2a ＋b ＝0. 解得a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x.由f ′(x )<0，得0<x <1； 由f ′(x )>0，得x >1.所以函数y ＝f (x )的单调减区间是(0,1)， 单调增区间是(1，＋∞)．42．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值． 解：(1)因f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1， 故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)， f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13⎝⎛因x 2＝－13不在定 义域内，舍去．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3. 43．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x .(1)若f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]上的最大值和最小值． 解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3≥0在[1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤⎣⎡⎦⎤32⎝⎛⎭⎫x ＋1x min ＝3(当x ＝1时取最小值)． ∴a 的取值范围为(－∞，3]． (2)∵f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0， ∴a ＝5，f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，x ∈[1,5]， f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13(舍去)．当1<x <3时，f ′(x )<0，当3<x <5时，f ′(x )>0， 即当x ＝3时，f (x )取极小值f (3)＝－9. 又f (1)＝－1，f (5)＝15，∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15.44．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )解析：选D 因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (1)＋f ′(1)＝0；选项D 中，f (1)>0，f ′(1)>0，不满足f ′(1)＋f (1)＝0.45．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导函数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎝⎛⎭⎫12，2D ．(－2,1)解析：选A 由F (x )＝xf (x )，得F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＝xf ′(x )－f (－x )<0，所以F (x )在(－∞，0)上单调递减，又可证F (x )为偶函数，从而F (x )在[0，＋∞)上单调递增，故原不等式可化为－3<2x －1<3，解得－1<x <2.46．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 解析：选D 由图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 47．已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1x ＋2ax (a ∈R)．(1)当a ＝0时，求f (x )的极值； (2)求f (x )的单调区间．解：(1)∵当a ＝0时，f (x )＝2ln x ＋1x ，f ′(x )＝2x －1x 2＝2x －1x2(x >0)，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上是减函数，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数． ∴f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝2－2ln 2，无极大值． (2)f ′(x )＝2－a x －1x 2＋2a ＝(2x －1)(ax ＋1)x 2(x >0)．①当a ≥0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上是减函数，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数； ②当－2<a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12和⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎭⎫12，－1a 上是增函数； ③当a ＝－2时，f (x )在(0，＋∞)上是减函数；④当a <－2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞和⎝⎛⎭⎫0，－1a 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫－1a ，12上是增函数．导数的应用(二)48． 已知函数f (x )＝x 2ln x －a (x 2－1)，a ∈R.(1)当a ＝－1时，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ≥1时，f (x )≥0成立，求a 的取值范围． [自主解答] (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2ln x ＋x 2－1， f ′(x )＝2x ln x ＋3x .则曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝3，又f (1)＝0，所以切线方程为3x －y －3＝0. (2)f ′(x )＝2x ln x ＋(1－2a )x ＝x (2ln x ＋1－2a )，其中x ≥1.当a ≤12时，因为x ≥1，所以f ′(x )≥0，所以函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，故f (x )≥f (1)＝0.当a >12时，令f ′(x )＝0，得x ＝e a －12.若x ∈[1，e a －12)，则f ′(x )<0，所以函数f (x )在[1，e a －12)上单调递减．所以当x ∈[1，e a －12)时，f (x )≤f (1)＝0，不符合题意．综上a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题．(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图象，数形结合求解．49．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， ∵f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x )， 若x ＝0，则f ′(x )＝0；若x <0，则1－e x >0，所以f ′(x )<0； 若x >0，则1－e x <0，所以f ′(x )<0. ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， 即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知，f (x )在[－2,2]上单调递减． 故[f (x )]min ＝f (2)＝2－e 2，∴m <2－e 2时，不等式f (x )>m 恒成立． 故m 的取值范围为(－∞，2－e 2)． 50．（理科）已知函数f (x )＝e－kx·⎝⎛⎭⎫x 2＋x －1k (k <0)． (1)求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数k ，使得函数f (x )的极大值等于3e －2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)f (x )的定义域为R. f ′(x )＝－k e －kx⎝⎛⎭⎫x 2＋x －1k ＋e －kx (2x ＋1)＝e－kx[－kx 2＋(2－k )x ＋2]，即f ′(x )＝－e－kx(kx －2)(x ＋1)(k <0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝2k . 当k ＝－2时，f ′(x )＝2e 2x (x ＋1)2≥0， 故f (x )的单调递增区间是(－∞，＋∞)． 当－2<k <0时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下：所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，2k 和(－1，＋∞)，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k ，－1. 当k <－2时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下：所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)和⎝⎛⎭⎫2k ，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－1，2k . (2)当k ＝－1时，f (x )的极大值等于3e －2.理由如下：当k ＝－2时，f (x )无极大值．当－2<k <0时，f (x )的极大值为f ⎝⎛⎭⎫2k ＝e －2⎝⎛⎭⎫4k 2＋1k ， 令e －2⎝⎛⎭⎫4k 2＋1k ＝3e －2，即4k 2＋1k ＝3， 解得k ＝－1或k ＝43(舍去)．当k <－2时，f (x )的极大值为f (－1)＝－e kk . 因为e k <e－2,0<－1k <12，所以－e k k <12e －2.因为12e －2<3e －2，所以f (x )的极大值不可能等于3e －2.综上所述，当k ＝－1时，f (x )的极大值等于3e －2.51．（理科）已知函数f (x )＝x －12ax 2－ln(1＋x )，其中a ∈R.(1)若x ＝2是f (x )的极值点，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )在[0，＋∞)上的最大值是0，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝x (1－a －ax )x ＋1，x ∈(－1，＋∞)．依题意，得f ′(2)＝0，解得a ＝13.经检验，a ＝13时，符合题意．故a ＝13.(2)①当a ＝0时，f ′(x )＝x x ＋1，由f ′(x )>0和f ′(x )<0，易得f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝1a －1.当0<a <1时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是⎝⎭0，1a －1，单调递减区间是(－1,0)和⎝⎛⎭1a －1，＋∞. 当a ＝1时，f (x )的单调递减区间是(－1，＋∞)． 当a >1时，－1<x 2<0，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭1a －1，0，单调递减区间是⎝⎭－1，1a －1和(0，＋∞)． ③当a <0时，f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)． 综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)；当0<a <1时，f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a －1，单调递减区间是(－1,0)和⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞； 当a ＝1时，f (x )的单调递减区间是(－1，＋∞)；当a >1时，f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a －1，0，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－1，1a －1和(0，＋∞)． (3)由(2)知a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，由f (0)＝0，知a ≤0时不合题意．当0<a <1时，f (x )在(0，＋∞)上的最大值是f ⎝⎛⎭⎫1a －1，由f ⎝⎛⎭⎫1a －1>f (0)＝0，知0<a <1时不合题意． 当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，可得f (x )在[0，＋∞)上的最大值是f (0)＝0，符合题意．所以f (x )在[0，＋∞)上的最大值是0时，a 的取值范围是[1，＋∞)．52． 已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx ，其中e 是自然常数，a ∈R.(1)讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.[自主解答] (1)∵f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 当1<x <e 时，f ′(x ) >0，此时f (x )单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝1.(2)证明：由(1)知[f (x )]min ＝1.又g ′(x )＝1－ln xx 2， ∴当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e]上单调递增． ∴[g (x )]max ＝g (e)＝1e <12.∴[f (x )]min －[g (x )]max >12.∴在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.(3)在本例条件下，是否存在正实数a ，使f (x )的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解：假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3.因为f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ，当0<1a <e 时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎦⎤1a ，e 上单调递增， 所以[f (x )]min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件； 当1a ≥e 时，f (x )在(0，e]上单调递减， [f (x )]min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)，所以，此时a 不存在．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时f (x )有最小值3.利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，确定函数的最值证明h (x )>0. 53．已知f (x )＝x ln x .(1)求g (x )＝f (x )＋kx (k ∈R)的单调区间； (2)证明：当x ≥1时，2x －e ≤f (x )恒成立． 解：(1)g (x )＝ln x ＋kx ， ∴令g ′(x )＝x －kx 2＝0得x ＝k . ∵x >0，∴当k ≤0时，g ′(x )>0.∴函数g (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间； 当k >0时g ′(x )>0得x >k ；g ′(x )<0得0<x <k ， ∴增区间为(k ，＋∞)，减区间为(0，k )．(2)证明：设h (x )＝x ln x －2x ＋e(x ≥1)， 令h ′(x )＝ln x －1＝0得x ＝e ， h (x )，h ′(x )的变化情况如下：故h (x )≥0.即f (x )≥2x －e.课后作业354．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )解析：选A ∵xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0， ∴⎝⎛⎭⎫f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2≤－2f (x )x 2≤0.则函数f (x )x 在(0，＋∞)上是单调递减的，由于0<a <b ，则f (a )a ≥f (b )b.即af (b )≤bf (a )． 55．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( ) A ．1百万件 B ．2百万件 C ．3百万件D ．4百万件解析：选C 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．56．已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．又函数f (x )是R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝0.当x >0时，f (x )<0，∴0<x <1；当x <0时，图象关于y 轴对称，f (x )>0，∴x <－1.答案：(－∞，－1)∪(0,1)57．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．解析：令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，如图，观察得－2<a <2时恰有三个不同的公共点．答案：(－2,2)58．已知函数f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．解：(1)∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1x .∵x ＞1时，f ′(x )＞0，故f (x )在[1，e]上是增函数， ∴f (x )的最小值是f (1)＝1，最大值是f (e)＝1＋e 2. (2)证明：令F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－23x 3＋ln x ，∴F ′(x )＝x －2x 2＋1x ＝x 2－2x 3＋1x＝x 2－x 3－x 3＋1x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x . ∵x ＞1，∴F ′(x )＜0.∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数．∴F (x )＜F (1)＝12－23＝－16＜0，即f (x )＜g (x )．∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象总在g (x )的图象的下方． 59．已知函数(理)f (x )＝e x－m－x ，(文)f (x )＝1em e x －x ，其中m 为常数．(1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，求m 的取值范围； (2)当m >1时，判断f (x )在[0,2m ]上零点的个数，并说明理由． 解：(1)依题意，可知f (x )在R 上连续，且f ′(x )＝e x －m－1，令f ′(x )＝0，得x ＝m . 故当x ∈(－∞，m )时，e x －m<1，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，e x－m>1，f ′(x )>0，f (x )单调递增；故当x ＝m 时，f (m )为极小值，也是最小值． 令f (m )＝1－m ≥0，得m ≤1，即对任意x ∈R ，f (x )≥0恒成立时，m 的取值范围是(－∞，1]． (2)由(1)知f (x )在[0,2m ]上至多有两个零点，当m >1时，f (m )＝1－m <0. ∵f (0)＝e－m>0，f (0)·f (m )<0，∴f (x )在(0，m )上有一个零点． 又f (2m )＝e m －2m ，令g (m )＝e m －2m ， ∵当m >1时，g ′(m )＝e m －2>0， ∴g (m )在(1，＋∞)上单调递增． ∴g (m )>g (1)＝e －2>0，即f (2m )>0.∴f (m )·f (2m )<0，∴f (x )在(m,2m )上有一个零点． 故f (x )在[0,2m ]上有两个零点．60．已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋3)e x ，x ∈[－2，t ](t >－2)．(1)当t <1时，求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)设f (－2)＝m ，f (t )＝n ，求证：m <n .解：(1)f ′(x )＝(2x －3)e x ＋e x (x 2－3x ＋3)＝e x x (x －1)， ①当－2<t ≤0，x ∈[－2，t ]时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增； ②当0<t <1，x ∈[－2,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(0，t ]时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上，当－2<t ≤0时，y ＝f (x )的单调递增区间为[－2，t ]；当0<t <1时，y ＝f (x )的单调递增区间为[－2,0)，单调递减区间为(0，t ]． (2)证明：依题意得m ＝f (－2)＝13e －2，n ＝f (t )＝(t 2－3t ＋3)e t ，设h (t )＝n －m ＝(t 2－3t ＋3)e t －13e －2，t >－2，h ′(t )＝(2t －3)e t ＋e t (t 2－3t ＋3)＝e t t (t －1)(t >－2)． 故h (t )，h ′(t )随t 的变化情况如下表：由上表可知h (t )的极小值为h (1)＝e －13e 2＝e e2>0，又h (－2)＝0，故当－2<t <0时，h (t )>h (－2)＝0，即h (t )>0，因此，n －m >0，即m <n .61．已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ，b ∈R)在x ＝2处的切线方程为y ＝9x －14.(1)求f (x )的单调区间；(2)令g (x )＝－x 2＋2x ＋k ，若对任意x 1∈[0,2]，均存在x 2∈[0,2]，使得f (x 1)<g (x 2)，求实数k 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－3a ，∵f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝9x －14，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝4，f ′(2)＝9，则⎩⎪⎨⎪⎧ 8－6a ＋b ＝4，12－3a ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝x 3－3x ＋2，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)． 由f ′(x )>0，得x <－1或x >1； 由f ′(x )<0，得－1<x <1.故函数f (x )的单调递减区间是(－1,1)；单调递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)． (2)由(1)知，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增． 又f (0)＝2，f (2)＝4，有f (0)<f (2)，∴函数f (x )在区间[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (2)＝4. 又g (x )＝－x 2＋2x ＋k ＝－(x －1)2＋k ＋1，∴函数g (x )在[0,2]上的最大值为g (x )max ＝g (1)＝k ＋1. ∵对任意x 1∈[0,2]，均存在x 2∈[0,2]，使f (x 1)<f (x 2)成立， ∴有f (x )max <g (x )max ，则4<k ＋1，即k >3. 故实数k 的取值范围是(3，＋∞)．62．设函数f (x )＝ln x －p (x －1)，p ∈R.(1)当p ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)，对任意x ≥1都有g (x )≤0成立，求p 的取值范围． 解：(1)当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，其定义域为(0，＋∞)． 所以f ′(x )＝1x －1.由f ′(x )＝1x －1>0得0<x <1，由f ′(x )<0得x >1.所以函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)由函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)＝x ln x ＋p (x 2－1)(x >0)，得g ′(x )＝ln x ＋1＋2px . 由(1)知，当p ＝1时，f (x )≤f (1)＝0， 即不等式ln x ≤x －1成立．①当p ≤－12时，g ′(x )＝ln x ＋1＋2px ≤(x －1)＋1＋2px ＝(1＋2p )x ≤0，即函数g (x )在[1，＋∞)上单调递减，从而g (x )≤g (1)＝0，满足题意； ②当－12<p <0时，若x ∈⎝⎛⎭⎫1，－12p ，则ln x >0，1＋2px >0， 从而g ′(x )＝ln x ＋1＋2px >0，即函数g (x )在⎝⎛⎭⎫1，－12p 上单调递增，从而存在x 0∈⎝⎛⎭⎫1，－12p 使得g (x 0)>g (1)＝0，不满足题意；③当p ≥0时，由x ≥1知g (x )＝x ln x ＋p (x 2－1)≥0恒成立，此时不满足题意． 综上所述，实数p 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12.集合与常用逻辑用语 函数、导数及其应用一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012·广州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤0，a x ，x >0，若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4。
导数学案(完整版)精心整理
选修（ 1-1）第三章导数及其应用课题：§3.1 变化率与导数学习目标： 1. 了解函数的平均变化率、瞬时变化率的概念；2.理解导数的概念，理解、掌握导数的几何意义3.会利用定义求函数在某一点附近的平均变化率及导数；4.会利用定义求函数在某点处的切线方程.学习过程：一、变化率问题[ 开篇思考 ]：阅读开篇语，了解课程目标1.微积分的创立与自然科学中的哪些问题的处理直接相关？2.导数的研究对象是什么？[ 问题探究一 ]：气球膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢。
从数学的角度如何描述这种现象 ? 阅读教材 P72并思考：（ 1）问题中涉及到的两个变量分别是、，这两个变量间的函数关系是；（2）“气球的半径增加得越来越慢”的意思是“”，从数学角度进行描述就是“”，即气球的平均膨胀率就是.（ 3）运用上述数学解释计算一些具体的值当空气容量从0 增加到 1 L时，气球半径r 增加了，气球的平均膨胀率为；当空气容量从 1 L增加到 2 L时，气球半径r增加了，气球的平均膨胀率为；当空气容量从 2 L增加到 2.5 L时，气球半径r 增加了，气球的平均膨胀率为；当空气容量从 2.5 L增加到 4 L时，气球半径r 增加了，气球的平均膨胀率为；可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐.（ 4）思考：当空气容量从V1增加到 V2时，气球的平均膨胀率是[问题探究二 ]：高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：米 )与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t) 4.9t 2 6.5t10如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？阅读教材 P73并思考：h若用运动员在某段时间t1 , t 2内的平均速度v 描述其运动状态，那么：（ 1）v =；（ 2）算一算：在0t0.5 这段时间内， v =ot 在1t2这段时间内， v =t1 t2在0t65这段时间内， v =49[新知 ]：设 y f (x) ， x1是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点 x2， x1与 x2的差记为x，即x =或者 x2 =， x 就表示从x1到 x2的变化量或增量；相应地，函数的变化量或增量记为y ，即 y =；如果它们的比值y ，则上式就表示为，此比值就称为平均变化率 .x平均变化率： _______________ = ______反思：所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值 .[ 试一试 ]：[探究 ]：计算[问题探究二]运动员在0 t 65这段时间里的平均速度，并思考以下问题：例：已知函数 f ( x)2f ( x) 在下列区间上的平均变化率：49 x ，分别计算（1）1，1.1（2）1，2（ 1）运动员在这段时间内使静止的吗？（ 3）1，1x（ 2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：[知识回顾 ]：什么是函数y f ( x) 的平均变化率？如何求平均变化率？[ 思考 ] ：当x越来越小时，函数 f ( x) 在区间1 ， 1x 上的平均变化率有怎样的变化趋势？[想一想 ]：既然用平均速度不能精确描述运动员的运动状态，那该如何求运动员在某一时刻的速度呢？y =回答下列问题：[ 变式 ] ：已知函数 f (x)x2x 的图象上一点 1 ， 2 及邻近一点 1 x ， 2y，则1．什么是瞬时速度？x2. 当t 趋近于 0 时,平均速度v有什么样的变化趋势？3. 运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示？[ 学习小结 ]：[认识与理解 ]：求瞬时速度1.函数 f ( x) 的平均变化率是一物体的运动方程是 s 3t 2，则在t 2 时刻的瞬时速度是2.求函数 f ( x) 的平均变化率的步骤：（ 1）求函数值的增量；（ 2）计算平均变化率.[ 作业 ] ：形成练习 P41-42练习 21 函数的平均变化率[新知 ]：[再思考 ]：计算[问题探究二]中运动员在0 t 651. 函数y f ( x) 的瞬时变化率怎样表示？这段时间里的平均速度，思考以下问题：49（1）运动员在这段时间内使静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？二、导数的概念 2. 什么是函数y f ( x) 在 x x0处的导数？如何表示？其本质是什么？[试一试 ]：例 1．（ 1）用定义求函数y 3x2在x 1 处的导数.（ 2）求函数f(x)=x 2x 在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例 2．阅读教材P75例 1, 计算第3h时和第5h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.[ 学习小结 ]：1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．函数y f (x) 在 x x0处的导数及其本质[ 作业 ] ：形成练习P43-44练习 22 导数的概念三、导数的几何意义（阅读教材P74-75）[思考与探究一]：曲线的切线及切线的斜率如图 3.1-2，当P(x, f (x))( n 1,2,3,4)沿着曲线f (x)趋近于点 P( x, f (x)) 时，割线 PP n的n n n00变化趋势是什么？图3.1-2当点 P n沿着曲线无限接近点P 即x→0 时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的.[想一想 ]：（1）割线PP n的斜率k n与切线 PT 的斜率k有什么关系？（2）切线 PT 的斜率k为多少？（3）此处切线的定义与以前学过的切线的定义有什么不同？[新知 1]：导数的几何意义：1.函数 y f ( x) 在 x x0处的导数等于即 f (x0 )limf ( x0x) f ( x0 )0xkx2.函数 y f ( x) 在 x x0处的切线方程是.3.求曲线在某点 P 处的切线方程的基本步骤:①求出点的坐标 P( x0 , f ( x0 )) ；② 求出函数在点x x0处的变化率 f (x0 ) lim0f ( x0x) f ( x0 )k ，x x得到曲线在点P( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.[新知 2]：导函数：1.什么是函数 y f ( x) 的导函数？2. 函数f ( x)在点x0处的导数 f (x0 ) 、导函数 f ( x) 、导数之间的区别与联系？[ 试一试 ]：例 1:（1）求曲线y f ( x) x 2 1 在点 P(1,2) 处的切线方程.例 2：在曲线y x2上过哪一点的切线平行于直线y 4 x 5？例 3：（1）试描述函数 f ( x) 在x5, 4, 2,0,1附近的的变化情况.（ 2）已知函数 f (x) 的图象 ,试画出其导函数 f (x) 图象的大致形状.[练一练 ]：（ 1）求函数 f (x) 3x 2在点x 1 处的切线方程.（ 2）设曲线 f ( x) x2在点 P0处的切线斜率是3，则点P0的坐标是[学习小结 ]：1.导数的几何意义是什么？2.函数 f ( x) 在点 x0处的导数 f ( x0 ) 、导函数 f (x) 、导数之间的区别与联系？3.求曲线在某点 P 处的切线方程的基本步骤:[ 作业 ]：1. 形成练习 P44-45练习 23 导数的几何意义； 2.学探诊测试十一[课后思考 ]： 1. 本节知识内容有哪些？你学会了什么？ 2.你还有哪些困惑？快快去解决 .课题：§3.2导数的计算学习目标： 1．会利用导数的定义推导函数y c 、 y x 、 y x 2 、 y1 的导数公式；x2．掌握基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，会求简单函数的导数.学习过程：一、几个常用函数的导数[开篇语 ]：我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数y f ( x) ，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限， 这在运算上很麻烦， 有时甚至很困难， 为了能够较快求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们先来求几个常用的函数的导数．[思考与探究 ]：阅读教材 P 81-82，利用导数的定义，尝试自己推导函数y c 、 yx 、 yx 2 、y1的导数x[练一练 1]：利用导数的定义函数 y x 3的导数二、基本初等函数的导数公式及导数运算法则[记一记 1]：基本初等函数的导数公式1. ( c) _________2. ( x )________（为有理数）( 1)_________x3. ( e x )_________(a x )_________( a 0, a 1 )4. (ln x) __________(log a x) ________( a 0, a 1 ) 5. (sin x)_________(cos x)_________[练一练 2]例 1：求下列函数的导数（ 1） y x 3（ 2） y x x（3 ） y 1x 2（ 4） y 2 sin x cosx（ 5） y1 22x例 2：（ 1）求 y1 在点 ( 2, 1) 处的切线方程x 2（ 2）求 y ln x 在 xe 2 处的切线方程（ 3）求 ysin x 在点 A( , 1) 处的切线方程6 2（ 4）设曲线 f ( x) 2x 2在点 P 0 处的切线斜率是 3，则点 P 0 的坐标是（ 5）在曲线 yx 2 上过哪一点的切线平行于直线y 4 x 5？（ 6）求过点 P2, 8 所作的 yx 3 的切线方程 ___________.[记一记 2]：导数运算法则：设函数 f ( x), g (x) 是可导函数，1.( f ( x)g( x))_________________.2.( f ( x)g( x))_________________.cf (x)_____________.3.( f ( x) )_________________.g( x)[练一练 3]：练 1. 求下列函数的导数：（ 1）y1log 3 x ；（ 2） y2e x；x（ 3） y 2x53x2 5 x 4 ；（4）y3cos x 4sin x .练 2. 求下列函数的导数：3（ 1） y x3log 2 x ；（ 2） y x n e x；（ 3） y x 1sin x练 3.（ 1）设曲线y x 1在点(3, 2)处的切线与直线ax y 1 0垂直，则a的值. x1（ 2）（2013 年江西）若曲线y x 1( α∈ R)在点 (1,2)处的切线经过坐标原点,则α的值 .[提高篇 ]1.（朝阳一模）已知函数 f x x 2 a 2 x a ln x ，其中a R ，求曲线y f x在点2, f 2处的切线的斜率为1，求a的值 .（如改为已知切线方程）2. （ 2012 北京）已知函数f xax 2 1 a0 ， g x x 3bx .若曲线 y f x 与曲线 y g x在它们的交点 1, c 处具有公共切线，求a,b 的值.[学习小结 ]：1．对于简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则。
高中数学选修2-2导数导学案加课后作业及参考答案
§1.1.1函数的平均变化率导学案【学习要求】1．理解并掌握平均变化率的概念．2．会求函数在指定区间上的平均变化率．3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．【学法指导】从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义.【知识要点】1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝ ，则当Δx ≠0时，商xx f x x f ∆-∆+)()(00＝____叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的 ．2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：ΔyΔx ＝__________表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 .【问题探究】在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题． 探究点一 函数的平均变化率问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． 问题3 平均变化率有什么几何意义？跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则：（1）函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； （2）函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．探究点二 求函数的平均变化率例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率： （1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]；（4）[1,1.001]．跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )时的平均变化率．问题 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？探究点三 平均变化率的应用例3 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？【当堂检测】1．函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为__________2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________3．甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是________．【课堂小结】1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢． 2．求函数f (x )的平均变化率的步骤： （1）求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； （2）计算平均变化率Δy Δx ＝1212)()(xx x f x f --.【拓展提高】1．设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ） A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆ C ．0()f x x ∆ D ．00()()f x x f x +∆- 2．质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆【课后作业】一、基础过关1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( )A ．在[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．以上都不对 2．函数f (x )＝2x 2－x 在x ＝2附近的平均变化率是( ) A ．7B ．7＋ΔxC ．7＋2ΔxD ．7＋2(Δx )23．某物体的运动规律是s ＝s (t )，则该物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是 ( ) A ．v ＝s (t ＋Δt )－s (t )ΔtB ．v ＝s (Δt )ΔtC ．v ＝s (t )tD ．v ＝s (t ＋Δt )－s (Δt )Δt4. 如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是 ( )A ．1B ．－1C ．2D ．－25．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在[2,2.1]时间内的平均速度为 ( ) A ．0.41B ．3C ．4D ．4.16．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线， 当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________. 二、能力提升7．甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，则________跑得快． 8．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀 率为28π3，则m 的值为________．9．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ，②y ＝x 2，③y ＝x 3，④y ＝1x 中，平均变化率最大的是________．10．求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．11．求函数y ＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率．12．已知气球的体积为V (单位：L )与半径r (单位：dm )之间的函数关系是V (r )＝43πr 3.（1）求半径r 关于体积V 的函数r (V )；（2）比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 半径r 的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？三、探究与拓展13．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？§1.1.2瞬时速度与导数导学案【学习要求】1．掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义．2．会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率． 3．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法． 4．理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．【学法指导】导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率和瞬时变化率的关系，体会无限逼近的思想；可以从物理意义，几何意义多角度理解导数.【知识要点】1．瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为 ．设物体运动路程与时间的关系是s ＝s (t )，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率tt s t t s ∆-∆+)()(00，当Δt →0时的极限，即v ＝lim Δt →0 ΔsΔt ＝__________________2．瞬时变化率：一般地，函数y ＝f (x )在x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx＝_________________. 3．导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x 0处的瞬时变化率是_________________，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的 ，记为 ，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝________________4．导函数：如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b ) ．这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数)(x f '，于是在区间(a ，b )内，)(x f '构成一个新的函数，把这个函数称为函数y ＝f (x )的 ．记为 或y ′(或y ′x )．导函数通常简称为【问题探究】探究点一 瞬时速度问题1 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态？问题2 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ 问题3 如何描述物体在某一时刻的运动状态？例1 火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100 s m /.试问熄火后多长时间火箭向上速度为0? 问题4 火箭向上速度变为0，意味着什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗？跟踪训练1 质点M 按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s )．若质点M 在t ＝2时的瞬时速度为8s m /，求常数a 的值．探究点二 导 数问题1 从平均速度当Δt →0时极限是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？ 问题2 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？ 问题3 导函数和函数在一点处的导数有什么关系？例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数． 跟踪训练2 已知y ＝f (x )＝x ＋2，求f ′(2)．探究点三 导数的实际应用例3 一正方形铁板在0℃时，边长为10cm ，加热后铁板会膨胀．当温度为C t 0时，边长变为10(1＋at )cm ，a 为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率． 跟踪训练3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h 时，原油的温度(单位：C 0)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．【当堂检测】1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不等于02．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是 ( )A ．at 0B ．－at 0C ．12at 0D ．2at 03．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是 ( )A ．3B ．－3C ．2D ．－24．已知函数f (x )＝1x，则)1(f '＝________【课堂小结】1．瞬时速度是平均速度当Δt →0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当Δx →0时的极限值．2．利用导数定义求导数的步骤：（1）求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； （2）求平均变化率ΔyΔx ；（2）取极限得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx. 【拓展提高】1．()()()为则设hf h f f h 233lim ,430--='→（ ）A ．－１B ．－2C ．－3D ．12．一质点做直线运动,由始点起经过t s 后的距离为23416441t t t s +-=,则速度为零的时刻是 （ ） A ．4s 末 B ．8s 末 C ．0s 与8s 末 D ．0s ,4s ,8s 末【课后作业】一、基础过关1．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为 ( )A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 2．函数y ＝1在[2,2＋Δx ]上的平均变化率是( )A ．0B ．1C ．2D ．Δx 3．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C ．13f ′(1)D ．f ′(3)4．一质点按规律s (t )＝2t 3运动，则t ＝1时的瞬时速度为( ) A ．4 B ．6 C ．24 D ．48 5．函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数为( )A ．12B ．6C ．3D ．26．甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( )A ．甲B ．乙C ．相同D ．不确定7．函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为__________. 二、能力提升8．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时， 割线的斜率k ＝________.9．函数f (x )＝1x 2＋2在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.10．求函数y ＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率.11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数.12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值.三、探究与拓展13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s )s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3) ①29＋3(t －3)2 (0≤t <3) ② 求：（1）物体在t ∈[3,5]内的平均速度； （2）物体的初速度v 0； （3）物体在t ＝1时的瞬时速度.§1.1.3导数的几何意义导学案【学习要求】1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义． 2．会求导函数．3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．【学法指导】前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想，本节再利用数形结合思想进一步直观感受这种思想，并进一步体会另一种重要思想——以直代曲.【知识要点】1．导数的几何意义（1）割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx )) 的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝__________________.当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的 ．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋向于在点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝ ＝___________________. （2）导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的 ．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为_______________________． 2．函数的导数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，)(x f '是x 的一个函数，称)(x f '是f (x )的导函数(简称导数)．)(x f '也记作y ′，即)(x f '＝y ′＝_______________【问题探究】探究点一 导数的几何意义问题1 如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 的变化趋势是什么？问题2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？例1 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h (t )在t 0，t 1，t 2附近的变化情况．跟踪训练1 （1）根据例1的图象，描述函数h (t )在t 3和t 4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．（2）若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是 ( )探究点二 求切线的方程问题1 怎样求曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程？问题2 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与曲线过某点(x 0，y 0)的切线有何不同？ 例2 已知曲线y ＝x 2，求：（1）曲线在点P (1,1)处的切线方程； （2）曲线过点P (3,5)的切线方程． 跟踪训练2 已知曲线y ＝2x 2－7，求：（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? （2）曲线过点P (3,9)的切线方程．【当堂检测】1．已知曲线f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为 ( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．22．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则 ( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 3．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为_______【课堂小结】1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.【拓展提高】1．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 2．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为【课后作业】一、基础过关 1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在 2．已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是 ( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )<f ′(x B ) C ．f ′(x A )＝f ′(x B ) D ．不能确定3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是 ( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1B ．12C ．－12 D ．－15．曲线y ＝－1x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝xC ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －26．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.二、能力提升7．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－x )x ＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是 ( ) A ．1B ．－1C ．12D ．－28．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________.9．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________.10．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线.11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求：（1）它们的交点；（2）抛物线在交点处的切线方程.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值.三、探究与拓展13．根据下面的文字描述，画出相应的路程s 关于时间t 的函数图象的大致形状：（1）小王骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （2）小华早上从家出发后，为了赶时间开始加速； （3）小白早上从家出发后越走越累，速度就慢下来了§1．2.1 常数函数与幂函数的导数导学案 §1．2.2 导数公式表及数学软件的应用导学案【学习要求】1．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．【学法指导】1．利用导数的定义推导简单函数的导数公式，类推一般多项式函数的导数公式，体会由特殊到一般的思想．通过定义求导数的过程，培养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣． 2．本节公式是下面几节课的基础，记准公式是学好本章内容的关键．记公式时，要注意观察公式之间的联系．【知识要点】1原函数 导函数 f (x )＝c f ′(x )＝___ f (x )＝x f ′(x )＝___ f (x )＝x 2 f ′(x )＝___ f (x )＝1xf ′(x )＝_____ f (x )＝xf ′(x )＝_______2．基本初等函数的导数公式【问题探究】探究点一 求导函数问题1 怎样利用定义求函数y ＝f (x )的导数？ 问题2 利用定义求下列常用函数的导数： （1）y ＝c ；（2）y ＝x ；（3）y ＝x 2；（4）y ＝1x；（5）y ＝x . 问题3 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？例1 求下列函数的导数：（1）y ＝sin π3；（2）y ＝5x ；（3）y ＝1x3；（4）y ＝4x 3；（5）y ＝log 3x .跟踪训练1 求下列函数的导数：（1）y ＝x 8；（2）y ＝(12)x ；（3）y ＝x x ；（4）x y 31log =探究点二 求某一点处的导数 例2 判断下列计算是否正确．求f (x )＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下：f ′⎝⎛⎭⎫π3＝⎝⎛⎭⎫cos π3′＝－sin π3＝－32. 跟踪训练2 求函数f (x )＝13x在x ＝1处的导数．探究点三 导数公式的综合应用例3 已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．跟踪训练3 点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．【当堂检测】1．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若y ＝1x 2，则y ′＝－2x －3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3.其中正确的个数是 ( ) A ．1 B ．2C ．3D ．42．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于 ( )A ．36B ．0C ．12xD ．323．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ( )A ．[0，π4]∪[3π4，π)B ．[0，π)C ．[π4，3π4]D ．[0，π4]∪[π2，3π4]4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________【课堂小结】1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.【拓展提高】1．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数的图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A ．0° B ．锐角C ．直角 D ．钝角2．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为___________【课后作业】一、基础过关1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12 ②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2 ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2A ．0B ．1C ．2D ．3 2．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫12，2B ．⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2C ．⎝⎛⎭⎫－12，－2D ．⎝⎛⎭⎫12，－2 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于 ( ) A ．4 B ．－4C ．5D ．－54．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定5．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于 ( )A ．64B ．32C ．16D ．86．若y ＝10x，则y ′|x ＝1＝________.7．曲线y ＝14x 3在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为______.二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A ．1eB ．－1eC ．－eD ．e9．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.10．求下列函数的导数：（1）y ＝x x ；（2）y ＝1x4；（3）y ＝5x 3；（4）y ＝log 2x 2－log 2x ；（5）y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4.11．求与曲线y ＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直于点P 的直线方程.12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离.三、探究与拓展13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2 012(x ).§1.2.3导数的四则运算法则(一)导学案【学习要求】1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．【学法指导】应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到巩固知识、提升能力的目的.【知识要点】导数的运算法则设两个可导函数分别为f (x )和g (x )【问题探究】探究点一 导数的运算法则问题1 我们已经会求f (x )＝5和g (x )＝1.05x 等基本初等函数的导数，那么怎样求f (x )与g (x )的和、差、积、商的导数呢？问题2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？ 例1 求下列函数的导数： （1）y ＝3x－lg x ；（2）y ＝(x 2＋1)(x －1)；（3）y ＝x 5＋x 7＋x 9x.跟踪训练1 求下列函数的导数：（1）f (x )＝x ·tan x ； （2）f (x )＝2－2sin 2x 2； （3）f (x )＝x －1x ＋1； （4）f (x )＝sin x1＋sin x.探究点二 导数的应用例2 （1）曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为_______________（2）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________（3）已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．跟踪训练2 （1）曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为 ( ) A ．－12B.12C ．－22 D ．22（2）设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c的值．【当堂检测】1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于 ( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )2．曲线f (x )＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A ．193B ．163C ．133D ．1034．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝_______5．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．【课堂小结】求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.【课后作业】一、基础过关1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1 D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x2．函数y ＝x1－cos x 的导数是 ( )A ．1－cos x －x sin x 1－cos xB ．1－cos x －x sin x (1－cos x )2C ．1－cos x ＋sin x (1－cos x )2D ．1－cos x ＋x sin x (1－cos x )23．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．04．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12C ．－12 D ．－25．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－126．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________. 7．若某物体做s ＝(1－t )2的直线运动，则其在t ＝1.2 s 时的瞬时速度为________. 二、能力提升8．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]9．若函数f (x )＝13x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.10．求下列函数的导数：（1）y ＝(2x 2＋3)(3x －1)；（2）y ＝(x －2)2； （3）y ＝x －sin x 2cos x2.11．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的表达式.12．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.（1）求f (x )的解析式；（2）证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.三、探究与拓展13．已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1和C 2都相切，求直线l 的方程.§1.2.3导数的四则运算法则(二)导学案【学习要求】1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f (ax ＋b )的导数)．【学法指导】复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程．【问题探究】探究点一 复合函数的定义问题1 观察函数y ＝2x cos x 及y ＝ln(x ＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？ 问题2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？问题3 在复合函数中，内层函数的值域A 与外层函数的定义域B 有何关系？ 例1 指出下列函数是怎样复合而成的：（1）y ＝(3＋5x )2； （2）y ＝log 3(x 2－2x ＋5)； （3）y ＝cos 3x . 跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成：（1）y ＝ln x ； （2）y ＝e sin x ； （3）y ＝cos (3x ＋1)．探究点二 复合函数的导数 问题 如何求复合函数的导数？ 例2 求下列函数的导数：（1）y ＝(2x －1)4； （2）y ＝11－2x ； （3）y ＝sin(－2x ＋π3)； （4）y ＝102x ＋3.跟踪训练2 求下列函数的导数．（1）y ＝ln 1x； （2）y ＝e 3x ； （3）y ＝5log 2(2x ＋1)．探究点三 导数的应用 例3 求曲线y ＝e 2x＋1在点(－12，1)处的切线方程．跟踪训练3 曲线y ＝e 2x cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．【当堂检测】1．函数y ＝(3x －2)2的导数为 ( )A ．2(3x －2)B ．6xC ．6x (3x －2)D ．6(3x －2) 2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于 ( ) A ．sin 2x B ．2sin x C ．sin x cos x D ．cos 2x 3．若y ＝f (x 2)，则y ′等于 ( ) A ．2xf ′(x 2) B ．2xf ′(x ) C ．4x 2f (x ) D ．f ′(x 2)4．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.【课堂小结】求简单复合函数f (ax ＋b )的导数 求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.【拓展提高】1 ．已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,,且q p ≠,不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立,则实数a 的取值范围为____________ 【课后作业】一、基础过关1．下列函数不是复合函数的是( )A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos(x ＋π4)C ．y ＝1ln x D ．y ＝(2x ＋3)42．函数y ＝1(3x －1)2的导数是( )A ．6(3x －1)3B ．6(3x －1)2C ．－6(3x －1)3D ．－6(3x －1)23．y ＝e x 2－1的导数是( )A ．y ′＝(x 2－1)e x 2－1B ．y ′＝2x e x 2－1C ．y ′＝(x 2－1)e xD ．y ′＝e x 2－1 4．函数y ＝x 2cos 2x的导数为( )A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2xB ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2xC ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x5．函数y ＝(2 011－8x )3的导数y ′＝________.6．曲线y ＝cos(2x ＋π6)在x ＝π6处切线的斜率为________．7．函数f (x )＝x (1－ax )2(a >0)，且f ′(2)＝5，则实数a 的值为________． 二、能力提升8．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－29．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A ．92e 2B ．4e 2C ．2e 2D ．e 210．求下列函数的导数：（1）y ＝(1＋2x 2)8； （2）y ＝11－x 2； （3）y ＝sin 2x －cos 2x ； （4）y ＝cos x 2.11．已知a >0，f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，l 是曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线．求切线l 的方程．12．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s (单位：m )关于时间t (单位：s)的函数为s ＝s (t )＝5－25－9t 2.求函数在t ＝715 s 时的导数，并解释它的实际意义．三、探究与拓展13．求证：可导的奇函数的导函数是偶函数．§1.3.1利用导数判断函数的单调性导学案【学习要求】1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式． 3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．【学法指导】结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想.【知识要点】一般地，在区间(a ，b )内函数的单调性与导数有如下关系：f′(x)>0单调递___f′(x)<0单调递____f′(x)＝0常函数【问题探究】探究点一函数的单调性与导函数正负的关系问题1观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？问题2若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？问题3（1）如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间．（2）函数的单调区间与其定义域满足什么关系？例1已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4或x<1时，f′(x)<0；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．跟踪训练1函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．例2求下列函数的单调区间：（1）f(x)＝x3－4x2＋x－1；（2）f(x)＝2x(e x－1)－x2；（3）f(x)＝3x2－2ln x.跟踪训练2求下列函数的单调区间：（1）f(x)＝x2－ln x；（2）f(x)＝e xx－2；（3）f(x)＝sin x(1＋cos x)(0≤x<2π)．探究点二函数的变化快慢与导数的关系问题我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？你能否从导数的角度解释变化的快慢呢？例3如图，设有圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下图所示的四种情况中的哪一种？() 跟踪训练3（1）如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．（2）已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()【当堂检测】1．函数f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是()A．单调增函数B．单调减函数C．在⎝⎛⎭⎫0，1e上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e，6上是增函数D．在⎝⎛⎭⎫0，1e上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1e，6上是减函数2．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()。
导数的概念及运算--附答案
3.1导数的概念及运算(学案） 姓名【一.导数的意义】1.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 称为函数()y f x =在0x x =处的导数.其几何意义为：【二.导数的运算公式】①()c '= ；②()nx '= ；③(sin )x '= ；④(cos )x '= ；⑤()xa '= ；⑥()x e '= ;⑦(log )a x '= ；⑧(ln )x '= ；⑨1()x'=；⑩'= ； 【三.导数的运算法则】①.和差的导数：[()()]f x g x '±= ；②.[()]C f x '⋅= ；其中C 为常数。
③.积的导数：[()()]f x g x '= ；④.商的导数：()()f x g x '⎛⎫ ⎪⎝⎭=(()0)g x ≠。
【四.复合函数的导数】设函数()u g x =在点x 处有导数x u '，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数u y '，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x y '＝__ ______， 【五.求导】1.求导：①)5'⋅xa x （=5x 4·a x ＋x 5·a x ln a；② sin(2)3x π'⎛⎫+ ⎪⎝⎭=③2ln 1x x '⎛⎫ ⎪+⎝⎭=2．已知 f (x )＝x 2＋3x (2)f '，则(2)f '＝__-2___.3.求函数y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －100) (x >100)的导数.解析：两边取对数得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －100)．两边对x 求导：y ′y ＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －100.∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －100·(x －1)(x －2)·…·(x －100)．【六.导数的几何意义】4.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．解 (1)∵y ＝13x 3＋43，∴y ′＝x 2，∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4 由y －4＝4(x －2)，得4x －y －4＝0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为 4x －y －4＝0(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝05.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是___max 11()2t e e=+_____． 解析：设00(,),xP x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y ee x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e=+。
导数学案(有答案)
3、1、1平均变化率课时目标1、理解并掌握平均变化率得概念、2、会求函数在指定区间上得平均变化率、3、能利用平均变化率解决或说明生活中得实际问题．1．函数f(x)在区间[x1，x2]上得平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx瞧作就是相对于x1得一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)得平均变化率可以表示为________．2．函数y＝f(x)得平均变化率ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1得几何意义就是：表示连接函数y＝f(x)图象上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))得割线得________．一、填空题1．当自变量从x0变到x1时，函数值得增量与相应自变量得增量之比就是函数________．(填序号)①在[x0，x1]上得平均变化率；②在x0处得变化率；③在x1处得变化率；④以上都不对．2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数得增量Δy＝______________、3．已知函数f(x)＝2x2－1得图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝________、4．某物体做运动规律就是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内得平均速度就是______________．5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间得平均变化率就是________．6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0、1时，Δy得值为________．7．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)得割线得斜率为______．8．若一质点M 按规律s(t)＝8＋t 2运动，则该质点在一小段时间[2,2、1]内相应得平均速度就是________． 二、解答题9．已知函数f(x)＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上得平均变化率． 10．过曲线y ＝f(x)＝x 3上两点P(1,1)与Q(1＋Δx ，1＋Δy)作曲线得割线，求出当Δx ＝0、1时割线得斜率．能力提升 11、甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快？ 12．函数f(x)＝x 2＋2x 在[0，a]上得平均变化率就是函数g(x)＝2x －3在[2,3]上得平均变化率得2倍，求a 得值．1．做直线运动得物体，它得运动规律可以用函数s ＝s(t)描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体得位移(即位置)改变量就是Δs ＝s(t 0＋Δt)－s(t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 得比就就是这段时间内物体得平均速度v ，即v ＝ΔsΔt＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 、2．求函数f(x)得平均变化率得步骤：(1)求函数值得增量Δy ＝f(x 2)－f(x 1)；(2)计算平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1、3、1、2 瞬时变化率——导数(二)课时目标 1、知道导数得几何意义、2、用导数得定义求曲线得切线方程．1．导数得几何意义函数y ＝f(x)在点x 0处得导数f ′(x 0)得几何意义就是：________________________________、2．利用导数得几何意义求曲线得切线方程得步骤： (1)求出函数y ＝f(x)在点x 0处得导数f ′(x 0)；(2)根据直线得点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．一、填空题1．曲线y ＝1x在点P(1,1)处得切线方程就是________．2．已知曲线y ＝2x 3上一点A(1,2)，则A 处得切线斜率为________． 3．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处得切线方程就是____________．4．若曲线y ＝x 4得一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 得方程为______________． 5．曲线y ＝2x －x 3在点(1,1)处得切线方程为________．6．设函数y ＝f(x)在点x 0处可导，且f ′(x 0)>0，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处切线得倾斜角得范围就是________．7．曲线f(x)＝x 3＋x －2在点P 处得切线平行于直线y ＝4x －1，则P 点得坐标为______________．8．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________、 二、解答题9．已知曲线y ＝4x 在点P(1,4)处得切线与直线l 平行且距离为17，求直线l 得方程．10．求过点(2,0)且与曲线y ＝1x 相切得直线方程．能力提升11．已知曲线y ＝2x 2上得点(1,2)，求过该点且与过该点得切线垂直得直线方程． 12．设函数f(x)＝x 3＋ax 2－9x －1 (a<0)．若曲线y ＝f(x)得斜率最小得切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 得值．1．利用导数可以解决一些与切线方程或切线斜率有关得问题．2．利用导数求曲线得切线方程，要注意已知点就是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y －f(x 0)＝f ′(x 0) (x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f(x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．3、1、2 瞬时变化率——导数(一)课时目标 1、掌握用极限形式给出得瞬时速度及瞬时变化率得精确定义、2、会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻得瞬时速度及瞬时变化率、3、理解并掌握导数得概念，掌握求函数在一点处得导数得方法、4、理解并掌握开区间内得导数得概念，会求一个函数得导数．1．瞬时速度得概念作变速直线运动得物体在不同时刻得速度就是不同得，把物体在某一时刻得速度叫____________．用数学语言描述为：设物体运动得路程与时间得关系就是s ＝f(t)，当Δt 趋近于0时，函数f(t)在t 0到t 0＋Δt 之间得平均变化率f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt趋近于常数，我们这个常数称为______________． 2．导数得概念设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，当Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝____________无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在点x ＝x 0处________，并称该常数A 为______________________________，记作f ′(x 0)． 3．函数得导数若f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点得导数也随着自变量x 得变化而变化，因而也就是自变量x 得函数，该函数称为f(x)得导函数，记作f ′(x)． 4．瞬时速度就是运动物体得位移S(t)对于时间t 得导数，即v(t)＝________、 5．瞬时加速度就是运动物体得速度v(t)对于时间t 得导数，即a(t)＝________、一、填空题1．任一作直线运动得物体，其位移s 与时间t 得关系就是s ＝3t －t 2，则物体得初速度就是________．2．设f(x)在x ＝x 0处可导，则当Δx 无限趋近于0时f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx得值为________．3．一物体得运动方程就是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时得瞬时速度就是________．4．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝32处得瞬时变化率就是________．5．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处得导数就是________．6．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________、 7．曲线f(x)＝x 在点(4,2)处得瞬时变化率就是________．8．已知物体运动得速度与时间之间得关系就是：v(t)＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内得平均加速度就是________，在t ＝1时得瞬时加速度就是________． 二、解答题9．用导数得定义，求函数y ＝f(x)＝1x在x ＝1处得导数． 10、枪弹在枪筒中可以瞧作匀加速直线运动，如果它得加速度就是a ＝5×105 m /s 2，枪弹从枪口射出时所用得时间为1、6×10－3 s ．求枪弹射出枪口时得瞬时速度．能力提升11．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，求函数在x ＝2处得导数．12．以初速度v 0 (v 0>0)垂直上抛得物体，t 秒时间得高度为s(t)＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处得瞬时速度．1．利用定义求函数在一点处导数得步骤： (1)计算函数得增量：Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)． (2)计算函数得增量与自变量增量Δx 得比ΔyΔx、(3)计算上述增量得比值当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于A 、2．导数得物理意义就是物体在某一时刻得瞬时速度．3、2、1 常见函数得导数课时目标 1、理解各个公式得证明过程，进一步理解运用概念求导数得方法、2、掌握常见函数得导数公式、3、灵活运用公式求某些函数得导数．1．几个常用函数得导数： (kx ＋b)′＝______； C ′＝______ (C 为常数)； x ′＝______； (x 2)′＝______；⎝⎛⎭⎫1x ′＝________、 2．基本初等函数得导数公式：(x α)′＝________(α为常数) (a x )′＝________ (a>0，且a ≠1) (log a x)′＝1xlog a e ＝________ (a>0，且a ≠1)(e x )′＝________ (ln x)′＝________ (sin x)′＝________ (cos x)′＝________一、填空题1．下列结论不正确得就是________．(填序号) ①若y ＝3，则y ′＝0； ②若y ＝1x，则y ′＝－12x ；③若y ＝－x ，则y ′＝－12x；④若y ＝3x ，则y ′＝3、2．下列结论：①(cos x)′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则f ′(3)＝－227、其中正确得有______个．3．设f 0(x)＝sin x ，f 1(x)＝f ′0(x)，f 2(x)＝f ′1(x)，…，f n ＋1(x)＝f ′n (x)，n ∈N ，则f 2 010(x )＝________、4．已知曲线y ＝x 3在点P 处得切线斜率为k ，则当k ＝3时得P 点坐标为______________． 5．质点沿直线运动得路程s 与时间t 得关系就是s ＝5t ，则质点在t ＝4时得速度为_________．6．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________、 7．曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处得切线方程为__________________．8．曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4得点就是__________．二、解答题9．求下列函数得导数． (1)y ＝log 4x 3－log 4x 2；(2)y ＝2x 2＋1x －2x ； (3)y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫2sin 2 x 4－1、 10、已知曲线y ＝x 2上有两点A (1,1)，B (2,4)．求： (1)割线AB 得斜率k AB ； (2)在[1,1＋Δx ]内得平均变化率； (3)点A 处得切线斜率k AT ； (4)点A 处得切线方程． 能力提升11．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴得切线，则实数a 得取值范围为__________． 12．假设某国家在20年期间得年均通货膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系：p (t )＝p 0(1＋5%)t ，其中p 0为t ＝0时得物价，假定某种商品得p 0＝1，那么在第10个年头，这种商品得价格上涨得速度大约就是多少？(注ln 1、05≈0、05，精确到0、01)1．求函数得导数，可以利用导数得定义，也可以直接使用基本初等函数得导数公式． 2．对实际问题中得变化率问题可以转化为导数问题解决．§3、2 导数得运算3、2、2 函数得与、差、积、商得导数课时目标 1、理解函数得与、差、积、商得求导法则、2、理解求导法则得证明过程，能够综合运用求导公式与四则运算法则求函数得导数．1．两个函数得与(或差)得导数，等于这两个函数得导数得__________，即[f (x )±g (x )]′＝______________、2．两个函数得积得导数，等于第一个函数得导数乘第二个函数，加上________________________________________，即[f (x )·g (x )]′＝________________、特别地[Cf (x )]′＝__________(其中C 为常数)．3．两个函数得商得导数，等于分子得导数与__________减去________________与分子得积，再除以______________．即_______________________________、一、填空题1．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )＝__________、2．曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处得切线方程就是____________．3．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________、 4．曲线y ＝x (x －1)(x －2)…(x －6)在原点处得切线方程为__________．5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处得切线与坐标轴所围成得三角形得面积为________． 6．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)得值为__________．7．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处得切线方程为____________．8．某物体作直线运动，其运动规律就是s ＝t 2＋3t(t 得单位就是秒，s 得单位就是米)，则它在第4秒末得瞬时速度应该为________ m/s 、 二、解答题9．求下列函数得导数． (1)y ＝10x ；(2)y ＝x ＋cos x x －cos x；(3)y ＝2x cos x －3x log 2 011x ； (4)y ＝x ·tan x 、10、求曲线y ＝x 2＋sin x 在点(π，π2)处得切线方程． 能力提升11．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处得切线得倾斜角，则α得取值范围为__________．12．求抛物线y ＝x 2上得点到直线x －y －2＝0得最短距离．1．理解与掌握求导法则与公式得结构规律就是灵活进行求导运算得前提条件． 2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数得几何意义，利用公式进行计算．3．1、1 平均变化率知识梳理1、f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 x 2－x 1 Δx ＝x 2－x 1 增量 x 1＋Δx f (x 2)－f (x 1) Δy Δx2．斜率 作业设计 1．①2．f (x 0＋Δx )－f (x 0) 3．4＋2Δx解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4＋2Δx 、 4、s (t ＋Δt )－s (t )Δt解析 由平均速度得定义可知，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内得平均速度就是其位移改变量与时间改变量得比．所以v ＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt、 5．－1 解析Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1、 6．0、41 7．1解析 由平均变化率得几何意义知k ＝2－11－0＝1、8．4、1解析 质点在区间[2,2、1]内得平均速度可由Δs Δt 求得，即v ＝Δs Δt ＝s (2、1)－s (2)0、1＝4、1、9．解 函数f (x )在[－3，－1]上得平均变化率为： f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6、函数f (x )在[2,4]上得平均变化率为： f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4、10．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )3－1 ＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3， ∴割线PQ 得斜率Δy Δx ＝(Δx )3＋3(Δx )2＋3ΔxΔx ＝(Δx )2＋3Δx ＋3、 当Δx ＝0、1时，割线PQ 得斜率为k ， 则k ＝ΔyΔx ＝(0、1)2＋3×0、1＋3＝3、31、∴当Δx ＝0、1时割线得斜率为3、31、11．解 乙跑得快．因为在相同得时间内，甲跑得路程小于乙跑得路程，即甲得平均速度比乙得平均速度小．12．解 函数f (x )在[0，a ]上得平均变化率为f (a )－f (0)a －0＝a 2＋2aa ＝a ＋2、函数g (x )在[2,3]上得平均变化率为 g (3)－g (2)3－2＝(2×3－3)－(2×2－3)1＝2、∵a ＋2＝2×2，∴a ＝2、3．1、2 瞬时变化率——导数(二)知识梳理1．曲线y ＝f (x )上过点x 0得切线得斜率 作业设计 1．x ＋y －2＝0解析 Δy Δx ＝11＋Δx－1Δx ＝－Δx 1＋Δx Δx ＝－11＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于－1，∴k ＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0、 2．6解析 ∵y ＝2x 3， ∴Δy Δx ＝2(x ＋Δx )3－2x 3Δx ＝2(Δx )3＋6x (Δx )2＋6x 2Δx Δx＝2(Δx )2＋6x Δx ＋6x 2、∴当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于6x 2，∴点A (1,2)处切线得斜率为6、 3．x －y －2＝0解析 Δy Δx ＝4(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－4x ＋x 3Δx＝4－(Δx )2－3x 2－3x (Δx )，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于4－3x 2，∴f ′(－1)＝1、所以在点(－1，－3)处得切线得斜率为k ＝1， 所以切线方程就是y ＝x －2、 4．4x －y －3＝0解析 与直线x ＋4y －8＝0垂直得直线l 为4x －y ＋m ＝0，即y ＝x 4在某一点得导数为4，而y ′＝4x 3，所以y ＝x 4在(1,1)处导数为4，此点得切线方程为4x －y －3＝0、 5．x ＋y －2＝0 解析ΔyΔx＝2－(Δx )2－3x 2－3x (Δx )， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于2－3x 2，∴y ′＝2－3x 2，∴k ＝2－3＝－1、∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0、 6、⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 k ＝f ′(x 0)>0，∴tan θ>0，∴θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2、 7．(1,0)或(－1，－4)解析 设P (x 0，y 0)，由f (x )＝x 3＋x －2， ΔyΔx＝(Δx )2＋3x 2＋3x (Δx )＋1， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于3x 2＋1、∴f ′(x )＝3x 2＋1，令f ′(x 0)＝4， 即3x 20＋1＝4，得x 0＝1或x 0＝－1， ∴P (1,0)或(－1，－4)． 8、14解析 Δy Δx ＝a (x ＋Δx )2－ax 2Δx＝2ax ＋a Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2ax ＋a Δx 无限趋近于2ax ， ∴f ′(x )＝2ax 、设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2ax 0,2ax 0＝1， 且y 0＝x 0－1＝ax 20，解得x 0＝2，a ＝14、 9．解 Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝4x ＋Δx －4xΔx＝－4Δx x Δx (x ＋Δx )＝－4x (x ＋Δx )，当Δx 无限趋近于0时，－4x (x ＋Δx )无限趋近于－4x 2，即f ′(x )＝－4x2、k ＝f ′(1)＝－4，切线方程就是y －4＝－4(x －1)， 即为4x ＋y －8＝0， 设l ：4x ＋y ＋c ＝0，则17＝|c ＋8|42＋12， ∴|c ＋8|＝17， ∴c ＝9，或c ＝－25，∴直线l 得方程为4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0、 10．解 (2,0)不在曲线y ＝1x 上，令切点为(x 0，y 0)，则有y 0＝1x 0、①又Δy Δx ＝1x ＋Δx －1x Δx ＝－1x (x ＋Δx )， 当Δx 无限趋近于0时，－1x (x ＋Δx )无限趋近于－1x 2、∴k ＝f ′(x 0)＝－1x 20、∴切线方程为y ＝－1x 20(x －2)．而y 0x 0－2＝－1x 20、②由①②可得x 0＝1， 故切线方程为x ＋y －2＝0、 11．解 Δy Δx ＝2(1＋Δx )2－2Δx＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx ，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于4，∴f ′(1)＝4、∴所求直线得斜率为k ＝－14、∴y －2＝－14(x －1)，即x ＋4y －9＝0、12．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2、 3、1、2 瞬时变化率——导数(一)课时目标 1、掌握用极限形式给出得瞬时速度及瞬时变化率得精确定义、2、会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻得瞬时速度及瞬时变化率、3、理解并掌握导数得概念，掌握求函数在一点处得导数得方法、4、理解并掌握开区间内得导数得概念，会求一个函数得导数．1．瞬时速度得概念作变速直线运动得物体在不同时刻得速度就是不同得，把物体在某一时刻得速度叫____________．用数学语言描述为：设物体运动得路程与时间得关系就是s ＝f(t)，当Δt 趋近于0时，函数f(t)在t 0到t 0＋Δt 之间得平均变化率f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt趋近于常数，我们这个常数称为______________． 2．导数得概念设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，当Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝____________无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在点x ＝x 0处________，并称该常数A 为______________________________，记作f ′(x 0)． 3．函数得导数若f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点得导数也随着自变量x 得变化而变化，因而也就是自变量x 得函数，该函数称为f(x)得导函数，记作f ′(x)． 4．瞬时速度就是运动物体得位移S(t)对于时间t 得导数，即v(t)＝________、 5．瞬时加速度就是运动物体得速度v(t)对于时间t 得导数，即a(t)＝________、一、填空题1．任一作直线运动得物体，其位移s 与时间t 得关系就是s ＝3t －t 2，则物体得初速度就是________．2．设f(x)在x ＝x 0处可导，则当Δx 无限趋近于0时f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx 得值为________．3．一物体得运动方程就是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时得瞬时速度就是________．4．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝32处得瞬时变化率就是________．5．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处得导数就是________．6．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________、 7．曲线f(x)＝x 在点(4,2)处得瞬时变化率就是________．8．已知物体运动得速度与时间之间得关系就是：v(t)＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内得平均加速度就是________，在t ＝1时得瞬时加速度就是________． 二、解答题9．用导数得定义，求函数y ＝f(x)＝1x在x ＝1处得导数．10、枪弹在枪筒中可以瞧作匀加速直线运动，如果它得加速度就是a ＝5×105 m /s 2，枪弹从枪口射出时所用得时间为1、6×10－3 s ．求枪弹射出枪口时得瞬时速度． 能力提升11．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，求函数在x ＝2处得导数．12．以初速度v 0 (v 0>0)垂直上抛得物体，t 秒时间得高度为s(t)＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处得瞬时速度．1．利用定义求函数在一点处导数得步骤： (1)计算函数得增量：Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)． (2)计算函数得增量与自变量增量Δx 得比ΔyΔx、(3)计算上述增量得比值当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于A 、2．导数得物理意义就是物体在某一时刻得瞬时速度．3．1、2 瞬时变化率——导数(一)知识梳理1．瞬时速度 瞬时速度2、f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 可导 函数f (x )在点x ＝x 0处得导数4．S ′(t ) 5、v ′(t ) 作业设计 1．3解析 Δs Δt ＝s (Δt )－s (0)Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt ，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于3、2．－f ′(x 0)解析 ∵f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝f (x 0)－f (x 0－Δx )－Δx＝－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx，∴当Δx 无限趋近于0时，原式无限趋近于－f ′(x 0)． 3．at 0 解析Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12a Δt ＋at 0， 当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于at 0、4．－3 解析 ∵ΔfΔx＝f ⎝⎛⎭⎫32＋Δx －f ⎝⎛⎭⎫32Δx＝－Δx －3，当Δx 无限趋近于0时，ΔfΔx 无限趋近于－3、5．0解析 ΔyΔx ＝(1＋Δx )＋11＋Δx －2Δx＝(1＋Δx )2＋1－2(1＋Δx )Δx (1＋Δx )＝(Δx )2Δx (1＋Δx )＝Δx 1＋Δx， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于0、6．1解析 ∵f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝a (－1＋Δx )3－a (－1)3Δx＝a (Δx )2－3a Δx ＋3a 、 ∴当Δx 无限趋近于0时，ΔfΔx无限趋近于3a ， 即3a ＝3，∴a ＝1、7、14 解析Δf Δx ＝f (4＋Δx )－f (4)Δx ＝4＋Δx －2Δx＝14＋Δx ＋2，∴当Δx 无限趋近于0时，Δf Δx 无限趋近于14、 8．4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内得平均加速度为Δv Δt ＝v (1＋Δt )－v (1)Δt＝Δt ＋4，当Δt 无限趋近于0时，ΔvΔt无限趋近于4、 9．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx ·(1＋1＋Δx )∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴当Δx 无限趋近于0时， －11＋Δx ·(1＋1＋Δx )无限趋近于－12，∴f ′(1)＝－12、10．解 运动方程为s ＝12at 2、因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt 、所以当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于at 0、 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1、6×10－3s ，所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时得瞬时速度为800 m/s 、11．解 ∵Δy ＝a (2＋Δx )2＋b (2＋Δx )＋c －(4a ＋2b ＋c ) ＝4a Δx ＋a (Δx )2＋b Δx ，∴Δy Δx ＝4a Δx ＋a (Δx )2＋b Δx Δx ＝4a ＋b ＋a Δx ， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于4a ＋b 、所以函数在x ＝2处得导数为4a ＋b 、 12．解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝⎛⎭⎫v 0t 0－12gt 20 ＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt ， 当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于v 0－gt 0、故物体在时刻t 0处得瞬时速度为v 0－gt 0、3．2、1 常见函数得导数知识梳理1．k 0 1 2x －1x 22、1．②解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－1232x -＝－12x x 、2．1解析 直接利用导数公式．因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误； sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误；⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则f ′(3)＝－227， 所以③正确． 3．－sin x解析 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )＝cos x ， f 2(x )＝f ′1(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝sin x ，…、由此继续求导下去，发现四个一循环，从0到2 010共2 011个数，2 011＝4×502＋3，所以f 2 010(x )＝f 2(x )＝－sin x 、 4．(－1，－1)或(1,1)解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1， 则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)． 5、110523解析 s ′＝155t 4、当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523、 6．2x解析 ∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2，∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x 、7．x ＋2y －3－π6＝0 解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴k ＝－sin π6＝－12， ∴在点A 处得切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6， 即x ＋2y －3－π6＝0、 8、⎝⎛⎭⎫12，14解析 设切点坐标为(x 0，x 20)，则tan π4＝f ′(x 0)＝2x 0，∴x 0＝12、 ∴所求点为⎝⎛⎭⎫12，14、9．解 (1)∵y ＝log 4x 3－log 4x 2＝log 4x ，∴y ′＝(log 4x )′＝1x ln 4、 (2)∵y ＝2x 2＋1x －2x ＝2x 2＋1－2x 2x ＝1x、 ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2、 (3)∵y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫2sin 2 x 4－1 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2 x 4 ＝2sin x 2cos x 2＝sin x 、∴y ′＝(sin x )′＝cos x 、10．解 (1)k AB ＝4－12－1＝3、 (2)平均变化率Δy Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx 、 (3)y ′＝2x ，∴k ＝f ′(1)＝2，即点A 处得切线斜率为k AT ＝2、(4)点A 处得切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0、11．(－∞，0)解析 ∵f ′(x )＝5ax 4＋1x，x ∈(0，＋∞)， ∴由题知5ax 4＋1x＝0在(0，＋∞)上有解． 即a ＝－15x5在(0，＋∞)上有解． ∵x ∈(0，＋∞)，∴－15x5∈(－∞，0)．∴a ∈(－∞，0)． 12．解 ∵p 0＝1，∴p (t )＝(1＋5%)t ＝1、05t 、根据基本初等函数得导数公式表，有p ′(t )＝(1、05t )′＝1、05t ·ln 1、05、∴p ′(10)＝1、0510·ln 1、05≈0、08(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品得价格约以0、08元/年得速度上涨．3、2、2 函数得与、差、积、商得导数课时目标 1、理解函数得与、差、积、商得求导法则、2、理解求导法则得证明过程，能够综合运用求导公式与四则运算法则求函数得导数．1．两个函数得与(或差)得导数，等于这两个函数得导数得__________，即[f (x )±g (x )]′＝______________、2．两个函数得积得导数，等于第一个函数得导数乘第二个函数，加上________________________________________，即[f (x )·g (x )]′＝________________、特别地[Cf (x )]′＝__________(其中C 为常数)．3．两个函数得商得导数，等于分子得导数与__________减去________________与分子得积，再除以______________．即_______________________________、一、填空题1．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )＝__________、2．曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处得切线方程就是____________．3．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________、4．曲线y ＝x (x －1)(x －2)…(x －6)在原点处得切线方程为__________．5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处得切线与坐标轴所围成得三角形得面积为________．6．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)得值为__________． 7．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处得切线方程为____________．8．某物体作直线运动，其运动规律就是s ＝t 2＋3t(t 得单位就是秒，s 得单位就是米)，则它在第4秒末得瞬时速度应该为________ m/s 、二、解答题9．求下列函数得导数．(1)y ＝10x ；(2)y ＝x ＋cos x x －cos x； (3)y ＝2x cos x －3x log 2 011x ；(4)y ＝x ·tan x 、10、求曲线y ＝x 2＋sin x 在点(π，π2)处得切线方程．能力提升11．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处得切线得倾斜角，则α得取值范围为__________．12．求抛物线y ＝x 2上得点到直线x －y －2＝0得最短距离．1．理解与掌握求导法则与公式得结构规律就是灵活进行求导运算得前提条件．2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数得几何意义，利用公式进行计算．3．2、2 函数得与、差、积、商得导数知识梳理1．与(或差) f ′(x )±g ′(x )2．第一个函数乘第二个函数得导数 f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x ) C ·f ′(x )3．分母得积 分母得导数 分母得平方 [f (x )g (x )]′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0) 作业设计1．3x 2＋3x ·ln 3解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13得错误． 2．x －y ＋1＝0解析 y ′＝e x ＋x e x ，当x ＝0时，导数值为1，故所求得切线方程就是y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0、3．18解析 ∵f ′(x )＝4x 3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝－13f ′(－1)＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝－13，－4－2a －b ＝－27、∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13、 ∴a ＋b ＝5＋13＝18、 4．y ＝720x解析 y ′＝(x －1)(x －2)…(x －6)＋x [(x －1)(x －2)…(x －6)]′，所以f ′(0)＝1×2×3×4×5×6＋0＝720、故切线方程为y ＝720x 、 5、12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴在(2，e 2)处得切线斜率为e 2，∴曲线在点(2，e 2)处得切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2、当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1、∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2、 6．1解析 ∵f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，∴f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x 、∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22、 ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝11＋2＝2－1、 故f ⎝⎛⎭⎫π4＝(2－1)×22＋22＝1、 7．2x －y ＋3＝0解析 由f (x )＝sin x ＋e x ＋2得f ′(x )＝cos x ＋e x ，从而f ′(0)＝2，又f (0)＝3，所以切线方程为y ＝2x ＋3、8、12516解析 ∵s ′＝2t －3t2， ∴当第4秒末，v ＝8－316＝12516(m/s)． 9．解 (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10、(2)y ′＝(x ＋cos x )′(x －cos x )－(x ＋cos x )(x －cos x )′(x －cos x )2＝(1－sin x )(x －cos x )－(x ＋cos x )(1＋sin x )(x －cos x )2＝－2(cos x ＋x sin x )(x －cos x )2、 (3)y ′＝(2x )′cos x ＋(cos x )′2x －3[x ′log 2 011 x ＋(log 2 011x )′x ]＝2x ln 2·cos x －sin x ·2x －3[log 2 011 x ＋⎝⎛⎭⎫1x log 2 011 e x ]＝2x ln 2·cos x －2x sin x －3log 2 011 x －3log 2 011 e 、(4)y ′＝(x tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′(cos x )2＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x (cos x )2＝sin x cos x ＋x (cos 2x ＋sin 2x )(cos x )2＝12sin 2x ＋x (cos x )2＝sin 2x ＋2x 2cos 2x 、 10．解 f ′(x )＝2x ＋cos x 、故曲线在点(π，π2)得切线斜率为2π－1， 所以切线为y －π2＝(2π－1)(x －π)， 即(2π－1)x －y －π2＋π＝0、11．[3π4，π) 解析 y ′＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋2＋1e x ， ∵e x ＋1e x ≥2，∴－1≤y ′<0，即－1≤tan α<0， ∴α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π、12．解 依题意知与直线x －y －2＝0平行得抛物线y ＝x 2得切线得切点到直线x －y －2＝0得距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12、 切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14、∴所求得最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728、。
学案2：5.2.1 基本初等函数的导数
5.2.1 基本初等函数的导数【课标要求】课程标准：1.会应用导数的定义推导五种常见函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x，y ＝x 的导数公式.2.掌握基本初等函数的导数公式．学习重点：基本初等函数的导数公式．学习难点：基本初等函数的导数公式的运用.【新知拓展】基本初等函数的四类求导公式(1)第一类为幂函数，y ′＝(x α)′＝α·x α－1(注意幂指数α可推广到全体实数)．对于解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数．(2)第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号．(3)第三类为指数函数，y ′＝(a x )′＝a x ·ln a ，当a ＝e 时，e x 的导数是(a x )′的一个特例．(4)第四类为对数函数，y ′＝(log a x )′＝1x ·ln a ，也可记为(log a x )′＝1x ·log a e ，当a ＝e 时，ln x 的导数也是(log a x )′的一个特例．【评价自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.( ) (2)若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x .( )(3)若f (x )＝1x ，则f ′(x )＝12x x .( ) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)⎝⎛⎭⎫1x 3′＝________.(2)(2x )′＝________.(3)若f (x )＝x 3，g (x )＝log 3x ，则f ′(x )－g ′(x )＝________.(4)已知函数f (x )＝log a x ，若f ′(1)＝1，则a ＝________.【题型探究】题型一 利用求导公式直接求导例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 5x .[规律方法]求简单函数的导函数的方法(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂．(2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．[跟踪训练1] 求下列函数的导数：(1)y ＝3x ；(2)y ＝x x ；(3)y ＝2－x ；(4)y ＝cos 2x 2－sin 2x 2.题型二 利用导数公式求曲线的切线方程例2 (1)求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝⎛⎭⎫π6，12且与在这点的切线垂直的直线方程；(2)已知点P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．[规律方法]根据导数的几何意义，可直接得到曲线上一点处的切线的斜率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标．[跟踪训练2] (1)曲线y ＝1x在点P 处的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A ．⎝⎛⎭⎫12，2B ．⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2C ．⎝⎛⎭⎫－12，－2 D ．⎝⎛⎭⎫12，－2 (2)P 是抛物线y ＝x 2上的点，若过点P 的切线方程与直线y ＝－12x ＋1垂直，则过点P 的切线方程是________.题型三 导数运算的应用例3 已知某质点的运动方程为s (t )＝t 2(s 单位：m ，t 单位：s)，求质点在t ＝10时的：(1)瞬时速度；(2)加速度；(3)动能；(4)动量(设物体的质量为m kg)．[规律方法]导数不仅在数学中有着广泛的应用，在物理、化学等自然与社会科学中同样拥有广泛的应用．要学会通过导数的概念的学习，更深刻全面地认识所学的所有内容．[跟踪训练3] 质点运动方程是s ＝1t 5(s 单位：米，t 单位：秒)，求质点在t ＝2时的速度．【随堂达标】1．给出下列结论：①(sin x )′＝－cos x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3； ③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝⎛⎭⎫1x ′＝－12x x. 其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．已知函数f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－53．正弦曲线y ＝sin x 上切线的斜率等于12的点为( ) A ．⎝⎛⎭⎫π3，32 B ．⎝⎛⎭⎫－π3，－32或⎝⎛⎭⎫π3，32 C ．⎝⎛⎭⎫2k π＋π3，32(k ∈Z ) D ．⎝⎛⎭⎫2k π＋π3，32或⎝⎛⎭⎫2k π－π3，－32(k ∈Z ) 4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为________. 5．若曲线y ＝x在点(a ，a )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a 的值．【参考答案】【评价自测】1．【答案】(1)× (2)× (3)×2．【答案】(1)－3x 4 (2)2x ln 2 (3)3x 2－1x ln 3(4)e 【题型探究】题型一 利用求导公式直接求导例1[解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝⎝⎛⎭⎫x 35′＝35x －25＝355x 2.(4)y ′＝(log 5x )′＝1x ln 5. [跟踪训练1]解 (1)y ′＝(3x )′＝3x ln 3.(2)y ′＝(x x )′＝(x 32)′＝32x ＝32x . (3)∵2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫12x ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. (4)∵y ＝cos 2x 2－sin 2x 2＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .题型二 利用导数公式求曲线的切线方程例2[解] (1)∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ，曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π6，12处的切线斜率是y ′|x ＝π6＝cos π6＝32. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23⎝⎛⎭⎫x －π6，即2x ＋3y －32－π3＝0. (2)∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ， ∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，∴切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14. ∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0. [跟踪训练2]【答案】(1)B (2)2x －y －1＝0【解析】(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12.B 正确． (2)2x 0＝2，∴x 0＝1，∴点P (1,1)，方程2x －y －1＝0.题型三 导数运算的应用例3[解] (1)v t ＝10＝s ′(t )|t ＝10＝(2t )|t ＝10＝20 m/s.(2)a ＝v ′＝(2t )′＝2 m/s 2.(3)E 动＝12mv 2＝12m ×202＝200m J. (4)动量＝mv ＝20m kg·m/s.[跟踪训练3]解 s ＝1t 5＝t －5，s ′＝－5·t －6，s ′|t ＝2＝－564. 质点在t ＝2时的速度为－564米/秒． 【随堂达标】1．【答案】B【解析】因为(sin x )′＝cos x ，所以①错误；因为⎝⎛⎭⎫sin π3′＝⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误；因为⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，所以③错误；因为⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x )′＝－12x －＝－12x x，所以④正确． 2．【答案】A【解析】∵f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，∴a ＝4.3．【答案】D【解析】设斜率等于12的切线与曲线的切点为P (x 0，y 0)，∵y ′|x ＝x 0＝cos x 0＝12， ∴x 0＝2k π＋π3或x 0＝2k π－π3(k ∈Z )，∴y 0＝32或－32. 4．【答案】ln 2－1【解析】∵y ＝ln x 的导数y ′＝1x ，∴令1x ＝12，得x ＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)． 代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1. 5．解 ∵y ＝x ，∴y ′＝－12x －， ∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－12a －， ∴切线方程为y －a＝－12a －(x －a )． 令x ＝0得y ＝32a ；令y ＝0得x ＝3a .∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·3a ·32a ＝94a ＝18，∴a ＝64.。
导数大题10种主要题型导学案含详解
导数大题10种主要题型（一）预习案题型一：构造函数1.1 “比较法”构造函数例1．已知函数f（x）＝e x﹣ax（e为自然对数的底数，a为常数）的图象在点（0，1）处的切线斜率为﹣1.（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）求证：当x＞0时，x2＜e x．1.2 “拆分法”构造函数例2．设函数f（x）＝ae x lnx+，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为y＝e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．1.3 “换元法”构造函数例3．已知函数f（x）＝ax2+xlnx（a∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+3y＝0垂直．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求证：当n＞m＞0时，lnn﹣lnm＞﹣；（Ⅲ）若存在k∈Z，使得f（x）＞k恒成立，求实数k的最大值．1.4 “二次（甚至多次）”构造函数例4．已知函数f（x）＝e x+m﹣x3，g（x）＝ln（x+1）+2．（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m的值；（2）当m≥1时，证明：f（x）＞g（x）﹣x3．题型二：隐零点问题例1．已知函数f（x）＝e x﹣ln（x+m）．（Ⅰ）设x＝0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0．例2．（Ⅰ）讨论函数f（x）＝e x的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e x+x+2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）＝（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．导数大题10种主要题型（一）预习案答案例1． 解：（1）f ′（x ）＝e x ﹣a ，∵f ′（0）＝﹣1＝1﹣a ，∴a ＝2．∴f （x ）＝e x ﹣2x ，f ′（x ）＝e x ﹣2．令f ′（x ）＝0，解得x ＝ln 2．当x ＜ln 2时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减；当x ＞ln 2时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增．∴当x ＝ln 2时，函数f （x ）取得极小值，为f （ln 2）＝2﹣2ln 2，无极大值．（2）证明：方法一（作差法）令g （x ）＝e x ﹣x 2，则g ′（x ）＝e x ﹣2x ，由（1）可得：g ′（x ）＝f （x ）≥f （ln 2）＞0，∴g （x ）在R 上单调递增，因此：x ＞0时，g （x ）＞g （0）＝1＞0，∴x 2＜e x ．方法二（作商法）：即可只需证1)(,2)(<=x h e x x h x例2． 解：（Ⅰ） 函数f （x ）的定义域为（0，+∞），， 由题意可得f （1）＝2，f '（1）＝e ，故a ＝1，b ＝2.（Ⅱ）证明：方法一（凹凸反转法）由（Ⅰ）知，，从而f （x ）＞1等价于，设函数g （x ）＝xlnx ，则g '（x ）＝1+lnx ，所以当时，g '（x ）＜0， 当时，g '（x ）＞0，故g （x ）在单调递减，在单调递增，从而g （x ）在（0，+∞）的最小值为．设函数，则h '（x ）＝e ﹣x （1﹣x ），所以当x ∈（0，1）时，h '（x ）＞0，当x ∈（1，+∞）时，h '（x ）＜0，故h （x ）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，从而h （x ）在（0，+∞）的最大值为．综上：当x ＞0时，g （x ）＞h （x ），即f （x ）＞1．方法二（放缩法）例3． 解：（Ⅰ）∵f （x ）＝ax 2+xlnx ，∴f ′（x ）＝2ax +lnx +1，∵切线与直线x +3y ＝0垂直，∴切线的斜率为3，∴f ′（1）＝3，即2a +1＝3，故a ＝1； （Ⅱ）由（Ⅰ）知f （x ）＝x 2+xlnx ，x ∈（0，+∞），f ′（x ）＝2x +lnx +1，x ∈（0，+∞）， ∵f ′（x ）在（0，+∞）上单调递增，∴当x ＞1时，有f ′（x ）＞f ′（1）＝3＞0，∴函数f （x ）在区间（1，+∞）上单调递增，∵n ＞m ＞0，∴，∴f （）＞f （1）＝1即，∴lnn ﹣lnm ＞； （Ⅲ）由（Ⅰ）知f （x ）＝x 2+xlnx ，x ∈（0，+∞），f ′（x ）＝2x +lnx +1，x ∈（0，+∞）， 令g （x ）＝2x +lnx +1，x ∈（0，+∞），则，x ∈（0，+∞），由g ′（x ）＞0对x ∈（0，+∞），恒成立，故g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 又∵011121)1(222<-=+-=e e e g ，而＞0， ∴存在x 0∈，使g （x 0）＝0 ∵g （x ）在（0，+∞）上单调递增，∴当x ∈（0，x 0）时，g （x ）＝f ′（x ）＜0，f （x ）在（0，x 0）上单调递减；当x ∈（x 0，+∞）时，g （x ）＝f ′（x ）＞0，f （x ）在（x 0，+∞）上单调递增；∴f （x ）在x ＝x 0处取得最小值f （x 0）∵f （x ）＞k 恒成立，所以k ＜f （x 0）由g （x 0）＝0得，2x 0+lnx 0+1＝0，所以lnx 0＝﹣1﹣2x 0，∴f （x 0）＝＝＝﹣＝﹣，又，∴f （x 0）∈， ∵k ∈Z ，∴k 的最大值为﹣1．例4． 解：（1）函数f （x ）＝e x +m ﹣x 3的导数为f ′（x ）＝e x +m ﹣3x 2，在点（0，f （0））处的切线斜率为k ＝e m ＝1，解得m ＝0；（2）证明：f （x ）＞g （x ）﹣x 3即为e x +m ＞ln （x +1）+2．由y ＝e x ﹣x ﹣1的导数为y ′＝e x ﹣1，当x ＞0时，y ′＞0，函数递增；当x ＜0时，y ′＜0，函数递减．即有x ＝0处取得极小值，也为最小值0．即有e x ≥x +1，则e x +m ≥x +m +1，由h（x）＝x+m+1﹣ln（x+1）﹣2＝x+m﹣ln（x+1）﹣1，h′（x）＝1﹣，当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）递增；﹣1＜x＜0时，h′（x）＜0，h（x）递减．即有x＝0处取得最小值，且为m﹣1，当m≥1时，即有h（x）≥m﹣1≥0，即x+m+1≥ln（x+1）+2，则有f（x）＞g（x）﹣x3成立．例5．（Ⅰ）解：∵，x＝0是f（x）的极值点，∴，解得m＝1．所以函数f（x）＝e x﹣ln（x+1），其定义域为（﹣1，+∞）．∵．设g（x）＝e x（x+1）﹣1，则g′（x）＝e x（x+1）+e x＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，又∵g（0）＝0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．所以f（x）在（﹣1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（﹣m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需证明当m＝2时f（x）＞0．当m＝2时，函数在（﹣2，+∞）上为增函数，且f′（﹣1）＜0，f′（0）＞0．故f′（x）＝0在（﹣2，+∞）上有唯一实数根x0，且x0∈（﹣1，0）．当x∈（﹣2，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，从而当x＝x0时，f（x）取得最小值．由f′（x0）＝0，得，ln（x0+2）＝﹣x0．故f（x）≥＝＞0．综上，当m≤2时，f（x）＞0．例6．解：（1）证明：f（x）＝f'（x）＝e x（）＝∵当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0∴f（x）在（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）上单调递增∴x＞0时，＞f（0）＝﹣1即（x﹣2）e x+x+2＞0（2）g'（x）＝＝＝＝，a∈[0，1），由（1）知，f（x）+a单调递增，对任意的a∈[0，1），f（0）+a＝a﹣1＜0，f（2）+a＝a≥0，因此存在唯一的t∈（0，2]，使得f（t）+a＝0，当x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调减；当x∈（t，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调增；h（t）＝＝＝记k（t）＝，在t∈（0，2]时，k'（t）＝＞0，故k（t）单调递增，所以h（a）＝k（t）∈（，]．导数大题10种主要题型（二）预习案题型三：恒成立、存在性问题3.1 单变量恒成立、存在性问题例1．已知函数f （x ）＝xlnx ，g （x ）＝﹣x 2+ax ﹣3．（1）求函数f （x ）在[t ，t +2]（t ＞0）上的最小值；（2）若存在x 0∈[，e ]（e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…），使不等式2f （x 0）≥g （x 0）成立，求实数a 的取值范围．3.2 双变量恒成立、存在性问题极值点偏移问题：由于函数左右增减速率不同导致函数图像失去对称性。
1.2.3 导数的四则运算法则 学案(含答案)
1.2.3 导数的四则运算法则学案（含答案）1.2.3导数的四则运算法则导数的四则运算法则学习目标1.能利用导数的四则运算法则求解导函数.2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导知识点一导数的四则运算法则已知fxx，gx1x.思考1fx，gx的导数分别是什么答案fx1，gx1x2.思考2试求Gxx1x，Hxx1x的导数并说出Gx，Hx与fx，gx 的关系答案Gx11x2.同理，Hx11x2.Gxfxgx，Hxfxgx思考3fxgxfxgx正确吗那么fxgxfxgxgx0且gx0是否正确答案fxgxfxgx，fxgxfxgx.梳理导数的四则运算法则1设fx，gx是可导的，则法则语言叙述fxgxfxgx两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数和或差fxgxfxgxfxgx两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数fxgxfxgxfxgxg2xgx0两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子的差除以分母的平方2特别地，CfxCfx，1gxgxg2xgx0特别提醒1fxgxfxgx可推广到任意有限个函数的和或差的求导2afxbgxafxbgx知识点二复合函数yfux的导数yfux是x的复合函数，则yfuxdydududxfuux1函数fxxex的导数是fxexx12当gx0时，1gxgxg2x.3函数yex的导数为yex.类型一利用导数的四则运算法则求导例1求下列函数的导数1yx3ex；2yxsinx2cosx2；3yx2log3x；4yex1ex1.解1yx3exx3ex3x2exx3exx23xex.2yx12sinx，yx12sinx112cosx.3yx2log3xx2log3x2x1xln3.4yex1ex1ex1ex1ex12exex1ex1exex122exex12.反思与感悟求函数的导数的策略1先区分函数的运算特点，即函数的和.差.积.商，再根据导数的运算法则求导数2对于三个以上函数的积.商的导数，依次转化为“两个”函数的积.商的导数计算跟踪训练11已知fxxaxbxc，则afabfbcfc________.答案0解析fxxaxbxcxaxbxcxaxbxcxbxcxaxcxaxb，faabac，fbbabcabbc，fccacbacbcafabfbcfcaabacbabbccacbcabcbaccababbcac0.2求下列函数的导数y2x33xx1xx；yx21x23；yx1x3x5；yxsinx2cosx.解313122223yxxxx，1352222333.22yxxxx方法一yx21x23x21x23x2322xx232xx21x2324xx232.方法二yx21x23x232x2312x23，y12x232x232x232x23x2324xx232.方法一yx1x3x5x1x3x5x1x3x1x3x5x1x32x4x5x1x33x218x23.方法二yx1x3x5x24x3x5x39x223x15，yx39x223x153x218x23.yxsinx2cosxxsinxxsinx2cosx2cosxcos2xsinxxcosx2sinx cos2x.类型二简单复合函数求导例2求下列函数的导数1yecosx1；2ylog22x1；3y2sin3x6；4y112x.解1设yeu，ucosx1，则yxyuuxeusinxecosx1sinx.2设ylog2u，u2x1，则yxyuux2uln222x1ln2.3设y2sinu，u3x6，则yxyuux2cosu36cos3x6.4设yu12，u12x，则yxyuux12u12x1232u212x32.反思与感悟求复合函数导数的步骤1确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系yfu，ugx2分步求导弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求yu，再求ux.3计算yuux，并把中间变量转化为自变量整个过程可简记为“分解求导回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程跟踪训练21已知函数fx2x15，则f0的值为________答案10解析fx52x142x1102x14，f010.2求下列函数的导数y3x；y12lnx21；ya12xa0，a1解设yu，u3x，则yxyuux12u1123x.设y12lnu，ux21，则yxyuux121u2x121x212xxx21.令yau，u12x，则yxyuuxaulna2a12xlna22a12xlna.类型三导数运算法则的综合应用命题角度1利用导数求函数解析式例31已知函数fxlnxx2xf1，试比较fe与f1的大小关系；2设fxaxbsinxcxdcosx，试确定常数a，b，c，d，使得fxxcosx.解1由题意得fx1lnxx22f1，令x1，得f11ln112f1，即f11.fxlnxx2x.felnee2e1e2e，f12，由fef11e2e20，得fef12由已知得fxaxbsinxcxdcosxaxbsinxcxdcosxaxbsinxaxbsinxcxdcosxcxdcos xasinxaxbcosxccosxcxdsinxacxdsinxaxbccosx.又fxxcosx，adcx0，axbcx，即ad0，c0，a1，bc0，解得ad1，bc0.反思与感悟1中确定函数fx的解析式，需要求出f1，注意f1是常数2中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值完成12问的前提是熟练应用导数的运算法则跟踪训练3函数fxx2x1f1，则f1________.答案1解析对fx求导，得fx2x12x2x1212x12，则f11.命题角度2与切线有关的问题例41若曲线yxlnx上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是________答案e，e解析设Px0，y0yxlnx，ylnxx1x1lnx，k1lnx0.又k2，1lnx02，x0e.y0elnee.点P的坐标是e，e2已知函数fxax2bx3a0，其导函数为fx2x8.求a，b的值；设函数gxexsinxfx，求曲线gx在x0处的切线方程解因为fxax2bx3a0，所以fx2axb，又知fx2x8，所以a1，b8.由可得gxexsinxx28x3，所以gxexsinxexcosx2x8，所以g0e0sin0e0cos02087.又知g03，所以gx在x0处的切线方程为y37x0，即7xy30.反思与感悟1与切线有关的问题往往涉及切点.切点处的导数.切线方程三个主要元素其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系2准确利用求导法则求出导函数是解决与切线有关的问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确3分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点跟踪训练41设曲线y2cosxsinx在点2，2处的切线与直线xay10垂直，则a________.答案1解析ysin2x2cosxcosxsin2x12cosxsin2x，当x2时，y12cos2sin221.又直线xay10的斜率是1a，1a1，即a1.2曲线yesinx在0,1处的切线与直线l平行，且与l的距离为2，求直线l的方程解设usinx，则yesinxeusinxcosxesinx，即y|x01，则切线方程为y1x0，即xy10.若直线l与切线平行，可设直线l的方程为xyc0.两平行线间的距离d|c1|22，所以c3或c1.故直线l的方程为xy30或xy10.1设函数y2exsinx，则y等于A2excosxB2exsinxC2exsinxD2exsinxcosx答案D解析y2exsinxexcosx2exsinxcosx2对于函数fxexx2lnx2kx，若f11，则k等于A.e2B.e3Ce2De3答案A解析fxexx2x31x2kx2，f1e12k1，解得ke2，故选A.3曲线yxx2在点1，1处的切线方程为Ay2x1By2x1Cy2x3Dy2x2答案A解析yxx2xx2x222x22，ky|x121222，切线方程为y12x1，即y2x1.4函数y2cos2x在x12处的切线斜率为________考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案1解析由函数y2cos2x1cos2x，得y1cos2x2sin2x，所以函数在x12处的切线斜率为2sin2121.5在曲线yx33x26x10的切线中，斜率最小的切线的方程为________________答案3xy110解析y3x26x63x22x23x1233，当x1时，斜率最小，此时切点坐标为1，14，切线方程为y143x1，即3xy110.1应用和.差.积.商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，要先利用代数.三角恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错2注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“”，而商的导数公式中分子上是“”3求复合函数的导数应处理好以下环节1正确分析函数的复合层次2中间变量应是基本初等函数结构3一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导4善于把一部分表达式作为一个整体5最后要把中间变量换成自变量的函数。
高考数学理科一轮复习导数的综合应用学习型教学案(有答案)
高考数学理科一轮复习导数的综合应用学案（有答案）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案15 导数的综合应用导学目标：1.应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.2.会利用导数解决某些实际问题．自主梳理．函数的最值函数f在[a，b]上必有最值的条件如果函数y＝f的图象在区间[a，b]上________，那么它必有最大值和最小值．求函数y＝f在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y＝f在内的________；②将函数y＝f的各极值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．2．实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解．自我检测．函数f＝x3－3ax－a在内有最小值，则a的取值范围为A．0≤a<1B．0<a<1c．－1<a<1D．0<a<122．设f′是函数f的导函数，将y＝f和y＝f′的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是3．对于R上可导的任意函数f，若满足f′≥0，则必有A．f＋f<2fB．f＋f≤2fc．f＋f≥2fD．f＋f>2f4．函数f＝12ex在区间0，π2上的值域为______________．5．f＝x2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．探究点一求含参数的函数的最值例1 已知函数f＝x2e－ax，求函数在[1,2]上的最大值．变式迁移1 设a>0，函数f＝alnxx.讨论f的单调性；求f在区间[a,2a]上的最小值．探究点二用导数证明不等式例2 已知f＝12x2－alnx，求函数f的单调区间；求证：当x>1时，12x2＋lnx<23x3.变式迁移2 设a为实数，函数f＝ex－2x＋2a，x∈R.求f的单调区间与极值；求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.探究点三实际生活中的优化问题例3 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为2万件．求分公司一年的利润L与每件产品的售价x的函数关系式；当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q．变式迁移3 甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x与年产量t满足函数关系x＝XXt.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元．将乙方的年利润ω表示为年产量t的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？转化与化归思想的应用例已知函数f＝lnx－x＋1.若xf′≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；证明：f≥0.【答题模板】解∵f′＝x＋1x＋lnx－1＝lnx＋1x，x>0，∴xf′＝xlnx＋1.由xf′≤x2＋ax＋1，得a≥lnx－x，令g＝lnx－x，则g′＝1x－1，[2分] 当0<x<1时，g′>0；当x>1时，g′<0，[4分]∴x＝1是最大值点，gmax＝g＝－1，∴a≥－1，∴a的取值范围为[－1，＋∞)．[6分]证明由知g＝lnx－x≤g＝－1，∴lnx－x＋1≤0.是快速解决的关键．)[8分]当0<x<1时，x－1<0，f＝lnx－x＋1＝xlnx ＋lnx－x＋1≤0，∴f≥0.当x≥1时，x－1>0，f＝lnx－x＋1＝lnx＋xlnx－x＋1＝lnx－xln1x－1x＋1≥0，∴f≥0.[11分]综上，f≥0.[12分]【突破思维障碍】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想．通过转化，本题实质还是利用单调性求最值问题．．求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要分类讨论参数的范围．若已知函数单调性求参数范围时，隐含恒成立思想．2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y＝f；求函数的导数f′，解方程f′＝0；比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确定最值；回到实际问题，作出解答．一、选择题．已知曲线c：y＝2x2－x3，点P，直线l过点P且与曲线c相切于点Q，则点Q的横坐标为A．－1B．1c．－2D．22．已知函数y＝f，y＝g的导函数的图象如图所示，那么y＝f，y＝g的图象可能是3．设f′是函数f的导函数，y＝f′的图象如图所示，则y＝f的图象最有可能是4．函数f＝－x3＋x2＋tx＋t在上是增函数，则t的取值范围是A．t>5B．t<5c．t≥5D．t≤55．若函数f＝sinxx，且0<x1<x2<1，设a＝sinx1x1，b＝sinx2x2，则a，b的大小关系是A．a>bB．a<bc．a＝bD．a、b的大小不能确定题号2345答案二、填空题6．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________．7．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，则仓库容积的最大值为_____________________________________________________________m3.8．若函数f＝4xx2＋1在区间上是单调递增函数，则实数m的取值范围为________．三、解答题9．已知函数f＝122－ln．求f的单调区间；若x∈[1e－1，e－1]时，f<m恒成立，求m的取值范围．0．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用c与隔热层厚度x满足关系：c＝k3x ＋5，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．求k的值及f的表达式；隔热层修建多厚时，总费用f达到最小，并求最小值．1．设函数f＝lnx，g＝ax＋bx，函数f的图象与x轴的交点也在函数g的图象上，且在此点有公共切线．求a、b的值；对任意x>0，试比较f与g的大小．答案自主梳理．连续①极值②端点值自我检测．B 2.D 3.c4.12，12eπ25.6课堂活动区例1 解题导引求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数在闭区间上的单调性，一般方法是令f′＝0，求出x 值后，再判断函数在各区间上的单调性，在这里一般要用到分类讨论的思想，讨论的标准通常是极值点与区间端点的大小关系，确定单调性或具体情况．解∵f＝x2e－ax，∴f′＝2xe－ax＋x2•e－ax＝e－ax．令f′>0，即e－ax>0，得0<x<2a.∴f在，2a，＋∞上是减函数，在0，2a上是增函数．①当0<2a<1，即a>2时，f在[1,2]上是减函数，∴fmax＝f＝e－a.②当1≤2a≤2，即1≤a≤2时，f在1，2a上是增函数，在2a，2上是减函数，∴fmax＝f2a＝4a－2e－2.③当2a>2，即0<a<1时，f在[1,2]上是增函数，∴fmax＝f＝4e－2a.综上所述，当0<a<1时，f的最大值为4e－2a；当1≤a≤2时，f的最大值为4a－2e－2；当a>2时，f的最大值为e－a.变式迁移1 解函数f的定义域为，f′＝a•1－lnxx2，由f′＝a•1－lnxx2>0，得0<x<e；由f′<0，得x>e.故f在上单调递增，在上单调递减．∵f在上单调递增，在上单调递减，∴f在[a,2a]上的最小值[f]min＝min{f，f}．∵f－f ＝12lna2，∴当0<a≤2时，[f]min＝lna；当a>2时，[f]min＝ln2a2.例2 解题导引利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过研究函数的性质进而解决不等式问题．解f′＝x－ax＝x2－ax，若a≤0时，f′>0恒成立，∴函数f的单调增区间为．若a>0时，令f′>0，得x>a，∴函数f的单调增区间为，减区间为．证明设F＝23x3－，故F′＝2x2－x－1x.∴F′＝x－12x2＋x＋1x.∵x>1，∴F′>0.∴F在上为增函数．又F在上连续，F＝16>0，∴F>16在上恒成立．∴F>0.∴当x>1时，12x2＋lnx<23x3.变式迁移2 解由f＝ex－2x＋2a，x∈R，知f′＝ex－2，x∈R.令f′＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′，f的变化情况如下表：xln2f′－＋f极小值故f的单调递减区间是，单调递增区间是，f在x＝ln2处取得极小值，极小值为f＝eln2－2ln2＋2a＝2．证明设g＝ex－x2＋2ax－1，x∈R.于是g′＝ex－2x＋2a，x∈R.由知当a>ln2－1时，g′最小值为g′＝2>0.于是对任意x∈R，都有g′>0，所以g在R内单调递增，于是当a>ln2－1时，对任意x∈，都有g>g．而g＝0，从而对任意x∈，都有g>0，即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.例3 解分公司一年的利润L与售价x的函数关系式为L＝2，x∈[9,11]．L′＝2－2＝．令L′＝0，得x＝6＋23a或x＝12．∵3≤a≤5，∴8≤6＋23a≤283.在x＝6＋23a两侧L′的值由正变负．∴①当8≤6＋23a<9，即3≤a<92时，Lmax＝L＝2＝9．②当9≤6＋23a≤283，即92≤a≤5时，Lmax＝L＝[12－]2＝43.所以Q＝96－a，3≤a<92，43－13a3，92≤a≤5.综上，若3≤a<92，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q＝9；若92≤a≤5，则当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q＝43．变式迁移3 解因为赔付价格为S元/吨，所以乙方的实际年利润为ω＝XXt－St.由ω′＝1000t－S＝1000－Stt，令ω′＝0，得t＝t0＝2.当t<t0时，ω′>0；当t>t0时，ω′<0.所以当t＝t0时，ω取得最大值．因此乙方获得最大利润的年产量为2吨．设甲方净收入为v元，则v＝St－0.002t2.将t＝2代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式：v＝10002S－2×10003S4.又v′＝－10002S2＋8×10003S5＝10002×8000－S3S5，令v′＝0，得S＝20.当S<20时，v′>0；当S>20时，v′<0，所以S＝20时，v取得最大值．因此甲方向乙方要求赔付价格S＝20元/吨时，可获得最大净收入．课后练习区．A 2.D 3.c 4.c 5.A6.63d解析如图所示，为圆木的横截面，由b2＋h2＝d2，∴bh2＝b．设f＝b，∴f′＝－3b2＋d2.令f′＝0，由b>0，∴b＝33d，且在上f′>0，在[33d，d]上f′<0.∴函数f在b＝33d处取极大值，也是最大值，即抗弯强度最大，此时长h＝63d.7．300解析设长为xm，则宽为m，仓库的容积为V，则V＝x•3＝－3x2＋60x，V′＝－6x＋60，令V′＝0得x＝10.当0<x<10时，V′>0；当x>10时，V′<0，∴x＝10时，V最大＝300．8．＝41－x2x2＋12≥0，解得－1≤x≤1.由已知得⊆[－1,1]，即m≥－12m＋1≤1m<2m ＋1，解得－1<m≤0.9．解∵f＝122－ln，∴f′＝－11＋x＝x2＋x1＋x．……………………………………………………………………………………………∴f在上单调递增，在上单调递减．…………………………………………………………………令f′＝0，即x＝0，则xf′－＋f极小值……………………………………………………………………………………………又∵f＝12e2＋1，f＝12e2－1>12e2＋1，又f<m在x∈[1e－1，e－1]上恒成立，∴m>12e2－1.………………………………………………………………………………0．解设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为c＝k3x＋5，再由c＝8，得k＝40，因此c＝403x＋5，…………………………………………而建造费用为c1＝6x.…………………………………………………………………最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f＝20c＋c1＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x．………………………………………………………………f′＝6－24003x＋52，令f′＝0，即24003x＋52＝6，解得x＝5，x＝－253．…………………………………………当0<x<5时，f′<0，当5<x<10时，f′>0，………………………………………………………………故x＝5是f的最小值点，对应的最小值为f＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．……………………………………………………………………………………………1．解f＝lnx的图象与x轴的交点坐标是，依题意，得g＝a＋b＝0.①……………………………………………………………又f′＝1x，g′＝a－bx2，且f与g在点处有公共切线，∴g′＝f′＝1，即a－b＝ 1.②……………………………………………………由①②得a＝12，b＝－12.…………………………………………………………………令F＝f－g，则F＝lnx－＝lnx－12x＋12x，∴F′＝1x－12－12x2＝－122≤0.∴F在上为减函数．………………………………………………………当0<x<1时，F>F＝0，即f>g；当x＝1时，F＝0，即f＝g；当x>1时，F<F＝0，即f<g．综上，0<x<1时，f>g；x＝1时，f＝g；x>1时f<g．…………………………………………………………………………。
高考数学理科一轮复习导数的综合应用学案(有答案)
高考数学理科一轮复习导数的综合应用学案（有答案）学案1导数的综合应用导学目标：1应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围2会利用导数解决某些实际问题．自主梳理1．函数的最值(1)函数f(x)在[a，b]上必有最值的条如果函数＝f(x)的图象在区间[a，b]上________，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数＝f(x)在(a，b)内的________；②将函数＝f(x)的各极值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．2．实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解．自我检测1．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A．0≤a<1B．0<a<1．－1<a<1D．0<a<122．(2011•汕头月考)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将＝f(x)和＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()3．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有() A．f(0)＋f(2)<2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)>2f(1)4．(2011•新乡模拟)函数f(x)＝12ex (sin x＋s x)在区间0，π2上的值域为______________．．f(x)＝x(x－)2在x＝2处有极大值，则常数的值为________．探究点一求含参数的函数的最值例1 已知函数f(x)＝x2e－ax (a>0)，求函数在[1,2]上的最大值．变式迁移1设a>0，函数f(x)＝aln xx(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间[a,2a]上的最小值．探究点二用导数证明不等式例2 (2011•张家口模拟)已知f(x)＝12x2－aln x(a∈R)，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当x>1时，12x2＋ln x<23x3变式迁移2(2010•安徽)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1探究点三实际生活中的优化问题例3 (2011•孝感月考)某分公司经销某种品牌产品，每产品的成本为3元，并且每产品需向总公司交a元(3≤a≤)的管理费，预计当每产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每产品的售价x的函数关系式；(2)当每产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L 的最大值Q(a)．变式迁移3甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝2 000t若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格)．(1)将乙方的年利润ω(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额＝0002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？转化与化归思想的应用例(12分)(2010•全国Ⅰ)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1 (1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；(2)证明：(x－1)f(x)≥0【答题模板】(1)解∵f′(x)＝x＋1x＋ln x－1＝ln x＋1x，x>0，∴xf′(x)＝xln x＋1由xf′(x)≤x2＋ax＋1，得a≥ln x－x，令g(x)＝ln x－x，则g′(x)＝1x－1，[2分]当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0，[4分]∴x＝1是最大值点，g(x)ax＝g(1)＝－1，∴a≥－1，∴a的取值范围为[－1，＋∞)．[6分](2)证明由(1)知g(x)＝ln x－x≤g(1)＝－1，∴ln x－x＋1≤0(注：充分利用(1)是快速解决(2)的关键．)[8分]当0<x<1时，x－1<0，f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1＝xln x＋ln x－x ＋1≤0，∴(x－1)f(x)≥0当x≥1时，x－1>0，f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1＝ln x＋xln x－x＋1＝ln x－xln 1x－1x＋1≥0，∴(x－1)f(x)≥0[11分]综上，(x－1)f(x)≥0[12分]【突破思维障碍】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想．通过转化，本题实质还是利用单调性求最值问题．1．求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要分类讨论参数的范围．若已知函数单调性求参数范围时，隐含恒成立思想．2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确定最值；(4)回到实际问题，作出解答．(满分：7分)一、选择题(每小题分，共2分)1．(2011•皖南模拟)已知曲线：＝2x2－x3，点P(0，－4)，直线l过点P且与曲线相切于点Q，则点Q的横坐标为()A．－1B．1．－2D．22．已知函数＝f(x)，＝g(x)的导函数的图象如图所示，那么＝f(x)，＝g(x)的图象可能是()3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，＝f′(x)的图象如图所示，则＝f(x)的图象最有可能是()4．函数f(x)＝－x3＋x2＋tx＋t在(－1,1)上是增函数，则t的取值范围是()A．t> B．t<．t≥D．t≤．(2011•沧州模拟)若函数f(x)＝sin xx，且0<x1<x2<1，设a＝sin x1x1，b＝sin x2x2，则a，b的大小关系是()A．a>bB．a<b．a＝bD．a、b的大小不能确定题号1234答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________．(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)7．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3 ，长和宽的和为20 ，则仓库容积的最大值为___________________________________________________________ __38．若函数f(x)＝4xx2＋1在区间(,2＋1)上是单调递增函数，则实数的取值范围为________．三、解答题(共38分)9．(12分)已知函数f(x)＝12(1＋x)2－ln(1＋x)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若x∈[1e－1，e－1]时，f(x)<恒成立，求的取值范围．10．(12分)(2010•湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能消耗费用(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：)满足关系：(x)＝3x＋(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能消耗费用之和．(1)求的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．11．(14分)设函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋bx，函数f(x)的图象与x轴的交点也在函数g(x)的图象上，且在此点有公共切线．(1)求a、b的值；(2)对任意x>0，试比较f(x)与g(x)的大小．答案自主梳理1．(1)连续(2)①极值②端点值自我检测1．B2D 3412，12eπ2 6堂活动区例 1 解题导引求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数在闭区间上的单调性，一般方法是令f′(x)＝0，求出x值后，再判断函数在各区间上的单调性，在这里一般要用到分类讨论的思想，讨论的标准通常是极值点与区间端点的大小关系，确定单调性或具体情况．解∵f(x)＝x2e－ax (a>0)，∴f′(x)＝2xe－ax＋x2•(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)．令f′(x)>0，即e－ax(－ax2＋2x)>0，得0<x<2a∴f(x)在(－∞，0)，2a，＋∞上是减函数，在0，2a上是增函数．①当0<2a<1，即a>2时，f(x)在[1,2]上是减函数，∴f(x)ax＝f(1)＝e－a②当1≤2a≤2，即1≤a≤2时，f(x)在1，2a上是增函数，在2a，2上是减函数，∴f(x)ax＝f2a＝4a－2e－2③当2a>2，即0<a<1时，f(x)在[1,2]上是增函数，∴f(x)ax＝f(2)＝4e－2a综上所述，当0<a<1时，f(x)的最大值为4e－2a；当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a－2e－2；当a>2时，f(x)的最大值为e－a变式迁移1解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a•1－ln xx2(a>0)，由f′(x)＝a•1－ln xx2>0，得0<x<e；由f′(x)<0，得x>e故f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．(2)∵f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴f(x)在[a,2a]上的最小值[f(x)]in＝in{f(a)，f(2a)}．∵f(a)－f(2a)＝12lna2，∴当0<a≤2时，[f(x)]in＝ln a；当a>2时，[f(x)]in＝ln2a2例 2 解题导引利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过研究函数的性质进而解决不等式问题．(1)解f′(x)＝x－ax＝x2－ax(x>0)，若a≤0时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．若a>0时，令f′(x)>0，得x>a，∴函数f(x)的单调增区间为(a，＋∞)，减区间为(0，a)．(2)证明设F(x)＝23x3－(12x2＋ln x)，故F′(x)＝2x2－x－1x∴F′(x)＝x－12x2＋x＋1x ∵x>1，∴F′(x)>0∴F(x)在(1，＋∞)上为增函数．又F(x)在(1，＋∞)上连续，F(1)＝16>0，∴F(x)>16在(1，＋∞)上恒成立．∴F(x)>0∴当x>1时，12x2＋ln x<23x3变式迁移2(1)解由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝ex－2，x∈R令f′(x)＝0，得x＝ln 2于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln 2)ln 2(ln 2，＋∞)f′(x)－0＋极小值故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．(2)证明设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增，于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0，即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1例3 解(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L ＝(x－3－a)(12－x)2，x∈[9,11]．(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)＝(12－x)(18＋2a－3x)．令L′＝0，得x＝6＋23a或x＝12(不合题意，舍去)．∵3≤a≤，∴8≤6＋23a≤283在x＝6＋23a两侧L′的值由正变负．∴①当8≤6＋23a<9，即3≤a<92时，Lax＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)．②当9≤6＋23a≤283，即92≤a≤时，Lax＝L(6＋23a)＝(6＋23a－3－a)[12－(6＋23a)]2＝4(3－13a)3所以Q(a)＝96－a，3≤a<92，43－13a3，92≤a≤综上，若3≤a<92，则当每售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)(万元)；若92≤a≤，则当每售价为(6＋23a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝4(3－13a)3(万元)．变式迁移3解(1)因为赔付价格为S元/吨，所以乙方的实际年利润为ω＝2 000t－St由ω′＝1 000t－S＝1 000－Stt，令ω′＝0，得t＝t0＝(1 000S)2当t<t0时，ω′>0；当t>t0时，ω′<0所以当t＝t0时，ω取得最大值．因此乙方获得最大利润的年产量为(1 000S)2吨．(2)设甲方净收入为v元，则v＝St－0002t2将t＝(1 000S)2代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式：v＝1 0002S－2×1 0003S4又v′＝－1 0002S2＋8×1 0003S＝1 0002×8 000－S3S，令v′＝0，得S＝20当S<20时，v′>0；当S>20时，v′<0，所以S＝20时，v取得最大值．因此甲方向乙方要求赔付价格S＝20元/吨时，可获得最大净收入．后练习区1．A2D34 A663d解析如图所示，为圆木的横截面，由b2＋h2＝d2，∴bh2＝b(d2－b2)．设f(b)＝b(d2－b2)，∴f′(b)＝－3b2＋d2令f′(b)＝0，由b>0，∴b＝33d，且在(0，33d)上f′(b)>0，在[33d，d]上f′(b)<0∴函数f(b)在b＝33d处取极大值，也是最大值，即抗弯强度最大，此时长h＝63d7．300解析设长为x ，则宽为(20－x)，仓库的容积为V，则V＝x(20－x)•3＝－3x2＋60x，V′＝－6x＋60，令V′＝0得x＝10当0<x<10时，V′>0；当x>10时，V′<0，∴x＝10时，V最大＝300 (3)．8．(－1,0]解析f′(x)＝41－x2x2＋12≥0，解得－1≤x≤1由已知得(,2＋1)⊆[－1,1]，即≥－12＋1≤1<2＋1，解得－1<≤09．解(1)∵f(x)＝12(1＋x)2－ln(1＋x)，∴f′(x)＝(1＋x)－11＋x＝x2＋x1＋x(x>－1)．……………………………………………………………………………………………(4分)∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．…………………………………………………………………(6分) (2)令f′(x)＝0，即x＝0，则x(1e－1,0)0(0，e－1)f′(x)－0＋极小值……………………………………………………………………………………………(9分)又∵f(1e－1)＝12e2＋1，f(e－1)＝12e2－1>12e2＋1，又f(x)<在x∈[1e－1，e－1]上恒成立，∴>12e2－1………………………………………………………………………………(12分)10．解(1)设隔热层厚度为x ，由题设，每年能消耗费用为(x)＝3x＋，(2分)再由(0)＝8，得＝40，因此(x)＝403x ＋，…………………………………………(4分)而建造费用为1(x)＝6x…………………………………………………………………(分)最后得隔热层建造费用与20年的能消耗费用之和为f(x)＝20(x)＋1(x)＝20×403x＋＋6x＝8003x＋＋6x (0≤x≤10)．………………………………………………………………(6分)(2)f′(x)＝6－2 4003x＋2，令f′(x)＝0，即 2 4003x＋2＝6，解得x＝，x＝－23(舍去)．…………………………………………(8分)当0<x<时，f′(x)<0，当<x<10时，f′(x)>0，………………………………………………………………( 10分)故x＝是f(x)的最小值点，对应的最小值为f()＝6×＋8001＋＝70当隔热层修建厚时，总费用达到最小值70万元．……………………………………………………………………………………………(12分)11．解(1)f(x)＝ln x的图象与x轴的交点坐标是(1,0)，依题意，得g(1)＝a＋b＝0①……………………………………………………………(2分)又f′(x)＝1x，g′(x)＝a－bx2，且f(x)与g(x)在点(1,0)处有公共切线，∴g′(1)＝f′(1)＝1，即a－b＝1②……………………………………………………(4分)由①②得a＝12，b＝－12…………………………………………………………………(6分) (2)令F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)＝ln x－(12x－12x)＝ln x－12x＋12x，∴F′(x)＝1x－12－12x2＝－12(1x－1)2≤0∴F(x)在(0，＋∞)上为减函数．………………………………………………………(10分)当0<x<1时，F(x)>F(1)＝0，即f(x)>g(x)；当x＝1时，F(1)＝0，即f(x)＝g(x)；当x>1时，F(x)<F(1)＝0，即f(x)<g(x)．综上，0<x<1时，f(x)>g(x)；x＝1时，f(x)＝g(x)；x>1时f(x)<g(x)．…………………………………………………………………………(14分)。
“导数的应用”学案
“导数的应用”学案蒋德亮（山东省临沭县第二中学）一、学习目标1．会用导数求函数的单调区间或者判断函数的单调性． 2．会用导数求函数给定区间上的极值和最值．二、诊断补偿2.思考：利用导数可以解决哪些问题？三、问题解决应用一：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性思考：尝试应用：典例析与练:'()()'()()f x f x y f x y f x ==设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）.5223π(23)(2)ln(1)(3)(4)sin(2)3x y x y x y ey x --=+=+==+11．求下列函数的导数:（）；；；．()(,)f x a b 1.函数在区间内,'()0f x >⇒'()0f x <⇒()(,)f x a b 2、函数在区间内,()(,)f x a b ⇒在内单调递增()(,)f x a b ⇒在内单调递减提示：先求导函数，再求不等式'()0f x >或'()0f x <的解集．跟踪练习：应用二：用导数求函数给定区间上的极值和最值思考1：思考2：求函数f (x )在[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤：典例析与练：3.()31(0),().f x x ax a f x =--≠例1已知函数求函数的单调区间cos sin .π3π3π5πA. (,) B. (π,2π) C. (,) D. (2π,3π)2222y x x x =-函数在下面哪个区间内是增函数( )()1,,,,,,,2()3()456y f x a b d e fghi y f x y f x ===如图，（）函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？（）在这些点的导数值是多少？（）在这些点附近，的导数的符号有什么规律？（）极小值是不是就是最小值？（）极大值是不是就是最大值？（）极小值一定比极大值小吗？提示：先求'()0f x =的解0x ，再判断0x 两侧的导函数的正负，确定极值，再求端点值，最后比较极值和端点值． 跟踪练习：()()()[]3239122,220,f x x x x a f x f x =-+++-2、已知函数，（）求的单调递减区间；（）若在区间上的最大值为求它在该区间上的最小值．四、能力提高3222()()1:310,3(),,()f x x ax bx c y f x x l x y x y f x a b c f x =++==-+===例．已知函数+,曲线在点处的切线为若时,有极值.（1）求的值；（2）求在[-3,1]上的最大值和最小值.()()y f x y f x '==1.如果函数的图象如图所以，那么导函数的图象可能是（ ）.1.()0,()y f x y f x ==函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（ ）.A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.必要不充分条件2.以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（ ）.A ．①、②B ．①、③C ．③、④D ．①、④322.(),1,4()3.2s t t bt ct d t s t d d =+++⎡⎤∈<⎢⎥⎣⎦4已知某质点的运动方程为下图是其运动轨迹的一部分，若时，恒成立，求的取值范围五、知识网络构建六、分层作业（一）基础作业3()3(0)62()f x x ax b a f x =-+>3.函数的极大值为，极小值为，则的减区间是（ ）.A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0) D.(-2,-1)32()91(0)()12612()f x x ax x a y f x x y a f x =+--<=+=1．设函数，若曲线的斜率最小的切线与直线平行，求：（）的值；（）函数的单调区间.（二）能力作业0023()2ln ,1()1,,21[,2]()0.4()(0,)7.389,20.08)bf x ax x x f x x x x f x c c b a f x a e e =-+==-≤=+∞≈≈2.设函数（1）若在处取得极值求a,b 的值；在存在，使得不等式成立，求的最小值（2）当时，若在上是单调函数，求的取值范围.（参考数据① ②。
新教材 人教B版高中数学选择性必修第三册 第六章 导数 学案(知识点考点汇总及配套习题,含解析)
第六章 导数6.1 导数6.1.1 函数的平均变化率学 习目 标核 心 素 养1.理解函数平均变化率的概念．(重点) 2．会求函数的平均变化率．(难点、易混点) 3．会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．(难点)1.通过函数平均变化率的学习，培养数学抽象素养．2．借助函数平均变化率的计算，提升数学运算素养.某人走路的第1秒和第45秒的位移如图所示：问题1：从A 到B 的位移是多少？从B 到C 的位移是多少？ 问题2：AB 段与BC 段哪一段的速度较快？1．函数的平均变化率一般地，若函数y ＝f (x )的定义域为D ，且x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2，y 1＝f (x 1)，y 2＝f (x 2)，则 (1)自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1；(2)因变量的改变量Δy ＝y 2－y 1(或Δf ＝f (x 2)－f (x 1))；思考：在平均变化率中，Δx ，Δy ，ΔyΔx 是否可以为0？当平均变化率为0时，是否说明函数在该区间上一定为常函数？[提示] 在平均变化率中，Δx 可正可负但Δx 不可以为0；Δy 可以为0；ΔyΔx 可以为0.当ΔyΔx＝0时，并不能说明函数在该区间上一定为常函数，如f (x )＝x 2在区间[－2,2]上的平均变化率是0，但它不是常函数．拓展：函数平均变化率的几何意义如图所示，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率，就是直线AB 的斜率，其中A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，事实上k AB ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝Δy Δx .2．平均速度与平均变化率如果物体运动的位移x m 与时间t s 的关系为x ＝h (t )，则物体在[t 1，t 2](t 1<t 2时)或[t 2，t 1](t 2<t 1时)这段时间内的平均速度为h (t 2)－h (t 1)t 2－t 1(m/s)．即物体在某段时间内的平均速度等于x ＝h (t )在该段时间内的平均变化率．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)Δx 表示x 2－x 1，是相对于x 1的一个增量，Δx 的值可正可负，但不可为零． (2)Δy 表示f (x 2)－f (x 1)，Δy 的值可正可负，也可以为零． ( ) (3)ΔyΔx 表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率． ( ) (4)物体在某段时间内的平均速度为0，则物体始终处于静止状态． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2.如图，函数y ＝f (x )在[1,3]上的平均变化率为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝－1.]3．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44B [Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41.]4．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图像如图所示．在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，其三者的大小关系是________．v 3>v 2>v 1 [∵v 1＝s (t 1)－s (t 0)t 1－t 0＝k MA ，v 2＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1＝k AB ，v 3＝s (t 3)－s (t 2)t 3－t 2＝k BC ，由图像可知：k MA <k AB <k BC ， ∴v 3>v 2>v 1.]求函数的平均变化率【例1】 求y ＝f (x )＝2x 2＋1在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．[解] ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝2(x 0＋Δx )2＋1－(2x 20＋1)＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2， ∴函数f (x )＝2x 2＋1在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为 Δy Δx ＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4x 0＋2Δx ， 当x 0＝1，Δx ＝12时，平均变化率为4×1＋2×12＝5.求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy ，求平均变化率的主要步骤是：[跟进训练]1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2C [根据平均变化率的定义，可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3.]2．已知函数f (x )＝2x 2－4的图像上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2C [∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[2(1＋Δx )2－4]－(－2)＝2(Δx )2＋4Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋4Δx Δx＝4＋2Δx .]求物体运动的平均变化率关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.(1)求运动员在⎣⎡⎦⎤0，6549这段时间内的平均速度； (2)运动员在⎣⎡⎦⎤0，6549这段时间内是静止的吗？ (3)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？ [解] (1)v －＝h ⎝⎛⎭⎫6549－h (0)6549－0＝－4.9×⎝⎛⎭⎫65492＋6.5×6549＋10－106549－0＝0 (m/s)，即运动员在⎣⎡⎦⎤0，6549这段时间内的平均速度是0 m/s. (2)运动员在这段时间里显然不是静止的．(3)由上面的计算结果可以看出，平均速度并不能反映出运动员的运动状态，特别是当运动的方向改变时．1．平均速度反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值．2．运动物体在t 0到t 1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数s (t )在区间[t 0，t 1]上的平均变化率，因此求平均速度的实质就是求函数的平均变化率．[跟进训练]3．一个物体做直线运动，位移s (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系为s (t )＝5t 2＋mt ，且这一物体在2≤t ≤3这段时间内的平均速度为26 m/s ，则实数m 的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．6B [由已知，得s (3)－s (2)3－2＝26，所以(5×32＋3m )－(5×22＋2m )＝26，解得m ＝1，选B.]平均变化率的应用12与时间t (天)的关系如图所示，则一定有( )A ．两机关单位节能效果一样好B ．A 机关单位比B 机关单位节能效果好C ．A 机关单位的用电量在[0，t 0]上的平均变化率比B 机关单位的用电量在[0，t 0]上的平均变化率大D ．A 机关单位与B 机关单位自节能以来用电量总是一样大(2)巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化AB 段、BC 段曲线的陡峭程度吗？(1)B [(1)由题可知，A 机关单位所对应的图像比较陡峭，B 机关单位所对应的图像比较平缓，且用电量在[0，t 0]上的平均变化率都小于0，故一定有A 机关单位比B 机关单位节能效果好．故选B.](2)[解] 山路从A 到B 高度的平均变化率为k AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15，山路从B 到C 高度的平均变化率为k BC ＝Δy Δx ＝20－1070－50＝12，∴k BC >k AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 陡峭．函数的平均变化率f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0表示点(x 0，f (x 0))与点(x 1，f (x 1))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势.(1)当比较函数平均变化率的大小时，可以先将函数在每个自变量附近的平均变化率求出，然后进行大小的比较.(2)当识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，图像在点x 0附近的图像越“陡峭”，函数值变化就越快.[跟进训练]4．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在函数y ＝f (x )的图像上，若函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率为3，则下面叙述正确的是( )A ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的倾斜角为π6B ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的倾斜角为π3C ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的斜率为－ 3D ．曲线y ＝f (x )的割线AB 的斜率为－33B [函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率就是割线AB 的斜率，所以k AB ＝3，割线AB 的倾斜角为π3，选B.]5．已知函数f (x )＝3－x 2，计算当x 0＝1,2,3，Δx ＝13时，平均变化率的值，并比较函数f (x )＝3－x 2在哪一点附近的平均变化率最大？[解] 函数f (x )＝3－x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝[3－(x 0＋Δx )2]－(3－x 20)Δx＝－2x 0·Δx －(Δx )2Δx＝－2x 0－Δx .当x 0＝1，Δx ＝13时，平均变化率的值为－73，当x 0＝2，Δx ＝13时，平均变化率的值为－133，当x 0＝3，Δx ＝13时，平均变化率的值为－193，∵－73>－133>－193，∴函数f (x )＝3－x 2在x 0＝1附近的平均变化率最大.1．函数的平均变化率可正可负可为零，反映函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快．2．函数平均变化率的几何意义和物理意义．(1)几何意义：平均变化率表示函数y ＝f (x )图像上割线P 1P 2的斜率，若P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))，则kP 1P 2＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx ；(2)物理意义：把位移s 看成时间t 的函数，平均变化率表示s ＝s (t )在时间段[t 1，t 2]上的平均速度，即v －＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1.1．某物体的运动规律是s ＝s (t )，则该物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是( ) A.v －＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )ΔtB.v －＝s (Δt )ΔtC.v －＝s (t )tD.v －＝s (t ＋Δt )－s (Δt )ΔtA [由平均速度的定义可知，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以v －＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt.]2．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( ) A ．2.1 B ．1.1 C ．2 D ．0A [Δy Δx ＝f (1.1)－f (1)1.1－1＝0.210.1＝2.1.]3.如图所示，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．[x 3，x 4] [由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为：f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3，结合图像可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．]4．函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2，则t ＝________. 5 [因为函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2， 所以f (t )－f (－2)t －(－2)＝(t 2－t )－[(－2)2－(－2)]t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，从而t 2－3t －10＝0，解得t ＝5或t ＝－2(舍去)．]5．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．(1)从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ [解] (1)在t ＝0和t ＝10时，蜥蜴的体温分别为T (0)＝1200＋5＋15＝39，T (10)＝12010＋5＋15＝23，故从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温下降了16℃. (2)平均变化率为T (10)－T (0)10＝－1610＝－1.6.它表示从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.6.1.2 导数及其几何意义学习 目 标核 心 素 养1.理解瞬时变化率、导数的概念．(重点、难点) 2．理解导数的几何意义．(重点、难点)3．会用导数的定义及几何意义求曲线在某点处的切线方程．(易混点)1.借助瞬时变化率的学习，培养数学抽象的素养．2．通过导数的几何意义，提升直观想象的素养.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．你能计算出第2 h 与第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义吗？1．瞬时变化率与导数 (1)瞬时变化率：一般地，设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，自变量在x ＝x 0处的改变量为Δx ，当Δx 无限接近于0时，若平均变化率Δf Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx无限接近于一个常数k ，那么称常数k 为函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率．简记为：当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx →k 或lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝k .(2)导数①f (x )在x 0处的导数记作f ′(x 0)； ②f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.拓展：导数定义的理解(1)函数应在x 0处的附近有定义，否则导数不存在．(2)在极限式中，Δx 趋近于0且Δx 是自变量x 在x 0处的改变量，所以Δx 可正、可负，但不能为0.当Δx >0(或Δx <0)时，Δx →0表示x 0＋Δx 从右边(或从左边)趋近于x 0.(3)函数在一点处的导数就是在该点附近的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是个常数，不是变量．2．导数的几何意义 (1)割线的斜率已知y ＝f (x )图像上两点A (x 0，f (x 0))，B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))，过A ，B 两点割线的斜率是ΔfΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．(2)导数的几何意义曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．(3)曲线的切线方程曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数y＝f(x)在某点处的导数是一个变量．()(2)瞬时变化率是刻画某函数在区间[x1，x2]上函数值变化快慢的物理量．()(3)直线与曲线相切，则直线与已知曲线有且只有一个公共点．()(4)若函数y＝f(x)在某点处可导，则在该点处一定有切线，反之也成立．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，那么这个函数的图像是()A．圆B．抛物线C．椭圆D．直线D[结合导数的几何意义可知，该函数的图像是平行或重合于x轴的直线，故选D.] 3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝________.2[由导数的几何意义可知f′(1)＝2.]4．质点M的运动规律为S＝4t2，则质点M在t＝1时的瞬时速度为________．8[ΔS＝S(1＋Δt)－S(1)＝4(1＋Δt)2－4＝4(Δt)2＋8(Δt)，∴ΔSΔt＝4(Δt)＋8.∴limΔx→0ΔSΔt＝8.]求函数在某点处的导数(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．[思路点拨]求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′(x0)．[解](1)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2＝3Δx－(Δx)2，∴ΔyΔx＝3Δx－(Δx)2Δx＝3－Δx，∴f ′(－1)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(3－Δx )＝3. (2)∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )2－3＝6Δx ＋3(Δx )2， ∴Δy Δx ＝6＋3Δx ，∴f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(6＋3Δx )＝6.1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy 与Δx 的比值，感受和认识在Δx 逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数k 这一现象．2．用定义求函数在x ＝x 0处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx；(3)求极限，得导数为f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx. 简记为：一差、二比、三趋近． [跟进训练]1．求函数f (x )＝x －1x 在x ＝1处的导数．[解] ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝⎛⎭⎫1－11 ＝Δx ＋1－11＋Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ， ∴f ′(1)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫1＋11＋Δx ＝2.导数几何意义的应用A BA ．f ′(x A )＞f ′(xB ) B ．f ′(x A )＜f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定(2)若曲线f (x )＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1(1)B (2)A [(1)由导数的几何意义知，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A 、B 处切线的斜率，由图像可知f ′(x A )＜f ′(x B )．(2)由题意，知k ＝f ′(0)＝lim Δx →0 (0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －bΔx ＝1，∴a ＝1.又(0，b )在切线上， ∴b ＝1，故选A.]1．解答此类问题的关键是理解导数的几何意义．2．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．[跟进训练]2．设曲线f (x )＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1A [由题意可知，f ′(1)＝2.又lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－aΔx ＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a .故由2a ＝2得a ＝1.]3.(一题两空)如图所示，函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＝______，f ′(5)＝________.3 －1 [由图像知f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)等于在该点P 处切线的斜率，故f ′(5)＝－1.]求曲线的切线方程1．如何求曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程？[提示] y －y 0＝k (x －x 0)．即根据导数的几何意义，求出函数y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．2．曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与曲线过点(x 0，y 0)的切线有什么不同？[提示] 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线，点(x 0，f (x 0))一定是切点，只要求出k ＝f ′(x 0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f (x )过某点(x 0，y 0)的切线，给出的点(x 0，y 0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．3．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？[提示] 不一定．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线l 与曲线y ＝f (x )的交点个数不一定只有一个，如图所示．【例3】 (教材P 70例4改编)已知曲线C ：f (x )＝x 3. (1)求曲线C 在横坐标为x ＝1的点处的切线方程； (2)求曲线C 过点(1,1)的切线方程．[思路点拨] (1)求f ′(1)→求切点→点斜式方程求切线[解] (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，∴切点P (1,1)． f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 (1＋Δx )3－1Δx ＝lim Δx →0 [3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3.∴k ＝f ′(1)＝3.∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0. (2)设切点为Q (x 0，y 0)，由(1)可知f ′(x 0)＝3x 20，由题意可知k PQ ＝f ′(x 0)，即y 0－1x 0－1＝3x 20，又f (x 0)＝x 30，所以x 30－1x 0－1＝3x 20，即2x 20－x 0－1＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12. ①当x 0＝1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x －y －2＝0.②当x 0＝－12时，切点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－18，相应的切线方程为y ＋18＝34⎝⎛⎭⎫x ＋12，即3x －4y ＋1＝0.1．(变结论)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，y ＝x 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－8，从而求得公共点为P (1,1)或M (－2，－8)，即切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)． 2．(变条件)求曲线f (x )＝x 2＋1过点P (1,0)的切线方程． [解] 设切点为Q (a ，a 2＋1)，f (a ＋Δx )－f (a )Δx ＝(a ＋Δx )2＋1－(a 2＋1)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 趋于0时，(2a ＋Δx )趋于2a ，所以所求切线的斜率为2a .因此，(a 2＋1)－0a －1＝2a ，解得a ＝1±2，所求的切线方程为y ＝(2＋22)x －(2＋22)或y ＝(2－22)x －(2－22)．利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，求在点(x 0，y 0)处的切线方程，先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).(2)若点(x 0，y 0)不在曲线上，求过点(x 0，y 0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.1．函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率即为f ′(x 0)，且f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.2．求曲线在点(x 0，y 0)处的切线方程可直接套用公式：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)求解；求曲线过点(x 0，y 0)的切线方程时应注意分该点是切点和不是切点两类分别求解．3．根据导数的几何意义可知，f ′(x 0)能反映曲线f (x )在x ＝x 0处的升降及变化快慢情况，若f ′(x 0)>0，则曲线在该点处上升，若f ′(x 0)<0，则曲线在该点处下降．1．已知函数y ＝f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则f ′(2)等于( ) A ．1 B ．－1 C ．－3 D ．3 D [由题意知f ′(2)＝3.]2．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是：m ，t 的单位是：s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/sC [∵Δs Δt ＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋32)Δt ＝5＋Δt ，∴lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(5＋Δt )＝5(m/s)．] 3．已知函数f (x )在x 0处的导数为f ′(x 0)＝1，则函数f (x )在x 0处切线的倾斜角为__________．45° [设切线的倾斜角为α，则 tan α＝f ′(x 0)＝1， 又α∈[0°，180°)， ∴α＝45°.]4．曲线f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为________．x ＋2y ＋4＝0 [f ′(－2)＝lim Δx →0 f (－2＋Δx )－f (－2)Δx ＝lim Δx →0 2－2＋Δx ＋1Δx ＝lim Δx →0 1－2＋Δx ＝－12， ∴切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.]5．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线f (x )＝x 3－2x 2＋3相切，求切点坐标及a 的值． [解] 设直线l 与曲线相切于点P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝li m Δx →0 (x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )2＋3－(x 30－2x 20＋3)Δx ＝3x 20－4x 0. 由导数的几何意义，得k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)． 当切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927时， 有4927＝4×⎝⎛⎭⎫－23＋a ， ∴a ＝12127.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， ∴a ＝－5.因此切点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)， a 的值为12127或－5.6.1.3 基本初等函数的导数学习 目 标核 心 素 养1.理解导函数的概念．(难点)2．能根据定义求函数y ＝C ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x的导数．(难点)3．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)1.通过导函数概念的学习，培养数学抽象的素养．2．通过学习常用函数的导数及基本初等函数的导数公式，提升数学运算素养.在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x ，y ＝3x 及y ＝4x 的图像，并根据导数定义，求它们的导数．问题1：从图像上看，它们的导数分别表示什么？ 问题2：函数y ＝kx (k ≠0)增(减)的快慢与什么有关？1．导数的概念一般地，如果函数y ＝f (x )在其定义域内的每一点x 都可导，则称f (x )可导．此时，对定义域内的每一个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是，在f (x )的定义域内，f ′(x )是一个函数，称其为函数y ＝f (x )的导函数．记作f ′(x )(或y ′，y ′x )，即f ′(x )＝y ′＝y ′x ＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.思考1：f ′(x 0)与f ′(x )相同吗？[提示] 不同．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，而f ′(x 0)是f ′(x )在x ＝x 0处的导数值． 2．导数公式表 ①C ′＝0. ②(x α)′＝αx α－1. ③(a x )′＝a x ln_a . ④(log a x )′＝1x ln a .⑤(sin x )′＝cos_x . ⑥(cos x )′＝－sin_x .思考2：函数y ＝e x 及y ＝ln x 的导数分别是多少？ [提示] (e x )′＝e x ，(ln x )′＝1x.1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数在一点处的导数f ′(x 0)是一个常数． ( ) (2)若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.( ) (3)若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x ． ( ) (4)若y ＝1x ，则y ′＝1x2.( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．给出下列命题： ①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′＝－2x 3；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2； ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2.其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4C [对于①，y ′＝0，故①错；显然②③④正确，故选C.] 3．若函数f (x )＝10x ，则f ′(1)等于( ) A.110 B ．10 C ．10ln 10D.110ln 10 C [∵f ′(x )＝10x ln 10， ∴f ′(1)＝10ln 10.]4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线方程为________． y ＝e 2(x －1) [∵y ′＝e x ， ∴y ′|x ＝2＝e 2，∴在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2(x －1)．]利用导数公式求函数的导数(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝3x ；(5)y ＝log 5x .[思路点拨] 首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．[解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x5.(3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25.(4)y ′＝(3x )′＝3x ln 3. (5)y ′＝(log 5x )′＝1x ln 5.1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“1x 与ln x ”，“a x 与log a x ”，“sin x 与cos x ”的导数区别．[跟进训练]1．若f (x )＝x 3，g (x )＝log 3x, 则f ′(x )－g ′(x )＝__________. 3x 2－1x ln 3 [∵f ′(x )＝3x 2，g ′(x )＝1x ln 3，∴f ′(x )－g ′(x )＝3x 2－1x ln 3.]利用公式求函数在某点处的导数(1)求质点在t ＝π3时的速度；(2)求质点运动的加速度．[思路点拨] (1)先求s ′(t )，再求s ′⎝⎛⎭⎫π3.(2)加速度是速度v (t )对t 的导数，故先求v (t )，再求导． [解] (1)v (t )＝s ′(t )＝cos t ，∴v ⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3＝12. 即质点在t ＝π3时的速度为12.(2)∵v (t )＝cos t ，∴加速度a (t )＝v ′(t )＝(cos t )′＝－sin t.1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．[跟进训练] 2．(1)求函数f (x )＝13x在(1,1)处的导数；(2)求函数f (x )＝cos x 在⎝⎛⎭⎫π4，22处的导数．[解] (1)∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′＝(x －13)′＝－13x －43＝－133x 4，∴f ′(1)＝－1331＝－13.(2)∵f ′(x )＝－sin x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－sin π4＝－22.利用导数公式求切线方程1．如何求y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线方程？[提示] 先计算f ′(x )，再求f ′(x 0)，最后利用y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)求解便可． 2．若已知函数y ＝f (x )的切线方程y ＝kx ＋b ，如何求切点坐标(x 0，y 0)? [提示] 利用⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x 0)＝k ，y 0＝f (x 0)，y 0＝kx 0＋b ，求解．【例3】 已知曲线y ＝f (x )＝x ，y ＝g (x )＝1x ，过两曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x 轴所围成的三角形的面积．[思路点拨] 先求交点→再分别求切线方程→计算三角形的面积．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝1x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.即两曲线的交点坐标为(1,1)．又f ′(x )＝12x ，g ′(x )＝－1x 2.∴f ′(1)＝12，g ′(1)＝－1.∴两切线方程分别为y －1＝12(x －1)，即y ＝12x ＋12；y －1＝－(x －1)，即y ＝－x ＋2.其与x 轴的交点坐标分别为(－1,0)，(2,0)， 故两切线与x 轴所围成的三角形面积为 12×1×|2－(－1)|＝32.求曲线方程或切线方程时，应注意的事项(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点． [跟进训练]3．(一题两空)过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点坐标为________，切线方程为________． (1，e) y ＝e x [设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝e x 0， 则e x 0＝y 0－0x 0－0，又y 0＝e x 0，得x 0＝1，∴切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e ， 切线方程为y －e ＝e(x －1)，即y ＝e x .]1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式，解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数，因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正弦、余弦函数的导数，一定要注意函数名称的变化及函数符号的变化．1．已知f (x )＝x α(α∈Q ＋)，若f ′(1)＝14，则α等于( )A.13B.12C.18D.14 D [∵f (x )＝x α， ∴f ′(x )＝αx α－1，∴f ′(1)＝α＝14.]2．给出下列结论： ①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3. 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 B [对于①，y ′＝(x －3)′＝－3x 4，正确； 对于②，y ′＝13x 13－1＝13x －23，不正确；对于③，f ′(x )＝3， 故f ′(1)＝3，正确．]3．曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫12，2处的切线的斜率为( ) A ．2 B ．－4 C ．3 D.14B [因为y ＝1x ，所以y ′＝－1x 2，∴y ′|x ＝12＝－4，故选B.]4．已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝________. 1 [因为f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ， 所以f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝1x 且x >0，f ′(x )－g ′(x )＝2x －1x ＝1，即2x 2－x －1＝0，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)．故x ＝1.]5．求过曲线f (x )＝cos x 上一点P ⎝⎛⎭⎫π3，12且与曲线在这点的切线垂直的直线方程． [解] 因为f (x )＝cos x ，所以f ′(x )＝－sin x ，则曲线f (x )＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12的切线斜率为f′⎝⎛⎭⎫π3＝－sin π3＝－32， 所以所求直线的斜率为233，所求直线方程为y －12＝233⎝⎛⎭⎫x －π3， 即y ＝233x －239π＋12.6.1.4 求导法则及其应用学 习 目 标核 心 素 养1.熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点)2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点)3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．(易混点)1.通过学习导数的四则运算法则，培养数学运算素养． 2．借助复合函数的求导法则的学习，提升逻辑推理、数学抽象素养.如何求下列函数的导数： (1)y ＝x x ； (2)y ＝2x 2＋sin x .问题：由此你能类比联想一下[f (x )＋g (x )]′的求导法则吗？1．导数的运算法则 (1)和差的导数[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)积的导数①[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； ②[C f (x )]′＝C f ′(x )． (3)商的导数⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g (x )，g (x )≠0. 拓展：①[f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f ′1(x )±f ′2(x )±…±f ′n (x )． ②[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )(a ，b 为常数)． 2．复合函数的概念及求导法则 (1)复合函数的概念一般地，已知函数y ＝f (u )与u ＝g (x )，给定x 的任意一个值，就能确定u 的值．如果此时还能确定y 的值，则y 可以看成x 的函数，此时称f (g (x ))有意义，且称y ＝h (x )＝f (g (x ))为函数f (u )与g (x )的复合函数，其中u 称为中间变量．(2)一般地，如果函数y ＝f (u )与u ＝g (x )的复合函数为y ＝h (x )＝f (g (x ))，则可以证明，复合函数的导数h ′(x )与f ′(u )，g ′(x )之间的关系为h ′(x )＝[f (g (x ))]′＝f ′(u )g ′(x )＝f ′(g (x ))g ′(x )．这一结论也可以表示为y ′x ＝y ′u u ′x .思考：函数y ＝log 2(x ＋1)是由哪些函数复合而成的？[提示] 函数y ＝log 2(x ＋1)是由y ＝log 2u 及u ＝x ＋1两个函数复合而成．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数f (x )＝1(1＋x )2是复合函数．( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos(－x )． ( ) (3)y ＝e 2x 的导数y ′＝2e 2x .( ) (4)[f (x )g (x )h (x )]′＝f ′(x )g ′(x )h ′(x )． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．函数f (x )＝x e x 的导数f ′(x )＝( ) A ．e x (x ＋1) B ．1＋e x C ．x (1＋e x )D ．e x (x －1)A [f ′(x )＝x ′e x ＋x (e x )′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，选A.] 3．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a ＝________. 1 [∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ，故f ′(1)＝2a ＝2，∴a ＝1.] 4．若y ＝ln x2，则y ′＝________.12x [∵y ＝12ln x ， ∴y ′＝12·1x ＝12x.]导数四则运算法则的应用【例1】 求下列函数的导数． (1)y ＝x －2＋x 2； (2)y ＝3x e x －2x ＋e ； (3)y ＝ln x x 2＋1；(4)y ＝x 2－sin x 2cos x2.[解] (1)y ′＝2x －2x －3. (2)y ′＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2. (3)y ′＝x 2＋1－2x 2·ln x x (x 2＋1)2.(4)∵y ＝x 2－sin x 2cos x 2＝x 2－12sin x ，∴y ′＝2x －12cos x .1．解答此类问题时要熟练掌握导数的四则运算法则．2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．[跟进训练]1．已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)＝________. 3 [因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ，∴f ′(0)＝3.]2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x (其中e 为自然对数的底数)，则f ′(e)＝________.－1e [因为f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，所以f ′(x )＝2f ′(e)＋1x .∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，即f ′(e)＝－1e.]复合函数的导数(1)y ＝e 2x ＋1； (2)y ＝1(2x －1)3；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x.[思路点拨]先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．[解](1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝e u和u＝2x＋1的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(e u)′(2x＋1)′＝2e u＝2e2x＋1.(2)函数y＝1(2x－1)3可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－6(2x－1)4.(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝－5u ln 2＝5(x－1)ln 2.(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y ＝sin v和v＝3x的复合函数．∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′＝3u2·cos x＋3cos v＝3sin2x cos x＋3cos 3x.1．解答此类问题常犯的两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．2．复合函数求导的步骤[跟进训练]3．求下列函数的导数．(1)y＝x1－1－x；(2)y＝log2(2x2－1)．[解](1)y＝x1－1－x＝x (1＋1－x )(1－1－x )(1＋1－x )＝x (1＋1－x )1－(1－x )＝1＋1－x .设y ＝1＋u ，u ＝1－x ，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝(1＋u )′·(1－x )′ ＝12u ·(－1)＝－121－x . (2)设y ＝log 2u ，u ＝2x 2－1，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝1u ln 2·4x ＝4x (2x 2－1)ln 2.导数运算法则的综合应用若点P 是曲线y ＝e x 上的任意一点，如何求点P 到直线l ：y ＝x 的最小距离？ [提示] 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线l 的距离最小．设P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝e x 0， 由e x 0＝1可知x 0＝0，此时y 0＝e 0＝1.即P (0,1)，利用点到直线的距离公式得最小距离d ＝22. 【例3】 (1)设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋b ＝0垂直，则a ＝________. (2)曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离为________． [思路点拨] (1)求y ′|x ＝0→由y ′|x ＝0＝2求a(2)设切点P (x 0，y 0)→由y ′|x ＝x 0＝2求P (x 0，y 0)→利用点到直线的距离求解 (1)2 (2)5 [(1)因为y ＝e ax ，所以y ′＝a e ax ， 由题意可知y ′|x ＝0＝a ＝2可知a ＝2.(2)设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0，y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行， 又因为y ′＝22x －1，所以y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1.∴y 0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)，∴点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离d ＝|2－0＋3|4＋1＝5，即曲线y ＝ln(2x －1)到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.]正确的求出复合函数的导数是解题的前提，审题时，注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.[跟进训练]4．已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求实数a 的值．[解] 因为f (1)＝a ，f ′(x )＝2ax ＋2x －2(x <2)，所以f ′(1)＝2a －2，所以切线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0.因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线l 的距离等于半径，即d ＝|2－a |4(a －1)2＋1＝12，解得a ＝118.1．如果求导公式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开为和式求导，商式变乘积式求导，三角恒等变换后求导等．2．求简单复合函数f (ax ＋b )的导数，实质是运用整体思想，先把复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 进行求导，并把求导结果相乘，灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是求解的关键．1．函数y ＝(2 020－8x )3的导数y ′＝( ) A ．3(2 020－8x )2 B ．－24x C ．－24(2 020－8x )2D ．24(2 020－8x )2C [y ′＝3(2 020－8x )2×(2 020－8x )′ ＝3(2 020－8x )2×(－8)＝－24(2 020－8x )2.] 2．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x B [y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′ ＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′ ＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .]3．已知f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝________. 32 [f ′(x )＝13x －1·(3x －1)′＝33x －1，∴f ′(1)＝32.] 4．曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________．y ＝3x [y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3)，斜率k ＝e 0×3＝3，∴切线方程为y ＝3x .]5．求下列函数的导数． (1)y ＝cos(x ＋3)； (2)y ＝(2x －1)3； (3)y ＝e－2x ＋1.[解] (1)函数y ＝cos(x ＋3)可以看作函数y ＝cos u 和u ＝x ＋3的复合函数， 由复合函数的求导法则可得 y x ′＝y u ′·u x ′＝(cos u )′·(x ＋3)′ ＝－sin u ·1＝－sin u ＝－sin(x ＋3)．(2)函数y ＝(2x －1)3可以看作函数y ＝u 3和u ＝2x －1的复合函数， 由复合函数的求导法则可得 y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 3)′·(2x －1)′ ＝3u 2·2＝6u 2＝6(2x －1)2. (3)y ′＝e－2x ＋1·(－2x ＋1)′＝－2e－2x ＋1.6.2 利用导数研究函数的性质6.2.1 导数与函数的单调性学 习 目 标核 心 素 养1.理解导数与函数的单调性的关系．(易混点) 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点) 3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)1.通过利用导数判断函数单调性法则的学习，提升数学抽象素养．2．借助判断函数单调性及求函数的单调区间，提升逻辑推理、数学运算素养.图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图像，图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图像．问题：运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？(1)(2)导数与函数的单调性的关系(1)如果在区间(a，b)内，f′(x)>0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0，曲线呈上升状态，因此f(x)在(a，b)上是增函数，如图(1)所示；(2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0，曲线呈下降状态，因此f(x)在(a，b)上是减函数，如图(2)所示．(1)(2)思考1：如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？[提示]f(x)是常函数．思考2：在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的什么条件？[提示]充分不必要条件，如f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)＝3x2≥0.1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．()[答案](1)×(2)×(3)√2.函数y＝f(x)的图像如图所示，则()。
导数的概念和几何意义(2)(学案)
4.1.3 导数的概念和几何意义（2）班级： 姓名：学习目标：1、进一步理解导数的概念，了解导函数的概念，知道导数的两个几何意义；2、能利用导数的知识解决简单的应用性问题。
重点：导数的求法与应用难点：导数的几何意义与导数的应用学习过程：1、什么叫做运动物体的瞬时速度和曲线在一点的切线的斜率？2、什么是函数在x=x 0处的导数？导数的几何意义1、物理学：2、几何学：例题讲解例1、已知曲线313y x =上一点8(2,)3P ，求： （1）点P 处的切线的斜率； （2）点P 处的切线方程。
例2、求函数2()f x x =在0x x =处的导数。
导函数的概念0x 是()f x 的定义区间中的任意一点，所以也可以就是x ，而()f x '也是x 的函数，叫作()f x 的导函数（又叫一阶导数）。
同理：()f x '的导数叫作()f x 的二阶导数，记作()f x ''，类似地，可以定义三阶导数()f x '''等等。
例3、在初速度为零的匀加速运动中，路程s 和时间t 的关系为2()2at s s t ==， （1）求s 关于t 的瞬时变化率，并说明其物理意义；（2）求运动物体的瞬时速度关于t 的瞬时变化率，说明其物理意义。
结论：练习：1、已知函数214y x ，求函数在点P(2,1)处的切线的方程。
2、求过点P （-1，2）且与曲线y=3x 2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程。
能力提高试求过点P(3,5)且与曲线y=x 2相切的切线方程。
（注意：点P 在曲线上吗？）。
2.2 导数的几何意义 学案(含答案)
2.2 导数的几何意义学案（含答案）22导数的几何意义学习目标1.理解导数的几何意义.2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.3.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程知识点一割线思考函数yfx在x0，x0x上的平均变化率为，由下图你能说出它的几何意义吗答案表示过点Ax0，fx0，Bx0x，fx0x的斜率梳理割线的定义函数yfx在x0，x0x的平均变化率为，它是过Ax0，fx0和Bx0x，fx0x两点的直线的斜率这条直线称为曲线yfx在点A处的一条割线知识点二导数的几何意义如图，Bn的坐标为xn，fxnn1,2,3,4，，A的坐标为x0，y0，直线AT为在点P处的切线思考1割线ABn的斜率kn是多少答案割线ABn的斜率kn.思考2当点Bn无限趋近于点A时，割线ABn的斜率kn与切线AT的斜率k有什么关系答案kn无限趋近于切线AT的斜率k.梳理1切线的定义若Ax0，fx0，Bx0x，fx0x是曲线yfx上的点，当x趋于零时，点B将沿着曲线yfx趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l.直线l和曲线yfx 在点A处“相切”，称直线l为曲线yfx在点A处的切线2导数的几何意义函数yfx在x0处的导数，是曲线yfx在点x0，fx0处的切线的斜率k，即kfx03切线方程曲线yfx在点x0，fx0处的切线方程为yfx0fx0xx01函数yfx在x0处的导数就是曲线yfx在点x0，fx0处的切线的斜率2直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点类型一求切线方程例1已知曲线Cyx3，求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程考点求函数在某点处的切线方程题点求曲线的切线方程解将x2代入曲线C的方程得y4，切点为P2,44，k4.曲线在点P2,4处的切线方程为y44x2，即4xy40.反思与感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1曲线yx21在点P2,5处的切线与y轴交点的纵坐标是________考点求函数在某点处的切线方程题点曲线的切线方程的应用答案3解析4x4，k4.曲线yx21在点2,5处的切线方程为y54x2，即y4x3.切线与y轴交点的纵坐标是3.例2求过点1,0与曲线yx2x1相切的直线方程考点求函数在某点处的切线方程题点求曲线的切线方程解设切点为x0，xx01，则切线的斜率为k2x01.又k，2x01.解得x00或x02.当x00时，切线斜率k1，过1,0的切线方程为y0x1，即xy10.当x02时，切线斜率k3，过1,0的切线方程为y03x1，即3xy30.故所求切线方程为xy10或3xy30.反思与感悟过点x1，y1的曲线yfx的切线方程的求法步骤1设切点x0，fx02建立方程fx0.3解方程得kfx0，x0，y0，从而写出切线方程跟踪训练2求函数yfxx33x2x的图像上过原点的切线方程考点求函数在某点处的切线方程题点求曲线的切线方程解设切点坐标为x0，y0，则y0x3xx0，yfx0xfx0x0x33x0x2x0xx3xx03xx3x0x26x0xx33x2x，3x3x0x6x01x23x，fx03x6x01.切线方程为yx3xx03x6x01xx0切线过原点，x3xx03x6xx0，即2x3x0，x00或x0，故所求切线方程为xy0或5x4y0.类型二利用图像理解导数的几何意义例3已知函数fx的图像如图所示，则下列不等关系中正确的是A0f2f3f3f2B0f2f3f2f3C0f3f3f2f2D0f3f2f2f3考点导数的几何意义的应用题点导数的几何意义答案C解析kABf3f2，f2为函数fx 的图像在点B2，f2处的切线的斜率，f3为函数fx的图像在点A3，f3处的切线的斜率，根据图像可知0f3f3f2f2反思与感悟导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决跟踪训练3若函数yfx的导函数在区间a，b 上是增函数，则函数yfx在区间a，b上的图像可能是考点导数的几何意义的应用题点导数的几何意义答案A解析依题意，yfx在a，b上是增函数，则在函数fx的图像上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图像，只有A满足类型三求切点坐标例4已知曲线fxx21在xx0处的切线与曲线gx1x3在xx0处的切线互相平行，求x0的值考点求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点求函数在某点处的切点坐标解对于曲线fxx21，k12x0.对于曲线gx1x3，k23x.由题意得2x03x，解得x00或.引申探究若将本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值解k12x0，k23x.根据曲线fxx21与gx1x3在xx0处的切线互相垂直，知2x03x1，解得x0.反思与感悟求切点坐标的一般步骤1设出切点坐标2利用导数或斜率公式求出斜率3利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标4把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标跟踪训练4直线lyxaa0和曲线Cfxx3x21相切，则a的值为________，切点坐标为________考点求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点求函数在某点处的切点坐标答案解析设直线l与曲线C的切点为x0，y0，因为fx03x2x0，则fx03x2x01解得x01或x0，当x01时，fx0xx11，又点x0，fx0在直线yxa上，将x01，y01.代入得a0，与已知条件矛盾，舍去当x0时，fx0321.将代入直线yxa中，得a.1设fx00，则曲线yfx在点x0，fx0处的切线A不存在B与x轴平行或重合C与x轴垂直D与x轴相交但不垂直考点导数的几何意义的应用题点导数的几何意义答案B解析函数在某点处的导数为0，说明函数的图像在该点处的切线的斜率为0.2曲线y2x21在点0,1处的切线的斜率是A4B4C0D 不存在考点求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点求函数在某点处的切线的斜率答案C解析k2x0.故选C.3.已知函数yfx的图像如图所示，则fxA与fxB的大小关系是AfxAfxBBfxAfxBCfxAfxBD不能确定考点导数的几何意义的应用题点导数的几何意义答案B解析由导数的几何意义，知fxA，fxB分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图像可知fxAfxB4抛物线yx2在点P处的切线平行于直线y2x3，则点P的坐标为________考点求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点求函数在某点处的切点坐标答案1,1解析设点Px0，y0，则2x0，2x02，x01，故点P的坐标为1,15已知曲线fxx3在点a，a3a0处的切线与x轴，直线xa围成的三角形的面积为，则a________.考点求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点求函数在某点处的切点坐标答案1解析fa3a2，曲线fxx3在点a，a3处的切线斜率为fa3a2，切线方程为ya33a2xa，即y3a2x2a3.令y0得切线与x轴的交点为，由题设知三角形面积为|a3|，得a1.1导数fx0的几何意义是曲线yfx在点x0，fx0处的切线的斜率，即kfx0，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度2利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yfx0fx0xx0；若已知点不在切线上，则设出切点坐标x0，fx0，表示出切线方程，然后求出切点。
导数学案2(含答案)
专题八 导数第二节 导数的计算学习目标1.了解几个常见函数的导数的推导；2.记忆基本初等函数的导数公式；3.记忆导数的运算法则。
知识要点梳理一、几个常用函数的导数： 1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c cx x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x yy x ∆→∆→∆'===∆0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x xx x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim11x x yy x ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x ∆+∆-+∆-==∆∆∆2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00limlim(2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ． 4．函数1()y f x x==的导数因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011limlim()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆（2）推广：若*()()ny f x x n Q ==∈，则1()n f x nx-'=二、基本初等函数的导数公式：2.（1导数运算法则1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 推论：[]''()()cf x cf x =提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.函数 导数()ln f x x =y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= sin y x = 'cos y x = cos y x = 'sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)xy a a a =⋅> ()x y f x e == 'x y e = ()log a f x x = '1()log ()(01)ln af x xf x a a x a ==>≠且 ln y x = '1()f x x =典型例题考点一 利用公式及运算法则求导数 例1．求下列函数的导数：（1）41y x=；（2）y =（3）222log log y x x =-；（4）y=2x 3―3x 2+5x ＋4解析： （1）44154514'()'()'44y x x x x x----===-=-=-.（2）332155533'()'55y x x x --=====（3）∵2222log log log y x x x =-=，∴21'(log )'ln 2y x x ==⋅. （4）322'2()'3()'5()'(4)'665y x x x x x =-++=-+总结升华：①熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导；②不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.例2．求下列各函数的导函数（1）2()(1)(23)f x x x =+-； （2）y=x 2sinx;（３）y=1e 1e -+x x ；（４）y=xx xx sin cos ++解析：（1）法一：去掉括号后求导.32()2323f x x x x =-+- 2'()662f x x x =-+法二：利用两个函数乘积的求导法则22'()(1)'(23)(1)(23)'f x x x x x =+-++⋅-=2x(2x －3)+(x 2+1)×2=6x 2－6x+2（2）y ′=（x 2）′sin x ＋x 2（sinx ）′=2xsinx ＋x 2cosx（３）2(e 1)(e 1)(e 1)(e 1)'(e 1)x x x x x y ''+--+-=-2e 2-x x（4）2(cos )(sin )(cos )(sin )'(sin )x x x x x x x x y x x ''++-++=+ =2)sin ()cos 1)(cos ()sin )(sin 1(x x x x x x x x +++-+-21cos sin sin cos x x x x x x --+-- 考点二 求复合函数的导数 例3．求下列函数导数. （1）41(13)y x =-；（2）ln(2)y x =+；（3）21ex y +=；（4）cos(21)y x =+.解析：（1）4y u -=，13u x =-.4'''()'(13)'x u x y y u u x -=⋅=⋅-555124(3)12(13)u u x --=-⋅-==-.（2）ln y u =，2u x =+∴'''(ln )'(2)'x u x y y u u x =⋅=⋅+ 1112u x =⋅=+ （3）e uy =，21u x =+.∴'''(e )'(21)'u x u x y y u x =⋅=⋅+ 212e 2e u x +==（4）cos y u =，21u x =+，∴'''(cos )'(21)'x u x y y u u x =⋅=⋅+2sin 2sin(21)u x =-=-+.总结升华：①复合函数的求导，一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。
(完整版)导数及其应用最全教案(含答案),推荐文档
g (x ) ⎥导数及其应用一、知识点梳理1. 导数：当∆x 趋近于零时，f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 )趋近于常数 c 。
可用符号“ → ”记作：∆x当∆x → 0 时， f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) → c 或记作 lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) = c ，符号∆x∆x →0∆x“ → ”读作“趋近于”。
函数在 x 0 的瞬时变化率，通常称作 f (x ) 在 x = x 0 处的导数，并记作 f '(x 0 ) 。
即 f ' (x ) = lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 )∆x →0 ∆x2. 导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。
即若点 P (x 0 , y 0 ) 为曲线上一点，则过点 P (x 0 , y 0 ) 的切线的斜率k = f ' (x ) = lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) 切 0∆x →0 ∆x由于函数 y = f (x ) 在 x = x 0 处的导数，表示曲线在点 P (x 0 , f (x 0 )) 处切线的斜率， 因此，曲线 y = f (x ) 在点 P (x 0 , f (x 0 )) 处的切线方程可如下求得：（1）求出函数 y = f (x ) 在点 x = x 0 处的导数，即曲线 y = f (x ) 在点 P (x 0 , f (x 0 )) 处 切线的斜率。
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：y - y 0 = f ' (x 0)(x - x )03. 导数的四则运算法则：1） ( f (x ) ± g (x ))' = f '(x ) ± g '(x )2）[ f (x )g (x )]' = f '(x )g (x ) + f (x )g '(x )3） ⎢⎡ f (x ) ⎤'= g (x ) f '(x ) - f (x )g '(x ) ⎣ ⎦4. 几种常见函数的导数：g 2 (x )(1) C'= 0(C为常数) (2)（x n）'=nx n-1(n ∈Q) (3)(sin x)'= cos x (4)(cos x)'=-sin x (7)(e x )'=e x (5) (ln x)'=1x(8)(a x )'=a x ln a(6) (log ax)'=1log ex a5.函数的单调性：在某个区间(a, b) 内，如果f ' (x) > 0 ，那么函数y = f (x) 在这个区间内单调递增；如果f ' (x) < 0 ，那么函数y =6.函数的极值求函数f (x) 极值的步骤:①求导数f '(x) 。
高中导数试题教案及答案
高中导数试题教案及答案一、选择题1. 函数f(x)=x^3的导数为：A. 3x^2B. x^2C. 3xD. 3答案：A2. 若函数f(x)的导数f'(x)=2x，那么f(x)=：A. x^2+1B. x^2-1C. x^2+2xD. x^2-2x答案：A二、填空题1. 求函数f(x)=sin(x)的导数f'(x)。
答案：cos(x)2. 函数f(x)=e^x的导数f'(x)等于______。
答案：e^x三、解答题1. 求函数f(x)=x^2-4x+3的导数。
答案：f'(x)=2x-42. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x-2，求f'(x)。
答案：f'(x)=3x^2-12x+9四、应用题1. 某物体在t秒时的速度v(t)=t^2-4t+3，求物体在t=2秒时的瞬时速度。
答案：v'(t)=2t-4，将t=2代入得v'(2)=0，所以物体在t=2秒时的瞬时速度为0。
2. 函数f(x)=x^4-2x^3+x^2-4的导数f'(x)是多少？答案：f'(x)=4x^3-6x^2+2x五、探究题1. 探究函数f(x)=x^2+3x+2的单调性。
答案：求导得f'(x)=2x+3，令f'(x)>0，解得x>-3/2，令f'(x)<0，解得x<-3/2。
因此，函数在(-∞, -3/2)区间内单调递减，在(-3/2, +∞)区间内单调递增。
2. 已知函数f(x)=2x^3-6x^2+x+1，求其在x=1处的切线方程。
答案：首先求导f'(x)=6x^2-12x+1，将x=1代入得f'(1)=-5，切点为(1, f(1))即(1, -2)。
切线方程为y-(-2)=-5(x-1)，即5x+y-3=0。
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3.1.1平均变化率课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题．1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________．2．函数y＝f(x)的平均变化率ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)图象上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________．一、填空题1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号)①在[x0，x1]上的平均变化率；②在x0处的变化率；③在x1处的变化率；④以上都不对．2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________.3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝________.4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________．5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________．7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______．8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________．二、解答题9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．能力提升11.甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快？12．函数f(x)＝x2＋2x在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)＝2x－3在[2,3]上的平均变化率的2倍，求a的值．3.1.2 瞬时变化率——导数(二)课时目标 1.知道导数的几何意义.2.用导数的定义求曲线的切线方程．1．导数的几何意义函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是：________________________________.2．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．一、填空题1．曲线y ＝1x在点P(1,1)处的切线方程是________．2．已知曲线y ＝2x 3上一点A(1,2)，则A 处的切线斜率为________． 3．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是____________． 4．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为______________．5．曲线y ＝2x －x 3在点(1,1)处的切线方程为________．6．设函数y ＝f(x)在点x 0处可导，且f ′(x 0)>0，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处切线的倾斜角的范围是________．7．曲线f(x)＝x 3＋x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 点的坐标为______________．8．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 二、解答题9．已知曲线y ＝4x在点P(1,4)处的切线与直线l 平行且距离为17，求直线l 的方程．10．求过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．能力提升11．已知曲线y＝2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1 (a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．1．利用导数可以解决一些与切线方程或切线斜率有关的问题．2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0) (x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．3.1.2 瞬时变化率——导数(一)课时目标 1.掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．1．瞬时速度的概念作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫____________．用数学语言描述为：设物体运动的路程与时间的关系是s ＝f(t)，当Δt 趋近于0时，函数f(t)在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt趋近于常数，我们这个常数称为______________． 2．导数的概念设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，当Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝____________无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在点x ＝x 0处________，并称该常数A 为______________________________，记作f ′(x 0)． 3．函数的导数若f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f ′(x)． 4．瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t 的导数，即v(t)＝________. 5．瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t 的导数，即a(t)＝________.一、填空题1．任一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．2．设f(x)在x ＝x 0处可导，则当Δx 无限趋近于0时f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx的值为________．3．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是________．4．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝32处的瞬时变化率是________．5．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．6．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________. 7．曲线f(x)＝x 在点(4,2)处的瞬时变化率是________．8．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________． 二、解答题9．用导数的定义，求函数y ＝f(x)＝1x在x ＝1处的导数．10.枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．能力提升11．已知函数y＝ax2＋bx＋c，求函数在x＝2处的导数．12．以初速度v0 (v0>0)垂直上抛的物体，t秒时间的高度为s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．1．利用定义求函数在一点处导数的步骤：3.2.1 常见函数的导数课时目标 1.理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概念求导数的方法.2.掌握常见函数的导数公式.3.灵活运用公式求某些函数的导数．1．几个常用函数的导数： (kx ＋b)′＝______；C ′＝______ (C 为常数)； x ′＝______； (x 2)′＝______； ⎝⎛⎭⎫1x ′＝________. 2(cos x)′＝________一、填空题1．下列结论不正确的是________．(填序号) ①若y ＝3，则y ′＝0；②若y ＝1x，则y ′＝－12x ；③若y ＝－x ，则y ′＝－12x；④若y ＝3x ，则y ′＝3.2．下列结论：①(cos x)′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则f ′(3)＝－227.其中正确的有______个．3．设f 0(x)＝sin x ，f 1(x)＝f ′0(x)，f 2(x)＝f ′1(x)，…，f n ＋1(x)＝f ′n (x)，n ∈N ，则f 2 010(x )＝________. 4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为______________． 5．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为_________．6．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________.7．曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程为__________________．8．曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是__________．二、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝log 4x 3－log 4x 2； (2)y ＝2x 2＋1x －2x ； (3)y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫2sin 2 x 4－1.10.已知曲线y ＝x 2上有两点A (1,1)，B (2,4)．求： (1)割线AB 的斜率k AB ；(2)在[1,1＋Δx ]内的平均变化率； (3)点A 处的切线斜率k AT ； (4)点A 处的切线方程．能力提升11．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围为__________． 12．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系：p (t )＝p 0(1＋5%)t ，其中p 0为t ＝0时的物价，假定某种商品的p 0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？(注ln 1.05≈0.05，精确到0.01)1．求函数的导数，可以利用导数的定义，也可以直接使用基本初等函数的导数公式． 2．对实际问题中的变化率问题可以转化为导数问题解决．§3.2 导数的运算3.2.2 函数的和、差、积、商的导数课时目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用求导公式和四则运算法则求函数的导数．1．两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的__________，即[f (x )±g (x )]′＝______________.2．两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上________________________________________，即[f (x )·g (x )]′＝________________.特别地[Cf (x )]′＝__________(其中C 为常数)．3．两个函数的商的导数，等于分子的导数与__________减去________________与分子的积，再除以______________．即_______________________________.一、填空题1．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )＝__________.2．曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处的切线方程是____________．3．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________. 4．曲线y ＝x (x －1)(x －2)…(x －6)在原点处的切线方程为__________．5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．6．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)的值为__________．7．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x＋2在x ＝0处的切线方程为____________．8．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在第4秒末的瞬时速度应该为________ m/s. 二、解答题9．求下列函数的导数． (1)y ＝10x ；(2)y ＝x ＋cos x x －cos x；(3)y ＝2x cos x －3x log 2 011x ； (4)y ＝x ·tan x .10.求曲线y ＝x 2＋sin x 在点(π，π2)处的切线方程．能力提升11．已知点P在曲线y＝4e x＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围为__________．12．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．1．理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．3．1.1 平均变化率知识梳理 1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1x 2－x 1 Δx ＝x 2－x 1 增量 x 1＋Δx f (x 2)－f (x 1) Δy Δx2．斜率 作业设计 1．①2．f (x 0＋Δx )－f (x 0) 3．4＋2Δx解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4＋2Δx . 4.s (t ＋Δt )－s (t )Δt解析 由平均速度的定义可知，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以v ＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt.5．－1解析 Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.6．0.41 7．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.8．4.1解析 质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由Δs Δt 求得，即v ＝Δs Δt ＝s (2.1)－s (2)0.1＝4.1.9．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为： f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为： f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4.10．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )3－1 ＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3， ∴割线PQ 的斜率Δy Δx ＝(Δx )3＋3(Δx )2＋3Δx Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋3. 当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率为k ，则k ＝ΔyΔx＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31.∴当Δx ＝0.1时割线的斜率为3.31.11．解 乙跑的快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小．12．解 函数f (x )在[0，a ]上的平均变化率为 f (a )－f (0)a －0＝a 2＋2aa ＝a ＋2.函数g (x )在[2,3]上的平均变化率为 g (3)－g (2)3－2＝(2×3－3)－(2×2－3)1＝2.∵a ＋2＝2×2，∴a ＝2.3．1.2 瞬时变化率——导数(二)知识梳理1．曲线y ＝f (x )上过点x 0的切线的斜率 作业设计1．x ＋y －2＝0解析 Δy Δx ＝11＋Δx－1Δx ＝－Δx 1＋Δx Δx ＝－11＋Δx，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于－1，∴k ＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 2．6解析 ∵y ＝2x 3， ∴Δy Δx ＝2(x ＋Δx )3－2x 3Δx＝2(Δx )3＋6x (Δx )2＋6x 2Δx Δx＝2(Δx )2＋6x Δx ＋6x 2.∴当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于6x 2，∴点A (1,2)处切线的斜率为6. 3．x －y －2＝0解析 Δy Δx ＝4(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－4x ＋x 3Δx＝4－(Δx )2－3x 2－3x (Δx )，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于4－3x 2，∴f ′(－1)＝1.所以在点(－1，－3)处的切线的斜率为k ＝1， 所以切线方程是y ＝x －2. 4．4x －y －3＝0解析 与直线x ＋4y －8＝0垂直的直线l 为4x －y ＋m ＝0，即y ＝x 4在某一点的导数为4，而y ′＝4x 3，所以y ＝x 4在(1,1)处导数为4，此点的切线方程为4x －y －3＝0. 5．x ＋y －2＝0解析 Δy Δx＝2－(Δx )2－3x 2－3x (Δx )，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于2－3x 2，∴y ′＝2－3x 2，∴k ＝2－3＝－1.∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.6.⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 k ＝f ′(x 0)>0，∴tan θ>0，∴θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 7．(1,0)或(－1，－4)解析 设P (x 0，y 0)，由f (x )＝x 3＋x －2， ΔyΔx＝(Δx )2＋3x 2＋3x (Δx )＋1， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于3x 2＋1.∴f ′(x )＝3x 2＋1，令f ′(x 0)＝4， 即3x 20＋1＝4，得x 0＝1或x 0＝－1， ∴P (1,0)或(－1，－4)． 8.14解析 Δy Δx ＝a (x ＋Δx )2－ax 2Δx＝2ax ＋a Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2ax ＋a Δx 无限趋近于2ax ， ∴f ′(x )＝2ax .设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2ax 0,2ax 0＝1，且y 0＝x 0－1＝ax 20，解得x 0＝2，a ＝14. 9．解 Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝4x ＋Δx －4xΔx＝－4Δx x Δx (x ＋Δx )＝－4x (x ＋Δx )， 当Δx 无限趋近于0时，－4x (x ＋Δx )无限趋近于－4x 2，即f ′(x )＝－4x2.k ＝f ′(1)＝－4，切线方程是y －4＝－4(x －1)， 即为4x ＋y －8＝0，设l ：4x ＋y ＋c ＝0，则17＝|c ＋8|42＋12，∴|c ＋8|＝17，∴c ＝9，或c ＝－25，∴直线l 的方程为4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0.10．解 (2,0)不在曲线y ＝1x 上，令切点为(x 0，y 0)，则有y 0＝1x 0.①又Δy Δx ＝1x ＋Δx －1x Δx ＝－1x (x ＋Δx )， 当Δx 无限趋近于0时，－1x (x ＋Δx )无限趋近于－1x 2.∴k ＝f ′(x 0)＝－1x 20.∴切线方程为y ＝－1x 20(x －2)．而y 0x 0－2＝－1x 20.②由①②可得x 0＝1，故切线方程为x ＋y －2＝0.11．解 Δy Δx ＝2(1＋Δx )2－2Δx＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx ，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于4，∴f ′(1)＝4.∴所求直线的斜率为k ＝－14.∴y －2＝－14(x －1)，即x ＋4y －9＝0.12．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 3.1.2 瞬时变化率——导数(一)课时目标 1.掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．1．瞬时速度的概念作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫____________．用数学语言描述为：设物体运动的路程与时间的关系是s ＝f(t)，当Δt 趋近于0时，函数f(t)在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt趋近于常数，我们这个常数称为______________． 2．导数的概念设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，当Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝____________无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在点x ＝x 0处________，并称该常数A 为______________________________，记作f ′(x 0)． 3．函数的导数若f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f ′(x)． 4．瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t 的导数，即v(t)＝________. 5．瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t 的导数，即a(t)＝________.一、填空题1．任一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．2．设f(x)在x ＝x 0处可导，则当Δx 无限趋近于0时f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx的值为________．3．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是________．4．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝32处的瞬时变化率是________．5．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是________．6．设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________.7．曲线f(x)＝x在点(4,2)处的瞬时变化率是________．8．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________．二、解答题9．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的导数．10.枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．能力提升11．已知函数y＝ax2＋bx＋c，求函数在x＝2处的导数．12．以初速度v0 (v0>0)垂直上抛的物体，t秒时间的高度为s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．3．1.2 瞬时变化率——导数(一)知识梳理1．瞬时速度 瞬时速度 2.f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx可导 函数f (x )在点x ＝x 0处的导数4．S ′(t ) 5.v ′(t ) 作业设计 1．3解析 Δs Δt ＝s (Δt )－s (0)Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt＝3－Δt ，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于3.2．－f ′(x 0)解析 ∵f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝f (x 0)－f (x 0－Δx )－Δx＝－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx，∴当Δx 无限趋近于0时，原式无限趋近于－f ′(x 0)． 3．at 0解析 Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12a Δt ＋at 0，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于at 0.4．－3解析 ∵Δf Δx ＝f ⎝⎛⎭⎫32＋Δx －f ⎝⎛⎭⎫32Δx＝－Δx －3，当Δx 无限趋近于0时，ΔfΔx无限趋近于－3.5．0解析 ΔyΔx ＝(1＋Δx )＋11＋Δx －2Δx＝(1＋Δx )2＋1－2(1＋Δx )Δx (1＋Δx )＝(Δx )2Δx (1＋Δx )＝Δx 1＋Δx， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于0.6．1解析 ∵f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝a (－1＋Δx )3－a (－1)3Δx＝a (Δx )2－3a Δx ＋3a .∴当Δx 无限趋近于0时，ΔfΔx无限趋近于3a ，即3a ＝3，∴a ＝1. 7.14解析 Δf Δx ＝f (4＋Δx )－f (4)Δx ＝4＋Δx －2Δx＝14＋Δx ＋2，∴当Δx 无限趋近于0时，Δf Δx 无限趋近于14.8．4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v (1＋Δt )－v (1)Δt＝Δt ＋4，当Δt 无限趋近于0时，ΔvΔt无限趋近于4. 9．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx ·(1＋1＋Δx )∴ΔyΔx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴当Δx 无限趋近于0时，－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )无限趋近于－12，∴f ′(1)＝－12.10．解 运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt .所以当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于at 0. 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， 所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.11．解 ∵Δy ＝a (2＋Δx )2＋b (2＋Δx )＋c －(4a ＋2b ＋c ) ＝4a Δx ＋a (Δx )2＋b Δx ， ∴Δy Δx ＝4a Δx ＋a (Δx )2＋b Δx Δx＝4a ＋b ＋a Δx ， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于4a ＋b .所以函数在x ＝2处的导数为4a ＋b .12．解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝⎛⎭⎫v 0t 0－12gt 20 ＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt ， 当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于v 0－gt 0.故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0.3．2.1 常见函数的导数知识梳理1．k 0 1 2x －1x22.1．②解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－1232x -＝－12x x .2．1解析 直接利用导数公式．因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误；⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则f ′(3)＝－227， 所以③正确． 3．－sin x解析 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )＝cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝sin x ，….由此继续求导下去，发现四个一循环，从0到2 010共2 011个数，2 011＝4×502＋3，所以f 2 010(x )＝f 2(x )＝－sin x . 4．(－1，－1)或(1,1)解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1， 则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5.110523解析 s ′＝155t 4.当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523.6．2x解析 ∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2， ∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x .7．x ＋2y －3－π6＝0解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴k ＝－sin π6＝－12，∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6， 即x ＋2y －3－π6＝0.8.⎝⎛⎭⎫12，14解析 设切点坐标为(x 0，x 20)，则tan π4＝f ′(x 0)＝2x 0，∴x 0＝12.∴所求点为⎝⎛⎭⎫12，14.9．解 (1)∵y ＝log 4x 3－log 4x 2＝log 4x ，∴y ′＝(log 4x )′＝1x ln 4.(2)∵y ＝2x 2＋1x －2x ＝2x 2＋1－2x 2x ＝1x .∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2. (3)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫2sin 2 x 4－1 ＝2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2 x 4 ＝2sin x 2cos x2＝sin x .∴y ′＝(sin x )′＝cos x .10．解 (1)k AB ＝4－12－1＝3.(2)平均变化率Δy Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx .(3)y ′＝2x ，∴k ＝f ′(1)＝2， 即点A 处的切线斜率为k AT ＝2.(4)点A 处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0. 11．(－∞，0)解析 ∵f ′(x )＝5ax 4＋1x，x ∈(0，＋∞)，∴由题知5ax 4＋1x ＝0在(0，＋∞)上有解．即a ＝－15x5在(0，＋∞)上有解．∵x ∈(0，＋∞)，∴－15x5∈(－∞，0)．∴a ∈(－∞，0)．12．解 ∵p 0＝1，∴p (t )＝(1＋5%)t ＝1.05t . 根据基本初等函数的导数公式表，有 p ′(t )＝(1.05t )′＝1.05t ·ln 1.05.∴p ′(10)＝1.0510·ln 1.05≈0.08(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．3.2.2 函数的和、差、积、商的导数课时目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用求导公式和四则运算法则求函数的导数．1．两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的__________，即[f (x )±g (x )]′＝______________.2．两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上________________________________________，即[f (x )·g (x )]′＝________________.特别地[Cf (x )]′＝__________(其中C 为常数)．3．两个函数的商的导数，等于分子的导数与__________减去________________与分子的积，再除以______________．即_______________________________.一、填空题1．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )＝__________.2．曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处的切线方程是____________．3．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________. 4．曲线y ＝x (x －1)(x －2)…(x －6)在原点处的切线方程为__________．5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．6．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)的值为__________．7．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x＋2在x ＝0处的切线方程为____________．8．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在第4秒末的瞬时速度应该为________ m/s.二、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝10x ；(2)y ＝x ＋cos x x －cos x； (3)y ＝2x cos x －3x log 2 011x ；(4)y ＝x ·tan x .10.求曲线y ＝x 2＋sin x 在点(π，π2)处的切线方程．能力提升11．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围为__________．12．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．1．理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．3．2.2 函数的和、差、积、商的导数知识梳理1．和(或差) f ′(x )±g ′(x )2．第一个函数乘第二个函数的导数 f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x ) C ·f ′(x )3．分母的积 分母的导数 分母的平方 [f (x )g (x )]′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0) 作业设计1．3x 2＋3x ·ln 3解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误． 2．x －y ＋1＝0解析 y ′＝e x ＋x e x ，当x ＝0时，导数值为1，故所求的切线方程是y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.3．18解析 ∵f ′(x )＝4x 3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝－13f ′(－1)＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13，－4－2a －b ＝－27. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13. ∴a ＋b ＝5＋13＝18. 4．y ＝720x解析 y ′＝(x －1)(x －2)…(x －6)＋x [(x －1)(x －2)…(x －6)]′，所以f ′(0)＝1×2×3×4×5×6＋0＝720.故切线方程为y ＝720x .5.12e 2 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴在(2，e 2)处的切线斜率为e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1.∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2. 6．1解析 ∵f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，∴f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x .∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22. ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝11＋2＝2－1.故f ⎝⎛⎭⎫π4＝(2－1)×22＋22＝1. 7．2x －y ＋3＝0解析 由f (x )＝sin x ＋e x ＋2得f ′(x )＝cos x ＋e x ，从而f ′(0)＝2，又f (0)＝3，所以切线方程为y ＝2x ＋3.8.12516解析 ∵s ′＝2t －3t2， ∴当第4秒末，v ＝8－316＝12516(m/s)． 9．解 (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.(2)y ′＝(x ＋cos x )′(x －cos x )－(x ＋cos x )(x －cos x )′(x －cos x )2＝(1－sin x )(x －cos x )－(x ＋cos x )(1＋sin x )(x －cos x )2＝－2(cos x ＋x sin x )(x －cos x )2. (3)y ′＝(2x )′cos x ＋(cos x )′2x －3[x ′log 2 011 x ＋(log 2 011x )′x ]＝2x ln 2·cos x －sin x ·2x －3[log 2 011 x ＋⎝⎛⎭⎫1x log 2 011 e x ] ＝2x ln 2·cos x －2x sin x －3log 2 011 x －3log 2 011 e.(4)y ′＝(x tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′(cos x )2＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x (cos x )2＝sin x cos x ＋x (cos 2x ＋sin 2x )(cos x )2＝12sin 2x ＋x (cos x )2＝sin 2x ＋2x 2cos 2x . 10．解 f ′(x )＝2x ＋cos x .故曲线在点(π，π2)的切线斜率为2π－1，所以切线为y －π2＝(2π－1)(x －π)，即(2π－1)x －y －π2＋π＝0.11．[3π4，π) 解析 y ′＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋2＋1ex ， ∵e x ＋1ex ≥2，∴－1≤y ′<0，即－1≤tan α<0，∴α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π.12．解 依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12. 切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14.∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.。