广州大学高等数学2试题2006-2010综合

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广州大学高等数学期末试题2006-2007(2)(90) (11)

广州大学2007-2008学年第二学期考试卷高等数学（A 卷）（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每空2分，本大题满分30分）1.设y z x =,则zx ∂=∂1y yx -,z y∂=∂ln y x x.2.已知(,)z f u v =具有二阶连续偏导数,且,23u xy v x y ==+,则zx ∂=∂(,)2(,)u v yf u v f u v ''+,(,)u f u v y ∂'=∂(,)3(,)uuuv xf u v f u v ''''+.3.曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切向量T = (1,2,3),切线方程为111123x y z ---==.4.点M 的直角坐标(,,)x y z 与球面坐标(,,)r ϕθ的关系为x =sin cos r ϕθ,sin sin y r ϕθ=,cos z r ϕ=.在球面坐标下,体积元素dv =2sin r drd d ϕϕθ.5.设L 为曲线弧2(01)y x x =≤≤,则ds dx =,=⎰73.学院专业班级姓名学号6.在区间(1,1)-内，写出下列幂级数的和函数: (1)221(1)n n x x -++-+=211x +;(2) 321(1)321n n x x x n +--+++=+ arctan x.7.已知级数1n n a ∞=∑条件收敛,则幂级数1n n n a x ∞=∑的收敛区间为(1,1)-.8.微分方程560y y y '''-+=的通解为y =2312x xC e C e +,微分方程562x y y y e '''-+=的通解为y =2312x x xC e C e e ++.二．解答下列各题(每小题8分,本大题满分16分) 1.写出函数2ln()z x y =-的定义域,并求函数的全微分.解: 定义域为:20x y ->。

广州大学2012-2013高等数学Ⅲ(A)解析版

广州大学2012-2013学年第一学期考试卷高等数学Ⅲ（A 卷）参考解答与评分标准一、判断题（每小题2分，共10分；对的“√”，错的“×”）1．（ √ ）有限个连续函数的复合函数是连续函数.2．（ × ）若()f x 在(),a b 内连续，则()f x 在(),a b 内有最大值.3．（ × ）若()f x 在[],a b 上不连续，则()f x 在[],a b 上不可积. 4．（ × ）若a 是()f x 的极小值点，则()0f a '=.5．（ √ ）()ln 13x +与tan x 是0x →时的同阶无穷小量.二、填空题（每空3分，共15分）1．0sin3lim2x x x →=（ 32 ）. 2．29991002(99sin 99)d x x x x x -++=⎰（ 0 ）.3．2lim 1xx x x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ 2e - ）. 4．()0dsin d d x t e t tx=⎰（ sin xe x ）. 5．sin3lim 2x x x →+∞=（ 0 ）.三、求导数或微分（每小题6分，共18分）1．设()2ln 1y x x =++，求d y . 解：221(1)1y x x x x ''=++++------2分 221(1)11x x x x =++++------4分211x =+------5分211dy y dx dx x '==+------6分2．2sin ln 0yx x y -+=，求d d y x. 解：两边关于x 求导 22cos 0y y x yx x y''+-+=------4分 222cos 0yy x y x y x y ''+-+= 22cos 21dy y x y x y dx yx -'==+------6分3．设2(arccos )y x =，求y '. 解：2arccos (arccos )y x x '=⋅------2分 212arccos ()1()x x x '=-⋅-------4分 2arccos xx x =--------6分四、求极限（每小题6分，共12分）1．0lim xx x +→. 解：令x y x =，两边取对数得 ln ln y x x =------2分000ln lim ln lim ln lim 1x x x x y x x x+++→→→==0021lim lim()01x x x x x ++→→==-=-------5分000lim lim 1x x x y x e ++→→===------6分2．()lim 3x x x →+∞+-. 解：原式(3)(3)lim 3x x x x x x x→+∞+-++=++------2分 3lim 3x x x→+∞=++------4分 0=------6分五、求积分（每小题6分，共18分）1．21d 1x x-⎰. 解：211111()1(1)(1)211x x x x x==+--+-+------2分 21111()1211dx dx dx x x x=+--+⎰⎰⎰ 1[ln(1)ln(1)]2x x C =+--+------5分 11ln 21x C x+=+-------6分2．2204d x x -⎰.解：令2sin x t =，[0,]2t π∈，2cos dx tdt =------2分 22220044cos x dx tdt π-=⎰⎰------4分 202(1cos 2)t dt π=+⎰------5分[]202sin 2t t π=+π=------6分3．d x xe x -⎰.解：x xe dx -⎰x xde -=-⎰()x x xe e dx --=--⎰------3分()x x xe e d x --=---⎰------5分x x xe e C --=--+------6分六、证明题（6分）证明：函数()||2f x x =+在0x =处连续，但不可导. 证明：因为00lim ()lim 22(0)x x f x x f →→=+== 所以()f x 在0x =处连续------1分因为 00()(0)22(0)lim lim 10x x f x f x f x x+++→→-+-'===-------3分00()(0)22(0)lim lim 10x x f x f x f x x---→→--+-'===--------5分于是(0)(0)f f +-''≠，所以()f x 在0x =处不可导------6分七、应用题（每小题7分，共21分）1．某小车租赁公司有40部小车要出租，当租金定为每小时30元时，小车可全部租出去. 当租金每小时每增加1元时，就有一部小车租不出去. 试问租金定为多少时，可以获得最大收入？解：设小车每小时的租金为30x +元（0,1,2,x =），租出去的小车数为40x -部，公司每小时的收入为y . 于是(30)(40)y x x =+-212010x x =+-，------4分102y x '=-，令0y '=得5x =，稳定点为5x =.------6分由于函数只有一个稳定点5x =，依题意知：当租金为每小时35元时，公司可获得最大的收入.------7分2．求22y x x=-的单调区间与极值. 解：333414x y x x -+'=+=------1分稳定点为34x =-，不可导点为0x =------3分3(,4)x ∈-∞-，0y '>，y 递增------4分3(4,0)x ∈-，0y '<，y 递减------5分(0,)x ∈+∞，0y '>，y 递增------6分极大值2113333333223(4)4223224y ---=--=--=-⋅=-------7分3．求正弦曲线sin y x =与直线14x π=，32x π=，0y =所围成的平面图形的面积.解：324sin d sin d S x x x x ππππ=-⎰⎰------4分324(cos )cos x x ππππ=-+------5分 2(1)[0(1)]2=++--222=+------7分。

2010-2011(2)高等数学I2试题(A)

广州大学2010-2011学年第二学期考试卷课程：高等数学Ⅰ2（90学时）考试形式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________一．填空题(每小题4分,本大题满分20分)1．已知(1,1,1)AB = ,(2,3,4)AC = ,则AB AC ⨯=____________,三角形ABC 的面积S =______.2．方程2221x y z +-=表示一个______叶双曲面,此曲面是由yOz 面上的双曲线221y z -=绕______轴旋转一周生成.3．曲面222236x y z ++=上点(1,1,1)-处的法向量n =____________,切平面方程为_______________________.4．若曲线积分(1,2)24(0,0)()d d I y f x x x y y =+⎰与路径无关,则()f x =________,积分值I =______.5．将下列函数展开成(1)x -的幂级数:(1) 12x =-________________________________________,(02x <<); (2) 21(2)x =-________________________________________,(02x <<).1．求函数2z x =.2．设vz u =,2u x y =+,v xy =,求z x∂∂.3．在曲线23x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩上求一点,使曲线在此点的切线平行于平面21x y z ++=.1．设D 为半圆:0y ≤≤计算22d d 1DyI x y xy=++⎰⎰.2．已知曲线2:(01)C y x x =≤≤,计算d CI x s =⎰.3．计算220d xI x y =⎰⎰.讨论级数11()(0)nn a a n ∞=+>∑的收敛性.五．(本题满分11分)求幂级数11(1)n nn x n -∞=-∑的收敛域及和函数.设(,)z z x y =是由22222280x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的驻点,并判别它们是否为极值点,是极大值点还是极小值点?一个具有常密度μ,半径为a的半球形物体,占有空间区域Ω≤≤:0z求该物体的质心.。

广州大学大一公共课高等数学期末考试卷及答案15

广州大学20XX-20XX 学年第二学期考试卷课程：高等数学（90学时）考试形式：闭卷考试一．填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1．设yxxy z +=，则=dz __________________ 2．设),(v u f z =连续，y x u +=2, xy v = , 则=∂∂xz___________________ 3．L 为122=+y x ，则2Lx ds =⎰4．若级数∑∞=1n nu收敛，则=∞→n n u lim5．微分方程02=-ydx xdy 的通解是二．单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．函数),(y x f z =在点),(y x 处可微是),(y x f 在该点偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在的【】（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件（D ）无关条件.2.曲线2t x =，12+=t y ，3t z =在点)1,1,1(--处的法平面方程为【】（A ）3322-=++z y x （B ）7322=--z y x（C ）312121+=+=-z y x （D ）312121+=+=--z y x 3．设),(y x f 是连续函数，改换二次积分的积分次序⎰⎰=ex dy y x f dx 1ln 0),( 【】（A ）⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),( （B ）⎰⎰e ey dx y x f dy 10),(（C ）⎰⎰x edx y x f dy ln 01),( （D ）⎰⎰10),(eey dx y x f dy4. 设∑是球面2222a z y x =++的内侧)0(>a ，Ω为∑所围成闭区域，由高斯公式，曲面积分333x dy dz y dz dx z dx dy ∑++=⎰⎰【】（A ）dv a ⎰⎰⎰Ω-23（B ）dv a ⎰⎰⎰Ω23（C ）θϕϕd drd r rsin 322⋅-⎰⎰⎰Ω（D ）θϕϕd drd r r sin 322⋅⎰⎰⎰Ω5．设有级数∑∞=--11)1(n p n n ，则【】（A ）当1≥p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 绝对收敛（B ）当1>p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 条件收敛（C ）当10≤<p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 绝对收敛（D ）当10≤<p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 条件收敛三．解答下列各题（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分）1．求函数2221)ln(y x x y z --+-= 的定义域，并画出其区域图2．函数),(y x z z =是由方程0=+-xy yz e z确定，求x z ∂∂及22x z∂∂3．求表面积为36而体积最大的长方体四．计算下列积分（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分） 1．计算dxdy y x D⎰⎰，其中D 由直线x y =，1=y 及0=x 围成的闭区域2．计算⎰⎰⎰Ωdz dy dx z ，其中Ω是由平面1=++z y x 及三个坐标面所围成的闭区域3．利用格林公式计算22()()y x LI xy e dy x y e dx =+-+⎰，其中L 为圆周422=+y x ，取逆时针方向五．解答下列级数（本题共3小题，第1小题5分，第2小题10分，满分15分）1．判别级数∑∞=123n n n 的敛散性2．求幂级数∑∞=+1)1(n nxn n 的收敛域及其和函数六．（本题满分7分）设有连结点)0,0(O 和点(1,1)A 的一段向上凸的曲线弧OA ，对于OA 上任一点),(y x P ，曲线弧OP 与直线段 OP 所围成的图形的面积为2x ，求曲线弧OA 的方程七．（本题满分8分）求微分方程2x y y y xe '''--=的通解广州大学20XX-20XX 学年第二学期考试卷答案与评分标准课程：高等数学（90学时）考试形式：闭卷考试一．填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1．设y xxy z +=，则=dz dy y x x dx y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21 2．设),(v u f z =具有一阶连续偏导数，y x u +=2, xy v = , 则=∂∂xzv u f y f +2 3．L 为圆周122=+y x ，则2Lx ds =⎰π4．若级数∑∞=1n nu收敛，则=∞→n n u lim 05．微分方程02=-ydx xdy 的通解是2y c x =二．单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．函数),(y x f z =在点),(y x 处可微是),(y x f 在该点偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在的【 A 】（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件（D ）无关条件.2.曲线2t x =，12+=t y ，3t z =在点)1,1,1(--处的法平面方程为【 B 】（A ）3322-=++z y x （B ）7322=--z y x（C ）312121+=+=-z y x （D ）312121+=+=--z y x 3．设),(y x f 是连续函数，改换二次积分的积分次序⎰⎰=ex dy y x f dx 1ln 0),( 【 D 】（A ）⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),( （B ）⎰⎰e ey dx y x f dy 10),(（C ）⎰⎰x edx y x f dy ln 01),( （D ）⎰⎰10),(eey dx y x f dy4. 设∑是球面2222a z y x =++的内侧)0(>a ，Ω为∑所围成闭区域，由高斯公式，曲面积分333x dydz y dzdx z dxdy ∑++=⎰⎰【 C 】（A ）dv a ⎰⎰⎰Ω-23（B ）dv a ⎰⎰⎰Ω23 （C ）θϕϕd drd r r sin 322⋅-⎰⎰⎰Ω（D ）θϕϕd drd r r sin 322⋅⎰⎰⎰Ω5．设有级数∑∞=--11)1(n pn n ，则【 D 】（A ）当1≥p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 绝对收敛（B ）当1>p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 条件收敛（C ）当10≤<p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 绝对收敛（D ）当10≤<p 时，级数∑∞=--11)1(n pn n 条件收敛三．解答下列各题（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分）1．求函数2221)ln(y x x y z --+-= 的定义域，并画出其区域图解：要使函数有意义，须满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-->-010222y x x y 即⎪⎩⎪⎨⎧≤+>1222y x x y 所求定义域为}1|),{(222≤+>=y x x y y x D 且 ┉┉┉┉┉ 3分区域D 的图形如左图阴影部分┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分2．函数),(y x z z =是由方程0=+-xy yz e z确定，求x z ∂∂及22x z∂∂解：令=),,(z y x F xy yz e z +- 则 y F x =， y e F z z -=zy x ey yF F x z -=-=∂∂ ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分 22x z ∂∂2)(z z e y x z e y -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分32)(z z e y e y -= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分 3．求表面积为36而体积最大的长方体解：设长方体的三棱长为z y x ,,，则体积xyz V =，且 18=++xz yz xy令)18(),,(-+++=xz yz xy xyz z y x L λ ┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++==++==++=180)(0)(0)(xz yz xy y x xy L z x xz L z y yz L zy x λλλ ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分得6===z y x ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 7分由实际问题可知，当棱长为6的正方体时体积最大 ┉┉┉┉ 8分四．计算下列积分（本题共3小题，第1、2小题6分，第3小题8分，满分20分） 1．计算dxdy y x D⎰⎰，其中D 由直线x y =，1=y 及0=x 围成的闭区域解：dxdy y x D⎰⎰⎰⎰=101xdy xy dx ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分dx y x x ⎰=1012|21 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 4分dx x x ⎰-=103)(21 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分81= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分2．计算⎰⎰⎰Ωdz dy dx z ，其中Ω是由平面1=++z y x 及三个坐标面所围成的闭区域解：⎰⎰⎰Ωdz dy dx z ⎰⎰⎰---=y x x dz z dy dx 101010┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分dy y x dx x ⎰⎰---=10102)1(21 ┉┉┉┉┉┉┉ 4分 ⎰--=103)1(61dx x ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 5分=241┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分3．利用格林公式计算22()()y x LI xy e dy x y e dx =+-+⎰，其中L 为圆周422=+y x ，取逆时针方向解：记4:22≤+y x D ，由格林公式 ⎰⎰+=D dy dx y x I )(22 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 3分 ⎰⎰⋅=πρρρθ2022d d ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 6分420|2πρ=┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 7分π8= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 8分五．解答下列级数（本题共3小题，第1小题5分，第2小题10分，满分15分）1．判别级数∑∞=123n n n 的敛散性解：nn n nn n n n u u 33)1(lim lim 2)1(21+∞→+∞→+= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 211lim 31⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→n n131<= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分该级数收敛 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分2．求幂级数∑∞=+1)1(n n xn n 的收敛域及其和函数解：n n n a a 1lim+∞→=ρ)1()2)(1(lim +++=∞→n n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→n n 21lim 1= ┅┅ 2分故11==ρR ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分当1-=x 时，级数∑∞=+-1)1()1(n n n n 发散 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分当1=x 时，级数∑∞=+1)1(n n n 发散 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分幂级数的收敛域为)1,1(- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分记=)(x S ∑∞=+1)1(n n xn n 11<<-x =⎰x dx x S 0)(∑∞=+11n n nx 2x =∑∞=-11n n nx又设=)(x g ∑∞=-11n n nx，11<<-x ，=⎰x dx x g 0)(∑∞=1n n x =xx -1 ┅┅ 8分知2)1(11)(x x x x g -='⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ()3222)1(2)1()()(x x x x x g x x S -='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='= （11<<-x ）┉┉┅┅ 10分六．（本题满分7分）设有连结点(0,0)O 和点(1,1)A 的一段向上凸的曲线弧OA ，对于OA 上任一点(,)P x y ，曲线弧OP 与直线段 OP 所围成的图形的面积为2x ，求曲线弧OA 的方程解：设曲线弧OA 的方程为()y y x =，依题意 201()2xy t dt xy x -=⎰ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分两边关于x 求导，得1()()22y x y xy x '-+= 即14y y x '-=- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分该方程为一阶线性微分方程，由常数变易公式得(4)dx dx x x y e e dx C -⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分14x dx C x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰ (4ln )x x C =-+ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分由1|1x y ==得，1C =所求方程为4ln y x x x =-+┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分七．（本题满分8分）求微分方程2x y y y xe '''--=的通解解：该方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，且()f x 为()x m P x e λ型（其中()m P x x =，1λ=）与所给方程对应的齐次方程为20y y y '''--=它的特征方程 220r r --=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分特征根11r =-，22r =齐次方程的通解为212x x Y C e C e -=+┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分由于1λ=不是特征根，设()x y ax b e *=+ ┅┅┅┅┅┅ 5分代入原方程得 22ax a b x -+-=由比较系数法得2120a ab -=⎧⎨-=⎩，解得11,24a b =-=-， 1(21)4x y x e *=-+，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分所求通解为2121(21)4x x x y C e C e x e -=+-+┅┅┅┅┅┅8分。

广州大学高等数学1试题2006-2010总览

1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→x x x x 11ln 5335lim 23______. 2已知当0→x 时, 1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小, 则常数=a ______. 3若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,,0,12sin )(2x a x x e x x f ax 在),(∞+-∞上连续, 则=a ______. 4若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=1,1,11arctan )(x a x x x f 在点1=x 左连续, 则=a ______. 5函数xx x y 1s i n 1-=的可去间断点是________, 无穷间断点是________.6lim x ax b →+∞⎤-=⎦0，则=a ______, =b ______. 7曲线1ln -=x x y 有水平渐近线__________和铅直渐近线__________. 8若()0x f '存在，则()()000limh f x ah f x bh h→+--= . 9设⎩⎨⎧≥+<+=0,cos 0,sin )(x x e x b x a x f x在0x =处可导，则常数a =______，=b ______. 10设2()sin f x x '=则df dx=_________. 11设ln y x =，当2,0.01x x =∆=时，dy =____________. 12过曲线sin y x x =+上点(,1)22ππ+处的切线方程是__________________. 13曲线2cos 2=++x xy y 在点)0,1(处的切线方程是__________________. 14曲线⎩⎨⎧==te y te x tt cos 2sin 在点(0,1)处的法线方程为___________________. 15函数x y arctan =在闭区间]1,0[上满足拉格朗日中值定理，则定理中的=ξ______.16函数22)(2x x x f -=在区间________上单调增加. 17函数⎜⎠⎛-=xdt tx F 1)12()( )0(>x 的单调减少区间为__________. 18函数3234683)(x x x x f +-=在=x ______处取极______值. 19函数x x y cos 2+=在区间]2,0[π上的最大值为______. 20函数xy xe -=的图形的凹区间为 ___________. 21曲线xxy ln =的凸区间是_________. 22若点(1,2)-为曲线32y ax bx =+的拐点，则a =______，b =______.23曲线2333x ty t t⎧=⎪⎨=-⎪⎩在对应于1t =的点处的曲率K =______ 24设⎰+=C x F dx x f )()(, 则⎰=+dx x f )32(____________. 25设C xdx x f x +-=-⎰)11cos()11(12, 则=)(x f __________.26121(sin x dx -=⎰______.2720t d dt dx= _______________. 28利用定积分的几何意义，0dx =⎰______ . 29质点以速度)sin(2t t 米/秒作直线运动, 则从时刻21π=t 秒到π=2t 秒内质点所经过的路程等于______米. 30函数221xx y -=在区间]23,21[上的平均值为______ .1如果0lim()x x f x →存在，则0()f x ( ). (A) 不一定存在; (B) 无定义; (C) 有定义; (D) )(lim 0x f x x →=.2当0→x 时, 下列变量 ( ) 为无穷小量. (A) x x 1sin ; (B) ||ln x ; (C) x xarctan 1; (D) x e 1-.3当0→x 时, 下列变量 ( ) 为无穷大量. (A) x x 1sin 1; (B) ||ln x x ; (C) xx 1arctan 1; (D) x e 1.4当∞→x 时, 变量x x x 1sin cos 是( ). (A) 无穷小; (B) 无穷大; (C) 有界的, 但不是无穷小; (D) 无界的, 但不是无穷大.5当∞→x 时, 变量xx x 1cos sin 是( ). A) 无穷小; (B) 无穷大; (C) 有界的, 但不是无穷小; (D) 无界的, 但不是无穷大.6当0→x 时, 与x 等价的无穷小量为 ( ). (A) 12-xe ; (B) )1ln(x -; (C) x x --+11; (D) x x tan sin -.7当0→x 时, x x sin -是2x 的( ). (A) 低阶无穷小; (B) 高阶无穷小; (C) 等价无穷小; (D) 同阶但非等价无穷小.8设xx x f 1)21()(+=，若定义=)0(f （）时，则)(x f 在点0=x 处连续. (A) 1; (B) e ; (C) e ; (D) 2e .9函数110()10x e x f x x x ⎧⎪+>=⎨⎪+≤⎩在0x =处间断是因为( ). (A) ()f x 在0x =处无定义; (B) 0lim ()lim ()x x f x f x -+→→和都不存在;(C) 0lim ()x f x →不存在; (D) 0lim ()(0)x f x f →≠. 10函数2||ln 2-+=x x x y 的无穷间断点是( ). (A) 0=x ; (B) 2-=x ; (C) 1=x 和2-=x ; (D) 0=x 和2-=x .11曲线x e e y xxarctan 11-+=--的渐近线为( ). (A) 0=x 和2π=y ; (B) 0=x 和2π-=y ; (C)2π-=y ; (D)2π=y .12函数()f x 在0x x =处可微是()f x 在0x x =处连续的( ). (A) 必要非充分条件; (B) 充分非必要条件;(C) 充分必要条件; (D) 无关条件.13函数|1|-=x y 在点1=x 处 ( ). (A) 不连续; (B) 连续但不可导; (C) 可导; (D) 可微.14设⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0),(0,cos 1)(2x x g x x xxx f 其中)(x g 是有界函数, 则)(x f 在0=x 处( ). (A) 极限不存在; (B) 极限存在, 但不连续; (C) 连续, 但不可导; (D) 可导. 15已知01()3f x '=，则当0x ∆→时，在0x x =处dy 是( ). (A) 比x ∆高阶的无穷小; (B) 比x ∆低阶的无穷小; (C) 与x ∆等价的无穷小; (D) 与x ∆同阶但非等价的无穷小.16质点作曲线运动，其位置与时间t 的关系为22x t t =+-，2321y t t =--，则当1t =时，质点的速度大小等于( ).(A) 3; (B) 4; (C) 5; (D) 7.17函数32)(x x f =在]1,1[-上不满足罗尔定理的条件, 是因为 ( ). (A) )(x f 在]1,1[-上不连续; (B))1()1(f f ≠-;(C) )(x f 在)1,1(-内不可导; (D) 以上说法都成立.18函数()(1)(2)(3)f x x x x =---，则方程()0f x '=有( ). (A) 一个实根; (B) 二个实根; (C) 三个实根; (D) 无实根. 19设常数0>k , 函数k exx x f +-=ln )(在),0(∞+内零点个数为 ( ). (A) 3; (B) 2; (C) 1; (D) 0. 200)(0='x f 是函数)(x f 在0x x =处取得极值的 ( ). (A) 必要条件; (B) 充分条件; (C) 充要条件; (D) 既非充分也非必要条件. 21函数)(x f 在点0x x =处取得极值的充分条件是 ( ) (A) 0)(0='x f ; (B) 0)(0='x f 或)(0x f '不存在; (C))(0x f ''存在且0)(0≠''x f ; (D) 条件A 与C 同时成立.22若2()()lim1()x af x f a x a →-=--，则在x a =处( ). (A)()f x 导数存在且()0f a '≠; (B)()f x 取极大值; (C)()f x 取极小值;(D) ()f a '不存在.230)(0=''x f 是点))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点的 ( ). (A) 必要条件; (B) 充分条件; (C) 充要条件; (D) 既非充分也非必要条件.24设函数)(x f 满足关系式x x f x f ='+''2)]([)(, 且0)0(='f , 则( ). (A) )0(f 是)(x f 的极大值;(B) )0(f 是)(x f 的极小值;(C) 点))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点; (D) )0(f 不是)(x f 的极值, 点))0(,0(f 也不是曲线)(x f y =的拐点. 25若函数()f x 的导函数是sin x , 则()f x 的一个原函数为( ). (A) x sin 1+; (B) x sin 1-; (C) x cos 1+; (D) x cos 1-.26若)(x f 在),(b a 内连续, 则在),(b a 内)(x f ( ). (A) 必有导函数; (B) 必有原函数; (C) 必有界; (D) 必有极值.27下列各式中, 正确的是 ( ). (A)⎰⎰---<011dx e dx e x x ; (B)⎰⎰>213)()(dx x f dx x f ;(C)⎰⎰>40240sin sin ππdx x xdx ; (D)⎰⎰=-111)(2)(dx x f dx x f .28设⎜⎠⎛+=21)1ln()(x dt tt x f , 则=')2(f ( ). (A) 3ln 21; (B) 5ln ; (C) 3ln 2; (D) 5ln 41. 29下列各式中, 正确的是 ( ). (A)21111112-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--⎰x dx x ; (B) 01lim 122=+=+⎰⎰-+∞→∞+∞-A A A dx x xdx x x ; (C)20cos 2cos n nxdx xdx ππ=⎰⎰; (D)20sin 2sin nn xdx xdx ππ=⎰⎰.30设)(x f 是连续函数, )(x F 是)(x f 的原函数, 则( ). (A) 当)(x f 是奇函数时, )(x F 必是偶函数;(B) 当)(x f 是偶函数时, )(x F 必是奇函数;(C) 当)(x f 是周期函数时, )(x F 必是周期函数; (D) 当)(x f 是单调增函数时, )(x F 必是单调增函数.一. 计算题 1()2(())f x y f e =, 求y '. 21)1ln(22+-++=x x x x y , 求dy . 322ln arctany x x y +=, 求dxdy . 4⎩⎨⎧-=+=tt y t t x 5353, 求dx dy 和22dx y d . 5计算)(lim 2n n n n -+∞→. 6计算)ln 111(lim 1x x x --→. 7计算)ln(sin ln lim ππ-+→x x x . 8计算)11ln(lim 220xx x +→. 9计算1ln lim (1)n x x x →+∞+，(0)n >.10计算302sin limxdtt x x ⎰-→. 11计算32226125x x x dx x x -++-+⎰. 12计算⎰xdx x 32cos sin .13计算⎰dx xx 2arctan . 14计算⎰+dx x x )1ln(. 15计算⎰+dx x 12cos . 16计算⎰-10224dx x x . 17计算⎰-202||dx x x . 18计算⎰∞+-+222x x dx . 19计算⎰∞++01x e dx . 20计算⎰∞+-0dx e x xn .二. 综合、应用、证明题 1. 设)(x f 在a x =处可导, 且0)(>x f , 求n n a f n a f )](/)1([lim +∞→. [ ])()(exp[a f a f ' ]2.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1arctan )(2x x xx x f , 试讨论)(x f '在0=x 处的连续性. [ 连续 ] 3.设函数()y y x =由方程 3222221y y xy x -+-=所确定，求()y y x =的驻点, 并判别它是否为极值点. [ 1=x ; 极小值点 ]4. 求半径为R 的半圆的内接矩形的最大周长. [ R 52 ]5. 计算下列极限:(1) 11lim nn i n i→∞=+∑; (2) 112lim[(1)(1)(1)]n n n n n n →∞+++ . [ (1) ln 2; (2) e 4 ]6. 设平面图形是由曲线1y x=和23x y +=所围成，求(1) 此平面图形的面积S ； [ 2ln 43- ] (2) 此平面图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积V . [ 12π]7. 设曲线)0,0(2≥>=x a ax y 与21x y -=交于点A , 过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2ax y =围成一平面图形. 问a 为何值时, 该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大? 最大体积是多少?[ π1875532;4max ==V a ]8. 为清除井底的污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 抓起污泥后提出井口. 已知井深30m, 抓斗自重400N, 缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重2000N, 提升速度为3m/s, 在提升过程中, 污泥以20N/s 的速率从抓斗逢隙中漏掉. 现将抓起污泥的抓斗提升至井口, 问克服重力需作多少焦耳的功?(说明: (1) 1N ⨯1m=1J; m, N, s, J 分别表示米, 牛顿, 秒, 焦耳. (2) 抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.) [ 91500 J ] 9.设111,1,2,)n x x n +=== , 试证数列}{n x 极限存在, 并求此极限. [ 3lim =∞→n n x ]10.设111,1,2,)n x x n +=== , 试证数列}{n x 极限存在, 并求此极限. [ lim 2n n x →∞= ]11. 设()f x 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，当[,]x a b ∈时, b x f a <<)(, 且1)(≠'x f ，求证：方程x x f =)(在),(b a 内有且只有一个根.12. 设()f x 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且e f =)0(，1)1(=f , 求证：在)1,0(内至少存在一点ξ，使0)()(2='+ξξξf f .13. 设()f x 二阶可导，过曲线()y f x =上点A 的切线与曲线()y f x =有另一交点B ，证明存在ξ，使()0f ξ''=.14. 证明: 当20π<<x 时, 2sin x x π>. 15.就k 的不同取值情况, 确定方程kx x =ln 的实根的个数, 并证明你的结论. 16. 设()f x 在[0,1]上连续，证明：20(sin )2(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰.17. 设()f x 在[1,)+∞上满足221()[()]f x x f x '=+，且(1)1f =. 试证：在[1,)+∞上()14f x π<+.18. 设)(x f 在]1,0[上连续且递减, 证明: 当10<<λ时, ⎰⎰≥1)()(dx x f dx x f λλ.19. 设)(x f '在],0[a 上连续, 且0)0(=f , 证明: 2|)(|2Ma dx x f a ≤⎰, 其中|)(|max 0x f M ax '=≤≤.20. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导, 且)0()(3132f dx x f =⎰, 证明在)1,0(内至少存在一点c , 使0)(='c f .1．=∞→xxx sin lim ________.2．设函数(ln )y f x =, 其中()f x 可微, 则d y =________________.3．曲线sin y x =上点(0,0)处的切线斜率为=k ________.4．设()x f x xe =, 则(2006)()f x =________________.5．质点以速度)sin(2t t 米/秒作直线运动, 则从时刻21π=t 秒到π=2t 秒内质点所经过的路程等于___________米.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分) 1. 当1x →时，无穷小量(1)x -是2(1的( ).A. 高阶无穷小; B. 低阶无穷小;C. 等价无穷小; D. 同阶但不等价无穷小.2. 0x=是函数1arctany x=的( )间断点.A. 可去; B. 跳跃; C. 无穷; D. 振荡. 3. 下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是( ).A. ];3,2[,65)(2∈+-=x x x x fB];2,0[,)1(1)(32∈-=x x x f C. ];1,0[,)(∈=x e x f x D. ].1,1[,)(-∈=x x x f4. 设函数()y y x =的导函数为cos x ，且(0)1y =，则()y x =( ).A. cos x ; B. sin x ; C. cos 1x +; D. sin 1x +.5. 若22001()d ()d 2a xf x x f x x =⎰⎰，则a =( ).A. 4; B. 2; C. 12; D. 1.三． 1．21sin ()x e y x -=，求y '. 2．设)(x y y =由参数方程2ln(1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩所确定, 求d d y x 和22d d x y . 四．1．求极限1lim(1)x xx xe →+.2．设函数22(1cos ),0()1,0ax x f x x x bx x ⎧-<⎪=⎨⎪++≥⎩在(,)-∞+∞上处处连续、可导，求,a b 的值. 五．求函数x xy ln 1+=的单调区间、极植，凹凸区间和拐点.六． 1．21x x +⎰ .2．0a x x ⎰, 其中0.a > 3．21arctan d x x x+∞⎰. 七．设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围图形的面积为1S ，它们与直线1x =所围图形的面积为2S .(1) 试确定a 的值使12S S +达到最小；(2) 求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积.八． 1．证明：当0ln(1)1x x x x>+>+时，. 2．设当1x ≤<+∞时，()f x '连续，且210()f x x '<<.证明：数列()nx f n =的极限存在.1．设2,0()1sin ,0a x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,当常数=a ______时,)(x f 在0x =处连续.2．曲线21x y x =+有水平渐近线=y ______. 3．曲线xy xe-=的拐点横坐标为=x______.4．设)(x f 连续, 且3140()1x f t dt x -=-⎰,则(26)f =______.5．方程20y y y '''++=的通解为y =____________________.1. 当0→x时1是2x 的( )无穷小.(A) 高阶; (B) 低阶; (C) 同阶; (D) 等价.2. 函数|2|y x =-在点2x =处 ( ).(A) 可导但不连续; (B) 连续但不可导; (C) 可导; (D) 可微.3．设()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导,则( ).(A) 当()()0f a f b <时, 存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ=;(B) 对任何(,)a b ξ∈,有lim[()()]0x f x f ξξ→-=;(C) 当()()f a f b =时, 存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ'=;(D) 存在(,)a b ξ∈,使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.4. 若函数)(x f 在点0x x =处取得极小值, 则必有( ).(A) 0)(0='x f ; (B) 0)(0>''x f ; (C) 0)(0='x f 或)(0x f '不存在； (D) 0)(0='x f 且0)(0>''x f .5. 设)(x f 的导函数为sin x , 则()f x 的一个原函数是( ).(A) 1+x sin ; (B) 1+x cos (C) 1x sin -; (D) 1x cos -.1．1ln(arctan y x x=+，求y '.2．2sin3xy e x -= ,求dy .3．求由方程57230y y x x +--=确定的隐函数()y f x =在0x =处的导数.4．求曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩上在参数2t =相应的点处的切线方程.5．计算极限30arctan lim sin x x xx →-.1．计算不定积分3(1)x dx x +⎰.2．计算定积分94⎰.3．计算反常积分⎰∞+-0dx xe x.4．求微分方程24dy xy x dx+=的通解. 五．证明方程32100x x +-=有且只有一个实根.六．设曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>)及x 轴围成一曲边梯形,该曲边梯形绕x 轴旋转一周得旋转体,其体积为()v t ,在x t =处的底面积为()f t .求()lim()t v t f t →+∞. 一．1．设⎩⎨⎧≤>=02x x x x x f ,,)(，则=-))2((f f .2. 若函数 ⎩⎨⎧>+≤=112x b ax x x x f ,,)( 在1=x 处可导，则=a ， =b .3．0=x 是xxy sin =的第类间断点，是xy 1sin=的第类间断点。

广州大学高等数学期末试题2006-2007(2)(90) (6)

广州大学2006-2007学年第二学期考试卷高等数学（B 卷）（90学时）参考解答一．填空题（每小题3分，本大题满分30分）1.(,)(0,2)sin lim x y xy x→=2. 2.设2(,)(1)sin xf x y x y y=+-,则(,1)x f x =2x .3.函数x z y=的全微分dz =21xdx dy y y -. 4.设sin x z xyz e -=,则zx∂=∂cos x yz e z xy+-.5.改换积分次序:1(,)xdx f x y dy =⎰⎰11(,)ydy f x y dx⎰⎰. 6.平面2366x y z ++=在第一卦限部分的面积等于72.7.设L 为2x y =从点(0,0)到点(1,1)的一段弧，则L=⎰73. 8.若级数1||n n u ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑的敛散性为：收敛 .9.幂级数214nn n n x ∞=∑的收敛半径R =2.10.微分方程()()y P x y Q x '+=的通解:y =()()[()]P x dx P x dxe Q x e dx C -⎰⎰+⎰.二．解答下列各题(每小题7分,本大题满分14分)1.已知(,)f u v 可微, 设2(,ln )z f xy x y =+, 求x z∂∂和2z x y∂∂∂.解:122zyf xf x∂''=+∂…………………………………………………4分 211112212211[]2[]z f y xf f x xf f x y y y∂'''''''''=++++∂∂ 211112222(12)xf xyf x f f y'''''''=++++…………………………7分2.求曲面3z e z xy -+=在点(2,1,0)处的切平面及法线方程.解: (,,1)z n y x e =-(2,1,0)(1,2,0)n =…………………………………………………3分所求切平面方程 (2)2(1)0x y -+-=………………………………5分即 240x y +-=所求法线方程 2120x t y t z =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩……………………………………………7分三．解答下列各题（每小题7分，本大题满分14分）1.计算Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由直线1y =、2x =及y x =所围成的闭区域.解: 积分区域如图(略)………………………………………………2分211xDxydxdy dx xydy =⎰⎰⎰⎰…………………………………………4分321()22x xdx =-⎰………………………………………6分 98=……………………………………………………7分2.设L 为正向圆周2220x y x +-=,计算⎰+-Ldy x dx y 33)1(.解: 记22:20D x y x +-≤,由格林公式有⎰+-Ldy x dx y 33)1(22(33)Dx y dxdy =+⎰⎰………………………3分 2cos 326d d πθθρρ=⎰⎰……………………………………………5分42024cos d πθθ=⎰…………………………………………………6分319244222ππ=⋅⋅⋅=………………………………………………7分四．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）1.级数111(1)sin n n n ∞-=-∑是绝对收敛，条件收敛，还是发散？解: 因1sinlim 11n n n→∞=,而11n n ∞=∑发散,所以11sin n n ∞=∑发散………………3分又因1lim sin 0n n →∞=,且11sin sin 1n n >+,所以111(1)sin n n n ∞-=-∑收敛,但非绝对收敛,为条件收敛……………………………………………………6分2.在区间(1,1)-内求幂级数20(21)n n n x ∞=+∑的和函数.解: 20(21)nn n x∞=+∑21()n n x∞+='=∑210()n n x ∞+='=∑…………………………3分2()1x x '=-…………………………………………5分 2221(1)x x +=-…………………………………………6分五．（本题满分8分）求函数3(,)3ln f x y x x y y =-+-的极值.解: 由2330110x y f x f y ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩,得驻点(1,1),(1,1)-…………………………4分 216,0,xx xy yy A f x B f C f y ======……………………………5分在点(1,1)处,260AC B -=>,且60A =>,所以(1,1)1f =-为极小值………………………………………………7分在点(1,1)-处,260AC B -=-<,所以(1,1)f -不是极值 ………8分六．（本题满分8分）设Ω是由曲面222z x y =--及22z x y =+所围成的有界闭区域,求Ω的体积.解: Ω在xOy 面上的投影区域为22:1D x y +≤……………………2分Ω的体积为 222120V dv d d dz πρρθρρ-Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰…………………5分21200(22)d d πθρρρ=-⎰⎰…………………………6分42102[]2ρπρ=-π=………………………………8分七．（本题满分7分）求微分方程4x y y xe ''-=的通解.解：对应齐次方程的特征方程为012=-r ，特征根为11=r ，12-=r ，齐次通解为 x x e C e C Y -+=21…………………………………………3分可设待定特解 x e b ax x y )(*+=，代入原方程得x b ax a 4)2(22=++，比较系数得 1=a ，1-=b ，从而x e x x y )(*2-=，…………………6分原方程的通解为 212()x x x y C e C e x x e -=++-………………………7分八．（本题满分7分）一曲线通过点(1,1),其上任一点的法线都过坐标原点,求该曲线的方程.解: 设(,)P x y 为曲线上一点,由题设OP 为P 处的法线,于是有dy xdx y=-…………………………………………………3分分离变量得 ydy xdx =-………………………………………………4分两边积分得221122y x C =-+………………………………………6分由1,1x y ==,得1C =所求曲线方程为 222x y +=………………………………………7分。

广州大学 2006-2007(2)概率论试题(A卷)解答

广州大学 2006-2007 学年第二学期考试卷概率论与数理统计参考解答与评分标准学院系专业班级学号姓名一．选择题（每小题3分，共15分）1．已知事件A,B 相互独立，()0.8,()0.6,P A B P A == , 则P (B )＝ ( B ). (A) 0.4 (B) 0.5 (C) 0.2 (D) 0.752．设A 、B 是二随机事件，下列结论中正确的是 ( C ).(A) ()()()P A B P A P B -= (B) 若()(),P A P B ≤ 则.A B ⊂ (C) ()()()P A P AB P AB =+ (D) 若()0,P AB =则A , B 是互不相容的.3．若随机变量X , Y 独立，()3E X =, ()2E Y =, 则[(1)(1)]E X Y --=( B ). (A) 0 (B) 2 (C) 6 (D) 44．在事件A 发生的概率为p 的n 重伯努利试验中,事件 A 在n 次试验中恰好出现k 次的概率为 ( D ). (A) kp (B) (1)kn kp p -- (C) (1)kkn kn A p p -- (D) (1)kkn kn C p p --5．设~(0,1)X N ，且常数c 满足{}{}P X c P X c >=≤，则c ＝（ A ）. (A) 0 (B) 1 (C) 12(D) －1二．填空题（每小题3分，共15分）1．设A,B,C 为三事件，则事件“三个都不发生”可表示为 ABC .2．10个零件中有4个次品，每次从中任取一个零件，作不放回地抽取，则第三次才取得正品的概率为110. 3．同时掷三枚均匀的硬币，则至少出现一次反面的概率为78.4．已知()2,()1,E X D X == 则2(2)E X = 10 .5．设随机变量X 的分布函数为F (x )，且分布律为1{}4P X k ==，2,3,4,5.k = 则F (6)＝ 1 .三．解答下列各题（每小题6分，共36分）1．将3个小球随机地向标号为1，2，3，4的四个盒子中投放(每个盒子中装球个数不限)，求：1）第2号盒子中恰好装1个球的概率()P A ;2）第1，2号盒子中各装1个球的概率()P B .解：（1）()P A 1233327464C ⨯== …………………………………… 3分（2） ()P B 1132323416C C ⨯⨯== …………………………………… 6分2．某工厂生产产品需要经过3道工序，各道工序彼此独立，已知每道工序产生的次品率分别为0.2，0.1，0.05，求该工厂生产出来的产品的次品率.解：设i A ＝“第i 道工序生产次品” 1,2,3.i = 123()0.2, ()0.1, ()0.05P A P A P A === 所求概率为123()P A A A ⋃⋃ …………………………………………… 2分 1231()P A A A =- …………………………………………… 4分 1(10.2)(10.1)(10.05)=---- 0.316= ………………………………………………… 6分3．甲袋中有2个白球，3个黑球；乙袋中有4个白球，2个黑球，现从甲袋中任取两个球放入乙袋，再从乙袋中任取1球，求从乙袋中取出是白球的概率.解：设i A ＝“从甲袋任取两球中有i 个白球”(0,1,2)i =，B ＝“从乙袋取出白球”21123322012222555361(), (), () 101010C C C C P A P A P A C C C ======;012456(/), (/), (/) 888P B A P B A P B A ===……………………… 3分由全概率公式 2()()(/)ii i P B P AP B A ==∑ …………………… 5分34651631081081085=⨯+⨯+⨯= ……………………………… 6分试求：（1）随机变量22Y X X =-的分布律；（2）数学期望(3)E X +. 解：(1) ………………………… 3分(2) ()E X ＝00.310.320.4 1.1⨯+⨯+⨯= ………………………… 5分(3)E X +()3 1.13 4.1E X =+=+= ………………………… 6分5. 设连续型随机变量X 的分布函数为220()0 0x A ex F x x -⎧⎪->=⎨⎪≤⎩ 1）求常数A ； 2）求X 的概率密度f (x ). 解：(1) 221lim ()lim ()x x x F x A eA -→+∞→+∞==-=故 A ＝1 ………………………………………… 3分(2) f (x ) ＝220()0 0x xex F x x -⎧⎪>'=⎨⎪≤⎩ ……………………………… 6分6. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (单位：分钟) 服从指数分布，其概率密度为31 0()30 0x ex f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩求：1) 顾客在窗口等待服务不超过9分钟的概率。

2008-2009(1)高等数学试题(B卷)(90)答案

广州大学2008-2009学年第一学期考试卷参考答案课程：高等数学（B 卷）（90学时）考试形式：闭卷考试一．填空题（每空2分，本大题满分16分）1．设⎩⎨⎧≤>=002x x x x x f ,,)(，则=-))2((f f 4 .2. 若函数 ⎩⎨⎧>+≤=112x b ax x x x f ,,)( 在1=x 处可导，则=a 2 ，=b -1 .3．0=x 是x xy sin =的第一类间断点，是xy 1si n =的第二类间断点。

4．已知10=')(x f ，则=--+→hh x f h x f h )()(lim0002 .5．设)(),(x G x F 是)(x f 的两个原函数，则='=')()(x G x F )(x f ，='-])()([x G x F ___0___.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)学院专业班级姓名1. 当0→x 时, 12-x e是2x 的( C )无穷小.(A) 高阶 (B) 低阶 (C) 同阶 (D) 等价 2. 函数3x y =在点(1,1)处的切线方程为 ( B ).(A) 23--=x y (B) 23-=x y (C) 23+=x y (D) 13+-=x y 3．设)(x f 的一个原函数是x cos ，则='⎰dx x f x )( ( A ). (A) C x x x +--cos sin (B) C x x x +-cos sin (C) C x x x +-sin cos (D) C x x x ++-sin cos .4. 若函数)(x f 在点0x x =可导是)(x f 在点0x x =连续的（ A ）。

(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充要条件 (D) 无关条件.5.设)(x f 在区间I 内具有二阶导数，且在I 内0>'')(x f ，则)(x f 在I 内是( B ).(A) 凸函数 (B) 凹函数 (C) 周期函数（D ）单减函数三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分30分）1．2211xx y +-=ln ，求dy . 解：)ln()ln(2211x x y +--=221212x xx x y +--=' 144-=x x………………………………………………………………..4分 dx x xdx y dy 144-='=∴……………………………………………….6分2．=y x e 2，求n 阶导数).()(0n y .解：,xe y 22=',x e y 222='',x e y 232=''',)()(x n n e x y 22=∴……………………………………………………………4分 .)()(n n y 20=∴………………………………………………………………..6分3．设曲线参数方程为)(sin cos 0>>⎩⎨⎧==b a tb y ta x ，求dxdy . 解：dt dxdt dy dx dy =………………………………………………………………….3分 t ab t a t b cot sin cos -=-=……………………………………………….6分4．求321x x x )sin (lim +→.解：22223123211x x xx x x x x sin sin)sin (lim )sin (lim ⋅→→+=+2231201⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x x x x x sin sin )sin (lim …………………………………………….3分3e =…………………………………………………...……………………….6分5．求⎪⎭⎫⎝⎛--→x x x ln lim 1111.解：=⎪⎭⎫⎝⎛--→x x x ln lim 1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+→x x x x x ln )(ln lim 111……………………………….2分 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+=→x x x x x 1111ln lim⎪⎭⎫⎝⎛+--+=→111x x x x x ln lim ………………………………………………………4分 ∞= …………………………………………………………..…..6分四．计算下列积分（每小题6分，本大题满分18分）1．xdx x 22⎰cos . 解：x d x xdx x 221222sin cos ⎰⎰=()dx x x x x ⎰⋅-=222212sin sin ……………………………………………..2分 ()x d x x x 22212cos sin ⎰+= ()xdx x x x x 222212cos cos sin ⎰-+=……………………………………4分 C x x x x x +⎪⎭⎫⎝⎛-+=22122212sin cos sin ………………………….…..…..6分 2．⎜⎠⎛-220221dx xx .解：令t x sin =，则tdt dx cos =⎜⎠⎛-=⎜⎠⎛-40222202211πtdt t t dx x xcos sin sin ……………………..………....2分 dt t ⎰=402πsin ……………………..…………………………………………..3分dt t ⎰-=4221πcos 40422π⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t sin ………………………………………………………….….5分.418-=π……………………..……………………………………………….6分3．⎰∞++12211dx x x )(.解：⎰∞++12211dx x x )( ⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=122111dx x x…………………………………………………...….2分 +∞⎪⎭⎫⎝⎛--=11x x arctan ……………………..………………………………....4分 .41π-=………………………………………………………………………..6分六．（本题满分6分）计算由抛物线2x y =与x y =所围图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积. 解：根据旋转体体积公式知dx x x V ⎰-=142)(π……………………..…………………………………3分105353⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=x x π π152=………..………………………………………………………………6分七．（本题满分7分）1．证明当0>x 时，有x x x >++212)ln(. 证明：令x x x x f -++=212)ln()(，………………………………...2分则当0>x 时，011112>+=-++='xx x x x f )(，……………………….4分x x x x f -++=212)ln()(在),(+∞0上严格单调递增。

广州大学高等数学教材

广州大学高等数学教材高等数学是一门重要的基础学科，对于广州大学的学生来说，学好高等数学是他们学业成功的关键之一。

为了提升学生们的学习效果，广州大学特别编写了一本高等数学教材，旨在帮助学生更好地掌握这门学科。

第一章：函数与极限在高等数学教材的第一章中，我们学习了函数与极限的基本概念。

通过介绍数列与函数的关系，以及极限的定义与性质，学生们能够深入理解数学中的“趋于无穷”的概念。

此外，教材还提供了大量的例题和习题，帮助学生进行巩固和实践。

第二章：导数与微分第二章介绍了导数与微分的概念与计算方法。

通过学习导数的定义、基本性质以及常见函数的导数公式，学生们可以理解函数的变化率和切线的概念，掌握求导的方法和技巧。

教材在这一章节中也提供了丰富的练习题，以帮助学生熟练运用所学知识。

第三章：积分与定积分积分与定积分是高等数学中重要的内容之一，第三章对这一内容进行了详细的介绍和讲解。

学生们将会学习到积分的定义与计算方法，了解曲线下面积的几何意义，并且掌握定积分的计算技巧。

教材中还包含了一系列实例和应用题，帮助学生将数学与实际问题相结合，提升解决实际问题的能力。

第四章：级数与幂级数级数与幂级数作为数学中的重要概念，广州大学高等数学教材的第四章对其进行了全面的讲解。

在这一章节中，学生们将学习级数的定义、收敛与发散的判断方法，以及幂级数的性质和收敛半径的计算。

教材还提供了大量的习题，让学生们能够更好地掌握这一知识点。

通过以上四章的学习，广州大学的学生将会对高等数学有更深入的理解。

教材的编写力求简洁明了，重点突出，以便学生能够更好地掌握数学的基本概念和技巧。

为了方便学生的学习，教材还提供了习题答案和详细的解析，供学生们进行自我评估与巩固。

总结广州大学的高等数学教材为学生们提供了一套全面的学习资源，帮助他们更好地理解和掌握高等数学的知识。

教材的编写精心规划，符合学生们的学习需求。

通过系统的学习，学生们将能够在高等数学领域取得优异的成绩，并为日后的学习和研究打下坚实的数学基础。

07-08 高等数学2试题(A)及解答

广州大学2007-2008学年第二学期考试卷课程：高等数学（A 卷）（90学时）考试形式：闭卷考试一．填空题（每空2分，本大题满分30分）1.设y z x =,则zx∂=∂____________,z y ∂=∂____________.2.已知(,)z f u v =具有二阶连续偏导数,且,23u xy v x y ==+,则zx∂=∂__________________,(,)u f u v y ∂'=∂__________________.3.曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切向量T =______________,切线方程为__________________________________.4.点M 的直角坐标(,,)x y z 与球面坐标(,,)r ϕθ的关系为 x =_____________,sin sin y r ϕθ=,cos z r ϕ=. 在球面坐标下,体积元素dv =________________________.5.设L 为曲线弧2(01)y x x =≤≤,则ds dx =,=⎰________.学院专业班级姓名学号6.在区间(1,1)-内，写出下列幂级数的和函数: (1) 221(1)n n x x -++-+=__________;(2) 321(1)321n n x x x n +--+++=+__________.7.已知级数1n n a ∞=∑条件收敛,则幂级数1n n n a x ∞=∑的收敛区间为_________.8.微分方程560y y y '''-+=的通解为y =________________________, 微分方程562x y y y e '''-+=的通解为y =_________________________.二．解答下列各题(每小题8分,本大题满分16分)1.写出函数2ln()z x y =-的定义域,并求函数的全微分.2.已知),(y x f z =是由方程2sin z z x y +=确定的隐函数,求xz ∂∂和22x z ∂∂.三．解答下列各题（每小题8分，本大题满分16分）1.计算(32)Dx y d σ+⎰⎰,其中D 是由两坐标轴及直线2x y +=所围成的闭区域.2.设L 为正向圆周x y x 222=+,计算⎰+-Ldy xy dx yx x 22)(.装订线内不要答题四．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）1.判别级数∑∞=1223 cosnnnnπ的收敛性.2.求幂级数1(2)nn x n∞=-∑的收敛域.五．解答下列各题（每小题8分，本大题满分16分）1.求微分方程ln dy yx y dx x=的通解.2.设可导函数()f x 满足0()cos 2()sin 1xf x x f t tdt x +=+⎰,求()f x .装订线内不要答题六．（本大题满分10分）设(,)z f x y =满足条件：22zy x x∂=--∂，z y x y ∂=-∂，且(0,0)1f =.求(,)f x y 的极值.广州大学2007-2008学年第二学期考试卷高等数学（A 卷）（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每空2分，本大题满分30分）1.设y z x =,则zx∂=∂1y yx -,z y ∂=∂ln y x x.2.已知(,)z f u v =具有二阶连续偏导数,且,23u xy v x y ==+,则zx∂=∂(,)2(,)u v yf u v f u v ''+,(,)u f u v y ∂'=∂(,)3(,)uu uv xf u v f u v ''''+.3.曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切向量T =(1,2,3),切线方程为111123x y z ---==.4.点M 的直角坐标(,,)x y z 与球面坐标(,,)r ϕθ的关系为 x =sin cos r ϕθ,sin sin y r ϕθ=,cos z r ϕ=.在球面坐标下,体积元素dv =2sin r drd d ϕϕθ.5.设L 为曲线弧2(01)y x x =≤≤,则ds dx =,=⎰73.学院专业班级姓名学号6.在区间(1,1)-内，写出下列幂级数的和函数: (1) 221(1)n n x x -++-+=211x +;(2) 321(1)321n n x x x n +--+++=+arctan x.7.已知级数1n n a ∞=∑条件收敛,则幂级数1n n n a x ∞=∑的收敛区间为(1,1)-.8.微分方程560y y y '''-+=的通解为y =2312x xC e C e +,微分方程562x y y y e '''-+=的通解为y =2312x x xC e C e e ++.二．解答下列各题(每小题8分,本大题满分16分) 1.写出函数2ln()z x y =-的定义域,并求函数的全微分. 解: 定义域为:20x y ->。

广州大学2006-2007数学分析第二学期试卷(B)

广州大学2006-2007 学年第二学期试卷课程数学分析考试形式（闭卷，考试）数学与信息科学学院 06级1～7班学号姓名一、填空题（每小题3分，共15分） 1.函数53()35f x x x =-的极大值点0x =_____。

2. 若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则(31)f x +的一个原函数为。

3.利用定积分计算：2222123lim ()n n nnnn→∞++++= 。

4. 计算无穷积分：41x d x x+∞=+⎰___________________ 。

5、若lim 1p n n n a →∞=，则当且仅当p 的取值范围为：____________ 时，1n n a ∞=∑级数收敛。

二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1、对函数2()x tF x e dt=⎰，则下列结论正确的是（）。

A 、()0(0)F x x <> ；B 、()F x ∞为(0,+)上减函数；C 、()F x ∞在(0,+)上为凸的；D 、()F x ∞在(0,+)上为凹的。

2、（区间套定理）若{}[,]n n a b 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得（），1,2,n = 。

A 、(,)n n a b ξ∈；B 、[,)n n a b ξ∈；C 、(,]n n a b ξ∈；D 、[,]n n a b ξ∈。

3. ()f x 为(,)-∞+∞上连续函数，下列等式不成立的是（）。

A 、0()()x f x dx f t dt =⎰⎰； B 、0()()x d f t dt f x dx =⎰； C 、0()()xd f t dt f x dx=-⎰； D 、10()0d f t dt dx=⎰。

4、函数0()(ln )nn f x x ∞==∑的定义域为（）。

A 、1[,]e e - ；B 、1(,)e e - ；C 、[1,1]- ；D 、(1,1)- 。

广州大学高数考试卷

广州大学2006-2007学年第一学期考试卷高等数学（A 卷）（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）1．=∞→xxx sin lim 02．设函数(ln )y f x =, 其中()f x 可微, 则d y =(ln )d f x x x'3．曲线sin y x =上点(0,0)处的切线斜率为=k 14．设()xf x xe =, 则(2006)()fx =2006x x xe e + 5．质点以速度)sin(2t t 米/秒作直线运动, 则从时刻21π=t 秒到π=2t 秒内质点所经过的路程等于 0.5 米.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 当1x →时，无穷小量(1)x -是2(1的( C ).A. 高阶无穷小;B. 低阶无穷小;C. 等价无穷小;D. 同阶但不等价无穷小. 2. 0x =是函数1arctany x=的( B )间断点. A. 可去; B. 跳跃; C. 无穷; D. 振荡.3. 下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是( A ).A. ];3,2[,65)(2∈+-=x x x x f B . ];2,0[,)1(1)(32∈-=x x x fC. ];1,0[,)(∈=x e x f xD. ].1,1[,)(-∈=x x x f4. 设函数()y y x =的导函数为cos x ，且(0)1y =，则()y x =( D ). A. cos x ; B. sin x ; C. cos 1x +; D. sin 1x +.5. 若22001()d ()d 2axf x x f x x =⎰⎰，则a =( A ). A. 4; B. 2; C.12; D. 1. 三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）1．21sin ()xe y x -=，求y '. 解：112sin (sin )x x e e y x x --''=⋅。

06-07 高等数学1试题(A卷)及解答

广州大学2006-2007学年第一学期考试卷课程：高等数学（A 卷）（90学时）考试形式：闭卷考试一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）1．=∞→xxx sin lim ________.2．设函数(ln )y f x =, 其中()f x 可微, 则d y =________________. 3．曲线sin y x =上点(0,0)处的切线斜率为=k ________.4．设()xf x xe =, 则(2006)()fx =________________. 5．质点以速度)sin(2t t 米/秒作直线运动, 则从时刻21π=t 秒到π=2t 秒内质点所经过的路程等于___________米.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 当1x →时，无穷小量(1)x -是2(1的( ).A. 高阶无穷小;B. 低阶无穷小;C. 等价无穷小;D. 同阶但不等价无穷小.2. 0x =是函数1arctany x=的( )间断点. A. 可去; B. 跳跃; C. 无穷; D. 振荡.学院专业班级姓名学号3. 下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是( ). A. ];3,2[,65)(2∈+-=x x x x f B . ];2,0[,)1(1)(32∈-=x x x fC. ];1,0[,)(∈=x e x f xD. ].1,1[,)(-∈=x x x f4. 设函数()y y x =的导函数为cos x ，且(0)1y =，则()y x =( ). A. cos x ; B. sin x ; C. cos 1x +; D. sin 1x +.5. 若22001()d ()d 2axf x x f x x =⎰⎰，则a =( ). A. 4; B. 2; C. 12; D. 1.三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）1．21sin ()xe y x-=，求y '.2．设)(x y y =由参数方程2ln(1)arctan x t y t t ⎧=+⎨=-⎩所确定, 求d d y x 和22d d x y.四．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）1．求极限 10lim(1)x xx xe →+.2．设函数22(1cos ),0()1,0ax x f x x x bx x ⎧-<⎪=⎨⎪++≥⎩在(,)-∞+∞上处处连续、可导，求,a b 的值.五．（本题满分8分）求函数x xy ln 1+=的单调区间、极植，凹凸区间和拐点.装订线内不要答题六．计算下列积分（每小题5分，本大题满分15分）1．21d 413x x x x +++⎰.2．0a x x ⎰, 其中0.a >3．21arctan d xx x+∞⎰.七．（本题满分13分）设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围图形的面积为1S ，它们与直线1x =所围图形的面积为2S .(1) 试确定a 的值使12S S +达到最小；(2) 求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积.装订线内不要答题八．证明题（每小题5分，本大题满分10分）1．证明：当0ln(1)1xx x x>+>+时，.2．设当1x ≤<+∞时，()f x '连续，且210()f x x'<<. 证明：数列()n x f n =的极限存在.广州大学2006-2007学年第一学期考试卷高等数学（A 卷）（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）1．=∞→xxx sin lim 02．设函数(ln )y f x =, 其中()f x 可微, 则d y =(ln )d f x x x'3．曲线sin y x =上点(0,0)处的切线斜率为=k 14．设()xf x xe =, 则(2006)()fx =2006x x xe e + 5．质点以速度)sin(2t t 米/秒作直线运动, 则从时刻21π=t 秒到π=2t 秒内质点所经过的路程等于 0.5 米.二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1. 当1x →时，无穷小量(1)x -是2(1的( C ).A. 高阶无穷小;B. 低阶无穷小;C. 等价无穷小;D. 同阶但不等价无穷小. 2. 0x =是函数1arctany x=的( B )间断点. A. 可去; B. 跳跃; C. 无穷; D. 振荡.3. 下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是( A ). A. ];3,2[,65)(2∈+-=x x x x f B . ];2,0[,)1(1)(32∈-=x x x fC. ];1,0[,)(∈=x e x f xD. ].1,1[,)(-∈=x x x f4. 设函数()y y x =的导函数为cos x ，且(0)1y =，则()y x =( D ). A. cos x ; B. sin x ; C. cos 1x +; D. sin 1x +.5. 若221()d ()d 2axf x x f x x =⎰⎰，则a =( A ).A. 4;B. 2;C.12; D. 1. 三．解答下列各题（每小题6分，本大题满分12分）1．21sin ()xe y x -=，求y '. 解：112sin (sin )x x e e y x x --''=⋅。

2006(2)高等数学(54)试题A卷

2006(2)高等数学(54)试题A卷第 2 页共 5页第 3 页共 5页广州大学2006-2007学年第二学期考试卷课程：高等数学（54学时）考试形式：闭卷考试一．填充题（每小题3分，共15分）。

1．设)sin(22y x z +=, 则=∂∂+∂∂y zx z________.2．设⎰=xtdt y 0sin ，则=')0(y ______________.3．=+⎰+∞∞-dx x 211______ .班级姓名第 4 页共 5页第 5 页共 5页5．∑∞==+1)1(1n n n （）(A) 2; (B) 1; (C)3; (D)4.三．解答下列各题（每小题6分，共18分）。

1．设x y e z =, 求dz 。

2．设v u z ln 2=，y x u =，y x v 23-=, 求x z ∂∂。

3．判断级数∑∞=-1ln)1(n nnn的收敛性。

四．计算下列积分（每小题7分，共21分）1．计算⎰e dx xx1ln。

第 6 页共 5页第 7 页共 5页2．利用极坐标计算二重积分⎰⎰++=Dy x dxdy I 223，其中D 为圆122≤+y x在第一象限内的部分。

3．将函数xx f 1)(=展开成1-x 的幂级数。

第 8 页共 5页五．解答下列各题（每小题8分，共16分） 1．求幂级数21)1(n xnn n ∑∞=-的收敛域。

2．求微分方程xyy='的通解。

第 9 页共 5页六．（本题满分7分）求22xf-y-=的极-xy(4)x),(y值。

第 10 页共 5页第 11 页共 5页七．（本题满分8分）一企业生产某产品的边际成本为xe x C 1.0)(='，固定成本600=C ，求总成本函数。