概率统计计算

第8章 概率统计运算
8.1
随机实验
古典概率：事件A 发生的概率
()m p A n。

例1 在100个人的团体中，如果不考虑年龄的差异，研究是否有两个
以上的人生日相同。

假如每个人的生日在一年365天的任何一天是等可能的，那么随机找n 个人（不超过365个）
（1） 求这n 个人生日各不相同的概率是多少？从而求这n 个人中至
少有两个人生日相同这一随机事件发生的概率是多少？ （2） 近似计算在30 名学生的一个班中至少有两人生日相同的概率
是多少？ 解： for n=1:100
p0(n)=prod(365:-1:365-n+1)/365^n; p1(n)=1-p0(n); end n=1:100; plot(n,p0,n,p1,'--') xlabel('人数'),ylabel('概率')
legend('生日各不相同的概率','至少两人生日相同的概率')
axis([0 100 -0.1 1.1]),grid on
p1(30)
ans =
0.7063
分析：在30名学生中至少两人生日相同的概率为70。

下面进行计算机仿真。

随机产生30个正整数，代表一个班级的30名同学的生日，然后观察是否有两人以上生日相同。

当30人中有两人生日相同时，输出“1”，否则输出“0”。

如此重复观察100次，计算出这一事件发生的频率为100f
多少。

建立M文件：
n=0;
for m=1:100 %做100次随机实验
y=0;
x=1+fix(365*rand(1,30)) %无论正负，舍去小数至最近整数
for i=1:29
for j=1+1:30
if x(i)==x(j)
y=1;break;
end
end
end
n=n+y; %累计有两人生日相同的实验次数
end
f=n/m %计算频率
8.2 概率分布与概率密度函数
8.2.1 数学概率
（1）分布函数(){}(),x
F x p X x f x dx -∞=≤=⎰其中()f x 为随机变量X 的概率密度函数；对给定的[0,1]α∈，使某分布函数()F x αα=的称为此分布的
α分位数，记为x α。

（2）几个重要的概率分布：正态分布
2212(0,1),(),(),(,).N n t t n F F n n χχ分布分布的分布
（3）正态总体统计量的分布： ①设总体
212(,),(,,...,)
n N x x x x μσX = 为一样本，
则
222
2
(1)(,),(0,1),(1),(1)
x x n s x N N t n n n σμμμχσσ----- ②设两个总体22
1122(,),~(,),X N Y N μσμσ 由容量为12,n n 的两个样本确
定均值22
12,,,x y s s 和方差则：
122
12
1122
2
2
2~(0,1)
~(1)
~(1,1)
N t n n s F n n s σσ+---
22
2
11221212(1)(1)(,).2
n s n s s n n σσ-+-==+-但未知；
8.2.2 重要的概率分布
Matlab 中的几种常用分布的命令为：正态分布
norm,2χ分布chi2,t分布t,F分布f.每一种分布有五类函数:密度函
数pdf ，分布函数cdf,逆概率分布inv,均值与方差stat ，随机数生成rnd. 当需要一种分布的某一类函数时，将分布命令字符串和函数字符串接起来，并输入自变量（可以是数、数值、矩阵）和参数即可。

如： y=normpdf(x,mu,sigma)表示均值,mu μ=标准差sigma σ=的正态分布在x 的密度函数();y f x =
y=normpdf(x)表示均值0,μ=标准差1σ=的标准正态分布的密度函数
()y f x =；
y=tcdf(x,n)表示t 分布（自由度n ）的分布函数();y F x =
x=chi2inv(p,n)表示2
χ分布(自由度n)的分布函数()F x p =的x(p 为分位
数)。

[m,v]=fstat(n1,n2)表示返回F分布（自由度n1,n2）的均值m和方差v.
例1：画出几种常见的分布函数曲线和密度函数曲线。

解：（1）正态分布的密度函数和分布函数曲线：
y1=normpdf(x);
z1=normcdf(x);
y2=normpdf(x,0,2);
z2=normcdf(x,0,2);
subplot(1,2,1),plot(x,y1,x,z1)
subplot(1,2,2),plot(x,y2,x,z2)
gtext('N(0,1)'),gtext('N(0,4)')。