2020届上海虹口区数学一模原卷板
上海市虹口区2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷含解析
上海市虹口区2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC 的面积是( )A 3B ．2C 3D 3【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC 的高为AO 3△ABC 的面积.【详解】由题图可知原△ABC 的高为AO 3∴S △ABC ＝12×BC×OA ＝12×2×33 A 【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 2．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：22(0,0,0),(0,0,2),3,0,0,3,033O A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ）A ．2B ．1121-C 521+D ．23【答案】C【解析】【分析】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后最短路径就是AOO '△的边OO '，在AOO '△中，利用余弦定理即可求解.【详解】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后如下图所示：最短路径就是AOO '△的边OO '．易求得30OAB O AC '∠=∠=︒，由2AO =，233OB =433AB = 433AC =，22263BC OB OC =+=222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-⇒∠=⋅ 161683333444233+-== 由余弦定理知2222cos OO AO AO AO AO OAO ''''=+-⋅⋅∠其中2AO AO '==，()321cos cos 608OAO BAC -'∠=︒+∠=∴2521,521OO OO ''=⇒=+故选：C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 3．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ）A ．5ln 2+B ．5ln 2-C ．3ln 2+D ．3ln 2-【答案】A【解析】【分析】设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2()2ln f a a a =+-，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值．【详解】解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11(ln 1)2x a ∴=-， 而2x 满足2221a x =-，2212a x +∴= 那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦设2()2ln f a a a =+-，则221()a f a a -'=，函数()f a 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，所以minmin 42()25ln 22AB f a f ⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭ 故选：A ．【点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．4．()()()()()*121311x x x nx n N+++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ） A ．3n CB ．21nC + C ．1n n C -D ．3112n C + 【答案】B【解析】【分析】根据多项式乘法法则得出x 的一次项系数，然后由等差数列的前n 项和公式和组合数公式得出结论．【详解】由题意展开式中x 的一次项系数为21(1)122n n n n C +++++==L ． 故选：B ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式．5．若复数21z m mi =-+（m R ∈）在复平面内的对应点在直线y x =-上，则z 等于( )A ．1+iB ．1i -C ．1133i --D ．1133i -+ 【答案】C【解析】【分析】由题意得210m m -+=，可求得13m =，再根据共轭复数的定义可得选项. 【详解】 由题意得210m m -+=，解得13m =，所以1133z i =-+，所以1133z i =--， 故选：C.【点睛】本题考查复数的几何表示和共轭复数的定义，属于基础题.6．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25 B ．2 C ．72D ．3 【答案】B【解析】【分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】 过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =Q ，13SA SF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=， 由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB p TS p∴==. 故选：B .【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式. 7．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】求得()51x ax +的二项展开式的通项为15C k k k a x +⨯⋅,令2k =时,可得3x 项的系数为90,即25290C =a ⨯,求得a ,即可得出结果.【详解】若3a =则()()55=113x ax x x ++二项展开式的通项为+15C 3k k k x ⨯⋅,令13k +=,即2k =,则3x 项的系数为252C 3=90⨯,充分性成立;当()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90,则有25290C =a ⨯,从而3a =±,必要性不成立.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.8．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．84【答案】B【解析】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.9．在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x y B ．221714x y -= C ．22136x y -= D ．221147y x -=【答案】B【解析】【分析】 根据所求双曲线的渐近线方程为y 2x =±，可设所求双曲线的标准方程为222x y-=k ．再把点()22,2-代入，求得 k 的值，可得要求的双曲线的方程． 【详解】∵双曲线的渐近线方程为y 2x,=±∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又()22,2-在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-= 故选：B【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．10．若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．9C ．6D ．12【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出直线在y 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】 作出满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．由32z x y =+，得322z y x =-+，平移直线322z y x =-+，当直线322z y x =-+经过点()2,0时，该直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 32206z =⨯+⨯=.故选：C.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.11．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是（ ） A ．0.02sin 360000y t =B ．0.03sin180000y t =C ．0.02sin181800y t =D ．0.05sin 540000y t = 【答案】C【解析】【分析】由基本音的谐波的定义可得12()f nf n *=∈N ,利用12f T ωπ==可得12()n n ωω*=∈N ,即可判断选项. 【详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波, 由12f T ωπ==,可知若12()f nf n *=∈N ,则必有12()n n ωω*=∈N , 故选:C【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.12．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ）A ．12-B ．15-C ．16-D ．18-【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求得等差数列{}n a 的通项公式，判断出n S 最小时n 的值，由此求得n S 的最小值.【详解】依题意11237217a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得17,2a d =-=，所以29n a n =-.由290n a n =-≤解得92n ≤，所以前n 项和中，前4项的和最小，且4146281216S a d =+=-+=-.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年上海市虹口区高三一模数学试卷(含答案)(精校Word版)
（第10题图）2020年上海市虹口区高三一模数学试卷（含答案）（精校Word 版）考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.1. 设全集21,1,x U R A x x -⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭若则U A =ð_______． 2．若复数31iz i-=+（i 为虚数单位），则z =_________. 3. 设,x R +∈则21x x ++的最小值为________. 4．若sin2cos 0,2cos 1x x x= 则锐角x =_________.5. 设等差数列{}n a 的前n 项和为274,12,8,n S a a S +==若则n a =_______.6. 抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为________.7. 设6270127(21)(1),x x a a x a x a x --=++++则5________.a =8. 设1()fx -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为_______. 9. 已知,m n α是平面外的两条不同直线. 给出三个论断：①;m n ⊥②//;n α③.m α⊥以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题（论断用序号表示）：________________.10. 的直角三角 板拼在一起，则OD AB ⋅=_________.（第16题图）B11.如图，12,F F 分别是双曲线222:1x C y a-=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，若212,0,F A AB FB F B =⋅=则双曲线C 的焦距12F F 为________. 12. 已知函数()f x 的定义域为(],0,2,()(2),R x f x x x ∈=-当时且对任意的,x R ∈均有 (2)2().f x f x += 若不等式15()2f x ≤在(],x a ∈-∞上恒成立，则实数a 的最大值为________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.13.设,x R ∈则“11x -<”是“24x <”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件14．已知函数())cos(2)f x x x θθ=+++为偶函数，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则θ的一个值可以是 （ ）（A ）6π （B ）3π （C ）23π （D ）23π- 15．已知函数()2,(),f x x g x x t =+=+定义函数(),()g(),()g(),()g().f x f x x F x x f x x ≤⎧=⎨>⎩当当若对任意的,x R ∈都有()(2)F x F x =-成立，则t 的取值为 （ ）（A ）4- （B ）2- （C ）0 （D ）216．正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心， 正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称， 则这两个正四面体的公共部分的体积为 （ ） （A ）13（B ）12（C ）23 （D ）341（第18题图）三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.17．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分. 在ABC ∆中，18,6,cos .3a b A ===- 求 （1）角B ； （2）BC 边上的高.18．(本题满分14分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分,第3小题5分. 如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点111C A B 为弧的中点. 求（1）异面直线11OC AC 与所成角的大小； （2）直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小； （3）三棱锥11C OAC -的体积.19．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙3种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）.已知每个工人每天可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为k （k 2≥为正整数）.（1）设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间； （2）假设这3种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 已知两点12(0),0),F F 设圆O ：224x y +=与x 轴交于,A B 两点，且动点P 满足：以线段2F P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示.记动点P 的轨迹为Γ，过点2F 与x 轴不重合 的直线l与轨迹Γ交于,M N 两点.(1) 求轨迹Γ的方程；(2) 设线段MN 的中点为Q ，直线OQ 与直线x =,R 求证：2F R l ⊥； （3）记,ABM ABN ∆∆的面积分别为12,,S S 求12S S -的最大值及此时直线l 的方程.21.(本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.在数列{}n a 中，1212210,,,,2m m m a m N a a a m *-+=∈且对任意的构成以为公差的等差数列.（1）求证：456,,a a a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2222323,2n n nn S S n a a a =+++-试问是否存在极限？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由.AA参考答案和评分标准 2019年12月一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每题填对得4分;第7-12题，每题填对得5分.1．[]0,1 21 4．4π 5．23()n n N *-∈ 6.17. 36 8． 1 9.若①③，则② （或：若②③，则①） 10．1- 11 12.274二、选择题（本大题共 4题，每题5分，满分20分）13. A 14. D 15.A 16. B 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共2小题，每小题7分． 解：（1）在ABC ∆中，由1cos ,sin 33AA =-=得…… 2分 由正弦定理，得6sin 3sin 8b AB a=== …… 5分 于是由角A 为钝角，知.4B π=…… 7分sinC sin()cosA)2A B =+=+=（） 因 (10)分设ABC ∆的BC 边上的高为h,则由11sin ,22ABC S ah ab C ∆==得sin 64h b C === 即ABC ∆的BC 边上的高等于4 …… 14分 18．(本题满分14分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分,第3小题5分.解：（1）以点O 为原点，直线1,OB OO 分别为,y z轴,建立空间直角坐标系，如图所示.则相关点的坐标为(0,0,0),(0,1,0),O B 1(0,1,2),B(0,1,1),C 111(0,1,2),(0,0,2),(1,0,2).A O C - 于是11(0,1,1),(1,1,0).OC AC == ……2分从而1111111cos ,,2OC A C OC A C OC A C ⋅<>===⋅因此，异面直线11OC AC 与所成角的大小为.3π......4分 （2）由于1(0,0,2)OO =是圆柱1OO 底面的一个法向量,又1(1,1,1)CC =-, (6)分 设直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小为,θ 则111111(1,sin cos ,=CC OO CC OO CC OO θ⋅=<>==⋅ 于是，直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小为arcsin…… 9分 （3）由于三棱锥11C OAC -的顶点11111,C OA C C O =到面的距离为 …… 11分 而 111111111322121121.2222OA C OAA OBC A B C ABB A S S S S S ∆∆∆∆=---=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=正方形故 1111111311.3322C OA C OA C V S O C -∆=⋅=⨯⨯= …… 14分 19．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.解：（1）设完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),T x T x T x 则由题意，得[]12323000100023000200030001500(),(),(),63()2200(1)200(1)T x T x T x x x k x kx k x k x⨯⨯======-+-+即123100020001500(),(),(),200(1)T x T x T x x kx k x===-+ ……4分 其中,,200(1)x kx k x -+均为1到200的正整数，且.k N *∈ ……6分（2）完成订单所用的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为2001,,,2.1x x x k N k k *⎧⎫≤<∈≥⎨⎬+⎩⎭且 由于1210002000(),()T x T x x kx ==均为减函数，31500()200(1)T x k x=-+为增函数，并注意到212()().T x T x k=……8分 （i ）当2k =时，12()(),T x T x =此时{}12310001500()max (),(),()max ,,2003f x T x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭其中{}166,.x x x N *≤≤∈且由13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003x x =-时，()f x 取得最小值，解得400.9x =由于134002503004445,(44)T (44),(45)T (45),(44)(45).91113f f f f <<====<而故 当44x =时，完成订单任务所用的时间最短，最短时间为25011天. ……11分（ii ）当2k >时，12()(),T x T x > 由于,3,k N k *∈≥故此时3375()(),()50T x T x T x x≥=-且为增函数.于是 {}{}1311000375()max (),()max (),() = g()max ,.50f x T x T x T x T x x x x ⎧⎫=≥=⎨⎬-⎩⎭由1(),()T x T x 的单调性知，当100037550x x=-时，()g x 取得最小值，解得400.11x =由于134002502503752503637,(36)T (36),(37)T (37),119111311g g <<==>==>而此时完成订单任务的最短时间大于25011天.综上所述，当2k =时，完成订单任务所用时间最短，最短时间为25011天；此时生产甲、乙、丙3种部件的人数分别为44，88，68人. ……14分20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 解：（1）连结1,PF 设2PF 的中点为,C 则12.PF CO = 由圆C 与圆O 相内切，得 22,CO CF +=于是 1222()4,PF PF CO CF +=+= ……3分 因此，动点P 的轨迹是：以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆；其方程为 22 1.4x y +=……5分证：（2）设直线l的方程为x my =并设1122(,),(,),M x yN x y 则由2244,x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 22(m 4)10,y ++-=得 故1212221,.44y y y y m m +=-=-++从而1212()x x m y y+=++=于是Q……7分所以3),OQ m=-于是直线40.OQ mx y+=的方程为由40,mx yx+=⎧⎪⎨=⎪⎩解得),R从而23()).F R m==-由于直线l的法向量2(1,m)//,F R-故2.F R l⊥……10分解：（3）由（2）知121221.4y y y ym+==-+故111222112,2,22S AB y y S AB y y=⋅==⋅= (12)分而120,y y<故12121222S S y y y y-=+=-=……14分由于12S S-最大时0,m≠故12mmS S-=≤=+当且仅当2m=时，等号成立.因此12maxS S-=此时直线l的方程为20,20.x y x y+=-=或……16分21. (本题满分18分)本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.证：（1）因为1212210,,,,2m m ma m N a a a m*-+=∈且对任意的构成以为公差的等差数列.所以，当121321,0,22,24;m a a a a a===+==+=时当343542,4,48,412;m a a a a a===+==+=时……2分当565763,12,618,624.m a a a a a===+==+=时于是65543,2a aa a==故456,,a a a成等比数列. ……4分解：（2）由题意，对2121,4,m mm N a a m*+-∈-=任意的有于是2121212123311()()()(1)44(1)41042(1),2m m m m m a a a a a a a a m m m m m m ++---=-+-++-++=+-++⨯+=⋅=+结合10,a =得212(1)().m a m m m N +=+∈令121,,2n m n m -+==则得21112().222n n n n a n -+-=⋅⋅=为奇数 ……7分由题意，对2221,22(1)22,m m m N a a m m m m m *+∈=-=+-=任意的有 故对正偶数,n 有 222().22n n n a ==因此，数列{}n a 的通项公式为2221,(1)12().24,2n n n n n n a a n N n n *⎧-⎪--⎪==+∈⎨⎪⎪⎩为奇数,或为偶数,……10分 解：（3）对于任意的,k N *∈有22222221(2)4(21)44111112,22().22(1)2(1)21k k k k k k k a k a k k k k k k ++++====+=+-+++ ……12分下面分n 为偶数与奇数两种情况讨论：（i ）当n 为偶数时，设2(),n k k N *=∈22222,S a ==则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)(1)()()22231113142(1)2.22n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n--⎡⎤=+++++++=+-+-+-++-⎢⎥-⎣⎦=-+-=-- 于是312.2nS n n-=-- ……15分（ii ）当n 为奇数时，设21(),n k k N *=+∈则当2k ≥时，222222242352124(2)35(21)111111()()22(1)()()2223111314(1)2.2121n k k k k S k k a a a a a a k k k n k n ++⎡⎤=+++++++=++-+-++-⎢⎥+⎣⎦=+-=--++ 于是312.21nS n n -=--+综上，得31,3,21231.2n n n S n n n ⎧--≥⎪⎪+-=⎨⎪--⎪⎩为奇数，为正偶数于是2n S n -存在极限，且3lim (2).2nn S n →+∞-=-……18分。
2020年上海虹口区市级联考初中三年级一模数学试卷
2020届虹口区中考数学一模一、选择题1、如果1cos 2α=，那么锐角α的度数为（ ） A.30o B.45o C.60o D.90o2、在Rt ABC V 中，90C ∠=o ，如果2BC =，tan 2B =，那么AC =（ ）A.1B.4 D.3、抛物线()2311y x =++的顶点所在象限是（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 4、已知抛物线2y x =经过()12,A y -、()21,B y 两点，在下列关系式中，正确的是（ ）A.120y y >>B.210y y >>C.120y y >>D.210y y >>5、已知a r 、b r 和c r 都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b r r 的是（ ）A.a b =r rB.//a c r r ，//b c r rC.0a b +=r r rD.2a b c +=r r r ，3a b c -=r r r6、如图，点D 是ABC V 的边BC 上一点，BAD C ∠=∠，2AC AD =，如果ACD V 的面积为15，那么ABD V 的面积为（ ）A.15B.10C.7.5D.5二、填空题7、如果:2:3a b =，且10a b +=，那么a = . 8、如果向量a r 、b r 、x r 满足关系式()230b a x -+=r r r r ，那么用向量a r 、b r 表示向量x =r . 9、如果抛物线()211y a x =-+的开口向下，那么a 的取值范围是 . 10、沿着x 轴正方向看，抛物线()21y x =--在对称轴 侧的部分是下降的（填“左”、“右”）11、如果函数()212m m y m x -=++是二次函数，那么m = .12、如图，抛物线的对称轴为直线1x =，点P 、Q 是抛物线与x 轴的两个交点，点P 在点Q 的右侧，如果点P 的坐标为()4,0，那么点Q 的坐标为 .13、如图，点()2,A m 在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，如果3tan 2α=，那么m = .14、已知111ABC A B C V :V ，顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应，12AC =、118AC =，ABC V 的高AD 为6，那么111A B C V 的高11A D 长为 .15、如图，在梯形AEFB 中，//AB EF ，6AB =，10EF =，点C 、D 分别在边AE 、BF 上且//CD AB ，如果3AC CE =，那么CD = .16、公元三世际，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角θ的正切为512，那么大正方形的面积是 .17、如图，在Rt ABC V 中，90C ∠=o ，1AC =，2BC =，点D 为边AB 上一动点，正方形DEFG 的顶点E 、F 都在边BC 上，联结BG ，tan DGB ∠= .18、如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，sin 5C 4=，9AB =，6AD =，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，联结EF ，将BEF V 沿着EF 所在直线翻折，使BF 的对应线段'B F 经过顶点A ，'B F 交对角线BD 于点P ，当'B F AB ⊥时，AP = .三、解答题19、计算：24sin 30tan 60cot 30tan 45--oo o o20、在平面直角坐标系中，将抛物线21:2C y x x =-向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线2C .（1）求新抛物线2C 的表达式；（2）如图，将OAB V 沿x 轴向左平移得到'''O A B V ，点()0,5A 的对应点'A 落在平移后的新抛物线2C 上，求点B 与其对应点'B 的距离.21、如图，在Rt ABC V 中，90ABC ∠=o ，点G 是Rt ABC V 的重心，联结BG 并延长交AC 于点D ，过点G 作GE BC ⊥交边BC 于点E .（1）如果AC a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，用a r 、b r 表示向量BG u u u r ；（2）当12AB =时，求GE 的长.22、某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB （假定树干AB 垂直于水平地面）被刮倾斜7o （即'7BAB ∠=o ）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D 处，测得37CDA ∠=o ，5AD =米，求这棵大树AB 的高度.（结果保留根号）（参考数据：sin 370.6≈o ，cos370.8=o ，tan 370.75≈o ）23、如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，点D 是边BC 的中点，联结AD .过点C 作CE AD ⊥于点E ，联结BE .（1）求证：2BD DE AD =⋅；（2）如果ABC DCE ∠=∠，求证：BD CE BE DE ⋅=⋅.24、在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -、B 两点，与y 轴交于点()0,3C ，点P 在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为（1）求抛物线的表达式以及点P 的坐标；（2）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称α为此三角形的“特征角”，①当D 在射线AP 上，如果DAB ∠为ABD V 的特征角，求点D 的坐标；②点E 为第一象限内抛物线上一点，点F 在x 轴上，CE EF ⊥，如果CEF ∠为ECF V 的特征角，求点E 的坐标.25、在Rt ABC V 中，90ACB ∠=o ，4BC =，3sin 5ABC ∠=，点D 为射线BC 上一点，联结AD ，过点B 作BE AD ⊥分别交射线AD 、AC 于点E 、F ，联结DF ，过点A 作//AG BD ，交直线BE 于点G .（1）当点D 在BC 的延长线上时，如果2CD =，求tan FBC ∠； （2）当点D 在BC 的延长线上时，设AG x =，ADF S y =V ，求y 关于x 的函数关系式（不需要写函数的定义域）；（3）如果8AG =，求DE 的长.参考答案1-6、CBBCAD7、4 8、23b a -r r 9、1a > 10、右 11、2 12、()2,0- 13、3 14、4 15、9 16、16917、13 18、24719220、（1）()214y x =+-；（2）4个单位 21、（1）1233BG a b =-u u u r r r ；（2）422、423、证明略24、（1）223y x x =-++，(1,P ；（2）①(，(；②⎝⎭25、（1）23；（2）()22724x y x =+；（32120.。
上海市虹口区2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析
上海市虹口区2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，在△ABC 和△BDE 中，点C 在边BD 上,边AC 交边BE 于点F,若AC=BD ，AB=ED ，BC=BE ，则∠ACB 等于（ ）A ．∠EDB B ．∠BEDC ．∠EBD D ．2∠ABF2．在圆锥、圆柱、球、正方体这四个几何体中，主视图不可能．．．是多边形的是（ ） A ．圆锥 B ．圆柱 C ．球 D ．正方体3．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ ）A ．在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”B ．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”C ．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”D ．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是64．下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是( )A ．B ．C ．D ．5．如图所示：有理数,a b 在数轴上的对应点，则下列式子中错误．．的是（ ）A ．0ab >B ．0a b +<C ．1a b <D ．0a b -<6．在一次体育测试中，10名女生完成仰卧起坐的个数如下：38，52，47，46，50，50，61，72，45，48，则这10名女生仰卧起坐个数不少于50个的频率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.67．如图，等腰直角三角形纸片ABC 中，∠C=90°，把纸片沿EF 对折后，点A 恰好落在BC 上的点D 处，点CE=1，AC=4，则下列结论一定正确的个数是（ ）①∠CDE=∠DFB；②BD＞CE；③BC=2CD；④△DCE与△BDF的周长相等．A．1个B．2个C．3个D．4个8．cos45°的值是（）A．12B．32C．22D．19．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．10．如图所示的几何体的主视图是( )A．B．C．D．11．如果解关于x的分式方程2122m xx x-=--时出现增根，那么m的值为A．-2 B．2 C．4 D．-4 12．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．观察下列等式：第1个等式：a1=111(1) 1323=⨯-⨯；第2个等式：a 2=1111()35235=⨯-⨯； 第3个等式：a 3=1111()57257=⨯-⨯； …请按以上规律解答下列问题：（1）列出第5个等式：a 5=_____；（2）求a 1+a 2+a 3+…+a n =4999，那么n 的值为_____． 14．若a ，b 互为相反数，则a 2﹣b 2=_____．15．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为9m ，那么这栋建筑物的高度为_____m ．16．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值为______.17．一个扇形的弧长是83π，它的面积是163π，这个扇形的圆心角度数是_____． 18．已知关于X 的一元二次方程()2m 2x 2x 10-++=有实数根，则m 的取值范围是____________________三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC DF AE ⊥＝，，垂足为F.（1）求证：AF BE ＝；（2）如果21BE EC ：＝：，求CDF ∠的余切值. 20．（6分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中建立平面直角坐标系，格点△ABC(顶点是网格线的交点)的坐标分别是A(﹣2，2)，B(﹣3，1)，C(﹣1，0)．(1)将△ABC 绕点O 逆时针旋转90°得到△DEF ，画出△DEF ；(2)以O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2倍，在网格内画出放大后的△A 1B 1C 1，若P(x ，y)为△ABC 中的任意一点，这次变换后的对应点P 1的坐标为 .21．（6分）某水果店购进甲乙两种水果，销售过程中发现甲种水果比乙种水果销售量大，店主决定将乙种水果降价1元促销，降价后30元可购买乙种水果的斤数是原来购买乙种水果斤数的1.5倍．（1）求降价后乙种水果的售价是多少元/斤？（2）根据销售情况，水果店用不多于900元的资金再次购进两种水果共500斤，甲种水果进价为2元/斤，乙种水果进价为1.5元/斤，问至少购进乙种水果多少斤？22．（8分）如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．（1）求∠AOC的度数；（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．23．（8分）某生姜种植基地计划种植A,B两种生姜30亩.已知A,B两种生姜的年产量分别为2000千克/亩、2500千克/亩,收购单价分别是8元/千克、7元/千克.(1)若该基地收获两种生姜的年总产量为68000千克,求A,B两种生姜各种多少亩?(2)若要求种植A种生姜的亩数不少于B种的一半,那么种植A,B两种生姜各多少亩时,全部收购该基地生姜的年总收入最多?最多是多少元?24．（10分）阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式42231x xx--+-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b则﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）∵对应任意x ，上述等式均成立，∴113a ab -=⎧⎨+=⎩，∴a=2，b=1 ∴42231x x x --+-+=222(1)(2)11x x x -+++-+=222(1)(2)1x x x -++-++211x -+=x 2+2+211x -+这样，分式42231x x x --+-+被拆分成了一个整式x 2+2与一个分式211x -+的和． 解答：将分式422681x x x --+-+ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．试说明422681x x x --+-+的最小值为1．25．（10分）在“双十二”期间，,A B 两个超市开展促销活动，活动方式如下：A 超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元；B 超市：购物金额打8折．某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在,A B 两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：若一次性付款4200元购买这种篮球，则在B 商场购买的数量比在A 商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少．（直接写出方案） 26．（12分）数学兴趣小组为了解我校初三年级1800名学生的身体健康情况，从初三随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg ）分成五组（A ：39.5～46.5；B ：46.5～53.5；C ：53.5～60.5；D ：60.5～67.5；E ：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．补全条形统计图，并估计我校初三年级体重介于47kg 至53kg 的学生大约有多少名．27．（12分）如图，在ABC V 中，CD AB ⊥，垂足为D ，点E 在BC 上，EF AB ⊥，垂足为F.12∠∠=，试判断DG 与BC 的位置关系，并说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACB=∠DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案.【详解】在△ABC和△DEB中，AC BDAB EDBC BE=⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以△ABC≅△BDE(SSS)，所以∠ACB=∠DBE.故本题正确答案为C.【点睛】.本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟悉掌握是关键.2．C【解析】【分析】根据各几何体的主视图可能出现的情况进行讨论即可作出判断.【详解】A. 圆锥的主视图可以是三角形也可能是圆，故不符合题意；B. 圆柱的主视图可能是长方形也可能是圆，故不符合题意；C. 球的主视图只能是圆，故符合题意；D. 正方体的主视图是正方形或长方形（中间有一竖），故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了简单几何体的三视图——主视图，明确主视图是从物体正面看得到的图形是关键. 3．D【解析】【分析】根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率P≈0.16，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．【详解】根据图中信息，某种结果出现的频率约为0.16，在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”的概率为23≈0.67>0.16，故A 选项不符合题意， 从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”概率为1327≈0.48>0.16，故B 选项不符合题意， 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率是12=0.5>0.16，故C 选项不符合题意， 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率是16≈0.16，故D 选项符合题意， 故选D.【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键.4．C【解析】试题分析：观察可得，只有选项C 的主视图和左视图相同，都为，故答案选C.考点：简单几何体的三视图.5．C【解析】【分析】从数轴上可以看出a 、b 都是负数，且a ＜b ，由此逐项分析得出结论即可．【详解】由数轴可知：a<b<0，A 、两数相乘，同号得正，ab ＞0是正确的；B 、同号相加，取相同的符号，a+b ＜0是正确的；C 、a ＜b ＜0，1a b＞，故选项是错误的； D 、a-b=a+（-b ）取a 的符号，a-b ＜0是正确的．故选：C ．【点睛】此题考查有理数的混合运算，数轴，解题关键在于结合数轴进行解答.6．C【解析】【分析】用仰卧起坐个数不少于10个的频数除以女生总人数10计算即可得解．仰卧起坐个数不少于10个的有12、10、10、61、72共1个，所以，频率=510=0.1．故选C．【点睛】本题考查了频数与频率，频率=频数数据总和．7．D【解析】等腰直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，∴∠A=∠B=45°，由折叠可得，∠EDF=∠A=45°，∴∠CDE+∠BDF=135°，∠DFB+∠B=135°，∴∠CDE=∠DFB，故①正确；由折叠可得，DE=AE=3，∴=，∴BD=BC﹣DC=4﹣1，∴BD＞CE，故②正确；∵BC=4CD=4，∴CD，故③正确；∵AC=BC=4，∠C=90°，∴，∵△DCE的周长，由折叠可得，DF=AF，∴△BDF的周长=DF+BF+BD=AF+BF+BD=AB+BD=4+（4﹣），∴△DCE与△BDF的周长相等，故④正确；故选D．点睛：本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8．C【解析】本题主要是特殊角的三角函数值的问题，求解本题的关键是熟悉特殊角的三角函数值. 【详解】cos45°=2 2.故选：C.【点睛】本题考查特殊角的三角函数值.9．B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．10．C【解析】【分析】主视图就是从正面看，看列数和每一列的个数.【详解】解：由图可知，主视图如下故选C．【点睛】考核知识点：组合体的三视图.11．D【详解】2122m x x x-=--，去分母，方程两边同时乘以(x ﹣1)，得： m+1x=x ﹣1，由分母可知，分式方程的增根可能是1．当x=1时，m+4=1﹣1，m=﹣4，故选D ．12．A【解析】【分析】观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论．【详解】根据轴对称图形的概念，可知：选项A 中的图形不是轴对称图形．故选A ．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1111()9112911=⨯-⨯ 49 【解析】【分析】（1）观察等式可得()()1111,212122121n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭ 然后根据此规律就可解决问题； （2）只需运用以上规律，采用拆项相消法即可解决问题．【详解】(1)观察等式,可得以下规律：()()1111,212122121n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴51111.9112911a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭(2)12311111111111(1)()()2323525722121n a a a a n n ⎛⎫+++⋯+=⨯-+⨯-+⨯-+⋯+- ⎪-+⎝⎭ 1149(1)22199n =-=+， 解得：n=49. 故答案为：11119112911⎛⎫=⨯- ⎪⨯⎝⎭49.属于规律型：数字的变化类，观察题目，找出题目中数字的变化规律是解题的关键. 14．1【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．【详解】∵a，b互为相反数，∴a+b=1，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=1，故答案为1．【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．15．1【解析】分析：根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．详解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得，2=19x，解得x=1，即这栋建筑物的高度为1m．故答案为1．点睛：同时同地的物高与影长成正比，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出这栋高楼的高度，体现了方程的思想．16．1【解析】【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：1，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．【详解】如图：，连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF ，根据题意得：AC ∥BD ，∴△ACP ∽△BDP ，∴DP ：CP=BD ：AC=1：3，∴DP ：DF=1：1，∴DP=PF=CF=BF ，在Rt △PBF 中，tan ∠BPF==1，∵∠APD=∠BPF ，∴tan ∠APD=1．故答案为：1【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．17．120°【解析】【分析】设扇形的半径为r ，圆心角为n°．利用扇形面积公式求出r ，再利用弧长公式求出圆心角即可．【详解】设扇形的半径为r ，圆心角为n°． 由题意：1816··233r ππ=, ∴r ＝4， ∴24163603n ππ= ∴n ＝120，故答案为120°【点睛】本题考查扇形的面积的计算，弧长公式等知识，解题的关键是掌握基本知识.18．m≤3且m≠2【解析】试题解析：∵一元二次方程()22210m x x -++=有实数根 ∴4-4（m-2）≥0且m-2≠0解得：m≤3且m≠2.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）见解析；（2）25 cot CDF∠=.【解析】【分析】（1）矩形的性质得到AD BC AD BC＝，∥，得到AD AE DAF AEB∠∠＝，＝，根据AAS定理证明ABE DFAV V≌；（2）根据全等三角形的性质、勾股定理、余切的定义计算即可.【详解】解：（1）证明：Q四边形ABCD是矩形，AD BC AD BC∴＝，∥，AD AE DAF AEB∴∠∠＝，＝，在ABE△和DFAV中，DAF AEBAFD EBAAD AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE DFA∴V V≌，AF BE∴＝；（2）ABE DFAQV V≌，AD AE DAF AEB∴∠∠＝，＝，设CE k＝，21BE ECQ：＝：，2BE k∴＝，3AD AE k∴＝＝，225AB AE BE k∴=-=，9090ADF CDF ADF DAF∠+∠︒∠+∠︒Q＝，＝，CDF DAE∴∠∠＝，CDF AEB∴∠∠＝，25cot cot55BECDF AEBAB k∴∠=∠===.本题考查的是矩形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质以及余切的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.20．(1)见解析；(2)见解析，(﹣2x，﹣2y)．【解析】【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点D、E、F，即可得到△DEF；（2）先根据位似中心的位置以及放大的倍数，画出原三角形各顶点的对应顶点，再顺次连接各顶点，得到△A1B1C1，根据△A1B1C1结合位似的性质即可得P1的坐标.【详解】(1)如图所示，△DEF即为所求；(2)如图所示，△A1B1C1即为所求，这次变换后的对应点P1的坐标为(﹣2x，﹣2y)，故答案为(﹣2x，﹣2y)．【点睛】本题主要考查了位似变换与旋转变换，解决问题的关键是先作出图形各顶点的对应顶点，再连接各顶点得到新的图形．在画位似图形时需要注意，位似图形的位似中心可能在两个图形之间，也可能在两个图形的同侧.21．（1）降价后乙种水果的售价是2元/斤；（2）至少购进乙种水果200斤．【解析】【分析】（1）设降价后乙种水果的售价是x元，30元可购买乙种水果的斤数是30x，原来购买乙种水果斤数是30x1，根据题意即可列出等式；（2）设至少购进乙种水果y斤，甲种水果（500﹣y）斤，有甲乙的单价，总斤数≤900即可列出不等式，求解即可.解：（1）设降价后乙种水果的售价是x 元，根据题意可得：3030 1.51x x =⨯+， 解得：x ＝2，经检验x ＝2是原方程的解，答：降价后乙种水果的售价是2元/斤；（2）设至少购进乙种水果y 斤，根据题意可得：2（500﹣y ）+1.5y≤900，解得：y≥200，答：至少购进乙种水果200斤．【点睛】本题考查了分式的应用和一元一次不等式的应用，根据题意列出式子是解题的关键22．（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M 点坐标分别为：M 1（2，﹣、M 2（﹣2，﹣、M 3（﹣2，）、M 4（2，．【解析】【分析】（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC 是等边三角形，即可得∠AOC=60°．（2）由（1）的结论知：OA=AC ，因此OA=AC=AP ，即OP 边上的中线等于OP 的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC 与⊙O 的位置关系．（3）此题应考虑多种情况，若△MAO 、△OAC 的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M 点，即：C 点以及C 点关于x 轴、y 轴、原点的对称点，可据此进行求解．【详解】（1）∵OA=OC ，∠OAC=60°，∴△OAC 是等边三角形，故∠AOC=60°．（2）由（1）知：AC=OA ，已知PA=OA ，即OA=PA=AC ；∴AC=12OP ，因此△OCP 是直角三角形，且∠OCP=90°， 而OC 是⊙O 的半径，故PC 与⊙O 的位置关系是相切．（3）如图；有三种情况：①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣3；劣弧MA的长为：6044 1803ππ⨯=；②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣3）；劣弧MA的长为：12048 1803ππ⨯=；③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M3（﹣2，3；优弧MA的长为：240416 1803ππ⨯=；④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M4（2，3；优弧MA的长为：300420 1803ππ⨯=；综上可知：当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为481620,,,3333ππππ对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣3、M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3）、M4（2，3．【点睛】本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．23．（1）种植A种生姜14亩,种植B种生姜16亩；(2) 种植A种生姜10亩,种植B种生姜20亩时,全部收购该基地生姜的年总收入最多,最多为510000元.【解析】试题分析：（1）设该基地种植A种生姜x亩，那么种植B种生姜（30-x）亩，根据：A种生姜的产量+B 种生姜的产量=总产量，列方程求解；（2）设A种生姜x亩，根据A种生姜的亩数不少于B种的一半，列不等式求x的取值范围，再根据（1）的等量关系列出函数关系式，在x的取值范围内求总产量的最大值．试题解析：(1)设该基地种植A种生姜x亩，那么种植B种生姜(30-x)亩，根据题意，2000x+2500(30-x)=68000，解得x=14，∴30-x=16，答:种植A种生姜14亩，种植B种生姜16亩；(2)由题意得，x≥(30-x)，解得x≥10，设全部收购该基地生姜的年总收入为y 元，则y=8×2000x+7×2500(30-x)=-1500x+525000，∵y 随x 的增大而减小，∴当x=10时，y 有最大值，此时，30-x=20，y 的最大值为510000元，答：种植A 种生姜10亩，种植B 种生姜20亩时，全部收购该基地生姜的年总收入最多，最多为510000元.【点睛】本题考查了一次函数的应用．关键是根据总产量=A 种生姜的产量+B 种生姜的产量，列方程或函数关系式．24． (1) =x 2+7+211x -+ (2) 见解析 【解析】【分析】（1）根据阅读材料中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式即可； （2）原式分子变形后，利用不等式的性质求出最小值即可．【详解】（1）设﹣x 4﹣6x+1=（﹣x 2+1）（x 2+a ）+b=﹣x 4+（1﹣a ）x 2+a+b ，可得168a ab -=-⎧⎨+=⎩ ， 解得：a=7，b=1， 则原式=x 2+7+211x -+；（2）由（1）可知，422681x x x --+-+=x 2+7+211x -+ ． ∵x 2≥0，∴x 2+7≥7；当x=0时，取得最小值0，∴当x=0时，x 2+7+211x -+最小值为1，即原式的最小值为1．25．（1）这种篮球的标价为每个50元；（2）见解析【解析】【分析】（1）设这种篮球的标价为每个x 元，根据题意可知在B 超市可买篮球42000.8x个，在A 超市可买篮球42003000.9x+个，根据在B 商场比在A 商场多买5个列方程进行求解即可； （2）分情况，单独在A 超市买100个、单独在B 超市买100个、两家超市共买100个进行讨论即可得.【详解】（1）设这种篮球的标价为每个x 元， 依题意，得4200420030050.80.9x x+-=， 解得：x=50，经检验：x=50是原方程的解，且符合题意，答：这种篮球的标价为每个50元；（2）购买100个篮球，最少的费用为3850元，单独在A 超市一次买100个，则需要费用：100×50×0.9-300=4200元， 在A 超市分两次购买，每次各买50个，则需要费用：2（50×50×0.9-300）=3900元， 单独在B 超市购买：100×50×0.8=4000元， 在A 、B 两个超市共买100个，根据A 超市的方案可知在A 超市一次购买：20000.950⨯=4449，即购买45个时花费最小，为45×50×0.9-300=1725元，两次购买，每次各买45个，需要1725×2=3450元，其余10个在B 超市购买，需要10×50×0.8=400元，这样一共需要3450+400=3850元， 综上可知最少费用的购买方案：在A 超市分两次购买，每次购买45个篮球，费用共为3450元；在B 超市购买10个，费用400元，两超市购买100个篮球总费用3850元.【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.26．576名【解析】试题分析：根据统计图可以求得本次调查的人数和体重落在B 组的人数，从而可以将条形统计图补充完整，进而可以求得我校初三年级体重介于47kg 至53kg 的学生大约有多少名．试题解析：本次调查的学生有：32÷16%=200（名），体重在B 组的学生有：200﹣16﹣48﹣40﹣32=64（名），补全的条形统计图如右图所示，我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有：1800×64200=576（名），答：我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有576名．27．DG∥BC，理由见解析【解析】【分析】由垂线的性质得出CD∥EF，由平行线的性质得出∠2=∠DCE，再由已知条件得出∠1=∠DCE，即可得出结论．【详解】解：DG∥BC，理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2=∠DCE，∵∠1=∠2，∴∠1=∠DCE，∴DG∥BC．【点睛】本题考查平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，证明∠1=∠DCE是解题关键．。
2020年上海虹口区初三数学一模试卷与答案
虹口区 2019 学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试初三数学试卷（满分 150 分，考试时间100 分钟）2020.1考生注意：1．本试卷含三个大题，共 25 题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6 题，每题 4 分，满分 24 分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上． ] 1．如果 cos=1，那么锐角 的度数为2A ． 30°；B ． 45°；C ． 60°；D ．90°．2．在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，如果 BC=2， tanB=2，那么 AC 长为A ． 1；B ． 4；C ． 5；D ．2 5．3．抛物线 y3(x 1)2 +1 的顶点所在象限是A ．第一象限；B ．第二象限；C ．第三象限；D . 第四象限．4．已知抛物线 y x 2经过 A( 2, y 1 ) 、 B(1, y 2 ) 两点，在下列关系式中，正确的是A ． y 1 0 y 2 ；B ． y 2 0 y 1 ；C ． y 1 y 2 0 ；D ． y 2 y 1 0 ．．已知 、 和 c 都是非零向量，在下列选项中，不能 判定 a ∥ b 的是5a b．．A ． a = b ；B ． a ∥ c ， b ∥ c ；C ． a+b 0 ；D ． a+b 2c ， a b 3c ．6．如图 1，点 D 是△ ABC 的边 BC 上一点， ∠ BAD= ∠ C ，AC=2AD ，如果△ ACD 的面积为15，那么△ ABD 的面积为AA ．；B ． ；C ． 7.5； B CD ．5．D图 1A二、填空题（本大题共12 题，每题 4 分，满分 48 分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置 ]7．如果 a: b 2:3 ，且 a+b 10 ，那么 a 的值为r ▲ ．r r rr r rr r r8．如果向量 a 、 b 、 x 满足关系式 2b 3(a+x)0 ，那么用向量 a 、b 表示向量 x = ▲．9．如果抛物线 y(1 a) x 21 的开口向下，那么 a 的取值范围是 ▲ ．10．沿着 x 轴正方向看，抛物线y(x1)2 在对称轴▲侧的部分是下降的（填“左”或“右”）．11．如果函数y （m1)x m 2m2 是二次函数，那么 m 的值为 ▲ ．12．如图 2，抛物线的对称轴为直线x 1 ，点 P 、 Q 是抛物线与 x 轴的两个交点，点 P 在点 Q 的右侧，如果点 P 的坐标为 （ 4， 0），那么点 Q 的坐标为▲ ．yyABAQ OPxCD图 2OxEA图 4F图 313．如图 3，点 A （ 2，m ）在第一象限， OA 与 x 轴所夹的锐角为3，那么 m，如果 tan =的值为▲．214．已知△ ABC ∽△ A 1B 1C 1，顶点 A 、B 、C 分别与 A 1、B 1、C 1 对应， AC =12，A 1C 1=8，△ ABC的高 AD 为 6，那么△ A 1B 1C 1 的高 A 1D 1 长为 ▲．15．如图 4，在梯形 AEFB 中， AB ∥ EF ， AB=6， EF=10 ，点 C 、D 分别在边 AE 、 BF 上且CD ∥AB ，如果 AC= 3CE ，那么 CD 长为▲．16．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图” （如图 5），它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形面积是 49，直角三角形中较小锐角的正切为 5，那么大正方形的面积是▲．1217．如图 6，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AC=1，BC=2，点 D 为边 AB 上一动点， 正方形DEFG的顶点 E 、 F 都在边 BC 上，联结 BG ， tan ∠ DGB 的值为▲．18．如图 7，在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，sinC= 4，AB= 9，AD =6，点 E 、F 分别在边 AB 、5BC 上，联结 EF ，将△ BEF 沿着 EF 翻折，使 BF 的对应线段 B ’F 经过顶点 A ， B ’F 交对角线 BD 于点 P ，当 B ’F⊥ AB 时， AP 的长为▲．AADGDC FE BBC图 5图 6图 7三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19．（本题满分 10 分）计算：4sin 30tan 2 60 ．cot 30 tan 4520．（本题满分 10 分，第（ 1）小题满分 6 分，第（ 2）小题满分 4 分）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线C1：y x22x 向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C2．（1）求新抛物线 C2的表达式；（2）如图 8，将△ OAB 沿 x 轴向左平移得到△ O’A’B，’点 A（ 0，5）的对应点 A’落在平移后的新抛物线C2上，求点 B 与其对应点B’的距离．yA’A C2B’BO’O x图 821．（本题满分 10 分，第（ 1）小题满分 6 分，第（ 2）小题满分 4 分）如图 9，在 Rt△ ABC 中，∠ ABC= 90°，点 G 是 Rt△ ABC 的重心，联结BG 并延长交 AC 于点 D，过点 G 作 GE⊥ BC 交边 BC 于点 E．（ 1）如果AC a，AB b，用a、b表示向量 BG ；A （ 2）当 AB= 12 时，求 GE 的长．DGC E B图 922．（本题满分 10 分）AB（假定树干 AB 垂直于水平地面）被刮倾斜7°某次台风来袭时，一棵笔直大树树干（即∠ BAB’ =7°）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面 D 处（如图10 所示），测得∠ CDA 为 37°， AD 为 5 米，求这棵大树AB 的高度．（结果保留根号）（参考数据： sin370.6 ， cos370.8 ， tan370.75）B B’C37°23．（本题满分12 分，第（ 1）小题满分 6 分，第（ 2）小题满分A D6 分）图 10如图 11，在 Rt △ ABC 中，∠ ACB=90°，点 D 是边 BC 的中点，联结 AD ，过点 C 作CE ⊥ AD 于点 E ，联结 BE ．A （ 1）求证： BD 2 DE AD ；（ 2）如果∠ ABC=∠ DCE ，求证： BD CE BE DE ．ECD B图 1124．（本题满分 12 分，第（ 1）小题满分 4 分，第（ 2）小题满分8 分）如图 12，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 yx 2bx c 与 x 轴交于 A （ - 1， 0）、B两点，与 y 轴交于点 C （ 0， 3），点 P 在抛物线的对称轴上，且纵坐标为2 3 ．（ 1）求抛物线的表达式以及点 P 的坐标；（ 2） 当三角形中一个内角 α是另一个内角 β的两倍时，我们称 α为此三角形的 “特征角”．①点 D 在射线 AP 上，如果∠ DAB 为△ ABD 的特征角，求点 D 的坐标；②点 E 为第一象限内抛物线上一点， 点 F 在 x 轴上， CE ⊥ EF ，如果∠ CEF 为△ ECF 的特征角，求点 E 的坐标．yCA OBx图 1225．（本题满分 14 分，第（ 1）小题满分 4 分，第（ 2）小题满分 6 分，第（ 3）小题满分4 分）在 Rt △ ABC 中，∠ ACB=90 °， BC=4， sin ∠ABC= 3，点 D 为射线 BC 上一点，联结 AD ，5过点 B 作 BE ⊥ AD 分别交射线 AD 、AC 于点 E 、F ，联结 DF ．过点 A 作 AG ∥ BD ，交直线 BE于点 G ．（ 1）当点 D 在 BC 的延长线上时（如图13），如果 CD =2，求 tan ∠FBC ； （ 2）当点 D 在 BC 的延长线上时（如图 13），设 AG x ， S ADFy ，求 y 关于 x 的函数关系式（不写函数的定义域） ；（ 3）如果 AG =8，求 DE 的长．GAAEFDCBCB图 13备用图虹口区 2019 学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试初三数学试卷评分参考建议2020.1说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半；5．评分时，给分或扣分均以 1 分为基本单位．一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分24 分）1． C2． B3．B4．C5． A6． D二、填空题（本大题共12 题，每题 4 分，满分48 分）7． 48．a 29． a＞110．右11． 2 b12． (－ 2,0)13． 3314． 415． 916． 16912417．18．37三、解答题（本大题共7 题，满分78 分）4122319．解：原式 =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8 分）312=331= 3 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 2 分）20 1 y x22x =x 1 2 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）．解：（）∵抛物线向左平移 2 个单位，向下平移 3 个单位，∴新的抛物线C2的表达式为：y x 1 2 4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 3 分）（ 2）∵将△ OAB 沿 x 轴向左平移得到△ O’A’B’∴设 A’（ x， 5）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）∵点 A 的对应点 A’落在 C2上∴ 5x 1 24⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）解得 x1 2 ， x2 4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）x=2 不合题意，舍去∴点 B 与其对应点 B’的距离为 4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）21．解：（ 1）∵点 G 是 Rt △ ABC 的重心∴点 D 为 AC 的中点⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）∴ AD1AC1a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）22∴ BDBA AD b 1a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 分）2 2BD ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（∵点 G 是 Rt △ABC 的重心∴ BG1 分）3∵ BG 与BD 同向∴ BG2BD2 b 1a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）333（ 2）在 Rt △ ABC 中，点 D 为 AC 的中点∴ CD=DB ∴∠ C=∠ DBC∵ GE ⊥ BC ∠ ABC= 90° ∴∠ ABC= ∠ GEB=90°∴△ GEB ∽△ ABC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ ∴GE BG⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（AB AC21 1 ∵ BGBD BDA C ∴ BGAC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（323∴ G E 1 12 3∴ GE=4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（22．解：过点 A 作 AE ⊥ CD ，垂足为点 E ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（在 Rt △ ADE 中， DE AD cos CDA5 0.8 4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ AE AD sin CDA 5 0.6 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（在 Rt △ ADE 中，∠ DAE +∠ ADC =90° ∴∠ DAE =90° - 37° =53°∴∠ CAE =90°- 7° - 53° =30°⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）1 分）1 分）1 分）1 分）2 分）1 分）1 分）在 Rt △ ACE 中， CEAE tan CAE 33 2 分）3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3A C 2CE 23⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）由题得 AB AB ' ACB 'C AC CD AC CE DE 3 3 4 ⋯⋯⋯⋯（ 1分）答：这棵大树AB 原来的高度是（3 34 ）米． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）23．证明：（ 1）∵ CE ⊥ AD ，∠ ACB=90°∴∠ ACB=∠ CED=90 °∵∠ EDC =∠ CDA∴△ EDC ∽△ CDA ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3 分）DE CD∴ADCD2 分）∴CD 2 =DE · AD ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ ∵点 D 是边 BC 的中点 ∴ CD=BD∴BD 2=DE · AD ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）（ 2）由（ 1）得DEBD且∠ EDB =∠ BDABD AD∴△ BDE ∽△ ADB ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 2 分） ∴∠ ABC =∠BED ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）∵∠ ABC =∠DCE ， ∴∠ BED =∠ DCE ∵∠ EBD =∠ CBE∴△ EBD ∽△ CBE ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 分）∴ BDED 即BD CEBE DE ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）BECE24．解：（ 1） ∵ yx 2 bxc 过 A(－ 1， 0)， C(0， 3)0= 1b c;b=2; 2 分） ∴c.解得：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3c3.∴ yx 22x 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）对称轴为直线x=1∵点 P 在对称轴上，且纵坐标为 2 3 ，∴点 P 的坐标为（1， 2 3 ）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）（ 2）设直线 x= 1 交 x 轴于点 Q∵ A(－ 1，0)， P （ 1， 2 3 ） ∴ AQ=2PQ = 2 3∴ tanPAQ 3∴∠ PAQ=60° 即∠ DAB= 60°⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ ∵点 D 在射线 AP 上，且∠ DAB 为△ ABD 的特征角，∴∠ ABD=30 °或∠ ADB =30 °，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（∴点 D 的坐标为（ 0， 3 ）或（ 3， 4 3 ）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（（ 3）过点 E 作 EG ⊥ x 轴于点 G ，过点 C 作 CH ⊥ GE 的延长线于点 H .∵ CE ⊥ EF 且∠ CEF 为△ ECF 的特征角，∴∠ ECF =∠ CFE =45°⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ ∴ CE=EF在 Rt △ CHE 中， ∠HCE+ ∠CEH =90° ∵∠ CEH+∠ FEG=90 °∴ ∠HCE =∠ FEG∵ ∠ H=∠EGF=90 °∴△ CHE ≌△ EGF∴ CH =EG ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（∵点 E 为第一象限内抛物线上一点 ∴设 E （ a ， a22a 3）∴ aa 2 2a 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（113 （舍负）解得 a2∴ E1+ 13 1+ 13 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（（，)2 225. （ 1）在 Rt △BED 中， ∠EDB+ ∠EBD =90° 同理 ∠ADC+ ∠DAC =90°∴∠ DAC=∠ EBD 即∠ DAC =∠ FBC ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（由 sin ∠ ABC= 3可得 tan ∠ABC= 35 41 分）1 分）2 分）1 分）1 分）1 分）1 分）1 分）在 Rt △ ABC 中， AC= BC tan ABC 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）又∵ CD =2在 Rt △ ACD 中， tanDACDC 2AC32∴ tanFBCtan⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 分）DAC3（ 2）∵ AG ∥ BD∴ AGAFCBFC∴xAF ∴ AF =3x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 分）43 AFx 4∴ FC=12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）x 4∴ FCDC∵ tanFBCtanDAC∴ ACDCBCAC∴ tan ABCtanDFCBCFC∴ ABCDFC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）由 sin ∠ ABC= 3可得 tan ∠ABC= 35 4∴ DC3FC3 12 x 9⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）4 4 x 4 4 ∴ y1 3x 92 x 4 x 4即 y27x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）2 x 2 16x32（ 3） ① 当点 D 在 BC 的延长线上时，∵ AG ∥ CB ，∴AGAF ， 8 3 FCCBFC 4 FC∴ FC =1，∴ CDFC tan3DFC319 4∴ DB44，419 1 19∴ DEBD sinEBD17 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 2 分）41768② 当点D 在边 BC 上时，∵ AG ∥ CB ， ∴BCFC∴ 4FC，AG FA83 FC∴FC=3∴ CD FC tan9 ,DFC9747 3 21∴ DBDEBD sin2 分）4，EBD =5 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4 44 20综上， DE 21或1917. 2068。
上海市虹口区2020届高三一模数学试卷及详细解析(Word版)
上海市虹口区2020届高三一模数学试卷及详细解析2019.12一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1. 设全集U =R ，若A ={1|21x x x ->}，则U A =______2. 若复数3i 1iz -=+(i 为虚数单位)，则|z |=______ 3. 设x ∈R +，则21x x ++的最小值为______ 4. 若sin2cos 0cos 1x xx =，则锐角x =______5. 设等差数列{n a }的前n 项和n S ，若2712a a +=，48S =，则n a =______6. 抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为______7. 设()()6270127211...x x a a x a x a x --=++++，则5a =______8. 设()1f x -为函数()()2log 41x f x =-的反函数，则当()()12f x f x -=时，x 的值为______9. 已知m 、n 是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：① m ⊥n ；② n //α；③ m ⊥a ；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题（论断用序号表示）：______10. 如图所示，两块斜边长均等于2的直角三角板拼在一起，则OD AB ⋅=______11. 如图，1F 、2F 分别是双曲线C ：2221x y a -=的左、右焦点，过2F ，的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若F A AB =2，20F A F B ⋅=1，则双曲线C 的焦距|12F F |为______12. 已知函数()f x 的定义域为R ，当x ∈(0,2]时，()()2f x x x =-，且对任意的x ∈R ，均有()()22f x f x +=，若不等式()152f x ≤在x ∈(-∞,a ]上恒成立，则实数a 的最大值为______二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13. 设x ∈R ，则“11x -<”是“24x <”的( )A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件14. 已知函数()()()3sin 2cos 2f x x x θθ=+++为偶函数，且在[0,2π]. 上为增函数，则θ的一个值可以是( )A . 6πB . 3πC 23πD . 23π- 15. 已知函数()2f x x =+，()g x x t =+，定义函数()()()()()()()f x f x g x g g x F x x f x ≤>⎧⎪=⎨⎪⎩，若对任意的x ∈R ，都有()()2F x F x =-成立，则t 的取值为( )A . 4-B . 2-C . 0D . 216. 正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为( )A . 13B . 12 C. 23 D . 34三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分) 17. 在△ABC 中，a =8，b =6，1cos 3A =-求： (1) 角B ；(2) BC 边上的高.18. 如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB ，的中点，点1C 为弧11A B 的中点，求：(1)异面直线O C 与11A C 所成角的大小；(2)直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小；(3)三棱锥11C OA C -的体积.19. 某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙三种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2、2、1(单位：件)，已知每个工人可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件，该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为k (2k ≥为正整数).(1) 设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间；(2) 假设这3种部件额生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.20. 已知两点F (、F ，设圆O ：224x y +=与x 轴交于A 、B 两点，且动点P 满足：以线段2F P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示，记动点P 的轨迹为Γ，过点2F ，与x 轴不重合的直线l 与轨迹Γ交于M 、N 两点.(1) 求轨迹Γ的方程；(2) 设线段MN 的中点为Q ，直线O Q 与直线433x =相交于点R ，求证：2F R ⊥l ； (3) 记△ABM 、△ABN 面积分别为1S 、2S ，求|12S S -|的最大值及此时直线l 的方程.21. 在数列{n a }中，10a =，且对任意的m ∈N *，21m a -、2m a 、21m a +构成以2m 为公差的等差数列.(1) 求证：4a 、5a 、6a 成等比数列；(2) 求数列{n a }的通项公式；(3) 设2222323n n n S a a a =+++试问2n S n -是否存在极限? 若存在，求出其值，若不存在，请说明理由.上海市虹口区2020届高三一模数学试卷及详细解析。
2020 学年第一学期初三数学期终教学质量监控测试 虹口区一模卷答案
3 ⎨⎩⎨ ⎩2020 学年第一学期初三数学期终教学质量监控测试参考答案一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1.A 2.B 3.D 4.C 5.B6.D二、填空题本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）1 27. -8.（0,3）9. y = ( x + 2) + 2 22 10. 811. 答案不唯一，如 0,1,2 等 12.5513. 7.5 14. 1 1- a + b15. 3 316. 317. 218. 2 三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）319．解：原式= 3 + 2( 2 )2 1 22 =2 3 + = 5 33 320．解：（1）把（-2，3）、（-1，2）和（0,-1）分别代入 y = ax 2+ bx + c 中，得：⎧3 = 4a - 2b + c⎪2 = a - b + c ⎪-1 = c ⎧a = -1解得： ⎪b = -4⎪c = -1 ∴该二次函数的解析式为 y = -x 2- 4x -1 经检验，（1,-6）也满足该解析式. （2） y = -(x + 2)2+ 321. 证明：∵ AF = DFEF BF 该函数图像的顶点坐标为（-2,3） 对称轴为直线 x = -2∴BE ∥AD ∴∠1=∠E∵∠1=∠2∴∠2=∠E∵∠BFE =∠GFB ∴△BFE ∽△GFB∴即 BF 2= FG ⋅ EFBF = EFFG BF22. 解：过点 D 作 DE ⊥AC 交 AC 的延长线于点 E ，过点 D 作 DF ⊥AB 交 AB 于点 F由 i =1: 2.4 得DE= 1: 12 = 5 CE 5 12设 DE=5k ，CE =12k ，则 CD =13k ∴13k =5.2，解得 k =0.4∴DE=2，CE=4.8 ∴AE=15.2+4.8=20 可得四边形 AFDE 为矩形 ∴DF=AE =20 AF=DE =20 由题意得∠BDF =37°21 532 2 2 22 2 2 23⎩⎩ 3=由 sin37°=0.6，可得tan 37︒= 343在 Rt △BDF 中， BF = DF ⋅ tan ∠BDF = 20 ⨯ = 154∴AB=2+15=17（米）答：电线杆 AB 高为 17 米．23．（1）证明：∵∠CAB=∠CFE又∵∠FGC=∠AGE∴△FGC ∽△AGE ∴ FG = CG AG EG∴FG = AG CG EG 又∵∠AGF=∠EGC ∴△AGF ∽△EGC ∴∠CEG =∠FAG 即∠CEF =∠CAF（2）解：∵∠ACB=∠FCE=90° ∴∠ACF =∠BCE∵∠CAB=∠CFE ∴∠B =∠CEF ∵∠CEF =∠CAF ∴∠CAF =∠B∴△ACF ∽△BCE ∴ AC = AFBC BE在 Rt △CAB 中， BC =15，AC=20 ∴AB =25 又∵AE =7 ∴BE=18 ∴ 20 =AF15 18∴AF=2424. 解：（1）设抛物线C 的表达式为y = -x 2+ n 把 A （2，0）代入上式，得： 0 = -4 + n ∴抛物线C 的表达式为 y = -x 2+ 4 （2）设抛物线C 的表达式为 y = -(x + m )2+ k∴ n = 4 把 A （2，0）、B （3， -1）分别代入上式，得：⎧⎪0 = -(2 + m )2+ k ⎨⎪-1 = -(3 + m )2 + k ⎧m = -2解得⎨k = 0∴抛物线C 的表达式为 y = -(x - 2)2 ∴点 D （0，-4） （3）由题意知点 P 在 x 轴上方，可得∠BAP=∠AED =135°由题意，得ED AE 或APABED = AEAB AP又可求得： ED = 2 ， AB = ， AE = 2 ∴2= 或 2= ∴AP=1 或 2AP 2 AP ∴点 P 的坐标为（2，1）或（2，2）25. 解：（1）分别过点 A 、点 D 作 AM ⊥BC ，DN ⊥BC ，垂足分别为点 M 、N可得 BM=CN=9由可得cos B = 35在 Rt △ABM 中， AB =BMcos B= 15 （2） 在等腰梯形 ABCD 中，AB ＝CD∴∠C ＝∠B ∵∠CPF ＋∠EPF ＝∠BEP ＋∠B ，∠EPF ＝∠B∴∠CPF ＝∠BEP ，∴△CPF ∽△BEP ∴∠BPE ＝∠CFP ∵PE ⊥BC ∴∠CFP ＝∠BPE =90°2在 Rt △CPF 中， PF = CP ⋅ sin C = 16 ⨯ 4 =645 5在 Rt △PFG 中， FG = PF ⋅ sin ∠EPF = 64 ⨯ 4 = 2565 5 25（3） 过点 E 作 EH ⊥BC ，垂足为点 H在 Rt △BEH 中，EH = BE ⋅ sin B = 4 x ， BH = BE ⋅ cos B = 3 x在 Rt △PEH 中， EP5 5=，BE EP∵△CPF ∽△BEP∴x= PF =∴ PF 16 PF 4 在 Rt △PFG 中， FG = PF ⋅sin ∠FPG =⨯5∴ y = （ 48 25x 5≤ x ≤ 15 ）。
2019-2020学年上海市虹口区初三数学一模(试卷+参考答案)
虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试初三数学试卷（满分150分，考试时间100分钟） 2020.1考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．] 1．如果1cos =2α ，那么锐角α的度数为 A ．30°； B ．45°； C ．60°；D ．90°． 2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果BC =2，tan B =2，那么AC 长为 A ．1；B ．4； CD．． 3．抛物线23(1)+1y x =+的顶点所在象限是 A ．第一象限； B ．第二象限；C ．第三象限；D . 第四象限．4．已知抛物线2y x =经过1(2,)A y - 、2(1,)B y 两点，在下列关系式中，正确的是 A ．120y y >>； B ．210y y >>；C ．120y y >>；D ．210y y >>．5．已知b a 、和c都是非零向量，在下列选项中，不能．．判定a ∥b 的是A ．=a b ；B ．a ∥c ，b ∥c ；C ．+0a b =；D ．+2a b c =，3a b c -=．6．如图1，点D 是△ABC 的边BC 上一点，∠BAD=∠C ，AC =2AD ，如果△ACD 的面积为15，那么△ABD 的面积为 A ．；B ．；C ．7.5；D ．5．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．如果:2:3a b =，且+10a b =，那么a 的值为 ▲ ．8．如果向量a r 、b r 、x r 满足关系式23(+)0b a x -=r r r r，那么用向量a r 、b r 表示向量x r = ▲ ．9．如果抛物线1)1(2+-=x a y 的开口向下，那么a 的取值范围是 ▲ ．10．沿着x 轴正方向看，抛物线2(1)y x =--在对称轴 ▲ 侧的部分是下降的（填“左”或“右”）．C AAB图111．如果函数21)2mmy m x -=++（是二次函数，那么m 的值为 ▲ ．12．如图2，抛物线的对称轴为直线 1x =，点P 、Q 是抛物线与x 轴的两个交点，点P 在点Q 的右侧，如果点P 的坐标为 （4，0），那么点Q 的坐标为 ▲ ．13．如图3，点A （2，m ）在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α ，如果tan 3=2α，那么m 的值为 ▲ ．14．已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，AC =12，A 1C 1=8，△ABC的高AD 为6，那么△A 1B 1C 1的高A 1D 1长为 ▲ ．15．如图4，在梯形AEFB 中，AB ∥EF ，AB =6，EF =10，点C 、D 分别在边AE 、BF 上且CD ∥AB ，如果AC=3CE ，那么CD 长为 ▲ ．16．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”（如图5），它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角θ的正切为512，那么大正方形的面积是 ▲ ．17．如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =1，BC =2，点D 为边AB 上一动点，正方形 DEFG的顶点E 、F 都在边BC 上，联结BG ，tan ∠DGB 的值为 ▲ ． 18．如图7，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，sin C =45，AB=9，AD =6，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，联结EF ，将△BEF 沿着EF 翻折，使BF 的对应线段B’F 经过顶点A ，B’F 交对角线BD 于点P ，当B’F ⊥AB 时，AP 的长为 ▲ ．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：24sin 30tan 60cot 30tan 45︒-︒︒-︒．图6 D A BE CFG B C A D 图4EFA C图7ABD图5 θ图1020．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线C 1：22y x x =-向左平移2个单位，向下平移3 个单位得到新抛物线C 2．（1）求新抛物线C 2的表达式；（2）如图8，将△OAB 沿x 轴向左平移得到△O’A’B’，点A （0，5）的对应点A’ 落在平 移后的新抛物线C 2上，求点B 与其对应点B’的距离．21．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）如图9，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点G 是Rt △ABC 的重心，联结BG 并延长交AC 于点D ，过点G 作GE ⊥BC 交边BC 于点E ．（1）如果AC a =，AB b =，用a 、b 表示向量BG ；（2）当AB=12时，求GE 的长．22．（本题满分10分）某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB （假定树干AB 垂直于水平地面）被刮倾斜7° （即∠BAB ’ =7°）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D 处（如图10所示），测得∠CDA 为37°，AD 为5米，求这棵大树AB 的高度．（结果保留根号）（参考数据：sin370.6︒≈ ，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈）图8 图9 A B E C G D23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图11，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 是边BC 的中点，联结AD ，过点C 作 CE ⊥AD 于点E ，联结BE ．（1）求证：2BD DE AD =⋅；（2）如果∠ABC =∠DCE ，求证：BD CE BE DE ⋅=⋅．24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分）如图12，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0）、B两点，与y 轴交于点C （0，3），点P 在抛物线的对称轴上，且纵坐标为 （1）求抛物线的表达式以及点P 的坐标； （2） 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称α为此三角形的“特征角”． ①点D 在射线AP 上，如果∠DAB 为△ABD 的特征角，求点D 的坐标；②点E 为第一象限内抛物线上一点，点F 在x 轴上，CE ⊥EF ，如果∠CEF 为△ECF 的特征角，求点E 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，sin ∠ABC =35，点D 为射线BC 上一点，联结AD ，过点B 作BE ⊥AD 分别交射线AD 、AC 于点E 、F ，联结DF ．过点A 作AG ∥BD ，交直线BE 于点G ．（1）当点D 在BC 的延长线上时（如图13），如果CD =2，求tan ∠FBC ； （2）当点D 在BC 的延长线上时（如图13），设AG x =，ADF S y =，求y 关于x 的函数 关系式（不写函数的定义域）；（3）如果AG =8，求DE 的长．D 图11 AE C BEA F G A虹口区2019学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试初三数学试卷评分参考建议2020.1说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．C 2．B 3．B 4．C 5．A 6．D二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．4 8．b a32+- 9．a ＞1 10．右 11．212．(－2,0) 13．3 14．4 15．9 16．169 17．31 18．247三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=()2313214--⨯…………………………………………………………（8分） =3132-- =23-………………………………………………………………………（2分）20．解：（1）x x y 22-==()112--x ……………………………………………………（3分）∵抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位，∴新的抛物线C 2的表达式为：()412-+=x y ………………………………（3分） （2）∵将△OAB 沿x 轴向左平移得到△O ’A ’B ’∴设A ’（x ，5）…………………………………………………………………（1分） ∵点A 的对应点A ’落在C 2上∴()4152-+=x ………………………………………………………………（1分）解得12x = ，24x =-…………………………………………………………（1分） x =2不合题意，舍去∴点B 与其对应点B’的距离为4 ………………………………………………（1分）21．解：（1）∵点G 是Rt △ABC 的重心∴点D 为AC 的中点…………………………………………………………（1分）∴1122AD AC a ==……………………………………………………………（1分） ∴12BD BA AD b a =+=-+……………………………………………………（2分）∵点G 是Rt △ABC 的重心 ∴23BG BD =…………………………………（1分）∵BG 与BD 同向∴221333BG BD b a ==-+………………………………………………………（1分）（2）在Rt △ABC 中，点D 为AC 的中点∴CD=DB ∴∠C =∠DBC ∵GE ⊥BC ∠ABC=90° ∴∠ABC=∠GEB =90°∴△GEB ∽△ABC …………………………………………………………………（1分） ∴GE BG AB AC= ………………………………………………………………………（1分） ∵23BG BD = 12B D A C= ∴13BG AC =……………………………………（1分） ∴1123GE = ∴GE =4 ……………………………………………………………………………（1分）22．解：过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E …………………………………………………（1分）在Rt △ADE 中，cos 50.84DE AD CDA =⋅∠=⨯= ……………………………（2分） sin 50.63AE AD CDA =⋅∠=⨯=…………………………………（1分）在Rt △ADE 中，∠DAE +∠ADC =90° ∴∠DAE =90°-37°=53°∴∠CAE =90°-7°-53°=30°………………………………………………………（1分）在Rt △ACE 中，tan 3CE AE CAE =⋅∠=………………………………（2分）2A C C E ==1分）由题得''4AB AB AC B C AC CD AC CE DE ==+=+=++= …………（1分）答：这棵大树AB 原来的高度是（4）米． ……………………………………（1分）23．证明：（1）∵CE ⊥AD ，∠ACB =90°∴∠ACB =∠CED =90°∵∠EDC =∠CDA∴△EDC ∽△CDA …………………………………………………………………（3分） ∴DE CDCD AD= ∴CD 2=DE ·AD ………………………………………………………………………（2分）∵点D 是边BC 的中点 ∴CD =BD∴BD 2=DE ·AD ………………………………………………………………………（1分） （2）由（1）得DE BDBD AD=且∠EDB =∠BDA ∴△BDE ∽△ADB ……………………………………………………………………（2分） ∴∠ABC =∠BED ……………………………………………………………………（1分） ∵∠ABC =∠DCE ， ∴∠BED =∠DCE ∵∠EBD =∠CBE∴△EBD ∽△CBE ……………………………………………………………………（2分） ∴BD ED BE CE= 即BD CE BE DE ⋅=⋅………………………………………………（1分）24．解：（1） ∵c bx x y ++-=2过A (－1， 0)，C (0，3)∴0=1;3.b c c --+⎧⎨=⎩ 解得：=2;3.b c ⎧⎨=⎩……………………………………………（2分）∴322++-=x x y ………………………………………………………………（1分）对称轴为直线x =1∵点P 在对称轴上，且纵坐标为32，∴点P 的坐标为（1，32）……………………………………………………（1分）（2）设直线x=1交x 轴于点Q∵A (－1，0)，P （1，32）∴AQ =2 PQ =32 ∴tan PAQ ∠=∴∠P AQ =60° 即∠DAB=60°……………………………………………………（1分） ∵点D 在射线AP 上，且∠DAB 为△ABD 的特征角，∴∠ABD =30°或∠ADB =30°，…………………………………………………（1分）∴点D 的坐标为（0，3）或（3，）…………………………………（2分） （3）过点E 作EG ⊥x 轴于点G ，过点C 作CH ⊥GE 的延长线于点H .∵CE ⊥EF 且∠CEF 为△ECF 的特征角， ∴∠ECF =∠CFE =45°……………………………………………………………（1分） ∴CE =EF在Rt △CHE 中，∠HCE+∠CEH =90° ∵∠CEH +∠FEG =90°∴∠HCE =∠FEG ∵∠H =∠EGF =90°∴△CHE ≌△EGF∴CH =EG …………………………………………………………………………（1分） ∵点E 为第一象限内抛物线上一点 ∴设E （a ，223a a -++）∴223a a a =-++ ……………………………………………………………（1分）解得a =（舍负）∴E ………………………………………………………………（1分）25. （1）在Rt △BED 中，∠EDB+∠EBD =90°同理∠ADC+∠DAC =90°∴∠DAC =∠EBD 即∠DAC =∠FBC ，…………………………………………（1分） 由sin ∠ABC =35可得tan ∠ABC =34在Rt △ABC 中，AC =tan 3BC ABC ⋅∠=………………………………………（1分） 又∵CD =2在Rt △ACD 中，2tan 3DC DAC AC ∠== ∴2tan tan 3FBC DAC ∠=∠=………………………………………………（2分） （2）∵AG ∥BD ∴AG AFCB FC=∴43x AF AF =- ∴ 3=4x AF x + ………………………………………（2分） ∴12=4FC x + ……………………………………………………………………（1分）∵tan tan FBC DAC ∠=∠ ∴FC DCBC AC=∴AC DC BC FC= ∴tan tan ABC DFC ∠=∠ ∴ABC DFC ∠=∠ ……………………………………………………………（1分）由sin ∠ABC =35可得tan ∠ABC =34∴331294444DC FC x x ==⋅=++ …………………………………………（1分） ∴441239x x x y ⋅+⋅+=即22721632xx y x ++= …………………………………………………………（1分）（3）①当点D 在BC 的延长线上时，∵AG ∥CB ，∴AG AF CB FC =，834FCFC-= ∴FC =1， ∴3tan 4CD FC DFC =⋅∠= ∴319444DB =+=，∴19sin4DE BD EBD =⋅∠==2分） ②当点D 在边BC 上时， ∵AG ∥CB ， ∴BC FC AG FA = ∴483FC FC=+，∴FC =3 ∴9tan 4CD FC DFC =⋅∠=, ∴47494=-=DB ，sin 732=14520BD EBD DE ⨯=⋅∠=……………………（2分）综上，2021=DE .。
2020年上海虹口区高三一模数学试卷
2020年上海虹口区高三一模数学试卷一、填空题（本大题共12题，1~6题每题4分，7~12题每题5分，共54分）1.设全集，若，则 ．2.若复数（为虚数单位），则 ．3.设，则的最小值为 ．4.若，则锐角 ．5.设等差数列的前项和，若，，则 ．6.抛物线的焦点到直线的距离为 ．7.设，则 ．8.设为函数的反函数，则当时，的值为 ．9.已知、是平面外的两条不同直线，给出三个论断：①；②；③；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题（论断用序号表示）： ．10.如图所示，两块斜边长均等于的直角三角板拼在一起，则11.如图，、分别是双曲线：的左、右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，若，，则双曲线的焦距为 ．12.已知函数的定义域为，当时，，且对任意的，均有，若不等式在上恒成立，则实数的最大值为 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.设，则“”是“”的（ ）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.已知函数为偶函数，且在上为增函数，则的一个值可以是（ ）．A.B.C.D.15.已知函数，，定义函数，若对任意的，都有成立，则的取值为（ ）．A.B.C.D.16.正四面体的体积为，为其中心，正四面体与正四面体关于点对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ）．A.B.C.D.三、解答题（本大题共5题，共76分）（1）（2）17.在中，，， ，求：角．边上的高．（1）（2）（3）18.如图，在圆柱中，它的轴截面是一个边长为的正方形，点为棱的中点，点为弧的中点，求：异面直线与所成角的大小．直线与圆柱底面所成角的大小．三棱锥的体积．【答案】（1）（2）19.某企业接到生产台某产品的甲、乙、丙三种部件的订单，每台产品需要这种部件的数量分别为、、（单位：件），已知每个工人可生产甲部件件，或乙部件件，或丙部件件，该企业计划安排名工人分成三组分别生产这种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为（为正整数）．设生产甲部件的人数为，分别写出完成甲、乙、丙种部件生产需要的时间．假设这种部件额生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．（1）（2）（3）20.已知两点、，设圆与轴交于、两点，且动点满足：以线段为直径的圆与圆相内切，如图所示，记动点的轨迹为，过点，与轴不重合的直线与轨迹 交于、两点．求轨迹的方程．设线段的中点为，直线与直线 相交于点，求证：．记、面积分别为、，求的最大值及此时直线的方程．（1）（2）（3）21.在数列中，，且对任意的，、、构成以为公差的等差数列，求证：、、成等比数列．求数列的通项公式．设，试问是否存在极限？若存在，求出其值，若不存在，请说明理由．解析:集合．∵，∴，即．解析:∵复数，，则．解析:，，∵，则，，由基本不等式，即，当时等号成立，∴，最小值为．故答案为：．1.或2.3.4.解析:∵,则，，，∴或由为锐角则．故．解析:等差数列的前项和为．，即，，，解方程组，解得，，则，故，．解析:抛物线的焦点，则点到直线的距离为．解析:展开式的通项公式为，令，得，所以，令得，所以，则展开式中的系数为，即．解析:，．5.6.7.8.函数的反函数为，由得，即，所以，令，，则，即，解得（舍去）或，所以，解得．故答案为：．解析:若，则存在直线满足且，因为，所以，又，所以．故由②③可推出①．解析:．解析:由得为的中点，所以，因为，所以，从而，设，：，：，则，又，所以：，联立，可得，若②③，则①9.10.11.联立，可得 ，由为的中点，可得，即，解得，故．12.解析:方法一：当时，函数在单调递增，在单调递减，的最大值为，因为，所以当函数向右平移两个单位时，最大值变为原来的倍，可得，当时，的最大值为；当时，的最大值为；当时，的最大值为；当时，函数在单词递增，在上单调递减，因为要对任意的，都有，所以当最大时，，，解得，故实数的最大值为．方法二：设，则时，，且对任意的，均有，∴当时，，令，解得或，由图象可得．解析:∵，，则，即，∴．故，则是的充分条件．又∵，，解得，∴．故，不是的必要条件．∴，则是的充分不必要条件．故正确．故选．解析:，∵函数为偶函数，∴，，即，，结合选项，当时，，此时函数在上为减函数，不符合题意，当时，，此时函数在上为增函数，符合题意，综上所示，故选．解析:由可得关于直线对称，当时，函数的图象满足关于直线对称．故选．A 13.D 14.A 15.（1）解析:由正四面体的对称性可知，公共部分的体积等于正四面体的体积减去个角上小正四面体的体积．设正四面体的边长，底面三角形的中心为，则 ，，设，则 在中，，则，可得：角上的小正四面体的高为： ，为正四面体的高的一半，则，综上．解析:在中，，， ，由余弦定理，，解得，∵为内角，，B 16.小共（1）．（2）．17.（2）（1），由正弦定理，，，∴．过作，交于点，∵，∴．解析:以点为原点，直线，分别为，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则相关点的坐标为，，，，，，，于是，，（1）．（2）．（3）．18.（2）（3）（1）（2）从而，因此，异面直线与所成角的大小为．由于是圆柱底面的一个法向量，又，设直线与圆柱底面所成角的大小为，则，于是，直线与圆柱底面所成角的大小为．由于三棱锥的顶点到面的距离为，而，故．解析:设完成甲、乙、丙种部件生产需要的时间（单位：天）分别为，，，则由题意，得，，，即，，，其中，，均为到的正整数，且．完成订单所用的时间为，其定义域为，且，，，由于，均为减函数，为增函数，并注意到，（）当时，，（1），，，其中，， 均为到的正整数，且．（2）当时，完成订单任务所用时间最短，最短时间为天．此时生产甲、乙、丙种部件的人数分别为，，人．19.（1）此时，其中且，由，的单调性知，当时，取得最小值，解得，由于，而，，，故当时，完成订单任务所用的时间最短，最短时间为天．（）当时，，由于，故，此时且为增函数，于是，由，的单调性知，当时，取得最小值，解得 ，由于，而，，此时完成订单任务的最短时间大于天，综上所述，当时，完成订单任务所用时间最短，最短时间为天．此时生产甲、乙、丙种部件的人数分别为，，人．解析:（1）．（2）证明见解析．（3），．20.（2）（3）连结，设的中点为，则，由圆与圆相内切，得，于是，因此，动点的轨迹是：以、为焦点，为长轴长的椭圆，其方程为．设直线的方程为，并设，，联立，得，故，，从而，于是，所以，于是直线 的方程为，由，解得，从而，由于直线的法向量，故．由知：，，故，，而，故，由于最大时，故，当且仅当时，等号成立，因此，此时直线的方程为或．（1）证明见解析．21.（1）（2）（3）解析:因为，且对任意的，，，构成以为公差的等差数列，所以，当时，，，，当时，，，，当时，，，，于是，故，，成等比数列．由题意，对任意的，有，于是，结合，得，（），令，则，得，（为奇数），由题意，对任意的，有，故对正偶数，有，因此，数列的通项公式为或．对任意的，有，，下面分为偶数与奇数两种情况讨论：（）当为偶数时，设，，则当时，（2）或．（3）存在极限，且．为奇数为偶数为奇数为偶数，于是．（）当为奇数时，设，则当时，，于是，综上，得，于是存在极限，且．为奇数为正偶数。
2020~2021学年虹口区九年级一模数学试卷
2020~2021学年上海市虹口区九年级一模数学试卷考生注意： 1. 本试卷共25题.2. 试卷满分150分，考试时间100分钟.3. 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.4. 除第一、二大题外其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1. 在△ABC 中，∠C =90°，如果BC =3，AC =4，那么tan A 的值是（ ）（A ）34； （B ）43；（C ）35；（D ）45. 2. 如果向量a 和b 是单位向量，那么下列等式中，成立的是（ ）（A ）a b =；（B ）a b =；（C ）2a b +=；（D ）0a b -=.3. 下列函数中，属于二次函数的是（ ）（A ）212y x =-； （B ）y =（C ）22y x =-；（D ）22(2)y x x =--.4. 将抛物线23y x =-向右平移2个单位后得到的新抛物线表达式是（ ）（A ）21y x =-；（B ）25y x =-；（C ）2(2)3y x =+-；（D ）2(2)3y x =--.5. 如图，传送带与地面所成斜坡的坡度i=1:2.4，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是（ ） （A ）10米；（B ）24米；（C ）25米；（D ）26米.6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，联结AE，如果1tan3EAC∠=，S△CEF =1，那么S△ABC的值是（）（A）3；（B）6；（C）9；（D）12.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.已知:3:2a b=，那么aa b=+__________.8.计算：13(24)2a a b--=__________.9.如果抛物线2y x a=-经过点(2 , 0)，那么a的值是__________.10.如果抛物线2(1)y k x=+有最高点，那么k的取值范围是__________.11.如果抛物线l经过点(2,0)A-和B(5 , 0)，那么该抛物线的对称轴是直线__________. 12.沿着x轴正方向看，抛物线22y x=-在y轴左侧部分是_____的.（填“上升”或“下降”）13.点P是线段AB上一点，如果2AP BP AB=⋅，那么APAB的值是__________.14.已知△ABC △△A′B′C′，顶点A、B、C分别与定点A′、B′、C′对应，AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的中线，如果BC=3，AD=2.4 ，B′C′=2，那么A′D′的长是_________.15.如图，AB//CD，AD、BC相交于点E，过E作EF//CD交BD于点F，如果AB=3，CD=6，那么EF的长是__________.16.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，∠BDC=90°，AD=4，BC=9，那么BD=________.第15题图第16题图17. 如图，图中提供了一种求cot 15°的方法，作Rt △ABC ，使△C =90°，△ABC =30°，再延长CB 到点D ，使BD =BA ，联结AD ，即可得△D =15°. 如果设AC =t ，则可得(2CD t =+，那么cot15cot 2CDD AC︒===+cot22.5°的值是__________. 18. 如图，在Rt△ABC 中，△C =90度，AC =6，BC =8，点D 是BC 边上的中点，点E 在AB边上，将△BDE 沿着直线DE 翻折，使得点B 落在同一平面内的点B ′处，线段B ′D 交边AB 于点F ，联结AB ′，当△AB ′F 是直角三角形时，BE 的长为__________.第17题图 第18题图三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. （本题满分10分）计算：2tan 452sin 60cot 302cos45-︒︒-︒.20. （本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知二次函数的解析式为2122y x x =-. （1）用配方法把该二次函数的解析式化为2()y a x m k =++的形式；（2）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系xOy 内描点，画出该函数的图像.如图，在△ABC中，点G是△ABC的重心，联结AG，联结BG并延长交边AC于点D，过点G作GE//BC交边AC于点E.（1）如果AB a=，用a、b表示向量BG；=，AC b（2）当AG⊥BD，BG=6，∠GAD=45°时，求AE的长.22.（本题满分10分）如图1是一款家用落地式取暖器，如图2是其放置在地面上时的侧面示意图，其中矩形ABCD是取暖器的主体，等腰梯形BEFC是底座，BE=CF，烘干架连杆GH可绕边CD上一点H旋转，以调节角度. 已知CD=50cm，BC=8cm，EF=20cm，DH=12cm，GH=15cm，△CFE=30°. 当△GHD=53°时，求点G到地面的距离.（精确到0.1m）【参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33 1.73≈】如图，在△ABC，点D、G在边AC上，点E在边BC上，DB=DC，EG//AB，AE、BD 交于点F，BF=AG.（1）求证：△BFE∽△CGE；（2）当∠AEG=∠C时，求证：2=⋅.AB AG AC24.（本题满分12分，每小题各4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点(1,0)A-，点B(3,0)，C(0,3)，抛物线2=++经过A、B两点.y ax bx c（1）当抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式；（2）在（1）题的条件下，点P是抛物线上一点，且位于第三象限，当∠PBC=∠ACB 时，求点P的坐标；（3）如果抛物线2=++的顶点D位于△BOC内，求a的取值范围.y ax bx c25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，过点A作射线AM//BC，点D、E是射线AM上的两点（点D不与点A重合，点E在点D的右侧），联结BD、BE分别交边AC于点F、G，∠DBE=∠C.（1）当AD=1时，求FB的长；（2）设AD=x，FG=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结DG并延长交边BC于点H，如果△DBH是等腰三角形，请直接写出AD的长.备用图。
2020年上海市虹口区中考数学一模试卷及答案解析
2020年上海市虹口区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。
）1．（4分）若cos α=12，则锐角α的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 2．（4分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果BC ＝2，tan B ＝2，那么AC ＝（ ）A ．1B ．4C ．√5D ．2√53．（4分）抛物线y ＝3（x +1）2+1的顶点所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（4分）已知抛物线y ＝x 2经过A （﹣2，y 1）、B （1，y 2）两点，在下列关系式中，正确的是（ ）A ．y 1＞0＞y 2B ．y 2＞0＞y 1C ．y 1＞y 2＞0D ．y 2＞y 1＞0 5．（4分）已知a →、b →和c →都是非零向量，在下列选项中，不能判定a →∥b →的是（ ）A ．|a →|＝|b →|B ．a →∥c →，b →∥c →C ．a →+b →=0D ．a +b →=2c →，a →−b →=3c →6．（4分）如图，点D 是△ABC 的边BC 上一点，∠BAD ＝∠C ，AC ＝2AD ，如果△ACD 的面积为15，那么△ABD 的面积为（ ）A ．15B ．10C ．7.5D ．5二、填空题7．（4分）如果a ：b ＝2：3，且a +b ＝10，那么a ＝ ．8．（4分）如果向量a →、b →、x →满足关系式2b →−3（a →+x →）＝0，那么用向量a →、b →表示向量x →= ．9．（4分）如果抛物线y ＝（1﹣a ）x 2+1的开口向下，那么a 的取值范围是 ．10．（4分）沿着x 轴正方向看，抛物线y ＝﹣（x ﹣1）2在对称轴 侧的部分是下降的（填“左”、“右”）．11．（4分）如果函数y＝（m+1）x m2−m+2是二次函数，那么m＝．12．（4分）如图，抛物线的对称轴为直线x＝1，点P、Q是抛物线与x轴的两个交点，点P 在点Q的右侧，如果点P的坐标为（4，0），那么点Q的坐标为．13．（4分）如图，点A（2，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，如果tanα=3 2．那么m＝．14．（4分）已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AC＝12、A1C1＝8，△ABC的高AD为6，那么△A1B1C1的高A1D1长为．15．（4分）如图，在梯形AEFB中，AB∥EF，AB＝6，EF＝10，点C、D分别在边AE、BF 上且CD∥AB，如果AC＝3CE，那么CD＝．16．（4分）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角θ的正切为512，那么大正方形的面积是．。
上海市虹口区2019-2020学年中考一诊数学试题含解析
上海市虹口区2019-2020学年中考一诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）A ．∠ABC ＝∠ADC ，∠BAD ＝∠BCDB ．AB ＝BCC ．AB ＝CD ，AD ＝BCD ．∠DAB+∠BCD ＝180°2．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长度为（ ）A ．3B ．2C ．23D ．()123+3．在下面四个几何体中，从左面看、从上面看分别得到的平面图形是长方形、圆，这个几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若关于x 的一元二次方程x 2－2x －k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞－1B ．k≥－1C ．k ＜－1D ．k≤－15．小亮家与姥姥家相距24 km ，小亮8：00从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8：30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程s(km)与时间t(h)的函数图象如图所示．根据图象得出下列结论，其中错误的是( )A ．小亮骑自行车的平均速度是12 km/hB ．妈妈比小亮提前0.5 h 到达姥姥家C ．妈妈在距家12 km 处追上小亮D ．9：30妈妈追上小亮各边的长度如图所示，则剪出的小三角形ADE 应是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，数轴上的,,A B C 三点所表示的数分别为a b c 、、，其中AB BC =，如果||||||a c b >>那么该数轴的原点O 的位置应该在（ ）A ．点A 的左边B ．点A 与点B 之间C ．点B 与点C 之间D ．点C 的右边8．如图，ABCD Y 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==u u u r r u u u r r ，那么向量AE u u u r 用向量a b r r 、表示为（ ）A ．12a b +rrB ．12a b -r rC ．12a b -+r rD ．12a b --r r9．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D 点，且AC=5，CD=3，BD=4，则⊙O 的直径等于（ ）A ．5B ．C ．D ．710．若二元一次方程组3,354x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为,,x a y b =⎧⎨=⎩则-a b 的值为（ ）A ．1B ．3C ．14-D ．7411．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m≥1B ．m≤1C ．m ＞1D ．m ＜112．某班将举行“庆祝建党95周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，如图是小明买回奖品时与班长的对话情境：请根据如图对话信息，计算乙种笔记本买了（ ）A ．25本B ．20本C ．15本D ．10本二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．在数轴上，点A 和点B 分别表示数a 和b ，且在原点的两侧，若a b -=2016，AO=2BO ，则a+b=_____ 14．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 在圆O 上，BD ＝CD ，AB ＝10，AC ＝6，连接OD 交BC 于点E ，DE ＝______．15．如果x ＋y ＝5，那么代数式221y xx y x y ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭的值是______．16．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，点E 为AB 上一点，AE=23，点F 在AD 上，将△AEF 沿EF 折叠，当折叠后点A 的对应点A′恰好落在BC 的垂直平分线上时，折痕EF 的长为_____．17．因式分解a 3－6a 2+9a=_____．18．等腰ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，且12AD BC =，则等腰ABC ∆底角的度数为__________. 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）第二十四届冬季奧林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市.某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有400名学生参加活动，为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整. [收集数据]从甲、乙两校各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下:60 100 80 60 70 60 60 90 60 60乙：80 90 40 60 80 80 90 40 80 5080 70 70 70 70 60 80 50 80 80[整理、描述数据]按如下分数段整理、描述这两组样本数据:学校人数成绩x3050x≤≤5080x≤＜80100x≤＜甲2144乙4142(说明:优秀成绩为80100x<≤，良好成绩为5080,x<≤合格成绩为3050x≤≤.)[分析数据]两组样本数据的平均分、中位数、众数如下表所示:学校平均分中位数众数甲676060乙7075a其中a=.[得出结论]（1）小明同学说:“这次竞赛我得了70分，在我们学校排名属中游略偏上!”由表中数据可知小明是_校的学生；(填“甲”或“乙”)（2）张老师从乙校随机抽取--名学生的竞赛成绩，试估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为_ ；（3）根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由: ；(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)20．（6分）某地铁站口的垂直截图如图所示，已知∠A=30°，∠ABC=75°，AB=BC=4米，求C点到地面AD的距离（结果保留根号）．21．（6分）计算：sin30°•tan60°+cos30cot45cos60︒-︒︒.．22．（8分）(1)计算：3tan30°+|2﹣3|+（13）﹣1﹣（3﹣π）0﹣（﹣1）2018.(2)先化简，再求值：（x﹣22xy yx-）÷222x yx xy-+，其中x=2，y=2﹣1.23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D、E位于AB两侧的半圆上，射线DC切⊙O于点D，已知点E是半圆弧AB上的动点，点F是射线DC上的动点，连接DE、AE，DE与AB交于点P，再连接FP、FB，且∠AED＝45°．（1）求证：CD∥AB；（2）填空：①当∠DAE＝时，四边形ADFP是菱形；②当∠DAE＝时，四边形BFDP是正方形．24．（10分）解不等式组21114(2)xx x+-⎧⎨+>-⎩…25．（10分）小明和小亮为下周日计划了三项活动，分别是看电影（记为A）、去郊游（记为B）、去图书馆（记为C）．他们各自在这三项活动中任选一个，每项活动被选中的可能性相同．（1）小明选择去郊游的概率为多少；（2）请用树状图或列表法求小明和小亮的选择结果相同的概率．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C （4，﹣4）．请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．27．（12分）求不等式组()7153x3x134x x⎧+≥+⎪⎨-->⎪⎩的整数解.参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．D 【解析】 【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形ABCD 为菱形．所以根据菱形的性质进行判断． 【详解】 解:Q 四边形ABCD 是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，//AB CD ∴，//AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；过点D 分别作BC ，CD 边上的高为AE ，AF ．则 AE AF =（两纸条相同，纸条宽度相同）； Q 平行四边形ABCD 中，ABC ACD S S ∆∆=，即⨯=⨯BC AE CD AF ，BC CD ∴=，即AB BC =．故B 正确；∴平行四边形ABCD 为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．ABC ADC ∠=∠∴，BAD BCD ∠=∠（菱形的对角相等），故A 正确； AB CD =，AD BC =（平行四边形的对边相等），故C 正确； 如果四边形ABCD 是矩形时，该等式成立．故D 不一定正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质．注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻边相等的四边形是菱形”． 2．C【分析】过O作OC⊥AB，交圆O于点D，连接OA，由垂径定理得到C为AB的中点，再由折叠得到CD=OC，求出OC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，即可确定出AB的长．【详解】过O作OC⊥AB，交圆O于点D，连接OA，由折叠得到CD=OC=12OD=1cm，在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC2+OC2=OA2，即AC2+1=4，解得：AC=3cm，则AB=2AC=23cm．故选C．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及翻折的性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．3．A【解析】试题分析：由题意可知：从左面看得到的平面图形是长方形是柱体，从上面看得到的平面图形是圆的是圆柱或圆锥，综合得出这个几何体为圆柱，由此选择答案即可．解：从左面看得到的平面图形是长方形是柱体，符合条件的有A、C、D，从上面看得到的平面图形是圆的是圆柱或圆锥，符合条件的有A、B，综上所知这个几何体是圆柱．故选A．考点：由三视图判断几何体．4．C【解析】试题分析：由题意可得根的判别式，即可得到关于k的不等式，解出即可.由题意得，解得故选C.考点：一元二次方程的根的判别式两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．5．D【解析】【分析】根据函数图象可知根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8=2小时，进而得到小亮骑自行车的平均速度，对应函数图象，得到妈妈到姥姥家所用的时间，根据交点坐标确定妈妈追上小亮所用时间，即可解答．【详解】解：A、根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8=2小时，∴小亮骑自行车的平均速度为：24÷2=12（km/h），故正确；B、由图象可得，妈妈到姥姥家对应的时间t=9.5，小亮到姥姥家对应的时间t=10，10﹣9.5=0.5（小时），∴妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家，故正确；C、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，此时小亮离家的时间为9﹣8=1小时，∴小亮走的路程为：1×12=12km，∴妈妈在距家12km出追上小亮，故正确；D、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，故错误；故选D．【点睛】本题考查函数图像的应用，从图像中读取关键信息是解题的关键.6．C【解析】【分析】利用相似三角形的性质即可判断．【详解】设AD＝x，AE＝y，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD AE DE AB AC BC==，∴6121614x yx y==++，∴x＝9，y＝12，故选：C．考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．C 【解析】 【分析】根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A 、B 、C 到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解． 【详解】 ∵|a|＞|c|＞|b|，∴点A 到原点的距离最大，点C 其次，点B 最小， 又∵AB=BC ，∴原点O 的位置是在点B 、C 之间且靠近点B 的地方． 故选：C ． 【点睛】此题考查了实数与数轴，理解绝对值的定义是解题的关键． 8．A 【解析】 【分析】根据AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，只要求出BE u u u r即可解决问题. 【详解】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC AD BC ∴∥，＝， BC AD b ∴==u u u r u u u r r ， BE CE Q ＝， 1BE b 2∴=u u u r r ，AE AB BE,AB a =+=u u u r u u u r u u u r u u u r r Q ，1AE a b 2∴=+u u u r r r ，故选：A. 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型. 9．A【分析】连接AO并延长到E，连接BE．设AE＝2R，则∠ABE＝90°，∠AEB＝∠ACB，∠ADC＝90°，利用勾股定理求得AD=，，再证明Rt△ABE∽Rt△ADC，得到，即2R＝=．【详解】解：如图，连接AO并延长到E，连接BE．设AE＝2R，则∠ABE＝90°，∠AEB＝∠ACB；∵AD⊥BC于D点，AC＝5，DC＝3，∴∠ADC＝90°，∴AD＝，∴在Rt△ABE与Rt△ADC中，∠ABE＝∠ADC＝90°，∠AEB＝∠ACB，∴Rt△ABE∽Rt△ADC，∴，即2R＝=；∴⊙O的直径等于．故答案选：A.【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理，解题的关键是掌握辅助线的作法.10．D【解析】先解方程组求出74x y -=，再将,,x a y b =⎧⎨=⎩代入式中，可得解. 【详解】 解：3,354,x y x y +=⎧⎨-=⎩①② +①②，得447x y -=， 所以74x y -=， 因为,,x a y b =⎧⎨=⎩ 所以74x y a b -=-=. 故选D.【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a-b 的值，本题属于基础题型．11．D【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根，∴()2240m =-->V ，解得：m ＜1．故选D ．点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 12．C【解析】【分析】设甲种笔记本买了x 本，甲种笔记本的单价是y 元，则乙种笔记本买了（40﹣x ）本，乙种笔记本的单价是（y+3）元，根据题意列出关于x 、y 的二元一次方程组，求出x 、y 的值即可．【详解】解：设甲种笔记本买了x 本，甲种笔记本的单价是y 元，则乙种笔记本买了（40﹣x ）本，乙种笔记本的单价是（y+3）元，根据题意，得：()()1254033006813xy xy x y =⎧⎨+-+=-+⎩， 解得：2515x y =⎧⎨=⎩， 答：甲种笔记本买了25本，乙种笔记本买了15本．故选C ．【点睛】本题考查的是二元二次方程组的应用，能根据题意得出关于x 、y 的二元二次方程组是解答此题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．-672或672【解析】 ∵2016a = ，∴a-b=±2016,∵AO=2BO ，A 和点B 分别在原点的两侧∴a=-2b.当a-b=2016时，∴-2b-b=2016,解得：b=-672.∴a=−2×(-672)=1342,∴a+b=1344+(-672)=672.同理可得当a-b=-2016时，a+b=-672, ∴a+b=±672,故答案为：−672或672.14．1【解析】【分析】先利用垂径定理得到OD ⊥BC ，则BE=CE ，再证明OE 为△ABC 的中位线得到116322OE AC ==⨯=，入境计算OD−OE 即可．【详解】解：∵BD ＝CD ， ∴¶¶BDCD =， ∴OD ⊥BC ，∴BE ＝CE ，而OA ＝OB ，∴OE 为△ABC 的中位线， ∴116322OE AC ==⨯=，∴DE ＝OD －OE ＝5－3＝1．故答案为1．【点睛】此题考查垂径定理,中位线的性质，解题的关键在于利用中位线的性质求解.15．1【解析】【分析】先将分式化简,然后将x+y=1代入即可求出答案【详解】当x ＋y ＝1时， 原式()()x y y x x y x y x y x y ⎛⎫-=+÷ ⎪--+-⎝⎭ ()()x y x y x x y x+-=⋅- ＝x ＋y ＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查分式的化简求值,解题的关键是利用运用分式的运算法则求解代数式.16．4或3.【解析】【分析】①当AF ＜12AD 时，由折叠的性质得到3，AF=A′F ，∠FA′E=∠A=90°，过E 作EH ⊥MN 于H ，由矩形的性质得到322=3A E HE '-，根据勾股定理列方程即可得到结论；②当AF ＞12AD 时，由折叠的性质得到3AF=A′F ，∠FA′E=∠A=90°，过A′作HG ∥BC 交AB 于G ，交CD 于H ，根据矩形的性质得到DH=AG ，HG=AD=6，根据勾股定理即可得到结论．【详解】①当AF＜12AD时，如图1，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上，则A′E=AE=23，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，设MN是BC的垂直平分线，则AM=12AD=3，过E作EH⊥MN于H，则四边形AEHM是矩形，∴MH=AE=23，∵A′H=22=3A E HE'-，∴A′M=3，∵MF2+A′M2=A′F2，∴（3-AF）2+（3）2=AF2，∴AF=2，∴EF=22AF AE+=4；②当AF＞12AD时，如图2，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上，则3AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，设MN是BC的垂直平分线，过A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，则四边形AGHD是矩形，∴DH=AG，HG=AD=6，∴A′H=A′G=12HG=3，∴∴，∴=6，∴=4综上所述，折痕EF 的长为4或故答案为：4或【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的性质和判定，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 17．a(a-3)2【解析】【分析】根据因式分解的方法与步骤，先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可.【详解】解：3269a a a -+()269a a a =-+()23a a =-故答案为：()23a a -.【点睛】本题考查因式分解的方法与步骤，熟练掌握方法与步骤是解答关键.18．75︒，45︒，15︒【解析】【分析】分三种情况：①点A 是顶角顶点时，②点A 是底角顶点，且AD 在△ABC 外部时，③点A 是底角顶点，且AD 在△ABC 内部时，再结合直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可求解.【详解】①如图，若点A 是顶角顶点时，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=CD ，∵12AD BC =, ∴AD=BD=CD ，在Rt △ABD 中，∠B=∠BAD= ()118090=452︒︒︒﹣； ②如图，若点A 是底角顶点，且AD 在△ABC 外部时，∵12AD BC =，AC=BC ， ∴12AD AC =， ∴∠ACD=30°，∴∠BAC=∠ABC=12×30°=15°； ③如图，若点A 是底角顶点，且AD 在△ABC 内部时，∵12AD BC =，AC=BC ， ∴12AD AC =， ∴∠C=30°，∴∠BAC=∠ABC=12（180°-30°）=75°；综上所述，△ABC底角的度数为45°或15°或75°；故答案为75︒，45︒，15︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是要分情况讨论.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．80；（1）甲；（2）110；（3）乙学校竞赛成绩较好，理由见解析【解析】【分析】首先根据乙校的成绩结合众数的定义即可得出a的值；（1）根据两个学校成绩的中位数进一步判断即可；（2）根据概率的定义，结合乙校优秀成绩的概率进一步求解即可；（3）根据题意，从平均数以及中位数两方面加以比较分析即可.【详解】由乙校成绩可知，其中80出现的次数最多，故80为该组数据的众数，∴a=80，故答案为：80；（1）由表格可知，甲校成绩的中位数为60，乙校成绩的中位数为75，∵小明这次竞赛得了70分，在他们学校排名属中游略偏上，∴小明为甲校学生，故答案为：甲；（2）乙校随便抽取一名学生的成绩，该学生成绩为优秀的概率为：21 2010=，故答案为：1 10；（3）乙校竞赛成绩较好，理由如下：因为乙校的平均分高于甲校的平均分说明平均水平高，乙校的中位数75高于甲校的中位数65，说明乙校分数不低于70分的学生比甲校多，综上所述，乙校竞赛成绩较好.【点睛】本题主要考查了众数、中位数、平均数的定义与简单概率的计算的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.20．C点到地面AD的距离为：（+2）m．【解析】【分析】直接构造直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出BE，CF的长，进而得出答案．【详解】过点B作BE⊥AD于E，作BF∥AD，过C作CF⊥BF于F，在Rt△ABE中，∵∠A=30°，AB=4m，∴BE=2m，由题意可得：BF∥AD，则∠FBA=∠A=30°，在Rt△CBF中，∵∠ABC=75°，∴∠CBF=45°，∵BC=4m，∴CF=sin45°•BC=22m，∴C点到地面AD的距离为：()222m．【点睛】考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.21．332 2-【解析】试题分析：把相关的特殊三角形函数值代入进行计算即可.试题解析：原式=3113332332122--.22．(1)3；(2) x﹣y，1．【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、零指数幂可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】（1）3tan30°+|2-3|+（13）-1-（3-π）0-（-1）2018=3×33+2-3+3-1-1，=3+2−3+3-1-1，=3；（2）（x﹣22xy yx-）÷222x yx xy-+，=()()() 222•x x yx xy yx x y x y+-++-，=()()()()2•x y x x yx x y x y-++-=x-y，当x=2，y=2-1时，原式=2−2+1=1．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、零指数幂、分式的化简求值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．23．（1）详见解析；（2）①67.5°；②90°．【解析】【分析】（1）要证明CD∥AB，只要证明∠ODF＝∠AOD即可，根据题目中的条件可以证明∠ODF＝∠AOD，从而可以解答本题；（2）①根据四边形ADFP是菱形和菱形的性质，可以求得∠DAE的度数；②根据四边形BFDP是正方形，可以求得∠DAE的度数．【详解】（1）证明：连接OD，如图所示，∵射线DC切⊙O于点D，∴OD⊥CD，即∠ODF＝90°，∵∠AED＝45°，∴∠AOD＝2∠AED＝90°，∴∠ODF＝∠AOD，∴CD∥AB；（2）①连接AF与DP交于点G，如图所示，∵四边形ADFP是菱形，∠AED＝45°，OA＝OD，∴AF⊥DP，∠AOD＝90°，∠DAG＝∠PAG，∴∠AGE＝90°，∠DAO＝45°，∴∠EAG＝45°，∠DAG＝∠PEG＝22.5°，∴∠EAD＝∠DAG+∠EAG＝22.5°+45°＝67.5°，故答案为：67.5°；②∵四边形BFDP是正方形，∴BF＝FD＝DP＝PB，∠DPB＝∠PBF＝∠BFD＝∠FDP＝90°，∴此时点P与点O重合，∴此时DE是直径，∴∠EAD＝90°，故答案为：90°．【点睛】本题考查菱形的判定与性质、切线的性质、正方形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用菱形的性质和正方形的性质解答．24．﹣1≤x＜1．【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【详解】解不等式2x+1≥﹣1，得：x≥﹣1，解不等式x+1＞4（x﹣2），得：x＜1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜1．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；（2）首先根据题意列表，然后求得所有等可能的结果与小明和小亮选择结果相同的情况，再利用概率公式即可求得答案【详解】（1）∵小明分别是从看电影（记为A）、去郊游（记为B）、去图书馆（记为C）的一个景点去游玩，∴小明选择去郊游的概率=；（2）列表得：A B CA （A，A）（B，A）（C，A）B （A，B）（B，B）（C，B）C （A，C）（B，C）（C，C）由列表可知两人选择的方案共有9种等可能的结果，其中选择同种方案有3种，所以小明和小亮的选择结果相同的概率==．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．26．（1）见解析（2）10 10【解析】试题分析：（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），故AD=2，CD=6，AC==，∴sin∠ACB===，即sin∠A2C2B2=．考点：作图﹣位似变换；作图﹣平移变换；解直角三角形．27．-1,-1,0,1,1【解析】分析：先求出不等式组的解集，然后求出整数解．详解：()715331?34x xx x⎧+≥+⎪⎨-->⎪⎩①②，由不等式①，得：x≥﹣1，由不等式②，得：x＜3，故原不等式组的解集是﹣1≤x＜3，∴不等式组71533134x xx x+≥+⎧⎪-⎨-⎪⎩（）＞的整数解是：﹣1、﹣1、0、1、1．点睛：本题考查了解一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．。
2020年上海市虹口区高考数学一模试卷试题及答案
2020年上海市虹口区高三高考数学一模试卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．设全集U R =，若21{|1}x A x x-=>，则U A =ð ． 2．设复数3(1ii i-+为虚数单位），则||z = ． 3．设x R +∈，则21x x ++最小值为 ． 4．若sin 2cos 02cos 1x xx =，则锐角x = ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若2712a a +=，48S =，则n a = ． 6．抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为 ． 7．设6270127(21)(1)x x a a x a x a x --=+++⋯+，则5a = ．8．设1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为 ． 9．已知m 、n 是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：①m n ⊥；②//n α；③m α⊥；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题（论断用序号表示）: ．10的直角三角板拼在一起，则OD AB = ．11．如图，1F 、2F 分别是双曲线222:1x C y a -=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若2F A AB =，120F B F B =，则双曲线C 的焦距12||F F 为 ．12．已知函数()f x 的定义域为R ，当(0x ∈，2]时，()(2)f x x x =-，且对任意的x R ∈，均有(2)2()f x f x +=，若不等式15()2f x …在(x ∈-∞，]a 上恒成立，则实数a 的最大值为 ． 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．设x R ∈，则“|1|1x -<”是“24x <”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知函数())cos(2)f x x x θθ=+++为偶函数，且在[0，]2π上为增函数，则θ的一个值可以是( ) A ．6πB ．3πC ．23π D ．23π-15．已知函数()|2|f x x =+，()||g x x t =+，定义函数()()()()()()()f x f xg x F x g x f x g x ⎧=⎨>⎩…，若对任意的x R ∈，都有()(2)F x F x =-成立，则t 的取值为( ) A ．4-B ．2-C ．0D ．216．正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为( )A ．13B ．12C ．23D ．34三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分） 17．在ABC ∆中，8a =，6b =，1cos 3A =-，求：（1）角B ； （2）BC 边上的高．18．如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点1C 为弧11A B 的中点，求：（1）异面直线OC 与11A C 所成角的大小； （2）直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小； （3）三棱锥11C OA C -的体积．19．某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙三种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2、2、1（单位：件），已知每个工人可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件，该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为(2k k …为正整数）． （1）设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间； （2）假设这3种部件的生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．20．（16分）已知两点1(F ，0)、2F ，0)，设圆22:4O x y +=与x 轴交于A 、B 两点，且动点P 满足：以线段2F P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示，记动点P 的轨迹为Γ，过点2F 与x 轴不重合的直线l 与轨迹Γ交于M 、N 两点． （1）求轨迹Γ的方程；（2）设线段MN 的中点为Q ，直线OQ 与直线x =相交于点R ，求证：2F R l ⊥； （3）记ABM ∆、ABN ∆面积分别为1S 、2S ，求12||S S -的最大值及此时直线l 的方程．21．（18分）在数列{}n a 中，10a =，且对任意的*m N ∈，21m a -、2m a 、21m a +构成以2m 为公差的等差数列．（1）求证：4a 、5a 、6a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2222323n n n S a a a =++⋯⋯+，试问2n S n -是否存在极限？若存在，求出其值，若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．设全集U R =，若21{|1}x A x x-=>，则U A =ð {|01}x x 剟． 解：全集U R =，若21{|1}x A x x-=>， 所以211x x ->，整理得10x x->，解得1x >或0x <， 所以{|01}U A x x =剟ð． 故答案为：{|01}x x 剟．2．设复数3(1ii i-+为虚数单位），则||z ．解：复数3(1iz i i-=+为虚数单位），则|3||||1|i z i -===+．．3．设x R +∈，则21x x ++最小值为 1- ．解：设x R +∈，则22111)1111(1)x x x x x +=++--=-+++…，当且仅当2(1)2x +=，即1x =时，等号成立．故答案为：1． 4．若sin 2cos 02cos 1x x x =，则锐角x4． 解：由于sin 2cos 02cos 1x xx =，所以22cos sin 20x x -=，由于x 为锐角，所以sin cos x x =，解得4x π=．故答案为：4π5．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若2712a a +=，48S =，则n a = 23n - ． 解：设首项为1a ，公差为d 等差数列{}n a 的前n 项和n S ， 若2712a a +=，48S =， 则27141271234482a a a d S a d +=+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得112a d =-⎧⎨=⎩，所以12(1)23n a n n =-+-=-， 故答案为：23n -6．抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为 1 ．解：抛物线26x y =的焦点为3(0,)2，所以点3(0,)2到直线3410x y +-=的距离515d ===． 故答案为：1．7．设6270127(21)(1)x x a a x a x a x --=+++⋯+，则5a = 36 ． 解：利用6(1)x -二项式的展开式：616(1)r r r r T C x -+=-， 令2r =时，得6(1)x -展开式中含4x 的系数，即2615C =，令1r =时，得6(1)x -展开式含5x 的系数，即16(1)6C -=-． 所以621)(1)x x --=展开式中5x 的系数为215(1(6)36⨯+-⨯-=． 故答案为：36．8．设1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为 1 ． 解：1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数， 设1()2()y f x f x -==，函数过(,)x y ，反函数过(,)2yx ，所以()f x 同时过(,)x y ，(2y，)x ，代入2122(41)(4)x yy log x log -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得241221y x x y ⎧=-⎨=-⎩，所以1x =， 故答案为：19．已知m、n是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：①m n⊥；②//nα；③mα⊥；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题（论断用序号表示）:若②③则①．解：已知m、n是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：①m n⊥；②//nα；③mα⊥；当mα⊥时，m必垂直于平面α内的任意一条直线，由于//nα，所以m n⊥，如图所示故答案为：若②③则①．10的直角三角板拼在一起，则OD AB=1-．解：以O为原点，OA、OB分别为x、y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：(0,0)O，(1,0)A，(0,1)B，D点横坐标的求法：11Dx==，纵坐标：Dy==，∴33(1,)(1,1)1 OD AB=+-=-．故答案为：1-．11．如图，1F 、2F 分别是双曲线222:1x C y a -=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若2F A AB =，120F B F B =，则双曲线C 的焦距12||F F 为解：设(A m ，)(0)mm a>，2(,0)F c ， 由中点坐标公式可得，2(2,)mB m c a-， 代入渐近线方程x y a =-，得21(2)m m c a a =--，得4c m =． 由120F B F B =，得22221(2,)(2,)(1)0m m m m c m mc a a a-=+-=， 将4c m =代入，得2221(1)0164c c a +-=，得213a =，∴212||221F F c a ==+=．12．已知函数()f x 的定义域为R ，当(0x ∈，2]时，()(2)f x x x =-，且对任意的x R ∈，均有(2)2()f x f x +=，若不等式15()2f x …在(x ∈-∞，]a 上恒成立，则实数a 的最大值为 4． 解：利用转点法，设015(,)2A x ，在[6x ∈，8]上，则015(2,)4x -在[4x ∈，6]上， 015(4,)8x -在[2x ∈，4]上，015(6,)16x -在[0x ∈，2]上，即()(2)f x x x =-过015(6,)16x -， 所以0015(6)(8)16x x --=，解得0274x =． 故答案为：274． 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．设x R ∈，则“|1|1x -<”是“24x <”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：|1|102x x -<⇔<<， 2422x x <⇔-<<， (0，2)(2-Ü，2)，∴ “|1|1x -<”是“24x <”的充分不必要条件，故选：A ．14．已知函数())cos(2)f x x x θθ=+++为偶函数，且在[0，]2π上为增函数，则θ的一个值可以是( ) A ．6πB ．3πC ．23π D ．23π-解：根据题意，())cos(2)f x x x ϕϕ=+++，1)cos(2)]2x x ϕϕ=+++， 2sin(2)6x πϕ=++，若()f x 为偶函数，则有162k πϕππ+=+，即13k ϕππ=+，k Z ∈， 结合选项可知，当1k =-时，23πϕ=-，1()2sin(2)2cos 22f x x x π=-=-满足偶函数且在[0，]2π上为增函数，满足题意．故选：D ．15．已知函数()|2|f x x =+，()||g x x t =+，定义函数()()()()()()()f x f xg x F x g x f x g x ⎧=⎨>⎩…，若对任意的x R ∈，都有()(2)F x F x =-成立，则t 的取值为( ) A ．4-B ．2-C ．0D ．2解：若对任意的x R ∈，都有()(2)F x F x =-成立， 则函数()F x 关于1x =对称，作出函数()f x 的图象， 则()f x 关于2x =-对称，由()F x 的对应值则()g x 关于x t =-对称， 即212t--=，得22t --=， 得4t =-， 即t 的值为4-， 故选：A ．16．正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解：正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，根据几何体的对称性，重叠部分的体积为，大正四面体的体积减去4个尖端的小棱锥的体积(4个体积相等）， 其中每个小锥体积为18．所以公共部分的体积为11482⨯=．故选：B ．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分） 17．在ABC ∆中，8a =，6b =，1cos 3A =-，求：（1）角B ； （2）BC 边上的高．解：（1）在ABC ∆中，8a =，6b =，1cos 3A =-，所以角A 为钝角，由22sin cos 1A A +=，解得sin A =利用正弦定理的应用sin sin a b A B =，解得sin B =，所以4B π=． （2）根据（1）的结论，1sin sin()sin cos cos sin ()3C A B A B A B =+=+=-=．所以11sin 861622ABC S ab C ∆==⨯⨯=-，由于1116822ah h =-=⨯⨯，解得4h =-，故BC 边上的高为4．18．如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点1C 为弧11A B 的中点，求： （1）异面直线OC 与11A C 所成角的大小； （2）直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小； （3）三棱锥11C OA C -的体积．解：（1）作11//OD O C ，以O 为原点，OD 为x 轴，OB 为y 轴，1OO 为z 轴， 如图所示：所以求出各点的坐标为(0O ，0，0)，(0C ，1，1)，1(0A ，1-，2)，1(1C ，0，2)． 则(0,1,1)OC =，11(1,1,0)A C =．异面直线OC 和11A C 的夹角为11111cos 2||||2OC A C OC A C θ===． 所以异面直线OC 与11A C 所成角的大小为3π．（2）根据图形1(1,1,1)CC =-，底面的法向量为(0,0,1)n =． 所以线面的夹角为111sin cos ,||||31CC nCC n CC n θ=<>===⨯． 所以直线1CC 与底面的夹角为 （3）锥体的体积11113COA C OA CV Sh -=⨯⨯，在△1OA C中，OC =，1OA =1A C = 所以等腰三角形的面积为11322OA CS==．棱锥的高即为1C 到底面1OA C 的距离1h =， 所以三棱锥11C OA C -的体积为1311322⨯⨯=．19．某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙三种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2、2、1（单位：件），已知每个工人可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件，该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为(2k k …为正整数）． （1）设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间； （2）假设这3种部件的生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．解：（1）依题意：生产乙部件的人数为kx ，生产丙部件的人数为(200)x kx ---，甲部件的数量为300026000⨯=．． 所以生产时间为6000010006x x=，同理生产乙部件的数量为300026000⨯=，生产时间为600020003kx kx=-， 丙部件数量为300013000⨯=，生产时间为300015002(200)200x kx x kx=-----．（2）依题意，在（1）的基础上同时开工，求最短时间，由于2k …，所以比较甲、乙的时间得：10002000x kx…（甲部件的生产时间长）， 所以完成订单任务时间由甲和丙部件中较长的决定． ①当10001500200x x kx --…时，得到40025x k +…， 此时，完成订单时间为1000x ，当40025x k =+时，取最小值． ②当10001500200x x kx --…，得到40025x k +…．此时，完成订单时间为1500200x kx --，当40025x k =+时，取最小值．当2k =时，4009x …，当45x =时，此时的订单时间为150030023.08200459013==--．由于22073230.8<，所以①中计算结果耗时最短． 综上所述，当2k =时，44x =时完成订单时间最短． 此时，生产甲、乙、丙部件的人数为44，88，68人．20．（16分）已知两点1(F ，0)、2F ，0)，设圆22:4O x y +=与x 轴交于A 、B 两点，且动点P 满足：以线段2F P 为直径的圆与圆O 相内切，如图所示，记动点P 的轨迹为Γ，过点2F 与x 轴不重合的直线l 与轨迹Γ交于M 、N 两点． （1）求轨迹Γ的方程；（2）设线段MN 的中点为Q ，直线OQ与直线x =相交于点R ，求证：2F R l ⊥； （3）记ABM ∆、ABN ∆面积分别为1S 、2S ，求12||S S -的最大值及此时直线l 的方程．解：（1）依题意：设2||PF 的中点为C ，切点为T ，由图可知OC 为△12F PF 的中位线，所以122||||2||2||224PF PF OC CF +=+=⨯=>， 所以点P 的轨迹为椭圆，所以2a =，c =，1b =．所以方程为2214x y +=．证明：（2）设直线(0)y k x k =≠，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．所以2214(x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，整理得2224(4x k x +-=，变形为2222(14)1240k x x k +-+-=，所以12x x +=212212414k x x k-=+．点Q 的横坐标1202x xx +==． 点Q的纵坐标00(y k x k ===． 直线OQ 为14y x k=-与直线x=R ，所以R． 由23(F R =，直线l 的方向向量(1,)k ， 所以20F R l =，即：2F R l ⊥；（3）在（2）的基础上设点M 和N 在x 轴的上下两侧， 所以11||2M S AB y =，211||||||22N N S AB y AB y ==-． 121||||||2M N SS AB y y -=+． 由1122((y k x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以1212(y y k x x +=+-，代入12x x +=所以122111||4||||||121444k S S k k k k-=⨯⨯-===++…当且仅当14k k =，即12k =±时，12||S S - 直线方程为1(2y x =±．21．（18分）在数列{}n a 中，10a =，且对任意的*m N ∈，21m a -、2m a 、21m a +构成以2m 为公差的等差数列．（1）求证：4a 、5a 、6a 成等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设2222323n n n S a a a =++⋯⋯+，试问2n S n -是否存在极限？若存在，求出其值，若不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）令1m =时，1a ，2a ，3a 构成以2为公差的等差数列，所以22a =，34a =． 令2m =时3a ，4a ，5a 构成以4为公差的等差数列，所以48a =，512a =．令3m =时5a ，6a ，7a 构成以6为公差的等差数列，所以618a =，724a =． 由2546144a a a ==，得到4a ，5a ，6a 成等比数列．解：（2）由（1）得数列{}n a 的前几项为：0，2，4，8，12，18，24． 所以22121222mm m m a a m a a m-+=+⎧⎨=+⎩，所以21214m m a a m +--=．由累加法得到211(1)4[121]42(1)2m m m a a m m m ---=⨯++⋯+-=⨯=-． 当n 为奇数时令21m n -=，所以12n m +=，所以211(1)22n n n a n --=+=． 当n 为偶数时，2m n =，所以2nm =，所以22242n n n a =⨯=．解：（3）当n 为奇数时，22222211221111n n n a n n n n ==+=+----+． 当n 为偶数时，22222n n n a n==．所以1111111lim(2)lim[2()()()2]2448112n n n S n n n n n →∞→∞-=+-+-+⋯+--=-+．。
上海市虹口区2020年高三第一学期期末(高考一模)学科质量检测数学试卷(word解析版)
设y＝f（x）＝2f﹣1（x）,函数过（x，y）,反函数过（x， ）,
所以f（x）同时过（x，y）,（ ，x）,
代入 ,得 ,所以x＝1
故答案为：1
【点睛】本题考查反函数的应用,考查对数的运算,考查运算能力
9.已知m、n是平面α外的两条不同直线，给出三个论断：①m⊥n；②n∥α；③m⊥α；以其中两个论断作为条件，写出一个正确的命题（论断用序号表示）：_____．
所以 ,整理得 ,解得x＞1或x＜0,
所以∁UA＝{x|0≤x≤1}
故答案为：{x|0≤x≤1}
【点睛】本题考查解分式不等式,考查补集的定义
2.设复数 (i为虚数单位)，则 ＝_______
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数 ，进而可得结果.
【详解】因为 ,
【答案】
【解析】
【分析】
整理x ,再利用均值不等式求解即可
【详解】设x∈R+,则x 1 ,
当且仅当（x+1）2＝2,即x＝ 时,等号成立
故答案为：
【点睛】本题考查利用均值不等式求最值,属于基础题
4.若 0，则锐角x＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由题可得2cos2x﹣sin2x＝0,即2cos2x﹣2sinxcosx＝0,则sinx＝cosx,可求出
A.﹣4B.﹣2C. 0D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用 可得 关于 对称,因为 关于 对称,则推测 关于 对称,再将 代回 检验即可
【详解】由 可得 关于 对称,
上海市虹口区2019-2020学年中考数学一模试卷含解析
上海市虹口区2019-2020学年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若一个多边形的内角和为360°，则这个多边形的边数是（）A．3 B．4C．5 D．62．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB＝3，BC＝1，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE折叠，得到多边形AFGE，点B、C的对应点分别为点F、G.在点E从点C移动到点D 的过程中，则点F运动的路径长为（）A．πB．3πC．33πD．233π3．如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（）A．3 B．4﹣3C．4 D．6﹣234．甲、乙两人加工一批零件，甲完成240个零件与乙完成200个零件所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成8个零件．设乙每天完成x个零件，依题意下面所列方程正确的是（）A．2402008x x=-B．2402008x x=+C．2402008x x=+D．2402008x x=-5．关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（）A．14 B．7 C．﹣2 D．26．下图是由八个相同的小正方体组合而成的几何体，其左视图是（）A．B．C．D．7．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH;②△AGE≌△ECF;③∠FCD＝45°;④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个8．如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（）A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.69．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元10．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠1=30°，那么∠2的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°11．某美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本相同的画册，第二次用240元在同一家商店买与上一次相同的画册，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本画册？设第一次买了x本画册，列方程正确的是（）A．120240420x x-=+B．240120420x x-=+C．120240420x x-=-D．240120420x x-=-12．下列各式计算正确的是（）A．a4•a3=a12B．3a•4a=12a C．（a3）4=a12D．a12÷a3=a4二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．某自然保护区为估计该地区一种珍稀鸟类的数量，先捕捉了20只，给它们做上标记后放回，过一段时间待它们完全混合于同类后又捕捉了20只，发现其中有4只带有标记，从而估计该地区此种鸟类的数量大约有______只.14．已知'''ABC A B C∆∆:且''':1:2ABC A B CS S∆∆=，则:''AB A B=__________．15．因式分解：x2y-4y3=________.16．如图，⊙O的半径为2，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，过点P作⊙O的切线，切点为C．若PC=23，则BC的长为______．17．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数y=1x的图象上，则菱形的面积为_____．18．函数1xyx=-的自变量x的取值范围是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）计算：2-1+20160-3tan30°320．（6分）解不等式组3122324xx x⎧-≥⎪⎨⎪+<⎩请结合题意填空，完成本题的解答：（I）解不等式（1），得；（II）解不等式（2），得；（III）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：（IV）原不等式组的解集为．21．（6分）有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与他们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：（1）A、B两点之间的距离是米，甲机器人前2分钟的速度为米/分；（2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段EF所在直线的函数解析式；（3）若线段FG∥x轴，则此段时间，甲机器人的速度为米/分；（4）求A、C两点之间的距离；（5）若前3分钟甲机器人的速度不变，直接写出两机器人出发多长时间相距28米．22．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出B1点的坐标；（2）画出△ABC绕原点O旋转180°后得到的图形△A2B2C2，并写出B2点的坐标；（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标．23．（8分）嘉兴市2010～2014年社会消费品零售总额及增速统计图如下：请根据图中信息，解答下列问题：（1）求嘉兴市2010～2014年社会消费品零售总额增速．．这组数据的中位数． （2）求嘉兴市近三年(2012～2014年)的社会消费品零售总额．．．．这组数据的平均数． （3）用适当的方法预测嘉兴市2015年社会消费品零售总额(只要求列出算式，不必计算出结果)．24．（10分）根据函数学习中积累的知识与经验，李老师要求学生探究函数y=1x +1的图象．同学们通过列表、描点、画图象，发现它的图象特征，请你补充完整． （1）函数y=1x+1的图象可以由我们熟悉的函数 的图象向上平移 个单位得到； （2）函数y=1x +1的图象与x 轴、y 轴交点的情况是： ； （3）请你构造一个函数，使其图象与x 轴的交点为（2，0），且与y 轴无交点，这个函数表达式可以是 ．25．（10分）如图，在ABC V 中，A 90∠=o ，AB AC =，点D 是BC 上任意一点，将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90o ，得到线段AE ，连结EC ．()1依题意补全图形；()2求ECD ∠的度数；()3若CAE 7.5∠=o ，AD 1=，将射线DA 绕点D 顺时针旋转60o 交EC 的延长线于点F ，请写出求AF 长的思路．26．（12分）如图，抛物线y=﹣213x +bx+c 交x 轴于点A （﹣2，0）和点B ，交y 轴于点C （0，3），点D 是x 轴上一动点，连接CD ，将线段CD 绕点D 旋转得到DE ，过点E 作直线l ⊥x 轴，垂足为H ，过点C 作CF ⊥l 于F ，连接DF ．（1）求抛物线解析式；（2）若线段DE 是CD 绕点D 顺时针旋转90°得到，求线段DF 的长；（3）若线段DE 是CD 绕点D 旋转90°得到，且点E 恰好在抛物线上，请求出点E 的坐标．27．（12分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】利用多边形的内角和公式求出n即可.【详解】由题意得：(n-2)×180°=360°，解得n=4;故答案为：B.【点睛】本题考查多边形的内角和，解题关键在于熟练掌握公式.2．D【解析】【分析】点F的运动路径的长为弧FF'的长，求出圆心角、半径即可解决问题．【详解】如图，点F的运动路径的长为弧FF'的长，在Rt△ABC中，∵tan∠BAC=333BCAB==，∴∠BAC=30°，∵∠CAF=∠BAC=30°，∴∠BAF=60°，∴∠FAF′=120°，∴弧FF'的长=120323ππ⨯=．故选D.【点睛】本题考查了矩形的性质、特殊角的三角函数值、含30°角的直角三角形的性质、弧长公式等知识，解题的关键是判断出点F运动的路径．3．B【解析】分析：首先得到当点E旋转至y轴上时DE最小，然后分别求得AD、OE′的长，最后求得DE′的长即可．详解：如图，当点E旋转至y轴上时DE最小；∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，∴AD⊥BC∵AB=BC=2∴AD=AB•sin ∠∵正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为2，∴OE=OE′=2∵点A 的坐标为（0，6）∴OA=6∴DE′=OA -AD-OE′=4故选B ．点睛：本题考查了正多边形的计算及等边三角形的性质，解题的关键是从图形中整理出直角三角形． 4．B【解析】【分析】根据题意设出未知数，根据甲所用的时间＝乙所用的时间，用时间列出分式方程即可.【详解】设乙每天完成x 个零件，则甲每天完成(x+8)个.即得，2402008x x +＝ ，故选B. 【点睛】找出甲所用的时间＝乙所用的时间这个关系式是本题解题的关键.5．D【解析】【分析】解不等式得到x≥12m+3，再列出关于m 的不等式求解. 【详解】 23m x -≤﹣1， m ﹣1x≤﹣6，﹣1x≤﹣m ﹣6， x≥12m+3， ∵关于x 的一元一次不等式23m x -≤﹣1的解集为x≥4， ∴12m+3=4，解得m=1． 故选D ．考点：不等式的解集6．B【解析】【分析】【详解】解：找到从左面看所得到的图形，从左面可看到从左往右三列小正方形的个数为：2，3，1．故选B．7．C【解析】【分析】由∠BEG＝45°知∠BEA＞45°，结合∠AEF＝90°得∠HEC＜45°，据此知HC＜EC，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG＝45°，推出∠GAE＝∠FEC，根据SAS 推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE ＝∠ECF＝135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH 不相似，即可判断④．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝BC＝CD，∵AG＝GE，∴BG＝BE，∴∠BEG＝45°，∴∠BEA＞45°，∵∠AEF＝90°，∴∠HEC＜45°，∴HC＜EC，∴CD﹣CH＞BC﹣CE，即DH＞BE，故①错误；∵BG＝BE，∠B＝90°，∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°，∴∠GAE+∠AEG＝45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∵∠BEG＝45°，∴∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠GAE＝∠FEC，在△GAE 和△CEF 中，∵AG=CE，∠GAE=∠CEF,AE=EF,∴△GAE≌△CEF（SAS））,∴②正确；∴∠AGE＝∠ECF＝135°，∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正确；∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE 和△ECH 不相似，∴④错误；故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大．8．B【解析】试题分析：在△ABC中，∵AB=5，BC=3，AC=4，∴AC2+BC2=32+42=52=AB2，∴∠C=90°，如图：设切点为D，连接CD，∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∵S△ABC=12AC×BC=12AB×CD，∴AC×BC=AB×CD，即CD=AC BCAB⋅=345⨯=125，∴⊙C的半径为125，故选B．考点：圆的切线的性质；勾股定理．9．C【解析】【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【详解】3m×2m=6m2，∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元，故选C．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．10．D【解析】如图，因为，∠1=30°，∠1+∠3=60°，所以∠3=30°，因为AD∥BC，所以∠3=∠4，所以∠4=30°，所以∠2=180°-90°-30°=60°，故选D.11．A【解析】分析：由设第一次买了x本资料，则设第二次买了（x+20）本资料，由等量关系：第二次比第一次每本优惠4元，即可得到方程．详解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+20）本，根据题意得：1202404 x x20-=+.故选A.点睛：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程解答即可.12．C【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A、B，根据幂的乘方，可判断C，根据同底数幂的除法，可判断D．【详解】A ．a 4•a 3=a 7，故A 错误；B ．3a•4a=12a 2，故B 错误；C ．（a 3）4=a 12，故C 正确；D ．a 12÷a 3=a 9，故D 错误．故选C ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减是解题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1【解析】【分析】求出样本中有标记的所占的百分比，再用样本容量除以百分比即可解答．【详解】解：()20420÷÷2020%=÷100=只．故答案为：1．【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，总体百分比约等于样本百分比．14．【解析】分析：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．详解：∵△ABC ∽△A′B′C′，∴S △ABC ：S △A′B′C′=AB 2：A′B′2=1：2，∴AB ：A′B′=1点睛：本题的关键是理解相似三角形的面积比等于相似比的平方．15．y （x++2y ）（x-2y ）【解析】【分析】首先提公因式y ，再利用平方差进行分解即可．【详解】原式()224(2)(2)y x y y x y x y =-=-+．故答案是：y（x+2y）（x-2y）．【点睛】考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．16．2【解析】【分析】连接OC，根据勾股定理计算OP=4，由直角三角形30度的逆定理可得∠OPC=30°，则∠COP=60°，可得△OCB是等边三角形，从而得结论．【详解】连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP=90°，∵3OC=2，∴22+22OC PC+=4，2(23)∴∠OPC=30°，∴∠COP=60°，∵OC=OB=2，∴△OCB是等边三角形，∴BC=OB=2，故答案为2【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．1【解析】【分析】连接AC 交OB 于D ，由菱形的性质可知AC OB ⊥．根据反比例函数k y x＝中k 的几何意义，得出△AOD 的面积=1，从而求出菱形OABC 的面积=△AOD 的面积的4倍．【详解】连接AC 交OB 于D ．Q 四边形OABC 是菱形，AC OB ∴⊥．Q 点A 在反比例函数1y x=的图象上， AOD ∴V 的面积11122=⨯=， ∴菱形OABC 的面积=4AOD ⨯V 的面积=1．【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质及反比例函数的比例系数k 的几何意义．解题关键是反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系，即12S k =． 18．x≠1【解析】【分析】根据分母不等于2列式计算即可得解．【详解】由题意得，x-1≠2，解得x≠1．故答案为x≠1．【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为2．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．32【解析】【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值化简，最后一项利用绝对值的代数意义化简，即可得到结果；【详解】原式=13+133 2-⨯+=1+133 2-+=32．【点睛】此题考查实数的混合运算．此题难度不大，注意解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．20．（I）x≥1；（Ⅱ）x＞2；（III）见解析；（Ⅳ）x≥1．【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，将不等式解集表示在数轴上即可得出两不等式解集的公共部分，从而确定不等式组的解集．【详解】（I）解不等式（1），得x≥1；（Ⅱ）解不等式（2），得x＞2；（Ⅲ）把不等式（1）和（2）解集在数轴上表示出来，如下图所示：（Ⅳ）原不等式组的解集为x≥1．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，准确求出每个不等式的解集是解本题的关键．21．（1）距离是70米，速度为95米/分；（2）y=35x﹣70；（3）速度为60米/分；（4）=490米；（5）两机器人出发1.2分或2.1分或4.6分相距21米．【解析】【分析】（1）当x=0时的y值即为A、B两点之间的距离，由图可知当=2时，甲追上了乙，则可知（甲速度-乙速度）×时间=A、B两点之间的距离；（2）由题意求解E、F两点坐标，再用待定系数法求解直线解析式即可；（3）由图可知甲、乙速度相同；（4）由乙的速度和时间可求得BC之间的距离，再加上AB之间的距离即为AC之间的距离；（5）分0-2分钟、2-3分钟和4-7分钟三段考虑.【详解】解：（1）由图象可知，A、B两点之间的距离是70米，甲机器人前2分钟的速度为：（70+60×2）÷2=95米/分；（2）设线段EF所在直线的函数解析式为：y=kx+b，∵1×（95﹣60）=35，∴点F的坐标为（3，35），则，解得，∴线段EF所在直线的函数解析式为y=35x﹣70；（3）∵线段FG∥x轴，∴甲、乙两机器人的速度都是60米/分；（4）A、C两点之间的距离为70+60×7=490米；（5）设前2分钟，两机器人出发x分钟相距21米，由题意得，60x+70﹣95x=21，解得，x=1.2，前2分钟﹣3分钟，两机器人相距21米时，由题意得，35x﹣70=21，解得，x=2.1．4分钟﹣7分钟，直线GH经过点（4，35）和点（7，0），设线段GH所在直线的函数解析式为：y=kx+b，则，，解得，则直线GH的方程为y=x+，当y=21时，解得x=4.6，答：两机器人出发1.2分或2.1分或4.6分相距21米．本题考查了一次函数的应用，读懂图像是解题关键..22．（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析.【解析】【详解】试题分析：(1)、根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；(2)、根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；(3)、找出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P的位置，然后连接AP、BP并根据图象写出点P的坐标即可．试题解析：(1)、△A1B1C1如图所示；B1点的坐标（-4,2）(2)、△A2B2C2如图所示；B2点的坐标:（-4，-2）(3)、△PAB如图所示，P（2，0）．考点：(1)、作图-旋转变换；(2)、轴对称-最短路线问题；(3)、作图-平移变换．23．（115）这组数据的中位数为15.116%；（116）这组数据的平均数是115 11609.116亿元；（15）116016年社会消费品零售总额为115 15167×(115＋15.116%)亿元．【解析】试题分析：（115）根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出最中间的数即可得出答案；（116）根据平均数的定义，求解即可；（15）根据增长率的中位数，可得116016年的销售额．试题解析：解：（115）数据从小到大排列115．16%，116．5%，15．116%，16．115%，5．7%，则嘉兴市1160115～116015年社会消费品零售总额增速这组数据的中位数是15．116%；（116）嘉兴市近三年（1160116～116015年）的社会消费品零售总额这组数据的平均数是：（6．16+7．6+515．7+9．9+1150．0）÷5=11575．116（亿元）；（15）从增速中位数分析，嘉兴市116016年社会消费品零售总额为1150×（115+15．116%）=16158．116716考点：115．折线统计图；116．条形统计图；15．算术平均数；16．中位数．．24．（1）1y x =，1；（2）与x 轴交于（﹣1，0），与y 轴没交点；（3）答案不唯一，如：y=﹣2x+1. 【解析】【分析】（1）根据函数图象的平移规律，可得答案；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（3）根据点的坐标满足函数解析式，可得答案．【详解】 （1）函数11y x =+的图象可以由我们熟悉的函数1y x=的图象向上平移1个单位得到， 故答案为：1y x=，1； （2）函数11y x =+的图象与x 轴、y 轴交点的情况是：与x 轴交于（﹣1，0），与y 轴没交点， 故答案为：与x 轴交于（﹣1，0），与y 轴没交点；（3）请你构造一个函数，使其图象与x 轴的交点为（2，0），且与y 轴无交点，这个函数表达式可以是：y=﹣2x+1， 答案不唯一， 故答案为：y=﹣2x +1． 【点睛】本题考查了函数图像的平移变换，函数自变量的取值范围，函数图象与坐标轴的交点等知识，利用函数图象的平移规律是解题关键．25．（1）见解析；（2）90°；（3）解题思路见解析.【解析】【分析】（1）将线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE ，连结EC ．（2）先判定△ABD ≌△ACE ，即可得到B ACE ∠=∠，再根据45B ACB ACE ∠=∠=∠=︒，即可得出90ECD ACB ACE ∠=∠+∠=︒；（3）连接DE ，由于△ADE 为等腰直角三角形，所以可求DE =；由60ADF ∠=︒，7.5CAE ∠=︒ ，可求EDC ∠的度数和CDF ∠的度数，从而可知DF 的长；过点A 作AH DF ⊥于点H ，在Rt △ADH 中，由60ADF ∠=︒，AD=1可求AH 、DH 的长；由DF 、DH 的长可求HF 的长；在Rt △AHF 中，由AH 和HF ，利用勾股定理可求AF 的长．【详解】解：()1如图，()2Q 线段AD 绕点A 逆时针方向旋转90o ，得到线段AE ．DAE 90∠∴=o ，AD AE =，DAC CAE 90∠∠∴+=o ．BAC 90∠=o Q ，BAD DAC 90o ∠∠∴+=．BAD CAE ∠∠∴=，在ABD V 和ACE V 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD ∴V ≌()ACE SAS V． B ACE ∠∠∴=，ABC QV 中，A 90∠=o ，AB AC =，B ACB ACE 45∠∠∠∴===o ．ECD ACB ACE 90∠∠∠∴=+=o ；()3Ⅰ.连接DE ，由于ADE V 为等腰直角三角形，所以可求DE 2=Ⅱ.由ADF 60o ∠=，CAE 7.5∠=o ，可求EDC ∠的度数和CDF ∠的度数，从而可知DF 的长； Ⅲ.过点A 作AH DF ⊥于点H ，在Rt ADH V 中，由ADF 60o ∠=，AD 1=可求AH 、DH 的长； Ⅳ.由DF 、DH 的长可求HF 的长；Ⅴ.在Rt AHF V 中，由AH 和HF ，利用勾股定理可求AF 的长．故答案为（1）见解析；（2）90°；（3）解题思路见解析.【点睛】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质的运用，解题的关键是要注意对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．26． (1) 抛物线解析式为y=﹣215336x x ++；2；(3) 点E 的坐标为E 1（4，1）或E 2（﹣92，﹣152）或E3（114094+，﹣234094+）或E4（114094-，﹣234094-）．【解析】【分析】（1）将点A、C坐标代入抛物线解析式求解可得；（2）证△COD≌△DHE得DH=OC，由CF⊥FH知四边形OHFC是矩形，据此可得FH=OC=DH=3，利用勾股定理即可得出答案；（3）设点D的坐标为（t，0），由（1）知△COD≌△DHE得DH=OC、EH=OD，再分CD绕点D顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，表示出点E的坐标，代入抛物线求得t的值，从而得出答案．【详解】（1）∵抛物线y=﹣213x+bx+c交x轴于点A（﹣2，0）、C（0，3），∴42033b cc⎧--+=⎪⎨⎪=⎩，解得：563bc⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y=﹣213x+56x+3；（2）如图1．∵∠CDE=90°，∠COD=∠DHE=90°，∴∠OCD+∠ODC=∠HDE+∠ODC，∴∠OCD=∠HDE．又∵DC=DE，∴△COD≌△DHE，∴DH=OC．又∵CF⊥FH，∴四边形OHFC是矩形，∴FH=OC=DH=3，∴DF=32；（3）如图2，设点D的坐标为（t，0）．∵点E恰好在抛物线上，且EH=OD，∠DHE=90°，∴由（2）知，△COD≌△DHE，∴DH=OC，EH=OD，分两种情况讨论：①当CD绕点D顺时针旋转时，点E的坐标为（t+3，t），代入抛物线y=﹣213x+56x+3，得：﹣13（t+3）2+56（t+3）+3=t，解得：t=1或t=﹣152，所以点E的坐标E1（4，1）或E2（﹣92，﹣152）；②当CD绕点D逆时针旋转时，点E的坐标为（t﹣3，﹣t），代入抛物线y=﹣213x+56x+3得：﹣13（t﹣3）2+56（t ﹣3）+3=﹣t ，解得：t=234094+或t=234094-．故点E 的坐标E 3（114094+，﹣234094+）或E 4（114094-，﹣234094-）；综上所述：点E 的坐标为E 1（4，1）或E 2（﹣92，﹣152）或E 3（11409+，﹣23409+）或E 4（114094-，﹣234094-）． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及分类讨论思想的运用．27．无解.【解析】试题分析：首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式的解集．试题解析：由①得x≥4，由②得x ＜1，∴原不等式组无解，考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．。
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Q 4,0)(P Q P x Q P =x 1=m =++−y m x m m 122)(=−−y x 12)(x a =−+y a x 112)(=x b a −+=b a x 230)(x b a =a +=a b 10=a b :2:37.5ABD ACD =AC AD 2∠=∠BAD C BC ABC D −=a b c 3+=a b c 2+=a b 0b c //a c //
=a b a b //c b a >>y y 0
21>>y y 012>>y y 021>>y y 012B y 1,2)(−A y 2,1)(=y x 2=++y x 3112)(=AC =B tan 2=BC 2∠=C 90Rt ABC 90
604530α=
α2cos 12020届虹口区中考数学一模 一、选择题
1、如果，那么锐角的度数为（ ） A. B. C. D.
2、在中，，如果，，那么（ ）
A.1
B.4 D.3、抛物线的顶点所在象限是（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限4、已知抛物线经过、两点，在下列关系式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.5、已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定的是（ ）
A. B.， C. D.，
6、如图，点是的边上一点，，，如果的面积为15，那么的面积为（ ）
A.15
B.10
C.
D.5
二、填空题
7、如果，且，那么 .
8、如果向量、、满足关系式，那么用向量、表示向量
.
9、如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是 . 10、沿着轴正方向看，抛物线在对称轴 侧的部分是下降的（填“左”、“右”）
11、如果函数是二次函数，那么 .
12、如图，抛物线的对称轴为直线，点、是抛物线与轴的两个交点，点在点的右侧，如果点的坐标为，那么点的坐标为 .
=AP ⊥B F AB 'P BD B F 'A B F 'BF EF BEF EF BC AB F E =AD 6=AB 9=4C 5
sin AD BC //ABCD ∠=DGB tan BG BC F E DEFG AB D =BC 2=AC 1∠=C 90Rt ABC 12
5θ=
CD =AC CE 3CD AB //BF AE D C =EF 10=AB 6AB EF //AEFB A D 11A B C 111AD ABC =A C 811=AC 12C 1B 1A 1C B A ABC A B C 111=m =α2tan 3αx OA A m 2,)(13、如图，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，如果，那么.
14、已知，顶点、、分别与、、对应，、，的
高为6，那么的高长为
. 15、如图，在梯形中，，，，点、分别在边、上且，
如果，那么. 16、公元三世际，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角的正切为，那么大正方形的面积是 . 17、如图，在中，，，，点为边上一动点，正方形的顶点、都在边上，联结，.
18、如图，在等腰梯形中，，，，，点、分别在边、上，联结，将沿着所在直线翻折，使的对应线段经过顶点，交对角线于点，当时， .
GE =AB 12BG b a =AB b =AC a E BC ⊥GE BC G D AC BG Rt ABC G ∠=ABC 90Rt ABC B 'B C 2A 'A 0,5)(O A B '''x OAB C 2C 2=−C y x x :212−−cot 30tan 45
tan 604sin 302三、解答题
19、计算：20、在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线.
（1）求新抛物线的表达式； （2）如图，将沿轴向左平移得到，点的对应点落在平移后的新抛物线上，求点与其对应点的距离. 21、如图，在中，，点是的重心，联结并延长交于点，过点作交边
于点.
（1）如果，，用、表示向量；
（2）当时，求的长.
⋅=⋅BD CE BE DE ∠=∠ABC DCE =⋅BD DE AD 2BE E ⊥CE AD C AD BC D ∠=ACB 90Rt ABC ≈tan370.75=cos370.8≈sin370.6AB =AD 5∠=CDA 37D ∠=BAB '77AB AB 22、某次台风来袭时，一棵笔直大树树干（假定树干垂直于水平地面）被刮倾斜（即）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面处，测得，米，求这棵大树的高度.（结果保留根号） （参考数据：，，）
23、如图，在中，，点是边的中点，联结.过点作于点，联结.
（1）求证：；
（2）如果，求证：.
DE =AG 8x y =S
y ADF =AG x BC D ∠FBC tan =CD 2BC D G BE AG BD //A DF F E AC AD ⊥BE AD B AD BC D ∠=
ABC 5
sin 3=BC 4∠=ACB 90Rt ABC E ECF ∠CEF ⊥CE EF x F E D ABD ∠DAB AP D αβαP
P C 0,3)(y B −A 1,0)(x =−++y x bx c 2
24、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为
（1）求抛物线的表达式以及点的坐标；
（2）当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称为此三角形的“特征角”，
①当在射线上，如果为的特征角，求点的坐标；
②点为第一象限内抛物线上一点，点在轴上，，如果为的特征角，求点的坐标.
25、在中，
，，，点为射线上一点，联结，过点作分别交射线、于点、，联结，过点作，交直线于点.
（1）当点在的延长线上时，如果，求； （2）当点在的延长线上时，设，，求关于的函数关系式（不需要写函数的
定义域）；
（3）如果，求的长.。