实数及二次根式乘除运算

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北师大版八年级数学上册第2章实数二次根式的混合运算

(2)（2022 3）0 + 3 12 - 6 . 2
解：(1) 原式 6 33 3 3 6 3 3 .
(2) 原式 1+2 3 3 3 3 2 .
归纳有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.
例2 计算：
(1) 3 2 ； (2) 18 8 1 ； (3)( 24 1 ) 3.
(2)已知 x 5 1，y 5 1，求 x2 xy y2的值.
2
2
解： x y 5 1 5 1 5，xy 5 1 5 1 1，
2
2
2
2
x2 xy y2 x y2 xy
2
5 1 4.
能力提升： 6. 阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式 2 的运算时，通常有如下
a2 b2 2 (a b)2 2ab 2
(2 5)2 2 2 20 2 5.
练一练已知 10 的整数部分是 a，小数部分是 b，求 a2 - b2 的值.
解： 3 10 4，
a 3，b 10 3. a2 b2 32 ( 10 3)2
3 10 3 3 10 3 10 6 10
如图所示.
S梯形ABCD 1 (CD AB) DE
2
E
16 23 2
2
1 ( 2 5 2)3 2 18.
2
归纳：利用二次根式可以简单便捷的求出结果．
例4 教师节就要到了，小欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为 288 平方厘米，另一张面积为 338 平方厘米. 如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有 1.5 米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用.
1. 下列计算中正确的是（ B ）

二次根式总结

二次根式总结一、引言二次根式是数学中一个重要的概念，涉及到对平方根的运算和性质。

掌握好二次根式的基本知识对于理解和解决数学问题至关重要。

本文将对二次根式进行总结，从定义、性质到应用方面进行探讨。

二、定义与基本性质二次根式可以表示为√a（其中a≥0），这里√a称为二次根，a称为被开方数。

在二次根式中，一些基本性质需要予以关注。

首先，二次根式满足乘法分配律。

对于任意的非负实数a和b，有√(ab)=√a × √b。

这个性质与平方根的性质一致，可以利用它对二次根式进行简化。

其次，二次根式可以进行合并化简。

如果a和b都是非负实数，则√a + √b可以合并成一个根式。

例如，√2 + √3 = √(2+3) = √5。

这一点在化简二次根式的过程中常常应用到。

另外，二次根式的乘法也有一定的规律。

对于任意非负实数a 和b，有(√a × √b) = √(ab)。

同样地，在乘法的过程中可以利用这一性质对二次根式进行化简。

三、进一步探讨与应用1. 二次根式的化简化简二次根式是使用二次根式的基本性质，将复杂的根式表示简化为更简洁的形式。

例如，√8可以化简为2√2，√5 × √3可以化简为√15。

化简二次根式有助于简化运算和解决数学问题。

在化简二次根式时，可以利用约束性质，并通过提取公因数的方式进行。

例如，对于√8，可以提取公因数2，即√(2 × 4) = 2√2。

2. 二次根式的加减运算二次根式的加减运算可以通过化简和合并根式进行。

对于√a + √b，如果a和b无法合并，则不能再继续进行简化。

例如，对于√2 + √3，不能再进行进一步的运算。

但是可以计算其近似值，如√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732，因此√2 + √3 ≈ 1.414 + 1.732 ≈ 3.146。

3. 二次根式的乘除运算二次根式的乘除运算可以利用乘法分配律和二次根式的乘法规律进行。

利用这两个性质，可以轻松地计算复杂的二次根式。

实数的运算(含二次根式三角函数特殊值的运算)

一、填空题1.（2019山东滨州，13，5分）计算：（－12）－2－=____________．【答案】243【解析】原式=4－+31218=4－=243．【知识点】负整数指数幂；绝对值；二次根式的乘除2.（2019重庆市B 卷，13，4分）计算：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-21113=【答案】3【解析】解题关键是理解零指数幂和负整数指数幂的意义．思路：利用“任意不为0的数的0次幂都等于1”，“任意不为零的数的－n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数”，然后求和即可．故答案为3．【知识点】零指数幂，负整数指数幂.3.（2019重庆A 卷，13，4）计算：=+1-0213-）（）（π．【答案】3．【解析】因为原式＝1＋2＝3，所以答案为3．【知识点】实数的运算；0指数幂；负整数指数幂．二、解答题1.（2019重庆A 卷，19，10分）计算：（1）)2(2y x y y x +-+）（；（2）292492--÷--+a a a a a ）（．【思路分析】（1）按完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可；（2）按分式的运算法则进行计算即可．【解题过程】（1）原式＝x 2＋2xy ＋y 2－2xy －y 2＝x 2；（2）原式＝22294229a a a a a a -+--⋅--＝2(3)22(3)(3)a a a a a --⋅-+-＝33a a -+．【知识点】整式的运算；分式的运算．2.(2019浙江台州, 18, 8分)先化简,再求值：22332121x x x x x --+-+,其中x ＝12. 【思路分析】先做减法,后约分,然后代入求值即可. 【解题过程】原式＝()()22313332111x x x x x x --==-+--,当x ＝时,原式＝31x -＝－6.【知识点】分式计算,因式分解3.（2019浙江衢州，17，6分）计算，|-3|+（π-3）0- 4+tan45°.【思路分析】根据绝对值、零次幂、算术平方根的意义，化简代数式，根据特殊三角函数值的概念得到tan45°的值，依据运算法则进行计算。

二次根式的乘除法(含例题)

第十六章二次根式16.2 二次根式的乘除1．二次根式的乘法法则（1）一般地，二次根式的乘法法则是：__________(00)a b a b =≥≥，．语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数__________．在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a ，b 均为非负数这一条件． 000)a b c abc a b c =≥≥≥，，． ②00)a b c d bd b d =≥≥，，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数；③乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用．（2）二次根式乘法法则的逆用00)ab a b a b =≥≥，．语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积．公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足a ≥0，b ≥0．实际上，a ≥0，b ≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可．二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使用． 0000)abcd a b c d a b c d =≥≥≥≥，，，．运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式），(00)ab a b a b =≥≥，2(0)a a a =≥将这些因数（式）“开方”出来，从而将二次根式化简．利用积的算术平方根的性质化简的步骤：①将被开方数进行因数分解或因式分解；②应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来．2．二次根式的除法法则（1）一般地，二次根式的除法法则是：0__________0)a b =≥，．语言叙述：二次根式相除，把被开方数__________，根指数不变．【注意】①a ≥0，b >0时，式子才成立，若a ，b 都是负数，虽然0a b >在实数范围内无意义；若b =0，a b则号无意义． ②如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数．③二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式．（2）二次根式除法法则的逆用00)a b =≥>， ★语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．公式中的a ，b 表示的代数式必频满足a ≥0，b >0，a ≥0，b >0是限制公式右边的，对公式的左边，只要0a b≥且0b ≠即可．利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a ≥0，b >0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可． 3．最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（1）被开方数不含__________；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．【拓展】分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化．分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号．分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜．K知识参考答案：1．ab，不变2．>，相除3．分母K—重点二次根式的乘法和除法；最简二次根式的判断K—难点二次根式的乘法法则和除法法则的逆用K—易错运算顺序错误；忽视隐含条件一、二次根式的乘法1．法则中的a，b表示的代数式都必须是非负的．2．两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方．【例1】下列计算正确的是A．25×35=65B．32×33=36C．42×23=85D．22×63=126【答案】D⨯⨯得【例2】916144A．144 B．±144 C．±12 D．12【答案】A⨯⨯．故选A．916144⨯⨯916144=3412=144二、二次根式的除法1000)a b c ÷=≥>>，，；2．((()m n ÷=÷⋅，其中000a b n ≥>≠，，．【例3】=成立的条件是 A ．a 、b 同号B ．a ≥0，b >0C ．a >0，b >0D ．a >0，b ≥0 【答案】B【解析】由二次根式的非负性可知，a ≥0，b ≥0，由于b 是分母，故b >0．故选B ．【例4】计算A ．B ．23xC ．D x 【答案】C【解析】原式=4×C ．三、二次根式的乘除混合运算二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用．二次根式乘除混合运算的一般步骤：（1）将算式中的除法转化为乘法；（2）利用乘法运算律将运算转化为系数和被开方数的乘法运算；（3）将系数和被开方数分别相乘；（4）化成最简二次根式．【例5】A B C D ．【答案】A==．故选A．四、最简二次根式判断二次根式是不是最简二次根式的方法：一看：看被开方数中是否含有能开得尽方的因数（或因式），且被开方数中是否含有分母．二化：若被开方数是多项式，能化成因数（或因式）积的形式，要先化成积的形式．三判断：得出结论．【例6】下列根式中，是最简二次根式的是A B C D【答案】C【解析】因为：A=；B=；D||b=，所以这三项都可化简，不是最简二次根式．故选C．。

二次根式除法。-概念解析以及定义

二次根式除法。

-概述说明以及解释1. 引言1.1 概述概述二次根式是代数中的一个重要概念，它是指具有形如√a的形式的根式，其中a是一个实数且a≥0。

在数学中，二次根式广泛应用于各个领域，例如代数、几何和物理等。

二次根式除法是指对两个二次根式进行除法运算，其中被除数和除数都可以表示为√a的形式。

本篇文章将对二次根式除法进行详细介绍。

首先，我们将从二次根式的定义开始，了解二次根式的基本概念和性质。

然后，我们将探讨如何化简二次根式，以便更好地利用二次根式进行计算和推导。

最后，我们将重点讲解二次根式的除法运算，包括除法原则、运算规则和常见的除法技巧。

通过学习本文，读者将能够全面理解二次根式除法的基本概念和操作方法。

这将为读者在解决数学问题和应用问题时提供有力的工具和方法。

此外，掌握二次根式除法还可以帮助读者更好地理解和应用更高级的数学知识，例如复数和高级代数等。

在本篇文章的结论部分，我们将对所学内容进行总结，并探讨二次根式除法在实际问题中的应用。

同时，我们还将展望二次根式除法在未来的发展前景，以及可能的研究方向和拓展应用领域。

通过深入学习和理解二次根式除法，我们相信读者将能够更加灵活和熟练地运用这一知识，从而在数学领域取得更好的成绩并应用于实际问题的解决中。

让我们开始探索二次根式除法的奇妙世界吧！文章结构部分的内容应该包括对整篇文章的组织和内容安排进行介绍。

以下是对“文章结构”部分的内容进行编写的一种方式：【1.2 文章结构】本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。

在引言部分中，我们将对二次根式的概念进行概述，介绍文章的结构和目的。

通过本部分的内容，读者将对文章的主题有一个初步的了解。

引言的目的是为了引起读者兴趣，使其对文章感到重要性和必要性。

正文部分是文章的主体，包含三个小节。

首先，我们将给出二次根式的定义，讲解二次根式是如何表示的以及其特点和性质。

其次，我们将介绍如何化简二次根式，包括提取公因式、合并同类项等方法。

二次根式的化简与运算

二次根式的化简与运算二次根式是数学中常见的一类表达式，它可以通过化简和运算来得到简化形式。

在本文中，我们将探讨二次根式的化简和运算方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、二次根式的化简方法二次根式通常以√a的形式出现，其中a是非负实数。

下面我们介绍几种常见的二次根式化简方法。

1. 提取因子法当二次根式内部存在可以被完全开方的因子时，我们可以使用提取因子法进行化简。

例如，对于√12，我们可以提取出其中的公因子4，得到2√3。

2. 合并同类项法如果多个二次根式具有相同的根号内部表达式，我们可以通过合并同类项来简化它们。

例如，对于√2 + √8，我们可以合并为√2 + 2√2，然后化简为3√2。

3. 有理化分母法当二次根式的分母为根号时，我们需要对其进行有理化分母。

具体做法是将根号内部的表达式乘上一个合适的因式，使得分母变为有理数。

例如，对于1/√3，我们可以乘以√3/√3，得到√3/3。

二、二次根式的运算方法除了化简，我们还可以进行二次根式的运算，包括加减乘除。

下面我们将分别介绍这些运算的方法。

1. 加减运算对于两个二次根式的加减运算，我们首先要合并同类项，即将具有相同根号内部表达式的项合并在一起。

然后，根据需要进行化简，得到最简形式。

例如，对于√2 + 2√2，我们可以合并为3√2。

2. 乘法运算二次根式的乘法运算可以通过将两个二次根式相乘，然后化简得到最简形式。

例如，(2√3)(3√3) = 6√9 = 6×3 = 18。

3. 除法运算二次根式的除法运算可以通过将一个二次根式除以另一个二次根式，然后化简得到最简形式。

例如，(4√2)/(2√2) = 4/2 = 2。

三、例题演练为了更好地理解和掌握二次根式的化简与运算，我们来解决一些例题。

1. 化简√27并写成最简形式。

解：我们可以应用提取因子法，将27分解为3×3×3。

然后，提取其中的完全平方数因子，得到√(3×3×3) = 3√3。

人教版初中数学八年级下册《二次根式的乘法》教学设计

人教版初中数学八年级下册《二次根式的乘法》教学设计一. 教材分析人教版初中数学八年级下册《二次根式的乘法》是本册教材中的一个重要内容，它涉及了二次根式的乘除运算，为学习二次根式的进一步运算奠定了基础。

此章节通过引入实际问题，引导学生探究二次根式的乘法运算规律，从而让学生掌握二次根式的乘法运算方法。

教材通过丰富的例题和练习题，使学生在实践中巩固所学知识，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数和无理数的基本概念，具备了一定的数学运算能力。

同时，学生对二次根式的概念、性质和加减法运算已经有了一定的了解。

因此，在教学过程中，可以充分利用学生已有的知识基础，通过启发式教学，引导学生探究二次根式的乘法运算规律。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次根式的乘法运算方法，能正确进行二次根式的乘法运算。

2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流等方法，培养学生的合作意识和团队精神。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：二次根式的乘法运算方法。

2.难点：理解并掌握二次根式乘法运算的规律，能灵活运用所学知识解决实际问题。

五. 教学方法1.启发式教学：通过设置疑问，引导学生主动探究二次根式的乘法运算规律。

2.小组合作：学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。

3.实践性教学：让学生在实际操作中感受二次根式乘法运算的方法，提高运算能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作涵盖本节课主要内容的教学PPT。

2.例题及练习题：准备适量的例题和练习题，以便进行课堂练习和巩固。

3.教学素材：准备一些与生活实际相关的问题，引导学生运用所学知识解决实际问题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，引导学生思考如何进行二次根式的乘法运算。

例如，计算下列式子：√2×√3√4×√9通过这些问题，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题。

二次根式乘除法(含答案)

一、知识聚焦：1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

ab = a · b （a≥0，b≥0）2．二次根式的乘法法例：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

a ·b ＝ab ．（a≥0，b≥0）3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方消除以除式的算术平方根a= a（a≥0，b>0）b b4．二次根式的除法法例：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

a =a（a≥0，b>0）bb5．最简二次根式：切合以下两个条件：（1）被开方数不含分母；（ 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。

6．分母有理化：把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”二、经典例题：例 1．化简(1)9 16(2)16 81(3)81 100(4)9x2 y2 ( x0, y 0 )(5)54例 2．计算(1) 5×7(2)35215(3)9× 27(4)1×623 2例 3．判断以下各式能否正确，不正确的请予以更正：(1)(4) (9)49(2)412 ×25=4×12 ×25 =412 ×25 =4 12 =83252525例 4．化简：(1)3(2)64b20,b0)9x(x 0, y 0) (4)5x( x 0, y 0) 649a2(a(3)169y264y2例 5．计算： (1)12(2)3111（）6432(3)41688例 6．以下各式中哪些是最简二次根式，哪些不是为何(1)a2 b(2)3ab(3)x2y2(4)a b(a b)(5)5(6)8xy32例 7.把以下各式化为最简二次根式：(1)12(2)22y45 a b(3)xx 例 8.把以下各式分母有理化(1) -42(2)2a37 a + b例 9.比较 3 2和2 3两个实数的大小答案：例 1. (1)12 (2)36(3)90(4)3xy(5)36例 2.（1）35（2）30 3（3）93（4）6例 3.(1)不正确．更正： ( 4)( 9)=49＝ 4× 9=2×3=6(2)不正确．更正：412×25 =112× 25=11225 = 112= 16 7 ＝4 7 252525例4.（1）3（ 2）8b（3）3 x（4）5x 83a8 y13y例 5. （ 1）2 （2）2 3（3）2（4）2 2例 6．(3) ，(4) ， (5) 是，其余不是例 7．(1)2 3 ,(2)3a 5b , (3)x xy例 8. (1)4 142a ab例 9.32 23(2)ab21三、基础操练：11. 计算① 16 × 8②3 6 ×2 10③ 5a ·ay2. 化简 : 20 ; 18 ; 24 ;12a 2b 2 (a>0,b>0)3. 把以下各式化为最简二次根式：(1) 8( x y)3(2)4 11(3)3 8n 322 3m4. 把以下各式分母有理化（ 1）3 （2）2 y 2 （x ＞0，y ＞0）404xy5. 比较大小 (1)67与76(2)-23与-32答案：1. ①=8 2② =12 15③= a y5 ；3 2 ； 26 ； 2ab 33.(1) 2( xy)2(x y) (2) 2 6 (3)n 6mn4.(1)30 y xym20(2)x5. 解： (1) 6 7<7 6 (2)- 2 3>- 32四、能力提高：1．若直角三角形两条直角边的边长分别为15 cm 和 12 cm ，? 那么此直角三角形斜边长是（）．A ．32 cm B ． 33 cm C ．9cm D ． 27cm2．以下各等式建立的是（）．A ．4 5 × 2 5 =85B ．5 3×4 2 =20 5C ．4 3×3 2=7 5D．5 3×4 2=20 63．计算112112的结果是（）．335A ．25 B ．2C ．2D ．2 7774. 二次根式：①9x 2；② (a b)(a b) ；③ a 22a 1 ；④1；⑤0.75 中最简二次根式是（）xA、①②B、③④⑤C、②③D、只有④5．1014=6．分母有理化 :(1)1=_________;(2)1=________(3)210=______.32125答案：1． B2． D3．A 4.A 5．13 66． (1)1=2;(2)1=3(3)210 =232612652五、个性天地：（LJJ00002）（1）80=_________；（2）3590710___________；5(ZZY00002)(103211；（）48 x7 y6__________．3_________3x2 y37103(SHY00002)已知 x=3，y=4， z=5，那么yz xy 的最后结果是 _______．答案：（LJJ00002）（1） 4 ；（2） 15 ；(ZZY00002) 5；（2） 4x2 y xy 7(SHY00002)153。

二次根式性质与运算

（1） 2(a 1) 2a 4
xy y2 （2）
x y
（3） 1 2 1
（4） 3 5 2 3 3 52 3
【例7】若最简二次根式 2 3
3m2 2 与 n21 4m2 10 是同类二次根式，求 m、n 的值．
计算：
【例8】
化简
1
1
1
n2 (n 1)2
，所得的结果为（
）
A．1 1 1 n n1
C．1 1 1 n n1
B． 1 1 1 n n1
D．1 1 1 n n1
1.【难度】1 星
【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或
0．
【答案】二次根式有： 2 、 x(x 0) 、 0 、 x y （x≥0，y≥0）；不是二次根式的
(3 5 2 3)2
19 4 15
3 5 2 3 (3 5 2 3) (3 5 2 3)
11
【答案】（1） (a 1) 2a 4 ；（2） y x y ；（3） 2 1；（4） 19 4 15 ．
a2
11
.7【难度】2 星
【解析】依题意，得
3m2 2 n2 1
或
m

2
2．
n 3 n 3 n 3
n 3
8..【难度】1 星【解析】待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．
(1
1 )2 n

2 n

(n
1 1)2

(
n 1)2 n

2 n

(n
1 1)2

二次根式的乘除法PPT课件

二次根式的乘除法PPT 课件
contents
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式乘法运算规则 • 二次根式除法运算规则 • 乘除混合运算及简化方法 • 在实际问题中应用举例 • 错题集锦与答疑环节
二次根式基本概念与
01
性质
二次根式定义及表示方法
定义
形如$sqrt{a}$（$a geq 0$）的式子叫做二次根式。
解析
首先将二次根式化为最简形式，$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{12} = 2sqrt{3}$。然后进行乘法运算，$2sqrt{2} times 2sqrt{3} = 4sqrt{6}$。
典型例题解析
• 例题2：计算$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}$。 • 解析：首先将二次根式化为最简形式，$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。然后
注意挖掘题目中的隐含条件，避免因为忽视条件而导致错误。
学生提问环节，老师答疑解惑
学生提问
老师，我在计算二次根式的乘法时总是出错，有什么方法可以避免吗？
老师回答
首先，你需要熟练掌握二次根式的乘法运算法则，其次在计算过程中要保持细心和耐心，注意每一步的计算准确性。同时，你可以通过多做练习题来提高自己的计算能力和准确性。
进行除法运算，$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 2$。 • 例题3：计算$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$。 • 解析：首先观察分子分母的特点，发现可以分母有理化。然后进行化简，
$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{3}) \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{18} + 3}{3} = \frac{3\sqrt{2} + 3}{3} = \sqrt{2} + 1$。

二次根式的乘除运算法则

二次根式的乘除运算法则
二次根式是指形式为√a的数，其中a是一个非负实数。

在进行二次根式的乘除运算时，可以运用以下乘除运算法则：
乘法法则：
对于任意的非负实数a和b，有以下乘法法则成立：
1.√a*√b=√(a*b)
两个二次根式的乘积等于将它们的被开方数相乘，再取平方根。

例如：
√2*√3=√(2*3)=√6
2.√a*√a=a
一个二次根式的平方等于它的被开方数。

例如：
√2*√2=2
除法法则：
对于任意的非负实数a和b（b不等于零），有以下除法法则成立：
1.√a/√b=√(a/b)
两个二次根式的商等于将它们的被开方数相除，再取平方根。

例如：
√6/√2=√(6/2)=√3
2.√a/√a=1
一个二次根式除以自己等于1
例如：
√2/√2=1
以上是二次根式的乘除运算法则。

在实际运用中，可以根据需要将乘法和除法往复进行，直到达到所需的结果。

需要注意的是，二次根式的乘法和除法运算并不是封闭运算，即两个二次根式相乘或相除得到的结果不一定是二次根式。

二次根式的除法法则

二次根式的除法法则二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数学、几何学和物理学等领域中都有广泛的应用。

二次根式的除法法则是一种用来计算、简化和操作二次根式的方法，它能够帮助我们更方便地处理这类数学问题。

在学习二次根式的除法法则之前，我们需要先了解什么是二次根式。

二次根式是指形如√a的数，其中a是一个正实数。

若a为正有理数，则√a为有理根，否则√a为无理根。

对于二次根式的除法，我们有以下几个重要的法则。

一、同底数的二次根式相除若a、b为正实数，则√a/√b = √(a/b)，其中a、b满足非零条件。

这个法则的应用比较简单，只需要将被除数和除数的底数相除，然后将商的根号提取出来即可。

例如，计算√16/√4，根据法则，我们可以直接得到√16/√4 = √(16/4)= √4 = 2。

二、二次根式的有理化分母当二次根式的分母为无理根时，我们通常使用有理化分母的方法，将其转化为有理数的形式。

有理化分母的思路是利用乘法的逆运算来消除分母中的根号。

具体步骤如下：1. 对于√a/√b，我们可以将分母有理化分为√a/√b * √b/√b =√(a*b)/√(b^2) = √(a*b)/b。

2. 若根号中含有二次根式，如√(a*√b)，我们可先将根号内的项分解为√a*√(√b) = √a*√(√b^2) = √a*b = b√a。

通过有理化分母的方法，我们可以将分母中的根号消去，将二次根式转化为有理数的形式，从而更方便地进行计算或化简。

三、扩展运用除了以上两个基本法则，二次根式的除法法则还可以与其他运算法则相结合，如加法、减法和乘法。

这样，我们就可以更广泛地应用除法法则来解决各类与二次根式相关的数学问题。

总结起来，二次根式的除法法则是一种用于计算、简化和操作二次根式的重要方法。

它包括同底数的二次根式相除和二次根式的有理化分母两个基本法则，并可以与其他运算法则相结合应用。

掌握了这些法则，我们就能更灵活地处理与二次根式相关的数学题目，提高解题效率。

二次根式的运算法则

二次根式的运算法则
二次根式的加法和减法
整式的加减归结为合并同类项。

二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式。

要点解析：
1。

二次根式的加减实际上就是合并同类二次根式，因此在进行
二次根式加减时，化简二次根式和合并同类二次根式是关键。

不是同类二次根式不能合并，如就是最简结果，不能再合并。

2。

有理数的交换律、结合律都适用于二次根式运算。

二次根式的乘法法则
两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。

要点解析：
1。

法则用数学式子表示，即：。

它是将积的算术平方根性质逆用得到的。

2。

根据这一法则可以对二次根式进行恒等变形，或将根号内的
因式变形后移到根号外，或将根号外面的非负因式平方后移到根号内。

3。

乘法交换律、结合律、分配律在二次根式中仍然适用，适当
地应用运算律有时会简化计算；
4。

法则可推广,如：
二次根式的除法法则
两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。

要点解析：
1。

法则用数学式子表示，即：。

它是将商的算术平方根性质逆用得到的。

2。

二次根式的混合运算顺序与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的。

3。

二次根式运算的结果必须化为最简根式。

二次根式常见题解法

二次根式的运算1.二次根式的乘除运算（1）运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。

（2）注意每一步运算的算理。

（3）乘法公式的推广：（4）注意乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式。

2.二次根式的加减运算需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

3.二次根式的混合运算（1）明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的。

（2）整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。

（3）二次根式运算结果应化简。

另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数或小数。

4.简化二次根式的被开方数（1）因式内移时，若m＜0，则负号留在根号外。

即：。

（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论。

即：。

二次根式的常用解法1.乘法公式法【例1】计算：【分析】因为，所以中可以提取公因式。

2.因式分解法【例2】化简：【分析】该题的常规做法是先进行分母有理化，然后再计算，可惜运算量太大，不宜采取。

但我们发现和可以在实数范围内进行因式分解。

3.整体代换法【例3】化简【分析】该代数式的两个分式互为倒数，直接进行运算计算量相当的大。

不妨另辟蹊径，设，，则，。

4.巧构常值代入法【例4】已知x2-3x+1=0，求的值。

【分析】已知形如ax2+bx+a=0（x≠0）的条件，所求式子中含有的项，可先将ax2+bx+a=0化为，即先构造一个常数，再代入求值。

实数及二次根式乘除运算 (讲义及答案)

实数及二次根式乘除运算（讲义）➢课前预习1.我们知道有理数包括整数和分数，请把下列分数写成小数的形式：5 2=____；35-=____；274=____；43=____；911=____．我们发现，上面的分数都可以写成有限小数或无限_________的形式．事实上，如果把整数看成小数点后是0的小数（例如，将3看成3.0），那么任何一个有理数都可以写成__________或___________的形式．反过来，任何_________或___________也都是有理数．2.在下列由边长为1的正方形组成的网格中，尝试利用勾股定理画出一个边长3.请根据算术平方根的定义与幂的运算法则，解决下列问题：（1=a≥0，b≥0）：①根据算术平方根的定义可知，ab的算术平方根是______；②2=22⋅=_________．是_________的算术平方根．对比①②的结果，你能得到的结论是___________________．（2）类似（1=a≥0，b＞0）：①根据算术平方根的定义可知，ab的算术平方根是_______；②2．是_________的算术平方根．对比①②的结果，你能得到的结论是___________________．➢知识点睛1._____________________称为无理数．2._____________________统称为实数，即实数可以分为有理数和数也可以分为_______、_______、_______．3.表示一个实数．即实数和数轴上的点是 _____________．4. 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．5. 一般地，形如_______________的式子叫做二次根式，”称为二次根号． 6. 二次根式的性质：=______（a ≥0，b ≥0）=_____（a ≥0，b ＞0）． 7. 一般地，被开方数不含_____，也不含能开得尽方的________，这样的二次根式叫做最简二次根式．化简时，通常要求最终结果中分母不含有_______，而且各个二次根式是________二次根式．8. 二次根式的乘法法则和除法法则：_________________________；_________________________．➢ 精讲精练1. 把下列各数填入相应的集合中：17-，0.3，2π，•7.3，3.141 59，0，-0.575 775 7775…（相邻两个5之间7的个数逐次加1）．（1）有理数集合{_______________________________…}；（2）无理数集合{_______________________________…}；（3）正实数集合{_______________________________…}；（4）负实数集合{_______________________________…}．2.下列说法正确的是（）A．无限小数都是无理数B．无理数都是无限小数C．有理数都是有限小数D．带根号的数都是无理数3.下列说法错误的是（）A．任何实数不是有理数就是无理数B．每一个实数都可以用数轴上一个点来表示C．绝对值最小的实数是0D．实数可分为正实数和负实数4.的相反数为_______2的相反数为_______；_______，_______．5.如图，已知OA=OB，则数轴上的点A所表示的数为______．6.1的点．321-1-2-3321-1-2-3321-1-2-37.a的取值范围是_____________．8.，，其中是最简二次根式的有（）个．A．1 B．2 C．3D．49.化简：（1；（2；解：原式= 解：原式=（3；（4；解：原式= 解：原式=（5）（6解：原式= 解：原式=；（8；（7（9（10解：原式= 解：原式= 10.计算：（1）；（2解：原式= 解：原式=（3（4解：原式= 解：原式=（5）(；（6÷解：原式= 解：原式=；（8（7）2解：原式= 解：原式=（9（10）÷4解：原式= 解：原式=（12）(-（11）解：原式= 解：原式=【参考答案】 ➢ 课前预习1. 2.5，0.6-，6.75，1.3·，0.8·1·循环小数有限小数，无限循环小数.有限小数，无限循环小数 2. 略3. （1ab ；ab =（2a b ；a b = ➢ 知识点睛1. 无限不循环小数2. 有理数和无理数，无理数，正实数，0，负实数3. 一一对应的5.0a ≥）6. ①a ，a，7. 分母，因数或因式，根号，最简8.00a b =≥≥，）00a b=>≥，）➢ 精讲精练1. （1）17-，0.3，3.7•，3.141 59，0（2，2π，0.5757757775-⋅⋅⋅（3，0.3，2π，3.7•，3.141 59（4）17-，0.5757757775-⋅⋅⋅2. B3. D4. ，2；45.6. 略7. 1a ≥8. B9. （1）21；（2）（3）（4）（5）；（6）3；（7 （8（9）4；（1010. （1）（2）12；（3）32；（4）（5）；（6）（7）（8；（9）（10）10；（11）5；（12）5-.。

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