2013年上学期高二期末质量测试卷(文科含答案)

2013年上学期期末质量检测试卷高二 数学(文科)一．选择题：请把正确选项填在答题栏中．（本题共８个小题，每题５分，共40分）1．设i 为虚数单位，复数为纯虚数，则实数a 为（ ）A. 2 C. 1 D. 1-2．下列说法正确的是（ ）A ．事件B A 、中至少有一个发生的概率一定比B A 、中恰有一个发生的概率大 B ．事件B A 、同时发生的概率一定比B A 、中恰有一个发生的概率小C ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件3．如图为函数log n y m x =+的图象，其中m、n 为常数，则下列结论正确（ ）A ．0m <，01n <<B ．0m <，1n >C ．0m >，01n <<D ．0m >，1n >4．直线02=-y x与直线042=+-a y x 的距离为，则a 的值为（ ） A ．10 C ．10± D ．5±5．已知两个正数a 、b 的等差中项是5，则2a 、2b 的等比中项的最大值为（ ） A. 10 B. 25 C 50 D. 100 6．如果右边程序执行后输出的结果是990，那么在程序中UNTIL 后面的“条件”应为( )A. i>10B. i<8C. i<=9D. i<97．已知x ，y 满足1420x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩, 则目标函数y x z +=2的最大值为（ ）Ａ.1 Ｂ．1-Ｃ．7 Ｄ．7-8．在ABC ∆中，设,AB AC=c =b ,点D 在BC 边上且（其中），则二．填空题（本大题7个小题，每题5分，共35分，请把答案填在题中横线上） 9．从四个公司按分层抽样的方法抽取职工参加知识竞赛，其中甲公司共有职工96人．若从甲、乙、丙、丁四个公司抽取的职工人数分别为12，21，25，43，则这四个公司的总人数为 ． 808 10,则该几何体的体积为．11．如右图，四边形ABCD BC=1，以A 为圆心，1为半径画圆，交线段AB 于E ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率为 ．12．函数c o s c o s 2y x x =+在[,]2x ππ∈上的最大值是 ．0 13．某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5次试验.根据收集到的数据(如下表），由最小二乘法求得回归方程0.6754.9y x =+，现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为 ．第11题图正视图侧视图俯视图第10题图14的值为 .【解析】替代x , 可得考点：类比推理 其它不等式的解法点评：本题是创新题目，考查理解能力，读懂题意是解答本题关键．是难题，将方程问题和不等式问题进行转化是解答本题的关键． 三．解答题：（本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（本小题满分13分）已知圆C 经过()3,2A 、()1,2B 两点，且圆心在直线2y x =上． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 经过点()1,2B 且与圆C 相切，求直线l 的方程． 【答案】（Ⅰ）5)4()2(22=-+-y x . （Ⅱ）052=-+y x 。

【解析】本试题主要是考查了直线与圆的位置关系的运用。

（1）设圆C 的方程为（x-a ）2+（y-b ）2=r 2，r ＞0，，依题意得： 222222(3)(22)(1)(22)t t rt t r⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，解出待定系数，可得圆 C 的方程．（2）当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程，由圆心到直线的距离等于半径解出k 值，从而得到直线l 的方程．解：（Ⅰ）方法1：设所求圆的方程为222()(2)x t y t r -+-=.依题意，可得………2分222222(3)(22)(1)(22)t t rt t r⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，……………………4分∴所求圆的方程为5)4()2(22=-+-y x .…………………7分 方法2：由已知，AB 的中垂线方程为：2=x . …………………2分由⎩⎨⎧==x y x 22得⎩⎨⎧==42y x .所求圆的圆心为C （2,4）.…………………………2分∴所求圆的方程为5)4()2(22=-+-y x.……………………7分 （Ⅱ）直线CB 的斜率为2………………10分 ，即052=-+y x ………………13分 2．某校的研究性学习小组为了研究中学生的身高与性别情况，在该校随机抽出80名17至18周岁的学生，其中身高170≥的男生有30人，女生4人；身高<170的男生有10人。

（2）请问在犯错误的概率不超过0.001的前提下，该校17至18周岁的学生的身高与性别是否有关？参考公式： 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，参考数据：【答案】（1）见解析；（2）在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为该校17至18周岁的学生身高与性别有关 【解析】本试题主要是考查了独立性检验思想的运用。

利用表格中的数据先列出22⨯列k 2的值，从而借助于概率值可知出错率不超过0.10的前提下，，认为该校17至18周岁的学生身高与性别有关。

解：（1）22⨯列联表如下：……6分，001.0)82.10(2≈>k P ……10分所以，在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为该校17至18周岁的学生身高与性别有关 ……12分4．如图，已知平面QBC 与直线PA 均垂直于Rt ABC ∆所在平面，且PA AB AC ==,QPABC（Ⅰ）求证：PA //平面QBC ；（Ⅱ）若PQ QBC ⊥平面，求CQ 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）只需证QD ∥PA ； 【解析】试题分析：（Ⅰ）证明：过点Q 作QD BC ⊥于点D ， ∵平面QBC ⊥平面ABC ，∴QD ⊥平面ABC ……2分 又∵PA ⊥平面ABC∴QD ∥PA , ………………2分 又∵QD ⊆平面QBC∴PA ∥平面QBC ………………6分（Ⅱ）∵PQ ⊥平面QBC ∴90PQB PQC ∠=∠=，又∵,PB PC PQ PQ == ∴PQB PQC ∆≅∆ ∴BQ CQ = ………………8分 ∴点D 是BC 的中点，连结AD ，则AD BC ⊥ ∴AD ⊥平面QBC ∴PQ ∥AD ，AD QD ⊥∴四边形PADQ 是矩形 ………………10分设2PA AB AC a ===，得：又∵,BC PA BC PQ ⊥⊥，∴BC PADQ ⊥平面，从而PBC PADQ ⊥平面平面，过Q 作QH PD ⊥于点H ，则：QH PBC ⊥平面 ∴QCH ∠是CQ 与平面PBC 所成角 ………………………………………………12分∴CQ 与平面PBC 所成角的正弦值为分3．（本题满分12（其中)0>ω的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值，并求函数)(x f 的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，若ABC ∆的面积为，求ABC ∆的外接圆面积.【答案】（Ⅰ）2ω=，【解(I)先利用三角恒等变换公式把f(x)转化为()，然后再根据周期确定出ω的值,再利用正弦函数的单调增(II)bc,再根据c 值，求出b,再利用余弦定理求出a,求出外接圆半径，从而求出ABC ∆的外接圆面积.解：…………（4分）)(x f ∴的单调递减区间为…（6分），又ABC ∆是锐角三角形，因此有7,49cos 2222==-+=a A bc c b aABC ∆的外接圆半径等于则ABC ∆的外接圆面积等于……… （12分） 5．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足，756S =．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足11b a =且11n n n b b a ++-=，求数列的前n 项和n T ． 【答案】(Ⅰ) 2n a n =．【解析】试题分析：(Ⅰ) {}n a Q 是等差数列且又306n a a >∴=Q ．…………………………………………………2分4分 432d a a ∴=-=，3(3)2n a a n d n ∴=+-=． ………………6分（Ⅱ）112n n n n b b a a n ++-==且Q ，12(1)n n b b n +∴-=+ 当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L22(1)222(1)n n n n =+-++⨯+=+L ，……………………8分当1n =时，12b =满足上式，(1)n b n n =+……………………………………………………10分………………………………………………12分 考点：本题主要考查等差数列的通项公式，裂项相消法求和。

点评：中档题，本题综合考查等差数列的基础知识，本解答从确定通项公式入手，明确了所研究数列的特征。

“分组求和法”“裂项相消法”“错位相消法”是高考常常考到数列求和方法。

（1）判断)(x f 的单调性并证明；（2）若m 满足)25()3(m f m f ->，试确定m 的取值范围。

（3）若函数)()(x f x x g ∙=对任意[]5,2∈x 恒成立，求a 的取值范围。

【答案】解：（1）)(x f 在[)+∞,1上为增函数。

（2）21≤<m（3）在[]6,3∈t 上为增函数，所以最小值为【解析】本试题主要是考查了函数的最值，和单调性的综合运用，以及不等式的恒成立的问题的综合运用。

（1）利用定义法设出变量，然后代入函数解析式得到差值，然后变形定号，下结论得到。

（2）在第一问的基础上得到不等式的求解。

（3）要证明不等式恒成立，构造新函数利用函数的最小值大于等于零得到证明。

解：,121x x <≤ 1,02121><-∴x x x x ，又1<a ，得021>-a x x0)()(21<-∴x f x f ，即)(x f 在[)+∞,1上为增函数。

（2）由（1）得：)(x f 在[)+∞,1上为增函数，要满足)3()25(m f m f <-只要m m 3251<-≤，得（3）a ax x x g ++=2)(，由①[][]6,31,5,2∈+∴∈x x ，那么①式可转化为[]5,2∈x 上恒成立。

即a大于函数在[]5,2∈x 上的最大值。

即求在[]5,2∈x 上的最小值。

令由（1t 上为增函数，所以最小值为∈高二年级文科数学试卷第11页（共11页）。