用三垂线法求二面角的方法

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高考数学专题：二面角三类问题六种解题策略方法

αβa

A B

二面角三类问题六种解题策略方法

二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，我们分为三类问题六种解题方法。从而给出二面角的通性通法。

第一类：有棱二面角的平面角的方法

方法1、定义法：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1、（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，

，，点M 在侧棱上，=60°

（I ）证明：M 在侧棱的中点（II ）求二面角的余弦值。证（I ）略

解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作，GF 交AS 于G ，

连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵为AM 的中点，

用三垂线法求二面角的方法

三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。

已知：如图, PB 是平面α的斜线, PA 是平面α的垂线, 直线a ⊂平面α,直线a 垂直;射影AB. 求证： a ⊥PB

证明：∵PA 是平面α的垂线, 直线a ⊂平面α

∴直线a ⊥PA 又∵直线a ⊥AB AB ⋂PA A = ∴直线a ⊥平面PAB 而PB ⊂平面PAB ∴a ⊥PB 总结：定理论述了三个垂直关系，①垂线PA 和平面α垂直;②射影AB 和直线a 垂直;③斜线PB 和直线a 垂直.

三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体几何中有广泛的应用。求二面角是高考考查的热点，三垂线法是求二面角最常用的方法,应用好定理的关键是实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化，因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。

运用三垂线法求二面角的一般步骠：

①作：过二面角的其中一个平面上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。. ②证：证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义) 。 ③求：二面角的平面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度) 。 1、如右图所示的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥且1BC CD ==

，AD =①求二面角

C AB

D --的大小；②求二面角B CD A --的大小；

1．解： ①∵AB ⊥面BCD ∴BC AB ⊥ BD AB ⊥

∴CBD ∠为二面角C AB D --的平面角 ∵BC CD ⊥且1BC CD ==∴CBD ∠=4

三垂线法求二面角测试题(含答案)

三垂线法求二面角

本文介绍了一种求解二面角的方法——三垂线法。该方法适用于各种不规则多面体，可以通过三个垂线的长度和夹角来计算出二面角的大小。

具体来说，三垂线法是指在多面体的某一面上，分别向相邻两个面垂线，以及向该面的法线垂线，得到三条垂线。然后通过这三条垂线的长度和夹角，利用三角函数计算出二面角的大小。

对于不规则多面体，可以将其分解为若干个规则多面体，然后分别计算每个规则多面体的二面角，最后将它们相加得到整个多面体的二面角。

三垂线法是一种比较简单实用的方法，但需要注意的是，计算过程中需要准确地测量垂线的长度和夹角，否则会影响计算结果的准确性。

用三垂线法求二面角的方法(新)

用三垂线法求二面角的方法

三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。已知：如图, PB 是平面α的斜线, PA 是平面α的垂线, 直线a ⊂平面α,直线a 垂直;射影AB. 求证： a ⊥PB

证明：∵PA 是平面α的垂线, 直线a ⊂平面α

∴直线a ⊥PA 又∵直线a ⊥AB AB ⋂PA A = ∴直线a ⊥平面PAB 而PB ⊂平面PAB ∴a ⊥PB

总结：定理论述了三个垂直关系，①垂线PA 和平面α垂直;②射影AB 和直线a 垂直;③斜线PB 和直线a 垂直.

运用三垂线法求二面角的一般步骠：

，AD =①求二面角

C AB

D --的大小；②求二面角B CD A --的大小；

1．解： ①∵AB ⊥面BCD ∴BC AB ⊥ BD AB ⊥

∴CBD ∠为二面角C AB D --的平面角 ∵BC CD ⊥且1BC CD ==∴CBD ∠=4

精品)三垂线法求二面角专题

1、已知正方形ABCD，AE=1，BE=3，求证平面ADE⊥平面BCE，求二面角B—AC—E的大小。

证明：

由题意，DA⊥平面ABE，且ABCD是正方形，故

DA⊥BC，即DA⊥BE。

又因为AE=1，BE=3，AB=2，所以BE⊥EA，即BE垂直于平面ADE。

因此，BE垂直于平面ADE和平面BCE，即平面ADE⊥平面BCE。

求二面角B—AC—E的大小：

过点E作EF⊥XXX与F，连接EG并延长交AC于G。

根据三垂线定理可得，XXX。

因此，∠EGF为二面角B—AC—E的平面角。

在直角三角形EFG中，tan(∠EGF)=EF/GF=6/7.

因此，∠EGF=arctan(6/7)=arcsin(6/√85)≈57.84°。

2、已知直角梯形ABCD，AB=BC=1，AD=2，PA⊥平面ABCD，PA=1，求点P到CD的距离、证明平面PAC⊥平面PCD，求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小。

点P到CD的距离为PC，因为XXX⊥平面ABCD且

PC⊥CD。

证明平面PAC⊥平面PCD：

因为ABCD是直角梯形，所以AC⊥CD。

又因为XXX⊥平面ABCD，PC⊥CD，且AC与PC的交

点为C，所以CD垂直于平面PAC，即平面PAC⊥平面PCD。

求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小：

延长XXX的延长线于G，连接PG。

XXX⊥平面PAB，所以AH⊥PG。

因此，∠AHD为平面PAB与平面PCD所成二面角的平

面角。

根据勾股定理，DG=√5，AG=3/2，AH=√5/2.

因此，tan(∠AHD)=2/√5，所以

二面角的找法

定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线(如图(1))．

垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，

即为二面角的平面角(如图(2))．

三垂线法：在一个半平面内不同于棱上的点A 向另一个半平面作垂线，垂足为B ，由点B 向二面角的

棱作垂线，垂足为O ，连结AO ，则∠AOB 为二面角的平面角(如图（3）)．

面积射影法：根据三角形面积(S )与其射影面积(S ′)之间的关系cos θ＝S S '确定面ABC 与面A ′BC 所成的

角θ(如图(4))．

例题

1、已知二面角α-l -β，其大小为90°，A ∈α，B ∈β，线段AB ＝2a ，AB

与α成45°的角，与β成30°的角，过A 、B 作l 的垂线AC 、BD ，C 、D 分

别是垂足，求二面角C -AB -D 的余弦值．

解：定义法：在平面ABD 内，作DF ⊥AB 于F ，在平面ABC 内作

FH ⊥AB 于F ，交BC 于点H ，连结DH ．

则∠HFD 为二面角C -AB -D 的平面角．

∴ AB ⊥面HFD ，∴ AB ⊥HD ．

∵ α-l -β是直二面角，∴ AC ⊥l ．

∴ AC ⊥平面β．

又∵ DH ⊂β，∴ AC ⊥DH ，

又∵ AC ∩AB ＝A ，

∴ HD ⊥平面ABC ，

∵ HF ⊂平面ABC ，

∴ HD ⊥HF ，

∴ △DHF 为Rt △．

∵ AC ⊥β，

∴ ∠ABC 为AB 与β所成的角，

∴ ∠ABC ＝30°．

同理可得，∠BAD ＝45°．

二面角(三垂线法)

二面角（垂线法）

例 1 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M，又知AA1与底面ABC所成的角为60°．

(1)求证：BC⊥平面AA1CC1；

(2)求二面角B一AA1—C的大小．

练习：如图，在四棱锥P--ABCD 中，地面ABCD 是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，060

PAB ∠=

(1)证明：AD PAB ⊥平面

(2)求异面直线PC 与AD 所成的角的大小

（3）求二面角P BD C --

例2．点P 在平面ABC 外，ABC ∆是等腰直角三角形，90ABC ︒∠=，PAB ∆是正三角形，PA BC ⊥。

（1）求证：⊥平面PA B 平面A BC ；

P AC B --的大小。

B 练习．ABCD ABEF ABCD ⊥平面平面，是正方形，ABEF 是矩形且AF=12

AD=a ，G 是EF 的中点，（1）求证：AGC BGC ⊥平面平面；

（2）求GB 与平面AGC 所成角的正弦值；

（3）求二面角B AC G --的大小。

二面角求解方法

二面角的作与求之马矢奏春创作

求角是每年高考必考内容之一, 可以做为选择题, 也可作为填空题, 时常作为解答题形式呈现, 重点掌控好二面角, 它一般呈现在解答题中.下面就对求二面角的方法总结如下：

1、界说法：在棱上任取一点, 过这点在两个面内分别引棱的垂线, 这两条射线所成的角就是二面角的平面角.

2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线, 再由垂足向棱作垂线获得棱上的点.斜足与面上一点连线, 和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角.

3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面, 截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角.

4、投影法：利用s

投影面

被投影面θcos

这个公式对斜面三角形,

任意多边形都成立, 是求二面角的好方法.尤其对无棱问题

5异面直线距离法： EF 2

=m 2

+n 2

+d 2

－2mn θcos

例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点, 而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形, PA=6,求二面角P-BC-A 的年夜小.

分析：由于这两个三角形是全等的三角形, 故采纳界说法

解：取BC 的中点E, 连接AE 、PE

AC=AB, PB=PC ∴AE ⊥ BC, PE ⊥BC

∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角

在PAE ∆中AE=PE=3, PA=6

∴PEA ∠=90

∴二面角P-BC-A 的平面角为900

例2：已知ABC ∆是正三角形, ⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的年夜小.

[思维]二面角的年夜小是由二面角的平面角来怀抱的, 本题可利用三垂线定理（逆）来作平面角, 还可以用射影面积公式或异面直线上两点间距离公式求二面角的平面角.

高中数学立体几何三垂线法求二面角应用技巧讲解

三垂线法求二面角

1.直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的

角。

2.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的

射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

3.三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过这个平面的一条

斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

如图1，在二面角α—l一β中，过平面α内一点A作AO⊥平面β，垂足为O，过点O作OB⊥l于B(过A点作AB⊥于B)，连结AB(或OB)，由三垂线定理(或逆定理)知AB⊥l(或OB⊥l)，则∠ABO为二面角α—l—β的平面角．

4.三垂线法三部曲（两垂一连）

（1）作面的垂线（任一个半平面的垂线）

（2）作棱的垂线

（3）连线

例1 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC 的射影恰为AC的中点M，又知AA1与底面ABC所成的角为60°．

(1)求证：BC⊥平面AA1CC1；

(2)求二面角B一AA1—C的正切值．

例2 如图3，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC＝90°，SA

⊥面ABCD，SA=AB=BC＝1，AD＝

(1)求四棱锥S—ABCD的体积；

(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

例3.如图, 在△ABC中, AB⊥BC, SA⊥平面ABC, DE垂直平分SC, 且分别交AC,SC于D,E, 又SA=AB, SB=BC, 求二面角E-BD-C的大小.

例4.已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB = 2，BC = BB1 =1 ，E为D1C1的中点，求二面角E－BD－C的大小．

二面角的三垂线法

三垂线法是求二面角的一种方法，其步骤如下：

在二面角的棱上选一点，向两个半面画垂直线。

作出过这个点和垂足的直线，这条直线称为三垂线。

根据三垂线的性质，如果一个平面内一点与另一个平面的一条直线分别构成一组垂线，则这两平面的交线与该直线垂直。

通过三垂线与两个半面的交点作垂直线，这两条垂直线的夹角即为二面角的角度。

需要注意的是，三垂线法需要满足一定的条件才能使用，并且求出的二面角可能存在多解的情况。因此，在具体应用时需要根据实际情况进行判断和选择。

求二面角的基本方法

解题宝典

二面角是立体几何的重要内容，也是各类试题考查的重点内容.求二面角问题主要考查作二面角的平面角的方法以及同学们的空间想象能力.本文重点介绍求二面角的三种基本方法：定义法、三垂线法、公垂面法.

一、定义法

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱.以二面角棱上的任意一点O 为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线OA 、OB ，则∠AOB 就是此二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量.在求二面角的大小时，我们只要根据二面角的平面角的定义作出平面角，通过解三角形，即可求得平面角的大小.

例1.已知二面角α-a -β等于120°，PA ⊥α，A

∈α,PB ⊥β，B ∈β，求∠APB 的大小.

分析：本题可运用定义法求解，首先需要根据二面角的定义作出二面角的平面角.为了求得∠APB ，可过A 作二面角棱的垂线交棱于O 点，连接OB ,使APBO 在同一平面内，这样便可运用四边形的内角和

为360o

的定理求得结果.

解：如图1，过A 作二面角棱的垂线交棱于O 点，连接OB ,

∵PA ⊥α，a ⊂α，∴PA ⊥a ，同理PB ⊥a ，∴a ⊥平面PAB 又∵OA ⊂平面PAB ，∴a ⊥OA ，

且O 、P 、A 、B 四点共面，同理a ⊥OB ，

∴∠AOB 是二面角α-a -β的平面角.在四边形PAOB 中，∠AOB =120°，∠PAO =∠POB =90°，

∴∠APB =60°.

图3

图1图2

二、三垂线法

三垂线法是指运用三垂线定理求二面角的方法.我们首先要找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得到二面角的平面角.在运用三垂线法解题时，只需要构造出三条垂线，便可利用三垂线定理来证明所作的角为二面角的平面角.

求二面角方法——3垂面法

二面角——垂面法垂面法：

作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.

1.设P 是二面角α－l －β内一点，P 到面α、β的距离PA 、PB 分别为8和5，且AB ＝7，求这个二面角的大小。解：作AC ⊥l 于c ，连结BC

∵PA ⊥α，l α∴PA ⊥l

又AC ⊥l ，AC ∩PA ＝A

∴l ⊥平面PAC ∴l ⊥PC

∵PB ⊥β，l β∴PB ⊥l

又PB ∩PC ＝P ∴l ⊥平面PBC

∴平面PAC 与平面PBC 重合，且l ⊥BC

∴∠ACB 就是所求的二面角

△PAB 中，PA ＝8，PB ＝5，AB ＝7∴∠P ＝60

0 ∴∠ACB ＝1200

1.如图三棱锥P －ABC

中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝32

，

D 是BC 的中点，且△ADC 是 D

P C B

边长为2的正三角形，求二面角P －AB －C 的大小。解：由已知条件，D 是BC 的中点

∴CD ＝BD ＝2又△ADC 是正三角形

∴AD ＝CD ＝BD ＝2

∴D 是△ABC 之外心又在BC 上

∴△ABC 是以∠BAC 为直角的三角形，

∴AB ⊥AC ，又PC ⊥面ABC

∴PA ⊥AB(三垂线定理)

∴∠PAC 即为二面角P －AB －C 之平面角，易求∠PAC ＝30°

2．如图， PA=BC=6，AB=8，PB=AC=10，

234PC ，F 是线段PB 上一点，

1734

15CF ，点E 在线段AB 上，且EF

⊥PB

（I ）求证：PB ⊥平面CEF

（II ）求二面角B —CE —F 的大小

三垂线法求二面角例题

三垂线法是求取夹角的一种实用方法，具体操作如下：

1、首先，找出三垂线法求解问题中的三角形，把三角形的底边放在

水平线上，然后给出需要求取夹角的两条边，得出三角形的两个内角；

2、然后，绘制三垂线，从三角形的顶点向垂足引出垂线，使得三角

形的两个其他内角的垂足落在同一条直线上；

3、最后，从两个内角的垂足开始，向夹角的顶点作用射线，两射线

之间所成的夹角即为所求夹角。

例如，求△ABC中∠C夹角，用三垂线法可做如下计算：

首先，将△ABC的底边BC放在水平线上，得出△ABC的两个内角∠A、∠B；

然后，绘制三垂线，从三角形的顶点A向垂足引出垂线，使得∠A的

垂足F、∠B的垂足G落在同一条直线上；

最后，从F、G开始，向∠C的顶点C作用射线，两射线之间所成的

夹角即为△ABC的∠C夹角。

二面角求解方法

教师: 学生: 年级: 科目：课次：时间: 年月日内容：二面角求解方法总结

二面角的作与求

求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下：

1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。

3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。

4、投影法：利用s

投影面

被投影面

θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，

是求二面角的好方法。尤其对无棱问题

5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos

例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，

PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。

分析：由于这两个三角形是全等的三角形，故采用定义法

解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE

AC=AB ，PB=PC ∴

AE ⊥ BC ，PE ⊥BC

∴PEA ∠为二面角

P-BC-A 的平面角

在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6

∴PEA ∠=900

∴二面角

P-BC-A 的平面角为900。

例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点间距离公式求二面角的平面角。

求二面角的方法

解题宝典

空间角主要包括异面直线所成的角、直线与平面

所成的角、二面角.二面角是指从一条直线出发的两个

半平面所组成的图形.求二面角的大小是一类常见的

问题.本文重点介绍求二面角大小的四种方法:定义

法、向量法、面积投影法、三垂线定理法.

一、定义法

过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作

与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平

面角.一般地，要求得二面角的大小只需要求出二面角

的平面角的大小即可.在求二面角的大小时，我们可以

根据二面角的平面角的定义来求解.首先在二面角的

棱上选取一点，在两个面内作棱的垂线，则两条垂线

的夹角，即为二面角的平面角，求得平面角的大小即

可得到二面角的大小.

例题：如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面

ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．

（1）证明：BE⊥EB1C1；

（2）若AE=A1E，求二面角B-EC-C1正弦值．

图1图2

解：（1）略；

（2）由（1）知∠BEB1=90°．

由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB=45°，

故AE=AB，AA1=2AB．

如图2所示，在平面BCE内过B点作BM⊥CE于

点M，取棱CC1的中点N，连结MN,EN.

因为EC1=EC，所以EN⊥CC1，

所以ΔCEN为直角三角形.

因为BC⊥BE，所以ΔCEB为直角三角形.

令AB=1，则BC=NC=1,BE=EN=2,CE=3，

所以RtΔBEC≌RtΔNEC，

所以MN⊥EC，

则∠BMN即为二面角B-EC-C1的平面角.

在RtΔBEC中，sin∠BCE=BE CE=BM BC，

求二面角办法——3垂面法

二面角——垂面法

垂面法：

作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的

角为二面角的平面角.

1.设P 是二面角α－l －β内一点，P 到面α、β的距离PA 、PB 分别为8和5，且AB

＝7，求这个二面角的大小。，连结BC

α∴PA ⊥

l AC∩PA ＝A

1.ADC

解：由已知条件，D是BC的中点

∴CD＝BD＝2又△ADC是正三角形

∴AD＝CD＝BD＝2

∴D是△ABC之外心又在BC上

∴△ABC是以∠BAC为直角的三角形，

∴

2．

，点PC=

（II

（I）证明：∵2

2100

36PC

PA=

∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证

△PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形，△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形。

故PA ⊥平面ABC 又∵306102

1||||21=⨯⨯==∆BC AC S PBC 而PBC S CF PB ∆==⨯⨯=3017341534221||||21

故CF ⊥PB,又已知EF ⊥PB