离散型随机变量的均值与方差复习测试卷

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03离散型随机变量的均值与方差(检测+答案)

离散型随机变量的均值与方差一、均值1则称E(X)＝ x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 2．若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则Y 也是随机变量，且E(aX ＋b)＝aE(X)＋b.3． (1)若X 服从两点分布，则E(X)＝p ； (2)若X ～B(n ，p)，则E(X)＝np . 二、方差1．设离散型随机变量X 的分布列为则 (xi －E(X))2描述了x i (i ＝1,2，……，n )相对于均值E (X )的偏离程度，而D (X )＝()()21ni i i x E X p =-∑为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差． 2．D(a X ＋b)＝a D(X)3．若X 服从两点分布，则D(X)＝ p(1－p)． 4．若X ～B(n ，p)，则D(X)＝np(1－p) ．例1：已知X 的分布列X －1 0 1P 12 13 16则在下列式子中(1)E (X )＝－13；(2)D (X )＝2327；(3)P (X ＝0)＝13，正确的个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：由E (X )＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，知(1)正确．由D (X )＝2113⎛⎫-+ ⎪⎝⎭×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59知(2)不正确．由分布列知(3)正确．子记为X,则X 的数学期望为（） A.100 B.200 C.300 D.400 答案： B例3：设X ～B (n ，p )，若E (X )＝12，D (X )＝4，则n ，p 的值分别为 ( )A ．18和23B ．16和12C ．20和13D ．15和14解：由⎩⎪⎨⎪⎧np ＝12，np (1－p )＝4得n ＝18，p ＝23.解：X ＝0时，C 27C 210＝2145，X ＝1时，P ＝C 17C 13C 210＝2145，X ＝2时，P ＝C 23C 210＝345.∴EX ＝0×2145＋1×2145＋2×345＝35.则E(X)=_____.X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p nX x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平均水平的估计，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，常用于对随机变量稳定于均值情况的估计．方差越大表明平均偏离程度越大，说明随机变量取值越分散．反之，方差越小，随机变量的取值越集中．3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．若Y ＝2X ＋1，则 Y 的数学期望E (A ．－1 B.2 C ．1 D.29两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩．假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的，根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表：甲系列：乙系列：(1)若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列，说明理由，并求其获得第一名的概率； (2)若该运动员选择乙系列，求其成绩X 的分布列及其数学期望E(X)．解：(1)若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列．理由如下：选择甲系列最高得分为100＋40＝140＞118，可能获得第一名；而选择乙系列最高得分为90＋20＝110＜118，不可能获得第一名．2．若随机变量服从二项分布，即X ～B(n ，p)可直接使用公式E(X)＝np 求解，可不写出分布列． 3．注意运用均值的线性运算性质即Y ＝ax ＋b 则E(Y)＝aE(X)＋b.例9：有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下：其中X 和Y 分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好．试从期望与方差的指标分析该用哪个厂的材料．解：E(X)＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，D(X)＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4；E(Y)＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9；D(Y)＝(8－9)2×0.4＋(9－9)2×0.2＋(10－9)2×0.4＝0.8.由此可知，E(X)＝E(Y)＝9，D(X)＜D(Y)，从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同，但甲厂材料相对稳定，应选甲厂的材料．例10：已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是 ( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6 解：由已知随机变量ξ＋η＝8，所以有η＝8－ξ.因此，求得E(η)＝8－E(ξ)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.例11：袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X 的取值越分散，反之D(X)越小，X 的取值越集中． 2．若X ～B(n ，p)，则D(X)＝np(1－p)可直接用不必求E(X)与分布列.例12：某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．求该市的任4位申请人中： (1)恰有2人申请A 片区房源的概率；。

离散型随机变量的均值与方差(含答案)

离散型随机变量的均值与方差测试题（含答案）一、选择题1．设随机变量()~,B n p ξ，若()=2.4E ξ，()=1.44D ξ，则参数n ，p 的值为（） A ．4n =，0.6p = B ．6n =，0.4p = C ．8n =，0.3p = D ．24n =，0.1p =【答案】B【解析】由随机变量()~,B n p ξ，可知()==2.4E np ξ，()=(1)=1.44D np p ξ-，解得6n =，0.4p =．考点：二项分布的数学期望与方差．【难度】较易2．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则p =（） A ．13B ．23C ．15D ．25【答案】A考点：二项分布的数字特征. 【题型】选择题【难度】较易3．若随机变量),(~p n B ξ，91035==ξξD E ，，则=p ( ) A. 31 B. 32 C. 52D.53 【答案】A【解析】由题意可知，()5,3101,9E np D np p ξξ⎧==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩解得5,1,3n p =⎧⎪⎨=⎪⎩故选A.考点：n 次独立重复试验.【题型】选择题【难度】较易4．若随机变量ξ的分布列如下表，其中()0,1m ∈，则下列结果中正确的是（）ξ0 1Pm nA ．()()3,E m D n ξξ== B ．()()2,E m D n ξξ== C ．()()21,E m D m m ξξ=-=- D ．()()21,E m D m ξξ=-=【答案】C考点：离散型随机变量的概率、数学期望和方差．【题型】选择题【难度】较易5．已知ξ～(,)B n p ，且()7,()6E D ξξ==，则p 等于( )A.71 B.61 C.51D.41 【答案】A【解析】∵ξ～(,)B n p ，∴()7,()(1)6E np D np p ξξ===-=，∴149,7n p ==，故选A.考点：二项分布的期望与方差. 【题型】选择题【难度】较易6．设随机变量ξ～(5,0.5)B ，若5ηξ=，则E η和D η的值分别是（）A ．252和254 B ．52和54 C ．252和1254 D ．254和1254【答案】C【解析】因为随机变量ξ～(5,0.5)B ，所以5.25.05=⨯=ξE ，25.15.05.05=⨯⨯=ξD ，所以E η=252，D η=1254. 考点：二项分布，数学期望，方差. 【题型】选择题【难度】较易7．设随机变量ξ的分布列为下表所示，且 1.6E ξ=，则a b -= （）A ．－0.2B ．0.1C ．0.2D ．－0.4 【答案】A【解析】由题中分布列可得0.8a b +=，20.3 1.6a b ++=，则0.3,0.5a b ==，0.2a b -=-，故选A.考点：随机变量的期望. 【题型】选择题【难度】较易8．有5支竹签，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3支，以X 表示取出竹签的最大号码，则EX 的值为（） A ．4B ．4.5C ．4.75D ．5【答案】B考点：随机变量的期望.【题型】选择题【难度】较易9．随机变量X的分布列如表所示，2EX=，则实数a的值为( )Xa234P 13b1614A.0B.13C.1D.32【答案】A【解析】11111,3644b b+++=∴=Q,又11112342,03464a a⨯+⨯+⨯+⨯=∴=Q.考点:随机变量的期望. 【题型】选择题【难度】较易10．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ服从二项分布1(5,)4B，则()Eξ-的值为（）A．14B．14-C．54D．5 4 -【答案】D【解析】因为1(5,)4Bξ:，所以15()5.44E Eξξ-=-=-⨯=-故选D.考点：二项分布的含义和性质. 【题型】选择题【难度】较易11．已知102a <<，随机变量ξ的分布列如下表，则当a 增大时（） ξ1-0 1Pa12a - 12A.()E ξ增大，()D ξ增大B.()E ξ减小，()D ξ增大C.()E ξ增大，()D ξ减小D.()E ξ减小，()D ξ减小【答案】B考点：离散型随机变量的期望与方差. 【题型】选择题【难度】一般12．甲命题：若随机变量2~(3,)N ξσ，若(2)0.3P ξ≤=，则(4)0.7P ξ≤=.乙命题：随机变量~(,)B n p η，且300E η=，200D η=，则13p =，则正确的是（） A ．甲正确，乙错误 B ．甲错误，乙正确 C ．甲错误，乙也错误 D ．甲正确，乙也正确【答案】D考点：正态分布，期望，方差，命题的真假判定．【题型】选择题【难度】一般13．据气象预报，某地区下月有小洪水的概率为0.2，有大洪水的概率为0.05．该地区某工地上有一台大型设备，两名技术人员就保护设备提出了以下两种方案：方案一：建一保护围墙，需花费4000元，但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临时，设备会受损，损失费为30 000元．方案二：不采取措施，希望不发生洪水，此时小洪水来临将损失15000元，大洪水来临将损失30000元．以下说法正确的是（）A ．方案一的平均损失比方案二的平均损失大B ．方案二的平均损失比方案一的平均损失大C ．方案一的平均损失与方案二的平均损失一样大D ．方案一的平均损失与方案二的平均损失无法计算【答案】A 【解析】用1X 表示方案i （1,2i =）的损失，则1()300000.054000150040005500E X =⨯+=+=，2()300000.05150000.2150030004500E X =⨯+⨯=+=．综上可知，采用方案一的平均损失大．考点：期望的实际应用．【题型】选择题【难度】一般14．若X 是离散型随机变量，1221(),()33P X x P X x ====且12x x <，又42(),()39E X D X ==，则12x x +的值为（）A ．3B ．53C ．73D ．113【答案】A考点：离散型随机变量期望与方差．【题型】选择题【难度】一般15．设随机变量()2,X B p :，随机变量()3,Y B p :，若()519P X ≥=，则()31D Y +=（）A ．2B ．3C ．6D ．7 【答案】C【解析】∵随机变量()2,X B p :，∴()()()20251101C 19P X P X p ≥=-==--=，解得13p =， ∴()1223333D Y =⨯⨯=，∴()231963D Y +=⨯=，故选C ．考点：二项分布，方差．【题型】选择题【难度】一般16．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望()ξE 为（） A ．24181 B ．26681 C ．27481 D ．670243【答案】B【解析】依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为95313222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有()952==ξP ，()812095944=⋅==ξP ，()81169462=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ξP ，故()812668116681204952=⨯+⨯+⨯=ξE ，故选B.考点：离散型随机变量的数学期望. 【题型】选择题【难度】一般17．已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若()0,()1E X D X ==，则,a b 的值分别是（）X 1-0 1 2Pabc112A.51,248B.51,62C.31,53D.51,124【答案】D考点：离散型随机变量的期望与方差. 【题型】选择题【难度】一般二、填空题18．已知随机变量η=23+ξ，且()2D ξ=，则()D η=________. 【答案】18【解析】η=23+ξ，则()()99218D D ηξ==⨯=. 考点：方差的性质. 【题型】填空题【难度】较易19．已知随机变量X 的分布列如下表所示，则(68)E X += .X 1 2 3 P 0.2 0.40.4【答案】21.2 【解析】由分布列得()2.24.034.022.01=⨯+⨯+⨯=X E ，则()()2.218686=+=+X E X E .考点：离散型随机变量与分布列. 【题型】填空题【难度】较易20．已知随机变量()~5,0.2X B ，21Y X =-，则()E Y =，标准差()Y σ= ．【答案】1；455考点：二项分布，期望与标准差．【题型】填空题【难度】一般21．设p 为非负实数，随机变量ξ的分布列如下表，则()D ξ的最大值为_________.ξ0 1 2p12p - p12【答案】1【解析】由随机变量ξ的分布列的性质，得101,201,p p ⎧≤-≤⎪⎨⎪≤≤⎩解得0≤p ≤12.()1E p ξ=+，则()D ξ=()()()22222111501112112224p p p p p p p p ⎛⎫⎛⎫--⨯-+--⨯+--⨯=--+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴当0p =时，()D ξ取最大值，()max D ξ=15144-+=.考点：离散型随机变量及其分布列.【题型】填空题【难度】一般三、解答题22．某大学依次进行A科、B科考试，当A科合格时，才可考B科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过．甲同学参加考试，已知他每次考A科合格的概率均为23，每次考B科合格的概率均为12.假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响．（1）求甲恰好3次考试通过的概率；（2）记甲参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望.【答案】（1）518（2）分布列见解析，期望()83Eξ=考点：独立事件的概率，随机变量的概率和期望. 【题型】解答题【难度】一般23．第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国3851322816俄罗斯2423273226（1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为45，丙猜中国代表团的概率为35，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X，求X的分布列及数学期望EX.【答案】（1）茎叶图见解析，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值，俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散（2）分布列见解析，115 EX考点：茎叶图，独立事件的概率，随机变量的概率和期望. 【题型】解答题【难度】一般24．为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表，记成绩不低于70分者为“成绩优良”.分数 [5059)，[6069)，[7079)，[8089)，[90100)，甲班频数 5 6 4 4 1 乙班频数13565（1）由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计附：()()()()()()2n ad bc K n a b c d a c b d a b c d -==+++++++.临界值表：()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010k 2.706 3.841 5.024 6.635（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关” （2）分布列见解析，4 5考点：独立性检验，离散型随机变量的期望与方差.【题型】解答题【难度】一般25．某校高三年级有400人，在省普通高中学业水平考试中，用简单随机抽样的方法抽取容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图（如图）.（1）求第四个小矩形的高；（2）估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在120分以上的学生大约有多少人？（3）样本中，已知成绩在[140,150]内的学生中有三名女生，现从成绩在[140,150]内的学生中选取3名学生进行学习经验推广交流，设有X名女生被选取，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)0.028(2)280(3)分布列见解析，3 2考点：频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和期望.【题型】解答题【难度】一般26．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：050:为优；51100:为良；100151:为轻度污染；151200:为中度污染；201300:为重度污染；大于300为严重污染.一环保人士记录去年某地某月10天的AQI 的茎叶图如下.（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI 100≤）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）将频率视为概率，从本月随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望.【答案】（1）18 （2）分布列见解析，1.8考点：古典概型，二项分布. 【题型】解答题【难度】一般27．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（2）以上样本述数据来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）列联表见解析，有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关（2）分布列见解析，65考点：独立性检验，离散型随机变量的分布列.【题型】解答题【难度】一般28．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生50,100内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见下表，规定：的原始成绩均分布在[]C B A 、、三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[)50,60，[)[)[)[)60,70,70,80,80,90,90,100的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示. （1）求n 和频率分布直方图中的,x y 的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A C 、两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示所抽取的3名学生中为C 等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望.百分制 85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级A B C D【答案】(1)50,0.004n x ==，0.018y = (2)9991000 （3）分布列见解析，94E ξ=所以ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P12202722027552155()127272190123.22022055554Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=考点：频率分布直方图及对立事件的概率公式，数学期望计算公式等有关知识的综合运用．【题型】解答题【难度】一般。

高中数学离散型随机变量的均值与方差综合测试题(附答案)-文档资料

高中数学离散型随机变量的均值与方差综合测试题（附答案）散型随机变量的均值与方差习题课一、选择题1．已知随机变量X的分布列是X 1 2 3P 0.4 0.2 0.4则E(X)和D(X)分别等于()A．1和0 B．1和1.8C．2和2 D．2和0.8[答案] D[解析] E(X)＝10.4＋20.2＋30.4＝2D(X)＝(2－1)20.4＋(2－2)20.2＋(2－3)20.4＝0.8. 2．已知随机变量X的分布列为X 0 1 2P 715715115且＝2X＋3，且E()等于()A.35B.65C.215D.125[答案] C[解析] ∵E(X)＝0175＋1715＋2115＝35，E()＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝215.3．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为()A．0.4 B．1.2C．0.43 D．0.6[答案] B[解析] ∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，E(X)＝30.4＝1.2＝65.4．已知X的分布列为X 1 2 3 4P 14131614则D(X)的值为()A.2912B.121144C.179144D.1712[答案] C[解析] ∵E(X)＝114＋213＋316＋414＝2912，E(X2)＝1214＋2213＋3216＋4214＝8512，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝179144.5．已知X的分布列为X －1 0 1P 121316若＝2X＋2，则D()的值为()A．－13 B.59C.109D.209[答案] D[解析] E(X)＝－112＋013＋116＝－13，D(X)＝－1＋13212＋0＋13213＋1＋13216＝59，D()＝D(2X＋2)＝4D(X)＝459＝209.6．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X为途中遇到红灯的次数，则随机变量X的方差为() A.65 B.1825C.625D.18125[答案] B[解析] 由X～B3，25，D(X)＝32535＝1825.7．已知X服从二项分布B(n，p)，且E(3X＋2)＝9.2，D(3X ＋2)＝12.96，则二项分布的参数n、p的值为()A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1[答案] B[解析] 由E(3X＋2)＝3E(X)＋2，D(3X＋2)＝9D(X)，及X～B(n，p)时E(X)＝np.D(X)＝np(1－p)可知3np＋2＝9.29np(1－p)＝12.96n＝6p＝0.48．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表甲的成绩环数 7 8 9 10频数 5 5 5 5乙的成绩环数 7 8 9 10频数 6 4 4 6丙的成绩环数 7 8 9 10频数 4 6 6 4s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有()A．s3s2 B．s2s3C．s1s3 D．s2s1[答案] B[解析] 计算可得甲、乙、丙的平均成绩为8.5.s1＝120[5(7－8.5)2＋5(8－8.5)2＋5(9－8.5)2＋5(10－8.5)2]＝2520.同理，s2＝2920，s3＝2120，s2s3，故选B.二、填空题9．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于________．[答案] 0.196[解析] 由题意知，随机变量服从二项分布，所以D(X)＝npq ＝100.02(1－0.02)＝0.196.10．(2019福州)设有m升水，其中含有n个大肠杆菌，今任取1升水检验，设其中含大肠杆菌的个数为X，则E(X)＝________.[答案] nm[解析] 设A＝“在所取的1升水中含有一个大肠杆菌”，则P(A)＝1m，P(X＝k)＝Pn(k)＝Ckn(1m)k(1－1m)n－k(k＝0,1,2,3，…，n)，X～B(n，1m)．则E(X)＝n1m＝nm.11．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．[答案] 48[解析] 设小王选对个数为X，得分为＝5X，则X～B(12,0.8)，E(X)＝np＝120.8＝9.6，E()＝E(5X)＝5E(X)＝59.6＝48.12．若X的分布列如下表：X 1 2 3 4P 14141414则D14X＝________.[答案] 564[解析] E(X)＝14(1＋2＋3＋4)＝52，D(X)＝1－522＋2－522＋3－522＋4－52214＝54，D14X＝116D(X)＝564.三、解答题13．一名工人要看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照顾的概率对于第一台是0.9，第二台是0.8，第三台是0.85，求在一小时的过程中不需要工人照顾的机床的台数X的数学期望(均值)．[解析] 由题意，可知X的所有可能的值为0,1,2,3，记事件A为第一台机床不需照顾；事件B为第二台机床不需照顾，事件C为第三台机床不需照顾，由独立事件和互斥事件的概率公式可知，P(X＝0)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝0.10.20.15＝0.003，P(X＝1)＝P(ABC＋ABC＋ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.056，同上可得P(X＝2)＝0.329，P(X＝3)＝0.612，所以E(X)＝00.003＋10.056＋20.329＋30.612＝2.55台．14．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及均值．[解析] 考查离散型随机变量的概率分布和数学期望．解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝12，P(Bj)＝13，P(Ck)＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率为：P＝3！P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6121316＝16.(2)解法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由已知～B3，13，且＝3－.所以P(＝0)＝P(＝3)＝C33133＝127，P(＝1)＝P(＝2)＝C2313223＝29，P(＝2)＝P(＝1)＝C1313232＝49，P(＝3)＝P(＝0)＝C03233＝827.故的分布列为0 1 2 3P 1272949827的均值E()＝0127＋129＋249＋3827＝2.解法二：由题设条件知，基础设施工程和产业建设工程这两类项目的个数占总数的12＋16＝23.3名工人独立地从中任选一个项目，故每人选到这两类项目的概率都是23，故～B3，23.即：P(＝k)＝Ck323k133－k，k＝0,1,2,3.0 1 2 3P 1272949827的均值E()＝323＝2.15．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，表示所取球的标号．(1)求的分布列、均值和方差；(2)若＝a＋b，E()＝1，D()＝11，试求a，b的值．[解析] (1)的分布列为：0 1 2 3 4P 1212011032015E()＝012＋1120＋2110＋3320＋415＝1.5.D()＝(0－1.5)212＋(1－1.5)2120＋(2－1.5)2110＋(3－1.5)2320＋(4－1.5)215＝2.75.(2)由D()＝a2D()，得a22.75＝11，即a＝2.又E()＝aE()＋b，所以当a＝2时，由1＝21.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－21.5＋b，得b＝4，a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4即为所求．16．(2019湖南理，17)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望(均值)．[分析] (1)由频率和为1，列式求出x的值；(2)从图中知用水为3至4吨的概率为0.1，又本抽样为有放回抽样，故符合X～B(3,0,1)，其中X＝0,1,2,3.列出分布列并求出数学期望(均值)．[解析] (1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意知，X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝C030.93＝0.729，P(X＝1)＝C130.10.92＝0.243，P(X＝2)＝C230.120.9＝0.027，P(X＝3)＝C330.13＝0.001.故随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P 0.729 0.243 0.027 0.001X的数学期望为E(X)＝30.1＝0.3.[点评] 本题通过频率分布直方图，将统计知识与概率结合起来．考查了二项分布，离散型随机变量的分布列与数学期望(均值)．第 11 页。

离散型随机变量的均值与方差练习题

离散型随机变量的均值与方差一、知识回顾：1．离散型随机变量的分布列：性质：①___________；②___________________ 2．离散型随机变量的数学期望：E ξ=______________，它反映随机变量取值的平均水平。

3．离散型随机变量的方差：D ξ=______________________，反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度：ξD 越小，ξ取值越集中，ξD 越大，ξ取值越分散。

4．随机变量ξ的标准差,记作σξ,σξ=________________。

5．性质：=+)(b aXE _________；=+)(b aX D __________。

6.若X 服从两点分布，则E(X)=___________,D(X)=_______________若X ～B(n,p)，则E(X)=___________,D(X)=_______________7．提示：（1）在实际中经常用期望来比较平均水平，当平均水平相近时，再用方差比较稳定程度；（2）注意离散型随机变量的期望、方差与样本数据的平均数、方差的联系。

二、练习巩固：（1）、随机变量X 的分布列如下，回答1—3题1、)1(=x P 的值为（） A 0.8 B 0.7 C 0.5 D 0.62、)(x E 的值为（） A 0.3 B -0.3 C 0.61 D 0.723、)(x D 的值为（） A 0.3 B -0.3 C 0.61 D 0.72 （2）随机变量X 的分布列如下，回答4—6题4、)41(<≤X P 的值为（）A 0.6B 0.7C 0.8D 0.95、X 的期望值与方差值分别为（）A 2；1.29B 2.1；1.29C 2；1.9D 2.1；1.96、设Y=2X+5，则E(Y)、D(Y)的值分别为（）A 4.2；1.29B 9.2；5.16C 4.2；15.32D 9.2；10.32、（3）已知某运动员投篮命中率为p=0.6，求解7—9题7、该运动员进行一次投篮，命中次数为ξ，则)(ξE =（）A 0.6B 0.4C 0.24D 0.36 8、该运动员重复投篮5次，命中次数为η，则)(ηD =（）A 3B 56.0C 1.2D )5,4,3,2,1,0(4.06.055=-k C k k k9、若一次投篮投中得2分，投不中不得分，该运动员重复投篮5次，所得分数X 的方差为（）A 1.2B 2.4C 3.6D 4.810、若随机变量X 服从两点分布，且成功的概率p ＝0.5，则E(X)和D(X)分别为( )A.0.5和0.25B.0.5和0.75C.1和0.25D.1和0.75 11、已知X ～B(n,p),EX ＝8,DX ＝1.6，则n 与p 的值分别是( )A.100,0.08B.20,0.4C.10,0.2D.10,0.812、如果X ～B(100,0.2),那么D(4X+3)=____________13、口袋中有大小均匀10个球，其中有7个红球3个白球，任取3个球，其中含有红球个数为X ，则E(X)= 。

2020届全国高三数学二轮复习(理)《离散型随机变量的均值与方差》专题训练

2020届高三数学二轮复习（理）《离散型随机变量的均值与方差》专题训练一．选择题（本大题共12小题） 1．设随机变量X 的分布列如下：则()E X 的值为（）A ．910B ．710C ．1110D ．13102．已知随机变量X 的分布列如图所示，则(68)E X +=（）A ．13.2B ．21.2C ．20.2D ．22.23．随机变量X 的概率分布为2()(1,2,3)aP X n n n n===+，其中a 是常数，则()D aX =（）A ．3881B ．608729C ．152243D ．52274．已知X 是离散型随机变量，137(1),(),()444P X P X a E X =====，则(21)D X -=（）A ．14B ．34C ．15D ．355．已知随机变量ξ的分布列如下，则E （ξ）的最大值是( )A ．58-B ．64-C ．4-D ．1964-6．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =（）A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.37．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则11p q+的最小值为（） A ．2B ．52C ．94D ．48．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭9．已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则E ξ=（） A ．145B ．135C ．73D ．8310．小明参加趣味投篮比赛，每次投中得1分，投不中扣1分．已知小明投球命中的概率为0.5，记小明投球三次后的得分为η，则(||)D η的值是（） A ．38B ．34C ．32D ．311．甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p ，随机变量X 表示最终的比赛局数，若103p <<，则（） A ．()52E X = B ．()218E X >C ．()14D X >D ．()2081D X <12．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望()ξE 为（）A ．24181B ．26681C ．27481D ．670243二．填空题（本大题共4小题）13．已知随机变量X 取值为0、1、2，若51(0),()1P X E X ===，则()D X =________.14．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为___________ 15．一个盒子中有大小、形状完全相同的m 个红球和6个黄球.从盒中每次随机取出一个球，记下颜色后放回，共取5次，设取到红球的个数为X ，若()72E X =，则m 的值为________.16．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p ，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X 为其中成活的株数，若X 的方差2.1DX =，(3)(7)P X P X =<=，则p =________．三．解答题（本大题共6小题）17．甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关．甲能攻克的概率为23，乙能攻克的概率为34，丙能攻克的概率为45.（1）求这一技术难题被攻克的概率；（2）若该技术难题末被攻克，上级不做任何奖励；若该技术难题被攻克，上级会奖励a 万元．奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖金a 万元；若只有2人攻克，则奖金奖给此二人，每人各得2a万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得3a万元．设甲得到的奖金数为X ，求X 的分布列和数学期望．18．为迎接“五一”节的到来，某单位举行“庆五一，展风采”的活动．现有6人参加其中的一个节目，该节目由,A B两个环节可供参加者选择，为增加趣味性，该单位用电脑制作了一个选择方案：按下电脑键盘“Enter”键则会出现模拟抛两枚质地均匀骰子的画面，若干秒后在屏幕上出现两个点数n和m，并在屏幕的下方计算出d=的值．现规定：每个人去按“Enter”键，当显示出来的d小于时则参加A环节，否则参加B环节．（1）求这6人中恰有2人参加该节目A环节的概率；X Y分别表示这6个人中去参加该节目,A B两个环节的人数，记（2）用,ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望．||X Y19．大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量（单位：千克），整理得下表：以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率.（1）求该超市A水果日需求量n（单位：千克）的分布列；（2）若该超市一天购进A水果150千克，记超市当天A水果获得的利润为X（单位：元），求X的分布列及其数学期望.20．由于《中国诗词大会》节目在社会上反响良好，某地也模仿并举办民间诗词大会，进入正赛的条件为：电脑随机抽取10首古诗，参赛者能够正确背诵6首及以上的进入正赛．若诗词爱好者甲、乙参赛，他们背诵每一首古诗正确的概率均为12．（1）求甲进入正赛的概率．（2）若参赛者甲、乙都进入了正赛，现有两种赛制可供甲、乙进行PK，淘汰其中一人．赛制一：积分淘汰制，电脑随机抽取4首古诗，每首古诗背诵正确加2分，错误减1分．由于难度增加，甲背诵每首古诗正确的概率为25，乙背诵每首古诗正确的概率为13，设甲的得分为1x，乙的得分为2x．赛制二：对诗淘汰制，甲、乙轮流互出诗名，由对方背诵且互不影响，乙出题，甲回答正确的概率为0.3，甲出题，乙回答正确的概率为0.4，谁先背诵错误谁先出局．（i）赛制一中，求甲、乙得分的均值，并预测谁会被淘汰；（ii）赛制二中，谁先出题甲获胜的概率大？21．为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8.鱼苗乙，丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.（1）试验时从甲、乙，丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X，求X的分布列和数学期望；（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响.使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？22．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg时按1kg计算）需再收5元.公司从承揽过的包裹中，随机抽取100件，其重量统计如下：公司又随机抽取了60天的揽件数，得到频数分布表如下：以记录的60天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率100,400的概率；（1）计算该公司3天中恰有2天揽件数在[)（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，每人每天工资100元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？（注：同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）参考答案一．选择题：本大题共12小题.二．填空题:本大题共4小题． 13．2514．3500 15．14 16．0.7三．解答题：本大题共6小题.17.【解析】（1）234111591(1)(1)(1)134534560P =----=-⨯⨯= （2）X 的可能取值分别为0,,,32a aa，，，，∴ X 的分布列为（万元）18.【解析】（1）依题意得，由屏幕出现的点数n 和m 形成的有序数对(,)n m ，一共有6636⨯=种等可能的基本事件符合d <(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5)，(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1)共24种所以选择参加A 环节的概率为1242363p ==，选择参加B 环节的概率为213p = 所以这6人中恰有2人参加该节目A 环节的概率242621602033729243P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭ （2）依题意得ξ的可能取值为0,2,4,6333621160(0)(3)33729p p X C ξ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 424224662121300(2)(2)(4)3333729p p X p X C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1551156********(4)(1)(5)3333729p p X p X C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭66666212165(6)(0)(6)3333729p p X p X C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以ξ的分布列为数学期望()160300204656020246729729729729243E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=19.【解析】（1）n 的分布列为（2）若A 水果日需求量为140千克，则()()1401510150140X =⨯--- ()108680⨯-=元，且()56800.150P X ===. 若A 水果日需求量不小于150千克，则()1501510750X =⨯-=元，且()75010.10.9P X ==-=. 故X 的分布列为()6800.17500.9743E X =⨯+⨯=元.20.【解析】(1)甲进入正赛的概率为6107101010101010111()()(),222P C C C =+++L6789100141010101010101010386C C C C C C C C ++++=+++=Q L ，∴甲进入正赛的概率1011933862512P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭. (2)（i ）由题意，甲乙两人的得分均有可能为8分，5分，2分，-1分，-4分．4433114142162396(8)(),(5)()()562555625P x C P x C ======，2221114134322162216(2)()(),(1)()()55625556325P x C P x C ====-==，0414381(x 4)()5625P C =-==，11696216216814()852146256256256256255E x ∴=⨯+⨯+⨯-⨯-⨯=.44331242411128(8)(),(5)()()3813381P x C P x C ======,22231324241281232(2)()(),(1)()()33273381P x C P x C ====-==, 0424216(x 4)()381P C =-==.21883216()8521408181278181E x ∴=⨯+⨯+⨯-⨯-⨯=.12()()E x E x >Q ，∴乙可能被淘汰.（ii ）甲先出题且甲获胜的概率：()()()()223130.60.40.30.60.40.30.60.40.30.6P =+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋯，此为等比数列求和，11515(10.12)2222n P =-≈. 乙先出题且乙获胜的概率：()()()()223230.70.30.40.70.30.40.70.30.40.7P =+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋯，此为等比数列求和，23535(10.12),4444n P =-≈ 则甲获胜的概率约为35914444-=. 1592244>Q ，∴甲先出题甲获胜的概率大．21.【解析】（1）记随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，则(0)0.20.10.10.002P X ==⨯⨯=，(1)0.80.10.10.20.90.10.20.10.90.044P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (2)0.80.90.10.80.10.90.20.90.90.306P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (3)0.80.90.90.648P X ==⨯⨯=.故X 的分布列为()00.00210.04420.30630.648 2.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9，依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.90.10.50.95+⨯=，所以一尾乙种鱼苗的平均收益为100.9520.059.4⨯-⨯=元. 设购买n 尾乙种鱼苗，()E n 为购买n 尾乙种鱼苗最终可获得的利润，则()9.4376000E n n =…，解得40000n …. 所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元. 22.【解析】（1）样本中包裹件数在[)100,400内的天数为48，频率为484605=，可估计概率为45，未来3天中，包裹件数在[)100,400间的天数X 服从二项分布，即43,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，故所求概率为223414855125P C ⎛⎫== ⎪⎝⎭；（2）样本中快递费用X 的分布列如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为1(104315302015258304)15100x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元），故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.（3）根据题意及（2），揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：⨯-⨯=（元）；故公司平均每日利润的期望值为260531001000若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：⨯-⨯=（元）故公司平均每日利润的期望值为23552100975<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.因9751000。

2020届二轮(理科数学) 离散型随机变量的均值与方差专题卷(全国通用)

离散型随机变量的均值与方差(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.若离散型随机变量X的分布列为X 0 1P则X的数学期望E(X)等于( )A.2B.2或C.D.1【解析】选C.由题意，+=1，a>0，所以a=1，所以E(X)=0×+1×=.2.已知X的分布列为X -1 0 1P则在下列式子中①E(X)=-；②D(X)=；③P(X=0)=，正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.由E(X)=(-1)×+0×+1×=-，知①正确；由D(X)=×+×+×=，知②不正确；由分布列知③正确.3.节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价为每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理.根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布：X 200 300 400 500P 0.20 0.35 0.30 0.15若购进这种鲜花500束，则利润的均值为( )A.706元B.690元C.754元D.720元【解析】选A.由分布列可以得到E(X)=200×0.2+300×0.35+400×0.3+500×0.15=340，所以利润是(340×5+160×1.6)-500×2.5=706元.4.已知X是离散型随机变量，P(X=1)=，P(X=a)=，E(X)=，则D(2X-1)= ( )A. B. C. D.【解析】选B.因为X是离散型随机变量，P(X=1)=，P(X=a)=，E(X)=，所以由已知得1×+a×=，解得a=2，所以D(X)=1-2×+2-2×=，所以D(2X-1)=22D(X)=4×=.【变式备选】已知离散型随机变量ξ的概率分布如下：ξ0 1 2P 0.3 3k 4k随机变量η=2ξ+1，则η的数学期望为 ( )A.1.1B.3.2C.11kD.22k+1【解析】选B.由0.3+3k+4k=1得k=0.1，所以E(ξ)=0×0.3+1×0.3+2×0.4=1.1，E(η)=2E(ξ)+1=2×1.1+1=3.2.5.如果X～B(20，p)，当p=且P(X=k)取得最大值时，k的值为 ( )A.9B.10C.11D.12【解析】选B.当p=时，P(X=k)=·=·，显然当k=10时，P(X=k)取得最大值.二、填空题(每小题5分，共15分)6.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则D(X)=_______.【解析】因为X～B，所以D(X)=3××=.答案：【变式备选】设随机变量X～B(8，p)，且D(X)=1.28，则概率p的值是_______. 【解析】由D(X)=8p(1-p)=1.28，所以p=0.2或p=0.8.答案：0.2或0.87.(2018·淮南模拟)已知随机变量X的分布列如表，又随机变量Y=2X+3，则Y的均值是_______.X -1 0 1P a【解析】由随机变量X的分布列得：++a=1，解得a=，所以EX=-1×+0×+1×=-，因为Y=2X+3，所以EY=2EX+3=-+3=.答案：8.据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，交保险费100元，若一年内万元以上财产被窃，保险公司赔偿a元(a>1 000)，为确保保险公司有可能获益，则a的取值范围是_______.【解题指南】转化为求保险公司在参保人身上的收益的期望问题，由此列不等式求解.【解析】X表示保险公司在参加保险者身上的收益，其概率分布列为X 100 100-aP 0.995 0.005E(X)=0.995×100+(100-a)×0.005=100-.若保险公司获益，则期望大于0，解得a<20 000，所以a∈(1 000，20 000).答案：(1 000，20 000)三、解答题9.(10分)(2018·安庆模拟)年年岁岁有春晚，岁岁年年景不同：2018年的狗年春晚，新气象扑面而来；在4个多小时的晚会中，各类接地气、有新意、动真情的作品精彩纷呈、高潮迭出，渲染出全民大联欢、普天同庆的基色，将热烈喜庆的节日氛围和激动人心的新春景象一次又一次推至高潮.为了测试观众对本次春晚的喜爱程度，随机抽取600名观众参加春晚节目的问卷调查(满分150分)，并将观众的得分统计如表所示.区间[50，70) [70，90) [90，110) [110，130) [130，150]人数30 120 240 160 50(1)求这600名观众对2018年春晚节目问卷调查的平均分的估计值.(2)现用分层抽样的方法从这600人中抽取20人的问卷进行分析，求其中得分超过90分的观众人数.(3)在(2)中抽取的20名观众中，要随机选取2名参加元宵晚会的点评工作，记其中得分超过90分的观众人数为X，求X的分布列与数学期望.【解析】(1)这600名观众对2018年春晚节目问卷调查的平均分的估计值为：=(60×30+80×120+100×240+120×160+140×50)=.(2)用分层抽样的方法从这600人中抽取20人的问卷进行分析，其中得分超过90分的观众人数有：20×=15.(3)抽取的20名观众中，要随机选取2名参加元宵晚会的点评工作，记其中得分超过90分的观众人数为X，则X的可能取值为0，1，2，P(X=0)===，P(X=1)===，P(X=2)===，所以X的分布列为：X 0 1 2P数学期望E(X)=0×+1×+2×=.(20分钟40分)1.(5分)某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X，得分为Y，则E(X)，D(Y)分别为 ( )A.0.6，60B.3，12C.3，120D.3，1.2【解析】选C.X～B(5，0.6)，Y=10X，所以E(X)=5×0.6=3，D(X)=5×0.6×0.4=1.2.D(Y)=100D(X)=120.2.(5分)有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用ξ表示取到次品的件数，则E(ξ)等于( )A. B. C. D.1【解析】选A.ξ服从超几何分布P(ξ=x)=(x=0，1，2)，则P(ξ=0)===，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==.故E(ξ)=0×+1×+2×=.3.(5分)已知X是离散型随机变量，P(X=x1)=，P(X=x2)=，且x1<x2，若E(X)=，D(X)=，则x1+x2=_______.【解析】由题意得，E(X)=x1+x2=，①D(X)=×+×=，②由①②得x1+x2=3.答案：34.(12分)某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30) 120 0.6第二组[30，35) 195 p第三组[35，40) 100 0.5第四组[40，45) a 0.4第五组[45，50) 30 0.3第六组[50，55] 15 0.3(1)补全频率分布直方图，并求n，a，p的值.(2)从[40，50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45)岁的人数为X，求X的分布列和均值E(X).【解析】(1)因为第二组的频率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3，所以高为=0.06.频率分布直方图补全如下：因为第一组的人数为=200，频率为0.04×5=0.2，所以n==1 000.第二组的频率为0.06×5=0.3，故第二组的人数为1 000×0.3=300，因此p==0.65.由题意可知，第四组的频率为0.03×5=0.15，故第四组的人数为1 000×0.15=150，因此a=150×0.4=60.(2)因为[40，45)岁年龄段的“低碳族”与[45，50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60∶30=2∶1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45)岁中有12人，[45，50)岁中有6人. 可知随机变量X服从超几何分布，所以P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=3)==. 所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3P所以E(X)=0×+1×+2×+3×=2.【变式备选】(2018·山东师大附中模拟)为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是[20，25)，[25，30)，[30，35)，[35，40)，[40，45].(1)求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中，年龄在[35，40)岁的人数.(2)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及均值.【解析】(1)因为小矩形的面积等于频率，所以除[35，40)外的频率和为0.70，所以x==0.06.故500名志愿者中，年龄在[35，40)岁的人数为0.06×5×500=150(人). (2)用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名.故X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=3)==.故X的分布列为X 0 1 2 3P所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.5.(13分)(2019·张家界模拟)自2018年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二孩能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排(单位：周) 14 15 16 17 18有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26(1)若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？(2)假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择.①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率.②如果用ξ表示两种方案休假周数和.求随机变量ξ的分布列及期望.【解析】(1)由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为P1==；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为P2==.(2)①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有=10(种)，其和不低于32周的选法有(14，18)，(15，17)，(15，18)，(16，17)，(16，18)，(17，18)，共6种，由古典概型概率计算公式得P(A)== .②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35.P(ξ=29)==0.1，P(ξ=30)==0.1，P(ξ=31)==0.2，P(ξ=32)==0.2，P(ξ=33)==0.2，P(ξ=34)==0.1，P(ξ=35)==0.1，因而ξ的分布列为ξ29 30 31 32 33 34 35P 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1所以E(ξ)=29×0.1+30×0.1+31×0.2+32×0.2+33×0.2+34×0.1+35×0.1=32.。

高中数学选修2-3离散型随机变量的均值与方差精选题目(附答案)

高中数学选修2-3离散型随机变量的均值与方差精选题目（附答案）(1)离散型随机变量的均值的概念及性质 ①一般地，若离散型随机变量X 的分布列为则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．②若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则E (Y )＝E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . (2)两点分布与二项分布的均值①若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝p . ②若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np . (2)离散型随机变量的方差、标准差随机变量X 的分布列为则把D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 叫做随机变量X 的方差，D (X )的算术平方根D (X )叫做随机变量X 的标准差，随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．(2)服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 ①若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )；②若X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )． (3)离散型随机变量方差的性质 ①D (aX ＋b )＝a 2D (X )； ②D (C )＝0(C 是常数)．一、离散型随机变量的均值1．袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球记2分，取到一只黑球记1分，试求得分X 的均值．解：取出4只球，颜色分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，相应的概率为P(X＝5)＝C14C33C47＝435.P(X＝6)＝C24C23C47＝1835.P(X＝7)＝C34C13C47＝1235.P(X＝8)＝C44C03C47＝135.随机变量X的分布列为所以E(X)＝5×435＋6×1835＋7×1235＋8×135＝447.注：求离散型随机变量的均值的一般步骤：(1)理解随机变量的意义，写出随机变量的所有可能的取值；(2)求随机变量取每一个值的概率；(3)列出随机变量的分布列；(4)根据均值的计算公式求出E(X)．2．在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和均值．解：由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C03C37C310＝35120＝724，P(X＝1)＝C13C27C310＝63120＝2140，P(X＝2)＝C23C17C310＝21120＝740，P(X＝3)＝C33C07C310＝1120.∴X的分布列为∴E(X)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.3．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，没命中得0分，已知某篮球运动员命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的均值是()A．0.2 B．0.8 C．1 D．0解析：选B因为P(ξ＝1)＝0.8，P(ξ＝0)＝0.2，所以E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.故选B.4．一个口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取2个球，用X表示取出球的较大号码，则E(X)等于()A．4 B．5 C．3 D．4.5解析：选A P(X＝2)＝1C25＝110，P(X＝3)＝C12C25＝210＝15，P(X＝4)＝C13C25＝310，P(X＝5)＝C14C25＝410＝25，故E(X)＝2×110＋3×15＋4×310＋5×25＝4.5．某中学选派40名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如下表所示：(1)从这402名学生参加培训次数恰好相等的概率；(2)从这40名学生中任选2名，用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及均值E(X)．解：(1)这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率P＝1－C15C115C120C340＝419 494.(2)由题意知X＝0,1,2，P(X＝0)＝C25＋C215＋C220C240＝61156，P(X＝1)＝C15C115＋C115C120C240＝2552，P (X ＝2)＝C 15C 120C 240＝539，则随机变量X 的分布列为所以X 的均值E (X )＝0×61156＋1×2552＋2×539＝115156.二、离散型随机变量均值的性质 1．已知随机变量X 的分布列如下：(1)求m 的值； (2)求E (X )；(3)若Y ＝2X －3，求E (Y )．解： (1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝16.(2)E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(3)法一：由公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，得E (Y )＝E (2X －3)＝2E (X )－3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1730－3＝－6215. 法二：由于Y ＝2X －3，所以Y 的分布列如下：所以E (Y )＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215. 注：若给出的随机变量Y 与X 的关系为Y ＝aX ＋b (其中a ，b 为常数)，一般思路是先求出E (X )，再利用公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b 求E (Y )．2．掷骰子游戏：规定掷出1点，甲盒中放一球，掷出2点或3点，乙盒中放一球，掷出4点、5点或6点，丙盒中放一球，共掷6次，用x ，y ，z 分别表示掷完6次后甲、乙、丙盒中球的个数．令X ＝x ＋y ，则E (X )＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 将每一次掷骰子看作一次实验，实验的结果分丙盒中投入球(成功)或丙盒中不投入球(失败)两种，且丙盒中投入球(成功)的概率为12，z 表示6次实验中成功的次数，则z ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，∴E (z )＝3，又x ＋y ＋z ＝6，∴X ＝x ＋y ＝6－z ， ∴E (X )＝E (6－z )＝6－E (z )＝6－3＝3.3．随机变量X 的分布列如下表，则E (5X ＋4)等于( )A.16 B ．11 C ．2.2 解析：选A 由已知得E (X )＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.5．已知η＝2ξ＋3，且E (ξ)＝35，则E (η)＝( ) A.35 B.65 C.215 D.125解析：选C E (η)＝E (2ξ＋3)＝2E (ξ)＋3＝2×35＋3＝215.三、两点分布、二项分布的均值1．甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队三人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中三人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答得正确与否相互之间没有影响．(1)若用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和均值；(2)用A 表示事件“甲、乙两队总得分之和为3”，用B 表示事件“甲队总得分大于乙队总得分”，求P (AB )．解： (1)由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，则有 P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝127，P (ξ＝1)＝C 13×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝29，P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝49，P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，所以ξ的分布列为由于随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23，则有E (ξ)＝3×23＝2. (2)用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，AB ＝C ∪D ，C ，D 互斥．P (C )＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝1034， P (D )＝C 33×⎝⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝435， P (AB )＝P (C )＋P (D )＝1034＋435＝3435＝34243. 注：此类题的解法一般分两步：一是先判断随机变量服从两点分布还是二项分布；二是代入两点分布或二项分布的均值公式计算均值．2．一次单元测验由20个选择题组成，每个选择题有4个选项，其中仅有1个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分．一学生选对任意一题的概率为0.9，则该学生在这次测验中成绩的均值为________．解析：设该学生在这次测验中选对的题数为X ，该学生在这次测试中成绩为Y ，则X ～B (20,0.9)，Y ＝5X .由二项分布的均值公式得E (X )＝20×0.9＝18.由随机变量均值的线性性质得E (Y )＝E (5X )＝5×18＝90. 答案：903．某一供电网络，有n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是( )A ．np (1－p )B ．npC ．nD ．p (1－p )解析：选B 供电网络中一天用电的单位个数服从二项分布，故所求为np .故选B.4．某班有50名学生，其中男生30名，女生20名，现随机选取1名学生背诵课文，若抽到女生的人数记为X ，则E (X )＝________.解析：易知X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝35，P (X ＝1)＝25，故E (X )＝25. 答案：255．某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为X ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求X ＝2时的概率； (2)求X 的均值．解：(1)依题意知{X ＝2}表示“4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯”，而每盏灯出现红灯的概率都是23，故X ＝2时的概率为C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝827. (2)∵X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，∴E (X )＝4×23＝83.四、均值的实际应用1．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？解:(1)利润X可以取6,2,1，－2；(2)利用均值的定义求值；(3)根据平均利润不小于4.73万元建立不等式求解．(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2，P(X＝6)＝126200＝0.63，P(X＝2)＝50200＝0.25，P(X＝1)＝20200＝0.1，P(X＝－2)＝4200＝0.02.故X的分布列为(2)E(X)＝6×0.63万元)．(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.2．某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家独立地对每位学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”和“不支持”的概率都是12，若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．令ξ表示该公司的资助总额，求E(ξ)．解：法一：ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.P (ξ＝0)＝164，P (ξ＝5)＝332，P (ξ＝10)＝1564，P (ξ＝15)＝516，P (ξ＝20)＝1564，P (ξ＝25)＝332，P (ξ＝30)＝164.故ξ的分布列为因此E (ξ)＝0×164＋5×332＋10×1564＋15×516＋20×1564＋25×332＋30×164＝15.法二：设X i 为第i 名学生获得的“支持”数(i ＝1,2,3)，ξi 为第i 名学生获得的“资助”额(i ＝1,2,3)，则X i ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，且ξi ＝5X i (i ＝1,2,3)，ξ＝ξ1＋ξ2＋ξ3.因此E (ξ)＝E (ξ1)＋E (ξ2)＋E (ξ3)＝5E (X 1)＋5E (X 2)＋5E (X 3)＝3×5×2×12＝15. 3．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张抽奖券的中奖概率为12，若中奖，则商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(单位：元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．解：(1)∵每张奖券是否中奖是相互独立的，∴ξ～B (4，12)． ∴P (ξ＝0)＝C 04(12)4＝116，P (ξ＝1)＝C 14(12)4＝14， P (ξ＝2)＝C 24(12)4＝38，P (ξ＝3)＝C 34(12)4＝14， P (ξ＝4)＝C 44(12)4＝116. ∴ξ的分布列为(2)∵ξ～B(4，12)，∴E(ξ)＝4×12＝2.又由题意可知η＝2 300－100ξ，∴E(η)＝E(2 300－100ξ)＝2 300－100E(ξ)＝2 300－100×2＝2 100.即实际支出的数学期望为2 100元．4．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与均值．解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝C12C13C15C310＝14.(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝C38C310＝715，P(X＝1)＝C12C28C310＝715，P(X＝2)＝C22C18C310＝115.综上知，X的分布列为故E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.五、求离散型随机变量的方差1．袋中有20个大小相同的球，其中标记0的有10个，标记n的有n个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、均值和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．解：(1)X的分布列为则E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (Y )＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，得a ＝±2. 又E (Y )＝aE (X )＋b ，所以，当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2；当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4. 所以⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4.注求离散型随机变量ξ的方差的步骤： (1)理解ξ的意义，明确其可能取值；(2)判定ξ是否服从特殊分布(如两点分布、二项分布等)，若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布则继续下面步骤；(3)求ξ取每个值的概率；(4)写出ξ的分布列，并利用分布列性质检验；(5)根据方差定义求D (ξ).2.了激发学生了解数学史的热情，在班内进行数学家和其国籍的连线游戏，参加连线的同学每连对一个得1分．假定一个学生对这些数学家没有了解，只是随机地连线，试求该学生得分X 的分布列及其数学期望、方差．解：该学生连线的情况：连对0个，连对1个，连对2个，连对4个，故其得分可能为0分，1分，2分，4分．P (X ＝0)＝3×3A 44＝38，P (X ＝1)＝C 14×2A 44＝13，P (X ＝2)＝C 24×1A 44＝14，P (X ＝4)＝1A 44＝124.故X 的分布列为∴E (X )＝0×38＋1×13＋2×14＋4×124＝1，D (X )＝(0－1)2×38＋(1－1)2×13＋(2－1)2×14＋(4－1)2×124＝1. 3．已知随机变量X 的分布列如下：若E (X )＝13，则D (X )的值是( ) A.13 B.23 C.59 D.79解析：选C 由分布列的性质可知a ＋b ＋12＝1，∴a ＋b ＝12.又E (X )＝－a ＋12＝13，解得a ＝16，b ＝13，∴D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×12＝59. 4．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，求D (X )．解：由题知X ＝6,9,12.P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.∴X 的分布列为∴E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.D (X )＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.六、常见分布的方差1．(1)抛掷一枚硬币1次，正面向上得1分，反面向上得0分．用ξ表示抛掷一枚硬币的得分数，求E (ξ)，D (ξ)；(2)某人每次投篮时投中的概率都是12.若投篮10次，求他投中的次数ξ的均值和方差；(3)5件产品中含有2件次品，从产品中选出3件，所含的次品数设为X ，求X 的分布列及其均值、方差．解： (1)ξ服从两点分布，抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为12，所以E (ξ)＝12，D (ξ)＝14.(2)ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12，所以E (ξ)＝10×12＝5.D (ξ)＝10×12×12＝52. (3)X 可能取的值是0,1,2.P (X ＝0)＝C 02C 33C 35＝110，P (X ＝1)＝C 12C 23C 35＝35，P (X ＝2)＝C 22C 13C 35＝310，所以X 的分布列为E (X )＝0×110＋1×35＋2×310＝1.2.D (X )＝(0－1.2)2×110＋(1－1.2)2×35＋(2－1.2)2×310＝0.36.2．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，均值E (ξ)为3，标准差D (ξ)为62.(1)求n 和p 的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．解：由题意知，ξ～B (n ，p )，P (ξ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0.1，…，n . (1)由E (ξ)＝np ＝3，D (ξ)＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，从而n ＝6，p ＝12. ξ的分布列为(2)记“得P (A )＝164＋332＋1564＋516＝2132，所以需要补种沙柳的概率为2132.3．从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X 表示是否取到白球，即X ＝⎩⎨⎧1(当取到白球时)，0(当取到红球时)，则X 的方差D (X )＝( )A.21100B.750C.110D.310解析：选A 显然X 服从两点分布，P (X ＝0)＝710，P (X ＝1)＝310.故X 的分布列为所以E (X )＝310，故D (X )＝710×310＝21100.4．已知一批产品中有12件正品，4件次品，有放回地任取4件，若X 表示取到次品的件数，则D (X )＝( )A.34B.89C.38D.25解析：选B 由题意，可知每次取得次品的概率都为13，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则D (X )＝4×13×23＝89.5．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －k，k ＝0,1,2，…，n ，且E (X )＝24，则D (X )的值为( )A ．8B ．12 C.29 D ．16解析：选A 由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，23，∴E (X )＝23n ＝24. ∴n ＝36.∴D (X )＝36×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝8.6．某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过六个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13.(1)求这位司机遇到红灯次数X 的均值与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间Y 的均值与方差．解：(1)易知司机遇上红灯次数X 服从二项分布，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，∴E (X )＝6×13＝2，D (X )＝6×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43.(2)由已知得Y＝30X，∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1 200.七、离散型随机变量的均值与方差的应用1．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出现次品的概率如下表所示．A机床B机床问哪一台机床加工的质量较好？解：由表中数据可知，E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44，E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.所以它们的期望相同，再比较它们的方差．D(X1)＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44)2×0.2＋(2－0.44)2×0.06＋(3－0.44)2×0.04＝0.606 4，D(X2)＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44)2×0.06＋(2－0.44)2×0.04＋(3－0.44)2×0.10＝0.926 4.因为0.606 4<0.926 4，所以A机床加工的质量较好．2．已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：解：∵由题意得E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2，∴D(X1)<D(X2)．综上可知，A大钟的质量较好．3．由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为：A．甲B．乙C．甲、乙均可D．无法确定解析：选A E(X1)＝E(X2)＝1.1，D(X1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(X2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，∴D(X1)<D(X2)，即甲比乙得分稳定，甲运动员参加较好．4．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：为0.3,0.7,0.9，求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：(1)由已知条件和概率的加法公式有P (X <300)＝0.3，P (300≤X ＜700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4， P (700≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜700)＝0.9－0.7＝0.2. P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y 的分布列为于是，E (Y )＝0×D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X <300)＝0.7，又P (300≤X ＜900)＝P (X <900)－P (X <300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300)＝P (300≤X ＜900)P (X ≥300)＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.巩固练习：1．已知随机变量X 和Y ，其中Y ＝12X ＋7，且E (Y )＝34，若X 的分布列如表，则m 的值为( )A.13B.14C.16D.18解析：选A 由Y ＝12X ＋7得E (Y )＝12E (X )＋7＝34，从而E (X )＝94，所以E (X )＝1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112＝94，又m ＋n ＋112＋14＝1，联立解得m ＝13.故选A.2．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋13b 的最小值为()A.323 B.283 C.143 D.163解析：选D由已知得3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0<a<23，0<b<1.2 a＋13b＝3a＋2b2⎝⎛⎭⎪⎫2a＋13b＝3＋13＋2ba＋a2b≥103＋22ba·a2b＝16 3，当且仅当2ba＝a2b，即a＝2b时取“等号”，故2a＋13b的最小值为163.故选D.3．设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率k等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐标原点到l的距离d，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)为()A.37 B.47 C.27 D.17解析：选B当k＝±22时，直线l的方程为±22x－y＋1＝0，此时d＝1 3；当k＝±3时，d＝12；当k＝±52时，d＝23；当k为0时，d＝1.由等可能事件的概率公式可得ξ的分布列为所以E(ξ)＝13×27＋12×27＋23×27＋1×17＝47.4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________(结果用分数表示)．解析：随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2，因为P (ξ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 15C 12C 27＝1021，P (ξ＝2)＝C 22C 27＝121，所以E (ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝47.答案：475．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的均值E (X )＝________.解析：由P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23(1－p )(1－p )＝112可得p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＝32舍去，从而P (X ＝1)＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23·C 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝13， P (X ＝2)＝23·C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝512， P (X ＝3)＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝16. 所以E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53. 答案：536．“键盘侠”是指部分在现实生活中不爱说话，却在网上习惯性地、集中性地发表各种言论的人群，人们对这种现象有着不同的看法．某调查组织在某广场上邀请了10名男士和10名女士请他们分别谈一下对“键盘侠”这种社会现象的认识，其中有4名男士和5名女士认为它的出现是“社会进步的表现”，其他人认为它的出现是“社会冷漠的表现”．(1)从这些男士和女士中各抽取1人，求至少有1人认为“键盘侠”这种社会现象是“社会进步的表现”的概率；(2)从男士中抽取2人，女士中抽取1人，3人中认为“键盘侠”这种社会现象是“社会进步的表现”的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)由题意可知10名男士中有4人认为“键盘侠”的出现是“社会进步的表现”，10名女士中有5人也这样认为．记事件A＝{从这些男士和女士中各抽取1人，至少有1人认为“键盘侠”的出现是“社会进步的表现”}，则P(A)＝1－C16C15C110C110＝1－30100＝710.(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C26C210×C15C110＝16，P(X＝1)＝C14C16C210×C15C110＋C26C210×C15C110＝1330，P(X＝2)＝C24C210×C15C110＋C14C16C210×C15C110＝13，P(X＝3)＝C24C210×C15C110＝115，所以X的分布列为数学期望E(X)＝0×16＋1×1330＋2×13＋3×115＝1310.7．设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区作一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．解：(1)由统计结果可得T的频率分布为从而E (T )＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32.(2)设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同．设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．法一：P (A )＝P (T 1＋T 2≤70)＝P (T 1＝25，T 2≤45)＋P (T 1＝30，T 2≤40)＋P (T 1＝35，T 2≤35)＋P (T 1＝40，T 2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.法二：P (A )＝P (T 1＋T 2>70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋P (T 1＝40，T 2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09.故P (A )＝1－P (A )＝0.91.8．若ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝6，D (ξ)＝3，则P (ξ＝1)＝( ) A ．3×2－2 B ．3×2－10 C ．2－4 D ．2－8解析：选B 由E (ξ)＝np ＝6，D (ξ)＝np (1－p )＝3，得p ＝12，n ＝12，所以p (ξ＝1)＝C 112⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝3210＝3×2－10.故选B. 9．设X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，现已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53B.73 C ．3 D.113解析：选C 由题意得P (X ＝x 1)＋P (X ＝x 2)＝1，所以随机变量X 只有x 1，x 2两个取值，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1·23＋x 2·13＝43，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432·23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432·13＝29.解得x 1＝1，x 2＝2x 1＝53，x 2＝23舍去，所以x 1＋x 2＝3，故选C.10．若p 为非负实数，随机变量X 的分布列为则E (X )的最大值是．解析：由分布列的性质可知p ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，则E (X )＝p ＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，故E (X )的最大值为32.∵D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－p (p ＋1)2＋p (p ＋1－1)2＋12(p ＋1－2)2＝－p 2－p ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋122＋54，又p ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，∴当p ＝0时，D (X )取得最大值1. 答案：32 111．已知随机变量X 的分布列为①E (X )＝－13；②E (X ＋4)＝－13；③D (X )＝2327； ④D (3X ＋1)＝5；⑤P (X >0)＝13.解析：E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，E (X ＋4)＝113，故①正确，②错误．D (X )＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59，D (3X ＋1)＝9D (X )＝5，故③错误，④正确．P (X >0)＝P (X ＝1)＝16，故⑤错误．答案：212．A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2.根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为(1)在A ，B 两个项目上各投资100万元，Y 1(万元)和Y 2(万元)分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)；(2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目，(100－x )万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．解：(1)由题设可知Y 1和Y 2的分布列分别为E (Y 1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D (Y 1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；E (Y 2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D (Y 2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. (2)f (x )＝D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 100·Y 1＋D ⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 100·Y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1002D (Y 1)＋⎝⎛⎭⎪⎫100－x 1002D (Y 2) ＝41002[x 2＋3(100－x )2] ＝41002(4x 2－600x ＋3×1002)．所以当x ＝6002×4＝75时，f (x )取最小值3.。

离散型随机变量均值与方差练习题

离散型随机变量的均值练习题一．选择题： 1．已知ξ的分布列为则ξ的均值为 A ．0B ．－1( )2．某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 ( )A ．100B ．200C ．300D ．4003．已知Y ＝5X ＋1，E (Y )＝6，则E (X )的值为 ( )A ．6B ．5C ．1D ．7…4．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为和，设发现目标的雷达台数为X ，则E (X )＝ ( )A ．B ．C ．D ．5．设随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝，则a －b ＝ ( )B ．C ．－D ．－二．填空题：6．设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为________． 7．随机变量X 的分布列为则E (3X ＋4)＝________.8．对某个数学题，甲解出的概率为23，乙解出的概率为34，两人独立解题．记X 为解出该题的人数，则E (X )＝______________．9．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X 是取得红球的次数，则E (X )＝________．{10．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量X 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E (X )＝________(结果用最简分数表示)．11．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数0，两个面上标有数1，一个面上标有数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________． 12．若随机变量X ～B (n,，且E (X )＝3，则P (X ＝1)的值是________．三．解答题：13．由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失(以代替)，其表如下：X 1 2 3 4 …56P0.5(1)求P (X ＝3)及P (X ＝5)的值；"(2)求E (X ) (3)若η＝2X －E (X )，求E (η)14．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为12，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．,(1)设该顾客中奖的奖券张数为X ，求X 的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y 元，用X 表示Y ，并求Y 的数学期望．《离散型随机变量的方差练习题一．选择题：1．已知ξ的分布列为：则D (ξ)的值为( )2．已知X ～B (n ，p )，E (X )＝2，D (X )＝，则n ，p 的值分别为 ( )A ．100，B ．20，C ．10，D ．10，3．设一随机试验的结果只有A 和A －，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )"A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m )4．(2012·东莞高二检测)设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n⎝⎛⎭⎫23k ⎝⎛⎭⎫13n －k ，k ＝0，1，2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为 ( ) A ．8 B ．12 D ．165．甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中目标的概率为23，乙命中目标的概率为45，设命中目标的人数为X ，则D (X )等于 ( ) 二．填空题：6．下列说法正确的是________填序号．①离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值；②离散型随机变量X的方差V(X)反映了X取值的平均水平；③离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平；④离散型随机变量X的方差V(X)反映了X取值的概率的平均值7．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)，则自动包装机____________的质量较好．`8．若随机变量ξ的分布列如下：：且E(ξ)＝，则D(ξ)＝________．9．一次数学测验有25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项正确，每选一个正确答案得4分，不作出选择或选错的不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为，则此学生在这一次测试中的成绩的期望为________；方差为________．三．解答题：10．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如表所示：试求E(ξ)、D(ξ)．。

离散型随机变量的均值与方差练习

全国名校高考数学复习优质专题、课时训练（附详解）第79练离散型随机变量的均值与方差1.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n= 123,4）.现从袋中任取一球.E表示所取球的标号. （1）求E的分布列，均值和方差；（2）若叶=a E+ b, E n = 1, D n= 11,试求a, b 的值.2.（优质试题•威海模拟）三人参加某娱乐闯关节目，假设甲闯关成3 3功的概率是5,乙、丙两人同时闯关成功的概率是10,甲、丙两人同时闯关失败的概率是—，且三人各自能否闯关成功相互独立.25（1）求乙、丙两人各自闯关成功的概率;⑵ 设E表示三人中最终闯关成功的人数，求E的分布列和均值. 全国名校高考数学复习优质专题、课时训练（附详解）3.某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用A B C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其实验数据统计如下:假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟实验的统计数据:(1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；(2)考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只要是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量求随机变量E 的分布列和均值E( E).4.(优质试题•郑州模拟)某市公安局为加强安保工作，特举行安保项目的选拔比赛活动，其中A B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，A队队员是A、A A, B队队员是B、B、B,按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为E, n,且E+n= 3.(1)求A队最后所得总分为1的概率；(2)求E的分布列，并用统计学的知识说明哪个队实力较强.答案精析1解（1） E的分布列为•曰E ) = 0X1+ 1X 丄+ 2X丄+ 3X2 + 4X 1=3,3丿2+20 10 20 5 2,_ 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 3D( E) =(0 - 2)X 2+(1 - 2)X 20+(2 - 2)X 兀+ (3 - 2)X 20+(43 2 1112) X5=才11⑵由题意可知D( n ) = aD( E) = a X"4 = 11 ,「. a=± 2.又曰n ) = aE( E) + b,3•••当a= 2 时，1= 2X2 + b,得b=-2;3当a=- 2 时，1 = - 2X 2+ b,得b=4.f a= 2,十!a=-2, l b=- 2 或l b= 4.-- --2.解（1）记甲，乙，丙各自闯关成功的事件分别为A, A A,由已知A i, A, A相互独立，且满足f3 「RA) = 5,6{ [1 — RA 1)][1 — P (A)] = 25, ' 3 I RA) RA) = 10, 3 2解得 RA)= 4, P (A 3)= 5.（2） E 的可能取值为0,123.3所以乙、丙各自闯关成功的概率分别为34,(3Y 2)2 1 〔1—4 丿P( E = “三 1—； 1—二 + 語51' 4 人f 3 2 b -5 丿+5^ 5〜3 3 2 18 9 R E =3)= 5^4^孑=—=—5 100 50' 所以随机变量所以随机变量175_ 7100=4.31--(31 —— +_1 —_ .3、2 3 1—； + cX ；X45 9r 3、 J —5丿-100-20,3.解（1）由人工降雨模拟实验的统计数据，用A 、BC 三种人工降的分布列为的均值 E ( E ) = 0x3 + 1X-31+ 2X-9+ 3X-9J R 50 100 20 50=一X 一X 一= 5 4 5 100 50'雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，得到大雨、中雨、小雨的概率如下表:记“甲、乙、丙三地都恰为中雨”为事件 E,则P (E ) = RA)P (B 2)P (G )1111 =2x 2x6= 24.⑵设甲、乙、丙三地达到理想状态的概率分别为 P 1、P 2、P 3, 则 P 1 = P (A)= 2, P 2= RB) = 4 P 3= P (G ) + P (C 3) =6, S 值为 0,1,2,3 ,P ( S = 0) = (1 -P 1)(1 -P 2)(1 -P 3)=1x 3x6=48；P ( S = 1) = P l (1 - P 2)(1 - P 3)+ (1 - P l ) P 2(1 - P 3)+(1 - P l )(1P ( S = 2) = P 1P 2(1 —⑹ + (1 — P 1)P 2 P 3 + P 1(1 — P 2)P 3 = 1X 4x6 + 2X 4 5 1 3 5 21 x 6 + 2x 4x6= 48； 1155R s =3)=皿2卩3=2x 4x6= 48.所以随机变量E 的分布列为Jx 3x 」lx 」5」 2 4 6 2 4 6 2 4 6 48'的可能取—P 2) P 32 3 4 1 2 4 1 3 3 41/. F(A) = —X-X-+-X —X- + -X —x-=—— 」3 5 7 3 5 7 3 5 7 105 (2) E 的所有可能取值为3,2,1,0 ,224123233 40 8E = 2) = — X-X- + -X-X-+-X-X-=—=一, : 丿 3 5 7 3 5 7 3 5 7 105 21' 41S= 1)=莎，1 3 4 12 4 R E = 0) = 3X 5X7 = 105= 35,二E 的分布列为••• E + n = 3,二 E ( n )=-旦 S ) + 3=需.由于旦n )＞曰S )，故B 队的实力较强.3 12 42 2 3^ 5 7 105 35,S0 1 2 3 P 4 41 8 4 351052135曰 S )= 0X35 + 1X10541 8 4 157+ 2X 21+ 3X35=両.。

离散型随机变量的均值与方差基础练习题.docx

离散型随机变量的均值与方差基础练习题一、填空题1．若随机变量X 的分布列如下表：则EX ＝_______.解析由分布列的性质，可得2x ＋3x ＋7x ＋2x ＋3x ＋x ＝1，∴x ＝118. ∴EX ＝0×2x ＋1×3x ＋2×7x ＋3×2x ＋4×3x ＋5x ＝40x ＝209. 答案2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若ξ表示取到次品的个数，则Eξ等于________．解析ξ＝0时，P =: ξ＝1时，P ＝C 17C 13C 210；ξ＝2时，P ＝C 23C 210，∴E ξ＝1×C 17C 13C 210＋2×C 23C 210＝7×3＋2×3C 210＝35. 答案 353．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是________．解析若两个随机变量Y ，X 满足一次关系式Y ＝aX ＋b (a ，b 为常数)，当已知E (X )、D (X )时，则有E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X )．由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以有Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2， D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案 2；2.4 4．已知X 的概率分布为则在下列式子中：①E (X )＝－3；②D (X )＝2327； ③P (X ＝0)＝13.正确的序号是________．解析 E (X )＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故②不正确．由分布列知③正确．答案 ①③5．有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E ξ1=E ξ2，D ξ1>D ξ2，则自动包装机的质量较好．6．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E (ξ)＝________．答案 1257．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数X 的数学期望E (X )＝________．答案：238．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．解析种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为Y ，则Y ～B (1 000,0.1)，∴E (Y )＝1 000×0.1＝100，故需补种的期望为E (X )＝2·E (Y )＝200. 答案 2009．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为________．解析由题意可知，X 可以取3,4,5,6， P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝12.由数学期望的定义可求得E (X )＝5.25. 答案 5.25 二、解答题10．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，求随机变量X 的分布列与均值. 解: 由已知条件P (X ＝0)＝112 即(1－p )2×13＝112，解得p ＝12，随机变量X 的取值分别为0,1,2,3. P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×⎝⎛⎭⎪⎫1－122＋2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝13， P (X ＝2)＝2×23×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝512， P (X ＝3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝16.因此随机变量X 的分布列为E (X )＝0×112＋1×3＋2×12＋3×6＝3.11．袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求： (1)随机变量ξ的概率分布表； (2)随机变量ξ的数学期望与方差．解 (1)(2)随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝52；12.随机变量ξ的方差D (ξ)＝920.在某一项有奖销售中，每10万张奖券中有1个头奖，奖金10000元；2个二等奖，奖金各5000元；500个三等奖，奖金各100元，10000个四等奖，奖金各5元．试求每张奖券奖金的期望值．如果每张奖券2元，销售一张平均获利多少？（假设所有奖券全部售完）解：每张奖券可获得的奖金数ξ的分布列为每张奖券的期望值 E ξ= 10000×100000+5000×100000+100×500100000+5×10000100000=1.2元. 如果每张奖券2元，销售一张平均获利0.8元．。

离散型随机变量的均值与方差复习测试卷(含解析2015届数学一轮)

离散型随机变量的均值与方差复习测试卷（含解析2015届数学一轮）离散型随机变量的均值与方差复习测试卷（含解析2015届数学一轮）A组基础演练1．(2014•上海虹口模拟)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且Eξ＝6.3，则a的值为()ξ4a9P0.50.1bA.5B．6C．7D．8解析：由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.∴Eξ＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3.∴a＝7.答案：C2．已知X的分布列为X－101P121316，且Y＝aX＋3，E(Y)＝73，则a的值为()A．1B．2C．3D．4解析：先求出E(X)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13.再由Y＝aX＋3得E(Y)＝aE(X)＋3.∴73＝a×－13＋3.解得a＝2.答案：B3．(2014•甘肃嘉峪关二模)签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为()A．5B．5.25C．5.8D．4.6解析：由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝1C36＝120，P(X＝4)＝C23C36＝320，P(X＝5)＝C24C36＝310，P(X＝6)＝C25C36＝12.由数学期望的定义可求得EX＝5.25.答案：B4．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是________．解析：E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.答案：0.75．(2013•辽宁)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．解析：设5个班级中参加的人数分别为x1，x2，x3，x4,x5，则由题意知x1＋x2＋x3＋x4＋x55＝7，(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，五个整数的平方和为20，则必有0＋1＋1＋9＋9＝20，由|x－7|＝3可得x＝10或x＝4.由|x－7|＝1可得x＝8或x＝6，由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，故最大值为10.答案：106．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则D(X)＝________.解析：由题意知取到次品的概率为14，∴X～B3，14，∴D(X)＝3×14×1－14＝916.答案：9167．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：x123P(ξ＝x)？！？请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.解析：设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，则E(ξ)＝1•x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.答案：28．为了某大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A、B、C、D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为23，23，12.这三项测试能否通过相互之间没有影响．(1)求A能够入选的概率．(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望．解：(1)设A通过体能、射击、反应分别记为事件M、N、P，则A能够入选包含以下几个互斥事件：MNP，MNP，MNP，MNP.∴P(A)＝P(MNP)＋P(MNP)＋P(MNP)＋P(MNP)＝23×23×12＋23×13×12＋13×23×12＋23×23×12＝1218＝23.所以，A能够入选的概率为23.(2)P(没有入选任何人)＝1－234＝181，P(入选了一人)＝C1423133＝881，P(入选了两人)＝C24232132＝2481，P(入选了三人)＝C3423313＝3281，P(入选了四人)＝C44234＝1681，记ξ表示该训练基地得到的训练经费，该基地得到训练经费的分布列为ξ030006000900012000P181881248132811681E(ξ)＝3000×881＋6000×2481＋9000×3281＋12000×1681＝8000(元)所以，该基地得到训练经费的数学期望为8000元．9．某市公租房的房源位于A、B、C三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：(1)恰有2人申请A片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．解：(1)法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有C24•22种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为C24•2234＝827.法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验．记“申请A片区房源”为事件A，则P(A)＝13.从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为P4(2)＝C24132232＝827.(2)ξ的所有可能值为1,2,3.又P(ξ＝1)＝334＝127，P(ξ＝2)＝＋＝1427或＝＝－＝1427，P(ξ＝3)＝C13C24C1234＝49或＝＝C24A3334＝49.综上知，ξ的分布列为ξ123P127142749从而有E(ξ)＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527.B组能力突破1．(2013•安徽)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是()A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数解析：A、B不正确，无法确定采用的是哪种抽样方法．男生的平均成绩为90，女生的平均成绩为91，但这只能反映这五名男生和五名女生的情况，不能准确反映全班的成绩．又男生成绩的方差为8，大于女生成绩的方差6，故C正确．答案：C2．(2014•安徽芜湖一模)若X～B(n，p)，且EX＝6，DX＝3，则P(X＝1)的值为()A．3•2－2B．2－4C．3•2－10D．2－8解析：EX＝np＝6，DX＝np(1－p)＝3，∴p＝12，n＝12，则P(X＝1)＝C112•12•1211＝3•2－10.答案：C3．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若X 表示取到次品的个数，则E(X)＝________.解析：X的取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝C312C316＝1128；P(X＝1)＝C212C14C316＝3370；P(X＝2)＝C112C24C316＝970；P(X＝3)＝C34C316＝1140，∴E(X)＝0×1128＋1×3370＋2×970＋3×1140＝34.答案：344．(2013•天津)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝C12C35＋C22C25C47＝67.所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝C33C47＝135，P(X＝2)＝C34C47＝435，P(X＝3)＝C35C47＝27，P(X＝4)＝C36C47＝47.所以随机变量X的分布列是X1234P1354352747随机变量X的数学期望EX＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175.。

03离散型随机变量的均值与方差训练题2(检测+答案)

离散型随机变量的均值与方差训练题2一．选择题（共15小题）1．设随机变量的分布列为下表所示且Eξ=1.6，则a﹣b=（）ξ0 1 2 3p 0.1 a b 0.1A．0.2 B．0.1 C．﹣0.2 D．﹣0.42．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）A．20 B．25 C．30 D．403．已知随机变量ξ的分布列,其中，则Eξ=（）ξ﹣1 0 2P cosαA．B．C．0 D．14．若离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E（X）=（）X 0 1PA．2 B．2或C．D．15．一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为（）A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.46．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02．设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于（）A．0.2 B．0.8 C．0.196 D．0.8047．一份数学试卷由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有1个选项是正确的，每题选正确得4分，不选或选错得0分，满分100分．小强选对任一题的概率为0.8，则他在这次考试中得分的期望为（）A．60分B．70分C．80分D．90分8．已知随机变量ξ的分布列为且η=2ξ+3，则Eη等于（）ξ0 1 2PA．B．C．D．9．设一随机试验的结果只有A和，P（A）=p，令随机变量，则X的方差为（）A．p B．2p（1﹣p）C．﹣p（1﹣p）D．p（1﹣p）10．已知X～B（n，），Y～B（n，），且E（X）=15，则E（Y）=（）A．15 B．20 C．5 D．1011．（2014•浙江）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中．（a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i=1，2）；（b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i（i=1，2）．则（）A．p1＞p2，E（ξ1）＜E（ξ2）B．p1＜p2，E（ξ1）＞E（ξ2）C．p1＞p2，E（ξ1）＞E（ξ2）D．p1＜p2，E（ξ1）＜E（ξ2）12．若X～B（n，p），且EX=6，DX=3，则P（X=1）的值为（）A．3•2﹣2B．2﹣4C．3•2﹣10D．2﹣813．一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则的最小值为（）A．B．C．D．14．已知随机变量X的分布列如表，则D（X）=（）X 0 1 3P 0.2 0.2 yA．0.4 B．1.2 C．1.6 D．215．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望Eξ为（）A．B．C．D．二．填空题（共5小题）16．（2015•广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．17．若某射手击中靶的概率为0.8，连续射击6次中，击中靶的次数为ξ，E（ξ）=．18．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4；P（ξ=k）=αk（k=1，2，3，4），则α=．19．（2014•浙江）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=，E（ξ）=1，则D（ξ）=．20．（2014•上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为．三．解答题（共8小题）21．（2015•天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．22．（2015•四川）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．23．（2015•安徽）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）24．（2015•福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．25．（2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．26．（2015•陕西）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T（分钟）25 30 35 40频数（次）20 30 40 10（Ⅰ）求T的分布列与数学期望ET；（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．27．（2015•重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．28．（2015•山东）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．一．选择题（共15小题）1．C；2．B；3．D；4．C；5．C；6．C；7．C；8．C；9．D；10．D； 11．A；12．C； 13．A； 14．C； 15．B；二．填空题（共5小题）16．； 17．4.8；18．；19．； 20．0.2；三．解答题（共8小题）21.解：（Ⅰ）由已知，有P（A）=，∴事件A发生的概率为；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．P（X=k）=（k=1，2，3，4）．∴随机变量X的分布列为：X 1 2 3 4P随机变量X的数学期望E（X）=．22．解：（Ⅰ）由题意，参加集训的男、女学生共有6人，参赛学生全从B中抽出（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为：=，因此A中学至少有1名学生入选代表队的概率为：1﹣=；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，则X的可能取值为：1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．X的分布列：X 1 2 3P和数学期望EX=1×=2．23．解：（Ⅰ）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P（A）==．（Ⅱ）X的可能取值为：200，300，400 P（X=200）==．P（X=300）==．P（X=400）=1﹣P（X=200）﹣P（X=300）=．X的分布列为：X 200 300 400PEX=200×+300×+400×=350．24．解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P（A）=．（2）有可能的取值是1，2，3又则P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，所以X的分布列为：X 1 2 3PEX=1×+2×+3×=．25．解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）==，P（B2）=P（）+P（）=+==，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．故X的分布列为：X 0 1 2 3PE（X）=3×=．26．解（Ⅰ）由统计结果可得T的频率分布为T（分钟）25 30 35 40频率0.2 0.3 0.4 0.1以频率估计概率得T的分布列为T 25 30 35 40P 0.2 0.3 0.4 0.1从而数学期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）（Ⅱ）设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同，设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”P（）=P（T1+T2＞70）=P（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09 故P（A）=1﹣P（）=0.91故答案为：（Ⅰ）分布列如上表，数学期望ET=32（分钟）（Ⅱ）0.9127．解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率公式有P（A）==．（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X 0 1 2PEX=0×+1×+2×=．28．解：（Ⅰ）根据定义个位数字是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为，随机变量X的取值为：0，﹣1，1，当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即；当X=﹣1时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，7，9中选择两个数字和5进行组合，即；当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即．则P（X=0）==，P（X=﹣1）==，P（X=1）==，X 0 ﹣1 1PEX=0×+（﹣1）×+1×=．。

高考数学离散型随机变量的均值与方差(理科专用)测试题

高考数学离散型随机变量的均值与方差（理科专用）测试题一、单选题（共12题；共24分）1.已知随机变量的分布列如下，则的最大值是( )-1A. B. C. D.2.设随机变量x~B（12, ），则D（X）=（）A. B. C. D. 33.口袋中装有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任意取出3个小球，以表示取出球的最大号码，则( )A. B. C. D.4.五人进行过关游戏，每人随机出现左路和右路两种选择．若选择同一条路的人数超过2人，则他们每人得1分；若选择同一条路的人数小于3人，则他们每人得0分，记小强游戏得分为，则（）A. B. C. D.5.为了响应国家发展足球的战略，哈市某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.现有10名同学参加足球射门比赛，已知每名同学踢进的概率均为，每名同学有2次射门机会，且各同学射门之间没有影响.现规定：踢进两个得10分，踢进一个得5分，一个未进得0分，记为10个同学的得分总和，则的数学期望为（）A. 30B. 40C. 60D. 806.设，随机变量的分布列如下：则当在内增大时（）A. 减小，减小B. 增大，增大C. 增大，减小D. 减小，增大7.设是随机变量，且，则（）A. 0.4B. 0.8C. 4D. 208.已知随机变量，且，，则与的值分别为（）A. 16与0.8B. 20与0.4C. 12与0.6D. 15与0.89.口袋中有个形状和大小完全相同的小球，编号分别为，，，，，从中任取个球，以表示取出球的最大号码，则=（）A. B. C. D.10.某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为分，学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为分，则的值为( ) A.B.C. D.11.某导弹发射的事故率为，若发射次，记出事故的次数为，则（）A.B. C. D.12.随机变量，满足：，，若，则（）A. 5B. 4C. 7D. 9二、填空题（共5题；共8分）13.某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），已知成绩在的学生人数为，且有个女生的成绩在中，则________；现由成绩在的样本中随机抽取2名学生作指导工作，记所抽取学生中女生的人数为，则的数学期望是________．14.随机变量X 的分布列是则EX,DX 分别是________15.以下个命题中，所有正确命题的序号是________. ①已知复数，则；②若，则③一支运动队有男运动员人，女运动员人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为的样本，则样本中男运动员有人；④若离散型随机变量的方差为，则.16.已知袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个黑球和2个白球，从袋中无放回地随机取出3个球，记取出黑球的个数为，则________，________．17.一个正四面体的四个面上分别标有1，2，3，4，将该正四面体抛掷两次，则向下一面的数字和为偶数的概率为________ ，这两个数字和的数学期望为 ________．三、解答题（共5题；共40分）18.某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终监督评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度，分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干师生，进行评分（满分分），绘制如下频率分布直方图（分组区间为），并将分数从低到高分为四个等级：已知满意度等级为基本满意的有人.（Ⅰ）求频率分布直方图中的值及不满意的人数；（Ⅱ）在等级为不满意的师生中，老师占，现从等级的师生中按分层抽样的方法抽取人了解不满意的原因，并从这人中抽取人担任整改督导员，记为整改督导员中老师的人数，求的分布列及数学期望.19.某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：附：．0.10（1）求出表中x，y的值；（2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中A类人数和C类人数差的绝对值，求X的数学期望．20.大学生小王自主创业，在乡下承包了一块耕地种植某种水果，每季投入2万元，根据以往的经验，每季收获的此种水果能全部售完，且水果的市场价格和这块地上的产量具有随机性，互不影响，具体情况如表：（1）设表示在这块地种植此水果一季的利润，求的分布列及期望；（2）在销售收入超过5万元的情况下，利润超过5万元的概率．21.某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人?（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设表示得分在区间中参加全市座谈交流的人数，求的分布列及数学期望．22.某理财公司有两种理财产品和，这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品投资结果获利20% 获利10% 不赔不赚亏损10%概率0.2 0.3 0.2 0.3产品（其中）投资结果获利30% 不赔不赚亏损20%概率 0.1（1）已知甲、乙两人分别选择了产品和产品进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于0.7，求的取值范围；（2）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据，在产品和产品之中选其一，应选用哪种产品？答案一、单选题1. B2. B3. A4. B5. C6. B7. B8. D9. B 10. A 11. B 12. B二、填空题13. ；14.2,0.8 15. ①③④ 16. ；17. ；5三、解答题18. 解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：设不满意的人数为，则解得.（Ⅱ）按分层抽样，12人中老师有4人，学生有8人，则的可能取值为0，1，2，3，，则的分布列为故.19.（1）解：设抽取的20人中，男、女生人数分别为，则, 所以，（2）解：列联表如下：的观测值，所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关．（3）解：的可能取值为0，1，2，3，则，，，，所以20. （1）解：设表示事件“水果产量为”，表示事件“水果市场价格为元/ ”，则，．∵利润产量市场价格成本，∴的所有可能取值为：，，，．；；；．∴的分布列为：（万元）．（2）解：设表示事件“在销售收入超过5万元的情况下利润超过5万元”，则．21. （1）解：由题意知之间的频率为:，∴获得参赛资格的人数为（2）解：在区间与，，在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人分在区间与各抽取5人，2人．结果是5，2.（3）解：的可能取值为0，1，2，则故的分布列为：∴22. （1）解：记事件为“甲选择产品且盈利”，事件为“乙选择产品且盈利”，事件为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，，，所以，所以又因为，，所以.故.（2）解：假设丙选择产品进行投资，且记为获利金额（单位：万元），所以随机变量的分布列为：则假设丙选择产品进行投资，且记为获利金额（单位：万元），所以随机变量的分布列为：则当时，，选择产品和产品一年后投资收益的数学期望相同，可以在产品和产品中任选一个；当时，，选择产品一年后投资收益的数学期望大，应选产品；当时，，选择产品一年后投资收益的数学期望大，应选产品.。

高考数学一轮复习专题10.7 离散型随机变量的均值与方

专题10.7 离散型随机变量的均值与方差班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

） 1.袋中有大小相同的3只钢球，分别标有1、2、3三个号码，有放回的依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能值的个数是( ) A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】D2. 已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E （X ）= （） A. 32B. 2C. 52D.3【答案】A ．【解析】3313123510102EX =⨯+⨯+⨯=，故选A ． 3. 已知随机变量X 的分布列为则()25E X +=（）A. 1.32B. 1.71C. 2.94D. 7.64 【答案】D【解析】由题意，E （X ）=-2×0.16+1×0.44+3×0.40=1.32， ∴E（2X+5）=2E （X ）+5=2.64+5=7.644.若随机变量X ～B (100，p )，X 的数学期望EX =24，则p 的值是 ( )(A) (B) (C) (D)【答案】C .【解析】∵X ～B (100，p )，∴EX =100p .又∵EX =24，∴24=100p ，p ==.5. 若ξ～B (n ，p )且E (ξ)＝6，D (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值为( ) A ．3·2－2B ．3·2－10C ．2－4D ．2－8【答案】B【解析】E (ξ)＝np ＝6，D (ξ)＝np (1－p )＝3⇒p ＝12，n ＝12，P (ξ＝1)＝C 112⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝3210.6. 设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为( )A ．0.4B ．1.2C ．0.43D ．0.6 【答案】B7. 利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是 ( )(A)A 1(B)A 2(C)A 3(D )A 4【答案】C .8. 已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( )．A.73 B ．4 C ．－1 D ．1 【答案】A ．【解析】E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.9. 一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未击中9环或10环就以0环记．该远动员在练习时击中10环的概率为a ，击中9环的概率为b ，既未击中9环也未击中10环的概率为c （a ，b ，[)0,1c ∈），如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，则当1019a b+取最小值时，c 的值为（） A ．111 B ．211 C ．511D ．0 【答案】A 【解析】试题分析：由运动员一次射箭击中环数的期望为9环，可知9910=+b a ，即1910=+b a，则 91211081109101)910)(9110(9110≥++=++=+a b b a b a b a b a ，当a bb a 108110=，即b a 9=时取等号，此时 119,111==a b ，则1111=--=b a c ，故正确选项为A.10. 设随机变量的分布列如表所示，且EX =1.6，则a ×b = ( )(A)0.2(B)0.1(C)0.15(D)0.4【答案】C11. 如图, 将一个各面都涂了油漆的正方体, 切割成125个同样大小的小正方体, 经过搅拌后, 从中随机取出一个小正方体, 记它的涂油漆面数为X ,则X 的均值为()E X =（）A ．126125 B ．65 C ．168125 D ．75【答案】B 【解析】试题分析：X 的可能取值为0,1,2,3.（1）8个顶点处的8个小正方形涂有3个面，所以8125P X （=3）=；（2）每条棱上除了两个顶点处的小正方形，还有3个，一共有412=36⨯个小正方形涂有2个面，所以36125P X （=2）=；（3）每个面上除去棱上的还有9个小正方形，因此有96=54⨯个小正方形涂有一面，所以54125P X （=1）=；（4）还有125-++=（83654）27个没有涂漆的小正方形，所以27125P X （=0）=；故()275436860+++=1251251251255E X =⨯⨯⨯⨯123.选B. 12. 甲乙两人进行乒乓球比赛, 约定每局胜者得1分, 负者得0分, 比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止, 设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立, 则比赛停止时已打局数ξ的期望()E ξ为（）A ．24181 B ．26681 C ．27481 D ．670243【答案】B二、填空题13.【2016高考江苏卷】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________________. 【答案】0.1【解析】这组数据的平均数为1(4.7 4.8 5.1 5.4 5.5) 5.15++++=，2222221(4.7 5.1)(4.8 5.1)(5.1 5.1)(5.4 5.1)(5.5 5.1)0.15S ⎡⎤∴=-+-+-+-+-=⎣⎦．故答案应填：0.1， 14. 一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获得50元，生产一件乙等品可获得30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品，乙等品和次品的概率分别为0.7， 0.2和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利__________．【答案】39元【解析】∵一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品，要赔20元，这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.7， 0.2和0.1，∴这台机器每生产一件产品平均预期可获利： 500.7300.2200.139⨯+⨯-⨯=，答案为39元. 15.一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X ，则X 的期望)(X E = ．【答案】2 【解析】试题分析：由题意X 的可能取值为0，1，2，3，P （X=0）= 3631820816C C =，P （X=1）= 12126318180816C C C =， P （X=2）= 21126318396816C C C =， P （X=3）= 312318220816C C =，∴E （X ）=0×20816+1×180816+2×396816+3×220816=2 16.同时抛掷5枚均匀的硬币160次，设5枚硬币正好出现1枚正面向上，4枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是 . 【答案】25三、解答题17.【2018届湖南师范大学附属中学高三11月月考】一只袋中放入了大小一样的红色球3个，白色球3个，黑色球2个.（Ⅰ）从袋中随机取出（一次性）2个球，求这2个球为异色球的概率；（Ⅱ）若从袋中随机取出（一次性）3个球，其中红色球、白色、黑色球的个数分别为a 、b 、c ，令随机变量ξ表示a 、b 、c 的最大值，求ξ的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）34；（Ⅱ） 127. 【解析】试题分析：（Ⅰ）取出两个球是同一颜色的种数为222332C C C ++，由此利用对立事件概率计算公式能求出取两个球颜色不同的概率；（Ⅱ）由已知ξ的可能取值为0,1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望.试题解析：（Ⅰ）设事件A 表示“从袋中随机取出（一次性）2个球，求这2个球为异色球”，则()22233238314C C C P A C =-=. （Ⅱ）ξ的可能取值为1,2,3.()2338213,28C P C ξ=== ()21213526382+92,14C C C C P C ξ=== ()1113323891,28C C C P C ξ=== 则ξ的分布列为于是， 991121232814287E ξ=⨯+⨯+⨯=. 18．【2018届甘肃省张掖市民乐县第一中学高三10月月考】一个不透明的袋子中装有4个形状相同的小球，分别标有不同的数字2,3,4,x ，现从袋中随机摸出2个球，并计算摸出的这2个球上的数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复试验.记A 事件为“数字之和为7”.试验数据如下表：（1）如果试验继续下去，根据上表数据，出现“数字之和为7”的频率将稳定在它的概率附近.试估计“出现数字之和为7”的概率，并求x 的值；（2）在（1）的条件下，设定一种游戏规则：每次摸2球，若数字和为7，则可获得奖金7元，否则需交5元.某人摸球3次，设其获利金额为随机变量η元，求η的数学期望和方差.【答案】（1）13,5；（2）3-,96.试题解析：（1）由数据表可知，当试验次数增加时，频率稳定在0.33附近，所以可以估计“出现数字之和为7”的概率为,，A事件包含两种结果，则有，5x=,（2）设表示3次摸球中A事件发生的次数，则,,,则,.19.【2017四川模拟】某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，经过初赛，复赛，甲、乙两个代表队，（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分，假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分别为432,,543，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分. （1）求ξ的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.ξ的分布列为30 ()13132133010203060203056E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.20.【2018届湖南省邵阳市洞口一中、隆回一中、武冈二中高三上第二次月考】某省电视台举行歌唱大赛,大赛依次设初赛,复赛,决赛三个轮次的比赛.已知某歌手通过初赛,复赛,决赛的概率分别为且各轮次通过与否相互独立.记该歌手参赛的轮次为（1）求的分布列和数学期望. （2）记“函数是偶函数”为事件,求发生的概率；【答案】（1）分布列见解析；（2）的分布列为（2）因为是偶函数,所以或。

高考数学(理)一轮复习检测：《离散型随机变量的均值与方差》

第4讲离散型随机变量的均值与方差1．已知ξ的分布列为则E (ξ)＝( )A ．0B ．0.2C ．－1D ．－0.32．已知ξ的分布列为则D (ξ)＝( )A ．0.7B ．0.61C ．－0.3D ．03．设投掷1颗骰子的点数为ξ，则( ) A ．E (ξ)＝72，D (ξ)＝494B ．E (ξ)＝72，D (ξ)＝3512C ．E (ξ)＝72，D (ξ)＝72D ．E (ξ)＝72，D (ξ)＝35164．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．4005．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c [a ，b ，c ∈(0,1)]，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其它得分情况)，则ab 的最大值为( )A.148B.124C.112D.166．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表．请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的7.已知离散型随机变量1，则a ＝______，b ＝______.8.人参加决赛．(1)设随机变量ξ表示所选的3个人中女生的人数，则ξ的数学期望为________；(2)所选出的3人中至少有1名女生的概率为________．9．为了迎接新年的到来，某单位的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和5个白球，这些球除了颜色外完全相同．一次从中摸出2个球，并且规定：摸到2个白球中三等奖，能够得到奖金200元；摸到1个红球，1个白球中二等奖，能够得到奖金600元；摸到2个红球，中一等奖，能够得到奖金1000元．(1)求某人参与摸奖一次，至少得到600元奖金的概率．(2)假设某人参与摸奖一次，所得的奖金为ξ元，求ξ的分布列及数学期望．10．(2014年广东广州一模)甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是625，乙、丙两人同时能被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立．(1)求乙、丙两人各自能被聘用的概率；(2)设ξ表示甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值(数学期望)．第4讲离散型随机变量的均值与方差1．D 2.B 3.B 4.B5．D 解析：由已知得3a ＋2b ＋0×c ＝2，即3a ＋2b ＝2，∴ab ＝16·3a ·2b ≤16⎝⎛⎭⎫3a ＋2b 22＝16. 6．2 解析：设“？”表示的数为x ，“！”表示的数为y ，由分布列的性质，得2x ＋y ＝1，E (ξ)＝x ＋2y ＋3x ＝4x ＋2y ＝2.7.512 14 解析：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1112.－a ＋c ＋16＝0，a ＋c ＋13＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝512，b ＝14，c ＝14.8．(1)1 (2)45解析：(1)ξ可能取的值是0,1,2， ξ的分布列为：ξ数学期望为E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1. (2)所选3人中至少有一名女生的概率为P (ξ≥1)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝35＋15＝45. 9．解：记“摸到2个白球且得到200元奖金为事件A ”，“摸到1个白球、1个红球且得到600元奖金为事件B ”，“摸到2个红球且得到1000元奖金为事件C ”，由题意可以知道：P (A )＝C 25C 210＝29， P (B )＝C 15·C 15C 210＝59， P (C )＝C 25C 210＝29， (1)求某人参与摸奖一次，至少得到600元奖金的概率为：P (B )＋P (C )＝59＋29＝79. (2)ξ的数学期望为：E (ξ)＝200×29＋600×59＋1000×29＝600(元)． 10．解：(1)记甲、乙、丙各自能被聘用的事件分别为A 1、A 2、A 3，由已知A 1、A 2、A 3相互独立，且满足⎩⎪⎨⎪⎧ P (A 1)＝25，[1－P (A 1)][1－P (A 3)]＝625，P (A 2)P (A 3)＝310.解得P (A 2)＝12，P (A 3)＝35. 所以乙、丙各自能被聘用的概率分别为12，35. (2)ξ的可能取值为1,3. 因为P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1 A 2 A 3) ＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋[1－P (A 1)][1－P (A 2)][1－P (A 3)] ＝25×12×35＋35×12×25＝625. 所以P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝3)＝1－625＝1925. 所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝1×1925＋3×625＝3725.。

离散型随机变量的均值综合测试题(含答案)

离散型随机变量的均值综合测试题(含答案)选修2-32.3.1离散型随机变量的均值一、选择题1．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为()A．无法求B．0C．E(X)D．2E(X)答案]B解析]只要认识到E(X)是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.2．设E(ξ)＝10，E(η)＝3，则E(3ξ＋5η)＝()A．45B．40C．30D．15答案]A3．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝()A．0.765B．1.75C．1.765D．0.22答案]B解析]设A、B分别为每台雷达发现飞行目标的事件，X的可能取值为0、1、2，P(X＝0)＝P(A•B)＝P(A)•P(B)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015.P(X＝1)＝P(A•B＋A•B)＝P(A)•P(B)＋P(A)•P(B)＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.22.P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)•P(B)＝0.9×0.85＝0.765.∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.4．设随机变量X的分布列如下表所示且E(X)＝1.6，则a－b＝()X0123P0.1ab0.1A.0.2B．0.1C．－0.2D．－0.4答案]C解析]由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，①又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，②由①②解得a＝0.3，b＝0.5，∴a－b＝－0.2，故应选C.5．已知随机变量ξ和η，其中η＝10ξ＋2，且E(η)＝20，若ξ的分布列如下表，则m的值为()ξ1234P14mn112A.4760B.3760C.2760D.18答案]A解析]η＝10ξ＋2⇒E(η)＝10E(ξ)＋2⇒20＝10•E(ξ)＋2⇒E(ξ)＝95⇒95＝1×14＋2×m＋3×n＋4×112，又14＋m＋n＋112＝1，联立求解可得m＝4760，故选A.6．(2008•浙江)有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取到次品的个数，则E(X)等于()A.35B.815C.1415D．1答案]A解析]X＝1时，P＝C17C13C210；X＝2时，P＝C23C210.∴E(X)＝1×C17C13C210＋2×C23C210＝7×3＋2×3C210＝35，故选A.7．(2010•福建福州)已知某一随机变量X的概率分布列如下表，E(X)＝6.3，则a值为()X4a9P0.50.1bA.5B．6C．7D．8答案]C解析]由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4，∴E(X)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，∴a＝7，故选C.8．(2010•新课标全国理，6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的均值为()A．100B．200C．300D．400答案]B解析]本题以实际问题为背景，考查的事件的均值问题．记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1000,0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故EX＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故选B.二、填空题9．(2010•上海理，6)随机变量ξ的概率分布列由下图给出：x78910P(ξ＝x)0.30.350.20.15则随机变量ξ的均值是________．答案]8.2解析]本小题考查随机变量的均值公式．E(ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.10．已知某离散型随机变量X的数学期望E(X)＝76，X的分布列如下：X0123Pa1316b则a＝________.答案]13解析]E(X)＝76＝0×a＋1×13＋2×16＋3b⇒b＝16，又P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1⇒a＋13＋16＋16＝1⇒a＝13.11．从1、2、3、4、5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数之积的数学期望是________．答案]8.5解析]从1、2、3、4、5中任取不同的两个数，其乘积X的值为2、3、4、5、6、8、10、12、15、20，取每个值的概率都是110，∴E(X)＝110×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5.12．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：X012P12－pp12则E(X)的最大值为________．答案]32解析]由表可得0≤12－p≤1，0≤p≤1，从而得P∈0，12]，期望值E(X)＝0×(12－p)＋1×p＋2×12＝p＋1，当且仅当p＝12时，E(X)最大值＝32.三、解答题13．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，试回答下列问题：(1)若直到取到好电池为止，求抽取次数ξ的分布列及均值；(2)若将题设中的无放回改为有放回，求检验5次取到好电池个数X的数学期望．解析](1)ξ可取的值为1、2、3，则P(ξ＝1)＝35，P(ξ＝2)＝25×34＝310，P(ξ＝3)＝25×14×1＝110，抽取次数ξ的分布列为：ξ123P35310110E(ξ)＝1×35＋2×310＋3×110＝1.5.(2)每次检验取到好电池的概率均为35，故X～B(n，p)，即X～B(5，35)，则E(X)＝5×35＝3.14．(2010•江西理，18)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望(均值)．解析]本题考查学生的全面分析能力，考查学生对事件概率的求解能力以及对文字描述的理解能力．解本题的两个关键点是：一是ξ的所有取值，二是概率．解：(1)ξ的所有可能取值为：1,3,4,6P(ξ＝1)＝13，P(ξ＝3)＝16，P(ξ＝4)＝16，P(ξ＝6)＝13，所以ξ的分布列为：ξ1346P13161613(2)E(ξ)＝1×13＋3×16＋4×16＋6×13＝72(小时)15．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1－0.999104.(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)．解析]解答第(1)题运用对立事件的概率公式，建立方程求解．解答第(2)题运用二项分布的期望公式，建立不等式求解．各投保人是否出险相互独立，且出险的概率都是p，记投保的10000人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104，p)．(1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则A 发生当且仅当ξ＝0，P(A)＝1－P(A)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)104，又P(A)＝1－0.999104，故p＝0.001.(2)该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出：10000ξ＋50000，盈利：η＝10000a－(10000ξ＋50000)，盈利的期望为：E(η)＝10000a－10000E(ξ)－50000，由ξ～B(104,10－3)知，E(ξ)＝10000×10－3，E(η)＝104a－104E(ξ)－5×104＝104a－104×104×10－3－5×104.E(η)≥0⇔104a－104×10－5×104≥0⇔a－10－5≥0⇔a≥15(元)．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．16．(2009•全国Ⅰ•理19)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；(2)设X表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求X的分布列及均值．解析]设Ai表示事件：第i局甲获胜，i＝3,4,5，Bj表示事件：第j局乙获胜，j＝3,4.(1)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝A3•A4＋B3•A4•A5＋A3•B4•A5.由于各局比赛结果相互独立，故P(B)＝P(A3•A4)＋P(B3•A4•A5)＋P(A3•B4•A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.(2)X的可能取值为2,3.由于各局比赛结果相互独立，所以P(X＝2)＝P(A3•A4＋B3•B4)＝P(A3•A4)＋P(B3•B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52，P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－0.52＝0.48.故X的分布列为X23P0.520.48E(X)＝2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝2×0.52＋3×0.48＝2.48.。