高一数学必修2质量检测题参考答案及评分标
2023-2024高一第二学期期末数学质量检测试题参考答案与评分细则
2023-2024 学年度第二学期期末质量检测高一数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．题号12345678答案CDACBDDA1．【解析】由题得()()()()231151+12i i i z i i ----==-，所以z 对应的点的坐标是15,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选C ．2．【解析】零向量的方向是任意的，故A 错误；相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B 错误；当0λ<，则向量a 与a λ方向相反，故C 错误；对于D ：单位向量的模为1，都相等，故D 正确.3．【解析】因为1238,,,,x x x x 的平均数是10，方差是10，所以123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数是310232⨯+=，方差是231090⨯=.故选A ．4．【解析】【方法一】向量a 在b方向上的投影向量为()()22cos ,1,04a b b bb a a b b b⋅<>⋅===；【方法二】数形结合，由图易得选项C 正确，故选C.5．【解析】样本中高中生的人数比小学生的人数少20，所以5320543543n n -=++++，解得120n =，故选B ．6．【解析】对于选项A ，易得,αβ相交或平行，故选项A 错误；对于选项B ，,m n 平行或异面，故选项B 错误；对于选项C ，当直线,m n 相交时，//αβ才成立，故选项C 错误；对于选项D ，由线面垂直的性质可知正确，故选D.7．【解析】对于选项A ，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，即一次试验，事件A 和事件B 可以都不发生，所以选项A 错误；对于选项B ，因为C D ⋂即两个点数都是偶数，即A 与C D ⋂可以同时发生，所以选项B 错误；对于选项C ，因为331()664P B ⨯==⨯，333()1664P D⨯=-=⨯，又()0P BD =，所以()()()P BD P B P D ≠，故选项C 错误；对于选项D ，因为()1P C D = ，所以C D =Ω ，因为必然事件与任意事件相互独立，所以B 与C D ⋃是相互独立事件，故选D ．8．【解析】因为11AC CB =，AC BC =，取AB 中点D ，则1C DC ∠为二面角1C AB C --的平面角，所以14C DC π∠=．在1Rt C DC ∆中，可得112,CD CC C D ===，又1182V AB CD CC =⋅⋅=，解得4AB =，所以AC ==.由1111A ABC B AA C V V --=得1111133ABC AA C S h S BC ∆∆⋅=⋅，代入数据求解得到点1A 到平面1ABC的距离h =，故选A ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．题号题9题10题11全部正确选项ABCBCAD9．【解析】依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R⨯⨯=，所以AC 选项正确；圆锥的侧面积为2πRR ⨯=，所以B 选项正确；圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R +=<，圆柱的表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项错误．故选ABC ．10．【解析】由1i z i +=-得22z =，故选项A 错误；根据复数的运算性质，易知BC 正确；根据22z -≤的几何意义求解，点Z 在以圆心为()2,0，半径为2的圆内及圆周上，所以集合M 所构成区域的面积为4π，所以D 选项错误．故选BC ．11．【解析】对于选项A ，若60A =︒，2a =，则2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc bc =+-≥，当且仅当2b c ==时，取等号，所以1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC 故选项A正确，B 错误．对于选项C ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则sin b A a b <<，因为4a b==，所以4sin A <πsin 0,2A A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以03A π<<.故选项C 错误.对于选项D ，()cos cos a b c A B +=+等价于cos cos a b A B c +=+，即22222222a b b c a a c bc bc ac++-+-=+，对该等式通分得到()()()2222222ab a b a b c a b a c b +=+-++-，即2222322322a b ab ab ac a a b bc b +=+-++-，即3322220a b a b ab ac bc +++--=．这即为()()()()2220a b a ab b ab a b c a b +-+++-+=，由0a b +≠知该等式即为2220a b c +-=．从而条件等价于2220a b c +-=且1c =，从而该三角形内切圆半径)121122ABC ab S ab ab r a b c a b c a b ab ===++++++ 当且仅当2a b ==时等号成立，从而0r <≤2213πππ24S r ⎛⎫-=≤= ⎪ ⎪⎝⎭内切圆．验证知当2a b ==时，等号成立，所以该三角形的内切圆面积的最大值是3π4-，所以选项D 正确．故选AD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分；其中第14题的第一个空2分，第二个空3分．12．71513．a b <【注：也可以是b a >，0b a ->或a 小于b 】14．2；412．【解析】已知甲、乙两人独立的解同一道题，甲，乙解对题的概率分别是23，35，恰好有1人解对题的概率是22137353515⨯+⨯=.【注：写成有限小数不给分】13．【解析】由平均数在“拖尾”的位置，可知a b <．14．【解析】（1）13E ABC ABC V S EB -∆=⋅，在ABC ∆中，由余弦定理可知，1cos 8BAC ∠=，所以sin 8BAC ∠==，所以113772413282E ABC V -=⨯⨯⨯⨯⨯=.（2）作BH AC ⊥，垂足为H ，作1111B H AC ⊥，垂足为H 1，易证棱1BB 在平面11ACC A 上的射影为1HH ，则点E 在平面11ACC A 上的射影1E 在线段1HH 上，由（1）知，1cos 8BAC ∠=，故128AH AH AB ==，解得14AH =，故BH =，则1EE =，设AF 的中点为1Q ，外接球的球心为Q ，半径为1R ，则1QQ ⊥平面11ACC A ，即11//QQ EE ，在1Rt FQQ中，222211QF R QQ ==+①，又因为222211114QE R QQ Q E ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭②，由①②可得211131216QQ Q E =+，所以当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点．因为11//AA BB ，所以直线EF 与1BB 所成角即为直线EF 与1AA 所成角．由1111cos 8A CB =∠，再由余弦定理可得1B F 因为11EB =，所以EF =11cos 4E FEB B EF =∠=．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分，其中第（1）小问6分，第（2）小问7分。
【人教A版】高中数学必修二：全册作业与测评 综合质量评估(附答案)
综合质量评估(第一至第四章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)满足( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外【解析】选C.因为(3-2)2+(2-3)2=2<4,故点P(3,2)在圆内.2.直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相交且过圆心D.相离【解析】选D.圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4,则圆心到直线的距离d=错误！未找到引用源。
=2错误！未找到引用源。
>2,所以直线与圆相离.【补偿训练】(2015·郑州高一检测)对任意实数k,圆C:(x-3)2+(y-4)2=13与直线l:kx-y-4k+3=0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.与k取值有关【解析】选 A.对任意实数k,直线l:kx-y-4k+3=0恒过定点(4,3),而(4-3)2+(3-4)2<13,故定点(4,3)在圆C内部,所以直线与圆相交.3.(2015·乌海高一检测)已知空间两点P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),则|P1P2|等于( ) A.错误！未找到引用源。
B.3错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
【解析】选A.错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
.4.已知两圆的方程是x2+y2=1和x2+y2-6x-8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是( ) A.外离 B.相交 C.外切 D.内切【解析】选C.将圆x2+y2-6x-8y+9=0,化为标准方程得(x-3)2+(y-4)2=16.所以两圆的圆心距为错误！未找到引用源。
=5,又r1+r2=5,所以两圆外切.5.设l,m,n表示三条直线,α,β,γ表示三个平面,给出下列四个结论:①若l⊥α,m⊥α,则l∥m;②若m⊂β,n是l在β内的射影,m⊥l,则m⊥n;③若m⊂α,m∥n,则n∥α;④若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β.其中正确的为( )A.①②B.①②③C.①②③④D.③④【解析】选A.①正确,②可用线面垂直证明,正确,③中,n可能在α内;④中,可能有α,β相交或平行,故选A.6.(2015·临汾高一检测)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( )A.x+y-错误！未找到引用源。
【高中数学必修2测试题及答案[1]
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高中新课标数学必修②测试题(5)说明:本试卷满分100分。
另有附加题10分，附加题得分不计入总分。
一、 选择题（12×3分＝36分）(请将答案填在下面的答题框内）1、下列命题为真命题的是（ )A. 平行于同一平面的两条直线平行； B 。
与某一平面成等角的两条直线平行; C. 垂直于同一平面的两条直线平行； D.垂直于同一直线的两条直线平行。
2、下列命题中错误的是：（ ）A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β;C. 如果平面α不垂直平面β,那么α内一定不存在直线垂直于平面β；D. 如果α⊥γ，β⊥γ,α∩β＝l,那么l ⊥γ.3、右图的正方体ABCD-A ’B ’C ’D’中，异面直线AA ’与BC 所成的角是（ ） A. 300B.450C 。
600D 。
9004、右图的正方体ABCD — A ’B ’C ’D ’中， 二面角D ’—AB-D 的大小是( ）A BA ’CC ’5、直线5x-2y —10=0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则（ ） A.a=2，b=5; B.a=2,b=5-； C 。
a=2-,b=5; D 。
a=2-，b=5-。
6、直线2x-y=7与直线3x+2y —7=0的交点是（ ) A （3,—1) B （—1,3） C (-3，—1) D （3,1）7、过点P （4，—1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（ ） A 4x+3y-13=0 B 4x-3y —19=0 C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=08、正方体的全面积为a ，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是:( ） A.3aπ; B 。
高一数学人教A版必修2试题：综合学业质量标准检测 含答案试卷分析详
本册综合学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(·泰安二中高一检测)直线y ＝kx 与直线y ＝2x ＋1垂直，则k 等于 ( C ) A ．－2B ．2C ．－12D ．13[解析] 由题意，得2k ＝－1，∴k ＝－12.2．空间中到A 、B 两点距离相等的点构成的集合是 ( B ) A ．线段AB 的中垂线 B ．线段AB 的中垂面 C ．过AB 中点的一条直线D ．一个圆[解析] 空间中线段AB 的中垂面上的任意一点到A 、B 两点距离相等． ①三角形的高线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的高线； ②三角形的中线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中线； ③三角形的角平分线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的角平分线； ④三角形的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线． A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④[解析] 垂直线段的平行投影不一定垂直，故①错；线段的中点的平行投影仍是线段的中点，故②正确；三角形的角平分线的平行投影，不一定是角平分线，故③错；因为线段的中点的平行投影仍然是线段的中点，所以中位线的平行投影仍然是中位线，故④正确．选D ．4．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是 ( C )[解析] 当a >0时，直线y ＝ax 的斜率k ＝a >0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距等于a >0，此时，选项A 、B 、C 、D 都不符合；当a <0时，直线y ＝ax 的斜率k ＝a <0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距等于a <0，只有选项C 符合，故选C ．5．已知圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋m ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为2，则实数m 的值是 ( C )A ．3B ．4C ．5D ．7[解析] 圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋m ＝0的圆心(－2,2)，半径r ＝8－m (m <8)．圆心(－2,2)到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－2＋2＋2|12＋12＝2，由题意，得m ＝5.6．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是 ( D )[解析] 如图所示，由图可知选D ．7．(·天水市高一检测)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是 ( C )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0[解析] 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心C 1(2，－3)，圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心C 2(3,0)，AB 的垂直平分线过圆心C 1、C 2，∴所求直线的斜率k ＝0＋33－2＝3，所求直线方程为y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.8．(·南平高一检测)已知直线l 与直线2x －3y ＋4＝0关于直线x ＝1对称，则直线l 的方程为 ( A )A ．2x ＋3y －8＝0B ．3x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．3x ＋2y －7＝0[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋4＝0x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2. 由题意可知直线l 的斜率k 与直线2x －3y ＋4＝0的斜率互为相反数， ∴k ＝－23，故直线l 的方程为y －2＝－23(x －1)，即2x ＋3y －8＝0.9．某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积是 ( B )A ．332B ．1336C ．233D ．1136[解析] 该几何体是一个正三棱柱和一个三棱锥的组合体，故体积V ＝34×22×32＋13×34×22×2＝1336. 10．(～·郑州高一检测)过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是 ( D )A ．x －2y ＋3＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －3＝0[解析] 由圆的几何性质知，圆心角∠ACB 最小时，弦AB 的长度最短， 此时应有CM ⊥AB . ∵k CM ＝1， ∴k l ＝－1.∴直线l 方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. 故选D ．11．若圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为22，则c 的取值范围是 ( C )A ．[－22，22]B ．(－22，22)C ．[－2,2]D ．(－2,2)[解析] 圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0整理为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，∴圆心坐标为C (2,2)，半径长为32，要使圆上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为22，如右图可知圆心到直线l 的距离应小于等于2，∴d ＝|2－2＋c |1＋1＝|c |2≤2，解得|c |≤2，即－2≤c ≤2.12．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M 、N 分别是圆C 1、C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为 ( A )A ．52－4B ．17－1C ．6－22D ．17[解析] 两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C 1′C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．(·曲阜师大附中高一检测)△ABC 中，已知点A (2,1)、B (－2,3)、C (0,1)，则BC 边上的中线所在直线的一般方程为__x ＋3y －5＝0__.[解析] BC 边的中点D 的坐标为(－1,2)，∴BC 边上的中线AD 所在直线的方程为y －21－2＝x ＋12＋1，即x ＋3y －5＝0.14．(·南安一中高一检测)已知直线y ＝kx ＋2k ＋1，则直线恒经过的定点__(－2,1)__. [解析] 解法一：直线y ＝kx ＋2k ＋1，即 k (x ＋2)＋1－y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1. ∴直线恒经过定点(－2,1)．解法二：原方程可化为y －1＝k (x ＋2)， ∴直线恒经过定点(－2,1)．15．一个正四棱台，其上、下底面边长分别为8 cm 和18 cm ，侧棱长为13 cm ，则其表面积为__1 012 cm 2__.[解析] 由已知可得正四棱台侧面梯形的高为 h ＝132－(18－82)2＝12(cm)，所以S 侧＝4×12×(8＋18)×12＝624(cm 2)，S 上底＝8×8＝64(cm 2)，S 下底＝18×18＝324(cm 2)， 于是表面积为S ＝624＋64＋324＝1 012(cm 2)．①三棱锥A －D 1PC 的体积不变；②A 1P ∥平面ACD 1；③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1.[解析] ①因为BC 1∥AD 1，所以BC 1∥平面AD 1C ，所以直线BC 1上任一点到平面AD 1C 的距离都相等，所以VA －D 1PC ＝VP －AD 1C ＝VB －AD 1C 为定值，正确；②因为AC ∥A 1C 1，AD 1∥BC 1，AC ∩AD 1＝A ，A 1C 1∩BC 1＝C 1，所以平面ACD 1∥平面A 1BC 1，因为A 1P ⊂平面A 1BC 1，所以A 1P ∥平面ACD 1，正确；③假设DP ⊥BC 1，因为DC ⊥BC 1，DC ∩DP ＝D ，所以BC 1⊥平面DPC ，所以BC 1⊥CP ，因为P 是BC 1上任一点，所以BC 1⊥CP 不一定成立，错误；④因为B 1B ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以B 1B ⊥AC ，又AC ⊥BD ，BD ∩B 1B ＝B ，所以AC ⊥平面BB 1D ，所以AC ⊥DB 1，同理可知AD 1⊥DB 1，因为AC ∩AD 1＝A ，所以DB 1⊥平面ACD 1，因为DB 1⊂平面PDB 1，所以平面PDB 1⊥平面ACD 1，正确．故填①②④.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知直线l 1：ax －by －1＝0(a 、b 不同时为0)，l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0.(1)若b ＝0且l 1⊥l 2，求实数a 的值；(2)当b ＝2，且l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离． [解析] (1)若b ＝0，则l 1：ax －1＝0， l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0.∵l 1⊥l 2，∴a (a ＋2)＝0，∴a ＝－2或0(舍去)，即a ＝－2. (2)当b ＝2时，l 1：ax －2y －1＝0， l 2：(a ＋2)x ＋y ＋a ＝0，∵l 1∥l 2，∴a ＝－2(a ＋2)，∴a ＝－43.∴l 1：4x ＋6y ＋3＝0，l 2：2x ＋3y －4＝0，∴l 1与l 2之间的距离d ＝|32＋4|22＋32＝111326.18．(本小题满分12分)自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程.[解析] 连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1， 即y x ·yx －4＝－1. 即x 2＋y 2－4x ＝0.①当x ＝0时，P 点坐标为(0,0)是方程①的解，所以BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内)．19．(本小题满分12分)(2019·葫芦岛高一检测)已知半径为2，圆心在直线y ＝x ＋2上的圆C .(1)当圆C 经过点A (2,2)且与y 轴相切时，求圆C 的方程；(2)已知E (1,1)、F (1,3)，若圆C 上存在点Q ，使|QF |2－|QE |2＝32，求圆心横坐标a 的取值范围．[解析] (1)设圆心坐标为(a ，－a ＋2)， ∵圆经过点A (2,2)且与y 轴相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋[2－(－a ＋2)]2＝4|a |＝2， 解得a ＝2.∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)设Q (x ，y )，由已知，得(x －1)2＋(y ＋3)2－[(x －1)2＋(y －1)2]＝32， 即y ＝3.∴点Q 在直径y ＝3上．又∵Q 在圆C 上，∴圆C 与直线y ＝3相交， ∴1≤－a ＋2≤5，∴－3≤a ≤1. ∴圆心横坐标a 的取值范围为－3≤a ≤1.20．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，斜率为1的直线l 与圆C 交于A 、B 两点.(1)化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；(2)是否存在直线l ，使以线段AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由；(3)当直线l 平行移动时，求△CAB 面积的最大值． [解析] (1)(x －1)2＋(y ＋2)2＝9.圆心C (1，－2)，r ＝3. (2)假设存在直线l ，设方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵以AB 为直径的圆过圆心O ， ∴OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0， 消去y 得2x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2＋4m －4＝0. Δ＞0得－32－3＜m ＜32－3. 由根与系数关系得：x 1＋x 2＝－(m ＋1)，x 1x 2＝m 2＋4m －42，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2 ∴x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 解得m ＝1或－4.直线l 方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.(3)设圆心C 到直线l ：y ＝x ＋m 的距离为d ， |AB |＝29－d 2，S △CAB ＝12×29－d 2×d ＝9d 2－d 4＝814－(d 2－92)2≤92，此时d ＝322，l 的方程为y ＝x 或y ＝x －6. 21．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ文，18)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P －ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．[解析] (1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD .又AP ∩DP ＝P ，且AP ，DP ⊂平面P AD 所以AB ⊥平面P AD . 因为AB ⊂平面P AB ， 所以平面P AB ⊥平面P AD .(2)解：如图，在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为点E .由(1)知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ，又∵AD ∩AB ＝A . 可得PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x . 故四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而结合已知可得P A ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2. 可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3. 22．(本小题满分12分)已知⊙C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0. (1)若⊙C 的切线在x 轴、y 轴上截距相等，求切线的方程；(2)从圆外一点P (x 0，y 0)向圆引切线PM ，M 为切点，O 为原点，若|PM |＝|PO |，求使|PM |最小的P 点坐标．[解析] ⊙C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， 圆心C (－1,2)，半径r ＝2. (1)若切线过原点设为y ＝kx ， 则|－k －2|1＋k 2＝2，∴k ＝0或43.若切线不过原点，设为x ＋y ＝a ， 则|－1＋2－a |2＝2，∴a ＝1±22， ∴切线方程为：y ＝0，y ＝43x ，x ＋y ＝1＋22和x ＋y ＝1－2 2.(2)x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋1＝x 20＋y 20，∴2x 0－4y 0＋1＝0，|PM |＝x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋1＝5y 20－2y 0＋14∵P 在⊙C 外，∴(x 0＋1)2＋(y 0－2)2>4， 将x 0＝2y 0－12代入得5y 20－2y 0＋14>0， ∴|PM |min ＝510.此时P ⎝⎛⎭⎫－110，15.。
高一数学(必修二)期末质量检测试题
（4）（3）俯视图俯视图侧视图侧视图2）高一数学（必修二）期末质量检测试题第一高级中学A ．－1B ．1C ．1或－1 2．各棱长均为a 的三棱锥的表面积为（ ） A ．234aB ．233aC ．232a3（ ）A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台4．经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．23-B ．32-C ．32 D ．25．已知A （1，0，2），B （1，,3-1），点M 在z 轴上且到A 、B 两点的距离相等，则M 点坐标为（ ）A ．（3-，0，0）B ．（0，3-，0）C ．（0，0，3-）D ．（0，0，3）6．如果AC ＜0，BC ＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知圆心为C （6，5），且过点B （3，6）的圆的方程为（ ） A ．22(6)(5)10x y -+-= B ．22(6)(5)10x y +++= C ．22(5)(6)10x y -+-=D ．22(5)(6)10x y +++=8．在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为（ ） A ．30° B ．45°C ．90°D ． 60°9．给出下列命题①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个10．点),(00y x P 在圆222r y x =+内，则直线200r y y x x =+和已知圆的公共点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．不能确定1 A二、填空题（每题4分，共20分）11．已知原点O （0，0），则点O 到直线x+y+2=0的距离等于 ．12．经过两圆922=+y x 和8)3()4(22=+++y x 的交点的直线方程 13．过点（1，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程 14．一个圆柱和一个圆锥的底面直径．．和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ．15．已知两条不同直线m 、l①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α； ②若l ∥α，则l 平行于α内的所有直线； ③若m ⊂α，l ⊂β且l ⊥m ，则α⊥β； ④若l ⊂β，α⊥l ，则α⊥β；⑤若m ⊂α，l ⊂β且α∥β，则m ∥l ；其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上） 三、解答题（5道题，共40分）16．（本大题6分）如图是一个圆台形的纸篓（有底无盖），它的母线长为50cm ，两底面直径分别为40 cm 和30 cm ；现有制作这种纸篓的塑料制品50m 2，问最多可以做这种纸篓多少个？M17．（本大题8分）求经过直线L 1：3x + 4y – 5 = 0与直线L 2：2x – 3y + 8 = 0的交点M ，且满足下列条件的直线方程（1）与直线2x + y + 5 = 0平行 ； （2）与直线2x + y + 5 = 0垂直；18．（本大题8分）求圆心在03:1=-x y l 上，与x 轴相切，且被直线0:2=-y x l 截得弦长为72的圆的方程．19. （本大题8分）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、CD 的中点. （1）.证明:;1F D AD ⊥ (2). 求AE 与D 1F 所成的角;(3). 设AA 1=2,求点F 到平面A 1ED 1的距离.20．（本大题10分）已知方程04222=+--+m y x y x . （1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点）求m的值；（3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程.A 1参考答案一、选择题：二、填空题：11．212． 4 x+3y+13=0 13．3,2+==x y x y 14．3：1：2．15． ①④ 三、 解答题：16．解：)('2'rl l r r S ++=π-----------1分=)5020501515(2⨯+⨯+π =0.1975)(2m π----------3分≈=Sn 5080（个）-------5分圆心到直线的距离22a d =----------3分弦长为72得：229247a a =+-------4分 解得1±=a ---------5分圆心为（1，3）或（-1，-3），3=r -----------6分 圆的方程为9)3()1(22=-+-y x ---------7分 或9)3()1(22=+++y x ----------8分19.证明：（1）. 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1, C C DD AD 11面⊥∴,C C DD F D 111面⊂,.1F D AD ⊥∴ -------------------2分(2) 取AB 的中点,并连接A 1P, 易证ABE AP A ∆≅∆1, 可证;AE P A ⊥1,即F D AE 1⊥,所以AE 与D 1F 所成的角为.90︒-------------------4分(3) 取CC 1中点Q, 连接FQ,11//D A FQ 又作FQD A FH 1平面⊥, 又 111,,A FQD FH FQ FH Q D FH 平面⊥∴⊥⊥,所以FH 即为F 到平面FQD 1A 1的距离, -------------------6分 解得:,53=FH分∵OM ⊥ON得出：02121=+y y x x ……………5分 ∴016)(852121=++-y y y y ∴58=m …………….7分（3）设圆心为),(b a582,5421121=+==+=y y b x x a …………….8分 半径554=r …………9分 圆的方程516)58()54(22=-+-y x ……………10分。
2019-2020学年北师大版高中数学必修二质量检测1 Word版含解析
姓名，年级：时间：质量检测(一）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A．2π B．π C．2 D．1［解析］所得旋转体是底面半径为1,高为1的圆柱，其侧面积S侧＝2πRh＝2π×1×1＝2π。
[答案] A2．教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线（）A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面[解析] 当直尺垂直于地面时，A不对；当直尺平行于地面时，C不对；当直尺位于地面上时，D不对．[答案] B3．设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球表面积之比是（) A．1∶1 B．2∶1C．3∶2 D．4∶3[解析］∵圆柱的底面直径与高都等于球的直径,设球的直径为2R，则圆柱的全面积S1＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2,球的表面积S2＝4πR2，∴错误!＝错误!.[答案] C4．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面,则下列命题正确的是（）A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行C．若α、β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m、n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面［解析］A项，α、β可能相交，故错误；B项,直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n,m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m、n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．[答案] D5．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2,则V1∶V2＝( )A．1∶3 B．1∶1 C．2∶1 D．3∶1［解析] V1∶V2＝（Sh)∶错误!＝3∶1。
高一数学人教版必修2单元质量评估(二)含解析.doc
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单元质量评估（二）（第二章）（120分钟150分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 •下列叙述中，正确的是（）A.四边形是平面图形B.有三个公共点的两个平面重合C.两两相交的三条直线必在同一个平面内D.三角形必是平面图形【解析】选D. A中四边形可以是空间四边形；B中两个相交平面的交线上有无数个公共点；C中若三条直线有一个公共点，可得三条直线不一定在一个平面内，故A,B,C不正确，D正确.2. （2015 •台州高二检测）给出四个说法：（1）若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；⑵a , 0为两个不同平面，直线aC a ,直线bu a ,且a〃B , b〃B , 则a 〃B ；⑶a , B为两个不同平面，直线m± a ,m± 3 ,则a 〃 B ;（4） a , B为两个不同平面，直线m〃 a , m〃 B ,贝！I a 〃B・其中正确的是（）A.仃）B. （2）C. （3）D. （4）【解析】选C. （1）若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故错误.⑵当a 〃 B ,b〃 B ,不能判定a 〃0 , a , B还有可能相交，故错误.（3）正确；⑷直线m〃a,m〃0,不能判定a 〃0, a, 0还有可能相交，故错误.3. （2015 •邯郸高一检测）如图，在底面边长为a的正方形的四棱锥P-ABCD 中，已知PA丄平面AC, .ft PAp则直线PB与平面PCD所成的角的正弦值为（）A. B. C.— D.—2 2【解析】选A.设B到平面PCD的距离为h,直线PB与平面PCD所成的角为a ,则由等体积可得X X V2a. • a • h= X a • a. • a,所以h=—a,又因为PB二说a,所以sin a=.【补偿训练】（2014 •瑞安高二检测）如图，正方体ABCD -ABCD中,直线BG与平面A.ACC.所成的角为（）【解析】选D.如图，连接BD交AC于0,连接G0,则ZBG0为直线BG 与平面A]ACG所成的角,BO=BC b故ZBG0二二54. （2015 • 口照高一检测）已知平面a , B ,直线/, m,且有/± a , mC 3 , 则下列四个命题正确的个数为（）①若a 〃B，则/丄m; ②若/〃m,则/〃 3 ；③若a丄B ,则/〃m; ④若/±m,则/丄B .A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】选A.正确的命题只有①，当a 〃0时，由/丄a可知，/丄0 , 而mu 0 ,所以/±m,故①为真命题；对于②，当/〃m且mu 0时，/有可能在平面3内，故②不正确；对于③，当/± a,mc p且a丄B时，/与m 可能平行，也可能相交，还有可能异面，故③不正确；对于④，当/丄a,mc 0且/丄m时，/与0可能平行，可能垂直，也可能既不平行也不垂直，故④错误;综上可知，选A.5.如图，在正方体ABCD-ABCD中，下列结论不正确的是（）A.CD 丄DCB. BDi 丄ACC・BDi〃BC D. ZACB F60°【解析】选C.因为CD丄平面BQ, BQu平面BQ,所以CD丄B£,所以A选项正确；由于AC丄平面BDD b所以BU丄AC, B选项正确；因为三角形ABQ为等边三角形，所以ZACB F60°，即D选项正确.由于BD与BQ是异面直线，C错.6. （2015 •台州高二检测）如图所示是正方体的平面展开图•在这个正方体中，①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角；④DM 与BN是异面直线，以上四个结论中，正确的是（）【解析】选C.由题可知，将正方体的平面展开图还原，①BM 与 ED 是异面直线，故错误；②CN 与BE 平行，故错误；③因为三角形 BEM 是等边三角形，BM 与BE 成60°角，又因为BE 〃CN,所以CN 与BM 成60°角，故正确；④从图中显然得到DM 与BN 是异面直 线，故正确.7. （2015 •厦门高二检测）已知/, m 表示两条不同的直线，a 表示平面, 下列说法正确的是（）A.若 /丄 a , m 〃/,则 m 丄 aB •若 /±m,mC a ,则 /丄 a C.若 /# a ,mC a ,则 /〃m D.若 /〃 a , n ）U a ,则 /±m ND \ C A 4 / / A \ B FB.②④C.③④A.①②③ D.②③④【解析】选A•对于A,若/丄则根据直线与平面垂直的性质定理知：m丄a ,故A正确；对于B,若/±m, mC a ,则根据直线与平面垂直的判定定理知/丄a 不正确，故B不正确；对于C,因为/〃a,n）u a,所以由直线与平面平行的性质定理知：/与m平行或异面，故C不正确; 对于D,若/〃 a , m〃 a ,则/与m平行或异面，故D不正确.8•如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为1,线段BD上有两个动点E, F, 且EF二,则下列结论中错误的是（）BxD}BAA.AC±BEB.EF 〃平ffiABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.AAEF的面积与ABEF的面积相等【解析】选D. A.由题意及图形知，AC丄面DDBB,故可得出AC丄BE,此命题正确，不是正确选项；B.EF〃平面ABCD,由正方体ABCD-ARCD的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF〃平面ABCD,此命题正确，不是正确选项；C.三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值,A点到面DDRB的距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确，不是正确选项；D.由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与ABEF的面积相等不正确，故D是错误的.9. （2015 •吉林高一检测）如图，长方体ABCD-A.B.C.D.中，AA尸AB二2, AD 二1, 点E, F, G分别是DD b AB, CG的中点，则异面直线A】E与GF 所成的角【解析】选D.连接GBjBREG,因为E,G 分别是DD^CG 的中点，所以 EG#AiBi JL EG=AiB b所以四边形ABGE 为平行四边形，所以所以ZFGBi 或其补角为异面直线AE 与GF 所成的角.由已知可得B£二迈,FB F VS, FG 二疵，所以 B £+FG J FB ；,所以ZkFGBi 为直角三角形且ZFGB 尸90。
高一数学人教a版必修二_模块质量评估试题_word版有答案
高一数学人教a 版必修二_模块质量评估试题_word 版有答案(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·景德镇期末)已知直线x －3y －2＝0，则该直线的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析： 直线x －3y －2＝0的斜率k ＝33，故倾斜角为30°，选A. 答案： A2．(2015·濮阳综合高中月考)过点A (4，a )和B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6 B. 2 C ．2D ．不确定 解析： 由k AB ＝b －a 5－4＝1，得b －a ＝1，即|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.故选B.答案： B3．(2015·葫芦岛期末)在空间直角坐标系中已知点P (0,0，3)和点C (－1,2,0)，则在y 轴上到P 和C 的距离相等的点M 坐标是( )A ．(0,1,0) B.⎝⎛⎭⎫0，－12，0 C.⎝⎛⎭⎫0，12，0 D ．(0,2,0)解析： 设M (0，y,0)，则|MP |＝|MC |，所以y 2＋(3)2＝(－1)2＋(2－y )2，解得y ＝12，故选C.答案： C4．若直线(1＋a )x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为( ) A ．1或－1 B ．2或－2 C ．1D ．－1解析： 圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心(1,0)，半径为1，依题意得|1＋a ＋0＋1|(1＋a )2＋1＝1，即|a ＋2|＝(a ＋1)2＋1，平方整理得a ＝－1，故选D. 答案： D5．(2015·中山市杨仙逸中学检测)如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A.433π B.12π C.33π D.36π 解析： 由题意知，该几何体为沿轴截面切开的半个圆锥，圆 锥的半径为1，高为3，故所求体积为12×13×π×12×3＝36π，选D. 答案： D6．(2015·银川一中期末)在空间给出下面四个命题(其中m ，n 为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面) ①m ⊥α，n ∥α⇒m ⊥n ②m ∥n ，n ∥α⇒m ∥α ③m ∥n ，n ⊥β，m ∥α⇒α⊥β ④m ∩n ＝A ，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β⇒α∥β其中正确的命题个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析： ②中m 也可能在平面α内，②错，①③④正确，故选C. 答案： C7．直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，且与直线x ＋2y ＝0垂直，则直线l 的方程是( ) A ．2x －y ＝0 B ．2x －y －2＝0 C ．x ＋2y －3＝0D ．x －2y ＋3＝0解析： 依题意知直线l 过圆心(1,2)，斜率k ＝2，所以l 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0，故选A. 答案： A8．(2015·大连六校联考)若点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为( )A.79 B ．－13C.79或13 D ．－79或－13解析： 由|－3a －4＋1|a 2＋12＝|6a ＋3＋1|a 2＋12，解得a ＝－79或－13，故选D.答案： D9．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，则PA 与BD 所成角的度数为( )A．30°B．45°C．60°D．90°解析：利用正方体求解，如图所示：PA与BD所成的角，即为PA与PQ所成的角，因为△APQ为等边三角形，所以∠APQ＝60°，故PA与BD所成角为60°，选C.答案： C10．在四面体A－BCD中，棱AB，AC，AD两两互相垂直，则顶点A在底面BCD上的投影H为△BCD的()A．垂心B．重心C．外心D．内心解析：因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，因为AB⊥平面ACD，所以AB⊥CD.因为AH⊥平面BCD，所以AH⊥CD，AB∩AH＝A，所以CD⊥平面ABH，所以CD⊥BH.同理可证CH⊥BD，DH⊥BC，则H是△BCD的垂心．故选A.答案： A11．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0的圆心坐标是(－1，－2)，半径是22，圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为2，∴过圆心平行于直线x＋y＋1＝0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x＋y＋1＝0的距离为2的平行线与圆相切，只有一个交点，共有3个交点，故选C.答案： C12．(2014·德州高一期末)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为()A.212a3 B.a312C.24a 3 D.a 36解析： 取AC 的中点O ，如图，则BO ＝DO ＝22a ， 又BD ＝a ，所以BO ⊥DO ，又DO ⊥AC ， 所以DO ⊥平面ACB ， V D －ABC ＝13S △ABC ·DO＝13×12×a 2×22a ＝212a 3.故选A. 答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．如下图所示，Rt △A ′B ′C ′为水平放置的△ABC 的直观图，其中A ′C ′⊥B ′C ′，B ′O ′＝O ′C ′＝1，则△ABC 的面积为________．解析： 由直观图画法规则将△A ′B ′C ′还原为△ABC ，如图所示，则有BO ＝OC ＝1，AO ＝2 2.故S △ABC ＝12BC ·AO ＝12×2×22＝2 2.答案： 2 214．已知A (0,8)，B (－4,0)，C (m ，－4)三点共线，则实数m 的值是________． 解析： k AB ＝8－00＋4＝2，k BC ＝0＋4－4－m∵k AB ＝k BC ，∴m ＝－6. 答案： －615．直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________． 解析： 先求弦心距，再求弦长． 圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25， 故圆心为(3,4)，半径r ＝5. 又直线方程为2x －y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，所以弦长为2r 2－d 2＝2×25－5＝220＝4 5.答案： 4 516．已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析： 本题先求出正四棱锥的高h ，然后求出侧棱的长，再运用球的表面积公式求解． V 四棱锥O －ABCD ＝13×3×3h ＝322，得h ＝322，∴OA 2＝h 2＋⎝⎛⎭⎫AC 22＝184＋64＝6. ∴S 球＝4πOA 2＝24π. 答案： 24π三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)(2015·河源市高二(上)期中)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积．解析： 如图所示，作出轴截面，因为△ABC 是正三角形， 所以CD ＝12AC ＝2，所以AC ＝4，AD ＝32×4＝23， 因为Rt △AOE ∽Rt △ACD ， 所以OE AO ＝CD AC. 设OE ＝R ，则AO ＝23－R ， 所以R23－R ＝12，所以R ＝233.所以V 球＝43πR 3＝43π·⎝⎛⎭⎫2333＝323π27.所以球的体积等于323π27. 18．(本小题满分12分)(2015·福建八县一中联考)已知直线l ：kx －y ＋1－2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 交x 轴正半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，且|OA |＝|OB |，求k 的值． 解析： (1)证明： 法一：直线l 的方程可化为y －1＝k (x －2)， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(2,1)．法二：设直线过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1－2k ＝0对任意k ∈R 恒成立， 即(x 0－2)k －y 0＋1＝0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0－2＝0，－y 0＋1＝0解得x 0＝2，y 0＝1，故直线l 总过定点(2,1)． (2)因为直线l 的方程为y ＝kx －2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为1－2k ，在x 轴上的截距为2－1k ，依题意1－2k ＝2－1k ＞0，解得k ＝－1或k ＝12(经检验，不合题意)所以所求k ＝－1.19．(本小题满分12分)(2015·西安一中期末)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，O 是底面ABCD 对角线的交点．求证：(1)C 1O ∥平面AB 1D 1； (2)A 1C ⊥平面AB 1D 1. 证明： (1)连接A 1C 1， 设A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，连接AO 1，因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体， 所以A 1ACC 1是平行四边形， D 1B 1∩AB 1＝B 1，所以A 1C 1∥AC ，且A 1C 1＝AC ， 又O 1，O 分别是A 1C 1，AC 的中点，所以O 1C 1∥AO 且O 1C 1＝AO ， 所以AOC 1O 1是平行四边形，所以C 1O ∥AO 1，AO 1⊂平面AB 1D 1，C 1O ⊄平面AB 1D 1， 所以C 1O ∥平面AB 1D 1， (2)因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， 所以CC 1⊥B 1D 1， 又因为A 1C 1⊥B 1D 1， 所以B 1D 1⊥平面A 1C 1C ， 即A 1C ⊥B 1D 1，同理可证A 1C ⊥AB 1，又D 1B 1∩AB 1＝B 1， 所以A 1C ⊥平面AB 1D 1.20．(本小题满分12分)求圆心在直线y ＝－2x 上，并且经过点A (0,1)，与直线x ＋y ＝1相切的圆的标准方程．解析： 因为圆心在直线y ＝－2x 上，设圆心坐标为(a ，－2a )，则圆的方程为(x －a )2＋(y ＋2a )2＝r 2， 圆经过点A (0,1)且和直线x ＋y ＝1相切，所以有⎩⎨⎧a 2＋(2a ＋1)2＝r 2，|a －2a －1|2＝r ，解得a ＝－13，r ＝23，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋132＋⎝⎛⎭⎫y －232＝29. 21．(本小题满分13分)如图所示，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD .(1)求证：AB ⊥平面VAD ；(2)求平面VAD 与平面VDB 所成的二面角的大小． 解析： (1) 证明：∵底面ABCD 是正方形， ∴AB ⊥AD .∵平面VAD ⊥底面ABCD ，平面VAD ∩底面ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ，AB ⊂底面ABCD ，∴AB ⊥平面VAD .(2)取VD 的中点E ，连接AE ，BE . ∵△VAD 是正三角形， ∴AE ⊥VD ，AE ＝32AD . ∵AB ⊥平面VAD ，VD ⊂平面VAD ，∴AB ⊥VD . 又AB ∩AE ＝A ，∴VD ⊥平面ABE . ∵BE ⊂底面ABE ，∴VD ⊥BE .∴∠ABE 就是平面VAD 与平面VDB 所成的二面角的平面角． 在Rt △BAE 中，tan ∠BEA ＝BA AE ＝AD 32AD ＝233. ∴平面VAD 与平面VDB 所成的二面角的正切值为233. 22.(本小题满分13分)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．解析： (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x p ，y p )由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x p ＝xy p ＝5y 4，∵P 在圆上，∴x 2＋⎝⎛⎭⎫54y 2＝25， 即C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1整理得x 2－3x －8＝0 ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412∴线段AB 的长度为 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ ⎝⎛⎭⎫1＋1625(x 1－x 2)2 ＝4125×41＝415.。
高一数学必修2测试题及答案教学内容
（ 19）（本小题满分 12 分）
A
证明：取 CD 的中点 E ，连结 AE, BE ,
Q AC AD , BC BD
∴ AE CD , BE CD …………………4 分…
B
Q AE 面 ABE , BE 面 ABE， AE I BE E
∴ CD 面 ABE ………………………8 …分…
D
E C
又 AB 面 ABE
∵ OE 平面 BDE ， PA 平面 BDE ，……………………………4…分……
∴ PA ∥平面 BDE ．…………………………………………………6 分……………
（Ⅱ） ∵ PO 底面 ABCD ，
∴ PO BD ，………………………………………………………8 …分……………
又∵ AC BD ，且 AC I PO O
∴ BD 平面 PAC ，而 BD 平面 BDE ，……………………………1…0 分……
∴平面 PAC 平面 BDE ．…………………………………………1…2…分………
（ 22）（本小题满分 14 分）
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解:（Ⅰ） Q OP OQ , CP CQ
OC 垂直平分线段 PQ ．
设 P(x1, y1 ), Q( x2, y2 ) ，由
y kx 1 (x 2) 2 ( y 1)2
消去 y 整理得 (1 k2 ) x 2
5
4x 1 0
4 x1 x2 1 k2 , x1x2
1 1 k2
Q P,Q在 y kx 1上 ， y1 kx1 1,y2 kx2 1. ………………………………7 …分……
0) 为圆心的圆经过坐标原点 O ，直线
高中数学必修二全册综合验收评价
全册综合验收评价(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解析：选D12a ＝⎝⎛⎭⎫12，12，32b ＝⎝⎛⎭⎫32，－32， 故12a －32b ＝(－1,2)． 2．某学校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层随机抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n 的样本，已知女学生一共抽取了80人，则n 的值是 ( ) A ．193 B ．192 C ．191 D ．190解析：选B1 000200＋1 200＋1 000＝80n，解得n ＝192.3．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i解析：选C 由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i. 4．已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝1，|2a －b |＝1，则|b | 等于( )A. 6B.5C. 3D.2解析：选C 由题意可得a ·b ＝|b |cos 30°＝32|b |，4a 2－4a ·b ＋b 2＝1，即4－23|b |＋b 2＝1，由此求得|b |＝3，故选C.5.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据 的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是 ( ) A ．45 B ．50 C ．55D ．60解析：选B 由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.∴该班学生人数n ＝150.3＝50. 6．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为 ( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD.32cm 解析：选B S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，∴r 2＝4，∴r ＝2(cm)．7．已知向量a ＝(cos θ－2，sin θ)，其中θ∈R ，则|a |的最小值为 ( )A ．1B ．2 C. 5D ．3解析：选A 因为a ＝(cos θ－2，sin θ)，所以|a |＝(cos θ－2)2＋sin 2θ＝1－4cos θ＋4＝5－4cos θ，因为θ∈R ，所以－1≤cos θ≤1，故|a |的最小值为5－4＝1.故选A.8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝( )A ．3 3 B.2633C.2393D.292解析：选C 设△ABC 的面积为S ，由题意知S ＝12bc sin A ，即3＝12c ·sin 60°，解得c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋16－8×12＝13，即a ＝13.由正弦定理可得a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A＝1332＝2393.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9．在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是( )A ．成绩在[70,80)分的考生人数最多B ．不及格的考生人数为1 000C ．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D ．考生竞赛成绩的中位数为75分解析：选ABC 由频率分布直方图可得，成绩在[70,80)内的频率最高，因此考生人数最多，故A 正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为4 000×0.25＝1 000，故B 正确；由频率分布直方图可得，平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C 正确；因为成绩在[40,70)内的频率为0.45，[70,80)的频率为0.3，所以中位数为70＋10×0.050.3≈71.67，故D 错误．故选A 、B 、C.10.如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，动点E 在线段A 1C 1上，F ，M 分别是AD ，CD 的中点，则下列结论中正确的是( ) A ．FM ∥A 1C 1 B ．BM ⊥平面CC 1FC ．存在点E ，使得平面BEF ∥平面CC 1D 1D D ．三棱锥B CEF 的体积为定值解析：选ABD 在A 中，因为F ，M 分别是AD ，CD 的中点，所以FM ∥AC ∥A 1C 1，故A 正确；在B 中，因为tan ∠BMC ＝BC CM ＝2，tan ∠CFD ＝CDFD ＝2，所以∠BMC ＝∠CFD ，所以∠BMC ＋∠DCF ＝∠CFD ＋∠DCF ＝π2，故BM ⊥CF ，又BM ⊥C 1C ，CF ∩C 1C ＝C ，所以BM ⊥平面CC 1F ，故B 正确；在C 中，BF 与平面CC 1D 1D 有交点，所以不存在点E ，使得平面BEF ∥平面CC 1D 1D ，故C 错误；在D 中，若三棱锥B CEF 以面BCF 为底，则高是定值，所以三棱锥B CEF 的体积为定值，故D 正确．故选A 、B 、D.11．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI 指数值0～ 51～ 101～ 151～ 201～ ＞30050100150200300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市12月1日～20日AQI指数变化趋势：下列叙述正确的是() A．这20天中AQI指数值的中位数略高于100B．这20天中的中度污染及以上的天数占14C．该市12月的前半个月的空气质量越来越好D．总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好解析：选ABD对A：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100，第11个数据约为120，因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A正确；对B：这20天中，AQI指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占14是正确的，故B正确；对C：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，故C错误；对D：由折线图可知，上旬AQI指数大部分在100以下，中旬AQI指数大部分在100以上，故上旬空气质量比中旬的要好，故D正确．故选A、B、D.12.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且BC―→＝3EC―→，F为AE的中点，则()A．BC―→＝－12AB―→＋AD―→B．AF―→＝13AB―→＋13AD―→C．BF―→＝－23AB―→＋13AD―→D．CF―→＝16AB―→－23AD―→解析：选ABC ∵ AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2DC ， 由向量加法的三角形法则得BC ―→＝BA ―→＋AD ―→＋DC ―→＝－AB ―→＋AD ―→＋12AB ―→ ＝－12AB ―→＋AD ―→，A 对；∵BC ―→＝3EC ―→，∴BE ―→＝23BC ―→＝－13AB ―→＋23AD ―→，∴AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋＝23AB ―→＋23AD ―→，又F 为AE 的中点， ∴AF ―→＝12AE ―→＝13AB ―→＋13AD ―→，B 对；∴BF ―→＝BA ―→＋AF ―→＝－AB ―→＋13AB ―→＋13AD ―→＝－23AB ―→＋13AD ―→，C 对；∴CF ―→＝CB ―→＋BF ―→＝BF ―→－BC ―→ ＝－23AB ―→＋13AD ―→－＝－16AB ―→－23AD ―→，D 错．故选A 、B 、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.解析：∵a ∥b ，∴sin 2θ×1－cos 2θ＝0， ∴2sin θcos θ－cos 2θ＝0，∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12.答案：1214．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B的值为________．解析：由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3.答案：π3或2π315.如图所示，已知在长方体ABCD EFGH 中，AB ＝23，AD ＝23，AE＝2，则BC 和EG 所成角的大小是________，AE 和BG 所成角的大小是________．解析：∵BC 与EG 所成的角等于EG 与FG 所成的角，即∠EGF ，tan ∠EGF ＝EF FG ＝2323＝1，∴∠EGF ＝45°.∵AE 与BG 所成的角等于BF 与BG 所成的角，即∠GBF ，tan ∠GBF ＝GF BF ＝232＝3，∴∠GBF ＝60°.答案：45° 60°16．在四面体S ABC 中，SA ＝SB ＝2，且SA ⊥SB ，BC ＝5，AC ＝3，则该四面体体积的最大值为______，该四面体外接球的表面积为________． 解析：因为SA ＝SB ＝2，且SA ⊥SB ，BC ＝5，AC ＝3， 所以AB ＝2SA ＝22，因此BC 2＋AC 2＝AB 2，则AC ⊥BC . 如图，取AB 中点为O ，连接OS ，OC ， 则OA ＝OB ＝OC ＝OS ＝2，所以该四面体的外接球的球心为O ，半径为OC ＝2， 所以该四面体外接球的表面积为 S ＝4π·(2)2＝8π.又因为SA ＝SB ，所以SO ⊥AB .因为底面三角形ABC 的面积为定值12AC ·BC ＝152，SO 的长也为确定的值 2，因此，当SO ⊥平面ABC 时，四面体的体积最大，为V ＝13S △ABC ·SO ＝306.答案：3068π四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n ，所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.18．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33，sin(A ＋B )＝69，ac ＝23， 求sin A 和c 的值． 解：在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63， 因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝69. 因为sin C ＜sin B ，所以C ＜B ，可知C 为锐角． 所以cos C ＝539.因此sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝63×539＋33×69＝223.由a sin A ＝c sin C ，可得a ＝c sin Asin C ＝223c 69＝23c ， 又ac ＝23，所以c ＝1.19．(12分)2019年全国移动互联创新大赛在3月到10月期间举行，为了选出优秀选手，某高校先在计算机科学系选出一名种子选手甲，再从全校征集出3位志愿者分别与甲进行一场技术对抗赛，根据以往经验，甲与这三位志愿者进行比赛一场获胜的概率分别为34，35，23，且各场输赢互不影响．求甲恰好获胜两场的概率． 解：设甲与三位志愿者比赛一场获胜的事件分别为A ，B ，C ，则P (A )＝34，P (B )＝35，P (C )＝23，则甲恰好获胜两场的概率为： P ＝P (A － BC )＋P (A B － C )＋P (AB C －)＝P (A －)·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B －)·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C －) ＝⎝⎛⎭⎫1－34×35×23＋34×⎝⎛⎭⎫1－35×23＋34×35×⎝⎛⎭⎫1－23＝920. 20.(12分)如图，三棱台DEF ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC的 中点．(1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH . 证明：(1)如图，连接DG ，CD ， 设CD ∩GF ＝M ，连接MH .在三棱台DEF ABC 中，AB ＝2DE ，G 为AC 的中点，可得DF ∥GC ， DF ＝GC ，所以四边形DFCG 为平行四边形，则M 为CD 的中点．又H 为BC 的中点，所以HM ∥BD . 又HM ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ， 所以BD ∥平面FGH .(2)连接HE，GE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.因为CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE⊂平面EGH，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.21．(12分)交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为T，其范围为[0,10]，分别有五个级别：T∈[0,2)，畅通；T∈[2,4)，基本畅通；T∈[4,6)，轻度拥堵；T∈[6,8)，中度拥堵；T∈[8,10]，严重拥堵．在晚高峰时段(T≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数；(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率．解：(1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中，轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(个)，中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(个)，严重拥堵的路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(个)．(2)由(1)知，拥堵路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样，从18个路段中抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为618×6＝2，618×9＝3，618×3＝1，即从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为A 1，A 2，抽取的3个中度拥堵路段为B 1，B 2，B 3，抽取的1个严重拥堵路段为C 1，从这6个路段中抽取2个路段，试验的样本空间为Ω＝{(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 3，C 1)}，共15个样本点，其中至少有1个路段为轻度拥堵包含的样本点有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，共9个． 所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为915＝35.22．(12分)如图，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝2，由顶点B 沿棱柱侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线与棱AA 1的交点记为M ，求： (1)三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)该最短路线的长及A 1MAM 的值；(3)平面C 1MB 与平面ABC 所成二面角(锐角)的大小．解：(1)正三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形，其对角线长为62＋22＝40＝210.(2)如图，将侧面AA 1B 1B 绕棱AA 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上，点B 运动到点D 的位置．连接DC 1交AA 1于M ，则DC 1是由顶点B 沿棱柱侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线， ∴DC 1＝DC 2＋CC 21＝42＋22＝20＝2 5.∵∠DMA ＝∠A 1MC 1，∠MAD ＝∠MA 1C 1，DA ＝A 1C 1，∴△DMA ≌△C 1MA 1，∴AM ＝A 1M ，故A 1M AM ＝1. 即最短路线的长为25，此时A 1MAM ＝1.(3)如图，连接DB，则DB是平面C1MB与平面ABC的交线．在△DCB中，∠DBC＝∠CBA＋∠ABD＝60°＋30°＝90°，∴CB⊥DB.又∵平面CBB1C1⊥平面ABC，平面CBB1C1∩平面ABC＝BC，DB⊂平面ABC，∴DB⊥平面CBB1C1，∴C1B⊥DB，∴∠C1BC是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角(锐角)．∵侧面CBB1C1是正方形，∴∠C1BC＝45°，故平面C1MB与平面ABC所成的二面角(锐角)为45°.。
【人教A版】高中数学必修二：全册作业与测评 单元质量评估(一)(附答案)
单元质量评估(一)(第一、二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列推理错误的是( )A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=ABC.l⊄α,A∈l⇒A∉αD.A∈l,l⊂α⇒A∈α【解析】选C.若直线l∩α=A,显然有l⊄α,A∈l,但A∈α.2.一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是( )A.球体B.圆柱C.圆台D.两个共底面的圆锥组成的组合体【解析】选D.等腰三角形的底边所在直线为旋转轴,所得几何体是两个共底面的圆锥组成的组合体.3.如图所示为某一平面图形的直观图,则此平面图形可能是下图中的( )【解析】选A.由直观图知,原四边形一组对边平行且不相等为梯形,且梯形两腰不能与底垂直.4.下列命题正确的是( )A.一直线与一个平面内的无数条直线垂直,则此直线与平面垂直B.两条异面直线不能同时垂直于一个平面C.直线与平面所成的角的取值范围是:0°<θ≤180°D.两异面直线所成的角的取值范围是:0°<θ<90°.【解析】选B. A错误,一直线与一个平面内的无数条直线垂直,并不意味着和平面内的任意直线垂直,所以此直线与平面不一定垂直;B正确,由线面垂直的性质定理可知,两条异面直线不能同时垂直于一个平面;C错误,直线与平面所成的角的取值范围是:0°≤θ≤90°;D错误,两异面直线所成的角的取值范围是:0°<θ≤90°.5.(2015·深圳高二检测)用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是( )【解析】选B. D选项为正视图或侧视图,俯视图中显然应有一个被遮挡的圆,所以内圆是虚线.【补偿训练】某几何体的三视图如图所示,则这个几何体是( )A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱【解题指南】本题考查的是几何体的三视图,在判断时要结合三种视图进行判断.【解析】选B.由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四边形,经分析可知该几何体为三棱柱.6.(2015·安徽高考)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( )A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面【解析】选D.7.(2015·长白山高一检测)已知一平面平行于两条异面直线,一直线与两异面直线都垂直,那么这个平面与这条直线的位置关系是( )A.平行B.垂直C.斜交D.不能确定【解析】选B.根据线面平行的性质,在已知平面内可以作出两条相交直线与已知两条异面直线分别平行.因此,一直线与两异面直线都垂直,一定与这个平面垂直.8.如图,将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥,则棱锥的体积与原正方体的体积之比为( )A.1∶3B.1∶4C.1∶5D.1∶6【解析】选D.设正方体的棱长为a,则棱锥的体积V1=错误！未找到引用源。
人教版高中数学必修二检测：单元质量评估(一)含解析.doc
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单元质量评估（一）（第一章）（120分钟150分）一、选择题（本人题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的 四个选项中，只有一项符合题目要求）正视图俯视图A. 棱台B. 棱锥C. 棱柱 【解析】选A.从俯视图来看，上、下底面都是正方形，大小不一样，可 以判断是棱台.2. （2016 •天水高一检测）表面积为3 n 的圆锥，它的侧面展开图是一个 半圆，则该圆锥的底面直径为（）A 2\15 n \15 A. ------ B.—— 5 5 【解析】选C.由题意得,设圆锥的底面半径为r ,母线长为/ ,则TI 1=2 n r=>/=2r ,又该圆锥的侧面积为S FH r/=2n r ,底面积为S 2=TI r 2,所 以表面积为S 二S1+S2二3TI r 2=3TT =>r=l ,所以该圆锥的底面直径为2.1.有一个几何体的三视图如图所示, 这个几何体是一个（） 侧视图D.都不对C. 2D. 13 •正方体内切球与外接球体积之比为（）A. 1 ： \总B. 1 ： 3C. 1 : 3 屈D. 1 ： 9【解析】选C.设正方体棱长为a 内切球半径为R,外接球半径为R.= , R 2=Y a ，V 内：V 外二 0 :（子 a ）二 1 : 3逅,故选 C.4. （2016 -海口高二检测）已知正六棱柱的底面边长和侧棱长和等，体积 为12\逼其三视图中的俯视图（如图所示），则其侧视图的面积是 （）A. 4*每cm'B. 2y^cm 2C. 8cm 2D. 4cm 2【解析】选A.设正六棱柱的底面边长是a ,那么底面面积是S- V3a （cm 2）,那么体积 V=-V3a 3=12V3（cm 3）,所以 £二8 ,解得沪2 , 2 2 那么侧视图是矩形，矩形的高就是俯视图的宽等于2v^cm ,所以侧视图 的面积是 S=2v3x 2=4V 3 （cm 2）.5. 过棱柱不相邻两条侧棱的截而是（）B.正方形【解析】选D.因为棱柱的侧棱平行且相等，故过棱柱不相邻的两条侧棱 的截面是平行四边形.6. （2016 -广州高一检测）三棱锥的高为3,侧棱长均札!等且为2羽,底血是等边三角形，则这个三棱锥的体积为（）【解析】选D.如图所示三棱锥S-ABC ,则高SH 为3 ,侧棱SA 长为2逅,C.梯形 D.平行四边形A ・矩形 B.在 RtA SAH 中，AH=VSA 2 - SH 2= ］（22 _ 32二再，延长AH 交BC 于D,由题意知D 为BC 中点川为公ABC 重心，则 心言逅.2因此底面三角形的边长为3,所以该三棱锥的体积为V=x —x 32X 3=—. 4 47. 若一个水平放置的圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为（）2VlT-bl【解析】选B.设圆柱的底面半径为r ,高为h 所以学二丄L 所以h 二2rh 2rrr全面积之比为需’故选氏8•半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A. —Ji R :iB.—Ji R 3 2£ 8_c. —JT R 3D. — JT R 3 25 &所以 s 侧=2TI rx h 二4TI r 2 fT , S 全二4TI r 2 +2TI r 2,故圆柱的侧面积与 A. L \；・TT 十］2、IT 十 1【解析】选A・依题意,得圆锥的底面周长为Ti R ,母线长为R ,则底面半径为,高为严R ,所以圆锥的体积为* n x （|）x乎甘対血9•一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，该四棱锥的侧而积和体积分别是（）【解析】选B.因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱 锥为正四棱锥,其正视图为图中的△ PEF ,如图•由该四棱锥的正视图可 知四棱锥的底面边长AB=2 MP0=2贝I 」四棱锥的斜高PE=V22 + 12=VT 所以该四棱锥侧面积S 二4x X 2x ¥百二4斗逗，体积V 二X 2x 2x 2=.10. （2016 -济宁高一检测）如图，直三棱柱ABC-ABG 的六个顶点都在半 径为1的半球面上，AB=AC,侧面BCCD 是半球底而圆的内接正方形, A.4曲，8 C ・4(P £+1), B. 4\毎,D.8, 8则侧面ABBA的面积为D. 1【解析】选A.球心在平面BCCE的中心0上，BC为截面圆的直径，所以L BAC 二90°，底面ABC外接圆的圆心N位于BC的中点A ABC】的外心M在CD中点上•设正方形BCCB的边长为x则在RU OMG中QM二MG二QG二R 二1 ,所以G）2 +（t）2 = 1，即，所以AB二AC二1 ,所以侧面ABB.A.的面积为竝X 1"2 ,故应选A.11 •在长方体ABCD-AbCD中,AB=vZ, BC二AA尸1，点M为AB】的中点, 点P为对角线AG上的动点，则Q为底面ABCD±的动点（点P, Q可以重合）,则MP+PQ的最小值为（）A.—B. —C.D. 12 2【解题指南】画出图形，利用折叠与展开法则形成同一个平面，转化折线段为直线段距离最小,转化求解MP+PQ的最小值.【解析】选C.由题意,要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与W的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACG与三角形A&G ,在同一个平面上,如图,易知£BAG=£GAC=30o , AM丰可知⑷丄AC 时，W+PQ的最小值，最小值为*si n 60° =.12.（2015 •湖南高考）某工件的三视图如图所示•现将该工件通过切割，加T成一个体积尽可能大的长方体新丁件，并使新T件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体秩）原工件的体秩【解析】选A ・分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最 大值，设长方体的长，宽，高分别为a, b , h,长方体上底面截圆锥的 截面半径为x ,对角面截面图如图所示，贝 I 」有 _=^h=2- 2x ,2所以长方体的体积为abh <斗丄h=三丄h=2x • x • (2-2x) <2 2即x 二时,等号成立， 所以利用率为i暫二二-TTX1-X2 今 TT二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分•把答案填在题 中的横线上）13. （2016 •浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位:cm ）,则该几何 体的表面积是 cm ；体积是 cm 3.9rr T21俯视图当且仅当x=2- 2x 9TT【解析】几何体为两个相同长方体组合而成，长方体的长宽高分别为 4, 2, 2,所以体积为2x (2x 2x 4) =32( cn^) z 由于两个长方体重叠部分为 —个边长为2的正方形，所以表面积为2(2x 2x 2+2x 4x 4)-2x 2x 2=72( cM)・ 答案：72 3214. (2016 -四川高考)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体 积是 .【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥，且底面积为S=x 2V?x 1=V3,高为1,所以该几何体的体积V=Sh=x 答案严1—1->i侧视图h — VT —— ―H俯视图 tli 侧视图3 2正视图 Til俯视图【补偿训练】如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是则a=・【解析】由题意知三棱柱的底面是一个正三角形, —条边上的高是a , 得到三棱柱的底面边长是宁a ,所以底面面积是X 乎ax a=ya2,三棱柱的高为2 ,所以三棱柱的体积是2=8V3 ,解得a=2v^・答案：2精15.A, B, C, D四点在半径为严的球面上，且AOBD二5, AD二BC二、坏I, AB二CD,则三棱锥D-ABC的体积是_____ ・【解析】根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D-ABC ,如fa2 +b2 = 25,图所示，设长方体的长、宽、高分别为a z b，「则有｛a2 + c2 = 4匕(a2 + b2 + c2 = 50$解得a二4 ,b=3 ,c=5，所以三棱锥的体积为4x 3x 5-4x x x仆3x 5=20.答案：2016.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，其屮正视图是直角三角形,侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是【解析】此几何体是半个圆锥,直观图如图所示，先求出圆锥的侧面积S 圆稚侧二n r/二n X2X2*%二4、卷兀，S 底巳 x 22=4TI ,S A SAB 二X 4x 2吃=4玄,所以 S 表=^—+—+4V 22 2L 二 2（1+丫③ TI +4我答案：2（1+¥§）TI +4\吃三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤）17. （10分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的体积和 表面积. 12VJT单位:mm侧视图 俯视图正视图【解析】由三视图易知,该正三棱柱的形状如图所示： 且 AZV 二BR =CC 二2nnn,正三角形ABC 和正三角形A ，B C 的高为2\§rwL所以正三角形ABC 的边长为4nw 所以该三棱柱的表面积为S=3x 4x 2+2x x 4x 2\3二24+8\盪(嗣，V 二S 底x AA' =x 4x 2\/3x 2=8\^( nm^).(2)这个几何体可看成是由正方体AG 及直三棱柱BGQ ADP 的组合体. （2）求这个几何体的表面积及体积.【解析】（1）这个几何体的直观图如图所示.【补偿训练】如图，已知几何体的三视图（单位：cm ）.（1）画出这个儿何体的直观图（不要求写画法）.由PA=PD=V t2 , AD=AD=2 ,可得PA丄PD・故所求几何体的表面积S二5x 22+2X 2X X/2+2X x(7临)2二22+4中2((:於)，所求几何体的体积V=23+x (曲2x 2=10( cri・18.(12 分)(2016 •刑台高二检测)已知A(0, 0), B(l, 0), C(2, 1),D(0, 3),将四边形ABCD绕y轴旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积.【解析】过C作y轴的垂线交y轴于E ,则三角形DCE是直角三角形,边形ABCE是直角梯形,四边形ABCD绕y轴旋转一周所得几何体是一个圆锥和一个圆台的组合体，易求得AB=1 , , CE二2 ,AE=1 ,ED=2 ,DC二2 芒, 所得旋转体的表面积是S=n x 12+TI (1+2)x x 2x 2、2二(7\2+1)TI ,体积为V=x TI x 4x 2+-^-( 1+2+4) x 1=5n ・319.(12分)(2016 •保定咼一检测)已知某几何体的俯视图是如图所不的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.(1)求该儿何体的体积V.⑵求该几何体的侧面积S.【解析】（1）此几何体是四棱锥,底面就是俯视图的底面,高是正视图的高，所以此四棱锥的体积是V二X 8x 6X 4=64.（2）根据图形，锥体的高，侧面的高，还有射影构成直角三角形，所以侧面的高是h!=V42 + 32=5 , h2= V42 + 42 =4,所以侧面积是S=x 8 x 5x 2+x 6x 4\迈x 2=40+24\吃・20.（12分）如图，BD是正方形ABCD的对角线，弧§0的圆心是A,半径为AB,正方形ABCI）以AB为轴旋转，求图中I , II, II【三部分旋转所得旋转体的体积Z比.【解析】把图中I , U ,皿三部分分别绕直线AB旋转所得旋转体体积记为V x z V n z V m ,并设正方形的边长为a ,因止匕,V ［二兀（• 3―兀3?,V n= • n a -Vi=—a\3n 7E <>Vni=兀 a • a-V i—V ii —,3所以Vj : V n : V ni=l ： 1 :1・21 •仃2分）（2016戒都高一检测）如图所示，已知三棱柱ABC-A7 B z C f, 侧面引BCC7的面积是S,点A，到侧面W BCC7的距离是a,求证：三棱柱ABC-A zB zC z的休积V二S EL【证明】如图所示，连接A，B,A，C,这样就把三棱柱分割成了两个棱锥•设所求体积为V ,显然三棱锥N -ABC的体积是V,而四棱锥N -BCC B的体积为Sa, 故有V+Sa二V ,所以V二Sa.22. （12分）（2016 •上海高二检测）如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的钏钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等•钏合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm,加工中不计损失）.图|38图2（1）若钉身高度是钉帽高度的2倍，求钏钉的表面积.（2）若每块钢板的厚度为12mm,求钉身的长度（结果精确到1 mm）. R,由题意可知：柱的高h=2R=38rmn/圆柱的侧面积S I=2TI r h=760n【解析】（1）设钉身的高为h ,钉身的底面半径为r ,钉帽的底面半径为半球的表面积S2=x 4TT W+TI 1^=1083n rWi,所以钏钉的表面积S二5+S2=760TI +1083TT(2) Vi=n r2 - hi=100x 24x TT =2400TT (血)，V2=x X TT X 龙二x 193X Tl 亠丁□(血，设钉身长度为/,则V3=nr2• /=100n/,由于V尸V1+V2 ,所以2400TI +L37LS^100n /,3答：钉身的表面积为184引1血，钉身的长度约为70 rw关闭Word文档返回原板块。
(北师大版)高中数学必修2检测1 阶段质量评估 Word版含解析
()(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．观察图中的四个几何体，其中判断正确的是( )．()是圆台．()是棱台．()不是棱柱．()是棱锥解析：图()不是由棱锥截得的，图()的上、下两个面不平行，图()的前、后两个面平行，其他面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以，，都不正确．答案：．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )．棱台．棱柱．圆台．圆锥解析：先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体．由俯视图是圆环可排除，，由正视图和俯视图都是等腰梯形可排除，故选.答案：．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．．．解析：先将三视图还原为空间几何体，再根据体积公式求解．由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为，下底长为，高为，故面积为＝＝.又棱柱的高为，所以体积＝＝×＝.答案：．分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是( )．异面．相交．相交或异面．平行解析：当过其中一条直线上同一点时，共面相交；相交的交点没有重合情况时，异面．答案：．如图，⊥矩形，下列结论中不正确的是( )．⊥．⊥．⊥．⊥解析：∵⊥面，∴⊥，故正确；∵⊥，∴⊥面，∴⊥，故正确；又⊥面，∴⊥，故正确．只有不正确．答案：．(·长沙高一检测)已知等边三角形的边长为，那么它的平面直观图面积为( )．．解析：底边长为，高为×× °＝，∴＝.答案：．如图，是△的斜边，⊥平面，⊥于点，则图中共有直角三角形的个数是( )．个．个．个．个解析：因为⊥平面，所以⊥.。
高一数学必修2质量检测题参考答案及评分标
高一数学必修2质量检测题参考答案及评分标准2011.1命题 马晶 （区教研室） 审题 吴晓英（区教研室）一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分。
1． A （张晓燕、闫荣供题改编） 2． B （郑革功，吴亮、李丰明供题改编）3． B （张新会供题改编） 4. B （教师教学用书题目改编）5． C （教师教学用书题目、侯雪慧供题改编） 6． C （郑革功、周宗让供题改编） 7． B （周宗让供题改编） 8. B （张新会供题改编）9. B （金台高中供题改编） 10. A （张晓燕、闫荣供题改编）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11． 12.1(0,0,)2（张新会供题改编）13．)3,2,1(--（教材习题改编）14.平行或在平面内（金台高中供题改编）（答案不全给2分）15．210x y ++=（教师教学用书题目改编）16．①，②，③（杨林刚，巨晓妮供题改编）（答案不全给2分）三、解答题：本大题共4小题，共60分。
17.（本小题满分15分）（张晓燕、闫荣供题改编）解：设点P 的坐标为(,0)a (0)a >，点P 到直线AB 的距离为d .（2分）由已知，得152ABP S AB d d ∆=== (4分)解得d =分)由已知易得，直线AB 的方程为230x y -+=（8分）所以d ==分) 解得7a =，或13a =-(舍去)(14分)所以点P 的坐标为(7,0).(15分)18. （本小题满分15分）（教师教学用书题目改编）解：圆22240x y x y ++-=的标准方程为22(1)(2)5x y ++-=（1分）∴圆心(1,2)C -，半径r =2分）设圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，（3分）当0a b ==时，切线方程可设为y kx =，即0kx y -=，（4分）由点到直线的距离公式得：=12k =（6分） 所以切线的方程是：12y x =（7分） 当0a b =≠时，切线方程为1x y a b+=，即0x y a +-=，（8分）由点到直线的距离公式得：=解得1a =12）所以，切线的方程为10x y +-=（14分） 综上，所求切线方程为12y x =或10x y +-=.（15分） 19.（本小题满分15分）（教师教学用书题目、金台高中、侯雪慧供题改编）证明：(1)∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ，（1分）∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ， ∴CD ⊥平面ABC.（4分）又(01)AE AF AC ADλλ==<<， ∴不论λ为何值，恒有EF//CD ，（5分）∴EF ⊥平面ABC ，又EF 在平面BEF 内,（7分）∴不论λ为何值，恒有平面BEF ⊥平面ABC.（8分）(2)：由(1)知EF ⊥平面ABC ， ∴BE ⊥EF ，（10分）又∵BE ⊥AC 且EF ∩AC=E ，∴BE ⊥平面ACD ，（13分）又BE 在平面BEF 内, ∴平面BEF ⊥平面ACD. （15分）20.（本小题满分15分）（根据郑革功、周宗让供题改编）解：设直线l 存在，其方程为y x b =+，它与圆C 的交点设为A 11(,)x y 、B 22(,)x y （2分）则由222420x y x y y x b⎧+-++=⎨=+⎩，得2222(1)420x b x b b +++++=（＊）（4分）∴ 12212(1)422x x b b b x x +=-+⎧⎪⎨++⋅=⎪⎩（6分）∴1212()()y y x b x b =++=21212()x x b x x b +++（8分）由OA ⊥OB 得12120x x y y +=，（10分）∴212122()0x x b x x b +++=，（11分）即2242(1)0b b b b b ++-++=，2320b b ++=，∴1b =-或2b =-（13分）容易验证1b =-或2b =-时方程（＊）有实根.（14分）故存在这样的直线l 有两条，其方程是1y x =-或2y x =-.（15分）。
高一数学必修 2质量检测试题答案 2016.1
高一数学必修 2质量检测试题答案 2016.1一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．A （课本67页练习1第2题改编）2．B （选自石油中学王蒙老师编写的课时标准）3．C （课本27页练习2第2题改编）4．A （2014江西高考）5．D （课本87页练习2改编）6．B （复习题二A 组第5题改编）7．A （2012陕西高考）8．C （复习题一A 组第6题改编）9．B （课本34页练习2第1题改编）10．B （课本50页习题A 组第5题改编）11．D （教参134页）12．C （2015重庆高考）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．6 （复习题二A 组第17题改编）14．2（教材77页例题18改编）15．（课本50页习题A 组第7改编）16．13（课本95页习题改编）三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分17分） （课本99页习题A 组第16题改编）解:（1）BC 的斜率k 1＝12，则BC 边上的高所在直线的斜率k 2＝—2，………………4分 由点斜式得直线BC 边上的高所在直线方程为y —0＝—2（x —4），即2x +y —8＝0. ………………9分（2）A B 的斜率k 1＝52，则过C 点且平行于AB 的直线方程的斜率k 2＝52……………13分 由点斜式得过C 点且平行于AB 的直线方程为y —6＝52（x —0），即5x —2y +12＝0. ………17分 18．（本小题满分18分）（教材79页A 组第7题改编）（1）直接法与间接法均可. 只要消元的顺序不同，就可以视为不同方法.方法1： 将y x =代入1y kx =+消去y 可得11x k =- （2分）将y x =与12y x k =-联立消去x 可得21k y k -=- （4分）由y x =可得1211k k k -=-- （6分）∴ 12k = （7分）方法2： 将y x =代入1y kx =+消去y 可得1x kx -= （9分） 将y x =与12y x k =-联立消去y 可得1+2x x k= （11分） 两式相乘得： 2(1)(2)x x x -+= （13分）解之得 2x =将 2x = 代入1x kx -=可得12k = （14分）另解(方法2）： 由112y kx y x k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得22231121k x k k y k -⎧=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩（11分） ∵y x =且1k ≠± ∴ 23=12k k --- （13分）∴ 12k =（14分） （2）m k n =- （18分）19．（本小题满分18分）解：设圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝r 2. ………………………5分由题设圆心到直线y ＝x －1的距离d ==………………………10分 又直线y ＝x －1被圆截得的弦长为22，2r = ………………15分故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4………………………18分20．（本小题满分17分）（2014江苏高考）解: （1）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴DE ∥PA ………………………5分 ∵PA 平面DEF ，DE 平面DEF ∴PA ∥平面DEF ………………………9分（2）∵D E ，为P C A C ，中点 ∴132D E P A == ………………………11分 ∵E F ，为A C A B ，中点 ∴14E F B C == ………………………13分 ∴222D E E F D F += ∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ………………………14分∵//DE PA PA AC ⊥，，∴D E A C ⊥ ………………………15分∵A CE F E = ∴DE ⊥平面ABC ………………………16分 ∵DE平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ． ………………………17分。
高中数学 综合质量评估(含解析)新人教A版必修2
【全程复习方略】2013-2014学年高中数学综合质量评估（含解析）新人教A版必修2(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2013·南充高二检测)直线x=1的倾斜角和斜率分别是( )A.45°,1B.135°,-1C.90°,不存在D.180°,不存在2.(2013·温州高二检测)直线y-2=mx+m经过一定点,则该点的坐标为( )A.(-1,2)B.(2,-1)C.(1,2)D.(2,1)3.(2013·南昌高二检测)过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.x-2y+3=04.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( )A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β5.(2013·长春高二检测)一个圆柱的轴截面为正方形,其体积与一个球的体积之比是3∶2,则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为( )A.1∶1B.1∶C.∶D.3∶26.过点A(4,a)和点B(5,b)的直线与直线y=x+m平行,则|AB|的值为( )A.6B.C.2D.7.已知圆的方程为x2+y2-2x+6y+8=0,那么下列直线中经过圆心的直线的方程为( ) A.2x-y+1=0 B.2x-y-1=0C.2x+y+1=0D.2x+y-1=08.如图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4,腰长为4的等腰梯形,则该几何体的侧面积是( )A.6πB.12πC.18πD.24π9.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是( )A.36B.18C.6D.510.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,过A,C,D的平面与过D,B1,B的平面的位置关系是( ) A.相交不垂直 B.相交成60°角C.互相垂直D.互相平行11.过点P(-2,4)作圆(x-2)2+(y-1)2=25的切线l,直线l1:ax+3y+2a=0与l平行,则l1与l间的距离是( )A. B. C. D.12.已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-6x+6y+14=0关于直线l对称,则直线l的方程是( ) A.x-2y+1=0 B.2x-y-1=0C.x-y+3=0D.x-y-3=0二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.(2012·上海高考)一个高为2的圆柱,底面周长为2π,则该圆柱的表面积为.14.若点P(-4,-2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a,b,c),(e,f,d),则c+e= .15.圆C的半径为1,圆心在第一象限,与y轴相切,与x轴相交于点A,B,若|AB|=,则该圆的标准方程是.16.若圆(x-1)2+(y+1)2=R2上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1,则半径R的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知直线l过点P(-2,1).(1)当直线l与点B(-5,4),C(3,2)的距离相等时,求直线l的方程.(2)当直线l与x轴、y轴围成的三角形的面积为时,求直线l的方程.18.(12分)已知一四棱锥P-ABCD的三视图如图,E是侧棱PC上的动点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积.(2)是否不论点E在何位置,都有B D⊥AE?证明你的结论.19.(12分)已知圆M过两点C(1,-1),D(-1,1),且圆心M在x+y-2=0上.(1)求圆M的方程.(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.20.(12分)(2013·广州高二检测)如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F 为CD的中点.求证:(1)AF∥平面BCE.(2)平面BCE⊥平面CDE.21.(12分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4.(1)若平面上有两点A(1,0),B(-1,0),点P是圆C上的动点,求使|AP|2+|BP|2取得最小值时点P的坐标.(2)若Q是x轴上的点,QM,QN分别切圆C于M,N两点,若|MN|=2,求直线QC的方程.22.(12分)(能力挑战题)如图,在平面直角坐标系xOy中,A(a,0)(a>0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4),设△AOB的外接圆圆心为E.(1)若圆E与直线CD相切,求实数a的值.(2)设点P在圆E上,使△PCD的面积等于12的点P有且只有3个,试问这样的圆E是否存在?若存在,求出圆E的标准方程;若不存在,说明理由.答案解析1.【解析】选C.由于直线x=1与x轴垂直,故其倾斜角为90°,斜率不存在.2.【解析】选A.将直线方程化为y-2-m(x+1)=0,则当x=-1时,y=2,即直线过定点(-1,2).【拓展提升】揭秘“直线过定点”题含有参数的关于x,y的二元一次方程表示直线时,都经过定点,这个定点的求法可以按如下思路:(1)任取参数的两个值,得到两个直线方程,联立这两个方程,解出方程组的解,就是直线过的定点(对任意的参数都成立,故对特殊的也成立,用到了由一般到特殊的思想).(2)将x,y看成参数的系数,化成A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0的形式,因为上式对任意的λ恒成立,所以需由方程组得到的解即为直线过的定点.3.【解析】选A.结合图形可知,所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线,其斜率为-,故所求直线方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.4.【解析】选C.对于选项C,因为m∥n,n⊥β,所以m⊥β,又因为m α,所以α⊥β.5.【解析】选A.设圆柱的高为2,球的半径为r,则V球=πr3=π,解得r=1,故所求比为1∶1.6.【解析】选D.由k AB=1,得b-a=1,所以|AB|===.7.【解析】选C.将圆的方程化为(x-1)2+(y+3)2=2,圆心为(1,-3),而(1,-3)满足2x+y+1=0,所以直线2x+y+1=0过圆心.8.【解析】选B.因为正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是一个圆环,所以该几何体是一个圆台,且圆台的上、下底半径分别为1和2,母线长为4,所以S侧=π(r+r′)l=π·(1+2)×4=12π.9.【解析】选C.x2+y2-4x-4y-10=0化为标准式:(x-2)2+(y-2)2=18,则圆心(2,2)到直线x+y-14=0的距离d==5,半径r=3,圆上的点到直线的最小距离为d-r,最大距离为d+r,所以最大距离与最小距离的差为2r=6.10.【解析】选C.如图.因为BB1⊥面ABCD,且BB1 面BB1D,所以面ABCD⊥面BB1D,故选C.11. 【解析】选B.直线l1的斜率k=-,l1∥l,又l过P(-2,4),所以l:y-4=-(x+2),即ax+3y+2a-12=0,又直线l与圆相切,所以=5,所以a=-4,所以l1与l的距离为d=.12.【解析】选D.两圆关于直线l对称,则直线l为两圆圆心连线的垂直平分线,圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),圆x2+y2-6x+6y+14=0的圆心为P(3,-3),则线段OP的中点为Q(,-),其斜率k OP==-1.则直线l的斜率为k=1,故直线l的方程为y-(-)=x-,即x-y-3=0.13.【解析】设圆柱的底面圆的半径为r(r>0),高为h,则2πr=2π,所以r=1,得圆柱的表面积S=2πr2+2πh=2π+4π=6π.答案:6π14.【解析】点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(-4,-2,-3),关于y轴的对称点坐标是(4,-2,-3),从而c+e=1.答案:115.【解析】根据|AB|=,可得圆心到x轴的距离为,故圆心坐标为(1,),故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-)2=1.答案:(x-1)2+(y-)2=116.【解析】圆心到直线的距离为2,又圆(x-1)2+(y+1)2=R2上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1,结合图形可知,半径R的取值范围是1<R<3.答案:(1,3)17.【解析】(1)①当直线l与直线BC平行时,k l=k BC=-,所以直线l的方程为y-1=-(x+2),即x+4y-2=0;②当直线l过线段BC的中点时,线段BC的中点坐标为(-1,3),所以直线l的方程为=,即2x-y+5=0.综合①②,直线l的方程为x+4y-2=0或2x-y+5=0.(2)设直线l的方程为+=1,则解得或所以直线l的方程为x+y+1=0或x+4y-2=0.18.【解析】(1)由已知中的三视图,得:棱锥的底面面积S四边形ABCD=1×1=1,棱锥的高PC=2,故棱锥的体积V=×S四边形ABCD×2=.(2)连接AC,交BD于O,则AC⊥BD,又因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥BD,又因为AC∩PC=C,所以BD⊥平面PAC,又因为AE 平面PAC,所以BD⊥AE,即不论点E在何位置,都有BD⊥AE.19.【解析】(1)设圆M的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).根据题意,得解得a=b=1,r=2,故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.(2)因为四边形PAMB的面积S=S△PAM+S△PBM=|AM|·|PA|+|BM|·|PB|, 又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=2|PA|,而|PA|==,即S=2.因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小,所以|PM|min==3,所以四边形PAMB面积的最小值为S=2=2=2.20.【证明】(1)取CE的中点G,连接FG,BG.因为F为CD的中点,所以GF∥DE且GF=DE.因为AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,所以AB∥DE,所以GF∥AB.又因为AB=DE,所以GF=AB.所以四边形GFAB为平行四边形,则AF∥BG.因为AF⊄平面BCE,BG⊂平面BCE,所以AF∥平面BCE.(2)因为△ACD为等边三角形,F为CD的中点,所以AF⊥CD,因为DE⊥平面ACD,AF⊂平面ACD,所以DE⊥AF.又CD∩DE=D,故AF⊥平面CDE.因为BG∥AF,所以BG⊥平面CDE.因为BG 平面BCE,所以平面BCE⊥平面CDE.21.【解析】(1)设P(x,y),则|AP|2+|BP|2=(x-1)2+y2+(x+1)2+y2=2(x2+y2)+2=2|OP|2+2,要使|AP|2+|BP|2取得最小值只要使|OP|最小即可.又P为圆上的点,所以|OP|min=|OC|-r=-2=3, 所以(|AP|2+|BP|2)min=2×32+2=20,此时直线OC:y=x,由解得或(舍去),所以点P的坐标为(,).(2)设Q(x0,0),因为圆C的半径r=2,而|MN|=2,则∠MCN=,又△QCN≌△QCM,∠MC Q=,∠CMQ=,|CM|=2,所以|QC|=4,(x0-3)2+(0-4)2=16,所以x0=3,所求直线QC的方程为:x=3.22.【解析】(1)直线CD的方程为y=x+4,圆E的圆心为E(,),半径为r= a.由题意得=a,解得a=4.(2)因为|CD|==4,所以当△PCD面积为12时,点P到直线CD的距离为3.又圆心E到直线CD距离为2(定值),要使△PCD的面积等于12的点P有且只有3个,需圆E的半径=5,解得a=10,此时,圆E的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=50.。
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高一数学必修2质量检测题参考答案及评分标准2011.1
命题 马晶 （区教研室） 审题 吴晓英（区教研室）
一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分。
1． A （张晓燕、闫荣供题改编） 2． B （郑革功，吴亮、李丰明供题改编）
3． B （张新会供题改编） 4. B （教师教学用书题目改编）
5． C （教师教学用书题目、侯雪慧供题改编） 6． C （郑革功、周宗让供题改编） 7． B （周宗让供题改编） 8. B （张新会供题改编）
9. B （金台高中供题改编） 10. A （张晓燕、闫荣供题改编）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11
． 12.1(0,0,)2（张新会供题改编）
13．)3,2,1(--（教材习题改编）
14.平行或在平面内（金台高中供题改编）（答案不全给2分）
15．210x y ++=（教师教学用书题目改编）
16．①，②，③（杨林刚，巨晓妮供题改编）（答案不全给2分）
三、解答题：本大题共4小题，共60分。
17.（本小题满分15分）（张晓燕、闫荣供题改编）
解：设点P 的坐标为(,0)a (0)a >，点P 到直线AB 的距离为d .（2分）
由已知，得152ABP S AB d d ∆=== (4分)
解得d =分)
由已知易得，直线AB 的方程为230x y -+=（8分）
所以d ==分) 解得7a =，或13a =-(舍去)(14分)
所以点P 的坐标为(7,0).(15分)
18. （本小题满分15分）（教师教学用书题目改编）
解：圆22240x y x y ++-=的标准方程为22(1)(2)5x y ++-=（1分）
∴圆心(1,2)C -
，半径r =2分）
设圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，（3分）
当0a b ==时，切线方程可设为y kx =，即0kx y -=，（4分）
=
，解得12k =（6分） 所以切线的方程是：12
y x =（7分） 当0a b =≠时，切线方程为1x y a b
+=，即0x y a +-=，（8分）
=
解得1a =12）
所以，切线的方程为10x y +-=（14分） 综上，所求切线方程为12
y x =
或10x y +-=.（15分） 19.（本小题满分15分）（教师教学用书题目、金台高中、侯雪慧供题改编）
证明：(1)∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ，（1分）
∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ， ∴CD ⊥平面ABC.（4分） 又(01)AE AF AC AD
λλ==<<，
∴不论λ为何值，恒有EF//CD ，（5分）
∴EF ⊥平面ABC ，又EF 在平面BEF 内,（7分）
∴不论λ为何值，恒有平面BEF ⊥平面ABC.（8分）
(2)：由(1)知EF ⊥平面ABC ， ∴BE ⊥EF ，（10分）
又∵BE ⊥AC 且EF ∩AC=E ，∴BE ⊥平面ACD ，（13分）
又BE 在平面BEF 内, ∴平面BEF ⊥平面ACD. （15分）
20.（本小题满分15分）（根据郑革功、周宗让供题改编）
解：设直线l 存在，其方程为y x b =+，它与圆C 的交点设为A 11(,)x y 、B 22(,)x y （2分）
则由222420x y x y y x b
⎧+-++=⎨=+⎩，
得2222(1)420x b x b b +++++=（＊）（4分）
∴ 12212(1)422
x x b b b x x +=-+⎧⎪⎨++⋅=⎪⎩（6分）
∴1212()()y y x b x b =++=21212()x x b x x b +++（8分）
由OA ⊥OB 得12120x x y y +=，（10分）
∴212122()0x x b x x b +++=，（11分）
即2242(1)0b b b b b ++-++=，2320b b ++=，
∴1b =-或2b =-（13分）
容易验证1b =-或2b =-时方程（＊）有实根.（14分）
故存在这样的直线l 有两条，其方程是1y x =-或2y x =-.（15分）。