第4章 几何造型方法分析
几何造型和自由曲线曲面
3. 面：形体表面或表面的一部分，其范围由一个外环和若干内环界定。 面具有方向性：通常由面的外法矢方向作为其正方向。 外法矢方向：由组成面的外环的有向边按右手规则确定。
4. 1 描述形体的信息
4.1.1 基本几何元素的定义
4. 环：由有序、有向边组成的面的封闭边界。 外环：确定面的最大外边界。 内环：确定面中内孔或凸台边界。 环的方向性： 外环各边按逆时针排列 内环各边按顺时针方向排列
5. 体：由面围成的封闭三维空间。
6. 外壳：在观察方向上所能看到的形体的最大外轮廓线。
7. 体素：指可用有限个尺寸参数定位和定型的形体。
基本体素：如长方体、圆柱体、球体、棱柱体、圆环体等； 由轮廓线沿指定的空间参数曲线扫描或回转所形成的形体。
4. 1 描述形体的信息
正则形体和非正则形体
正则形体：具有维数一致的边界所定 义的形体称为正则形体。
第四章 几何造型与自由曲线曲面
• 描述形体的信息 • 表示形体的模型 • 特征造型技术 • 自由曲线曲面理论基础
4. 1 描述形体的信息
描述形体形状特征的信息：
几何信息：用来表示几何元素的性质和度量关系的信息。 拓扑信息：表示形体各个几何元素之间连接关系的信息。
4.1.1 基本几何元素的定义
1. 点：最基本的几何元素。任何几何形体都可用点的有序集合表示。
Brep信息的细节则为设计参数提供参考几何 基准。
4. 3 实体造型技术
5. 倒圆和拉伸（形体的局部处理）
倒圆：用光滑的圆弧表面取代形体上的棱边及棱角。 拉伸：将形体的某个表面或表面的一部分拉起，使原形体得以延伸的处理 方法。
几何形的构造与分析
几何形的构造与分析几何形是研究物体形状、大小、位置和度量的一门学科。
通过构造与分析不同几何形，我们可以深入理解它们的属性和特征。
本文将介绍几何形的构造过程和分析方法，帮助读者更好地掌握几何学的基础知识。
一、点、线、面的构造在几何学中，点、线、面是最基本的几何元素。
点没有任何大小，只代表一个位置。
线是由两个点构成的、没有宽度的直线段。
面是由若干条线段构成的，具有平面特征。
要构造点、线、面，可以使用工具如尺子、钢笔和曲线板等。
1. 点的构造：选择一个合适的位置，使用尺子、钢笔在纸上标记一个点。
点的位置可以根据需要来确定，它没有具体的长度、宽度和厚度。
2. 线的构造：使用尺子沿着两个点之间直接连接，可以得到一条直线。
若要构造某个特定长度的线段，可以使用尺子量取适当的距离，然后用钢笔勾画出该长度。
3. 面的构造：通过连接三个或更多个点，可以构造出一个多边形。
当这些点形成一个封闭的图形时，它们定义了一个面。
可以使用直尺和曲线板帮助画出多边形的边界线。
二、几何形的分析几何形的分析是通过观察和研究其各种属性，从而了解它们的特点和性质。
常用的几何形分析方法包括测量、分类和建模等。
1. 测量：几何形的测量是通过计算其长度、面积和体积等尺寸来了解几何形的大小。
例如，要测量一条线段的长度，可以使用尺子或其他测量工具。
要测量一个面的面积，可以使用面积计算公式，如矩形的面积等于长乘以宽。
2. 分类：根据不同的属性和特征，几何形可以进行分类。
例如，三角形可以根据边的长短和角的大小分类为等边三角形、等腰三角形和普通三角形等。
分类可以帮助我们更好地理解和比较不同的几何形。
3. 建模：通过将几何形转化为数学模型，我们可以使用数学方法和公式来分析几何问题。
例如，可以使用坐标系和方程来描述线或平面的特征。
建模可以简化几何问题的求解过程，并提供更为准确和精确的结果。
三、常见在实际应用中，我们经常会遇到一些特定的几何形，如圆、正多边形和立体图形等。
几何造型常用方法
几何造型常用方法摘要：一、引言1.几何造型的定义和作用2.几何造型方法的分类二、基本几何造型方法1.线形几何造型a.直线b.曲线c.螺旋线2.面形几何造型a.平面b.曲面c.旋转面3.体形几何造型a.柱体b.锥体c.球体三、组合几何造型方法1.几何体的组合a.堆叠组合b.穿插组合c.拼接组合2.几何形态的组合a.相似组合b.对比组合c.重复组合四、几何造型在实际应用中的案例分析1.建筑领域2.工业设计领域3.艺术领域五、结论1.几何造型方法的重要性2.发展趋势和展望正文：几何造型是设计领域中一种基本且重要的表现手法。
它通过运用各种几何形状和组合方式，创造出具有美感和实用性的作品。
几何造型方法可以分为基本几何造型和组合几何造型两大类。
基本几何造型主要包括线形、面形和体形三种。
线形几何造型以直线、曲线和螺旋线等为基础，面形几何造型以平面、曲面和旋转面等为基础，体形几何造型则包括柱体、锥体和球体等。
这些基本几何造型可以单独使用，也可相互组合。
组合几何造型方法则更加丰富多样。
几何体的组合包括堆叠、穿插和拼接等，这些组合方式可以使作品具有层次感和立体感。
几何形态的组合则包括相似、对比和重复等，这些组合方式可以使作品具有和谐统一或变化丰富的效果。
几何造型在实际应用中具有广泛的价值。
在建筑领域，几何造型可以帮助创造出具有独特风格和视觉效果的建筑作品。
在工业设计领域，几何造型可以提高产品的实用性和美观性。
在艺术领域，几何造型则是艺术家表达思想和情感的重要手段。
总之，几何造型方法在设计领域中具有重要意义。
随着科技的发展和人类审美观念的不断变化，几何造型方法将继续发挥其潜力，为设计领域带来更多创新和突破。
几何造型方法
二、双链三表的数据结构
双链三表结构设置了三个表，即顶点表、 面表和体表。顶点表决定了物体在空间的位 置和大小。而物体的面、边和顶点之间的邻 接关系则由面表来描述。体表存储了该物体 的面号和各个面在面表中的首地址及其属性。
10
双链三表数据结构采用体、面、顶点三个表存储 三维实体的信息。 顶点表描述顶点的坐标，确定了顶点的空间位臵， 即三维物体的空间位臵和大小设臵了前臵指针和 后续指针。 面表描述了用于定义某面的全部顶点号、设有顶 点的前臵指针和后续指针，确定此面与各顶点的 关系。 体表描述物体的表面信息，还设有指向某个面的 前臵指针和后续指针。
P
有悬面
有悬边
一条边有两个以上 的邻面
点P的邻域非单连 通
36
几何元 素 面
正则形体
非正则形体
是形体表面的一部分
可以是形体表面的一 部分，也可以是形体 内的一部分，也可以 与形体相分离。
可以有多个邻面、一 个邻面或没有邻面。 可以与多个面（或边） 邻接，也可以是聚集 体、聚集面、聚集边 或孤立点。
4.4.1 几何体素构造法（CSG）
构造实体几何表示 constructive solid gemetry，简称CSG 采用单一的“建筑块”形式的实体造型方法， 由两个物体的正则集合操作生成新的物体 并（union） 交（intersection） 差（difference）
26
构 造 实 体 几 何 法 （ CSG ， Constructive Solid
面-边包含性 f:{e}
e
图4-3 平面立体的九种拓扑关系
6
4.1.3常见的数据结构
为提高造型系统的效率，对数据结构要求操 作时间短、存储空间小。对于三维物体造型 系统常见的数据结构有冀边数据结构和双链 三表数据结构。
第4章产品形态的造型设计方法
按照仿生的手法分：具象仿生设计、抽象仿生设计、综合仿生设计等。
按照仿生的结果分：生活用品的仿生和生产用品的仿生等。
按照仿生的原理分：感性仿生、理性仿生、科学仿生等。
四、产品形态的造型设计方法
4.2.1 造型仿生设计
美国纽约肯尼迪机场候机楼的设计
四、产品形态的造型设计方法
柳宗理设计的蝴蝶椅，这款椅子的 设计灵感来自大自然中蝴蝶生动美 妙的形象，抓住蝴蝶两只翅膀的体 态特征，将弧线和直线完美结合， 通过简洁的设计语言对蝴蝶进行仿 生，使真正的蝴蝶和仿生的蝴蝶形 成鲜明对比，整体造型表现出一种 生动的律动。
孔雀椅是由德罗尔·本舍齐特设 计。德罗尔从“孔雀开屏”得到 创作灵感。这款独特的椅子不使 用任何拼接，简单的三片毛毯， 一个小小的金属支架，尽显造型 的优雅与大气，这款椅子共有翡 翠绿、黄绿、紫罗兰和宝石蓝等 色彩选择。
四、产品形态的造型设计方法
• 隐形色彩仿生被广泛的运用到迷彩服以及各种伪装中，通过不同色彩的运用体现一种 色彩仿生同环境的融合过程。
• 另一种情况下，色彩仿生设计在家具中的应用是用户对于更高的趣味性、视觉感受的 追求。在快节奏的现代生活中，人们越来越追求回归自然、亲近自然的田园生活，在家具 设计中也大胆运用色彩仿生，利用有限的空间进行对大自然的体验。
四、产品形态的造型设计方法
4.1.2 圆形的联想训练
圆形本身具有完整、回归、统一的结构视觉感，能够给人以饱满、紧密、充实、团 结的心理感应。在中国元素里，圆形更是被赋予吉祥之意，寓意着圆满、和谐、团圆、 幸福。圆形的联想训练。
四、产品形态的造型设计方法
4.1.3 三角形的联想训练
几何造型基础
2 页
几何造型的主要作用：
• 为图形的显示和输出提供信息；
• 为各种应用程序.（如，结构设计、受力分析、成型模拟、图形变换、 数控加工等）提供信息。
X
第
几何造型概述
3 页
由于客观事物大多是三维的、连续的，而在计算机内部的数 据均为一线的、离散的、有限的，因此，在表达与描述三维实 体时，怎样对几何实体进行定义，保证其准确、完整和唯一几 何建模的方法：是将对实体的描述和表达建立在几何信息和拓 扑信息处理的基础上。
第
7. 产品数据交换技术
产品数据交换途径：借助专用或标准（中性）文件进行交换 专用 或标 准文 件
41 页
CAD/CAM 系统A
CAD/CAM 系统B
• 借助统一的产品数据模型和工程数据库管理系统进行交换
CAD/CAM 系统A
统一的 产品模 型和数 据库管 理系统
CAD/CAM 系统B
X
第
7. 产品数据交换技术
第
30 页
X
3. 实体造型
(4)混合表示法 在原有CSG的树结点上扩充一级B—Rep的边界数据结构，通常情况下， 叶结点所表示的体素就是以B—Rep方式表示的。在CSG与B—Rep的混合 模式中，起主导作用的仍然是CSG结构，B—Rep的存在减少了中间环节 的数学计算量，由于是以CSG为主，CSG的全部优点均在混合模式中得以 体现。
和消隐
第 9 页
应用:
评价物体外形、位置、绘图、仿真、中间处理结果记录与输出
X
第
10 页
X
2. 曲面造型
表面建模是在线框模型的数据结构基础上，增加面的有关信息及联 接指针，通过对实体的各个表面或曲面进行描述而构造实体模型的一种 建模方法。
几何体结构造型方法
几何体结构造型方法《几何体结构造型方法》一、什么是几何体结构造型几何体结构造型是指创建层次化几何体结构的一种设计方法，它借助几何学原理，以及各类几何体结构的参数化设计，以及各种有机体材料的巧妙结合，形成具有良好的空间结构和构成力学特性的分层/连接结构，从而满足功能性要求以及美学上的要求。
二、几何体结构造型的设计原则（1）平衡原则。
几何体结构的设计要以实现内部和外部空间的合理平衡为目标，体现出来的是一个恰当综合的空间结构。
（2）功能原则。
几何体结构上的要求和空间布置均要有良好的适应性、操作性和实用性，以便使用者能够更加容易地掌握，使空间更加科学、合理、实用。
（3）对比原则。
几何体结构的设计要以对比来凸显材料或结构的美感，使它们之间达到良好的和谐性和协调性。
（4）灵活原则。
几何体结构的设计要尽可能使结构达到最大程度的灵活性，以使得在建筑或空间设计中的改变能够灵活地进行，而不必重新进行设计或重新构成结构。
三、几何体结构造型的步骤（1）材料的选择和处理。
在几何体结构的造型设计中，材料的选择和处理是其成功的重要一环，材料的性能、细节处理等都会影响到几何体结构的使用效果。
（2）空间布置及尺寸比例。
结构的设计必须考虑各部分空间的布置及尺寸比例，使其有效地组合，使几何体结构避免空间利用不当产生的空间危机。
（3）结构形状的构思及构成元素的设计。
在构思和设计结构形状时，要考虑几何体结构的各种部分，构成元素的尺寸和形态，把握好比例、平衡，以及选择恰当的细部表现，使几何体结构在形状上具有多样的层次和美感。
（4）元素的连接。
结构的连接要有良好的科学性，考虑有针对性的连接部件，使其结构能够牢固可靠，不易出现松动或损坏的情况，从而能够带来良好的使用效果。
四、几何体结构造型的应用几何体结构造型可以应用于室内外空间的设计，如厅堂、客厅、卧室、办公室及餐厅等，也可以应用于建筑外观的设计，以及室内家具及器物等的设计中。
几何体结构的设计有助于丰富空间的内部构成，以及提升室内装饰的空间美感，使得空间带有浓郁的艺术气息，增强空间功能性，并且在保持优雅的外观条件下，使得空间看起来更加灵活、丰富。
几何造型基础
14
（3）圆柱坐标系
15
（4）球坐标系
若N为直角坐标系中P点XOY平面上的垂 足，OP与Z轴的夹角为θ，ON与X轴的 夹角为φ，令OP=γ， 则（γ,θ,φ）为点P在oγθφ球坐标系 中的坐标，其中为球半径，为天顶角， 为方位角，并约定γ≥0，0≤θ≤π， 0≤φ≤2π。
16
（4）球坐标系
9
(1)直角坐标系
右手坐标系
左手坐标系
10
(2)仿射坐标系
若把直角坐标系中的i、j、k改换为三 个不共面的矢量α、β、γ，则空间 任意位置矢量也可以用α、β、γ的 线性组合表示，OP=aα+bβ+cγ。 则oαβγ构成了仿射坐标系，其基底 不要求是相互垂直的单位矢量，从而 扩展了形体的表示域。
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4）自由曲面
自由曲面是非规则曲面，它不能由公式 得出，一般用显示经纬样条曲线的方法 在三维空间中表现出来。 常采用NURBS曲面、 Bezier等曲面，用 于设计制造汽车外壳、飞机机体、轮船 船体、轮机叶片等不规则表面。
31
第四章几何造型基础
表面模型的优缺点：
表面模型可以准确、唯一地定义形体的 边界。 表面模型没有表达出三维物体的内部结 构特征，无法进行质量、质心等物性计 算和有限元分析，也无法进行剖切处理。
直角坐标系与球坐标系的关系： x=ρsinθconθ; y=γsinθsinφ; z=γconθ γ=(x2+y2+z2)1/2, tgθ=(x2+y2)1/2/z; cosφ=x/(x2+y2)1/2
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（4）球坐标系
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（5）极坐标系
几何造型
第一节 模型的概念
模型（model）：是客观世界的表示或抽象的模拟，它反映客 观事物的某些主要特征或特性，但不等于事物本身。 1、按其状态分类：
静态模型：数学描述中无时间参数，反映的特性不随时间变化。 模型 动态模型：数学描述中有动态参数，反映的特性随动态参数变化。
2、从产品设计角度分类：
抽象模型 模型
（3）模型的几何元素是体、面、环、边、顶点；图样的几何元 素是点、直线、曲线、字串等。 （4）模型的属性是名称、材料、重量等；图样的属性是图号、 线型、线粗、可见性等。
第二节几何造型的一般概念
一、几种几何造型的方法
1、线框造型（Wireframe Modeling） 线框造型：利用产品形体的棱边和顶点表示产品几何形状的 一种造型方法。 图 示 的长 方 体 用 8 个顶点 V1 ， V2—V8 ， 及 12 条棱边 E1 ， E2—E12表示。线框模型的数据结构为顶点表和棱线表。 线框模型的特点： 1 ）结构简单，生成模型较容易； 2 ）图形显示速度快，容 易修改； 3 ）容易生成三面视图、透视图； 4 ）当零件复杂 时，易产生多义性；5）难以直接得出物体体积、表面积等； 6 ）难以进行形体表面交线计算和消隐处理； 7 ）对于球、 圆柱和曲面的表示不够充分。(图）
3、实体造型
图1、图2、图3、图4
实体造型：用三维全封闭的实体表示物体形状的造型方法
实体造型的特点： 1）改变了人们的设计观念，从“二维构型、二维设计”转换到 “三维构型、三维设计”，在计算机内部存储了真正的三维信 息； 2）将设计人员和工程技术人员带入了真正的三维空间。在设计 的全过程中，能随时观察设计对象的全貌。包括外形、剖切其内 部结构； 3）真三维渲染和色彩设计、材质纹理处理、多透视观察点和多 光源可产生具有高度真实感的效果，可代替事物制作和样机生产； 4）直接全面地反映设计对象。产品在计算机上的造型过程就像 实际制造装配一样，设计上有无缺陷，装配关系是否合理，有无 干涉等，把试制过程放在计算机上进行。有效地提高了复杂产品 的一次成功率，节约原材料，缩短试制周期； 5）物体的几何特性参数易于得到。如面积、体积、质量等。
几何建模技术解析
2.表面模型
表面模型是用有连接顺序的棱边围成的有限区域来定义形 体的表面,再由表面的集合来定义形体。
表面可以是平面，也可以是柱面、球面等类型的二次曲面， 也可是样条曲面构成的自由曲面。
从前面的实体模型可知，本质上我们仍然采用形体的边界表面 的数学描述代替实体描述。
这种典型的描述方法通常称为实体的边界表达方法（BREP）
4. 线框、表面与实体模型的比较
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ模型表示
应用范围
局限性
二维线框
画二维线框图（工程 图）
基本概念及定义
点用三维坐标表示，是最基本的元素 边是形体相邻面的交界，可为空间直线或曲线 环是有序、有向的封闭边界，外环仅一个，逆时针方向，内环可 有可无，也可多个，方向顺时针。 面是一个单连通区域，可以是平面或曲面，由一个外环和若干个 内环组成；面的方向由面的法矢决定，法矢向外为正向面。
基本概念及定义
几何建模技术
几何造型技术概述
几何造型技术是研究在计算机中，如何表达物体模型形状的技 术。几何造型通过对点、线、面、体等几何元素的数学描述，经 过平移、旋转、变比等几何变换和并、交、差等集合运算，产生 实际的或想象的物体模型。
主要内容：
1．几何形体的计算机内部表达 2．几何形体的CSG、Brep表达
………….
class FACE {
int loop_num； //环数
LOOP * lop; //环链表 int face_type; //面类型
SURFACE sur； //面方程
04.几何造型技术
物体的边界与物体一一对应 实体的边界是表面的并集 表面的边界是边的并集
用于表示物体边界有： 平面多面体 表面由平面多边形组成的多面体 曲面体 由曲面片组成的物体
边界表示法的特点 边界表示的一个重要特点是在该表示法中，描述 形体的信息包括几何信息（Geometry）和拓扑信 息（Topology）两个方面。 拓扑信息（Topology） 描述形体的几何元素（顶点、边、面）之间的连 接关系，形成物体边界表示的“骨架” 几何信息（Geometry） 描述形体的几何元素性质和度量关系，如位置、 大小、方向、尺寸、形状等信息犹如附着在“骨 架”上的肌肉
几何造型技术的主要功能 形体定义输入 存储形式和信息的管理 对形体进行平移、变比例、旋转等几何变换 应用布尔运算等操作对形体进行局部或整体修改 显示、输出形体的各种视图 询问形体的属性及其有关参数 对物体进行物性分析等应用处理
4.2 几何形体的表述
一、表示形体的基本几何元素 顶点（Vertex） ——顶点是面的边界中两条不共线线段的交点 特点： 顶点是最基本的元素
缺点： a. 在表面模型中，只有一张张面的信息，物体究竟 存在于表面的哪一侧，并没有给出明确的定义，形 体信息不完整 b. 无法计算和分析物体的整体性质（如体积、重心 等） ，限制了在工程分析方面的应用 c. 不能将这个物体作为一个整体去考察它与其它物 体相互关联的性质，如是否相交等
三维表面模型的应用 虽然三维表面模型表示三维物体的信息并不 完整，但它能够表达复杂的曲面，在几何造型 中具有重要的地位。 对于支持曲面的三维实体模型，表面模型是 它的基础。
平移Sweep ——将一个二维区域沿着一个矢量方向（线性路 径）推移，拉伸曲面
旋转Sweep ——将一个二维区域绕旋转轴旋转一特定角度 （如一周），旋转曲面
数学中的几何形分析
数学中的几何形分析几何学是研究形状、大小、相对位置等空间属性的一门学科，而几何形分析则是对几何形状进行详细研究和分析的过程。
通过几何形分析，我们可以了解几何形状的特征、性质以及它们之间的关系，为更广泛的应用提供基础。
本文将介绍几何形分析的基本概念、方法和应用。
一、几何形分析的基本概念1. 点、线、面在几何学中，点是最基本的元素，它没有长度、面积、体积等属性，只有位置。
线是由无数个点连成的，具有长度但没有宽度和厚度。
面是由无数个线围成的，具有长度和宽度但没有厚度。
点、线、面是几何形状的基本构成要素。
2. 基本形状几何形状可以分为基本形状和复杂形状。
基本形状是指不能再分解为其他几何形状的形状，如圆、三角形、正方形等。
基本形状具有一些独特的性质，如圆周上的所有点到圆心的距离相等，三角形内角之和为180度等。
3. 复杂形状复杂形状是由基本形状组合而成的形状，如多边形、立方体等。
复杂形状的几何形分析需要将其分解为基本形状，进而研究其性质和特征。
复杂形状的几何形分析更加复杂，需要运用复杂的数学工具和技巧。
二、几何形分析的方法1. 角度和距离的测量几何形分析的最基本任务是测量几何形状的各个部分之间的角度和距离。
通过测量角度和距离，我们可以了解几何形状的形态特征和相互关系，为后续的分析奠定基础。
2. 几何变换几何变换是几何形分析中常用的方法之一，它通过对几何形状进行平移、旋转、镜像、缩放等操作，改变其形态，从而揭示其性质和特征。
几何变换可以帮助我们更好地理解几何形状的结构和关系。
3. 平面几何和立体几何几何形分析可以分为平面几何和立体几何。
平面几何研究二维空间中的几何形状，如平面上的点、线、面；立体几何研究三维空间中的几何形状，如立方体、球体等。
平面几何和立体几何有着不同的研究方法和应用领域。
三、几何形分析的应用1. 工程设计几何形分析在工程设计中起着重要的作用。
例如，在建筑设计中，工程师需要通过几何形分析来确定各个构件的尺寸和相互关系，确保设计的结构牢固且符合美学要求。
[计算机辅助几何造型技术]第四章 B样条曲线与曲面
![[计算机辅助几何造型技术]第四章 B样条曲线与曲面](https://img.taocdn.com/s3/m/6eeec0f3700abb68a982fbf9.png)
由图可知，三次均匀B样条曲线段之间是C2连续的.
– 凸包性
– 局部性 – 变差减小性、几何不变性、参数连续性
2015/4/19
24
特征顶点（控制点）对曲线形状的影响
– 特殊情况1：三点共线
1 1 ri ( 0 ) = Vi +1 + (Vi − Vi + 2 ) + Vi +1 3 2
2015/4/19
27
– 特殊情况4：三个顶点重合
8
10
12
1 2
{t} = {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10} {V } = {{0,0},{1,3},{4,4},{6,2},{5,-1},{9,-2},{13,2}}
2015/4/19
n=6 k =3
21
三次均匀B样条曲线的几何性质
– 性质一：端点性质
• 位置矢量
ri ( 0 ) = 1 (Vi + 4Vi +1 + Vi + 2 ) 6 1 =Vi +1 + (Vi − Vi +1 ) + (Vi + 2 − Vi +1 ) 6
合肥工业大学 飞行器制造工程 专业基础课程
计算机辅助几何造型技术
-- 第四章 B样条曲线与曲面
张兵 zhangbing_end@
2015/4/19
1
内容概要
B样条基函数的定义与性质 B样条曲线的定义、性质与分类 均匀B样条曲线 非均匀B样条曲线 B样条曲面
2015/4/19
{Vi } = {V0 ,V1 , ,Vn }
思考： 曲线次数由 谁确定？
探索几何艺术的表达方式与技巧
探索几何艺术的表达方式与技巧几何艺术是一种通过几何形状、线条和空间来表达艺术创作的形式。
它通过运用数学概念和几何原理来创造出独特的视觉效果，展示出美与和谐的特点。
在这篇文章中，我们将探索几何艺术的表达方式与技巧，了解它在艺术领域中的重要性和魅力。
一、点、线和形状几何艺术的基础是点、线和形状。
它们是构建几何图案的基本元素，可以通过各种组合和排列实现丰富多样的表达方式。
点代表着一个空间的位置，线连接两个点并创造出方向和运动感，形状则是由线条所包围而成的区域。
在几何艺术中，点可以是实心、空心或色彩斑斓的，线可以是直的、曲的或交织在一起的，形状可以是简单的如三角形和正方形，也可以是复杂的如多边形和立体图形。
通过合理地运用点、线和形状，艺术家可以创造出各种各样的视觉效果，从而呈现出独特的几何艺术作品。
二、对称性和平衡感对称性和平衡感在几何艺术中起着重要的作用。
对称性指的是作品中的元素在某条轴线或中心点处呈现出镜像对称的关系。
它可以创造出一种和谐、稳定和整齐的感觉，给人以美的享受。
平衡感是指作品中各个元素的分布均匀且相互补充，形成一种视觉上的平衡状态。
艺术家可以通过调整元素的大小、形状、颜色和位置来实现平衡感。
平衡感既可以是对称平衡，也可以是不对称平衡，这取决于艺术家对作品整体效果的追求。
三、色彩运用色彩在几何艺术中扮演着重要的角色，它可以赋予作品新的视觉效果和情感表达。
几何艺术常常运用鲜明、对比强烈的色彩，以突出作品的主题和结构。
在几何艺术中，艺术家可以选择使用单色、渐变色、互补色或对比色等不同的色彩组合。
单色的运用可以创造出简洁、纯粹的效果，而渐变色则可以表现出层次感和空间感。
互补色和对比色则可以产生强烈的冲突和对比效果，给人以强烈的视觉冲击力。
四、透视和立体感透视和立体感常常被运用于几何艺术作品中，以创造出三维的空间效果。
透视是一种艺术手法，通过透视原理，使作品呈现出远近、深浅和空间感。
在几何艺术中，透视可以通过线条的交错和消失点的运用来实现。
§4-4 几何组成分析方法.
一般情况下可根据刚片和链杆要相间隔认定的原则而定。
工程力学
/
§4-4 几何组成分析方法
3.作刚片联系网络图
为了消除具体的刚片形状和约束分布对分析产生的不利影响，将几 何体系的约束条件抽象出来，并用紧凑简洁的图象表达，即得刚片联 系网络图。
工程力学
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§4-4 几何组成分析方法
2.对刚片和链杆的认定
刚片和链杆的认定是否合理，直接影响能否顺利地套用规则进行分析。 （1）要将具有链杆支座或可动铰支座的构件必须认定为刚片
工程力学
/
§4-4 几何组成分析方法
（2）要将整个基础连同固定铰支座以及一端与基础固结相连的杆件也必
主持单位: 杨凌职业技术学院
黄河水利职业技术学院
参建单位: 杨凌职业技术学院
黄河水利职业技术学院
重庆水利水电职业技术学院
拆除体系中的二元体结点或体系中的二元体系（二元体系是
指连续应用二元体规则构成的几何体系）。
工程力学
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§4-4 几何组成分析方法
（2）构件等效代换。 任何形状的构件,只要是只由两个铰与其它构件相连,都可以用 过两铰的链杆代换之。
工程力学
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§4-4 几何组成分析方法
4.套用组成规则进行分析
从刚片联系网络图中可直接全面观察到各刚片间有无约束及约束个 数情况，根据刚片数和约束个数（两刚片之间至少有3个约束，才可 应用两刚片规则分析；三刚片中两两之间至少有2个约束，才可应用 三刚片规则分析），确定应用什么规则进行分析。
工程力学
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须认定为一个大刚片
工程力学
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§4-4 几何组成分析方法
（3）可将体系中铰结三角形以及在铰结三角形基础上用增加二元体方法
4.1组合体的形体分析
第四章组合体
组合体——由两个或两个以上的基本几何体做组成的物体。
4.1 组合体的形体分析
一、形体分析法
任何复杂的物体，都可以看成是由若干个基本几何体组合而成的。
例轴承座的形体分析——通过将物体分解成若干个基本几何体，并分清其相对位置和组合形式的方法称为形体分析法。
二、组合体的组合形式
1、叠加——两形体以平面相接触，是最简单的组合形式。
画图注意：（1）两形体的表面不平齐时，中间应画线；而接触处的“缝”是不能画线的；
（2）两形体的表面平齐时，中间不应画线；
2、相切——平面与回转体表面光滑连接。
画法：（1）两面相切处不画线；
（2）相邻平面的投影应画至切点处。
3、相贯——两形体的表面相交。
相贯线的近似画法：以大圆柱的半径为半径画圆弧（不适用两圆柱
直径相近）。
内相贯线：画法相似，但应注意是否可见。
4、切割——先画完整物体的三视图，再逐个画出被切部分的投影。
总结：画组合体的视图时，要通过形体分析，明白各相邻形体表面之间的衔接关系和组合形式，选择适当的表达方案，再按正确的作图方法和步骤作图。
作业：P87 ~ P88，P89（选2）。
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4.1 概述
几何模型是由几何信息和拓扑信息构成的模型，为图形的 显示和输出提供信息，并且作为设计的基础为分析、模拟、 加工等提供信息。在设计方面，显示零部件形状、计算物 理特性、生成零部件的工程图等。在加工方面，几何模型 提供与加工有关的信息，并且进行工艺过程制定、数控编 程及刀具轨迹形成。在装配方面，利用几何模型进行模拟 装配过程，进行运动部件的干涉和碰撞检查。三维实体的 描述是建立在几何信息和拓扑信息的基础上，只有拓扑信 息正确，所描述的三维实体才是唯一的。
4.2 线框模型
线框模型:通过顶点和棱线（直线、曲线）描述物体的 外形，在计算机内生成二维或三维图像。这种模型是 最早应用的三维几何模型，用户需要逐点、逐线创建 三维模型。线框模型用于创建的图素有点、线、圆弧、 样条曲线、贝塞尔曲线等。
下面以立方体为例说明线框模型，如下图所示。
立方体的线框模型在计算机内存储的数据结构如下图中的（ b ）、 （c）所示。首先设定、、坐标轴，用其8个顶点坐标表示立方体在 空间中的几何信息，用其 12条边表示其拓扑信息。用、…表示 8个 顶点，用、…表示12条边。为了表示立方体的空间位置，用表的形 式表示顶点坐标和棱线，图素的可见性用属性表示，0代表可见，1 代表不可见。
拓扑信息
拓扑信息是指物体的几何元素（顶点Vertex、棱线Edge、 表面Face）数量以及它们之间的相互关系的信息。例如 某一表面与其它面之间的相邻关系、面与顶点之间的包含 关系等均为拓扑信息。
常见的数据结构
对于三维物体的造型系统的常见数据结构有翼边数据结构和双链三表数据结 构。 翼边数据结构（Winged Edge Structure）是存储与边有关的信息。从已知的 边可以得知与这条边有关的顶点、面、边的信息。这种数据结构具有数据结 构简单、对顶点、边、面的操作快的优点、但是需要的储存空间大。 双链三表数据结构采用体、面、顶点三个表存储三维实体的信息。顶点表 描述顶点的坐标，确定了顶点的空间位置，即三维物体的空间位置和大小， 设置了前置指针和后续指针；面表描述了用于定义某面的全部顶点号，设有 顶点的前置指针和后续指针，确定此面与各顶点的关系；体表描述物体的表 面信息，还设有指向某个面的前置指针和后续指针。这种数据结构具有储存 空间小、对数据表操作方便的特点。
立方体线框模型设计结构
（a）立方体 （b）顶点表 （c）棱线表
综上所述线框模型具有以下特点： 1 ）数据结构简单，易于实现，占内存少，对硬件系统 要求不高，系统成本低。 2 ）线框模型直观性好，创建模型操作简便灵活，易学 易用。 3）计算机处理速度快。 4）线框模型在计算机绘图方面得到广泛应用。
有了三维物体的三维数据，可以产生任意视图，视图之 间可以保持正确的投影关系，利用投影法得到零件的三 视图，生成任意视点的轴测图和透视图。
4.3 曲面模型
曲面模型：是CAD软件技术发展的产物，具有很好的使用价值。很多的复 杂零件采用曲面模型进行描述，如汽车车身、飞机零部件、模具等。曲面 模型是把由高级曲线（包括样条曲线、贝塞尔曲线等）构成的封闭区域作 为一个整体，从而创建曲面模型。常见的曲面模型有贝塞尔曲面、样条曲 面、NURBS曲面等，如下图所示。
几何信息
几何信息是指一个物体在欧式空间的位置信息，反 映物体的大小及位置。通常用三维的直角坐标系表 示各种数据，如空间中的点，用、、坐标表示；空 间的直线，用两端点的坐标表示或两端点的位置矢 量表示；空间的平面，用平面方程表示；空间的曲 面，如圆柱面、球面等用二次方程表示；自由曲面 用贝塞尔曲面、样条曲面、孔斯曲面等表示。
5）线框模型具有二义性。 虽然物体用计算机表示出所有的棱线，但是物体的真实 形状需要人确定。当物体比较复杂时，棱线过多，容易 引起不确定的理解。例如，对下图所示的物体可能有的 几种理解。
线框模型的二义性 （a）原物体 （b）第一种理解 （C）第二种理解
6）线框模型表达的信息不完整。 因为线框模型是用顶点和棱线描述物体的形状， 表示的形状特征的信息不够充分。
基本曲面
1.直纹面:是通过一条轮廓按照指定方向扫描一定长度获得曲面， 如图4.7所示。 2. 路径扫描 : 是由一条封闭或不封闭的轮廓沿一定路径扫描而成， 如图4.8所示。
图4.7 直纹面
图4.8 路径扫描
3.旋转扫描 :是一条轮廓线绕一条回转中心旋转扫描而成，旋转角度有 90、 180、270、360度及任意，如图4.9所示。 4.混合扫描:是通过连接几个封闭轮廓生成一个连续曲面。混合扫描与实体 的混合扫描一样，也有平行、旋转、一般三种形式。图4.10为平行混合扫 描的实例。
7）线框模型不能计算物体的几何特性。 由于线框模型仅仅提供顶点和棱线信息，无法计算物体的面积、体积、重量、惯 性距等特性。线框模型所有的棱线都是可见的，所以不能实现消隐处理、剖切处 理、两个面的求交处理，也无法实现CAM、CAE的操作。 8）缺乏有效性。 线框模型的数据结构表达的是顶点和棱线的约束条件，缺少边与面、面与面、面 与体之间的关系信息，即拓扑信息，因此无法构建有效的实体。 9）线框模型不能表达复杂物体。 线框模型只能表达简单的平面立体和曲面立体。对于简单曲面立体，其棱线无法 用几个顶点坐标表示，对于棱线表达带来一定的困难，必须借助辅助线完成。对 于复杂立体无法用线框模型描述。
（ a）
(b) 常见曲面模型
(c)
(d)
（a）旋转曲面 （b）直纹面 (c) 贝塞尔曲面 （d）样条曲线（或NURBS曲面）
在曲面造型系统中，曲面的生成方法有：利用轮廓直接生成的，如各 种扫描曲面等，称为基本曲面；在现有的曲面基础或实体上生成曲面， 如复制等，称为派生曲面；利用空间曲线自由生成曲面，称为自由曲 面。 基本曲面是单一方法生成的一个连续曲面。很多造型系统提供标准的 基本曲面，如圆柱面、球面、圆锥面、环面等，在高级的曲面造型系 统中，还提供通过基本曲面的方法获得曲面。基本曲面的生成多种多 样，下面介绍几种生成基本曲面的方法，如直纹面、路径扫描、旋转 扫描、混合扫描等。