第十二章 12.3 第3课时 等边三角形

解：△DEF 是等边三角形．理由如下： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°. ∵∠1＝∠2＝∠3， ∴∠DFE＝∠3＋∠FAC＝∠1＋∠FAC＝∠CAB＝60°. 同理∠DEF＝∠EDF＝60°.∴△DEF 是等边三角形． 【规律总结】在证明等边三角形时，若已知三边关系，则 先选用判定方法(1)；若已知三角关系，则先选用判定方法(2)； 若已知等腰三角形，则先选用判定方法(3)．
等边三角形的性质(重点) 例 1：如图 1，在等边△ABC 中，D 是 AC 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE＝CD，AB＝10. (1)求 BE 的长； (2)求∠DBE 与∠DEB 的度数． 图1
1 1 思路导引：(1)CE＝CD＝2AC＝2AB＝5.BE＝BC＋CE.(2)∠DBE＝
1 而∠DEB＝∠CDE， 由三角形的外角可求∠DEB 的度数． 2∠ABC＝30°，
1．如图4，在等边ABC 中，DE∥BC，则△ADE 为( A．直角三角形 C．钝角三角形 B．等边如图 5，在等边三角形 ABC 中，AD⊥BC，则∠BAD＝ 1 30° ________，BD＝________AB. 2
3．在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，CD⊥AB 于 D， 1 a AB＝a，则 BD＝____________. 4 4．如图 6，△ABC 为等边三角形，∠1＝∠2，BD＝CE， 求证：△ADE 是等边三角形． 证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAD＝60°，AC＝AB， 又∵∠2＝∠1，CE＝BD，∴ ACE≌ABD， ∴AD＝AE，∠CAE＝∠BAD＝60°， ∴△ADE 是等边三角形． 图6
有一个角是 30°的直角三角形的性质(难点) 例 3：如图 3，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB 的
垂直平分线交 BC 于点 D，交 AB 于点 M，BD＝8 cm，求 AC 的长．
图 3 思路导引：证出△ABD 为等腰三角形后，得∠ADC＝30°， 1 ∴AC＝ AD. 2
解：连接 AD，∵MD 垂直平分 AB， ∴BD＝AD＝8 cm. ∴∠BAD＝∠B＝15°. ∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝30°. 在 Rt△ACD 中，∠ADC＝30°， 1 ∴AC＝ 2 AD＝4cm.
第 3 课时
等边三角形
1．等边三角形的概念 三条边 ________都相等的三角形，叫做等边三角形． 2．等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 ________． 60°
3．等边三角形的判定方法 (1)根据定义． (2)三个角都相等的三角形是等边三角形． 60° (3) (3)有一个角是______的等腰三角形是等边三角形． ______ 4．特殊三角形边角关系 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直 角边等于斜边的一半．
又∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED. 而∠ACB＝∠CDE＋∠CED＝60°， ∴∠CED＝∠CDE＝30°，即∠DEB＝30°.
等边三角形的判定(重点) 例 2：如图 2，△ABC 是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3.判 断△DEF 的形状，并简要说明理由．
图2 思路导引：观察发现△DEF 是等边三角形．由于已知角的 关系，可考虑利用“三个角都相等的三角形是等边三角形”进 行证明．
解：(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝10.
1 又∵D 是 AC 的中点，∴CD＝2AC＝5.
又∵CD＝CE，∴CE＝5. ∴BE＝BC＋CE＝10＋5＝15. (2) (2)∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. 又∵D 是 AC 的中点，∴BD 平分∠ABC. ∴∠DBE＝ 1 ∠ABC＝30°. 2