2019-2020届高考全国卷命题预测与精准押题专题10 数列、等差数列﹑等比数列(文科数学精准押题)学生版

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2019-2020年高考最后一卷(押题卷)数学(第二模拟)含解析

2019-2020年高考最后一卷（押题卷）数学（第二模拟）含解析一、填空题：共14题1．设全集U={-2,-1,0,1,2,3,4},集合A={-1,0,1},B={0,2,4},则A∩(∁U B)=.【答案】{-1,1}【解析】本题考查集合的交、补运算.求解时,先根据已知条件以及集合的补运算法则求出∁U B,再利用交运算法则求得A∩(∁U B).因为U={-2,-1,0,1,2,3,4},B={0,2,4},所以∁U B={-2,-1,1,3},又A={-1,0,1},所以A∩(∁U B)={-1,1}.2．已知i是虚数单位,若复数z满足(2+i3)z=1+2i,则复数z的模等于.【答案】1【解析】本题考查复数的运算、复数的模等知识.求解时,可先求出复数z,再求其模,也可利用复数模的运算性质|z1z2|=|z1||z2|来求解.通解由(2+i3)z=1+2i可得z==i,所以复数z的模等于1.优解因为(2+i3)z=1+2i,即(2-i)z=1+2i,所以|(2-i)z|=|1+2i|,即|2-i|·|z|=|1+2i|,即|z|=,所以|z|=1,故复数z的模等于1.3．在市教育局组织的高考体检中,来自同一班级的6名高三学生的体重(单位:公斤)数据的茎叶图如图所示,经计算得这6名高三学生的平均体重为54公斤,则x的值为.【答案】3【解析】本题考查茎叶图的应用、平均数的求解,考查统计在实际问题中的应用.突破的关键在于读懂图中的数据,并利用平均数公式正确求解.通解由茎叶图可知6名高三学生的体重分别为45,50,52,56,58,60+x,所以(45+50+52+56+58+60+x)=54,解得x=3.优解由茎叶图可知6名高三学生的体重分别为45,50,52,56,58,60+x,且这6个数的平均数为54,所以数据-9,-4,-2,2,4,6+x的平均数为0,所以-9+(-4)+(-2)+2+4+(6+x)=0,解得x=3.4．执行如图所示的算法流程图,则输出I的值为.【答案】4【解析】本题考查循环结构的算法流程图,突破的关键是按步骤运行该算法,并将各个变量的取值情况用表格的形式列出,找到循环结束时变量I的值.求解时,要注意循环的次数和循环体内各语句的顺序,谨防犯错.运行算法流程图,可得S和I的取值变化情况如表所示:由表可知输出I的值是4.5．设实数x,y满足约束条件,则z=2x-5y的最小值为.【答案】-14【解析】本题主要考查简单的线性规划问题,考查数形结合思想的应用.明确目标函数的几何意义是解答此类问题的关键,利用数形结合是解答此类问题的基本方法.求解时,先把目标函数z=2x-5y化为y=x-,作出不等式组所表示的平面区域,结合目标函数的几何意义,找到目标函数取得最小值时经过的点,求解目标函数的最小值.由z=2x-5y,可得y=x-,作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知当直线y=x-经过点A(-2,2)时,直线y=x-在y轴上的截距最大,此时z最小,且z min=2×(-2)-2×5=-14.6．已知蒸笼中共蒸有5个外形和大小完全相同的包子,其中2个香菇青菜包、1个肉包、1个豆沙包、1个萝卜丝包,现从蒸笼中任取2个包子,则取出的这2个包子中有香菇青菜包的概率为.【答案】【解析】本题考查古典概型概率计算公式的应用,突破的关键是利用枚举法求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数,并代入古典概型的概率计算公式求解.通解不妨将2个香菇青菜包分别编号为1,2,1个肉包编号为3,1个豆沙包编号为4,1个萝卜丝包编号为5,则所有的基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个.记事件“取出的2个包子中有香菇青菜包”为A,则事件A包含的基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),共7个.故所求概率为P(A)=.优解不妨将2个香菇青菜包分别编号为1,2,1个肉包编号为3,1个豆沙包编号为4,1个萝卜丝包编号为5,则所有的基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个.记事件“取出的2个包子中有香菇青菜包”的对立事件(即“取出的2个包子中没有香菇青菜包”)为M,则事件M包含的基本事件有:(3,4),(3,5),(4,5),共3个.由对立事件的概率计算公式得所求的概率P=1-P(M)=1-.7．已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±2x,且其一个顶点与抛物线y2=-4x的焦点重合,则双曲线的方程为.【答案】x2-=1【解析】本题考查双曲线和抛物线的标准方程和简单的几何性质.求解时,先由抛物线的焦点得a的值,再结合渐近线方程可得b的值.抛物线y2=-4x的焦点为(-1,0),所以a=1,又双曲线的渐近线方程为y=±2x,即=2,所以b=2,所以双曲线的方程为x2-=1.8．现有一个实心的底面半径为3 cm、高为4 cm的钢质圆柱体玩具,若将它铸成一个实心钢球,假设所有的钢材均没有浪费,则钢球的表面积为 cm2.【答案】36π【解析】本题考查圆柱的体积公式、球的体积和表面积公式的应用.突破的关键是利用体积相等求出钢球的半径,再代入球的表面积公式计算即可.设钢球的半径为R,则πR3=π×32×4,解得R=3,所以钢球的表面积S=4πR2=36π cm2.9．若直线l:y=k(x-1)与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0交于A、B两点,且△ABC为等边三角形,则实数k的值为 .【答案】-4±【解析】本题考查圆的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识.先由等边三角形求出圆心C到直线l的距离,再利用点到直线的距离公式列出关于实数k的方程即可求解.将圆C的方程化为标准方程得(x+1)2+(y-2)2=4,所以圆心C(-1,2),半径r=2,又由题意可知|AB|=2,所以圆心C到直线l的距离为,所以,即k2+8k+1=0,解得k=-4-或k=-4+.10．函数f(x)=2sin x cos x-2cos2x+1(≤x≤)的值域为.【答案】[1,2]【解析】本题考查三角函数的性质、三角恒等变换等知识,考查运算求解能力.先利用二倍角公式和两角差的正弦公式将已知函数转化为f(x)=A sin(ωx+φ)的形式,再结合正弦函数的图象和性质即可求解.f(x)=2sin x cos x-2cos2x+1=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-),当≤x≤时,2x-∈[,],所以f(x)=2sin(2x-)∈[1,2].11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意互异的实数x1,x2,均有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立,则使得不等式f(t2-3)+f(2t)<0成立的实数t的取值范围为.【答案】(-∞,-3)∪(1,+∞)【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性,一元二次不等式的解法等知识,考查等价转化思想和运算求解能力.先由“对任意互异的实数x1,x2,均有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立”得出函数的单调性,再由奇偶性将f(t2-3)+f(2t)<0转化为关于实数t的一元二次不等式并求解.因为对任意互异的实数x1,x2,均有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立,所以函数f(x)在定义域R上单调递减,又f(x)为奇函数,故不等式f(t2-3)+f(2t)<0可化为f(t2-3)<f(-2t),结合单调性可知,t2-3>-2t,即t2+2t-3>0,解得t<-3或t>1.12．如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=1,AB=.若点D为△ABC所在平面内的一个动点,且AD=1,则·的取值范围为.【答案】[-1,3]【解析】本题考查平面向量的线性运算以及向量的数量积运算等知识,考查数形结合思想的应用.由于涉及直角三角形,所以可选定基向量并把其他向量进行分解处理,也可以建系之后利用坐标运算处理.通解由题可知,·=0,|+|=2,所以·=(+)·(+)=+·(+)+·=1+·(+)=1+2cosθ,其中θ为与+的夹角.由于点D为动点,故cosθ∈[-1,1],所以·=1+2cosθ∈[-1,3].优解以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(,0),C(0,1),由AD=1可设D(cosα,sinα)(0≤α<2π),则·=(-cosα,-sinα)·(-cosα,1-sinα)=1-(cosα+sinα)=1-2sin(α+)∈[-1,3].13．对于实数a,b,定义运算“ :a b=.设f(x)=(x-4)(x-4),若关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根,则实数m的取值范围是.【答案】(-1,1)∪(2,4)【解析】本题考查分段函数的解析式及图象,考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想和分类讨论思想的应用等.根据新定义写出分段函数f(x)的解析式,并将关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R)的实数根的个数转化为两直线y=m±1(m∈R)与曲线y=f(x)交点的个数问题进行处理,最后利用数形结合思想和函数与方程思想列出关于实数m的不等式组求解.由题意得,f(x)=(x-4)(x-4)=,画出函数f(x)的大致图象如图所示.因为关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R),即f(x)=m±1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根,所以两直线y=m±1(m∈R)与曲线y=f(x)共有四个不同的交点,则或或,得2<m<4或-1<m<1.14．已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=a n(n∈N*),若数列{a n}的前n项和为S n,则na n+4S n(n∈N*)的最大值为.【答案】【解析】本题考查递推数列的通项公式、数列求和以及数列的单调性,考查化归与转化能力和运算求解能力.先将a n+1=a n化为,利用累乘法即可得{a n}的通项公式,再利用错位相减法求S n,进而求出na n+4S n的解析式,最后研究其单调性求出最值.由a n+1=a n得,,所以a n=×…××a1=()n-1××…××1=(n≥2且n∈N*),显然当n=1时也符合,所以a n=(n∈N*),S n=++…+ ①,S n=++…+ ②,由①-②并化简可得,S n=-,所以na n+4S n=+9,欲求na n+4S n的最大值,则只需求的最大值.令f(n)=(n∈N*),又当1≤n≤3时,f(n)=≤0;当n≥4时,f(n+1)-f(n)=<0,即0<f(n+1)<f(n).故f(n)的最大值为f(4)=,所以na n+4S n的最大值为+9=.二、解答题：共12题15．已知在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,且m=(a,2)与n=(sin A,sin B)是共线向量.(1)求b的值;(2)若a=,c=3,求△ABC的面积.【答案】(1)因为m=(a,2)与n=(sin A,sin B)是共线向量,所以a sin B=2sin A,根据正弦定理,得b=2.(2)在△ABC中,根据余弦定理,得cos A=,由于0<A<π,所以sin A=.所以S△ABC=bc sin A=×2×3×.【解析】本题考查两平面向量共线的坐标运算、解三角形等知识,属于基础题.(1)利用向量共线并结合正弦定理即可求解;(2)由于已知三边,可以考虑求三角形某一内角(如角A)的余弦值,再利用同角三角函数的基本关系求其正弦值,最后代入三角形的面积公式求解即可.【备注】三角作为高考解答题必考知识之一,命题者常常将三角与向量进行交汇,即以向量平行及数量积的坐标运算为载体,考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换、解三角形等知识.此类试题较为基础,关键是要在解题步骤的规范性和审题方面多加注意,避免不必要的失分.16．如图所示,在四棱锥S-ABCD中,侧面SAD⊥底面ABCD,SA=SD,AD∥BC,BC=CD=AD,M、N分别为AD、SD的中点.(1)求证:SB∥平面CMN;(2)求证:BD⊥平面SCM.【答案】(1)设BD与CM交于点O,连接ON,BM.因为BC=AD且AD∥BC,M为AD的中点,所以MD=BC且MD∥BC,所以四边形BCDM为平行四边形,所以O为BD的中点.又N为SD的中点,所以SB∥ON,又ON⊂平面CMN,SB⊄平面CMN,所以SB∥平面CMN.(2)因为SA=SD,且M为AD的中点,所以SM⊥AD,又平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,SM⊂平面SAD,所以SM⊥平面ABCD,所以SM⊥BD.在平行四边形BCDM中,因为BC=CD,即四边形BCDM为菱形,所以CM⊥BD,又SM⊥BD,CM⊂平面SCM,SM⊂平面SCM,CM∩SM=M,所以BD⊥平面SCM.【解析】本题考查空间线面平行和垂直关系的证明,考查考生的空间想象能力以及推理论证能力.(1)欲证明SB∥平面CMN,关键是在平面CMN内找一条直线与直线SB平行,根据线面平行的性质定理,只需作出平面SBD与平面CMN的交线,则可证SB与交线平行,再结合线面平行的判定定理即可证得结论;(2)已知面面垂直,根据面面垂直的性质定理结合已知条件可证SM⊥底面ABCD,即可得SM⊥BD,再证明四边形BCDM为菱形,进而得CM⊥BD,最后由线面垂直的判定定理即可证得结论.【备注】预测2016年高考解答题对立体几何的考查将以棱锥(或棱柱)为载体,考查空间线面或面面平行与垂直关系的证明,熟悉空间点、线、面的位置关系的定义、公理以及线、面平行和垂直的判定定理和性质定理是突破此类问题的关键.17．某市政府为了丰富市民生活,在某山区投资开发了一个旅游区.如图所示,在该旅游区的某一景点内有两座小山,其中一座山(山高为OB=110米)的山顶B处建有一座高为40米(即BC=40米)的吉祥塔.经过水平地面上的一点A,沿另一座山的山坡铺设了一条直线段形的观光游览路线,已知该观光游览路线所在的直线l与水平地面所成的角为α,且tanα=.若小明在观光游览路线上的某点P处观看吉祥塔,视角为∠BPC.已知OA=100米,设点P到水平地面的距离为x(0<x≤90)米.(1)令f(x)=tan∠BPC,求f(x)关于x的函数解析式;(2)当x为何值时,小明观看吉祥塔的效果最好(即∠BPC最大)?【答案】(1)过点P分别作PQ⊥OA、PR⊥OB,垂足分别为Q、R,如图所示:则PQ=x米,由tanα=可知AQ=2x米,所以PR=(100+2x)米,BR=(110-x)米,CR=(150-x)米,所以tan ∠RPB=,tan ∠RPC=,所以tan ∠BPC=tan (∠RPC-∠RPB)==,所以f(x)=(0<x≤90).(2)欲使小明观看吉祥塔的效果最好(即∠BPC最大),即要使tan∠BPC最大,即f(x)最大.令t=x+50∈(50,140],则x=t-50,所以f(x)=.要使f(x)达到最大,只需t+-72达到最小即可.由基本不等式可得,t+-72≥2-72=88,当且仅当t=且t∈(50,140],即t=80时取等号.故当x=30时,f(x)最大,即当小明距水平地面30米高时,观看吉祥塔的效果最好.【解析】本题考查函数、两角差的正切公式、基本不等式在解决实际问题中的应用,考查考生的数学建模能力和运用数学知识解决实际问题的能力.(1)构造合适的直角三角形,利用两角差的正切公式求出tan∠BPC的表达式即可;(2)适当换元,利用基本不等式求最值.【备注】《考试说明》明确提出注重数学应用意识的考查,要求能够运用所学的数学知识、思想和方法,构造数学模型,将一些简单的实际问题转化为数学问题,并加以解决.因此,应用题将继续成为江苏高考的必考题型,在复习中要特别关注三角型、函数与导数型、不等式型、面积和体积型四类应用问题,并注意坐标法在解题中的应用.18．已知在平面直角坐标系中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且短轴长为2.(1)求椭圆C的方程;(2)若F是椭圆C的右焦点,动直线l与椭圆C相切于点P(x0,y0)(x0≠1,y0≠0),且交椭圆C的右准线m于点Q,求证:PF⊥QF.【答案】(1)依题意可知,解得,所以椭圆C:+y2=1.(2)由题意可知直线l的斜率存在,故可设直线l:y-y0=k(x-x0),联立,消去y并整理得,(1+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2-2=0.因为直线l与椭圆C相切,所以Δ=16k2-4(1+2k2)[-2]=0,即-4[2-2-4k2]=0,即-1-2k2=0,即(-2)k2-2x0y0·k+-1=0,又+=1,所以-2k2-2x0y0·k-=0,即k2+x0y0·k+=0,即(y0k+)2=0,所以k=-,所以直线l:y=-(x-x0)+y0.又椭圆的右准线m的方程为x=2,由,结合+=1可得Q(2,).又F(1,0),所以k QF=,k PF=,所以k QF·k PF==-1,所以PF⊥QF.【解析】本题考查椭圆的方程与性质、直线与椭圆相切、两直线垂直等有关知识,考查考生的运算求解能力.(1)由e得到a,c的关系式,由短轴长得b的值,结合a2=b2+c2得椭圆方程;(2)设出直线l的方程,将直线l的方程与椭圆方程联立,由相切得Δ=0,进而求得PQ的方程,将其与椭圆的右准线方程联立即可求得点Q的坐标,再利用斜率关系验证PF⊥Q F.【备注】解析几何的命题方向主要有以下两个:一是考查圆的方程、直线与圆的位置关系等;二是考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系.此类试题注重对运算能力的考查,在考前要注意在梳理知识点的同时,适当进行解析几何的运算训练.19．已知各项均为正数的数列{a n}满足:a1=a,a2=b,a n+1=(n∈N*),其中m,a,b均为实常数.(1)若m=0,且a4,3a3,a5成等差数列.(i)求的值;(ii)若a=2,令b n=,求数列{b n}的前n项和S n;(2)是否存在常数λ,使得a n+a n+2=λa n+1对任意的n∈N*都成立?若存在,求出实数λ的值(用m,a,b表示);若不存在,请说明理由.【答案】(1)(i)因为m=0,所以=a n a n+2,所以正项数列{a n}是等比数列,不妨设其公比为q.又a4,3a3,a5成等差数列,所以q2+q=6,解得q=2或q=-3(舍去),所以=2.(ii)当a=2时,数列{a n}是首项为2、公比为2的等比数列,所以a n=2n,所以b n=,即数列{b n}的奇数项依次构成首项为2、公比为4的等比数列,偶数项依次构成首项为3、公差为4的等差数列.当n为偶数时,S n=++-;当n为奇数时,S n=+-(2n+1)=+-.所以S n=.(2)存在常数λ=,使得a n+a n+2=λa n+1对任意的n∈N*都成立.证明如下:因为=a n a n+2+m(n∈N*),所以=a n-1a n+1+m,n≥2,n∈N*,所以-=a n a n+2-a n-1a n+1,即+a n-1a n+1=a n a n+2+.由于a n>0,此等式两边同时除以a n a n+1,得,所以=…=,即当n≥2,n∈N*时,都有a n+a n+2=.因为a1=a,a2=b,=a n a n+2+m,所以a3=,所以,所以当λ=时,对任意的n∈N*都有a n+a n+2=λa n+1成立.【解析】本题考查等差、等比数列的定义、通项公式和求和公式等知识,考查方程思想和分类讨论思想,考查运算求解能力和逻辑思维能力.(1)(i)由m=0可知数列{a n}为等比数列,再由a4,3a3,a5成等差数列,即可求得公比的值,即的值;(ii)由a=2,结合(i)可以求出a n,进而求得b n,再分n为奇数和n为偶数进行讨论,并利用分组求和法求得S n;(2)对于存在性问题,通常从假设存在出发,并结合已知条件列出等量关系,将是否存在转化为对应方程是否有解,最后加以证明.【备注】预测2016年高考对数列的考查,将以等差和等比数列为背景,考查数列的通项公式、求和等,也可能考查新定义问题或探究性问题,并有较大的运算量和思维量.20．已知函数f(x)=x ln x-x.(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)令g(x)=f(x)-(x2-2)(m∈R),若函数g(x)在(0,+∞)内有两个不相等的极值点x1和x2,且x1<x2.(i)求实数m的取值范围;(ii)已知λ>0,若不等式e1+λ<x1·恒成立,求实数λ的取值范围.【答案】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=ln x,令f'(x)=ln x<0,得0<x<1,故函数f(x)的单调递减区间为(0,1).(2)(i)依题意,函数g(x)=x ln x-x2-x+m的定义域为(0,+∞),所以方程g'(x)=0在(0,+∞)内有两个不相等的实根,即方程ln x-mx=0在(0,+∞)内有两个不相等的实根,所以函数y=ln x与函数y=mx 的图象在(0,+∞)内有两个不同的交点.在同一平面直角坐标系内作出两个函数的图象如图所示,若令过原点且切于函数y=ln x图象的直线斜率为k,只需0<m<k.设切点为A(x0,ln x0),所以k=y',又k=,所以,解得x0=e,于是k=,所以0<m<.(ii)e1+λ<x1·等价于1+λ<ln x1+λln x2.由(i)可知x1,x2分别是方程ln x-mx=0的两个根,即ln x1=mx1,ln x2=mx2,所以原不等式等价于1+λ<mx1+λmx2=m(x1+λx2),因为λ>0,0<x1<x2,所以原不等式等价于m>.由ln x1=mx1,ln x2=mx2作差得,ln=m(x1-x2),即m=,所以原不等式等价于,因为0<x1<x2,原不等式恒成立,所以ln恒成立.令t=,t∈(0,1),则不等式ln t<在t∈(0,1)上恒成立.令h(t)=ln t-,又h'(t)=-,当λ2≥1时,可知当t∈(0,1)时,h'(t)>0,所以h(t)在t∈(0,1)上单调递增,又h(1)=0,所以h(t)<0在t∈(0,1)上恒成立,符合题意.当λ2<1时,可见当t∈(0,λ2)时,h'(t)>0,当t∈(λ2,1)时,h'(t)<0,所以h(t)在t∈(0,λ2)上单调递增,在t ∈(λ2,1)上单调递减,又h(1)=0,所以h(t)在t∈(0,1)上不能恒小于0,不符合题意,舍去.综上所述,若不等式e1+λ<x1·恒成立,只需λ2≥1,又λ>0,所以λ≥1.【解析】本题考查函数和导数,考查导数在研究函数的单调性和极值中的应用,考查数形结合思想、等价转化思想、函数与方程思想和分类讨论思想等,考查运算求解能力等,难度较大.(1)欲求函数的单调递减区间,只需求导函数小于0的解集即可;(2)(i)由函数g(x)有两个极值可知,方程g'(x)=0在(0,+∞)内有两个不相等的实根,进而转化为两函数图象有两个公共点的问题进行处理;(ii)先对不等式e1+λ<x1·两边取对数可得, 1+λ<ln x1+λln x2,再结合x1和x2是g'(x)=0的两根,将不等式进行转化并消去m,最后进行等价转化并构造新函数,再利用导数研究函数的单调性进行求解.【备注】函数与导数的综合题主要有以下几个命题方向:(1)围绕导数的几何意义展开,设计求曲线的切线方程,根据切线方程求参数值等问题;(2)围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开,设计求函数的单调区间、极值、最值,已知单调区间求参数的取值或者参数的取值范围等问题;(3)围绕利用导数研究不等式、方程展开,涉及不等式的证明、不等式恒成立、讨论方程的根等问题.21．如图,线段AB为☉O的直径,弦CD与AB交于点E,直线AF与圆O相切,且DF⊥CD.求证:AB·AF=BC·EF.【答案】连接AD,∵AF切☉O于点A,∴BA⊥AF.又DF⊥DE,∴A、E、D、F四点共圆,∠AFE=∠ADE.又∠ADC=∠ABC,∴∠AFE=∠ABC.又AB为直径,∴△ACB为直角三角形,又△FAE为直角三角形,∴∠ACB=∠EAF,∴Rt△ACB∽Rt△EAF,∴,即AB·AF=BC·EF.【解析】本题考查三角形相似、圆的切线、圆周角定理等知识,考查考生的推理论证能力.求解的思路是先由切线的性质以及DF⊥CD得到A、E、D、F四点共圆,再结合圆周角定理得∠AFE=∠ABC,进而证明Rt△ACB∽Rt△EAF,利用相似比得到所需要的结论.【备注】平面几何中与圆有关的性质与定理是高考考查的热点,解题时要充分利用性质与定理求解.本部分内容中常见的命题点有:平行线分线段成比例定理;三角形的相似与性质;圆内接四边形的性质与判定;相交弦定理与切割线定理.22．在平面直角坐标系中,矩阵A=对应的变换将平面上的点P(-1,2)变换为点P'(3,9),求矩阵A 的特征值.【答案】依题意得,,∴,∴,∴A= .∴矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)-(-2)×1=λ2-5λ+6,令f(λ)=0,解得λ=2或λ=3,即矩阵A的特征值为2和3.【解析】本题考查矩阵变换、矩阵的特征值等知识.解题时,先利用矩阵的乘法法则列方程组求出a,b的值,再利用特征多项式求特征值.【备注】预计2016年高考重点考查逆矩阵的求法、已知变换前后点的坐标求变换矩阵或求一曲线在矩阵对应的变换作用下得到的另一曲线的方程等.23．在极坐标系中,圆C的方程为ρ2-2ρcosθ=3,以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,设直线l的参数方程为 (t为参数).已知直线l与圆C交于A、B两点,求线段AB 的长.【答案】将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程得(x-1)2+y2=4,即圆心为C(1,0),半径r=2. 将直线l的参数方程化为普通方程可得2x-y-5=0.所以圆心C到直线l的距离d=.所以|AB|=2.【解析】本题考查圆的极坐标方程和直线的参数方程,考查直线与圆的位置关系等知识.求解的思路是将圆的极坐标方程化为直角坐标方程、将直线的参数方程化为普通方程,然后利用直线与圆的位置关系求解.【备注】解决有关曲线的极坐标方程和参数方程的问题,通常是先将方程化为直角坐标系下的方程再去研究.而对于曲线(如圆和椭圆等)上的动点到直线距离的最值问题,常常需要利用曲线的参数方程来求解.24．解关于x的不等式|2x+3|+|x-1|>4.【答案】|2x+3|+|x-1|>4⇔或或,解得x<-2或0<x≤1或x>1.综上,不等式|2x+3|+|x-1|>4的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).【解析】本题考查含绝对值的不等式的解法,考查分类讨论思想.求解的思路是对x分类讨论分别去掉绝对值,转化为三个不等式组的解集的并集.【备注】对含有两个绝对值的不等式问题,常用“零点分段法”去掉绝对值化为若干个不等式组问题,原不等式的解集是这些不等式组解集的并集;若绝对值中未知数的系数相同,常用绝对值不等式的性质求最值,可减少计算.25．如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,O为棱BC的中点,D为侧棱BB1上一点,且BD=BB1.(1)求直线AD与平面AOC1所成角的正弦值;(2)求平面AOC1和平面ADC1所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,以O为坐标原点,分别以OA、CB所在的直线为x轴和y轴,过O且垂直于平面ABC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为AB=2,AA1=3,所以O(0,0,0),A(,0,0),C1(0,-1,3),=(,0,0),=(0,-1,3).因为BD=BB1,即D(0,1,1),所以=(-,1,1).设平面AOC1的法向量为n1=(x1,y1,z1),则,即,取n1=(0,3,1)为平面AOC1的一个法向量.设直线AD与平面AOC1所成的角为θ(0≤θ≤),则sinθ=|cos<,n1>|=,即直线AD与平面AOC1所成角的正弦值为.(2)又=(-,-1,3),设平面ADC1的法向量为n2=(x2,y2,z2),则,即,取n2=(2,,)为平面ADC1的一个法向量.则cos<n1,n2>=,所以平面AOC1和平面ADC1所成的锐二面角的余弦值为.【解析】本题考查空间向量在求解线面角和二面角中的应用,考查考生的空间想象能力和运算求解能力.(1)利用已知的垂直关系建立合适的空间直角坐标系,先求直线AD的方向向量,再求平面AOC1的法向量,然后利用两向量的夹角公式求解;(2)先求出平面ADC1的法向量,再将二面角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值进行处理.【备注】高考对空间向量与立体几何的考查主要是异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角,破解的关键是合理建系,准确求出直线的方向向量和平面的法向量26．若a为小于10的实常数,且(1+x)8的展开式(按x的升幂排列)的前三项的系数依次构成公差为d的等差数列.(1)求a和d的值;(2)令a n=,S n=a i(n∈N*),当n≥2且n∈N*时,试比较S n与1的大小,并用数学归纳法加以证明.【答案】(1)(1+x)8=1+(x)+(x)2+…+(x)8,依题意1+=2×,即a2-16a+28=0,又a<10,故得a=2,所以d=-1=3.(2)由(1)可得,a n=,S n=a i=++…+(n∈N*).当n=2时,S2=a i=++>1.当n=3时,S3=a i=a3+a4+a5+…+a9=++++++=3×[+(++)+(++)]>3×[+(++)+(++)]=3×(++)>3×(++)>3×=1.故猜测:当n≥2且n∈N*时,S n>1.下面用数学归纳法加以证明:①当n=3时,结论成立;②假设当n=k(k≥3且k∈N*)时,S k>1,即a k+a k+1+a k+2+…+>1,则当n=k+1时,S k+1=a k+1+a(k+1)+1+a(k+1)+2+…+=a k+a k+1+a k+2+…++(++…+-a k)=S k+(++…+-a k)>1+(++…+-a k)>1+-=1+=1+.由k≥3可知,3k2-7k-3>0,即>0,所以S k+1=a k+1+a(k+1)+1+a(k+1)+2+…+>1,即当n=k+1时结论成立.综合①②可得,当n≥3且n∈N*时,S n>1.综合可得,当n≥2且n∈N*时,S n>1.【解析】本题考查数列、二项式定理和数学归纳法等知识,考查考生的运算求解能力和推理论证能力.(1)先利用二项式定理将(1+x)8的展开式中前三项的系数求出,利用等差中项的定义列方程解出a,进而可求d;(2)先求a n,进而得S n的表达式,利用归纳推理猜想出S n与1的大小,然后用数学归纳法证明.【备注】附加题最后一题有较大的难度和区分度,且题目新颖,预计2016年高考将考查计数原理的应用和数学归纳法的应用.。

2019年高考数学(文)：专题10-数列、等差数列﹑等比数列(命题猜想)

【考向解读】1.高考侧重于考查等差、等比数列的通项a n ，前n 项和S n 的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．2.备考时应切实理解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．3.等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大.解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前n 项和公式及等差、等比数列的常用性质.【命题热点突破一】等差、等比数列的基本计算例1、（2018年浙江卷）已知成等比数列，且．若，则A. B.C.D.【答案】B【变式探究】(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】通解：选C.设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.优解：由S 6＝48得a 4＋a 3＝16， (a 4＋a 5)－(a 4＋a 3)＝8， ∴d ＝4，故选C. 解得q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)可得 S n ＝－2[1－－2n]1＋2＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎡⎦⎤－23＋－1n2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．【变式探究】已知数列{a n }的各项均为正数，且a 1＝1，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)． (1)设b n ＝1a n ，求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和S n .【感悟提升】等差数列的判定与证明有以下四种方法：①定义法，即a n －a n －1＝d(d 为常数，n ∈N *，n≥2)⇔{a n }为等差数列；②等差中项法，即2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列；③通项公式法，即a n ＝an ＋b(a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列；④前n 项和公式法，即S n ＝an 2＋bn(a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列．等比数列的判定与证明有以下三种方法：①定义法，即a na n －1＝q(q 为常数且q≠0，n ∈N *，n≥2)⇔{a n }为等比数列；②等比中项法，即a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列；③通项公式法，即a n ＝a 1qn －1(其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．【变式探究】若{a n }是各项均不为零的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，n∈N *.数列{b n } 满足b n ＝1a n ·a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和．(1) 求a n 和T n .(2) 是否存在正整数 m ，n(1<m<n)，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由．（2）假设存在正整数 m ，n （1<m<n ），使得T 1，T m ，T n 成等比数列，则T 1·T n ＝T 2m . ∵T 1·T n ＝n 6n ＋3＝16＋3n <16，∴T 2m ＝⎝⎛⎭⎫m 2m ＋12＝m 24m 2＋4m ＋1<16，∴2m 2－4m －1＜0，∴1－62＜m ＜1＋62，又∵m ∈N 且m ＞1，∴m ＝2，则T 22＝425.令T 1·T n ＝n 6n ＋3＝425，得n ＝12，∴当且仅当m ＝2，n ＝12时，T 1，T m ，T n 成等比数列. 【命题热点突破三】数列中a n 与S n 的关系问题例3 、（2018年天津卷）设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N *）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n （n ∈N *）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6．（Ⅰ）求S n 和T n ；（Ⅱ）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值．【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)4.【变式探究】已知{}n a 是等差数列，{S }n 是其前n 项和.若，则9a 的值是 ▲ .【答案】20.【解析】由510S =得32a =，因此【感悟提升】在等差数列、等比数列的综合问题中，通过列方程(组)求基本量是基本而重要的方法．在数列的最值问题中，如果使用函数的方法，要充分考虑数列中的自变量是正整数．【变式探究】已知等比数列{}a n 的首项a 1＝2，公比q>1，且a n ，54a n ＋1，a n ＋2成等差数列（n ∈N *）. （1）求数列{}a n 的通项公式；（2）记b n ＝na n ，数列{}b n 的前n 项和为S n ，若（n －1）2≤m （S n －n －1）对于n≥2，n ∈N *恒成立，求实数m 的取值范围.（2）因为b n ＝na n ＝n·2n ，所以S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n ， 2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋（n －1）·2n ＋n·2n ＋1，所以S n ＝－（2＋22＋23＋…＋2n －n·2n ＋1）＝－（2－2n ＋11－2－n·2n ＋1）＝（n －1）·2n ＋1＋2. 因为（n －1）2≤m （S n －n －1）对于n≥2，n ∈N *恒成立，所以（n －1）2≤m[（n －1）·2n ＋1＋2－n －1]恒成立，即（n －1）2≤m （n －1）（2n ＋1－1）恒成立，于是问题转化为m≥n －12n ＋1－1对于n≥2，n ∈N *恒成立.令f （n ）＝n －12n ＋1－1，n≥2，则f （n ＋1）－f （n ）＝n2n ＋2－1－n －12n ＋1－1＝（2－n ）·2n ＋1－1（2n ＋2－1）（2n ＋1－1）<0，所以当n≥2，n ∈N *时，f （n ＋1）<f （n ），即f （n ）单调递减，则f （n ）≤f （2）＝17，所以m≥17.故实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫17，＋∞.【高考真题解读】 1. （2018年浙江卷）已知成等比数列，且．若，则A. B.C.D.【答案】B2. （2018年北京卷）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A. B. C.D.【答案】D【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则，故选D.3. （2018年江苏卷）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】274. （2018年浙江卷）已知等比数列{a n}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1−b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由是的等差中项得，所以，7. （2018年江苏卷）设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s<t时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求的值；（2）求的表达式(用n 表示)．【答案】（1）2 5 （2）n ≥5时，【解析】（1）记为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有，所以．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，．1．(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】通解：选C.设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.优解：由S 6＝48得a 4＋a 3＝16， (a 4＋a 5)－(a 4＋a 3)＝8， ∴d ＝4，故选C.2．(2017·高考全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8【解析】选A.由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，由a 23＝a 2a 6可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2.所以S 6＝6×1＋6×5×－22＝－24.故选A. 3．(2017·高考全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.【答案】－84．(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＝2，a 11＋q ＋q 2＝－6.于是当{2,4}T =时，.又30r S =，故13030a =，即11a =.所以数列{}n a 的通项公式为.（2）因为，，所以.因此，1r k S a +<.1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B【解析】由等差数列的性质得，选B.2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D3.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则213a a a >D ．若10a <，则【答案】C【解析】先分析四个答案支，A 举一反例，120a a +>而230+<a a ，A 错误，B 举同样反例，130a a +<，而120+>a a ，B 错误，下面针对C 进行研究，{}n a 是等差数列，若120a a <<，则10,a >设公差为d ，则0d >，数列各项均为正，由于，则2113a a a >，选C.4.【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，，则n S =________．【答案】1n-【解析】由已知得，两边同时除以1n n S S +⋅，得，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则，所以1n S n=-． 5.【2015高考广东，理10】在等差数列中，若，则= . 【答案】10．【解析】因为是等差数列，所以，{}n a 2576543=++++a a a a a 82a a +{}n a 37462852a a a a a a a +=+=+=即，所以，故应填入．6.【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．【答案】5【解析】设数列的首项为1a ，则，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5．7.【2015高考浙江，理3】已知{}na 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（）A.B. C. D. 【答案】B.8.【2015高考安徽，理14】已知数列{}n a 是递增的等比数列，，则数列{}n a 的前n 项和等于 .【答案】21n -【解析】由题意，，解得或者，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以，即3418a q a ==，所以2q =，因而数列{}n a 的前n 项和.9. 【2014高考北京版理第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D345675525a a a a a a ++++==55a =285210a a a +==1010. 【2014高考福建卷第3题】等差数列{}n a的前n项和n S，若，则6a ( )C.14DB.12.8A.10【答案】C【解析】假设公差为d,依题意可得.所以.故选C.。

2019-2020届高考全国卷命题预测与精准押题专题23 主观题的解题方法与技巧(文科数学精准押题)教师版

2019-2020届全国卷高考命题预测与精准押题精准押题1．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足a n ＝1－2S n . (1)求证：数列{a n }为等比数列；(2)设函数f (x )＝log 13x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，求T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n.2.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AB ＝2，AA 1＝1，E 为D 1C 1的中点，如图所示．(1)在所给图中画出平面ABD 1与平面B 1EC 的交线(不必说明理由)； (2)证明：BD 1∥平面B 1EC ；(3)求平面ABD 1与平面B 1E C 所成锐二面角的余弦值．解：(1)连接BC 1交B 1C 于M ，连接ME ，则直线ME 即为平面ABD 1与平面B 1EC 的交线，如图所示． (2)证明：在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，DA ，D C ，DD 1两两垂直，于是以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．因为AD ＝AB ＝2，AA 1＝1，所以D (0,0,0)，A (2,0,0)，D 1(0,0,1)，B (2,2,0)，B 1(2,2,1)，C (0,2,0)，E (0,1,1)．所以BD 1―→＝(－2，－2,1)，CB 1―→＝(2,0,1)，CE ―→＝(0，－1,1)，(3)由(2)知BA ―→＝(0，－2,0)，BD 1―→＝(－2，－2,1)，设平面ABD 1的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧BA ―→·n ＝0，BD 1―→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2y 1＝0，－2x 1－2y 1＋z 1＝0，不妨令x 1＝1，得到平面ABD 1的一个法向量为n ＝(1,0,2)，因为cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n|＝－1＋49×5＝55，所以平面ABD 1与平面B 1EC 所成锐二面角的余弦值为55. 3．某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年薪(万元)44.5656.57.588.5951(1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；(2)从该单位中任选2人，此2人中年薪收入高于7万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；(3)已知员工年薪收入与工作年限呈正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，5.5。

2019-2020届高考全国卷命题预测与精准押题专题10 数列、等差数列﹑等比数列(文科数学精准押题)教师版

2019-2020届全国卷高考命题预测与精准押题精准押题1．在数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2 B.n －23 C ．4n －1 D.4n －13答案：D2．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( ) A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2解析：∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴12a 3×2＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∴q 2＝1＋2q ，解得q ＝1＋2或q ＝1－2(舍)，∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 1q 8＋q a 1q 6＋q＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 答案：C3．设等比数列{a n }的前6项和S 6＝6，且1－a 22为a 1，a 3的等差中项，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A ．－2B ．8C ．10D ．14 解析：依题意得a 1＋a 3＝2－a 2，即S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即数列2,4，S 9－6成等比数列，于是有S 9－S 6＝8，即a 7＋a 8＋a 9＝8，选B.答案：B4．已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2，则a 21＝( ) A ．29B ．210C ．211D ．212解析：由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝2，得b 1＝a 2a 1＝a 22，a 2＝2b 1；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝2b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝2b 1b 2b 3；…；a n ＝2b 1b 2b 3…b n －1，∴a 21＝2b 1b 2b 3…b 20，又{b n }为等比数列，∴a 21＝2(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝2(b 10b 11)10＝211. 答案：C5．已知S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 2＋a 3a 1等于( ) A ．4B ．6C ．8D ．10解析：设数列{a n }的公差为d ，则S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d ，故(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，整理得d ＝2a 1，所以a 2＋a 3a 1＝2a 1＋3d a 1＝8a 1a 1＝8，选C. 答案：C6．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (3n －1)B.n n ＋2 C ．n (n ＋1) D.n n ＋2解析：依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n ＋2n 2＝n (n ＋1)，选C. 答案：C7.在等差数列{a n }中，a 1＋3a 3＋a 15＝10，则a 5的值为( )A.2B.3C.4D.5 解析设数列{a n }的公差为d ，∵a 1＋a 15＝2a 8，∴2a 8＋3a 3＝10，∴2(a 5＋3d)＋3(a 5－2d)＝10，∴5a 5＝10，∴a 5＝2.答案 A8.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为( )A.－2或1B.－1或2C.－2D.1。

2019-2020年高考最后一卷(押题卷)数学(第一模拟)含解析

2019-2020年高考最后一卷（押题卷）数学（第一模拟）含解析一、填空题：共14题1．已知集合A={x|<0},B={x|y=lg(a-x)},若A∪B=B,则实数a的取值范围是 .【答案】[2,+∞）【解析】本题主要考查了不等式的解法及集合的运算.解题的突破口是正确解分式不等式得集合A,利用对数函数的真数大于0得集合B,再利用并集的性质求解.由题意可得A=(-∞,2), B=(-∞，a),A∪B=B?A?B,所以a≥2.2．已知一组数据x1,x2,x3,x4的平均数是3,方差是1,数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,3x4+1的平均数为a,方差为b,则a+b= .【答案】19【解析】本题主要考查了平均数、方差等简单的统计知识.解题的突破口是熟悉数据n的平均数、方差之间的关系.由题意可得数据3x1+kx i+m,i=1,2,…，n与数据x i,i=1,2,…，1,3x2+1,3x3+1,3x4+1的平均数a=3×3+1=10,方差b=9,则a+b=19.3．已知复数z满足z+|z|=8+4i,其中i为虚数单位,则z的共轭复数的虚部是 .【答案】-4【解析】本题主要考查了复数的概念、运算.解题的突破口是利用复数的运算法则正确化简复数,再结合共轭复数、虚部等概念求解.设z=a+b i(a,b∈R),则由题意可得a+b i+=8+4i,则,解得,即z=3+4i,z的共轭复数=3-4i,虚部是-4.4．执行如图所示的算法流程图,则输出的S= .【答案】35【解析】本题主要考查了流程图.解题的突破口是读懂流程图.该流程图执行了4次循环体,输出的S=1+10+9+8+7=35.5．已知两张卡片的正反两个面上分别写有数字1,2和3,4,将这两张卡片排成一排,使其朝上的两个数字构成两位数,则该两位数的个位数字与十位数字相差1的概率是 .【答案】【解析】本题主要考查了古典概型.解题的突破口是正确计算基本事件的个数,利用古典概型的概率计算公式求解.由题意可得这样的两位数有13、31、14、41、23、32、24、42,共有8个,其中个位数字与十位数字相差1的两位数有23和32,共有2个,故所求概率为.6．已知两共线向量a=(2,1),b=(1-y,x)(x>0,y>0),则+的最小值为 .【答案】8【解析】本题主要考查了向量共线以及基本不等式的应用.解题的思路是正确运用向量共线计算得x和y的关系后,利用“1”的代换,结合基本不等式求解.通解由a∥b可得2x=1-y,即2x+y=1,所以+=(+)(2x+y)=4++≥４+2=8,当且仅当x=,y=时取等号,故+的最小值为8.优解由a ∥b可得2x=1-y,即2x+y=1≥2,所以0<xy≤，+≥2≥2=8,当且仅当2x=y=时取等号,故+的最小值为8.-),sin(-α)=,则tan 2α= .7．已知α∈(-π，【答案】【解析】本题主要考查了三角恒等变换.解题的突破口是正确应用三角公式求解.从本题的求解过程可见,易错点是诱导公式、二倍角公式应用错误,导致结果错误,诱导公式口诀是“奇变-),所以sinα=-,tanα=,则tan 2α=.偶不变,符号看象限”．由sin(-α)=-cosα=得cosα=-,又α∈(-π，8．已知函数f(x)=alnx-bx2的图象在x=1处与直线y=-相切,则函数f(x)在[1,e]上的最大值为 . 【答案】【解析】本题主要考查导数的几何意义及导数在研究函数最值中的应用.先根据函数图象的切线求出函数的解析式,再利用导数研究函数的单调性,进而可得函数的最值.由题意知,f'(x)=-2bx,因为函数f(x)=alnx-bx2的图象在x=1处与直线y=-相切,所以,解得,即函数f(x)=ln x-.又当x∈[1,e]时,f'(x)=-x≤0,所以函数f(x)在[1,e]上单调递减,其最大值为f(1)=.9．已知正数x,y满足,则z=4-x·()y的最小值为 .【答案】【解析】本题主要考查了指数的运算以及不等式组表示的平面区域.解题的突破口是正确化简目标函数,结合图形求解.本题的易错点是审题不认真导致区域错误,注意线性规划中目标函数的几何意义的应用.点(x,y)对应的平面区域是以点(0,0)、(0,)和(1,2)为顶点的三角形区域(不包含y轴上的点),平移直线2x+y=0,可知当经过点(1,2)时取得最大值4,此时z=4-x·()y=()2x+y取得最小值.10．如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,且PD=2,底面是边长为2的菱形,M是CD的中点,平面PMB⊥平面PCD,则该四棱锥的体积为 .【答案】【解析】本题主要考查了空间直线与平面的位置关系、空间几何体的体积.解题的突破口是利用面面垂直的性质定理求解底面积.过点D在平面PCD内作DN⊥PM于点N,又平面PMB⊥平面PCD,平面PMB∩平面PCD=PM,所以DN⊥平面PMB,所以DN⊥BM.又由PD⊥平面ABCD,得PD⊥BM,又PD与DN是平面PDC内的两条相交直线,所以BM⊥平面PDC,则BM⊥CD.又点M是CD的中点,BC=CD,所以∠BCD=60°,所以底面菱形ABCD的面积为2×2×sin 60°=2,故该四棱锥的体积为×2×2=.11．已知过点P(m,1)的直线与圆C:x2+y2-4x-6y+8=0相交于点A、B,且|AB|=2的直线只有一条,则该直线的方程为 .【答案】y=1【解析】本题主要考查了直线与圆的位置关系.解题的突破口是正确应用圆的几何性质对问题进行等价转化.本题的难点是对条件“|AB|=2的直线只有一条”正确转化.圆C的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=5,又|AB|=2的直线只有一条,所以该直线与直线CP垂直,|CP|2+1=5,解得|CP|=2,则(m-2)2+4=4,解得m=2,即P(2,1),直线CP:x=2,所以直线AB的方程为y=1.12．已知等比数列{a n}的前4项和为5,且4a1,a2,a2成等差数列,若b n=,则数列{b n b n+1}的前10项和为 .【答案】【解析】本题主要考查了等比数列的通项公式与求和.解题的思路是先正确求解数列{a n},{b n}的通项公式,再利用裂项相消法求和.由4a1,a2,a2成等差数列可得4a1+a2=3a2,则2a1=a2,则等比数列{a n}的公比q==2,则{a n}的前4项和为=5,解得a1=,所以a n=×2n-1,b n=,则b n b n+1=-,其前10项和为(1-)+(-)+…+(-)=.13．如图,已知点P在以F1,F2为焦点的双曲线-=1(a>0,b>0)上,过P作y轴的垂线,垂足为Q,若四边形F1F2PQ为菱形,则该双曲线的离心率为 .【答案】【解析】本题主要考查了双曲线的几何性质.解题的突破口是结合菱形的性质建立基本量的关系.由题意知四边形F1F2PQ的边长为2c,连接QF2,由对称性可知,|QF2|=|QF1|=2c,则三角形QPF2为等边三角形.过点P作PH⊥x轴于点H,则∠PF2H=60°,因为|PF2|=2c,所以在直角三角形PF2H中,|PH|=c,|HF2|=c,则P(2c,c),连接PF1,则|PF1|=2c.由双曲线的定义知,2a=|PF1|-|PF2|=2c-2c=2(-1)c,所以双曲线的离心率为.14．若函数f(x)=,函数g(x)=xf(x)-a,x∈(-∞,7]有7个零点,则实数a的取值范围是 .【答案】(,1)【解析】本题主要考查了函数与方程.解题的突破口是正确画出函数f(x)的图象,并将函数零点的个数转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合思想求解.由题意知当x=0是g(x)的零点时,a=0,此时f(x)需在(-∞,0)∪(0,7]上有6个零点,易知不满足,故当x≠０时,函数g(x)=xf(x)-a,x∈(-∞,7]有7个零点,即函数y=f(x),y=,x∈(-∞,7]的图象有7个交点,由图象可得当a≤０时不成立,则a>0.易知y=f(x),y=,x∈(0,7]有6个交点,则,解得<a<1.二、解答题：共12题。

2019-2020年高考最后一卷(押题卷)理科数学(第四模拟)含解析

2019-2020年高考最后一卷（押题卷）理科数学（第四模拟）含解析一、选择题：共10题1．设集合A={x|x>a},集合B={-1,1,2},若A∩B=B,则实数a的取值范围是A.(1,+∞）B.(-∞,1)C.(-1,+∞）D.(-∞，-1)【答案】 D【解析】本题主要考查集合之间的包含关系,考查等价转化思想.解题时,将A∩B=B转化为B?A即可求解.因为A∩B=B,所以B?A,所以a<-1,故选 D.2．已知i为虚数单位,若复数z=,则=A. B.- C.2i D.-2i【答案】D【解析】本题主要考查复数的除法和乘法运算,考查考生的运算能力,属于容易题.先化简复数z,再代入式子运算即可.由题意知,z==1-i,所以=-2i,故选 D.3．“x=或”是“sin x=”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本题把充要关系的判断和特殊角的三角函数值的运算结合在一起进行考查,考查考生对基础知识的掌握情况,难度不大.解题时要注意考虑问题的全面性,否则很容易出错.当x=k∈Z.故“x=或”是“sin x=”的充分不必要条件,选或时,显然sinx=,但当sinx=时,x=+2kπ或+2kπ，B.【备注】高考中将充要关系的判断与其他知识相结合是常见的考查方式,从本题可知我们可以用集合的观点看充分条件、必要条件:A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},(1)如果A?B 且A≠B,那么p是q的充分不必要条件;(2)如果B?A且A≠B,那么p是q的必要不充分条件;(3)如果A=B,那么p是q的充要条件;(4)如果A?B,且B?A,那么p是q的既不充分也不必要条件.4．为了估计某鱼塘中鱼的数量,某渔民先从鱼塘中捕捞出 3 000条鱼,在每条鱼的尾巴上做标记(不影响存活)后重新放回鱼塘中,经过适当的时间后,该渔民再从鱼塘中捕捞出800条鱼,其中尾巴上做标记的有15条,则可估计该鱼塘中鱼的条数为A.160 000B.300 000C.150 000D.200 000【答案】A【解析】本题主要考查利用样本估计总体,考查考生的应用意识.根据题意建立恰当的比例关系是解题的关键.设该鱼塘中鱼的条数为x,则根据题意可知,解得x=160 000,故选A.5．若变量x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最小值为A. B.6 C. D.4【答案】C【解析】本题主要考查线性规划的有关问题,考查考生的数形结合思想和运算求解能力.本题的关键在于正确作出二元一次不等式组所表示的平面区域和准确判断出目标函数取得最小值的可行解.不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由z=3x+2y得y=-x+z,平移直线y=-x,数形结合可知,当直线经过点A(1,)时,目标函数z=3x+2y取得最小值,且最小值z min=3×1+×2=.6．根据如图所示的程序框图,当输入的x的值为 2 016时,输出的y的值为A.28B.10C.4D.2【答案】B【解析】本题主要考查循环结构的程序框图,属于容易题,解题时一定要抓住重要条件“x≥0”，否则很容易出现错误.在给出程序框图求解输出结果的试题中,只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件即可.初始条件:x=2 016;第一次循环:x=2 014;第二次循环:x=2 012;第三次循环:x=2 010;第四次循环:x=2 008;……；第1 008次循环:x=0;第1 009次循环,x=-2,不满足条件x≥0,故退出循环,输出y=32+1=10,故选 B.7．已知圆C:(x-3)2+(y-2)2=4,M为圆C上一点,若存在一个定圆P,过点M作圆P的两条切线MA,MB,切点分别为A,B,当点M在圆C上运动时,恒有∠AMB=60°,则圆P的方程为A.(x-3)2+(y-2)2=1B.(x+3)2+(y+2)2=1C.(x-3)2+(y-2)2=3D.(x+3)2+(y-2)2=3【答案】A【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系,考查考生的数形结合思想及分析问题、解决问题的能力.由题意知圆P与圆C是同心圆,在Rt△PAM中,|MP|=2,∠MPA=60°,所以圆P的半径|PA|=1,所以圆P的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.8．若不等式|2x+1|+|x-|<a2-3a有解,则实数a的取值范围是A.(-∞，-1)∪(4,+∞)B.(-1,4)C.(-∞，-4)∪(1,+∞)D.(-4,1)【答案】A【解析】本题主要考查绝对值不等式的性质、几何意义以及不等式有解问题,属于中档题.不等式|2x+1|+|x-|<a2-3a有解可转化为(|2x+1|+|x-|)min<a2-3a.|2x+1|+|x-|=2|x+|+|x-|=|x+|+|x+|+|x-|≥|x+|+|(x+)-(x-)|=|x+|+4≥4,所以4<a2-3a,解得a<-1或a>4,故选A.【备注】绝对值不等式的基本解法:①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.9．如图,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点,且两条曲线交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为A. B.2 C.+1 D.3+2【答案】C【解析】本题考查抛物线的简单几何性质及其应用、双曲线的离心率等,考查考生的运算求解能力.解题的关键是根据题意得到关于a,c的方程.根据两条曲线交点的连线过点F,由双曲线和抛物线的对称性可得,两条曲线交点的坐标为(,±p),代入双曲线的方程-=1(a>0,b>0)得-=1,又=c,所以-4×=1,化简得c4-6a2c2+a4=0,所以e4-6e2+1=0,得e2=3+2=(1+)2,所以双曲线的离心率为+1.10．已知函数f(x)=的图象上关于y轴对称的点至少有3对,则实数a的取值范围是A.(0,)B.(,1)C.(,1)D.(0,)【答案】A【解析】本题主要考查分段函数的应用、函数图象的对称性,考查等价转化思想,考查考生分析问题、解决问题的能力,此题综合性较强,有一定的难度.f(x)=,令φ(x)=sin(x)-1(x<0),则φ(x)关于y轴对称的函数为g(x)=-sin(x)-1(x>0),则函数f(x)的图象上关于y轴对称的点至少有3对,。

2019-2020年高考等值预测卷(全国I卷)数学(理)试卷及答案

高考等值试卷★预测卷理科数学（全国I卷）根据以上信息可知，下列说法中：①2014—2018年，我国第一产业投资占固定资产投资比重逐年增加；②2014—2018年，我国第一产业、第三产业投资之和占固定资产投资比重逐年增加；本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，请将试题卷、答题卡一并收回。

22413③5%；635636237899375324④96.5%．635636不正确的个数为（A）1（B）2（C）3ππ5．已知f(x)sin(2x )，g(x)cos(2x )33（D）4，则下列说法中，正确的是第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（A）（C）ππx R，f(x)g(x)（B）x R，f(x)g(x)24ππx R，g(x)f ( x)（D）x R，g(x)f ( x)241．已知i为虚数单位，则i(1i3)6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体（A）1i（B）1i（C）1i（D）1i的三视图，则该几何体的表面积为2．已知集合（A）a 2 3．已知数列A {x|lg x 2}，B {x|x a}，且A B R，则实数a的取值范围是R（B）a 2（C）a 100（D）a 100a的首项为1，且a a a a对于所有大于1的正整数n都成立，n n 1n n n 1（A）（C）(425)π(525)π（B）（D）(55)π(535)πS S 2a，则a a359612（A）34（B）17（C）36（D）187．已知点P△为ABC所在平面内一点，且PA 2P B 3PC 0，如果E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论中：4．有关数据表明，2018年我国固定资产投资（不含农户，下同）635636亿元，增长5.9%．其中，第一产业投资22413亿元，比上年增长12.9%；第二产业投资237899亿元，增长6.2%；第三产业投资375324亿元，增长5.5%．另外，2014—2018年，我国第一产业、第二产业、第三产业投资占固定资产投资比重情况如下图所示．①向量PA与PC可能平行；②向量PA与PC可能垂直；③点P在线段EF上；④PE:PF 2:1．正确的个数为（A）1（B）2（C）3（D）48．已知椭圆xa22y21b2（a b 0）经过点2(1,)2，过顶点(a,0)，(0,b)的直线与圆x2y223相切，则椭圆的方程为（A）x22y21（B）x243y221（C）x234y321（D）x258y521 9．已知某品牌的手机从1米高的地方掉落时，第一次未损坏的概率为0.3，在第一次未损坏的情况下第二次也未损坏的概率为0.1．则这样的手机从1米高的地方掉落两次后仍未损坏的概率为（A）0.25（B）0.15（C）0.1（D）0.03110．如果围是x2(25a)x 3a 10在区间(1,3)内有且只有一个实数解，则实数a的取值范16．双曲线xa22yb221的左、右焦点分别为F ，F12，左、右顶点分别为A，A12，P为双曲（A）1a 76（B）1a76或a1621425线上一点，已知直线PA1，PA2的斜率之积为2425，F PF 6012，F1到一条渐近线的距离为6，（C）1a 76（D）1a716214或a625则：（1）双曲线的方程为_______________；（2）△PF F的内切圆半径与外接圆半径之比为_______________．1211．《九章算术》是中国古典数学最重要的著作．《九章算术》的“商功”一章中给出了很多几何体的体积计算公式．如图所示的几何体，上底面三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．A B C D与下底面ABCD相互平行，且ABCD与1111A B C D均为长方形．《九章算术》中，称如图所1111示的图形为“刍童”．如果AB a，BC b，A B c，B C d，且两底面之间的距离为h，1111记“刍童”的体积为V，则（一）必考题：共60分．17．（12分）已△知ABC中，C为钝角，而且（1）求B的大小；（2）求AC cos A 3cos B的值．AB 8，BC 3，AB边上的高为323．（A）（C）hV [(2c a)d (2a c)b]6hV [(c 2a)d (a 2c)b]6（B）（D）hV [(2c a)d (2a c)b]3hV [(c 2a)d (a 2c)b]318．（12分）如图，AB，CD分别是圆柱O O下底面、上底面的直径，1AD，BC分别是圆柱的母线，ABCD是一个边长为2的正方形，E，F都是下底面圆周上的点，且EAB 30，FAB 45，点P在上底面圆周上运12．已知数列{a}的前n项的和为S，且a 1，a 2，a 7n n123S 3S 3S S 2恒成立．则使得n 1n n 1n2111722()a 1a 1a 155k k 12成立的正整数k的取值集合为．又已知当n 2时，动．（1）判断直线AF是否有可能与平面PBE平行，并说明理由；（2）判断直线BE是否有可能与平面PAE垂直，并说明理由；（3）设平面PAE与平面ABCD 所成夹角为（90），求cos 的取值范围．（A）（C）{k|k 9,k N}{k|k 11,k N}（B）（D）{k|k 10,k N}{k|k 12,k N}19．（12分）为了了解青少年的创新能力与性别的联系，某研究院随机抽取了若干名青少年进行测试，所得结果如图1所示．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为6；乙同学抽取了一个容量为15的样本，并算得样本的平均数为5．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起正好组成一个容量为25的样本，则合在一起后的样本的平均数为_____________．π3π14．已知是第四象限角，且sin()，则sin()_____________．3512315.在平面直角坐标系xOy中，过点(1,0)的一条直线与函数f(x)的图像交于P，Q两x 1点，则线段PQ长的最小值是．图1更进一步，该研究院对上述测试结果为“优秀”的青少年进行了知识测试，得到了每个人的知识测试得分x和创新能力得分y，所得数据如下表所示．2x31333538394245454749525457576020．（12分）已知抛物线y24x的焦点为F，倾斜角为锐角的直线l与抛物线交于A，B两点，y667999101212121315161819 x636565687171737577808080838384 y212425273133364042444649515754 x84858687909091929395y59626468717580888390且直线l过点(2,0)，|AB |13．（1）求直线l的方程；（2）如果C是抛物线上一点，O为坐标原点，且存在实数t，使得求|FC|．OC OF t(F A FB)，根据这些数据，可以作成图2所示的散点图．21．（12分）已知函数f(x)sin xx．（1）求曲线ππy f(x)在(, f())22处的切线方程；（2）求证：f(x)1x26；（3）求证：当0x 1.1时，f(x)ln(1x)x．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l的参数方程为x 2t c osy 2t s in （t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为1，且直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C与直线l的一般方程，并求直线l的斜率的取值范围；（2）设P(2,2)，且| PA|:|PB |5:7，求直线l的斜率．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）图2已知函数f(x)|2x 1||x 1|．（1）通过计算说明，能否有95%的把握认为性别与创新能力是否优秀有关．（1）求不等式f(x)3的解集；附：K2n(a d bc)2(a b)(c d)(a c)(b d),P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828.（2）如果“x R，f(x)t252t”是真命题，求t的取值范围．（2）从测试结果为“优秀”的青少年中，随机抽取2人，用X表示抽得的人中，知识测试得P(X 1)．分和创新能力得分都超过70分的人数，求（3）根据前述表格中的数据，可以计算出y关于x的回归方程为yˆ 1.27x 47.92：①根据回归方程计算：当x [50,70]时，yˆ的取值范围．②在图2中作出回归直线方程，并尝试给出描述y与x关系的更好的方案（只需将方案用文字描述即可，不需要进行计算）．3。

2019-2020年高考压轴卷数学含解析

(图1) 2019-2020年高考压轴卷数学含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知复数的实部为，虚部为1，则的模等于 .2.已知集合，集合，则 .3.右图1是一个算法流程图，若输入的值为，则输出的值为 .4.函数的定义域为 .5.样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率如条形图2所示，则这组数据的方差等于．6.设是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若则；②若，，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题序号为7.若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围是 .8.已知命题在上为减函数；命题，使得.则在命题，，，中任取一个命题，则取得真命题的概率是9.若函数，其图象如图3所示，则 .10.函数的图象经过四个象限，则a的取值范围是．11.在中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且，则函数在上的单调递增区间是 .12. “已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式.”给出如下的一种解法：解：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为.x y12图3图2参考上述解法：若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 .13.xx 年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列满足，定义使为整数的实数k 为“青奥吉祥数”，则在区间[1，xx]内的所有“青奥吉祥数之和”为________14.已知，设集合，，若对同一x 的值，总有，其中，则实数的取值范围是二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15.在中，角，，的对边分别为，，，向量，且（1）求的值；（2）若，求边c 的长度.16.如图4，在四棱锥中，平面平面，AB ∥DC ，是等边三角形，已知，．（1）设是上的一点，证明：平面平面；（2）求四棱锥的体积．17.如图5，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC 1，且∠ABC = 60o ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？ABCMPD图4公路HG F E DC B A 图5OMNF 2F 1yx（图6）18. 如图6，椭圆过点，其左、右焦点分别为，离心率，是椭圆右准线上的两个动点，且．（1）求椭圆的方程；（2）求的最小值；（3）以为直径的圆是否过定点？请证明你的结论．19.已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调增区间；（3）若存在，使得是自然对数的底数)，求实数的取值范围．20. 已知数列{a n }中，a 2=a(a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足S n =n(a n －a 1)2(n N*)．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a=2，且，求m 、n 的值；（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足的最大项恰为第项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆外一点引圆的切线及割线，为切点．求证：．21B ．已知矩阵，计算．21C ．已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数）．若直线与圆相切，求正数的值．21D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知不等式对于满足条件的任意实数恒成立,求实数的取值范围．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．P（第21 - A 题）（第22题）22．（本小题满分10分）22. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，，，M 为PC 的中点．（1）求异面直线PB 与MD 所成的角的大小；（2）求平面PCD 与平面P AD 所成的二面角的正弦值．23．（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ．（1）求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；（2）求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．xx 江苏高考压轴卷数学答案一、填空题1. 2.. 3.2 4. 5.7.2 6. ①③ 7. 8. 9.4 10. 11. 12. 13.2047 14. 提示： 1.，则，则. 2.{}{}{}2022≤=≥-=-==x x x x x y x B ，又，所以.3. 当时，，则；当时，，；当时，，；当时，不成立，则输出.4.要使原式有意义，则，即且.5.2出现次，5出现次，8出现次，所以[]2.7)55(4)55(2)52(41012222=-⨯+-⨯+-⨯=s . 6. 逐个判断。

(完整)2019年高考数学分析与预测——数列

数列一、高考要求1. 数列的概念和简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数.2. 等差数列、等比数列（1）理解等差数列、等比数列的概念.（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式.（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.（4）了解等差数列与一次函数，等比数列与指数函数的关系.二、基础知识1、n a 与n S 的关系若数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为n a ，则⎩⎨⎧-=-11n nn S S S a 2,1,≥=n n . 2、等差数列定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列.d a a n n =-+1（+∈N n ，d 为常数）.通项公式：()()d m n a d n a a m n -+=-+=11（n ，+∈N m ）.前n 项和公式：()()d n n na a a n S n n 21211-+=+=（+∈N n ）. 性质：若q p n m +=+（+∈N q p n m ,,,），则有q p n m a a a a +=+.等差中项：若b A a ,,成等差数列，则A 叫做b a ,的等差中项，且2b a A +=. 3、等比数列定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数的数列.q a a nn =+1（+∈N n ，q 为非零常数）. 通项公式：m n m n n q a qa a --==11（n ，+∈N m ）.前n 项和公式：当1=q 时，1na S n =；当1≠q 时，qq a a q q a S n n n --=--=11111（+∈N n ）. 性质：若q p n m +=+（+∈N q p n m ,,,），则有q p n m a a a a ⋅=⋅.等比中项：若b G a ,,成等比数列，则G 叫做b a ,的等比中项，且ab G ±=.4、数列求和综合公式法、分组转化法、裂项相消法、倒序相加法、错位相减法、并项求和法.三、高考真题（2018年全国I 卷，第4题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4233S S S +=，21=a ，则=5a （） A.12- B.10- C.10 D.12（2018年全国I 卷，第14题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若12+=n n a S ，则=6S .（2017年全国I 卷，第4题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若2454=+a a ，486=S ，则{}n a 的公差为（） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8（2017年全国I 卷，第12题）几个大学生相应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，···，其中第一项是02，接下来的两项是102,2，再接下来的三项是2102,2,2，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：100>N 且该数列的前N 项和为2的整数幂，那么该款软件的激活码是（）A. 440B. 330C. 220D. 110（2018年全国II 卷，第17题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知71-=a ，153-=S .（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值.（2017年全国II 卷，第3题）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏（2017年全国II 卷，第15题）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33=a ，104=S ，则=∑=n k k S 11 .（2018年全国III 卷，第17题）等比数列{}n a 中，11=a ，354a a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和.若63=m S ，求m . （2017年全国III 卷，第9题）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若632,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（） A. 24- B. 3- C. 3 D. 8 （2017年全国III 卷，第14题）设等比数列{}n a 满足121-=+a a ，331-=-a a ，则=4a .四、题型分析（由于所有真题网上均有详细解答过程，这里本人仅针对题目涉及内容做以分析）1、全国I 卷两年题型均为两道小题，总分10分，内容包括一道等差数列一道等比数列，考查难度仅17年12题需要综合考虑较为复杂，其余题目皆考查基础知识点。

高考真题与模拟训练专题10 等差数列(解析版)

专题10 等差数列第一部分真题部分一、选择题1．（2021·北京高考真题）{}n a 和{}n b 是两个等差数列，其中()15kka kb ≤≤为常值，1288a =，596=a ，1192b =，则3b =（）A ．64B ．128C ．256D ．512【答案】B【解析】由已知条件可得5115a a b b =，则51519619264288a b b a ⨯===，因此，1531926412822b b b ++===. 故选：B.2．（2021·北京高考真题）数列{}n a 是递增的整数数列，且13a ≥，12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】若要使n 尽可能的大，则1a ，递增幅度要尽可能小，不妨设数列{}n a 是首项为3，公差为1的等差数列，其前n 项和为n S ，则2n a n =+，1131311881002S +=⨯=<，12314121021002S +=⨯=>，所以n 的最大值为11. 故选：C.3．（2020·浙江高考真题）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是（） A ．2a 4=a 2+a 6 B ．2b 4=b 2+b 6C ．2428a a a = D ．2428b b b =【答案】D【解析】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+， ∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-，当1a d =时，2428a a a =，C 正确；对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->；当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确．故选：D.4．（2019·全国高考真题（理））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 【答案】A【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．二、填空题5．（2021·江苏高考真题）已知等比数列{}n a 的公比为q ，且116a ，24a ，3a 成等差数列，则q 的值是___________. 【答案】4【解析】因为{}n a 为等比数列，且公比为q ，所以21a a q =⋅，231a a q =⋅且10a ≠，0q ≠. 因为116a ，24a ，3a 成等差数列，所以1321624a a a +=⨯，有21111624a a q a q +⋅=⨯⋅，28160q q -+=，解得4q =. 故答案为：4.6．（2020·海南高考真题）将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．【答案】232n n -【解析】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-，故答案为：232n n -.7．（2020·全国高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________．【答案】25 【解析】{}n a 是等差数列，且12a =-，262a a +=设{}n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-= 可得1152a d a d +++= 即：()2252d d -++-+= 整理可得：66d =解得：1d =根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N -=+∈ 可得：()1010(101)1022045252S ⨯-=-+=-+=∴1025S =.故答案为：25.8．（2019·江苏高考真题）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是_____. 【答案】16.【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 9．（2019·全国高考真题（理））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 【答案】4.【解析】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+．三、解答题10．（2021·天津高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22n n c c -是等比数列；（ii）证明)*nk n N =∈【答案】（I ）21,n a n n N *=-∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =，所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去），所以114,n n n b q n N b -*==∈；（II ）（i ）由题意，221441n n n n n b c b =++=，所以22224211442444n n nn nnn c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以220nn c c ≠-，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅--，所以数列{}22n n c c -是等比数列；（ii ）由题意知，()()22122222121414242222n n n n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-==，所以112nn k k k k-==<，设10121112322222nn k n k k nT --===+++⋅⋅⋅+∑，则123112322222n n nT =+++⋅⋅⋅+，两式相减得21111111122121222222212nn n n nn n n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--，所以1242n n n T -+=-，所以1112422n nk nk kk n--==+⎫=-<⎪⎭11．（2021·全国高考真题）记n S是公差不为0的等差数列{}n a的前n项和，若35244,a S a a S==．（1）求数列{}n a的通项公式n a；（2）求使n nS a>成立的n的最小值．【答案】(1)26na n=-；(2)7.【解析】(1)由等差数列的性质可得：535S a=，则：3335,0a a a=∴=，设等差数列的公差为d，从而有：()()22433a a a d a d d=-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d=+++=-+-++-=-，从而：22d d-=-，由于公差不为零，故：2d=，数列的通项公式为：()3326na a n d n=+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a=-=-，则：()()214252nn nS n n n-=⨯-+⨯=-，则不等式n nS a>即：2526n n n->-，整理可得：()()160n n-->，解得：1n<或6n>，又n为正整数，故n的最小值为7.12．（2021·全国高考真题）已知数列{}n a满足11a=，11,,2,.nnna naa n++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n nb a=，写出1b，2b，并求数列{}n b的通项公式；（2）求{}n a的前20项和.【答案】（1）122,5b b==；（2）300.【解析】（1）由题设可得121243212,1215b a a b a a a==+===+=++=又22211k ka a++=+，2122k ka a+=+，*()k N∈故2223k ka a+=+，即13n nb b+=+，即13n nb b+-=所以{}n b为等差数列，故()21331nb n n=+-⨯=-.（2）设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=-，所以()20241820210S a a a a =++++-()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.13．（2021·全国高考真题（理））已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等差数列：②数列是等差数列；③213aa =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】答案见解析【解析】选①②作条件证明③：(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n aa n =-，所以213a a =.选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列，所以公差2112d a a a =-=，所以()21112n n n S na d n a -=+==，)1n =+=，所以是等差数列.选②③作条件证明①：(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-；当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a =+-03a=-<不合题意，舍去.综上可知{}n a 为等差数列.14．（2021·全国高考真题（理））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=．（1）证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.【解析】（1）由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠, 取1n =,由11S b =得132b =, 由于n b 为数列{}n S 的前n 项积，所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---, 所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---，所以111221n n n nb bb b +++=-,由于10n b +≠所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n N ∈ 所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列; （2）由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列，()3111222n nb n ∴=+-⨯=+, 22211n n n b nS b n+==-+,当n =1时，1132a S ==, 当n ≥2时,()121111n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立, ∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.15．（2019·江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”. （1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈.②由①知，b k =k ，*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-．设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=．令()0f 'x =，得x =e .列表如下：x(1,e)e(e ，+∞) ()f 'x+0 –f （x ）极大值因为2663=<=，所以max ()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln k q k，即k k q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．16．（2019·北京高考真题（文））设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．【答案】（Ⅰ）212n a n =-；（Ⅱ）30-. 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为234+10+8+6a a a ，，成等比数列，所以2324(+8)(+10)(+6)a a a =，即2(22)(34)d d d -=-，解得2d =，所以102(1)212n a n n =-+-=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知212n a n =-, 所以22102121112111()224n n S n n n n -+-=⨯=-=--；当5n =或者6n =时，n S 取到最小值30-.第二部分模拟训练1．若数列{}n a 为等差数列，且16a π=，32a π=，则20cos a =（）A ．12B C ．12-D ．【答案】C 【解析】3126a a d π-== 201101963a a ππ=+⋅=201041cos coscos cos 3332a ππππ⎛⎫===+=- ⎪⎝⎭ 故选：C2．记n S 为数列{}n a 的前项和，已知点(,)n n a 在直线102y x =-上，若有且只有两个正整数n 满足n S k ≥，则实数k 的取值范围是（） A ．(8,14] B ．(14,18] C ．(18,20] D ．81(18,]4【答案】C【解析】解：由已知可得102n a n =-，由12n n a a --=-，所以数列{}n a 为等差数列，首项为8，公差为-2，所以2(1)8(2)92n n n S n n n -=+⨯-=-+，当n =4或5时， n S 取得最大值为20，因为有且只有两个正整数n 满足n S k ≥，所以满足条件的4n =和5n =，因为3618S S ==，所以实数k 的取值范围是(]18,20．故选：C ．3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=-，63a a =-，则下列数值中最大的是（）A ．416S B ．525S C ．636SD ．749S【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的公差为d，3518a S +=-，63a a =-，()111154+2+5+182+5+2a d a d a d a d ⨯⎧=-⎪∴⎨⎪=-⎩，解得17a =-，2d =，()217282n n n S n n n -=-+⨯=-，281n S n n ∴=-，可得2n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递增数列，所以在416S ，525S ，536S ，749S 中，最大的为749S ．故选：D.4．在正项等比数列{}n a 中.24a =.416a =.满足123m a a a a =21ma +.则m =（） A ．4 B ．3C ．5D ．8【答案】A【解析】由题意得公比2q ===，首项21422a a q ===， ∴111222n n nn a a q --==⨯=，由21231m m a a a a a +=，()(1)12212331 (2)2222222m m m m m++++++===可得(1)2(1)222m m m ++=，解得4m =,故选：A.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21122n S n n =+，若()1211n n n n n b a a ++=-⋅，则数列{}n b 的前n 项和n T =______.【答案】,12,1n nn n T n n n ⎧-⎪⎪+=⎨+⎪-⎪+⎩为偶数为奇数【解析】21122n S n n =+，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()2211111112222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎢⎥⎣⎦，满足11a =， n a n ∴=，()()()()12111++121111+1nn n n n n n n b a n n a n n +++=-⋅=-⋅=⎛⎫∴⋅ ⎪⎝⎭-，当n 为偶数时，111111111+122334111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n 为奇数时，1111111121+122334111n n T n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ,12,1n n n n T n n n ⎧-⎪⎪+∴=⎨+⎪-⎪+⎩为偶数为奇数.故答案为：,12,1n nn n T n n n ⎧-⎪⎪+=⎨+⎪-⎪+⎩为偶数为奇数6．数列{}n a 的前n 项和为n S ，23nn n a S +=，数列{}n b 满足()()211332n bn n a a n N *++=-∈，则数列{}n b 的前10项和为______．【答案】65【解析】由23nn n a S +=知：11123n n n a S ++++=，则1112233n n n n n n a S a S ++++--=-，得1323n n n a a +-=⨯，∴121323n n n a a +++-=⨯，而()()211332n bn n a a n N *++=-∈， ∴1n b n =+，故数列{}n b 的前10项和为1010(211)652T ⨯+==，故答案为：65.7．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若数列{}n a 满足：存在三个不同的正整数,,r s t ，使得,,r s t a a a 成等比数列，222,,r s t a a a 也成等比数列，则1990nnS S a +的最小值为___________.【答案】45【解析】设1(1)n a a n d =+-，0d ≠，由题意,,r s t a a a 成等比数列，s t r s a a a a =，所以s t s t r s r s a a a a s t a a a a r s--===--， 222,,r s t a a a 也成等比数列，2222s t r s a a a a =，所以222222222222s t s t r s r s a a a a s t s t a a a a r s r s---====---，所以s t r s a a a a =2222s t r s a a a a ==，所以s t r s a a a a =2222s t r s a a a a ==2222s s r r a a s s sa a r r r--===--， 1111(1)(1)s r a a s d a d sd s a a r d a d rd r+--+===+--+，所以10a d -=，1d a =． 1111(1)99099099012(1)22nnn n a na dS S n a a n d n -+++==+++-，4445<<，设9901()22n f n n =++，由勾形函数性质知()f n在上递减，在)+∞上递增，又*n N ∈， (45)45f =，990441(44)454422f =++=，所以()f n 的最小值为45．即1990nnS S a +的最小值为45．故答案为：45．8．已知定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足()()151,0222,2x x f x f x x ⎧--≤<⎪=⎨--≥⎪⎩.设()f x 在[)()*22,2n n n -∈N上的最大值记作n a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则n S 的最大值为___________. 【答案】64【解析】由题意，函数()()151,0222,2x x f x f x x ⎧--≤<⎪=⎨--≥⎪⎩，当1n =时，[0,2)x ∈，此时()151f x x =--，此时函数()f x 在[0,2)上的最大值为()1151115f =--=，所以115a =，当2n =时，[2,4)x ∈，此时()()22f x f x =--，此时2[0,2)x -∈，所以()()2215212133f x f x x x =--=----=--，此时函数()f x 在[2,4)[0,2)上的最大值为()3133313f =--=，所以213a =，当[22,2)x n n ∈-时，()15[(22)]2(1)15(22)12(1)f x f x n n x n n =-----=------，此时函数()f x 的最大值为()172f n n =-，所以172n a n =-，当18,n n N +≤≤∈时，0n a >，当9,n n N +≥∈时，0n a <，所以n S 的最大值为8818()8(151)6422a S a +⨯+===. 故答案为：64.9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且41412S S -=.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足111,21n n b b T +==+.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【答案】（1）21n a n =-，13n n b -=；（2）1133n n n T -+=-. 【解析】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，且11a =，又41412S S -=，则()12341412312a a a a a d +++-=++=，所以2d =，则1(1)221n a n n =+-⋅=-；由121n n b T +=+可得121(2)n n b T n -=+≥，两式相减得12n n n b b b +-=，13(2)n n b b n +=≥，又21213b T =+=，所以213b b =，故{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列，所以13n n b -=.（2）设1213n n n n a n c b --==，记{}n c 的前n 项和为n T .则0121135213333n n n T --=++++， 12311352133333n n n T -=++++，两式相减得：121222221133333n n n n T --=++++-，11112212233122133313n n n n n n T -⎛⎫⨯- ⎪-+⎝⎭=+⨯-=--，所以1133n n n T -+=-.10．已知数列{}n a 满足31212311212121212n n n a a a a ++++=-++++，n *∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且21122n S n n k =-+，令2n n n c b a kn =-+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）112n n a =--；（2）()11122n n n n T +=+- ．【解析】（1）当1n =时，11132a =-，132a ∴=-；当2n ≥时，由31212311212121212n n n a a a a ++++=-++++，①得31121231111212121212nn n a a a a ---++++=-++++，② ①-②得，111121222n n n n n a -=-=-+，112n n a ∴=--，132=-a 也符合，因此，数列{}n a 的通项公式为112n n a =--；（2）由题意，设等差数列{}n b 的公差为d ，则()221111122222n n n d d d S nb n b n n n k -⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭， 11221220d d b k ⎧=⎪⎪⎪∴-=-⎨⎪=⎪⎪⎩，解得，1010b d k =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()111n b b n d n ∴=+-=-；由（1）知，212n n n nc b a kn n =-+=+，故123231*********2n n nT c c c c n ⎛⎫=++++=+++++++++ ⎪⎝⎭()()111111*********n n n n n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+=+--． 11．已知数列{}n a 满足0n a ≠恒成立.（1）若221n n n a a ka ++=且0n a >，当{}lg n a 成等差数列时，求k 的值；（2）若2212n n n a a a ++=且0n a >，当11a =、4a =2a 以及n a 的通项公式；（3）若21312n n n n a a a a +++=-，11a =-，3[4,8]a ∈，20200a <，设n S 是{}n a 的前n 项之和，求2020S 的最大值.【答案】（1）1 ；（2）2a ，()21n n a -=；（3）505143-【解析】（1）若221n n n a a ka ++=且0n a >，所以221lg lg n n n a a ka ++=，即21lg lg 2lg lg n n n a a k a ++=++，当{}lg n a 成等差数列时，21lg lg 2lg n n n a a a ++=+，所以lg 0k =，解得：1k = ；（2）2212n n n a a a ++=，令1n =可得21322a a a =，即2322a a =，令2n =可得22432a a a =，即2232a =所以42224a =⨯，因为0n a >，所以32a =，解得2a =，由2212n n n a a a ++=可得2112n n n na aa a +++=，所以1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为21a a =2的等比数列，所以112n n na a -+=，所以0212a a =，1322a a =，2432a a =，212n nn a a --=，以上式子累乘得：()()()()()()21211112101222122n n n n n n n n n na a --------++++-=⨯=⨯=⨯=，所以()21n n a -=，（3）由21312n n n n a a a a +++=-可得132412n n n n a a a a ++++=-，所以22424111224n n n n n n a a a a a a +++++⎛⎫=-- ⎪=⎝⎭⨯，因为0n a ≠，所以414n n a a +=，即44n n a a +=，所以2505504202020162012444444k k a a a a a -=====，因为20200a <，所以504440a <，所以40a <，因为213412a a a a =-，所以341220a a a a =+即2432a a a =， ()()()202015920172610201837112019S a a a a a a a a a a a a =++++++++++++++()48122020a a a a +++++()()250425041214441444a a =+++++++++()250431444a +++++()250441444a +++++()()250412341444a a a a =+++++++，因为2432a a a =，3[4,8]a ∈，所以240a a >，因为40a <，所以20a <，所以()24a a +-≥=-24a a +≤-所以123431a a a a a +++≤-+-，令31y a =-+-2,t ⎡=⎣，21y t =--，对称轴为t =，是开口向上的抛物线，在2,t ⎡∈⎣单调递增，所以t =时取得最大值，故1234a a a a +++最大值为(211-=-，所以()()2504202012341444S a a a a =+++++++最大值为50550514141143---⨯=-.。

2019-2020年高三高考预测数学理试题含答案

2019-2020年高三高考预测数学理试题含答案一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）；本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 已知集合，集合，则____________2．若复数的实部与虚部相等，则实数___________3．计算：=__________54．在的展开式中，的系数为____________5. 双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是，则．26. 执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数值的个数为________________3解：本程序为分段函数，当时，由得，，所以。

当时，由，得。

所以满足条件的有3个，7.（理）在极坐标系中，为曲线上的动点，为曲线上的动点，则线段长度的最小值是．28.（文）如图，一个四棱锥的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是__________________12 8.（理）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于 ______9．（理）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和。

若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，则=________10.（理）已知，则____11．（理）已知函数，其中．若的值域是，则的取值范围是______．解：若，则，因为当或时，，所以要使的值域是，则有，，即的取值范围是。

12．已知首项为正数的等差数列中，．则当取最大值时，数列的公差．解：设数列的公差为，由得，则，因故，当且仅当，即“=”成立，这时取得最大值，由得，所以。

13. 已知，点在曲线上，若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，则称为曲线关于曲线的一个关联点．记曲线关于曲线的关联点的个数为n，则n=________________1 14．（理）已知向量序列：满足如下条件：，，且（）．则中第_____项最小． 5二、选择题（本大题共有4题，满分20分）；每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．关于、的二元一次方程组的系数行列式是该方程组有解的（ D ）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分且必要条件 D．既非充分也非必要条件16．某校150名教职工中，有老年人20个，中年人50个，青年人80个，从中抽取30个作为样本．①采用随机抽样法：抽签取出30个样本；②采用系统抽样法：将教工编号为00,01，…，149，然后平均分组抽取30个样本；③采用分层抽样法：从老年人，中年人，青年人中抽取30个样本．下列说法中正确的是( ) AA．无论采用哪种方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等B．①②两种抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等；③并非如此C．①③两种抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等；②并非如此D．采用不同的抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率是各不相同的[解析] 三个抽样方法, 每一个被抽到的概率都等于.17.（理）函数的定义域为，其图像上任一点P(x,y)满足，则下列命题正确的是（ D ）A、函数一定是偶函数B、函数一定是奇函数C、若函数是偶函数，则其值域为或D、若函数值域为，则一定是奇函数。

专题10 数列2019年新课标全国卷(123卷)理科数学备考宝典

2019年新课标全国卷（1、2、3卷）理科数学备考宝典10．数列一、2018年考试大纲二、新课标全国卷命题分析三、典型高考试题讲评2011—2018年新课标全国（1卷、2卷、3卷）理科数学分类汇编——10．数列一、考试大纲1．数列的概念和简单表示法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式). (2)了解数列是自变量为正整数的一类函数. 2．等差数列、等比数列(1)理解等差数列、等比数列的概念.(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式.(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. (4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 二、新课标全国卷命题分析数列属于高考必考考点，一般占10分或12分，即两道小题或一道大题，其中必有一道小题属于基础题，一道中档偏上题或压轴题，大题在17题出现，属于基础题型，高考所占分值较大，在高中教学中列为重点讲解内容，也是大部分学生的难点，主要是平时教学题型难度严重偏离高考考试难度，以及研究题型偏离命题方向，希望能引起注意；考试主线非常明晰：（1）等差数列通向公式n a 及其前n 项和n S ；（2）等比数列通向公式n a 及其前n 项和n S ；（3）错位相减法、裂项相消法等求数列的前n 项和等等．数列在大学中有着特殊位置，《微积分》中的无穷级数，《数论》中扩展的数列都有涉猎，数列还是比较重要的知识今年没有出等比数列的知识，是比较不足的地方，望考生从等比数列和等差数列两方面出题，2019年若是在出数列，有可能出现“错位相减法求和”，因为考查学生运用数学思想去解决问题，考查考生的内在数学涵养。

三、典型高考试题讲评题型1 等差数列与等比数列的基本量例1 (2018·新课标Ⅰ，理4)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4233S S S +=，21=a ，则=5a （）A ．12- B. 10- C. 10 D. 12解析：4233S S S += 且n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.()111333246a d a d a d ∴+=+++，即0231=-d a ，又21=a ，3-=∴d ， ()10342415-=-⨯+=+=∴d a a ，故选B【解题技巧】等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及到五个量，1a ，n a ，d 或q ，n ，n S ，知道其中三个就可以求另外两个，体现方程的思想，在求解此类问题时，使用1a ，d 或q 建立方程是基本方法。

高考数学命题预测之数列

2019年高考数学命题预测之数列从2019年高考题可见数列题命题有如下趋势：1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有。

2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点。

3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用。

4.解答题的难度有逐年增大的趋势，还有一些新颖题型，如与导数和极限相结合等。

复习中应注意：1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决。

如通项公式、前n项和公式等。

2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过设而不求，整体代入来简化运算。

3.分类讨论的思想在本章尤为突出。

学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q1两种情况等等。

4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外。

如an与Sn 的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等。

复习时，要及时总结归纳。

我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。

特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。

知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。