2012 广东各地高考二模 (理数)打包(二)

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2012广州二模理科数学答案

2012年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(理科)参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．60.9； 10. -160； 11. -1； 12. -2； ]1,22[13⋅)32,32(14π⋅ 2.15说明：第l4题的答案可以是))(232,32(Z k k ∈+ππ三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分l2分)(本小题主要考查三角函数的图象和性质、二倍角的正弦与余弦、同角三角函数关系、两角差的正弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1)解：∵函数)(x f 的图象的最高点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,125π .2=∴A ……………1分依题意，得函数)(x f 的周期πππ=⎪⎭⎫⎝⎛-=12512112T ……………2分 .22==∴Tπω ……………3分 (2)解：由(1)得⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin 2)(πx x f ……………4分,54sin ),20(=∈απα且，53sin 1cos 2=-=∴αα ……………5分,2524cos sin 22sin ==∴ααα ……………7分 257sin 212cos 2-=-=αα ……………9分 )32sin(2)(παα-=∴f ……………10分)3sin2cos 3cos2(sin 2παπα-= ……………11分⋅+=253724 ……………12 分 17．(本小题满分12分)(本小小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(I)解：从6条网线中随机任取三条网线共有2036=C 种情况． ……………1分,6321411=++=++⋅=+==∴411)6(61212C C C P ξ ……………2分 ,7322421=++=++411)7(361212=+==∴C C C P ξ ……………3分 ,8422431=++=++2031)8(3612=+==∴C C P ξ ……………4分 ,9432=++⋅===∴101)9(612C C P ξ …………5分)9()8()7()6()6(=+=+=+==≥∴ξξξξξP p P P P⋅=+++=431012034141答：线路信息畅通的概率为43……………6分 (2)解：ξ的取值为4，5，6，7，8，9． ……………7分,4211=++⋅===∴101)4(3612C C p ξ ……………8分,5221311=++=++⋅=+==∴2031)5(3612C C P ξ ……………9分 ∴ξ的的分布列为：………………………………………………………………………………………………10分1019203841741620351014⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE ……………11分 .5.6= ……………12分18．(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、空间角、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 解法l ：(1)作MO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，连接AO ，则∠MAO 是直线AM 与平面ABCD 所成的角． ……………l 分由于平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，故∠MAO 是直线AM 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角． ……………2分作MP ⊥AB ，垂足为P ，连接PO ，⊂AB 平面ABCD ，∴MO ⊥AB ．⊂=MO M MP MO , 平面⊂MP MOP ,平面MOP ，∴AB ⊥平面MOP ． ……………3分由题意知.4,2,11=====AA AD AP PO MO 在POM Rt ∆中，222=+=MO PO PM在APM Rt ∆中，322=+=PM AP AM在AOM Rt ∆中，3331sin ===∠AM MO MAO ∴直线AM 与平面1111D C B A 所成角的正弦值为33……………5分(2)延长PO 交CD 于点Q ，连接MQ ，由(1)知AB ⊥平面MOP ∴MQ ⊂平面MOP ， ∴AB ⊥MQ ． ∵MN ∥AB ，∴MN ⊥MP,MN ⊥MQ ． …………6分∴∠PMQ 是二面角A 一MN —C 的平面角． ……………7分在△PMQ 中，2.2===PQ MP MQ,4222PQ MQ MP ==+.90 =∠∴PMQ ……………8分∴二面角A 一MN 一C 的余弦值为0． ……………9分 (3)作NP 1∥MP 交AB 于点P 1，作NQ 1 ∥MQ 交CD 于点Q 1，由题意知多面体MN —ABCD 可分割为两个等体积的四棱锥M —APQD 和1PBCQ N - 和一个直三棱柱11Q NP MPQ -.四棱锥APQD M -的体积为321213131=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=MO AD AP V …………10分直三棱柱11Q NP MPQ -的体积为222221212=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=MN MQ MP V …11分 ∴多面体ABCD MN -的体积为3102322221=+⨯=+=V V V ……………12分长方体1111D C B A ABCD -的体积为3242413=⨯⨯=⋅⋅=AA BC AB V ………13分 ∴建筑物的体积为31063=+V V ……………14分解法2：(1)以点D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，D D 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系xyz D -,(如图)，作MO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，作OP ⊥AB ，垂足为P ，依题意知,1===AP OP MO ,4.21==AA AD 则,)1,1,1(),0,0,2(),0,0,0(M A D )4,0,2(),1,3,1(1-A N ……………1分⋅-=∴)1,1,1(AM ……………2分 ⊥1AA 平面1111D C B A∴平面1111D C B A 的一个法向量为)4,0,0(1-=AA ………3分设直线AM 与平面1111D C B A 所成角为θ，则33434sin =⨯==θ ……………4分 ∴直线AM 与平面1111D C B A 所成角的正弦值为33……5分 (2)由(1)知),1,1,1(),0,2,0(==DM MN 设平面ABNM 的法向量为),,,(1z y x n = 由,0,011=⋅=⋅AM n MN n 得⎩⎨⎧==++-.02,0y z y x令1=x ，则0,1==y z∴平面ABNM 的一个法向量为 )1,0,1(1=n ……………6分设平面CDMN 的法向量为),,(2z y x n = 由0,022=⋅=⋅MN n DM n ，得⎩⎨⎧==++.02,0y z y x令1=x ，则0,1=-=y z∴平面CDMN 的一个法向量为)1,0,1(2-=n ……………7分,0)1(101121=-⨯++⨯=⋅n n∴平面ABNM ⊥平面CDMN ． ……………8分 ∴二而角A 一MN 一C 的余弦值为0． ……………9分 (3)如图将多面体ABCD MN -补成一个直三棱柱,1BCQ ADQ - 依题意知,211====CQ BQ DQ AQ ,11==NQ MQ ,4,21==AA AD多面体ABCD MN -的体积等于直三棱柱1BCQ ADQ -的体积减去两个等体积的三棱锥ADQ M -和1BCQ N -的体积2224AD DQ AQ ==+.90 =∠∴AQD∴直三棱柱1BCQ ADQ -的体积为,442221211=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=AB DQ AQ V …………………………10分三棱锥ADQ M -的体积为⋅=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=31122213121312MQ DQ AQ V …………………………11分∴多面体ABCD MN -的体积为310324221=-=-=V V V …………12分长方体1111D C B A ABCD -的体积为.3242413=⨯⨯=⋅⋅=AA CD AB V ……13分 ∴建筑物的体积为31063=+V V ………………14分 19．(本小题满分14分)(本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解法1：由⎩⎨⎧=+=yx m x y 4,22消去,y 得.0482=--m x x ……………1分∵直线l 与抛物线2C 只有一个公共点，04482=⨯+=∆∴m ，解得4-=m …………3分∴直线l 的方程为42-=x y ……………4分解法2：设直线l 与抛物线2C 的公共点坐标为),,(00y x由241x y =，得x y 21=' ∴直线l 的斜率0210x y k x x ='== ……………1分依题意得2210=x ，解得.40=x ……………2分把40=x 代入抛物线2C 的方程，得.40=y ∵点),(00y x 在直线l 上，,424m +⨯=∴解得.4-=m ……………3分∴直线l 的方程为.42-=x y ……………4分(2)解法l ：∵抛物线2C 的焦点为),1,0(1F依题意知椭圆1C 的两个焦点的坐标为)1,0(),1,0(21-F F ……………5分设点)1,0(1F 关于直线l 的对称点为),(001y x F则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⨯=+-=⨯-42221,1210000x y x y ……………7分解得⎩⎨⎧-==.1,400y x∴点)1,4(1-F ……………8分∴直线l 与直线1:21-=y F F 的交点为)1,23(0-P ……………9分由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆.1C 的长轴长,4||||||||||2212121=≥+=+=F F PF PF PF PF a ……………11分其中当点P 与点0p 重合时，上面不等式取等号．211.2≤=∴≥∴a e a故当2=a 时，,21max =e ……………12分此时椭圆1C 的方程为13422=+x y ，点P 的坐标为)1,23(- ……………14分解法2：∵抛物线2C 的焦点为),1,0(1F依题意知椭圆1C 的两个焦点的坐标为)1,0(),1,0(21-F F ……………5分设椭圆1C 的方程为),1(112222>=-+a a x a y ……………6分由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=11422222a x a y x y 消去,y 得0)16)(1()1(16)45(22222=--+---a a x a x a (*) ……………7分由0)16)(1)(45(4)]1(16[22222≥-----=∆a a a a ……………8分得020524≥-a a ……………9分解得.42≥a.2≥∴a ……………10分 ⋅≤=∴211a e ……………11分当2=a 时，,21max=e 此时椭圆1C 的方程为.13422=+x y ……………12分把2=a 代入方程(*)，解得,23=x .1-=y ……………13分 ∴点P 的坐标为)1,23(- ……………14分 20．(本小题满分l4分)(本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)解：函数)(x f 的定义域为(0，+∞)． ……………1分xx ax ax x x f 111)(2---=+-=' ……………2分①当0=a 时，0)(,0,1)(>∴>+='x f x xx x f ∴函数)(x f 单调递增区间为(0，+∞)． ……………3分②当0=/a 时，令0)(='x f 得012=---x x ax .41.01.02a x ax x +=∆∴=--∴>(i)当0≤∆，即41-≤a 时，得012≤--x ax ，故0)(≥'x f ∴函数)(x f 的单调递增区间为(0,+∞) ……………4分 (ii)当0>∆，即41->a 时，方程012=--x ax 的两个实根分别为 ,24111a a x +-= aa x 24112++= ……………5分若041<<-a ，则0,021<<x x ，此时，当),0(+∞∈x 时，.0)(>'x f∴函数)(x f 的单调递增区间为(0，+∞)， ……………6分若0>a ，则0,021><x x此时，当),0(2x x ∈时，0)(>'x f ，当),(2+∞∈x x 时，,0)(<'x f ∴函数)(x f 的单调递增区间为,2411,0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++a a 单调递减区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞++,2411aa 分7综上所述，当0>a 时，函数)(x f 的单调递增区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++aa 2411,0，单调递减区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞++,2411aa 当0≤a 时，函数)(x f 的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间． …………8分 (2)解：由(1)得当0≤a 时，函数)(x f 在(0，+∞)上单调递增，故函数)(x f 无极值；…………9分当0>a 时，函数)(x f 的单调递增区间为,2411,0⎪⎪⎭⎫⎝⎛++a a 单谢递减区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+++，a a 2411 则)(x f 有极大值，其值为2222221ln )(x ax x x f +-=，其中a a x 24112++=…10分而01222=--x ax ，即1222+=x ax21ln )(222-+=∴x x x f ……………11分设函数)0(21ln )(>-+=x x x x h ，则0211)(>+='x x h ……………12分则21ln )(-+=x x x h 在(0，+∞)上为增函数．又0)1(=h ，则0)(>x h 等价于.1>x021ln )(222>-+=∴x x x f 等价于12>x ……………13分即在0>a 时，方程012=--x ax 的大根大于1，设,1)(2--=x ax x ϕ由于)(x ϕ的图象是开口向上的抛物线，且经过点(0，-l)，对称轴021>=ax ，则只需0)1(<ϕ，即011<--a ，解得2<a ，而.0>a 故实数a 的取值范围为(0，2)． ………………14分说明：若采用下面的方法求出实数a 的取值范围的同样给1分． 1．由于aa a a a a a a 412121412121241122++=++=++在(0，+∞)是减函数，而12411=++aa 时，,2=a 故12411>++a a 的解集为(0，2)，从而实数a 的取值范围为(0，2) 2．直接解不等式12411>++aa，而0>a 通过分类讨论得出实数a 的取值范围为(0，2)．21．(本小题满分l4分)(本小题主要考查函数、数列、不等式等知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识） (1)解：由于对任意)1,1(,-∈y x 都有)1()()(xyyx f y f x f --=- 令0==y x ，得),0()00100()0()0(f f f f =⨯--=-解得.0)0(=f ……………1分令,0=x 得)()010()()0(y f yyf y f f -=⨯--=-,0)0(=f )()(),()(0y f y f y f y f -=--=-∴即 ……………2分∴函数)(x f 是奇函数． ……………3分 (2)解：先用数学归纳法证明10<<n a ①当n=1时211=a ，得.101<<a 结论成立． ②假设n=k 时，结论成立，即10<<k a 当1+=k n 时,由于012,1021>+=<<+kkk k a a a a 又.12212212221==⨯<+=+⋅k kkk k k k a a a a a a a .101<<∴-k a即1+=k n 时，结论也成立．由①②知对任意.10,*<<∈n a N n ……………………4分求数列)}({n a f 的通项公式提供下面两种方法．法l ：)()())(1)(()12()(21n n n n n n n n n a f a f a a a a f a a f a f --=-⋅---=+=+……………5分 ∵函数()x f 是奇函数),()(n n a f a f -=-∴)(2)(1n n a f a f =∴+ ……………6分∴数列)}({n a f 是首项为1)21()(1==f a f ，公比为2的等比数列．∴数列)}({n a f 的通项公式为12)(-=n n a f ……………7分法2：)1()()(111nn nn n n a a a a f a f a f +++--=- ……………5分),(1121122322n nn n n n n n n a f a a a f a a a a a f =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+= ⋅=∴+)(2)(1n n a f a f ……………6分∴数列)}({n a f 是首项为1)21()(1==f a f ，公比为2的等比数列．∴数列)}({n a f 的通项公式为12)(-=n n a f ……………7分(3)证法l ：由(2)知,10<<n a01)1(122221>+-=-+=-+nn n n n n n n a a a a a a a a n n a a >∴+1 ……………8分)2,(12121*1≥∈<<⋅=∴n N n a a n 且 ),,(210*m n N m n a a m n >∈<-<∴且 ……………9分当2≥k 且*N k ∈时，ka a a a A a kk k k +++-=- 21ka a a a a a k k k k )()()(121--++-+-=……………10分k k 21-< …………11分k 2121-= 21<. 210<-<∴k k A a . …………12分 011=-A a ，∴当2≥n 时，21011-<-<∑∑==n A a i ni n i i . ………13分 ∴当2≥n 时，21||11-<-∑∑==n A a ni i ni i . ………14分证法2：由(2)知10<<n a ，n n n n n a a a a a -+=-+2112 01)1(22>+-=nn n a a a ， n n a a >∴+1. ……8分121,211<<=∴n a a (n ∈N *，且2≥n ) *),(21||N m n a a m n ∈<-∴. ……9分下面用数学归纳法证明不等式21||11-<-∑∑==n A a ni i n i i 成立． ①当n=2时，左边=++-+=|)2(|21121a a a a a =<⨯<-212121||2112a a 右边． ∴n=2时，不等式成立. ………10分 ②假设*),2(N k k k n ∈≥=时，不等式成立，即21||11-<-∑∑==k A a ki i k i i ，则n=k+1时，左边||1111i k i k i i A a ∑∑+=+=-=--+=∑∑=+=ki i k k i i A a a 111|1121+++++k a a a k ……………11分+-=∑∑==ki i ki i A a 11)(||1)()1(211++++-++k a a a a k k k )(|11||1111a a k A a k ki i ki i -++-≤+==∑∑|)()(121k k k a a a a -++-+++ ……12分|(|112111a a k k k -++-<+|)|||121k k k a a a a -++-+++ )212121(1121+++++-< k k21121k k k ⨯++-=)1(212121+-+-=k k 2121+-<k 右边． ……………13分时，不等式也成立．由①②知，当时，成立． ………………14分证法3：由(2)知，故对，有. ……………8分由于对任意x>0，y>0，有，其中表示x 与y 的较大值．于是对，有……9分…………10分. ……………11分故 ……12分……………13分. ……………14分。

2012年广东省佛山二模试题(理数,相当的有指导意义,大家都知道的)

2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）数学 (理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{}1,2A =,{}2,3B =,则()U A B = ð（）A ．{}4,5B ．{}2,3C ．{}1D ．{}1 2．设向量a 、b 满足:1=a ,2=b ,()0⋅-=a a b ,则a 与b 的夹角是（）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 3．若0,0x y ≥≥,且21x y +=,则223x y +的最小值是（）A ．2B ．34 C ．23D ．0 4．已知,a b 为实数,则“||||1a b +<”是“1||2a <且1||2b <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．函数xy =,()(),00,x ππ∈- 的图像可能是下列图像中的（） A ． B ． C ． D ．6．已知直线m 、l 与平面α、β、γ满足l βγ= ,//l α,m α⊂,m γ⊥,则下列命题一定正确的是（）A ．αγ⊥且 l m ⊥B ．αγ⊥且//m βC ．//m β且l m ⊥D ．//αβ且αγ⊥ 7．如图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,0ωϕπ>≤≤)的部分图像,其中,A B 两点之间的距离为5,那么()1f -=（） A ．2 B C ． D ．2- 8．已知函数()M f x 的定义域为实数集R ,满足()1,0,M x Mf x x M∈⎧=⎨∉⎩(M 是R 的非空真子集),在R 上有两个非空真子集,A B ,且A B =∅ ,则()()()()11A B A B f x F x f x f x +=++ 的值域为（）2⎛⎤{}12⎧⎫1⎡⎤2012年4月18日FAEDBC二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9. 设i 为虚数单位,则()51i +的虚部为．10. 设,x y 满足约束条件0201x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩,则2z x y =+的最大值是．11. 抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数的样本空间为{}1,2,3,4,5,6S =,令事件{}2,3,5A =,事件{}1,2,4,5,6B =,则()|P A B 的值为．12. 直线2y x =和圆221x y +=交于,A B 两点,以Ox 为始边,OA ,OB 为终边的角分别为,αβ,则()sin αβ+的值为．13. 已知等比数列{}n a 的首项为2,公比为2,则1123n na a a a a a a a a a +=⋅⋅⋅⋅ ．（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,射线()03πθρ=≥与曲线1C :4sin ρθ=的异于极点的交点为A ,与曲线2C :8sin ρθ=的异于极点的交点为B ,则||AB =________. 15.(几何证明选做题)如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ,E 是AB 延长线上一点,且DF CF ==:::4:2:1AF FB BE ,若CE与圆相切,则线段CE 的长为．三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分12分）在四边形ABCD 中,2AB =,4BC CD ==,6AD =,A C π∠+∠=.（Ⅰ）求AC 的长；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.PCEFBA空气质量指数PM2.5(单位:3/g m μ)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:形图:（Ⅰ）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（Ⅱ）在上述30个监测数据中任取2个,设X 为空气质量类别为优的天数,求X 的分布列.18．（本题满分14分）如图所示四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,四边形ABCD 中,AB AD ⊥,//BC AD ,2PA AB BC ===,4AD =,E 为PD 的中点,F 为PC 中点.（Ⅰ）求证:CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求证://BF 平面ACE ；（Ⅲ）求直线PD 与平面PAC 所成的角的正弦值；19．（本题满分14分）已知椭圆E :()222210x y a b a b +=>>的一个交点为()1F ,而且过点12H ⎫⎪⎭.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设椭圆E 的上下顶点分别为12,A A ,P 是椭圆上异于 12,A A 的任一点,直线12,PA PA 分别交x 轴于点,N M ,若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切,切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.ABCD记函数()()()*112,nn f x x n n =+-≥∈N的导函数为()nf x ',函数()()ng x f x nx =-.（Ⅰ）讨论函数()g x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若实数0x 和正数k 满足：()()()()0101n nn n f x f k f x f k ++'='，求证：00x k <<.21．（本题满分14分）设曲线C ：221x y -=上的点P 到点()0,n n A a 的距离的最小值为n d ,若00a =,1n n a -,*n ∈N（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证:321212435214622n n n n a a a a a aa a a a a a -+++++<+++ ；（Ⅲ）是否存在常数M ,使得对*n ∀∈N ,都有不等式:33312111nM a a a +++< 成立?请说明理由.2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）参考答案数学 (理科)二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分9．4-； 10．5； 11．25； 12．45-； 13.4；三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤16．【解析】（Ⅰ）如图,连结AC ,依题意可知,B D π+=, 在ABC ∆中,由余弦定理得22224224cos AC B =+-⨯⨯ 2016cos B =-在ACD ∆中,由余弦定理得22264264cos AC D =+-⨯⨯ 5248cos 5248cos D B =-=+由2016cos 5248cos B B -=+,解得1cos B =-2012年4月18日PC DEF B A OGP CD E F B AO G H 从而22016cos 28AC B =-=,即AC =6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sin sinB D ==,所以11sinsin 22ABCD ABC ACD S S S AB BC B AD CD D ∆∆=+=⋅+⋅==………12分 17．【解析】（Ⅰ）由条形统计图可知,空气质量类别为良的天数为16天, 所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为 1683015=.…………………4分（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0,1,2,则()2222302310435C P X C ===,()118222301761435C C P X C ===,()28230282435C P X C === 所以X 的分布列为:18．所以PA CD ⊥,又因为直角梯形面ABCD 中,AC CD == 所以222AC CD AD +=,即AC CD ⊥,又PA AC A = ,所以CD ⊥平面PAC ；………4分（Ⅱ）解法一:如图,连接BD ,交AC 于O ,取PE 中点G , 连接,,BG FG EO ,则在PCE ∆中,//FG CE ,又EC ⊂平面ACE ,FG ⊄平面ACE ,所以//FG 平面ACE , 因为//BC AD ,所以BO GE OD ED =,则//OE BG , 又OE ⊂平面ACE ,BG ⊄平面ACE ,所以//BG 平面ACE ,又BG FG G = ,所以平面//BFG 平面ACE , 因为BF ⊂平面BFG ,所以//BF 平面ACE .………10分解法二:如图,连接BD ,交AC 于O ,取PE 中点G , 连接FD 交CE 于H ,连接OH ,则//FG CE ,在DFG ∆中,//HE FG ,则12GE FH ED HD ==, 在底面ABCD 中,//BC AD ,所以12BO BC OD AD ==,所以12FH BOHD OD ==,故//BF OH ,又OH ⊂平面ACE ,BF ⊄平面ACE , 所以//BF 平面ACE .………10分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知,CD ⊥平面PAC ,所以DPC ∠为直线PD 与平面PAC 所成的角,在Rt PCD ∆中,CD PD ===所以sin CD DPC PD ∠===, 所以直线PD 与平面PAC ………14分 ……12分19．【解析】（Ⅰ）解法一:由题意得223a b -=,223114a b+=,解得224,1a b ==, 所以椭圆E 的方程为2214x y +=.………………………………………………4分解法二:椭圆的两个交点分别为())12,F F ,由椭圆的定义可得12712||||422a PF PF =+=+=,所以2a =,21b =, 所以椭圆E 的方程为2214x y +=.………………………………………………4分（Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）可知()()120,1,0,1A A -,设()00,P x y , 直线1PA :0011y y x x --=,令0y =,得001N x x y -=-; 直线2PA :0011y y x x ++=,令0y =,得001M x x y =+; 设圆G 的圆心为00001,211x x h y y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭, 则2r =22220000000000112111411x x x x x h h y y y y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=++⎢⎥ ⎪ ⎪+-++-⎝⎭⎝⎭⎣⎦,22200001411x x OG h y y ⎛⎫=-+ ⎪+-⎝⎭ 2222222200000200000114114111x x x x x OT OG r h h y y y y y ⎛⎫⎛⎫=-=++---=⎪ ⎪+-+--⎝⎭⎝⎭ 而220014x y +=,所以()220041x y =-,所以()202204141y OT y -==-, 所以||2OT =,即线段OT 的长度为定值2.…………………………………………14分解法二:由（Ⅰ）可知()()120,1,0,1A A -,设()00,P x y , 直线1PA :0011y y x x --=,令0y =,得001N x x y -=-; 直线2PA :0011y y x x ++=,令0y =,得001M xx y =+; 则20002000||||111x x x OM ON y y y -⋅=⋅=-+-,而220014x y +=,所以()220041x y =-, 所以2020||||41x OM ON y ⋅==-,由切割线定理得2||||4OT OM ON =⋅= 所以||2OT =,即线段OT 的长度为定值2.…………………………………………14分 20．【解析】（Ⅰ）由已知得()()11ng x x nx =+--,所以()()111n g x n x -⎡⎤'=+-⎣⎦.………………2分① 当2n ≥且n 为偶数时,1n -是奇数,由()0g x '>得0x >;由()0g x '<得0x <.所以()g x 的递减区间为(),0-∞,递增区间为()0,+∞,极小值为()00g =.……………5分 ② 当2n ≥且n 为奇数时,1n -是偶数,所以()g x 的递减区间为()2,0-,递增区间为(),2-∞-和()0,+∞,此时()g x 的极大值为()222g n -=-,极小值为()00g =.……………8分（Ⅱ）由()()()()0101n nn n f x f k f x f k ++'='得()()()()()10101111111n nn n n x k n x k -+++-=+++-,所以()()()10111111n n n k x n k +⎡⎤+-⎣⎦+=⎡⎤++-⎣⎦,()()()()0111111nnnk k x n k -++=⎡⎤++-⎣⎦……………10分显然分母()()1110n n k ⎡⎤++->⎣⎦,设分子为()()()()1110nh k nk k k =-++>则()()()()()()11111110n n n h k n k n k nk n n k k --'=+++-=++>所以()h k 是()0,+∞上的增函数,所以()()00h k h >=,故00x >……………12分又()()()()10111111n nk n k x k n k +++-+-=⎡⎤++-⎣⎦,由（Ⅰ）知,()()11ng x x nx =+-- 是()0,+∞上的增函数,故当0x >时,()()00g x g >=,即()11nx nx +>+,所以()()1111n k n k +++>+所以00x k -<,从而0x k <. 综上,可知00x k <<.……………14分 21．【解析】（Ⅰ）设点(),P x y ,则221x y -=,所以||n PA == 因为y R ∈,所以当2n a y =时,||n PA 取得最小值n d,且n d =又1n n a -,所以1n n a +,即1n n d +=将1n n d +=代入n d=1n +=两边平方得2212n n a a +-=,又00a =,212a =故数列{}2n a 是首项212a =,公差为2的等差数列,所以22na n =, 因为1n n a -0>,所以n a ………………………………………6分（Ⅱ）因为()()()222122120n n n n +--+=-<,所以()()()2221221n n n n +-<+所以2221212n n n n a a a a +-+<所以2122122n n n n a a a a -++<,所以321212434562122,,,n n n n a a a a a aa a a a a a -++<<<以上n 个不等式相加得321212435214622n n n n a a a a a aa a a a a a -+++++<+++ .…………………10分（Ⅲ）因为31k a =当2k ≥时<===<=<=<2211n nk k==<=<∑所以3111142n ni kia===<=+∑.故存在常数14M=+对*n∀∈N,都有不等式:33312111nMa a a+++<成立. …………14分。

2012年广东高考理科数学试题及答案(详解) 2

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）题目及答案参考公式：主体的体积公式V=Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高。

锥体的体积公式为，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 . 设i 为虚数单位，则复数56i i-=A 6+5iB 6-5iC -6+5iD -6-5i 2 . 设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则CuM= A .U B {1,3,5} C {3,5,6} D {2,4,6} 3 若向量B A =（2,3），C A =（4,7），则B C =A （-2,-4）B (3,4)C (6,10D (-6,-10)4.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A.y=ln （x+2）（12）x D.y=x+1x5.已知变量x ，y 满足约束条件，则z=3x+y 的最大值为A.12B.11C.3D.-1 6,某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ．12π B.45π C.57π D.81π7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是A. 49 B. 13C. 29D. 198.对任意两个非零的平面向量α和β，定义。

若平面向量a，b满足|a|≥|b|＞0，a 与b的夹角，且a b和b a都在集合中，则A．12 B.1 C. 32D. 5216.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

(一）必做题（9-13题）9.不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____。

10. 的展开式中x³的系数为______。

（用数字作答）11.已知递增的等差数列{an }满足a1=1，a3=22a-4，则a n=____。

12.曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为。

13.执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为。

茂名市2012年二模理科数学

试卷类型：A广东省茂名市2012年第二次高考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.5、参考公式：h S V ·31锥体底=2S 4R π=球面积 343=R V π球体 2222(21)(1)1236n n n n +++++⋅⋅⋅+=第一部分选择题（共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合A {}A=|1x x x R ≤∈，，}|{x y x B ==，则A B =（）A ． {}|01x x ≤≤ B. {}|0x x ≥C. {}|11x x -≤≤D. ∅2．双曲线14922=-x y 的焦距为（）A ．13B ．26C ．132D ．52 3．下列函数，其中既是偶函数又在区间0,1（）上单调递减的函数为( )A ．xy 1=B ．x y lg =C ．x y cos =D ．2x y = 4．“0>>b a ”是“22b a >”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如右图所示的程序框图，若输出的S 是30，则①可以为 ( )A ．?2≤nB ．?3≤nC ．?4≤nD ．?5≤n6. 已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,x ，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球面的表面积为125π 则该球的半径为( )A ．252B ．１０ C． D7．已知函数()f x 满足：)()()(n f m f n m f =+，)1(f ＝3，则)1()2()1(2f f f +＋)3()4()2(2f f f +＋)5()6()3(2f f f +＋)7()8()4(2f f f + 的值等于( )A ．36B ．24C ．18D ．128．在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集},),,(|{R y R x y x D ∈∈==上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“ ”．定义如下：对于任意两个向量),,(),,(222111y x a y x a ==，21a a 当且仅当“21x x >”或“2121y y x x >=且”．按上述定义的关系“ ”，给出如下四个命题： ①若)1,0(),0,1(21==e e ,)0,0(=则21 e e ； ②若3221,a a a a ,则31a a ；③若21a a ,则对于任意D a ∈,a a a a ++21 ；④对于任意向量0 a ，)0,0(=,若21a a ，则21a a ⋅>⋅. 其中真命题的序号为（）A ．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④第二部分非选择题（共110分）二、填空题：（本大题共7小题，第14、15小题任选一题作答，多选的按第14小题给分，共30分） 9．复数ii+-11的模为____________ 10．如图是某赛季CBA比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是11．已知20πα<<,=+)6cos(πα53,则=αcos . 12．已知点),(b a A 在直线012=-+y x 上，则ba 42+13．在数列{}n a 中, 2)1(+=n n a n .则（1）数列{}n a 的前n 项和=n S ；（3分）（2）数列{}n S 的前n 项和=n T .（2分）温馨提示：答此题前，请仔细阅读卷首所给的参考公式。

2012高考全国2卷数学理科试题及答案详解

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理科数学(全国二卷）一、选择题1、复数131i i-++= A 2+i B 2-i C 1+2i D 1- 2i2、已知集合A ＝{1.3. }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m=A 0B 0或3C 1D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24y =14 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2BCD 1（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列1n a 1+n a 的前100项和为 (A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a CB =→,b CA =→,a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则=→AD(A)b a 31-31（B ）b a 32-32 (C)b a 53-53 (D)b a 54-54（7）已知α为第二象限角，sin α＋sin β=3，则cos2α=(A) （B ） (C) （8）已知F 1、F 2为双曲线C ：2-x 22=y 的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45（9）已知x=ln π，y=log 52，12z=e ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x(10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73。

2012年佛山二模理科数学试题以及解答(Word超精美版)

D． 0
4．已知 a, b 为实数,则“| a | | b |1”是“| a | 1 且| b | 1 ”的（）
2
2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．函数 y x , x ,0 0, 的图像可能是下列图像中的（）
sin x
y
y
y
y
1。
O
x
1。
party, the party must follow t he Ge neral rule s. I n all the a ctivities of the party organizati on at all level s, will conti nue t o guide the br oad mas ses of party member s and cadre s, es peci ally leadi ng cadre s, cons cie ntiously study the party Constitution, a bide by the party Constitution, the im plementation of the party Constitution and maintaini ng party Constit ution, shoul d strengt hen party spirit, e nhance the consci ousnes s, purpose aware nes s, power aware ness, situati on aware ness , se nse of res ponsi bility, e arnestly s haring sorrow for the part y,

2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷二)数学(理科)

3
…………8 分
(3) 由已知对任意实数时 ∈[0,1] 时 n 2－2n + 2≥(1－) (2n－1) 恒成立
对任意实数 ∈[0,1] 时，(2n－1) + n 2－4n + 3≥0 恒成立…………10 分
则令 f () = (2n－1) + n 2－4n + 3，则 f () 是关于的一次函数.
D． b c a
（1）在同一直角坐标系中，函数 y f (1 x) 与 y f (x 1) 的图象关于直线 x 0 对称；
（2）若 f (1 x) f (x 1) ，则函数 y f (x) 的图象关于直线 x 1 对称；
（3）若 f (1 x) f (x 1) ，则函数 y f (x) 是周期函数；
（4）若 f (1 x) f (x 1) ，则函数 y f (x) 的图象关于点（0,0）对称。
其中正确的命题有
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分．
（一）必做题（9~12 题） 9．下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已
= tan
3
=
3 t1 =
3 3
13 ∴ P1( , ) …………2 分
33
2
a1 = | Q1Q0 | = | OP1 | =
…………3 分
3
(2) 设 Pn(tn2,tn)，得直线 PnQn－1 的方程为：y－tn =
可得 Qn－1(tn2－ tn ,0) 3
3 (x－tn2)
直线 PnQn 的方程为：y－tn = － 3 (x－tn2)，可得 Qn(tn2 + tn ,0) 3

广东省2012届高三数学(理科)全真模拟卷2

广东省2012届高三全真模拟卷数学理科2一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2.已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多 3. 若复数z 满足方程220z +=，则3z =A.±-- D. ± 4. 设0a >，对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值5. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为（A 15356. 在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A ．10- B ．10 C ．5- D ．57.如图所示，f i （x ）（i =1，2，3，4）是定义在［0，1］上的四个函数，其中满足性质：“对［0，1］中任意的x 1和x 2，任意λ∈［0，1］，f ［λx 1+（1－λ）x 2］≤λf （x 1）+（1－λ）f （x 2）恒成立”的只有（）A.f 1（x ），f 3（x ）B.f 2（x ）C.f 2（x ），f 3（x ）D.f 4（x ）8. 若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为（A ）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（９～１２题）9.在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 10．若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b+的值等于__________. 11. 在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数列的通项a n =_________. 12. 执行下边的程序框图，输出的T= .（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）13. （不等式选讲选做题）函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++=上,其中0mn >,则12m n+的最小值为_______.14. （坐标系与参数方程选做题）设M 、N 分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()4in πρθ+=上的动点，则M 、N 的最小距离是 15. (几何证明选讲选做题）如图，在正三角形ABC 中，E 、F 依次是AB 、AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，F Ｇ⊥BC ，D 、H 、G 为垂足，若将正三角形ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥的体积为V ，则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤， 16. （本小题满分12分）设函数()f x a b =，其中向量(2cos ,1),(cos ,3sin 2),a x b x x x R ==∈（1）若函数()1,,;33f x x x ππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦且求（2）若函数2sin 2y x =的图象按向量(,)()3c m n m π=<平移后得到函数()y f x =的图象，求实数m,n 的值。

2012年广东高考理科数学试题及答案(详解) 2

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）题目及答案参考公式：主体的体积公式V=Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高。

锥体的体积公式为，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 . 设i为虚数单位，则复数56ii-=A 6+5iB 6-5iC -6+5iD -6-5i2 . 设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则CuM=A .UB {1,3,5}C {3,5,6}D {2,4,6}3 若向量BA=（2,3），CA=（4,7），则BC=A （-2,-4）B (3,4)C (6,10D (-6,-10)4.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A.y=ln（x+2）（12）x D.y=x+1x5.已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为A.12B.11C.3D.-16,某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A．12π B.45π C.57π D.81π7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是A. 49B.13C.29D.198.对任意两个非零的平面向量α和β，定义。

若平面向量a，b满足|a|≥|b|＞0，a 与b的夹角，且a b和b a都在集合中，则A．12B.1C.32D.5216.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

(一）必做题（9-13题）9.不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____。

10. 的展开式中x³的系数为______。

（用数字作答）11.已知递增的等差数列{an }满足a1=1，a3=22a-4，则a n=____。

12.曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为。

13.执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为。

（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）14，（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和，则曲线C1与C2的交点坐标为_______。

广东省汕头市2012年二模理科数学及详细答案

2012汕头二模理科数学参考答案一、选择题：二、填空题：9、 1 ， 10、 3 ， 11、222222(67)0(87)255s -+++-+==， 12、)2,1()1,0( ，13、 5 ， 14、2 15、2=b ，三、解答题：16、解：（1）212cos22)46sin()(2-+-=xxx f πππ )112cos2(24sin6cos4cos6sin2-+-=xxxπππππ----------（1分）6cos26cos226sin22xxxπππ+-=---------------------（3分）6cos226sin22xxππ+=--------------------------------（4分）)46sin(ππ+=x------------------------------------------（5分）12622===∴ππωπT ----------------------------------------（6分）(2)方法一：由题意知道：]4)2(6sin[)2()(ππ+-=-=x x f x g ------------------------------------------------（8分）)1276sin()1276sin(ππππ--=+-=xx----------------------------（9分）31276127],211,0[ππππ≤-≤-∴∈x x --------------------------------------------------（10分） ,23)(min -=∴x g 此时,31276πππ=-x即211=x -------------------------------（12分）方法二：可以根据]211,0[∈x 关于1=x 的对称区间]2,27[-∈x 上函数)(x f 的最值。

17、证明：（1）⊥1AA 平面1111D C B A ，⊆11D B 平面1111D C B A --------------（1分）∴⊥1AA 11D B ，又 1111C A D B ⊥----------------------------------（2分） 1111C AA D B 平面⊥∴--------------------------------------------------（3分）又⊆11D B 平面11D AB1111C AA D AB 平面平面⊥∴---------------------------------------------（5分）（2）方法一：建立如图所示的空间直角坐标系，设h AA =1，那么 )0,0,0(1A ；),0,0(h A ；)0,0,1(1B ；)0,1,0(1D ；)0,1,1(1C ------（6分）),0,1(1h AB -=∴；),1,0(1h AD -=∴；)0,1,0(11=C B ；)0,0,1(11=C D -------（7分）假设平面11C AB 与平面11C AD 的法向量分别为),,(1111z y x n =；),,(2222z y x n =，那么 ,01111=-=∙hz x AB n ；0111111==-=∙y hz x C B n 令h x z ==11,1则∴)01,(),,(1111h z y x n ==-----------------------------------------------------------------（8分）同理可以求得： )1,,0(),,(2222h z y x n ==--------------------------------------（9分） |,cos |||||||212121><⨯=∙∴n n n n n n2111122⨯+⨯+=∴h h ，1,212==+∴h h -------------------------------（11分）此时，正四棱柱1111D C B A ABCD -是棱长为1的正方体，且四棱锥1111D C B A A -的体积311131=⨯⨯=V ------------------------------（12分）方法二：过点1B 作11AC H B ⊥于H ，连接H D 1, 容易证得11AC H D ⊥，B 1=H D 1--------------------------------------（7分）所以011120=∠HD B ，且在11HD B ∆中，由余弦定理可得：2120cos 20112121211=⨯⨯-+=H D H B HD HB D B所以H B 1=H D 1=36，又可证得：------------（9分）111C B AB ⊥,所以在11C AB RT ∆,由等面积法：_D _B _ D _ D _1第17题图111C B AB ⨯=11AC H B ⨯,即2361122+⨯=⨯+h h ------------（9分）所以1=h ，---------------------------------------------（11分）此时，正四棱柱1111D C B A ABCD -是棱长为1的正方体，且四棱锥1111D C B A A -的体积311131=⨯⨯=V -------------------------------------------（12分）18、解法一：(1)设既会唱歌又会跳舞的有x 人，那么由题意可知：只会唱歌的有（2-x ）人，只会跳舞的有（5-x ）人，文娱队中共有（7-x ）人，那么只会一项的人数是（7-2 x ）人．--------------------------（3分）显然x 可以取得的值只有0，1，2① 当x=0时，0>ξ为不可能事件，显然不符合题意-------------------------------（4分）② 当x=1时，10==ξξ与是对立事件，且10731)1(P )0(P 261411≠=+===>CC C ξξ所以x=1时不符合题意---------------------------------------------------------------（6分） ③当x=2时，1071)0(P 1)1(P )0(P 2513=-==-=≥=>CC ξξξ符合题意。

广州高考二模理数试题

试卷类型：B2012年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科） 2012.4参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知i 为虚数单位，复数i a z +=1，i z -=22，且21z z =，则实数a 的值为A ．2B ．-2C ．2或-2D ．2±或0 2．设集合{}62),(=+=y x y x A ，{}423),(=+=y x y x B ，满足)(B A C ⋂∈的集合C 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 3. 已知双曲线122=+my x 的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是A ．4B ．41C ．41- D ．-4 4. 已知等差数列{}n a 的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为A ．10B ．20C ．30D ．405. 已知两条不同直线l m ,，两个不同平面βα,，在下列条件中，可得出βα⊥的是A ．,l m ⊥l ∥α，l ∥βB ．αβα∈=⋂⊥m l l m ,,C ．m ∥l ，βα⊥⊥l m ,D ．m ∥l ，αβ⊂⊥m l , 6. 下列说法正确的是A ．函数xx f 1)(=在其定义域上是减函数 B. 两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C. 命题“01,2>++∈∃x x R x ”的否定是“01,2<++∈∀x x R x ”D. 给点命题q p ,，若q p ∧是真命题，则p ⌝是假命题7. 阅读图1的程序框图，该程序运行后输出的k 的值为A. 5B. 6C. 7D. 88. 已知实数b a ,满足03422=+-+a b a ，函数1cos sin )(++=x b x a x f 的最大值记为),(b a ϕ，则),(b a ϕ的最小值为A. 1 B . 2 C.13+ D. 3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

广东省2012年高考理综广州二模

试卷类型：B 广东省广州市2012届高三毕业班4月综合测试（二）理科综合本试卷卷共11页，36小题，满分300分。

考试用时150分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掸原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题包括16小题，每小题4分，共64分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分。

1、下列关于生物体内化合物的说法，正确的是A．N是组成细胞内各种有机物的必需元素B．糖类都是细胞内的能源物质C．所有细胞中都含有蛋白质和磷脂D．人的肝细胞和神经细胞中的mRNA反转录形成的cDNA没有差别2、下列关于生命活动的说法，合理的是A．离开细胞的病毒依然能增殖B．植物激素控制植物的所有生命活动C．骨骼肌细胞核S型肺炎双球菌都能合成多糖D．细胞长大过程中核糖体的数量增加，物质交换效率增强3、叶绿体和线粒体的相同点是①可利用光学显微镜观察②水作为生理功能的一种原料③通过囊状结构增大膜面积④可通过转录和翻译控制某些蛋白质的合成⑤产生的ATP可用于各种生命活动A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②③④⑤4、某生物的基因型是AaBb，右图是其体内一个正在进行减数分裂的细胞示意图。

下列说法正确的是A．该细胞含有一个染色体组B．该细胞肯定发生过交叉互换和染色体变异C．A与a的分离发生在减数第一次分裂D．减数第二次分裂出现差错可能产生基因型为Aabb的细胞5、下列有关物质的提取和分离的说法，错误的是A．提取洋葱DNA时，需用洗涤剂瓦解细胞膜B．直接用差速离心法可分离动物细胞内的各种物质C．可用电泳法将蛋白质、DNA、RNA等食物大分子分离D．提取和分离叶绿体色素所用的试剂有无水乙醇、SiO2、CaCO3、层析液6、下列叙述不合理的的是A．萌发的种子可作为诱变育种的材料 B．植物分生区细胞可用于培育脱毒苗C．带芽的枝条可提高扦插的成活率 D．乳腺细胞可作为转基因动物的受体细胞7. 下列说法正确的是A. 乙烯和苯都能与溴水发生反应B. 溴乙烷和乙醇都能发生消去反应C. 淀粉和蛋白质均可作为生产葡萄糖的原料D. 乙酸乙酯和纤维索乙酸酯均可水解生成乙醇8. 设n A为阿伏加德罗常数的数值，下列说法正确的是（相对原子质量：H 1 C 12)A. 常温下，3Og C2H6中含有4n A个C-H键B. 1mol Cl2与足量NaOH溶液反应，转移2n A个电子C. 溶液中含有0.2n A个Na +D. 标准状况下，22.4LCO和CO2的混合气体中含有n A个碳原子9. 下列离子方程式正确的是A. 向烧碱溶液中加入铝片：B. 向小苏打溶液中加入醋酸：‘.C. 向HI溶液中加入Fe(OH)3固体：D. 向MgSO4溶液中加入Ba(OH)2溶液：.10. 下列实验能达到预期目的的是A. 用Ba(NO3)2溶液鉴别 Na2SO3和 Na2SO4B. 除去苯中少量苯酚，向混合物中加人足量的NaOH溶液后过滤C. 将碘水和CCl4倒入分液漏斗，振荡后静置，可将碘萃取到CCl4中D. 取0.1mol FeCl3溶于蒸馏水，用1OOmL容量瓶定容后得到溶液11 对于溶液.下列说法正确的jA. 溶液中存在电离平銜：B. 向溶液中滴加少量浓硫酸.均增大C. 如水稀释.溶液中所有离子的浓度均减小D. 溶液中：12. 短周期元素甲、乙、丙、丁的原子序敉依次增大。

广东省惠州市2012届理科数学二模

省市2012届高三模拟考试数学 (理科）与答案本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

须知：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．集合{4,5,3}M m =-，{9,3}N =-，若MN ≠∅，则实数m 的值为（）A ．3或1-B ．3C ．3或3-D ．1- 2．设,a b 为实数，若复数121ii a bi+=++，则（） A ．1,3a b ==B ．3,1a b ==C ．13,22a b ==D ．31,22a b ==3．“0a >”是“20a a +≥”的（）条件 A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．非充分非必要4．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是37a a 与的等比中项，832S =，则10S 等于（）A ．18B ．24C ．60D ．905．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为（）A ．10B ．20C ．30D ．406．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图象解析式为（）A ．y =sin 2xB ．y =cos 2xC ．y =2sin(2)3x π+D ．y =sin(2)6x π- y1 6π1112πxO7．已知双曲线1222=-y x 的焦点为21,F F ，点M 在双曲线上，且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离为（） A ．3B ．332C ．34D ．358．定义函数D x x f y ∈=),(，若存在常数C ，对任意的D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使得C x f x f =+2)()(21，则称函数)(x f 在D 上的均值为C ．已知]100,10[,lg )(∈=x x x f ，则函数]100,10[lg )(∈=x x x f 在上的均值为（）A ．107B ．43 C ．23D ．10 二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是人．10．右图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是.11．1232,2()log (1) 2.x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，，则((2))f f 的值为. 12．由曲线2y x =,3y x =围成的封闭图形面积为. 13．已知52x ⎛ ⎝的展开式中的常数项为T ，()f x 是以T 为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值围是．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

广东省深圳市2012届高三二模试题理科数学word版

2012年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科） 2012.4本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分． 1．集合{mi ｜*n N }（其中i 是虚数单位）中元素的个数是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．无穷多个 2．设随机变量，若，则c 等于A ．0B ．1C ．2D ．3 3．已知命题p ：“存在正实数a,b ，使得;lg （a ＋b ）＝lga ＋lgb ”；命题q ：“空间两条直线异面的充分必要条件是它们不同在任何一个平面内”．则它们的真假是 A ．p ，q 都是真命题 B ．p 是真命题，q 是假命题 C ．p ，q 都是假命题 D ．p 是假命题，q 是真命题4．在学校的一次演讲比赛中，高一、高二、高三分别有1名、2名、3名同学获奖，将这六名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有 A ．6种 B ．36种 C ．72种 D ．120种 5．设,,，若a ，1，b 成等比数列，且c ，1，d 成等差数列，则下列不等式恒成立的是6．设函数若f （x ）的值域为R ，则常数a 的取值范围是7．如图1，直线l 和圆c ，当l 从0 开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过900）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图象大致是8．如果函数y ＝｜x ｜－1的图象与方程的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题．9．在实数范围内，方程｜x ｜＋｜x ＋1｜＝1的解集是． 10．某机器零件的俯视图是直径为24 mm 的圆（包括圆心），主视图和侧视图完全相同，如图2所示．则该机器零件的体积是______mm 3（结果保留）．11．已知平面向量a ，b 满足条件a ＋b ＝（0,1），a －b ＝（－1,2），则ab ＝＿＿＿＿＿＿＿12．执行图3中程序框图表示的算法，若输入m=5533，n=2012，则输出d ＝＿＿＿＿＿（注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”）13．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程．现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知直线把曲线所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a的值是． 15．（几何证明选讲选做题）如图4，AB 是圆O 的直径，弦AD 和BC 相交于点P ，连接CD ．若∠APB ＝120°，则CDAB等于．三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数（1）求f（x）的最大值；（2）设△ABC中，角A、B的对边分别为a、b，若B＝2A，且，求角C的大小．17．（本小题满分12分）深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2 个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．18．（本小题满分14分）如图5，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形，其中A与A '重合，且BB'＜DD'＜CC'．（1）证明AD'//平面BB'C'C，并指出四边形AB'C'D’的形状；（2）如果四边形中AB'C'D’中，，正方形的边长为，求平面ABCD与平面AB'C'D’所成的锐二面角的余弦值．19．（本小题满分14分）已知数列满足：，且（1）求通项公式n a（2）设的前n项和为S n，问：是否存在正整数m、n，使得若存在，请求出所有的符合条件的正整数对（m,n），若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）如图6，已知动圆M过定点F（1,0）且与x轴相切，点F 关于圆心M 的对称点为F'，动点F’的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）设是曲线C上的一个定点，过点A任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C相交于另外两点P 、Q．①证明：直线PQ的斜率为定值；②记曲线C位于P 、Q两点之间的那一段为l．若点B在l上，且点B到直线PQ的距离最大，求点B的坐标．21．（本小题满分14分）已知函数f（x）＝x－xlnx ，，其中表示函数f（x）在x＝a处的导数，a为正常数．（1）求g（x）的单调区间；（2）对任意的正实数，且，证明：（3）对任意的2012年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）参考答案及评分标准2012.4一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题．9．]0,1[- 10．π2880 11．1- 12．503 13．68 （注：第9题答案也可以写成}01|{≤≤-x x ，如果写成01≤≤-x ，不扣分．）（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）1- 15．（几何证明选讲选做题）21三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数)6cos(sin )(π-+=x x x f ，R ∈x ．（1）求)(x f 的最大值；（2）设△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，若A B 2=且)6(2π-=A f a b ，求角C 的大小．解：（1）)6cos(sin )(π-+=x x x f x x x sin 21cos 23sin ++= ……………………2分 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x cos 21sin 233)6sin(3π+=x ．（注：也可以化为)3cos(3π-x ） …4分所以)(x f 的最大值为3． …………………………………………………………6分（注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分）（2）因为)6(2π-=A f a b ，由（1）和正弦定理，得A B 2sin 32sin =．………………7分又A B 2=，所以A A 2sin 322sin =，即A A A 2s in 3c o s s i n =， ………………9分而A 是三角形的内角，所以0sin ≠A ，故A A s i n 3co s =，33tan =A ， ………………11分所以6π=A ，32π==A B ，2ππ=--=B A C ． ……………………………………12分17．（本小题满分12分）深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2． ………………………………………1分设“第一次训练时取到i 个新球（即i =ξ）”为事件i A （=i 0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以51)0()(26230====C C P A P ξ， ………………………………………3分53)1()(2613131====C C C P A P ξ， ………………………………………5分51)2()(26232====C C P A P ξ． ………………………………………7分所以ξ的分布列为（注：不列表，不扣分）ξ1512531510=⨯+⨯+⨯=ξE ． ……………………………………8分（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B ．则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件B A B A B A 210++．而事件B A 0、B A 1、B A 2互斥，所以，)()()()(210210B A P B A P B A P B A B A B A P ++=++．由条件概率公式，得253535151|()()(261313000=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）， …………………………………9分2581585353|()()(261412111=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）， …………………………………10分151315151|()()(261511222=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）． …………………………………11分所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为7538151258253)(210＝++=++B A B A B A P ． …………………………………12分18．（本小题满分14分）如图5，已知正方形ABCD 在水平面上的正．投影（投影线垂直于投影面）是四边形''''D C B A ，其中A 与'A 重合，且'''CC DD BB <<．（1）证明//'AD 平面C C BB ''，并指出四边形'''D C AB 的形状；（2）如果四边形'''D C AB 中，2'=AD ，5'=AB ，正方形ABCD 的边长为6，求平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值．证明：（1）依题意，⊥'BB 平面'''D C AB ，⊥'CC 平面'''D C AB ，⊥'DD 平面'''D C AB ，所以'//'//'DD CC BB ． ……………2分（法1）在'CC 上取点E ，使得'DD CE =，连结BE ，E D '，如图5－1．因为'//DD CE ，且'DD CE =，所以E CDD '是平行四边形，DC E D //'，且DC E D ='．又ABCD 是正方形，AB DC //，且AB DC =，所以ABE D //'，且ABE D ='，故'A B E D 是平行四边15-图CD)'(A A B'C 'D 'B E形， ………………………………4分从而BE AD //'，又⊂BE 平面C C BB ''，⊄'AD 平面C C BB ''，所以//'AD 平面C C BB ''． ………………………………………………………………6分四边形'''D C AB 是平行四边形（注：只需指出四边形'''D C AB 的形状，不必证明）．……7分（法2）因为'//'CC DD ，⊂'CC 平面C C BB ''，⊄'DD 平面C C BB ''，所以//'DD 平面C C BB ''．因为ABCD 是正方形，所以BC AD //，又⊂BC 平面C C BB ''，⊄AD 平面C C BB ''，所以//AD 平面C C BB ''． ………………………………………………………………4分而⊂'DD 平面'ADD ，⊂AD 平面'ADD ，D AD DD = '，所以平面//'ADD 平面C C BB ''，又⊂'AD 平面'A D D ，所以//'AD 平面C C BB ''． …………6分四边形'''D C AB 是平行四边形（注：只需指出四边形'''D C AB 的形状，不必证明）．……7分解：（2）依题意，在Rt △'ABB 中，1)5()6(''2222=-=-=AB AB BB ，在Rt △'ADD 中，2)2()6(''2222=-=-=AD AD DD ，所以3021''''=-+=-+=AA DD BB CC ．（注：或312''''=+=+=+=BB DD EC CE CC ） ………………………………………8分连结AC ，'AC ，如图5－2，在Rt △'ACC 中，33)32(''2222=-=-=CC AC AC ．所以222''''AB C B AC =+，故'''C B AC ⊥．……10分（法1）延长CB ，''B C 相交于点F ，则31''''==CC BB FC FB ，而2''=C B ，所以223'=FC ．连结AF ，则AF 是平面ABCD 与平面'''D C AB 的交线．在平面'''D C AB 内作AF G C ⊥'，垂足为G ，连结CG ．25-图CD)'(A A B'C 'D 'B FG因为⊥'CC 平面'''D C AB ，⊂AF 平面'''D C AB ，所以AF CC ⊥'．从而⊥AF 平面G CC '，AF CG ⊥．所以'C G C ∠是平面A B C D 与平面'''D C AB 所成的一个锐二面角． …………………………12分在Rt △F AC '中，553223)3(2233'''22=⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=⨯=AF F C A C G C ，在Rt △G CC '中，53035533''2222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=G C CC CG ．所以66''cos cos ==∠=CG G C CGC θ，即平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值为66．……………………14分（法2）以'C 为原点，A C '为x 轴，''B C 为y 轴，建立空间直角坐标系（如图5－3），则平面'''D C AB 的一个法向量)1,0,0(=n ．设平面ABCD 的一个法向量为),,(z y x =m ，因为)0,0,3(A ，)1,2,0(B ，)3,0,0(C ，所以)1,2,3(-=AB ，)2,2,0(-=BC ，而AB ⊥m ，BC ⊥m ，所以0=∙AB m 且0=∙BC m ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-022023z y z y x ，取1=z ，则2=y ，3=x ，所以平面ABCD 的一个法向量为)1,2,3(=m ．（注：法向量不唯一，可以是与)1,2,3(=m 共线的任一非零向量）……………………12分661001)2()3(|110203||||||,cos |cos 222222=++⨯++⨯+⨯+⨯==><=∙n m n m n m ||θ．所以平面A B C D 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值为66． …………………14分（法3）由题意，正方形ABCD 在水平面上的正．投影是四边形''''D C B A ， D所以平面A B C D 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值ABCDD C AB S S '''=． …………………12分而6)6(2==ABCD S ，632''''''=⨯=⨯=AC C B S D C AB ，所以66cos =θ，所以平面A B C D 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值为66． …………………14分 19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 满足：11=a ，22=a ，且3)1)(cos 2(2+-+=+n n a n a π，*N ∈n ．（1）求通项公式n a ；（2）设}{n a 的前n 项和为n S ，问：是否存在正整数m 、n ，使得122-=n n mS S ？若存在，请求出所有的符合条件的正整数对),(n m ，若不存在，请说明理由．解：（1）当n 是奇数时，1cos -=πn ；当n 是偶数时，1cos =πn ．所以，当n 是奇数时，22+=+n n a a ；当n 是偶数时，n n a a 32=+． ……………………2分又11=a ，22=a ，所以1a ，3a ，5a ，…，12-n a ，…是首项为1，公差为2的等差数列；2a ，4a ，6a ，…，n a 2，…是首项为2，公比为3的等比数列． ……………………4分所以，⎪⎩⎪⎨⎧⨯=-为偶数为奇数n n n a nn ,32,12． ………………………………………………6分（2）由（1），得)()(24212312n n n a a a a a a S +++++++=-)3262()]12(31[1-⨯++++-+++=n n132-+=n n ，13321321122212-+=⨯--+=-=---n n a S S n n n n n n ． ………………………8分所以，若存在正整数m 、n ，使得122-=n n mS S ，则133211313211212122-+⨯+=-+-+==----n n n S S m n n n n n n 3332111=⨯+≤--n n ． ………………9分显然，当1=m 时，122122)13(113--=-+⨯≠-+=n n n n S n n S ；当2=m 时，由1222-=n n S S ，整理得1321-=-n n ．显然，当1=n 时，11013211-=≠=-；当2=n 时，1233212-==-，所以)2,2(是符合条件的一个解． ……………………………11分当3≥n 时， +⨯+⨯+=+=----2211111221)21(3n n n n C C2111421--++≥n n C C 3422+-=n n1)2(22-+-=n n12->n ． …………………………12分当3=m 时，由1223-=n n S S ，整理得1=n ，所以)1,3(是符合条件的另一个解．综上所述，所有的符合条件的正整数对),(n m ，有且仅有)1,3(和)2,2(两对． ……14分（注：如果仅写出符合条件的正整数对)1,3(和)2,2(，而没有叙述理由，每得到一组正确的解，给2分，共4分） 20．（本小题满分14分）如图6，已知动圆M 过定点)1,0(F 且与x 轴相切，点F 关于圆心M 的对称点为'F ，动点'F 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设),(00y x A 是曲线C 上的一个定点，过点A 任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C 相交于另外两点P 、Q ．① 证明：直线PQ 的斜率为定值；② 记曲线C 位于P 、Q 两点之间的那一段为L ．若点B 在L 上，且点B 到直线PQ 的距离最大，求点B 的坐标．解：（1）（法1）设),('y x F ，因为点)1,0(F 在圆M 上，且点F 关于圆心M 的对称点为'F ，所以)21,2(+y x M ， …………1分且圆M 的直径为22)1(|'|-+=y x FF ．…………2分由题意，动圆M 与y 轴相切， 16-图所以2)1(2|1|22-+=+y x y ，两边平方整理得：y x 42=，所以曲线C的方程为y x 42=． ………………………………………………5分（法2）因为动圆M 过定点)1,0(F 且与x 轴相切，所以动圆M 在x 轴上方，连结'FF ，因为点F 关于圆心M 的对称点为'F ，所以'FF 为圆M 的直径．过点M 作x MN ⊥轴，垂足为N ，过点'F 作x E F ⊥'轴，垂足为E （如图6－1）．在直角梯形'EOFF 中，1|'||||'|||2||2|'|+=+===E F FO E F MN MF F F ，即动点'F 到定点)1,0(F 的距离比到x轴的距离大1． …………………………………………3分又动点'F 位于x 轴的上方（包括x 轴上），所以动点'F 到定点)1,0(F 的距离与到定直线1-=y 的距离相等．故动点'F 的轨迹是以点)1,0(F 为焦点，以直线1-=y 为准线的抛物线．所以曲线C的方程为y x 42=． ………………………………………………5分（2）①（法1）由题意，直线AP 的斜率存在且不为零，如图6－2．设直线AP 的斜率为k （0≠k ），则直线AQ 的斜率为k -． ……………………………6分因为),(00y x A 是曲线C ：y x 42=上的点，所以4200x y =，直线AP 的方程为)(402x x k x y -=-．由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)(440202x x k x y y x ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧==4200x y x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=4)4(4200k x y k x x ，所以点P 的坐标为)4)4(,4(200k x k x +-+-，以k -替换k，得点Q的坐标为)4)4(,4(200k x k x +--． ………………………………8分26-图所以直线PQ 的斜率23216)4()4(4)4(4)4(00002020x k kx k x k x k x k x k PQ -=-=+----+--+=为定值．………………10分（法2）因为),(00y x A 是曲线C ：y x 42=上的点，所以4200x y =，)4,(20x x A ．又点P 、Q 在曲线C ：y x 42=上，所以可设)4,(211x x P ，)4,(222x x Q ， …………6分而直线AP ，AQ 的倾斜角互补，所以它们的斜率互为相反数，即022220120214444x x x x x x x x ---=--，整理得0212x x x -=+． …………8分所以直线PQ 的斜率2424440021122122x x x x x x x x k PQ -=-=+=--=为定值． ………………10分②（法1）由①可知，P )4)4(,4(200k x k x +-+-，Q )4)4(,4(200k x k x +--， 2x k PQ-=，所以直线PQ 的方程为)4(24)4(0020k x x x k x y -+-=+--，整理得016422200=-++k x y x x ． ……………………………………11分设点)4,(2x x B 在曲线段L 上，因为P 、Q 两点的横坐标分别为k x 40+-和k x 40--，所以B 点的横坐标x 在k x 40+-和k x 40--之间，即||4||400k x x k x +-≤≤--，所以||4||40k x x k ≤+≤-，从而22016)(k x x ≤+．点B 到直线PQ 的距离42|162|164|16442|20220022022020+-++=+-+⨯+=x k x x x x x k x x x x d 4216)(42142|16)(|202202020220++++-=+-+=x k x x x x k x x ． ………12分当0x x -=时，421622max +=x k d ．注意到||4||4000k x x k x +-≤-≤--，所以点)4,(200x x -在曲线段L 上．所以，点B 的坐标是)4,(200x x -． ……………………………………………………………14分（法2）由①可知，2x k PQ -=，结合图6－3可知，若点B 在曲线段L 上，且点B 到直线PQ 的距离最大，则曲线C 在点B 处的切线PQ l //． ………………11分设l ：b x x y +-=20，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=yx b x x y 4220，消去y ，得04202=-+b x x x ．令△0)4(14)2(20=-⨯⨯-=b x ，整理，得420x b -=．……12分代入方程组，解得0x x -=，420x y =．所以，点B 的坐标是)4,(200x x -． ……………………………………………………………14分（法3）因为抛物线C ：y x 42=关于y 轴对称，由图6－4可知，当直线AP 的倾斜角大于︒0且趋近于︒0时，直线AQ 的倾斜角小于︒180且趋近于︒180，即当直线AP 的斜率大于0且趋近于0时，直线AQ 的斜率小于0且趋近于0．从而P 、Q 两点趋近于点)4,(200x x A 关于y 轴的对称点)4,('200x x A -． ………………11分由抛物线C 的方程y x 42=和①的结论，得42x y =，PQ x x x x k xx y =-=='-=-=22|000．所以抛物线C 以点)4,('200xx A -为切点的切线PQ l //． ……………………12分所以曲线段L 上到直线PQ 的距离最大的点就是点'A ，即点B 、点'A 重合．所以，点B 的坐标是)4,(200xx -． ……………14分 21．（本小题满分14分）36-图46-图已知函数x x x x f ln )(-=，)()()(a f x x f x g '-=，其中)(a f '表示函数)(x f 在a x =处的导数，a 为正常数．（1）求)(x g 的单调区间；（2）对任意的正实数21,x x ，且21x x <，证明：)()()()()()(11212212x f x x x f x f x f x x '-<-<'-；（3）对任意的*N ∈n ，且2≥n ，证明：nn f n ln 2ln )1(1ln 13ln 12ln 1⋅+-<+++ ．解：（1）x x f ln )('-=，a x x x x x g ln ln )(+-=，xaa x a f x f x g ln ln ln )()()(=+-='-'='． ……………………………………2分所以，),0(a x ∈时，0)('>x g ，)(x g 单调递增； ),(∞+∈a x 时，0)('<x g ，)(x g 单调递减．所以，)(x g 的单调递增区间为],0(a ，单调递减区间为),[∞+a ． ……………………4分（2）（法1）对任意的正实数21,x x ，且21x x <，取1x a =，则),(12∞+∈x x ，由（1）得)()(21x g x g >，即)()()()()()(21221111x g x f x x f x f x x f x g ='->'-=，所以，)()()()(11212x f x x x f x f '-<-……①； ………………………6分取2x a =，则),0(21x x ∈，由（1）得)()(21x g x g <，即)()()()()()(22222111x g x f x x f x f x x f x g ='-<'-=，所以，)()()()(21212x f x x x f x f '->-……②．综合①②，得)()()()()()(11212212x f x x x f x f x f x x '-<-<'-． ………………………8分（法2）因为x x f ln )('-=，所以，当)1,0(∈x 时，0)(>'x f ；当),1(∞+∈x 时，0)(<'x f ．故)(x f 在]1,0(上单调递增，在),1[∞+上单调递减．所以，对任意的正实数21,x x ，且21x x <，有)1(21f x x f <⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，)1(12f x x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛．……………6分由)1(21f x x f <⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，得1ln 121212<-x xx x x x ，即0)ln (ln 12212<---x x x x x ，所以0)ln (ln )()()()(1221211212<---='---x x x x x x f x x x f x f ．故)()()()(11212x f x x x f x f '-<-．……①；由)1(12f x x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛，同理可证)()()()(21212x f x x x f x f '->-．……②．综合①②，得)()()()()()(11212212x f x x x f x f x f x x '-<-<'-． ………………………8分（3）对2,,2,1-=n k ，令xk x x k ln )ln()(+=ϕ（1>x ），则22))(ln ()ln()(ln )(ln )ln(ln )('x k x x k x k x x x x x k x k x x x k +++-=+-+=ϕ，显然k x x +<<1，)ln(ln 0k x x +<<，所以)ln()(ln k x k x x x ++<，所以0)('<x k ϕ，)(x k ϕ在),1(∞+上单调递减．由2≥-k n ，得)2()(k k k n ϕϕ≤-，即2ln )2ln()ln(ln k k n n +≤-．所以)ln()2ln(ln 2ln k n k n -+≤，2,,2,1-=n k ． ……………………………10分所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+++2ln 1ln 1)1ln(13ln 1ln 12ln 1ln 13ln 12ln 12n n n n 2ln ln ln 2ln )1ln(3ln 3ln )1ln(ln 2ln 2ln ln n nn n n n +++-+-++=nnn n n n ln 2ln ln 2ln ln 2ln 3ln )1ln(ln 2ln 2ln ln ++++-++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n n ln 2ln ln 3ln 2ln 2 ． ………………………………12分又由（2）知n n f n f n f ln )(')()1(-=<-+，所以)1()(ln +-<n f n f n ．)1()()3()2()2()1(ln 2ln 1ln +-++-+-<+++n f n f f f f f n)1(1)1()1(+-=+-=n f n f f ．所以，nn f n n n ln 2ln )1(1ln 2ln ln 3ln 2ln ln 13ln 12ln 1+-<+++≤+++ ．……………………14分。

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