反其道而行之——例谈“常量逆代”在解题中的妙用

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不妨反其道而行之

不妨反其道而行之
铢珠
【期刊名称】《中国人才》
【年(卷),期】1994(000)008
【摘要】幽默无处不在.即便在你死我活的军事斗争中,也有令人捧腹的故事。

1935年,日伪发动冬季大讨伐。

杨靖宇军长率领东北抗日联军第一军军部一行25人,在转移中与主力失去了联系。

当他们来到吉林省集安县一条大山沟时,陷入重围,无处藏身,形势十分险恶。

杨军长经过一番权衡。

决定在一座破败的院套中隐蔽。

这座院套在山沟的向阳坡上,孤零零的,里面仅存两间破草房。

按说这里最暴露,最容易被敌人发现,可是,杨军长一行在这里藏了半个多月,日伪讨伐队三次经过这里都有惊无险。

后来他们与主力会师,打了一个漂亮的伏击战。

【总页数】1页(P12-12)
【作者】铢珠
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】C933
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反其道而行之——例谈“常量逆代”在解题中的几种妙用

反其道而行之——例谈“常量逆代”在解题中的几种妙用蔡勇全
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2016(000)002
【摘要】常量逆代是指在解有规则的数字问题时,用字母或含有字母的代数式来替代题目中的全部或部分常量,将数字问题转化为字母问题来研究,换言之,暂时把常量看作变量,并通过变动的、一般的状态来考察不变的、特殊的情形.对常量进行逆代,不仅可以使数字间的特征和规律更加突出、明显,而且能避免繁冗的数字计算,收到以简驭繁的效果,更重要的是能找到令人眼前一亮、耳目一新的解题途径．本文结合实例介绍常量逆代策略在解题中的几种巧妙应用，供参考．
【总页数】2页(P10-11)
【作者】蔡勇全
【作者单位】四川省资阳市外国语实验学校,641300
【正文语种】中文
【中图分类】G632
【相关文献】
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4.例谈“常量逆代”在解题中的几种妙用 [J], 蔡勇全
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例谈整体思想在数学解题中的应用

例谈整体思想在数学解题中的应用打开文本图片集“整体”与“局部”是一对哲学范畴的概念.整体是由各个局部构成的，但并非各个局部的简单相加，它表现出局部所不具有的优越性.局部是整体的一部分，它有时会影响整体，甚至还起到决定性的作用.整体思想在数学解题中非常重要，它使得我们在具体的解题过程中能不纠缠于“细枝末节”，达到“直捣黄龙”的境地，能使我们清楚地“看到”问题的本质，让人感到有种“居高临下”的感觉.函数零点问题一般都用零点分布定理，并结合分类讨论和数形结合的思想加以解决.这样的处理体现出解题的通性、通法，但解决过程有时会变得非常烦琐，看不到问题的本质.如果能借助于整体思想，那就使我们在解题时“既见树木，又见森林”了.例1已知函数f（某）=某2+2a某+b在[1，2]上有两个零点，证明：0≤a+b≤2.一般性解法：利用零点的分布问题加以讨论，可以得到有关a，b的不等式组，然后再利用线性规划的知识.尽管能将结果求出来，但计算量大，一不小心就会求错.这种解法是从“局部”入手，题目的意思被分解得很细，显得很程序化，策略性的东西没有体现出来，没有表现出一定的思维含量.如果我们从“整体”的角度加以求解，则又将会是另一番情境.另解：设f（某）的两个零点为某1，某2∈[1，2]，则f（某）=某2+2a某+b=（某-某1）（某-某2），由题意知：要求a+b的范围，故可以先整体地将它表达出来，于是令某=，则+a+b=f（）=-某1-某2，即a+b=某1-·某2--.由于某1，某2∈[1，2]，即知某1-某2-∈[，]，所以0≤a+b≤2.评注：上面的另解没有在细枝末节上下功夫，而是采用“设而不求，整体代换”的思想，关键是理解了零点与根的关系，计算过程显得简洁.此题还可以作如下的变式：已知函数f（某）=某3+2a某+b在[1，2]上有三个零点，证明：0≤a+b≤.如果采用一般性的解法，就会显得非常烦琐，让人“望而却步”，但如果采用另解的思想就能轻松地加以解决，由此可见从“整体”上切入问题的重要性.利用上面的解题思想方法，我们可以很容易解2022年浙江省高中数学竞赛第19题：设二次函数f（某）=a某2+（2b+1）某-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一个零点，求a2+b2的最小值.解：由题意，设t为二次函数在[3，4]上的零点，则有at2+（2b+1）t-a-2=0，将它变形为（2-t）2=[a（t2-1）+2bt]2.于是，由柯西不等式知，（2-t）2=[a（t2-1）+2bt]2≤（a2+b2）[（t2-1）+4t2]=（a2+b2）（1+t2）2，即a2+b2≥（）2=≥.因为g（t）=t-2+，t∈[3，4]是减函数，上式在t=3，a=-，b=-时取等号，故a2+b2的最小值为.类似的题目还有：已知a，b∈R，关于某的方程某4+a某3+2某2+b某+1=0有一个实根，求a2+b2的最小值.此题留给读者思考.一般在处理函数极值问题时，都是先对函数求导，再利用导函数的性质研究其单调性，这是从局部来处理函数极值问题的通性、通法.如果能对问题先进行处理，再利用整体思想和数形结合的思想，使得“图形一见，答案出现”，从函数的图象来整体地把握函数的极值问题，就会达到事半功倍之效.例2ma某{某3+2某+t，某≤1}=.一般性解法：设f（某）=某3+2某+t，某≤1，再对f（某）求导，求出f（某）的极值和端点处的函数值，然后将极值和端点处的函数值取绝对值比较大小后，求出最大值，这要涉及分类讨论，计算过程比较烦琐.另解：注意到y=某3+2某在某≤1上是奇函数，所以，y∈[-3，3]，于是，要求ma某{某3+2某+t，某≤1}，只要求ma某{y+t，y≤3}即可，由绝对值的几何意义（如图1）即知：ma某{y+t，y≤3}=t+3.评注：此题改编于2022年浙江高考数学（理科）卷第15题：已知ma某{某2-2某-t，0≤某≤3}=2，则t=.同样，此高考题采用整体的思想加以解决的话，口算就可以，根本就不需要动笔.这也体现高考试题考查学生“少算多想”的理念.例3已知e为自然对数的底数，设函数f（某）=（e某-1）（某-1）k（k=1，2），则A.当k=1时，f（某）在某=1处取到极小值B.当k=1时，f（某）在某=1处取到极大值C.当k=2时，f（某）在某=1处取到极小值D.当k=2时，f（某）在某=1处取到极大值一般性解法：学生往往不假思索，先对f（某）求导，然后再画图象，这是一种通性通法.虽然也可以将图象画出来，但这样做有点“小题大做”.另解：可以通过画草图（见图2），此题的关键点就是点（1，0），这是由函数解析式f（某）=（e某-1）（某-1）k（k=1，2）所决定的.评注：上述问题的解决过程能有效地考查学生的数形结合的意识、整体和局部地看问题的意识.笔者通过研究发现，这道试题有一定的背景，即2022年浙江高考数学（理科）卷第22题第1小题：已知a是给定的实常数.设函数f（某）=（某-a）2（某+b）ek，b∈R，某=a是f（某）的一个极大值点.（1）求b的取值范围.（2）略.另一背景即2022年浙江省高中数学竞赛第9题：设函数f（某）=某（某-1）2（某-2）3（某-3）4，则函数y=f（某）的极大值点为（）A.某=0B.某=1C.某=2D.某=3上述两个题目都可以采用整体和局部的思想加以解决，同时也体现出数形结合在研究问题中的作用.有关函数的导数问题，我们往往都是直接对函数“强制求导”，这是我们解题屡试不爽的“利器”.但有时我们可以反其道而行之，不求导而对函数求积分，利用积分思想从整体上去把握函数的特征，这能凸现我们的高观点.例4已知a>0，b∈R，函数f（某）=4a某3-2b某-a+b.（1）证明：当0≤某≤1时，①函数f（某）的最大值为2a-b+a；②f（某）+2a-b+a≥0.（2）略.一般性解法：学生碰到此类函数问题，先对函数f（某）=4a某3-2b某-a+b求导，然后分类讨论求极值，再通过与f（0），f（1）比较大小来解决问题.这样做会导致复杂的计算.另解：①证明：由于f"（某）=24a某>0，故由函数的凹凸性知：f （某）ma某=ma某{f（0），f（1）}=+=2a-b+a.②由题意，函数f（某）在[0，1]上与坐标轴围成的面积为：f（某）d某=0.设折线A-C-B对应的函数为g（某），由于函数f（某）在[0，1]上为凹函数，故某∈[0，1]时，g（某）≥f（某）.于是，g（某）d某≥f（某）d某=0，即知g（某）在[0，1]上与坐标轴围成的面积为大于等于0，我们有此可以得到：f（某）ma某≥f（某）min.若不然，即f（某）ma某S△BBE，S△DCE>S△AOD，故g（某）在[0，1]上与坐标轴围成的面积：g（某）d某=S△AOD-S△DCE+S△BBE-S△CCE<0+0=0，这与g（某）d某≥f（某）d某=0矛盾.因此，由f（某）ma某≥f（某）min，知f（某）+2a-b+a≥f（某）min+f（某）ma某≥f（某）min+f（某）min≥0.评注：第②题一般采用导函数法，但我们反其道而行之，不用求导，反而用积分的加以解决.事实上，根据高等数学的观点：导数是研究函数局部性质的一个“利器”，但要研究整体的性质非借助于积分不可.所以，我们借助于积分的，能在整体上清楚地看到解决第②题的关键：f（某）ma某≥f（某）min，此题的本质显得非常直观、简单，论证过程自然流畅、一气呵成.我们被这样精美的构思、奇妙的解法、鲜明的本质所深深地震撼，真正由衷地感叹命题者的“观点之高”和命制的意义所在.杜甫“望岳”中有两句诗：会当凌绝顶，一览众山小.这两句诗不仅表达了诗人俯视一切的雄心和气概，同时还很好地刻画了整体地看待事物的意境，更加凸现泰山高大巍峨的气势，使得诗人登高望远，眼前景色一览无余，给人一种心旷神怡的感觉.所以，我们在研究数学问题时，应该首先关注题目的整体结构，这样有助于我们把握解题的大方向，使得我们能“看到”问题的本质.然后，再从局部入手.由此可见，整体的思想方法就像一个“指南针”，它指引着我们解题的方向，使得我们不至于被细节迷失方向.。

反其道而行之

反其道而行之我们中国有句老话：＂反其道而行之＂，其实在有些数学问题上，我们也可以运用这种思维方法解决问题．在今天晚上的练习上，书上给我们出了这样一道颇有趣的数学题：有一池荷花，生长的速度是一天增一倍，要２０天才能长满整个池塘，请问长满半个池塘的时候是第几天？如果按照传统的方法来思考的话，我们应该从条件出发，一步步的推．最后推出结论．可是在这道题中这种方法是行不通的，这个时候，我就想起了＂反其道而行之＂这句话．于是，我就从后往前推：长满一池需20天，已知荷花的生长速度是一天增一倍，所以19天的时候就长了半池。

本来是日增一倍，现在便成了日减一倍，所以这个问题的答案是19天.反其道而行之，以这样的思路，这个问题就很容易得解.生活中的数学今天,我跟爸爸来到了华堂商厦.首先,我们先去给爸爸买衣服,爸爸挑了一件他特别喜欢的衣服.正好国庆特价打了八折.爸爸问我,一件衣服的价钱是150元,打八折就相当于衣服的价钱乘以0.8，你知道一件衣服多少元吗？我想：150*0.8，先把0.8看成8，再用整数乘法的方法进行计算，计算出结果，最后看因数中一共有几位小数，就从积数右边起数出几位，点上小数点。

结果得120元。

我兴奋的回答打完八折这件衣服的价钱是120元。

爸爸又问我：“通常一个数乘另一个数，积一定比因数大，但为什么这道题的积比其中一个因数大？”我想，在做练习的时候，自己遇到过。

我非常有信心的说：“一个数乘大于1 的数积比原来的数小。

爸爸说：“真聪明，那么除法有没有这样的规律呀？”“当然有，当被除数大于0 ，除数大于1时,商比被除数小.当被除数大于0,除数小于1时,商比被除数大.” 爸爸说:“那么我再考考你，这件衣服原价２００元，打五折，现价是多少元？”我快速的回答：“１００元”。

爸爸高兴的说：“我女儿学会举一反三了！”买完衣服，我们就来到了地下超市，爸爸对我说：“商店奶制品搞促销，买二赠一，如果买两箱，相当于打几折？”我说：“不知道。

反其道而行之—— 数学思维的另一种类

反其道而行之——数学思维的另一种类有这样一个故事，说的是两个早餐店卖鸡蛋的事。

A店和B店，他们位于同一条街上且面对面，早点都有鸡蛋出售。

A店每天早上可卖出200多个鸡蛋，B店每天早上卖出的鸡蛋不足30个。

为什么会有这么大的差别呢？抛开天时、地利、人和三方面的因素不说，单看两家店的服务员和卖鸡蛋就可找到原因。

A店的服务员走到客户面前是这样问的：“您好，欢迎光临，请问需要点些什么？另外本店鸡蛋味道独特，您看是来一个还是两个呢？”B店服务员是这样问的：“您好，欢迎光临，请问需要点什么？另外本店鸡蛋味道独特，您要不要鸡蛋？”“要一个还是两个”与“要不要”，这两种不同的问法就决定了每天早上鸡蛋的销量。

提问看似简单，做起来难。

如何提出有针对性、有深度、有质量的问题是一件非常有学问的事情，提问的方式不一样，先后不一样，其结果也不一样。

同样，在数学教学中，同一数学材料，教师教学设计不同，教学效果会有迥然不同的差异。

培养学生的创造性思维，需要教师在平时的教学中多多引导，创设不同的问题空间。

例如，一口钟挂在镜子（平面镜）对面的墙上，如图是白天某一时刻从镜子中看到的时间，则它的真正时间是：。

如果教师直接教学生用轴对称的方法解题，学生很难解出题目，对培养学生的思维意义不大，我们是不是可以这样设计，让学生把画着钟的那张纸翻过来，看看是几点，这样实际上就是把这张纸当做了对称轴，题目的答案也就一目了然了。

一个数学问题，当顺向思维思考比较困难时，常常改为反向思考。

初中教学中用这种策略的例子是很多的。

常用这一策略，可以培养学生反向考虑问题的自觉性，训练学生的逆向思维，使学生不受思维习惯的约束，提高学生思维的灵活程度。

本文略举这方面的几个例子。

一、正与反例如，以下三个方程中：x2－4x＋2m－3＝0 ……… ①x2－6x＋3m＋12＝0 ……… ②x2＋3x－m＋＝0 ……… ③三个方程中至少有一个方程有实数解，求实数m的取值范围。

逆向思维在数学教学中的运用

逆向思维在数学教学中的运用所谓逆向思维是指从问题的反方向进行思考的一种思维方式. 中学数学课本中的逆向思维包括逆运算、否命题、反证法、分析法、充要条件等都涉及到思维的逆向性. 在数学解题中，通常是按照从已知到结论的思维方式，但是有部分数学问题若是按照顺向思维方式则是比较困难的，而且常常伴随着较大的运算量，有时甚至无法解决. 在这种情况下，只要我们多注意定理、公式、规律性例题的逆运用，就会使较难的问题得到简化. 经常性地运用这样的训练方法可以培养学生思维的灵敏性.一、数学定义的逆用在数学解题中“定义法”是一种比较常见的方法，但定义的逆运用容易被学生忽视，我们应重视定义的逆运用，学会逆向思考，这样会达到使问题解答简捷的目的. 定义的可逆性应用是很重要的，也是很广泛的.例1已知函数f（x）＝arcsin（2x＋1）（－1≤x≤0），求f-1（）的值()Ａ. B. -C. D. -分析：常见的方法是：先求反函数f-1（x），然后再求f-1（）的值，但只要逆用反函数定义，令f（x）=，解出x的值即为f-1（）的值.浅议初中数学逆向思维的应用《数学课程标准》指出:数学思考主要是使学生“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程,建立初步的数感和符号感,发展抽象思维”“丰富对现实空间及图形的认识,建立初步的空间观念,发展形象思维”“经历运用数据描述信息,作出推断的过程,发展统计观念”“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动,发展合情推理和初步的演绎推理能力”。

初中学生的思维特点是以直观形象思维为主,逐步向抽象逻辑思维过渡。

他们是在听到、看到、感受到的同时进行思维的,他们的思维一般要借助实物、图形或者头脑中的表象来形象思维是一种很好的思维方法,可以终生受用。

但仅有具体形象思维是不够的,还必须掌握抽象逻辑思维的方法,以提高思维能力,所以在我们的教学中可以渗透一些抽象逻辑思维的因素,来培养学生的抽象思维,思考问题的能力,解决问题的能力。

反其道而行之漫话反证法

反其道而行之——漫话反证法3个古希腊哲学家，由于争论和天气炎热感到疲倦了，于是在花园里一棵大树下躺下来休息一会儿，结果都睡着了．这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额．三个人醒来以后，彼此看了看，都笑了起来．但这并没有引起他们之中任何一个人的担心，因为每个人都以为是其他两人在互相取笑．其中有一个人突然不笑了，因为他发觉自己的前额也给涂黑了．他是怎样觉察到的呢？你能想出来吗？为了方便用甲、乙、丙代表这三个哲学家，并不妨设甲已经发觉自己的脸给涂黑了．那么甲这样想，“我们三个人都可以认为自己的脸没被涂黑．如果我的脸没给涂黑，那么乙能看到（当然对于丙也是一样），乙既然看到了我的脸没给涂黑，同时他又认为他的脸也没给涂黑，那么乙就应该对丙的发笑而感到奇怪．因为在这种情况下（甲、乙的脸都是干净的），丙是没有可笑的理由了．然而现在的事实是乙对丙的发笑并不感到奇怪，可见乙是在认为丙在笑我．由此可知，我的脸也给涂黑了”．这里应着重指出的是，甲并没有直接看到自己的脸是否给涂黑了，他是根据乙、丙两人的表情进行分析、思考，而说明了自己的脸给涂黑了．因此，这是一种间接的证明方法．仔细分析甲的思考过程，不难看出它分4个步骤：1．假设自己的脸没被涂黑；2．根据这个假设进行推理，推得一个与乙对丙的笑不感到奇怪的这个事实相矛盾的结果——乙应对丙的笑感到奇怪；3．根据这个矛盾，说明原来假设自己的脸没涂黑是错误的．为什么根据这个矛盾就可以断定原来的假设错了呢？原来在人们的思维中，有这样一个规律：在同一时间内，对于同一个对象的两个相互矛盾的判断，不可能都是对的，无论如何至少有一种是错误的．例如，一个说今天是星期一，另一个说今天是星期二，显然这两个说法不可能都对，至少有一个说法是错误的，因为对同一天来说，不可能是星期一、又是星期二．这个规律在逻辑学上叫矛盾律．甲现在就是利用了矛盾律思考对于丙的笑这同一件事，一个是不感到奇怪，一个说应感到奇怪．那么它们两个之中至少有一个是错误的，而乙不感到奇怪这是事实，是真的，因此另一个“应该感到奇怪”便一定错了．而这个错误是由于假设自己的脸没涂黑而推得的，于是我们断定原来的假设错了．4．根据原来的假设脸没被涂黑是错误的，便可做出没被涂黑的反面——涂黑了是对的结论．那么为什么没被涂黑是错误的，它的反面涂黑了就一定正确呢？这是因为在人们的思维过程中，还要遵守这样一个规律：在同一讨论过程中，对某个问题的两种互相否定的判断中，必然是一个是真的．比如，放在你面前的那支铅笔，它不是“红的”，就是“非红的”，绝不会有第三种可能出现．这个规律在逻辑学上叫做排中律．于是，甲最后根据排中律想，既然脸没被涂黑是错误的，那么它的反面——脸被涂黑了就一定正确．简单地说，甲是通过说明脸被涂黑了的反面——没被涂黑是错误的，从而觉察了自己的脸被涂黑了．像这样，为了说明某一结论是正确的，但不从正面直接说明，而是通过说明它的反面是错误的，从而断定它本身是正确的方法，就叫做“反证法”．现在，我们把它变成数学上的叙述．要证明某一结论A 是正确的，但不直接证明，而是先去证明A 的反面（非A ）是错误的，从而断定A 是正确的，它的步骤如下：1．把要证明的结论A 否定（也就是假定结论A 的反面——非A 是正确的）；2．根据这个假设和其他已知条件进行正确的推理，直到推得一个与已知的事实相矛盾的结果为止；3．由矛盾说明“假设A 的反面正确”是错误的；4．根据排中律指出，原来要证明的结论A 是对的．用反证法证题，关键是设法导出矛盾，如何导出矛盾呢？与已知定义、公式、定理、公理矛盾例1求证：2不是有理数。

反其道而行之的哲学道理

反其道而行之的哲学道理
反其道而行之，是一种非常有趣的哲学道理。

它的意思是，当我们遇到问题时，我们可以尝试从不同的角度来看待问题，从而找到解决问题的方法。

这种方法可以帮助我们打破常规思维，创造出新的思路和解决方案。

在生活中，我们经常会遇到各种各样的问题。

有些问题看似无解，让我们感到束手无策。

但是，如果我们能够反其道而行之，就有可能找到解决问题的方法。

比如，我们在学习中遇到了难题，可以尝试从不同的角度来看待问题，或者换一种方法来解决问题。

这样，我们就有可能找到解决问题的方法。

同样，在工作中，我们也会遇到各种各样的问题。

有些问题看似无解，让我们感到非常困惑。

但是，如果我们能够反其道而行之，就有可能找到解决问题的方法。

比如，我们在工作中遇到了难题，可以尝试从不同的角度来看待问题，或者换一种方法来解决问题。

这样，我们就有可能找到解决问题的方法。

反其道而行之是一种非常有趣的哲学道理。

它可以帮助我们打破常规思维，创造出新的思路和解决方案。

在生活和工作中，我们都可以尝试使用这种方法，从而找到解决问题的方法。

数学解题中逆向思维的运用

数学解题中逆向思维的运用摘要逆向思维是区别于传统正向思维的一种思维方法，它不是从已知条件出发求得结果，而是从结果或未知条件出发逆向回推已知条件，逆向思维在数学解题中的应用较多，本文以比较数的大小、解方程式和生活中的实际应用题举例进行简要分析，指出了使用逆向思维可以使用倒推、分析和反证法，除此之外，逆向思维在函数和几何图形中的运用也非常广泛。

关键词：数学；解题；逆向思维一、逆向思维的概念逆向思维是相对于正向思维而言的，传统的正向思维是指从数学题目的开始到结果按照先后顺序进行解题，逆向思维反其道而行之，指的是从结果到开始或从已知条件的反方向逆向推理的思考过程。

逆向思维可以解决正向思维中很多难以解决的问题，例如数学计算中面临较大的运算量或已知条件难以下手的题目，可以考虑采用逆向思维的方法进行解题，对部分可以使用逆向解题的题目来讲，可以更快得出结论，提高解题效率和学生的思维灵活性。

二、在数学解题中使用逆向思维的方法（一）运用分析法使用逆向思维要想学会使用逆向思维方法，首先应引导学生学会使用分析法，帮助学生学会从已知条件入手，分析已知条件的数量并确定其是否可用，已知条件中涉及到的知识点有哪些，联想相关知识点的解题方法和所求结果的联系，从整体上对题目的要求和范围进行把握，只有从宏观上掌握了题目和考查的知识点，才更容易运用逆向思维。

在题目“已知一个圆形花坛的周长是16米，求这个花坛的面积是多少？”中，对于初次接触此种题目的学生来讲，求圆形面积的正向思维是利用求圆形面积的公式S=πr²，但是在本题目中没有给出半径的大小，只知道周长，因此可以再通过圆的周长反推出半径，再将半径的数值代入公式，求得花坛的面积。

（二）运用反证法发展学生逆向思维反证法也称为逆证法，它摒弃了传统的从已知推论未知的方法，而是假设命题的反面成立，假设的反面命题必须与原命题是相关矛盾的关系，当推论出假设的反命题不成立时，便可以推导出原命题是成立的，对于一些不好推理的命题使用反证法可以得到意想不到的效果，其基本思想是否定之否定。

逆向思维在解高中代数类证明题的应用

逆向思维在解高中代数类证明题的应用作者：覃庆东来源：《读与写·中旬刊》2018年第09期摘要：高中阶段是培养学生思维，提高学生思维能力的关键时期，在高中的教学过程中若有意识的培养学生的逆向思维能力不仅能提高学生学习的能力，还能发展学生的创新能力.而证明题在高中数学中占了很重要的地位，因此在高中教学中将数学逆向思维运用于解证明题具有重要的意义。

关键词：逆向思维；数学解题；函数类证明题中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2018）26-0143-021.引言《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010——2020年）》中明确地提出，要培养创新人才，创新教育教学的方法.如今的数学课堂不再是从前的教师教授知识而是以学生为主，强调学生们合作探究交流学习，更加注重培养学生的关键能力以及思维品质.而逆向思维作为思维完整性的补充，能帮助我们克服思维定势，是思维新颖性的一个重要体现，对学生的学习和发展起着重要的促进作用.并且在目前高中数学证明题的解题思路与方法仍然存在一些难以解决的问题，例如学生的解题过程逻辑性不强，在解题的时候不能理解证明题考察的目的，无法解析题目，导致学生做题没有明确的证明步骤，从而解题思路不清晰难以得分，因此研究逆向思维在解数学证明题的应用是非常有意义的。

2.逆向思维的界定本文认为数学逆向思维，就是一般的逆向思维在数学这门学科中的具体体现.而在数学中的逆向思维主要有两个特征：一、“双向性”，即在解题的时候把两个对立统一的定理、概念、运算等交叉思考，然后思维从一个方向转换到相反的方向. 二、“可逆性”，即将题目的结论、推理方法等反过来思考.前苏联的心理学家克鲁捷茨基的研究表明，从顺向的思维序列转到逆向的思维序列的能力是9种重要的数学能力里的其中一种.具有这种数学能力的学生显然具有推理过程顺畅的可逆性，而对于能力差的学生来说这种推理过程确实非常困难的.因此培养逆向思维能力对思维方式日渐成熟稳定的高中生来说，将有助于激发学生的创新精神，同时改善学生学习数学的思维形式形成良好的思维品质.逆向思维从已经有的习惯性思维的反面来思考、分析问题，从而突破常规的束缚，突破旧有思维框架，摆脱思维定势的问题。

逆情悖理也成章r—— 例谈反常法在中学语文教材中的运用

逆情悖理也成章r——例谈反常法在中学语文教材中的运用汤继光【期刊名称】《作文成功之路（中旬）》【年(卷),期】2017(000)006【总页数】1页(P后插1)【作者】汤继光【作者单位】四川省武胜县教育科学研究室【正文语种】中文反常法是文学作品中经常采用的一种写作技法。

“常”，指的是常情、常理，就是人们惯常的情感和思维。

反常，就是作者置读者惯常的情感和思维于不顾，故意反其道而行之，从而达到一种看似逆情悖理，实则合情合理的艺术境界，收到出人意料的欣赏效果。

正因为如此，一些有创见的作者在创作时常常运用这种技法。

中学语文传统教材和现行教材中就有不少成功的例子。

学会这种技法，对于中学生写作有着极大的帮助；如果运用得好，可以大大增强作品的生动性、深刻性和幽默感。

曾入选过国内各种版本语文教材的《春蚕》，是我国现代著名作家茅盾的一篇短篇小说，写的是30年代初上海近郊农村蚕农因为蚕茧丰收而欠债的故事。

按照常理，蚕茧丰收本应给蚕农带来欢乐与幸福，然而事情结果却恰恰相反。

表面看起来有点不可思议，但仔细一想，就能发现其中蕴含的合理性。

1931年，日本帝国主义为了摆脱日益加深的经济危机，悍然发动了针对我国的侵略战争，在加强军事打击的同时，不断加紧经济侵略。

由于大量洋货倾销，民族丝织业陷于破产境地，江南蚕农生产的蚕丝严重缺乏销路，封建高利贷者趁机提高蚕农贷款的利率，资本家也乘机压低蚕茧收购价格，蚕农辛苦劳作，虽然迎来了多年未遇的茧子丰收，却依然没能逃脱欠款负债的厄运。

作者正是通过这种“反常”事理的描写，深刻地揭示了旧中国逐渐沦为半殖民地、半封建社会的根本原因。

人教版义务教育课标教材语文七年级下册选入了法国作家都德的短篇名作《最后一课》，文中写小弗郎士到学校上学时感到了一种与平常完全不同的严肃气氛：平时“在街上也能听到”的教室里的喧闹声没有了，一切“安安静静的，跟星期日的早晨一样”；同学们规规矩矩地坐在座位上；韩麦尔先生穿着“只在督学来视察或发奖的日子才穿戴”的礼服；教室里来了许多听课的市民，“个个看来都很忧郁”。

小学数学解题方法解题技巧之逆推法

小学数学解题方法解题技巧之逆推法小朋友在玩“迷宫”游戏时，在纵横交错的道路中常常找不到出口。

有些聪明的小朋友，反其道而行之，从出口倒回去找入口，然后再沿着自己走过的路返回来。

由于从出口返回时，途径单一，很快就会找到入口，然后再由原路退回，走出“迷宫”自然就不难了。

解应用题也是这样，有些应用题用顺向推理的方法很难解答，如果从问题的结果出发，从后往前逐步推理，问题就很容易得到解决了。

这种从条件或问题反过去想而寻求解题途径的方法，叫做逆推法。

用逆推法解应用题列算式时，经常要根据加减互逆，乘除互逆的关系，把原题中的加用减算，减用加算；把原题中的乘用除算，除用乘算。

（一）从结果出发逐步逆推例1一个数除以4，再乘以2，得16，求这个数。

（适于四年级程度）解：由最后再乘以2得16，可看出，在没乘以2之前的数是：16÷2=8在没除以4之前的数是：8×4=32答：这个数是32。

*例2 粮库存有一批大米，第一天运走450千克，第二天运进720千克，第三天又运走610千克，粮库现有大米1500千克。

问粮库原来有大米多少千克？（适于四年级程度）解：由现有大米1500千克，第三天运走610千克，可以看出，在没运走61 0千克之前，粮库中有大米：1500+610=2110（千克）在没运进720千克之前，粮库里有大米：2110-720=1390（千克）在没运走450千克之前，粮库里有大米：1390+450=1840（千克）答：粮库里原来有大米1840千克。

*例3 某数加上9后，再乘以9，然后减去9，最后再除以9，得9。

问这个数原来是多少？（适于四年级程度）解：由最后除以9，得9，看得出在除以9之前的数是：9×9=81在减去9之前的数是：81+9=90在乘以9之前的数是：90÷9=10在加上9之前，原来的数是：10-9=1答：这个数原来是1。

*例4 解放军某部进行军事训练，计划行军498千米，头4天每天行30千米，以后每天多行12千米。

逆向思维在初中科学教学中的应用

逆向思维在初中科学教学中的应用作者：倪秀秀来源：《中学课程辅导·教学研究》2020年第19期摘要：逆向思维也可以称为求异思维，其概念可以被简单地认为“反其道而行之”。

逆向思维要求学生敢于想象、敢于思考，敢于打破原有的思考模式。

逆向思维在初中科学教育教之中显得尤为重要，而教师无异于是引导学生进行逆向思维的重要关键。

本文将立足于逆向思维在初中科学中的应用分析展开实际探究，希望能够帮助初中教师顺利开展教育教学任务。

关键词：逆向思维；初中科学教育；初中教育教学方式分析中图分类号：G632.0文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）10-0056本文将从逆向思维简要介绍、以转变学生思考位置来培养学生的逆向思维、以实践方式来培养学生的逆向思维和加强学生的基础理论储备量四方面出发对逆向思维在初中科学中的应用展开分析。

强调逆向思维的培养能够对学生的思考能力起到一定的促进作用。

一、逆向思维简要介绍逆向思维的培养要求学生打破原有的思维禁锢，能够跳出一般的思维模式，用一种全新的视角审视问题。

逆向思维的培养与应用较为不易，需要教师立足于初中科学内容进行引导，并发挥个性化教育，确保教育教学内容落在实处。

二、以转变学生思考位置，培养学生的逆向思维在原有教育教学模式中一直以教师为主体，即发挥教师在课堂中的引导作用，这就导致学生往往容易按照教师的固有教育教学模式来思考问题，无法跳出教师的思维模式。

因此，教师应该从自身做起，从教育教学方式做起，以转变学生思考位置来培养学生的逆向思维。

简单地鼓励学生思考是无法起到帮助学生培养逆向思维的，教师还应该将自己的引导巧妙地隐藏到教育教学中，让无形的引导开拓学生思路，不能够用常规教育教学模式束缚学生天马行空的想象力。

教师也应该让学生大胆假设、小心质疑，从而让学生能够积极主动地培养自己的逆向思维。

例如，在讲解八年级上册科学课本第一单元《水和水的溶液时》，教师就可以用“错误教学”的方式来鼓励学生勇敢的质疑和大胆的猜想，从而让学生对教师的教育教学思路存疑，督促学生主动进行思考，主动汲取知识。

高考常考俗语

课间资料：熟语集锦6、按下葫芦又起瓢——顾了这头丢那头，此起彼落。

与成语应接不暇意思相近。

7、拔出萝卜带出泥——1、比喻事情办得不圆满，引起别的麻烦。

【例】你不敢揭发贾总的问题，说明你自己也有问题，是不是害怕拔出萝卜带出泥? 2、贬义，常用来比喻调查先落网的案犯，引出另外的案犯的暴露。

共同犯罪，特别是重大经济犯罪，案犯之间盘根错节，每个案犯的存在都以其他案犯为条件。

借用‘拔出萝卜带出泥’的说法，他们互为萝卜，又互为泥土。

在这种情况下，‘拔出萝卜带出泥’就不可避免。

”8、八九不离十——指与实际情况很接近。

9、八仙过海，各显其能——八仙：道教传说中的八位神仙。

比喻做事各有各的一套办法。

也比喻各自拿出本领互相比赛10、八字没见一撇——比喻事情毫无眉目，未见端绪。

14、白沙在涅，与之俱黑——涅：黑土。

白色的细沙混在黑土中，也会跟它一起变黑。

比喻好的人或物处在污秽环境里，也会随着污秽环境而变坏。

15、百尺竿头，更进一步——佛家语，比喻道行、造诣虽深，仍需修炼提高。

比喻虽已达到很高的境地，但不能满足，还要进一步努力。

16、百花齐放，百家争鸣——比喻艺术及科学的不同派别及风格自由发展与争论。

17、百思不得其解——百：多次；解：理解。

百般思索也无法理解。

21、百足之虫，死而不僵——百足：虫名，又名马陆或马蚿，有十二环节，切断后仍能蠕动。

比喻势家豪族，虽已衰败，但因势力大，基础厚，还不致完全破产。

22、败事有余，成事不足——指非但办不好事情，反而常常把事情搞坏。

23、搬起石头打自己的脚——搬：移动。

比喻本来想害别人，结果害了自己。

自食其果。

32、比上不足，比下有余——赶不上前面的，却超过了后面的。

这是满足现状，不努力进取的人安慰自己的话。

有时也用来劝人要知足。

33、彼一时，此一时——那是一个时候，现在又是一个时候。

表示时间不同，情况有了变化。

34、毕其功于一役——把应该分成几步做的事一次做完。

39、冰冻三尺，非一日之寒——比喻一种情况的形成，是经过长时间的积累、酝酿的。

如何用逆向思维解数学题共4页word资料

如何用逆向思维解数学题一、反问题程序反问题程序是逆向解题的一种表现之一，在运用反问题程序解题时，关键是抓住题目中所提的问题，把原问题逆转后代入题目中反程序思考。

当然，在利用反问题程序的思维方式解题时，对题目的针对性较强，但此种方法只要一适合解所给题时，往往是简单快捷。

例1：100个士兵站成一行，自1起报数，凡报奇数者离队，留下的再次自1起报数，凡报奇数者又离队，这样反复下去，最后留下一个士兵，问这个士兵第一次报数为多少？解法探求：若按问题的原程序，第一轮报数后划掉被淘汰者，第二轮报数后又划掉被淘汰者，如此下去，没有几轮就搅昏了阵线。

现我们转换一种思维方式，把原问题逆转变为了“这个士兵最后一次报数为多少？”易知其在倒数第1轮必报2，在倒数第2必报4，在倒数第3轮必报8，极易得出，倒推回去此兵依次报的是16、32、64。

则第一轮报数为64。

可见在解决类似上面所给问题时，首先应判断能否用反问题程序来解，即由题目中所给问题的可逆性，思考逆转后的问题有什么结果，能否推解到原问题中。

因而，可用以下示意图来表示其解题思路：二、反条件结论这种逆向解题的思维方式主要是表现在对所给题目的条件或结论进行否定后再思考，采取“变过去再变回来”的模式。

然而在运用此类逆向思维解题时，一定要深刻认识进行变动后的题目，即弄清它们的反面意义，确保“变回来”之后是原命题之解。

1、求补法当题目条件本身复杂，或直接根据题目条件求解困难时，可考虑在与原题条件相反的条件下求解，将所得结果取其反面，便回到了原题条件下的结论，此法即为求补法。

它们中至少有一个存在实数根，求m的取值范围。

解法探求：至少有一方程有实根包括七种情况，分别讨论它们的判别式比较费事，而题目条件“至少有一个存在实根”的反面是“三个方程都没有实根”，这反面条件情况单纯，故若改为在反面条件下解出m的取值范围，便可简捷地以其补集作为原来题目的解。

这种思维方法思路清晰，用它解决相关问题时可避免正向思考所带来的大量麻烦。

逆运算学会使用逆运算解决问题

逆运算学会使用逆运算解决问题逆运算：学会使用逆运算解决问题逆运算是数学中一种重要的技巧，用于解决问题和推导出未知量。

通过逆运算，我们可以从某个已知的结果或方程式中，反推出用来得到该结果的初始值。

逆运算在各个领域都有应用，包括代数、几何和物理学等。

在本文中，我们将讨论逆运算的定义、应用和解决问题的方法。

一、逆运算的定义逆运算是指通过运算的逆过程，从已知结果推导出初始值或方程式。

在数学中，有很多种运算和对应的逆运算，比如加法和减法、乘法和除法、幂和开方等。

逆运算是运算的一种反向操作，能够将结果还原回初始状态。

二、逆运算的应用逆运算在数学中有广泛的应用，可以用来解决各种问题。

其中一个常见的应用是解方程。

例如，对于方程式3x + 5 = 20，我们可以通过逆运算来推导出未知数x的值。

首先，我们将方程式转化为3x = 20 - 5，接着使用除法的逆运算将3x的系数3去除，得到x = (20 - 5) / 3，最后得到x的值为5。

逆运算还可以用于计算几何中的未知量。

以三角学为例，逆正弦函数（sin⁻¹）可以帮助我们计算一个角度的正弦值。

通过输入已知的正弦值，逆正弦函数可以得出对应的角度值。

逆正弦函数是正弦函数的逆运算，能够将已知结果转化为初始状态。

三、如何使用逆运算解决问题使用逆运算解决问题需要遵循一定的步骤和方法。

首先，我们需要确定要使用的运算和逆运算。

对于给定的问题，我们需要通过推理和分析确定最合适的方法。

其次，我们需要将问题转化为方程或等式的形式。

将问题转化为数学表达式后，我们可以使用逆运算来求解未知量。

最后，我们需要检查和验证得到的结果是否满足问题的要求，并对解决过程进行复盘。

值得注意的是，逆运算在不同的运算中有不同的性质和规则。

因此，在使用逆运算解决问题时，我们需要熟悉各种运算和对应的逆运算，并根据具体情况选择最合适的方法。

总结：逆运算是数学中非常实用的技巧，可以帮助我们解决各种问题。

通过运算的逆过程，我们能够从已知结果中推导出初始值或方程式。

例谈“常量逆代”在解题中的几种妙用

大小．
得关于Ｘ、Ｙ的齐次方程２ｙ一２ｋｘｙ— ＝０，
解析：令３＋
：ｍ，３一帕：ｎ，
方程两边同除以得２（，１一２．一１：０，
由题设条件可知，ｋｏＡ与尼０Ｂ是关于ｔ的方
例３解方程ｘ３＋２ｘ／ｇｘ２＋５ｘ＋一１：０．解析：令＝ｒ，则５＝ｒ２，原方程转化为Ｘ０＋２ｒｃｃ＋ｒ２＋ｒ一１＝０，变形可得
部或部分常量，将数字问题转化为字母问题来
研究，换言之，暂时把常量看作变量，并通过变动的、一般的状态来考察不变的、特殊的情形．对常量进行逆代，不仅可以使数字间的特征和规律更加突出、明显，而且能避免繁冗的数字计算，收到以简驭繁的效果，更重要的是能找到令人眼前一亮、耳目一新的解题途径．本文结合实例介绍常量逆例４已知抛物线：一去与过点０，一１）
且斜率为ｋ的直线ｆ相交于、Ｂ两点，Ｏ为坐标原点，直线ＯＡ与ＯＢ的斜率之和为１，求直线ｆ的斜率的值．
＋ｒ，于是要比较２＋与的大小，只需比较ｔ＋ｒ与４（０＋ｒ３）的大小．因为 ≠ ｒ，
由原方程知Ｘ≠ ０，因此方程 ① 是关于ｒ
的一元二次方程，解得 — ｌ— 或一
一
．
又因为兰 —
— — 一
：ｒ，所以

关于逆向逻辑思维的方法以及它的特征与作用

关于逆向逻辑思维的方法以及它的特征与作用逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。

下面就是小编给大家带来的关于逆向逻辑思维的方法以及它的特征与作用，希望大家喜欢!逆向逻辑思维的方法：逆向思维的方法1.方位逆向法方位逆向就是双方完全交换，使对方处于己方原先位置的换位。

它不仅仅是指物理空间，更是指一种对立抽象的本质。

相反相成的对立面有：入-出、进-退、上-下、前-后、头-尾，等等。

恋爱中的男女总是时而甜甜蜜蜜、时而吵吵嚷嚷，而吵架的原因不外乎就是抱怨对方从来不为自己考虑，从来都不站在自己的角度想想。

事实上，如果每个人都能真正站在别人的位置上想一想，世界上也就不会再有战争和悲剧了。

遗憾的是，大多数人总是在抱怨对方不站在自己的角度为自己考虑一下的时候，忘了自己也应该站在对方的角度为对方考虑一下。

看来，“逆向换位”是一件说起来容易做起来难的事。

学习方位逆向，首先就在于4个字：设身处地。

在方位逆向的实际应用中，需要你真正站在他人的角度——尤其是存在利益关系的“敌对方”的角度——看待和分析事物。

学习这一点，不仅需要一颗真诚的心，更重要的是创新的智慧。

站在对立面研究解决问题的方式，和对方换一个角度，是“一次逆向换位”。

逆向换位思维还可以多次换位，甚至反复逆向换位。

2次以上的换位就是多次换位。

学习方位逆向，其次就是要学会“换位——再换位”。

之所以要进行多次、反复的逆向换位，是因为我们必须考虑到“对立”的那一方可能也在进行逆向换位思考，思考他人——作出反馈——再思考他人对于你的反馈会作出什么逆向的反馈——重新反馈……这就是逆向换位思想的升级，是兑换为思想的终极把握。

在这样的换位对抗中谁胜谁负，就要看谁在换位思考上胜人一筹了。

事物的属性往往是多向位的，一件事情可以从不同的角度去理解，即使同一件事情从不同的角度观察，其性质也可以是多方面的，并且是相互转化的。

就像钱钟书说的“以酒解酒、以毒攻毒、豆燃豆萁、鹰羽射鹰”，包含着极大的矛盾性。

反其道而行之聊聊反证法

反其道而行之聊聊反证法要证明一台电脑坏了，可以有两种办法：一种办法是拆开电脑，检查零部件和线路，只要能找出一个故障，我们就说它坏了；另一种办法是接上电源，在有转播信号的前提下，如没有图像、声音等，就断定它坏了.这种从反面回答问题的思维方法在数学中非常有用，请看下面有趣的问题：“今有4只鸽子要飞进甲、乙、丙三个洞，试证明至少有一个洞里至少飞进2只鸽子”.一个自然的想法是列举各种可能情况，如下表：共有15种情况，无论哪种情况均有一个洞至少飞进2只鸽子，因而命题得证.显然这样的证明是很麻烦的.如果数字再大些，譬如证明10只鸽子飞进3个洞至少有1个洞至少飞进4只鸽子，计算量将非常大，而且会由于考虑不周（或遗漏或重复）而算错.现在尝试从反面进行考虑.假设每一个洞里至多飞进一只鸽子，于是甲、乙、丙三个洞的鸽子总数至多只有3只，这与已知条件有4只鸽子飞进洞里矛盾.所以，每一个洞里至多飞进一只鸽子的假设是错误的.因此，至少有一个洞里至少有2只鸽子.显然，这个证明方法比上面的方法简便得多.而且这个方法对于证明10只鸽子飞进3个洞里至少有一个洞里至少飞进4只鸽子同样使用.这种反其道而行之的证明方法就是反证法.仔细分析一下，上面的证明包含四个步骤：1.假设命题的结论不成立。

2.经过推理导致矛盾结果。

3.断定“结论不成立”的假设是错误的。

4.肯定原来命题的结论正确。

我们再举个有趣的反证法的例子。

1589年，25岁的意大利科学家伽利略，为了推翻古希腊哲学家亚里士多德的“不同重量的物体从高空下落的速度预期重量成正比”的错误论断，她除了拿两个重量不同的铁球登上比萨斜塔，当中做实验来说明外，还是用反证法来加以证明：假设亚里士多德的断言是正确的，设物体A比物体B中重的多，则A应比B先落地。

现在把A与B捆在一起成为物体（A+B）.一方面，由于（A+B）比A重，它应比A先落地；另一方面，由于A比B洛的快，A、B在一起时B应减慢A的下落速度，所以（A+B）又应比A现落地，这样便得到了自相矛盾的结论：（A+B）既应比A先落地，有应比A后落地。

逆运算的应用与解题技巧

逆运算的应用与解题技巧逆运算（inverse operation）是指将某种运算的结果还原为原始值的运算。

在数学中，逆运算是解决问题的常用方法之一。

通过理解逆运算的应用与掌握解题技巧，我们可以更加高效地解决各类数学问题。

本文将介绍逆运算的基本概念、常见应用以及解题技巧。

一、逆运算的基本概念任何运算都有其相应的逆运算。

逆运算可以将运算的结果还原为原始值。

比如，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法等。

通过使用逆运算，我们可以反向推导出问题中的未知数或隐藏的信息。

二、逆运算的常见应用逆运算在各个数学领域都有广泛的应用。

下面将举例介绍逆运算在方程求解、函数图像研究、几何计算等方面的应用。

1. 方程求解在代数学中，逆运算是解方程的基本步骤之一。

例如，对于一个包含未知数x的等式4x + 3 = 15，我们可以通过逆运算找到x的值。

首先，我们可以使用减法逆运算减去3，得到4x = 12；然后，再使用除法逆运算除以4，最终得到x = 3。

通过逆运算，我们可以求解出方程中的未知数，从而解决各种代数问题。

2. 函数图像研究在函数图像研究中，逆运算可以帮助我们探究函数的对称性和反函数的关系。

例如，对于一个函数y = f(x)，通过求解逆运算，我们可以获得其反函数x = f^(-1)(y)。

通过对比原始函数和反函数的特点，可以更好地理解函数的图像特点及其性质。

3. 几何计算几何计算中的逆运算常常涉及到相反的几何操作。

例如，对于一个三角形的面积计算，我们可以根据逆运算将面积转化为边长。

又如，对于一个平行四边形，通过逆运算可以计算得出四边形内角的度数或对边的长度。

逆运算在几何计算中可以帮助我们有效地解决形状和尺寸的问题。

三、逆运算的解题技巧理解逆运算的应用，对于解决数学问题非常重要。

下面将介绍几个解题技巧。

1. 观察运算规律逆运算往往存在于运算规律中。

通过观察运算的特点，分析逆运算是哪一种运算，可以更快地找到解决问题的途径。