2
2
， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos60°－cos(C ＋60°)sin60°＝6＋2
4
. 18．(2019·广东梅州总复习质检)如图，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE .
(1)求证：AB ⊥平面ADE ；
(2)当EA ＝ED 时，求二面角D －EB －C 的余弦值． 解 (1)证明：∵AE ⊥平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴AE ⊥CD .又四边形ABCD 是正方形， ∴AB ⊥AD ，AB ∥CD ，∴AB ⊥AE ，AE ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ADE .
(2)由(1)知，AB ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ， ∴AB ⊥DE ，∴CD ⊥DE .
过E 作Ey ∥CD ，则有EA ⊥Ey ，EA ⊥ED ，ED ⊥Ey .
以E 为原点，分别以ED ，Ey ，EA 为坐标轴，建立如图的空间直角坐标系．
设EA ＝ED ＝a >0，∴CD ＝AD ＝2a .可得E (0,0,0)，A (0,0，a )，B (0，－2a ，a )，D (a,0,0)，
C (a ，－2a,0)．
则ED →＝(a,0,0)，EB →＝(0，－2a ，a )，EC →
＝(a ，－2a,0)． 设平面DEB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则有⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·ED →＝x ，y ，z
a ，0，＝ax ＝0，
n ·EB →＝x ，y ，z
，－2a ，a ＝－2ay ＋az ＝0，
令y ＝2，得n ＝(0，2，2)．
设平面EBC 的一个法向量为m ＝(p ，q ，r )，则 ⎩⎪⎨
⎪⎧
m ·EC →＝p ，q ，r
a ，－2a ，＝ap －2aq ＝0，
m ·EB →＝p ，q ，r
，－2a ，a ＝－2aq ＋ar ＝0，
令q ＝2，得m ＝(2，2，2)． 得cos 〈n ，m 〉＝n ·m
|n ||m |
＝，2，，2，
6×10
＝
6
215
＝155.
所以二面角D －EB －C 的余弦值为
15
5
. 19．(2019·安徽蚌埠第三次质检)已知点E (－2,0)，F (2,0)，P (x ，y )是平面内一动点，
P 可以与点E ，F 重合．当P 不与E ，F 重合时，直线PE 与PF 的斜率之积为－14
.
(1)求动点P 的轨迹方程；
(2)一个矩形的四条边与动点P 的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围．
解 (1)当P 与点E ，F 不重合时，k PE ·k PF ＝－14，得y x ＋2·y x －2＝－14，即x 2
4＋y 2
＝1(y ≠0)，
当P 与点E ，F 重合时，P (－2,0)或P (2,0)． 综上，动点P 的轨迹方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知S ＝8.
当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y ＝kx ＋m ，则其对边方程为y ＝kx －m ，另一边所在直线方程为y ＝－1k x ＋n ，则其对边方程为y ＝－1
k
x －n ，
联立⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2＋4y 2
＝4，
y ＝kx ＋m ，
得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝0，即4k 2＋1＝m 2
. 矩形的一边长为d 1＝
|2m |
k 2＋1
，同理，4k 2
＋1＝n 2
，矩形的另一边长为d 2＝|2n |1k
2＋1
， S ＝d 1·d 2＝
|2m |
k 2＋1
·|2n |1
k
2＋1
＝|4mnk |
k 2＋1 ＝4
k 2＋k 2＋
k 2＋2
＝4
4k 4＋17k 2
＋4
k 2＋2
＝4 4＋9k 2
k 2
＋
2
＝44＋
9
k 2
＋1k
2＋2
∈(8,10]． 综上，S ∈(8,10]．
20．(2019·安徽江淮十校第三次联考)已知函数f (x )＝x －1
1＋x ，g (x )＝(ln x )2－2a ln x
＋13
a . (1)讨论f (x )的单调性；
(2)若存在x 1∈[0,1]，使得对任意的x 2∈[1，e 2
]，f (x 1)≥g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．
解 (1)f ′(x )＝1＋
1＋x
2
>0，又x ≠－1，故f (x )在(－∞，－1)为增函数，在
()－1，＋∞也为增函数．
(2)由(1)可知，当x ∈[0,1]时，f (x )为增函数，f (x )max ＝f (1)＝1
2，由题意可知g (x )＝
(ln x )2－2a ln x ＋13a ≤12对任意的x ∈[0,2]恒成立．令t ＝ln x ，则当x ∈[1，e 2
]时，t ∈[0,2]，
令h (t )＝t 2
－2at ＋13a －12
，问题转化为h (t )≤0对任意的t ∈[0,2]恒成立，由抛物线h (t )的
开口向上，知⎩⎪⎨
⎪⎧
h
，h
，
即⎩⎪⎨⎪⎧
13a －1
2≤0，4－4a ＋13a －1
2
≤0，解得2122≤a ≤3
2
.故实数a 的取值
