高中数学人教B版必修四2.1.5《向量共线的条件与轴上向量坐标运算》word随堂练习

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高中数学人教B版必修四2.1《向量共线的条件与轴上向量坐标运算》word导学案

2、在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC 与 BD 交于 O 点，

。
④ NQ QP MN MP 。其中值为 0 的是（
C、ABCD 是矩形 D、ABCD 是正方形
）
§ 2.1.3 向量的减法（课堂探究案）
一、学习目标：1、理解向量减法的运算及其几何意义； 2、会将向量减法转化为加法. 二、学习重难点：对向量减法意义的理解. 三、典例分析
备课札记学习笔记
例 1、已知平行四边形 ABCD， AB = a ， AD = b ，用 a ， b 分别表示向量

2、若 AB = a ，则 BA = 。 a )=
则 a - b = OA - OB =
。
，与向量 a 方向相反，等长的向量叫做

， a +(-

O
。
A
3、一个向量减去另一个向量等于加上二、课前自测 1、平行四边形 ABCD 中，若 AB = a ， AD = b ，则（

D、 b - a + c
）
D
C
例 2、已知向量 a ， b ， c 与 d ，求作 a - b ， c - d 。
A
B
a
c
b
d
当堂检测： 1、化简：
（1） MN MP NQ PQ =
备课札记学习笔记

2.向量 a 、 b 满足| a |=1，| b |=3，则| a - b |的最小值为最大值为。

高中数学第2章平面向量2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算教案含解析新人教B版必修4

2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算1．平行向量基本定理 (1)平行向量基本定理：如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb .(2)单位向量：给定一个非零向量a ，与a 同方向且长度等于1的向量，叫做向量a 的单位向量，如果a 的单位向量记作a 0，由数乘向量的定义可知：a ＝|a |a 0或a 0＝a|a |.2．轴上向量的坐标及其运算(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴．已知轴l ，取单位向量e ，使e 的方向与l 同方向．根据向量平行的条件，对轴上任意向量a ，一定存在唯一实数x ，使a ＝x e .反过来，任意给定一个实数x ，我们总能作一个向量a ＝x e ，使它的长度等于这个实数x 的绝对值，方向与实数的符号一致．单位向量e 叫做轴l 的基向量，x 叫做a 在l 上的坐标(或数量)．(2)x 的绝对值等于a 的长，当a 与e 同方向时，x 是正数，当a 与e 反方向时，x 是负数．实数与轴上的向量建立起一一对应关系．(3)向量相等与两个向量的和：设a ＝x 1e ，b ＝x 2e ，于是：如果a ＝b ，则x 1＝x 2；反之，如果x 1＝x 2，则a ＝b ；另外，a ＋b ＝(x 1＋x 2)e ，这就是说，轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和．(4)向量AB →的坐标常用AB 表示，则AB →＝AB e .AB →表示向量，而AB 表示数量，且有AB ＋BA ＝0.(5)轴上向量的坐标：在数轴x 上，已知点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB ＝x 2－x 1，即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(6)数轴上两点的距离公式：在数轴x 上，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则|AB |＝|x 2－x 1|.思考：在平行向量基本定理中，为什么要求b ≠0?[提示] 若b ＝0，则0∥a ，但是λ0＝0，从而a ＝λb 中的实数λ具有不确定性，进而不能说存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb .1．数轴上点A ，B ，C 的坐标分别为－1,1,5，则下列结论错误的是( ) A.AB →的坐标是2 B.CA →＝－3AB → C.CB →的坐标是4D.BC →＝2AB →C [CB →的坐标为1－5＝－4，故C 项不正确．故选C.] 2．以下选项中，a 与b 不一定共线的是( ) A ．a ＝5e 1－e 2，b ＝2e 2－10e 1 B ．a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2C ．a ＝e 1－2e 2，b ＝e 2－2e 1D ．a ＝3e 1－3e 2，b ＝－2e 1＋2e 2C [选项A ，b ＝－2a ；选项B ，b ＝14a ；选项D ，b ＝－23a .只有选项C 中a 与b 不共线．]3．设e 1，e 2不共线，b ＝e 1＋λe 2与a ＝2e 1－e 2共线，则λ＝________. －12[由题意可得存在实数k ，使得b ＝k a ，则 e 1＋λe 2＝2k e 1－k e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＝1λ＝－k ⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，λ＝－12.](1)若AC ＝5，求c 的值； (2)若|BD |＝6，求d 的值；(3)若AC →＝－3AD →，求证：3CD →＝－4AC →.[思路探究] 据条件表示出两点所对应的向量的坐标，然后求解． [解] (1)∵AC ＝5， ∴c －(－4)＝5，∴c ＝1.(2)∵|BD |＝6，∴|d －(－2)|＝6，即d ＋2＝6或d ＋2＝－6， ∴d ＝4或d ＝－8.(3)证明：因为CD →＝CA →＋AD →＝－AC →＋AD →，而AC →＝－3AD →，所以CD →＝－(－3AD →)＋AD →＝4AD →，所以3CD →＝12AD →，又－4AC →＝－4×(－3AD →)＝12AD →，故3CD →＝－4AC →.正确理解和运用轴上向量的坐标及长度计算公式是学习其他向量计算的基础；解答本题首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序，还要注意模运算中可能会出现的两种情形.1．已知数轴上A ，B 两点的坐标为x 1，x 2，求AB →，BA →的坐标和长度． (1)x 1＝2，x 2＝－5.3；(2)x 1＝10，x 2＝20.5. [解] (1)∵x 1＝2，x 2＝－5.3，∴AB ＝－5.3－2＝－7.3，BA ＝2－(－5.3)＝7.3. ∴|AB →|＝7.3，|BA →|＝7.3. (2)同理AB ＝10.5，BA ＝－10.5. |AB →|＝10.5，|BA →|＝10.5.[思路探究] 解题时首先结合图形与所证问题，把几何条件转化为向量条件，然后利用向量的线性运算与平行向量基本定理求证．[证明] 延长EF 到M ，使EF ＝FM ，连接CM ，BM ，EC ，EB ，得ECMB ，由平形四边形法则得 EF →＝12EM →＝12(EB →＋EC →)．由于AB ∥DC ，所以AB →，DC →共线且同向，根据平行向量基本定理，存在正实数λ，使AB →＝λDC →.由三角形法则得EB →＝EA →＋AB →，EC →＝ED →＋DC →且ED →＋EA →＝0， ∴EF →＝12(EB →＋EC →)＝12(EA →＋AB →＋ED →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝1＋λ2DC →， ∴EF →∥DC →.由于E ，D 不共点，∴EF ∥DC ∥AB .1．用平行向量基本定理证明直线平行或三点共线时，关键是把一个向量用有关向量线性表示，同时有机地结合向量的线性运算及图形完成证明．2．用向量法证明几何问题的一般步骤是：首先用向量表示几何关系，然后进行向量运算，得到新的适合题目要求的向量关系，最后将向量关系还原为几何关系．2．已知e ，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →＝－5e －3f .(1)将AD →用e ，f 表示； (2)证明四边形ABCD 为梯形．[解] (1)根据向量求和的多边形法则，有AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →，即AD →＝2BC →.所以AD →∥BC →，且AD →的长度为BC →的长度的2倍，所以在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 为梯形.1.在平行向量基本定理中，为什么要求“b ≠0”？[提示] 若b ＝0，则λ不唯一，另外b 相对于a 而言是一个度量标准，度量标准不能为0.2．如何证明A 、B 、C 三点共线？[提示] 只需构造两个向量AB →，AC →，并证明AB →＝λAC →即可．【例3】如图所示，已知在ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，且3BN ＝BD .求证：M ，N ，C 三点共线．[思路探究] 利用向量的运算法则将MC →，MN →两向量分别用AB →，AD →表示出来，再利用平行向量基本定理判定MC →，MN →共线，从而证明M ，N ，C 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，则BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋b ， BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ， MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ，∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ，∴MN →＝13MC →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点， ∴M 、N 、C 三点共线．平行向量基本定理的两个方面的应用：(1)一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行，进而证明三点共线，三角形相似，两线段平行以及用来判断图形的形状等．(2)若两向量平行，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示，可以用来求参数，它是轴上向量坐标化的依据．3．设两个非零向量e 1，e 2不共线，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．[解] 设存在k ∈R ，使得A ，B ，D 三点共线，∵DB →＝CB →－CD →＝(e 1＋3e 2)－(2e 1－e 2)＝－e 1＋4e 2. 又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →＝λDB →， ∴2e 1＋k e 2＝λ(－e 1＋4e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－λ，k ＝4λ，∴k ＝－8，所以存在k ＝－8，使得A ，B ，D 三点共线．(教师用书独具)1．向量共线定理的两个作用(1)证明线段平行，但要注意向量共线时，两向量所在的线段可能平行，也可能共线． (2)证明点共线，当两向量共线，且有公共点时，则表示向量的线段必在同一条直线上，从而向量的起点、终点必共线．2．证明三点共线的等价命题向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．如图A 、B 、C 三点共线，则AB →＝λAC →，任取直线AC 外一点P ，则PB →－PA →＝λ(PC →－PA →)，所以PB →＝λPC →＋(1－λ)PA →，由此可推出三点共线的等价命题：A 、B 、C 三点共线等价于PB →＝λPC →＋μPA →(λ、μ∈R 且λ＋μ＝1).1．设e 1，e 2是两个单位向量，则下列结论中正确的是( ) A ．e 1＝e 2 B ．e 1∥e 2 C ．|e 1|＝|e 2|D ．以上都不对C [单位向量的模都等于1个单位，故C 项正确．]2.如图所示，已知OA →′＝3OA →，A ′B ′→＝3AB →，则向量OB →与OB ′→的关系为( ) A ．共线 B ．同向 C ．共线且同向D ．共线、同向，且OB ′→的长度是OB →的3倍 D [由题意，知OA OA ′＝AB A ′B ′，∴AB ∥A ′B ′，∴OB OB ′＝OA OA ′＝13，∴OB ′→＝3OB →，故选D.] 3．设a ，b 是两个不共线的向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值是________．－1 [∵A 、B 、D 三点共线， ∴存在实数λ使AB →＝λBD →，又BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，AB →＝2a ＋p b ， ∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1.]4.如图，ABCD 为一个四边形，E ，F ，G ，H 分别为BD ，AB ，AC 和CD 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．[证明] ∵F ，G 分别是AB ，AC 的中点， ∴FG →＝12BC →.同理，EH →＝12BC →.∴FG →＝EH →. 同理EF →＝HG →.∴四边形EFGH 为平行四边形．。

高中数学人教B版必修四学案：2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算

2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算[学习目标] 1.理解平行向量基本定理，能熟练运用该定理处理向量共线和三点共线问题.2.理解轴上向量坐标的含义及运算.3.能运用轴上向量的坐标及长度公式进行相关的计算．[知识链接]1．请观察a ＝m －n ，b ＝－2m ＋2n ，回答a 、b 有何关系？答因为b ＝－2a ，所以a 、b 是平行向量．2．若a 、b 是平行向量，能否得出b ＝λa ？为什么？答可以．因为a 、b 平行，它们的方向相同或相反．[预习导引]1．平行向量基本定理(1)平行向量基本定理：如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb .(2)a 的单位向量：给定一个非零向量a ，与a 同方向且长度等于1的向量，叫做向量a 的单位向量，记作a 0.由数乘向量的定义可知a ＝|a |a 0或a 0＝a |a |. 2．轴上向量的坐标(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴．当在轴上选一定点O 作为原点时，轴就成了数轴．(2)轴上向量的坐标：已知轴l ，取单位向量e ，使e 的方向与轴l 的方向相同，对轴上任意向量a ，一定存在唯一实数x ，使a ＝x e ，单位向量e 叫做轴l 的基向量，x 叫做a 在l 上的坐标(或数量)．①给定单位向量e ，能生成与它平行的所有向量的集合{x e |x ∈R }；②x 的绝对值等于a 的长；当a 与e 同方向时，x 是正数，当a 与e 反方向时，x 是负数．于是在一条轴上，实数与这条轴上的向量建立起一一对应关系，我们就可用数值来表示向量．3．轴上向量的坐标运算(1)轴上两个向量相等的法则：轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等，即设a ＝x 1e ，b ＝x 2e ，则a ＝b ⇔x 1＝x 2.(2)轴上求两个向量和的法则：轴上两个向量的和的坐标等于两个向量的坐标的和，即设a ＝x 1e ，b ＝x 2e ，则a ＋b ＝(x 1＋x 2)e .(3)轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，即在数轴x 上，OA →＝x 1e ，OB →＝x 2e ，则AB →＝(x 2－x 1)e .(4)数轴上两点的距离公式：|AB |＝|x 2－x 1|.要点一向量共线的判定及应用例1 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线．(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．(1)证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →.∴AB →，BD →共线，且有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．(2)解 ∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在λ使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1. 规律方法 (1)本题充分利用了平行向量基本定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．跟踪演练1 已知e 1，e 2是共线向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝6e 1－8e 2，则a 与b 是否共线？解因为e 1，e 2共线，所以存在λ∈R ，使e 1＝λe 2，所以a ＝3e 1＋4e 2＝(3λ＋4)e 2，b ＝6e 1－8e 2＝(6λ－8)e 2，所以a ＝3λ＋46λ－8b ⎝⎛⎭⎫λ≠43，所以a ，b 共线，当λ＝43时，b ＝0，a ，b 也共线．综上，a 与b 共线．要点二向量法解决共线问题例2如图所示，已知在▱ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，且3BN ＝BD .求证：M 、N 、C 三点共线．证明设AB →＝a ，AD →＝b ，则BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋b ，BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ，MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ， ∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ， MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b ＝13⎝⎛⎭⎫12a ＋b ， ∴MN →＝13MC →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点． ∴M 、N 、C 三点共线．规律方法利用共线向量基本定理可以证明平面几何中的直线平行或三点共线问题．跟踪演练2 已知两个非零向量e 1和e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A 、B 、D 三点共线．证明 ∵BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，∴BD →＝BC →＋CD →＝(6e 1＋23e 2)＋(4e 1－8e 2)＝10e 1＋15e 2.又∵AB →＝2e 1＋3e 2，∴BD →＝5AB →，∴AB →、BD →共线，且有公共点B .∴A 、B 、D 三点共线．要点三轴上向量的坐标运算例3 已知A 、B 、C 为数轴上三点，且x A ＝－2，x B ＝6，试求符合下列条件的点C 的坐标．(1)AC ＝10；(2)|AC →|＝10；(3)|AC →|＝3|BC →|.解 (1)∵AC ＝10，∴x C －x A ＝10，∴x C ＝x A ＋10＝8.(2)∵|AC →|＝10，∴AC ＝10或AC ＝－10，当AC ＝10时，x C －x A ＝10，x C ＝x A ＋10＝8；当AC ＝－10时，x C －x A ＝－10，x C ＝x A －10＝－12.(3)∵|AC →|＝3|BC →|，∴AC →＝3BC →或AC →＝－3BC →.当AC →＝3BC →时，x C －x A ＝3(x C －x B )，∴x C ＝12(3x B －x A )＝10. 当AC →＝－3BC →时，x C －x A ＝－3(x C －x B )，∴x C ＝14(3x B ＋x A )＝4. 规律方法注意题目中AC ＝10与|AC →|＝10，|AC →|＝3|BC →|与AC →＝3BC →，它们的含义不一样，解题时要注意区分，避免出错．跟踪演练3 已知数轴上A 、B 两点的坐标x 1、x 2，根据下列各题中的已知条件，求点A 的坐标x 1：(1)x 2＝3，AB ＝5；(2)x 2＝－5，|AB |＝2.解 (1)AB ＝x 2－x 1＝5，∴x 1＝x 2－5＝－2.(2)∵|AB |＝|x 2－x 1|＝2，∴x 2－x 1＝－2或2.∴x 1＝x 2－(－2)＝－3或x 1＝x 2－2＝－7.1．点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，设BC →＝λAB →，则λ的值为( ) A.25 B ．－25 C.52 D ．－52答案 B2．已知M 、P 、N 三点在数轴上，且点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，则点N 的坐标为________．答案 113．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________.答案－12解析由题意知：a ＋λb ＝k (2a －b )，则有：⎩⎪⎨⎪⎧1＝2k ，λ＝－k ， ∴k ＝12，λ＝－12. 4．如图，ABCD 为一个四边形，E 、F 、G 、H 分别为BD 、AB 、AC 和CD 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．证明 ∵F 、G 分别是AB 、AC 的中点．∴FG →＝12BC →.同理，EH →＝12BC →. ∴FG →＝EH →.同理EF →＝HG →.∴四边形EFGH 为平行四边形．1.共线向量定理是证明三点共线的重要工具．即三点共线问题通常转化为向量共线问题．2．轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．。

高中数学人教B版必修四讲义：第二章 2.1 2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 Word版含答案

向量的线性运算2．1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算预习课本P90～93，思考并完成以下问题(1)平行向量基本定理是怎样表述的？(2)轴上向量的坐标是怎样表示的？(3)轴上向量的坐标运算法则是什么？[新知初探]1．平行向量基本定理(1)平行向量基本定理如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb.(2)单位向量．给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a0，则a＝|a|a0或a0＝a |a|.[点睛]对定理两个方面的说明(1)第一个方面“若a＝λb，则a∥b”中没有b≠0的要求，当b＝0时a＝0对任意的实数λ都能使a∥b.(2)第二方面“若a∥b且b≠0，则存在唯一一个实数λ使a＝λb”中必须有b≠0，否则a ＝0时λ不唯一，a≠0时，λ不存在．2．轴上向量的坐标及其运算(1)轴上向量的坐标(2)轴上向量的坐标运算|AB [点睛]AB是一个向量，既有大小，也有方向．而AB表示AB的坐标，它是一个实数．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平行向量基本定理，条件b≠0可以去掉．()(2)若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b是共线向量．()(3)若a与b共线，则存在唯一实数λ，使b＝λa成立．答案：(1)×(2)√(3)×2．数轴上三点A，B，C的坐标分别为－1,2,5，则()A．AB＝－3B．BC＝3C．AC＝6 D．AB＝3 答案：B3．在四边形ABCD中，若AB＝－12CD，则此四边形是()A．平行四边形B．菱形C．梯形D．矩形答案：C4．已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标x B＝3，AB＝5，AC＝2，则点C的坐标为________．答案：0轴上向量的坐标运算[典例]已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.(1)x2＝－5，BA＝－3；(2)x2＝－1，|AB|＝2.[解](1)因为BA＝x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8.(2)因为|AB|＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3.轴上向量的坐标及长度计算的方法(1)轴上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标．(2)轴上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度．[活学活用]已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是－8，－3,7，求AB，BC，CA的坐标和长度．解：AB＝(－3)－(－8)＝5，|AB|＝|5|＝5；BC＝7－(－3)＝10，|BC|＝|10|＝10；CA＝(－8)－7＝－15，|CA|＝|－15|＝15.共线向量定理的应用题点一：判断或证明点共线1．已知两个非零向量a 与b 不共线，AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB . ∴AB ，BD 共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．题点二：利用向量共线确定参数2．设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？解：d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2，要使d 与c 共线，则存在实数k ，使得d ＝kc ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2ke 1－9ke 2.由⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ. 故存在实数λ和μ，使得d 与c 共线，此时λ＝－2μ. 题点三：几何图形形状的判定3．如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ＝13AB ＋25AC ，BQ ＝15AB ＋25AC . 求证：四边形APQB 为梯形．证明：因为PQ ＝PA ＋AB ＋BQ ＝－13AB －25AC ＋AB ＋15AB ＋25AC ＝1315AB ，所以PQ ∥AB .又|AB |＝15，所以|PQ |＝13，故|PQ |≠|AB |，于是四边形APQB 为梯形．用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB＝λAC ，则AB ，AC 共线，又AB 与AC 有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．层级一学业水平达标1．已知数轴上两点M ，N ，且|MN |＝4.若x M ＝－3，则x N 等于( ) A ．1 B ．2 C ．－7D ．1或－7解析：选D |MN |＝|x N －(－3)|＝4， ∴x N －(－3)＝±4，即x N ＝1或－7.2．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为边BC 的中点，且2OA ＋OB ＋OC ＝0，则( )A ．AO ＝ODB ．AO ＝2ODC ．AO ＝3ODD ．2AO ＝OD解析：选A ∵在△ABC 中，D 为边BC 的中点，∴OB ＋OC ＝2OD ，∴2(OA ＋OD )＝0，即OA ＋OD ＝0，从而AO ＝OD .3．点P 满足向量OP ＝2OA －OB ，则点P 与AB 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上 C ．点P 在线段AB 的反向延长线上 D ．点P 在直线AB 外解析：选C ∵OP ＝2OA －OB ，∴OP －OA ＝OA －OB ， ∴AP ＝BA ，∴点P 在线段AB 的反向延长线上，故选C.4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ＝23CA ＋13CB ，又AP ＝t AB ，则t 的值为( )A.13 B.23 C.12D.53解析：选A 由题意可得AP ＝CP －CA ＝23CA ＋13CB －CA ＝13(CB －CA )＝13AB ，又AP ＝t AB ，∴t ＝13.5．设e 1，e 2不共线，b ＝e 1＋λe 2与a ＝2e 1－e 2共线，则实数λ的值为( ) A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选B 设a ＝kb (k ∈R)，则2e 1－e 2＝ke 1＋kλe 2.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，kλ＝－1，∴λ＝－12.6．在数轴x 上，已知OA ＝－3e (e 为x 轴上的单位向量)，且点B 的坐标为3，则向量AB ―→的坐标为________．解析：由OA ＝－3e ，得点A 的坐标为－3，则AB ＝3－(－3)＝6，即AB 的坐标为6. 答案：67．下列向量中a ，b 共线的有________(填序号)． ①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.解析：①中，a ＝－b ；②中，b ＝－2e 1＋2e 2＝－2(e 1－e 2)＝－2a ；③中，a ＝4e 1－25e 2＝4⎝⎛⎭⎫e 1－110e 2＝4b ；④中，当e 1，e 2不共线时，a ≠λb .故填①②③. 答案：①②③8．已知M ，P ，N 三点在数轴上，且点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，则点N 的坐标为________．解析：设点M ，N 的坐标分别为x 1，x 2，∵点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x 1＝2，x 2－x 1＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，x 2＝11.故点N 的坐标为11. 答案：119．已知数轴上A ，B ，C 三点．(1)若AB ＝2，BC ＝3，求向量AC ―→的坐标； (2)若AB ＝BC ，求证：B 是AC 的中点．解：(1)AC ＝AB ＋BC ＝5，即向量AC ―→的坐标为5. (2)∵AB ＝BC ，∴b －a ＝c －b ， ∴b ＝a ＋c 2，故B 是AC 的中点．10．已知：在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD 为梯形．证明：如图所示．∵AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b ) ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )， ∴AD ＝2BC .∴AD 与BC 共线，且|AD |＝2|BC |. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．层级二应试能力达标1．已知向量AB ＝a ＋3b ，BC ＝5a ＋3b ，CD ＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线解析：选B BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB ，由于BD 与AB 有公共点B ，因此A ，B ，D 三点共线．2．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交DC 于点F ，若AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝( )A.13a ＋b B.12a ＋bC ．a ＋13bD ．a ＋12b解析：选A 由已知条件可知BE ＝3DE ，∴DF ＝13AB ，∴AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋13AB ＝13a ＋b .3．已知向量a ，b 不共线，若AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为( )A ．λ1＝λ2＝1B ．λ1＝λ2＝－1C ．λ1λ2＝1D ．λ1＋λ2＝1解析：选C ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ＝k AC (k ≠0)． ∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b . 又∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，1＝kλ2，∴λ1λ2＝1. 4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＋PC ＝0，若实数λ满足AB ＋AC ＝λAP ，则λ的值为( )A ．2 B.32C ．3D ．6解析：选C 如图，取BC 的中点为D ，则PB ＋PC ＝2PD . 又PA ＋PB ＋PC ＝0，∴2PD ＝－PA ，∴A 、P 、D 三点共线且|PA |＝2|PD |， ∴AP ＝23AD .又∵AB ＋AP ＝2AD ，∴AB ＋AP ＝3AP ，即λ＝3.5．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，即(m －λ)a ＋(mλ－2λ－3)b ＝0，因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m ＝－1或m ＝3. 答案：－1或36．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2方向相反，则k ＝______. 解析：∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2共线， ∴ke 1＋2e 2＝λ(8e 1＋ke 2)＝8λe 1＋λke 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝8λ，2＝λk ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝12，k ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，k ＝－4.∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2反向， ∴λ＝－12，k ＝－4.答案：－47．已知数轴上四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是－4，－2，c ，d . (1)若AC ＝5，求c 的值； (2)若|BD |＝6，求d 的值；(3)若AC ＝－3AD ，求证：3CD ＝－4AC . 解：(1)∵AC ＝5，∴c －(－4)＝5，∴c ＝1. (2)∵|BD |＝6，∴|d －(－2)|＝6，即d ＋2＝6或d ＋2＝－6， ∴d ＝4或d ＝－8.(3)证明：∵AC ＝c ＋4，AD ＝d ＋4，又AC ＝－3AD ，∴c ＋4＝－3(d ＋4)，即c ＝－3d －16. 3CD ＝3(d －c )＝3d －3c ＝3d －3(－3d －16)＝12d ＋48，－4AC ＝－4c －16＝－4(－3d －16)－16＝12d ＋48， ∴3CD ＝－4AC .8.如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a ，b 表示向量 OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求λ的值．解：(1)由A 是BC 的中点，则有OA ＝12(OB ＋OC )，从而OC ＝2OA －OB ＝2a －b .由D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，得OD ＝23OB ，从而DC ＝OC －OD ＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由于C ，E ，D 三点共线，则EC ＝μDC ，又EC ＝OC －OE ＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC ＝2a －53b ，从而(2－λ)a －b ＝μ⎝⎛⎭⎫2a －53b ，又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.。

数学人教B版必修4训练：2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 Word版含解析

2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算一、基础过关1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( )A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝122．已知点B 的坐标为(m ，n )，AB →的坐标为(x ，y )，则点A 的坐标为( )A ．(m －x ，n －y )B ．(x －m ，y －n )C ．(m ＋x ，n ＋y )D ．(m ＋n ，x ＋y )3．已知O 是四边形ABCD 所在平面内的一点，且OA →、OB →、OC →、OD →满足等式OA →＋OC →＝OB→＋OD →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．梯形D ．等腰梯形4．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．B 、C 、D B ．A 、B 、C C ．A 、B 、DD ．A 、C 、D5．已知A 、B 、P 三点共线，O 为平面内任一点，若OP →＝λOA →＋2OB →，则实数λ的值为________． 6．设e 1，e 2是两个不共线的向量，关于向量a ，b 有①a ＝2e 1，b ＝－2e 1；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.其中a ，b 共线的有________．(填序号) 7．两个非零向量a 、b 不共线．(1)若A B →＝a ＋b ，B C →＝2a ＋8b ，C D →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)求实数k 使k a ＋b 与2a ＋k b 共线．8．如图所示，已知D 、E 为△ABC 的边AB 、AC 的中点，延长CD 至M使DM ＝CD ，延长BE 至N 使BE ＝EN .求证：M 、A 、N 三点共线．二、能力提升9．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．510．如图所示，平行四边形ABCD ，E 在边AB 上，且BE ＝14BA ，F 为对角线BD 上的点，且BF ＝15BD ，则( )A ．E 、F 、C 三点共线，且EF →＝13FC →B ．E 、F 、C 三点共线，且EF →＝14FC →C ．E 、F 、C 三点共线，且EF →＝15FC →D ．E 、F 、C 三点不共线11．如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC的中点，则MN →＝____________.(用a ，b 表示)12．如图，已知▱ABCD 中M 为AB 的中点，N 在BD 上，3BN ＝BD .求证：M 、N 、C 三点共线．三、探究与拓展13．如图，设G 为△ABC 的重心，过G 的直线l 分别交AB ，AC 于P ，Q ，若AP →＝mAB →，AQ →＝nAC →，求证： 1m ＋1n＝3.答案1．D 2.A 3.A 4.C 5.－1 6.①②③7． (1)证明 ∵A D →＝A B →＋B C →＋C D →＝a ＋b ＋2a ＋8b ＋3a －3b ＝6a ＋6b ＝6A B →，∴A 、B 、D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与2a ＋k b 共线，∴k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )． ∴(k －2λ)a ＋(1－λk )b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －2λ＝0，1－λk ＝0⇒k ＝±2. 8．证明在△AMC 中，D 为MC 的中点，易得2A D →＝AM →＋A C →.又∵D 为AB 中点，∴A B →＝2A D →，∴AB →＝AM →＋AC →，∴AM →＝AB →－AC →＝CB →.同理得AN →＝BC →. ∴AM →＝－AN →.∴A 、M 、N 三点共线． 9． B 10.B 11.14(b －a )12．证明设AB →＝a ，AD →＝b ，则BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋b ， BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ，MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ，∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b＝13⎝⎛⎭⎫12a ＋b ，∴MN →＝13MC →， ∴MN →∥MC →，又M 为公共点． ∴M 、N 、C 三点共线．13．证明设AB →＝a ，AC →＝b ，∵AP →＝mAB →，AQ →＝nAC →， ∴AP →＝m a ，AQ →＝n b .∵G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则AD 为△ABC 一边BC 边上的中线， ∴AD →＝12(a ＋b )，∴AG →＝23AD →＝13(a ＋b )，∴PG →＝AG →－AP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ， GQ →＝AQ →－AG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b . 又PG →与GQ →共线，∴PG →＝λGQ →， ∴⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ＝－13λa ＋λ⎝⎛⎭⎫n －13b ， ∴⎩⎨⎧13－m ＝－13λ13＝λ⎝⎛⎭⎫n －13，消去λ得：m ＋n ＝3mn ，即1m ＋1n ＝3.。

人教版B版高中数学必修4：2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算

3、轴上向量坐标及运算：
e 轴的概念：方向、长度单位
想一想
轴和数轴的区别
a xe x是a在l上的坐标。
单位向量e是轴l的基向量。
l
想向量和坐标
一想
一一对应吗
新知讲解
轴上两个向量 a x1e,b x2 e, 相等 a b x1 x2
向量的和 a b (x1 x2)e
例题探究
变式练习:
已知非零向量 e1，e2 不共线．
(1)如果A→B＝e1＋e2， B→C＝2e1＋8e2， C→D＝3(e1－e2)，
求证 A、B、D 三点共线； (2)欲使 ke1＋e2 和 e1＋ke2 共线，试确定实数 k 的值．
例题探究
例3：已知数轴上三点 A、B、C 的坐标分别是
4、 2、 6，求 AB、BC、CA 的坐标和长度。
如果 a b ，则 a ∥b ；反之，如果 a ∥b ，且 b 0 ，则一定存在唯一一个实数λ，使 a=b .
为什么要求
“b 0”?
新知讲解
2、a的单位向量：
与非零向量 a同向且长度等于1 的向量，
叫做向量 a的单位向量，记作 a0 .
a= a a0
a0 a a
a
a0
新知讲解
CB
-6
-2 O
A 4l
AB 6 BC 4 CA 10
例题探究
变式练习:
已知 A、B、C 为数轴上三点，且 xA＝－2，xB＝6，试求符合下列条件的点 C 的坐标． (1)AC＝10；(2)|A→C|＝10；(3)|A→C|＝3|B→C|.
课堂小结
平行向量基本定理单位向量
轴上向量坐标及运算公式

高中数学人教B版必修4 2.1 教学设计《向量共线的条件与轴上向量坐标运算》(人教B版)

《向量共线的条件与轴上向量坐标运算》◆教材分析本节课主要是学习向量共线的条件和轴上向量坐标的运算和应用，前面已经学习了向量的概念、加减法、数乘向量等方面的内容，为这节的学习打下了基础，本节起到了承上启下的作用，也为后面的学习打下了基础，我们开始通过几何去解决简单的向量问题。

◆教学目标【知识与能力目标】（1）掌握平行向量基本定理；（2）掌握轴上向量的坐标及其运算。

【过程与方法能力目标】（1）借助几何直观引导学生理解平面向量基本定理和轴上向量的坐标运算；（2）通过解题实践，体会平行向量基本定理的应用。

【情感态度价值观目标】通过本节课的学习，使学生体会到向量的深刻和几何背景，激发学生的学习兴趣。

通过【教学重点】平面向量基本定理。

【教学难点】平面向量基本定理的应用。

多媒体课件。

一、新课导入向量共线的条件：在学习向量概念的时候，我们已经定义了什么是向量共线(即平行)。

而我们要知道向量的共线和平行是同一个含义，它与直线的平行、重合不同，两个向量的基线是同一条直线或两条平行直线时，向量都称为共线(或平行)向量。

二、探求新知共线（或平行）向量的表示方式是a ⃗//b⃗⃗。

由于零向量的方向不定，所以可以把零向量认为成和任一向量平行的向量。

平面向量的基本定理如果a ⃗=λb ⃗⃗，则a ⃗ // b ⃗⃗；反之，如果a ⃗ // b⃗⃗ ，且b ⃗⃗ ≠ 0⃗⃗ ，则存在唯一一个实数λ，使得a ⃗ =λ b⃗⃗ 。

这样我们给出的这个平行向量的基本定理，根据它就可以判断两个向量是否共线了，实际上，给出的这种判断方法是一种代数的判断方法，后面在学习了坐标后我们在判断是否共线时也是根据这种方法来判断的。

单位向量给定一个非零向量a ⃗，与a ⃗同方向且长度等于1的向量，叫做向量a ⃗的单位向量。

如果a ⃗的单位向量记作a 。

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，由数乘向量的定义可知: a ⃗ =| a ⃗ |· a 。

高中数学人教B版必修4学案2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 Word版含解析

向量共线的条件与轴上向量坐标运算.掌握平行向量基本定理并理解两向量共线的条件及单位向量的含义.(重点) .理解轴上的基向量、向量的坐标及其运算公式，并解决轴上的相关问题.(难点)[基础·初探]教材整理平行向量基本定理阅读教材“例”以上内容，完成下列问题..平行向量基本定理：如果＝λ，则∥；反之，如果∥，且≠，则一定存在唯一一个实数λ，使＝λ..单位向量：给定一个非零向量，与同方向且长度等于的向量，叫做向量的单位向量，如果的单位向量记作，由数乘向量的定义可知：＝或＝.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()若与共线，则存在实数λ，使得＝λ.( )()任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点.( ) ()向量与不共线，则与都是非零向量.( )()有相同起点的两个非零向量不平行.( )【答案】()×()×()√()×教材整理轴上向量的坐标及其运算阅读教材“例”以下～“例”以上内容，完成下列问题..规定了方向和长度单位的直线叫做轴.已知轴，取单位向量，使的方向与同方向.根据向量平行的条件，对轴上任意向量，一定存在唯一实数，使＝.反过来，任意给定一个实数，我们总能作一个向量＝，使它的长度等于这个实数的绝对值，方向与实数的符号一致.单位向量叫做轴的基向量，叫做在上的坐标(或数量).的绝对值等于的长，当与同方向时，是正数，当与反方向时，是负数.实数与轴上的向量建立起一一对应关系..向量相等与两个向量的和：设＝，＝，于是：如果＝，则＝；反之，如果＝，则＝；另外，＋＝(＋)，这就是说，轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和..向量的坐标常用表示，则＝表示向量，而表示数量，且有＋＝..轴上向量的坐标：在数轴上，已知点的坐标为，点的坐标为，则＝－，即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标..数轴上两点的距离公式：在数轴上，点的坐标为，点的坐标为，则＝－.数轴上点，，的坐标分别为－，则下列结论错误的是( )的坐标是＝－的坐标是＝【解析】答案不正确.故选.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]。

高中数学人教B版必修4教案：2.1.5 向量共线的条件和轴上向量坐标运算 Word版含答案

课题
向量共线的条件
课型
新授
课时
1
时间
第4周
主备人
教研
组长
包组
领导
编号
教学
目标
1.理解平行向量基本定理、单位向量、轴上的坐标公式、数轴上的两点间的距离公式；
2.平行向量基本定理的应用；
教学内容
教学设计
课前预习案
知识链接：
1．若有向量 ( )、，实数λ，使 =λ 则由实数与向量积的定义知：与为共线向量，若与共线( )且| |：| |=μ，则当与同向时 ,当与反向时 =μ 。
规律方法：
跟踪练习2：已知轴l上A、B、C、D四点坐标分别为2、－3、－1、4求AB，BD，DA的坐标和长度．
当堂达标：
1、数轴上三点A、B、C的坐标分别为－1、2、5，则()
A．AB＝－3B．BC＝3
C. ＝6D. ＝3
2、下列说法正确的是（）
A．向量 ∥ 就是的基线平行于的基线B．长度相等的向量叫相等向量
2.a与λa的关系
3。共线向量的应用
三．典例剖析
例1．设a，b是两个不共线的向量，已知AB=a+b，BC=2a+8b，CD=3(a-b)，
求证：A，B，D三点共线。
规律方法：
跟踪练习：1、如图：已知AD = 3AB，DE =3BC，试证明A、C、E三点共线。
例2、已知轴l上的基向量e，A、B、C、D在l上，且＝3e，＝－2e，＝4e，将、、用基向量e表示出来．
A．－2B．2C．12D．－12
3、数轴上点A、B、C的坐标分别是、1、5，则下列结论错误的是（）
A. 的坐标是2B. C. 的坐标是4D

高中数学人教B版必修四学案：第二单元 2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 Word版含答案

2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算学习目标 1.理解平行向量基本定理，能熟练运用该定理处理向量共线和三点共线问题.2.理解轴上向量坐标的含义及运算.3.能运用轴上向量的坐标及长度公式进行相关的计算.知识点一平行向量基本定理思考若b 与非零向量a 共线，是否存在λ满足b ＝λa ？若b 与向量a 共线呢？梳理 (1)平行向量基本定理：如果a ＝λb ，则________；反之，如果a ∥b ，且________，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb .(2)a 的单位向量：给定一个非零向量a ，与a ________且__________的向量，叫做向量a 的单位向量，记作a 0.由数乘向量的定义可知，a ＝________或a 0＝________. 知识点二轴上向量的坐标及其运算思考1 轴与数轴有何区别与联系？思考2 实数与数轴上的向量建立了什么关系？思考3 AB →与AB 有何区别？梳理 (1)轴上向量的坐标(2)轴上向量的坐标运算类型一轴上向量的坐标运算例1 已知A 、B 、C 为数轴上三点，且x A ＝－2，x B ＝6，试求符合下列条件的点C 的坐标. (1)AC ＝10；(2)|AC →|＝10；(3)|AC →|＝3|BC →|.反思与感悟轴上向量的坐标及长度计算的方法(1)轴上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标；(2)轴上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度.跟踪训练1 已知数轴上A 、B 两点的坐标x 1、x 2，根据下列各题中的已知条件，求点A 的坐标x 1.(1)x 2＝3，AB ＝5；(2)x 2＝－5，|AB |＝2.类型二向量共线的判定及应用命题角度1 判定向量共线或三点共线例2 已知非零向量e 1，e 2不共线.(1)若a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线.(2)若AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线.反思与感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.(2)利用平行向量基本定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b ＝λa (a ≠0)，还要说明向量a ，b 有公共点.跟踪训练2 已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________.命题角度2 利用向量共线求参数值例3 已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定k 的值.反思与感悟利用平行向量基本定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.跟踪训练3 已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝________.1.已知数轴上两点A ，B 的坐标分别是－4，－1，则AB 与|AB →|分别是( ) A.－3,3 B.3,3 C.3，－3 D.－6,62.数轴上三点A ，B ，C 的坐标分别为－1,2,5，则( ) A.AB ＝－3 B.BC ＝3 C.AC →＝6 D.AB →＝33.设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A.k ＝0 B.k ＝1 C.k ＝2 D.k ＝124.已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A.P 在△ABC 内部 B.P 在△ABC 外部C.P在AB边上或其延长线上D.P在AC边上5.已知e1，e2是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？1.平行向量基本定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为向量共线问题.2.轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.答案精析问题导学知识点一思考若b 与非零向量a 共线，存在λ满足b ＝λa ；若b 与向量a 共线，当a ＝0，b ≠0时，不存在λ满足b ＝λa . 梳理 (1)a ∥b b ≠0(2)同方向长度等于1 |a|a 0 a |a |知识点二思考1 规定了方向和长度单位的直线叫做轴，而数轴是规定了坐标原点的轴．思考2 数轴上的实数与轴上的向量建立起一一对应的关系，可以用数值表示向量．思考3 AB →是一个向量，既有大小，也有方向，而AB 表示AB →的坐标，它是一个实数．梳理 (1)方向长度单位同方向 a ＝x e (2)坐标相等坐标的和终点始点题型探究例1 解 (1)∵AC ＝10，∴x C －x A ＝10，∴x C ＝x A ＋10＝8. (2)∵|AC →|＝10，∴AC ＝10或AC ＝－10，当AC ＝10时，x C －x A ＝10，x C ＝x A ＋10＝8；当AC ＝－10时，x C －x A ＝－10，x C ＝x A －10＝－12. (3)∵|AC →|＝3|BC →|，∴AC →＝3BC →或AC →＝－3BC →. 当AC →＝3BC →时，x C －x A ＝3(x C －x B )， ∴x C ＝12(3x B －x A )＝10；当AC →＝－3BC →时，x C －x A ＝－3(x C －x B )， ∴x C ＝14(3x B ＋x A )＝4.跟踪训练1 解 (1)AB ＝x 2－x 1＝5，∴x 1＝x 2－5＝－2. (2)|AB |＝|x 2－x 1|＝2， ∴x 2－x 1＝－2或2.∴x 1＝x 2－(－2)＝－3或x 1＝x 2－2＝－7. 例2 (1)解 ∵b ＝6a ，∴a 与b 共线．(2)证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线．跟踪训练2 A ，B ，D例3 解 ∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2.又e 1与e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1. 跟踪训练3 1 当堂训练1．B 2.B 3.D 4.D5．解若a 与b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，即3e 1＋4e 2＝λ(6e 1－8e 2)，所以(3－6λ)e 1＋(4＋8λ)e 2＝0.因为e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－6λ＝0，4＋8λ＝0，所以λ不存在，所以a 与b 不共线．。

数学人教B版必修4教案：2.1.5 向量共线的条件和轴上向量坐标运算 Word版含答案

课前预习案知识链接：1．若有向量a (a0)、b ，实数λ，使b =λa则由实数与向量积的定义知：a 与b 为共线向量，若a 与b 共线(a0)且|b |：|a|=μ，则当a 与b 同向时b a v v , 当a 与b反向时b =μa。

从而得：向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使b =λa 。

2.若存在两个不全为0的实数 ,使得0 b a ，那么a 与b为共线向量，零向量与任意向量共线。

3.与向量a 同方向的a的单位向量为||a a e4．数轴上的基向量e 的概念5、轴上向量的坐标：轴上向量a ，一定存在一个实数x ，使得e x a ，那么x 称为向量a 的坐标。

6、设点A 、B 是数轴上的两点其坐标分别为1x 和2x ，那么向量AB 的坐标为12x x AB ，由此得两点A 、B 之间的距离为||||21x x AB 。

例2、已知轴l 上的基向量e ，A 、B 、C 、D 在l 上，且AB →＝3e ，AC →＝－2e ，AD→＝4e ，将CB →、CD →、BD →用基向量e 表示出来．规律方法：跟踪练习2：已知轴l 上A 、B 、C 、D 四点坐标分别为2、－3、－1、4求AB ，BD ，DA 的坐标和长度．当堂达标：1、数轴上三点A 、B 、C 的坐标分别为－1、2、5，则( )A ．AB ＝－3 B ．BC ＝3 C.AC →＝6D.AB →＝32、下列说法正确的是（）A ．向量AB →∥CD →就是AB →的基线平行于CD →的基线B ．长度相等的向量叫相等向量 C ．零向量长度等于0 D ．共线向量是在一条直线上的向量3、D 是△ABC 的边BC 上的一点，且BD ＝13BC ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于（）。

高一数学人教B版必修4课件2-1-5向量共线的条件与轴上向量坐标运算

• 2．1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
• 1．向量共线
• 如果向量的基线互相平行或重合
，则称
这些向量共线或平行．向量a与b平行．
• 2．共线向量基本定理
• 如果 a＝λb ，则a∥b；反之，a如∥果b(b≠0) ，则一定存在一个实数λ，使得a＝λb.
• 3．单位向量
• 给定一个非零向量a，与同方a 向且长度为1 的向量，叫做向量a的单位向量，记作
∴C、M、D 三点共线且|MC|＝2|DM|， ∴M 为△ABC 的重心，延长 AM 交 BC 于 E， ∴E 为 BC 的中点，∴A→B＋A→C＝2A→E，又A→M＝23A→E， 2A→E＝3A→M，∴A→B＋A→C＝3A→M，故 m＝3.
• [例4] 判断向量a＝－2e与b＝2e是否共线．
设 e1、e2 是两个不共线的向量，已知A→B＝2e1＋ke2，C→B＝ e1＋3e2，C→D＝2e1＋e2.若三点 A、B、D 共线，求 k 的值．
[解析] B→D＝C→D－C→B＝2e1＋e2－(e1＋3e2) ＝2e1＋e2－e1－3e2 ＝e1－2e2. ∵A、B、D 共线，∴A→B、B→D共线， ∴存在 λ 使A→B＝λB→D，即 2e1＋ke2＝λ(e1－2e2)， ∴2k＝＝－λ 2λ ，∴k＝－4.
2．下列说法正确的是 ()
A．向量A→B∥C→D就是A→B的基线平行于C→D的基线 B．长度相等的向量叫相等向量 C．零向量长度等于 0 D．共线向量是在一条直线上的向量
• [答案] C
[解析] 向量A→B∥C→D包含A→B的基线平行于C→D的基线和 A→B的基线与C→D的基线重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量可以是在同一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，于是 A、B、D 均错．

数学人教B版必修4教案：2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 Word版含答案

教学设计一、课前延伸预习检测：判断下列命题是否正确（1）向量与向量平行，则向量与向量方向相同或相反。

（）（2）向量与向量是共线向量则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上。

（）（3）若干个向量首尾相连，形成封闭图形则这些向量的和等于零向量。

（）（4）起点不同，但方向相同且长度相等的几个向量是相等向量。

（）师问生答的形式完成检测。

设计意图：通过几个小题检测一下预习的效果。

二、课上探究学习目标叙写：1.通过经历平行向量基本定理的得出过程,能够理解并掌握向量共线的条件，并且能够正确运用定理证明三点共线和平行问题。

2.借助几何直观引导，能够认识单位向量和理解轴上向量的坐标运算，并能够区分轴与数轴的区别，记住数轴上两点的距离公式。

（一）情景导入通过三个问题引入新课。

问题1：向量共线是如何定义的？由向量平行和数乘向量的定义可以直接推知：平行向量基本定理。

引出新课。

（二）新知讲解1、平行向量基本定理（老师板演定理）通过几个例子解释剖析定理的内容，结合图像直观体现。

2、单位向量：（由数乘向量的定义推知）（三）合作探究展示小组合作讨论学习做学案上探究一、变式1、探究二、变式2探究一已知 MN 是ABC ∆的中位线，求证:,21BC MN =且BC MN // 变式训练1：已知：在ABC ∆中，.31,31==求证：,//BC MN 并且.31BC MN = 第3小组展示探究一答案（板演）第4小组展示变式1答案（板演）第5组点评，老师补充强调规范解题，总结规律。

的方向有何关系？，：根据向量的数乘运算问题),0(2≠≠λλ共线吗？为常数：向量问题)(3λλ探究二已知2,3-==试问向量,。

变式训练2：设两个非零向量,不共线，若)(3,82,b a CD b a BC b a AB -=+=+=，求证：A,B,D 三点共线第6小组展示探究二答案（板演）第1小组展示变式2答案（板演）第7组点评，老师补充规范解题步骤，总结规律。

高中数学 2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算学案新人教B版必修4(2021年整理)

2016-2017学年高中数学2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算学案新人教B版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算学案新人教B版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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2。

1。

5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算1.掌握平行向量基本定理并理解两向量共线的条件及单位向量的含义。

(重点）2.理解轴上的基向量、向量的坐标及其运算公式,并解决轴上的相关问题.（难点)［基础·初探］教材整理1 平行向量基本定理阅读教材P90“例1”以上内容,完成下列问题。

1。

平行向量基本定理：如果a＝λb,则a∥b；反之，如果a∥b,且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ,使a＝λb。

2。

单位向量:给定一个非零向量a,与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量,如果a的单位向量记作a0，由数乘向量的定义可知：a＝｜a|a0或a0＝错误!。

判断(正确的打“√”，错误的打“×"）（1)若b与a共线，则存在实数λ，使得b＝λa。

( ）(2）任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点.（）(3)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量。

( )(4)有相同起点的两个非零向量不平行.( ）【答案】（1）×（2)×(3)√（4）×教材整理2 轴上向量的坐标及其运算阅读教材P91“例2”以下～P92“例3”以上内容，完成下列问题。