甘肃省兰州一中2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试卷

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2017-2018年甘肃省兰州一中高二(下)3月月考数学试卷(文科)(解析版)

2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（下）3月月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，将答案写在答题卡上）1．（5分）有一机器人的运动方程为s（t）＝t2+（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为（）A．B．C．D．2．（5分）函数y＝x cos x﹣sin x的导数为（）A．x sin x B．﹣x sin x C．x cos x D．﹣x cos x3．（5分）设曲线y＝e ax﹣ln（x+1）在x＝0处的切线方程为2x﹣y+1＝0，则a＝（）A．0B．1C．2D．34．（5分）设函数，则（）A．为f（x）的极大值点B．为f（x）的极小值点C．x＝2 为f（x）的极大值点D．x＝2为f（x）的极小值点5．（5分）若函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）6．（5分）若函数y＝f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．B．C．D．7．（5分）若，则下列命题正确的是（）A．B．C．D．8．（5分）若P为曲线y＝lnx上一动点，Q为直线y＝x+1上一动点，则|PQ|min＝（）A．0B．C．D．29．（5分）设函数f（x）＝x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，3]10．（5分）若函数f（x）＝x3﹣ax2+（a﹣1）x+1在区间（1，4）上为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．[﹣1，3]C．[3，5]D．[5，7]11．（5分）函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．12．（5分）如图，y＝f（x）是可导函数，直线L：y＝kx+2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）＝（）A．﹣1B．0C．2D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）过曲线y＝x2上两点A（2，4）和B（2+△x，4+△y）作割线，当△x＝0.1时，割线AB的斜率为．14．（5分）设函数，则f（x）的最大值为．15．（5分）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为．16．（5分）定义域在R上的可导函数y＝f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＞f′（x），且f（0）＝1，则不等式的解集为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知函数+bx+1，若函数的图象关于直线x＝﹣对称，且f'（1）＝0．（1）求实数a，b的值；（2）求函数在区间[﹣3，2]上的最小值．18．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知a、b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：b a＞a b．19．（12分）已知函数．求f（x）的单调区间和极值．20．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣x2+2ax．（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a，若函数f（x）在区间上无零点，求实数a的最小值．22．（12分）已知f（x）＝ln（x+1）﹣ax（a∈R）（1）当a＝1时，求f（x）在定义域上的最大值；（2）已知y＝f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范围．2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（下）3月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，将答案写在答题卡上）1．（5分）有一机器人的运动方程为s（t）＝t2+（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，机器人的速度方程为v（t）＝s′（t）＝2t﹣，故当t＝2时，机器人的瞬时速度为v（2）＝2×2﹣＝4﹣＝．故选：D．2．（5分）函数y＝x cos x﹣sin x的导数为（）A．x sin x B．﹣x sin x C．x cos x D．﹣x cos x【解答】解：y′＝（x cos x）′﹣（sin x）'＝（x）′cos x+x（cos x）′﹣cos x＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x．故选：B．3．（5分）设曲线y＝e ax﹣ln（x+1）在x＝0处的切线方程为2x﹣y+1＝0，则a＝（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：y＝e ax﹣ln（x+1）的导数为y′＝ae ax﹣，可得在x＝0处的切线斜率为k＝a﹣1，由切线方程为2x﹣y+1＝0，可得a﹣1＝2，解得a＝3．故选：D．4．（5分）设函数，则（）A．为f（x）的极大值点B．为f（x）的极小值点C．x＝2 为f（x）的极大值点D．x＝2为f（x）的极小值点【解答】解：f′（x）＝﹣+＝，（x＞0），令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故x＝2是函数的极小值点，故选：D．5．（5分）若函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【解答】解：∵f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1，∴f′（x）＝3x2+2ax+（a+6）；又∵函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，∴△＝（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；故a＞6或a＜﹣3；故选：B．6．（5分）若函数y＝f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y＝f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的a＜x′＜x″＜b，有f′（a）＜f′（x′）＜f′（x″）＜f′（b），也即在a，x'，x“，b处它们的斜率是依次增大的．∴A满足上述条件，B存在f′（x′）＞f′（x″），C对任意的a＜x′＜x″＜b，f′（x′）＝f′（x″），D对任意的x∈[a，b]，f′（x）不满足逐项递增的条件，故选：A．7．（5分）若，则下列命题正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：，显然A、C、D不正确，故选：B．8．（5分）若P为曲线y＝lnx上一动点，Q为直线y＝x+1上一动点，则|PQ|min＝（）A．0B．C．D．2【解答】解：∵y＝lnx，∴y′＝，由y′＝＝1，得x＝1．x＝1代入曲线方程得y＝0，∴点（1，0）到直线的距离为：d＝＝，∴点P到直线l：y＝x+1的距离的最小值为．故选：C．9．（5分）设函数f（x）＝x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，3]【解答】解：∵f（x）＝x2﹣9lnx，∴函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝x﹣，∵x＞0，∴由f′（x）＝x﹣＜0，得0＜x＜3．∵函数f（x）＝x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，∴，解得1＜a≤2．故选：A．10．（5分）若函数f（x）＝x3﹣ax2+（a﹣1）x+1在区间（1，4）上为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．[﹣1，3]C．[3，5]D．[5，7]【解答】解：由f（x）＝x3﹣ax2+（a﹣1）x+1，得f′（x）＝x2﹣ax+a﹣1，令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝a﹣1．当a﹣1≤1，即a≤2时，f′（x）在（1，+∞）上大于0，函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，不合题意；当a﹣1＞1，即a＞2时，f′（x）在（﹣∞，1）上大于0，函数f（x）在（﹣∞，1）上为增函数，f′（x）在（1，a﹣1）内小于0，函数f（x）在（1，a﹣1）内为减函数，f′（x）在（a﹣1，+∞）内大于0，函数f（x）在（a﹣1，+∞）上为增函数．依题意应有：当x∈（1，4）时，f′（x）＜0，当x∈（6，+∞）时，f′（x）＞0．∴4≤a﹣1≤6，解得5≤a≤7．∴aa的取值范围是[5，7]．故选：D．11．（5分）函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y＝f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选：D．12．（5分）如图，y＝f（x）是可导函数，直线L：y＝kx+2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）＝（）A．﹣1B．0C．2D．4【解答】解：∵直线L：y＝kx+2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，∴f（3）＝1，又点（3，1）在直线L上，∴3k+2＝1，从而k＝，∴f′（3）＝k＝，∵g（x）＝xf（x），∴g′（x）＝f（x）+xf′（x）则g′（3）＝f（3）+3f′（3）＝1+3×（）＝0，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）过曲线y＝x2上两点A（2，4）和B（2+△x，4+△y）作割线，当△x＝0.1时，割线AB的斜率为 4.1．【解答】解：，所以当△x＝0.1时，AB的斜率为4.1．故答案为：4.1．14．（5分）设函数，则f（x）的最大值为2．【解答】解：当x＞0时，f（x）＝﹣2x＜0；当x≤0时，f′（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），当x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．∴f（x）≤f（﹣1）＝2，∴f（x）的最大值为2．故答案为：2．15．（5分）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为3．【解答】解：设圆柱的高为h，半径为r则由圆柱的体积公式可得，πr2h＝27πS全面积＝πr2+2πrh＝＝（法一）令S＝f（r），（r＞0）＝令f′（r）≥0可得r≥3，令f′（r）＜0可得0＜r＜3∴f（r）在（0，3）单调递减，在[3，+∞）单调递增，则f（r）在r＝3时取得最小值（法二）：S全面积＝πr2+2πrh＝＝＝＝27π当且仅当即r＝3时取等号当半径为3时，S最小即用料最省故答案为：316．（5分）定义域在R上的可导函数y＝f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＞f′（x），且f（0）＝1，则不等式的解集为{x|x＞0}．【解答】解：令，，可得函数在R上为减函数，又，即g（x）＜g（1）⇒x＞0，则不等式的解集为{x|x＞0}．故答案为：{x|x＞0}．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知函数+bx+1，若函数的图象关于直线x＝﹣对称，且f'（1）＝0．（1）求实数a，b的值；（2）求函数在区间[﹣3，2]上的最小值．【解答】解：（1）f′（x）＝6x2+2ax+b，函数y＝f′（x）的图象的对称轴为x＝﹣．∵﹣＝﹣，∴a＝3．∵f′（1）＝0，∴6+2a+b＝0，得b＝﹣12．故a＝3，b＝﹣12．（2）由（1）知f（x）＝2x3+3x2﹣12x+1，f′（x）＝6x2+6x﹣12＝6（x﹣1）（x+2）．x，f′（x），f（x）的变化情况如下表：∵f（﹣3）＝10，f（1）＝﹣6，∵10＞﹣6，∴所以f（x）在[﹣3，2]上的最小值为﹣6．18．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知a、b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：b a＞a b．【解答】解：（1），∴∴当x＞e时，，∴函数在上是单调递减．当0＜x＜e时，，∴函数在（0，e）上是单调递增．∴f（x）的增区间是（0，e），减区间是．（2）证明：∵b a＞0，a b＞0∴要证：b a＞a b，只需证：alnb＞blna．只需证．（∵a＞b＞e）由（1）得函数在上是单调递减．∴当a＞b＞e时，有，即．得证．19．（12分）已知函数．求f（x）的单调区间和极值．【解答】解：，x∈（0，+∞）．①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）为增函数，无极值．②当a＞0时，x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，a）为减函数；x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（a，+∞）为增函数，f（x）在（0，+∞）有极小值，无极大值，f（x）的极小值f（a）＝ln a+1．20．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣x2+2ax．（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f'（x）＝e x﹣2x+2，∵f'（1）＝e，即k＝e，f（1）＝e+1∴所求切线方程为y﹣（e+1）＝e（x﹣1），即ex﹣y+1＝0（2）f'（x）＝e x﹣2x+2a，∵f（x）在R上单调递增，∴f'（x）≥0在R上恒成立，∴在R上恒成立，令，，令g'（x）＝0，则x＝ln2，∵在（﹣∞，ln2）上g'（x）＞0；在（ln2，+∞）上，g'（x）＜0，∴g（x）在（﹣∞，ln2）单调递增，在（ln2，+∞）上单调递减，∴g（x）max＝g（ln2）＝ln2﹣1，∴a≥ln2﹣1，∴实数a的取值范围为[ln2﹣1，+∞）．21．（12分）已知函数f（x）＝（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a，若函数f（x）在区间上无零点，求实数a的最小值．【解答】解：f（x）＝（2﹣a）（x﹣1）﹣2ln x，令g（x）＝（2﹣a）（x﹣1），x＞0；h（x）＝2ln x，x＞0，则f（x）＝g（x）﹣h（x），①当a＜2时，g（x）在上为增函数，h（x）在上为增函数，若f（x）在上无零点，则，即，即a≥2﹣4ln 2，从而2﹣4ln 2≤a＜2，②当a≥2时，在上g（x）≥0，h（x）＜0，∴f（x）＞0，故f（x）在上无零点．综合①②可得得a≥2﹣4ln2，即a min＝2﹣4ln2．22．（12分）已知f（x）＝ln（x+1）﹣ax（a∈R）（1）当a＝1时，求f（x）在定义域上的最大值；（2）已知y＝f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝ln（x+1）﹣x，，所以y＝f（x）在（﹣1，0）为增函数，在（0，+∞）为减函数，故当x＝0时，f（x）取最大值0．（2）等价恒成立，设，设，所以h（x）是减函数，所以，所以g（x）是减函数，g max（x）＝g（1），所以a＞ln2．。

甘肃省兰州一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试卷

兰州一中2017-2018-2学期高二年级期中考试试题数学(文科)说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}032<-=x x x A ,{}0log2>=x x B ，则=B A （）A. ()+∞,0B. ()3,1C. ()1,0D. φ2．若函数)(x f 满足1)12(+=-x x f ，则)3(f 等于（）A. 3B. 4C. 5D. 63．曲线xy =在点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41M处的切线的倾斜角是( )A ．－45°B ．45°C ．135°D ．45°或135° 4．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( )A ．b ＞c ＞aB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c 5．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．xy 3-= B ．21x y = C ．23logxy = D ．2x x y -=6．用反证法证明命题“ab N b a ,,∈可被5整除，那么b a ,中至少有一个是5的倍数” 时，反设正确的是( )A ．b a ,都是5的倍数B ．b a ,都不是5的倍数C ．a 不是5的倍数D ．b a ,中有一个是5的倍数 7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )A. 26-nB.28-n C.26+nD. 28+n8．定义在R 上的奇函数)(x f 满足()x f x f 1)2(-=+，且在()1,0上xx f 3)(=，则()3lo g 54f=（）A.32 B ．23- C. 23 D. 32-9．已知函数)(x f ＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象是( )10．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ＞1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是()A. ⎝⎛⎭⎫23，1B. ⎣⎡⎭⎫34，1C. ⎝⎛⎦⎤23，34 D . ⎝⎛⎭⎫23，＋∞11.设函数()031)(23>-=a xaxx f 在(0,3)内不单调,则实数a 的取值范围是( )A. 32>a B. 320<<a C. 310<<a D.132<<a12.已知函数()f x 在R 上满足()()2f x fx x+-=，当()0,x ∈+∞时，()f x x '>.若()()112f a f a a+--≥，则实数a 的取值范围是（）A. [)0,+∞B. [)1,+∞C. (],0-∞D.(],1-∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知幂函数)(x f y =，27)3(=f ，则)(x f 的表达式是________．。

2017-2018学年甘肃省兰州一中高二下学期3月月考数学文试题(解析版)

兰州一中2017--2018--2学期高二年级三月份月考试卷文科数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．)1. 有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为( )A. B. C. D.【答案】D故当t＝2时，机器人的瞬时速度为v(2)＝2×2－.本题选择D选项.2. 函数的导数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，故选B.考点：函数的导数的计算公式3. 设曲线在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】，，当x＝0时，y′＝a－1.故曲线在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，即：，从而a－1＝2，即a＝3.本题选择D选项.4. 设函数f（x）=+ln x，则（）A. x=为f(x)的极大值点B. x=为f(x)的极小值点C. x=2为f(x)的极大值点D. x=2为f(x)的极小值点【答案】D【解析】函数的定义域为，由函数的解析式可得，求解不等式可得，故函数在区间上单调递增；求解不等式可得，故函数在区间上单调递减；据此可得是函数的极小值点.本题选择D选项.5. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )A. (－1，2)B. (－∞，－3)∪(6，＋∞)C. (－3，6)D. (－∞，－1)∪(2，＋∞)【答案】B【解析】根据题意可得：，解得或，故选C.点睛：由函数的极值点的定义知，首先满足函数在该点处的导数值为0，其次需要导函数在该点处左右两侧的导数值异号，我们称之为导函数的“变号零点”，则为函数的极值点，所以研究函数的极值点只需研究导函数的图像能“穿过”轴即可.6. 若函数的导函数．．．在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处函数的变化率是递增的，故图像应越来越陡峭．由图易知选A.点睛：这是一道非常精彩的好题，题目考察了导数的概念——函数的变化率以及图像的变化规律，是以高等数学中函数图象的凹凸性为背景命制的，虽然试题的设计来源于高等数学，但考察的还是中学所学的初等数学知识．这也是近年来高考命题的一大特色．7. 若，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】令，则，令，则，故单调递减，，据此可得，函数在区间上单调递减，故当时，，即，即.本题选择B选项.8. 为曲线上一动点, 为直线上一动点, 则的最小值为( )A. 0B.C.D. 2【答案】C【解析】如图，直线l与y=lnx相切且与y=x+1平行时，切点P到直线y=x+1的距离|PQ|即为所求最小值.，令得x=1，故.故为点与直线的距离，即：.本题选择C选项.9. 设函数在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )A. (1，2]B. (4，＋∞]C. [－∞，2)D. (0，3]【答案】A【解析】，当，即时，有0<x≤3，即在(0，3]上函数是减函数，从而[a－1，a＋1]⊆(0，3]，即a－1>0且a＋1≤3，解得1<a≤2.实数a的取值范围是(1，2].本题选择A选项.点睛：若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．10. 若函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，令得或，结合题意和导函数(二次函数)的图像可得：，求解不等式可知实数的取值范围是.本题选择A选项.11. 函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )A. B. C. D.【答案】D故选D12. 已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )A. －1B. 0C. 2D. 4【答案】B【解析】由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于，∴f′(3)＝，∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.本题选择B选项.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 过曲线上两点和作割线，当时，割线AB的斜率为____. 【答案】4.1【解析】，所以当时，AB的斜率为4.1.故答案为：4.1．14. 设函数，则f(x)的最大值为________.【答案】2【解析】当x>0时，f(x)＝－2x<0；当x≤0时，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x<－1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，当－1<x<0时，f′(x)<0，f(x)是减函数.∴f(x)≤f(－1)＝2，∴f(x)的最大值为2.15. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为_______. 【答案】3【解析】设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则V＝πR2l＝27π，∴，要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小.由题意，S＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·.∴S′＝2πR－，令S′＝0，得R＝3，面积函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则当R＝3时，S最小.故答案为：3．点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.16. 定义域在R上的可导函数y＝f(x)的导函数为，满足，且，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】令，，可得函数在R上为减函数，又，故不等式即.不等式的解集为 .点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知函数，若函数的图象关于直线x＝－对称，且.(1)求实数a，b的值；(2)求函数在区间[－3，2]上的最小值．【答案】(1) a＝3，b＝－12；(2)-6.【解析】试题分析：(1)由函数的解析式可得f′(x)＝6x2＋2ax＋b，结合二次函数的性质可得，结合f′(1)＝0可得b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，则f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．据此即可确定函数的单调性和极值，求解函数值可得f(x)在[－3，2]上的最小值为－6.试题解析：(1)f′(x)＝6x2＋2ax＋b，函数y＝f′(x)的图象的对称轴为x＝－.∵－＝－，∴a＝3. ∵f′(1)＝0，∴6＋2a＋b＝0，得b＝－12.故a＝3，b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：∵f(－3)＝10， f(1)＝－6, ∵10 >5>－6，.∴所以f(x)在[－3，2]上的最小值为－6.点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．18. 已知函数.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)已知, (其中是自然对数的底数), 求证：.【答案】(1) 增区间是(0,e), 减区间是；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）函数的定义域为，求解导函数可得，利用导函数与原函数的单调性的关系可得f(x)的增区间是(0,e), 减区间是.（2）利用分析法，由于，则两边取对数，原问题等价于证明:，即.结合(1)中函数的单调性可得该不等式明显成立，故原命题得证.试题解析：（1）函数的定义域为，且，∴当时,, ∴函数在上是单调递减.当0<x<e时,, ∴函数在(0,e)上是单调递增.∴f(x)的增区间是(0,e), 减区间是.（2）∵∴要证: ，只需两边取对数证明:.只需证. (∵)，由（1）得函数在上是单调递减.∴当时,有，即. 原命题得证.19. 已知函数. 求f(x)的单调区间和极值.【答案】答案见解析【解析】试题分析：函数的定义域为(0，＋∞)，且，分类讨论有：当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)为增函数，无极值；当a>0时，f(x)在(0，a)为减函数，f(x)在(a，＋∞)为增函数，f(x)在(0，＋∞)有极小值f(a)＝ln a＋1，无极大值.试题解析：，x∈(0，＋∞).①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)为增函数，无极值.②当a>0时，x∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)在(0，a)为减函数；x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(a，＋∞)为增函数，f(x)在(0，＋∞)有极小值，无极大值，f(x)的极小值f(a)＝ln a＋1.20. 已知函数f(x)＝e x－x2＋2ax.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围.【答案】(1) e x－y＋1＝0；(2) [ln 2－1，＋∞).【解析】试题分析：(1)由函数的解析式可得f′(1)＝e，f(1)＝e＋1，据此可得切线方程为ex－y＋1＝0.(2)f′(x)＝e x－2x＋2a，则原问题等价于a≥x－在R上恒成立，令g(x)＝x－，求导可得g(x)在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，则g(x)max＝g(ln 2)＝ln 2－1，实数a的取值范围为[ln 2－1，＋∞).试题解析：(1)函数的解析式：f(x)＝e x－x2＋2x，f′(x)＝e x－2x＋2，∴f′(1)＝e，又f(1)＝e＋1，∴所求切线方程为y－(e＋1)＝e(x－1)，即ex－y＋1＝0.(2)f′(x)＝e x－2x＋2a，∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立，∴a≥x－在R上恒成立，令g(x)＝x－，则g′(x)＝1－，令g′(x)＝0，则x＝ln 2，在(－∞，ln 2)上，g′(x)>0；在(ln 2，＋∞)上，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g(ln 2)＝ln 2－1，∴a≥ln 2－1，∴实数a的取值范围为[ln 2－1，＋∞).21. 已知函数f(x)＝(2－a)x－2(1＋ln x)＋a，若函数f(x)在区间上无零点，求实数a的最小值.【答案】2－4ln 2.【解析】试题分析：由题意可知f(x)<0在区间上恒成立不可能，则原问题等价于对x∈,恒成立.构造函数,则，再令，可得m(x)> 0，则l(x)在上为增函数,据此可得a∈[2−4ln2,+∞)，a的最小值为2−4ln2.试题解析：函数的解析式即：为定值，而，故f(x)<0在区间上恒成立不可能，故要使函数f(x)在上无零点，只要对任意的x∈,f(x)>0恒成立,即对x∈,恒成立.令,则，再令，则,故m(x)在上为减函数,于是m(x)>m()=2−2ln2>0，从而,,于是l(x)在上为增函数,所以l(x)<l()=2−4ln2，故要使恒成立,只要a∈[2−4ln2,+∞)，综上,若函数f(x)在上无零点，则a的最小值为2−4ln2.22. 已知(1)当时，求在定义域上的最大值；(2)已知在上恒有，求的取值范围.【答案】(1)0；(2).【解析】试题分析：(1)函数的定义域为，当时，，据此可得函数在为增函数，在为减函数，函数的最大值为.(2)原问题等价于在上恒成立，构造函数可得，设，则，据此讨论可得是减函数，，即.试题解析：(1)函数的定义域为，当时，，，所以在为增函数，在为减函数，故当时，取最大值.(2)原问题等价于在上恒成立，设，设，所以是减函数，所以，据此可得恒成立，所以是减函数，，所以.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。

甘肃省兰州第一中学2017_2018学年高二数学下学期期末考试试题文(含解析)

兰州一中学期高二年级期末考试试题数学（文）选择题：本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．.. ° . ° . ° . °【答案】【解析】分析：先求直线的斜率，再求直线的倾斜角.详解：由题得直线的斜率为故答案为：.点睛：（）本题主要考查直线倾斜角和斜率的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.()直线(≠)的斜率为. ，集合.【答案】【解析】分析：先化简集合,再求∪.详解：由题得，所以∪，故答案为.点睛：()本题主要考查集合的化简和并集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.()无限集的运算一般通过数轴进行，有限集的运算一般通过韦恩图进行.. 等差数列的前项和为，且满足，则. . . .【答案】【解析】分析：先根据等差数列的性质得到再求.详解：由题得所以.故答案为：.点睛：（）本题主要考查等差数列的性质和数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平.() 等差数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等差中项.. 若命题“∃，使得”是真命题，则实数的取值范围是. (－，) . [－，] . .【答案】【解析】分析:由题得，解不等式即得实数的取值范围.详解：由题得，所以.故答案为：.点睛：本题主要考查一元二次不等式的解和特称命题，意在考查学生对这些知识的掌握水平. . 已知，，，则、、的大小关系是. . . .【答案】【解析】因为幂函数在定义域内单调递增，所以，由指数函数的性质可得，故选.【方法点睛】本题主要考查幂函数单调性、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题. 解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是. 新农村建设后，种植收入减少. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】【解析】分析：首先设出新农村建设前的经济收入为，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.详解：设新农村建设前的收入为，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以正确；故选.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.. 已知向量满足，，则. . . .【答案】【解析】分析：先化简，求出的值，再求的值.详解：因为，所以所以.故答案为：.. 若执行下面的程序框图，输出的值为，则判断框中应填入的条件是. . . .【答案】【解析】分析：根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是，可得判断框内应填入的条件．详解：根据程序框图，运行结果如下：第一次循环第二次循环•第三次循环••第四次循环•••第五次循环••••第六次循环•••••故如果输出，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是＜．故答案为：．点睛：本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律是解题关键.. 已知实数满足，则的最小值是. . . .【答案】【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．详解：由约束条件，写出可行域如图，化为，由图可知，当直线过（，）时，直线在轴上的截距最小，有最小值等于×．故答案为：．点睛：（）本题主要考查线性规划求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.() 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.. 某圆柱的高为，底面周长为，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为. . 3 . .【答案】【解析】分析：先画出三视图对应的原图，再展开求从到的路径中的最短路径的长度.详解：先画出圆柱原图再展开得，由题得数形结合得的最短路径为故答案为：.点睛：（）本题主要考查三视图和圆柱中的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法. ()对于曲面的最值问题，由于用直接法比较困难，一般利用展开法来分析解答.. 已知函数（）的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值为. . . .【答案】【解析】分析：先求出图像变换后的解析式（﹣φ）,再令﹣φπ，∈，求得的值.详解：由题得函数（）（﹣φ）﹣（﹣φ）（﹣φ），（φ＜）所以函数的图象向右平移个单位后，可得（﹣﹣φ）（﹣φ）的图象，由于所得图象关于轴对称，可得﹣φπ，∈，故φ.故答案为：.. 已知函数，则不等式的解集为. . . .【答案】【解析】分析：先分析出函数()的性质，再根据函数()的图像解不等式.详解：由题得,所以当≥时，函数单调递减，所以此时当时，.当＞时，是一个常数函数，所以不等式可以化为，解之得∈.故答案为：.点睛：（）本题主要考查函数的单调性和最值，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.()解答本题的关键有两点，其一是分析出当≥时，函数单调递减，所以此时当时，.其二是通过图像分析出.二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分.. 已知，则的最小值是．【答案】【解析】分析：先化简已知得到,再利用基本不等式求的最小值.详解：因为，所以所以，当且仅当即时取到最小值.故答案为：.点睛：（）本题主要考查对数运算和基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.() 利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可。

甘肃省兰州市第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学(文)试题Word版含解析

兰州一中2016-2017学年2学期期末考试试题高二数学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟第I卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数的实部与虚部之和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，复数的实部和虚部之和是，故选B.2. 已知等比数列满足，则（）A. 64B. 81C. 128D. 243【答案】A【解析】试题分析：∵，∴，∴，∴．考点：等比数列的通项公式．3. 已知，则的最小值是 ( )A. 6B. 5C.D.【答案】C【解析】试题分析：，考点：基本不等式4. 图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】函数的周期，相邻最高点和最低点的横坐标间的距离为，根据勾股定理最高点和最低点之间的距离为，故选A.5. 参数方程（为参数）所表示的曲线是（）A. 一条射线B. 两条射线C. 一条直线D. 两条直线【答案】B【解析】或，所以表示的曲线是两条射线.故选B.考点：参数方程.6. 如图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是（）A. ?B. ?C. ?D. ?【答案】D【解析】由题意可知输出结果为第1次循环,第2次循环,第3次循环,第4次循环,第5次循环,此时满足输出结果,退出循环,所以判断框中的条件为.故选7. 已知关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，则关于x的不等式bx2-x+a≤0的解集为（）A. [-1，2]B. [-1，]C. [-，1]D. [-1，-]【答案】C【解析】由题意得为方程的根,且,所以,因此不等式bx2-x+a≤0为 ,选C.8. 圆的圆心极坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】略9. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A. 向左平移单位B. 向右平移单位C. 向右平移单位D. 向左平移单位【答案】C【解析】分析：根据平移的性质，2x2x，根据平移法则“左加右减”可知向右平移个单位．解答：解：∵y=sin2x y=sin(2x)故选：C10. 若，，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以且，因为所以，又，所以，故故选D.点睛：本题主要考查了三角函数求值，属于基础题，在本题中，将所求的拆成是关键。

甘肃省兰州新区2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题文

2017-2018学年度第二学期期末考试高二年级数学(文科)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)1．集合{}4,3,2A ={}63B ，=则=B A （） A.{}43,2， B.{}6,3,2 C.{}6,4,3,2 D.{}6,4,3 2.计算 2i -的值为（） A.1 B.1- C.3 D.03．在等差数列{}n a 中，12a 15a a 754==+，，则=2a （） A. 3B.3-C.23D.23-4.函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=3x 2sin x f π的最小正周期是( )5．函数()2x 3-x x f 2+=的零点的个数为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．06l 的倾斜角为（） A ． 150 B ． 120 C ． 60 D ． 30 7. 已知53sin =α，54cos =α，则=α2sin （） A.57 B.512 C.2512 D.25248.在△ABC 中，0＜⋅，则△ABC 是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形 9.如图所示，该程序框图是已知直角三角形的两直角边a 、b ，求斜边c 的算法，其中正确的是( )10. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，乙获胜的概率是31，则甲不输的概率是（） A ．65 B ．32 C ．61 D ．2111. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.πB.2πC.4πD.8π12. 已知7tan =α，求αααα223cos cos sin sin ++ 的值为（）A.5056B.5057C.5058D.5059二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．抛物线x 2y 2=的准线方程为． 14．右图所示茎叶统计图表示某城市一台自动售货机的销售额情况，那么这组数据的极差是_____．15. 已知向量a ，b1=2=，且()⊥+，则a 与b的夹角为．16. 若变量,x y 满足约束条件200220x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥，则2z x y =-的最小值等于．三解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（每小题6分，本题满分12分）(1) 计算：883-41n m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.(2) 比较大小：8.1log 0.5，7.2log 0.5.19.（本小题满分12分）已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计．先将800人按001，002，…，800进行编号．(1)如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；(下面摘取了第7行至第9行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 60 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 (2)抽取出100人的数学与地理的水平测试成绩如表所示，成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向、纵向分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20＋18＋4＝42人．若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a ，b 的值；20．（本小题满分12分）已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6x 2sin 3x f π. （1）求函数()x f 的最值；（2）判断函数()x f 的单调区间.21.（本小题满分12分）一个圆经过点A （5,0）与B （-2,1），圆心在直线x-3y-10=0上，求此圆的方程.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. (本小题满分10分)已知在直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）．（1）将圆C 的参数方程转化为直角坐标方程；（2）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程.2016－2017学年度第二学期期末考试答案高二数学（文）1-6CAACBB ，7-12DACBAD14.3915. 120或32π16. 25-17.（1）32-n m 或32n m（2）7.2log 8.1log 0.55.0＞ 18.（1）等边三角形（2）3119.（1）785,667,199 （2）a=14,b=1720.（1）最大值3，最小值-3（2）单调递增区间为)(,6,3z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ，单调递减区间为)(,32,6z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ21.圆的标准方程为()()253122=++-y x 22.（1）()41-x 22=+y （2）3cos 22=-θρρ。

2017-2018学年甘肃省兰州一中高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线x﹣y﹣3＝0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．（5分）设集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣1，2]C．（﹣∞，2]∪（3，+∞）D．[﹣2，﹣1）3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a10＝20，则S13＝（）A．6B．130C．200D．2604．（5分）若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．（﹣1，3）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）5．（5分）已知a＝0.52.1，b＝20.5，c＝0.22.1，则a、b、c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．b＞a＞c C．b＜a＜c D．c＞a＞b6．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半7．（5分）已知向量，满足||＝||＝2，•（﹣）＝﹣2，则|2|＝（）A．2B．2C．4D．88．（5分）若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜6？B．k＜7？C．k＜8？D．k＜9？9．（5分）已知实数x，y满足条件，则z＝x+2y的最小值为（）A．B．4C．2D．310．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．211．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣φ）﹣sin（2x﹣φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后关于y轴对称，则φ的值为（）A．B．C．﹣D．12．（5分）已知函数f（x）＝，则不等式f（x2﹣2x）＜f（2x）的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（4，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，4）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若lgx+lgy＝1，则的最小值为．14．（5分）直线l1：x+my+6＝0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0互相平行，则m的值为．15．（5分）已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是减函数，则不等式f（1）＜f（lnx）的解集是．16．（5分）半径为4的球的球面上有四点A，B，C，D，已知△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知在等比数列{a n}中，a1＝1，a2是a1和a3﹣1的等差中项，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n＝2n+1+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）已知函数f（x）＝4cos x sin（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值及取得最大值时x的值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角C；（2）若点D在边BC上，且AD＝CD＝4，△ABD的面积为，求边c的长．20．（12分）某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况，从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查，情况如表：（1）求出表中数据b，c；（2）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关；（3）为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的．现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率．附：，21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥DA，PD⊥DC．（Ⅰ）若E是P A的中点，求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）若PD＝AD＝4，PE＝AE，求三棱锥A﹣BED的高．22．（12分）已知直线l：，半径为4的圆C与直线l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．（1）求圆C的方程；（2）过点M（2，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2017-2018学年甘肃省兰州一中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，180°）．∴tanθ＝．∴θ＝60°．故选：B．2．【解答】解：由x2﹣2x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞3．∴B＝{x|x＜﹣1或x＞3}＝（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）又集合A＝{x|﹣2≤x≤2}＝[﹣2，2]，∴A∪B＝（﹣∞，2]∪（3，+∞）故选：C．3．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a10＝20，∴S13＝（a1+a13）＝（a4+a10）＝20＝130．故选：B．4．【解答】解：∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0，则△＝（a﹣1）2﹣4＞0，解得：a＞3或a＜﹣1，故选：D．5．【解答】解：a＝0.52.1∈（0，1），b＝20.5＞1，c＝0.22.1，∵y＝x2.1为增函数，∴0.52.1＞0.22.1，∴a＞c，∴b＞a＞c．故选：B．6．【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．A项，种植收入37%×2a﹣60%a＝14%a＞0，故建设后，种植收入增加，故A项错误．B项，建设后，其他收入为5%×2a＝10%a，建设前，其他收入为4%a，故10%a÷4%a＝2.5＞2，故B项正确．C项，建设后，养殖收入为30%×2a＝60%a，建设前，养殖收入为30%a，故60%a÷30%a＝2，故C项正确．D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为（30%+28%）×2a＝58%×2a，经济收入为2a，故（58%×2a）÷2a＝58%＞50%，故D项正确．因为是选择不正确的一项，故选：A．7．【解答】解：向量，满足||＝||＝2，•（﹣）＝﹣2，可得：•＝2，|2|＝＝＝＝2．故选：B．8．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环log23 3第二次循环log23•log34 4第三次循环log23•log34•log45 5第四次循环log23•log34•log45•log56 6第五次循环log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78＝log28＝3 8故如果输出S＝3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k＜8．故选：C．9．【解答】解：由约束条件写出可行域如图，化z＝x+2y为y＝，由图可知，当直线y＝过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z＝2+2×0＝2．故选：C．10．【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：＝2．故选：B．11．【解答】解：函数f（x）＝cos（2x﹣φ）﹣sin（2x﹣φ）＝2cos（2x﹣φ+）图象向右平移个单位后，可得2cos[2（）﹣φ+]＝2cos（2x﹣φ）关于y轴对称，即﹣φ＝kπ，k∈Z，φ＝﹣kπ，当k＝0时，可得φ＝．故选：B．12．【解答】解：函数f（x）＝，可得x≥0，f（x）＝﹣1+递减；x＜0时，f（x）＝2；且x＝0时函数连续，不等式f（x2﹣2x）＜f（2x），即有或，解得x＞4或x＜0，则原不等式的解集为（﹣∞，0）∪（4，+∞），故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：∵lgx+lgy＝1，∴lgxy＝1，且x＞0，y＞0，即xy＝10，∴，当且仅当，即x＝2，y＝5时取等号，故答案为：214．【解答】解：由于直线l1：x+my+6＝0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0互相平行，∴，∴m＝﹣1，故答案为﹣1．15．【解答】解：∵偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是减函数，∴函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式等价为f（1）＜f（|lnx|），即|lnx|＞1，即lnx＞1或lnx＜﹣1，解得x＞e或，即不等式f（1）＜f（lnx）的解集是；故答案为：16．【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9可得，解得AB＝6，球心为O，三角形ABC的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C＝＝2，OO′＝，则三棱锥D﹣ABC高的最大值为6，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为××63＝18，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵a2是a1和a3﹣1的等比中项，∴2a2＝a1+（a3﹣1）＝a3，∴q＝＝2，∴a n＝a1q n﹣1＝2n﹣1，（n∈N*）；（2）∵b n＝2n﹣1+a n，∴S n＝（1+1）+（3+2）+（5+22）+…+（2n﹣1+2n﹣1）＝（1+3+5+…+2n﹣1）+（1+2+22+…+2n﹣1）＝•n+＝n2+2n﹣1．18．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝4cos x sin＝4cos x sin x cos+4cos2x sin﹣1＝，故f（x）最小正周期T＝＝π；由，k∈Z．得，故f（x）的单调递增区间是．（Ⅱ）因为，所以．于是，当，即时，f（x）取得最大值2．19．【解答】解：（1）由及正弦定理可得：，故：，而：sin C＝sin（A+B）＞0，所以：，即．（2）由AD＝CD＝4及可得：△ACD是正三角形．由△ABD的面积为，可得，即，故BD＝8，在△ABD中，由余弦定理可得：，即．20．【解答】解：（1）根据分层抽样方法抽得女生50人，男生75人，所以b＝50﹣20＝30（人），c＝75﹣25＝50（人）………………………………………………………………（2分）（2）因为，所以有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关．…………………………………………（7分）（说明：数值代入公式（1分），计算结果（3分），判断1分）（3）设5名男生分别为A、B、C、D、E，2名女生分别为a、b，由题意可知从7人中选出5人接受电视台采访，相当于从7人中挑选2人不接受采访，其中一男一女，所有可能的结果有：{A，B}{A，C}{A，D}{A，E}{A，a}{A，b}{B，C}{B，D}{B，E}{B，a}{B，b}{C，D}{C，E}{C，a}{C，b}{D，E}{D，a}{D，b}{E，a}{E，b}{a，b}，共21种，……………………………………（9分）其中恰为一男一女的包括，{A，a}{A，b}{B，a}{B，b}{C，a}{C，b}{D，a}{D，b}{E，a}{E，b}，共10种．…………………………………（10分）因此被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率为．……………………………………………………………………（12分）21．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于G，连接EG，在△ACP中，∵E是P A的中点，∴EG∥PC，∵EG⊂平面BED，PC⊄平面BED，∴PC∥平面BED．解：（Ⅱ）在Rt△P AD中，设AD的中点为O，连接EO，则EO＝PD＝2，又PD＝AD＝4，∴，设三棱锥A﹣BED的高为h．又∵V A﹣BDE＝V E﹣ABD，∴，∴，解得h＝．∴点A到平面BED的距离为．22．【解答】（本小题满分12分）解：（1）设圆心C（a，0），由圆心C在x轴上且在直线l的右上方可得，则由直线与圆相切的性质可知，解可得，a＝0或a＝（舍）．所以圆C的方程为x2+y2＝16．……………（4分）（2）当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），假设N（t，0）（t＞0）符合题意，又设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（k2+1）x2﹣4k2x+4k2﹣16＝0，所以x1+x2＝，x1x2＝．……………（6分）若x轴平分∠ANB，则k AN＝﹣k BN…………（8分）∴+＝0⇒+＝0⇒2x1x2﹣（t+2）（x1+x2）+4t＝0⇒﹣+4t＝0⇒t＝8．…………（11分）所以存在点N为（8，0）时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．…………（12分）。

2017-2018学年甘肃省兰州市第一中学高二数学上期末考试(文)试题(含答案)

兰州一中2017-2018-1学期高二年级期末考试试题数学（文）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设复数12z i =-，则||z = ( )A ．5BC ．2D2．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( ) A ．不能被3整除的整数，一定不能被6整除 B ．能被3整除的整数，一定能被6整除 C ．不能被6整除的整数，一定不能被3整除 D ．不能被6整除的整数，能被3整除 3．抛物线x 2＝16y 的准线方程是( )A ．x ＝164B ．x ＝－164C ．y ＝4D ．y ＝－44．若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A ．73B ．54C ．43D ．535．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．右图是抛物线形拱桥，当水面在l 位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（）米. A ．22 B ．34 C ．24D ．327．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2．若1AF ，21F F ，B F 1成等比数列，则此椭圆的离心率为( ) A ．55 B ．22C ．33D ．38．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a 、b 分别为5、2，则输出的n =A ．2B ．3C ．4D ．59．已知椭圆的方程为14922=+y x ，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，F 2是椭圆的右焦点，则△ABF 2的周长的最小值为( )A ． 7B ． 8C ．9D ．1010．已知双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A ．22154x y -=B ．22195x y -=C ． 221134x y -=D ．221135x y -=11．设F 1，F 2为曲线C 1：12622=+y x 的焦点，P 是曲线C 2：32x －y 2＝1与C 1的一个交点，则cos ∠F 1PF 2的值是( ) A ．21 B ．22C ．31 D ．3312．已知直线l 的斜率为k ，它与抛物线x y 42=相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，FB AF 3=，则||k ＝（）A ． 22B ．3 C ．42 D ．33第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知复数z 满足(1i)2z +=，则复数z 的虚部为_______.14.已知命题p ：∀x > 0，总有(x ＋1)xe >1.则p ⌝为 .15.已知A 是双曲线C :)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点，过左焦点F 与y 轴平行的直线交双曲线C 于P 、Q 两点，若△APQ 是锐角三角形，则双曲线C 的离心率的范围 . 16.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率e ＝63，A 、B 是椭圆上两点，N (3，1)是线段AB的中点．则直线AB 的方程为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）已知a 为实数，命题p ：点M （1，1）在圆22()()4x a y a ++-=的内部；命题 q ：R,x ∀∈都有21x ax ++≥0．若“p ∧q ”为假命题，且“p ∨q ”为真命题，求a 的取值范围． 18．（本小题12分）设A 、B 是抛物线y 2＝8x 上的两点，A 与B 的纵坐标之和为8．（1）求直线AB 的斜率；（2）若直线AB 过抛物线的焦点F ，求AB ． 19．（本小题12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，渐近线方程为y=±x ，且双曲线过点P (4，－10)．(1) 求双曲线的方程；(2) 若点M (x 1，y 1)在双曲线上，求MF 1→·MF 2→的范围． 20．（本小题12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，左焦点为F 1(－3，0)，点M (3，21)在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P (1，0)的直线l 交椭圆C 于两个不同的点A 、B ，若△AOB (O 是坐标原点)的面积 S ＝45，求直线AB 的方程． 21．（本小题12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p>0）的焦点为F ，抛物线上的点P 到y 轴的距离等于1-PF ． (1) 求p 的值；(2) 是否存在正数m ，对于过点M (m ，0)且与抛物线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有F A →·FB →＜0? 若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 22．（本小题12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率e ＝22，右焦点为F ，过点B （0，－b ）和点F的直线与原点的距离为1．（1）求此椭圆的方程；（2）过该椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P 、Q ．若AP PQ λ=，则实数 λ 的取值范围．兰州一中2017-2018-1学期高二年级期末试题答案数学（文）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．-1 14．00,x ∃>使得00+11xx e ≤（） 15．(1，2) 16.x ＋y －4＝0 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题10分）已知a 为实数，命题p ：点M （1，1）在圆22()()4x a y a ++-=的内部；命题 q ：R,x ∀∈都有21x ax ++≥0．若“p ∧q ”为假命题，且“p ∨q ”为真命题，求a 的取值范围．解：由题意得，当p 真时，22(1)(1)4a a ++-<，解得11a -<<，当q 真时，则0∆≤，解得22a -≤≤．由题意得，p 与q 一真一假，从而当p 真q 假时有11,22,a a a -<<⎧⎨<->⎩或无解；当p 假q 真时有11,22,a a a -⎧⎨-⎩≤或≥≤≤解得2112a a --≤≤或≤≤．∴实数a 的取值范围是[][]2,11,2-- ． ………………10分 18．（本小题12分）设A 、B 是抛物线y 2＝8x 上的两点，A 与B 的纵坐标之和为8．（1）求直线AB 的斜率；（2）若直线AB 过抛物线的焦点F ，求AB ．解：（1）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2). 又y 1＋y 2＝8，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1，直线AB 的斜率为1． ………………6分（2）由题可知F (2，0)，则直线AB 的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x 消去x 并整理，得x 2－12x +4＝0，由弦长公式得|AB |＝16． ………………12分 19．（本小题12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，渐近线方程为y=±x ，且双曲线过点P (4，－10)．(1) 求双曲线的方程；(2) 若点M (x 1，y 1)在双曲线上，求MF 1→·MF 2→的范围．解：(1)设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6．∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6． ………………6分 (2) 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－x 1，－y 1)，MF 2→＝(23－x 1，－y 1)， ∴MF 1→·MF 2→＝x 12－12＋y 21，∵点M (x 1，y 1)在双曲线上，∴x 12＝6＋y 21，∴MF 1→·MF 2→＝2y 21－6 ， ∵y 12 ≥0， ∴MF 1→·MF 2→-≥6． ………………12分 20．（本小题12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，左焦点为F 1(－3，0)，点M (3，21)在椭圆C 上． (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 过点P (1，0)的直线l 交椭圆C 于两个不同的点A 、B ，若△AOB (O 是坐标原点)的面积 S ＝45，求直线AB 的方程．解： (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2=1(a>b>0)，因为椭圆的左焦点为F 1(－3，0)，设椭圆的右焦点为F 2(3，0),由椭圆的定义知|MF 1|+|MF 2|=2a ，所以2a=4，所以a=2，从而b=1，所以椭圆C 的方程为 x 24＋y 2＝1． ………………5分(2)记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题可设直线AB 的方程为x ＝my ＋1．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4x ＝my ＋1，消去x 得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0，所以⎝ ⎛y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2y 1·y 2＝－34＋m2，则S ＝12|OP ||y 1－y 2|＝2m 2＋3m 2＋4．由S ＝45，解得m 2＝1，即m ＝±1．故直线AB 的方程为x ＝±y ＋1，即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0为所求． ……………12分 21．（本小题12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p>0）的焦点为F ，抛物线上的点P 到y 轴的距离等于1-PF ． (1) 求p 的值；(2)是否存在正实数m ，对于过点M (m ，0)且与抛物线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有 F A →·FB →＜0?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由定义抛物线可知p =2． ………………3分 (2)设过点M (m ，0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎨⎧=+=xy m ty x 4,2得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →＜0⇔ (x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0．②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝⎛⎭⎫y 214＋y 224＋1＜0 即（y 1y 2）216＋y 1y 2－14[]（y 1＋y 2）2－2y 1y 2＋1＜0．③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2．④对任意实数t ，4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋22．由此可知，存在正数m ，对于过点M (m ，0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)． ………………12分 22．（本小题12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率e ＝22，右焦点为F ，过点B （0，－b ）和点F的直线BF 与原点的距离为1．（1）求此椭圆的方程；（2）过该椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q ．若AP PQ λ=，求实数λ的取值范围．解：(1)⎩⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=⨯==22122222c b a c b a a bc a c∴椭圆的方程为12422=+y x ． ………5分 (3) 由题可设直线l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x ＋2 消去x 得(k 2＋1)y 2－4ky ＝0，所以y Q ＝4k k 2＋1，同理y P ＝4k 2k 2＋1．又λ＝11-=-=-=PQ y y APAQ APAP AQ APPQ ．则λ＝1111222+-=+k k k ．因为k 2>0，所以0<λ<1． ………………12分。

2018-2019学年甘肃省兰州一中高二下学期期末考试数学(文)试题Word版含解析

兰州一中2018--2019--2高二期末考试文科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}|5213, M x x x R =-≤-≤∈， (){}|80, N x x x x Z =-≤∈，则M N ⋂=（）A ．()0,2B ．[]0,2 C ．{}0,2 D ．{}0,1,22.已知两向量AB →＝(4，－3)，CD →＝(－5，－12)，则AB →在CD →方向上的投影为( )A ．(－1，－15)B ．(－20,36)C ．1613D ．1653.已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为（）A. c b a <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<4设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（）A. B.C. D.6.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.87.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. 1B. 2C. 3D.4(第7题) (第8题)8．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M 是线段ED的中点，则( )A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9.若实数,x y满足约束条件340340x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y=+的最大值是（）A. 1-B. 1C. 10D. 1210.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m 1的星的亮度为E 2（k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（） A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10.110-11.知点A ，B ，C ，D 均在球O 上，AB ＝BC ＝3，AC ＝3，若三棱锥D －ABC 体积的最大值为334，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．16πC ．12πD .163π12.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：y x y x +=+122就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所正确结论的序号是 ( ) A.①B. ②C. ①②D . ①②③二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2016-2017学年甘肃省兰州市第一中学高二下学期期末考试数学(文)试题(解析版)

兰州一中2016-2017学年2学期期末考试试题高二数学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数()23z i i =+的实部与虚部之和为（）A. 1B. 1-C. 5D. 5-2．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（）A ．64B ．81C ．128D ．243 3．已知0,0,lg2lg4lg2xyx y >>+=，则( ) A. 6 B. 5D. 4．()cos 1y x =+图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是（）A.B. πC. 2D. 5．参数方程1,2x t t y ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩（t 为参数）所表示的曲线是（）A ．一条射线B ．两条射线C ．一条直线D ．两条直线6．如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（）A. 4k ≥?B. 5k ≥?C. 6k >?D. 5k >?7．已知关于x 的不等式ax 2-x +b ≥0的解集为[-2，1]，则关于x 的不等式bx 2-x +a ≤0的解集为（）A. [-1，2]B. [-1，12] C. [-12，1] D. [-1，-12]8．圆5cos ρθθ=-的圆心极坐标是（）A ．5(5,)3π B ．(5,)3π- C ．(5,)3π D ．5(5,)3π- 9的图象，只要将函数sin2y x =的图象（） ABCD10．若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=cos()2βα+=（） AB． C． D11．设集合}{10,1,1x A xB x x x ⎧-⎫=≤=≤⎨⎬+⎭⎩则“x A ∈”是“x B ∈”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,3,3811811=-=-S S a a 则使0>n a 的最小正整数n 的值是（）A ．11B ．10 C. 9 D ．8第Ⅱ卷(共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．13．若非零向量,a b 满足32a b a b ==+ ,则,a b夹角的余弦值为_______.14．对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下：若已求得它们的回归方程的斜率为6.5，则这条直线的回归方程为 . 15．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第一名的是__________． 16．数列{}n a 满足+1=31n n a a +，且11a =，则数列{}n a 的通项公式n a = ____．三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）ABC ∆的三个内角C B A ，，对应的三条边长分别是c b a ,,,且满足sin cos 0c A C =．（Ⅰ）求C 的值；（Ⅱ）若53cos =A , 35=c ，求B sin 和b 的值． 18．（本题满分12分）某中学将100名高二文科生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A ，B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验．为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图(如下图)．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（Ⅰ）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表；（Ⅱ）判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关？附：.19．（本题满分12分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-．（Ⅰ）求()x f 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求()x f 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 20．（本题满分12分）设对于任意实数x ，不等式71x x m ++-≥恒成立.（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：32212x x m --≤-.21．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，1C的参数方程为1,21,x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，2C 的极坐标方程22cos 30ρρθ--=．（Ⅰ）说明2C 是哪种曲线，并将2C 的方程化为普通方程；（Ⅱ）1C 与2C 有两个公共点,A B ，顶点P的极坐标4π⎫⎪⎭，求线段AB 的长及定点P 到,A B 两点的距离之积．22．（本题满分12分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列.(Ⅰ) 证明:2a =(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++< .兰州一中2016-2017学年2学期期末考试试题高二数学（文）参考答案1．B【解析】()2332z i i i =+=-+，复数的实部和虚部之和是321-+=-，故选B. 2．A 【解析】试题分析：由122336a a a a +=+=，解方程组得61711,264a q a a q ==∴== 考点：等比数列通项 3．C 【解析】22lg2lg4lg2lg2lg2lg2x y x y x y ++=+==，即21x y +=，那么()1111223322y x y x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭，等号成立的条件是2y x x y = ，故最小值是3+ C. 4．A【解析】函数的周期2T π= ，相邻最高点和最低点的横坐标间的距离为π ，根据勾股定理最高点和最A.5．B【解析】12x t t=+≥或12x t t=+≤-，所以表示的曲线是两条射线. 考点：参数方程. 6．D【解析】由题意可知输出结果为41S = 第1次循环, 11,9;S K == 第2次循环, 20,8;S K == 第3次循环, 28,7;S K == 第4次循环, 35,6;S K == 第5次循环, 41,5;S K ==此时S 满足输出结果,退出循环,所以判断框中的条件为5K >.故选.D7．C【解析】由题意得2,1- 为方程20ax x b -+= 的根,且0a < ,所以121,211,2b a b a a -+=-⨯=⇒=-= ,因此不等式bx 2-x +a ≤0为2121012x x x --≤⇒-≤≤ ,选C. 8．A【解析】略 9．C【解析】分析：根据平移的性质，2x 8π−−−−→变量变化2，根据平移法则“左加右减”可知向右平移单位．解答：解：∵y=sin2x 8π−−−−→向右平移y=sin(2故选：C 10．D 【解析】略 11．C 【解析】试题分析：{}11A x x =-<≤，{}11B x x =-≤≤，∵A B Ü,选C. 考点：1、分式不等式和绝对值不等式的解法；2、充分条件和必要条件. 12．B【解析】解：∵a 11-a 8=3d =3，∴d =1， ∵S 11-S 8=a 11+a 10+a 9=3a 1+27d =3，∴a 1=-8， ∴a n =-8+（n -1）＞0，解得n ＞9，因此最小正整数n 的值是10．故选B ．13．【答案】13- . 14． 6.517.5y x +＝【解析】试题分析：由题意，24568304060507055055x y ++++++++==＝，＝∵回归直线方程的斜率为6.5，∴50 6.5517.5a a =-⨯∴=，∴回归直线的方程为 6.517.5y x +＝.考点：线性回归方程．． 15．乙【解析】若甲的预测准确，则：甲不是第三名；乙不是第三名；丙是第一名．很明显前两个预测说明丙是第三名，后一个预测说明丙是第一名，矛盾，则假设不成立. 若乙的预测准确，则：甲是第三名；乙是第三名；丙是第一名．很明显前两个预测矛盾，则假设不成立. 若丙的预测准确，则：甲是第三名；乙不是第三名；丙是第一名．推理得甲是第三名；乙是第二名；丙是第一名．综上可得，获得第一名的是乙. 16．1(31)2nn a =-．【解析】试题分析：由题意+1=31n n a a +可得：3的等比数列．所以113322n n a -+=⨯，即(31)2n n a =-．故应填(31)2n n a =-．考点：1、数列递推式求通项公式． 17．（1）32π=C ；（2）10433sin -=B ，433-=b ．【解析】试题解析：（1）因为sin cos 0c A C +=由正弦定理得：0sin sin 32sin sin 2=+C A R A C R 由0sin ≠A .......................................... 3分所以3tan -=C ，),0(π∈C ；32π=∴C ................................ 5分（2）由53cos =A ，)2,0(π∈A 则54cos 1sin 2=-=A A ，C A C A C A C A B sin cos cos sin )sin()sin(sin +=+=--=π104332353)21(54-=⨯+-⨯=由C c B b sin sin =，433sin sin -==CBc b ................................ 10分18．【解析】：（Ⅰ）由频率分布直方图可得，甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12,38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4,46................................. 6分（Ⅱ）能判定，根据列联表中数据，K 2的观测值由于 4.762>3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．................................ 12分19．（Ⅰ）最小正周期为π ，单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）最大值2，最小值1-．【解析】（Ⅰ）因为()4cos sin f x x =()16x π+-1cos 21sin 23cos 4-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=x x x 222cos 12cos22sin 26x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，故()f x 最小正周期为π222262k x k πππππ-≤+≤+得36k x k ππππ-≤≤+故()f x 的增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．................................ 6分（Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤．于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当266x ππ+=-，即6x π=-时，()f x 取得最小值1-．...............................12分20．（Ⅰ）8m ≤；（Ⅱ）13x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭. 【解析】（Ⅰ）71x x ++-可以看做数轴上的点x 到点7-和点1的距离之和. ∴()71min 8x x ++-=，∴8m ≤................................6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得m 的最大值为8,原不等式等价于：324x x --≤.∴有3324x x x ≥⎧⎨--≤⎩或332 4.x x x <⎧⎨--≤⎩从而3x ≥或133x -≤<， ∴原不等式的解集为13x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭................................12分21．（Ⅰ）2C 是圆，()2214x y -+=（Ⅱ）AB =3PA PB = ．【解析】（Ⅰ）2C 是圆，2C 的极坐标方程22cos 30ρρθ--=，化为普通方程：22230x yx +--=即：()2214x y -+=．................................4分（Ⅱ）的极坐标平面直角坐标为在直线1C 上，将1C的参数方程为1,1,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入22230x y x +--=中得：22112130222⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化简得：230t -=．设两根分别为12,t t ，由韦达定理知：12123,t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩所以AB定点P 到,A B 两点的距离之积123PA PB t t == ．................................12分考点：直线参数方程几何意义，极坐标方程化为直角坐标方程22．【答案】(Ⅰ)当1n =时,22122145,45a a a a =-=+,20n a a >∴= ................................3分(Ⅱ)当2n ≥时,()214411n n S a n -=---,22114444n n n n n a S S a a -+=-=-- ()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+ ∴当2n ≥时,{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列,25214a a a ∴=⋅,()()2222824a a a +=⋅+,解得23a =,由(Ⅰ)可知,212145=4,1a a a =-∴= 21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列. ∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. ................................8分 (Ⅲ)()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ 11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦.................................12分。

甘肃省兰州一中2017-2018学年高二下学期期末考试语文试卷

兰州一中2017-2018-2学期高二年级期末考试试题语文说明：本试卷分第I卷和第II卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间150分钟。

答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。

一、现代文阅读(36分)（一）论述类文本阅读（本题共3小题，共9分）阅读下面的文字，完成1~3题。

①文化自信不仅在于自己的决心有多大，声音有多高，历史有多久，还在于人家是否信服，有没有?他信？。

在当今时代，面对大发展大变革的世界格局，面对各种思想文化更加频繁的交流、交融、交锋，谁占据了文化发展的制高点，谁就能够更好地在激烈的国际竞争中掌握主动权。

②近些年来，西方学术界逐渐认识到，人类中心主义是导致包括生态危机在内的全球性危机的罪魁祸首。

人类中心主义以人的利益为认识、实践的出发点和归宿，认为自然的价值在于其对人类的有用性，而没有给予自然足够的人文关怀。

生态思想家帕斯莫尔认为，基督教鼓励人们把自己当作自然的绝对主人，对人来说所有的存在物都是为他安排的。

这正是当今西方文化的死穴。

人类文明今天已走到由量变到质变的临界点，克服人类中心主义成为人类文明发展的当务之急。

英国历史学家汤因比指出：避免人类自杀之路，在这一点上现在各民族中具有最充分准备的，是两千年来培育了独特思维方法的中华民族。

什么是?独特思维方法?？就是以?中?为度、以?和?为贵。

《中庸》有云:?中者，天下之大本也；和者，天下之达道也。

??中？?和?二字是中华文化的精髓所在。

③在如何摆正人与自然关系方面，中华文化积累了丰富的中道智慧，是克服人类中心主义的一剂良方。

中华文化一方面注重人在天地之间的地位与作用，强调?惟人，万物之灵？；另一方面注重天地本身的价值，所谓?人法地，地法天，天法道，道法自然？，认为人必须遵从自然规律。

中华文明之所以能成为数千年未曾中断的文明，根源正在于?顶天立地？、中正通达，正在于我们将?与天地参?而不是将征服自然、改造天地、满足欲望作为人类的使命，正在于我们摆正了人在天地之间的位置。

甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)

兰州一中2017-2018-2学期高二年级期末考试试题数学附：第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.）1. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )A. 10种B. 20种C. 25种D. 32种【答案】D【解析】试题分析：如果不规定每个同学必须报名，则每人有3个选择。

报名方法有3×3×3×3×3＝243种。

如果规定每个同学必须报名。

则每人只有2个选择。

报名方法有2×2×2×2×2＝32种。

考点：排列、组合．2. 袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，取后不放回直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量，则的可能取值为( )A. 1，2，3，…，6B. 1，2，3，…，7C. 0，1，2，…，5D. 1，2，3，…，5【答案】B【解析】从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出球，也有可能取完6个红球后才取出白球.3. 若随机变量的分布列如下表：则当时，实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据概率为0.8，确定实数的取值范围详解：因为，所以实数的取值范围为选C.点睛：本题考查分布列及其概率，考查基本求解能力.4. 世界杯参赛球队共32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强(各组的前2名小组出线)，这16个队按照确定的程序进行淘汰赛，决出8强，再决出4强，直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为( )A. 64B. 72C. 60D. 56【答案】A【解析】分析：先确定小组赛的场数，再确定淘汰赛的场数，最后求和.详解：因为8个小组进行单循环赛，所以小组赛的场数为因为16个队按照确定的程序进行淘汰赛，所以淘汰赛的场数为因此比赛进行的总场数为48+16=64，选A.点睛：本题考查分类计数原理，考查基本求解能力.5. 的展开式中的系数是( )A. 42B. 35C. 28D. 21【答案】D【解析】分析：先根据通项公式确定代入求系数.详解：因为，所以的系数是,选D.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.6. 为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取60名高中生做问卷调查，得到以下数据：由以上数据，计算得到的观测值，根据临界值表，以下说法正确的是( )A. 在样本数据中没有发现足够证据支持结论“作文成绩优秀与课外阅读量大有关”B. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关C. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关D. 在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关【答案】D【解析】分析：根据临界值表，确定犯错误的概率详解：因为根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关．选D.点睛：本题考查卡方含义，考查基本求解能力.7. 为预测某种产品的回收率，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了8组观察值．计算知，则对的回归方程是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：根据公式计算≈2.62，≈11.47，即得结果.详解：由，直接计算得≈2.62，≈11.47，所以＝2.62x＋11.47.选A.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.8. 将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件{两个点数互不相同}，{出现一个5点}，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36−6=30，事件B:出现一个5点，有10种，∴，本题选择A选项.点睛：条件概率的计算方法：(1)利用定义，求P(A)和P(AB)，然后利用公式进行计算；(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，然后求概率值.9. 甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先分成两个互斥事件：甲解决问题乙未解决问题和甲解决问题乙未解决问题，再分别求概率，最后用加法计算.详解：因为甲解决问题乙未解决问题的概率为p1(1－p2)，甲未解决问题乙解决问题的概率为p2(1－p1)，则恰有一人解决问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故选B.点睛：本题考查互斥事件概率加法公式，考查基本求解能力.10. 如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是( )A. 0B. 256C. 64D.【答案】D【解析】分析：先确定n值，再根据赋值法求所有项的系数和.详解：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n＝6.令x＝1，则展开式中所有项的系数和是,选D.点睛：二项式系数最大项的确定方法①如果是偶数，则中间一项(第项)的二项式系数最大；②如果是奇数，则中间两项第项与第项的二项式系数相等并最大.11. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费(单位：千元)对年销售量(单位：)和年利润 (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．有下列5个曲线类型：①；②；③；④；⑤，则较适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程的是( )A. ①②B. ②③C. ②④D. ③⑤【答案】B【解析】分析：先详解：从散点图知，样本点分布在开口向右的抛物线(上支)附近或对数曲线(上部分)的附近，所以y＝或y＝p＋q ln x较适宜，故选B点睛：本题考查散点图以及函数图像，考查识别能力.12. 设，则的值为( )A. 2B. 2 046C. 2 043D. －2【答案】D【解析】分析：先令得，再令得，解得结果.详解：令得令得=0因此，选D.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.第Ⅱ卷（非选择题）二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.）13. 有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)【答案】【解析】分析：根据排列定义求结果.详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60(种)．点睛：本题考查排列定义，考查基本求解能力.14. 已知服从二项分布，则 ________.【答案】【解析】分析：先根据二项分布数学期望公式得，再求.详解：因为服从二项分布，所以所以点睛：本题考查二项分布数学期望公式，考查基本求解能力.15. 一个碗中有10个筹码，其中5个都标有2元，5个都标有5元，某人从此碗中随机抽取3个筹码，若他获得的奖金数等于所抽3个筹码的钱数之和，则他获得奖金的期望为________．【答案】【解析】分析：先确定随机变量取法，再分别求对应概率，最后根据数学期望公式求期望.详解：获得奖金数为随机变量ξ，则ξ＝6,9,12,15，所以ξ的分布列为：E(ξ)＝6×＋9×＋12×＋15×＝.点睛：本题考查数学期望公式，考查基本求解能力.16. 下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程，若变量增加一个单位时，则平均增加5个单位；③线性回归方程所在直线必过；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个列联表中，由计算得，则其两个变量之间有关系的可能性是. 其中错误的是________．【答案】②④⑤【解析】分析：根据方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义确定命题真假.详解：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；回归方程若变量增加一个单位时，则平均减少5个单位；曲线上的点与该点的坐标之间不一定具有相关关系；在一个列联表中，由计算得，只能确定两个变量之间有相关关系的可能性，所以②④⑤均错误．点睛：本题考查方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义，考查对基本概念理解与简单应用能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 为了了解创建文明城市过程中学生对创建工作的满意情况，相关部门对某中学的100名学生进行调查．得到如下的统计表：已知在全部100名学生中随机抽取1人对创建工作满意的概率为.(1)在上表中相应的数据依次为；(2)是否有充足的证据说明学生对创建工作的满意情况与性别有关？【答案】(1) 5,30,80,20,55,45； (2) 有.【解析】分析：（1）根据列联表得关系确定数值，（2）根据公式求K2，再与参考数据比较得可靠性.详解： (1)填表如下：5,30,80,20,55,45(2)根据列联表数据可得K2的观测值k＝≈9.091>7.879，所以有在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为学生对创建工作的满意情况与性别有关．点睛：本题考查卡方公式，考查基本求解能力.18. 在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．【答案】(1) ； (2) ；（3）.【解析】本题考查了有条件的概率的求法，做题时要认真分析，找到正确方法．（1）因为有5件是次品，第一次抽到理科试题，有3中可能，试题共有5件，（2）因为是不放回的从中依次抽取2件，所以第一次抽到理科题有5种可能，第二次抽到理科题有4种可能，第一次和第二次都抽到理科题有6种可能，总情况是先从5件中任抽一件，再从剩下的4件中任抽一件，所以有20种可能，再令两者相除即可．（3）因为在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到文科题的概率为（1）；……….5分（2）；………5分（3）．……….5分19. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)．质量的分组区间为，由此得到样本的频率分布直方图，如下图．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品的数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设为质量超过505克的产品数量，求的分布列；(3)从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的质量超过505克的概率．【答案】(1)； (2)分布列见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图即可求出；（2）求的分布列；由于为重量超过克的产品数量，抽取的件产品中任取件，因此的可能取值为0,1,2.由古典概型的概率求法，分别求出概率，即得分布列；（3）从该流水线上任取件产品，求恰有件产品的重量超过克的概率，这符合二项分布，利用二项分布即可求出恰有件产品的重量超过克的概率.试题解析：（1）根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为（件）．（2分）（2）的可能取值为0,1,2. （3分）（4分）（5分）（6分）Y的分布列为（3）利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3 （8分）令为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量，则，（10分）故所求概率为（12分）考点：统计初步，分布列，二项分布.20. 某单位为了了解用电量(度)与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，由表中数据得线性回归方程，其中.现预测当气温为－时，用电量的度数约为多少？用电量气温【答案】.【解析】分析：先求均值，代入求得，再求自变量为-4所对应函数值即可.详解：由题意可知＝ (18＋13＋10－1)＝10，＝ (24＋34＋38＋64)＝40，＝－2.又回归方程＝－2x＋过点(10,40)，故＝60.所以当x＝－4时，＝－2×(－4)＋60＝68.故当气温为－4℃时，用电量的度数约为68度．点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.21. 一个商场经销某种商品，根据以往资料统计，每位顾客采用的分期付款次数的分布列为：商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．(1)求购买该商品的3位顾客中，恰有2位采用1期付款的概率；(2)求的分布列及期望．【答案】(1)； (2).【解析】分析：（1）先判断随机变量服从二项分布，再根据对应概率公式求结果，（2）先确定随机变量取法，再根据互斥事件概率加法公式求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求结果.详解：(1)因为服从ξ～B(3,0.4)，运用概率公式P＝ (0.4)k(1－0.4)3－k，所以P＝=0.288.(2)因为采用1期付款，其利润为200元，采用2期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．所以可能取值为200元，250元，300元．根据表格知识得出：P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P(η＝300)＝1－P(η＝200)－P(η＝250)＝1－0.4－0.4＝0.2.故η的分布列为：E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.22. 现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢．(1)求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；(2)求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率；(3)用分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望．【答案】(1) ； (2) ；（3）.【解析】分析：（1）先确定参加甲游戏的概率以及参加乙游戏的概率，再根据独立重复试验概率公式求结果，（2）先确定满足条件得两个互斥事件，再根据互斥事件概率加法求结果，（3）先确定随机变量取法，再根据互斥事件概率加法求对应概率，最后根据数学期望公式求结果.详解：解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件(i＝0,1,2,3,4)，则（Ⅰ）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率（Ⅱ）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则，由于与互斥，故所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为（Ⅲ）ξ的所有可能取值为0,2,4.由于与互斥，与互斥，故，。

甘肃省兰州市第一中学2016-2017学年高二下学期期末考

2017-2018学年(新课标)最新甘肃兰州高一下学期期末考试数学试题(有答案)-精品试题

甘肃省兰州市2017-2018学年度下学期期末考试高一数学试题说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分100分,考试时间100分钟。

答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡。

第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中只有一个．．．．选项符合题意) 1．若α为第三象限，则αααα22cos 1sin 2sin 1cos -+-的值为（）A ．3B ．－3C ．1D ．－12．sin7cos37sin83cos53-的值为（） A ．21- B ．21C ．23 D ．－233. 已知6,3,12,a b a b ==⋅=- 则向量a 在b 方向上的投影为（）A. 4-B. 4C. 2-D. 24.)23sin(2x y -=π单调增区间为（） A ．5[,]1212k k ππππ-+,()k Z ∈ B ．]1211,125[ππππ++k k ,()k Z ∈C ．]6,3[ππππ+-k k ,()k Z ∈ D ．2[,]63k k ππππ++,()k Z ∈ 5．在△ABC 中，已知S ABC ⋅===∆则,3,1||,4||的值为（）A ．－2B ．2C ．±4D ．±26. 由函数)(,)62cos()(2sin )(x f x x g x x f 需要将的图象的图象得到π-==的图象（）A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移3π个单位 D ．向右平移6π个单位7.函数2()tan()16f x x x πα=--⋅+在)+∞上单调递增,则α的取值范围是（） A.2[,)63k k ππππ-+,()k Z ∈ B.2(,]36k k ππππ-+,()k Z ∈C.2(,)3π-+∞, ()k Z ∈ D.(,]6k ππ-∞+, ()k Z ∈ 8.已知)cos()sin()(ϕϕ-+-=x x x f 为奇函数，则ϕ的一个取值为（）A ．0B ．πC ．2πD ．4π9.已知2sin()sin 35παα-+=，则7sin()6πα+的值是（）A ．B ．532C ．45-D ．5410.已知函数2π()sinsin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域为（）A. 3[0]2，B. 13[]22-，C. 1[1]2-，D. 31[]22-， 11. 设向量1e 、2e 满足：122,1e e ==，21e =，1e ，2e 的夹角是60，若1227te e +与12e te +的夹角为钝角，则t 的范围是（）.A 1(7,)2-- .B 141(7,(,)2---.C 141[7,(,]2--- .D 1(,7)(,)2-∞--+∞12.给出下列命题① ABC ∆中，53sin ,cos 135A B ==,则16cos 65C =-； ② 角α终边上一点)4,3(a a P -，且0≠a ，那么53cos -=α； ③ 若函数()3sin()f x x ωϕ=+对于任意的x 都有()()66f x f x ππ+=--，则()06f π=；④ 已知)2sin()(+=x x f ω满足0)()2(=++x f x f ，则2πω=；其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 13．已知向量b a ,的夹角为3π，||2,||1,a b ==r r ||||a b a b +⋅-=r r r r则；14. 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如下图所示，则f(7π12)＝；15.在边长为1的正ABC ∆中，设2,3BC BD CA CE ==,则AD BE ⋅= ___________； 16.已知22sin sin ,cos cos 33x yx y -=--=,且,x y 为锐角,则tan()x y -=______.三.解答题（本大题共4大题,共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本小题8分)已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且33sin()65αβ+=,5cos 13β=-，求sin α.18. (本小题8分)已知：、、是同一平面内的三个向量，其中＝（1，2） ⑴若||52=，且//，求的坐标； ⑵若||=,25且2+与2a b -垂直，求与的夹角θ.19．(本小题8分)如图所示，在△ABO 中，11,42OC OA OD OB ==uu u r uu r uuu r uu u r, AD 与BC 相交于点M ，设OA uu r =a r ，OB u u u r =b r .试用a r 和b r 表示向量OM uuu r .20．（本小题12分）已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，，παβ<<<0. （1）若||2a b -=，求证：a b ⊥；（2）设(0,1)c =，若a b c +=，求βα,的值.参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 12二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）; 14.0; 15. 14-; 16.三.解答题（本大题共4大题,共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本小题8分)已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且33sin()65αβ+=,5cos 13β=-，求sin α. 解 ∵β∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2，cos β=-135,∴sin β=1312. ..............................2分又∵0＜α＜2π,2π＜β＜π,∴2π＜α+β＜23π, 又sin(α+β)=6533, ∴2π＜α+β＜π,cos(α+β)=-)(sin 12βα+- =-265331⎪⎭⎫⎝⎛-=-6556, ...............................4分∴sin α=sin ［(α+β)-β］ =sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β =6533·⎪⎭⎫ ⎝⎛-135-⎪⎭⎫ ⎝⎛-6556·1312=53. ...............................8分18. (本小题8分)已知：、、是同一平面内的三个向量，其中＝（1，2） ⑴若|c |52=，且//，求的坐标；⑵若||=,25且2+与2a b -垂直，求与的夹角θ. 解：⑴设22(,),||20c x y c x y ===∴+=r u rQ//,(1,2),20,2c a a x y y x =∴-=∴=r r rQ由⎩⎨⎧=+=02222y x xy ∴⎩⎨⎧==42y x 或 ⎩⎨⎧-=-=42y x∴)4,2(),4,2(--==或 ...............................4分⑵(2)(2),(2)(2)0a b a b a b a b +⊥-∴+⋅-=r r r r r r r rQ0||23||2,02322222=-⋅+∴=-⋅+ ……（※）2225||5,||(,24a b ===r r Q 代入（※）中,552532042a b a b ∴⨯+⋅-⨯=∴⋅=-r r r r5|||cos 1,2||||a b a b a b θ-⋅==∴===-⋅r rr r r r Q[0,]θπθπ∈∴=Q ...............................8分19．(本小题8分)如图所示，在△ABO 中，OC uuu r =41OA uu r ,12OD OB =uuu r uu u r,AD 与BC 相交于点M ，设OA uu r =a r ，OB u u u r =b r .试用a r 和b r 表示向量OM uuu r .解设=ma+nb ，则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb.=-=21-=-a+21b. 又∵A、M 、D 三点共线，∴与共线.∴存在实数t,使得=t ， ...............................2分 (m-1)a+nb=t(-a+21b). ∴(m -1)a+nb=-ta+21tb.⎪⎩⎪⎨⎧=-=-21t n t m ，消去t 得：m-1=-2n. 即m+2n=1. ① ...............................4分又∵CM =-=ma+nb-41a=(m-41)a+nb.=-=b-41a=-41a+b.又∵C、M 、B 三点共线，∴CM 与共线. ∴存在实数t 1,使得=t 1, ∴(m -41)a+nb=t 1（-41a+b ）∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=-114141t n t m ，消去t 1得,4m+n=1 ②...............................6分由①②得m=71,n=73,∴OM uuu r =71a+73b. ...............................8分注：本题解法较多，只要正确合理均可酌情给分. 20．（本小题12分）已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，，παβ<<<0. （1）若||2a b -=，求证：a b ⊥；（2）设(0,1)c =，若a b c +=，求βα,的值.解：（1）∵2||=-b a ∴2||2=- 即()22222=+-=-b b a a b a ，又∵1sin cos ||2222=+==ααa a ，1sin cos ||2222=+==ββb b ∴222=-b a ∴0=ba ∴b ⊥a . ...............................4分（2）∵)1,0()sin sin ,cos (cos =++=+βαβα∴⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα即⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos两边分别平方再相加得：βsin 221-= ∴21sin =β ∴21sin =α ∴∵παβ<<<0 ∴πβπα61,65==. ...............................12分。

甘肃省天水一中2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年甘肃省天水一中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1．已知命题p：|x|＜2，命题q：x2﹣x﹣2＜0，则¬p是¬q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件2．函数f（x）=（x2﹣1）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）3．已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合M={0，1，3，5}，则满足M∩A={0，3}的集合A可以是（）A．{0，2，3}B．{0，3，5}C．{0，1，2，3} D．{0，2，3，5}4．设a＞0，且a≠1，函数y=2+log a（x+2）的图象恒过定点P，则P点的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（3，﹣2）D．（3，2）5．设a=log32，b=ln2，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a6．下列函数既是奇函数又在（﹣1，1）上是增函数的是（）A．y=cos（+x）B．y=﹣C．y=ln D．y=2x﹣2﹣x7．已知等比数列{a n}满足a2+2a1=4，a32=a5，则该数列前20项的和为（）A．210B．210﹣1 C．220﹣1 D．2208．已知||=，||=2，（﹣）•=0，则向量与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°9．函数y=ln（1﹣x）的大致图象为（）A．B．C．D．10．函数f（x）=x3+ax﹣2在区间[1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．[﹣3，+∞）C．（﹣3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）11．已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（）A．﹣2 B．2 C．﹣98 D．9812．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1）D．（0，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．命题“∃x∈R，x+l≥0”的否定为．14．若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．15．函数y=+ln（2﹣x）的定义域是．16．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f17．已知偶函数f（x）=x2+bx+c（常数b、c∈R）的一个零点为1，直线l：y=kx+m（k＞m ∈R）与函数y=f（x）的图象相切．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求的取值范围．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥平面PCD；（Ⅱ）求PB和平面PAC所成的角的正切值．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且3b=2c．（1）若B=2C，求sinB的值；（2）若c=3，△ABC的面积为3，求a．20．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+a2=12，9a32=a2•a6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3a1+log3a2+…log3a n，求数列{}的前n项和．21．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣3lnx，g（x）=x2﹣3x﹣a（a∈R）．（1）若∀x＞0，f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围；（2）设函数F（x）=f（x）﹣2g（x），若F（x）在[1，5]上有零点，求实数a的取值范围．选做题（22、23、24只能选一道作答，否则不给分．）[选修4-1几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）O为极点，A，B为圆C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．（Ⅰ）若a，b，均为正数，且a+b=1．证明：（1+）（1+）≥9；（Ⅱ）若不等式|x+3|﹣|x﹣a|≥2的解集为{x|x≥1}，求实数a的值．2015-2016学年甘肃省天水一中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1．已知命题p：|x|＜2，命题q：x2﹣x﹣2＜0，则¬p是¬q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．【分析】先由已知条件求出¬p和¬q，然后结合题设条件进行判断．【解答】解：¬p：|x|≥2，即x≤﹣2或x≥2，¬q：x2﹣x﹣2≥0，解得x≤﹣1或x≥2．∴¬p是¬q的充分非必要条件，故选A．2．函数f（x）=（x2﹣1）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【考点】复合函数的单调性．【分析】求出原函数的定义域，根据外函数为定义域内的减函数，只要求出内函数的减区间即可得到原函数的增区间．【解答】解：由x2﹣1＞0，得x＜﹣1或x＞1．∴函数f（x）=（x2﹣1）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），令t=x2﹣1，外函数y=在定义域内为减函数，而内函数t=x2﹣1在（﹣∞，﹣1）内为减函数，由复合函数的单调性可得，函数f（x）=（x2﹣1）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）．故选：D．3．已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合M={0，1，3，5}，则满足M∩A={0，3}的集合A可以是（）A．{0，2，3}B．{0，3，5}C．{0，1，2，3} D．{0，2，3，5}【考点】交集及其运算．【分析】根据全集U，M，以及M与A的交集，确定出A即可．【解答】解：∵全集U={0，1，2，3，4，5}，M={0，1，3，5}，且M∩A={0，3}，∴A可以是{0，2，3}，故选：A．4．设a＞0，且a≠1，函数y=2+log a（x+2）的图象恒过定点P，则P点的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（3，﹣2）D．（3，2）【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点．【分析】令真数为1，结合log a1=0恒成立，可得P点坐标，进而得到答案．【解答】解：当x+2=1，即x=﹣1时，y=2+log a（x+2）=2恒成立，故函数y=2+log a（x+2）的图象恒过定点P（﹣1，2），故选：A5．设a=log32，b=ln2，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较；换底公式的应用．【分析】根据a的真数与b的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量1与之比较大小，便值a、b、c的大小关系．【解答】解：a=log32=，b=ln2=，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c==，而，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选C．6．下列函数既是奇函数又在（﹣1，1）上是增函数的是（）A．y=cos（+x）B．y=﹣C．y=ln D．y=2x﹣2﹣x【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据三角函数的诱导公式，正弦函数、反比例函数、指数函数的单调性以及复合函数单调性的判断，以及奇函数的定义便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A.=﹣sinx；∵y=sinx在（﹣1，1）上单调递增；∴y=﹣sinx在（﹣1，1）上是减函数，∴该选项错误；B．反比例函数在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误．C.；该函数定义域为（﹣2，2）；函数在（﹣2，2）上单调递减，且y=lnt单调递增；∴复合函数在（﹣2，2）上为减函数，∴该选项错误；D．y=2x﹣2﹣x的定义域为R，且2﹣x﹣2﹣（﹣x）=﹣（2x﹣2﹣x）；∴该函数为奇函数；且y=2x为增函数，y=2﹣x为减函数，y=﹣2﹣x为增函数；∴y=2x﹣2﹣x在（﹣1，1）上为增函数，∴该选项正确．故选：D．7．已知等比数列{a n}满足a2+2a1=4，a32=a5，则该数列前20项的和为（）A．210B．210﹣1 C．220﹣1 D．220【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式计算可得．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+2a1=4，a32=a5，∴a1（q+2）=4，a12q4=a1q4，联立解得a1=1，q=2，∴数列的前20项的和为：=220﹣1．故选：C．8．已知||=，||=2，（﹣）•=0，则向量与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量的数量积运算和向量的夹角公式即可得出．【解答】解：∵，∴=0，∴=0．解得，∵．∴．故选D．9．函数y=ln（1﹣x）的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】可根据函数y=ln（1﹣x）的定义域与单调性予以判断．【解答】解：∵函数y=ln（1﹣x）的定义域为{x|x＜1}，故可排除A，B；又y=1﹣x为（﹣∞，1）上的减函数，y=lnx为增函数，∴复合函数y=ln（1﹣x）为（﹣∞，1）上的减函数，排除D；故选：C．10．函数f（x）=x3+ax﹣2在区间[1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．[﹣3，+∞）C．（﹣3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】依题意，由f′（1）≥0即可求得答案．【解答】解：∵f（x）=x3+ax﹣2，∴f′（x）=3x2+a，∵函数f（x）=x3+ax﹣2在区间[1，+∞）内是增函数，∴f′（1）=3+a≥0，∴a≥﹣3．故选B．11．已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（）A．﹣2 B．2 C．﹣98 D．98【考点】函数的周期性；奇函数；函数奇偶性的性质．【分析】利用函数周期是4且为奇函数易于解决．【解答】解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4所以f（7）=f（3）=f（﹣1），又f（x）在R上是奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2，故选A．12．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1）D．（0，+∞）【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】先求导函数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．命题“∃x∈R，x+l≥0”的否定为．【考点】命题的否定．【分析】题目给出了特称命题，它的否定是全称命题．【解答】解：∵“特称命题”的否定一定是“全称命题”，∴命题“∃x∈R，x+l≥0”的否定是：∀x∈R，x+1＜0．故答案为∀x∈R，x+1＜0．14．若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．【解答】解：由题意得，∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1=0，得a=，故答案为：．15．函数y=+ln（2﹣x）的定义域是．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】要使函数有意义，只要即可．【解答】解：要使函数有意义，须满足，解得1≤x＜2，∴函数的定义域是[1，2），故答案为：[1，2）．16．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f=f（x﹣1）﹣f（x﹣2）推导可得f（x）=﹣f（x﹣3）=f（x﹣6），从而解得．【解答】解：∵x＞0，f（x）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2）=f（x﹣2）﹣f（x﹣3）﹣f（x﹣2）=﹣f（x﹣3），∴f（x）=﹣f（x﹣3）=f（x﹣6），故f=f（0）=0﹣1=﹣1，故答案为：﹣1．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知偶函数f（x）=x2+bx+c（常数b、c∈R）的一个零点为1，直线l：y=kx+m（k＞m ∈R）与函数y=f（x）的图象相切．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；函数奇偶性的性质．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=x2+bx+c为偶函数，可得b=0，根据函数f（x）=x2+bx+c（常数b、c∈R）的一个零点为1，可得c=﹣1，从而可求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）直线l：y=kx+m代入y=x2﹣1，利用直线l：y=kx+m（k＞m∈R）与函数y=f（x）的图象相切，可判别式为0，从而，进而可得=，利用基本不等式可求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x2+bx+c为偶函数∴f（﹣x）=f（x）∴x2﹣bx+c=x2+bx+c∴b=0∵函数f（x）=x2+bx+c（常数b、c∈R）的一个零点为1，∴f（1）=0∴c=﹣1∴函数y=f（x）的解析式为f（x）=x2﹣1；（Ⅱ）直线l：y=kx+m代入y=x2﹣1，∴x2﹣kx﹣m﹣1=0∵直线l：y=kx+m（k＞m∈R）与函数y=f（x）的图象相切∴△=k2﹣4（﹣m﹣1）=k2+4m+4=0∴∴=∵k＞0，∴∴=≤﹣1∴的取值范围是（﹣∞，﹣1]18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥平面PCD；（Ⅱ）求PB和平面PAC所成的角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）由△ABC为等边三角形可得PA=AC，于是AE⊥PC，通过证明CD⊥平面PAC 得出CD⊥AE，故而AE⊥平面PCD；（II）取AC中点F，连接BF、PF，则可证明BF⊥平面PAC，故∠BPF为PB与平面PAC 所成的角，利用勾股定理求出BF，PF即可得出tan∠BPF．【解答】证明：（I）∵∠ABC=60°，AB=BC=PA，∴△ABC为等边三角形，∴PA=AC，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，∵AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE又∵AE⊥PC，PC⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD．（II）取AC中点F，连接BF、PF，∵AB=BC，F为AC中点，∴BF⊥AC，∵PA⊥底面ABCD，BF⊂底面ABCD，∴PA⊥BF，又∵PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，∴BF⊥平面PAC．∴∠BPF为PB与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴PA⊥AC．设PA=AB=BC=AC=2a，∴AF=a，PF==，∴，∴PB和平面PAC所成的角的正切值为．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且3b=2c．（1）若B=2C，求sinB的值；（2）若c=3，△ABC的面积为3，求a．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）运用正弦定理和二倍角公式，以及同角的平方关系，计算即可得到所求值；（2）由条件可得b=2，运用三角形的面积公式可得sinA=，求得cosA，再由余弦定理，可得a的值．【解答】解：（1）由3b=2c，运用正弦定理可得3sinB=2sinC，由B=2C，可得sinB=sin2C=2sinCcosC，即有cosC=，sinC===，则sinB=sinC=×=；（2）若c=3，3b=2c，可得b=2，由△ABC的面积为3，可得3=bcsinA=3sinA，可得sinA=，则cosA=±=±，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，即为a==3；或a==．20．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+a2=12，9a32=a2•a6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3a1+log3a2+…log3a n，求数列{}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过联立a1+a1q=12、9=（a1q）•（a1q5），结合q＞0可知q=3、a1=3，进而可得结论；（2）通过（1）可知log3a n=n，利用等差数列的求和公式可知b n=，进而裂项可知=2（﹣），并项相加即得结论．【解答】解：（1）依题意，a1+a1q=12，9=（a1q）•（a1q5），整理得：a1+a1q=12，q2=9，又∵等比数列{a n}的各项均为正数，∴q=3，a1=3，∴a n=3n；（2）由（1）可知log3a n=log33n=n，则b n=log3a1+log3a2+…log3a n=1+2+…+n=，∴==2（﹣），故所求值为2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=．21．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣3lnx，g（x）=x2﹣3x﹣a（a∈R）．（1）若∀x＞0，f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围；（2）设函数F（x）=f（x）﹣2g（x），若F（x）在[1，5]上有零点，求实数a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）∀x＞0，f（x）≥m恒成立，∴m≤[f（x）]min，利用导数研究其单调性极小值与最小值即可得出．（2）函数F（x）=f（x）﹣2g（x）在[1，5]上有零点，等价于方程f（x）﹣2g（x）=0在[1，5]上有解．化为．设．利用导数研究其单调性极值与最值，可得函数h（x）在[1，5]上值域即可得出．【解答】解：（1）由题意得f（x）的定义域为（0，+∞），．由表格可知：．∵f（x）≥m在（0，+∞）上恒成立，∴．（2）函数F（x）=f（x）﹣2g（x）在[1，5]上有零点，等价于方程f（x）﹣2g（x）=0在[1，5]上有解．化简，得．设．则，∵x＞0，∴h'（x）、h（x）随x的变化情况如下表：且，，，h（5）﹣h（1）=3ln5﹣4=ln53﹣lne4＞0．作出h（x）在[1，5]上的大致图象（如图所示）．∴当时，在[1，5]上有解．故实数a的取值范围是．选做题（22、23、24只能选一道作答，否则不给分．）[选修4-1几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，则∠BED+∠EDB=90°，∵BC⊥DE，∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，∵AB切⊙O于点B，∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，则=3，∵BC=，∴AB=3，AC=，则AD=3，由切割线定理得AB2=AD•AE，即AE=，故DE=AE﹣AD=3，即可⊙O的直径为3．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）O为极点，A，B为圆C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣），展开可得：ρ2=4ρ，利用互化公式即可得出直角坐标方程．（II）不妨设A（ρ1，θ），B．代入ρ1+ρ2=4sin（θ﹣）+4sin（θ+）化简整理即可得出．【解答】解：（I）圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣），展开可得：ρ2=4ρ，可得直角坐标方程：x2+y2=2y﹣2x．配方为（x+1）2+=4．（II）不妨设A（ρ1，θ），B．∴ρ1+ρ2=4sin（θ﹣）+4sin（θ+）=8=4sinθ≤4，当且仅当sinθ=1时取得最大值4．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．（Ⅰ）若a，b，均为正数，且a+b=1．证明：（1+）（1+）≥9；（Ⅱ）若不等式|x+3|﹣|x﹣a|≥2的解集为{x|x≥1}，求实数a的值．【考点】不等式的证明．【分析】（Ⅰ）将1=a+b代入，可得（1+）（1+）=（1+）（1+）=（1+1+）（1+1+）由三元均值不等式，即可得证；（Ⅱ）由题意x＜a，不等式可化为x+3+x﹣a≥2，利用不等式|x+3|﹣|x﹣a|≥2的解集为{x|x≥1}，即可求实数a的值．【解答】（Ⅰ）证明：∵a，b，c，d均为正数，且a+b=1，∴（1+）（1+）=（1+）（1+）=（1+1+）（1+1+）≥（3•）（3•）=9，∴（1+）（1+）≥9；（Ⅱ）解：由题意x＜a，不等式可化为x+3+x﹣a≥2，∴x≥（a﹣1），∴（a﹣1）=1，∴a=2．2016年10月11日。