张量分析
张量分析(Tensor Analysis)
ds 2 (dx1 ) 2 (dx 2 ) 2 (dx3 ) 2
利用克罗内克符号，上式可写成：
ds ij dx dx
2 i
j
克罗内克符号的一些常用性质：
i j xi x j
x j ij x i
i
j i k
j k
D) 置换符号
置换符号eijk=eijk定义为:
r i dr i dx x
空间一点P的位置矢量可用直角坐标表示为：
r z ji j
式中 ij 为沿坐标轴 zj 方向的单位矢量。
r r z j z j j i i ij i x z x x
r 上式表明， i 是单位矢量 ij 的线性组合，因此也是矢量。 x
基矢量（续）
r r i 变化时位置矢量r的变化，因此 i i 表征当 x i 的方向是沿坐标曲线 x x x r 的切线方向。矢量 i 可以取作曲线坐标系的基矢量（协变基矢量）： x
r z j gi i i i j x x
注意：对于在曲线坐标系中的每一点，都有三个基 矢量。 基矢量一般不是单位矢量，彼此也不正交； 基矢量可以有量纲，但一点的三个基矢量的量纲可以不同；
1 张量的概念
在三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某参考坐标系中， 有三个分量；这三个分量的集合，规定了这个矢量；当坐标变换时，这些 分量按一定的变换法则变换。
在力学中还有一些更复杂的量。例如受力 物体内一点的应力状态，有9个应力分量， 如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则 有：
xx xy xz ij yx yy yz zx zy zz
克罗内克符号 i j 的定义是:
张量分析
张量分析张量分析，又称张量微积分，是一门研究多维空间中的向量和张量的数学工具。
它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
张量分析的核心思想是通过张量的计算和运算，来描述和解释多维空间中的现象和问题。
在数学中，张量是一种广义的向量概念。
它不仅可以表示标量和向量，还可以表示具有更高维度的物理量。
例如，二阶张量可以表示物体的形变和应力分布，三阶张量可以表示电磁场的分布，四阶张量可以表示弹性材料的性质等。
张量分析的基本概念包括张量的定义和表示、张量的变换规律以及张量的运算。
对于二阶张量，可以用一个矩阵来表示。
张量的变换规律与坐标系的选择有关，不同的坐标系下，同一个张量可以表示为不同的矩阵形式。
张量的运算包括加法、数乘、内积和外积等。
这些运算在物理和工程问题中具有重要的意义，可以帮助研究人员推导和解决实际问题。
在物理学中，张量分析被广泛应用于描述和分析物体的运动、形变、应力等问题。
例如，通过分析物体的应力张量，可以判断物体是否会发生破坏或变形。
在工程学中，张量分析可以用于解决弹性力学、流体力学、电磁学等问题。
在计算机科学中，张量分析可以用于图像处理、模式识别等领域。
张量分析的发展离不开数学家们的努力。
早在19世纪，克里斯托弗·亚当斯（Christopher Adams）就提出了张量的概念。
20世纪初，爱因斯坦在相对论的研究中也广泛应用了张量分析。
随着计算机的发展和计算能力的提高，张量分析在科学研究中的应用也越来越广泛。
虽然张量分析在各个领域中都有广泛的应用，但它的理论和方法并不容易掌握。
要学好张量分析，需要对线性代数、微积分和向量分析等数学知识有扎实的掌握。
此外，也需要具备一定的物理学和工程学的基础知识。
对于初学者来说，可以通过学习相关的教材和参考资料，同时结合实际问题进行练习和应用。
总之，张量分析是一门重要的数学工具，对于描述和解决多维空间中的问题具有重要的意义。
它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
(完整版)张量分析中文翻译
张量张量是用来描述矢量、标量和其他张量之间线性关系的几何对象。
这种关系最基本的例子就是点积、叉积和线性映射。
矢量和标量本身也是张量。
张量可以用多维数值阵列来表示。
张量的阶（也称度或秩）表示阵列的维度，也表示标记阵列元素的指标值。
例如，线性映射可以用二位阵列--矩阵来表示，因此该阵列是一个二阶张量。
矢量可以通过一维阵列表示，所以其是一阶张量。
标量是单一数值，它是0阶张量。
张量可以描述几何向量集合之间的对应关系。
例如，柯西应力张量T 以v 方向为起点，在垂直于v 终点方向产生应力张量T(v)，因此，张量表示了这两个 向量之间的关系，如右图所示。
因为张量表示了矢量之间的关系，所以张量必 须避免坐标系出现特殊情况这一问题。
取一组坐标 系的基向量或者是参考系，这种情况下的张量就可 以用一系列有序的多维阵列来表示。
张量的坐标以 “协变”（变化规律）的形式独立，“协变”把一种 坐标下的阵列和另一种坐标下的阵列联系起来。
这 种变化规律演化成为几何或物理中的张量概念，其 精确形式决定了张量的类型或者是值。
张量在物理学中十分重要，因为在弹性力学、流体力学、广义相对论等领域中，张量提供了一种简洁的数学模型来建立或是解决物理问题。
张量的概念首先由列维-奇维塔和格莱格里奥-库尔巴斯特罗提出，他们延续了黎曼、布鲁诺、克里斯托费尔等人关于绝对微分学的部分工作。
张量的概念使得黎曼曲率张量形式的流形微分几何出现了替换形式。
历史现今张量分析的概念源于卡尔•弗里德里希•高斯在微分几何的工作，概念的制定更受到19世纪中叶代数形式和不变量理论的发展[2]。
“tensor ”这个单词在1846年被威廉·罗恩·哈密顿[3]提及，这并不等同于今天我们所说的张量的意思。
[注1]当代的用法是在1898年沃尔德马尔·福格特提出的[4]。
“张量计算”这一概念由格雷戈里奥·里奇·库尔巴斯特罗在1890年《绝对微分几何》中发展而来，最初由里奇在1892年提出[5]。
张量分析-第1讲LJ
a2 F3 a3 F2 a c b1 a b c1 a3 F1 a1 F3 a c b2 a b c2 a1 F2 a2 F1 a c b3 a b c3
所以有： a b c a c b a b c
g1和g 2
g1和g 2 不是单位矢量，即它们有量纲的， 一般地说，
其长度也不为单位长度。此外它们也并不正交。 矢量F可以在 g1和g 2 上分解:
F F g1 F g 2
1 2
(平行四边形法则)
则有: F g 1 F 1g 1 g 1 F 2 g 2 g 1
F g 1 F 1g 1 g 1 F 2 g 2 g 1
e2 b2 c2
e3
e3 b3 b2 c3 b3 c2 e 1 b3 c1 b1c3 e 2 b1c2 b2 c1 e 3 c3
b3 a 2 F3 a3 F2 e 1 a3 F1 a1 F3 e 2 a1 F2 a 2 F1 e 3 F3
j 1
F2 ' e 2 ' e1 F1 e 2 ' e 2 F2 e 2 ' e 3 F3 2 ' j F j
j 1 3
3
F3' e 3' e1 F1 e 3' e 2 F2 e 3' e 3 F3 3' j F j
j 1
矢量场函数的散度: 矢量场函数的旋度:
i F x Fx j y Fy
Fx Fy Fz F z y x
k Fz Fy Fx Fz Fy Fx i k j y z y z z x x Fz
第2章 张量分析(6.8)
第2章 张量分析§2.1矢量空间、基、基矢1．线性矢量空间设有n 个矢量,1,2,,i i n =a ，它们构成一个集合R ，其中每个矢量i a 称为R 的一个元素。
如()i j i j +≠a a 唯一地确定R 的另一个元素，及i k a （k 为标量）也给定R 内唯一确定的元素，则称R 为线性（矢量）空间。
R 中的零元素记为O ，且具有i ⋅=O a O .2．空间的维数设i α为m 个标量，若能选取i α，使得10mi ii =α=∑a且i α不合为零，则称此m 个矢量线性相关，否则，称为线性无关。
例1 位于同一平面内的两个矢量1a 和2a （如图）是线性无关的，即11220α+α≠a a 若1α和2α为任意值，且不全为零。
例2 位于同一平面内的三个矢量1a ，2a ，3a 是线性相关的，则恒可找到1α,2α,3α（不全为零）使1122330α+α+α=a a a 如图： 21133''=α+αa a a集合R 内线性无关元素的最大个数称为集合或空间的维数。
设R 的维数为n ，则记为n R ，欧氏空间为3R 。
3．空间的基和基元素n R 中任意n 个线性无关元素的全体称为n R 的一个基。
基的每个元素称为基元素，由于n R 的n 确良基元素是线性无关的。
于是n R 内任一个元素r 可表示成基元素的线性组合。
设(1,2,,)i i n =a 为n R 的任选的基，则有：10ni ii ='α≠∑a，i α'为任意的不全为零的标量但总可选取00≠α及i α不全等于零，使得010ni i i =α=α=∑r a或者2a1a21x2x3xi i x =r e110()nnii i i i i ==α=-=ξα∑∑r a a①i αα,00≠ 不全等于零，所以i ξ不全等于零，且为有限值。
② n R 内有无限个基，但只有一个基是独立的，因为n R 内至少只有n 个元素是线性无关的。
张量分析
张量分析研一 熊焕君 2017.9.281.引论：我们对标量和矢量都非常熟悉。
标量是在空间中没有方向的量，其基本特征是只需要一个数就可以表示，且当坐标系发生转动时这个数保持不变，因此也称其为不变量。
而矢量是个有方向的量，三维空间中矢量需要一组三个数（分量）来表示，其基本特征是当坐标系发生转动时，这三个数按一定规律而变化。
然而在数学物理问题中，还常出现一些更为复杂的量，如描述连续体中一点的应力状态或一个微元体的变形特征等，仅用标量和矢量不足以刻画出他们的性质。
要描述这些量则有必要将标量和矢量的概念加以引申和扩充，即引入新的量——张量。
在概念上，张量和矢量有许多类同之处。
一方面张量也表示某一客观存在的几何量或物理量，显然张量作为一个整体是与描述它所选取的坐标系无关，可像矢量代数那样，用抽象法进行描述；另一方面也可像矢量一样采用坐标法进行描述，此时张量包含有若干个分量元素，各个分量的取值与具体的坐标系相关联。
张量的主要特征是，在坐标系发生变化时，其分量取值遵守着一定的转化定律。
张量方法的核心内容是研究一个复杂的量集坐标转换规律。
我们知道，一个物理定律如果是正确的，就必须不依赖于用来描述它的任何坐标系，张量方法就是既采用坐标系，而又摆脱具体坐标系的影响的不变方法。
于是我们可以在简单的直角坐标系中建立描述某一运动法则的支配方程，如果需要可以用张量方法将其转换到任意一个曲线坐标系中去。
例如对于很大一类边值问题，若选用恰当的曲线坐标系，其边界条件可以简化的表达，那么我们就可以将支配方程用张量方法转化到所采用的坐标系中来，从而使问题的求解容易处理。
2.记号与约定张量是包含有大量分量元素的复杂量集，必须使用适当的记号和约定，才能使其表达形式简化紧凑，从而使分析和讨论有序地进行。
从某种意义上讲，可以说张量是对记号的研究。
所以我们必须熟悉各种约定记号，才能对张量这个工具运用自如。
在张量方法中对一个量的标记采用字母标号法。
数学中的张量分析方法
数学中的张量分析方法在数学中，张量分析是一种用于描述多维空间中变量关系的数学工具。
它在许多领域中被广泛应用，包括物理学、工程学、计算机科学和经济学等。
本文将介绍张量的基本概念和常见的应用方法。
一、张量的定义和性质1. 张量的定义张量是一个多维数组，可以表示为多个分量的组合。
在欧几里德空间中，一阶张量是向量，二阶张量是矩阵。
高阶张量可以看做是多个矩阵的组合。
2. 张量的性质张量具有坐标系无关性，即其分量在不同坐标系下具有相同的转换法则。
这使得张量在描述物理量时具有普适性和通用性。
二、张量的运算法则1. 张量的加法和减法张量的加法和减法都是对应分量相加或相减。
要求参与运算的张量具有相同的维度。
2. 张量的数乘张量的数乘是将每个分量都乘以一个标量。
数乘并不改变张量的维度。
3. 张量的张量积张量的张量积是两个张量的分量进行乘积并按照一定规则相加得到的新张量。
它在向量叉乘、矩阵乘法等问题中有广泛应用。
4. 张量的缩并运算张量的缩并是对张量的某些分量进行求和，并将结果保留在一个新的张量中。
它常用于求解线性方程组、协方差矩阵等问题。
三、张量的应用举例1. 物理学中的应用张量在物理学中有广泛的应用，如流体力学中的应力张量、电动力学中的麦克斯韦张量等。
它们描述了物质在空间中的运动和相互作用。
2. 工程学中的应用张量在工程学中用于描述物体的形变、应力分布等。
它在结构力学、弹性力学、热传导等领域中有着重要的作用。
3. 计算机科学中的应用张量在图像处理、模式识别、机器学习等领域中被广泛应用。
例如，卷积神经网络中的卷积操作就可以用张量运算进行描述。
4. 经济学中的应用张量在经济学中用于描述多个经济变量之间的关系。
它可以用来分析供求关系、生产函数等经济现象。
结语：张量分析作为一种重要的数学工具，为我们研究和解决各种问题提供了强有力的帮助。
通过对张量的定义、性质和运算法则的了解，我们可以更好地理解和应用张量，进而推动科学的发展和进步。
张量分析
Appendix A
26
符号ij 与erst
ij 符号 (Kronecker delta)
定义(笛卡尔坐标系)
ij
1 0
(i = j) (i, j=1, 2, …, n) (i j)
张量的三种记法：
实体记法：
分解式记法： 分量记法：
11e1e1 12e1e2 13e1e3 + 21e2e1 22e2e2 23e2e3 +31e3e1 32e3e2 33e3e3
ij
张量基本概念
求和约定
ijn j i1n1 i2n2 i3n3 Ti
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d xj d xi d xi d xj d xj
即：如果符号 的两个指标中，有一个和同项中其它
因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成
的另一个指标，而 自动消失。
28
符号ij 与erst
类似地有
ij a jk aik ; ij aik a jk ij akj aki ; ij aki akj ij jk ik ; ij jk kl il
场函数 f (x1, x2, x3) 的全微分：
d
f
f xi
d xi
22
张量基本概念
★ 可用同项内出现两对(或几对)不同哑指标的方法来表
示多重求和。
例如：
33
aij xi xj
aij xi x j
i1 j1
张量分析-第2讲
张量分析 ( Tensor analysis)
华中科技大学力学系 罗俊
版权所有 2011 华中科技大学力学系
1
1.5 坐标变换
已知某物理量或数学物理方程在一个坐标系的表达式, 求它在其它坐标系的相应形式。 旧坐标系 新坐标系
10
3. n阶张量 设物理量T共有3 个分量，且满足坐标变换关系:
n
T
' ' i1 i n
T
' ' i1 in
' i1 j1
' i2 j2
' in j2
j1 j n
则称T为n阶张量。 T
称为n阶张量T的逆变分量。
总共多少种分量? 每种多少个分量? 坐标变换关系如何写? 指标升降关系如何写?
T ab 是二阶张量，将a, b在基矢上分解 :
T ab a i g i b j g j ai g i b j g j a i b j g i g j ai b j g i g j
相应地:
T T g i g Ti g g j T g i g j Tij g g
5
坐标变换系数求法
协变变换 旧---新
j x i 'j i ' x
j' x i j ' i x
逆变变换
i' x ij ' j x
i x ij ' j ' x
互逆
新---旧
4. 矢量分量的坐标变换关系 根据基矢的坐标变换关系可以得到矢量分量的坐标变 换关系:
张量分析
引言张量是一个数学概念。
我们知道，可以由一个实数值完全确定的物理量（如长度、温度、密度等）称为标量；可以用一个实数值（模值）和空间一定方向来表征的物理量（如力、速度、加速度等）称为矢量。
有许多物理量既不是标量，也不是矢量，它们具有更复杂的性质，需要用更复杂的数学实体—张量来描述。
例如，连续体内一点的应力状态和一点的应变状态需要更分别用应力张量σ和应变张量∈来描述，xx xy xz yx yyyz zx yxzz σττστστττσ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 112211221122xxxy xz yxyyyz zx yx zz εγγγεγγγε⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪∈=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭又如，质点对于某定点的转动惯量需要用惯性张量来描述⋅⋅⋅。
事实上，标量和矢量都是张量的特例，它们分别为零阶张量和一阶张量。
这是两种最简单的张量。
在处理物理学和力学问题中，张量理论是一种有效的数学工具。
它有许多突出的优点，例如：(1)张量方程的一个重要特性是与坐标系的选择无关。
这一特性使它能够很好地反映物理定律和各物理量之间的关系。
张量方程对于任何坐标系都具有统一的形式，因此，当坐标系不确定时，照样可以将物理现象用数学方程表达出来。
(2)张量方程的上述特性使我们能够从某种特殊坐标系中建立起适用于一切坐标系的方程。
(3)属于某阶张量的某种物理量所具有的张量特性，对于所有这类张量（不管它们表达何种物理现象）来说，必定也都具有这些特性。
（例如应力张量是二阶对称张量，倘若我们掌握了应力的张量特性，便可以断定所有二阶对称张量，如应变张量、惯性张量以及平板曲率张量等，也都具有这些特性。
） (4)张量表述和张量算法具有十分清晰、简捷的特点。
张量理论是数学中的一个分支。
张量的普遍概念是十九世纪中叶对连续介质力学有了深入研究之后建立起来的。
（在法文中，张量tension 一词具有“应力”的意思；也就是说，张量是像应力那样具有某些特定性质的量。
2第02章张量分析(第01讲)
①实体记法： U 3
∑ ②分解式记法：U = u1e1 + u2e2 + u3e3 = uiei
③分量记法 ui
i =1
二阶张量的记法：
2.2 矢量
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5
矢量代数 标量积 矢量积 三重积 标量场和矢量场
2.2.1 矢量代数
矢量既有大小又有方向，在坐标系中通 常用箭头表示。
哈密顿算子
式中
∇=(∂ , ∂ , ∂ )
∂x ∂y ∂z
拉普拉斯算子
Δ = ∇⋅∇ = ∂2 + ∂2 + ∂2
∂x2 ∂y2 ∂z2
• 矢量的散度：
∇ ⋅V = ∂v1 + ∂v2 + ∂v3 ∂x ∂y ∂z
• 矢量的旋度：
e1
e2
∇ ×V = curlV = ∂ / ∂x ∂ / ∂y
v1
U ×V = −(V ×U ) U × (V ×W) ≠ (U ×V) ×W • 一个矢量与其自身的矢量积为零矢量。
• 应用：力F作用于位置矢量为r的点A，则力 F绕原点的力矩为：
M =r×F
2.2.4 三重积
• 三重标量积：
u1 u2 u3 U ⋅ (V ×W) = v1 v2 v3 = (U ×V) ⋅W
∂f ∂l
= lim
ρ →0
f ( x + Δx, y + Δy, z + Δz) − ρ
f ( x, y, z) ,
（ 其中 ρ = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 ）
设方向 L 的方向角为α , β , γ .
当函数在此点可微时，那么函数在该点沿任意方
张量分析及其在机器学习中的应用
张量分析及其在机器学习中的应用引言：机器学习作为人工智能领域的重要分支，已经在各个领域展现出巨大的潜力和应用价值。
而张量分析作为一种数学工具，被广泛应用于机器学习中，为模式识别、数据分析和深度学习等任务提供了强大的支持。
本文将介绍张量分析的基本概念和原理，并探讨其在机器学习中的应用。
一、张量分析的基本概念1. 张量的定义张量是一种多维数组，可以用来表示多个变量之间的关系。
在数学中，张量可以是任意维度的矩阵，它的元素可以是实数、复数或其他数学对象。
在机器学习中，我们通常使用高阶张量来表示多个特征之间的关联。
2. 张量的运算张量具有一系列的运算规则，包括加法、乘法、转置等。
通过这些运算，我们可以对张量进行各种操作，从而得到我们需要的结果。
在机器学习中，我们常常使用张量来表示输入数据和模型参数，并通过张量运算来进行模型的训练和预测。
3. 张量的性质张量具有一些特殊的性质，如对称性、正定性、奇异性等。
这些性质为我们理解和分析数据提供了便利。
在机器学习中，我们可以利用张量的性质来进行特征选择、数据降维等操作，从而提高模型的性能。
二、张量分析在机器学习中的应用1. 张量分解张量分解是将一个高阶张量分解为多个低阶张量的过程。
通过张量分解，我们可以提取出数据中的关键特征，并减少数据的维度。
这对于大规模数据的处理和模型的训练非常重要。
在机器学习中，张量分解被广泛应用于图像处理、推荐系统等任务中。
2. 张量网络张量网络是一种基于张量分析的模型结构，它可以有效地处理高维数据，并提取出数据中的重要特征。
张量网络具有较强的非线性建模能力，可以用于解决复杂的模式识别和数据分析问题。
在机器学习中，张量网络被广泛应用于图像识别、语音识别等领域。
3. 张量回归张量回归是一种基于张量分析的回归模型，它可以处理多个输入变量和多个输出变量之间的关系。
张量回归具有较强的建模能力，可以用于解决多变量回归和多任务学习等问题。
在机器学习中，张量回归被广泛应用于金融预测、医学诊断等任务中。
第二章张量分析
rT
ij
k
r i
g
j
g
k
rT rj k g j k
若 T a ai )
gr [(rai )gi ai pri g p ]
r
ai
r i
ai
p r ri p
rar
ai
r ri
r ri
i (log
g ) r (log
g)
div a rar arr (log
每项偏导只对其后带点的符号求导
2.10.1协变导数
i p
gr[(rT ij k )gi
gj
gk
T ij k
(
g p ri p
gj
gk
g p rj i
gp
gk
g k rp i
gj
g p )]
j p
k p
g r [(rT ij k ) gi
gj
gk
T ijk (
g i
rp i
gj
gk
g j
rp i
iak
ak ;i
iak
ap
k ip
2.10.2 逆变导数
协变导数的指标是张量指标，故可通过逆 变度量张量升高协变导数的指标来定义逆变 导数如下：
sT ij k g srrT ij k
2.10 不变性微分算子
––– 梯度、散度、旋度、拉普拉斯算子
以三阶混合张量
T T ij k gi g j gk T ij k gij k
若 T a ai gi ，则 curla grr (ai gi ) gr r (ai gi )
gr r ai gi gr gir ai srir ai gs
2.10.4拉普拉斯算子 设 T T ij k gi g j gk 2T T rrT ij k gij k
张量分析
问题的提出 矢量的基本运算 坐标变换及张量的定义
自然法则与坐标无关，坐标系的引入方便 自然法则与坐标无关， 分析，但也掩盖了物理本质； 分析，但也掩盖了物理本质； 坐标系引入后的相关表达式冗长
引入张量方法
§A－1 指标符号
x1 , x2 L xn
记作 xi (i = 1,2,L n )
A1 δ ij Ai = δ 1 j A1 + δ 2 j A2 + δ 3 j A3 = A2 A 3 = Aj
j =1 j=2 j=3
ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = dxi dxi = δ ij dxi dx j
性质： 性质： δijδij = δii = δ11 +δ22 +δ33 = 3
称为指标； 下标符号 i 称为指标；n 为维数 可以是下标， 指标 i 可以是下标，如 xi 也可以是上标， 也可以是上标，如 xi 指标的取值范围如不作说明，均表示从 指标的取值范围如不作说明，均表示从1~3
定义这类符号系统为指标符号， 定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标
xi（ i=1,2,3）～ x1，x2，x3 ～ x, y, z ui（ i=1,2,3）～ u1，u2，u3～ u, v, w
如：
2
a ji xi = b j
aki xi = b j aki xi = bk
wrong right
二．克罗内克（Kronecker-δ）符号 克罗内克（ ） 定义： 定义
1 δ ij = 0
由定义
当i = j 当i ≠ j
1 0 0 δ11 δ12 δ13 I = 0 1 0 = δ 21 δ 22 δ 23 = δ ij 0 0 1 δ 31 δ 32 δ 33
第1章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
u
v
uv v
u
平行四边形法则
矢量及其代数运算
➢ 直线坐标系与矢径
➢ 三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
写成矩阵形式，得到： gij gij 1
可知 gij 与 gij 均为对称矩阵，协变分量的行列式为：
det(gij ) g1 g2 g3 2 g
由对偶关系可知逆变分量的行列式为：
det(gij ) g1 g2 g3 2 1 g
因此可得到：
二次微分形式
笛卡尔坐标系中，有
r r dr x2
ds2 dx2 dy2 dz2
x1
Euclid几何的基础
Euclid几何的 1、勾股定理
两大基本定理：2、三角形内角和定理
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量 张量分析中的第一大基本关系：指标升降关系
矢量 P 可在协变基矢量和逆变基矢量下进行分解： P Pi gi Pj g j
➢ 矢量的乘法
矢量的外积
定义式（实体形式，几何表达） ：w u v
w uv
u v u v sin
u v v u (反交换性)
计算式（分量形式，代数表达） ：
w uv
v u
i jk ux uy uz
vx vy vz
物理意义： 计算面积
计算 v u时换行。
矢量及其代数运算
➢ 矢量的乘法 三个矢量u、v 、w 之间的运算
可计算出：
第二章 张量分析
P P x1' , x 2' , x 3' P x i'
这种坐标系记为 xi。' 这两组变量
x1 , 和x 2 , x 3 表示x同1' 一, x空2' , x 3'
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi'
aigi a jg j aia j gi g j
aiaj 0
令
gij gi g j
g ij g i g j
gi j gi g j g j gi
它们分别称为协变度量张量、逆变度量张量和混合度量张量
考虑到矢量a的任意性 g ji gi g j i j
可知：基矢量 g与i 是g i 正交的，它们称为互逆基矢量 互逆基矢量间具有下列关系：
gig j g k gi g j g k gig j g k eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk
由此定义可知
123 g1g 2g3
123 g1g 2g3
对于矢量 a 0 ，则有
a 2 a a a i g i a j g j a i a j g i g j ai gi a j g j ai a j gi g j
(ii) x 2' (常 数 C)为2 通过z轴的平面； (iii) x3' (常z 数 C)3为垂直于z轴的平面；
和坐标曲线：
(i) x1' 和r C1 x的2' 交线 (zC线2 )是直线； (ii) x 2' 和 C2 的x3'交线z (r线C3)是直线；
张量分析(全)
补充知识：张量分析1. 指标符号
2.矢量的基本运算
3.坐标变换与张量定义
4.张量的代数运算(1).加减法
(2).矢量与张量的点积（点乘）
(3).矢量与张量的叉积
(4).两个张量的点积
(5).张量的双点积
(6).张量的双叉乘
(7).张量的缩并
(8).指标置换
和（9）.对称化和反对称化
5.二阶张量（仿射量）概述
（1）.张量的转置B T
（2）.张量的逆B-1
（3）.对称仿射量的主向和主值
（4）.各向同性张量
6.张量分析
概述
（1）.哈密尔顿算子（梯度算子）
（2）.张量场的微分
（3）.散度定理
7.曲线坐标系下的张量分析（1）.曲线坐标
（2）.局部基矢量
（3）.张量对曲线坐标的导数
END。
张量分析Huang_Introduction to Tensor
矢量和张量所代表的物理量本身并不依赖于 坐标系而存在，但要对该物理量进行数值上 的描述和分析，则常常需要引入一个适当的 坐标系。在三维物理空间中一个矢量具有三 个分量，一个二阶张量则有九个分量。 一般地，三维空间中的一个n 阶张量则有 3n 个分量。而标量和矢量可分别看作为零 阶和一阶张量
1. 矢量和张量的表述
自然界中的物理量，有的只需要用一个实数来 描述，如温度、气压、时间、质量、能量等。 这样的物理量称为标量。 有些物理量包含了大小和方向等要素，需要用 矢量(向量)来描述，如力、力矩、位移、速度、 动量等。
自然界中还有一些物理量，包含了比矢量更多 的要素，如连续体中一点处的应力、应变等。 这样的物理量称为张量。
òijk A1i A2 j A3k i òijk Ai1 Aj 2 Ak 3 i
（4）
i1 i 2 i 3 òijk det j1 j 2 j 3 k 1 k 2 k 3
（5）
蝌 ijk
pqr
ip iq ir det jp jq jr kp kq kr
Aij
D Dijkl ei e j ek el
自由下标
Dijkl
(i, j, k , l {1, 2,3})
取遍1、2、3
张量的指标表述是依赖于坐标系的
2. Einstein求和约定:
c a jbj
j 1 3
c a jb j
j 1 3 3
3
Aij x j bi
HOHAI UNIVERSITY
弹 性 力 学 Engineering Elasticity
黄文雄
张量分析与应用
张量分析与应用张量分析是数学中一个重要的分支，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
张量在物理学中具有向量和矩阵所没有的更高维度的特性，能够更好地描述物质在空间中的运动和变形。
本文将介绍张量的基本概念、性质和应用，并探讨其在不同领域中的具体应用。
一、张量的基本概念张量是一个多维数组，其元素在坐标系中按照多维坐标进行索引。
在数学上，张量可以表示为一个多维矩阵，其元素用一个或多个下标进行标记。
例如，二阶张量可以表示为一个矩阵，三阶张量可以表示为一个立体矩阵。
张量的阶数取决于其所在空间的维度，通常用字母T进行表示。
二、张量的性质1. 张量的坐标变换规律：张量的坐标变换是其重要性质之一。
当坐标系发生变换时，张量的分量也会相应发生变化，但其物理性质不变。
这使得张量成为描述物体运动和形变的有力工具。
2. 张量的对称性：张量的对称性是其另一个重要性质。
对称张量在坐标变换时具有特殊的变换规律，可以简化计算，提高效率。
例如，应力张量和应变张量在固体力学中具有重要应用。
三、张量在物理学中的应用1. 应力张量：在固体力学中，应力张量描述了物体内部受力情况，并对物体的变形产生影响。
应力张量的各向同性、各向异性等性质在材料研究和工程设计中具有重要意义。
2. 电磁场张量：在电磁学中，电磁场可以用张量形式表示，统一了电场和磁场的描述。
电磁场张量的不变性在相对论中有着重要的物理意义。
四、张量在工程学中的应用1. 应变张量：在工程力学中，应变张量描述了物体的变形情况，对结构强度和稳定性具有重要意义。
工程师通过对应变张量的分析，可以有效设计和优化结构。
2. 热传导张量：在热传导领域，热传导张量描述了物体内部的热传导性能。
研究热传导张量可以帮助工程师设计更高效的散热系统。
五、张量在计算机科学中的应用1. 神经网络中的张量：在深度学习领域，张量被广泛应用于神经网络的表示和计算。
神经网络中的权重和输入输出都可以表示为张量，通过张量运算可以实现各种复杂的模型。
张量分析
附录弹性力学数学基础目录附录1 张量基础附录2 复变函数数学基础附录3 变分法概要§i1 张量1附录1 张量基础张量特征笛卡儿张量下标求和定约偏导数下标记法特殊张量张量——简化缩写记号表达物理量的集合显著优点——基本方程以及其数学推导简洁张量的特征——整体与描述坐标系无关分量需要通过适当的坐标系定义笛卡儿（Descartes）张量定义一般张量——曲线坐标系定义三维Descartes 坐标系中，一个含有3个与坐标相关独立变量集合，通常可以用一个下标表示。
位移分量u ，v ，w 缩写记为u i （i =1, 2, 3）表示为u 1, u 2, u 39个独立变量的集合，两个下标来表示s ij 和e ij ——9个应力分量或应变分量s ij,k——27个独立变量的集合用三个下标表示i ——下标求和定约张量表达式的某一项内的一个下标出现两次，则对此下标从1到3求和。
=A ji ij a ηζ=k k k a ζ∑=31∑∑ijjiij a ηζkk a ζ=哑标：出现两次的下标——求和后消失=A jij i y c x =32322212123132121111y c y c y c x y c y c y c x ++=++=自由标：非重复下标自由标个数表示张量表达式代表的方程数§i1 张量3偏导数的下标记法缩写张量对坐标x i 偏导数的表达式逗号约定逗号后面紧跟一个下标i 时，表示某物理量对x i 求偏导数。
)()(,iix ∂∂=利用偏导数下标记法，偏导数均可缩写为j i ji x u u ∂∂=,k ij k ij x ∂∂=e e ,k ij k ij x ∂∂=s s ,i iki u u ∂=,ij kl ij ∂=s s ,ij kl ij ∂=e e ,张量的偏导数集合仍然是张量证明：u i ，j 如果作坐标变换','j i u ∑∑∑∂∂==l j l k l k k i l x x u n ',')(∑=kj k k i u n ',')(∑∑∂∂=l j lklk k i x x u n ',')(''j i j i x n x =ij j in x x ''=∂∂∑∑=llj k i kl k j i n n u u '',','由此可证，u i , j 服从二阶张量的变换规律由于因此特殊的张量符号克罗内克尔（Kronecker Delta ）记号d ijji j i ij ≠==1d 显然⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001333231232221131111d d d d d d d d d d ij 克罗内克尔记号是二阶张量运算规律i m im ii T T a a ===++=d d d d d d 3332211§i1 张量6置换符号e ijk有相等下标时的奇排列，，为，，的偶排列，，为，，032113211k j i k j i e ijk -=偶排列有序数组1，2，3逐次对换两个相邻的数字而得到的排列奇排列11213321132312231123-======e e e e e e二阶对称张量反对称张量ji ijT T=ji ijT T-=任意一个二阶张量，总是可以分解为一个对称张量和一个分对称张量之和。
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§i2 复变函数1
复变函数定义 复变函数基础 复数——两个实数x，y确定的数z=x+iy
虚数单位
实部
i 1
x Re z
y Im z
| z | x2 y2
y arctan x
虚部
模
幅角
§i2 复变函数2
解析函数 ——复变函数的可导性
函数f（z）在某区域Σ上的每一点导数存在， 称为区域Σ上的解析函数。
由于
xi n j' i x j'
因此
k
xi n j 'i x j '
ui ',
j'
uk , l ni 'k n j 'l
l
由此可证，ui, j服从二阶张量的变换规律
§i1 张量6
特殊的张量符号
1 d ij 0 i j i j
克罗内克尔（Kronecker Delta）记号d ij
笛卡儿（Descartes）张量定义
一般张量——曲线坐标系定义
§i1 张量2
三维Descartes坐标系中，一个含有3个与坐标相 关独立变量集合，通常可以用一个下标表示。 位移分量u，v，w 缩写记为ui（i=1, 2, 3） 表示为u1, u2, u3 i——下标
9个独立变量的集合，两个下标来表示
e132 e321 e213 1
§i1 张量9
二阶对称张量 反对称张量
Tij Tji
Tij T ji
任意一个二阶张量，总是可以分解为一个对 称张量和一个分对称张量之和。
张量的对称和反对称性质，可以推广到二阶
以上高阶张量。
附录2 复变函数数学基础
复变函数定义 解析函数
保角变换
——函数的函数
变分法——泛函极值
泛函极值条件
d J=0
d 2J≥0，则∆J＞0，泛函J [y]为极小值；
d 2J≤0，则∆J＜0，泛函J [y]为极大值。
§i3 变分法2
泛函极值的必要条件—欧拉方程
d 0 ydx dJ J (d y xd y y ' )d)] x＝ [ d (
逗号约定 逗号后面紧跟一个下标i时，表示某
物理量对xi求偏导数。
( ),
ui x j ui x j xk
i
利用偏导数下标记法，偏导数均可缩写为
ui ,
j
( ) xi
e ij xk e ij xk xl
e ij, k
s ij, k
s ij, kl
s ij xk s ij xk xl
附录 弹性力学数学基础目录来自附录1 张量基础附录2 复变函数数学基础
附录3 变分法概要
§i1 张量1
附录1 张量基础
张量特征
笛卡儿张量下标
求和定约 偏导数下标记法 特殊张量
§i1 张量1
张量——简化缩写记号表达物理量的集合
显著优点——基本方程以及其数学推导简洁
张量的特征
——整体与描述坐标系无关 分量需要通过适当的坐标系定义
sij和eij ——9个应力分量或应变分量
sij,k
——27个独立变量的集合用三个下标表示
§i1 张量3
求和定约
张量表达式的某一项内的一个下标出现两次， 则对此下标从1到3求和。
A ak k ak k A
3 k 1
a
ij i i j
j
aij i j
哑标： 出现两次的下标——求和后消失 自由标：非重复下标
显然
d 11 d 11 d 13 1 0 0 0 1 0 d ij d d d 22 23 21 d 31 d 32 d 33 0 0 1
克罗内克尔记号是二阶张量 d ii d 11 d 22 d 33 3 运算规律
F y' 0,
x x1
F y'
0
x x2
§i3 变分法5
泛函变分的基本运算法则
泛函变分运算与微分运算法则基本相同
d ( F1 F2 ) dF1 dF2
d ( F ) nF dF
n n1
d ( F1 F2 ) F2dF1 F1dF2
F1 1 d ( ) 2 ( F2dF1 F1dF2 ) F2 F2
§i2 复变函数4
柯西积分公式
f（t）在区域S内处处解析，C为S内的任一闭 曲线，它的内部完全属于S，z为包含在C内的 任一点，则
1 f (t ) dt f ( z ) 2πi c t z
z为C外的任一点，则
1 f (t ) dt 0 2πi c t z
§i2 复变函数5
xi cij y j
x1 c11 y1 c12 y2 c13 y3 x2 c21 y1 c22 y2 c23 y3 x3 c31 y1 c32 y2 c33 y3
自由标个数表 示张量表达式 代表的方程数
§i1 张量4
偏导数的下标记法
缩写张量对坐标xi偏导数的表达式
欧拉方程仅仅是泛函极值存在的必要条件 确定泛函J为极大值或者极小值，还需要判断 其二阶变分d 2J大于0还是小于0。
§i3 变分法4
自然边界条件
如自变函数在边界的数值不能确定，则
d y( x1 ) 0,
d y( x2 ) 0
对于可变边界问题，首先必须满足边界不变 的极值条件。 为满足极值条件，欧拉方程仍旧必须满足。 边界变化的泛函极值问题
x1
F Fx2 xy ' y 1 1
x2
x2
F d F F y y ' dx y '
变分dy和dy’不是独立无关的，因此
x2
2 2 F F d F d F x2 d y ' dx＝ （d y )dx＝ d y x ( )d ydx 1 y ' y ' dx y ' dx y ' x1 x1 x1
ui , ik
e ij, kl
§i1 张量5
张量的偏导数集合仍然是张量
证明： ui，j如果作坐标变换
ui ',
j'
( ni 'k uk ),
k
j'
xl xl ( ni 'k uk , l ) ( ni 'k uk ), l x j ' x j ' l l k l k
如f（t）在区域S外，包括无穷远点处处解析， C为S内的任一闭曲线，它的内部完全属于S，z 为包含在C内的任一点，
1 f (t ) dt f () 2πi c t z
附录3 变分法概要
泛函与泛函极值 欧拉方程
自然边界条件
泛函运算
§i3 变分法1
泛函和泛函的极值
泛函——其值倚赖于其它一个或者几个函数
d imam ai d imTmj Tij
§i1 张量8
置换符号eijk
1 eijk 1 0 i，j，k为1， 2， 3的偶排列 i，j，k为1， 2， 3的奇排列 有相等下标时
偶排列 有序数组1，2，3逐次对换两个相邻的数字而 得到的排列 奇排列
e123 e231 e312 1
解析函数 w=u（x，y）+iv（x，y）
柯西－黎曼条件
u v , x y u v y x
2v 2v 0 2 2 x y
2u 2u 0 2 2 x y
解析函数的实部和虚部都是调和函数
§i2 复变函数3
•保角变换
变换——映射
通过函数w=f（z）将平面点的集合g转换为另 一个平面（w平面）点的集合G 。 解析函数w=f（z）在点zo所实现的变换 点zo处的所有线素皆按同一比例伸长 任意两个曲线之间的交角保持不变
x
x
在x=x1和x=x2时，dJ=0
F d F dJ [ ( )]d ydx y dx y ' x1
x2
§i3 变分法3
由于e在区间（x1，x2）是x的任意函数，所以上 式成立的必要条件为积分函数在区间（x1，x2） 内为零。
F d F ( )＝0 y dx y '