张量分析

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张量分析

习题…………………………………………………………………… … 245
内容梗概
【坐标变换揭示各类量的性质、张量方程的特点等】
求和约定: 多项简写
哑标
自由标: 多个方程简写
符号δij
符号erst
⇒ 自由标 ⇒ 换标符δij ⇒ 排列符erst
张量分析引论
张量分析以简洁的表达形式和清晰的推导过程描述复杂问题，被近代力学文献和教科书普遍采用。本附录着重介绍笛卡儿坐标系和正交曲线坐标系中的张量。张量分析的一般理论可参考有关书籍。
利用δij定义，可以验证：
＝ δ11dx1dx1+δ12dx1dx2+δ13dx1dx3 +δ21dx2dx1+δ22dx2dx2+ δ23dx2dx3 +δ31dx3dx1+δ32dx3dx2+ δ33dx3dx3
＝ δ11dx1dx1+δ22dx2dx2+δ33dx3dx3 ＝ dx1dx1+dx2dx2+dx3dx3＝ dxidxi
通过自由指标又把许多方程缩写成一个方程
换自由指标时应注意——
(1)同时取值的指标必须同名，独立取值的指标应防止重名
例： c=a+b=(a1+b1)e1+(a2+b2)e2+(a3+b3)e3 ⇒ ci=ai+bi

张量分析(Tensor Analysis)

这9个分量的集合，规定了一点的应力状态，称为应力张量。当坐标变换时，应力张量的分量按一定的变换法则变换。
所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中—定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。
张量有不同的阶和结构，这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。矢量是一阶张量；应力张量、应变张量是二阶张量；还有三阶、四阶等高阶张量。张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方法。采用张量记法表示的方程，在某一坐标系中成立，则在容许变
B) 相伴（共轭）度量张量
g i g j g ik gk g j g ik kj g ij
g ij g i g j
g i g j ij g ik gk g j ij
类似

g ik g kj ij
g i g ij g j
g i g ij g j g i g ij g j
1 张量的概念
在三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某参考坐标系中，有三个分量；这三个分量的集合，规定了这个矢量；当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。
在力学中还有一些更复杂的量。例如受力物体内一点的应力状态，有9个应力分量，如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则有：
xx xy xz ij yx yy yz zx zy zz

第1章张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)

斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量度量的重要性 —— 刻画两点间距离
dr ds
x3
ds2drdr gidxi gjdxj
dr
gij dxidxj
二次微分形式
笛卡尔坐标系中，有
r
r dr x2
ds2dx2dy2dz2
x1
Euclid几何的基础
第1章张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
张量的两种表达形式
实体形式
分量形式
几何形式定义式
代数形式计算式
概念的内涵和外延（定量）
怎样计算？
主要内容
➢ 矢量及其代数运算 ➢ 斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量 ➢ 曲线坐标系及坐标转换关系 ➢ 并矢与并矢式 ➢ 张量的基本概念 ➢ 张量的代数运算 ➢ 张量的矢积
z
r ：矢径
rxiyjzk
r
u
矢径 r 确定了基矢量：i、 j 、k
k
j i
x
笛卡尔坐标系
y 矢量u 可表示为：
uuxiuyjuzk
矢量及其代数运算
➢矢量的乘法
u
矢量的内积
定义式（实体形式，几何表达）：
uvu v cos
vcos
uvvu(可交换性)
计算式（分量形式，代数表达）： ucos

(完整版)张量分析中文翻译

张量

张量是用来描述矢量、标量和其他张量之间线性

关系的几何对象。这种关系最基本的例子就是点积、

叉积和线性映射。矢量和标量本身也是张量。张量可

以用多维数值阵列来表示。张量的阶（也称度或秩）

表示阵列的维度，也表示标记阵列元素的指标值。例

如，线性映射可以用二位阵列--矩阵来表示，因此该

阵列是一个二阶张量。矢量可以通过一维阵列表示，

所以其是一阶张量。标量是单一数值，它是0阶张量。

张量可以描述几何向量集合之间的对应关系。例

如，柯西应力张量T 以v 方向为起点，在垂直于v 终点方向产生应力张量T(v)，因此，张量表示了这两个向量之间的关系，如右图所示。因为张量表示了矢量之间的关系，所以张量必须避免坐标系出现特殊情况这一问题。取一组坐标系的基向量或者是参考系，这种情况下的张量就可以用一系列有序的多维阵列来表示。张量的坐标以 “协变”（变化规律）的形式独立，“协变”把一种坐标下的阵列和另一种坐标下的阵列联系起来。这种变化规律演化成为几何或物理中的张量概念，其精确形式决定了张量的类型或者是值。

张量在物理学中十分重要，因为在弹性力学、流体力学、广义相对论等领域中，张量提供了一种简洁的数学模型来建立或是解决物理问题。张量的概念首先由列维-奇维塔和格莱格里奥-库尔巴斯特罗提出，他们延续了黎曼、布鲁诺、克里斯托费尔等人关于绝对微分学的部分工作。张量的概念使得黎曼曲率张量形式的流形微分几何出现了替换形式。历史

现今张量分析的概念源于卡尔•弗里德里希•高斯在微分几何的工作，概念的

制定更受到19世纪中叶代数形式和不变量理论的发展[2]。“tensor ”这个单词在

张量理论与张量分析的应用

PART FIVE
描述物体运动状态：张量用于描述物体的运动状态，如速度、加速度等。描述应力应变关系：张量用于描述材料的应力应变关系，可以推导出弹性力学公式。描述波动传播：张量用于描述波动在介质中的传播，如声波、地震波等。描述引力场：张量用于描述引力场中的引力作用，可以推导出万有引力公式。
计算方法：通过求解特征多项式，找到特征值和特征向量。
应用：在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛应用于求解微分方程、振动分析、结构稳定性分析等问题。
重要性：特征值和特征向量在张量分析中具有重要地位，它们能够提供对张量性质和行为的重要洞察。
PART FOUR
添加项标题
数据的张量表示：将多维数据结构用张量表示，便于分析和处理
概述：张量在机器学习中用于表示多维数据，如图像、视频和语音等
推荐系统：利用张量表示用户和物品的交互数据，实现精准推荐
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
核方法：通过张量表示数据，实现高维数据的降维处理，提高计算效率和准确性
深度学习：张量用于构建深度学习模型，如卷积神经网络和循环神经网络等，提高模型的性能和泛化能力
描述多维空间中的量子态
计算量子力学中的张量
描述量子力学中的相互作用
分析量子力学中的对称性
描述相对论中的时空结构

张量分析

张量分析，又称张量微积分，是一门研究多维空间中的向量和张

量的数学工具。它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的

应用。张量分析的核心思想是通过张量的计算和运算，来描述和解释

多维空间中的现象和问题。

在数学中，张量是一种广义的向量概念。它不仅可以表示标量和

向量，还可以表示具有更高维度的物理量。例如，二阶张量可以表示

物体的形变和应力分布，三阶张量可以表示电磁场的分布，四阶张量

可以表示弹性材料的性质等。

张量分析的基本概念包括张量的定义和表示、张量的变换规律以

及张量的运算。对于二阶张量，可以用一个矩阵来表示。张量的变换

规律与坐标系的选择有关，不同的坐标系下，同一个张量可以表示为

不同的矩阵形式。张量的运算包括加法、数乘、内积和外积等。这些

运算在物理和工程问题中具有重要的意义，可以帮助研究人员推导和

解决实际问题。

在物理学中，张量分析被广泛应用于描述和分析物体的运动、形变、应力等问题。例如，通过分析物体的应力张量，可以判断物体是

否会发生破坏或变形。在工程学中，张量分析可以用于解决弹性力学、流体力学、电磁学等问题。在计算机科学中，张量分析可以用于图像

处理、模式识别等领域。

张量分析的发展离不开数学家们的努力。早在19世纪，克里斯

托弗·亚当斯（Christopher Adams）就提出了张量的概念。20世纪初，爱因斯坦在相对论的研究中也广泛应用了张量分析。随着计算机的发

展和计算能力的提高，张量分析在科学研究中的应用也越来越广泛。

虽然张量分析在各个领域中都有广泛的应用，但它的理论和方法

并不容易掌握。要学好张量分析，需要对线性代数、微积分和向量分

《张量分析本科》课件

弹性力学
张量在描述物体的变形和应力分布方面起到了关键作用，尤其在弹性力学中被广泛应用。
电磁场理论
张量可以描述电磁场的特性和相互作用，为电磁场理论的研究提供了有力工具。
相对论物理
张量是广义相对论的基础，用于描述引力、物体运动和时空的弯曲等复杂现象。
工程学中的张量应用
1
结构力学
张量在工程结构分析中用来描述应力、变形和刚度等重要参数，为结构设计提供依据。
《张量分析本科》PPT课件
这个课程将介绍张量的定义、基本概念、运算和性质，以及它在物理学、工程学和经济学等领域的应用。
张量的定义和基本概念
张量是一个多维数组，具有特定的变换规律。它在数学和物理学中扮演着重要角色，能够描述物体在各个方向上的变化。
张量的运算和性质
张量可以进行加法、乘法等运算，还具有一些特殊的性质，如对称性、反对称性和行列式等。这些运算和性质是研究和应用张量的基础。
学科交叉
张量分析作为一门综合性学科，促进了不同学科之间的交流与合作，推动了学科发展的跨越性进展。
学习资源推荐
1 书籍和教材推荐
2 网上教程和视频
《张量分析导论》、《张量分析教程》等是学习和研究张量分析的重要参考资源。
有许多免费的网上教程和视频，可以帮助初学者快速入门和掌握张量分析的基本概念和应用。
张量在市场需求、价格和产量之间的关系分析中，能够提供深入洞察和科学决策支持。

数学中的张量分析方法

在数学中，张量分析是一种用于描述多维空间中变量关系的数学工具。它在许多领域中被广泛应用，包括物理学、工程学、计算机科学和经济学等。本文将介绍张量的基本概念和常见的应用方法。

一、张量的定义和性质

1. 张量的定义

张量是一个多维数组，可以表示为多个分量的组合。在欧几里德空间中，一阶张量是向量，二阶张量是矩阵。高阶张量可以看做是多个矩阵的组合。

2. 张量的性质

张量具有坐标系无关性，即其分量在不同坐标系下具有相同的转换法则。这使得张量在描述物理量时具有普适性和通用性。

二、张量的运算法则

1. 张量的加法和减法

张量的加法和减法都是对应分量相加或相减。要求参与运算的张量具有相同的维度。

2. 张量的数乘

张量的数乘是将每个分量都乘以一个标量。数乘并不改变张量的维度。

3. 张量的张量积

张量的张量积是两个张量的分量进行乘积并按照一定规则相加得到

的新张量。它在向量叉乘、矩阵乘法等问题中有广泛应用。

4. 张量的缩并运算

张量的缩并是对张量的某些分量进行求和，并将结果保留在一个新

的张量中。它常用于求解线性方程组、协方差矩阵等问题。

三、张量的应用举例

1. 物理学中的应用

张量在物理学中有广泛的应用，如流体力学中的应力张量、电动力

学中的麦克斯韦张量等。它们描述了物质在空间中的运动和相互作用。

2. 工程学中的应用

张量在工程学中用于描述物体的形变、应力分布等。它在结构力学、弹性力学、热传导等领域中有着重要的作用。

3. 计算机科学中的应用

张量在图像处理、模式识别、机器学习等领域中被广泛应用。例如，卷积神经网络中的卷积操作就可以用张量运算进行描述。

张量分析

其值与坐标系选取无关。
张量基本概念
矢量（一阶张量）
例如：位移，速度，加速度，力，法向矢量, 等等。
x3=z
u3e3 u
e3=k e1=i
p
u1e1
e2=j
u2e2 x2=y
1 i j
x1=x
ei e j 0 i j
张量基本概念
矢量（一阶张量）
矢量u在笛卡尔坐标系中分解为
…表示三维指标，取值1, 2, 3；希腊指标, , , …均为二维指标，取值1, 2。
张量基本概念
拉丁指标
u=uiei u1e1 u2e2 u3e3 a b=akbk = a1b1 a2b2 a3b3
希腊指标
u=u e u1e1 u2e2 a b=a b = a1b1 a2b2
张量基本概念
由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：
a b = b a = aibi
由于哑标 i 仅表示要遍历求和，故可成对地任意交换。例如：
a b= a jbj ambm
只要指标 j 或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围和 i 相同。
张量基本概念
约定：
如果不标明取值范围，则拉丁指标 i, j, k,
ji, j fi 0
ji, j fii 0

张量分析及其在机器学习中的应用

张量分析及其在机器学习中的应用引言：

机器学习作为人工智能领域的重要分支，已经在各个领域展现出巨大的潜力和

应用价值。而张量分析作为一种数学工具，被广泛应用于机器学习中，为模式识别、数据分析和深度学习等任务提供了强大的支持。本文将介绍张量分析的基本概念和原理，并探讨其在机器学习中的应用。

一、张量分析的基本概念

1. 张量的定义

张量是一种多维数组，可以用来表示多个变量之间的关系。在数学中，张量可

以是任意维度的矩阵，它的元素可以是实数、复数或其他数学对象。在机器学习中，我们通常使用高阶张量来表示多个特征之间的关联。

2. 张量的运算

张量具有一系列的运算规则，包括加法、乘法、转置等。通过这些运算，我们

可以对张量进行各种操作，从而得到我们需要的结果。在机器学习中，我们常常使用张量来表示输入数据和模型参数，并通过张量运算来进行模型的训练和预测。

3. 张量的性质

张量具有一些特殊的性质，如对称性、正定性、奇异性等。这些性质为我们理

解和分析数据提供了便利。在机器学习中，我们可以利用张量的性质来进行特征选择、数据降维等操作，从而提高模型的性能。

二、张量分析在机器学习中的应用

1. 张量分解

张量分解是将一个高阶张量分解为多个低阶张量的过程。通过张量分解，我们可以提取出数据中的关键特征，并减少数据的维度。这对于大规模数据的处理和模型的训练非常重要。在机器学习中，张量分解被广泛应用于图像处理、推荐系统等任务中。

2. 张量网络

张量网络是一种基于张量分析的模型结构，它可以有效地处理高维数据，并提取出数据中的重要特征。张量网络具有较强的非线性建模能力，可以用于解决复杂的模式识别和数据分析问题。在机器学习中，张量网络被广泛应用于图像识别、语音识别等领域。

张量分析

引言

张量是一个数学概念。我们知道，可以由一个实数值完全确定的物理量（如长度、温度、密度等）称为标量；可以用一个实数值（模值）和空间一定方向来表征的物理量（如力、速度、加速度等）称为矢量。有许多物理量既不是标量，也不是矢量，它们具有更复杂的性质，需要用更复杂的数学实体—张量来描述。例如，连续体内一点的应力状态和一点的应变状态需要更分别用应力张量σ和应变张量∈来描述，

xx xy xz yx yy

yz zx yx

zz σττστσττ

τσ⎧⎫⎪

⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 112

11221122

xy xz yx

yz zx yx zz εγγγεγγγε⎧

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪∈=⎨⎬⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎭

又如，质点对于某定点的转动惯量需要用惯性张量来描述⋅⋅⋅。事实上，标量和矢量都是张量的特例，它们分别为零阶张量和一阶张量。这是两种最简单的张量。

在处理物理学和力学问题中，张量理论是一种有效的数学工具。它有许多突出的优点，例如：

(1)张量方程的一个重要特性是与坐标系的选择无关。这一特性使它能够很好地反映物理定律和各物理量之间的关系。张量方程对于任何坐标系都具有统一的形式，因此，当坐标系不确定时，照样可以将物理现象用数学方程表达出来。 (2)张量方程的上述特性使我们能够从某种特殊坐标系中建立起适用于一切坐标系的方程。

(3)属于某阶张量的某种物理量所具有的张量特性，对于所有这类张量（不管它们表达何种物理现象）来说，必定也都具有这些特性。（例如应力张量是二阶对称张量，倘若我们掌握了应力的张量特性，便可以断定所有二阶对称张量，如应变张量、惯性张量以及平板曲率张量等，也都具有这些特性。） (4)张量表述和张量算法具有十分清晰、简捷的特点。

张量分析习题答案

张量分析是数学中的一个重要分支，它在物理学、工程学和计算机科学等领域

中有着广泛的应用。学习张量分析需要掌握一定的数学知识和技巧，通过解答

习题可以更好地理解和应用这一理论。本文将给出一些张量分析习题的详细解答，帮助读者更好地掌握这一领域的知识。

1. 习题一：设有一个二阶张量A，其分量为Aij = 2i + j，求A的迹和对称部分。解答：

首先，迹是指一个方阵的主对角线上元素的和。对于二阶张量A，其迹为Aii，

即A的两个主对角线元素之和。根据题目给出的分量表达式，可以得到A的迹

为A11 + A22 = 2(1) + 1 + 2(2) + 2 = 9。

其次，对称部分是指一个张量的分量满足Aij = Aji的部分。对于二阶张量A，

其对称部分为(A + A^T)/2，其中A^T表示A的转置。根据题目给出的分量表

达式，可以得到A的转置矩阵为：

A^T = [A11 A21]

[A12 A22]

= [2(1) + 1 2(2) + 2]

[1 2]

将A和A^T代入对称部分的表达式中，可以得到对称部分为：

(A + A^T)/2 = [(2(1) + 1) + (2(1) + 1)]/2 [(2(2) + 2) + 2]/2

[(1 + 1) + 1]/2 [(2 + 2) + 2]/2

[3 4]

[1 2]

2. 习题二：设有一个三阶张量B，其分量为Bijk = i^2 + j^2 + k^2，求B的迹和对称部分。

解答：

对于三阶张量B，其迹为Biii，即B的三个主对角线元素之和。根据题目给出的分量表达式，可以得到B的迹为B111 + B222 + B333 = (1^2 + 1^2 + 1^2) + (2^2 + 2^2 + 2^2) + (3^2 + 3^2 + 3^2) = 9 + 12 + 27 = 48。

第二章张量分析

cos
r sin
0
除 r 0， 0 ，外， J 0 ，故有逆变换
的具体形式如下：
x1' r x1 2 x2 2 x3 2
x2' tg 1 x1 2 x2 2 x3
x3' tg 1 x2
x1
由此可得坐标曲面： (i) x1' (r常数C1)为中心在原点的球面(当
a (P、Q、R)
根据Gauss定理有：
左边 (a1n1 a2n2 a3n3)dS S ainidS S
a ndS a d S
S
S
右边 (1a1 2a2 3a3)dV V
iaidV adV
V
V
a d S adV
S
V
2 Stokes定理
Pdx Qdy Rdz
i, i ' 1,2,3
若 x i是' 的线性函数，则 x i'也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：
xi
Ai i'
xi'
x i
x i'
xi'
这里
Ai i'
为变换系数，它是常数。
若 x i不是 x i'的线性函数，则 x i' 称为曲线坐标。
在曲线坐标系 x i中' ，若雅可比(Jacobi)行列式J不为零，即

曲面的热力学几何与张量分析

曲面的热力学几何与张量分析在热力学和流体力学中，曲面的热力学几何和张量分析是非常重要的理论基础。通过研究曲面的热力学性质和应力张量分布，我们可以深入了解曲面上的各种物理过程和力学行为。本文将从曲面的基本概念出发，探讨曲面的热力学几何和张量分析的相关内容。

一、曲面的基本概念

曲面是三维空间中的二维对象，可以通过参数方程或者隐函数方程表示。常用的参数方程包括二维平面、球面、柱面等。曲面的性质通常由其曲率、法向量以及曲率半径等几何属性描述。这些属性对于进一步研究曲面的热力学性质具有重要意义。

二、曲面的热力学几何

热力学几何是热力学理论与微分几何的结合。曲面的热力学几何研究曲面上的温度分布、热量流动以及能量守恒等方面的问题。借助于热力学几何的方法，我们可以量化曲面上的热力学性质，如曲面的平均曲率、高斯曲率等。

1. 曲面的平均曲率

曲面的平均曲率描述曲面上各点处的局部弯曲程度。对于泛函表述的曲面，平均曲率可以通过对曲面的变分求解得到。通过研究曲面的平均曲率，我们可以了解曲面上各点处的热量传递情况以及能量平衡状态。

2. 曲面的高斯曲率

曲面的高斯曲率是曲面上各点处的局部曲率乘积。通过研究曲面的高斯曲率，我们可以了解曲面上的物理过程和力学行为，如曲面的稳定性、曲面上的流体流动情况等。

三、曲面的张量分析

张量分析是研究张量及其性质的数学工具。曲面的张量分析可以分析曲面上的物理量分布和变化规律。在曲面的张量分析中，常用的张量包括度量张量、应力张量等。

1. 曲面的度量张量

度量张量是描述曲面上的空间和时间度量情况的二阶张量。通过度量张量，我们可以计算曲面上的长度、面积以及体积等物理量。度量张量还可以用于研究曲面上的摄动态和运动态，对于求解曲面上的物理问题具有重要意义。

张量分析初学者必看

§A-2 矢量的基本运算
四、矢量的并乘(并矢)
A 张量分析
a ai ei , b b j e j
并乘
源自文库
ab ai ei b j e j ai b j ei e j
a2b1e2e1 a2b2e2e2 a2b3e2e3 a3b1e3e1 a3b2e3e2 a3b3e3e3
八、指标置换
A 张量分析
§A-2 矢量的基本运算
三、矢量的混合积
A 张量分析
a b c eijk ai b j ek cr er eijk ai b j cr kr eijk ai b j ck
ei e j ek eijrer ek eijr rk eijk
Ricci符号
A 张量分析
x1 x1 cos x2 sin x2 x1 sin x2 cos
x1 x1 cos x2 sin x2 x1 sin x2 cos
坐标变换式
xi ii xi xi ii xi
ii cos(xi , xi ) ii cos(xi , xi )
§ A-1 指标符号三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
Kronecker-符号定义
1 ji ij 0
当i j 当i j

张量分析与应用

张量分析是数学中一个重要的分支，广泛应用于物理学、工程学、

计算机科学等领域。张量在物理学中具有向量和矩阵所没有的更高维

度的特性，能够更好地描述物质在空间中的运动和变形。本文将介绍

张量的基本概念、性质和应用，并探讨其在不同领域中的具体应用。

一、张量的基本概念

张量是一个多维数组，其元素在坐标系中按照多维坐标进行索引。

在数学上，张量可以表示为一个多维矩阵，其元素用一个或多个下标

进行标记。例如，二阶张量可以表示为一个矩阵，三阶张量可以表示

为一个立体矩阵。张量的阶数取决于其所在空间的维度，通常用字母

T进行表示。

二、张量的性质

1. 张量的坐标变换规律：张量的坐标变换是其重要性质之一。当坐

标系发生变换时，张量的分量也会相应发生变化，但其物理性质不变。这使得张量成为描述物体运动和形变的有力工具。

2. 张量的对称性：张量的对称性是其另一个重要性质。对称张量在

坐标变换时具有特殊的变换规律，可以简化计算，提高效率。例如，

应力张量和应变张量在固体力学中具有重要应用。

三、张量在物理学中的应用

1. 应力张量：在固体力学中，应力张量描述了物体内部受力情况，并对物体的变形产生影响。应力张量的各向同性、各向异性等性质在材料研究和工程设计中具有重要意义。

2. 电磁场张量：在电磁学中，电磁场可以用张量形式表示，统一了电场和磁场的描述。电磁场张量的不变性在相对论中有着重要的物理意义。

四、张量在工程学中的应用

1. 应变张量：在工程力学中，应变张量描述了物体的变形情况，对结构强度和稳定性具有重要意义。工程师通过对应变张量的分析，可以有效设计和优化结构。

张量分析

张量分析

张量分析(Tensor Analysis)

第1章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)

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张量理论与张量分析的应用

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曲面的热力学几何与张量分析

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