2014-2015年黑龙江省哈尔滨三中高二(上)期中数学试卷和答案(文科)
黑龙江省哈尔滨第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
哈一中2014—2015学年度上学期期中考试高二数学试卷命题人： 高二备课组 考试时间：120分钟 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷(非选择题)两部分第I 卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1. 命题“若a b >，则a c b c +>+”的逆否命题为（ ）A ．若a b <，则a c b c +>+ B. 若a b ≤，则a c b c +≤+ C. 若a c b c +<+，则a b < D. 若a c b c +≤+，则a b ≤2．与曲线1492422=+y x 共焦点，且与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为（ ） A ．191622=-x y B ．191622=-y x C ．116922=-x y D ．116922=-y x 3．已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．x y 53±= B ．x y 35±= C ．x y 43±= D ．x y 34±= 4．函数12)(2+-=ax x x f 在(]2,∞-上是单调递减函数的必要不充分条件是（ ） A ．2≥a B ．6=a C ．3≥a D ．0≥a5．过抛物线x y -=2的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且A 、B 在直线41=x 上的射影分别M 、N ，则∠MFN 等于（ ） A ．45° B ．60° C ．90° D ．以上都不对6．有下列四个命题：①命题“若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1>m ，则022=+-m x x 有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题.其中是真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．47．方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图可能是（ ）8．已知动点),(y x P 满足5|1243|)2()1(22++=-+-y x y x ，则点P 的轨迹是 ( )A ．两条相交直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆9．一个圆的圆心为椭圆的右焦点F ，且该圆过椭圆的中心交椭圆于点P, 直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A ．21 B ．22 C ．23 D ．13-10．已知点P 为抛物线221x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)217,6(，则PM PA +的最小值是（ ）A ． 8B ．219 C ．10 D ．22111．若椭圆1422=+y x 与双曲线1222=-y x 有相同的焦点F 1、F 2，P 是这两条曲线的一 个交点，则21PF F ∆的面积是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．2112．已知,A B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个端点， ,M N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k )0(21≠k k ，若椭圆的离心率为23,则||||21k k +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2第II 卷(非选择题90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2014-2015学年黑龙江省哈三中高二上学期期中数学试卷与解析(文科)
2014-2015学年黑龙江省哈三中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知曲线C的方程为x2﹣xy+y2﹣2=0，则下列各点中，在曲线C上的点是（）A．（0，）B．（1，﹣2）C．（2，﹣3）D．（3，8）2．（5分）已知A为圆A：（x﹣1）2+y2=25的圆心，平面上点P满足PA=，那么点P与圆A的位置关系是（）A．点P在圆A上B．点P在圆A内C．点P在圆A外D．无法确定3．（5分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（）A．2 B．C．3 D．24．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．5．（5分）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（）A．B．C．D．6．（5分）已知实数x、y满足x2+y2+2x=0，则x+y的最小值为（）A．B．C．D．7．（5分）设定点F1（0，﹣2）、F2（0，2），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+（m ＞0），则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段8．（5分）已知点P（8，8）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，直线l与抛物线C 相切于点P，则直线l的斜率为（）A．B．C．D．9．（5分）若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）A．1 B．C．D．211．（5分）从双曲线=1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．B．C．D．12．（5分）已知椭圆=1上一点A（2，1）和该椭圆上两动点B、C，直线AB、AC的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，则直线BC的斜率k（）A．k＞或k＜﹣B．k=﹣C．k= D．k的值不确定二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知AB为过双曲线C的一个焦点F且垂直于实轴的弦，且|AB|为双曲线C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为．14．（5分）顶点在原点，经过圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为．15．（5分）已知方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为．16．（5分）已知圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1，在下列说法中：①对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；③直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0（m∈R）与圆C2一定相交于两个不同的点；④P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．其中正确命题的序号为．三、简答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知直线y=kx+2与椭圆2x2+3y2=6有两个公共点，求k的取值范围．18．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，右顶点为（1，0）．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线y=x+m与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点为M（x0，y0）．当x0≠0时，求的值．19．（12分）在直角坐标系xoy中，曲线y=x2﹣6x+5与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）求过点（2，4）的直线被该圆截得的弦长最小时的直线方程以及最小弦长．20．（12分）已知F1、F2为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆C 的离心率为，过左焦点F1的直线与C相交于A、B两点，△ABF2面积的最大值为3，求椭圆C的方程．21．（12分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A、B 两点．（1）设直线l的斜率为1，求向量与夹角余弦值的大小；（2）设向量=λ，若∈[4，9]，求直线l在y轴上截距的变化范围．22．（12分）已知椭圆E1：=1的焦点F1、F2在x轴上，且椭圆E1经过P（m，﹣2）（m＞0），过点P的直线l与E1交于点Q，与抛物线E2：y2=4x交于A、B两点，当直线l过F2时△PF1Q的周长为20．（Ⅰ）求m的值和E1的方程；（Ⅱ）以线段AB为直径的圆是否经过E2上一定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说明理由．2014-2015学年黑龙江省哈三中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知曲线C的方程为x2﹣xy+y2﹣2=0，则下列各点中，在曲线C上的点是（）A．（0，）B．（1，﹣2）C．（2，﹣3）D．（3，8）【解答】解：把A、B、C、D坐标分别代入曲线方程x2﹣xy+y2﹣2=0，只有（0，）满足方程，所以（0，）在曲线上．故选：A．2．（5分）已知A为圆A：（x﹣1）2+y2=25的圆心，平面上点P满足PA=，那么点P与圆A的位置关系是（）A．点P在圆A上B．点P在圆A内C．点P在圆A外D．无法确定【解答】解：A为圆A：（x﹣1）2+y2=25的圆心，圆的半径为5，平面上点P满足PA=，∵，∴点P与圆A的位置关系是：点P在圆A内．故选：B．3．（5分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（）A．2 B．C．3 D．2【解答】解：由题得：其焦点坐标为（±4，0）．渐近线方程为y=±x所以焦点到其渐近线的距离d==2．故选：D．4．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线的方程可变为x2=y故p=，其准线方程为y=﹣，故选：D．5．（5分）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的两顶点B（﹣1，0），C（1，0），周长为8，∴BC=2，AB+AC=6，∵6＞2，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2a=6，c=1，b=2，所以椭圆的标准方程是．故选：A．6．（5分）已知实数x、y满足x2+y2+2x=0，则x+y的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：把x2+y2+2x=0配方得：（x+1）2+y2=1，显然，这是一个圆的方程，设x+1=cosα，y=sinα，则x+y=cosα﹣1+sinα=（cosα+sinα）﹣1=sin（）﹣1，由sin（）∈[﹣1，1]，所以x+y的最小值为：﹣﹣1．故选：B．7．（5分）设定点F1（0，﹣2）、F2（0，2），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+（m ＞0），则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段【解答】解：∵m＞0，m+≥2=4．故当m+=4时，满足条件|PF1|+|PF2|=m+=|F1 F2|的点P的轨迹是线段F1F2 ．当m+＞4时，满足条件|PF1|+|PF2|=m+（m＞0）的点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．故选：D．8．（5分）已知点P（8，8）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，直线l与抛物线C 相切于点P，则直线l的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵点P（8，8）在抛物线C：y2=2px，∴64=2p×8，解得：2p=8，故抛物线C的标准方程为：y2=8x，即x=y2，则x′=y，当y=8时，x′=2，故过点P（8，8）与抛物线C相切的直线方程为：2（y﹣8）=x﹣8，即y=x+4，即直线l的斜率为，故选：C．9．（5分）若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：设直线方程为y=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k=0，直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径，得4k2≤k2+1，k2≤，故选：C．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）A．1 B．C．D．2【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=3，∴|PQ|=2d，∴直线PF的斜率为±，∵F（1，0），∴直线PF的方程为y=±（x﹣1），与y2=4x联立可得x=，∴||=d=1+=．故选：B．11．（5分）从双曲线=1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的右焦点为F'，连结OT∵O为FF'中点，M为PF中点，∴MO为△PFF'的中位线，可得|MO|=|PF'|，|FM|=|PF|又∵|MT|=|FM|﹣|FT|=|PF|﹣|FT|，∴|MO|﹣|MT|=（|PF'|﹣|PF|）+|FT|=|FT|﹣a，∵a=，|FT|==，∴|MO|﹣|MT|=﹣．故选：C．12．（5分）已知椭圆=1上一点A（2，1）和该椭圆上两动点B、C，直线AB、AC的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，则直线BC的斜率k（）A．k＞或k＜﹣B．k=﹣C．k= D．k的值不确定【解答】解：∵点A（2，1）在椭圆=1上，直线AB、AC的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，∴设直线AB的方程为：y﹣1=k1（x﹣2），直线AC的方程为：y﹣1=k2（x﹣2）=﹣k1（x﹣2），即直线AB的方程为：y=k1（x﹣2）+1，直线AC的方程为：y=﹣k1（x﹣2）+1，将y=k1（x﹣2）+1，代入=1得：（）x2﹣x+=0，由A的横坐标为2，结合韦达定理可得B点的横坐标为：﹣2=，则B点的纵坐标为，即B点坐标为：（，），同理可得：C点的坐标为：（，）故BC的斜率k==，故选：C．二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知AB为过双曲线C的一个焦点F且垂直于实轴的弦，且|AB|为双曲线C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为．【解答】解：设双曲线C：，焦点F（c，0），由题设得A点坐标为（c，a），代入双曲线的方程得到：所以，a=bc=a，∴e==．故答案为：．14．（5分）顶点在原点，经过圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为y2=2x．．【解答】解：因为圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心是（1，﹣）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点（1，﹣），设标准方程为y2=2px，因为点（1，﹣）在抛物线上，所以（﹣）2=2p，所以p=1，所以所求抛物线方程为：y2=2x．故答案为：y2=2x．15．（5分）已知方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为0＜k＜4．【解答】解：椭圆方程4x2+ky2=1化为，由于椭圆的焦点在y轴上，则＞，即0＜k＜4，故答案为：0＜k＜4．16．（5分）已知圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1，在下列说法中：①对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；③直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0（m∈R）与圆C2一定相交于两个不同的点；④P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．其中正确命题的序号为①③④．【解答】解：对于①结论是正确的，由圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1可知两圆圆心分别为C1（2cosθ，2sinθ）与C2（0，0），半径分布为r1=1，r2=1∴圆心距|C1 C2|==2，|C 1C2|=r1+r2，故对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；对于②结论是不正确的，由①可知两圆向外切，只有3条公切线．对于③结论是正确的，由直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0可化为：m（2x+3y﹣2）+6x+2y﹣5=0解方程组，得交点M（，），|MO|==＜1，故点M在圆C2内，所以直线l与圆C2一定相交于两个不同的点．对于④结论是正确的，如下图所示，当P，Q两点与公切点共线时距离最大为|PQ|=（r1+r2）=4综上，正确的结论是①③④．故答案为：①③④三、简答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知直线y=kx+2与椭圆2x2+3y2=6有两个公共点，求k的取值范围．【解答】解：联立，消去y，得（3k2+2）x2+12kx+6=0，∵直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6有两个公共点，∴△=（12k）2﹣24（3k2+2）＞0，解得k＜﹣或k＞，故k的取值范围是：（﹣）∪（，+∞）．18．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，右顶点为（1，0）．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线y=x+m与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点为M（x0，y0）．当x0≠0时，求的值．【解答】解：（Ⅰ）双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，则由题意得，=，a=1，解得b=，则双曲线的方程为：x2﹣=1；（Ⅱ）联立直线方程和双曲线方程，得到，，消去y，得2x2﹣2mx﹣m2﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则判别式△=4m2+8（m2+3）＞0，x1+x2=m，中点M的x0=，y0=x0+m=m，则有=3．19．（12分）在直角坐标系xoy中，曲线y=x2﹣6x+5与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）求过点（2，4）的直线被该圆截得的弦长最小时的直线方程以及最小弦长．【解答】解：（1）曲线y=x2﹣6x+5与坐标轴x轴的交点令x2﹣6x+5=0解得：A（1，0），B（5，0）与y轴的交点C（0，5）设圆的一般式为：x2+y2+Dx+Ey+F=0把A（1，0），B（5，0），C（0，5）代入圆的方程：解得圆的方程为：x2+y2﹣6x﹣6y+5=0（2）根据（1）的结论x2+y2﹣6x﹣6y+5=0转化为标准式：（x﹣3）2+（y﹣3）2=13点（2，4）与圆心（3，3）的距离为所以最短弦的直线的斜率k与点（2，4）与圆心（3，3）所构成的直线斜率乘积为﹣1．所以k=1进一步求出直线方程为：x﹣y+2=0．所以圆心（3，3）到直线的距离为：d==设半弦长为l则：l2+d2=r2解得：则弦长为2l=220．（12分）已知F1、F2为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆C 的离心率为，过左焦点F1的直线与C相交于A、B两点，△ABF2面积的最大值为3，求椭圆C的方程．【解答】解：当AB与椭圆的长轴垂直时，△ABF2面积取最大值，此时|AB|=，AB边上的高为2c，∵此时△ABF2面积为3，故××2c=3，又∵椭圆C的离心率e==，又由a2=b2+c2，解得：a2=6，b2=3，故椭圆C的方程为：．21．（12分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A、B 两点．（1）设直线l的斜率为1，求向量与夹角余弦值的大小；（2）设向量=λ，若∈[4，9]，求直线l在y轴上截距的变化范围．【解答】解：（1）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，∴l的方程为y=x﹣1．将y=x﹣1代入方程y2=4x，整理得x2﹣6x+1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=6，x1x2=1，y1+y2=4，y1y2=﹣4．∴cos＜，＞===﹣．∴与夹角的余弦值为﹣．（2）由题设得（x2﹣1，y2）=λ（1﹣x1，﹣y1），即x2﹣1=λ（1﹣x1）①，y2=﹣λy1②由②得y22=λ2y12，∵y12=4x1，y22=4x2，∴x2=λ2x1③联立①③解得x2=λ．依题意有λ＞0．∴B（λ，2）或B（λ，﹣2），又F（1，0），得直线l的方程为（λ﹣1）y=2（x﹣1）或（λ﹣1）y=﹣2（x﹣1）当λ∈[4，9]时，l在y轴上的截距为或﹣，设g（λ）=，λ∈[4，9]，可知g（λ）=在[4，9]上是递减的，∴≤≤，或﹣≤﹣≤﹣，即直线l在y轴上截距的变化范围为≤≤，或﹣≤﹣≤﹣．22．（12分）已知椭圆E1：=1的焦点F1、F2在x轴上，且椭圆E1经过P（m，﹣2）（m＞0），过点P的直线l与E1交于点Q，与抛物线E2：y2=4x交于A、B两点，当直线l过F2时△PF1Q的周长为20．（Ⅰ）求m的值和E1的方程；（Ⅱ）以线段AB为直径的圆是否经过E 2上一定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说明理由．【解答】解：（Ⅰ）△PF1Q的周长4a=20，∴a=5，a2=75，故椭圆E1的方程为：=1，将P（m，﹣2）代入=1得：m2=25，∵m＞0，∴m=5，（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），过P（5，﹣1）点的直线为：x﹣5=m（y+2），即x=m（y+2）+5，代入y2=4x得：y2﹣4my﹣8m﹣20=0而以线段AB为直径的圆的方程为x2+y2﹣（x1+x2）x+x1x2﹣（y1+y2）y+y1y2=0，x2+y2﹣[（y1+y2）2﹣2y1y2]x+﹣（y1+y2）y+y1y2=0，整理得x2+y2﹣4my﹣（4m2+4m+10）x+4m2+12m+5=0，整理成关于m的方程4m2（1﹣x）+4m（3﹣x﹣y）+x2+y2﹣10x+5=0由于以上关于m的方程有无数解，故1﹣x=0且3﹣x﹣y=0且x2+y2﹣10x+5=0，由以上方程构成的方程组有唯一解x=1，y=2．由此可知，以线段AB为直径的圆必经过定点（1，2）。
黑龙江哈尔滨第三中学2015届高三第二次模拟考试数学(文)试卷(扫描版含答案)
2015年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学（文史）答案一、选择题BDDAC CCDBA BB 二、填空题 （13）41（14）39 （15）)10,5( （16）32 17. （Ⅰ）由c B a B a 3cos 3sin =+，得分2sin 3cos sin 3sin sin C B A B A =+),sin(3cos sin 3sin sin B A B A B A +=+分4sin cos 3sin sin B A B A = 分63,3tan π==A A （Ⅱ）分87cos 22222b A bc c b a =-+=分107212cos 222 -=-+=ab c b a C分1233tan ,7233sin -==C C18．解：(1) 由题知，25.0=a ，设该群中某成员抢到钱数不小于3元为事件A ，则35.01.025.0)(=+=A P . ………………………………6分(2) 由直方图知，抢到4元及以上红包的共6人，设除甲，乙外其他四人为A ，B ，C ，D ，则抽取的两人可能有的情况为：甲乙，甲A ，甲B ，甲C ，甲D ，乙A ，乙B ，乙C ，乙D ，AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， 共计15种， ………………………………8分 其中甲、乙至少有一人被选中的情况有9种， 所以此事件概率为53159==P . ………………………………12分19.（Ⅰ）连结C B 1，交1BC 于点M ,则M 为1BC 中点,又D 为AC 中点,故MD ∥1AB ,又因为11BDC AB 平面⊄,1BDC MD 平面⊂,所以1AB ∥面1BDC .-----------------------6分（Ⅱ）不存在.--------------------------12分20.126)1(22=+y x ----------4分024)3(1262),(),()2(22222211=--+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=my y m y x my x y x N y x M θθcos 364sin =⋅ON OM ,90οθ=当02121=+y y x x ,0434232)1(,04)(2)1(22221212=++-+-+=++-+m mm m m y y m y y m315±=m ----------7分 当,90οθ≠θθcos 364sin =⋅ON OM ，364sin ||||=θON OM 21362sin ||||21y y ON OM S -===θ 384)(21221=-+y y y y 38324)34(222=+++m m m 0,3=±=m m综上所述，0,3=±=m m ，315±=m - ---------12分 21.（Ⅰ）当29=a 时, 22)1(125)(++-='x x x x x f , ………………………………2分单调区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0和()+∞,2为增函数；⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21上为减函数 …………………4分（Ⅱ）由22)1(1)2()(++-+='x x x a x x f ,要使)(x f 在),0(+∞上为增函数 只需1)2(2+-+x a x 在),0(+∞恒大于等于0,得xx x a 122++≤恒成立,由421122≥++=++xx x x x ，得实数a 的取值范围为]4,(-∞；……………12分22. （Ⅰ）由DBC ACD ∠=∠，得DBC ∆∽分3 DCE ∆ DCDB DE DC =,分52 DB DE DC ⋅=（Ⅱ）设M AC OD =⋂222r CM OM =+;分8222 CD CM MD =+分103,12)1(122 ==-+-r r r23. （Ⅰ）由已知[]2,2,1:2-∈-=x x y M ； 分2: t y x N =+联立方程有一个解，可得11t +<≤+或54t =-分5（Ⅱ）当2-=t 时，直线N: 2-=+y x ，设M 上点为)1,(200-x x，则823243)21(2120020≥++=++=x x x d ， 当012x =-，所以所求的最小距离为823分10 24. （Ⅰ）2-=a ，原不等式分1122 +≤-⇔x x31221221≤⇔+≤-⇔+≤-≥x x x x x x 时分3311221221≥⇔+≤-⇔+≤-≤x x x x x x 时 综上原不等式的解集为分53,31 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （Ⅱ）323)(+≤++⇔+≤x x a x x x f 分7 23233232a x a a x x x a x -≤≤--⇔≤+⇔+≤++15223123-≤≤-⇔≥-≤--a a a 且分10注明：数学勘误文理第6题，改为文理第19题及答题卡中，立体图形中左下角的改为。
黑龙江省哈三中2014届高三第一次高考模拟考试文科数学 含答案
2014年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试文 科 数 学考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 集合{}2,1=M ，{}5,4,3=N ，{}N b M a b a x x P ∈∈+==,,,则集合P 的元素个 数为A.3B.4C.5D.62. 若i 是虚数单位，则=+-ii12 A.i 2321+ B.i 2321- C.i 2323- D.i 2323+3. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥043041y x y x x ，则目标函数y x z -=3的最小值为A.4-B.0C.34D.4 4. 若312cos =θ，则θθ44cos sin +的值为 A.1813 B.1811 C.95D.15. 若向量b a ,的夹角为3π，且1,2==b a ，则a 与b a 2+的夹角为A.6πB.3π C.32π D.65π6. 若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是76,则输入的N 的值为A.5B.6C.7D.87. 直线02=++y x 截圆422=+y x 所得劣弧所对圆心角为 A.6π B.3π C.32π D.65π8. 如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表 面积是A.π949 B.π37 C.π328 D.π928 9. 函数())6cos()32sin(ππππ+++=x x x f 的一个单调 递减区间是 A.]31,32[-B. ]611,65[C. ]34,31[ D.]65,61[-10. 过双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的一个焦点F为M ，延长FM 交y 轴于E ，若M 为EF 的中点，则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.3 D.211. 若不等式0log 32<-x x a 对任意)31,0(∈x 恒成立，则实数a 的取值范围为 A.)1,271[B.)1,271(C.)271,0(D. ]271,0( 12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数()ln f x x x x =-的图象上的动点，该图象 在点P 处的切线l 交y 轴于点(0,)M M y ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点(0,)N N y . 则NMy y 的范围是 A ．),3[]1,(+∞--∞ B. ),1[]3,(+∞--∞ C. [3,)+∞ D. ]3,(--∞第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 已知角(0,)2πθ∈，由不等式1tan 2tan θθ+≥，22222tan tan 2tan 3tan 22tan θθθθθ+=++≥， 33333tan tan tan 3tan 4tan 333tan θθθθθθ+=+++≥，归纳得到推广结论： tan 1()tan nm n n N θθ*+≥+∈，则实数=m _____________ 侧视图14. 甲、乙两位同学约定晚饭6点到7点之间在食堂见面，先到之人等后到之人十五分 钟，则甲、乙两人能见面的概率为_____________15. 已知(0,1),(0,1),(1,0)A B C -,动点P 满足22||AP BP PC ⋅=,则||AP BP +的最大 值为_____________16. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，已知角A 为锐角,且 22sin sin sin 4sin sin ()B C A B C m+==，则实数m 范围为_____________三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分） 数列{}n a 满足112,2n n a a a +-==，等比数列{}n b 满足.8411,a b a b ==. （I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （II ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出 前n 名学生，并对这n 名学生按成绩分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三 组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100]，如图为频率分布直方图的一部分， 其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组 的人数为60.（I ）请在图中补全频率分布直方图；（II ）若B 大学决定在成绩高的第4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并且分成2组，每组3人进行面试，求95分（包括95分）以上的同学在同一个小组的概率.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，︒=∠60BAD ，Q 为AD 的中点.（I ）若PD PA =，求证：平面⊥PQB 平面PAD ；（II ）若平面⊥PAD 平面ABCD ，且2===AD PD PA ，点M 在线段PC 上， 且MC PM 2=,求三棱锥QBM P -的体积.20. （本小题满分12分）若点()2,1A 是抛物线px y C 2:2=()0>p 上一点，经过点()2,5-B 的直线l 与抛物 线C 交于Q P ,两点.（I ）求证：⋅为定值；（II ）若APQ ∆的面积为216，求直线l 的斜率.21. （本小题满分12分）设a R ∈，函数2()(21)ln f x ax a x x =-++． （I ）当1a =时，求()f x 的极值；（II ）设()1xg x e x =--，若对于任意的R x x ∈+∞∈21),,0(，不等式12()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．BACD PQ请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是的⊙O 直径，CB 与⊙O 相切于B ，E 为线段CB 上一点，连接AC 、AE 分别交⊙O 于D 、G 两点，连接DG 交CB 于点F . （I ） 求证：C 、D 、G 、E 四点共圆.（II ）若F 为EB 的三等分点且靠近E ，EG 1=，GA 3=，求线段CE 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=-=t y t x 33，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ （I ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（II ）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数1)(-=x x f .（I ）解不等式6)3()1(≥++-x f x f ；（II ）若1,1<<b a ，且0≠a ，求证：)()(ab f a ab f >.C2014年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试答案文科数学参考答案一、选择题1.B2.B3.B4.C5.A6.B7.C8.C9.D 10.D 11.A 12.A 二、填空题 13.nn 14. 716 15. 616. 6((,2) 三、解答题17.解：（I ）112,2n n a a a +-==， 所以数列{}n a 为等差数列，则2(1)22n a n n =+-=；-----------------------------------------------3分11482,16b a b a ====，所以3418,2b q q b ===， 则2n n b =；-------------------------------------------------------------------6分 （II ）12n n n n c a b n +==， 则23411222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++ 345221222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++两式相减得2341212223222n n n T n ++-=⋅+⋅+⋅++-----------9分整理得2(1)24n n T n +=-+.-----------------------------------------------12分 18.解：（Ⅰ）因为第四组的人数为60，所以总人数为：560300⨯=，由直方图可知，第五组人数为:0.02530030⨯⨯=人，又6030152-=为公差，所以第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人……………………….6分（Ⅱ）第四组中抽取人数：660490⨯=人，第五组中抽取人数：630290⨯=人，所以95分以上的共2人.设第四组抽取的四人为1234,,,A A A A ，第五组抽取的2人为12,B B ，这六人分成两组有两种情况，情况一：12,B B 在同一小组有4种可能结果，情况二：12,B B 不在同一小组有6种可能结果，总共10种可能结果，所以两人在一组的概率为42105= ……………………….12分19.（I ） PD PA =，Q 为AD 的中点，AD PQ ⊥∴，又 底面ABCD 为菱形， ︒=∠60BAD ，AD BQ ⊥∴ ,又Q BQ PQ = ∴⊥AD 平面PQB ，又 ⊂AD 平面PAD ,∴平面⊥PQB 平面PAD ;----------------------------6分 （II ） 平面⊥PAD 平面ABCD ,平面 PAD 平面AD ABCD =,AD PQ ⊥⊥∴PQ 平面A B C ，⊂BC 平面A B C ,⊥∴PQ BC,又BQ BC ⊥,Q QP QB = ,∴⊥BC 平面PQB ,又MC PM 2=， ∴32232332131=⋅⋅⋅⋅⋅==--PQB M QBM P V V ---------------------------12分20. 解：（I ）因为点()2,1A 在抛物线px y C 2:2=()0>p 上，所以p 24=，有2=p ，那么抛物线x y C 4:2=---------------------------------------2分若直线l 的斜率不存在，直线l :5=x ，此时()()()2,1,52,5,52,5A Q P -()()0522,4522,4=+-⋅--=⋅---------------------------------------------3分若直线l 的斜率存在，设直线l :()()0,25≠--=k x k y ，点()11,y x P ，()22,y x Q⎩⎨⎧--==2)5(42x k y xy ， BACD P Q有()()⎪⎩⎪⎨⎧>++=∆+-==+⇒=+--0251616820,40254421212k k kk y y k y y k y ky ，---------------------5分 ()()()()()()()024164212416412412,12,12121222121221212122212221212121212211=++-++-+-=++-+++-=++-+++-=--⋅--=⋅y y y y y y y y y y y y y y yy y y y y y y x x x x y x y x QA PA 那么，⋅为定值.--------------------------------------------------------------------------7分 （II ）若直线l 的斜率不存在，直线l :5=x ，此时()()()2,1,52,5,52,5A Q P -2165845421≠=⨯⨯=∆APQ S 若直线l 的斜率存在时，()()221221y y x x PQ -+-=()22221221216328011411kk k k y y y y k++⋅+=-+⋅+=-------------------9分 点()2,1A 到直线l :()25--=x k y 的距离2114kk h ++=------------------------------10分()()4221125821kk k k h PQ S APQ+++=⋅⋅=∆，--------------------------------------11分 满足：()()21611258422=+++kk k k有12321--=k 或12321---=k ---------------------------------------------12分21.（Ⅰ）当1a =时，函数2()3ln f x x x x =-+，则2231(21)(1)()x x x x f x x x-+--'==.()0f x '=得：121,12x x == 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：因此，当2x =时，()f x 有极大值，并且()ln 24f x =--极大值； 当1x =时，()f x 有极小值，并且()2f x =-极小值.--------------------------4分 （Ⅱ）由()1xg x e x =--，则()1x g x e '=-， 解()0g x '>得0x >；解()0g x '<得0x <所有()g x 在(,0)-∞是减函数，在(0,)+∞是增函数， 即()=(0)0g x g =最小值对于任意的12(0,),x x R ∈+∞∈，不等式12()()f x g x ≤恒成立，则有1()(0)f x g ≤即可. 即不等式()0f x ≤对于任意的(0,)x ∈+∞恒成立.-------------------------------6分22(21)1()ax a x f x x-++'=（1）当0a =时，1()xf x x-'=，解()0f x '>得01x <<；解()0f x '<得1x > 所以()f x 在(0,1)是增函数，在(1,)+∞是减函数，()(1)10f x f ==-<最大值， 所以0a =符合题意. （2）当0a <时，(21)(1)()ax x f x x--'=，解()0f x '>得01x <<；解()0f x '<得1x >所以()f x 在(0,1)是增函数，在(1,)+∞是减函数，()(1)10f x f a ==--≤最大值， 得10a -≤<，所以10a -≤<符合题意. （3）当0a >时，(21)(1)()ax x f x x --'=，()0f x '=得121,12x x a==12a >时，101x <<， 解()0f x '>得102x a <<或1x >；解()0f x '<得112x a<< 所以()f x 在(1,)+∞是增函数，而当x →+∞时，()f x →+∞，这与对于任意的(0,)x ∈+∞时()0f x ≤矛盾 同理102a <≤时也不成立. 综上所述，a 的取值范围为[1,0]-.---------------------------------------------12分22. （Ⅰ）连接BD ，则ABD AGD ∠=∠，90︒∠+∠=ABD DAB ，90︒∠+∠=C CAB 所以∠=∠C AGD ，所以180︒∠+∠=C DGE ，所以,,,C E G D 四点共圆.………………………………..5分（Ⅱ）因为2⋅=EG EA EB ，则2=EB ，又F 为EB 三等分，所以23=EF ，43=FB ， 又因为2FB FC FE FD FG =⋅=⋅，所以83=FC ，2=CE …………………….10分 23.（I ）直线l 的普通方程为：0333=+-y x ；曲线的直角坐标方程为1)2(22=+-y x -------------------------------4分 （II ）设点)sin ,cos 2(θθ+P )(R ∈θ，则2|35)6cos(2|2|33sin )cos 2(3|++=+-+=πθθθd 所以d 的取值范围是]2235,2235[+-.--------------------------------10分 24. （I ）不等式的解集是),3[]3,(+∞--∞ -------------------------------5分（II ）要证)()(ab f a ab f >，只需证|||1|a b ab ->-，只需证22)()1(a b ab ->-而0)1)(1(1)()1(22222222>--=+--=---b a b a b a a b ab ，从而原不等式成立.-------------------------------------------10分。
黑龙江省哈尔滨第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
哈一中2014—2015学年度上学期期中考试高二数学试卷命题人： 高二备课组 考试时间：120分钟 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷(非选择题)两部分第I 卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1. 命题“若a b >，则”的逆否命题为（ ） A ．若a b <，则 B. 若a b ≤，则 C. 若，则a b < D. 若，则a b ≤2．与曲线1492422=+y x 共焦点，且与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为（ ） A ．191622=-x y B ．191622=-y x C ．116922=-x y D ．116922=-y x 3．已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．x y 53±= B ．x y 35±= C ．x y 43±= D ．x y 34±= 4．函数12)(2+-=ax x x f 在(]2,∞-上是单调递减函数的必要不充分条件是（ ） A ．2≥a B ．6=a C ．3≥a D ．0≥a5．过抛物线x y -=2的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且A 、B 在直线41=x 上的射影分别M 、N ，则∠MFN 等于（ ） A ．45° B ．60° C ．90° D ．以上都不对6．有下列四个命题：①命题“若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1>m ，则022=+-m x x 有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题.其中是真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．47．方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图可能是（ ）8．已知动点),(y x P 满足5|1243|)2()1(22++=-+-y x y x ，则点P 的轨迹是 ( )A ．两条相交直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆9．一个圆的圆心为椭圆的右焦点F ，且该圆过椭圆的中心交椭圆于点P, 直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A ．21 B ．22 C ．23 D ．13-10．已知点P 为抛物线221x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)217,6(，则PM PA +的最小值是（ ）A ． 8B ．219 C ．10 D ．22111．若椭圆1422=+y x 与双曲线1222=-y x 有相同的焦点F 1、F 2，P 是这两条曲线的一 个交点，则21PF F ∆的面积是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．2112．已知,A B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个端点， ,M N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k )0(21≠k k ，若椭圆的离心率为23,则||||21k k +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2第II 卷(非选择题90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2015年黑龙江省哈尔滨三十二中高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)
2014-2015学年黑龙江省哈尔滨三十二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题5分，共60分）1．（5分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）A．B．C．D．12．（5分）已知向量=（λ+1，2），=（1，﹣2）．若与共线，则实数λ的值为（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣33．（5分）在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）A．40 B．42 C．43 D．454．（5分）函数f（x）=的定义域是（）A．（0，2） B．（0，1）∪（1，2）C．（0，2]D．（0，1）∪（1，2]5．（5分）若tanα=3，则的值为（）A．B．1 C．﹣l D．﹣36．（5分）已知sin（3π﹣θ）=﹣2sin（+θ），则tan2θ等于（）A．B．﹣ C．D．﹣7．（5分）在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则此三角形必是（）A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形8．（5分）函数的图象的一个对称轴方程是（）A．B．C．D．9．（5分）已知平面向量，的夹角为，且•=3，||=3，则||等于（）A．B．2 C．D．210．（5分）设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x ≥1时，f（x）=3x﹣1，则有（）A．f（）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（）＜f（）C．f（）＜f （）＜f（）D．f（）＜f（）＜f（）11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（）A．2+2 B．C．2﹣2 D．﹣112．（5分）在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在CD，若•=，则•的值是（）A．B．2 C．0 D．1二、填空题（每空5分，共20分）13．（5分）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=．14．（5分）函数y=sin2x+2sin2x最小正周期T为．15．（5分）已知，则与夹角的正弦值为．16．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=20，S10=S15，则当n=时，S n最大．三、解答题：（共70分）17．（10分）已知．（1）若A，B，C三点共线，求实数m的值；（2）证明：对任意实数m，恒有成立．18．（15分）已知等差数列{a n}中，a1=1，a3=﹣3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n}的前k项和S k=﹣35，求k的值．19．（15分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．20．（15分）设向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），x∈（0，）．（1）若||=||，求x的值；（2）设函数f（x）=，求f（x）的最大值．21．（15分）设函数f（x）=（ax2﹣2x）•e x，其中a≥0．（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）在[﹣1，1]上为单调函数，求a的取值范围．2014-2015学年黑龙江省哈尔滨三十二中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题5分，共60分）1．（5分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）A．B．C．D．1【解答】解：∵a=3，b=5，sinA=，∴由正弦定理得：sinB===．故选：B．2．（5分）已知向量=（λ+1，2），=（1，﹣2）．若与共线，则实数λ的值为（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3【解答】解：∵已知向量=（λ+1，2），=（1，﹣2），且与共线，∴（λ+1）（﹣2）﹣2×1=0，解得λ=﹣2，故选：C．3．（5分）在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）A．40 B．42 C．43 D．45【解答】解：在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，得d=3，a5=14，∴a4+a5+a6=3a5=42．故选：B．4．（5分）函数f（x）=的定义域是（）A．（0，2） B．（0，1）∪（1，2）C．（0，2]D．（0，1）∪（1，2]【解答】解：要使函数f（x）有意义，只需要，解得0＜x＜1或1＜x≤2，所以定义域为（0，1）∪（1，2]．故选：D．5．（5分）若tanα=3，则的值为（）A．B．1 C．﹣l D．﹣3【解答】解：由tanα=3，则====故选：A．6．（5分）已知sin（3π﹣θ）=﹣2sin（+θ），则tan2θ等于（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：由sin（3π﹣θ）=﹣2sin（+θ）得，sin（π﹣θ）=﹣2cosθ，所以sinθ=﹣2cosθ，即tanθ=﹣2，则tan2θ===，故选：A．7．（5分）在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则此三角形必是（）A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：由A+B+C=π，得到C=π﹣（A+B），∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B），又sinC=2cosAsinB，∴sin（A+B）=2cosAsinB，即sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，整理得sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，又A和B都为三角形的内角，∴﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B=0，即A=B，则此三角形必是等腰三角形．故选：A．8．（5分）函数的图象的一个对称轴方程是（）A．B．C．D．【解答】解：令2x+=kπ+，k∈z，可得x=，k∈z，故选：C．9．（5分）已知平面向量，的夹角为，且•=3，||=3，则||等于（）A．B．2 C．D．2【解答】解：=3•||=3，解得||=，故选：C．10．（5分）设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x ≥1时，f（x）=3x﹣1，则有（）A．f（）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（）＜f（）C．f（）＜f （）＜f（）D．f（）＜f（）＜f（）【解答】解：由题意可得，函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，再根据函数的图象关于直线x=1对称，可得函数在（﹣∞，1]上是减函数．故离直线x=1越近的点，函数值越小．|﹣1|=，|﹣1|=，|﹣1|=，∴f（）＜f（）＜f（），故选：B．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（）A．2+2 B．C．2﹣2 D．﹣1【解答】解：∵b=2，B=，C=，∴由正弦定理=得：c===2，A=，∴sinA=sin（+）=cos=，=bcsinA=×2×2×=+1．则S△ABC故选：B．12．（5分）在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在CD，若•=，则•的值是（）A．B．2 C．0 D．1【解答】解：建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），E（，1），F（x，2）∴=（，0），=（x，2），∴=x=，解得x=1，∴F（1，2）∴=（，1），=（1﹣，2）∴=（1﹣）+1×2=故选：A．二、填空题（每空5分，共20分）13．（5分）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=﹣1．【解答】解：由题意得，y′=k+，∵在点（1，k）处的切线平行于x轴，∴k+1=0，得k=﹣1，故答案为：﹣1．14．（5分）函数y=sin2x+2sin2x最小正周期T为π．【解答】解：y=sin2x+2×=sin2x﹣cos2x+=2（sin2x﹣cos2x）+=2sin（2x﹣）+，∵ω=2，∴T=π．故答案为：π15．（5分）已知，则与夹角的正弦值为．【解答】解：设=（x，y），则由=﹣=（x﹣2，y﹣2）=（2，1），可得，即=（4，3），∴cos＜，＞===，故sin＜，＞=，故答案为．16．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=20，S10=S15，则当n=12或13时，S n最大．【解答】解：∵S10=S15∴S15﹣S10=a11+a12+a13+a14+a15=0根据等差数列的性质可得，a13=0∵a1=20＞0∴d＜0 a12＞0，a14＜0根据数列的和的性质可知S12=S13为S n最大故答案为：12或13三、解答题：（共70分）17．（10分）已知．（1）若A，B，C三点共线，求实数m的值；（2）证明：对任意实数m，恒有成立．【解答】解：（1）∵∴…（2分）∵A，B，C三点共线，∴向量是共线向量，得（﹣2）×（﹣2）=（1﹣m）×1…（5分）∴解之得：m=﹣3…（7分）（2）由（1），得…（9分）∴即对任意实数m，恒有成立．…（14分）18．（15分）已知等差数列{a n}中，a1=1，a3=﹣3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n}的前k项和S k=﹣35，求k的值．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d由a1=1，a3=﹣3，可得1+2d=﹣3，解得d=﹣2，从而，a n=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n；（II）由（I）可知a n=3﹣2n，所以S n==2n﹣n2，进而由S k=﹣35，可得2k﹣k2=﹣35，即k2﹣2k﹣35=0，解得k=7或k=﹣5，又k∈N+，故k=7为所求．19．（15分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．20．（15分）设向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），x∈（0，）．（1）若||=||，求x的值；（2）设函数f（x）=，求f（x）的最大值．【解答】解：（1）由|a|2=（sin x）2+（sin x）2=4sin2 x，|b|2=（cos x）2+（sin x）2=1．及|a|=|b|，得4sin2 x=1．又x∈（0，），从而sin x=，∴x=．（2）f（x）==sin x•cos x+sin2x=sin 2x﹣cos 2x+=sin（2x﹣）+，当x=∈（0，）时，sin（2x﹣）取最大值1．∴f（x）的最大值为．21．（15分）设函数f（x）=（ax2﹣2x）•e x，其中a≥0．（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）在[﹣1，1]上为单调函数，求a的取值范围．【解答】解：对f（x）求导得f'（x）=[ax2+2（a﹣1）x﹣2]•e x①（I）若a=时，由，综合①，可知所以，是极大值点，x 2=1是极小值点．（注：未注明极大、极小值扣1分）（II ）若f （x ）为[﹣1，1]上的单调函数，又f'（0）=﹣2＜0， 所以当x ∈[﹣1，1]时f'（x ）≤0，即g （x ）=ax 2+2（a ﹣1）x ﹣2≤0在[﹣1，1]上恒成立． （1）当a=0时，g （x ）=﹣2x ﹣2≤0在[﹣1，1]上恒成立； （2）当a ＞0时，抛物线g （x ）=ax 2+2（a ﹣1）x ﹣2开口向上， 则f （x ）在[﹣1，1]上为单调函数的充要条件是，即，所以．综合（1）（2）知a 的取值范围是．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,mm nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。
2014-2015年黑龙江省哈尔滨一中高二上学期期中数学试卷及参考答案
2014-2015学年黑龙江省哈尔滨一中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（）A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a≤b，则a+c≤b+cC．若a+c＜b+c，则a＜b D．若a+c≤b+c，则a≤b2．（5分）与曲线共焦点，而与双曲线共渐近线的双曲线方程为（）A．B．C．D．3．（5分）已知双曲线=1（a＞0）的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x4．（5分）函数f（x）=x2﹣2ax+1在（﹣∞，2]上是单调递减函数的必要不充分条件是（）A．a≥2 B．a=6 C．a≥3 D．a≥05．（5分）过抛物线y2=﹣x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B在直线x=上的射影分别M，N，则∠MFN等于（）A．45°B．60°C．90°D．以上都不对6．（5分）有下列四个命题：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B．C．D．8．（5分）已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（）A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆9．（5分）一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A 的坐标是，则|PA|+|PM|的最小值是（）A．8 B．C．10 D．11．（5分）若椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A．4 B．2 C．1 D．12．（5分）已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A．1 B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过椭圆=1的焦点F的弦中最短弦长是．14．（5分）过抛物线y2=﹣12x的焦点作直线l，直线l交抛物线于，A，B两点，若线段AB中点的横坐标为﹣9，则|AB|=．15．（5分）已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．16．（5分）设点P是椭圆=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=3b2的一个交点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应有证明或演算步骤17．（10分）已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax﹣y+5=0与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求•的值；（Ⅱ）在此抛物线上求一点P，使得P到Q（5，0）的距离最小，并求最小值．19．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆与直线y=x+m相交于不同的两点M、N，问是否存在实数m使|AM|=|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．20．（12分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，△SAD是边长为a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，P为AD的中点，Q为SB的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面SCD；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣Q的大小．21．（12分）设过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q 与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且．（1）求点P的轨迹M的方程；（2）过F（2，0）的直线与轨迹M交于C，D两点，求•的取值范围．22．（12分）如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范围．2014-2015学年黑龙江省哈尔滨一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（）A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a≤b，则a+c≤b+cC．若a+c＜b+c，则a＜b D．若a+c≤b+c，则a≤b【解答】解：把“若a＞b，则a+c＞b+c”看做原命题，它的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置，∴它的逆否命题是：“若a+c≤b+c，则a≤b”，故选：D．2．（5分）与曲线共焦点，而与双曲线共渐近线的双曲线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知椭圆焦点在y轴上，且c==5，双曲线的渐近线方程为y=±x，设欲求双曲线方程为，则，解得a=4，b=3，所以欲求双曲线方程为．故选：D．3．（5分）已知双曲线=1（a＞0）的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：双曲线=1（a＞0）的实轴长2a、虚轴长：2、焦距长2，成等差数列，所以：4=2a+2，解得a=．双曲线=1的渐近线方程为：y=±x．故选：D．4．（5分）函数f（x）=x2﹣2ax+1在（﹣∞，2]上是单调递减函数的必要不充分条件是（）A．a≥2 B．a=6 C．a≥3 D．a≥0【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2ax+1在（﹣∞，2]上是单调递减函数，对称轴x=a∴a≥2，根据充分必要条件的定义可判断：a≥0是必要不充分条件，故选：D．5．（5分）过抛物线y2=﹣x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B在直线x=上的射影分别M，N，则∠MFN等于（）A．45°B．60°C．90°D．以上都不对【解答】解：根据抛物线的方程可知准线方程为x=，由抛物线的性质有|FA|=|MA|，∴∠AMF=∠AFM，同理∠BFN=∠BNF，∵AM∥x轴∥BN，∴∠MFO=∠AMF∴∠AFO=∠MFO，同理可知∠BFN=∠NFO∴∠MFN=∠MFO+∠NF0=90°故选：C．6．（5分）有下列四个命题：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据倒数的定义，可得“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题：“若x、y互为倒数，则xy=1”是真命题，①正确；“面积相等的三角形全等”的否命题：“面积不相等的三角形不全等”是真命题，②正确；原命题与逆否命题有相同的真假性，∵方程x2﹣2x+m=0有实根⇔△=4﹣4m≥0⇔m≤1，∴原命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”是假命题，∴③错误；原命题与逆否命题有相同的真假性，∵命题“若A∩B=B，则A⊆B”为假命题，∴④错误．∴真命题的个数是2，故选：B．7．（5分）方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B．C．D．【解答】解：方程mx+ny2=0 即y2=﹣，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．当m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，故选：A．8．（5分）已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（）A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆【解答】解：令f（x）=，则其几何意义为点（x，y）到（1，2）的距离，令g（x）=，其几何意义为（x，y）点到直线y=3x+4y+12的距离，依题意二者相等，即点到点（1，2）的距离与到定直线的距离相等，进而可推断出P的轨迹为抛物线．故选：B．9．（5分）一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设F2为椭圆的右焦点由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2．又因为F 1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以．根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2a﹣c．所以2a﹣c=，所以e=．故选：D．10．（5分）已知P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A 的坐标是，则|PA|+|PM|的最小值是（）A．8 B．C．10 D．【解答】解：依题意可知焦点F（0，），准线y=﹣，延长PM交准线于H点．则|PF|=|PH||PM|=|PH|﹣=|PF|﹣|PM|+|PA|=|PF|+|PA|﹣，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可．由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，①设直线FA与抛物线交于P0点，可计算得P0（3，），另一交点（﹣，舍去．当P重合于P0时，①可取得最小值，可得|FA|=10．则所求为|PM|+|PA|=故选：B．11．（5分）若椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A．4 B．2 C．1 D．【解答】解：不妨设P为双曲线右支上的点，由椭圆的定义可得，PF1+PF2=4，由双曲线的定义，可得，PF1﹣PF2=2，解得PF1=2+，PF2=2﹣，F1F2=2，由于（2）2+（2﹣）2=（2）2，则三角形PF1F2为直角三角形，则面积为：=1，故选：C．12．（5分）已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：设M（t，s），N（t，﹣s），t∈[0，a]，s∈[0，b]，A（﹣a，0），B（a，0），k1=，k2=﹣|k1|+|k2|=||+|﹣|≥2=2当且仅当=﹣，即t=0时等号成立．因为A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，M（t，s），N（t，﹣s），即s=b∴|k1|+|k2|的最小值为，∵椭圆的离心率为，∴，∴a=2b∴|k1|+|k2|的最小值为1故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过椭圆=1的焦点F的弦中最短弦长是．【解答】解：由题意设F（），过F的弦中垂直于x轴的弦最短；∴x=时，y=；∴最短弦长为．故答案为：．14．（5分）过抛物线y2=﹣12x的焦点作直线l，直线l交抛物线于，A，B两点，若线段AB中点的横坐标为﹣9，则|AB|=24．【解答】解：∵抛物线的方程为y2=﹣12x，∵2p=12，p=6，∵|AB|=x A+x B+p=x A+x B+6，∵若线段AB的中点M的横坐标为﹣9，∴（x A+x B）=﹣9，∴x A+x B=﹣18，∴|AB|=18+6=24．故答案为：2415．（5分）已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．【解答】解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．∴它到中心（0，0）的距离为d==．故答案为：．16．（5分）设点P是椭圆=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=3b2的一个交点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为．【解答】解：根据已知条件知P点在y轴右侧；由得，；∵|PF1|+|PF2|=2a，∴由|PF1|=3|PF2|得，；∴，F2（c，0）；∴，整理得：a=2，或a=（舍去）；∴a2=8b2=8a2﹣8c2；∴7a2=8c2；∴．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应有证明或演算步骤17．（10分）已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax﹣y+5=0与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z），∵圆C与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，∴圆心，到直线4x+3y﹣29=0的距离d=r，即=5，即|4m﹣29|=25，∵m为整数，∴m=1，则所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=25；（2）直线ax﹣y+5=0即y=ax+5，代入圆的方程，消去y整理得：（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，∵直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，∴△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，解得：a＜0或a＞，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（，+∞）．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求•的值；（Ⅱ）在此抛物线上求一点P，使得P到Q（5，0）的距离最小，并求最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意：抛物线焦点为（1，0）设l：x=ty+1代入y2=4x消去x得y2﹣4ty﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则y1+y2=4t，y1y2=﹣4∴•=x1x2+y1y2=（ty1+1）（ty2+1）+y1y2=t2y1y2+t（y1+y2）+1+y1y2=﹣4t2+4t2+1﹣4=﹣3．（Ⅱ）设P（x，y），则|PQ|===，∴x=3时，P到Q（5，0）的距离最小，此时，，|PQ|min=4．19．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆与直线y=x+m相交于不同的两点M、N，问是否存在实数m使|AM|=|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．【解答】解：（Ⅰ）依题意可设椭圆方程为，则右焦点F（）由题设，解得a2=3．故所求椭圆的方程为．（Ⅱ）设P为弦MN的中点，由得4x2+6mx+3m2﹣3=0由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，解得：﹣2＜m＜2．由韦达定理可知：，从而．∴，又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，则，即m=2，因为：﹣2＜m＜2．所以不存在实数m使|AM|=|AN|．20．（12分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，△SAD是边长为a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，P为AD的中点，Q为SB的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面SCD；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣Q的大小．【解答】证明：（1）证明取SC的中点R，连QR，DR．由题意知：PD∥BC且PD=BC；QR∥BC且QP=BC，∴QR∥PD且QR=PD．∴PQ∥DR，又PQ⊄面SCD，∴PQ∥面SCD．（6分）（2）解：以P为坐标原点，PA为x轴，PB为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，则S（0，0，a），B（0，a，0），C（﹣a，a，0），Q（0，a）．面PBC的法向量为=（0，0，a），设为面PQC的一个法向量，由，cos＜，∴二面角B﹣PC﹣Q的大小为arccos．（12分）21．（12分）设过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q 与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且．（1）求点P的轨迹M的方程；（2）过F（2，0）的直线与轨迹M交于C，D两点，求•的取值范围．【解答】解：（1）∵过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，∴Q（﹣x，y），设A（a，0），B（0，b），∵O为坐标原点，∴=（x，y﹣b），=（a﹣x，﹣y），=（﹣x，y），，∵且，∴，解得点P的轨迹M的方程为．（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx﹣2k，联立，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣3=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），∴=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=（1+k2）（x1﹣2）（x2﹣2）=（1+k2）[x1x2﹣2（x1+x2）+4]=（1+k2）（﹣+4）==+，∴当k2→∞，•的最小值→；当k=0时，•的最大值为1．∴•的取值范围是（，1]．22．（12分）如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以，即1=，解得．a2=b2+1=4，因此，椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，|OA|2+|OB|2=2a2，|AB|2=4a2（a2＞1），因此，恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2．（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：，整理得（a2+b2m2）y2+2b2my+b2﹣a2b2=0，所以因为恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，所以∠AOB恒为钝角．即恒成立．x1x2+y1y2=（my1+1）（my2+1）+y1y2=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1==．又a2+b2m2＞0，所以﹣m2a2b2+b2﹣a2b2+a2＜0对m∈R恒成立，即a2b2m2＞a2﹣a2b2+b2对m∈R恒成立．当m∈R时，a2b2m2最小值为0，所以a2﹣a2b2+b2＜0．a2＜a2b2﹣b2，a2＜（a2﹣1）b2=b4，因为a＞0，b＞0，所以a＜b2，即a2﹣a﹣1＞0，解得a＞或a＜（舍去），即a＞，综合（i）（ii），a的取值范围为（，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
2014年黑龙江省哈三中下学期高二数学(文)试卷
2014年黑龙江省哈三中下学期高二数学（文）试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数z ()i i 43-=，则z 的虚部为A. i 3 B . 3 C. i 4 D. 4 2. 命题“0232,2≥++∈∀x x R x ”的否定A.0232,0200<++∈∃x x R x B. 0232,0200≤++∈∃x x R x C. 0232,2<++∈∀x x R x D. 0232,2≤++∈∀x x R x 3. 已知直线a 、b ，平面α、β，那么下列命题中正确的是A ．若b a ⊥，α⊥b ，则α//aB ．若α⊂a ，β⊂b ，b a //，则βα//C ．若α//a ，b a ⊥，则α⊥bD ．若α//a ，β⊥a ，则βα⊥4. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A.()()q p ⌝∨⌝B.()q p ⌝∨C.()()q p ⌝∧⌝D.q p ∨ 5. 若不等式6<+a x 的解集为()11,1-，则实数a 等于A. -1B. -7C. 7D. -5 6. 在极坐标系中，圆2cos 2sin ρθθ=+的圆心的极坐标是是侧视图俯视图A. (1,)2πB. (1,4πC. )4πD. )2π7. 已知2=x 是函数23)(3+-=ax x x f 的极小值点, 那么函数)(x f 的极大值为A. 15B. 16C. 17D. 18 8. 阅读右侧程序框图， 如果输出5=i , 那么在空白矩形框中应填入的语句为A. 22-*=i SB. 12-*=i SC. i S *=2D. 42+*i9. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球 面上，O 为SC 的中点，且6=SC ，2=AB ，30=∠=∠BSC ASC ，则此棱锥的体积为 A ．7310B ．932C ．223D．2310. 积为A ．B ．C ．D ．11. 圆222r y x =+在点()00,y x 处的切线方程为200r y y x x =+，类似地，可以求得椭圆183222=+y x 在()2,4处的切线方程为 A ．084=+y x B. 184=+y x C. 148=+y x D. 048=+yx12. 若函数x x f a log )(=的图象与直线x y 31=相切，则a 的值为A. 2e e B. e3e C. e e5D. 4ee第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13. 曲线⎩⎨⎧==ααsin 4cos 6y x （α为参数）与曲线 ⎩⎨⎧==θθsin 24cos 24y x （θ为参数）的交点个数为__________个. 14. 执行右面的程序框图，若输入的()0>εε的 值为25.0，则输出 的n 的值为15. 目前四年一度的世界杯在巴西举行，为调查哈三中高二学生是否熬夜看世界杯用简单随机抽样的方法调查了110名高二学生，结果如下表：能否有99%以上的把握认为“熬夜看球与性别有关”？ _____________________。
2015哈三中二模 黑龙江省哈尔滨市第三中学2015届高三第二次模拟考试数学(文)试卷 扫描版含答案
2015年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学（文史）答案一、选择题BDDAC CCDBA BB二、填空题 （13）41 （14）39 （15）)10,5( （16）32 17. （Ⅰ）由c B a B a 3cos 3sin =+，得分2sin 3cos sin 3sin sin C B A B A =+ ),sin(3cos sin 3sin sin B A B A B A +=+分4sin cos 3sin sin B A B A = 分63,3tan π==A A （Ⅱ）分87cos 22222 b A bc c b a =-+=分107212cos 222 -=-+=ab c b a C 分1233tan ,7233sin -==C C18．解：(1) 由题知，25.0=a ，设该群中某成员抢到钱数不小于3元为事件A ，则35.01.025.0)(=+=A P . ………………………………6分(2) 由直方图知，抢到4元及以上红包的共6人，设除甲，乙外其他四人为A ，B ，C ，D ，则抽取的两人可能有的情况为：甲乙，甲A ，甲B ，甲C ，甲D ，乙A ，乙B ，乙C ，乙D ，AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， 共计15种， ………………………………8分 其中甲、乙至少有一人被选中的情况有9种，所以此事件概率为53159==P . ………………………………12分19.（Ⅰ）连结C B 1，交1BC 于点M ,则M 为1BC 中点,又D 为AC 中点,故MD ∥1AB ,又因为11BDC AB 平面⊄,1BDC MD 平面⊂,所以1AB ∥面1BDC .-----------------------6分（Ⅱ）不存在.--------------------------12分20.126)1(22=+y x ----------4分 024)3(1262),(),()2(22222211=--+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=my y m y x my x y x N y x M θθcos 364sin =⋅ON OM ,90οθ=当02121=+y y x x ,0434232)1(,04)(2)1(22221212=++-+-+=++-+m m m m m y y m y y m 315±=m ----------7分 当,90οθ≠θθcos 364sin =⋅ON OM ，364sin ||||=θON OM 21362sin ||||21y y ON OM S -===θ 384)(21221=-+y y y y 38324)34(222=+++m m m 0,3=±=m m 综上所述，0,3=±=m m ，315±=m - ---------12分 21.（Ⅰ）当29=a 时, 22)1(125)(++-='x x x x x f , ………………………………2分 单调区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0和()+∞,2为增函数；⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21上为减函数 …………………4分 （Ⅱ）由22)1(1)2()(++-+='x x x a x x f ,要使)(x f 在),0(+∞上为增函数 只需1)2(2+-+x a x 在),0(+∞恒大于等于0,得x x x a 122++≤恒成立,由421122≥++=++xx x x x ，得实数a 的取值范围为]4,(-∞；……………12分22. （Ⅰ）由DBC ACD ∠=∠，得DBC ∆∽分3 DCE ∆ DCDB DE DC =,分52 DB DE DC ⋅=（Ⅱ）设M AC OD =⋂222r CM OM =+;分8222 CD CM MD =+分103,12)1(122 ==-+-r r r23. （Ⅰ）由已知[]2,2,1:2-∈-=x x y M ； 分2: t y x N =+联立方程有一个解，可得11t +<≤+或54t =-分5（Ⅱ）当2-=t 时，直线N: 2-=+y x ，设M 上点为)1,(200-x x，则823243)21(2120020≥++=++=x x x d ， 当012x =-，所以所求的最小距离为823分10 24. （Ⅰ）2-=a ，原不等式分1122 +≤-⇔x x31221221≤⇔+≤-⇔+≤-≥x x x x x x 时分3311221221≥⇔+≤-⇔+≤-≤x x x x x x 时 综上原不等式的解集为分53,31 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （Ⅱ）323)(+≤++⇔+≤x x a x x x f 分7 23233232a x a a x x x a x -≤≤--⇔≤+⇔+≤++15223123-≤≤-⇔≥-≤--a a a 且分10注明：数学勘误文理第6题，改为文理第19题及答题卡中，立体图形中左下角的改为。
黑龙江省哈三中2013-2014学年高二上学期期末数学文试题 PDF版含word版答案
2013年黑龙江省学业水平考试数学（文科）试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷（选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一个年级有8个班，每个班50人，每班从501-排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为的12的同学参加交流活动，这里运用的抽样方法是A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．分层抽样D ．以上都不对 2．直线0126=++y x 的倾斜角是 A ．6π B ．3πC ．32πD ．65π3．双曲线1222=-x y 的实轴长为A ．1B ．2C ．2D ． 224．由圆外一点)0,0(P 作圆012222=+--+y x y x 的切线，则切线长为 A ．1 B ．2 C ．3 D ． 25．若用水量x kg 与某种产品的产量y kg 的回归直线方程是ˆ21250y x =+，则用水量为kg 50时，预计的产量是A ．kg 1300B ．kg 1350C ．kg 1400D ．kg 1500 6．将一骰子连掷两次，则两次的点数之和为5的概率是A ．361B ．181C ．91D ．3657．容量为100的样本数据，分为8组，如下表：组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数1013x141513129第三组的频数和频率分别是A ．14和14.0B ．14.0和14C ．141和14.0 D ．31和1418．在半径为2的圆内任取一点，则该点到圆心的距离小于1的概率是A ．81 B ．41 C ．21D ．1 9．过点()2,2-且与双曲线1222=-y x 有相同渐近线的双曲线方程是A ．14222=-y xB ．14222=-x yC ．12422=-y xD ．12422=-x y10．已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y 则y x z +=2的最大值为A ．3-B ．1C ．23D ．3 11．已知F 为抛物线x y 22=的焦点，)1,2(Q 是一个定点，点P 在抛物线上，则PF PQ +的最小值为A ．1B ．2C ．25 D ．27 12．已知),(b a M ()0≠ab 是圆222:r y x O =+内一点，现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线2:r by ax l =+，则A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．l m ⊥，且l 与圆相交C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．l m ⊥，且l 与圆相离2400 2700 3000 3300 3600 3900 体重0001频率/组距第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13．已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的实轴长与虚轴长相等，则双曲线C 的离心率为 ．14．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在(]3000,2700的频率为 ．15．已知两点)0,0(A 、)0,1(B ，在线段AB 上任取一点P ，则PB PA 2>的概率为 ．16．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为21，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为8，则椭圆G 的方程为 ．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本大题满分10分）袋中有形状、大小完全相同写有号码的5个小球，其中31-号为红球，54-号为黑球． （1）现从中任取一球，求球的编号为奇数的概率； （2）现从中一次取出两个小球，求两球的颜色不同的概率． 18．（本大题满分12分）已知直线0243=++y x 与圆0422=++x y x 相交于A 、B 两点． （Ⅰ）求线段AB 的垂直平分线方程；（Ⅱ）求弦AB 的长．19．（本大题满分12分）对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：问：甲、乙谁的平均成绩更好？谁的各门功课发展较平衡？ 20．(本大题满分12分)已知抛物线)0(2:2>=p px y C 过点()2,2，（1）求抛物线C 的方程； （2）判断直线21:+=x y l 与抛物线C 的位置关系． 21．(本大题满分12分)以下是某公司投入的科研经费x （百万元）与公司利润增长值y （百万元）的数据：科研经费x （百万元） 3 4 5 6 利润增长值y （百万元）5.2345.4（1）若y x ,线性相关，求y 关于x 的线性回归方程∧∧∧+=a x b y ；（2）根据（1）的结果估计当投入科研经费为8（百万元）时的利润增长值．附：()∑∑==∧--=ni ini iixn xyx n yx b 1221，x b y a ∧∧-=．22．(本大题满分12分)已知椭圆的方程为1422=+y x ，直线1+=kx y 与椭圆交于B A ,两点，OB OA ⊥，（1）求k 的值；（2）求三角形OAB 的面积．。
【数学】黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期期中考试试题((解析版)
黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】，在复平面内，复数对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D．2.已知在等比数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设公比为，由等比数列的通项公式可得，即，解得，故选：D．3.，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，，且，则.故选：C．4.若，则=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若，则，故选：A．5.等差数列中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为数列为等差数列，所以，，则，故选：B．6.已知向量，则“”是“与反向”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】与反向则存在唯一实数，使得，即所以是“与反向”的充要条件的故选C.7.如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】利用向量的三角形法则，可得，，为的中点，为的中点，则，又.故选D.8.在中，、、分别为内角、、的对边，若，，，则（）A. B. 或 C. D. 或【答案】A【解析】根据题意，在中，，则，且为锐角；又由，可得，又由，则，则，故选：A．9.对于非零向量，下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则在上的投影为D. 若，则【答案】B【解析】对于选项A，若，所以，故A错误，对于选项B，若，所以，则，故B正确，对于选项C，若，则在上的投影为，故C错误，对于选项D，若，不能推出，故D错误，综上可知：选项B正确，故选：B．10.已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，函数满足任意的都有，则，则函数是周期为的周期函数，，又由函数是定义在上的奇函数，则，时，，则，则；故；故选：A．11.在中，、、分别为内角、、的对边，，，点为线段上一点，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，化简可得，，，，，且，均为单位向量，过分别作，，垂足分别为，，则，，，，两式相加可得，由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，解可得，则的最大值为．故选：B．12.数列，满足，，，若的前项和为，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，①得，，②①-②得：，即．成立，∴；则．所以，设，则．∴在上单调递减，则，即．令，则．∴，故．设，则．在上单调递增，∴，即．令，则．∴．故．∴．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，则与的夹角为______．【答案】【解析】设与的夹角为，，则由，平方可得，解得，∴，故答案为．14.函数（，）的部分图象如图所示，则的解析式为______．【答案】【解析】由函数部分图象知，，，，，由时，，解得，所以．故答案为：．15.数列满足，，，则数列的前项和______．【答案】【解析】，即为，可得数列为首项为2，公比为2的等比数列，可得，即，数列的前n项和．故答案为：．16.下列命题中，①在中，若，则为直角三角形；②若，则的最大值为；③在中，若，则；④在中，，若为锐角，则的最大值为．正确的命题的序号是______【答案】②③④【解析】①在中，若，可得或，则为直角或钝角三角形，故①错；②若时，即，即垂直，则的最大值为，故②正确；③在中，若，，即，即，，即为，由，可得，故③正确；④在中，，即为，即为，可得，即，可得锐角，，可得时，的最大值为，故④正确．故答案为：②③④．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，求数列前项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）公差d不为零的等差数列，若，且成等比数列，可得，即，解得．则；（Ⅱ），可得前n项和.．18.已知的内角，，所对的边分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．解：（Ⅰ）由，得，即，∴，故．（Ⅱ）由，得，即，①又，∴，②由①②可得，所以．19.已知数列中，且．（Ⅰ）求，；并证明等比数列； （Ⅱ）设，求数列的前项和．解：（Ⅰ）由题意，可知：，．①当时，，②当时，．数列是以为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ），可知：，．．．， ③④③-④，可得：，20.已知椭圆的离心率为，椭圆和抛物线有相同的焦点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；是（Ⅱ），是椭圆的右顶点和上顶点，直线和椭圆交于，点，求四边形面积的最大值．解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，椭圆C和抛物线有相同的焦点．，解得，∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）∵是椭圆的右顶点和上顶点，∴，直线和椭圆C交于点，联立，得，到直线的距离，到直线的距离，，∴，当时，取等号．∴四边形面积的最大值为2．21.已知（Ⅰ）列表求在的所有极值；（Ⅱ）当时，（i）求证：；（ii）若恒成立，求的取值范围解：（Ⅰ）因为，所以，，，的变化关系如下表：极大值所以函数的极大值为，极小值为.（Ⅱ）（i）令，令，则对恒成立，在上是增函数，则，恒成立，在上为增函数，；（ii）令要使恒成立，只需当时，，，令，由（i）得，①当时，恒成立，在上增函数，，满足题意；②当时，上有实根，在上是增函数，则当时，，不符合题意；③当时，恒成立，在上为减函数，不符合题意，即．22.在直角坐标系中，曲线，曲线（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求，的极坐标方程；（Ⅱ）射线的极坐标方程为，若分别与，交于异于极点的，两点．求的取值范围．解：（Ⅰ）由曲线得，得，得；由曲线（为参数）消去参数可得，得，即；（Ⅱ）联立解得，联立，解得，，，，设，由于函数f(t)是减函数，时，取得最小值，时，取得最大值，所以的取值范围是．23.已知函数（Ⅰ）若，，求不等式的解集；（Ⅱ）若，，且，求证：．解：（Ⅰ）时，或或，解得，故不等式的解集为；（Ⅱ）时，当且仅当时，取等.∵，∴，当且仅当时取等．故．。
数学上学期期中试题-市第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题及答案
黑龙江省哈尔滨市第一中学2014—2015学年高二上学期期中考试数学试卷命题人： 高二备课组 考试时间：120分钟 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷(非选择题)两部分第I 卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1. 命题“若a b >，则a c b c +>+”的逆否命题为（ ）A ．若a b <，则a c b c +>+ B. 若a b ≤，则a c b c +≤+ C. 若a c b c +<+，则a b < D. 若a c b c +≤+，则a b ≤2．与曲线1492422=+y x 共焦点，且与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为（ ） A ．191622=-x y B ．191622=-y x C ．116922=-x y D ．116922=-y x 3．已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．x y 53±= B ．x y 35±= C ．x y 43±= D ．x y 34±= 4．函数12)(2+-=ax x x f 在(]2,∞-上是单调递减函数的必要不充分条件是（ ）A ．2≥aB ．6=aC ．3≥aD ．0≥a5．过抛物线x y -=2的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，且A 、B 在直线41=x 上的射影分别M 、N ，则∠MFN 等于（ ） A ．45° B ．60° C ．90° D ．以上都不对 6．有下列四个命题：①命题“若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1>m ，则022=+-m x x 有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题.其中是真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．47．方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图可能是（ ）8．已知动点),(y x P 满足5|1243|)2()1(22++=-+-y x y x ，则点P 的轨迹是 ( )A ．两条相交直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆9．一个圆的圆心为椭圆的右焦点F ，且该圆过椭圆的中心交椭圆于点P, 直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A ．21 B ．22 C ．23 D ．13-10．已知点P 为抛物线221x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)217,6(，则PM PA +的最小值是（ ）A ． 8B ．219 C ．10 D ．22111．若椭圆1422=+y x 与双曲线1222=-y x 有相同的焦点F 1、F 2，P 是这两条曲线的一 个交点，则21PF F ∆的面积是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．2112．已知,A B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个端点， ,M N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k )0(21≠k k ，若椭圆的离心率为23,则||||21k k +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2第II 卷(非选择题90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2014-2015学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知曲线C的方程为x2﹣xy+y2﹣2=0，则下列各点中，在曲线C上的点是（）A．（0，）B．（1，﹣2）C．（2，﹣3）D．（3，8）2．（5分）已知A为圆A：（x﹣1）2+y2=25的圆心，平面上点P满足PA=，那么点P与圆A的位置关系是（）A．点P在圆A上B．点P在圆A内C．点P在圆A外D．无法确定3．（5分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（）A．2 B．C．3 D．24．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．5．（5分）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（）A．B．C．D．6．（5分）已知实数x、y满足x2+y2+2x=0，则x+y的最小值为（）A．B．C．D．7．（5分）设定点F1（0，﹣2）、F2（0，2），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+（m ＞0），则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段8．（5分）已知点P（8，8）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，直线l与抛物线C相切于点P，则直线l的斜率为（）A．B．C．D．9．（5分）若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）A．1 B．C．D．211．（5分）从双曲线=1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．B．C．D．12．（5分）已知椭圆=1上一点A（2，1）和该椭圆上两动点B、C，直线AB、AC的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，则直线BC的斜率k（）A．k＞或k＜﹣B．k=﹣C．k= D．k的值不确定二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）已知AB为过双曲线C的一个焦点F且垂直于实轴的弦，且|AB|为双曲线C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为．14．（5分）顶点在原点，经过圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为．15．（5分）已知方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为．16．（5分）已知圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1，在下列说法中：①对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；③直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0（m∈R）与圆C2一定相交于两个不同的点；④P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．其中正确命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线y=kx+2与椭圆2x2+3y2=6有两个公共点，求k的取值范围．18．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，右顶点为（1，0）．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线y=x+m与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点为M（x0，y0）．当x0≠0时，求的值．19．（12分）在直角坐标系xoy中，曲线y=x2﹣6x+5与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）求过点（2，4）的直线被该圆截得的弦长最小时的直线方程以及最小弦长．20．（12分）已知F1、F2为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆C 的离心率为，过左焦点F1的直线与C相交于A、B两点，△ABF2面积的最大值为3，求椭圆C的方程．21．（12分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A、B 两点．（1）设直线l的斜率为1，求向量与夹角余弦值的大小；（2）设向量=λ，若∈[4，9]，求直线l在y轴上截距的变化范围．22．（12分）已知椭圆E1：=1的焦点F1、F2在x轴上，且椭圆E1经过P（m，﹣2）（m＞0），过点P的直线l与E1交于点Q，与抛物线E2：y2=4x交于A、B两点，当直线l过F2时△PF1Q的周长为20．（Ⅰ）求m的值和E1的方程；（Ⅱ）以线段AB为直径的圆是否经过E2上一定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说明理由．2014-2015学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知曲线C的方程为x2﹣xy+y2﹣2=0，则下列各点中，在曲线C上的点是（）A．（0，）B．（1，﹣2）C．（2，﹣3）D．（3，8）【解答】解：把A、B、C、D坐标分别代入曲线方程x2﹣xy+y2﹣2=0，只有（0，）满足方程，所以（0，）在曲线上．故选：A．2．（5分）已知A为圆A：（x﹣1）2+y2=25的圆心，平面上点P满足PA=，那么点P与圆A的位置关系是（）A．点P在圆A上B．点P在圆A内C．点P在圆A外D．无法确定【解答】解：A为圆A：（x﹣1）2+y2=25的圆心，圆的半径为5，平面上点P满足PA=，∵，∴点P与圆A的位置关系是：点P在圆A内．故选：B．3．（5分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（）A．2 B．C．3 D．2【解答】解：由题得：其焦点坐标为（±4，0）．渐近线方程为y=±x所以焦点到其渐近线的距离d==2．故选：D．4．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线的方程可变为x2=y故p=，其准线方程为y=﹣，故选：D．5．（5分）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的两顶点B（﹣1，0），C（1，0），周长为8，∴BC=2，AB+AC=6，∵6＞2，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2a=6，c=1，b=2，所以椭圆的标准方程是．故选：A．6．（5分）已知实数x、y满足x2+y2+2x=0，则x+y的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：把x2+y2+2x=0配方得：（x+1）2+y2=1，显然，这是一个圆的方程，设x+1=cosα，y=sinα，则x+y=cosα﹣1+sinα=（cosα+sinα）﹣1=sin（）﹣1，由sin（）∈[﹣1，1]，所以x+y的最小值为：﹣﹣1．故选：B．7．（5分）设定点F1（0，﹣2）、F2（0，2），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+（m ＞0），则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段【解答】解：∵m＞0，m+≥2=4．故当m+=4时，满足条件|PF1|+|PF2|=m+=|F1 F2|的点P的轨迹是线段F1F2 ．当m+＞4时，满足条件|PF1|+|PF2|=m+（m＞0）的点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．故选：D．8．（5分）已知点P（8，8）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，直线l与抛物线C 相切于点P，则直线l的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵点P（8，8）在抛物线C：y2=2px，∴64=2p×8，解得：2p=8，故抛物线C的标准方程为：y2=8x，即x=y2，则x′=y，当y=8时，x′=2，故过点P（8，8）与抛物线C相切的直线方程为：2（y﹣8）=x﹣8，即y=x+4，即直线l的斜率为，故选：C．9．（5分）若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：设直线方程为y=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k=0，直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径，得4k2≤k2+1，k2≤，故选：C．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）A．1 B．C．D．2【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=3，∴|PQ|=2d，∴直线PF的斜率为±，∵F（1，0），∴直线PF的方程为y=±（x﹣1），与y2=4x联立可得x=，∴||=d=1+=．故选：B．11．（5分）从双曲线=1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的右焦点为F'，连结OT∵O为FF'中点，M为PF中点，∴MO为△PFF'的中位线，可得|MO|=|PF'|，|FM|=|PF|又∵|MT|=|FM|﹣|FT|=|PF|﹣|FT|，∴|MO|﹣|MT|=（|PF'|﹣|PF|）+|FT|=|FT|﹣a，∵a=，|FT|==，∴|MO|﹣|MT|=﹣．故选：C．12．（5分）已知椭圆=1上一点A（2，1）和该椭圆上两动点B、C，直线AB、AC的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，则直线BC的斜率k（）A．k＞或k＜﹣B．k=﹣C．k= D．k的值不确定【解答】解：∵点A（2，1）在椭圆=1上，直线AB、AC的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，∴设直线AB的方程为：y﹣1=k1（x﹣2），直线AC的方程为：y﹣1=k2（x﹣2）=﹣k1（x﹣2），即直线AB的方程为：y=k1（x﹣2）+1，直线AC的方程为：y=﹣k1（x﹣2）+1，将y=k1（x﹣2）+1，代入=1得：（）x2﹣x+=0，由A的横坐标为2，结合韦达定理可得B点的横坐标为：﹣2=，则B点的纵坐标为，即B点坐标为：（，），同理可得：C点的坐标为：（，）故BC的斜率k==，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）已知AB为过双曲线C的一个焦点F且垂直于实轴的弦，且|AB|为双曲线C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为．【解答】解：设双曲线C：，焦点F（c，0），由题设得A点坐标为（c，a），代入双曲线的方程得到：所以，a=bc=a，∴e==．故答案为：．14．（5分）顶点在原点，经过圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为y2=2x．．【解答】解：因为圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心是（1，﹣）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点（1，﹣），设标准方程为y2=2px，因为点（1，﹣）在抛物线上，所以（﹣）2=2p，所以p=1，所以所求抛物线方程为：y2=2x．故答案为：y2=2x．15．（5分）已知方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为0＜k＜4．【解答】解：椭圆方程4x2+ky2=1化为，由于椭圆的焦点在y轴上，则＞，即0＜k＜4，故答案为：0＜k＜4．16．（5分）已知圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1，在下列说法中：①对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；③直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0（m∈R）与圆C2一定相交于两个不同的点；④P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．其中正确命题的序号为①③④．【解答】解：对于①结论是正确的，由圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1可知两圆圆心分别为C1（2cosθ，2sinθ）与C2（0，0），半径分布为r1=1，r2=1∴圆心距|C1 C2|==2，|C1C2|=r1+r2，故对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；对于②结论是不正确的，由①可知两圆向外切，只有3条公切线．对于③结论是正确的，由直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0可化为：m（2x+3y﹣2）+6x+2y﹣5=0解方程组，得交点M（，），|MO|==＜1，故点M在圆C2内，所以直线l与圆C2一定相交于两个不同的点．对于④结论是正确的，如下图所示，当P，Q两点与公切点共线时距离最大为|PQ|=（r1+r2）=4综上，正确的结论是①③④．故答案为：①③④三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线y=kx+2与椭圆2x2+3y2=6有两个公共点，求k的取值范围．【解答】解：联立，消去y，得（3k2+2）x2+12kx+6=0，∵直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6有两个公共点，∴△=（12k）2﹣24（3k2+2）＞0，解得k＜﹣或k＞，故k的取值范围是：（﹣）∪（，+∞）．18．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，右顶点为（1，0）．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线y=x+m与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点为M（x0，y0）．当x0≠0时，求的值．【解答】解：（Ⅰ）双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，则由题意得，=，a=1，解得b=，则双曲线的方程为：x2﹣=1；（Ⅱ）联立直线方程和双曲线方程，得到，，消去y，得2x2﹣2mx﹣m2﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则判别式△=4m2+8（m2+3）＞0，x1+x2=m，中点M的x0=，y0=x0+m=m，则有=3．19．（12分）在直角坐标系xoy中，曲线y=x2﹣6x+5与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）求过点（2，4）的直线被该圆截得的弦长最小时的直线方程以及最小弦长．【解答】解：（1）曲线y=x2﹣6x+5与坐标轴x轴的交点，令x2﹣6x+5=0，解得：A（1，0），B（5，0），与y轴的交点C（0，5），设圆的一般式为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，把A（1，0），B（5，0），C（0，5）代入圆的方程：，解得D=﹣6，E=﹣6，F=5，圆的方程为：x2+y2﹣6x﹣6y+5=0；（2）根据（1）的结论x2+y2﹣6x﹣6y+5=0转化为标准式：（x﹣3）2+（y﹣3）2=13，点（2，4）与圆心（3，3）的距离为＜，所以最短弦的直线的斜率k与点（2，4）与圆心（3，3）所构成的直线斜率乘积为﹣1．所以k=1，进一步求出直线方程为：x﹣y+2=0．所以圆心（3，3）到直线的距离为：d==，设半弦长为l，则：l2+d2=r2，解得：l=，则弦长为2l=2．20．（12分）已知F1、F2为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆C 的离心率为，过左焦点F1的直线与C相交于A、B两点，△ABF2面积的最大值为3，求椭圆C的方程．【解答】解：当AB与椭圆的长轴垂直时，△ABF2面积取最大值，此时|AB|=，AB边上的高为2c，∵此时△ABF2面积为3，故××2c=3，又∵椭圆C的离心率e==，又由a2=b2+c2，解得：a2=6，b2=3，故椭圆C的方程为：．21．（12分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A、B 两点．（1）设直线l的斜率为1，求向量与夹角余弦值的大小；（2）设向量=λ，若∈[4，9]，求直线l在y轴上截距的变化范围．【解答】解：（1）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，∴l的方程为y=x﹣1．将y=x﹣1代入方程y2=4x，整理得x2﹣6x+1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=6，x1x2=1，y1+y2=4，y1y2=﹣4．∴cos＜，＞===﹣．∴与夹角的余弦值为﹣．（2）由题设得（x2﹣1，y2）=λ（1﹣x1，﹣y1），即x2﹣1=λ（1﹣x1）①，y2=﹣λy1②由②得y22=λ2y12，∵y12=4x1，y22=4x2，∴x2=λ2x1③联立①③解得x2=λ．依题意有λ＞0．∴B（λ，2）或B（λ，﹣2），又F（1，0），得直线l的方程为（λ﹣1）y=2（x﹣1）或（λ﹣1）y=﹣2（x﹣1）当λ∈[4，9]时，l在y轴上的截距为或﹣，设g（λ）=，λ∈[4，9]，可知g（λ）=在[4，9]上是递减的，∴≤≤，或﹣≤﹣≤﹣，即直线l在y轴上截距的变化范围为≤≤，或﹣≤﹣≤﹣．22．（12分）已知椭圆E1：=1的焦点F1、F2在x轴上，且椭圆E1经过P（m，﹣2）（m＞0），过点P的直线l与E1交于点Q，与抛物线E2：y2=4x交于A、B两点，当直线l过F2时△PF1Q的周长为20．（Ⅰ）求m的值和E1的方程；（Ⅱ）以线段AB为直径的圆是否经过E2上一定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说明理由．【解答】解：（Ⅰ）△PF1Q的周长4a=20，∴a=5，a2=75，故椭圆E1的方程为：=1，将P（m，﹣2）代入=1得：m2=25，∵m＞0，∴m=5，（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），过P（5，﹣1）点的直线为：x﹣5=m（y+2），即x=m（y+2）+5，代入y2=4x得：y2﹣4my﹣8m﹣20=0而以线段AB为直径的圆的方程为x2+y2﹣（x1+x2）x+x1x2﹣（y1+y2）y+y1y2=0，x2+y2﹣[（y1+y2）2﹣2y1y2]x+﹣（y1+y2）y+y1y2=0，整理得x2+y2﹣4my﹣（4m2+4m+10）x+4m2+12m+5=0，整理成关于m的方程4m2（1﹣x）+4m（3﹣x﹣y）+x2+y2﹣10x+5=0由于以上关于m的方程有无数解，故1﹣x=0且3﹣x﹣y=0且x2+y2﹣10x+5=0，由以上方程构成的方程组有唯一解x=1，y=2．由此可知，以线段AB为直径的圆必经过定点（1，2）。