2019届苏教版(文科数学) 平面向量的数量积及应用举例单元测试

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2019版文科数学大5.3 平面向量的数量积含答案

§5。

3平面向量的数量积最新考纲考情考向分析1。

理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2。

了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题,考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现,属于中档题。

1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是［0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ,则数量|a｜3。

平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e）的夹角．则（1）e·a＝a·e＝|a|cos θ。

(2）a⊥b⇔a·b＝0。

(3)当a与b同向时,a·b＝|a｜|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a｜|b|.特别地，a·a＝|a｜2或｜a｜＝错误!.（4)cos θ＝错误!.(5）｜a·b｜≤｜a|｜b｜.4．平面向量数量积满足的运算律（1)a·b＝b·a；（2）（λa）·b＝λ（a·b)＝a·(λb）(λ为实数);(3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c。

5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1）若a＝（x,y)，则｜a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.（2）设A（x1，y1)，B（x2，y2)，则A，B两点间的距离｜AB|＝|错误! |＝错误!。

(3）设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.（4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角,则cos θ＝错误!＝错误!。

2019届苏教版(理科数学) 第4章第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用举例单元测试

第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用举例一、填空题1. 已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝( ，3)．若a ＋2b 与c 垂直，则＝________．答案：－3解析：由已知得a ＋2b ＝(3，3)，故(a ＋2b )·c ＝(3，3)·( ，3)＝ 3 ＋33＝0，解得＝－3.2. (2017·南京、盐城模拟)已知向量a ，b ，其中|a |＝3，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________．答案：π6解析：因为(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝|a|2－|a||b|·cos 〈a ，b 〉＝3－23×cos〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝32.由〈a ，b 〉∈[0，π]，则向量a ，b 的夹角为π6.3. (2017·南京模拟)设向量|a ＋b |＝20，a ·b ＝4，则|a －b |＝________.答案：2解析：|a －b|＝|a ＋b|2－4a·b ＝20－4×4＝2.4. 在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为____________．答案：55. 在Rt △ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 使BD →＝2DA →，那么CD →·CA →＝________．答案：6解析：如图，CD →＝CB →＋BD →.∵ BD →＝2DA →， ∴ CD →＝CB →＋23BA →＝CB →＋23(CA →－CB →)，即CD →＝23CA →＋13CB →.∵ ∠C ＝π2，∴ CA →·CB →＝0，∴ CD →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23CA →＋13CB →·CA →＝23CA → 2＋13CB →·CA →＝6.(本题还可建立平面直角坐标系利用向量的坐标求解)6. (2017·扬州中学质检)设O 是△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)．若AO →＝13AB →＋13AC →，则∠BAC＝________．答案：60°解析：取BC 的中点D ，连结AD ，则AB →＋AC →＝2 AD →.由题意得3AO →＝2AD →，∴ AD 为BC 的中线，且O 为重心．又O 为外心，∴ △ABC 为正三角形，∴ ∠BAC ＝60°.7. (2017·苏北四市模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．答案：4解析：由题意可得a·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，则|2a －b |＝（2a －b ）2＝4|a|2＋|b|2－4a·b ＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[0，4]，所以|2a －b |的最大值与最小值的和为4.8. 如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM →·DB →＝________．答案：1解析：因为DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13AB →，DB →＝DA →＋AB →，所以DM →·DB →＝⎝⎛⎭⎪⎫DA →＋13AB →·(DA →＋AB →)＝|DA →|2＋13|AB →|2＋43DA →·AB →＝1＋43－43AD →·AB →＝73－43|AD→|·|AB →|·cos 60°＝73－43×1×2×12＝1.9. (2017·第二次全国大联考江苏卷)A ，B ，C 为单位圆上三个不同的点，若∠ABC＝π4，OB →＝mOA →＋nOC →(m ，n ∈R )，则m ＋n 的最小值为________．答案：－ 2解析：因为∠ABC＝π4，所以∠AOC ＝π2.不妨设A(1，0)，C(0，1)，B(cos θ，sin θ)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π，则cos θ＝m ，sin θ＝n ⇒m ＋n ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≥－2，当且仅当θ＝5π4时取等号．10. (2017·苏州调研)在梯形ABCD 中，AB →＝2DC →，|BC →|＝6，P 为梯形ABCD 所在平面上一点，且满足AP →＋BP →＋4DP →＝0，DA →·CB →＝|DA →||DP →|，Q 为边AD 上的一个动点，则|PQ →|的最小值为________．答案：423解析：设AB 中点为E ，则四边形BCDE 为平行四边形，且AP →＋BP →＝2EP →，所以PE →＝2DP →，D ，E ，P 三点共线，|DE →|＝6，|DP →|＝2.又DA →·CB →＝DA →·DE →＝3DA →·DP →＝3|DA →||DP →|cos ∠ADE＝|DA →||DP →|，所以cos ∠ADE ＝13，sin ∠ADE ＝232.要使|PQ →|最小，即PQ⊥AD.此时|PQ →|＝|DP →|sin ∠ADE ＝423.二、解答题11. 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1) 求a 与b 的夹角θ； (2) 求|a ＋b|；(3) 若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．解：(1) ∵ (2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴ 4|a|2－4a·b －3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴ 64－4a·b －27＝61，∴ a ·b ＝－6.∴ cos θ＝a·b |a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴ θ＝2π3.(2) |a ＋b|2＝(a ＋b )2＝|a|2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴ |a ＋b |＝13.(3) ∵ AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴ ∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴ S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.12. 如图，在平面直角坐标系xOy 上，点A(1，0)，点B 在单位圆上，∠AOB ＝θ(0＜θ＜π)．(1) 若点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值； (2) 若OA →＋OB →＝OC →，OB →·OC →＝1813，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ.解：(1) 由于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，∠AOB ＝θ，所以cos θ＝－35，sin θ＝45，所以tan θ＝－43，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋tan θ1－tan θ＝－17. (2) 由于OA →＝(1，0)，OB →＝(cos θ，sin θ)，所以OC →＝OA →＋OB →＝(1＋cos θ，sin θ)，OC →·OB →＝cos θ×(1＋cos θ)＋sin 2 θ＝cos θ＋cos 2θ＋sin 2θ＝1813.所以cos θ＝513，所以sin θ＝1213，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝cos π3cos θ＋sin π3sin θ＝5＋12326. 13. (2017·如皋中学调研)如图所示，矩形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴正半轴(含坐标原点)上滑动，其中AD ＝4，AB ＝2.(1) 若∠DAO＝π4，求|OC →＋OD →|；(2) 求OB →·OC →的最大值．解：(1) 由题意可知，点A(22，0)，D(0，22)，B(32，2)，C(2，32)，所以|OC →＋OD →|＝|(2，52)|＝213.(2) 过点B 作BM⊥AO，垂足为M ，过点C 作CN⊥OD，垂足为N ，设∠DAO＝θ，则∠CDN ＝θ，∠ABM ＝θ，所以点A(4cos θ，0)，D(0，4sin θ)，B(4cos θ＋2sin θ，2cos θ)，C(2sin θ，4sin θ＋2cos θ)，则OB →·OC →＝(4cos θ＋2sin θ，2cos θ)·(2sin θ，4sin θ＋2cos θ)＝16sin θcos θ＋4sin 2θ＋4cos 2θ＝4＋8sin 2θ.∵ θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴( OB →·OC →)max ＝12.。

2019届高考数学复习平面向量第三节平面向量的数量积及应用举例夯基提能作业本文

第三节平面向量的数量积及应用举例A组基础题组1.已知向量a,b均为单位向量,若它们的夹角是60°,则|a-3b|=( )A.3B.2C. D.2.(2018云南第一次统一检测)在▱ABCD中,||=8,||=6,N为DC的中点,=2,则·=( )A.48B.36C.24D.123.已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=,|b|=2,在△ABC中,=2a+2b,=2a-6b,D为BC的中点,则||等于( )A.2B.4C.6D.84.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=·,I2=·,I3=·,则( )A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I35.设单位向量e1,e2的夹角为,a=e1+2e2,b=2e1-3e2,则b在a方向上的投影为.6.(2017山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是.7.(2017河北石家庄质量检测(一))已知与的夹角为90°,||=2,||=1,=λ+μ(λ,μ∈R),且·=0,则的值为.8.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.9.如图,已知O为坐标原点,向量=(3cos x,3sin x),=(3cos x,sin x),=(,0),x∈.(1)求证:(-)⊥;(2)若△ABC是等腰三角形,求x的值.B组提升题组1.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a-b的夹角为( )A. B. C. D.2.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为.3.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|;(3)若=a,=b,求△ABC的面积.4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cos B,-sin B),且m·n=-.(1)求sin A的值;(2)若a=4,b=5,求角B的大小及向量在方向上的投影.答案精解精析A组基础题组1.D (a-3b)2=|a|2-6a·b+9|b|2=1-6cos 60°+9=7,∴|a-3b|=,故选D.2.C ·=(+)·(+)=·=-=×82-×62=24,故选C.3.A 因为=(+)=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以||2=4(a-b)2=4(a2-2b·a+b2)=4×=4,则||=2.4.C 解法一:因为AB=BC,AB⊥BC,∴∠BCO=45°.过B作BE⊥AC于E,则∠EBC=45°.因为AD<DC,所以D、A在BE所在直线的同侧,从而∠DBC>45°,又∠BCO=45°,∴∠BOC为锐角.从而∠AOB为钝角,所以∠DOC为钝角.故I1<0,I3<0,I2>0.又OA<OC,OB<OD,故可设=-λ1(λ1>1),=-λ2(λ2>1),从而I3=·=λ1λ2·=λ1λ2I1,又λ1λ2>1,I1<0,∴I3<I1<0,∴I3<I1<I2.故选C.解法二:如图,建立直角坐标系,则B(0,0),A(0,2),C(2,0).设D(m,n),由AD=2和CD=3,得从而有n-m=>0,∴n>m.从而∠DBC>45°,又∠BCO=45°,∴∠BOC为锐角.从而∠AOB为钝角.故I1<0,I3<0,I2>0.又OA<OC,OB<OD,故可设=-λ1(λ1>1),=-λ2(λ2>1),从而I3=·=λ1λ2·=λ1λ2I1,又λ1λ2>1,I1<0,I3<0,∴I3<I1,∴I3<I1<I2.故选C.5.答案-解析依题意得e 1·e2=1×1×cos=-,|a|===,a·b=(e1+2e2)·(2e1-3e2)=2-6+e1·e2=-,因此b在a方向上的投影为==-.6.答案解析由题意不妨设e 1=(1,0),e2=(0,1),则e1-e2=(,-1),e1+λe2=(1,λ).根据向量的夹角公式得cos 60°===,所以-λ=,解得λ=.7.答案解析根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(0,2),C(1,0),所以=(0,2),=(1,0),=(1,-2).设M(x,y),则=(x,y),所以·=(x,y)·(1,-2)=x-2y=0,所以x=2y,又=λ+μ,即(x,y)=λ(0,2)+μ(1,0)=(μ,2λ),所以x=μ,y=2λ,所以==.8.解析(1)∵m⊥n,∴m·n=0,故sin x-cos x=0,∴tan x=1.(2)∵m与n的夹角为,∴cos<m,n>===,故sin=.又x∈,∴x-∈,则x-=,即x=,故x的值为.9.解析(1)证明:∵-=(0,2sin x),∴(-)·=0×+2sin x×0=0,∴(-)⊥.(2)△ABC是等腰三角形,则AB=BC,∴(2sin x)2=(3cos x-)2+sin2x,整理得2cos2x-cos x=0,解得cos x=0或cos x=.∵x∈,∴cos x=,x=.B组提升题组1.D 由|a+b|=|a-b|可知a⊥b,设=b,=a,如图,作矩形ABCD,连接AC,BD,可知=a+b,=a-b,设AC与BD的交点为O,结合题意可知OA=OD=AD,∴∠AOD=,∴∠DOC=,又向量a+b与a-b的夹角为与的夹角,故所求夹角为,选D.2.答案解析由=2得=+,所以·=·(λ-)=λ·-+λ-·,又·=3×2×cos 60°=3,=9,=4,所以·=λ-3+λ-2=λ-5=-4,解得λ=.3.解析(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以64-4a·b-27=61,所以a·b=-6,所以cos θ===-.又0≤θ≤π,所以θ=π.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13.所以|a+b|=.(3)因为与的夹角θ=π,所以∠ABC=π-=.又||=|a|=4,||=|b|=3,所以S△ABC=||||·sin∠ABC=×4×3×=3.4.解析(1)由m·n=-,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-,所以cos A=-,因为0<A<π,所以sin A===.(2)由正弦定理,得=,则sin B===,因为a>b,所以A>B,且B是△ABC一内角,则B=.由余弦定理得(4)2=52+c2-2×5c×,解得c=1,c=-7(舍去),故向量在方向上的投影为||cos B=ccos B=1×=.。

2019届苏教版(文科数学) 平面向量单元测试

2019届苏教版（文科数学）平面向量单元测试一、填空题 1、（2018江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ．2、（2017江苏高考）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC =m OA +n OB （m ，n ∈R ），则m +n = 3 ．3、（2016江苏高考）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .4、（南京市2018高三9月学情调研）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120︒，→BM ＝λ→BC ．若→AM ·→BC ＝－173，则实数λ的值为 ▲ ．5、（南京市2018高三第三次（5月）模拟）在△ABC 中，AB =3，AC =2，D 为边BC 上一点．若AB →·AD →＝5， AC →·AD →＝－23，则AB →·AC →的值为▲________．6、（前黄高级中学、姜堰中学等五校2018高三上第一次学情监测）设向量(2,6)a =-，(1,)b m =-，若//a b ，则实数m 的值为 ▲ ．7、（苏锡常镇2018高三3月教学情况调研（一））在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知3CP =，4CA =，23ACB π∠=，则CP CA ⋅= ． 8、（苏锡常镇2018高三5月调研（二模））如图，扇形AOB 的圆心角为90o，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围是．9、（苏州市2018高三上期初调研）已知平面向量(),2,110a a b =⋅=，若52a b +=，则b 的值是．10、（无锡市2018高三上期中考试）如图所示，在平行四边形ABCD 中，,AP BD P ⊥为垂足，且1AP =，则AP AC ⋅= .11、（徐州市2018高三上期中考试）如图，在半径为2的扇形AOB 中，90AOB ∠=，P 为AB 上的一点，若2OP OA ⋅=，则OP AB ⋅的值为 ▲12、（扬州、泰州、淮安、南通、徐州、宿迁、连云港市2018高三第三次调研）如图，已知2AC =，B 为AC 的中点，分别以 AB,AC 为直径在AC 的同侧作半圆， M,N 分别为两半圆上的动点（不含端点A B C ，，），且BM BN ⊥，则AM CN ⋅的最大值为 ▲ ．13、（镇江市2018届高三第一次模拟（期末）考试）已知点 P (1,0) ，直线 l : y = x + t 与函数 2x y =的图像相交于 A 、B 两点，当 PB PA ⋅P 最小时，直线 l 的方程为14、（前黄高级中学、姜堰中学等五校2018高三上第一次学情监测）已知,B D 是以AC 为直径的圆上的两点，且2AB =，5AD =，则AC BD ⋅的值为 ▲15、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）已知非零向量,a b 满足a b a b ==+，则a 与2a b -夹角的余弦值为．16、（无锡市2017届高三上学期期末）已知向量()()2,1,1,1a b ==-，若a b -与ma b +垂直，则m 的值为 .17、（盐城市2017届高三上学期期中）设向量(2,6)a =-，(1,)b m =-，若//a b ，则实数m = ▲ ．二、解答题1、（2017江苏高考）已知向量=（cos x ，sin x ），=（3，3-），x ∈[0，π]．（1）若∥，求x 的值；（2）记f （x ）=⋅，求f （x ）的最大值和最小值以及对应的x 的值．2、（苏锡常镇2018高三3月教学情况调研（一））已知向量(2sin ,1)a α=，(1,sin())4b πα=+.（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ⋅的值；（2）若//a b ，求锐角α的大小.3、（苏州市2018高三上期初调研）在平面直角坐标系中，设向量()()3,,cos ,3m cosA sinA n B ==-，其中,A B 为ABC ∆的两个内角.（1）若m n ⊥，求证：C 为直角；（2）若//m n ，求证：B 为锐角.4、（无锡市2018高三上期中考试）已知()()()3,1,1,2,1,1.a b c =-=-=（1）求a 与b 的夹角的大小; （2）若()//c a kb +，求k 的值.5、（无锡市2017届高三上学期期末）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且2sin cos 12B C A ++=，D 为BC 上一点，且13.44AD AB AC =+ （1）求sin A 的值；（2）若42,5a b ==，求AD 的长.6、（盐城市2017届高三上学期期中）如图，在四边形ABCD 中，4AC =，12BA BC ⋅=，E 为AC 的中点.（1）若12cos 13ABC ∠=，求ABC ∆的面积ABC S ∆；（2）若2BE ED =，求DA DC ⋅的值.7、（扬州市2017届高三上学期期中）在ABC ∆中，6AB =，32AC =18AB AC ⋅=-．（1）求BC 的长；（2）求tan 2B 的值．8、（镇江市2017届高三上学期期末）已知向量)sin ,(),,(cos αα21=-=，其中),(20πα∈，且⊥．（1）求α2cos 的值；（2）若1010=-)sin(βα，且),(20πβ∈，求角β的值．参考答案一、填空题1、32、33、784、135、－36、37、68、－1,1］9、5 10、211、2-+ 12、1413、 y ＝x ＋12 14、2115 16、1417、3二、解答题1、【解答】解：（1）∵=（cos x ，sin x ），=（3，3-），∥， ∴3-cos x =3sin x ，∴tan x =33-， ∵x ∈[0，π]， ∴x =π65；（2）f （x ）=b a ⋅=3cos x ﹣3sin x =23（23cos x 21-sin x ）=32cos （6π+x ）， ∵x ∈[0，π]， ∴6π+x ∈[6π，67π]， ∴1-≤cos （6π+x ）≤23，当0=x 时，f （x ）有最大值，最大值3，当π65=x 时，f （x ）有最小值，最大值32-． 2、.解：（1）由题意4sin 5α=，3cos 5α=，所以sin()4a b a πα⋅=++sin cos 4παα=+cos sin 4πα+45=+35+=（2）因为//a b sin()14a πα+=α(sin coscos sin )144ππαα+=，所以2sin sin cos 1ααα+=，则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=，所以锐角4πα=.3、（1）易得()()cos cos sin sin m n A B A B A B ⋅=-=+，因为m n ⊥，所以0m n ⋅=，即()cos cos2A B π+=.因为0A B π<+<，且函数cos y x =在()0,π内是单调减函数，所以2A B π+=，即C 为直角.（2）因为//m n ()sin cos 0A B A B ⋅-=，即sin cos 3cos sin 0A B A B +=.因为,A B 是三角形内角，所以cos cos 0A B ≠，于是tan 3tan A B =-，因而,A B 中恰有一个是钝角，∴2A B ππ<+<，从而()22tan tan 3tan tan 2tan tan 01tan tan 13tan 13tan A B B B BA B A B B B+-+-+===<-++，所以tan 0B >，即证B 为锐角注：（2）解得tan 3tan A B =-后，得tan A 与tan B 异号，若tan 0B <，则()22tan tan 3tan tan 2tan tanC tan 01tan tan 13tan 13tan A B B B BA B A B B B+-+=-+=-=-=<-++于是，在ABC ∆中，有两个钝角B 和C ，这与三角形内角和定理矛盾，不可能于是必有tan 0B >，即证B 为锐角 4、5、6、解：（1）12cos 13ABC ∠=，()0,ABC π∠∈， 2125sin 11313ABC ⎛⎫∴∠=-= ⎪⎝⎭， ……………2分1212cos ,13BA BC BA BC ABC BA BC ⋅==⋅∠=⋅13,BA BC ∴⋅= ……………4分1155sin 1322132ABC S BA BC ABC ∆∴=⋅∠=⨯⨯=. ……………7分（2）以E 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A (－2,0)，C (2,0)，设D (),x y ，由2BE ED =，可得(2,2)B x y --，则2212(22,2)(22,2)444,BA BC x y x y x y ⋅==-⋅+=-+224,x y ∴+= ……………11分∴()()222,2,40DA DC x y x y x y ⋅=---⋅--=+-=. ……………14分7、⑴因为cos 18AB AC AB AC A =⨯⨯=-，且6AB =，32AC =，2222=2cos =6(32)2(18)=310BC AB AC AB AC A +⨯⨯+⨯---. ---------------6分⑵方法一：在ABC ∆中，6AB =，32AC ==310BC ，2222226310)32)310cos =226310BA BC AC B BA BC ++⨯⨯⨯-(-( --------------------9分又(0,)B π∈，所以210sin 1cos B B -sin 1tan cos 3B B B ==，-------------11分所以2222tan 33tan 2=11tan 41()3B B B ==--. ---------------------14分方法二：由6AB =，32AC =cos 18AB AC AB AC A =⨯⨯=-可得2cos =A -，又(0,)A π∈，所以34A π=. ---------------------8分在ABC ∆中，sin sin BC ACA B=，所以232sin 102sin 310AC A B BC ⨯⨯===，-----------10分又(0,)4B π∈，所以2310cos =1sin B B -，所以sin 1tan cos 3B B B ==，所以2222tan 33tan 2=11tan 41()3B B B ==--. ---------------------14分8、解：法一（1）由m ⊥n 得，2cos sin 0αα-=， sin 2cos αα=， ……2分代入22cos sin 1αα+=，25cos 1α=且π(0)2α∈，，π(0)2β∈，，则cos α=， sin α=， ……4分则223cos 22cos 1215αα=-=⨯-=-. ……6分（2）由π(0)2α∈，，π(0)2β∈，得，ππ()22αβ-∈-，.因sin()αβ-=，则cos()αβ-=……9分则sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---=-=……12分因π(0)2β∈，，则π4β=. ……14分法二（1）由m ⊥ n 得，2cos sin 0αα-=，tan 2α=， ……2分故22222222cos sin 1tan 143cos 2cos sin cos sin 1tan 145ααααααααα---=-====-+++. ……4分（2）由（1）知，2cos sin 0αα-=，且22cos sin 1αα+=， π(0)2α∈，，π(0)2β∈，，则sin α=，cos α， ……6分由π(0)2α∈，，π(0)2β∈，得，ππ()22αβ-∈-，.因sin()αβ-，则cos()αβ-=……9分则sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---==……12分因π(0)2β∈，，则π4β=. ……14分。

2019届五年高考三年模拟(江苏版)：§6_2 平面向量的数量积

２１２３ö ｃｏｓ θ ＋，ｓｉｎ θ － ÷ ，２３２ ø è３２２ ң ң ң ʑ ＢＱ＝ＢＡ＋ＡＱ＝ｃｏｓ θ ＋２，ｓｉｎ θ ＋３，
ç ＝æ
ң ２ң １ң ң ＡＱ＝ＡＰ＋ＡＣ，则｜ＢＱ｜的最小值是㊀㊀㊀㊀．
３解析㊀如图建立平面直角坐标系，
２２｜ｂ｜，且（ａ－ｂ） ʅ（３ａ＋２ｂ），则ａ与ｂ的夹角为㊀㊀㊀㊀．３
（２）（２０１５重庆改编，６，５分）若非零向量ａ，ｂ满足｜ａ｜＝
ｂ的夹角，且向量夹角的取值范围是［０， π ］， ʑ
解法二：ｃ＝ｍａ＋ｂ＝（ｍ＋４，２ｍ＋２），ȵ ｃ与ａ的夹角等于ｃ与ａ㊃ｃ＝｜ａ｜㊃｜ｃ｜
（２） ȵ （ａ－ｂ） ʅ（３ａ＋２ｂ），ʑ （ａ－ｂ）㊃（３ａ＋２ｂ）＝０⇒３｜ａ｜２－ａ㊃ｂ－２｜ｂ｜２＝０⇒３｜ａ｜２－｜ａ｜㊃｜ｂ｜㊃ｃｏｓａ，ｂ⓪ －２｜ｂ｜２＝０．＝０．又ȵ ｜ａ｜＝２２８２２｜ｂ｜，ʑ ｜ｂ｜２－｜ｂ｜２㊃ｃｏｓａ，ｂ ⓪ －２｜ｂ｜２３３３２． ȵ ａ，ｂ⓪ ɪ［０，π］，２
（２）｜ＰＡ｜＝｜ＰＢ｜＝｜ＰＣ｜ ⇔Ｐ为әＡＢＣ的外心．（４）ＰＡ㊃ＰＢ＝ＰＢ㊃ＰＣ＝ＰＣ㊃ＰＡ⇔Ｐ为әＡＢＣ的垂心．
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对应学生用书起始页码Ｐ９２

(江苏版)2019年高考数学一轮复习专题5.3 平面向量的数量积(练).doc

（江苏版）2019年高考数学一轮复习专题5.3 平面向量的数量积（练）一、填空题1．设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1,2)，且a ⊥b ，则x ＝________. 【答案】－23【解析】由题意，得a ·b ＝0⇒x ＋2(x ＋1)＝0⇒x ＝－23.2．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________．【答案】π63．(2017·镇江期末)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝________. 【答案】 5 【解析】|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4＝ 5.4．对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是________(填序号)． ①|a ·b |≤|a ||b |；②|a －b |≤||a |－|b ||； ③(a ＋b )2＝|a ＋b |2；④(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. 【答案】②【解析】对于①，由|a ·b |＝||a ||b |cos a ，b|≤|a ||b |恒成立；对于②，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于③④容易判断恒成立． 5．已知a ＝(1，－2)，b ＝(x,2)，且a ∥b ，则|b |＝________. 【答案】 5【解析】∵a ∥b ，∴1x ＝－22，解得x ＝－1，∴b ＝(－1,2)，∴|b |＝－12＋22＝ 5.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →＝________. 【答案】5【解析】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)．∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5.7．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为________．【答案】2π3【解析】因为a ⊥(2a ＋b )，所以a ·(2a ＋b )＝0，得到a ·b ＝－2|a |2，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－2|a |24|a |2＝－12，又0≤θ≤π，所以θ＝2π3. 8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞二、解答题9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，10．(2017·德州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得asin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.【能力提升】11．(2017·南通、扬州、泰州调研)如图，已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若|AB →|＝3，|AC →|＝5，则(AP →＋AQ →)·(AB →－AC →)的值为________．【答案】－16【解析】(AP →＋AQ →)·(AB →－AC →)＝(2AQ →＋QP →)·CB →＝2AQ →·CB →＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝32－52＝－16.12．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为________．【答案】－4【解析】∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.13．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________．【答案】514．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ， y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，。

高中数学新教材苏教版(2019)必修第二册9.2专题练：平面向量数量积----定义应用(一)

《平面向量数量积----定义及图形中的应用》（一）主要考查利用定义求向量的数量积和平面图形中数量积的运算等一、知识点1. 定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量cos a b θ叫a 与b 的数量积，记作，即有.并规定0与任何向量的数量积为0.2.向量数量积的运算律 (1).交换律：(2).数乘结合律：()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅(3).分配律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅【要点诠释】：(1).已知实数a 、b 、c(b≠0)，则ab=bc ⇒a=c.但是a b b c ⋅=⋅⇒a c =； (2).在实数中，有(a ⋅b)c=a(b ⋅c)，但是,显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与c 不共线.二、练习题型一：直接运用公式1．已知3a =，4b =，且a 与b 的夹角 120=θ，则a b ⋅等于（）A ．6-B ．6C ．-D ．2．已知向量a ，b 满足||1a =，||3b =，且a 与b 的夹角为6π，()(2)+⋅-=a b a b （）. A ．12B ．32-C ．12-D ．323．已知向量a 和b 的夹角为120，3a =，3a b ⋅=-，则b 等于（）A ．1B ．23C ．3D ．24．若2a =，3b =，a 与b 的夹角150θ=︒，则()a ab ⋅-=（）A ．1B ．1-C ．7D ．7-a b θa b ⋅()cos 0a b a b θθπ⋅=≤≤a b b a ⋅=⋅()()a b c a b c ⋅≠⋅a a5．若向量a +b +c =0，且|a |=3，|b |=1，|c |=4，求a ·b +b ·c +c ·a 的值。

题型二：平面向量数量积的运算律6．已知→→→c b a ,,是三个向量，在下列命题中，假命题是（）A ．a b b a ⋅=⋅B ．()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅C ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅D ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =7.已知a 、b 、c 不共线的非零向量，则下列等式中不成立的是（）．A ．22a a = B ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ C ．()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ D ．a b b a ⋅=⋅题型三：几何图形转化求数量积8．在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=1，则()AB AC BC +⋅=（）．A ．0B ．1-C ．2D ．19．在边长为2的等边三角形ABC 中，若2BD DC =，则AD AB ⋅（）A ．83B ．2C ．103D ．410．在边长为2的等边三角形ABC 中，BD DC =，AP PD =，则BP AC ⋅的值为（）A ．1-B ．12-C ．1D ．5211．在边长为2的正三角形ABC 中，AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值等于___12.已知三角形ABC 是边长为3的正三角形，点M 是AB 的中点，点N 在AC 边上，且AN=2NC ，则BN CM ⋅=（）.A ．32-B ．32-C ．332-D ．92-13．在三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC=2，2BC BD =，3AC AE =，则AD BE ⋅的值为（）A ．43-B ．13-C ．13D ．4314.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AB=4，AD=3，CD=2，2AM MD =，3AC BM ⋅=-，则AB AD ⋅=（）．A ．12B ．12-C ．32D ．32-15．已知ABC ∆中，AB=3,AC=5，BC=7，若点D 满足1132AD AB AC =+，则DB DC ⋅=__________．16．在三角形AOB 中，已知1OA =，OB =2AOB π∠=.若点C ，D 满足971616OC OA OB =-+，()12CD CO CB =⋅+，则CD CO ⋅的值为____17．已知||3a =，||2b =，a 与b 的夹角为150︒. (1)求()(2)a b a b +⋅-的值; (2)若k 为实数，求ka b +的最小值.答案与解析1.【解析】：因为3a =，4b =，且a 与b 的夹角120=θ，所以62143120cos -=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=⋅=⋅→→→→b a b a . 故选：A.2.【解析】：2221()(2)221cos 62a b a b a +a b b +π+⋅-=⋅-=-=，故选：A. 3.【解析】：因为133cos120322a b a b b b ⎛⎫-=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，解得2b =.故选：D.4.【解析】：()22cos150427a a b a a b a a b ⎛⋅-=-⋅=-︒=-= ⎝⎭.故选：C .5.【解析】：因为(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2(a ·b +b ·c +c ·a )，所以2222222()()0(314)1322a b c a b c a b b c c a ++-++-++⋅+⋅+⋅===-.6.【解析】：向量数量积公式满足交换律和分配率，所以AB 正确；()a b c ⋅⋅表示与向量c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示与向量a 共线的向量，两个向量不一定相等，故C 不正确；()0a b a c a b c ⋅=⋅⇔⋅-=，那么0a =或b c =或()a b c ⊥-，故D 不正确.故选：CD.7．【解析】：A ：22cos0||a a a a a a ⋅＝＝＝，A 正确；B ：设1a b λ⋅＝，则()1a b c c λ⋅⋅＝，设2b c λ⋅＝，则()2a b c a λ⋅⋅＝，因为a 与c 非零不共线，所以一般情况下12c a λλ≠，故B 错误； C ：向量数乘的数量积满足结合律，C 正确； D ：数量积满足交换律，D 正确；故选：B8.【解析】：()()()220AB AC BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=．故选：A. 9.【解析】：()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，所以212123333AD AB AB AC AB AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅ ⎪⎝⎭121822223323=⨯⨯+⨯⨯⨯=.故选：A10.【解析】：()()111222BP AC BD DP AC BC DA AC BC AC DA AC ⋅=+⋅=+⋅=⋅+⋅ 115cos cos 2326BC AC DA AC ππ=⋅+⋅11133122321222222⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B.11.【解析】：因为ABC 是边长为2的正三角形，所以AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅ 1112222223222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12.【解析】：如下图所示：因为M 是AB 的中点，所以()()111111222222CM CB CA CB CA BC BA BC BA BC =+=+=-+-=-，又因为()11123333BN BC CN BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，所以22112121299923363632BA BC BA BC BA B BN CM C ⎛⎫⎛⎫⋅-+=-=⨯-⨯=- ⎪=⋅ ⎪⎭⎭⎝⎝，故选：D.13.【解析】：()1123AD AB AC BE AE AB AC AB =+=-=-，，所以()221111423233AD BE AB AC AC AB AC AB ⎛⎛⎫⋅=+⋅-=-=- ⎪ ⎝⎭⎝），故选：A.14.【解析】：因为在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB=4，AD=3，CD=2，2AM MD =，所以()()1223AC BM AD DC BA AM AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222123323AD AB AD AB =--⋅=- 所以22212343323AB AD =⨯-⨯-⨯⋅=- 则32AB AD ⋅=．故选：C ． 15.【解析】：因为2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅ 又因为AB=3,AC=5，BC=7，所以152AB AC ⋅=-，所以2111()()3223DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222112515294244AB AC AB AC --+⋅=---12515212244AB AC ⋅=---=- 16.【解析】：因为1()2CD CO CB =+，所以D 为OB 的中点，从而→→=OB OD 21，所以97191161621616CD CO OD OA OB OB OA OB =+=-+=+因为1OA =，OB =2AOB π∠=，所以0OA OB ⋅=所以9197()()16161616CD CO OA OB OA OB ⋅=+⋅-221(817)256OA OB =-1(8173)256=-⨯1564=.17.【解析】：(1)因为||3a =，||2b =，a 与b 的夹角为150︒，323a b ⎛⋅=⨯⨯=- ⎝⎭，所以22()(2)233242a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=+-⨯=-. (2)222222||23643(1)1ka b k a ka b b k k k +=+⋅+=-+=-+，当1k =时，2||ka b +的最小值为1，即ka b +的最小值为1.。

2019版高考数学(文科)：平面向量的数量积及平面向量的应用

4.(2017课标全国Ⅰ,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=
.
答案 7
解析解法一:∵a=(-1,2),b=(m,1),
∴a+b=(m-1,3),∵(a+b)⊥a,
∴(a+b)·a=-(m-1)+6=0,解得m=7.
解法二:由已知可得(a+b)·a=a·a+b·a=1+4-m+2=0,解得m=7.
1
11
易知DE= 2AC,∠FEC=∠ACE=60°,则EF= 4AC= 4,
所以点F的坐标为
1 8
,
3
8
,
所以
AF=
1 8
,
5
3 8
,
所以
AF·BC=
1, 8
53 8
·(1,0)=
1 8
.故选B.
疑难突破利用公式a·b=|a||b|cos<a,b>求解十分困难,可以考虑建立适当的平面直角坐标系,
2.(2015重庆,7,5分)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为 ( )
A.
B.
C. 2
D. 5
3
2
3
6
答案 C 因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,
得到a·b=-2|a|2,设a与b的夹角为θ,
则cos
θ=
|
ab a || b
|
=
2 | a |2 4 | a |2
2.(2016课标全国Ⅲ,3,5分)已知向量
BA
=
1 2
,

2019届高三数学同步单元双基双测“AB”卷(江苏版)：专题4.2 平面向量的数量积及应用(A卷)

一、1试题分析：由向量投影的定义可知b 在a 上的投影是cos ,2cos b a b =⨯2（2（33．已知,e e 是夹角为2,e e b ke e =-=+，若a ⋅值为5(2)()e e ke e k -+=+，若3PB PC ⋅=-，则AB AC ⋅= 【答案】0=-=所22P B P C P D P B P C C B+2,⋅=-同PB PC PD CB44,22⋅=-从44,AB AC AD CB22⋅-A B A C 44()()222+⋅-=-⇒⋅=，再利用平面向量的数量积a b a b a b<<<；sin1cos1sin1cos1②0||||a b a b a b ⋅=⇔+=-；cos (1sin )(1sin )ααα=+-；222()a b a b ⋅=⋅；2sin 1cos 2x x =+；sin1cos1sin1cos1<<<，正确；由0a b ⋅=⇒||||a b a b +=-，对于③，，正确；对于④，2222()cos a b a b α⋅=⋅，故不正确；1c o s 正确；对ABC 的中120，2AB AC ⋅=-，||AD 的最．0a b ⋅<,S|a||b|sinA=⨯⨯⨯，由 0a b ⋅<得夹角的余弦值为32- 上，则OA OB ⋅的最小值为OA OB x x ⋅=121(x x x x ≥-∴OA OB ⋅的最小值为．已知圆O 的直径()PA PB PC +⋅ 的最小值为2-15（1（2⋅>⋅. ()() a b f c d22cos2 2sin a b c d ⋅=+⋅=θθ，推出02c o s 22<<θ,从而推测b a -⋅()()2(cos a b f c d ⋅-⋅=()a b ⋅与()c d ⋅的大小55）若OA OB OC+=，18OB OC⋅=，求【答案】（1）17-（2）512326+cos OC OBθ⋅=所以5cos13θ=，4AB AC⋅=．．已知向量(3sin ,1),(cos ,cos x x m n ==若1m n ⋅=，求cos()3x -的值；记()f x m n =⋅，在对边分别是,,a b c ，且满足sc o B b C =，求函数的延长线与AB （或轴建立平面直角坐标系，试求在抛物线x y 42=上，60,8⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭考点：动点的轨迹方程的求解，直线与曲线的位置关系的综合问题．。

2019版理数(苏教版)练习：第5章第3节平面向量的数量积及平面向量应用举例 Word版含解析

一、填空题1．已知点A (－1,0)、B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为________．解析：AB →＝(2,3)，a ＝(2k －1,2)，由AB →⊥a 得2×(2k －1)＋6＝0，解得k ＝－1.答案：－12．已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,4)，则△ABC 的形状是________．解析：AB →＝(1,1)，AC →＝(－3,3)，知AB →·AC →＝0，故△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形3．设O 为△ABC 的外心，OD ⊥BC 于D ，且|AB →|＝3，|AC →|＝1，则AD →·(AB →－AC →)的值是________．解析：由已知，D 为BC 的中点，AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AD →·(AB →－AC →)＝12(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝12(|AB →|2－|AC →|2)＝1.答案：14．设向量a ＝(cos 55°，sin 55°)，b ＝(cos 25°，sin 25°)，若t 是实数，则|a －t b |的最小值为________．解析：因为|a －t b |＝(a －t b )2＝|a |2＋|t b |2－2t a ·b ＝1＋t 2－2ta ·b ，而a ·b ＝(cos 55°，sin 55°)·(cos 25°，sin 25°)＝cos 55°×cos 25°＋sin 55°×sin 25°＝cos (55°－25°)＝32，所以|a －t b |＝1＋t 2－2t a ·b ＝t 2－3t ＋1 ＝(t －32)2＋14，故|a －t b |的最小值为12.答案：125．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是________．解析：a ·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，而cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－23，∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝6×(－23)＝－4.答案：－46．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj 且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．解析：a ·b ＝(i －2j )·(i ＋λj )＝1－2λ>0，λ<12，又a 、b 同向共线时，a ·b >0，∴a ＝kb (k >0)，i －2j ＝k (i ＋λj )，∴⎩⎨⎧k ＝1，－2＝kλ，∴λ＝－2，∴a 、b 夹角为锐角的λ的取值范围是 (－∞，－2)∪(－2，12)．答案：(－∞，－2)∪(－2，12)7．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1，那么c ＝________.解析：由题知AB →·AC →＋BA →·BC →＝2，即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →)＝(AB →)2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2. 答案： 28．已知单位向量a ，b 满足|ka ＋b |＝3|a －kb |(k >0)，则a ·b 的最小值为________．解析：把|ka ＋b |＝3|a －kb |两边平方并化简得a ·b ＝k 2＋14k ＝14(k ＋1k )≥12(∵k >0)．故a ·b 的最小值为12.答案：129．已知△ABO 三顶点坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，且满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．解析：由已知得(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，且(x ，y －2)·(0,2)＝2 (y －2)≥0，即x ≤1且y ≥2，所以OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝－x ＋2y ≥－1＋4＝3.答案：3二、解答题10．已知向量a ＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b ＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R.(1)求|a |2＋|b |2的值；(2)若a ⊥b ，求θ；(3)若θ＝π20，求证：a ∥b . 解析：(1)因为|a |＝cos 2(λθ)＋cos 2[(10－λ)θ]，|b |＝sin 2[(10－λ)θ]＋sin 2(λθ)，所以|a |2＋|b |2＝2.(2)因为a ⊥b ，所以cos λθ·sin (10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0.所以sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，所以sin 10θ＝0，所以10θ＝k π，k ∈Z ，所以θ＝k π10，k ∈Z.(3)证明：因为θ＝π20，所以cos λθ·sin λθ－cos(10－λ)θ·sin (10－λ)θ＝cos λπ20·sin λπ20－cos(π2－λπ20)·sin(π2－λπ20)＝cos λπ20·sin λπ20－sin λπ20·cos λπ20＝0，所以a ∥b .11．设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，求实数t 的范围．解析：由向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，得(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)|2te 1＋7e 2|·|e 1＋te 2|<0，即(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0，化简即得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12，当夹角为π时，也有(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0，但此时夹角不是钝角，2te 1＋7e 2与e 1＋te 2反向．设2te 1＋7e 2＝λ(e 1＋te 2)，λ<0，可得⎩⎨⎧ 2t ＝λ7＝λt λ<0，∴⎩⎨⎧ λ＝－14t ＝－142 .因此所求实数t 的范围是(－7，－142)∪(－142，－12)．12．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin 2x ，1－cos 2x )，c ＝(0,1)，x ∈(0，π)．(1)向量a ，b 是否共线？并说明理由；(2)求函数f (x )＝|b |－(a ＋b )·c 的最大值．解析：(1)b ＝(sin 2x,1－cos 2x )＝(2sin x cos x,2sin 2x )＝2sin x (cos x ，sin x )＝2sin x ·a ，且|a |＝1，即a ≠0.∴a 与b 共线．(2)f (x )＝|b |－(a ＋b )·c＝2sin x －(cos x ＋sin 2x,1－cos 2x ＋sin x )·(0,1)＝2sin x －1＋cos 2x －sin x ＝sin x －1＋1－2sin 2x＝－2sin 2x ＋sin x ＝－2(sin x －14)2＋18，∴当sin x ＝14时，f (x )有最大值18.。

学案与评测理数苏教：第5单元第三节平面向量的数量积及平面向量的应用举例

第三节平面向量的数量积及平面向量的应用举例一、填空题1. 已知平面向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)，且a ⊥b ，则x ＝________.2. (2010·北京改编)a ，b 为非零向量，“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )为一次函数”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中的一个)3. 设向量a ＝(cos 25°，sin 25°)，b ＝(sin 20°，cos 20°)，若t 是实数，且u ＝a ＋t b ，则|u |的最小值为________．4. (创新题)已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(－3λ，2)，如果a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是________．5. (2010·惠州调研)设向量a 与b 的夹角为θ，a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cos θ＝________.6. (2011·扬州中学期中考试)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝5，CA ＝7，点D 是边AC 上的点，且AD ＝13DC ，则BD →·AC →＝________. 7. 已知向量m ＝(sin θ，2cos θ)，n ＝⎝⎛⎭⎫3，－12，当θ∈[0，π]时，函数f (θ)＝m ·n 的值域为________．8. 在四边形ABCD 中，AB →＝(1,2)，BC →＝(－4，－1)，CD →＝(－5，－3)，则四边形ABCD的形状是________．9. 设a ，b ，c 为单位向量，且a·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为________．二、解答题10. (2011·启东市期中考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若AB →·AC →＝CA →·CB→＝k (k ∈R )．(1)判断△ABC 的形状；(2)若k ＝2，求b 的值．11. 求与向量a ＝(3，－1)和b ＝(1，3)夹角相等，且模为2的向量c 的坐标．12. (2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．参考答案1. 1 解析：∵a ⊥b ，∴3x -3=0，∴x =1.2. 必要不充分解析：若a ⊥b ，则有f (x )=(x a +b )⋅(x b -a )=x (|b |2-|a |2)不一定是一次函数(当|a |=|b |时不是一次函数)．反之，成立，故填必要不充分．3. 22解析：由题意知，|a |=|b |=1， a ⋅b =cos 25︒sin 20︒+sin 25︒cos 20︒=sin 45︒=22， ∴|u |2=|a +t b |2=a 2+2t a ⋅b +t 2b 2=t 2+2t +1 =⎝⎛⎭⎫t +222+12≥12， ∴|u |≥22，即|u |的最小值为22. 4. ⎝⎛⎭⎫-∞，-13∪⎝⎛⎭⎫-13，0∪⎝⎛⎭⎫43，+∞ 解析：显然λ≠0，设a 与b 的夹角为θ，由已知得cos θ＜0，即a ⋅b |a ||b |＜0，∴a ⋅b ＜0，∴-3λ2+4λ＜0，解得λ＜0或λ＞43. 又∵当λ=-13时，a =-13b ，a 与b 的夹角为180︒，不合题意，故舍去． 5.31010 解析：设向量a 与b 的夹角为θ，且a =(3,3)，2b -a =(-1,1)，∴b =(1,2)，则cos θ=a ⋅b |a|⋅|b|=932⨯5=31010. 6. -174解析：由余弦定理得cos A =72+32-522⨯7⨯3=49+8-2542=1114. 由AD =13DC 得AD =14AC =74， ∴BD →⋅AC →=(BA →+AD →)⋅AC →=|BA →|⋅|AC →|⋅cos(π-A )+|AD →|⋅|AC →|⋅cos 0=3⨯7⨯⎝⎛⎭⎫-1114+74⨯7⨯1=-174. 7. [-1,2] 解析：f (θ)=m ⋅n =3sin θ-cos θ=2sin ⎝⎛⎭⎫θ-π6， ∵θ∈[0，π]，∴θ-π6∈⎣⎡⎦⎤-π6，5π6， ∴f (θ)的值域为[-1,2]．由①②得⎩⎨⎧ x =3+12，y =3-12或⎩⎨⎧ x =-3+12，y =-3-12. ∴c =⎝⎛⎭⎫3+12，3-12或⎝⎛⎭⎫-3+12，-3-12. 12. (1)方法一：设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则由E 为BC 的中点，得E (0,1)；又E (0,1)为AD 的中点，所以D (1,4)．∴两条对角线长分别为BC =(-2-2)2+(-1-3)2=42，AD =(1+1)2+(4+2)2=210.方法二：由题设知AB →=(3,5)，AC →=(-1,1)，则AB →+AC →=(2,6)，AB →-AC →=(4,4)．所以|AB →+AC →|=210，|AB →-AC →|=4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)方法一：由题设知OC →=(-2，-1)，AB →-tOC →=(3+2t,5+t )，由(AB →-tOC →)⋅OC →=0，得(3+2t,5+t )⋅(-2，-1)=0，从而5t =-11，所以t =-115. 方法二：由题意知：AB →⋅OC →=tOC →2，而AB →=(3,5)，∴t =AB →⋅OC →|OC →|2=3⨯(-2)+5⨯(-1)(-2)2+(-1)2=-115.。

江苏专用高考数学一轮复习考点25平面向量的数量积与平面向量应用举例必刷题含解析

江苏专用高考数学一轮复习考点 25 平面向量的数量积与平面向量应用举例必刷题含解析1．（江苏省徐州市2019届高三考前模拟检测）已知 e1，e2是夹角为 3的两个单位向量，向量ae12e 2，b ke1 e2 ，若 a b 0 ，则实数 k 的值为________.【答案】 5 4【解析】已知e1，e2是夹角为 3的两个单位向量，所以e1e2 1，得 e1e2 e1e2cos 3 1， 2 若 a b e1 2e2ke1 e22k e1 2k1 e1e22 2e2k1 2k21 20解得 k 5 4故答案为： 5 ． 42．（江苏省徐州市 2018-2019 学年高三考前模拟检测）已知 A ， B 为圆 O : x2 y2 5 上的两个动点，AB 4 ， M 为线段 AB 的中点，点 P 为直线 l : x y 6 0 上一动点，则 PM PB 的最小值为____．【答案】7 【解析】因为 AB 4 ， BM 2，取的中点 N ，连接 OM , PN ，则 PM PB PN NB PN NB PN 2 1，又，故 OM 1，所以 ON 2 12 12 2 ， ON 2 ，006又 PN OP ON ，而 OP 3 2 ，所以 PN 2 2 ，当且仅当 OP 垂直于直线 l 且 O, N, P 三2点共线时等号成立，所以PM PB 的最小值为 8 1 7 ，填 7 .13．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）已知e1, e2是夹角为 3的两个单位向量，向量a e1 2e2 ， b ke1 e2 ，若 a b 0 ，则实数 k 的值为____．【答案】 54【解析】 a b 0 e1 2e2 ke1 e2 ，因为2e1e221，e1 e21 2，所以 a b k 2 k 1 2k 5 0 ，22所以 k 5 ，填 5 . 444．（江苏省南通市 2019 届高三模拟练习卷四模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A x1, y1 ， B x2, y2 为圆x2y2 1 上两点，且x1x2y1 y21 2．若 C为圆上的任意一点，则 CACB的最大值为______．【答案】 3 2【解析】因为 C 为圆 x2+y2＝1 上一点，设 C （sinθ，cosθ），则CA x1 sin, y1 cos ,CB x2 sin, y2 cos ，∵ A x1, y1 ， B x2, y2 为圆 x2 y2 1 上两点，∴ x12 y12 1,x22y22 1，又x1x2y1 y21， 2∴ CACB x1x2 y1y2 x1 x2 sin y1 y2 cos sin2 cos2 1 2 x1 x2 2 y1 y2 2 sin( )11 2x12 y12 x22 y22 2x1x2 2 y1 y2 sin( )1 2 sin( ) ，其中 tany1 x1 y2 x2，∵ sin( ) ∈[﹣1，1]，∴当 sin()＝1时，CA CB的最大值为3 2．故答案为： 3 ． 25．（江苏省南通市 2019 届高三适应性考试）如图，在边长为 2 的正三角形 ABC 中， D 、 E 分别为边 BC 、CA上的动点，且满足CEmBD（m为定常数，且m(0,1]），若ADDE的最大值为3 4，则m ________.【答案】 1 2【解析】以 BC 中点为坐标原点 O ，OC 方向为 x 轴正方向，OA 方向为 y 轴正方向，建立如图所示平面直角坐标系，因为正三角形 ABC 边长为 2，所以 B(1, 0) ， C(1, 0) ， A(0, 3) ，则 BC (2, 0) ， CA (1, 3) ，因为 D 为边 BC 上的动点，所以设 BD t BC ，其中 0 t 1，则 BD (2t, 0) ，所以 D(2t 1, 0) ；又 CE mBD tmBC ，所以 CE tmCA (tm, 3tm) ，因此 E(1 tm, 3tm) ，所以 AD (2t 1, 3) ， DE (2 tm 2t, 3tm) ，故 AD DE (2t 1)(2 tm 2t) 3tm 2(m 2)t 2 2(3 m)t 22(m2) t23m m2t 22(m2) t3m 2m 42 3m 2m 42 21(m2) t3m 2m 42 m2 10m 1 2m 4，因为m (0,1]，所以3m 2m 41 25 2m 41 3,3 4 ，又 0t1，所以当且仅当t3m 2m 4时，ADDE取得最大值，即 m2 10m 1 3 ，整理得 2m2 17m 8 0 ，解得 m 1 或 m 8 （舍）2m 442故答案为 1 26．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）已知ABC外接圆O的半径为2，且ABAC2AO，|AB||AO|，则CACB______.【答案】12【解析】因为ABAC2AO，所以点O是线段BC的中点，O是ABC外接圆的圆心，因此ABC是以BC为斜边的直角三角形，又因为 |AB|| AO |，所以AB2,BC4,因此 ACB 300 , AC 2 3 ，所以 CACB CA CB cos ACB 2 3 43 12.27．（江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校 2019 届高三第四次模拟考试）已知菱形 ABCD中，对角线 AC＝ 3 ，BD＝1，P 是 AD 边上的动点（包括端点），则 PB PC 的取值范围为_______．【答案】[1 , 3]22【解析】1由 AC⊥BD 得，以对角线 BD，AC 分别为 x 轴、y 轴建立如图所示的直角坐标系，∵AC＝ 3 ，BD＝1， ∴ A 0, 3 2 ,B 1 2,0 ,C 0,3 2 ，D 1 2,0 ,AD 1 2,3 2 ∵P是AD边上的动点，设P（x，y），0x1 2，AP x,y3 2 ，∵ APAD, 1 y 23 43 2x0，∵PC x,3 2y ,PB 1 2x,y ∴PBPC 1 2x,y x,3 2y 1 2xx23 y y2 4x2 4x 322根据二次函数的性质可知，当 x＝ 1 时，最小值为 1 .当 x＝ 0 时，最大值为 3 .222所以，PBPC的取值范围为 [1 2,3 2]故答案为：[1 , 3] 228．（江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019 届高三第三次调研考试）在平面四边形 ABCD 中， ____．，，．若，则的最小值为【答案】【解析】如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，1建立如下平面直角坐标系.则，，设，则，，因为所以整理得：在轴上取，即：，所以点在以原点为圆心，半径为的圆上。

苏教版高中数学必修4平面向量的数量积单元练习.docx

平面向量的数量积单元练习一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在题后的相应位置上．1．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在b 方向上的投影为________． 2．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.3．已知|a |＝1，|b |＝2，|c |＝4，a 与c 的夹角为90°，b 与c 的夹角为60°，则(a ＋b )·c ＝________.4．设|a |＝3，|b |＝5，且a ＋λb 与a －λb 垂直，则λ＝________.5．已知|a |＝2，|b |＝3，若a ∥b ，则a ·b ＝________；若a ⊥b ，则a ·b ＝________. 6．已知a ＝(－1,3)，b ＝(2，－1)，则a 与b 的夹角为________． 7．若向量|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，则|a ＋b |＝________. 8．下列等式中，其中正确的是________．①|a |2＝a 2；②a ·b a 2＝ba；③(a ·b )2＝a 2·b 2；④(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.9．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________． 10．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为________． 11．已知a ＝(2,3)，b ＝(－1，－2)，c ＝(2,1)，则a ·(b ·c )＝________，(a ·b )·c ＝________. 12．已知a ＝(4,2)，与a 垂直的单位向量b ＝________.13．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为________．14．已知向量a ＝(2cos θ，2sin θ)，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则向量a 与b 的夹角为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知向量a 与b 的夹角θ＝120°，且|a |＝4，|b |＝2，求： (1)a ·b ；(2)(a －2b )·(a ＋b )；(3)|3a －4b |.16．设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．17．在△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，判断△ABC 的形状．18．已知在△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD . (1)求证：AB ⊥AC ；(2)求点D 和向量AD →的坐标； (3)设∠ABC ＝θ，求cos θ.19．已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB ，求证：AC ⊥BC .20．已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．参考答案1.125 解析 |a |·cos θ＝a ·b |b |＝125. 2. 23 解析 ∵|a |＝2，∴|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12，∴|a ＋2b |＝2 3.3. 4 解析 (a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ＝|b ||c |cos 60°＝2×4×12＝4.4. ±35 解析 (a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝9－25λ2＝0，∴λ＝±35.5. ±6 0 解析当a ∥b 时，则a 与b 的夹角为0°或180°；若θ＝0°，则a ·b ＝|a ||b |＝6；若θ＝180°，则a ·b ＝－|a ||b |＝－6.当a ⊥b 时，a ·b ＝0.6.3π4 解析 cos θ＝－1×2＋3×(－1)(－1)2＋3222＋(－1)2＝－510×5＝－22，又θ∈[0,2π]．∴θ＝3π4. 7. 6 解析 ∵|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝4，即|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4，得1－2a ·b ＋4＝4，∴2a ·b ＝1.于是|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋1＋4＝ 6. 8. ①④ 解析 ①|a |2＝a 2是向量数量积的性质，在求模计算中常用；②a ·b a 2＝|a ||b |cos θ|a |2＝|b ||a |cos θ≠ba ；③(a ·b )2＝(|a ||b |cos θ)2＝|a |2|b |2cos 2θ≠a 2·b 2；④(a ＋b )2＝(a ＋b )·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＋b ·a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.9. 120° 解析因为(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝0∴a ·b ＝－12|b |2，设a 与b 的夹角为θ∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12|b |2|a ||b |＝－12，∴θ＝120°.10. 6 解析 ∵a ·b ＝|a |·|b |·cos 60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a ·b ＝|a |2－2|a |－96＝－72，∴|a |＝6，|a |＝－4(舍去)．11. (－8，－12) (－16，－8) 解析 b ·c ＝(－1，－2)·(2,1)＝－1×2＋(－2)×1＝－4，a ·(b ·c )＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12)； a ·b ＝(2,3)·(－1，－2)＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8， (a ·b )·c ＝－8×(2,1)＝(－16，－8)．12. ⎝⎛⎭⎫55，－255或⎝⎛⎭⎫－55，255 解析设b ＝(x ，y )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝14x ＋2y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝55y ＝－255或⎩⎨⎧x ＝－55y ＝25513. 120° 解析依题a ＋b ＝(－1，－2)．设c ＝(x ，y )．而(a ＋b )·c ＝52，∴x ＋2y ＝－52.cos θ＝ac |a ||c |＝x ＋2y5＝－525＝－12.又0°≤θ≤180° ∴a 与c 的夹角为120°.14. 3π2－θ 解析 ∵|a |＝2，|b |＝1 设a 与b 的夹角为α，则cos α＝a ·b |a ||b |＝－2sin θ2＝－sin θ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－θ ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π ∴3π2－θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π 15. 解 (1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝8×⎝⎛⎭⎫－12＝－4. (2)(a －2b )·(a ＋b )＝a ·(a ＋b )－2b ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b －2a ·b －2|b |2＝|a |2－a ·b －2|b |2 ＝16－(－4)－2×4＝12.(3)因为(3a －4b )2＝9|a |2－24a ·b ＋16|b |2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝16×19，所以|3a －4b |＝(3a －4b )2＝16×19＝419.16. 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m ·n ＝|m ||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝ 4×1＋1＋4m ·n ＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m ·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a ·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m ·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－727×7＝－12.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.17. 解在△ABC 中，易知AB →＋BC →＋CA →＝0，即a ＋b ＋c ＝0，因此a ＋c ＝－b ，a ＋b＝－c ，从而⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2＝(－c )2(a ＋c )2＝(－b )2，两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2.因为a ·b ＝c ·a ＝a ·c ，所以2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b | ，故|AB →|＝|BC →|＝|CA →|，即△ABC 是等边三角形． 18.解 (1)AB →＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6) AC →＝(2，－1) ∵AB →·AC →＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，∴AB →⊥AC →，即AB ⊥AC . (2)设D 点的坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y －4)，BC →＝(5,5)， ∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝5(x －2)＋5(y －4)＝0①又BD →＝(x ＋1，y ＋2)，而BD →与BC →共线，∴5(x ＋1)－5(y ＋2)＝0②联立①②，解得x ＝72，y ＝52，故D 点坐标为⎝⎛⎭⎫72，52，∴AD →＝⎝⎛⎭⎫72－2，52－4＝⎝⎛⎭⎫32，－32. (3)cos θ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3×5＋6×532＋6252＋52＝31010. 19. 证明以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图所示．设AD ＝1，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)．∴BC →＝(－1,1)，AC →＝(1,1)∴BC →·AC →＝－1×1＋1×1＝0 ∴BC →⊥AC →，即BC ⊥AC . 20. 解设a 与b 的夹角为θ，|a |＝12＋22＝5， |b |＝ 1＋λ2，a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ＜0且cos θ≠－1，即a·b ＜0且a 与b 不反向．由a·b ＜0得1＋2λ＜0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为－∞，－12.(3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ＞0，且cos θ≠1，即a·b ＞0且a ，b 不同向．由a·b ＞0，得λ＞－12，由a 与b 同向得λ＝2. 所以λ的取值范围为－12，2∪(2，＋∞).。

苏教版高中数学必修4平面向量的数量积单元练习.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作平面向量的数量积单元练习一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在题后的相应位置上．1．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在b 方向上的投影为________． 2．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.3．已知|a |＝1，|b |＝2，|c |＝4，a 与c 的夹角为90°，b 与c 的夹角为60°，则(a ＋b )·c ＝________.4．设|a |＝3，|b |＝5，且a ＋λb 与a －λb 垂直，则λ＝________.5．已知|a |＝2，|b |＝3，若a ∥b ，则a ·b ＝________；若a ⊥b ，则a ·b ＝________. 6．已知a ＝(－1,3)，b ＝(2，－1)，则a 与b 的夹角为________． 7．若向量|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，则|a ＋b |＝________. 8．下列等式中，其中正确的是________．①|a |2＝a 2；②a ·b a 2＝ba；③(a ·b )2＝a 2·b 2；④(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.9．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________． 10．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为________． 11．已知a ＝(2,3)，b ＝(－1，－2)，c ＝(2,1)，则a ·(b ·c )＝________，(a ·b )·c ＝________. 12．已知a ＝(4,2)，与a 垂直的单位向量b ＝________.13．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为________．14．已知向量a ＝(2cos θ，2sin θ)，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则向量a 与b 的夹角为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知向量a 与b 的夹角θ＝120°，且|a |＝4，|b |＝2，求： (1)a ·b ；(2)(a －2b )·(a ＋b )；(3)|3a －4b |.16．设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．17．在△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，判断△ABC 的形状．18．已知在△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD . (1)求证：AB ⊥AC ；(2)求点D 和向量AD →的坐标； (3)设∠ABC ＝θ，求cos θ.19．已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12AB ，求证：AC ⊥BC .20．已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．参考答案1.125 解析 |a |·cos θ＝a ·b |b |＝125. 2. 23 解析 ∵|a |＝2，∴|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12，∴|a ＋2b |＝2 3.3. 4 解析 (a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ＝|b ||c |cos 60°＝2×4×12＝4.4. ±35 解析 (a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝9－25λ2＝0，∴λ＝±35.5. ±6 0 解析当a ∥b 时，则a 与b 的夹角为0°或180°；若θ＝0°，则a ·b ＝|a ||b |＝6；若θ＝180°，则a ·b ＝－|a ||b |＝－6.当a ⊥b 时，a ·b ＝0.6.3π4 解析 cos θ＝－1×2＋3×(－1)(－1)2＋3222＋(－1)2＝－510×5＝－22，又θ∈[0,2π]．∴θ＝3π4. 7. 6 解析 ∵|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝4，即|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4，得1－2a ·b ＋4＝4，∴2a ·b ＝1.于是|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋1＋4＝ 6. 8. ①④ 解析 ①|a |2＝a 2是向量数量积的性质，在求模计算中常用；②a ·b a 2＝|a ||b |cos θ|a |2＝|b ||a |cos θ≠ba ；③(a ·b )2＝(|a ||b |cos θ)2＝|a |2|b |2cos 2θ≠a 2·b 2；④(a ＋b )2＝(a ＋b )·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＋b ·a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.9. 120° 解析因为(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝0∴a ·b ＝－12|b |2，设a 与b 的夹角为θ∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12|b |2|a ||b |＝－12，∴θ＝120°.10. 6 解析 ∵a ·b ＝|a |·|b |·cos 60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a ·b ＝|a |2－2|a |－96＝－72，∴|a |＝6，|a |＝－4(舍去)．11. (－8，－12) (－16，－8) 解析 b ·c ＝(－1，－2)·(2,1)＝－1×2＋(－2)×1＝－4，a ·(b ·c )＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12)； a ·b ＝(2,3)·(－1，－2)＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8， (a ·b )·c ＝－8×(2,1)＝(－16，－8)．12. ⎝⎛⎭⎫55，－255或⎝⎛⎭⎫－55，255 解析设b ＝(x ，y )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝14x ＋2y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝55y ＝－255或⎩⎨⎧x ＝－55y ＝25513. 120° 解析依题a ＋b ＝(－1，－2)．设c ＝(x ，y )．而(a ＋b )·c ＝52，∴x ＋2y ＝－52.cos θ＝ac |a ||c |＝x ＋2y5＝－525＝－12.又0°≤θ≤180° ∴a 与c 的夹角为120°.14. 3π2－θ 解析 ∵|a |＝2，|b |＝1 设a 与b 的夹角为α，则cos α＝a ·b |a ||b |＝－2sin θ2＝－sin θ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－θ ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π ∴3π2－θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π 15. 解 (1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝8×⎝⎛⎭⎫－12＝－4. (2)(a －2b )·(a ＋b )＝a ·(a ＋b )－2b ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b －2a ·b －2|b |2＝|a |2－a ·b －2|b |2 ＝16－(－4)－2×4＝12.(3)因为(3a －4b )2＝9|a |2－24a ·b ＋16|b |2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝16×19，所以|3a －4b |＝(3a －4b )2＝16×19＝419.16. 解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m ·n ＝|m ||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝ 4×1＋1＋4m ·n ＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m ·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7，a ·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m ·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－727×7＝－12.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.17. 解在△ABC 中，易知AB →＋BC →＋CA →＝0，即a ＋b ＋c ＝0，因此a ＋c ＝－b ，a ＋b＝－c ，从而⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2＝(－c )2(a ＋c )2＝(－b )2，两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2.因为a ·b ＝c ·a ＝a ·c ，所以2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b | ，故|AB →|＝|BC →|＝|CA →|，即△ABC 是等边三角形． 18.解 (1)AB →＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6) AC →＝(2，－1) ∵AB →·AC →＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，∴AB →⊥AC →，即AB ⊥AC . (2)设D 点的坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y －4)，BC →＝(5,5)， ∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝5(x －2)＋5(y －4)＝0①又BD →＝(x ＋1，y ＋2)，而BD →与BC →共线，∴5(x ＋1)－5(y ＋2)＝0②联立①②，解得x ＝72，y ＝52，故D 点坐标为⎝⎛⎭⎫72，52，∴AD →＝⎝⎛⎭⎫72－2，52－4＝⎝⎛⎭⎫32，－32. (3)cos θ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3×5＋6×532＋6252＋52＝31010. 19. 证明以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图所示．设AD ＝1，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)．∴BC →＝(－1,1)，AC →＝(1,1)∴BC →·AC →＝－1×1＋1×1＝0 ∴BC →⊥AC →，即BC ⊥AC . 20. 解设a 与b 的夹角为θ，|a |＝12＋22＝5， |b |＝ 1＋λ2，a·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以a·b ＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos θ＜0且cos θ≠－1，即a·b ＜0且a 与b 不反向．由a·b ＜0得1＋2λ＜0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为－∞，－12.(3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos θ＞0，且cos θ≠1，即a·b ＞0且a ，b 不同向．由a·b ＞0，得λ＞－12，由a 与b 同向得λ＝2. 所以λ的取值范围为－12，2∪(2，＋∞).。

2019版高考一轮复习文数(苏教版)练习：第五章第三节平面向量的数量积及平面向量应用举例

一、填空题1．已知点A (－1,0)、B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →⊥a ，则实数k 的值为________．解析：AB →＝(2,3)，a ＝(2k －1,2)，由AB →⊥a 得2×(2k －1)＋6＝0，解得k ＝－1. 答案：－12．已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,4)，则△ABC 的形状是________．解析：AB →＝(1,1)，AC →＝(－3,3)，知AB →·AC →＝0，故△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形3．设O 为△ABC 的外心，OD ⊥BC 于D ，且|AB →|＝3，|AC →|＝1，则AD →·(AB →－AC →)的值是________．解析：由已知，D 为BC 的中点，AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AD →·(AB →－AC →)＝12(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝12(|AB →|2－|AC →|2)＝1.答案：14．设向量a ＝(cos 55°，sin 55°)，b ＝(cos 25°，sin 25°)，若t 是实数，则|a －t b |的最小值为________．解析：因为|a －t b |＝(a －t b )2＝|a |2＋|t b |2－2t a ·b ＝1＋t 2－2ta ·b ，而a ·b ＝(cos 55°，sin 55°)·(cos 25°，sin 25°)＝cos 55°×cos 25°＋sin 55°×sin 25°＝cos (55°－25°)＝32，所以|a －t b |＝1＋t 2－2t a ·b ＝t 2－3t ＋1＝ (t －32)2＋14，故|a －t b |的最小值为12.答案：125．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是________．解析：a ·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，而cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－23，∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝6×(－23)＝－4.答案：－46．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj 且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．解析：a ·b ＝(i －2j )·(i ＋λj )＝1－2λ>0，λ<12，又a 、b 同向共线时，a ·b >0，∴a ＝kb (k >0)，i －2j ＝k (i ＋λj )，∴⎩⎨⎧k ＝1，－2＝kλ，∴λ＝－2，∴a 、b 夹角为锐角的λ的取值范围是 (－∞，－2)∪(－2，12)．答案：(－∞，－2)∪(－2，12)7．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1，那么c ＝________.解析：由题知AB →·AC →＋BA →·BC →＝2，即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →)＝(AB →)2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2. 答案： 28．已知单位向量a ，b 满足|ka ＋b |＝3|a －kb |(k >0)，则a ·b 的最小值为________．解析：把|ka ＋b |＝3|a －kb |两边平方并化简得a ·b ＝k 2＋14k ＝14(k ＋1k )≥12(∵k >0)．故a ·b 的最小值为12.答案：129．已知△ABO 三顶点坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，且满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．解析：由已知得(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，且(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，即x ≤1且y ≥2，所以OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝－x ＋2y ≥－1＋4＝3.答案：3二、解答题10．已知向量a ＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b ＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R.(1)求|a |2＋|b |2的值；(2)若a ⊥b ，求θ；(3)若θ＝π20，求证：a ∥b . 解析：(1)因为|a |＝cos 2(λθ)＋cos 2[(10－λ)θ]，|b |＝sin 2[(10－λ)θ]＋sin 2(λθ)，所以|a |2＋|b |2＝2.(2)因为a ⊥b ，所以cos λθ·sin (10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0.所以sin [(10－λ)θ＋λθ]＝0，所以sin 10θ＝0，所以10θ＝k π，k ∈Z ，所以θ＝k π10，k ∈Z.(3)证明：因为θ＝π20，所以cos λθ·sin λθ－cos(10－λ)θ·sin (10－λ)θ＝cos λπ20·sin λπ20－cos(π2－λπ20)·sin(π2－λπ20)＝cos λπ20·sin λπ20－sin λπ20·cos λπ20＝0，所以a ∥b .11．设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，求实数t 的范围．解析：由向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，得(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)|2te 1＋7e 2|·|e 1＋te 2|<0，即(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0，化简即得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12，当夹角为π时，也有(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0，但此时夹角不是钝角，2te 1＋7e 2与e 1＋te 2反向．设2te 1＋7e 2＝λ(e 1＋te 2)，λ<0，可得⎩⎨⎧ 2t ＝λ7＝λt λ<0，∴⎩⎨⎧ λ＝－14t ＝－142 .因此所求实数t 的范围是(－7，－142)∪(－142，－12)．12．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin 2x ，1－cos 2x )，c ＝(0,1)，x ∈(0，π)．(1)向量a ，b 是否共线？并说明理由；(2)求函数f (x )＝|b |－(a ＋b )·c 的最大值．解析：(1)b ＝(sin 2x,1－cos 2x )＝(2sin x cos x,2sin 2x )＝2sin x (cos x ，sin x )＝2sin x ·a ，且|a |＝1，即a ≠0.∴a 与b 共线．(2)f (x )＝|b |－(a ＋b )·c＝2sin x －(cos x ＋sin 2x,1－cos 2x ＋sin x )·(0,1)＝2sin x －1＋cos 2x －sin x ＝sin x －1＋1－2sin 2x＝－2sin 2x ＋sin x ＝－2(sin x －14)2＋18，∴当sin x ＝14时，f (x )有最大值18.。

江苏省高考数学第四章平面向量的数量积及应用举例刷好题练能力文

第3讲平面向量的数量积及应用举例1．(2019·无锡质检)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(5，－3)，则a ·b 的值为________．解析：因为a ·b ＝(2，1)·(5，－3)＝10－3＝7. 答案：72．等边三角形ABC 的边长为1，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________．解析：由题意知|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 与b 的夹角为120°，b 与c 的夹角为120°，c 与a 的夹角也为120°.故a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－32.答案：－323．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 不共线，若向量a ＋k b 与a －k b 垂直，则k ＝________．解析：因为(a ＋k b )⊥(a －k b )，所以(a ＋k b )·(a －k b )＝0，即|a |2－k 2|b |2＝0.又因为|a |＝3，|b |＝4，所以k 2＝916，即k ＝±34.答案：±344．(2019·南京市高三年级第三次模拟考试)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，D 为边BC 上一点．若AB →·AD →＝5，AC →·AD →＝－23，则AB →·AC →的值为________．解析：因为D 为BC 边上一点，所以可设AD →＝x AB →＋y AC →，x ＋y ＝1，x >0，y >0 ①，则AB →·AD →＝AB →·(x AB →＋y AC →)＝9x ＋y AB →·AC →＝5 ②，AC →·AD →＝AC →·(x AB →＋y AC →)＝x AB →·AC →＋4y ＝－23 ③，联立①②③，可得AB →·AC →＝－3或223，当AB →·AC →＝223时不满足x ，y >0，舍去，故AB →·AC →＝－3.答案：－35．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：由题意得：c ·a |c ||a |＝c ·b |c ||b |⇒c ·a |a |＝c ·b |b |⇒5m ＋85＝8m ＋2025⇒m ＝2.答案：26．(2019·南通市高三第一次调研测试)在△ABC 中，若BC →·BA →＋2AC →·AB →＝CA →·CB →，则sin Asin C的值为________．解析：由BC →·BA →＋2AC →·AB →＝CA →·CB →，得2bc ×b 2＋c 2－a 22bc ＋ac ×a 2＋c 2－b 22ac ＝ab ×a 2＋b 2－c 22ab，化简可得a ＝2c .由正弦定理得sin A sin C ＝ac ＝ 2.答案： 27．(2019·南京高三模拟)在凸四边形ABCD 中，BD ＝2，且AC →·BD →＝0，(AB →＋DC →)·(BC →＋AD →)＝5，则四边形ABCD 的面积为________．解析：(AB →＋DC →)·(BC →＋AD →)＝(CB →－CA →＋DC →)·(DC →－DB →＋AD →)＝(DB →＋AC →)·(AC →－DB →)＝AC 2→－DB 2→＝5，即AC 2－BD 2＝5.因为BD ＝2，所以AC ＝3，所以四边形ABCD 的面积为12AC ×BD ＝12×2×3＝3.答案：38．(2019·徐州月考)平面向量a ，b 满足|a |＝2，|a ＋b |＝4，且向量a 与向量a ＋b 的夹角为π3，则|b |为________．解析：因为向量a 与向量a ＋b 的夹角为π3，所以cos π3＝（a ＋b ）·a |a ＋b |·|a |＝a 2＋a ·b|a ＋b |·|a |＝4＋a ·b 4×2，解得a ·b ＝0，即a ⊥b .所以|a |2＋|b |2＝|a ＋b |2，从而解得，|b |＝2 3.答案：2 39．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，O 为BC 的垂直平分线上一点，则AO →·BC →＝________．解析：取BC 边的中点D ，连结AD ，则AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12(62－102)＝－32. 答案：－3210.(2019·南京市、盐城市高三年级第一次模拟考试)如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A ，B ，C ，D 四点均位于图中的“晶格点”处，且A ，B 的位置如图所示，则AB →·CD →的最大值为________．解析：以B 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．因为正六边形的边长均为1，所以B (0，0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫32，92，当CD →在AB →方向上的投影最大时，AB →·CD →最大．C ，D 两点位于图中的“晶格点”处，由蜂巢结构图的对称性，取C (0，5)，当D 的坐标为(－3，0)时，AB →·CD →最大，此时AB →·CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－92·(－3，－5)＝24.答案：2411.如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →.(1)如果BP →＝2PA →，求x ，y 的值；(2)如果BP →＝3PA →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°时，求OP →·AB →的值．解：(1)由BP →＝2PA →，所以OP →－OB →＝2(－OP →＋OA →)，即3OP →＝2OA →＋OB →，所以x ＝23，y ＝13.(2)OP →＝OB →＋BP →＝OB →＋34BA →＝OB →＋34(OA →－OB →)＝34OA →＋14OB →，AB →＝OB →－OA →，所以OP →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34OA →＋14OB →·(OB →－OA →)＝－34OA →2＋14OB →2＋12OA →·OB →＝－9.12．已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解：(1)证明：因为m ∥n ，所以a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b2R ，其中R 是三角形ABC 外接圆的半径，所以a ＝b .所以△ABC 为等腰三角形．(2)由题意可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0. 所以a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0，所以ab ＝4(舍去ab ＝－1)，所以S ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.1．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．解析：a 与b 的夹角为锐角，则a ·b ＞0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ＞0，2λ－6λ2≠0，解得λ＜－43或0＜λ＜13或λ＞13，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞2．在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝________.解析：建立如图所示的直角坐标系，则A (2，0)，B (0，2)，P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43， P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，所以CP 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43，CP 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，CB →＝(0，2)，CA →＝(2，0)，所以CB →＋CA →＝(2，2)．故CP 1→·CB →＋CP 1→·CA →＝CP 1→·(CB →＋CA →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43·(2，2)＝43＋83＝4， CP 2→·CB →＋CP 2→·CA →＝CP 2→·(CB →＋CA →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23·(2，2)＝83＋43＝4. 答案：43.(2019·南通市、泰州市高三第一次调研测试)如图，已知矩形ABCD 的边长AB ＝2，AD ＝1，点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠PAQ＝45°，则AP →·AQ →的最小值为________．解析：法一：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，设P (2，y )，y ∈[0，1]，Q (x ，1)，x ∈[0，2]，因为∠PAQ ＝45°，所以22＝AP →·AQ→|AP →|·|AQ →|＝2x ＋y4＋y 2·x 2＋1，化简得2x ＋y ＝2－xy ，则y ＝2－2x 1＋x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1，则AP →·AQ →＝2x ＋y ＝2x ＋2－2x 1＋x ＝2(1＋x )＋41＋x－4≥22（1＋x ）·41＋x－4＝42－4，当且仅当x ＝2－1时取等号，因为2－1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1，所以AP →·AQ →的最小值是42－4.法二：设∠BAP ＝α，α∈[0，α0]，tan α0＝12，则∠DAQ ＝π4－α，AP ＝2cos α，AQ＝1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则AP →·AQ →＝2cos α×1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α×22＝222cos α（cos α＋sin α）＝2cos 2 α＋sin αcos α ＝4sin 2α＋cos 2α＋1＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋1≥42＋1＝42－4，当且仅当α＝π8时取等号，故AP →·AQ →的最小值是42－4.答案：42－44．(2019·苏锡常镇四市高三调研)在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为________．解析：由题意可得AB →·AC →＝1×2×12＝1，AB →·AP →＝AB →2＋λAB →·AC →＝1＋λ，AP →·AC →＝1＋4λ，AP 2→＝AB 2→＋2λAB →·AC →＋λ2AC 2→＝4λ2＋2λ＋1，又BP →·CP →＝1，则(AP →－AB →)·(AP →－AC →)＝AP 2→－AP →·AC →－AP →·AB →＋AB →·AC →＝1，代入化简得4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－14或λ＝1.答案：－14或15．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.解：(1)由题设知AB →＝(n －8，t )，因为AB →⊥a ，所以8－n ＋2t ＝0.又因为5|OA →|＝|AB →|，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8. 当t ＝8时，n ＝24；t ＝－8时，n ＝－8，所以OB →＝(24，8)，或OB →＝(－8，－8)． (2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )，因为AC →与a 共线，所以t ＝－2k sin θ＋16，t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－4k 2＋32k . 因为k >4，所以1>4k>0，所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k.由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →＝(4，8)．所以OA →·OC →＝(8，0)·(4，8)＝32.6．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c 边的长．解：(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )，对于△ABC ，A ＋B ＝π－C ，0＜C ＜π，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得 2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b . 因为CA →·(AB →－AC →)＝18，所以CA →·CB →＝18，即ab cos C＝18，ab＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab，所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，所以c＝6.。

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