2018-2019学年数学高考江苏专版二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(十四)统计、概率与算法-含解析

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江苏专版2018年高考数学二轮复习14个填空题综合仿真练七

14个填空题综合仿真练(七)1．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝(－∞，0)，则A ∩B ＝________. 解析：A ∩B ＝{－1,0,1}∩(－∞，0)＝{－1}．答案：{－1}2．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝________.解析：2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.答案：1＋i3．某路段检测点对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为频率分布直方图，如图所示，则车速不小于90 km/h 的汽车约有________辆．解析：车速不小于90 km/h 的频率为(0.01＋0.02)×10＝0.3，车辆数为200×0.3＝60. 答案：604．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．解析：因为半圆面的面积为12πl 2＝2π，所以l 2＝4，解得l ＝2，即圆锥的母线为l ＝2，底面圆的周长2πr ＝πl ＝2π，所以圆锥的底面半径r ＝1，所以圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3，所以圆锥的体积为13πr 2h ＝13×π×3＝3π3.答案：3π35．已知A ，B ∈{－3，－1,1,2}且A ≠B ，则直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0的概率为________．解析：所有的基本事件(A ，B )为(－3，－1)，(－1，－3)，(－3,1)，(1，－3)，(－3,2)，(2，－3)，(－1,1)，(1，－1)，(－1,2)，(2，－1)，(1,2)，(2,1)，共12种，其中(－3，－1)，(－1，－3)，(1,2)，(2,1)能使直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0，所以所求的概率为P ＝412＝13.答案：136．如图所示的算法流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 的值为________．解析：根据算法流程图执行程序循环结果依次为：当n ＝1答案：547．若a >0，b >2，且a ＋b ＝3，则使得4a ＋1b －2取得最小值时，实数a ＝________.解析：∵a ＞0，b ＞2，且a ＋b ＝3，∴a ＋b －2＝1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b －2[a ＋(b －2)]＝4＋1＋b －a ＋ab －2≥5＋2b －a·ab －2＝9，当且仅当2(b －2)＝a 时即取等号．联立⎩⎪⎨⎪⎧b －＝a ，a ＋b ＝3，解得a ＝23.答案：238．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为________．解析：由题意，c －a 2c＝2a ，即c 2－2ac －a 2＝0，即e 2－2e －1＝0，解得e ＝1±2，又∵e >1，故e ＝1＋ 2.答案：1＋ 29．已知函数f (x )＝x ＋2|x |＋2，x ∈R ，则f (x 2－2x )<f (3x －4)的解集是________．解析：由题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1－4x －2，x <0，故若要使不等式成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x <0，x 2－2x <3x －4，得1<x <2.答案：(1,2)10．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝3，且数列{S n }也为等差数列，则a 11＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d (d >0)， ∵a 1＝3，且数列{S n }为等差数列， ∴2S 2＝a 1＋S 3， ∴26＋d ＝3＋9＋3d ，即d 2－12d ＋36＝0，解得d ＝6， ∴a 11＝3＋10×6＝63. 答案：6311．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－t,0)(t >0)，B (t,0)，点C 满足AC ―→·BC ―→＝8，且点C 到直线l ：3x －4y ＋24＝0的最小距离为95，则实数t 的值是________．解析：设C (x ，y )，则AC ―→·BC ―→＝(x ＋t ，y )·(x －t ，y )＝x 2＋y 2－t 2＝8，所以点C 的轨迹为以原点为圆心， 8＋t 2为半径的圆，故圆心到直线的距离d ＝245＝95＋8＋t 2，解得t ＝1(负值舍去)．答案：112．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ，则C ＝________.解析：由题意知a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ，① 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，②由①－②可得，2b 2＋2c 2＝23bc sin A －2bc cos A ，化简得，b 2＋c 2＝3bc sin A －bc cos A ，整理得b 2＋c 2＝2bc sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6，∵b 2＋c 2≥2bc ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，∴A ＝2π3，此时b 2＋c 2＝2bc ，故得b ＝c ，即B ＝C ，∴C ＝π6.答案：π613．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x 2，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2(f (a ))2的a 的取值范围为________．解析：设t ＝f (a )，所以f (f (a ))＝2(f (a ))2可化为f (t )＝2t 2，由函数式得3t －1＝2t 2(t <1)或2t 2＝2t 2(t ≥1)，所以t ＝12或t ≥1，即f (a )＝12或f (a )≥1，所以a ＝12或a ≥23，因此a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞14．已知函数f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2，若图象上存在两个不同的点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＞x 2)，使得f (x 1)－f (x 2)≤4(x 1－x 2)成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意可得，f (x )＝a ln x ＋x 2＋2x ＋1，f ′(x )＝ax＋2(x ＋1)，由题意知，存在x ＞0，使得f ′(x )≤4成立，即存在x ＞0，使得a ≤－2x 2＋2x 成立，设g (x )＝－2x 2＋2x＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12，其最大值为12，因而a ≤12.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12。

江苏省2019高考数学二轮复习自主加餐的3大题型14个填空题强化练九数列含解析

14个填空题专项强化练(九)　数　列A 组——题型分类练题型一　等差、等比数列的基本运算1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＝7，S 7＝－7，则a 7的值为________．解析：因为等差数列{a n }满足a 2＝7，S 7＝－7，所以S 7＝7a 4＝－7，a 4＝－1，所以d ＝＝－4，所以a 7＝a 2＋5d ＝－13.a 4－a 24－2答案：－132．(2018·盐城高三模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)　①，当n ＝1时，得a 1＝－1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋n －1　②，①－②，得a n ＝2a n －2a n －1＋1(n ≥2)，即a n －1＝2(a n －1－1)(n ≥2)，则数列{a n －1}是以－2为首项，2为公比的等比数列，则a n －1＝－2×2n －1＝－2n ，a 1＝－1符合上式．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1－2n .答案：1－2n3．已知等比数列{a n }的各项均为正数，若a 4＝a ，a 2＋a 4＝，则a 5＝________.2516解析：法一：设等比数列{a n }的首项为a 1(a 1>0)，公比为q (q >0)，由题意Error!解得Error!所以a 5＝a 1q 4＝.132法二：(整体思想)依题意由Error!得16a ＋16a 2－5＝0，即(4a 2＋5)(4a 2－1)＝0，又等2比数列{a n }各项均为正数，所以a 2＝，从而a 4＝，从而由q 2＝＝，又q >0，所以q ＝，a 5＝14116a 4a 21412a 4q ＝×＝.11612132答案：132[临门一脚]1．等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．2．在等差、等比混合后考查基本量的计算容易造成公式和性质混淆，从而造成计算失误．3．等差、等比数列的通项公式：等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m (a 1≠0，q ≠0)．4．等差、等比数列的前n 项和：(1)等差数列的前n 项和为：S n ＝＝na 1＋d ＝n 2＋n (二次n a 1＋a n2n n －12d 2(a 1－d2)函数)．特别地，当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0，即可设S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．(2)等比数列的前n 项和为：S n ＝Error!特别地，若q ≠1，设a ＝，则S n ＝a －aq n ，要注意对q 是否等于1讨论．a 11－q题型二　等差、等比数列的性质1．(2018·苏北四市质检)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝10，a －a ＝36，282则a 11的值为________．解析：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝5a 5＝10，a 5＝2，则a －a ＝282(a 8＋a 2)(a 8－a 2)＝12a 5d ＝24d ＝36，d ＝，则a 11＝a 5＋6d ＝11.32答案：112．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若＝3，则＝________.S 4S 2S 6S4解析：设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴＝＝.S 6S 47k 3k 73答案：733．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋lna 20＝________.解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.答案：504．已知数列{a n }是等差数列，且a n >0，若a 1＋a 2＋…＋a 100＝500，则a 50·a 51的最大值为________．解析：法一：设等差数列{a n }的公差为d (d ≥0)，由题意得，100a 1＋4 950d ＝500，所以a 1＝5－49.5d ，所以a 50·a 51＝(a 1＋49d )·(a 1＋50d )＝(5－0.5d )·(5＋0.5d )＝－0.25d 2＋25.又d ≥0，所以当d ＝0时，a 50·a 51有最大值25.法二：由等差数列的性质知，50(a 50＋a 51)＝500，即a 50＋a 51＝10，所以由基本不等式得a 50·a 51≤2＝25，当且仅当a 50＝a 51＝5时取等号，所以a 50·a51有最大值25.(a 50＋a 512)答案：255．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，若＝，则使得A n B n 7n ＋45n ＋3a nbn为整数的正整数n 的个数是________．解析：由＝＝＝a nb n A 2n －1B 2n －17 2n －1 ＋45 2n －1 ＋37n ＋19n ＋1＝＝7＋.因此n ∈N *，∈N *，7 n ＋1 ＋12n ＋112n ＋1a n b n 故n ＋1＝2,3,4,6,12，即n 共有5个．答案：5[临门一脚]1．若序号m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；在等比数列中，则有a m ·a n ＝a p ·a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a；该性质还可以运用于更多项之间的关系．2p 2．在等差数列{a n }中，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，其公差为kd ；其中S n 为前n 项的和，且S n ≠0(n ∈N *)；在等比数列{a n }中，当q ≠－1或k 不为偶数时S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其中S n 为前n 项的和(n ∈N *)．题型三　数列的综合问题1．已知等比数列{a n }的前4项和为5，且4a 1，a 2，a 2成等差数列，若b n ＝，321log 23a n ＋1则数列{b n b n ＋1}的前10项和为________．解析：由4a 1，a 2，a 2成等差数列，可得4a 1＋a 2＝3a 2，则2a 1＝a 2，则等比数列{a n }的32公比q ＝＝2，则数列{a n }的前4项和为＝5，解得a 1＝，所以a n ＝×2n －1，b n ＝a 2a 1a 1 1－24 1－21313＝，则b n b n ＋1＝＝－，其前10项和为＋＋…＋1log 23a n ＋11n 1n n ＋1 1n 1n ＋1(1－12)(12－13)(110－111)＝.1011答案：10112．对于数列{a n }，定义数列{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，且b n ＋1－b n ＝1(n ∈N *)，a 3＝1，a 4＝－1，则a 1＝________.解析：由a 3＝1，a 4＝－1及b n ＝a n ＋1－a n 得b 3＝a 4－a 3＝－2，又由b n ＋1－b n ＝1得数列{b n }是等差数列，b n ＝b 3＋(n －3)×1＝n －5，所以a n ＋1－a n ＝n －5，从而得a 3－a 2＝－3⇒a 2＝4，a 2－a 1＝－4⇒a 1＝8.答案：83．(2018·南京四校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝8n －n 2，令b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，设数列{b n }的前n 项和为T n ，当T n 取得最大值时，n ＝________.解析：法一：当n ＝1时，a 1＝7；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝9－2n ，经检验，n ＝1时也符合，故a n ＝9－2n ，则b n ＝a n a n ＋1a n ＋2＝(9－2n )(7－2n )(5－2n )，当T n 取得最大值时，应满足{b n }的前n 项均为非负项．令b n ≥0得，n ≤2.5或3.5≤n ≤4.5，又n ∈N *，所以n ＝1,2,4，而T 1＝105，T 2＝120，T 4＝120，故当T n 取得最大值时，n ＝2或4.法二：由S n ＝8n －n 2知，数列{a n }为等差数列，且a n ＝9－2n ，即7,5,3,1，－1，－3，－5，－7，…，枚举知，T 1＝105，T 2＝120，T 3＝117，T 4＝120，T 5＝105，…，故当T n 取得最大值时，n ＝2或4.答案：2或44．在等差数列{a n }中，首项a 1＝3，公差d ＝2，若某学生对其中连续10项进行求和，在漏掉一项的前提下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为________．解析：由已知条件可得数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1，设连续10项为a i ＋1，a i ＋2，a i ＋3，…，a i ＋10，i ∈N ，设漏掉的一项为a i ＋k,1≤k ≤10，由－a i ＋k ＝185， a i ＋1＋a i ＋10 ×102得(2i ＋3＋2i ＋21)×5－2i －2k －1＝185，即18i －2k ＝66，即9i －k ＝33，所以34≤9i ＝k ＋33≤43,3<≤i ≤<5，所以i ＝4，此时，由36＝33＋k 得k ＝3，所以a i ＋k ＝a 7＝15，故349439此连续10项的和为200.答案：200[临门一脚]1．数列求和的方法主要有错位相减法、倒序相加法、公式法、拆项并项法、裂项相消法等．2．根据递推关系式求通项公式的方法有累加法，累积法，待定系数法，取倒数、取对数等．3．数列单调性可以用定义研究，也可以构造函数进行研究，要注意数列和所构造函数的定义域的差别．B 组——高考提速练1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＝1，a 4＝5，则S 5＝________.解析：法一：由等差数列的通项公式，得5＝1＋2d ，则d ＝2，a 1＝－1，S 5＝5×(－1)＋×2＝15.5×42法二：S 5＝＝＝＝15.5 a 1＋a 5 25 a 2＋a 4 25×62答案：152．在数列{a n }中，a 1＝3，且对任意大于1的正整数n ，－＝，则a n ＝________.a n a n －13解析：由定义知{}是以为首项，以为公差的等差数列，故＝n ，即a n ＝3n 2.a n 33a n 3答案：3n 23．在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 7＝________.解析：法一：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，所以q 2·q 4＝4(q 3－1)，即q 6－4q 3＋4＝0，q 3＝2，所以a 7＝q 6＝4.法二：设等比数列{a n }的公比为q, 由a 3a 5＝4(a 4－1)得a ＝4(a 4－1)，即a －4a 4＋4＝0，2424所以a 4＝2，因为a 1＝1，所以q 3＝2，a 7＝q 6＝4.答案：44．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由Error!得Error!即Error!解得d ＝4.答案：45．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＝3，S 3＋S 4＝，则a 3＝________.533解析：因为等比数列{a n }的公比q ＝3，所以S 3＋S 4＝2S 3＋a 4＝2a 3＋3a 3＝a 3＝，所以a 3＝3.(1＋13＋19)539533答案：36．设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝a ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，2则a 10＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由S 3＝a 得3a 2＝a ，解得a 2＝0或a 2＝3.22又由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S ＝S 1S 4.若a 2＝0，则S 1＝S 2＝a 1≠0，S 2＝S 4＝a 1，a 2＋a 3＋a 4＝23a 3＝0，a 3＝0，则d ＝0，故a 2＝0舍去；若a 2＝3，则S 1＝3－d ，S 2＝6－d ，S 4＝12＋2d ，有(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )(d ≠0)，得d ＝2，此时a 10＝a 2＋8d ＝19.答案：197．在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }的前n 项和，若S n 取得最大值，则n ＝________.解析：因为3a 4＝7a 7，所以3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )，所以a 1＝－d >0，所以d <0，334所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(4n －37)，d4当n ≤9时，a n >0，当n ≥10时，a n <0，所以使S n 取得最大值的n ＝9.答案：98．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯________盏．解析：每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝＝381，解得a 1＝3.a 1 1－271－2答案：39．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.故“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充要条件．答案：充要10．设数列满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n ∈N *)，则(a k ak ＋1)的值为________．{a n }100∑k ＝1解析：因为(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1，所以a n －a n ＋1－a n a n ＋1＝0，从而－＝1，＝1，1an ＋11a n 1a1所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以＝1＋n －1＝n ，所以a n＝，故a n an ＋1{1a n}1a n1n ＝＝－，因此(a k a k ＋1)＝＋＋…＋＝1－＝.1n n ＋1 1n 1n ＋1100∑k ＝1(1－12)(12－13)(1100－1101)1101100101答案：10010111．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足＝9，＝，则数S 2m S m a 2m a m 5m ＋1m －1列{a n }的公比为________．解析：设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.因为＝S 2m S m S 2mS m ＝q m ＋1＝9，所以q m ＝8.所以＝＝q m ＝8＝，所以m ＝3，所以q 3＝a 1 1－q 2m1－q a 1 1－q m 1－qa 2m a m a 1q 2m －1a 1q m －15m ＋1m －18，所以q ＝2.答案：212．数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列的前8项和为{1a n}________．解析：因为a n ＋1－a n ＝n ＋1，所以a 2－a 1＝1＋1，a 3－a 2＝2＋1，a 4－a 3＝3＋1，…a n －a n －1＝(n －1)＋1，以上等式相加，得a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n －1，把a 1＝1代入上式得，a n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＝，n n ＋12∴＝＝2，1a n 2n n ＋1 (1n －1n ＋1)∴数列的前n 项的和{1a n}S n ＝2(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝2＝，(1－1n ＋1)2n n ＋1∴数列的前8项和为.{1a n}169答案：16913．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n >0，若S 6－2S 3＝5，则S 9－S 6的最小值为________．解析：法一：当q ＝1时，S 6－2S 3＝0，不合题意，所以q ≠1，从而由S 6－2S 3＝5得－＝5，从而得＝＝<0，故1－q <0，a 1 1－q 6 1－q 2a 1 1－q 3 1－q a 11－q 5－q 6＋2q 3－15－ q 3－1 2即q >1，故S 9－S 6＝－＝a 1 1－q 9 1－q a 1 1－q 6 1－q·(q 6－q 9)＝，令q 3－1＝t >0，则S 9－S 6＝＝55－ q 3－1 25q 6q 3－15 t ＋1 2t (t ＋1t＋2)≥20，当且仅当t ＝1，即q 3＝2时等号成立．法二：因为S 6＝S 3(1＋q 3)，所以由S 6－2S 3＝5得S 3＝>0，从而q >1，故S 9－S 6＝S 3(q 65q 3－1＋q 3＋1)－S3(q 3＋1)＝S3q 6＝，以下同法一．5q 6q 3－1答案：2014．已知数列{b n }的每一项都是正整数，且b 1＝5，b 2＝7<b 3，数列{a n }是公差为d (d ∈N *)的等差数列，且有a 7＝6，则使得数列{ab n }是等比数列的d 的值为________．解析：法一：ab 1＝a 5＝6－2d ，ab 2＝a 7＝6，易知d ≠3，等比数列{ab n }的公比q ＝＝66－2d，ab n ＝(6－2d )·n －1，又ab n ＝6＋(b n －7)d ，所以6＋(b n －7)d ＝(6－2d )n －1，33－d (33－d )(33－d)所以6＋(b 3－7)d ＝(6－2d )·2，即6＋(b 3－7)d ＝，由b 3>7，得3－d >0，由d ∈N *(33－d )183－d得d ＝1或2，当d ＝1时，b n＝4n －1＋1，不合题意，当d ＝2时，b n＝3n －1＋4，符合题意，(32)所以所求d 的值为2.法二：由数列{ab n }是等比数列得ab 1ab 3＝a 2b 2，而ab n ＝a 7＋(b n －7)d ，所以，由b 1＝5，b 2＝7得，(6－2d )·[6＋(b 3－7)d ]＝36，易知d ≠3，解得b 3－7＝>0，由d ∈N *得，d ＝163－d或2，当d ＝1时，b n ＝4n －1＋1，不合题意，当d ＝2时，b n ＝3n －1＋4，符合题意，所以(32)所求d 的值为2.答案：2。

2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题综合仿真练(四)

14个填空题综合仿真练(四)1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中的元素的个数为________．解析：集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，所以A ∪B 中元素的个数为5.答案：5 2．复数z ＝21－i(其中i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数为________．解析：z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，则复数z 的共轭复数为1－i.答案：1－i3．如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为________．解析：阅读流程图，当k ＝2,3,4,5时，k 2－7k ＋10≤0，一直进行循环，当k ＝6时，k 2－7k ＋10＞0，此时终止循环，输出k ＝6.答案：64．在数字1,2,3,4中随机选两个，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为________．解析：在数字1,2,3,4中随机选两个，基本事件总数n ＝6，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，所以选中的数字中至少有一个是偶数的概率为P ＝1－16＝56.答案：565．双曲线x 25－y 24＝1的右焦点与左准线之间的距离是____________.解析：由已知得，双曲线的右焦点为(3,0)，左准线方程为x ＝－53，所以右焦点与左准线之间的距离是3－⎝⎛⎭⎫－53＝143. 答案：1436．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________．解析：由题意，得840＝n 40＋10＋40＋60，所以n ＝30.答案：307．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，y －x －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________．解析：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，y －x －1≤0，x ≤1，作出可行域如图，化目标函数z ＝2x ＋3y 为y ＝－23x ＋13z ，由图可知，当直线y ＝－23x ＋13z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y －x －1＝0，解得A (1，2)，故z max ＝8.答案：88．底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为________．解析：取点O 为底面ABCD 的中心，则SO ⊥平面ABCD ，取BC的中点E ，连结OE ，SE ，则OE ＝BE ＝1，在Rt △SBE 中，SE ＝SB 2－BE 2＝2，在Rt △SOE 中，SO ＝SE 2－OE 2＝1，从而该正四棱锥的体积V ＝13S 四边形ABCD ·SO ＝13×2×2×1＝43.答案：439．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为________．解析：法一：由题意知，当A 在原点时，PQ 最小，此时，sin ∠PAC＝23，cos ∠PAC ＝73，cos ∠PAQ ＝59，故cos ∠PCQ ＝－59，∴PQ ＝PC 2＋QC 2－2×PC ×QC ×cos ∠PCQ ＝2＋2－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－59＝2143，当A 点离原点无限远时，PQ 接近于22，∴PQ 的取值范围为⎣⎡⎭⎫2143，22.法二：设CA ＝x ，x ∈[3，＋∞)，则PA ＝x 2－2，sin ∠ACP ＝PACA ＝x 2－2x ＝1－2x2，所以PQ ＝2CP ·sin ∠ACP ＝22·1－2x2.因为x ∈[3，＋∞)，所以y ＝1－2x 2在[3，＋∞)上为增函数，所以2143≤PQ <2 2. 答案：⎣⎡⎭⎫2143，2210．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ，x ≤0，ax －ln x ，x >0，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为________．解析：易知函数f (x )在(－∞，0]上有一个零点，所以由题意得方程ax －ln x ＝0在(0，＋∞)上恰有一解，即a ＝ln x x 在(0，＋∞)上恰有一解. 令g (x )＝ln xx ，由g ′(x )＝1－ln x x 2＝0，得x ＝e ，当x ∈(0，e)时，g (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，g (x )单调递减，所以g (x )在x ＝e 处取得极大值也为最大值，作出y ＝g (x )与y ＝a 的图象(图略)，知当正实数a ＝g (x )max 时两函数有一个交点，所以a ＝g (e)＝1e.答案：1e11．设直线l 是曲线y ＝4x 3＋3ln x 的切线，则直线l 的斜率的最小值为________．解析：y ′＝12x 2＋3x(x >0)，令g (x )＝12x 2＋3x ，则g ′(x )＝24x －3x2，令g ′(x )＝0，得x ＝12，故当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，g ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，g ′(x )>0，所以当x ＝12时，g (x )取得最小值g ⎝⎛⎭⎫12＝9，故y ′＝12x 2＋3x 的最小值为9，即直线l 的斜率的最小值为9.答案：912．扇形AOB 中，弦AB ＝1，C 为劣弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP ―→·BP―→的最小值是________．解析：设弦AB 的中点为M ，则OP ―→·BP ―→＝(OM ―→＋MP ―→)·BP ―→＝MP ―→·BP ―→，若MP ―→，BP ―→同向，则OP ―→·BP ―→>0；若MP ―→，BP ―→反向，则OP ―→·BP ―→<0，故OP ―→·BP ―→的最小值在MP ―→，BP ―→反向时取得，此时|MP ―→|＋|BP ―→|＝12，OP ―→·BP ―→＝－|MP ―→|·|BP ―→|≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫|MP ―→|＋|BP ―→|22＝－116，当且仅当|MP ―→|＝|BP ―→|＝14时取等号，即OP ―→·BP ―→的最小值是－116.答案：－11613．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)是直线y ＝3x ＋2上的两点，则tan(α＋β)的值为________．解析：由题意，α，β是方程3cos x －sin x ＋2＝0的两根．设f (x )＝3cos x －sin x ＋2，则f ′(x )＝－3sin x －cos x .令f ′(x )＝0，得tan x 0＝－33，所以α＋β＝2x 0，所以tan(α＋β)＝－ 3. 答案：－ 314．已知函数f (x )＝|x －a |－3x ＋a －2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a 的取值集合为________．解析：f (x )＝⎩⎨⎧x －3x－2，x ≥a ，－x －3x ＋2a －2，x <a ，当x ≥a 时，由x －3x －2＝0，得x 1＝－1，x 2＝3，结合图形知，①当a <－1时，x 3，－1,3成等差数列，则x 3＝－5，代入－x －3x ＋2a －2＝0得，a ＝－95； ②当－1≤a ≤3时，方程－x －3x ＋2a －2＝0，即x 2＋2(1－a )x ＋3＝0，设方程的两根为x 3，x 4，且x 3<x 4，则x 3x 4＝3，且x 3＋3＝2x 4，解得x 4＝3±334，又x 3＋x 4＝2(a －1)，所以a ＝5＋3338.③当a >3时，显然不符合．所以a 的取值集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－95，5＋3338. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－95，5＋3338。

2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题综合仿真练(一) Word版含解析

14个填空题综合仿真练(一)1．已知集合A＝{0,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，则A∩B＝________.解析：因为集合A＝{0,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，所以A∩B＝{0,3}．答案：{0,3}2．已知x＞0，若(x－i)2是纯虚数(其中i为虚数单位)，则x＝________.解析：因为x＞0，(x－i)2＝x2－1－2x i是纯虚数(其中i为虚数单位)，所以x2－1＝0且－2x≠0，解得x＝1.答案：13．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t＝x2－2x－3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)4．从2个白球，2个红球，1个黄球中随机取出2个球，则取出的2球中恰有1个红球的概率是________．解析：将2个白球记为A，B,2个红球记为C，D,1个黄球记为E，则从中任取两个球的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个，恰有1个红球的可能结果为(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(E，C)，(E，D)共6个，故所求概率为P＝610＝3 5.答案：3 55．执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是________．Read xIf x≤2Theny←6xElsey←x＋5End IfPrint y解析：若6x＝13，则x＝136>2，不符合题意；若x＋5＝13，则x＝8>2，符合题意，故x＝8.答案：86．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm2)分别为：9.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为________．解析：这组数据的平均数为15(9.4＋9.7＋9.8＋10.3＋10.8)＝10，方差为15[(10－9.4)2＋(10－9.7)2＋(10－9.8)2＋(10－10.3)2＋(10－10.8)2]＝0.244.答案：0.2447．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<2,0<φ<π)．若x ＝－π4为函数f (x )的一个零点，x ＝π3为函数f (x )图象的一条对称轴，则ω的值为________．解析：函数f (x )的周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝7π3，又T ＝2πω，所以ω＝2π×37π＝67. 答案：678．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB ―→·AC ―→＝3，b ＋c ＝6，则a ＝________.解析：∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，又由AB ―→·AC ―→＝3，得bc cos A ＝3，∴bc ＝5，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )＝36－10×85＝20，解得a ＝2 5.答案：2 59．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－15，则tan α的值为________．解析：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－151－12×⎝⎛⎭⎫－15＝311. 答案：31110．已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,5)，其中a ，b ，c 为常数．则不等式cx 2＋bx ＋a ≤0的解集为________．解析：因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,5)，所以a (x ＋1)(x －5)>0，且a <0，即ax 2－4ax －5a >0，则b ＝－4a ，c ＝－5a ，则cx 2＋bx ＋a ≤0即为－5ax 2－4ax ＋a ≤0，从而5x 2＋4x －1≤0，解得－1≤x ≤15. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，15 11．已知正数x ，y 满足1x ＋2y ＝1，则log 2x ＋log 2y 的最小值为________．解析：由1x ＋2y ＝1，得x ＝y y －2>0，则log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ＝log 2y 2y －2＝log 2(y －2＋2)2y －2＝log 2⎣⎡⎦⎤(y －2)＋4y －2＋4≥log 28＝3，当且仅当(y －2)2＝4，即y ＝4时等号成立，故log 2x ＋log 2y 的最小值为3.答案：312．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －8＝0，直线l ：y ＝k (x －1)(k ∈R)过定点A ，且交圆C 于点B ，D ，过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ，则△AEC 的周长为________．解析：易得圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝9，即半径r ＝3，定点A (－1,0)，因为AE ∥BC ，所以EA ＝ED ，则EC ＋EA ＝EC ＋ED ＝3，从而△AEC 的周长为5.答案：513．设集合A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}，集合B ＝{x |x ＝b n ，n ∈N *}，满足A ∩B ＝∅，且A ∪B ＝N *.若对任意的n ∈N *，b n <b n ＋1，则b 2 017＝________.解析：因为210＝1 024<2 017,211＝2 048>2 017，所以小于等于2 017的正整数中有10个是集合A 中的元素，所以由集合B 的定义可知b 2 017＝2 017＋10＝2 027.答案：2 02714．已知函数f (x )＝kx ，g (x )＝2ln x ＋2e ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2，若f (x )与g (x )的图象上分别存在点M ，N ，使得M ，N 关于直线y ＝e 对称，则实数k 的取值范围是________________．解析：设直线y ＝kx 上的点M (x ，kx )，点M 关于直线y ＝e 的对称点N (x,2e －kx )，因为点N 在g (x )＝2ln x ＋2e ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2的图象上，所以2e －kx ＝2ln x ＋2e ，所以kx ＝－2ln x ．构造函数y ＝kx ，y ＝－2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2，画出函数y ＝－2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2的图象如图所示，设曲线y ＝－2ln x ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 2上的点P (x 0，－2ln x 0)，则k OP ≤k ≤k OB (其中B 为端点，P 为切点)．因为y ′＝－2x ，所以过点P 的切线方程为y ＋2ln x 0＝－2x 0(x －x 0)，又该切线经过原点，所以0＋2ln x 0＝－2x 0(0－x 0)，x 0＝e ，所以k OP ＝－2e.又点B ⎝⎛⎭⎫1e ，2，所以k OB ＝2e ，所以k ∈⎣⎡⎦⎤－2e ，2e . 答案：⎣⎡⎦⎤－2e ，2e。

2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(十五) 推理与证明

14个填空题专项强化练(十五) 推理与证明A 组——题型分类练题型一合情推理1．已知不等式1＋14＜32，1＋14＋19＜53，1＋14＋19＋116＜74，照此规律总结出第n 个不等式为________________________________．解析：由已知，三个不等式可以写成1＋122＜2×2－12，1＋122＋132＜2×3－13，1＋122＋132＋142＜2×4－14，所以照此规律可得到第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1n 2＋1(n ＋1)2＜2(n ＋1)－1n ＋1＝2n ＋1n ＋1.答案：1＋122＋132＋…＋1n 2＋1(n ＋1)2＜2n ＋1n ＋12．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有||OB ―→ ·OA ―→＋||OA ―→·OB ―→＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA ―→＋S △OCA ·OB ―→＋S △OBA ·OC ―→＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________________________________________________________________________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O BCD·OA ―→＋V OACD·OB ―→＋V O ABD ·OC ―→＋V O ABC ·OD ―→＝0. 答案：V OBCD ·OA ―→＋V O ACD ·OB ―→＋V O ABD ·OC ―→＋V O ABC ·OD ―→＝0 3．观察下列等式：21＋2＝4，21×2＝4；32＋3＝92，32×3＝92；43＋4＝163，43×4＝163；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n 的等式，这个等式可以表示为________________________．解析：由归纳推理得n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1＋(n 2＋n )n ＝(n ＋1)2n ， n ＋1n ×(n ＋1)＝(n ＋1)2n ，所以得出结论n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n×(n ＋1)(n ∈N *)．答案：n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n ×(n ＋1)(n ∈N *)4．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为xx 0＋yy 0＝r 2.类比上述性质，可以得到过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1. 答案：x 0x a 2＋y 0yb 2＝1 题型二演绎推理1．已知函数f (x )＝x 3＋x ，对于等差数列{a n }满足：f (a 2－1)＝2，f (a 2 016－3)＝－2，S n是其前n 项和，则S 2 017＝________.解析：因为函数f (x )＝x 3＋x 为奇函数，且在R 上单调递增，又因为f (a 2－1)＝2，f (a 2 016－3)＝－2，则a 2－1＝－(a 2 016－3)，即a 2＋a 2 016＝4，即a 1＋a 2 017＝4.则S 2 017＝2 0172(a 1＋a 2 017)＝4 034. 答案：4 0342.如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别在x 轴与直线y ＝33(x ＋1)上从左向右依次取点A k ，B k ，k ＝1,2，…，其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k ＋1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是________．解析：因为△A k B k B k －1是一个内角为π3的直角三角形，易得A 1A 2＝1，且A k B k A k B k －1＝2,所以△A 10B 10A 11的边长是以A 1A 2＝1为首项，2为公比的等比数列的第10项，所以△A 10B 10A 11的边长是1×29＝512.答案：5123.如图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy ＝θ，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若OP ―→＝xe 1＋ye 2(其中e 1，e 2分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )，向量OP ―→的斜坐标为(x ，y )．给出以下结论：①若θ＝60°，P (2，－1)，则|OP ―→|＝3；②若P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP ―→＋OQ ―→＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)； ③若OP ―→＝(x 1，y 1)，OQ ―→＝(x 2，y 2)，则OP ―→·OQ ―→＝x 1x 2＋y 1y 2；④若θ＝60°，以O 为圆心、1为半径的圆的斜坐标方程为x 2＋y 2＋xy －1＝0. 其中所有正确结论的序号是________．解析：对于①，OP 是两邻边长分别为2,1，且一内角为60°的平行四边形较短的对角线，解三角形可知|OP ―→|＝3，故①正确；对于②，若P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP ―→＋OQ ―→＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，故②正确；对于③，OP ―→＝(x 1，y 1)，OQ ―→＝(x 2，y 2)，所以OP ―→·OQ ―→＝(x 1e 1＋y 1e 2)·(x 2e 1＋y 2e 2)，因为e 1·e 2≠0，所以OP ―→·OQ ―→≠x 1x 2＋y 1y 2，故③错误；对于④，设圆O 上任意一点为P (x ，y )，因为OP ＝1，所以(xe 1＋ye 2)2＝1，所以x 2＋y 2＋xy －1＝0，故④正确．故填①②④.答案：①②④4．在△ABC 中，已知AB ＝2，AC 2－BC 2＝6，则tan C 的最大值是________．解析：法一：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－1,0)，B (1,0)．设点C 坐标为(x ，y )(y ＞0)，由AC 2－BC 2＝6，得(x ＋1)2＋y 2－[](x －1)2＋y 2＝6，即x ＝32，所以C ⎝⎛⎭⎫32，y .过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，所以tan ∠ACD ＝52y， tan ∠BCD ＝12y ，所以tan C ＝tan ∠ACB ＝tan(∠ACD －∠BCD )＝52y －12y 1＋54y 2＝2y ＋54y ≤255，当且仅当“y ＝54y ，即y ＝52”时取等号，所以tan C 的最大值为255.法二：设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则c ＝2，b 2－a 2＝6，所以2b 2－2a 2＝3c 2，由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c22ab ＝a 2＋b 2－23(b 2－a 2)2ab＝5a 2＋b 26ab ≥53，故tan C ≤255.且当a ＝62，b ＝302，c ＝2时，tan C ＝255. 所以tan C 的最大值为255. 答案：255题型三直接证明与间接证明1．用反证法证明命题：若a ＋b ＋c 为偶数，则“自然数a ，b ，c 恰有一个偶数”时应反设为____________________________．解析：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定是“自然数a ，b ，c 都是奇数或至少有两个偶数”．答案：自然数a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数2．若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则在a ＋b,2ab ，a 2＋b 2和2ab 中最大的是________．解析：因为0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，所以a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab ，a ＋b －(a 2＋b 2)＝a (1－a )＋b (1－b )>0，所以a ＋b 最大．答案：a ＋b3．下列条件：①ab ＞0，②ab ＜0，③a ＞0，b ＞0，④a ＜0，b ＜0，其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件的序号是________．解析：要使b a ＋a b ≥2，只需b a ＞0且ab ＞0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④都能使b a ＋ab ≥2成立．答案：①③④4．凸函数的性质定理：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．解析：因为f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A ，B ，C ∈(0，π)．所以f (A )＋f (B )＋f (C )3≤f ⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝⎛⎭⎫π3，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.答案：332B 组——高考提速练1．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是______________．解析：因为P 2＝2a ＋7＋2a ·a ＋7＝2a ＋7＋2a 2＋7a ，Q 2＝2a ＋7＋2a ＋3·a ＋4＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12，所以P 2<Q 2，所以P <Q .答案：P <Q2．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞2；②a 2＋b 2＞2.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件的是________(填序号)．解析：在①中，假设a ，b 都不大于1，即a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2与题干a ＋b >2矛盾，故假设不成立，所以①能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”．在②中，若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2成立，故②不能推出：“a ，b 中至少有一个大于1” .答案：①3.将正整数1,2,3,4，…按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数是________．解析：由三角形数组可推断出，第n 行共有2n －1项，且最后一项为n 2，所以第10行共有19项，最后一项为100，故左数第10个数是91.答案：91 4．定义运算：xy ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy ≥0，y ，xy ＜0，例如：＝3，(－＝4，则函数f (x )＝x 2x－x 2)的最大值为________解析：由题意可得f (x )＝x 2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x ＞2或x ＜0，当0≤x ≤2时，f (x )∈[0,4]；当x ＞2或x ＜0时，f (x )∈(－∞，0)．综上可得函数f (x )的最大值为4. 答案：45．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为____________．解析：由题意知，a n ＝n 2＋1，b n ＝n ，所以c n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n.显然，c n 随着n 的增大而减小，所以c n ＞c n ＋1.答案：c n ＞c n ＋1 6．已知：f (x )＝x1－x，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1[f n －1(x )](n ＞1且n ∈N *)，则通过计算分析，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为________________．解析：由f 1(x )＝f (x )和f n (x )＝f n －1[f n －1(x )](n ＞1且n ∈N *)，得f 2(x )＝f 1[f 1(x )]＝x 1－x1－x 1－x ＝x 1－2x ，f 3(x )＝f 2[f 2(x )]＝x 1－2x 1－2x 1－2x＝x 1－22x ，…，由此猜想f n (x )＝x 1－2n －1x(n ∈N *)．答案：f n (x )＝x 1－2n －1x(n ∈N *) 7．定义：如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常，那么这个列叫作等差列，这个常叫作等差列的公差．已知向量列{a n }是以a 1＝(1,3)为首项，公差为d ＝(1,0)的等差向量列，若向量a n 与非零向量b n ＝(x n ，x n ＋1)(n ∈N*)垂直，则x 10x 1＝________.解析：易知a n ＝(1,3)＋(n －1,0)＝(n,3)，因为向量a n 与非零向量b n ＝(x n ，x n ＋1)(n ∈N *)垂直，所以x n ＋1x n ＝－n 3，所以x 10x 1＝x 2x 1·x 3x 2·x 4x 3·x 5x 4·x 6x 5·x 7x 6·x 8x 7·x 9x 8·x 10x 9＝⎝⎛⎭⎫－13×⎝⎛⎭⎫－23×⎝⎛⎭⎫－33×⎝⎛⎭⎫－43×⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－63×⎝⎛⎭⎫－73×⎝⎛⎭⎫－83×⎝⎛⎭⎫－93＝－4 480243. 答案：－4 4802438．二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝________.解析：在二维空间中，圆的二维测度(面积)S ＝πr 2，则其导数S ′＝2πr ，即为圆的一维测度(周长)l ＝2πr ；在三维空间中，球的三维测度(体积)V ＝43πr 3，则其导数V ′＝4πr 2，即为球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2；应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝2πr 4.答案：2πr 49．大数学家拉普拉斯曾经这样说过“数学本身赖以获得真理的重要手段就是归纳和类比”．事实上，数学中的许多重要定理和猜想都是通过归纳总结出来的，如欧拉公式：观察三棱锥、四棱锥、三棱柱、五棱柱等多面体，发现其顶点数V 与面数F 的和与棱数E 相差2，即V ＋F －E ＝2，于是猜想任意凸多面体都具有这样的性质，后经过严格证明确实如此．利用上述思想，观察下列等式：1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 ……则第7个等式左端的和式的最后一个数字、右端的结果分别是________、________. 解析：由1,4,7,10知，第7个等式左端的和式的最后一个数字为1＋6×3＝19；由12,32,52,72知，第7个等式右端的结果为132＝169.答案：19 16910．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f ′(x )．对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋c2的最大值为________．解析：∵f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∴f ′(x )＝2ax ＋b ， ∵对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，∴ax 2＋bx ＋c ≥2ax ＋b 恒成立，即ax 2＋(b －2a )x ＋(c －b )≥0恒成立，故Δ＝(b －2a )2－4a (c －b )＝b 2＋4a 2－4ac ≤0，且a ＞0，即b 2≤4ac －4a 2， ∴4ac －4a 2≥0， ∴c ≥a ＞0， ∴ca －1≥0，故b2a 2＋c 2≤4ac －4a 2a 2＋c 2＝4×c a －41＋⎝⎛⎭⎫c a 2 ＝4⎝⎛⎭⎫c a －1⎝⎛⎭⎫c a －12＋2⎝⎛⎭⎫c a －1＋2 ＝4⎝⎛⎭⎫c a －1＋2⎝⎛⎭⎫c a －1＋2≤422＋2＝22－2. 当且仅当⎝⎛⎭⎫c a －12＝2时等号成立，故b 2a 2＋c 2的最大值为22－2. 答案：22－211．若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m ＜n 成立，记这样的m 的个数为(a n )*，则得到一个新数列{(a n )*}．例如，若数列{a n }是1,2，3，…，n ，则数列{(a n )*}是0,1,2，…，n －1，已知对任意的n ∈N *，a n ＝n 2，则(a 5)*＝________，((a n )*)*＝______.解析：因为a m ＜5，而a n ＝n 2，所以m ＝1,2，所以(a 5)*＝2. 因为(a 1)*＝0，(a 2)*＝1，(a 3)*＝1，(a 4)*＝1，(a 5)*＝2，(a 6)*＝2，(a 7)*＝2，(a 8)*＝2，(a 9)*＝2，(a 10)*＝3，(a 11)*＝3，(a 12)*＝3，(a 13)*＝3，(a 14)*＝3，(a 15)*＝3，(a 16)*＝3，所以((a 1)*)*＝1，((a 2)*)*＝4，((a 3)*)*＝9，((a 4)*)*＝16，猜想((a n )*)*＝n 2. 答案：2 n 212．如下图所示的数阵中，第10行第2个数字是________．1 12 1213 14 13 14 17 17 14 15 111 111 111 15……解析：根据题中所给数据，找出每行第2个数字的规律为：从第2行起，每一行第2个数字的分母加上所在行数为下一行的第2个数字的分母，所以按照规律，依次往下推得知，第6行为116，第7行为122，第8行为129，第9行为137，第10行为146，所以答案为146. 答案：14613．已知对任意的x ∈R,3a (sin x ＋cos x )＋2b sin 2x ≤3(a ，b ∈R)恒成立，则当a ＋b 取得最小值时，a 的值是________．解析：令sin x ＋cos x ＝－12，则sin 2x ＝－34，代入得－32(a ＋b )≤3，即a ＋b ≥－2. 而当a ＋b ＝－2时，令sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2， 2 ]，代入并整理得－2bt 2＋3(2＋b )t ＋3＋2b ≥0，对∀t ∈[－2， 2 ]恒成立．所以Δ＝9(2＋b )2＋8b (3＋2b )≤0，即(5b ＋6)2≤0，从而b ＝－65，a ＝－45.而当a ＝－45，b ＝－65时，3a (sin x ＋cos x )＋2b sin 2x ＝－125⎝⎛⎭⎫t ＋122＋3≤3. 所以a ＋b 取得最小值－2，此时a ＝－45.答案：－4514．观察下列等式： 1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)；1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)；1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)．可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝________. 解析：根据式子中的规律可知，等式右侧为15×4×3×2×1n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)＝1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)．答案：1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)。

【高考数学】2018-2019学年数学高考江苏专版二轮专题复习训练：14个填空题综合仿真练(八)-含解析

14个填空题综合仿真练(八)
1．已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x<2}，则A∩B＝________.
解析：因为A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x<2}，所以A∩B＝{x|－1<x<2}．
答案：{x|－1<x<2}
2．若复数z满足z(1－i)＝2i(i是虚数单位)，z是z的共轭复数，则z＝________.
解析：∵z(1－i)＝2i，∴z＝
2i
1－i
＝
2i(1＋i)
(1－i)(1＋i)
＝－1＋i，∴z＝－1－i.
答案：－1－i
3．在区间(0,5)内任取一个实数m，则满足3<m<4的概率为________．
解析：根据几何概型的概率计算公式得，满足3<m<4的概率为P＝4－3
5－0＝
1 5.
答案：1 5
4．已知一组数据x1，x2，…，x100的方差是2，则数据3x1,3x2，…，3x100的标准差为________．
解析：由x1，x2，…，x100的方差是2，则3x1,3x2，…，3x100的方差是18，所以所求标准差为3 2.
答案：3 2
5．某算法流程图如图所示，该算法运行后输出的k的值是________．
解析：根据流程图执行程序依次为：S＝1，k＝1；S＝3，k＝2；S＝11，k＝3，S＝11＋211，k＝4，S>100，结束循环，故输出k＝4.
答案：4
6．设正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的边长为1，其表面积为14，则AA1＝________.
解析：正四棱柱的表面积为14，两个底面积之和为2，故侧面积为12，则AA1＝3.
答案：3。

2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练14个填空题综合仿真练(五)

14个填空题综合仿真练(五)1 •已知集合U = {1,2,3,4,5} , A= {3,4} , B= {1,4,5}，则A U (?u B)= _________ .解析：•••集合U = {1,2,3,4,5}, A= {3,4} , B= {1,4,5} , A ?u B= {2,3} , A U (?u B) = {2,3,4} • 答案:{2,3,4}2•已知i 为虚数单位，复数z1= 3+ yi(y€ R), z2= 2-i,且Z1= 1 + i,贝V y= ___________ .Z2 解析：因为z1= 1+ i，所以Z1=(1 + i)z2= (1 + i)(2 - i) = 3+ i，所以y= 1.Z2答案：123.已知倾斜角为a的直线l的斜率等于双曲线X2—才=1的离心率，则sinf号9 - 2a」解析：因为双曲线的离心率e= 2,所以tan a= 2，所以sin 2号9—2 a = sin 2 a=2sin 久cos a 2tan a 4・ 2 | 2 = _ ‘ 2 = _.sin a+ cos a 1 + tan a 5答案:454•某中学共有学生2 000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人•现在全校学生中随机抽取 1 名,抽到高二年级女生的概率是0.19.则该校高三学生共有______________________ 人.解析：设高二女生人数为x人，所以二匕=0.佃，即x= 380，所以高三人数为 2 0002 000—650 —370 —380 = 600 人.答案：6005.已知偶函数f(x)在［0，+^ )上单调递减，且f(3) = 0，则不等式f(x2—2x)>0的解集为________ •解析：根据偶函数的性质，可得—3<x2—2x<3，从而可得—1vxv3，所以不等式的解集为(T,3)・答案:(—1,3)6•阅读如图所示的算法流程图，若输入的n是30，则输出的变量S的值是___________ •3111 n2所以 a n = 2+ 2(n -1)=-即 a n = 2，所以由a n = 2a 2 018可得2 = 2X ■，所以n = 1 009.n 2 018 答案：1 009 ［0,2上恰有三个零点X 1,9.函数f(x) = sinx + 3cosx — a 在区间函数在区间［0,2 n 上恰有三个零点 X i ,X 3 = 解析：f(x) = sin x +,3cos x - a = 2sin x +于一 a ,解析：根据算法流程图知，当 n = 30时，n > 2, S = 30, n = 28 ;当n = 28时，n > 2, S =58, n = 26;;当 n = 2 时，S = 30 + 28+ 26+…+ 2= 15 30+ 2 = 240, n = 0.当 n = 0时，n v 2，输出 S = 240.答案：2407.已知 Q i 是集合｛(x , y)|x 2 + y 2< 1｝所表示的区域，购是集合｛(x , y)|y w |x|｝所表示的区域，向区域 Q 内随机的投一个点，则该点落在区域Q 2内的概率为解析：如图所示，作出区域 Q i (圆面), 几何概型的概率计算公式得，该点落在区域答案：34an — 18.数列｛a n ｝满足 a 1 = 2, a ?= 1,且 a n + 1鼻_ 勺n 1a n (n >2)，则使得a n = 2a 2。

2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练14个填空题专项强化练(八) 数列 Word版含解析

个填空题专项强化练(八)数列组——题型分类练题型一等差、等比数列的基本运算．设是等差数列{}的前项和，若＝，＝－，则的值为．解析：因为等差数列{}满足＝，＝－，所以＝＝－，＝－，所以＝＝－，所以＝＋＝－.答案：－．设公比不为的等比数列{}满足＝－，且，，成等差数列，则数列{}的前项和为．解析：设等比数列{}的公比为，因为，，成等差数列，所以＝＋，所以＝＋，即－－＝，又≠，解得＝－.因为＝－，所以＝－，解得＝.则数列{}的前项和＝＝.答案：．已知等差数列{}的首项为＝.若{＋}为等比数列，则＝.解析：设等差数列{}的公差为，由题意得(＋)＝(＋)(＋)，即(＋＋)＝(＋)(＋＋)⇒＝，因此＝＝.答案：．已知等比数列{}的各项均为正数，若＝，＋＝，则＝.解析：法一：设等比数列{}的首项为(>)，公比为(>)，由题意(\\(＝((，＋＝()，))解得(\\(＝()，＝()，))所以＝＝.法二：(整体思想)依题意由(\\(＝\()，＋＝()，))得＋－＝，即(＋)(－)＝，又等比数列{}各项均为正数，所以＝，从而＝，从而由＝＝，又>，所以＝，＝＝×＝.答案：题型二等差、等比数列的性质．设{}是等差数列，若＋＋＝，则＝.解析：因为{}是等差数列，＋＋＝，所以＋＋＝＝，解得＝，所以＝(＋)＝＝.答案：．设是等比数列{}的前项和，若＝，则＝.解析：设＝，＝，由数列{}为等比数列，得，－，－为等比数列，∴＝，－＝，－＝，∴＝，∴＝＝.答案：．若等比数列{}的各项均为正数，且＋＝，则＋＋…＋＝.解析：因为＋＝＝，所以＝.所以＋＋…＋＝(…)＝[()·()·…·()]＝()＝()＝＝＝.答案：．已知数列{}是等差数列，且>，若＋＋…＋＝，则·的最大值为．解析：法一：设等差数列{}的公差为(≥)，由题意得，＋＝，所以＝－，所以·＝(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝－＋.又≥，所以当＝时，·有最大值.法二：由等差数列的性质知，(＋)＝，即＋＝，所以由基本不等式得·≤＝，当且仅当＝＝时取等号，所以·有最大值.答案：．已知两个等差数列{}和{}的前项和分别为和，若＝，则使得为整数的正整数的个数是．解析：由＝＝＝＝＝＋.因此∈*，∈*，故＋＝，即共有个．答案：题型三数列的综合问题．已知等比数列{}的前项和为，且，，成等差数列，若＝，则数列{＋}的前项和为．解析：由，，成等差数列，可得＋＝，则＝，则等比数列{}的公比＝＝，则数列{}的前项和为＝，解得＝，所以＝×－，＝＝，则＋＝＝－，其前项和为＋＋…＋＝.答案：．对于数列{}，定义数列{}满足：＝＋－(∈*)，且＋－＝(∈*)，＝，＝－，则＝.解析：由＝，＝－及＝＋－得＝－＝－，又由＋－＝得数列{}是等差数列，＝＋(－)×＝－，所以＋－＝－，从而得－＝－⇒＝，－＝－⇒＝.答案：．在等差数列{}中，首项＝，公差＝，若某学生对其中连续项进行求和，在漏掉一项的前提下，求得余下项的和为，则此连续项的和为．解析：由已知条件可得数列{}的通项公式＝＋，设连续项为＋，＋，＋，…，＋，∈，设漏掉的一项为＋≤≤，由－＋＝，得(＋＋＋)×－－－＝，即－＝，即－＝，所以≤＝＋≤<≤≤<，所以＝，此时，由＝＋得＝，所以＋＝＝，故此连续项的和为.答案：组——高考提速练．设为等差数列{}的前项和，若＝，＝，则＝.解析：法一：由等差数列的通项公式，得＝＋，则＝，＝－，＝×(－)＋×＝.法二：＝＝＝＝.答案：。

2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题综合仿真练(三)

14个填空题综合仿真练(三)1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|log2(x－1)<2}，则A∩B＝________.解析：因为集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|log2(x－1)<2}＝{x|1<x<5}，所以A∩B＝{2,3,4}．答案：{2,3,4}2．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋1≤0是________命题(选填“真”或“假”)．解析：由x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，得∃x∈R，x2＋2x＋1≤0是真命题．答案：真3．已知复数z＝3－i1＋i，其中i为虚数单位，则复数z的模是________．解析：法一：因为z＝3－i1＋i，所以|z|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－i1＋i＝|3－i||1＋i|＝102＝ 5.法二：因为z＝3－i1＋i＝(3－i)(1－i)2＝1－2i，所以|z|＝12＋(－2)2＝ 5.答案： 54．某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．解析：样本中教师抽160－150＝10人，设该校教师人数为n，则10n＝1603 200，所以n＝200.答案：2005．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是________．t←1i←2While i≤4t←t×ii←i＋1End WhilePrint t解析：当i＝2时，满足循环条件，执行循环t＝1×2＝2，i＝3；当i＝3时，满足循环条件，执行循环t＝2×3＝6，i＝4；当i＝4时，满足循环条件，执行循环t＝6×4＝24，i＝5；当i＝5时，不满足循环条件，退出循环，输出t＝24.答案：246．男队有号码1,2,3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1,2,3,4的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，则出场的两名运动员号码不同的概率为________．解析：两队各出一名运动员的基本事件总数n＝12，出场的两名运动员号码不同的对立事件是出场的两名运动员号码相同，共有3个基本事件，所以出场的两名运动员号码不同的概率P ＝1－312＝34. 答案：347．等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13＝________.解析：由题意及等差数列的性质得5a 7＝100，故a 7＝20,3a 9－a 13＝3(a 1＋8d )－(a 1＋12d )＝2a 7＝40.答案：408．将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，可得函数g (x )＝sin 2x －cos 2x 的图象，则φ的最小值为________．解析：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8， g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8，故将函数f (x )向右平移π4＋k π，k ∈Z 个单位可得g (x )的图象，因为φ>0，故φ的最小值为π4. 答案：π49．已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥的体积为________．解析：设圆锥的底面半径为r ，圆锥的高为h ，则有1r 2＋1h 2＝1，而母线长l ＝r 2＋h 2，则l 2＝(r 2＋h 2)⎝⎛⎭⎫1r 2＋1h 2≥4，即可得母线最小值为2，此时r ＝h ＝2，则体积为13πr 2h ＝13(2)3π＝223π. 答案：223π 10．设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为________．解析：令f (x )＝0，得m ＝2x ＋1010－x ＋1.因为m ∈N ，则2x ＋10＝0或2x ＋10>0，10－x∈Z 且2x ＋10能被10－x ＋1整除并且商为自然数，所以有如下几种情况：当2x ＋10＝0，即x ＝－5时，m ＝0；当x ＝1时，m ＝3；当x ＝9时，m ＝14；当x ＝10时，m ＝30.综上所述，m 的取值集合为{0,3,14,30}．答案：{0,3,14,30}11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，P 是△ABC (包括边界)内任一点．则AD ―→·EP ―→的取值范围是________．解析：以C 为坐标原点，CB ，CA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,4)，B (2,0)，E (1，2)，D (1,0)，设P (x ，y )，则AD ―→·EP ―→＝(1，－4)·(x －1，y －2)＝x －4y ＋7，令z ＝x －4y ＋7，则y ＝14x ＋7－z 4，作直线y ＝14x ，平移直线y ＝14x ，由图象可知当直线y ＝14x ＋7－z 4，经过点A 时，直线的截距最大，但此时z 最小，当直线经过点B 时，直线的截距最小，此时z 最大．即z min ＝－4×4＋7＝－9，z max ＝2＋7＝9，即－9≤AD ―→·EP ―→≤9.故AD ―→·EP ―→的取值范围是[－9,9]．答案：[－9,9]12．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，在[0,2]上是增函数，且f (x －4)＝－f (x )，给出下列结论：①若－2<x 1<x 2<2且x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)>0；②若0<x 1<x 2<4且x 1＋x 2＝5，则f (x 1)>f (x 2)；③若方程f (x )＝m 在[－8,8]内恰有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8或8；④函数f (x )在[－8,8]内至少有5个零点，至多有13个零点．其中正确的结论的个数是________．解析：因为f (x －4)＝－f (x )，所以f (x ＋8)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，因此函数f (x )是周期函数，又函数f (x )是奇函数，且在[0,2]上为增函数，综合条件得函数的示意图如图所示．由图看出，①若－2<x 1<x 2<2且x 1＋x 2>0，由奇函数的性质和单调性可知①正确；②若0<x 1<x 2<4且x 1＋x 2＝5，f (x )在[0,2]上是增函数，则0<x 1<5－x 1<4，即1<x 1<52，由图可知f (x 1)>f (x 2)，故②正确；③当m >0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(－6)＝－12，另两个交点的横坐标之和为2×2＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8.当m ＜0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(－2)＝－4，另两个交点的横坐标之和为2×6＝12，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8.故③正确；④由图可得函数f (x )在[－8,8]内有5个零点，所以④不正确．答案：313．已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ ―→＝23AP ―→＋13AC ―→，则|BO ―→|的最小值是__________．解析：以点A 为坐标原点，AB 为x 轴正半轴，使得C 落在第一象限，建立平面直角坐标系(图略)，设P (cos α，sin α)，则由AQ ―→＝23AP ―→＋13AC ―→ 得，Q 23cos α＋12，23sin α＋32，故点Q 的轨迹是以D ⎝⎛⎭⎫12，32为圆心，23为半径的圆．又BD ＝7，所以|BO ―→|的最小值是7－23. 答案：7－2314．已知函数f (x )满足f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ．若在区间⎣⎡⎦⎤13，3上，函数g (x )＝f (x )－ax 恰有一个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤13，1时，1x ∈[1,3]，则f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln 1x＝－2ln x ，在同一直角坐标系中作y ＝ln x ，x ∈[1,3]与y ＝－2ln x ，x ∈⎣⎡⎦⎤13，1的图象如图所示，由图象知当y ＝ax 在直线OA 与y ＝ln x ，x ∈[1,3]的切线OB 之间及直线OA 上，即k OB <a ≤k OA 时，g (x )＝f (x )－ax 恰有一个零点，由题易知k OA ＝6ln 3，设过原点的直线与y ＝ln x ，x ∈[1,3]的切点为(m ，ln m )，由y ′＝1x ，得k OB ＝1m，故直线的方程为y －ln m ＝1m (x －m )，∵直线过原点，∴ln m ＝1，即m ＝e ，∴k OB ＝1e ，故1e<a ≤6ln 3，又当a ＝0时，g (x )恰有一个零点，故a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤1e ，6ln 3∪{0}．答案：⎝⎛⎦⎤1e ，6ln 3∪{0}。

(江苏专版)2018年高考数学二轮复习14个填空题专项强化练(九)不等式

14个填空题专项强化练(九) 不等式A 组——题型分类练题型一一元二次不等式1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12或x >3，则f (e x)>0(e 是自然对数的底数)的解集是________．解析：法一：依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3.法二：由题知，f (x )>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <3，令12<e x<3，得－ln 2<x <ln 3. 答案：{x |－ln 2<x <ln 3}2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则不等式f (x )>3的解集为________________．解析：当x >0时，2x －1>3，解得x >2，当x ≤0时，－x 2－4x >3，即x 2＋4x ＋3<0，解得－3<x <－1，所以所求不等式的解集为{x |x >2或－3<x <－1}．答案：{x |x >2或－3<x <－1}3．已知函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值集合为________．解析：由定义域为R ，得x 2－2x ＋a ≥0恒成立．又值域为[0，＋∞)，则函数y ＝x 2－2x ＋a 的图象只能与x 轴有1个交点，所以Δ＝4－4a ＝0，a ＝1.答案：{1}4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≥0，－x 2＋1，x <0，则关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是________．解析：由x 2≥0，得f (x 2)＝－x 2＋1，所以原不等式可转化为f (2－x )<－x 2＋1，则当2－x ≥0，即x ≤2时，由－(2－x )＋1<－x 2＋1，得－2<x <1，所以－2<x <1；当2－x <0，即x >2时，由－(2－x )2＋1<－x 2＋1，得x ∈∅.综上得，关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是{x |－2<x <1}．答案：{x |－2<x <1} 题型二基本不等式 1．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：由x >1，得x －1>0，则x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．故x ＋4x －1的最小值为5. 答案：52．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．解析：由0<x <1，故3－3x >0，则x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．答案：123．已知正数a ，b 满足1a ＋9b＝ab －5，则ab 的最小值为________．解析：因为正数a ，b 满足1a ＋9b＝ab －5，所以ab －5≥21a ×9b，可化为(ab )2－5ab －6≥0，解得ab ≥6，即ab ≥36，当且仅当1a ＝9b，即a ＝2，b ＝18时取等号．即ab 的最小值为36.答案：364．已知正数x ，y 满足x 2＋4y 2＋x ＋2y ≤2－4xy ，则1x ＋1y的最小值为________．解析：由题意得(x ＋2y )2＋(x ＋2y )－2≤0，且x >0，y >0，所以0<x ＋2y ≤1，所以1x ＋1y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·(x ＋2y )＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2y x ＝xy，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－1，y ＝1－22时，1x ＋1y取得最小值3＋2 2.答案：3＋2 25．已知a >0，b >0，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值是________．解析：a ＋2b ＝2a ＋b ＋3b ＋12－32，故a ＋2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋b 2＋3b ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ＋1b ＋1－32＝12＋32＋2a ＋b 2b ＋1＋3b ＋122a ＋b －32≥12＋22a ＋b 2b ＋1·3b ＋122a ＋b ＝12＋3，当且仅当2a ＋b 2b ＋1＝3b ＋122a ＋b ，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1时取等号．故a ＋2b 的最小值为12＋ 3.答案：12＋ 3题型三简单的线性规划1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x －y的最小值为________．解析：根据题意，画出可行域如图所示，易知当目标函数z ＝x －y 经过点A (1,4)时，取得最小值－3.答案：－32．设不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4，表示的平面区域为M ，若直线l ：y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．因为直线l ：y ＝kx －2的图象过定点A (0，－2)，且斜率为k ，由图知，当直线l 过点B (1,3)时，k取最大值3＋21－0＝5，当直线l 过点C (2,2)时，k 取最小值2＋22－0＝2，故实数k 的取值范围是[2,5]．答案：[2,5]3．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，ax －y ≥0，x ≤1表示的平面区域为D ，若区域D 内至少有一个点在函数y ＝e x的图象上，那么实数a 的取值范围为________．解析：由题意作出约束条件表示的平面区域及函数y ＝e x的图象，结合函数图象知，当x ＝1时，y ＝e ，把点(1，e)代入ax －y ≥0，则a ≥e.故实数a 的取值范围为[e ，＋∞)．答案：[e ，＋∞)B 组——高考提速练1．不等式x ＋1x<2的解集为______________．解析：∵x ＋1x <2，∴x ＋1x－2<0，即x ＋1－2x x ＝1－xx<0，∴1－xx<0等价于x (x －1)＞0，解得x ＜0或x ＞1，∴不等式x ＋1x<2的解集为{x |x ＜0或x ＞1}．答案：{x |x ＜0或x ＞1} 2．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4，x ＋3y ≤7，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋12z ，平移直线y ＝－32x ＋12z ，由图象可知当直线y ＝－32x ＋12z 经过点A 时，直线y ＝－32x ＋12z 的截距最大，此时z最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x ＋3y ＝7，解得A (1,2)，代入目标函数z ＝3x ＋2y ，得z ＝3×1＋2×2＝7.即目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值为7. 答案：73．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值为________．解析：因为a >1，b >1，所以lg a >0，lg b >0. lg a ·lg b ≤lg a ＋lg b 24＝lg ab 24＝1.当且仅当a ＝b ＝10时取等号，故lg a ·lg b 的最大值为1. 答案：14．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. 所以a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)5．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m 的值为________．解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，当a ＝2时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a ＝－3时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m ＝2.答案：26．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )<0的解集是________．解析：法一：当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝log 2(－x )－1，f (x )<0，即log 2(－x )－1<0，得－2<x <0；当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，f (x )<0，即1－log 2x <0，解得x >2.综上所述，不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．法二：先作出函数f (x )在x >0时的图象，再根据奇函数f (x )的图象关于原点对称可得f (x )在R 上的图象，结合图象可知，不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．答案：(－2,0)∪(2，＋∞)7．已知点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，m ，n ∈R ，则(m －2)2＋(n －2)2的取值范围是________．解析：因为点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，所以m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ＋n ＜1，作出不等式组所表示的平面区域如图所示．因为(m －2)2＋(n －2)2表示的是区域内的动点(m ，n )到点A (2,2)的距离的平方．因为点A 到直线m ＋n ＝1的距离为|2＋2－1|2＝32，故⎝ ⎛⎭⎪⎫322＜(m －2)2＋(n －2)2＜OA 2，即(m －2)2＋(n －2)2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫92，8.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫92，8 8．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z＝OA ―→·OP ―→的最大值为________．解析：如图作满足约束条件的可行域，z ＝OA ―→·OP ―→＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处取得最大值，所以z max＝2.答案：29．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n使得 a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________．解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ，由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2(q ＝－1，舍去)由a m a n ＝4a 1，即2m+n-22＝4，得2m ＋n －2＝24，即m ＋n ＝6.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝56＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫4m n ＋n m ≥56＋46＝32，当且仅当4m n ＝nm即m ＝2，n ＝4时等号成立，即1m ＋4n 的最小值为32. 答案：3210．已知A ，B ，C 是平面上任意三点，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则y ＝ca ＋b ＋b c的最小值是________．解析：y 要取最小值，则a 要最大，而a 的最大值是b ＋c ，所以y ＝c a ＋b ＋b c ≥c2b ＋c＋b c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋12－12≥ 2－12，当且仅当12⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋12＝b c ＋12时取等号，即y 的最小值是2－12. 答案：2－1211．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 不是最大边，已知a 2－b 2＝2bc sin A ，则tan A －9tan B 的最小值为________．解析：由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 及a 2－b 2＝2bc sin A ，得c 2－2bc cos A ＝2bc sinA ，即c －2b cos A ＝2b sin A ，再由正弦定理，得sin C －2sin B cos A ＝2sin B sin A ，即sin(A ＋B )－2sin B cos A ＝2sin B sin A ，即sin A cos B －cos A sin B ＝2sin A sin B ，所以tan A －tan B ＝2tan A tan B . 所以tan B ＝tan A 2tan A ＋1，由题意知tan A >0，所以2tan A ＋1>0，所以tan A －9tan B ＝tan A －9tan A2tan A ＋1＝12(2tan A ＋1)＋922tan A ＋1－5≥2122tan A ＋1×922tan A ＋1－5＝－2.当且仅当12(2tan A ＋1)＝922tan A ＋1，即tan A ＝1时取“＝”．故tan A －9tan B 的最小值为－2.答案：－212．已知a ，b 均为正数，且ab －a －2b ＝0，则a 24－2a ＋b 2－1b的最小值为________．解析：因为ab －a －2b ＝0，所以2a ＋1b＝1，因为a ，b 均为正数，所以b >1，所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 24＋b 2－1＝b 2b －12＋b 2－1，令x ＝b －1>0，所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝x ＋12x 2＋(x ＋1)2－1＝x 2＋1x 2＋2x ＋2x＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1，因为x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1≥22＋2×2－1＝7，即a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为7.答案：713．若关于x 的不等式(ax －1)(ln x ＋ax )≥0在(0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：(ax －1)(ln x ＋ax )≥0⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋ln x x ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1x ，a ≤－ln x x 或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1x，a ≥－ln x x .设函数f (x )＝1x ，g (x )＝－ln xx，在同一平面直角坐标系内画出它们的图象如图所示，由图象可得实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－1e ∪{e}．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－1e ∪{e}14．已知a ＞0，b ＞0，c ＞2，且a ＋b ＝2，则ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________．解析：考虑所求的结构特征，变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋1ab －12c ＋5c －2，先求a b ＋1ab －12的最小值．a b ＋1ab －12＝a 2＋1a 2－a －12＝12a ＋1－a 2＋1a 2＋1－12＝12a ＋1a 2＋1－1－12，令2a ＋1＝t ，则2a ＋1a 2＋1－1＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋1－1＝4t ＋5t －2－1≤42t ×5t－2－1＝5－12，所以a b ＋1ab －12≥52，当且仅当2a ＋1＝52a ＋1，即a ＝5－12时等号成立，故ac b ＋c ab －c 2＋5c －2≥5c 2＋5c －2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫c －22＋1c －2＋1≥5⎝⎛⎭⎪⎫2c －22×1c －2＋1＝5＋10.当且仅当(c －2)2＝2，即c ＝2＋2时等号成立．答案：5＋10。

2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(十二) 椭圆

14个填空题专项强化练(十二) 椭圆A 组——题型分类练题型一椭圆的定义及标准方程1．设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 224＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为________．解析：因为PF 1＋PF 2＝14，又PF 1∶PF 2＝4∶3，所以PF 1＝8，PF 2＝6. 因为F 1F 2＝10，所以PF 1⊥PF 2.所以S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝12×8×6＝24.答案：242．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为________．解析：由椭圆的定义知AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，又∵△AF 1B 的周长＝AF 1＋AF 2＋BF 1＋BF 2＝43，∴a ＝ 3.又e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2， ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.答案：x 23＋y 22＝13．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且PF 1，F 1F 2，PF 2成等差数列，则椭圆方程为________________．解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点(2，3)在椭圆上，知4a 2＋3b 2＝1①.又PF 1，F 1F 2，PF 2成等差数列，则PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，即2×2c ＝2a ，c a ＝12②，又c 2＝a 2－b 2③，联立①②③得a 2＝8，b 2＝6.故椭圆方程为x 28＋y 26＝1.答案：x 28＋y 26＝1题型二椭圆的几何性质1．椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是________．解析：根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝53.答案：532．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m ＝________.解析：由题意可得，1m ＝12，所以m ＝4. 答案：43．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为______________．解析：依题意，2c ＝4，c ＝2，又e ＝c a ＝22，则a ＝22，b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. 答案：x 28＋y 24＝14．已知圆C 1：x 2＋2cx ＋y 2＝0，圆C 2：x 2－2cx ＋y 2＝0，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是________．解析：圆C 1，C 2都在椭圆内等价于圆C 2的右顶点(2c,0)，上顶点(c ，c )在椭圆内部，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧2c ≤a ，c 2a 2＋c 2b2≤1⇒0<c a ≤12.答案：⎝⎛⎦⎤0，12 5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为________．解析：以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2ab b 2＋a 2＝a ，得a 2＝3b 2，所以C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝63. 答案：63题型三椭圆的综合问题1．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF ―→1·MF ―→2＝0，则点M 到y 轴的距离为________．解析：由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF ―→1·MF ―→2＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2＝3.①又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24.②将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.答案：2632．设点P 在圆C ：x 2＋(y －2)2＝1上移动，点Q 在椭圆x 29＋y 2＝1上移动，则PQ 的最大值是________．解析：圆心C (0,2)，PQ ≤PC ＋CQ ＝1＋CQ ，于是只要求CQ 的最大值．设Q (x ，y )，∴CQ ＝x 2＋(y －2)2＝9(1－y 2)＋(y －2)2＝－8y 2－4y ＋13＝－8⎝⎛⎭⎫y ＋142＋272. ∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－14时，CQ max ＝272＝362， ∴PQ max ＝1＋362. 答案：1＋3623．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)及点B (0，a )，过B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ，F 为椭圆的右焦点，则∠ABF ＝________.解析：法一：由题意知，切线的斜率存在，设切线方程为y ＝kx ＋a (k >0)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得b 2x 2＋a 2(kx ＋a )2－a 2b 2＝0，即(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 3kx ＋a 4－a 2b 2＝0，由Δ＝4a 6k 2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0，得k ＝c a ，从而y ＝c a x ＋a 交x 轴于A ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，0，又F (c,0)，易知BA ―→·BF ―→＝0，故∠ABF ＝90°.法二：由椭圆性质可知，过B 且与椭圆相切的斜率为正的直线方程为y ＝ex ＋a (e 为椭圆的离心率)，即切线斜率为e ，∴tan ∠BAF ＝c a ＝e ，又tan ∠OBF ＝ca ＝e ，则∠BAF ＝∠OBF ，因而∠ABF ＝90°.答案：90° B 组——高考提速练1．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为________．解析：依题意得AC ＝5，所以椭圆的焦距为2c ＝AB ＝4，长轴长2a ＝AC ＋BC ＝8，所以短轴长为2b ＝2a 2－c 2＝216－4＝4 3.答案：4 32．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，若PF ―→1·PF ―→2＝0，tan∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为________．解析：因为PF ―→1·PF ―→2＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，所以PF ―→1⊥PF ―→2，sin ∠PF 1F 2＝55，cos ∠PF 1F 2＝255.所以PF 1＝455c ，PF 2＝255c ，则PF 1＋PF 2＝655c ＝2a ，所以e ＝c a ＝53.答案：533．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N与F 构成正三角形，则此椭圆的方程为________．解析：由△FMN 为正三角形，得c ＝OF ＝32MN ＝32×23b ＝1.解得b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝14．过椭圆x 225＋y 216＝1的中心任作一直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的最小值是________．解析：设F 为椭圆的左焦点，右焦点为F 2，根据椭圆的对称性可知FQ ＝PF 2，OP ＝OQ ，所以△PQF 的周长为PF ＋FQ ＋PQ ＝PF ＋PF 2＋2PO ＝2a ＋2PO ＝10＋2PO ，易知2OP 的最小值为椭圆的短轴长，即点P ，Q 为椭圆的上下顶点时，△PQF 的周长取得最小值18.答案：185．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 上，且直线PN 的斜率是－14，则直线PM 的斜率为________．解析：设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，直线PM 的斜率k PM ＝y 0x 0＋2，直线PN 的斜率k PN＝y 0x 0－2，可得k PM ·k PN ＝y 20x 20－4＝－34，故k PM ＝－34·1k PN ＝3.答案：36．已知椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝3，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，c ＝ 3.所以椭圆方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1.答案：x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝17．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5,4)，则椭圆的方程为________．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，将点P (－5,4)代入得25a 2＋16b2＝1.又离心率e ＝c a ＝55，即e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，解得a 2＝45，b 2＝36，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.答案：x 245＋y 236＝18．已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 是椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，若P ，Q是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ 经过焦点F ，则该椭圆的离心率为________．解析：设点P 在第一象限，由题意，p ＝2c ，P (2pc ，c )，即P (2c ，c )，代入椭圆方程，可得c 2a 2＋4c 2b2＝1，整理可得e 4－6e 2＋1＝0，∵0＜e ＜1，∴e ＝2－1.答案：2－19．已知动点P (x ，y )在椭圆C ：x 225＋y 216＝1上，F 是椭圆C 的右焦点，若点M 满足|MF―→MF ―→|＝1且MP ―→·MF ―→＝0，则|PM ―→|的最小值为________．解析：由题意可得FP ―→·FM ―→＝|FM ―→|2＝1，所以|PM ―→|＝|FM ―→－FP ―→|＝1＋|FP ―→|2－2＝|FP ―→|2－1≥(5－3)2－1＝3，当且仅当点P 在右顶点时取等号，所以|PM ―→|的最小值是3.答案： 310.如图，已知过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A (－a,0)作直线l 交y轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且PQ ―→＝2QA ―→，则椭圆的离心率为________．解析：法一：因为△AOP 是等腰三角形，所以OA ＝OP ，故A (－a,0)，P (0，a )，又PQ ―→＝2QA ―→，所以Q ⎝⎛⎭⎫－2a 3，a 3，由点Q 在椭圆上得49＋a 29b 2＝1，解得b 2a 2＝15，故离心率e ＝1－b 2a2＝1－15＝255. 法二：因为△AOP 是等腰三角形，所以OA ＝OP ，故直线AP 的方程为y ＝x ＋a ，与椭圆方程联立并消去y 得(a 2＋b 2)x 2＋2a 3x ＋a 2c 2＝0，从而(－a )x Q ＝a 2c 2a 2＋b2，即x Q ＝－ac 2a 2＋b2，又由A (－a,0)，P (0，a )，PQ ―→＝2QA ―→，得x Q ＝－2a 3，故－ac 2a 2＋b 2＝－2a 3，即5c 2＝4a 2，e 2＝45，故e ＝255. 答案：25511．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析：设切点坐标为(m ，n )，则n －1m －2·nm ＝－1，即m 2＋n 2－n －2m ＝0. ∵m 2＋n 2＝4， ∴2m ＋n －4＝0，即AB 的直线方程为2x ＋y －4＝0.∵直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， ∴2c －4＝0，b －4＝0，解得c ＝2，b ＝4. ∴a 2＝b 2＋c 2＝20，故椭圆方程为x 220＋y 216＝1.答案：x 220＋y 216＝112．若A ，B 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的两个端点，垂直于x 轴的直线与椭圆交于点M ，N ，且k AM ·k BN ＝14，则椭圆C 的离心率为________．解析：不妨取A (－a,0)，B (a,0)，设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)． ∵k AM ·k BN ＝14，∴y 1x 1＋a ·－y 1x 1－a ＝14. 即－y 21x 21－a 2＝14.① ∵M (x 1，y 1)在椭圆C 上，∴x 21a 2＋y 21b2＝1，即y 21＝b 2a2(a 2－x 21)，②将②代入①得b 2a 2＝14，即a 2＝4b 2＝4(a 2－c 2)． ∴3a 2＝4c 2，即e 2＝34，∴e ＝32. 答案：3213.如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，离心率为12，点P 为椭圆在第一象限内的一点．若S △PF 1A ∶S △PF 1F 2＝2∶1，则直线PF 1的斜率为________．解析：连结AF 2交PF 1于点B .由S △PF 1A ∶S △PF 1F 2＝2∶1得AB BF 2＝21.而A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，所以由A ，B ，F 2三点共线得B ⎝⎛⎭⎫2c 3，b 3，kPF 1＝b 3－02c 3－(－c )＝b 5c .又因为离心率为12，所以a ＝2c ，b ＝3c ，故kPF 1＝b 5c ＝35.答案：35 14．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e .直线l ：y＝ex ＋a 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设AM ＝eAB ，则该椭圆的离心率e ＝________.解析：因为点A ，B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴，y 轴的交点，所以点A ，B 的坐标分别是⎝⎛⎭⎫－ae ，0，(0，a )．设点M 的坐标是(x 0，y 0)，由AM ＝eAB ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a e (e －1)，y 0＝ea .(*) 因为点M 在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，将(*)式代入，得(e －1)2e 2＋e 2a 2b 2＝1，整理得，e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍去)．5－1答案：2。

江苏专版2018年高考数学二轮复习14个填空题专项强化练七平面向量与复数

14个填空题专项强化练(七) 平面向量与复数A 组——题型分类练题型一平面向量的线性运算1．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA ―→＋2OC ―→＝3OB ―→，则|BC ―→||AB ―→|的值为________．解析：由OA ―→＋2OC ―→＝3OB ―→，得OA ―→－OB ―→＝2OB ―→－2OC ―→，即BA ―→＝2CB ―→，所以|BC ―→||AB ―→|＝12. 答案：122．在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，M 为BC 的中点，则MN ―→＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN ―→＝3NC ―→得AN ―→＝34AC ―→＝34(a ＋b )，AM ―→＝a ＋12b ，所以MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝34(a＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .答案：－14a ＋14b3．已知Rt △ABC 的面积为2，∠C ＝90°，点P 是Rt △ABC 所在平面内的一点，满足CP ―→＝4CB ―→|CB ―→|＋9CA ―→|CA ―→|，则PA ―→·PB ―→的最大值是________．解析：由条件可知|CA ―→|·|CB ―→|＝4，CA ―→·CB ―→＝0，因为PA ―→＝CA ―→－CP ―→＝CA ―→－4CB ―→|CB ―→|－9CA ―→|CA ―→|，PB ―→＝CB ―→－CP ―→＝CB ―→－4CB ―→|CB ―→|－9CA ―→|CA ―→|，故PA ―→·PB ―→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫CA ―→－4CB ―→|CB ―→|－9CA ―→|CA ―→|·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CB ―→－4CB ―→|CB ―→|－9CA ―→|CA ―→|＝97－9|CA ―→|－4|CB ―→|≤97－12×2＝73，当且仅当9|CA ―→|＝4|CB ―→|，即|CA ―→|＝43，|CB ―→|＝3时等号成立．答案：73题型二平面向量的坐标表示1．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则向量BD ―→的坐标为________．解析：因为BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝(－1，－1)，所以BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝BC ―→－AB ―→＝(－3，－5)．答案：(－3，－5)2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________．解析：因为u ＝(1＋2x,4)，v ＝(2－x,3)，u ∥v ，所以8－4x ＝3＋6x ，所以x ＝12.答案：123．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝____________.解析：不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，对于(c ＋a )∥b ，有－3(1＋m )＝2(2＋n )．① 对于c ⊥(a ＋b )，有3m －n ＝0.② 联立①②，解得m ＝－79，n ＝－73.故c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73题型三平面向量的数量积1．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为________．解析：依题意，λa ＋b ＝(3λ＋1，－2λ)，a －2b ＝(1，－2)，所以(λa ＋b )·(a －2b )＝7λ＋1＝0，λ＝－17.答案：－172．已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，则a 与2a －b 夹角的余弦值为__________．解析：法一：不妨设|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝2＋2a ·b ＝1，所以a·b ＝－12，所以a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝52，又因为|a |＝1，|2a －b |＝a －b2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝7，所以a 与2a －b 夹角的余弦值为a a －b |a |·|2a －b |＝521×7＝5714.法二：(特殊化、坐标化)设|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则向量a ，b ，a ＋b 构成以1为边长的正三角形，故可设a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则a 与2a －b 的夹角的余弦值为a a －b|a |·|2a －b |＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3212＋02·⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝527＝5714. 答案：57143．已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝3.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．解析：由题意得，AB ―→·AC ―→＝－3，由AP ―→·BC ―→＝(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝0，得λAB ―→·AC ―→－λAB ―→2＋AC ―→2－AC ―→·AB ―→＝0，即－3λ－4λ＋9＋3＝0，故λ＝127.答案：1274.如图，已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝5，则(AP ―→＋AQ ―→)·(AB ―→－AC ―→)的值为________．解析：由题意知，(AP ―→＋AQ ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝(2AQ ―→＋QP ―→)·CB ―→＝2AQ ―→·CB ―→＝(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝|AB ―→|2－|AC ―→|2＝32－52＝－16.答案：－165．在△ABC 中，已知AB ＝3，C ＝60°，则CA ―→·CB ―→的最大值为________．解析：因为AB ―→＝CB ―→－CA ―→，所以AB ―→2＝CB ―→2＋CA ―→2－2CB ―→·CA―→，所以3＝|CB ―→|2＋|CA ―→|2－|CB ―→|·|CA ―→|≥2|CB ―→|·|CA ―→|－|CB ―→|·|CA ―→|＝|CB―→|·|CA ―→|，即|CB ―→|·|CA ―→|≤3，当且仅当|CA ―→|＝|CB ―→|＝3时等号成立．所以CA ―→·CB ―→＝|CA ―→||CB ―→|cos 60°＝12|CA ―→||CB ―→|≤32，所以CA ―→·CB ―→的最大值为32.答案：326．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝1t ，AC ＝t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若AP ―→＝4AB―→|AB ―→|＋AC―→|AC ―→|，则△PBC 面积的最小值为________．解析：由于AB ⊥AC ，故以AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，因为AP ―→＝4AB ―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|，所以点P 坐标为(4,1)，直线BC 的方程为t 2x ＋y －t ＝0，所以点P 到直线BC 的距离为d ＝|4t 2＋1－t |t 4＋1，BC ＝t 4＋1t ，所以△PBC 的面积为12×|4t 2＋1－t |t 4＋1×t 4＋1t ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＋1t －1≥32，当且仅当t ＝12时取等号．答案：32题型四复数1．设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)．若z ＝(4＋3i)i ，则ab 的值是________．解析：因为z ＝a ＋b i 且z ＝(4＋3i)i ，所以a ＋b i ＝4i ＋3i 2＝－3＋4i ，所以a ＝－3，b ＝4，所以ab ＝－12.答案：－122．已知复数z 满足z ＝(1－2i)(3＋i)，其中i 为虚数单位，则|z |＝________. 解析：复数z ＝(1－2i)(3＋i)，i 为虚数单位，则|z |＝|1－2i||3＋i|＝12＋－2×32＋12＝5 2.答案：5 23．设复数z 满足z (1＋i)＝2，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为________．解析：由(1＋i)z ＝2，得z ＝21＋i＝－＋－＝－2＝1－i.所以z 的虚部为－1.答案：－14．若复数z 满足(2－i)z ＝1＋i ，则复数z 在复平面上对应的点在第________象限．解析：因为z ＝1＋i2－i ＝＋＋－＋＝1＋3i 5＝15＋35i ，所以复数z 在复平面上对应的点在第一象限．答案：一B 组——高考提速练1．复数z ＝(1＋2i)2，其中i 为虚数单位，则z 的实部为________．解析：因为复数z ＝(1＋2i)2＝－3＋4i ，所以复数z 的实部为－3. 答案：－32.如图，已知AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，BD ―→＝3DC ―→，用a ，b 表示AD ―→，则AD ―→＝________.解析：因为CB ―→＝AB ―→－AC ―→＝a －b ，又BD ―→＝3DC ―→，所以CD ―→＝14CB ―→＝14(a －b )，所以AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34b .答案：14a ＋34b3．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 不共线，若向量a ＋kb 与a －kb 垂直，则k ＝________. 解析：因为(a ＋kb )⊥(a －kb )，所以(a ＋kb )·(a －kb )＝0，即|a |2－k 2|b |2＝0.又因为|a |＝3，|b |＝4，所以k 2＝916，即k ＝±34.答案：±344．设复数z 1＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，若z 2z 1的虚部是实部的2倍，则实数a 的值为________．解析：z 2z 1＝a ＋2i 1－i ＝a ＋＋－＋＝a －2＋＋a2，故该复数的实部是a －22，虚部是a ＋22.由题意，知a ＋22＝2×a －22.解得a ＝6.答案：65．已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．解析：法一：复数z ＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ，则|z |＝－2＋32＝10.法二：|z |＝|1＋i|·|1＋2i|＝2×5＝10. 答案：106．若a ，b 均为单位向量，且a ⊥(a －2b )，则a ，b 的夹角大小为________．解析：设a ，b 的夹角为θ.因为a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝a 2－2a·b ＝0，所以1－2cos θ＝0，所以cos θ＝12，而θ∈[0，π]，故θ＝π3.答案：π37．若复数z 满足z ＋2z ＝3＋2i ，其中i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数，则复数z 的模为________．解析：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，则z ＝x －y i ，因为z ＋2z ＝3＋2i ，所以z ＋2z ＝(x ＋y i)＋2(x －y i)＝3x －y i ＝3＋2i ，所以x ＝1，y ＝－2，所以z ＝1－2i ，所以复数z 的模为 5.答案： 58．平面向量a ，b 满足|a |＝2，|a ＋b |＝4，且向量a 与向量a ＋b 的夹角为π3，则|b |为________．解析：因为向量a 与向量a ＋b 的夹角为π3，所以cos π3＝a ＋b a |a ＋b |·|a |＝a 2＋a ·b |a ＋b |·|a |＝4＋a ·b8，解得a ·b ＝0，即a ⊥b .所以|a |2＋|b |2＝|a ＋b |2，从而解得|b |＝2 3. 答案：2 39.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos ∠BAC ＝13，DC ―→＝2BD ―→，则AD ―→·BC ―→的值为________．解析：由DC ―→＝2BD ―→，得AD ―→＝13(AC ―→＋2AB ―→)．又BC ―→＝AC ―→－AB ―→，AB ＝AC ＝3，cos∠BAC ＝13，所以AD ―→·BC ―→ ＝13(AC ―→＋2AB ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝13×(－9＋3)＝－2.答案：－210．已知边长为1的正方形ABCD ，CM ―→＝2CA ―→＋DB ―→，则|CM ―→|＝________. 解析：法一：由题意得，CM ―→2＝(2CA ―→＋DB ―→)2＝4CA ―→2＋DB ―→2＋4CA ―→·DB ―→.又四边形ABCD 是边长为1的正方形，所以CA ―→⊥DB ―→，所以CA ―→·DB ―→＝0.又|CA ―→|＝2，|DB ―→|＝2，所以CM ―→2＝4×2＋2＝10，所以|CM ―→|＝10.法二：由题意，作出CM ―→＝2CA ―→＋DB ―→，如图所示，则|CM ―→|为边长分别为2，22的矩形CFME 的对角线的长，所以|CM ―→|＝ 22＋22＝10. 答案：1011．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA ―→·MB ―→的取值范围是________．解析：因为AB 为圆O 的直径，所以MA ―→＋MB ―→＝2MO ―→，① 又MA ―→－MB ―→＝BA ―→，②①2－②2，得4MA ―→·MB ―→＝4MO ―→2－BA ―→2，所以MA ―→·MB ―→＝MO ―→2－16，因为M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，所以根据圆的几何性质知|MO ―→|∈[7，4]，所以MA ―→·MB ―→∈[－9,0]．答案：[－9,0]12．在△ABC 中，若BC ―→·BA ―→＋2AC ―→·AB ―→＝CA ―→·CB ―→，则sin A sin C 的值为________．解析：法一：设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 由BC ―→·BA ―→＋2AC ―→·AB ―→＝CA ―→·CB ―→，得ac a 2＋c 2－b 22ac ＋2bc b 2＋c 2－a 22bc ＝ab a 2＋b 2－c 22ab，化简可得a ＝2c .由正弦定理得sin A sin C ＝ac＝ 2.法二：建立平面直角坐标系，设A (0，a )，B (b,0)，C (c ，0)，所以AC ―→＝(c ，－a )，AB ―→＝(b ，－a )，BC ―→＝(c －b,0)， BA ―→＝(－b ，a )，CA ―→＝(－c ，a )，CB ―→＝(b －c,0)，则由BC ―→·BA ―→＋2AC ―→·AB ―→＝CA ―→·CB ―→，得b 2＋2cb ＋2a 2－c 2＝0，所以b 2－2cb ＋c 2＝(c －b )2＝2(a 2＋b 2)，所以BC ＝2AB .由正弦定理得sin A sin C ＝BCAB ＝ 2.答案： 213．已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围为________．解析：法一：由|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，作向量OA ―→＝α，AB ―→＝β－α，则OB ―→＝β，在△OAB 中，∠OAB ＝60°，OB ＝1，则由正弦定理OB sin 60°＝OA sin ∠ABO，得OA ＝233sin ∠ABO ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，233，即0<|α|≤233. 法二：设|α|＝u ，|β－α|＝v ，由|β|2＝|α＋(β－α)|2＝α2＋2α·(β－α)＋(β－α)2，得v 2－uv ＋u 2－1＝0，再由关于v 的一元二次方程有解，得u 2－4(u 2－1)≥0，又u >0，故0<u ≤233，即0<|α|≤233. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，23314．在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1,0)，B (0,1)，C (a ，b )，D (c ，d )，若不等式 CD ―→2≥(m －2)OC ―→·OD ―→＋m (OC ―→·OB ―→)·(OD ―→·OA ―→)对任意实数a ，b ，c ，d 都成立，则实数m 的最大值是________．解析：原不等式可化为(a －c )2＋(b －d )2≥(m －2)·(ac ＋bd )＋mbc ，即a 2＋b 2＋c 2＋d2－m (ac ＋bd ＋bc )≥0，整理成关于实数a 的不等式为a 2－mca ＋b 2＋c 2＋d 2－mbd －mbc ≥0恒成立，从而Δ1＝m 2c 2－4(b 2＋c 2＋d 2－mbd －mbc )≤0，再整理成关于实数d 的不等式为d 2－mbd ＋b 2＋c 2－mbc －14m 2c 2≥0，从而Δ2＝m 2b 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2－mbc －14m 2c 2≤0，再整理成关于实数b 的不等式为(4－m 2)b 2－4mcb ＋4c 2－m 2c 2≥0，从而⎩⎪⎨⎪⎧4－m 2>0，Δ3＝16m 2c 2－－m2c 2－m 2c 2，解得1－5≤m ≤－1＋5，所以m 的最大值是5－1.答案：5－1。

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A组——题型分类练
题型一等差、等比数列的基本运算
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2＝7，S7＝－7，则a7
的值为________．
解析：因为等差数列{an}满足a2＝7，S7＝－7，所以S7＝7a4＝
－7，a4＝－1，所以d＝＝－4，所以a7＝a2＋5d＝－13.
答案：－13
2．设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3＝－，且a2，a4，
a3成等差数列，则数列{an}的前4项和为________．
解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a2，a4，a3成等差数
列，所以2a4＝a2＋a3，所以2a2q2＝a2＋a2q，即2q2－q－1＝0，又q≠1，解得q＝－.
因为a1a2a3＝－，所以aq3＝－，解得a1＝1.
则数列{an}的前4项和S4＝＝.
答案：5
8
3．已知等差数列{cn}的首项为c1＝1.若{2cn＋3}为等比数列，
则c2 017＝________.
解析：设等差数列{cn}的公差为d，由题意得(2c2＋3)2＝(2c1＋
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2018高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题专项强化练(九) 不等式 Word版含解析

14个填空题专项强化练(九) 不等式A 组——题型分类练题型一一元二次不等式1、已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >3,则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是________、解析：法一：依题意可得f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －12(x －3)(a <0),则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)(a <0),由f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)>0可得12<e x <3,解得－ln 2<x <ln 3. 法二：由题知,f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <3, 令12<e x <3,得－ln 2<x <ln 3. 答案：{x |－ln 2<x <ln 3}2、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则不等式f (x )>3的解集为________________、解析：当x >0时,2x －1>3,解得x >2,当x ≤0时,－x 2－4x >3,即x 2＋4x ＋3<0,解得－3<x <－1,所以所求不等式的解集为{x |x >2或－3<x <－1}、答案：{x |x >2或－3<x <－1}3、已知函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R,值域为[0,＋∞),则实数a 的取值集合为________、解析：由定义域为R,得x 2－2x ＋a ≥0恒成立、又值域为[0,＋∞),则函数y ＝x 2－2x ＋a 的图象只能与x 轴有1个交点,所以Δ＝4－4a ＝0,a ＝1.答案：{1}4、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≥0，－x 2＋1，x <0，则关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是________、解析：由x 2≥0,得f (x 2)＝－x 2＋1, 所以原不等式可转化为f (2－x )<－x 2＋1, 则当2－x ≥0,即x ≤2时,由－(2－x )＋1<－x 2＋1,得－2<x <1,所以－2<x <1；当2－x <0,即x >2时,由－(2－x )2＋1<－x 2＋1,得x ∈∅.综上得,关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是{x |－2<x <1}、答案：{x |－2<x <1} 题型二基本不等式 1、若x >1,则x ＋4x －1的最小值为________、解析：由x >1,得x －1>0,则x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1,即x ＝3时等号成立、故x ＋4x －1的最小值为5. 答案：52、已知0<x <1,则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________、解析：由0<x <1,故3－3x >0,则x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34,当且仅当3x ＝3－3x ,即x ＝12时等号成立、答案：123、已知正数a ,b 满足1a ＋9b ＝ab －5,则ab 的最小值为________、解析：因为正数a ,b 满足1a ＋9b ＝ab －5,所以ab －5≥21a ×9b,可化为(ab )2－5ab －6≥0,解得ab ≥6,即ab ≥36,当且仅当1a ＝9b ,即a ＝2,b ＝18时取等号、即ab 的最小值为36. 答案：364、已知正数x ,y 满足x 2＋4y 2＋x ＋2y ≤2－4xy ,则1x ＋1y 的最小值为________、解析：由题意得(x ＋2y )2＋(x ＋2y )－2≤0,且x >0,y >0,所以0<x ＋2y ≤1,所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·1≥⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·(x ＋2y )＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2y x ＝xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－1，y ＝1－22时,1x ＋1y取得最小值3＋2 2. 答案：3＋2 25、已知a >0,b >0,且12a ＋b ＋1b ＋1＝1,则a ＋2b 的最小值是________、解析：a ＋2b ＝2a ＋b ＋3(b ＋1)2－32,故a ＋2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋b 2＋3(b ＋1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ＋1b ＋1－32＝12＋32＋2a ＋b2(b ＋1)＋3(b ＋1)2(2a ＋b )－32≥12＋22a ＋b 2(b ＋1)·3(b ＋1)2(2a ＋b )＝12＋3,当且仅当2a ＋b2(b ＋1)＝3(b ＋1)2(2a ＋b ),且12a ＋b ＋1b ＋1＝1时取等号、故a ＋2b 的最小值为12＋ 3.答案：12＋ 3题型三简单的线性规划1、已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x －y 的最小值为________、解析：根据题意,画出可行域如图所示,易知当目标函数z ＝x －y 经过点A (1,4)时,取得最小值－3.答案：－32、设不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4，表示的平面区域为M ,若直线l ：y ＝kx －2上存在M 内的点,则实数k 的取值范围是________、解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示、因为直线l ：y ＝kx －2的图象过定点A (0,－2),且斜率为k ,由图知,当直线l 过点B (1,3)时,k 取最大值3＋21－0＝5,当直线l 过点C (2,2)时,k 取最小值2＋22－0＝2,故实数k 的取值范围是[2,5]、答案：[2,5]3、已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，ax －y ≥0，x ≤1表示的平面区域为D ,若区域D 内至少有一个点在函数y ＝e x 的图象上,那么实数a 的取值范围为________、解析：由题意作出约束条件表示的平面区域及函数y ＝e x 的图象,结合函数图象知,当x ＝1时,y ＝e,把点(1,e)代入ax －y ≥0,则a ≥e.故实数a 的取值范围为[e,＋∞)、答案：[e,＋∞) B 组——高考提速练1、不等式x ＋1x <2的解集为______________、解析：∵x ＋1x <2,∴x ＋1x －2<0, 即(x ＋1)－2x x＝1－xx <0, ∴1－xx <0等价于x (x －1)＞0,解得x ＜0或x ＞1, ∴不等式x ＋1x <2的解集为{x |x ＜0或x ＞1}、答案：{x |x ＜0或x ＞1}2、若实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4，x ＋3y ≤7，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________、解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示、由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋12z ,平移直线y ＝－32x ＋12z ,由图象可知当直线y ＝－32x ＋12z 经过点A 时,直线y ＝－32x ＋12z 的截距最大,此时z 最大、由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x ＋3y ＝7，解得A (1,2),代入目标函数z ＝3x ＋2y ,得z ＝3×1＋2×2＝7. 即目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值为7. 答案：73、若a ,b 均为大于1的正数,且ab ＝100,则lg a ·lg b 的最大值为________、解析：因为a >1,b >1,所以lg a >0,lg b >0. lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b )24＝(lg ab )24＝1.当且仅当a ＝b ＝10时取等号, 故lg a ·lg b 的最大值为1. 答案：14、不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集,则实数a 的取值范围是________、解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集, 所以Δ＝a 2－4×4>0,即a 2>16. 所以a >4或a <－4. 答案：(－∞,－4)∪(4,＋∞)5、若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,m ),则m 的值为________、解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根,即a 2＋a －6＝0,解得a ＝2或a ＝－3,当a ＝2时,不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2),符合要求；当a＝－3时,不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞,－3)∪(1,＋∞),不符合要求,舍去、故m ＝2.答案：26、已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )＝1－log 2x ,则不等式f (x )<0的解集是________、解析：法一：当x <0时,f (x )＝－f (－x )＝log 2(－x )－1,f (x )<0,即log 2(－x )－1<0,得－2<x <0；当x >0时,f (x )＝1－log 2x ,f (x )<0,即1－log 2x <0,解得x >2.综上所述,不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2,＋∞)、法二：先作出函数f (x )在x >0时的图象,再根据奇函数f (x )的图象关于原点对称可得f (x )在R 上的图象,结合图象可知,不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2,＋∞)、答案：(－2,0)∪(2,＋∞)7、已知点P 是△ABC 内一点(不包括边界),且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→,m ,n ∈R,则(m －2)2＋(n －2)2 的取值范围是________、解析：因为点P 是△ABC 内一点(不包括边界),且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→,所以m ,n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ＋n ＜1，作出不等式组所表示的平面区域如图所示、因为(m －2)2＋(n －2)2表示的是区域内的动点(m ,n )到点A (2,2)的距离的平方、因为点A 到直线m ＋n ＝1的距离为|2＋2－1|2＝32,故⎝⎛⎭⎫322＜(m －2)2＋(n －2)2＜OA 2,即(m －2)2＋(n －2)2的取值范围是⎝⎛⎭⎫92，8.答案：⎝⎛⎭⎫92，88、已知O 为坐标原点,A (1,2),点P 的坐标(x ,y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA ―→·OP―→的最大值为________、解析：如图作满足约束条件的可行域,z ＝OA ―→·OP ―→＝x ＋2y ,显然在B (0,1)处取得最大值,所以z max ＝2. 答案：29、已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a5,若存在两项a m ,a n 使得 a m a n ＝4a 1,则1m ＋4n的最小值为________、解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ,由a 7＝a 6＋2a 5,得q 2－q －2＝0,解得q ＝2(q ＝－1,舍去)由a m a n ＝4a 1,即2m+n-22＝4,得2m ＋n －2＝24,即m ＋n ＝6.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝56＋16⎝⎛⎭⎫4m n ＋n m ≥56＋46＝32, 当且仅当4m n ＝nm 即m ＝2,n ＝4时等号成立, 即1m ＋4n 的最小值为32. 答案：3210、已知A ,B ,C 是平面上任意三点,BC ＝a ,CA ＝b ,AB ＝c ,则y ＝c a ＋b＋bc 的最小值是________、解析：y 要取最小值,则a 要最大,而a 的最大值是b ＋c ,所以y ＝c a ＋b ＋b c ≥c 2b ＋c＋bc ＝12⎝⎛⎭⎫b c ＋12＋⎝⎛⎭⎫b c ＋12－12≥ 2－12,当且仅当12⎝⎛⎫b c ＋12＝b c ＋12时取等号,即y 的最小值是2－12. 答案：2－1211、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a 不是最大边,已知a 2－b 2＝2bc sin A ,则tan A －9tan B 的最小值为________、解析：由余弦定理,a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 及a 2－b 2＝2bc sin A ,得c 2－2bc cos A ＝2bc sin A , 即c －2b cos A ＝2b sin A ,再由正弦定理,得sin C －2sin B cos A ＝2sin B sin A , 即sin(A ＋B )－2sin B cos A ＝2sin B sin A , 即sin A cos B －cos A sin B ＝2sin A sin B , 所以tan A －tan B ＝2tan A tan B . 所以tan B ＝tan A 2tan A ＋1,由题意知tan A >0,所以2tan A ＋1>0, 所以tan A －9tan B ＝tan A －9tan A2tan A ＋1＝12(2tan A ＋1)＋92(2tan A ＋1)－5 ≥212(2tan A ＋1)×92(2tan A ＋1)－5＝－2. 当且仅当12(2tan A ＋1)＝92(2tan A ＋1),即tan A ＝1时取“＝”、故tan A －9tan B 的最小值为－2. 答案：－212、已知a ,b 均为正数,且ab －a －2b ＝0,则a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为________、解析：因为ab －a －2b ＝0,所以2a ＋1b ＝1,因为a ,b 均为正数,所以b >1, 所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 24＋b 2－1＝b 2(b －1)2＋b 2－1,令x ＝b －1>0, 所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝(x ＋1)2x 2＋(x ＋1)2－1＝x 2＋1x 2＋2x ＋2x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1, 因为x ＋1x ≥2x ·1x ＝2,当且仅当x ＝1时取等号,所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1≥22＋2×2－1＝7,即a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为7. 答案：713、若关于x 的不等式(ax －1)(ln x ＋ax )≥0在(0,＋∞)上恒成立,则实数a 的取值范围是________、解析：(ax －1)(ln x ＋ax )≥0⇔⎝⎛⎭⎫a －1x ⎝⎛⎭⎫a ＋ln x x ≥0⇔⎩⎨⎧a ≤1x ，a ≤－ln x x或⎩⎨⎧a ≥1x ，a ≥－ln xx.设函数f (x )＝1x ,g (x )＝－ln x x ,在同一平面直角坐标系内画出它们的图象如图所示,由图象可得实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－1e ∪{e}、答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－1e ∪{e} 14、已知a ＞0,b ＞0,c ＞2,且a ＋b ＝2,则ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________、解析：考虑所求的结构特征,变形为⎝⎛⎭⎫a b ＋1ab －12c ＋5c －2,先求a b ＋1ab －12的最小值、a b ＋1ab －12＝a 2＋1a (2－a )－12＝1(2a ＋1)－(a 2＋1)a 2＋1－12＝12a ＋1a 2＋1－1－12, 令2a ＋1＝t ,则2a ＋1a 2＋1－1＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋1－1＝4t ＋5t －2－1≤42t ×5t －2－1＝5－12, 所以a b ＋1ab －12≥52,当且仅当2a ＋1＝52a ＋1,即a ＝5－12时等号成立,故ac b ＋c ab －c 2＋5c －2≥5c 2＋5c －2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫c －22＋1c －2＋1≥5⎝⎛⎭⎪⎪⎫2c －22×1c －2＋1＝5＋10.当且仅当(c －2)2＝2,即c ＝2＋2时等号成立、答案：5＋10。

2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：14个填空题综合仿真练(二)

14个填空题综合仿真练(二)1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{3,4}，则∁U (A ∪B )＝_________.解析：因为A ＝{1,4}，B ＝{3,4}，所以A ∪B ＝{1,3,4}，因为全集U ＝{1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{2}．答案：{2}2．已知复数z ＝1－i 2i，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为________．解析：z ＝1－i 2i ＝i (1－i )2i 2＝1＋i －2＝－12－12i.所以z 的虚部为－12. 答案：－123．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取________人．解析：设足球兴趣小组中抽取人数为n ，则n 24＝40120，所以n ＝8. 答案：84．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．解析：由题意，n ＝1，a ＝1，第1次循环，a ＝5，n ＝3，满足a ＜16，第2次循环，a ＝17，n ＝5，不满足a ＜16，退出循环，输出的n 的值为5.答案：55．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为__________．解析：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，基本事件总数n ＝6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：(1,2)，(2,4)，共2个，故这两个数的和为3的倍数的概率P ＝26＝13. 答案：136．设x ∈R ，则p ：“log 2x <1”是q ：“x 2－x －2<0”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”)解析：由log 2x <1，得0<x <2，由x 2－x －2<0可得－1<x <2，所以p ⇒q ，q ⇒/p ，故p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线C 的离心率为________．解析：由题意，双曲线C 的左焦点到渐近线的距离d ＝bc a 2＋b 2＝b ，则b ＝2a ，因此双曲线C 的离心率e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5. 答案： 58．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为________．解析：由题意q ≠1，设等比数列的公比为q (q ≠1)，由a 1＝1，S 4－5S 2＝0，得1－q 41－q－5(1＋q )＝0，化简得1＋q 2＝5，解得q ＝±2.∵数列{a n }的各项均为正数，∴q ＝2.故S 5＝1－251－2＝31. 答案：319.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P -BB 1C 1C 的体积为________．解析：因为四棱锥P -BB 1C 1C 的底面积为16，高PB 1＝1，所以VP -BB 1C 1C ＝13×16×1＝163. 答案：163 10．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(0≤x <π)，且f (α)＝f (β)＝13(α≠β)，则α＋β＝__________. 解析：由0≤x <π，知π3≤2x ＋π3<7π3，因为f (α)＝f (β)＝13<32，所以⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋⎝⎛⎭⎫2β＋π3＝2×3π2，所以α＋β＝7π6. 答案：7π611．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0.若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是________.解析：当x <0时，－x >0，故－x ＋1>0，所以f (－x ＋1)＝x 2－2x ＋1－1＝x 2－2x ，当x ≥0时，f (x )＝x 2－1，当0≤x <1时，x 2－1<0，故f (x 2－1)＝－x 2＋2，当x ≥1时，x 2－1≥0，故f (x 2－1)＝x 4－2x 2.故f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x <0，－x 2＋2，0≤x <1，x 4－2x 2，x ≥1，作出函数f (f (x ))的图象如图所示，可知当1<k ≤2时，函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点．答案：(1,2]12．已知△ABC 外接圆O 的半径为2，且AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，|AB ―→|＝|AO ―→|，则CA ―→·CB―→＝__________.解析：由AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，可得OB ―→＋OC ―→＝0，即BO ―→＝OC ―→，所以圆心在BC 中点上，且AB ⊥AC .因为|AB ―→|＝|AO ―→|＝2，所以∠AOC ＝2π3，C ＝π6，由正弦定理得AC sin 2π3＝AO sin π6，故AC ＝23，又BC ＝4，所以CA ―→·CB ―→＝|CA ―→|·|CB ―→|·cos C ＝4×23×32＝12. 答案：1213．设a ，b ，c 是三个正实数，且a (a ＋b ＋c )＝bc ，则a b ＋c的最大值为__________．解析：由a (a ＋b ＋c )＝bc ，得1＋b a ＋c a ＝b a ·c a ，设x ＝b a ，y ＝c a ，则x ＋y ＋1＝xy ，a b ＋c＝1x ＋y ，因为x ＋y ＋1＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，所以x ＋y ≥2＋22，所以a b ＋c 的最大值为2－12.答案：2－1214．设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1的图象为C .如果任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，则a 的取值范围是__________．解析：因为任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，所以f ′(x )≤1在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立．因为f ′(x )＝a －3ax 2，所以3ax 2－a ＋1≥0在⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立．设g (t )＝3at －a ＋1，t ∈⎣⎡⎦⎤14，1，只需⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫14≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧34a －a ＋1≥0，3a －a ＋1≥0，解得－12≤a ≤4.答案：⎣⎡⎦⎤－12，4。

2019年高三二轮复习数学江苏专版专题训练14个填空题综合仿真练(八)

14个填空题综合仿真练(八)1．若复数z 满足z (1－i)＝2i(i 是虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z ＝________. 解析：∵z (1－i)＝2i ，∴z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，∴z ＝－1－i. 答案：－1－i2．已知集合M ＝{0,1,3}，N ＝{x |x ＝3a ，a ∈M }，则M ∩N ＝________.解析：因为M ＝{0,1,3}，N ＝{x |x ＝3a ，a ∈M }，所以N ＝{0,3,9}，所以M ∩N ＝{0,3}．答案：{0,3}3．在区间(0,5)内任取一个实数m ，则满足3<m <4的概率为________．解析：根据几何概型的概率计算公式得，满足3<m <4的概率为P ＝4－35－0＝15. 答案：154．已知一组数据x 1，x 2，…，x 100的方差是2，则数据3x 1,3x 2，…，3x 100 的标准差为________．解析：由x 1，x 2，…，x 100的方差是2，则3x 1,3x 2，…，3x 100的方差是18，所以所求标准差为3 2.答案：3 25．在如图所示的算法中，输出的i 的值是________．解析：当i ＝1时，S ＝2；当i ＝3时，S ＝6；当i ＝5时，S ＝30；当i ＝7时，S ＝210>200.所以输出的i ＝7.答案：76．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e ＝________.解析：由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b ”，则b ＝a ＋c 2，即a 2＋⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝c 2.整理得3c 2－2ac －5a 2＝0，所以3e 2－2e －5＝0，解得e ＝53. 答案：537．设正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的边长为1，其表面积为14，则AA 1＝________.解析：正四棱柱的表面积为14，两个底面积之和为2，故侧面积为12，则AA 1＝3. 答案：38．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ln x 在x ＝e(e 为自然对数的底数)处的切线与直线ax －y ＋3＝0垂直，则实数a 的值为________．解析：因为y ′＝1x ，所以曲线y ＝ln x 在x ＝e 处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝e ＝1e.又该切线与直线ax －y ＋3＝0垂直，所以a ·1e＝－1，所以a ＝－e. 答案：－e9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤x ＋2，y ≥x ，0≤y ≤4，x ≥0表示的平面区域的面积为S ，则S 的值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，得面积S ＝12(42－22)＝6. 答案：610．已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)在(0，π)上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为________．解析：易得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3，设t ＝ωx －π3，因为0<x <π，所以－π3<t <ωπ－π3.因为函数f (x )在(0，π)上有且仅有两个零点，所以π<ωπ－π3≤2π，解得43<ω≤73. 答案：⎝⎛⎦⎤43，7311．若两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且(a ＋2b )⊥(a －2b )，则向量a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值是________．解析：由(a ＋2b )⊥(a －2b )，得(a ＋2b )·(a －2b )＝0，即|a |2－4|b |2＝0，则|a |＝2|b |，cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝(a ＋b )·(a －b ) |a ＋b ||a －b |＝a 2－b 2a 2＋2a ·b ＋b 2·a 2－2a ·b ＋b 2＝3b 221b 2 ＝217. 答案：217 12．已知数列{a n }是一个等差数列，首项a 1＞0，公差d ≠0，且a 2，a 5，a 9依次成等比数列，则使a 1＋a 2＋…＋a k ＞100a 1的最小正整数k 的值是________．解析：设数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 5＝a 1＋4d ，a 9＝a 1＋8d .由a 2，a 5，a 9依次成等比数列得a 2a 9＝a 25，即(a 1＋d )(a 1＋8d )＝(a 1＋4d )2，化简上式得 a 1d ＝8d 2，又d ＞0，所以a 1＝8d .所以a 1＋a 2＋…＋a k a 1＝a 1k ＋k (k －1)2d a 1＝k ＋k (k －1)16＞100，k ∈N *，解得k min ＝34. 答案：3413．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2cos A ＝b 3cos B ＝c 6cos C，则cos A cos B cos C ＝________.解析：由题意及正弦定理得tan A 2＝tan B 3＝tan C 6，可设 tan A ＝2k ，tan B ＝3k ，tan C ＝6k ，k ＞0，而在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，于是k ＝116，从而cos A cos B cos C ＝320×215×112＝110. 答案：110 14．已知函数f (x )＝2x 3＋7x 2＋6x x 2＋4x ＋3，x ∈[0,4]，则f (x )最大值是________．解析：法一：当x ＝0时，原式值为0；当x ≠0时，由f (x )＝2x 3＋7x 2＋6x x 2＋4x ＋3＝2x ＋7＋6x x ＋4＋3x ，令t ＝2x ＋7＋6x ，由x ∈(0,4]，得t ∈[2＋3，＋∞)，f (x )＝g (t )＝2t t 2＋1＝2t ＋1t.而t ＋1t ≥4，当且仅当t ＝2＋3时，取得等号，此时x ＝3，所以f (x )≤12.即f (x )的最大值为12. 法二：f (x )＝2x (x 2＋4x ＋3)－x 2x 2＋4x ＋3＝2x x 2＋4x ＋3－⎝⎛⎭⎫x x 2＋4x ＋32，于是令t ＝x x 2＋4x ＋3，所求的代数式为y ＝2t －t 2. 当x ＝0时，t ＝0；当x ≠0时，有t ＝1x ＋4＋3x≤123＋4＝2－32，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2－32，当t ＝2－32时， 2t －t 2有最大值12，此时x ＝ 3. 答案：12。

江苏省2019高考数学二轮复习自主加餐的3大题型14个填空题强化练五三角函数含解析

14个填空题专项强化练(五)　三角函数A 组——题型分类练题型一　同角三角函数的基本关系与诱导公式1．sin 240°＝________.解析：sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.32答案：－322．已知cos α＝－，角α是第二象限角，则tan(2π－α)＝________.513解析：因为cos α＝－，角α是第二象限角，513所以sin α＝，所以tan α＝－，1213125故tan(2π－α)＝－tan α＝.125答案：1253．已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－，则sin θ＋cos θ＝________.25解析：由Error!且θ为第三象限角，得Error!故sin θ＋cos θ＝－.3125答案：－3125[临门一脚]1．“小于90°的角”不等同于“锐角”，“0°～90°的角”不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z }．2．记住下列公式：(1)l ＝αR ；(2)S ＝lR ；(3)S ＝αR 2.其中R 是扇形的半径，l 是1212弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积．3．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号→脱周期→化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．4．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意限定角的范围，判断符号．5．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan sin αcos αα可以实现角α的弦切互化．6．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．题型二　三角恒等变换1．若＝，则tan 2α＝________.1＋cos 2αsin 2α12解析：因为＝＝＝，1＋cos 2αsin 2α2cos 2α2sin αcos αcos αsin α12所以tan α＝2，所以tan 2α＝＝＝－.2tan α1－tan 2α41－443答案：－432．若sin ＝，α∈，则cos α的值为________．(α－π6)35(0，π2)解析：∵α∈，∴α－∈.(0，π2)π6(－π6，π3)又∵sin ＝，∴cos ＝，(α－π6)35(α－π6)45∴cos α＝cos ＝cos cos －sin sin ＝×－×＝[(α－π6)＋π6](α－π6)π6(α－π6)π645323512.43－310答案：43－3103．(2018·南京四校联考)已知角α，β满足tan αtan β＝.若cos(α－β)＝，1345则cos(α＋β)的值为________．解析：法一：由tan αtan β＝，cos (α－β)＝得，Error!解得Error!1345故cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝.25法二：设cos (α＋β)＝x ，即cos αcos β－sin αsin β＝x ，　①由cos (α－β)＝得，cos αcos β＋sin αsin β＝，　②4545由①②得cos αcos β＝＋，sin αsin β＝－，25x 225x2两式相除得tan αtan β＝＝，解得x ＝，25－x 225＋x 21325即cos (α＋β)＝.25答案：254．已知cos －sin α＝，则sin 的值是________．(α＋π6)233(α－7π6)解析：由cos －sin α＝，(α＋π6)233得cos α－sin α＝，3232233即－＝，即sin ＝－.(32sin α－12cos α)23(α－π6)23所以sin ＝sin (α－7π6)(α－π6－π)＝－sin ＝.(α－π6)23答案：235．设α∈，β∈，若sin ＝，(0，π4)(0，π2)(α＋π6)45tan ＝，则tan(2α＋β)的值为________．(β－π3)13解析：因为α∈，所以α＋∈.(0，π4)π6(π6，5π12)又sin ＝，所以cos ＝，(α＋π6)45(α＋π6)35所以sin ＝2sin cos ＝，(2α＋π3)(α＋π6)(α＋π6)2425cos ＝2cos 2－1＝－，(2α＋π3)(α＋π6)725所以tan ＝－.(2α＋π3)247又2α＋β＝＋，(2α＋π3)(β－π3)所以tan(2α＋β)＝tan [(2α＋π3)＋(β－π3)]＝＝＝－.tan (2α＋π3)＋tan (β－π3)1－tan (2α＋π3)·tan (β－π3)－247＋131＋247×13139答案：－139[临门一脚]三角恒等变换中常见的两种形式：一是化简；二是求值．(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．题型三　三角函数的定义域和值域1．函数y ＝tan 的定义域为___________________________________________．(2x －π3)解析：由2x －≠k π＋(k ∈Z )，得x ≠＋(k ∈Z )，故所求定义域为π3π2k π25π12.{xx ≠k π2＋5π12，k ∈Z }答案：{xx ≠k π2＋5π12，k ∈Z}2．函数y ＝2sin (0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．(πx 6－π3)解析：因为0≤x ≤9，所以－≤x －≤，π3π6π37π6所以sin ∈.(π6x －π3)[－32，1]所以y ∈[－，2]，所以y max ＋y min ＝2－.33答案：2－33．函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．解析：y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－22＋.(sin x －54)98故当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9，故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]．答案：[－9,1][临门一脚]1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解，不能忽视y ＝tan x 的定义域的限制．2．三角函数的值域有几种常见类型：一是可以化为标准型的，利用三角函数图象求解；二是可以化为二次型的，利用换元法求解，但要注意“新元”的取值范围；三是可以用导数法来解决．题型四　三角函数的图象1．将函数y ＝sin4x 的图象向左平移个单位长度，得到y ＝sin(4x ＋φ)π12的图象，则φ＝________.(0<φ<π2)解析：将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移个单位长度，得到y ＝sin ＝sinπ12[4(x ＋π12)]，所以φ＝.(4x ＋π3)π3答案：π32.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的部(A >0，ω>0，|φ|<π2)分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为______________________________．解析：由题图可知，A ＝1，函数f (x )的最小正周期T ＝4＝π，∴ω＝＝2.(π3－π12)2πT又当x ＝时，f (x )取得最大值1，π12∴1＝sin ，∴＋φ＝2k π＋，k ∈Z ，(2×π12＋φ)π6π2∴φ＝2k π＋，k ∈Z .又|φ|<，∴φ＝，π3π2π3则函数f (x )的解析式为f (x )＝sin .(2x ＋π3)答案：f (x )＝sin (2x ＋π3)3．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin (x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝的交点(x ＋π3)12的个数是____________．解析：由sin ＝，解得x ＋＝2k π＋或x ＋＝2k π＋，k ∈Z ，即x ＝2k π(x ＋π3)12π3π6π35π6－或x ＝2k π＋，k ∈Z ，又因为x ∈[0,2π]，所以x ＝或，所以函数y ＝sin π6π2π211π6(x ＋π3)(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝的交点的个数是2.12答案：24．将函数y ＝5sin 的图象向左平移φ个单位长度后，所得函数(2x ＋π4)(0<φ<π2)图象关于y 轴对称，则φ＝______________.解析：将函数y ＝5sin 的图象向左平移φ个单位长度后，所得(2x ＋π4)(0<φ<π2)函数为f (x )＝5sin ，即f (x )＝5sin .因为所得函数f (x )的[2 x ＋φ ＋π4][2x ＋(2φ＋π4)]图象关于y 轴对称，所以2φ＋＝＋k π，k ∈Z ，所以φ＝＋，k ∈Z ，因为0＜φ＜π4π2π8k π2，所以φ＝.π2π8答案：π8[临门一脚]1．要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为，|φω|而不是|φ|.4．五点法求y ＝A sin(ωx ＋φ)中的φ的方法：根据图象确定φ时要注意第一个平衡点和第二个平衡点的区别．题型五　三角函数的性质1．(2018·镇江高三期末)函数y ＝3sin 图象的相邻两对称轴的距离为(2x ＋π4)________．解析：因为函数y ＝3sin 的最小正周期T ＝＝π，所以该函数图象的相邻两(2x ＋π4)2π2对称轴的距离为.π2答案：π22．函数y ＝2sin 与y 轴最近的对称轴方程是________．(2x －π6)解析：由2x －＝k π＋(k ∈Z )，得x ＝＋(k ∈Z )，因此，当k ＝－1时，直线x ＝－π6π2k π2π3是与y 轴最近的对称轴．π6答案：x ＝－π63．若函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)的图象过点(0，)，则函数f (x )在[0，π](0<φ<π2)3上的单调递减区间是____________．解析：由题意可得，2sin(2×0＋φ)＝，3∴sin φ＝.32又0<φ<，∴φ＝，π2π3∴f (x )＝2sin .(2x ＋π3)由2k π＋≤2x ＋≤2k π＋，k ∈Z ，π2π33π2得k π＋≤x ≤k π＋，k ∈Z .π127π12∵0≤x ≤π，∴k ＝0时，≤x ≤，π127π12∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间是.[π12，7π12]答案：[π12，7π12]4．若函数f (x )＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.x ＋φ3解析：若f (x )为偶函数，则f (0)＝±1，即sin＝±1，所以＝k π＋(k ∈Z )．φ3φ3π2所以φ＝3k π＋(k ∈Z )．3π2因为φ∈[0,2π]，所以φ＝.3π2答案：3π25．若函数f (x )＝4cos ωx sin ＋1(ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )在(ωx －π6)上的最小值是________．[0，π2]解析：由题意知，f (x )＝4cos ωx sin ＋1(ωx －π6)＝2sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋13＝sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ，3(2ωx －π6)由f (x )的最小正周期是π，且ω>0，可得＝π，ω＝1，2π2ω则f (x )＝2sin .(2x －π6)又x ∈，[0，π2]所以2x －∈，π6[－π6，5π6]故函数f (x )在上的最小值是－1.[0，π2]答案：－1[临门一脚]1．求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数的充要条件为φ＝k π(k ∈Z )；为偶函数的充要条件为φ＝k π＋(k ∈Z )．π23．求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝＋k π(k ∈Z )，求x ；π2如要求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可．4．三角函数的性质主要是划归为y ＝A sin(ωx ＋φ)，再利用y ＝sin x 性质求解．三角函数划归主要是针对“角、名、次”三个方面．B 组——高考提速练1．sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°的值为________．解析：因为sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°＝sin 18°·sin 78°＋cos 18°·cos 78°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝.12答案：122．函数y ＝的定义域是_______________________________．12sin x －1解析：由2sin x －1≠0得sin x ≠，12故x ≠＋2k π(k ∈Z )且x ≠＋2k π(k ∈Z )，π65π6即x ≠(－1)k ·＋k π(k ∈Z )．π6答案：Error!3．函数y ＝2sin 2x ＋3cos 2x －4的最小正周期为________. 解析：因为y ＝2sin 2x ＋3cos 2x －4＝cos 2x －2＝－2＝cos2x －，故最小正周1＋cos2x 21232期为T ＝＝＝π.2πω2π2答案：π4．函数y ＝sin 的单调递增区间为______________________________．(x ＋π6)解析：由2k π－≤x ＋≤2k π＋(k ∈Z )，π2π6π2得－＋2k π≤x ≤＋2k π(k ∈Z )，2π3π3所以单调递增区间为(k ∈Z )．[－2π3＋2k π，π3＋2k π]答案：(k ∈Z )[－2π3＋2k π，π3＋2k π]5．已知cos ＝，且|φ|<，则tan φ＝________.(π2－φ)32π2解析：cos ＝sin φ＝，(π2－φ)32又|φ|<，则cos φ＝，所以tan φ＝.π2123答案：36.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，若AB ＝5，则ω的值为________．解析：如图，过点A 作垂直于x 轴的直线AM ，过点B 作垂直于y 轴的直线BM ，直线AM 和直线BM 相交于点M ，在Rt △AMB 中，A M ＝4，B M ＝·＝，A B ＝5，由勾股定理得AM 2＋BM 2＝AB 2，122πωπω所以16＋2＝25，＝3，ω＝.(πω)πωπ3答案：π37．若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝，则sin(α－β)的值为________．23解析：由tan β＝2tan α得，2sin αcos β＝cos αsin β，所以2sin αcos β＝，23所以sin αcos β＝，13所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－＝－.132313答案：－138．已知函数f (x )＝sin (ω>0)，将函数y ＝f (x )的图象向右平移个单位长(ωx ＋π3)2π3度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于________．解析：将函数f (x )＝sin (ω>0)的图象向右平移个单位长度后，所得函数(ωx ＋π3)2π3为y ＝f .因为所得图象与原函数图象重合，所以f (x )＝f ，所以kT ＝，k ∈(x －2π3)(x －2π3)2π3N *，即＝，k ∈N *，所以ω＝3k ，k ∈N *，所以ω的最小值等于3.2k πω2π3答案：39．已知函数f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx (其中ω∈(0,1))，若f (x )的图象经过点3，则f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为____________．(π6，0)解析：f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ，3(2ωx －π6)∵f (x )的图象经过点，(π6，0)∴2sin ＝0，(π3ω－π6)∴ω－＝k π，k ∈Z ，解得ω＝3k ＋，k ∈Z ，π3π612∵ω∈(0,1)，∴ω＝，12∴f (x )＝2sin ，(x －π6)由－＋2k π≤x －≤＋2k π，k ∈Z ，π2π6π2得－＋2k π≤x ≤＋2k π，k ∈Z ，π32π3∴f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为.[0，2π3]答案：[0，2π3]10．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则的值为________．sin 2αcos 2β解析：＝sin 2αcos 2βsin[ α＋β ＋ α－β ]cos[ α＋β － α－β ]＝sin α＋β cos α－β ＋cos α＋β sin α－β cos α＋β cos α－β ＋sin α＋β sin α－β ＝＝＝.tan α＋β ＋tan α－β 1＋tan α＋β tan α－β 2＋31＋2×357答案：5711．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为(4π3，0)________．解析：由题意得3cos ＝3cos ＝0，所以＋φ＝k π＋，k ∈Z ，(2×4π3＋φ)(2π3＋φ)2π3π2所以φ＝k π－，k ∈Z ，π6取k ＝0，得|φ|的最小值为.π6答案：π612.函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则∠APB ＝________.解析：由题意知T ＝2，作PD ⊥x 轴，垂足为D ，则PD ＝1，AD ＝，BD ＝，1232设α＝∠APD ，β＝∠BPD ，则tan α＝，tan β＝，∠APB ＝α＋β，1232故tan ∠APB ＝＝8.12＋321－12×32答案：813.的值是________．2cos 10°－sin 20°sin 70°解析：原式＝2cos 30°－20° －sin 20°sin 70°＝2 cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20° －sin 20°sin 70°＝＝.3cos 20°cos 20°3答案：314．已知函数f (x )＝sin x (x ∈[0，π])和函数g (x )＝tan x 的图象交于A ，B ，C 三点，12则△ABC 的面积为________．解析：由题意知，x ≠，令sin x ＝tan x ，可得sin x ＝，x ∈∪π212sin x 2cos x [0，π2)，可得sin x ＝0或cosx ＝，则x ＝0或π或，不妨设A (0,0)，B (π，0)，C (π2，π]12π3，则△ABC 的面积为×π×＝.(π3，32)12323π4答案：3π4。