利用根轨迹分析系统性能(课堂PPT)

Kv
K在加速度输入下定义：
Kalim s 0 s2G(s)H(s)
1
ess
Ka
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3、动态性能
根据开环零极点和闭环零极点的关系： （1）闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向 通道根轨迹增益KG*； （2）闭环零点＝开环前向通路传函零点+反馈 通路传函极点； （3）闭环极点可由根轨迹确定（在根轨迹上 找出与K*相对应的极点）。
在今后的工作中将以MATLAB工具为辅助分析和设计工具。 17
“时域分析法+根轨迹法”，合起来 共同构成s平面上的“点”、“线”、 “面”全方位分析体系：用增加零极点 的办法将根轨迹曲线“推拉”到希望的 区域（面），对选定的根轨迹曲线按指 定参数进行区间和范围的划分和必要的 定性分析（线） ，用时域法对希望区间 内的范围进行选点计算，得到关键点的 定量分析（点）。对三者的分析结果进 行综合，就形成了对系统的更深层次上 的理解。这就是我们所设想的一个完美
极点后可使根轨
迹向右移动或弯
曲，开环极点越
G(s)H(s) 1 s(s2)(s1)
接近原点，系统 性能变得越差。
G(s)H(s)
1 s2(s2)
如果引入一个0
极点，系统将一
直处于不稳定状
态。
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二、系统三大性能分析
1、稳定性： 由根轨迹图可以很直观地看出：与K*相
对应的闭环特征方程的特征根在s平面上的 分布位置，由此可以判断系统的稳定性。
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2、稳态性能：
m
m
Klsi m 0sG(s)H(s)lsi m 0K*n j i 1 1((ss zpij))K*n j i 1 1(( zpij))
K在阶跃输入下定义： Kplsi m 0G(s)H(s) ess11Kp
K在速度输入下定义：
1
Kvlsi m 0sG(s)H(s)
ess
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1、增加开环零点对根轨迹的影响
在开环传递函数中引入零点，可以使根轨迹 向左半s平面弯曲或移动，还可以改变渐近线的 倾角，减少渐近线的条数。
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设开环传函 增加零点z＝-3 增加零点z＝-2 增加零点z＝0
G(s)H(s)s(s212s2) G(s)H(s) s3
s(s22s2) G(s)H(s)s(s2s22s2) G(s)H(s)s(s2s2s2)
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设开环传函 增加极点p＝-4 增加极点p＝-1 增加极点p＝0
G(s)H(s) 1 s(s2)
G(s)H(s)
1
s(s2)(s4)
G(s)H(s)
1
s(s2)(s1)
G(s)H(s)
1 s2(s2)
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G(s)H(s) 1 s(s2)
G(s)H(s)
1
由以上对比可以
s(s2)(s4)
看出，引入开环
为何k 值* ，系统都是稳定的；如根轨迹有一条（或一条以上）的
分支全部位于s平面的右半部，则说明无论开环根轨迹增益
如何改k 变* ，系统都是不稳定的；如果有一条（或一条以上）的
根轨迹从s平面的左半部穿过虚轴进入s面的右半部（或反之）， 而其余的根轨迹分支位于s平面的左半部，则说明系统是有条
件的稳定系统，即当开环根轨迹增益 大于临界值 K * 时系统
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线性系统根轨迹分析法的第一个工 作是分析根轨迹图上的规律，并寻找到可 以作为工作点的参考范围。第二个工作将 是设法改造根轨迹图，使根轨迹图变成一 个像软面条一样的玩具可以任意塑造，并 使其按我们的希望目标变形。这就是增加 零极点的技术。
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一、增加开环零极点对系统性能的影响
由于根轨迹是由开环零极点决定的，因 此在系统中增加或改变零极点在s平面的位 置，可以改变根轨迹的形状，影响系统的性 能。
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G(s)H(s)s(s212s2)
G(s)H(s)s(s2s23s2)
由以上对比
可以看出，
引入开环零
点后可使根
轨迹向左移
G(s)H(s)s(s2s22s2)
动或弯曲， 开环零点越
G(s)H(s)
s
s(s22s2)
接近原点，
系统性能变
得越好。
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2、增加开环极点对根轨迹的影响
在开环传递函数中引入极点，可以使根轨迹 向右半s平面弯曲或移动，还可以改变渐近线的 倾角，增加渐近线的条数。
由开环传递函数借助于根轨迹图可以写出闭 环传递函数，运用拉氏变换或借助于计算机，可 以求出系统的时间响应（时域分析）。
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用根轨迹分析自动控制系统的方法和步骤归纳如下：
⑴根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则绘制
出系统的根轨迹图。 ⑵由根轨迹在s平面上的分布情况分析系统的稳定性。如果全 部根轨迹都位于s平面左半部，则说明无论开环根轨迹增益
根轨迹图的最 大特点是参数的可 视化。这正是时域 法的不足。
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4-4系统性能分析
自动控制系统的稳定性，由它的闭环极点唯一确 定，从根轨迹图可以直接看出；稳态性能只同开环 传递函数有关，具体说就是同开环传递函数的K*、 开环零极点和ν有关，这些信息在根轨迹图上都有反 映；动态性能与系统的闭环极点和零点在S平面上的 分布有关。因此确定控制系统闭环极点和零点在S平 面上的分布，特别是从已知的开环零、极点的分布 确定闭环零、极点的分布，是对控制系统进行分析 必须首先要解决的问题。
便由稳K 定c* 变为不稳定（或反之）。此时，关键是求出开环根轨
迹增益 的临界值 。K这* ห้องสมุดไป่ตู้分析和设K 计c* 系统的稳定性提供了选
择合适系统参数的依据和途径。
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⑶根据对系统的要求和系统的根轨迹图分析系统的瞬 态响应指标。对于一阶、二阶系统，很容易在它的根轨迹上 确定对应参数的闭环极点，对于三阶以上的高阶系统，通常 用简单的作图法 （如作等阻尼比线等）求出系统的主导极 点（如果存在的话），将高阶系统近似地简化成由主导极点 （通常是一对共轭复数极点）构成的二阶系统，最后求出其 各项性能指标。这种分析方法简单、方便、直观，在满足主 导极点条件时，分析结果的误差很小。如果求出离虚轴较近 的一对共轭复数极点不满足主导极点的条件，如它到虚轴的 距离不小于其余极点到虚轴距离的五分之一或在它的附近有 闭环零点存在等，这时还必须进一步考虑和分析这些闭环零、 极点对系统瞬态响应性能指标的影响。
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解决的方法之一，是第三章介绍的解析法，即 求出系统特征方程的根。解析法虽然比较精确，但 对四阶以上的高阶系统是很困难的。
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根轨迹法是解决上述问题的另一途径， 它是在已知系统的开环传递函数零、极点分 布的基础上，研究某一个和某些参数的变化 对系统闭环极点分布的影响的一种图解方法。 由于根轨迹图直观、完整地反映系统特征方 程的根在S平面上分布的全局情况，通过一些 简单的作图和计算，就可以看到系统参数的 变化对系统闭环极点的影响趋势。这对分析 研究控制系统的性能和提出改善系统性能的 合理途径都具有重要意义。