【校级联考】河南省八市重点高中联盟“领军考试”2021届高三第五次测评数学(文)试题

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高三数学上学期第五次联考试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校六校2021届高三数学上学期第五次联考试题理〔含解析〕第I 卷〔选择题〕一、本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分1{|()1},{|lg(2)}2x M x N x y x =≥==+，那么M N ⋂等于〔〕A.[)0,+∞B.(]2,0-C.()2,-+∞D.()[),20,-∞-+∞【答案】B 【解析】试题分析：集合0111|1|222x x M x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≥=≥⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭，{}|0M x x ∴=≤,(){}{}|lg 2|2N x y x x x ==+=>-，{}{}{}|0|2|20A B x x x x x x ∴⋂=≤⋂>-=-<≤，应选B.考点：指数函数、对数函数的性质及集合的运算.()f x 是R 上的奇函数，当0x >时为减函数，且(2)0f =，那么{}(2)0x f x -<=〔〕A.{}024x x x <或B.{}04x x x 或C.{}022x x x <或D.{}0224x x x <<<<或【答案】A 【解析】∵奇函数满足f (2)=0, ∴f (−2)=−f (2)=0.对于{x |f (x −2)>0},当x −2>0时,f (x −2)>0=f (2)， ∵x ∈(0,+∞)时,f (x )为减函数，∴0<x −2<2， ∴2<x <4.当x −2<0时,不等式化为f (x −2)<0=f (−2)， ∵当x ∈(0,+∞)时,f (x )为减函数， ∴函数f (x )在(−∞,0)上单调递减， ∴−2<x −2<0，∴0<x <2.综上可得：不等式的解集为{x ∣∣0<x <2或者2<x <4} 应选D. 3.:①“假设0x 为()y f x =的极值点，那么()'00f x =;②“平面向量a ，b 的夹角是钝角〞的充分不必要条件是0ab <1:01p x >-，那么1:01p x ⌝≤- 0x R ∃∈,使得210x x ++≤〞的否认是:“x R ∀∈均有012≥++x x 〞.其中不正确的个数是 A.1 B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】p ⌝所对应x【详解】①“假设0x 为()y f x =的极值点,那么()'00f x =()'00f x =,那么0x 为()y f x =0x 是导函数的变号零点时，0x 才是原函数的极值点，即①不正确； ②“平面向量a ，b 的夹角是钝角〞的必要不充分条件是0ab <正确，两向量点积小于零，夹角为钝角或者平角，夹角是钝角必然有两向量点积小于零，故②正确；1:01p x >-等价于1>x p ⌝1≤x ，而101x ≤-解得1x <即③不正确； 0x R ∃∈,使得210x x ++≤〞的否认是:“x R ∀∈均有012>++x x 〞即④不正确.即不正确的个数是3.选C. 比较综合。

2019届河南省八市重点高中联盟“领军考试”高三第五次测评数学(理)试题

绝密★启用前河南省八市重点高中联盟“领军考试” 2019届高三毕业班第五次测评数学（理）试题2019年5月注意事项：1.本试卷共6页，三个大题，22小题，满分150分，考试时间120分钟。

2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上,答在试卷上的答案无效。

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A={12|-=x y y },B = {1|≥x x },则=)(B C A RA. (-∞,-1]B. (-∞,1)C. (-1,1)D. [l,+∞)2.已知复数iz i i z 2121+++=, 则=||z A 万. A. 22 B. 25 C. 2 D. 53.在等比数列{n a }中,a 1+a 3=l, a 5+a 7+a 9+a 11 =20,则=1a A. 61 B. 31 C.2 D. 44.如图；在正方形OABC 内任取一点M,则点M 恰好取自阴影部分内的概率为A.41 B. 31 C. 52 D. 73 5.已知)6cos(3)3sin(παπα--=-,则=α2tan6.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 47. 己知椭圆C: 12222=+b y a x (a>b>0)的右焦点为F,过点F 作圆222b y x =+的切线,若两条切线互相垂直,则椭圆C 的离心率为 A. 21 B. 22 C. 32 D.36 8.己知函数x x x f -=+22log )1(2,若b a f =)(,则=-)4(a fA.bB.2-bC.-bD.4-b9.已知函数)2<<26,-<<0)(sin()(πϕπωϕω+=x x f 的图象向右平移3π个单位长度得到函数)(x g 的图象,若)(x f 和)(x g 的图象都关于4π=x 对称,则=⋅ϕω10.已知实数y x ,满足31+≤+≤≤ax y x y ,若x y 2-的最大值是3,则实数a 的取值范围是A. (-∞,3]B. [1,3]C. (-∞,2]D. [2, +∞)11.已知函数⎩⎨⎧≤=0,0＞,ln )(x ax x x x f ,若方程)()(x f x f -=-有五个不同的实数根,则a 的取值范围是A. (0,+∞)B. (0, e1) C. (-∞,0) D. (0,1) 12.在一个圆锥内有一个半径为R 的半球,其底面与圆锥的底面重合,且与圆锥的侧面相切,若该圆锥体积的最小值为29π,则=R A. 1 B. 3 C. 2 D. 32二、填空题：本题共4小题,每小题5分。

河南省八市2021届高三数学第五次测评试题文.doc

河南省八市2021届高三数学第五次测评试题文一、单选题1．设集合{}1,2,3,4,5A =，{}2,nB x x n Z ==∈，则AB =（）A ．{}4B ．{}2,4C ．{}1,2,4D ．{}1,3,5【答案】C【解析】根据交集的定义直接求解即可. 【详解】021=，122=，224= {}1,2,4A B ∴=本题正确结果：C 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2．已知复数212iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（） A ．()0,1- B ．()0,1C ．()1,1-D ．()1,0-【答案】A【解析】根据复数除法运算求得z ，从而可得对应点的坐标. 【详解】()()()()212251212125i i i iz i i i i ----====-++- z ∴对应的点坐标为：()0,1- 本题正确选项：A 【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及到复数的除法运算，属于基础题. 3．命题“[)0,x ∀∈+∞，1sin x e x ≥+”的否定是（） A ．[)0,x ∀∈+∞，1sin x e x <+ B ．[)0,x ∀∉+∞，1sin x e x ≥+ C ．[)0,x ∃∈+∞，1sin x e x <+ D ．[)0,x ∃∉+∞，1sin x e x <+【答案】C【解析】根据含全称量词命题的否定即可得到结果.【详解】根据含全称量词命题的否定可得该命题的否定为：[)0,x ∃∈+∞，1sin x e x <+ 本题正确选项：C 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题. 4．函数()1ln 1y x x =-+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由函数()1ln(1)f x x x=-+，可得()10f >和()210f e -<，利用排除法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()1ln(1)fx x x =-+，可得()11ln 20f =->，可排除C 、D ，又由()222111ln 1011f e e e e -=-=-<--，排除B ，故选A. 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中根据函数的解析式，合理利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 5．已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（） A ．3- B ．3C ．3D 3 【答案】C【解析】由题意利用两角差的正余弦公式展开求得tanα的值，再利用二倍角公式求得tan 2α的值．【详解】由题1331sin cos 3cos sin 2222，则tan α= 故tan2α=22tan =431tan故选：A 【点睛】本题主要两角差的正余弦公式，二倍角公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于基础题．6．已知函数()21x f x x =-，则（）A ．()f x 在()0,1单调递增B ．()f x 的最小值为4C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称D ．()y f x =的图象关于点()1,2对称【答案】D【解析】根据()0,1x ∈时，()0f x '<，可排除A ；当10x -<，()0f x <，可排除B ；()()2f x f x -≠，可排除C ；()()114f x f x ++-=可知D 正确.【详解】由题意知：()()()()()()222222122111x x x x x x xf x x x x ----'===---当()0,1x ∈时，()0f x '<，则()f x 在()0,1上单调递减，A 错误；当10x -<时，()0f x <，可知()f x 最小值为4不正确，B 错误；()()()22221x f x f x x --=≠--，则()f x 不关于1x =对称，C 错误； ()()()()2211114x x f x f x xx+-++-=+=-，则()f x 关于()1,2对称，D 正确.本题正确选项：D 【点睛】本题考查函数单调性、最值、对称轴和对称中心的求解问题，考查函数性质的综合应用，属于中档题.7．已知圆22220x y x y a +-++=截直线40x y +-=所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为（） A ．()217,217-+ B ．()217,2- C ．()15,-+∞ D ．()15,2-【答案】D【解析】根据圆的半径大于零可求得2a <；利用点到直线距离公式求出圆心到直线距离d ，利用弦长2226r d -<可求得15a >-；综合可得a 的取值范围. 【详解】由题意知，圆的方程为：()()22112x y a -++=-，则圆心为()1,1-，半径为2a -则：20a ->，解得：2a <圆心到直线40x y +-=的距离为：114222d --==2286a ∴--<，解得：15a >-综上所述：()15,2a ∈- 本题正确选项：D 【点睛】本题考查直线被圆截得弦长相关问题的求解，关键是明确弦长等于222r d -，易错点是忽略半径必须大于零的条件.8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】画出几何体的直观图，判断出各面的形状，可得答案．【详解】三视图还原为如图所示三棱锥A-BCD ：由正方体的性质得A ,,BC BCD ACD 为直角三角形，ABD 为正三角形故选：C【点睛】本题考查的知识点是简单几何体的直观图，数形结合思想，难度中档．9．已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（） A ．12B ．22C ．23D ．6 【答案】D【解析】由题意画出图形，可得2b c =，两边平方后结合隐含条件得答案．【详解】如图，2b c =，则2b 2＝c 2，即2（a 2﹣c 2）＝c 2，则2a 2＝3c 2，∴2223c a =，即e c a ==．故选：D ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =4c =.且cos 3cos a B b A =，则ABC ∆的面积为（）A ．2B ．3C ．4D ．【答案】A【解析】根据余弦定理构造方程可求得a =，从而得到cos A ，根据同角三角函数求得sin A ，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】由余弦定理得：222222322a c b b c a a b ac bc+-+-⋅=⋅，即()221623216a a +-=+-解得：a =222cos22b c a A bc +-∴===sin 2A ∴==11sin 42222ABC S bc A ∆∴==⨯=本题正确选项：A 【点睛】本题考查余弦定理解三角形、同角三角函数值求解、三角形面积公式的应用，关键是能够利用余弦定理解得边长和角度. 11．已知函数()ln ,0,0x x f x ax x >⎧=⎨≤⎩，若方程()()f x f x -=-有五个不同的实数根，则a 的取值范围是（） A ．()0,∞+B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．()0,1【答案】B【解析】由方程的解与函数图象的交点问题得：方程f （﹣x ）＝﹣f （x ）有五个不同的实数根等价于y ＝f （x ）的图象与y ＝g （x ）的图象有5个交点，作图可知，只需y ＝ax 与曲线y ＝lnx 在第一象限由两个交点即可，利用导数求切线方程得：设过原点的直线与y ＝lnx 切于点P （x 0，y 0），得lnx 0＝1，即f ′（e ）1e=，即过原点的直线与y ＝lnx 相切的直线方程为y 1e =x ，即所求a 的取值范围为01a e＜＜，得解．【详解】设g （x ）＝﹣f （﹣x ），则y ＝g （x ）的图象与y ＝f （x ）的图象关于原点对称，方程f （﹣x ）＝﹣f （x ）有五个不同的实数根等价于函数y ＝f （x ）的图象与y ＝g （x ）的图象有5个交点，由图可知，只需y ＝ax 与曲线y ＝lnx 在第一象限有两个交点即可，设过原点的直线与y ＝lnx 切于点P （x 0，y 0），由f ′（x ）1x=，则y ＝lnx 的切线为y ﹣lnx 001x =（x ﹣x 0），又此直线过点（0，0），所以lnx 0＝1，所以x 0＝e ，即f ′（e ）1e=，即过原点的直线与y ＝lnx 相切的直线方程为y 1e=x ，即所求a 的取值范围为01a e＜＜，故选：B ．【点睛】本题考查了方程的解与函数图象的交点个数问题及利用导数求切线方程，属中档题． 12．在一个圆锥内有一个半径为R 的半球，其底面与圆锥的底面重合，且与圆锥的侧面相切，若该圆锥体积的最小值为92π，则R =（）A ．1B 3C ．2D ．23【答案】B【解析】画出三视图及正视图，设圆锥的底面半径为r ，高为h ,得22rh h r R ，进一步得圆锥体积223222222111V 333h R h r h h R h R h R，求导求最值即可求解【详解】几何体如图一所示：其正视图如图二所示设圆锥的底面圆心为O, 半径为r ，高为h ,则OA=h ,22rh h r R又圆锥体积223222222111V333h R h r h h R h R h R令f h322213h R h Rh R ，则222'2222313h h R f h R h R当''0,3;0,3f h hR f hR h R ，故f h 在3,R 单调递增，在3R R ，单调递减，故f h 在3hR 取得最小值，此时42min221393,3332R V R RR R R故选：B【点睛】本题考查球的组合体问题，考查利用导数求最值，考查空间想象和转化化归能力，是难题二、填空题13．已知向量()1,1a =，()2,b m =-，若()2//a b b -，则实数m =______. 【答案】-2【解析】根据向量坐标运算可求得()24,2a b m -=-，根据平行关系可构造方程求得结果. 【详解】由题意得：()24,2a b m -=-()2//a b b - ()422m m ∴=--，解得：2m =-本题正确结果：2- 【点睛】本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程.14．设x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则2x y -的最小值是______.【答案】-3【解析】设2z x y =-，根据约束条件画出可行域，可知z 取最小值时，2y x z =-在y 轴截距最大；由图象可知当2y x z =-过A 时截距最大，求出A 点坐标，代入可得结果.【详解】设2z x y =-，由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：则z 取最小值时，2y x z =-在y 轴截距最大由图象可知，当2y x z =-过A 时，截距最大由3400x y x y -+=⎧⎨+=⎩得：()1,1A -min 213z ∴=--=-，即()min 23x y -=-本题正确结果：3- 【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为在y 轴截距的最值求解问题，根据图象平移求得结果.15．已知将函数()()sin 06,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+<<-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则⋅=ωϕ______.【答案】34π-【解析】根据左右平移可得()g x 解析式；利用对称性可得关于ω和ϕ的方程组；结合ω和ϕ的取值范围可分别求出ω和ϕ的值，从而得到结果. 【详解】由题意知：()sin 33g x f x x ππωωϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称,42,432k k Z k k Z ππωϕππππωωϕπ''⎧+=+∈⎪⎪∴⎨⎪++=+∈⎪⎩，解得：()3k k ω'=-，,k k Z '∈06ω<< 3ω∴= ,4k k Z πϕπ∴=-+∈又22ππϕ-<<4πϕ∴=-34πωϕ∴⋅=-本题正确结果：34π- 【点睛】本题考查三角函数的平移变换、根据三角函数对称性求解函数解析式的问题，关键是能够根据正弦型函数对称轴的求解方法构造出方程组.16．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在曲线C 上，若PAB ∆中，2PBA PAB π∠=∠+，则双曲线C 的渐近线方程为______.【答案】y x =±【解析】利用已知条件求出P 的坐标（x ，y ）满足的条件，然后求解a ，b 的关系即可，【详解】如图，过B 作BM ⊥x 轴，∵∠PBA ＝∠PAB 2π+，则∠PAB ＝∠PBM ， ∴∠PAB +∠PBx 2π=．即k PA •k PB ＝1．设P （x ，y ），又A （﹣a ，0），B （a ，0）．1y y x a x a⋅=+-，∴x 2﹣y 2＝a 2， ∴a ＝b ，则双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ，故答案为：y ＝±x 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．属于中档题．三、解答题17．已知等差数列{}n a 中，33a =，22a +，4a ，62a -顺次成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()2111nn nn n a b a a ++=-，{}n b 的前n 项和n S ，求2n S .【答案】(1)n a n =；（2）221nn -+ 【解析】（1）利用三项成等比数列可得()()242622a a a =+-，利用3a 和d 来表示该等式，可求得d ；利用等差数列通项公式求得结果；（2）由（1）可得()1111nn b n n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，则2n S 可利用裂项相消的方法来进行求解. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d22a +，4a ，62a -顺次成等比数列 ()()242622a a a ∴=+-()()()2333232a d a d a d ∴+=-++-，又33a =()()()23513d d d ∴+=-+，化简得：2210d d -+=，解得：1d =()()33331n a a n d n n ∴=+-=+-⨯=（2）由（1）得：()()()()211211111111nnn n nn n a n b a a n n n n +++⎛⎫==-=-+ ⎪++⎝⎭-212321111111122334221n n S b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++⋅⋅⋅+=-+++-++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121nn n -=-+=++ 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求数列的前n 项和的问题，关键是熟练掌握关于通项中涉及到()1n-的裂项方法.18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，1AA AC =，90ACB ∠=︒.（1）求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；（2）若160A AC ∠=︒，22AC CB ==，求四棱锥11A BCC B -的体积.【答案】（1）见解析；（2）233【解析】（1）根据面面垂直性质可证得BC ⊥平面11ACC A ，从而可得1BC A C ⊥，利用平行关系可得111AC B C ⊥；根据四边形11ACC A 是菱形，可得11A C AC ⊥；根据线面垂直判定定理可得1A C ⊥平面11AB C ，根据面面垂直判定定理可证得结论；（2）由图形可知11111122A BCC B A CC B B ACC V V V ---==，可利用三棱锥体积公式求得11B ACC V -，代入可求得结果.【详解】（1）平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，90ACB ∠=BC ∴⊥平面11ACC A1A C ⊂平面11ACC A 1BC AC ∴⊥ 11//B C BC 111AC B C ∴⊥ 四边形11ACC A 是平行四边形，且1AA AC = ∴四边形11ACC A 是菱形11AC AC ∴⊥ 1111AC B C C = 1A C ∴⊥平面11AB C又1AC ⊂平面11A B C ∴平面11AB C ⊥平面11A B C （2）四边形11ACC A 是菱形，160A AC ∠=，2AC =1122sin 6032ACC S ∆∴=⨯⨯⨯=11//B C BC ，11B C BC =，BC ⊥平面11ACC A ，1BC =1111111133B ACC ACC V S B C -∆∴=⨯⨯==，111111223A BCCB A CC B B ACC V V V ---∴===即四棱锥11A BCC B -的体积为3【点睛】本题考查面面垂直关系的证明、四棱锥体积的求解问题，涉及到面面垂直判定定理和性质定理、线面垂直判定定理和性质定理、棱锥体积公式、体积桥求解体积的问题，属于常规题型. 19．某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查.已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示.规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”.拥有驾驶证没有驾驶证合计得分优秀得分不优秀25合计100（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率.附表及公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.()2P K k≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析；有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关；（2）35 P=【解析】（1）根据频率分布直方图计算可补全列联表中的数据，根据公式计算可求得2 6.635K >，从而可得结论；（2）根据频率分布直方图计算出“安全意识优良”的人数，根据分层抽样原则可知“安全意识优良”的人中抽取2人；采用列举法列出所有基本事件，找到符合题意的基本事件个数，利用古典概型求得结果. 【详解】（1）由题意可知拥有驾驶证的人数为：10040%40⨯=人则拥有驾驶证且得分为优秀的人数为：402515-=人由频率分布直方图知得分优秀的人数为：()100100.0150.00520⨯⨯+=人∴没有驾驶证且得分优秀的人数为：20155-=人则没有驾驶证且得分不优秀的人数为：10040555--=人可得列联表如下：()221001555255122512 6.6354060208096K ⨯⨯-⨯∴==>>⨯⨯⨯∴有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关（2）由频率分布直方图可求得70以上（含70）的人数为：()1000.0200.0150.0051040⨯++⨯=∴按分层抽样的方法抽出5人时，“安全意识优良”的有2人，记为1,2；其余的3人记为,,a b c从中随机抽取3人，基本事件有：()1,2,a ，()1,2,b ，()1,2,c ，()1,,a b ，()1,,a c ，()1,,b c ，()2,,a b ，()2,,a c ，()2,,b c ，(),,a b c 共10个恰有一人为“安全意识优良”的事件有6个∴恰有一人为“安全意识优良”的概率为：63105P == 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频率和频数、独立性检验的应用、分层抽样的基本原理、古典概型的概率求解，属于中档题.20．已知O 为坐标原点，过点()1,0M 的直线l 与抛物线C ：22(0)y px p =>交于A ，B 两点，且3OA OB ⋅=-．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点M 作直线'l l ⊥交抛物线C 于P ，Q 两点，记OAB ∆，OPQ ∆的面积分别为1S ，2S ，证明：221211S S +为定值. 【答案】（1）24y x =；（2）详见解析.【解析】（1）设直线l 的方程为x ＝my +1，与抛物线C 的方程联立消去x 得关于y 的方程，利用根与系数的关系表示3OA OB ⋅=-，从而求得p 的值；（2）由题意求出弦长|AB |以及原点到直线l 的距离，计算△OAB 的面积S 1，同理求出△OPQ 的面积S 2，再求221211S S +的值．【详解】（1）设直线l ：1x my =+，与22y px =联立消x 得，2220y pmy p --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y pm +=，122y y p =-.因为g x （），所以()()1112222111OA OB x x y m y y y y y m ⋅++==++()()2121211m y y m y y =++++()()221221213m p pm p =+-++=-+=-，解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =.（2）由（1）知()1,0M 是抛物线C 的焦点，所以21212244AB x x p my my p m =++=+++=+.原点到直线l的距离d =，所以()21412OABS m ∆=+=因为直线'l 过点()1,0且'l l ⊥，所以OPQS ∆==所以()()2222212111144141m S S m m +=+=++. 即221211S S +为定值14. 【点睛】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了直线与抛物线方程的应用问题，是中档题．21．已知函数()()ln f x x x a b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为210x y --=.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的()1,x ∈+∞，()()1f x m x ≥-恒成立，求正整数m 的最大值. 【答案】（1）1a =，0b =；（2）3【解析】（1）根据切线方程可求得()1f 且()12f '=，从而构造方程求得结果；（2）利用分离变量的方式可得()ln 11x x m x +≤-在()1,x ∈+∞上恒成立；令()()ln 11x x g x x +=-，1x >，通过导数可知()03,4x ∃∈，当()01,x x ∈时，()0g x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，从而可得()()0min g x g x =，可求得()()003,4g x x =∈，则()03,4m x ≤∈，得到所求结果. 【详解】（1）由()()ln f x x x a b =++得：()ln 1f x x a '=++ 由切线方程可知：()1211f =-=()112f a '∴=+=，()11f a b =+=，解得：1a =，0b =（2）由（1）知()()ln 1f x x x =+则()1,x ∈+∞时，()()1f x m x ≥-恒成立等价于()1,x ∈+∞时，()ln 11x x m x +≤-恒成立令()()ln 11x x g x x +=-，1x >，则()()2ln 21x x g x x --'=-. 令()ln 2h x x x =--，则()111x h x x x-'=-= ∴当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，则()h x 单调递增()31ln30h =-<，()422ln 20h =-> ()03,4x ∴∃∈，使得()00h x =当()01,x x ∈时，()0g x '<；()0,x x ∈+∞时，()0g x '>()()()000min 0ln 11x x g x g x x +∴==-()000ln 20h x x x =--= 00ln 2x x ∴=- ()()()()0000min 0213,41x x g x g x x x -+∴===∈-()03,4m x ∴≤∈，即正整数m 的最大值为3【点睛】本题考查根据在某一点处的切线方程求解函数解析式、利用导数解决恒成立问题.解决恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值的关系，利用导数求得函数的最值，从而求得结果. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C：2x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C ：24cos 3ρρθ=-. （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与2C 交于A ，B 两点，A ，B 的中点为M ，点()0,1P -，求PM AB ⋅的值.【答案】（1）1C 的普通方程为()2225x y +-=，2C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=；（2）3.【解析】（1）直接消去参数可得C 1的普通方程；结合ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ得C 2的直角坐标方程；（2）将两圆的方程作差可得直线AB 的方程，写出AB 的参数方程，与圆C 2联立，化为关于t 的一元二次方程，由参数t 的几何意义及根与系数的关系求解．【详解】（1）曲线1C 的普通方程为()2225x y +-=.由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得曲线2C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=.（2）将两圆的方程()2225x y +-=与22430x y x +-+=作差得直线AB 的方程为10x y --=.点()0,1P -在直线AB 上，设直线AB的参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入22430x y x +-+=化简得240t -+=，所以12t t +=，124t t =.因为点M对应的参数为1222t t +=，所以121222t t PM AB t t +⋅=⋅-=3==. 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，着重考查直线参数方程中参数t 的几何意义，是中档题． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x a x =--+.（1）当1a =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）若()20f x a --≤恒成立，求实数a 的取值范围.优质资料\word 可编辑- 21 - / 21 【答案】（1）(],0-∞；（2）[]1,1-.【解析】（1）将a ＝1代入f （x ）中去绝对值，然后分别解不等式；（2）f （x ）﹣a ﹣2≤0恒成立等价于f （x ）max ≤a +2，求出f （x ）的最大值后解不等式．【详解】（1）当1a =时，()3,22112,123,1x f x x x x x x ->⎧⎪=--+=--≤≤⎨⎪<-⎩，当2x >时，31-≥，无解；当12x -≤≤时，121x -≥，得0x ≤，所以10x -≤≤；当1x <-时，3≥1，符合.综上，不等式()1f x ≥的解集为(],0-∞.（2）因为()20f x a --≤恒成立等价于()max 2f x a ≤+，因为()212121x a x x a x a --+≤--+=+，所以212121a x a x a -+≤--+≤+. 所以212a a +≤+，所以2212a a a --≤+≤+，解得11a -≤≤.所以所求实数a 的取值范围为[]1,1-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题．。

河南省八市重点高中联盟“领军考试”高考数学压轴试卷(理科)(5月份)解析版

14. 设（x-1）4（2x+1）=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a5（x+1）5，则 a1+a2+…+a5 的值为______．
15. 在△ABC 中，sin2 +sinAsinB= ，AC=4，S△ABC=6，则 BC=______
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16. 已知 x，y∈R，若|x+1|+|y+1|+|x-1|+|y-1|≤4，则 xy 的取值范围是______．三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，公差 d=-2，且 a1，a3，a4 成等比数列．
12. 函数 f（x）的定义域为 R，∀x∈R 有 f（x）=2f（x+1），且 X∈[0，1）时，f（x）=16x-1
，则函数 g（x）=f（x）-log16x 的零点个数为（）
A. 3 个
B. 4 个
C. 5 个
D. 6 个
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N=（3，4），若 P（ξ＜2a-1）=P（ξ＞a+4），则 a 的值为______．
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 如图，网格纸上小正方形边长为 1，粗线画出的是某几
何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A. π B. π C. π D. π
第 1 页，共 13 页
7. 函数 f（x）在区间[-1，5]上的图象如图所示，g（x）= f（t）dt，则下列结论正确的是（）

【数学】河南省八市重点高中联盟高三5月领军考试试题(文)(解析版)

河南省八市重点高中联盟高三5月领军考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2，，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】，，则，选.2.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查共轭复数的概念，先把复数的分母实数化，，根据共轭复数的概念易得答案C。

3.已知数列满足．若，且，则（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】由数列满足，根据等差中项公式，可得数列为等差数列，故，即，又，所以，则，故选D.4.某班级在一次数学竞赛中为全班学生设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品的单价分别为：一等奖元、二等奖元、三等奖元、参与奖元，获奖人数的分配情况如图，则以下说法不正确．．．的是（）.A. 获得参与奖的人数最多B. 各个奖项中参与奖的总费用最高C. 购买每件奖品费用的平均数为元D. 购买的三等奖的奖品件数是一、二等奖的奖品件数和的二倍【答案】B【解析】由题意，设全班人数为，由扇形统计图可知，一等奖占，二等奖占，三等奖占，参与奖占.获得参与奖的人数最多，故A正确；各奖项的费用：一等奖，二等奖，三等奖占，参与奖占，可知各个奖项中三等奖的总费用最高，故B错误；平均费用元，故C正确；一等奖奖品数为，二等奖奖品数为，三等奖奖品数为，故D正确.故选B.5.分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，则（）A. 4B. 3C.D. 2【答案】A【解析】由双曲线的定义可知，本题选择A选项.6.某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为，则该几何体的体积为（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖出两个圆锥体，如图所示.由图中知圆锥的半径为，高为，该几何体的体积为，故选B.7.相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调。

河南省八市学评2021-2022学年高考全国统考预测密卷数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（） A ．3B ．5C ．3D ．52．执行下面的程序框图，则输出S 的值为（）A ．112-B ．2360C ．1120D ．43603．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是（） A ．0.02sin 360000y t = B ．0.03sin180000y t = C ．0.02sin181800y t=D ．0.05sin 540000y t =4．已知幂函数()f x x α=的图象过点(3,5)，且1a e α⎛⎫= ⎪⎝⎭，3b α=，1log 4c α=，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c a b <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a <<5．设a ，b 都是不等于1的正数，则“22a b log log ＜”是“222a b ＞＞”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）A ．(1,]eB ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-7．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积222221()42a b c S ab ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（）A ．2B ．22C ．6D ．238．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（） A ．10B ．9C ．8D ．79．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2-B ．3C ．3-D ．210．已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<11．设递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知4403S =，43231030a a a -+=，则4a =（） A ．9B ．27C ．81D ．8312．已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（）A ．3B ．3-C ．33-D ．3-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省2021届高三上学期名校联盟模拟信息卷数学理科试题理数答案

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河南省郑州市2021届新高考五诊数学试题含解析

河南省郑州市2021届新高考五诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数3ln ()3ln x a x f x a x x =-+-在区间()1,+∞上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(,3)(3,)e +∞ B ．[)0,e C ．()2,e +∞ D ．(,){3}e -∞ 【答案】A【解析】【分析】函数3ln ()3ln x a x f x a x x =-+-的零点就是方程3ln 30ln x a x a x x-+-=的解，设()ln x g x x =，方程可化为(()3)(())0g x g x a --=，即()3g x =或()g x a =，求出()g x 的导数()g x '，利用导数得出函数的单调性和最值，由此可根据方程解的个数得出a 的范围．【详解】由题意得3ln 30ln x a x a x x-+-=有四个大于1的不等实根，记()ln x g x x =，则上述方程转化为3(()3)10()g x a g x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即(()3)(())0g x g x a --=，所以()3g x =或()g x a =．因为2ln 1()(ln )x g x x '-=，当()1,x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(),x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x 在x e =处取得最小值，最小值为()g e e =．因为3e >，所以()3g x =有两个符合条件的实数解，故3ln ()3ln x a x f x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不相等的零点，需a e >且3a ≠．故选：A ．【点睛】本题考查复合函数的零点．考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力．2．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．64种【答案】C【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有246C =种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有222A =种情况，此时有224⨯=种情况，则有6424⨯=种不同的安排方法；故选：C ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．3．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】【分析】取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，根据正棱柱的结构性质，得出1A E //AD ，则1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，求出11tan CE CA E A E∠=，即可得出结果. 【详解】解：如图，取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，由于正三棱柱111ABC A B C -，则1BB ⊥底面111A B C ，而1A E ⊂底面111A B C ，所以11BB A E ⊥，由正三棱柱的性质可知，111A B C △为等边三角形，所以111A E B C ⊥，且111A EB C E =, 所以1A E ⊥平面11BB C C ，而EC ⊂平面11BB C C ，则1A E ⊥EC ，则1A E //AD ，190A EC ∠=︒，∴1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，设2AB =，则1AA =1A E =，3CE =，则11tan CE CA E A E ∠=== ∴13πCA E ∠=. 故选：C.【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.4．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题：①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上.其中所有正确命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】①：由抛物线的定义可知15AF a =+=，从而可求A 的坐标；②：做A 关于准线1x =-的对称点为'A ，通过分析可知当',,A P O 三点共线时PA PO +取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值'A O ；③：设出直线l 方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求0MB MC k k +=，从而可判断出,OMB OMC ∠∠的关系；④：计算直线,OD OB 的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点B O D 、、在同一条直线上.【详解】解：对于①，设(),A a b ，由抛物线的方程得()1,0F ，则15AF a =+=，故4a =，所以()4,4A 或()4,4-，所以满足条件的点A 有二个，故①不正确；对于②，不妨设()4,4A ，则A 关于准线1x =-的对称点为()'6,4A -，故''PA OP PA OP A O +=+≥==，当且仅当',,A P O 三点共线时等号成立，故②正确；对于③，由题意知，()1,0M - ，且l 的斜率不为0，则设l 方程为：()10x my m =+≠，设l 与抛物线的交点坐标为()()1122,,,B x y C x y ，联立直线与抛物线的方程为，214x my y x=+⎧⎨=⎩ ，整理得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，所以 21242x x m +=+，()()221212114411x x my my m m =++=-++= 则()()()()1221121212121212121122211111MB MC y x y x y y y y my y k k x x x x x x x x ++++++=+==+++++++ 2242404211m m m ⨯-⨯==+++.故,MB MC 的倾斜角互补，所以OMB OMC ∠=∠，故③正确. 对于④，由题意知()21,D y - ，由③知，12124,4y y m y y +==- 则12114,OB OD y k k y x y ===- ，由12211440OB OD y y k k y y y +-=+==，知OB OD k k =，即三点B O D 、、在同一条直线上，故④正确.故选:C.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值. 5．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】【分析】执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案．【详解】由题意，执行上述的程序框图：第1次循环：满足判断条件，2,1x y ==；第2次循环：满足判断条件，4,2x y ==；第3次循环：满足判断条件，8,3x y ==；不满足判断条件，输出计算结果3y =，故选A ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.【详解】设()ln 1g x x x =--，(1)0g =，则1()ln 1f x x x =--的定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞.1()1g x x '=-，当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单增，当(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单减，则()(1)0g x g ≥=.则()f x 在(0,1)x ∈上单增，(1,)x ∈+∞上单减，()0f x >.选B.【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.7．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（） A 3B ．51)-C ．45D ．4【答案】D【解析】【分析】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则2||4||1PM x PF x=+-，利用均值不等式得到答案. 【详解】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则()()22222224||||44||1x y x x PM P P M x F x Q P x x -+-+====+≥-，当4x x=，即2x =时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.8．(),0F c -为双曲线2222:1x y E a b-=的左焦点，过点F 的直线与圆22234x y c +=交于A 、B 两点，（A 在F 、B 之间）与双曲线E 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，若FA BP =，且23100OA OB c ⋅=-，则双曲线E 的离心率为（）A 5B ．52C 5D ．5 【答案】D【解析】【分析】过点O 作OM PF ⊥，可得出点M 为AB 的中点，由23100OA OB c ⋅=-可求得cos AOB ∠的值，可计算出cos 2AOB ∠的值，进而可得出OM ，结合FA BP =可知点M 为PF 的中点，可得出PF '，利用勾股定理求得PF （F '为双曲线的右焦点），再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值.【详解】如下图所示，过点O 作OM PF ⊥，设该双曲线的右焦点为F '，连接PF '.2333cos 22100OA OB AOB c ⋅=⋅⋅∠=-，1cos 25AOB ∴∠=-. 1cos 23cos 22AOB AOB ∠+∠∴==， 3cos 25AOB OM OA c ∠∴==， FA BP =，M ∴为PF 的中点，//PF OM '∴，90FPF '∠=，625c PF OM '==， ()22825c PF c PF '∴=-=，由双曲线的定义得2PF PF a '-=，即225c a =，因此，该双曲线的离心率为5c e a==. 故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题时要充分分析图形的形状，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 9．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()282x g x f x =+- ）A ．0,1B ．[]0,2 C ．[]1,2D ．[]1,3 【答案】A【解析】试题分析：由题意，得022{820x x ≤≤-≥，解得01x ≤≤，故选A ．考点：函数的定义域．10．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（）A ．()()sin cos βα<f fB ．()()sin cos βα>f fC ．()()sin =cos βαf fD ．以上情况均有可能【答案】B【解析】【分析】由已知可求得函数的周期，根据周期及偶函数的对称性可求()f x 在(0,1)上的单调性，结合三角函数的性质即可比较．【详解】由1(1)()f x f x +=-可得1(2)[(1)1]()(1)f x f x f x f x +=++=-=+，即函数的周期2T =，因为在区间(2017,2018)上单调递减，故函数在区间(1,0)-上单调递减，根据偶函数的对称性可知，()f x 在(0,1)上单调递增，因为α，β是锐角三角形的两个内角，所以1,(0,)2αβπ∈且12αβπ+>即12απβ>-，所以1cos cos()2απβ<-即0cos sin 1αβ<<<， (cos )(sin )f f αβ<．故选：B ．【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．11．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+（0a >且1a ≠），若(2)g a =，则函数()22f x x +的单调递增区间为（）A ．(1,1)-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性用方程法求出(),()f x g x 的解析式，进而求出a ，再根据复合函数的单调性，即可求出结论.【详解】依题意有()()2x x f x g x a a -+=-+， ①()()2()()--+-=-+=-+x x f x g x a a f x g x ， ②①-②得(),()2-=-=x x f x a a g x ，又因为(2)g a =，所以2,()22-==-x x a f x ，()f x 在R 上单调递增，所以函数()22f x x +的单调递增区间为(1,)-+∞.故选:D.【点睛】本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题. 12．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC 中，“30B ︒>”是“cos B <”的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．其中假命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案.【详解】对于命题①,因为()220002110x x x --+=≥,所以“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:ABC 中,若30B ︒>,则30180B ︒︒<<,由余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即1cos 2B -<<,即可得到cos 2B <,即充分性成立;必要性:ABC中,0180B ︒︒<<,若cos B <结合余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即30180B ︒︒<<,可得到30B ︒>,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度,可得到π2cos 23π2cos 26x y x ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎛⎥⎫+ ⎪⎝⎝⎣⎦⎭⎭的图象,即命题③是假命题．故假命题有①③.故选:C【点睛】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省2021-2022学年高三上学期第五次联考理科数学试题含参考答案

河南省2021-2022学年高三上学期第五次联考理科数学试题一、单选题1．已知集合A ={x |x 2−9x −22≤0}，B ={x |x =3n ,n ∈N }，则A B =( ) A ．{}9B ．{}1,3C ．{}3,9D ．{}1,3,92．若()1i i 2z -=-，则z =( ) A ．22i +B ．22i -C ．2iD ．2i -3．已知点()1,2A -，()10B ,，()1,2C -，()4,2D ，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值为( )A B ．C ． D 4．将函数2()sin 22sin 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，其图象关于直线12x π=对称，则ϕ的最小值为( )A ．4πB ．3πC ．8πD ．6π5．已知()1f x +是定义在R 上且周期为2的函数，当[)1,1x ∈-时，()224,10,sin ,01,x x f x x x π⎧-+-≤<=⎨≤<⎩则()1033f f ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭( )AB ．C ．D 6．如图，在三棱锥P ABC -中，5PA PB CA CB ====，2AB PC ==，点D ，E 分别为AB ，PC 的中点，则异面直线PD ，BE 所成角的余弦值为( )A ．1112B ．2324C ．34D ．567．2021年1月18号，国家航天局探月与航天工程中心表示，中国首辆火星车全球征名活动已经完成了初次评审．评审委员会遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火10个名称，将其作为中国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名称的涵义，计划从中选3个名称依次进行分析，其中有1个是祝融，其余2个从剩下的9个名称中随机选取，则祝融不是第3个被分析的情况有( ) A ．144种B ．336种C ．672种D ．1008种8．下列说法正确的为( )A ．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本．已知该校高一、高二、高三年级学生数之比为5:4:3，则应从高三年级中抽取14名学生B ．10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为13C ．若随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()50.86P X <=，则()10.14P X ≤-=D ．设某校男生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据()(),1,2,,i i x y i n =，用最小二乘法建立的回归方程为0.882ˆ5yx =-，若该校某男生的身高为170cm ，则可断定其体重为62.5kg9．已知35a b ==( ) A ．2a b ab +=B ．1ab >C ．22log log 0a b +>D ．22111222a b ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n a ( )A ．()221n n n a n n ++=+B ．211n n n S n +-=+C ．32n a ≤D ．满足2021n S ≤的n 的最大值为202111．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()102f x f x '+>，且有()112f =，则()122x f x e ->的解集为( ) A ．(),2-∞ B ．()1,+∞ C ．(),1-∞D ．()2,+∞12．我国南北朝时期的著作《孙子算经》中对同余问题有了较深的研究．设a ，b ，m 为正整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．下列说法正确的是( )A ．若2a b km -=，*N k ∈，则()mod a b m ≡B ．()27265mod7≡C ．若()()2mod a m m ≡+，()()3mod b m m ≡+，6m >，则()()5mod ab m m ≡+D ．若()mod a b m ≡，*N n ∈，则()mod n na b m ≡二、填空题13．抛物线26y x =-的焦点坐标为__________．14．已知α为第四象限角，且cos α=，则224cos sin πααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=-_________． 15．已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过左焦点F 且斜率为14的直线交C 的一条渐近线于点A ，且A 在第一象限，若OA OF =（O 为坐标原点），则C 的渐近线方程为________．16．如图所示的四边形ABCDAC ，BD 相交于点O ，将BDA 沿BD 折起到BDA '的位置，使平面A BD '⊥平面BCD ．给出以下5个结论：①A C BD '⊥；②A BC '和A CD '△都是等边三角形；③平面A BC '⊥平面ACD '；④13A BCD V '-=；⑤三棱锥A BCD '-表面的四个三角形中，面积最大的是A BC '和A CD '△．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c2ABC AC S ⋅=△，8+=b c ．(1)求角A 的大小； (2)求a 的最小值．18．如图，某市有南、北两条城市主干道，在出行高峰期，北干道有1N ，2N ，3N ，4N ，四个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率都是13，南干道有1S ，2S ，两个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率分别为12，23．某人在高峰期驾车从城西开往城东，假设以上各路段是否被堵塞互不影响．(1)求北干道的1N ，2N ，3N ，4N 个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率； (2)若南干道被堵塞路段的个数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；(3)若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准，则从城西开往城东较好的高峰期出行路线是哪一条？请说明理由．19．如图所示的四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是一个等腰梯形，//AD BC ，且224AD AB BC ===，PO是PAD △的中线，点E 是棱PD 的中点．(1)证明：//CE 平面PAB ．(2)若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA PD =，PO AO =，求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12，且椭圆E 经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，过右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 和CD ． (1)求椭圆E 的方程；(2)当四边形ACBD 的面积取得最小值时，求弦AB 所在直线的方程．21．已知函数()()1xf x x e x =-+．(1)判断()f x 的单调性；(2)当[)0,x ∈+∞时，()()()21ln 11f x x x ax ≥++--恒成立，求实数a 的取值范围．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =4t1+t 2,y =1−t 21+t 2（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ--= (1)求C 普通方程和l 的直角坐标方程；(2)若P 为曲线C 上任意一点，直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为,A B ，求PAB △面积的最大值． 23．已知函数()22f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()2f x >的解集；(2)当()0,2x ∈时，()f x x >，求实数a 的取值范围．参考答案：1．D 【解析】【分析】求出集合A ，利用交集的定义可求得集合A B . 【详解】因为{}211A x x =-≤≤，所以{}1,3,9A B =．故选：D. 2．A 【解析】【分析】利用复数的除法与加法化简可得结果. 【详解】因为2i 2i 112i iz +-==+，所以22i z =+．故选：A. 3．B 【解析】【分析】结合向量坐标运算的余弦夹角公式即可求解. 【详解】设AB 与CD 的夹角为θ，因为()2,2AB =-，()3,4CD =，所以cosθ= 故选：B 4．C 【解析】【分析】化简()f x 解析式，通过三角函数图象变换求得()g x 的解析式，根据()g x 的图象关于直线12x π=对称列方程，求得ϕ的表达式，进而求得ϕ的最小值. 【详解】因为()sin 21cos 22121333412f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+=+-+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以()22112g x x πϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．因为函数()g x 的图象关于直线12x π=对称，所以()2212122k k πππϕπ⨯++=+∈Z ，所以()82k k ππϕ=+∈Z ，因为0ϕ>，所以当 0k =时，min 8πϕ=．故选：C 5．A 【解析】【分析】利用函数的周期性，结合分段函数解析式求得()103,3f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，由此求得正确答案.【详解】因为()1f x +是周期为2的函数，所以()f x 的周期为2，即x ∀∈R ，()()2f x f x +=．又当[)1,1x ∈-时，()224,10sin ,01x x f x x x π⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，所以()()()33412f f f =-=-=，1010224sin 3333f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故()1033f f ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭．故选：A 6．B 【解析】【分析】作出异面直线,PD BE 所成的角，利用余弦定理求得所成角的余弦值. 【详解】如图，连接CD ，取CD 的中点F ，连接EF ，BF ，则//EF PD ，BEF ∠为异面直线PD ，BE 所成的角．由题意可知PD CD BE ===EF =BF所以23cos24BEF ∠==．故选：B7．A 【解析】【分析】先在祝融以外的名称中选取两个，然后结合对立事件来求得正确答案. 【详解】选取的3个名称中含有祝融的共有29C 种不同的情况．分析选取的3个名称的不同情况有33A 种，其中祝融是第3个被分析的情况有22A 种，故祝融不是第3个被分析的情况有()232932C A A 144-=种．故选：A 8．C 【解析】【分析】对A ，结合分层抽样按比例分配原则可判断错误；对B ，结合超几何分布公式可求解对应概率；对C ，结合正态分布对称性可判断；对D ，线性回归方程只能做出预测. 【详解】对于A ．应从高三年级中抽取3601512⨯=名学生，A 错误；对于B ．所求概率11822101645C C P C ==，B 错误；对于C ，()510.860.14P X ≥=-=，所以()()150.14P X P X ≤-=≥=，C 正确；对于D ，用回归方程计算得到是估计值，故不能断定其体重为62.5kg ，D 错误．故选：C 9．D 【解析】【分析】结合对数运算以及基本不等式对选项进行分析，由此确定正确答案. 【详解】由35a b ==log a =5log b =1152a b+=+=，整理得2a b ab +=，故A 正确；由112ab=+≥1≥ab ，又a b ，所以1ab >，故B 正确.因为()222log log log a b ab +=，1ab >，所以()222log log log 0a b ab +=>，故C 正确；因为112a b +=，所以112221b a =+-，22221111122221162a b a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭，当且仅当1a =时，等号成立，又3log 1a =>，所以22111222a b ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误．故选：D 10．C 【解析】【分析】将{}n a 的通项公式化简即可判断A ，再利用裂项相消法求出即可判断B ，在利用作差法证明{}n a 是单调递减数列，即可判断C ，由n S 单调递增，即可得到20202021S <，20212021S >，从而判断D ；【详解】解：21(1)n n n a n n ++===+，故A 错误；因为()1111111n a n n n n =+=+-++，所以1111111122311n S n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+-⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误；因为()()1111121121101211212n n a a n n n n n n n n n n +-⎛⎫=+--+-=--=< ⎝-⎪+++++++⎭，所以{}n a 是单调递减数列，所以132n a a ≤=，故C 正确；因为n S 单调递增，且20202021S <，20212021S >，所以满足2021n S ≤的n 的最大值为2020，故D 错误．故选：C 11．B 【解析】【分析】构造函数()()2x F x f x e =⋅，利用导数，结合已知条件判断()F x 的单调性，由此化简不等式()122x f x e ->并求得其解集. 【详解】设()()2x F x f x e =⋅，则()()()()()222110 22x x xF x f x e f x e ef x f x ⎡⎤'''=⋅+⋅=+>⎢⎥⎣⎦，所以函数()F x 在R 上单调递增，又()112f =，所以()()11221112F f e e =⋅=．又()122xf x e->等价于()12212x f x e e ⋅>，即()()1F x F >，所以1x >，即所求不等式的解集为()1,+∞．故选：B 12．D【解析】【分析】根据定义结合二项式定理逐一分析验证即可得出答案. 【详解】解：若2a b km -=，则2a km b =+或2b km a =+，故()2mod a b m ≡，故A 错误；因为()2799881999992871C 7C 7C 71==+=++++，所以272被7除所得的余数为1，65被7除所得的余数为2，故B 错误；由()()2mod a m m ≡+，得()2N a km k =+∈，由()()3mod b m m ≡+，得()3N b tm t =+∈，所以()()()223326ab km tm ktm k t m =++=+++，ab 被m 除得的余数为6，而5m +被m 除得的余数为5．故C错误；若()mod a b m ≡，则()N a km r k =+∈，()N b tm r t =+∈，()()()()12122C C n n n n n n n n a km r km km r km r r --=+=++++，()()()()12122C C nnn m n n n n b tm r tm tm r tm r r --=+=++++，所以()mod n na b m ≡，故D 正确．故选：D. 13．10,24⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】化成标准形式，结合焦点定义即可求解. 【详解】由26y x =-，得216x y =-，故抛物线的焦点坐标为10,24⎛⎫-⎪⎝⎭．故答案为：10,24⎛⎫- ⎪⎝⎭14【解析】【分析】利用同角三角函数关系式及三角恒等变换公式直接计算即可. 【详解】因为α为第四象限角，且cos α=，所以sin α=．又()()22cos sin cos sin cos sin αααααα-=-+sin cos 4πααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以2214cos sin sin cos πααααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=-+15．815y x =±【解析】【分析】将直线AF 的方程与双曲线C 的渐近线方程b y x a=联立，求出点A 的坐标，利用OA OF =列等式可求得ba的值，即可得出双曲线C 的渐近线方程. 【详解】联立方程组()14y x c b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得44ac x b a bc y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，即,44ac bc A b a b a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭．因为OA OF =，所以()()222222244a c b c c b a b a +=--，化简得815b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为815y x =±．故答案为：815y x =±． 16．①②④ 【解析】【分析】由线面垂直判定以及性质判断①；由勾股定理以及面面垂直的性质判断②；取A C '的中点E ，连接BE ，DE ，由余弦定理以及面面角的定义证明平面A BC '与平面ACD '不垂直；由体积公式得出13A BCD V '-=；由A BD BCD S S '=△△，A BC A CD S S ''=△△判断⑤.【详解】因为正方形的对角线互相垂直，所以A O BD '⊥，且CO BD ⊥，由线面垂直的判定可知BD ⊥平面A OC '，所以BD A C '⊥，所以1A O CO '==，又平面A BD '⊥平面BCD ，所以AO '⊥平面BCD，所以A C '=A BC '和A CD '△都是等边三角形，②正确；如图，取A C '的中点E ，连接BE ，DE，得BE DE ==2BD =，所以BED ∠就是二面角B A C D '--的平面角，而664cos 0BDE +-∠=≠，所以BDE ∠不是直角．即平面A BC '与平面ACD '不垂直，③错误；因为1133A BCD BCD V S A O '-'=⋅⋅=△，所以④正确；因为1A BD BCD S S '==△△，112A BC A CD S S ''===<△△，所以三棱锥A BCD '-表面的四个三角形中，面积最大的是A BD '和BCD △，不是A BC '和A CD '△，所以⑤错误．综上，可知①②④正确．故答案为：①②④17．(1)3A π=(2)4【解析】【分析】（11cos 2sin 2A bc A =⨯，对其进行化简、整理，即可求出结果.（2）由余弦定理可得()222a b c bc bc =+--，再结合8+=b c ，并利用基本不等式，即可求出结果.(1)32ABC AB AC S ⋅=△1cos 2sin 2A bc A =⨯，整理得sin A A =，所以tan A =又()0,A π∈，所以3A π=． (2)解：因为2222cos 3a b c bc π=+-，8+=b c ，所以()222643a b c bc bc bc =+--=-，故22643162b c a +⎛⎫≥-⨯= ⎪⎝⎭，即4a ≥，当且仅当4b c ==时，等号成立，所以a 的最小值为4．18．(1)6581(2)分布列见解析，()76=E X(3)高峰期选择南干道路线较好，理由见解析【解析】【分析】（1）正难则反，先求出四个路段全通勤的概率，用1减去即可求解；（2）确定0,1,2X =，结合独立事件概率公式写出分布列，即可求解()E X ；（3）设北干道被堵塞路段的个数为Y ，则1~4,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出()E Y ，比较()E X ，()E Y 大小即可求解. (1)记北干道的1N ，2N ，3N ，4N 四个易堵塞路段至少有一个被堵塞为事件A ，则()41166511138181P A ⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭； (2)由题意可知X 的可能取值为0，1，2，()121011236P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()1212111123232P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()1212233P X ==⨯=．随机变量X 的分布列为：()11170126236E X =⨯+⨯+⨯=； (3)设北干道被堵塞路段的个数为Y ，则1~4,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()14433=⨯=E Y ．因为()()E X E Y <，所以高峰期选择南干道路线较好．19．(1)证明见解析；(2)17.【解析】【分析】（1）连接OC 、OE ，证明出平面//OCE 平面PAB ，利用面面平行的性质可证得结论成立；（2）取BC 的中点为M ，连接OM ，证明出PO ⊥平面ABCD ，OM BC ⊥，以O 为坐标原点，OM 、OD 、OP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.(1)证明：连接OC 、OE ，因为O 、E 分别是棱AD 、PD 的中点，所以//OE PA ，OE ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以，//OE 平面PAB ．又//AD BC ，且224AD AB BC ===，所以//AO BC ，且AO BC =，所以四边形ABCO 是平行四边形，所以//CO AB ，CO ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，则//CO 平面PAB ．又CO OE O ⋂=，所以平面//OCE 平面PAB ．又CE ⊂平面OCE ．所以//CE 平面PAB ．(2)解：因为PA PD =，所以PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ．取BC 的中点为M ，连接OM 、OB ，因为//BC OD 且12BC AD OD ==，故四边形OBCD 为平行四边形，故2OB CD AB BC OC =====，则OBC 为等边三角形，故OM BC ⊥，以O 为坐标原点，OM 、OD 、OP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．易知2PO AO ==，OM =所以()0,2,0A -、)1,0B -、)C 、()0,2,0D 、()002P ,,， ()0,2,2AP =，()3,1,0AB=，()CD =-，()0,2,2DP =-．设平面PAB 的法向量为(),,m x y z =，则22030m APy z m AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令z =(1,m =-．设平面PCD 的法向量为()111,,n x y z =，则111130220n CD y n DP y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11x =，得(1,3,n =．设平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为θ．则1cos cos ,7m n m n m n θ⋅=<>==，即平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为17．20．(1)22143x y +=； (2)1y x =-或1y x =-+.【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，求出这三个量的值，即可得出椭圆E 的标准方程；（2）分两种情况讨论：①当AB 或CD 中有一条直线垂直于x 轴时，求出四边形ACBD 的面积；②当AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出AB 、CD ，利用四边形的面积公式结合基本不等式可求得四边形ACBD 面积的最小值，综合即可得解.(1) 解：已知可得22222121914c a a b c ab ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E 的方程为22143x y +=． (2)解：当AB 或CD 中有一条直线垂直于x 轴时，不妨设AB x ⊥轴，因为焦点F 的坐标为()1,0，所以直线AB 的方程为1x =，将1x =代入椭圆方程可得32y =±，则3AB =，4CD =，四边形ACBD 的面积14362S =⨯⨯=；当AB 的斜率存在且不为0时，设其斜率为()0k k ≠，由（1）知()1,0F ，所以直线AB 的方程为()1y k x =-，与椭圆E 的方程22143x y +=联立并消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=．设()11,A x y 、()22,B x y ，()()()42226443441214410k k k k ∆=-+-=+>, 则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，12AB x =-()2212134k k +=+．同理可得可得()222211*********k k CD k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++，所以四边形ACBD 面积()()()()()()222222222121721112243344334k k S AB CD k k k k ++=⨯=⨯=++++ ()22222272122887274943342k k k +⎛⎫≥=⨯= ⎪⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，当且仅当224334k k +=+时，即当1k =±时，等号成立，因为288649>，故当四边形ACBD 的面积取得最小值时，直线AB 的方程为1y x =-或1y x =-+．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．21．(1)()f x 在R 上单调递增，无单调递减区间(2)[)0,∞+【解析】【分析】（1）结合二阶导数来求得()f x 的单调区间.（2）先将恒成立的不等式进行等价变形，通过构造函数法，结合多次求导以及对a 进行分类讨论来求得a 的取值范围.(1)因为()()1x f x x e x =-+，所以()1x f x xe '=+．令()1x g x xe =+，则()()1x g x x e '=+．当(),1x ∈-∞-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()1,x ∈-+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增．故()()1110g x g e≥-=->，即()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，无单调递减区间．(2)()()()21ln 11f x x x ax ≥++--等价于()()()211ln 110x x e x x ax x --+++++≥．令()()()()211ln 11x h x x e x x ax x =--+++++，则()()ln 12x h x xe x ax '=-++．令()()ln 12x x xe x ax ϕ=-++，则()()1121x x x e a x ϕ'=+-++，显然()x ϕ'在[)0,∞+上单调递增，故()()02x a ϕϕ''≥=．当0a ≥时，()0x ϕ'≥，()x ϕ在[)0,∞+上单调递增，()()00x ϕϕ≥=，即()0h x '≥，则()h x 在[)0,∞+上单调递增，()()00h x h ≥=，符合条件．当0a <时，()020a ϕ'=<，()()2122122112021a a a e a a a a ϕ-'-=-+-+>-+-+=-+，所以()00,2x a ∃∈-，()00x ϕ'=．当[)00,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，则()()00x ϕϕ<=．即当[)00,x x ∈时，()0h x '≤，则()h x 在[)00,x 上单调递减，则当()00,x x ∈时，()()00h x h <= ，不符合条件．综上所述，实数a 的取值范围是[)0,∞+．【点睛】利用导数求解函数的单调性过程中，如果遇到一阶导数无法求解的情况，可考虑利用二阶导数来进行求解，求解过程中要注意导数符号与单调性间的联系.22．(1)()22114x y y +=≠-，40x y --=(2)8【解析】【分析】（1）消去参数得到C 的普通方程（注意化简变形过程的等价性：1y ≠），利用极直互化公式将直线的极坐标化为直角坐标方程；（2）根据曲线C 的普通方程，设出其角参数方程2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，02απ≤<），然后利用点到直线的距离公式求得C 上的点P 到l 的距离关于α的三角函数表达式，并利用辅助角公式化简求得最大值，进而可得PAB △面积的最大值.(1) 将2211t y t-=+变形得()2111y t y y -=≠-+，① 将241t x t =+平方得()2222161t x t =+，② 把①代入②化简得()22114x y y +=≠-．因为直线l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ--=，且 cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以直线l 的直角坐标方程为40x y --=．(2)因为直线l 的直角坐标方程为40x y --=，所以直线l 与x 轴、y 轴的交点坐标分别为()4,0A ，()0,4B -，故AB =．设曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，3π02π,2αα≤<≠）， C 上的点P 到l的距离d ==其中1tan 2ϕ=,π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 当()cos 1αϕ+=-时，max d =此时32παπϕ=-≠,符合题意.故PAB △面积的最大值为182⨯=． 23．(1){}1x x >(2)(]0,2【解析】【分析】（1）当1a =时，将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式()2f x >的解集.（2）将()f x x >转化为22ax -<，对a 进行分类讨论，由此求得a 的取值范围. (1) 当1a =时，()22f x x x =+--，即()4,2,2,22,4, 2.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩当2x -≤时，()42f x =->不成立；当22x -<<时，()22f x x =>，故12x <<；当2x ≥时，()42f x =>恒成立，故2x ≥．综上所述，不等式()2f x >的解集为{}1x x >． (2) 当()0,2x ∈时，22x ax x +-->等价于22ax -<成立．当0a ≤，且()0,2x ∈时，22ax -≥，不合题意；当0a >时，22ax -<的解集为40 x a <<，所以42a≥，故02a <≤．综上所述，实数a 的取值范围为(]0,2．。

2020届河南八市重点高中联盟领军考试数学高三(理数)数学答案

2019—2020学年度上期八市重点高中联盟“领军考试”高三数学参考答案（理数）1.【答案】D【解析】由已知可得{}{}|20|2A x x x x =+>=>-，()(){}{}|320|23B x x x x x x =-+≥=≤-≥或，所以{}|3A B x x ==≥ .故选D.2.【答案】D【解析】对于A ，函数xy 1-=是奇函数，在区间()0,+∞上单调递增，不符合题意；对于B ，函数22y x =是偶函数，在区间()0,+∞上单调递增，不符合题意；对于C ，函数sin 2y x =是奇函数，在区间()0,+∞上不是单调函数，不符合题意；对于D ，函数lg y x =-是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递减，符合题意.故选D.3.【答案】B 【解析】由2)2()(x x f x f -'=求导得)(x f '=x x f 2)2(2-'-.令2x =，得44)2()2(-'-='f f ，解得516)2(-='f .故选B.4.【答案】A【解析】因为0.30.3log 4log 10a =<=，0.4000.30.31b <=<=，0.30441c =>=，所以a b c <<.故选A.5.【答案】B【解析】由已知可得函数的定义域为{}0≠x x ，()()33e e e ex xx x x x f x f x ----===--，所以函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，可排除选项A ，C ；又当0x >时，30x >，2e 1e e 0ex xxx---=>，所以()0f x >，可排除选项D.故选B.6.【答案】A【解析】作出约束条件240,220,330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩表示的可行域，如图所示.由32z x y =-可得322z y x =-，平移直线32y x =，可知当直线过点()0,2A 时，z 取得最小值，为0224-⨯=-.故选A.【解析】如图，取1CC 的中点G ，连接,BG FG .易得AE BG ∥，所以FBG ∠是异面直线AE 与BF 所成的角（或其补角）.在FBG △中，BG ==，FG ===，BF ==.由余弦定理，可得222cos2BG BF FG FBG BG BF +-∠=⋅⋅30==.故选C.8.【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为等差数列{}n a 为递增数列，所以0d >.又因为146,,a a a 成等比数列，所以2416a a a =，即()()211135a d a a d +=+，化简得0,09101==+a d a 即，结合等差数列{}n a 为递增数列，可得129,,,a a a 都小于10a ，即都小于0，所以当n =9或10时，n S 最小.故选D.9.【答案】B【解析】由图象得，2A =，3π24π12π54=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=T ，则3π2==T ω.又212π5-=⎪⎭⎫⎝⎛f ，所以)(π22π312π53Z ∈+=+⨯k k ϕ，所以)(π24πZ ∈+=k k ϕ.又因为2π＜ϕ，所以4π=ϕ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4π3sin 2)(x x f .对于A ，当4π-=x 时，24π-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ，为函数最小值，故A 正确；对于B ，当12π=x 时，24π12π3sin 212π=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎭⎫⎝⎛f ，所以函数图象关于直线12π=x 对称，不关于点⎪⎭⎫⎝⎛012π，对称，故B 错误；对于C ，由π22π4π3π22πk x k +≤+≤+-，可得)π(3212ππ324πZ ∈+≤≤+-k k x k ，令0k =，可得12π4π≤≤-x ，所以()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,4π上单调递增，故C 正确；对于D ，由⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4π3sin 2x y 的图象向左平移6π个单位得到⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4π3sin 24π6π3sin 2x x y ，故D 正确.故选B.【解析】根据空间四面体棱长特征，将其补成长方体，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，2222224,4,2,a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩所以2225a b c ++=，由上图可知，四面体P BCD -的外接球也是该长方体的外接球，设外接球的半径为R ，根据长方体的性质知，2222(2)5R a b c =++=．故该四面体外接球的表面积为224π(2)π5πS R R ===．故选A．11.【答案】A【解析】如图，设AB 的中点为O.因为()()()()223CA CB CO OA CO OB CO OA CO OA CO OA =++=+-=-=.因为112AB OA == ，所以24CO = .又因为AD DE EB ==，所以OD OE =- ，21133OD AO AD =-=-= ，所以()()()()CE CO OD CO OE CO OD CO CD OD=++=+- 22135499CO OD =-=-= .故选A.12.【答案】C【解析】因为()()ln 10f x f x '++>⎡⎤⎣⎦，所以()()11f x f x '++>，即()()0f x f x '+>.令()()e x g x f x =⋅，则()()()e 0x g x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在R 上单调递增.又因为()1e g =，不等式()1exf x -≥，可变形为()e e xf x ⋅≥，即()()1g x g ≥，所以1x ≥，即不等式()1exf x -≥的解集为[)1,+∞.故选C.13.【答案】32【解析】由已知可得()25,11m -=--a b ，因为()a b a ⊥-2，所以()()()2254110m -=--⨯-= a b a ，解得27m =，所以993log log 272m ==.14.【答案】3399【解析】设比萨斜塔的高度为h 米，则由已知可得 4.09 4.0958.4sin 3.990.07h =≈≈︒米.设圆形地基的半径为r 米，则285π2=r ，解得9.7r ≈≈，所以比萨斜塔的侧面积为33994.587.932π2≈⨯⨯⨯≈=rh S 平方米.15.【答案】21222n n n++--【解析】由121n n a a n +-=-，可得()()112n n a n a n +++=+，所以数列{}n a n +是公比为2的等比数列，又112a +=，所以2n n a n +=，所以2n n a n=-，所以()()()221221122212222122n nn n n n n n S n +-++=+++-+++=-=--- .16.1【解析】设ADB ∠α=，BAD ∠β=，则由余弦定理，可得2222122cos 54cos AB αα=+-⨯⨯=-，2222213cos =224AB AC AB AC β+-+=⨯⨯.又由正弦定理，可得sin sin BD AB βα=，即sin sin AC αβ=，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=AC AC AC AC AC AD AC S ACD43·23sin ·21·cos 23sin ·21·3πsin ··212αβββ△33πsin 3cos 23sin 2143cos 45·23sin 2143·23sin 212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+-+=++=ααααααAC .又因为π0＜＜α，故当6π5=α时，ACD △1+.17.【解析】（1）因为∥a b ，所以03π2cos 3πsin sin 3πcos cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθθ.…………………………2分因为2π4π＜＜θ，所以3π23π26π＜＜-θ.所以2π3π2=-θ，解得12π5=θ.……………………………………4分所以14πtan 6π12π5tan 6πtan ==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-θ.………………………………5分（2）因为2π4π＜＜θ，所以π22π＜＜θ.又因为1sin 24θ=，所以cos 24θ==-.………………………………7分所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∙3π22sin 212sin 213πcos 3πsin cos sin θθθθθθb a 3π2sin 2cos 213π2cos 2sin 212sin 21θθθ-+=1sin 2cos 244θθ=-144411164⎛+=⨯-⨯-=⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.…………………………10分18.【解析】（1）因为2cos 2b cC a-=，由正弦定理，可得2sin sin cos 2sin B C C A -=，即1sin cos sin sin 2A C CB +=.………………2分又因为()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以1sin cos sin 2C A C =.……………………………………4分又因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =.又因为π0＜＜A ，所以3π=A ……………………6分（2）因为π0＜＜B，cos 3B =，所以sin 3B ==.由正弦定理，可得sin 32sin 23b Aa B==.………………………………8分又()13sin sin sin cos cos sin 23236C A B A B A B +=+=+=⨯+⨯=.………………9分所以8233266322321sin 21+=+⨯⨯⨯==C ab S ABC △.………………………………12分19.【解析】（1）连接AC.因为四边形ABCD 为正方形，所以F 也是AC 中点.………………………………2分因为E 为PA 中点，所以EF ∥PC .…………………………………………3分又PC ⊂平面PBC ，EF ⊄平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .……………………………………5分（2）因为PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以,,AD CD PD 两两垂直.以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,1,0,1,1,1,0,0,0,2D E F P ，所以()1,0,1DE = ，()0,1,1EF =- ，()1,0,1PE =-.…………………………7分设平面DEF 的一个法向量为()111,,x y z =m ，则11110,0,DE x z EF y z ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩ m m 令11x =，则111y z ==-，所以()1,1,1=--m .……………………………………9分设平面PEF 的一个法向量为()222,,x y z =n ，则22220,0,PE x z EF y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ m m 令21x =，则221y z ==，所以()1,1,1=n .……………………………………11分所以1cos ,3==- m n m n m n ，所以sin ,3==m n ，即二面角D EF P --的正弦值为3.……………………………………12分20.【解析】（1）由题意知，生产成本为()21100000050100G x x x =++，所以()()100000050100G x x f x xx==++.…………………………2分又()10000005050250100x f x x =++≥+=，当且仅当1000000100x x=，即10000x =时，()f x 取得最小值250元.即该公司生产1万只垃圾桶时，使得每只平均所需成本费用最少，且每只的成本费用为250元.………6分（2）由已知可得，利润()()21100000050100g x ax G x x x m n x x ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=-⎭=()211501000000100x m x n ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭.………………………………8分因为当产量为15000只时利润最大，此时每只售价为300元，所以110,10015000300,5015000,112100n m n m n -<+=--=⎛⎫-⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩ ⎪⎝⎭解得250m =，300n =.………………………………12分21.【解析】（1）由已知可得111a S ==.当2n ≥时，2n S n =，()211n S n -=-，所以121n n n a S S n -=-=-.显然11a =也满足上式，所以21n a n =-.………………………………………………2分因为11n n n b b a n ++=，所以12121n n b n b n+-+==.又1122b a ==，所以数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列.所以2n nb =.………………………………4分（2）由（1）可得112212n n nn n b c a n n-+===-，所以121n n nc -=.………………………………5分所以21231222n n n T -=++++ ，所以23111231222222n n n n n T --=+++++ ，两式作差，得2311111111221212222222212n n n n n nn n n T --+=+++++-=-=-- 所以1242n n n T -+=-.…………………………………………9分不等式()112nn n n T λ--<+，化为()21142nn λ--<-.当n 为偶数时，则2142n λ-<-.因为函数()2142n f n -=-单调递增，所以()()min 23f n f ==.所以3λ<.当n 为奇数时，即2142n λ--<-，即2142n λ->-.因为函数()2142n f n -=-单调递减，所以()()max 12f n f ==-.所以2λ>-.综上可得：实数λ的取值范围是()2,3-.………………………………12分22.【解析】（1）由已知得()e 1xa f x x '=++，则()00e 1f a a '=+=+.又因为直线210x y -+=的斜率为2，所以12a +=，解得1a =.………………………………1分所以()()e ln 1xf x x =++，定义域为()+∞-,1.所以()1e 01xf x x '=+>+，所以函数()f x 在()1,-+∞上单调递增.………………………………3分（2）当[)0,x ∈+∞时，()()()1ln 11f x a x ax ≥-+++恒成立，即当[)0,x ∈+∞时，()e ln 110xx ax ++--≥恒成立.令()()e ln 11xg x x ax =++--，则()1e 1xg x a x '=+-+.…………………………5分令()1e 1xh x x =++，则()()21e 1x h x x '=-+.当0x ≥时，e 1x>，()21011x <≤+，所以()0h x '>，所以函数()()0y h x x =≥为增函数.所以()()02h x h ≥=，所以()2g x a '≥-.………………………………7分①当2a ≤时，20a -≥，所以当2a ≤时，()0g x '≥，所以函数()()0y g x x =≥为增函数，所以()()00g x g ≥=，故对0x ∀≥，()()()1ln 11f x a x ax ≥-+++恒成立；……………………………………9分②当2a >时，11a ->，当0x ≥时，1011x <≤+，()a a x x g x x -+≤-++='1e 11e ，当()()0,ln 1x a ∈-，知e 10x a +-<，即()0g x '<.所以函数()y g x =，()()0,ln 1x a ∈-为减函数.所以当()0ln 1x a <<-时，()()00g x g <=.从而()()()1ln 11f x a x ax <-+++，这与题意不符.………………………………11分综上，实数a 的取值范围为(],2-∞.……………………………………12分。

河南省八市重点高中联盟2021届高三数学9月领军考试试题文(含解析).doc

河南省八市重点高中联盟2021届高三数学9月领军考试试题文（含解析）一、选择题： 1.设集合{}{}2|2,1,0,1,2,3A x x x B ==-，则A B =（）A. {2,3}B. {0,1,2}C. {-1,0,2,3}D. {3}【答案】C 【解析】【分析】将集合A 化简，再与集合B 进行交集运算. 【详解】{}{2|2=|0A x x x x x =≤或}2x ≥{}1,0,2,3A B ∴-=故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.2.已知复数z 满足3z=i(2z+1)-，则z =（）B. 2D. 3【答案】A 【解析】【分析】将z 从3z=i(2z+1)-中分离出来，利用复数的四则运算，得到z ，结合模长公式即可求出z . 【详解】()()()()32135512121215i i i iz i i i i -+---====+--+-z ∴=故答案选A【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及模长公式，属于基础题.3.已知命题:p x y ∃<，使得x x y y ，则p ⌝为（）A. x y ∃≥，使得x xy yB. x y ∀，x x y y <C. x y ∃<，使得x x y y <D. x y ∀<，总有x x y y <【答案】D 【解析】【分析】利用特称命题的否定性质即可得到. 【详解】因为命题:p x y ∃<，使得x xy y所以命题p ⌝：x y ∀<，总有x x y y < 故答案为D【点睛】本题主要考查了特称命题否定的形式，属于基础题.4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2021中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（） A. 134 B. 135 C. 136 D. 137【答案】B 【解析】分析】由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数.【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.5.函数2ln x x y x=的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性可排除B ，结合导数对函数2ln x x y x=在(0,)+∞的单调性即可得出答案。

高三数学上学期第五次联考试题理试题

卜人入州八九几市潮王学校六校2021届高三数学上学期第五次联考试题理〔扫描〕六校联考理科数学试卷答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12B AC A CD D D C C B B二、填空题113[0,)[,)24πππ5.〔3，〕16.〔1〕〔4〕〔5〕三、解答题17.解：〔1〕=…………3分由得，故所求单调递增区间为．…………5分〔2〕由得，∵，即，∴bc=2，…………7分又△ABC中，=，∴…………10分18.解：〔1〕假设∵函数f〔x〕=x3+ax2+x在R上是增函数，∴f′〔x〕=3x2+2ax+1≥0对x∈〔﹣∞，+∞〕恒成立…………2分∴…………4分〔2〕g′〔x〕=e x﹣1≥0对任意的x∈[0，+∞〕恒成立，∴g〔x〕在区间[0，+∞〕递增+1＞0⇒a＞﹣1…………6分∨∧假设p真q假，那么…8分假设p假q真，那么…10分综上所述，…12分19.解：〔1〕记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数〞，由题意知．…………4分〔2〕ξ可取1，2，3，4，；…………8分故ξ的分布列为…………10分答：ξ的数学期望为．…………12分20.【解答】〔Ⅰ〕证明：取PB的中点F，连接AF，EF．∵EF是△PBC的中位线，∴EF∥BC，且EF=．又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，那么四边形ADEF是平行四边形．∴DE∥AF，又DE⊄面ABP，AF⊂面ABP，∴ED∥面PAB；……………6分〔Ⅱ〕解：法一、取BC的中点M，连接AM，那么AD∥MC且AD=MC，∴四边形ADCM是平行四边形，∴AM=MC=MB，那么A在以BC为直径的圆上．∴AB⊥AC，可得．过D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，那么DG⊥PC．过G作GH⊥PC于H，那么PC⊥面GHD，连接DH，那么PC⊥DH，∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．在△ADC中，，连接AE，．在Rt△GDH中，，∴，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．……………….12分法二、取BC的中点M，连接AM，那么AD∥MC，且AD=MC．∴四边形ADCM是平行四边形，∴AM=MC=MB，那么A在以BC为直径的圆上，∴AB⊥AC．∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．如图以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系．可得，．设P〔x，0，z〕，〔z＞0〕，依题意有，，解得．那么，，．设面PDC的一个法向量为，由，取x0=1，得．为面PAC的一个法向量，且，设二面角A﹣PC﹣D的大小为θ，那么有，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．……12分21.解：〔I〕∵f〔x〕﹣〔2b﹣1〕x+b2＜1的解集为〔b，b+1〕，即x2+〔a﹣2b+1〕x+b2+b＜0的解集为〔b，b+1〕，∴方程x2+〔a﹣2b+1〕x+b2+b=0的解为x1=b，x2=b+1，∴b+〔b+1〕=﹣〔a﹣2b+1〕，解得a=﹣2．…………………3分〔II〕φ〔x〕得定义域为〔1，+∞〕．由〔I〕知f〔x〕=x2﹣2x+b+1，∴g〔x〕==x﹣1+，∴φ′〔x〕=1﹣﹣=，…………………4分∵函数φ〔x〕存在极值点，∴φ′〔x〕=0有解，∴方程x2﹣〔2+k〕x+k﹣b+1=0有两个不同的实数根，且在〔1，+∞〕上至少有一根，∴△=〔2+k〕2﹣4〔k﹣b+1〕=k2+4b＞0．解方程x2﹣〔2+k〕x+k﹣b+1=0得x1=，x2=…………………6分〔1〕当b＞0时，x1＜1，x2＞1，∴当x∈〔1，〕时，φ′〔x〕＜0，当x∈〔，+∞〕时，φ′〔x〕＞0，∴φ〔x〕在〔1，〕上单调递减，在〔，+∞〕上单调递增，∴φ〔x〕极小值点为…………………8分．〔2〕当b＜0时，由△=k2+4b＞0得k＜﹣2，或者k＞2，假设k＜﹣2，那么x1＜1，x2＜1，∴当x＞1时，φ′〔x〕＞0，∴φ〔x〕在〔1，+∞〕上单调递增，不符合题意；……………9分假设k＞2，那么x1＞1，x2＞1，∴φ〔x〕在〔1，〕上单调递增，在〔，〕上单调递减，在〔，+∞〕单调递增，∴φ〔x〕的极大值点为，极小值点为．…………………11分综上，当b＞0时，k取任意实数，函数φ〔x〕极小值点为；当b＜0时，k＞2，函数φ〔x〕极小值点为，极大值点为．……12分22.解：〔1〕∵，a2=b2+c2，可得a=2b，．∴椭圆的HY方程为：+y2=b2，设P〔x，y〕，〔﹣b≤y≤b〕．P到点M〔0，2〕的间隔d===，当0＜b＜时，y=﹣b时，d获得最大值，∴b+2=，解得b=﹣2，舍去．当≤b时，y=﹣时，d获得最大值，∴=，解得b=1，满足条件．∴椭圆E的方程为：+y2=1．…………………4分〔2〕〔i〕设P〔m，n〕，那么=1．⊙P的方程为：〔x﹣m〕2+〔y﹣n〕2=，设经过原点O的⊙P的切线方程为：y=kx，不妨设OA的方程为：y=k1x，OB的方程为：y=k2x．那么=，化为：〔5m2﹣4〕k2﹣10mnk+5n2﹣4=0，∴k 1+k 2=，k 1k 2=，……………………6分假设存在常数λ，使x 1x 2+λy 1y 2=0恒成立，那么2121211k k y y x x --=λ, 21k k =﹣=﹣=-,故4=λ为常数．……………………8分(ii)当l 斜率存在时，设直线l 的方程为b kx y +=联立{b kx y y x +==+4422，得0448)41(222=-+++b kbx x k22212214144,418k b x x k kb x x +-=+-=+，……………………9分 ()()2222121414k k b b kx b kx y y +-=++=，…………………10分由〔i 〕知，x 1x 2+4y 1y 2=0，化简可得22241b k =+，O 到l 的间隔为21k b d +=，121==∆d AB S AOB……………………11分当l 斜率不存在时，易得l 的方程为2±=x ，2=AB ，12221=⋅⋅=∆AOB S ……………12分。

高三数学第五次模拟考试试题文试题

卜人入州八九几市潮王学校航天高级2021届高三数学第五次模拟考试试题文一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1．设集合{}2230A x x x =--<,{}ln(2)B x y x ==-,那么AB =〔〕A ．{}13x x -<< B ．{}12x x -<<C ．{}32x x -<<D ．{}12x x <<2．假设复数221zi i=++，其中i 是虚数单位，那么复数z 的模为〔〕 A ．22B ．3 C ．2D ．23.图所示，那么此学生该门功课考试分数的极差与中位数和为〔〕A ．117B ．118C ．118．5D ．119．5 4.设∈R，那么是直线与直线2:(1)40l a x ay +-+=垂直的〔〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.设0.32a =，20.3b=，()2log 0.3(1)x c x x =+>，那么,,a b c 的大小关系是〔〕．A ．ab c << B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<6.函数()2sin()0,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的局部图象如右图所示，其中A 、B两点之间的间隔为5，那么(1)f -=()A ．2B ．3C ．3-D ．-27.执行如下列图的程序框图，假设输入1m =，3n =，输出的 1.75x =，那么空白判断框内应填的条件为〔〕A ．1m n -<B ．0.5m n -<C ．0.2m n -<D ．0.1m n -<8.点()M ,x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，那么1y z x =+的取值范围是()A ．[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦B ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.在区间[-2,2]上随机取一个数b,假设使直线b x y +=与圆+=a 有交点的概率为21，那么a=() A.41 B.21C.1 10.设四边形ABCD 为平行四边形，6AB=，4AD =.假设点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，那么AM NM ⋅=〔〕〔A 〕20〔B 〕15〔C 〕9〔D 〕611.一个几何体的三视图如下列图，其中正视图是一个正三角形，那么这个几何体的外接球的外表积为()A ．23πB ．83πC ．43D ．163π12.函数()f x 在定义域R 内可导，假设()()2f x f x =-，且当()1x ∈-∞，时，()()10x f x -'<，设()0a f =，12b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3c f =，那么〔〕A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分〕 13.抛物线y=4的焦点坐标为．14.假设sin 2cos 4παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么sin 2α=。