北方工业大学研究生考试随机过程05年答案
北京工业大学2005年硕士研究生入学考试试题__数分_解答
北京工业大学2005年硕士研究生入学考试数学分析试题一、（15分）设0n a > ，1c <且 1limn n na c a +→∞=，试证明 0lim =∞→n n a 。
证明：取实数r 使得 1lim 1n n na c r a +→∞=<<，所以存在0>N ，当N n >时，有1n na r a +<，即有1n n a ra +<，递推得 21110n N n n N a r a r a -+-+<<<< ，令n →∞得0lim =∞→n n a 。
二、（15分）用εδ-语言证明若0lim ()x x f x A →=，0lim ()0x x g x B →=≠，则0()lim()x x f x Ag x B→=。
证明：因为 ()()()()(())()()()()f x A A g x B f x A f x B AB g x A AB g x B g x B g x g x B------=≤+由0lim ()0x x g x B →=≠，得0l i m ()0x x g x B →=>，存在10N >，当1n N >时有()2Bg x ≤， 又0lim ()x x f x A →=，0lim ()x x g x B →=，所以对任意的0ε>，存在20N >，当2n N >时有()f x A ε-<，()g x B ε-<，故当12max{,}n N N >时有2()()2()2()()()()f x A A g x B A f x A g x B g x g x B B Bε---≤+<+， 即有 0()lim()x x f x Ag x B→=。
三、（15分）设f x ()，)(x g 为连续函数，试证明)}(),(max{)(x g x f x F =也为连续函数。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案随机过程是概率论与数理统计的重要理论基础之一。
通过研究随机过程，可以揭示随机现象的规律性，并应用于实际问题的建模与分析。
以下是一些关于随机过程的试题及答案，帮助读者更好地理解与掌握这一概念。
1. 试题：设随机过程X(t)是一个马尔可夫过程，其状态空间为S={1,2,3}，转移概率矩阵为：P =| 0.5 0.2 0.3 || 0.1 0.6 0.3 || 0.1 0.3 0.6 |(1) 计算X(t)在t=2时的转移概率矩阵。
(2) 求X(t)的平稳分布。
2. 答案：(1) 根据马尔可夫过程的性质，X(t)在t=2时的转移概率矩阵可以通过原始的转移概率矩阵P的2次幂来计算。
令Q = P^2，则X(t=2)的转移概率矩阵为：Q =| 0.37 0.26 0.37 || 0.22 0.42 0.36 || 0.19 0.36 0.45 |(2) 平稳分布是指随机过程的状态概率分布在长时间内保持不变的分布。
设平稳分布为π = (π1,π2, π3)，满足πP = π（即π为右特征向量），且所有状态的概率之和为1。
根据πP = π，可以得到如下方程组：π1 = 0.5π1 + 0.1π2 + 0.1π3π2 = 0.2π1 + 0.6π2 + 0.3π3π3 = 0.3π1 + 0.3π2 + 0.6π3解以上方程组可得到平稳分布：π = (0.25, 0.3125, 0.4375)3. 试题：设随机过程X(t)是一个泊松过程，其到达率为λ=1，即单位时间内到达的事件平均次数为1。
(1) 请计算X(t)在t=2时的累计到达次数的概率P{N(2)≤3}。
(2) 计算X(t)的平均到达速率。
4. 答案：(1) 泊松过程具有独立增量和平稳增量的性质，且在单位时间内到达次数服从参数为λ的泊松分布。
所以，P{N(2)≤3} = P{N(2)=0} + P{N(2)=1} + P{N(2)=2} +P{N(2)=3}，其中P{N(2)=k}表示在时间间隔[0,2]内到达的次数为k的概率。
研究生《随机过程》教材课后作业答案
1.1 证明：∵1111,,,,,A F F F F ∈ΩΦ∈ΩΩ∈Φ∈Ω-Φ∈ΩΦ∈ 且∴1F 是事件域。
∵222,,,,cA A F F A F A A ∈Ω∈Ω∈-Φ∈=Ω-∴22222,,,,c c A F A F A F A F A F ∈-Φ∈-Φ∈Ω-∈Ω-∈ 且2,ccA A A A F ΦΩ=ΩΦΩ∈ ∴2F 是事件域。
且12F F ∈。
∵2ΩΩ∈∴3F Ω∈∴3F 是事件域。
且23F F ∈∴123,,F F F 皆为事件域且123F F F ∈∈。
1.2一次投掷三颗均匀骰子可能出现的点数ω为(),,,,,,16,16,16i j k i R j R k R i j k ∈∈∈≤≤≤≤≤≤∴样本空间()61,,6=,,n i j k i j k =≤≤Ω事件(){},,|,,i j k A i j k ωω==，,,,1,,6i R j R k R i j k ∈∈∈≤≤ 事件域2F Ω= 概率测度(),,1P 216i j k A =，,,,1,,6i R j R k R i j k ∈∈∈≤≤ 则(),,F P Ω为所求的概率空间。
1.3 证明：（1）由公理可知()0P Φ=（2）有概率测度的可列可加性将第n+1个集合往后都取为空集，即可得结论()11n nk k k k P A P A ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑ （3）∵,,A B F A B ∈⊂ ∴B A F -∈,()A B A -=Φ由概率测度的可列可加性可得：()()()()P B P A B A P A P B A =+-=+-即()()()P B A P B P A -=-有概率测度的非负性可得()()()0P B P A P B A -=-≥，即()()P B P A ≥ （4）若B =Ω,由（3）则有()()1P A P A =- （5）∵()()()()121212P A A P A P A P A A +=+- 假设()()()()()11211111m m m k k i j i j k m k i j m i j k m k P A P A P A A P A A A P A A A +=≤<≤≤<<≤=⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭∑∑∑ 成立，则()()()()()()()()()11111111111111211111+1m m m m k k m m k m k k k k k mm k iji j k k i j mi j k mm m m m k k m k i j i k i j mP A P A A P A P A P A A P A P A P A A P A A A P A A A P A A P A P A A P A A ++++====+=≤<≤≤<<≤++=+=≤<≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-+-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=-+∑∑∑∑∑()()()()()()()()()()()()1121111121111212111111111n j k m i j k mm i j m i j k m m m i j m i j k m m m k i j i j k m k i j m i j k m A P A A A P A A A P A A A A P A A A A P A P A A P A A A P A A A +≤<<≤++++≤<≤≤<<≤+++=≤<≤+≤<<≤+-+-⎛⎫--+-+- ⎪⎝⎭=-+-+-∑∑∑∑∑∑也成立由数学归纳法可知()()()()()11211111n n n k k i j i j k n k i j n i j k n k P A P A P A A P A A A P A A A +=≤<≤≤<<≤=⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭∑∑∑()()()()()()111122212123231231n nn n k k k k k k k k n n n k k k k k k nk k nk k P A P A A P A P A P A A P A P A P A P A A P A A P A P A P A P A =========⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭≤≤∑1.4 （1）()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()21040114P AB P A P B P AB P AB P A P B P AB P A P B P A P AB P A P B P AB P A P A B P A P A P A ≤-≤-≤≤-≤-=-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦≤-≤（2）()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()if =1else if =P AB P BC P AB P BC P AB P AC P A B C P ABC P AB P BC P AC P A B C P ABC P BC P A B C P AB P BC P AB P BC --+=++-+=++-≤+≤--- 可由这个式子的轮换对称性证明这种情况（3）()()()()()()()()()()11111111111n nk k k k n nn nk k k k k k k k nk k nk k A A A AP A P A P A P A n P A P A n P A P A P A n ========⊂∴⊃⎛⎫≤≤=-=- ⎪⎝⎭-≤-∴≥--∑∑∑∑∑1.5()1(1)k nkk A P X k n--== 1.6由全概率公式()()()()()()()()()()()()100112211110101=1424P Y X P Y P X P Y P X P Y P X P Y P Y P Y e -≥=≥=+≥=+≥==+-=+-=-=-1.7 证明： 显然()()()()111111122,,,,,,0n n n n n F x x F x x F y x P x X y x X x X ∆=-=≤≤≤≤≥假设()()121111222,,,,,,,0i n i i i i i n n F x x P x X y x X y x X y x X x X ∆∆∆=≤≤≤≤≤≤≤≤≥ 成立 从而()()()()12+11111222111112221111122211122,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0i i n i i i i i n n i i i i i n n i i i i i n n F x x P x X y x X y x X y x X x X P x X y x X y x X y y X x X P x X y x X y x X y x X x X +++++++++∆∆∆∆=≤≤≤≤≤≤≤≤-≤≤≤≤≤≤≤≤=≤≤≤≤≤≤≤≤≥ （分布函数对于每一变元单调不减）也成立有数学归纳法可知()()121111222,,,,0n n n n n F x x P x X y x X y x X y ∆∆∆=≤≤≤≤≤≤≥1.8()()()()()()()()()()()''''''',,0','x y x y x x y x y x y x y x y x x y y h x y eeh x y eeeee e e e x x y y -+-+-+-+-+-+----∆=-∆∆=---=--≥≤≤所以h 是二元单调不减函数。
2005年硕士研究生入学考试及答案
目录1.05年北师大物理类各方向2.05年长光所3.05年东南大学4.05年中科大5.05年南京大学6.05年华中科大7.05年吉林大学（原子所）8.05年四川大学（原子与分子）9.05年北京理工10.05年河北理工11.05年长春理工北京师范大学2005年招收硕士研究生入学考试试题专业:物理类各专业科目代号:459研究方向:各方向考试科目:量子力学[注意]答案写在答题纸上，写在试题上无效。
1.(20分)一个电子被限制在一维谐振子势场中，活动范围求激发电子到第一激发态所需要的能量（用ev表示）（，，）提示：谐振子能量本征函数可以写成2.（30分）一个电子被限制在二维各向同性谐振子势场中（特征频率为）。
（1）写出其哈密顿量，利用一维谐振子能级公式找到此电子的能级公式和简并度。
（2）请推导电子的径向运动方程。
并讨论其在时的渐近解。
提示：极坐标下3．（50分）两个质量为的粒子，被禁闭在特征频率为的一维谐振子势场中，彼此无相互作用（此题中波函数无须写出具体形式）：（1）如果两个粒子无自旋可分辨，写出系统的基态（两个都在自己的基态）和第一激发能级（即一个在基态，另一个在第一激发态）的波函数和能量（注意简并情形）。
（10分）（2）如果两个粒子是不可分辨的无自旋波色子，写出系统的基态和第一激发态的能量和波函数。
如果粒子间互作用势为，计算基态能级到一级微扰项。
（15分）（3分）如果两个粒子是不可分辨的自旋1/2粒子，写出基态能级和波函数（考虑自旋）。
如果粒子间互作用能为，计算基态能量。
（15分）（4）同（3），解除势阱，两个粒子以左一右飞出。
有两个探测器分别（同时）测量它们的y方向自旋角动量。
请问测量结果为两电子自旋反向的几率是多少？（10分）4．（30分）中心力场中电子自旋与轨道角动量存在耦合能。
总角动量，是的共同本征态。
现有一电子处于态，且。
（1）在一基近似下，可用代替，请问电子的能量与态差多少？（2）请计算该电子产生的平均磁矩，并由此计算在z方向均匀磁场B中电子的能量改变多少？（），当，，当，5．（20分）一个定域（空间位置不动）的电子（自旋1/2）处于z方向强磁场中。
北京工业大学2002-2005年硕士研究生入学考试试题与答案解析
北京工业大学2002年硕士研究生入学考试试题科目代码：551 科目名称：工程热力学适用专业：热能工程一、名词解释（每题3分，共30分）1 开口系统：热力系与外界之间有物质交换2 热力循环：封闭的热力过程3 可逆过程：当系统完成某一过程后，如能使过程逆行而使系统及外界回复到原始状态不遗留下任何变化，则称此过程为可逆过程。
4 孤立系统的熵增原理：在孤立系内，一切实际过程都朝着使系统熵增加的方向进行，或在极限情况下维持系统的熵不变，而任何使系统熵减少的过程是不可能发生的。
5 临界流速：在缩放喷管的喉部，流速恰好达到当地声速6 压气机的容积效率：气缸吸气的有效进气容量与活塞的排量容积之比。
7 水的三相点：水呈现气、液、固三相平衡共存状态8 水的气化潜热：在一定压力下，1kg饱和水转变为饱和蒸气吸收的热量9 制冷系数：制冷机循环中从冷源移出的热量与所耗功量之比。
10 含湿量：湿空气中包含的水蒸气质量与干空气质量之比值。
二、填空题（每题2分，共20分）1 工程热力学是热力学的一个分支，它着重研究与热能工程有关的热能和机械能相互转换的规律。
2 闭口系统中包含的物质是固定的，故也称闭口系统为控制质量系统。
3 系统吸热时它的熵增大；系统放热时它的熵增大、减少或不变；系统与外界不发生热的交换时它的熵增大或不变。
4 理想气体的热力学能的性质是1845年焦耳通过著名的焦耳实验确定的。
5 在任何过程中，单位质量的理想气体的温度升高1K时比热力学能增加的数值即等于其比定容热容的值；而比焓增加的数值即等于其比定压热容的值。
6 指出提高燃气轮机装置热效率的两条措施：将汽轮机出口的低压湿蒸汽完全凝结为水；采用过热蒸汽作为汽轮机的进口蒸汽。
7 固体和液体的比定压热容和比定容热容的数值近似相等。
8 完全不含水蒸气的空气称为干空气。
9 卡诺定理一的内容为：在两个给定的热源间工作的所有热机，不可能具有比可逆热机更高的热效率。
10通常把湿饱和蒸汽中 饱和蒸气 的质量分数称为干度，并用x 表示。
北京工业大学2010-2013学年数理统计与随机过程(研)试卷
北京工业大学2010-2011学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。
数据结果保留3位小数。
考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤等编第三版（或第四版）高等教育出版社，不能携带和查阅任何其他书籍、纸张、资料等。
考试时允许使用计算器。
考试时间120分钟。
考试日期：2011年1月4日1.某茶叶制造商声称其生产的一种包装茶叶平均每包重量不低于150克，已知茶叶包装重量服从正态分布，现从一批包装茶叶中随机抽取100包，经计算得到样本均值为149.7,样本标准差为0.9,试在α＝0.01的显著性水平上检验该制造商的说法是否可信？2. 某食品市场的经理将根据预期到达商店的顾客来决定职员分配数目以及收款台的数目。
为检验工作日上午顾客到达数（用5分钟时间段内进入商店的顾客数来定义）是否服从泊松分布，随机选取了一个由3周内工作日上午的128个5分钟时间段组成通过这些样本，请你帮忙分析到达顾客数服从泊松分布吗？（取显著性水平）3.一家关于MBA 报考、学习、就业指导的网站希望了解国内MBA 毕业生的起薪是否与各自所学的专业有关，为此，他们在已经在国内商学院毕业并且获得学位的MBA 学生中按照专业分别随机抽取了5人，调查了他们的起薪情况，数据如下表所示（单 位： 万元），根据这些数据他们能否得出专业对MBA 起薪有影响的结论？（取显著性水平050.=α）4．为定义一种变量,用来描述某种商品的供给量与价格之间的相关关系.首先要收集（1） 试确定（2） 对回归方程进行显著性检验（α=0.05）；（3） 当x=20时,求y 的95％的预测区间。
5．6．设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间{0,1,2}I =，其一步转移概率矩阵为 3104411142431044P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其初始状态的概率分布为01(0)(),0,1,2,3i i p P X i i ====求： （1）求2{1}P X =；（2）求2{2|1}n n P X X +==；（3）求012{1,2,1}P X X X ===；（4）讨论此链是否具有遍历性，若是遍历的求其极限分布。
随机过程试题及答案说课材料
随机过程试题及答案收集于网络，如有侵权请联系管理员删除1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e t t X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ijp ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
随机过程课后习题答案
标准教材：随机过程基础及其应用/赵希人，彭秀艳编著索书号：O211.6/Z35-2备用教材：（这个非常多，内容一样一样的）工程随机过程/彭秀艳编著索书号：TB114/P50历年试题（页码对应备用教材）2007一、习题0.7（1）二、习题1.4三、例2.5.1—P80四、例2.1.2—P47五、习题2.2六、例3.2.2—P992008一、习题0.5二、习题1.4三、定理2.5.1—P76四、定理2.5.6—P80五、1、例2.5.1—P802、例2.2.2—P53六、例3.2.3—P992009（回忆版）一、习题1.12二、例2.2.3—P53三、例1.4.2与例1.5.5的融合四、定理2.5.3—P76五、习题0.8六、例3.2.22010一、习题0.4（附加条件给出两个新随机变量表达二、例1.2.1三、例2.1.4四、例2.2.2五、习题2.6六、习题3.3引理1.3.1 解法纠正 许瓦兹不等式()222E XY E X E Y ⎡⎤⎡⎤≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明：()()()()222222222220440E X Y E X E XY E Y E XY E X E Y E XY E X E Y λλλ +⎡⎤⎡⎤=++≥⎣⎦⎣⎦∴∆≤⎡⎤⎡⎤∴-≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤∴≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦例1.4.2 解法详解已知随机过程(){},X t t T ∈的均值为零，相关函数为()121212,,,,0a t t t t et t T a --Γ=∈>为常数。
求其积分过程()(){},t Y t X d t T ττ=∈⎰的均值函数()Y m t 和相关函数()12,Y t t Γ。
解：()0Y m t =不妨设12t t >()()()()()()1212222112121122122100,,Y t t t t t t t t t EY t Y t E X d X d d d τττττττττΓ===Γ⎰⎰⎰⎰()()()()()222121122221222112222212221212121212000220022002200222211||111111||211ττττττττττττττττττττττττ--------------=+-=+=---=+-+⎡=++--⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰t t t a a t t a a a a t t t a a at a t a at t a t t at at ed d ed de d e d a ae d e d a a t t e e a a a a t e e e a a⎤⎦同理当21t t >时()()2112112221,1a t t at at Y t t t e e e a a----⎡⎤Γ=++--⎣⎦ （此处书上印刷有误）例1.5.5解法同上例1.5.6 解法详解 普松过程公式推导：(){}()()()()()()()()()()()1lim !lim 1!!!1lim 1!!lim 1lim !lim lim !第一项可看做幂级数展开：第二项将分子的阶乘进行变换：→∞-→∞-→∞---∆-→∞→∞-→∞→∞===-∆∆-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-∆==⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⋅∆=∆⎢⎥--⎣⎦N k N N kkN N k kN N kN kq t qtN N k N kk k N N P X t k C P N q t q t k N k N q t q t N k k q t e e N N N q t q t N k N ()()()()()!lim 1!-→∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=∆⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦-⎣⎦N k k k k kN k N q t N qt qt N k (){}()()()()!1lim 1!!!N kkN kqt P X t k N q t q t N k k qt ek -→∞-∴=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦=例2.1.2 解法详解设(){},X t t -∞<<+∞为零均值正交增量过程且()()2212121,E X t X t t t t t -=->⎡⎤⎣⎦，令()()()1Y t X t X t =--，试证明(){},Y t t -∞<<+∞为平稳过程。
(完整版)随机过程习题答案
解 转移概率如图
一步概率转移矩阵为
10000 111
00 333 P 01110
333
00111 333
00001
二步转移概率矩阵为
10 0 00 1 00 0 0
11 1 00 11 1 0 0
3 33
333
P (2)
111
111
0
00
0
33 3
333
00 1 11 0 01 11
333
333
00 0 01 0 00 01
（3） mX (t ) 1 cos( t) 1 2t 1 cos( t ) t
2
2
2
1 mX (1)
2
2 X
(t )
E[ X 2 (t)] [ EX (t )] 2
1 cos2 ( t )
1 ( 2t) 2
1 [ cos( t )
t]2
2
2
2
1 cos2 ( t) 2t 2 1 cos2 ( t) t 2 t cos( t)
。
解 （1） t
1
时，
X ( 1) 的分布列为
2
2
1
0
1
X( )
2
P
1
1
2
2
一维分布函数
0, x 0
1
1
F ( , x) ,
2
2
1,
0 x1 x1
t 1 时， X (1) 的分布列为
-1
2
X (1)
P
1
1
2
2
一维分布函数
0, x 1
1
F (1, x)
,
2
随机过程期末试题及答案
随机过程期末试题及答案一、选择题1. 随机过程的定义中，下列哪个是错误的？A. 属于随机现象。
B. 具有随机变量。
C. 具有时间集合。
D. 具有马尔可夫性质。
答案：D2. 下列哪个不是连续时间的随机过程？A. 泊松过程。
B. 布朗运动。
C. 维纳过程。
D. 马尔可夫链。
答案：D3. 关于时间齐次的描述，下列哪个是正确的？A. 随机过程的概率分布不随时间变化。
B. 随机过程的均值不随时间变化。
C. 随机过程的方差不随时间变化。
D. 随机过程的偏度不随时间变化。
答案：A4. 下列哪个是离散时间的随机过程？A. 随机游走。
B. 指数分布过程。
C. 广义强度过程。
D. 随机驱动过程。
答案：A二、填空题1. 马尔可夫链中，状态转移概率与当前状态无关，只与前一个状态有关，这个性质被称为（马尔可夫性质）。
2. 在某一区间内，随机过程的均值是时间的（函数）。
3. 两个随机过程的相互独立性是指它们的（联合概率）等于各自概率的乘积。
4. 利用（随机过程）可以模拟无记忆的随机现象。
三、解答题1. 试述随机过程的定义及其要素。
随机过程是描述随机现象随时间演化的数学模型。
它由两个基本要素组成：时间集合和取值集合。
时间集合是指随机过程所涉及的时间轴，可以是离散的或连续的。
取值集合是指随机过程在每个时间点上可能取到的值的集合，可以是实数集、整数集或其他集合。
2. 什么是时间齐次随机过程？请举例说明。
时间齐次随机过程是指随机过程的概率分布在时间上不变的特性。
即随机过程在任意两个时间点上的特性是相同的。
例如，离散时间的随机游走就是一个时间齐次随机过程。
在随机游走中，每次移动的概率分布不随时间变化，且每次移动的步长独立同分布。
3. 什么是马尔可夫链？它有哪些性质？马尔可夫链是一种离散时间的随机过程，具有马尔可夫性质，即在给定当前状态的情况下，未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
马尔可夫链的性质包括：首先，状态转移概率与当前状态无关，只与前一个状态有关。
随机过程习题答案
解 转移概率如图
一步概率转移矩阵为 二步转移概率矩阵为 4.2 独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为，对于， 令，这些值分别对应于第n-1次和第n次抛掷的结果为（正，正）， （正，反），（反，正），（反，反），求马尔可夫链的一步和二步转 移概率矩阵。 解 对应状态为 ，（正，反），（反，正），（反，反） ， （不可能事件） （不可能事件） 同理可得下面概率 ， ， ， ， ， ， 一步转移概率矩阵为 二步转移概率矩阵为 4.4设为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为
对求导得的一维概率密度 ， 均值函数 相关函数 2.3 若从开始每隔秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程
试求：（1）的一维分布函数； （2）的二维分布函数； （3）的均值，方差 。 解 （1）时，的分布列为
0
1
P
一维分布函数 时，的分布列为
-1
2
P
一维分布函数 （2）由于相互独立，所以的分布列为
（2）画出状态转移图
因为是有限链，必有正常返态，状态0无周期、正常返，是遍历态；由 于各状态互通，所以1、2也是遍历态，所以是遍历链。 （3）因为该链为遍历链，极限分布就是平稳分布，根据和得方程组 解此方程组得
所以平稳分布为 ，， 4.17 设河流每天的BOD（生物耗氧量）浓度为齐次马尔可夫链，状态空 间是按BOD浓度为极低、低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵 （以一天为单位）为
-1
2
0
1
二维分布函数 （3）
2.4 设有随机过程，其中为常数，是相互独立且服从正态分布的随机变 量，求随机过程的均值和相关函数。 解 因独立，， 所以， 均值
相关函数 2.5 已知随机过程的均值函数和协方差函数为普通函数，令，求随机过 程均值和协方差函数。 解 均值 协方差
[理学]2009-第一学期数理统计与随机过程研试题-精品文档
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北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。
考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。
考试时允许使用计算器。
考试时间120分钟。
考试日期：2009年12月31日一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？三、某公司在为期10年内的年利润表如下：(1)求该公司年利润对年份的线性回归方程;(2)对回归方程进行显著性检验：（取05.0=α）；(3)解释回归系数的意义；（4）求第11年利润的预测区间（取050.=α）。
四、用三种不同材料的小球测定引力常数，实验结果如下：在单因素试验方差分析模型下，检验材料对引力常数的测定是否有显著影响？取显著性水平05.0=α, 计算结果保留三位小数。
五、某大型设备在任何长度为t 的时间区间内发生故障的次数{}+∞<≤t t N 0),(是强度λ的Poisson 过程，记设备无故障运行时间为T 。
（1）求})(|)({4365==N N P ； （2）求自相关函数),(t s R N ，写出推导过程；（3）求T 的概率分布函数； （4）已知设备已经无故障运行了10小时，求再无故障运行8小时的概率。
六、（15分）设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间}4,3,2,1{,=I ，一步转移概率矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2/12/1004/12/14/1004/14/12/1002/12/1P （1）求}4,2,1,3,2{54321=====X X X X X P ；（2）求}1|3{2==+n n X X P ；（3）讨论此链是否具有遍历性，若是遍历的求其极限分布。
随机过程考试试题及答案详解
随机过程考试试题及答案详解1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。
（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。
【理论基础】 （1（2F (（3(F （4，（1)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(tC x C t x f ，一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C tCx C x x F ,1,,0)(；（2）根据相关定义，均值函数C tt EX t m X +==2)()(； 相关函数2)(231)]()([),(C t s Cst t X s X E t s R X +++==； 协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==2、（15分）设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。
令R t W t X +=)()(，求随机过程{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。
【解答】此题解法同1题。
依题意，|)|,0(~)(2t N t W σ，)4,1(~N R ，因此R t W t X +=)()(服从于正态分布。
故：均值函数1)()(==t EX t m X ；相关函数5)]()([),(==t X s X E t s R X ；协方差函数4)]}()()][()({[),(=--=t m t X s m s X E t s B X X X （当t s =时为方差函数） 3、（10分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。
2007-2008第一学期数理统计与随机过程(研)试题-2007
北京工业大学2007-2008学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试题学号 姓名 成绩注意：试卷共七道大题，请将答案写在答题本上并写明题号与详细解题过程。
考试时间120分钟。
考试日期：2008年1月10日一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布),(254σN ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下：54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3问：该日生产的零件的平均重量是否正常（取显著性水平050.=α）？二、 （15分）在数 14159263.=π的前800位小数中, 数字93210,,,,, 各出现的次数记录如下检验这10个数字的出现是否是等概率的?（取显著性水平050.=α）三、（15分）下表给出了在悬挂不同重量（单位：克）时弹簧的长度（单位：厘米）求y 关于x 的一元线性回归方程，并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α， 计算结果保留三位小数.四、（15分）三个工厂生产某种型号的产品，为评比质量，分别从各厂生产的产品中随机抽取5只作为样品，测得其寿命（小时）如下：在单因素试验方差分析模型下，检验各厂生产的产品的平均寿命有无显著差异？取显著性水平050.=α, 计算结果保留三位小数.五、（15分）设}),({0≥t t N 是强度为3的泊松过程，求（1）})(,)(,)({654321===N N N P ；（2）})(|)({4365==N N P ；（3）求协方差函数),(t s C N ，写出推导过程。
六、（15分）设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间{0,1,2}I =，一步转移概率矩阵为 12141420135250P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）求}|,,,,{202021054321======X X X X X X P ；（2）求}|{122==+n n X X P ；（3）证明此链具有遍历性（不必求其极限分布）。
2005年《随机过程》课程试卷答案及评分标准
2005-2006年第一学期研究生随机过程试题答案及评分标准一、（10分）设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，求（1）X 的特征函数)(t ϕ；（2）利用特征函数计算X 的数学期望及方差。
解：（1） ∑∞====0}{)()(k itk itX k X P e eE t ϕ…………………………..3分 ∑∑∞=-∞=-==00!)(!k k it k k itk k e e k e eλλλλ……………………..5分 )1(it e e -=λ ……………………………………………….6分（2） 由)()0()(k k k X E i =ϕ得λλϕλ=-='-==-0)1(|)0()(t it e e ie i i X E it …………………….8分 22)0()(λλϕ+=''-=X E所以 λ=-=22)]([)()(X E X E X D ……………………………10分二、（15分）设随机过程∑=+-=101)()(k V t i k k e Ut X ，其中k U 服从参数为2的指数分布，k V 服从（0,2）上的均匀分布，且k U ,k V （k=1,2,……10）以及它们之间都是相互独立的。
求)(t X 的均值函数和协方差函数。
解：)(t X 的均值函数为][)()(101)(∑=+-==k V t i k X k e U E t EX t m ……………………….4分∑=+-=101)(][)(k V t i kk e E U E ……………………………..6分 )2cos 2(sin 252121020)(i i e dx e it x t i -+==-+-⎰ …….8分)(t X 的协方差函数为)()(])()([),(t m s m t X s X E t s B X X X -= …………………..11分而 ∑∑≤≠≤---=--+=10101))(101)(2)()()(j k iV iV t s i j k k t s i k j k e e e U U e U t X s X4sin 2455)]12(cos 2[sin 161905)()()()(210])()([2)()(22)()(10101))()(t s i t s i t s i t s i j k iV iV j k t s i t s i e e e e e E e E U E U E e e t X s X E j k --------≤≠≤-----+=-+⨯+=+=∑..14分⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=--------4sin 21154sin 254sin 2455),(2)(2)(2)()(t s i t s i t s i t s i X e e e e t s B ……15分 三、（15分）设某服务台在],0(t 内接待的顾客数)(t X 是具有强度（每分钟）为1=λ的泊松过程，求（1） 三分钟内接待3个顾客的概率；（2） 第三分钟内接待第三个顾客的概率。
05级研究生复试考题 北交研究生考试
2005年硕士研究生入学考试试卷课程名称：电力电子技术（本试卷共有八道大题，满分为100分，考试时间为120分钟）一、填空题（10分，每题1分）1、某晶闸管若其断态重复峰值电压为500V，反向重复峰值电压为700V，则该晶闸管得额定电压为。
2、若流过晶闸管的电流有效值是157A，则其额定电流为。
（不考虑晶闸管的电流裕量）3、列四种电力电子器件中，属于半控型器件。
a. SCRb. GTOc. IGBTd. MOSFET。
4、三相三电平逆变器共有种工作状态。
？a. 8b. 9c. 16d. 275、获得SPWM波形的基本方法有：硬件生成法、和。
6、在采用SPWM控制的电压型逆变电路中，载波频率越高，则输出电压中的谐波频率越。
7、晶闸管交流调压电路的工作状态与负载性质。
a. 有关b. 无关8、在大电感负载可控整流电路中，换相压降ΔU d与控制角α。
a. 有关b. 无关9、可控整流电路，电阻性负载，当I d一定时，流过晶闸管的电流有效值I T随控制角α的增大而。
a. 增大b. 减小c. 不变10、下列功率器件中，最适合于小功率、高开关频率的变换器。
a. SCRb. IGBTc. MOSFETd. GTO二、判断题，正确的划“√”，不正确的划“×”（共20分，每题2分）（注意：本题共有10个小题。
每个小题后面有4个判断，答对4个判断得2分；答对3个判断得1.5分；答对2个判断得0.5分；其它不得分）1、电力电子器件的驱动电路通常采用的隔离技术有：①磁隔离（）②电容隔离（）③电感隔离（）④光藕隔离（）2、整流变压器漏抗对整流装置的影响有：①使整流装置的功率因数下降（）②使整流装置的输出电压下降（）③使整流装置中晶闸管上流过电流的di/dt下降（）④使电网电压波形中的谐波分量减小（）3、三相半波整流电路的特点有：①整流变压器存在直流磁化（）②可用于有源逆变（）③要求触发脉冲必须为宽脉冲或双窄脉冲（）④存在失控问题（）4、晶闸管有源逆变电路：①当某个晶闸管发生故障、失去开通能力时，肯定会导致逆变失败（）②不论什么原因导致逆变失败，其后果都会造成电流急剧增大（）③可以采用全控电路，也可以采用半控电路（）④交流侧可以与电网连接，也可以与负载连接（）5、Buck—Boost DC—DC变换器：①工作状态（连续或断续）是根据负载电流的情况定义的（）②在连续工作状态下，输入电流是连续的（）③传递能量的元件是电感（）④属于第一象限DC—DC变换器（）6、电压型无源逆变电路：①输出电压与负载性质无关（）②输出电流与负载性质无关（）③直流侧电流有脉动（）④上、下桥臂的控制需遵循“先断后开”的原则（）7、SPWM电压型逆变器采用同步调制，其特点有：①在调频过程中载波频率不变（）②在调频过程中载波比不变（）③低频运行时输出电压波形对称性好（）④低频运行时输出电压谐波分量较小（）8、单相晶闸管交流调压电路接电感性负载：①晶闸管通常采用宽脉冲触发（）②控制角α的移相范围是：0︒~180︒（）③当控制角α增大时，功率因数减小（）④当控制角α增大时，输出电压增大（）9、晶闸管交—交变频电路：①一般采用PWM方式工作（）②可四象限运行（）③与交—直—交变频电路相比输入侧功率因数较高（）④低频输出特性较好，适合于低速大功率交流调速系统（）10、PWM整流器：①可四象限运行（）②功率因数可接近于±1 （）③可用于电力牵引（）④可用于太阳能并网发电系统（）三、单相全控桥式整流电路，带电阻电感反电势负载，工作在有源逆变状态。
随机过程课后试题答案
随机过程课后试题答案1. 题目：简述离散时间马尔可夫链和连续时间马尔可夫链的基本概念和性质。
答案：离散时间马尔可夫链（Discrete-time Markov Chain）是指在时间上的变化是离散的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。
其基本概念和性质如下：1.1 基本概念：- 状态空间：马尔可夫链的状态空间是指系统可能处于的状态集合，记作S。
离散时间马尔可夫链的状态空间可以是有限集合或可列无限集合。
- 转移概率：转移概率是指在给定前一个状态的条件下，系统转移到下一个状态的概率。
用P(i, j)表示系统从状态i转移到状态j的概率，其中i和j属于状态空间S。
- 转移概率矩阵：转移概率矩阵P是指表示从任一状态i到任一状态j的转移概率的矩阵。
对于离散时间马尔可夫链，转移概率矩阵是一个方形矩阵，维数与状态空间大小相同。
- 平稳概率分布：对于离散时间马尔可夫链，如果存在一个概率分布π，满足π = πP，其中π是一个行向量，P是转移概率矩阵，则称π为马尔可夫链的平稳概率分布。
1.2 性质：- 马尔可夫性：离散时间马尔可夫链具有马尔可夫性，即将来状态的发展只与当前状态有关，与过去的状态无关。
- 遍历性：若马尔可夫链中任意两个状态之间都存在路径使得概率大于零，则称该马尔可夫链是遍历的。
遍历性保证了马尔可夫链具有长期稳定的性质。
- 正常概率性：对于离散时间马尔可夫链，转移概率矩阵P的元素都是非负的，并且每一行的元素之和等于1。
- 可约性和不可约性：如果一个马尔可夫链中的所有状态彼此之间都是可达的，则称该马尔可夫链是不可约的。
反之，则称它是可约的。
不可约性保证了任意状态之间都可以相互转移。
- 周期性：对于不可约的离散时间马尔可夫链，如果存在某个状态，从该状态出发回到该状态所需的步数的最大公约数大于1，则称该状态是周期的。
若所有状态都是非周期的则称该马尔可夫链是非周期的。
2. 题目：连续时间马尔可夫链的定义和性质有哪些？答案：连续时间马尔可夫链（Continuous-time Markov Chain）是指在时间上的变化是连续的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。
随机过程课后试题答案
随机过程课后试题答案一、选择题1. 随机过程的基本定义中，样本空间通常表示为：A. 一个集合B. 一个函数集合C. 一个概率空间D. 一个参数集合答案：A2. 若随机过程的样本轨迹几乎是连续的，则该过程是：A. 离散时间随机过程B. 连续时间随机过程C. 泊松过程D. 马尔可夫过程答案：B3. 马尔可夫性质的含义是未来的状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这一性质不适用于：A. 泊松过程B. 布朗运动C. 马尔可夫链D. 所有随机过程答案：D4. 在随机过程中，如果两个随机变量的联合分布可以表示为它们各自的边缘分布的乘积，则这两个随机变量是：A. 独立的B. 相关的C. 正相关的D. 负相关的答案：A5. 随机游走的期望步长是：A. 1B. 2C. 依赖于起始点D. 依赖于步长分布答案：D二、填空题1. 一个随机过程的样本函数是定义在参数集合上的_________函数。
答案：实值或随机2. 在随机过程中，如果给定当前状态，下一状态的条件概率分布仅依赖于当前状态而不依赖于之前的状态，那么该过程是一个_________过程。
答案：马尔可夫3. 随机过程的均值函数（或称数学期望函数）是描述过程长期行为的重要工具，它是一个关于_________的函数。
答案：时间4. 布朗运动是一种连续时间随机过程，其样本轨迹具有_________性质。
答案：无处处可微5. 泊松过程是一种描述事件在时间上随机发生的随机过程，其特点是事件在任意两个不重叠时间区间内发生是_________的。
答案：相互独立三、计算题1. 假设有一个离散时间马尔可夫链，其状态转移矩阵为：\[P = \begin{bmatrix}0.7 & 0.3 \\0.4 & 0.6\end{bmatrix}\]求该马尔可夫链在第二时刻的状态概率分布，给定初始状态概率分布为：\\[\pi_0 = \begin{bmatrix}0.5 \\0.5\end{bmatrix}\]解：首先计算\( P^2 \)，即状态转移矩阵的二次幂，然后利用\( \pi_0 \)和\( P^2 \)来计算第二时刻的状态概率分布。
2005年研究生入学考试数学二模拟试题参考答案 .doc
本人提供的文档均由本人编辑如成，如对你有帮助，请下载支持！2005年研究生入学考试数学二模拟试题参考答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上（1）[解] 2000011ln(1)1111limlimlim (ln(1)1)lim 2(1)22x x x x x x xx x x x x xxxI e eeee →→→→--+-++--+=====.（2）[解] 222111000011|(1)22y y y y I e dy dx ye dy e e ====-⎰⎰⎰. （3）[解] cos (1cos )cos sin (1cos )sin x x a y y a ρθθθρθθθ==+⎧⎧⇒⎨⎨==+⎩⎩. 2sin (1cos )cos cos cos 23cot sin cos (1cos )sin sin sin 22dydy a a d dx dx a a d θθθθθθθθθθθθθθ-+++===-=---++. （4）[解] 将,θϕ看作,x y 的隐函数，于是，由sin cos x R θϕ=，sin sin y R θϕ=，对x求偏导.得：1cos cos sin (sin )0cos sin sin cos R R x xR R x x θϕθϕθϕθϕθϕθϕ∂∂⎧=+-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩. 用克莱姆法则解出cos cos x R θϕθ∂=∂. 另解：2222sin x y R θ+=，两边对x 求偏导， 得： 222s i nc o s x R x θθθ∂=∂，即 2sin cos sin cos R R xθθϕθθ∂=∂. 得：c o s c o s x R θϕθ∂=∂. 同理，可得：cos sin y R ϕϕθ∂=∂.本人提供的文档均由本人编辑如成，如对你有帮助，请下载支持！（5） [解] 110220211111limarctan 2|arctan 2212221()nn k dx I x k nx n→∞==⋅===++∑⎰. （6）[解] 由题设，()()3,() 1 () 2 ||0P A P B P B P A A +≤≥⇒≤⇒=.843862805t t t ⇒-+++--=⇒=.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）[解] 要使()f x 在0x =处连续，必须使2222022000sin sin 2sin limlim lim 12x x x x t x dt x x t x k x x x→→→⋅====⎰. 选（B ）.（8） [解]22cos 1cos dydydydy dt dt t dxdx dt dtt===. 22222222(cos )(cos )(2sin cos cos )cos d y d dy d dy dt dy d y t t t t t t dx dx dt dt dt dx dt dt===-+⋅ 2422cos sin 2cos d y dyt t t dt dt=-. 选（D ）.（9）[解] ln yy x x e =⇒=，故ln ln by aS e dy =⎰.x题9本人提供的文档均由本人编辑如成，如对你有帮助，请下载支持！（10）[解] ()2()()10f x f x f x '''--=. 令0x x =，0()0f x '=，0()10f x ''∴=>. 选（B ）.（11）[解] 52424211111()()()||25xxxx t g x x x g t tdt t dt g t ''⋅=⇒=⇒=⎰⎰.令2x =，得132167((4)(1)) (4)2555g g g -=-⇒=. 选（C ）. （12）[解] 2(25)1sin 2D D y x -+=+.*2111(1sin 2)sin 225512y x x D D D =+=+-+-211211sin 2(sin 24cos 2)514517D x x x D +=+=++-. 选（D ）. （13）[解] 由题设，特征值λ：23,,1.3-- 2||(3)()123A =-⨯-⨯=. *35A E +的特征值为||35A λ+：23()533⋅+=-，23()5423⋅+=--，23()5111⋅+=.故 *|35|3(4)11132A E +=⨯-⨯=-. 选（D ）.（14）[解] 由题设，()ij m n A a ⨯=，()R A r =. 选（A ）. 三、解答题（本题共9小题，满分94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（15）（本题满分10分）本人提供的文档均由本人编辑如成，如对你有帮助，请下载支持！[解]2222200011sinsin 1lim lim lim sin 0sin x x x x x x x x x x x→→→===.0001113ln(3)ln(2)lim()limln()lim12sin sin 2303lim()2xxx xx x x e e e x xxxx x x ex e eee e x→→→----+--++-→-====+1I e -∴=.（16）（本题满分10分）[解] 令1x y ==，由()()() (1)(1)(1) (1)0f xy yf x f y f f f f =+⇒=+⇒=.0()()[(1)]()()limlim y y f x xy f x f x y f x f x xy xy →→+-+-'== 0(1)(1)()()limy f y y f x f x xy→+++-=0(1)(1)()(1)()lim y f y f yf x f f x xy xy x x →'⎡⎤+-=+=+⎢⎥⎣⎦ (1)1f '=，()1()f x f x x x'∴=+ （*） ①()()() ln ()ln ln ()()f x df x dxf x f x x c f x cx x f x x'=⇒=⇒=+⇒=. ②令()()f x c x x =为（*）的解，将其代入并整理，得： 1()c x x x '=，21()c x c x=-+. 故 221()()1f x c x c x x=-+=-+. 令1x =，得：2201 1c c =-+⇒=. 故 ()1f x x =-+.本人提供的文档均由本人编辑如成，如对你有帮助，请下载支持！（17）（本题满分11分） [解] 设对12x x <，12,(,)x x a b ∈，12()()0f x f x ==.用反证法.若()g x 在12(,)x x 内恒不为0，令()()()f x F xg x =， ()()()()0f x g x f x g x ''-≠在(,)a b 内成立，又12()()0f x f x ==，12(),()g x g x ∴必不为0.于是，()F x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导，且12()()0F x F x ==. 由洛尔定理，∃一个12(,)x x ξ∈，使2()()()()()0()f g f g F g ξξξξξξ''-'==.与()()()()0f g f g ξξξξ''-≠矛盾. 命题得证.（18）（本题满分12分）[证明] ①00()()2()xxF x xf t dt tf t dt =-⎰⎰0()()2()x xF x x f t dt tf t dt ---=--⎰⎰()()2()()()xxu t x f u d u u f u d u =--------⎰⎰令 0()2()xxx f t dt tf t dt =---⎰⎰() ()2()()x xf x x f t dt tf t dt F x -=⎰⎰为偶函数.故()f x 为偶函数.②0()()()2()xF x f t dt xf x xf x '=+-⎰()()xf t dt xf x =-⎰(0,) ()()[()()]x xf xf x x f f x ξξξ∃∈-=-由积分中值定理，.当0x >时，0x ξ≤≤，由()f x 非增，()() ()0f f x F x ξ'≥⇒≥；本人提供的文档均由本人编辑如成，如对你有帮助，请下载支持！ 当0x <时，0x ξ≤≤，由()f x 非增，()() ()0f f x F x ξ'≤⇒≥； 当0x =时，()0F x '=.综上所述，()0F x '≥. 故()F x 非减.（19）（本题满分12分） [解] [(),()]vuZ f x y xh y ϕ=-，()()u v Zf x f h y xϕ∂'''=⋅+⋅∂. 2(()())u v Z x f h y f x y yϕ∂∂'''=⋅+⋅∂∂∂ 22()[(1)()]()()[(1)()]uvv vu u v x f f xh y h y f h y f f xh y ϕ'''''''''''''=⋅-+⋅+⋅+⋅-+⋅22()[()()()]()()()uvv u v x f x x h y h y f xh y h y f h y f ϕϕ''''''''''''=-+-++. (1)()u v Zf f xh y y∂'''=⋅-+⋅∂. 22[()]u v Z f xh y f y y∂∂'''=-+∂∂ 22[(1)()]()()[(1)()]uvv vu u v f f xh y xh y f xh y f f xh y ''''''''''''''=--+⋅++-+⋅ 22222()()()uvv u v f xh y f x h y f xh y f '''''''''''=-++.（20）（本题满分11分）[解] ()()()()()xaaxg x x t f t dt t x f t dt -=-+-⎰⎰()()()()xxaaaaxxx f t dt tf t dt tf t dt x f t dt --=-+-⎰⎰⎰⎰.本人提供的文档均由本人编辑如成，如对你有帮助，请下载支持！ ①()()()()()()()()()x a x aaxaxg x f t dt xf x xf x xf x f t dt xf x f t dt f t dt --'=+---+=-⎰⎰⎰⎰.()()()2()0g x f x f x f x ''=+=>.故()g x '单调增大. ②令()0 0g x x '=⇒=. ③0220(0)||()() 1 ()()()()1aaaag t f t dt f a a t f t dt tf t dt f a a --==--⇒-+=--⎰⎰⎰. （*）两边对a 求导，得：()()()2af a af a f a a '-+=-.()()f t f t -=2()2()()2 2 ln[()1]()1f a af a f a a a f a a c f a ''∴=-⇒=⇒+=++.由（*）可知(0)1f =，代入上式，得：ln 2c =. 故222ln2()12 ()21aa t f a e e f t e ++==⇒=-.（21）（本题满分10分）解：由以上分析可得：1 dhc h ct c dt =⇒=+，0,0t h ==，10c ⇒=.于是h ct =. 代入dx k dt h =，得：dx A dt t =（k A c=常数）ln x A t B ⇒=+（B 为任意常数）.将t T =时，0x =；1t T =+时，2x =；2t T =+时，3x =代入，得： l n 0A TB += ① ln(1)2A T B ++= ② ln(2)3A T B ++= ③本人提供的文档均由本人编辑如成，如对你有帮助，请下载支持！ ②-①T+1Aln2T ⇒=，③-②2ln 11T A T +⇒=+，22121() 10 3712T T T T T T T ++⇒=⇒+-=⇒=≈+（分）. 下雪从上午7点23分开始.（22）（本题满分9分）[解] ①设Ax x λ=，0x ≠.λ为A 的特征值，则有kkA x x λ=.0 0 0k k A x λλ=⇒=⇒=.而()(1)A E x Ax Ex x x x x λλ+=+=+=+=.（0λ=）可知，A E +得特征值全为1.故||1A E +=.②用反证法.若A 可对角化，则存在可逆阵P ，使1P AP -=Λ，其中Λ是由A 的特征值构成的对角阵，即0Λ=.从而0A ⇒=.与0A ≠矛盾.这说明A 不能对角化.（23）（本题满分9分）[解] 由题设可知(1,1,0,2)T -为Ax β=的特解.(1,1,2,0)T-为0Ax =的基础解系，且可知向量组1234,,,,ααααβ的秩为3.①设β可由123,,ααα线性表示，则有11223340k k k βαααα=+++，即123(,,,0)Tk k k 为Ax β=的解.于是，123123(,,,0)(1,1,0,2)(1,1,,2)T T Tk k k k k k --=+--是0Ax=的解.故它可由(1,1,2,0)T -线性表示.而123(1,1,,2)T k k k +--与(1,1,2,0)T -线性无关，矛盾.故β不能由123,,ααα线性表示.②(1,1,2,0)T-是方程组0Ax =的解，123120 αααα∴-+=⇒可由234,,ααα线性表示. 又β可由1234,,,αααα线性表示，所以又β可由234,,ααα线性表示.又向量组1234,,,,ααααβ的秩为3，故234,,ααα是向量组1234,,,,ααααβ的一个极大无关组.。
2005【考研数学一】真题及答案解析
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________.(3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(nu∂∂=.________.(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数n n n x x f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有(A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数 (B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数(C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数 (D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数(9)设函数⎰+-+-++=yx y x dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ 具有一阶导数,则必有(A)2222y ux u ∂∂-=∂∂(B)2222yu x u ∂∂=∂∂(C)222yu y x u ∂∂=∂∂∂(D)222x uy x u ∂∂=∂∂∂ (10)设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y = (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ (B)02≠λ (C)01=λ (D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B (B)交换*A 的第1行与第2行得*B(C)交换*A 的第1列与第2列得*-B (D)交换*A 的第1行与第2行得*-B(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b == (D)0.1,0.4a b ==(14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则(A))1,0(~N X n (B)22~()nS n χ(C))1(~)1(--n t SXn (D)2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分)设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22(16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x .(17)(本题满分11分)如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明:(1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f .(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f(19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24()22Ly dx xydyx y φ++⎰的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24()202Cy dx xydyx yφ+=+⎰.(2)求函数)(y ϕ的表达式.(20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =1001,02x y x <<<<其它求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X . (2)Y X Z -=2的概率密度).(z f Z(23)(本题满分9分)设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y2005年考研数学一真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 .4121-=x y【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=212lim )(lim22=+=∞→∞→x x x x x f x x ， []41)12(2lim)(lim -=+-=-=∞→∞→x x ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.4121-=x y （2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=. 【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ， 再由初始条件确定任意常数即可.【详解】 原方程等价为x y xy ln 2=+'， 于是通解为 ⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x xC dx ex ey dxx dxx =2191ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=（3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{31=n ，则)3,2,1(nu∂∂=33. 【分析】 函数u(x,y,z)沿单位向量γβαcos ,cos ,{cos =n}的方向导数为：γβαcos cos cos zu y u x u n u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 因此，本题直接用上述公式即可.【详解】 因为3x x u =∂∂，6y y u =∂∂，9zz u =∂∂，于是所求方向导数为)3,2,1(nu ∂∂=.33313131313131=⋅+⋅+⋅ （4）设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz 3)221(2R -π. 【分析】本题∑是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰Ωdxdydz 3=.)221(2sin 3320402R d d d R⎰⎰⎰-=πππθϕϕρρ （5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B 2 .【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有 .221941321111=⨯=⋅=A B（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y , 则}2{=Y P =4813. 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】 }2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P +}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P =.4813)4131210(41=+++⨯ 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ] 【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当1<x 时，11lim )(3=+=∞→n nn xx f ；当1=x 时，111lim )(=+=∞→n n x f ；当1>x 时，.)11(lim )(3133x xx x f nnn =+=∞→即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ A ] 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则⎰xdt t f 0)(为偶函数，从而⎰+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x , 排除(D); 故应选(A).（9）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yu x u ∂∂=∂∂. (C) 222y uy x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ B ] 【分析】 先分别求出22x u ∂∂、22yu∂∂、y x u ∂∂∂2，再比较答案即可.【详解】 因为)()()()(y x y x y x y x xu--++-'++'=∂∂ψψϕϕ，)()()()(y x y x y x y x yu-+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ， 于是 )()()()(22y x y x y x y x x u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ，)()()()(2y x y x y x y x yx u-'++'+-''-+''=∂∂∂ψψϕϕ， )()()()(22y x y x y x y x yu-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ， 可见有2222yu x u ∂∂=∂∂，应选(B). （10）设有三元方程1ln =+-xzey z xy ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ D ]【分析】 本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=1ln -+-xzey z xy , 分别求出三个偏导数y x z F F F ,,，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数.【详解】 令F(x,y,z)=1ln -+-xzey z xy , 则z e y F xzx +='， yz x F y -='，x e y F xzz +-='ln ，且 2)1,1,0(='x F ，1)1,1,0(-='y F ，0)1,1,0(='z F . 由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选(D).（11）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ B ] 【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k ， 0)(2221121=++αλαλk k k . 由于21,αα线性无关，于是有 ⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A 线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法二： 由于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ，可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(B).（12）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [C ]【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】 由题设，存在初等矩阵12E （交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得 B A E =12，于是 12*11212*12***12*)(E A E E A E A A E B -=⋅===-，即*12*B E A -=,可见应选(C).（13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ B ] 【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.【详解】 由题设，知 a+b=0.5又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，于是有}1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ， 即 a=))(4.0(b a a ++, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).（14）设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则(A) )1,0(~N X n (B) ).(~22n nS χ(C) )1(~)1(--n t SXn (D) ).1,1(~)1(2221--∑=n F X X n n i i [ D ] 【分析】 利用正态总体抽样分布的性质和2χ分布、t 分布及F 分布的定义进行讨论即可.【详解】 由正态总体抽样分布的性质知，)1,0(~10N X n nX =-，可排除(A); 又)1(~0-=-n t SXn nS X ，可排除(C); 而)1(~)1(1)1(2222--=-n S n S n χ，不能断定(B)是正确选项.因为 ∑=-n i in X X222221)1(~),1(~χχ，且∑=-ni i n X X 222221)1(~)1(~χχ与相互独立，于是).1,1(~)1(1122212221--=-∑∑==n F XX n n XX ni ini i故应选(D).三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分） 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22 【分析】 首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【详解】 令 }0,0,10),{(221≥≥<+≤=y x y x y x D ， }0,0,21),{(222≥≥≤+≤=y x y x y x D .则⎰⎰++Ddxdy y x xy ]1[22=⎰⎰⎰⎰+122D D xydxdy xydxdy dr r d dr r d ⎰⎰⎰⎰+=20213132cos sin 2cos sin ππθθθθθθ=.834381=+ （16）（本题满分12分） 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数f(x).【分析】 先求收敛半径，进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到.【详解】 因为11)12()12()12)(1(1)12)(1(lim=+--⨯+++++∞→n n n n n n n n n ，所以当21x <时，原级数绝对收敛，当21x >时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1）记 121(1)(),(1,1)2(21)n nn S x x x n n-∞=-=∈--∑， 则 1211(1)(),(1,1)21n n n S x x x n -∞-=-'=∈--∑，122211()(1),(1,1)1n n n S x x x x ∞--=''=-=∈-+∑. 由于 (0)0,(0)S S '==所以 201()()arctan ,1xxS x S t dt dt x t '''===+⎰⎰2001()()arctan arctan ln(1).2x x S x S t dt tdt x x x '===-+⎰⎰又21221(1),(1,1),1n nn x xx x ∞-=-=∈-+∑ 从而 22()2()1x f x S x x=++2222arctan ln(1),(1,1).1x x x x x x=-++∈-+ （17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】 由题设图形知，f(0)=0, 2)0(='f ; f(3)=2, .0)3(,2)3(=''-='f f 由分部积分，知⎰⎰⎰+''-''+=''+='''+330302232)12)(()()()()()()(dx x x f x f x x x f d x x dx x f x x=dx x f x f x x f d x ⎰⎰'+'+-='+-3330)(2)()12()()12(=.20)]0()3([216=-+f f（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】 （I ） 令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,应用零点定理，存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .（II ） 在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f （19）（本题满分12分）设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++Ly x xydydx y 4222)(ϕ的值恒为同一常数.（I ）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰Cyx x y d ydx y ϕ；（II ）求函数)(y ϕ的表达式.【分析】 证明（I ）的关键是如何将封闭曲线C 与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C 进行分解讨论；而（II ）中求)(y ϕ的表达式，显然应用积分与路径无关即可.【详解】 （I ）如图，将C 分解为：21l l C +=，另作一条曲线l=++⎰Cy x x y d ydx y 4222)(ϕ-++⎰+314222)(l l y x x y d ydx y ϕ022)(3242=++⎰+l l y x x y d ydx y ϕ.（II ） 设2424()2,22y xyP Q x yx yϕ==++，,P Q 在单连通区域0x >内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分24()22Ly dx xydyx y ϕ++⎰在该区域内与路径无关，故当0x >时，总有Q Px y∂∂=∂∂. 24252422422(2)4242,(2)(2)Q y x y x xy x y y x x y x y ∂+--+==∂++ ①243243242242()(2)4()2()()4().(2)(2)P y x y y y x y y y y y y x y x y ϕϕϕϕϕ'''∂+-+-==∂++ ② 比较①、②两式的右端，得435()2,()4()2.y y y y y y y ϕϕϕ'=-⎧⎨'-=⎩ 由③得2()y y c ϕ=-+，将()y ϕ代入④得 535242,y cy y -= 所以0c =，从而2().y y ϕ=-（20）（本题满分9分）已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（I ） 求a 的值；（II ） 求正交变换Qy x =，把),,(321x x x f 化成标准形； （III ） 求方程),,(321x x x f =0的解.【分析】 （I ）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a 的值；（II ）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换； （III ）利用第二步的结果，通过标准形求解即可.【详解】 （I ） 二次型对应矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++-=200011011a a a a A ， 由二次型的秩为2，知 020011011=-++-=aa a a A ，得a=0. （II ） 这里⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011011A ， 可求出其特征值为0,2321===λλλ. 解 0)2(=-x A E ，得特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,01121αα，解 0)0(=-x A E ，得特征向量为：.0113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α由于21,αα已经正交，直接将21,αα，3α单位化，得：③ ④⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,100,01121321ηηη令[]321ααα=Q ，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy ，可化原二次型为标准形：),,(321x x x f =.222221y y + （III ） 由),,(321x x x f ==+222122y y 0，得k y y y ===321,0,0（k 为任意常数）.从而所求解为：x=Qy=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0003321c c k k ηηηη，其中c 为任意常数. （21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相当于告之B 的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩.【详解】 由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，且.3)()(≤+B r A r（1）若k 9≠, 则r(B)=2, 于是r(A)1≤, 显然r(A)1≥, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：2121,,63321k k k k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而.2)(1≤≤A r1） 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：11,321k k x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=为任意常数.2） 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：0321=++cx bx ax ,不妨设0≠a ,则其通解为2121,,1001k k a c k a b k x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=为任意常数.（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 .,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； （II ）Y X Z -=2的概率密度).(z f Z【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度.【详解】 （I ） 关于X 的边缘概率密度)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(=.,10,0,20其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰x dy x=.,10,0,2其他<<⎩⎨⎧x x关于Y 的边缘概率密度)(y f Y =⎰+∞∞-dx y x f ),(=.,20,0,12其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰y dx y=.,20,0,21其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-y y （II ） 令}2{}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤=， 1） 当0<z 时，0}2{)(=≤-=z Y X P z F Z ；2） 当20<≤z 时，}2{)(z Y X P z F Z ≤-= =241z z -; 3) 当2≥z 时，.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z即分布函数为： .2,20,0,1,41,0)(2≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z z z z F Z故所求的概率密度为：.,20,0,211)(其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z f Z （23）（本题满分9分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ） i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =； （II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov【分析】 先将i Y 表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质.【详解】 由题设，知)2(,,,21>n X X X n 相互独立，且),,2,1(1,0n i DX EX i i ===，.0=X E（I ）∑≠--=-=ni j j i i i X n X n D X X D DY ]1)11[()(=∑≠+-nij ji DXnDX n 221)11(=.1)1(1)1(222n n n n n n -=-⋅+- （II ） )])([(),(111n n n EY Y EY Y E Y Y Cov --= =)])([()(11X X X X E Y Y E n n --==)(211X X X X X X X E n n +--=211)(2)(X E X X E X X E n +-=22121)(][20X E X D X X X E n nj j +++-∑==.112nn n -=+-。
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2005-2006年第一学期研究生随机过程
试题答案及评分标准
一、（10分）
设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，求
（1）X 的特征函数)(t ϕ；
（2）利用特征函数计算X 的数学期望及方差。
解：（1） ∑∞
====0}{)()(k itk itX k X P e e
E t ϕ…………………………..3分 ∑∑∞
=-∞=-==00!)(!k k
it k k itk k e e k e e
λλλλ……………………..5分 )1(it e e
-=λ ……………………………………………….6分 （2） 由)()0()(k k k X E i =ϕ得
λλϕλ=-='-==-0)1(|)0()(t it e e ie
i i X E it …………………….8分 22)0()(λλϕ+=''-=X E
所以 λ=-=22)]([)()(X E X E X D ……………………………10分
二、（15分）
设随机过程∑=+-=101)()(k V t i k k e U
t X ，其中k U 服从参数为2的指数分布，k V 服从（0,2）上
的均匀分布，且k U ,k V （k=1,2,……10）以及它们之间都是相互独立的。
求)(t X 的均值函数和协方差函数。
解：)(t X 的均值函数为
][
)()(101)(∑=+-==k V t i k X k e U E t EX t m ……………………….4分
∑=+-=101
)(][)(k V t i k
k e E U E ……………………………..6分 )2cos 2(sin 2
52121020)(i i e dx e it x t i -+==-+-⎰ …….8分
)(t X 的协方差函数为
)()(])()([),(t m s m t X s X E t s B X X X -= …………………..11分
而 ∑∑≤≠≤---=--+=10101))(101)(2
)()()(j k iV iV t s i j k k t s i k j k e e e U U e U t X s X
4sin 2
455)]12(cos 2[sin 161905)()()()(210])()([2)()(22)()(1010
1))()(t s i t s i t s i t s i j k iV iV j k t s i t s i e e e e e E e E U E U E e e t X s X E j k --------≤≠≤-----+=-+⨯
+=+=∑..14分⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-+=--------4sin 21154sin 254sin 2455),(2)(2)(2)()(t s i t s i t s i t s i X e e e e t s B ……15分 三、（15分）
设某服务台在],0(t 内接待的顾客数)(t X 是具有强度（每分钟）为1=λ的泊松过程，求
（1） 三分钟内接待3个顾客的概率；
（2） 第三分钟内接待第三个顾客的概率。
解：（1）333
2
9!33}3)()3({--===-+e e t X t X P ……………………………5分 （2）所求概率为
∑=-≥-=-=2
}3)2()3(,)0()2({k k X X k X X P p ……………….9分
∑=-≥-=-=20
}3)2()3({})0()2({k k X X P k X X P ……………...11分
)1(2
4)21(2)2121(1212112--------+-+--=e e e e e e e ……………14分 322
175---=e e
………………………………………15分 四、（15分） 某电话总机在],0(t 内被呼叫的次数)(t X 是具有参数为λ的泊松过程，每次呼叫被接线员接听的概率为p ，且每次呼叫是否被接听是相互独立的，设}0,{≥t Y t 是呼叫被接听数，问
}0,{≥t Y t 是否为泊松过程？说明理由。
解：令 ⎩⎨⎧=.i 0i ,1次呼叫未被接听第，次呼叫被接听；
第i ξ ……………………………………3分…
由题意可知 ),2,1( =i i ξ独立同分布，且),1(~p B i ξ ………………….8分
则 ∑==)
(1)(t X i i t Y ξ
是复合泊松过程 …………………………………11分
pt t EY λ=)( …………………………………………13分
所以 )(t Y 是参数为p λ的泊松过程。
…………………………………..15分
五、（25分）
设马氏链的转移矩阵为
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=00010001000054512121
P （1） 求两步转移矩阵；
（2） 按定理4.10分解状态空间为不相交集合的并；
（3） 求出各类的周期，并讨论其常返性。
解：（1）两步转移矩阵为
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=021*********
0001521010212P …………………….7分 （2）马氏链的状态转移图如下：略
可看出4个状态是互通的 ………………………………….. 12分
状态集I 是不可约的，按定理10.4的分解为一个集合I. …………..15分
(3) 计算得
211542115121,2
1)3(11)2(11=⨯⨯+⨯⨯==f f ……….18分 其他 )3,2(0)(11≠=k f k
所以 1)(1111==
∑k k f f ……………………………21分
即状态1是常返的
因而四个状态均是常返的 ……………………………….23分
又 ∞<==∑∞=2
51)(11
1k k kf μ，且状态1是非周期的 每一个状态是遍历状态。
…………………………………..25分
六、（20分）
考虑一个具有随机相位的余弦波，它由如下的随机过程描述，))(cos()(R t t t X ∈+=θλ，其中λ是常数，θ为一个具有有限二阶矩的随机变量。
（1） )}({t X 是否为宽平稳过程？
（2） 若θ服从),(ππ-上的均匀分布，)}({t X 是否为宽平稳过程？
解：（1）相关函数
)]cos()[cos(),(θλθλτλτ+++=+t t E t t R ……………………..4分
)2(sin )2(sin )2(cos )2([cos 2
1cos 21θτλθτλλτE t E t +-++= …………………………………8分
它与t 有关，)}({t X 不是为宽平稳过程 ……………………………...10分
（2）θθλπ
ππd t t X E ⎰-+=)(cos 21)]([22 存在 )}({t X 是一二阶矩过程 ………………………………………14分
0)cos(21)]([=+=⎰-θθλπ
ππd t t X E 为常数 …………….16分 而 0)2(s i n )2(c o s ==θθE E
),(τ+t t R λτcos 2
1= 与t 无关 ………………………..18分 若θ服从),(ππ-上的均匀分布，)}({t X 是宽平稳过程 ………20分。