高中物理竞赛中高等数学
想走上物竞之路进入清华北大?你还差这些数学知识!

想走上物竞之路进入清华北大?你还差这些数学知识!近期,很多刚刚入坑物竞的同学们询问这样一个问题:搞物竞需要哪些数学知识?关于这个问题,质心教育黄俏老师写了一篇关于物竞中需要掌握的数学知识的文章,供大家参考。
1参加物竞需要哪些高中知识基础?高中物理竞赛所需要的无论从知识上的广度还是思维上的难度都大于高考。
按照全天高强度学高中物理竞赛的力度来学高考物理的话,一个月就能学完了。
事实上,学习高中物理竞赛,更需要准备的是高中数学知识。
2哪些高中数学知识物竞会用到?物理竞赛需要用到的重要高中数学知识有:函数(包括三角函数、幂函数、对数函数、指数函数等),不等式(包括柯西不等式、均值不等式等),向量,多元线性方程,二次方程。
都是高中高考范围内会学到的,但同学最好在数学老师讲到这些部分之前,提前自学。
这部分翻翻高考数学参考书,稍微做做高考数学题就可以了。
当然质心教育帮大家将矢量和三角函数等内容录成了免费视频方便同学们学习(登录质心官网,点击学习——知识点——数学基础)。
物理竞赛需要的高等数学就比较零散了,初学的时候推荐买一本名字含“微积分”的书(注意不要是“数学分析”的书),重点看里面公式的应用而不是对其存在性、正确性和唯一性的证明,同样质心教育帮大家将单元函数的积分录成了免费视频(登录质心官网,点击学习——知识点——单元函数微积分)。
后续我们还会上线更多的关于数学工具的免费视频。
3高数怎么学?需要掌握哪些知识?新入坑的同学们可以看看高数教材,《高数》建议大家使用李忠老师写的、北京大学出版社出的这本书。
这本《高数》分上、下册,大部分同学只会用到上册,李忠老师是数学学院的老院长,专门为物理系的同学编写了这本教材,可以仔细读一下。
就是这本《高数》这本书使用方法是这个样子的,我们重点要掌握的是其中的概念和简易的运算,特别复杂的运算是可以不用掌握的。
这本书里面特别复杂的概念也都已经去掉了,所以这本书看起来还是挺好的。
我们至少需要掌握其中的极限、单元函数的导数、单元函数的定积分、不定积分(不用掌握特别复杂的方法),泰勒展开以及简易的微分方程(可分离变量的微分方程)就可以了,至于后面的更复杂的东西遇到的时候再看,不遇到的时候就把书放在这儿,把它当工具书来用。
物理竞赛微积分知识点总结

物理竞赛微积分知识点总结1.导数与微分导数是微积分的重要概念,它描述了函数在某一点处的变化率。
对于物理竞赛而言,导数在描述速度、加速度等动力学量时有着重要的应用。
另外,在曲线的切线方程、求解最值等问题中,导数也发挥着重要作用。
微分是导数的一种运算形式,它可以捕捉函数在某一点附近的局部线性变化。
在物理问题中,微分常用于描述微小的变化量,比如位移、速度、加速度等。
2.积分与定积分积分是导数的逆运算,它可以用来求解函数的原函数或不定积分。
在物理竞赛中,积分常用于计算曲线下的面积、求解物理问题中的总量、平均值等。
定积分是对指定区间上的函数值进行积分,它可以用于求解质点在一段时间内的位移、速度、加速度等物理量,还可以用于计算某些物理量的平均值、总量等问题。
3.微积分基本定理微积分基本定理是微积分的核心定理,它建立了积分与导数之间的联系。
第一积分基本定理将不定积分与定积分联系起来,可以将积分问题转化为求解原函数的问题。
第二积分基本定理则给出了定积分的计算方法,它将定积分与不定积分联系在一起,为求解定积分提供了便利。
在物理竞赛中,微积分基本定理在积分问题的求解中起着十分重要的作用。
4.微分方程微分方程是描述变化规律的数学工具,在物理竞赛中经常出现。
一阶微分方程描述了变量的变化率与变量本身之间的关系,它常用于描述弹簧振子、RC电路、衰减问题等。
对于线性微分方程,可以通过特征方程的求解来求解微分方程的通解。
在物理竞赛中,熟练掌握微分方程的解法对于解决物理问题是十分重要的。
5.级数与收敛性级数是无穷个数项的和,它在物理问题中也常常出现。
级数的收敛性是级数是否有意义的重要标志,熟练掌握级数的收敛性判别方法对于求解物理问题十分重要。
常见的级数有等比级数、调和级数、幂级数等,在物理竞赛中需要能够熟练应用级数的性质及收敛性的判别方法。
6.多元函数微积分多元函数微积分是微积分的拓展,它描述的是多元函数的变化规律。
对于物理竞赛而言,多元函数微积分在描述多变量物理量之间的关系、求解多元函数的极值等问题中有着重要的应用。
高中物理奥赛常用数学公式

中学物理奥赛常用数学公式一、等差、等比数列1.定义:{}1n n n a a d a +-=⇔是等差数列{}1,(0,0)n n n n a q a q a a +=≠≠⇔是等比数列,, (,)2a b a b a b +±等差中项等比中项同号2.公式(1)通项1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- 11n n m n m a a q a q --==(2)前n 项和 11(1)(1)()222n n n a a n n n n s n na d na d +--==+=+- 1(1)2n s d a n n =+-也是等差数列 111(1)1111n n n a a q a q q qq s na q ⎧--=≠⎪--=⎨⎪=⎩二.数列求和 (1)2222(1)(21)123...6n n n n ++++++=(2) 223332(1)12(12)4n n n n ++++=+++= 三、三角公式1、和差角公式 ()()()sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan tan tan tan()(1tan tan )sin cos a b αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαααϕ±=±±=±±=±=±+=+ 2、倍角公式 万能公式22tan sin 22sin cos 1tan ααααα==+ 2222221tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan ααααααα-=-=-=-=+23332tan tan 21tan sin 33sin 4sin cos 4cos 3cos ααααααααα=-=-=- 3、半角公式,升降幂公式22221cos 1cos 1cos 1cos sin sin cos tan 222221cos sin 1cos 1cos 21cos 2sin cos 221cos 2cos 1cos 2sin 22ααααααααααααααααααα-+--=±=±=±==++-+==+=-=4、积化和差,和差化积公式sin sin 2sin cos sin sin 2sin cos 2222cos cos 2cos cos cos cos 2sin cos 222211sin cos [sin()sin()]cos cos [cos()cos()]221sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+--++=-=+-+-+=-=-=++-=++-=-+--(2)正弦定理 2sin sin sin abcR A B C ===(R 是ABC ∆外接圆半径)(3)余弦定理 2222cos c a b ab C =+- 222cos 2a b c C ab +-=(4)11sin ()()()224ABC a abcS ah ab C pr p p a p b p c R ∆=====---其中2a b cp ++=为半周长四、重要不等式1.222(,0)1122a b a bab a b a b++≥≥≥>+2.22233(,,0)11133a b c a b cabc a b c a b c++++≥≥≥>++3.222(,)22a b a b ab ab a b R ++⎛⎫≤≤∈ ⎪⎝⎭3(,,0)3a b c abc a b c ++⎛⎫≤> ⎪⎝⎭五、球1、222R r d =+2、球面距离l R θ=⋅ 2222222cos 22cos R R AB R AB r r r θβ+-==+-(β是径度差) 3、24S R π=球内接长方体 222224l R a b c ==++ 侧棱两两垂直的三棱锥补形⇒长方体⇒球内接长方体4、体积 343V R π= 3S V R R S V '''==球球球球多面体内切球半径 : 3V r S =全 六、二项式定理(1)011()n n n n n n n n a b C a C a b C b -+=+++(2)22(1)11n nx nx nx c x +≈+≈++ 七、导数1.()()()00000x x f x x f x y f x lim lim x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆ ()()00f x x f x x x ⇔==在处可导,注意:在处不可导二、运算法则:()()()()()()()21234x u U V U V UV U V UV U U V UV y y u x V V ''''''±=±=+'''-⎛⎫'''== ⎪⎝⎭ 三、导数公式(1)0C '= (2)()1n n x nx -'=(3)()x x e e '= (4)()x x a a ln a '=(5)1(ln x )x '= (6)11(log )log ln a a x e x x a'== (7)(sin )cos x x '= (8)(cos )sin x x '=-8、设三角形ABC的外心为O,垂心为H,从O向BC边引垂线,设垂足不L,则AH=2OL中考不须要,竞赛中很明显的结论9、三角形的外心,垂心,重心在同一条直线上。
(完整版)高中物理竞赛中的高等数学

高中物理竞赛中的高等数学一、微积分初步物理学研究的是物质的运动规律,因此经常遇到的物理量大多数是变量,而要研究的正是一些变量彼此间的联系.这样,微积分这个数学工具就成为必要的了.考虑到,读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识,对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的.所以在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法,在讲述方法上不求严格和完整,而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要.至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法,可在通过高等数学课程的学习去完成. §1.函数及其图形1.1 函数 自变量和因变量 绝对常量和任意常量在数学中函数的功能是这样定义的:有两个互相联系的变量x 和y ,如果每当变量x 取定了某个数值后,按照一定的规律就可以确定y 的对应值,那么称y 是x 的函数,并记作:y =f (x ),(A .1);其中x 叫做自变量,y 叫做因变量,f 是一个函数记号,它表示y 和x 数值的对应关系.有时把y =f (x )也记作y =y (x ).如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数,也可以用其它字母作为函数记号,如ϕ(x )、ψ(x )等等.①常见的函数可以用公式来表达,例如()32y f x x ==+,212ax bx +,c x,cos2x π,ln x ,x e 等等.在函数的表达式中,除变量外,还往往包含一些不变的量,如上面出现的13 2 2e π、、、、和a b c 、、等,它们叫做常量;常量有两类:一类如13 2 2e π、、、、等,它们在一切问题中出现时数值都是确定不变的,这类常量叫做绝对常量;另一类如a 、b 、c 等,它们的数值需要在具体问题中具体给定,这类常量叫做任意常量.在数学中经常用拉丁字母中最前面几个(如a 、b 、c )代表任意常量,最后面几个(x 、y 、z )代表变量.当y =f (x )的具体形式给定后,就可以确定与自变量的任一特定值x 0相对应的函数值f (x 0).例如: (1)若y =f (x )=3+2x ,则当x =-2时y =f (-2)=3+2×(-2)=-1.一般地说,当x =x 0时,y =f (x 0)=3+2x 0.(2)若()cy f x x==,则当0x x =时,00()c f x x =.1.2 函数的图形在解析几何学和物理学中经常用平面上的曲线来表示两个变量之间的函数关系,这种方法对于直观地了解一个函数的特征是很有帮助的.作图的办法是先在平面上取一直角坐标系,横轴代表自变量x ,纵轴代表因变量(函数值)y =f (x ).这样一来,把坐标为(x ,y )且满足函数关系y =f (x )的那些点连接起来的轨迹就构成一条曲线,它描绘出函数的面貌.图A -1便是上面举的第一个例子y =f (x )=3+2x 的图形,其中P 1,P 2,P 3,P 4,P 5各点的坐标分别为:(-2,-1)、(-1,1)、(0,3)、(1,5)、(2,7),各点连接成一根直线.图A -2是第二个例子()cy f x x==的图形,其中P 1,P 2,P 3,P 4,P 5各点的坐标分别为:1(,4)4c 、1(,2)2c 、(1,)c 、(2,)2c 、(4,)4c ,各点连接成双曲线的一支.1.3 物理学中函数的实例反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的.下面举几个例子. (1)匀速直线运动公式:s =s 0+vt .(A .2)此式表达了物体作匀速直线运动时的位置s 随时间t 变化的规律,在这里t 相当于自变量x ,s 相当于因变量y ,s 是t 的函数.因此记作:s =s (t )=s 0+vt ,(A .3)式中初始位置s 0和速度v 是任意常量,s 0与坐标原点的选择有关,v 对于每个匀速直线运动有一定的值,但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值.图A -3是这个函数的图形,它是一根倾斜的直线.易知它的斜率等于v .(2)匀变速直线运动公式:20012s s v t at =++,(A .4),v =v 0+at .(A .5)两式中s 和v 是因变量,它们都是自变量t 的函数,因此记作:2001()2s s t s v t at ==++,(A .6),v =v (t )=v 0+at ,(A .7)图A -4a 、4b 分别是两个函数的图形,其中一个是抛物线,一个是直线.(A .6)和(A .7)式是匀变速直线运动的普遍公式,式中初始位置s 0、初速v 0和加速度a 都是任意常量,它们的数值要根据讨论的问题来具体化.例如在讨论自由落体问题时,若把坐标原点选择在开始运动的地方,则s 0=0,v 0=0,a =g ≈9.8M /s 2,这时(A .6)和(A .7)式具有如下形式:21()2s s t gt ==,(A .8);v =v (t )=gt .(A .9);这里的g 可看作是绝对常量,式中不再有任意常量了.(3)玻意耳定律:PV =C .(A .10)上式表达了一定质量的气体,在温度不变的条件下,压强P 和体积V 之间的函数关系,式中的C 是任意常量.可以选择V 为自变量,P 为因变量,这样,(A .10)式就可写作:()CP P V V==,(A .11)它的图形和图A -2是一样的,只不过图中的x 、y 应换成V 、P .在(A .10)式中也可以选择P 为自变量,V 为因变量,这样它就应写成:()CV V P P==,(A .12) 由此可见,在一个公式中自变量和因变量往往是相对的. (4)欧姆定律:U IR =.(A .13)当讨论一段导线中的电流I 这样随着外加电压U 而改变的问题时,U 是自变量,I 是因变量,R 是常量.这时,(A .13)式应写作:()UI I U R==,(A .14);即I 与U 成正比. 应当指出,任意常量与变量之间的界限也不是绝对的.例如,当讨论串联电路中电压在各电阻元件上分配问题时,由于通过各元件的电流是一样的,(A .13)式中的电流I 成了常量,而R 是自变量,U 是因变量.于是U =U (R )=IR ,(A .15)即U 与R 成正比.但是当讨论并联电路中电流在各分支里的分配问题时,由于各分支两端具有共同的电压,(A .13)式中的U 就成了常量,而R 为自变量,I 是因变量,于是:()UI I R R==,(A .16)即I 与R 成反比.总之,每个物理公式都反映了一些物理量之间的函数关系,但是其中哪个是自变量,哪个是因变量,哪些是常量,有时公式本身反映不出来,需要根据所要讨论的问题来具体分析. §2.导数2.1 极限若当自变量x 无限趋近某一数值x 0(记作x →x 0)时,函数f (x )的数值无限趋近某一确定的数值a ,则a 叫做x →x 0时函数f (x )的极限值,并记作:0lim ()x x f x a →=,(A .17)(A .17)式中的“lim ”是英语“limit (极限)”一词的缩写,(A .17)式读作“当x 趋近x 0时,f (x )的极限值等于a ”.极限是微积分中的一个最基本的概念,它涉及的问题面很广.这里不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义,只通过一个特例来说明它的意义.考虑下面这个函数:232()1x x y f x x --==-,(A .18),这里除x =1外,计算任何其它地方的函数值都是没有困难的.例如当0x =时,(0)2f =,当2x =,(2)8f =,等等.但是若问x =1时函数值f (1)=?,就会发现,这时(A .18)式的分子和分母都等于0,即0(1)0f =!用0去除以0,一般地说是没有意义的.所以表达式(A .18)没有直接给出f (1),但给出了x 无论如何接近1时的函数值来.下表列出了当x 的值从小于1和大于1两方面趋于1时f (x )值的变化情况:从上表看,x →1时f (x )的极限值. 其实计算f (x )值的极限无需这样麻烦,只要将(A .18)式的分子作因式分解:3x 2-x -2=(3x +2)(x -1),并在x ≠1的情况下从分子和分母中将因式(x -1)消去:(32)(1)()3 2 (1)1x x y f x x x x +-===+≠-;即可看出:x 趋于1时,函数f (x )的数值趋于:3×1+2=5.所以根据函数极限的定义,21132lim ()lim51x x x x f x x →→--==-. 2.2 几个物理学中的实例 (1)瞬时速度当一个物体作任意直线运动时,它的位置可用它到某个坐标原点O 的距离s 来描述.在运动过程中s 是随时间t 变化的,也就是说,s 是t 的函数:s =s (t ).函数s (t )表示的是这个物体什么时刻到达什么地方.形象一些说,假如物体是一列火车,则函数s (t )就是它的一张“旅行时刻表”.但是,在实际中往往不满足于一张“时刻表”,还需要知道物体运动快慢的程度,即速度或速率的概念.例如,当车辆驶过繁华的街道或桥梁时,为了安全,对它的速率就要有一定的限制;一个上抛体(如高射炮弹)能够达到怎样的高度,也与它的初始速率有关,等等.为了建立速率的概念,就要研究在一段时间间隔里物体位置的改变情况.假设考虑的是从t =t 0到t =t 1的一段时间间隔,则这间隔的大小为:△t =t 1-t 0.根据s 和t 的函数关系s (t )可知,在t 0和t 1=t 0+△t 两个时刻,s 的数值分别为s (t 0)和s (t 1)=s (t 0+△t ),即在t 0到t 1这段时间间隔里s 改变了:△s =s (t 1)-s (t 0)=s (t 0+△t )-s (t 0).在同样大小的时间间隔△t 里,若s 的改变量△s 小,就表明物体运动得慢, 所以就把s ∆与t ∆之比st∆∆叫做这段时间间隔里的平均速率,用v 来表示,则00()()s t t s t s v t t+∆-∆==∆∆,(A .19),举例说明如下. 对于匀变速直线运动,根据(A .4)式有2000001()2s t s v t at =++和2000001()()()2s t t s v t t a t t +∆=++∆++∆,22200000000000000111[()()]()()()()()12222s v t t a t t s v t at v at t a t s t t s t v v at a t t t t ++∆++∆-+++∆+∆+∆-====++∆∆∆∆;平均速率s v t ∆=∆反映了物体在一段时间间隔内运动的快慢,除了匀速直线运动的特殊情况外,st∆∆的数值或多或少与t ∆的大小有关;t ∆取得越短,s t ∆∆就越能反映出物体在0t t =时刻运动的快慢;通常就把0t ∆→时st∆∆的极限值叫做物体在t =t 0时刻的瞬时速率v ,即0000()()lim lim t t s t t s t sv t t ∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .20) 对于匀变速直线运动来说,0000001lim lim()2t t s v v at a t v at t ∆→∆→∆==++∆=+∆. 这就是熟悉的匀变速直线运动的速率公式(A .5).(2)瞬时加速度一般地说,瞬时速度或瞬时速率v 也是t 的函数:v =v (t ).但是在许多实际问题中,只有速度和速率的概念还不够,还需要知道速度随时间变化的快慢,即需要建立“加速度”的概念.平均加速度a 和瞬时加速度a 概念的建立与v 和v 的建立类似.在直线运动中,首先取一段时间间隔t 0到t 1,根据瞬时速率v 和时间t 的函数关系v (t )可知,在t =t 0和t =t 1两时刻的瞬时速率分别为v (t 0)和v (t 1)=v (t 0+△t ),因此在t 0到t 1这段时间间隔里v 改变了△v =v (t 0+△t )-v (t 0).通常把v t∆∆叫做这段时间间隔里的平均加速度,记作a ;00()()v t t v t v a t t +∆-∆==∆∆,(A .21) 举例来说,对于匀变速直线运动,根据(A .5)式有000()v t v at =+,000()()v t t v a t t +∆=++∆.所以平均加速度为000000()()[()]()v t t v t v a t t v at v a a t t t+∆-++∆-+∆====∆∆∆(常数). 对于一般的变速运动,a 也是与t ∆有关的,这时为了反映出某一时刻速度变化的快慢,就需要取vt∆∆在0t ∆→时的极限,这就是物体在t =t 0时刻的瞬时加速度a :0000()()lim lim t t v t t v t va t t∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .22)(3)应用举例水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差,这样才能使水流动.为简单起见,假设水渠是直的,这时可以把x 坐标轴取为逆水渠走向的方向(见图A -5),于是各处渠底的高度h 便是x 的函数:h =h (x ).知道了这个函数,就可以计算任意两点之间的高度差.在修建水渠的时候,人们经常运用“坡度”的概念.譬如说,若逆水渠而上,渠底在100m 的距离内升高了20cm ,人们就说这水渠的坡度是0.221001000m m =,因此所谓坡度,就是指单位长度内的高度差,它的大小反映着高度随长度变化的快慢程度.如果用数学语言来表达,就要取一段水渠,设它的两端的坐标分别为x 0和x 1,于是这段水渠的长度为:△x =x 1-x 0.根据h 和x 的函数关系h (x )可知,在x 0和x 1=x 0+△x 两地h 的数值分别为h (x 0)和h (x 1)=h (x 0+△x ),所以在△x 这段长度内h 改变了:△h =h (x 0+△x )-h (x 0).根据上述坡度的定义,这段水渠的平均坡度为:00()()h x x h x h k x x+∆-∆==∆∆,(A .23) 前面所举例子,△x 采用了100米的数值.实际上在100米的范围内,水渠的坡度可能各处不同.为了更细致地把水渠在各处的坡度反映出来,应当取更小的长度间隔x ∆,x ∆取得越小,hx∆∆就越能精确反映出x =x 0处的坡度.所以在x =x 0处的坡度k 应是0x ∆→时的平均坡度k 的极限值,即0000()()lim lim x x h x x h x hk x x∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .24)2.3 函数的变化率——导数前面举了三个例子,在前两个例子中自变量都是t ,第三个例子中自变量是x .这三个例子都表明,在研究变量与变量之间的函数关系时,除了它们数值上“静态的”对应关系外,往往还需要有“运动”或“变化”的观点,着眼于研究函数变化的趋势、增减的快慢,即函数的“变化率”概念.当变量由一个数值变到另一个数值时,后者减去前者,叫做这个变量的增量.增量,通常用代表变量的字母前面加个“△”来表示.例如,当自变量x 的数值由x 0变到x 1时,其增量就是△x ≡x 1-x 0.(A .25)与此对应.因变量y 的数值将由y 0=f (x 0)变到y 1=f (x 1),它的增量为△y ≡y 1-y 0=f (x 1)-f (x 0)=f (x 0+△x )-f (x 0).(A .26)应当指出,增量是可正可负的,负增量代表变量减少.增量比00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆,(A .27) 可以叫做函数在x =x 0到x =x 0+△x 这一区间内的平均变化率,它在△x →0时的极限值叫做函数y =f (x )对x 的导数或微商,记作y ′或f ′(x ),0000()()()lim lim x x f x x f x yy f x x x∆→∆→+∆-∆''===∆∆,(A .28)除y '或()f x '外,导数或微商还常常写作dy dx 、df dx 、d dx等其它形式.导数与增量不同,它代表函数在一点的性质,即在该点的变化率.应当指出,函数f (x )的导数f ′(x )本身也是x 的一个函数,因此可以再取它对x 的导数,这叫做函数y =f (x )的二阶导数,记作y ''、()f x ''、22d y dx等;22()()()d y d dy dy f x f x dx dx dx dx '''''====,(A .29) 据此类推,则不难定义出高阶的导数来.有了导数的概念,前面的几个实例中的物理量就可表示为:瞬时速率:ds v dt =,(A .30);瞬时加速度:22dv d sa dt dt==,(A .31);水渠坡度:dh k dx =,(A .32).2.4 导数的几何意义在几何中切线的概念也是建立在极限的基础上的.如图A -6所示,为了确定曲线在P 0点的切线,先在曲线上P 0附近选另一点P 1,并设想P 1点沿着曲线向P 0点靠拢.P 0P 1的联线是曲线的一条割线,它的方向可用这直线与横坐标轴的夹角α来描述.从图上不难看出,P 1点愈靠近P 0点,α角就愈接近一个确定的值α0,当P 1点完全和P 0点重合的时候,割线P 0P 1变成切线P 0T ,α的极限值α0就是切线与横轴的夹角.在解析几何中,把一条直线与横坐标轴夹角的正切tan α叫做这条直线的斜率.斜率为正时表示α是锐角,从左到右直线是上坡的(见图A -7a );斜率为负时表示α是钝角,从左到右直线是下坡的(见图A -7b ).现在来研究图A -6中割线P 0P 1和切线P 0T 的斜率.设P 0和P 1的坐标分别为(x 0,y 0)和(x 0+△x ,y 0+△y ),以割线P 0P 1为斜边作一直角三角形△P 0P 1M ,它的水平边P 0M 的长度为△x ,竖直边MP 1的长度为△y ,因此这条割线的斜率为:10tan MP y P M xα∆==∆. 如果图A -6中的曲线代表函数y =f (x ),则割线P 0P 1的斜率就等于函数在 0x x =附近的增量比yx∆∆,切线0PT 的低斜率0tan α是10P P →时,割线P 0P 1斜率的极限值,即10100tan lim tan lim ()P P P P yf x xαα→→∆'===∆;所以导数的几何意义是切线的斜率. §3.导数的运算在上节里只给出了导数的定义,本节将给出以下一些公式和定理,利用它们可以把常见函数的导数求出来.3.1 基本函数的导数公式(1)y =f (x )=C (常量):00()()()lim lim 0x x f x x f x C C y f x x x ∆→∆→+∆--''====∆∆; (2)y =f (x )=x :000()()()()lim lim lim 1x x x f x x f x x x x x y f x x xx ∆→∆→∆→+∆-+∆-∆''=====∆∆∆; (3)y =f (x )=x 2:22000()()()()limlim lim(2)2x x x f x x f x x x x y f x x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-''====+∆=∆∆; (4)y =f (x )=x 3:33222000()()()()limlim lim[33()]3x x x f x x f x x x x y f x x x x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-''====+∆+∆=∆∆; (5)y =f (x )=1x :0()()()lim x f x x f x y f x x ∆→+∆-''===∆011lim x x x x x∆→-+∆=∆ 200()11lim lim ()()x x x x x x x x x x x x x∆→∆→-+∆-===-+∆⋅∆+∆;(6)y =f (x )000()()()limlim x x x f x x f x y f x x ∆→∆→∆→+∆-''====∆limlimx x ∆→∆→===上面推导的结果可以归纳成一个普遍公式:当ny x =时,1n n dx y nx dx-'==,(n 为任何数),(A .33). 例如:当1n =时,()y f x x ==,1dxy dx '==; 当2n =时,2()y f x x ==,22dx y x dx '==; 当3n =时,3()y f x x ==,323dx y x dx '==; 当1n =-时,11()y f x x x -===,2211()(1)d y x dx x x-'==-=-;当12n =时,12()y f x x ===1212y x -'===利用(A .33)式还可以计算其它幂函数的导数(见表A -2).除了幂函数n x 外,物理学中常见的基本函数还有三角函数、对数函数和指数函数.现在只给出这些函数的导数公式(见表A -2)而不推导,解题时可以直接引用.3.2 有关导数运算的几个定理定理一:[()()]d du dvu x v x dx dx dx ±=±,(A .34). 证明:00[()()]lim lim[]x x d u v u v du dvu x v x dx x x x dx dx∆→∆→∆±∆∆∆±==±=±∆∆∆. 定理二:[()()]()()d du dvu x v x v x u x dx dx dx ⋅=+,(A .35).证明:00[()][()]u(x)v(x)v()()[()()]lim lim x x d u x u v x v x u u x v u vu x v x dx x x∆→∆→+∆+∆-∆+∆+∆∆⋅==∆∆ 0lim[()()]()()x u v du dvv x u x v x u x x x dx dx∆→∆∆=+=+∆∆.定理三:2()()()[]()[()]du dv v x u x d u x dx dx dx v x v x -=,(A .36).证明:000()()()[()]()[()]()()()()()[]lim lim lim()[()]()[()]()x x x u x u u x d u x u x u v x v x v u x v x u u x v v x v v x dx v x x v x v v x xv x v v x x ∆→∆→∆→+∆-+∆-+∆∆-∆+∆===∆+∆∆+∆∆ 20()()()()lim [()]()[()]x u v du dv v x u x v x u x x x dx dx v x v v x v x ∆→∆∆--∆∆==+∆. 定理四:[()]d du dvu v x dx dv dx=⋅,(A .37). 证明:00[()][()]()()[()]lim lim[]x x d u v x x u v x u v v v v v u v x dx x v x ∆→∆→+∆-+∆-∆==⋅∆∆∆00()()lim[]lim[]x x u v v v v v du dvv x dv dx∆→∆→+∆-∆=⋅=⋅∆∆ 例1.求22y x a =±(a 为常量)的导数.解:22202dy dx da x x dx dx dx=±=±=. 例2.求ln x y a =(a 为常量)的导数. 解:ln ln 110dy d x d a dx dx dx x x=-=-=. 例3.求2y ax =(a 为常量)的导数. 解:222022dy da dx x a x a x ax dx dx dx=⋅+⋅=⋅+⋅=. 例4.求2x y x e =的导数. 解:22222(2)xx x x x dy dx de e x x e x e x x e dx dx dx=+=⋅+⋅=+. 例5.求23251x y x -=+的导数.解:2222222(32)(51)(51)(32)6(51)(32)515610(51)(51)(51)d x d x x x dy x x x x x dx dx dx x x x -++--⋅+--⋅++===+++. 例6.求tan y x =的导数.解:2222sin cos cos sin sin cos cos sin (sin )1(tan )()sec cos cos cos cos d x d x x xdy d d x x x x x dx dx x xdx dx dx x x x x -⋅-⋅-======. 例7.求cos()y ax b =+(a 、b 为常量)的导数.解:令v ax b =+,()cos y u v v ==,则(sin )sin()dy du dvv a a ax b dx dv dx=⋅=-⋅=-+.例8.求y =解:令21v x =-,()y u v ==2dy du dv x dx dv dx =⋅=例9.求22ax y x e -=(a 为常量)的导数.解:令v u e =,2v ax =-,则2222222(2)2(1)v ax dy dx du dvu x xu x e ax x ax e dx dx dv dx-=+⋅=+⋅⋅-=- §4.微分和函数的幂级数展开 4.1 微分自变量的微分,就是它的任意一个无限小的增量△x .用dx 代表x 的微分,则dx =△x .(A .38)一函数y =f (x )的导数f ′(x )乘以自变量的微分dx 即为该函数的微分,用dy 或df (x )表示,即dy =df (x )=f ′(x )dx ,(A .39) 所以()dyf x dx'=,(A .40)在之前曾把导数写成dydx的形式,是把它作为一个整体引入的.当时它虽然表面上具有分数的形式,但在运算时并不象普通分数那样可以拆成“分子”和“分母”两部分.在引入微分的概念之后,就可把导数看成微分dy 与dx 之商(所谓“微商”),即一个真正的分数了.把导数写成分数形式,常常是很方便的,例如,把上节定理四(A .37)式的左端[()]d u v x dx 简写成du dx,则该式化为du du dvdx dv dx =⋅;此公式从形式上看和分数运算法则一致,很便于记忆.下面看微分的几何意义.图A -8是任一函数y =f (x )的图形,P 0(x 0,y 0)和P 1(x 0+△x ,y0+△y )是曲线上两个邻近的点,P 0T 是通过P 0的切线.直角三角形△P 0MP 1的水平边0P M x =∆,竖直边1MP y =∆(见图8A -).设0PT 与1MP 的交点为N ,则0tan MNMNNP M xPM ∠==∆,但0tan NP M ∠为切线P 0T 的斜率,它等于x =x 0处的导数f ′(x 0),因此00()tan dy f x x NP M x MN '=∆=∠⋅∆=.所以微分dy 在几何图形上相当于线段MN 的长度,它和增量1y MP ∆=相差1NP 一段长;从上一节计算导数时取极限的过程可以看出,dy 是y ∆中正比于x ∆的那一部分,而1NP 则是正比于(△x )2以及△x 更高幂次的各项之和[例如对于函数y =f (x )=x 3,△y =3x 2△x +3x (△x )2+(△)3,而d y =f ′(x )△x =3x 2△x ].当△x 很小时,(△x )2、(△x )3、…比△x 小得多,1NP 也就比dy 小得多,所以可以把微分dy 叫做增量y ∆中的线性主部.也就是说,若函数在x =x 0的地方像线性函数那样增长,则它的增量就是dy .4.2幂函数的展开已知一个函数f (x )在x =x 0一点的数值f (x 0),如何求得其附近的点x =x 0+△x 处的函数值f (x )=f (x 0+△x )? 若f (x )为x 的幂函数n x ,可以利用牛顿的二项式定理:23000000000(1)(1)(2)()()[1()]()[1()]()[1()()()]2!3!n n nn n x x x n n x n n n x f x x x x x f x f x n x x x x x ∆∆∆-∆--∆==+∆=+=+=++++⋅⋅⋅000(1)(1)()()!nmm n n n m x f x m x =-⋅⋅⋅-+∆=∑,(A .41)此式适用于任何n (整数、非整数、正数、负数等等).若n 为正整数,则上式中的级数在M =n 的地方截断,余下的项自动为0,否则上式为无穷级数.不过当△x <<x 0时,后面的项越来越小,只需保留有限多项就足够精确了.不要以为数学表达式越精确越好.如图A -9中A 、B 两点间的水平距离为l ,若将B 点竖直向上提高一个很小的距离a (a <<l)到达B ′,问AB ′之间的距离比AB 增加了多少?利用勾股定理易得距离的增加量为22l l a l ∆=+-.这是个精确的公式,但没有给出一个鲜明的印象,究竟△l 是随a 怎样变化的?若用二项式定理将它展开,只保留到最低级的非0项,则有12222221[1()1]{[1()]1}[1()1]()222a a a l a a l l l l l l l l l∆=+=+-=++⋅⋅⋅-≈=,即△l 是正比于a平方增长的,属二级小量.这种用幂级数展开来分析主要变化趋势的办法,在物理学里是经常用到的.4.3泰勒展开非幂函数(譬如s in x 、e x )如何作幂级数展开?这要用泰勒(Taylor)展开. 下面用一种不太严格,但简单明了的办法将它导出.假设函数f (x )在x =x 0处的增量△f =f (x )-f (x 0)能够展成△x =x -x 0的幂级数:001()()()mm m f x f x a x x ∞=-=-∑,(A .42)则通过逐项求导可得101()()m m m f x ma x x ∞-='=-∑;当x →x 0时,m >1的项都趋于0,于是有f ′(x 0)=a 1;再次求导,得202()(1)()m m m f x m m a x x ∞-=''=--∑,当x →x 0时,m >2的项都趋于0,于是有f (x 0)=2a 2;如此类推,一般地说,对于M阶导数有()0()!M M fx M a =;于是(A .42)式可以写为:()000()()()()!m m m Mf x f x f x x x m ∞=-=-∑,(A .43).若定义第0阶导数f (0)(x )就是函数f (x )本身,则上式还可进一步简写为:()000()()()!m m m f x f x x x m ∞==-∑,(A .44). 上述(A .43)或(A .44)式称为泰勒展开式,它在物理学中是非常有用的公式. 下面在表A -3中给出几个常见函数在x 0=0或1处的泰勒展开式.函数 展开式收敛范围12(1)x ± 234111113113512242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±-±-±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1x ≤ 32(1)x ± 234331311311312242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x ≤52(1)x ± 234553531531112242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x ≤ 12(1)x -± 234113135135712242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x <32(1)x -± 234335357357912242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x < 52(1)x -±2345575795791112242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x <1(1)x -±2341x x x x ±+±+±⋅⋅⋅1x < 2(1)x -±23412345x x x x ±+±+±⋅⋅⋅1x < sin x3573!5!7!x x x x -+-+⋅⋅⋅ x <∞ cos x24612!4!6!x x x -+-+⋅⋅⋅ x <∞ tan x 35791217623153152835x x x x x +++++⋅⋅⋅ x <∞x e 23411!2!3!4!x x x x +++++⋅⋅⋅ x <∞ln(1)x + 234234x x x x -+-+⋅⋅⋅11x -<≤ ln(1)x -234()234x x x x -++++⋅⋅⋅11x -≤<§55.1几个物理中的实例 (1)变速直线运动的路程大家都熟悉匀速直线运动的路程公式.若物体的速率是v ,则它在t a 到t b 一段时间间隔内走过的路程是s =v (t b -t a ),(A .45).对于变速直线运动来说,物体的速率v 是时间的函数:v =v (t ),函数的图形是一条曲线(见图A -10a ),只有在匀速直线运动的特殊情况下,它才是一条直线(参见图A -4b ).对于变速直线运动,(A .45)式已不适用.但是,可以把t =t a 到t =t b 这段时间间隔分割成许多小段,当小段足够短时,在每小段时间内的速率都可以近似地看成是不变的.这样一来,物体在每小段时间里走过的路程都可以按照匀速直线运动的公式来计算,然后把各小段时间里走过的路程都加起来,就得到t a 到t b 这段时间里走过的总路程.设时间间隔(t b -t a )被t =t 1(=t a )、t 2、t 3、…、t n 、t b 分割成n 小段,每小段时间间隔都是△t ,则在t 1、t 2、t 3、…、t n 各时刻速率分别是v (t 1)、v (t 2)、v (t 3)、…、v (t n ).若把各小段时间的速率v 看成是不变的,则按照匀速直线运动的公式,物体在这些小段时间走过的路程分等于v (t 1)△t 、v (t 2)△t 、v (t 3)△t 、…、v (t n )△t .于是,在整个(t b -t a )这段时间里的总路程是1231()()()()()nn i i s v t t v t t v t t v t t v t t ==∆+∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆∑,(A .46).现在再看看上式的几何意义.在函数v =v (t )的图形中,通过t =t 1、t 2、t 3、…、t n 各点垂线的高度分别是v (t 1)、v (t 2)、v (t 3)、…、v (t n )(见图A -10b ),所以v (t 1)△t 、v (t 2)△t 、v (t 3)△t 、…、v (t n )△t 就分别是图中那些狭长矩形的面积,而1()ni i v t t=∆∑则是所有这些矩形面积的总和,即图中画了斜线的阶梯状图形的面积.在上面的计算中,把各小段时间△t 里的速率v 看做是不变的,实际上在每小段时间里v 多少还是有些变化的,所以上面的计算并不精确.要使计算精确,就需要把小段的数目n 加大,同时所有小段的△t 缩短(见图A -10c ).△t 越短,在各小段里v 就改变得越少,把各小段里的运动看成匀速运动也就越接近实际情况.所以要严格地计算变速运动的路程s ,就应对(A .46)式取n →∞、△t →0的极限,即01lim ()ni t i n s v t t ∆→=→∞=∆∑,(A .47). 当n 越来越大,△t 越来越小的时候,图A -10中的阶梯状图形的面积就越来越接近v (t )曲线下面的面积(图A -10d).所以(A .47)式中的极限值等于(t b -t a )区间内v (t )曲线下的面积.总之,在变速直线运动中,物体在任一段时间间隔(t b -t a )里走过的路程要用(A .47)式来计算,这个极限值的几何意义相当于这区间内v (t )曲线下的面积. (2)变力的功当力与物体移动的方向一致时,在物体由位置s =s a 移到s =s b 的过程中,恒力F 对它所作的功为:A =F (s b -s a )(A .48);若力F 是随位置变化的,即F 是s 的函数:F =F (s ),则不能运用(A .48)式来计算力F 的功.此时,也需要象计算变速运动的路程那样,把(s b -s a )这段距离分割成n 个长度为△s 的小段(见图A -11):并把各小段内力F 的数值近似看成是恒定的,用恒力作功的公式计算出每小段路程△s 上的功,然后加起来取n →∞、△s →0的极限值.具体地说,设力F 在各小段路程内的数值分别为F (s 1)、F (s 2)、F (s 3)、…、F (s n ),则在各小段路程上力F 所作的功分别为F (s 1)△s 、F (s 2)△s 、F (s 3)△s 、…、F (s n )△s ,在(s b -s a )整段路程上力F 的总功A 就近似地等于1()ni i F s s =∆∑;因为实际上在每一小段路程上加F 都是变化的,所以严格地计算,还应取n →∞、△s →0的极值,即01lim ()ni t i n A F s s ∆→=→∞=∆∑,(A .49).同上例,这极限值应是(s b -s a )区间内F (s )下面的面积(见图A -12).5.2定积分以上两个例子表明,许多物理问题中需要计算象(A .47)和(A .49)式中给出的那类极限值.概括起来说,就是要解决如下的数学问题:给定一个函数f (x ),用x =x 1(=a )、x 2、x 3、…、x n 、b 把自变量x 在(b -a )区间内的数值分成n 小段,设每小段的大小为△x ,求n →∞、△x →0时1()ni i f x x =∆∑的极限;通常把这类形式的极限用符号()ba f x dx ⎰来表示,即01()lim ()nbi ax i n f x dx f x x ∆→=→∞=∆∑⎰,(A .50);()baf x dx ⎰叫做x a =到x b =区间内()f x 对x 的定积分,()f x 叫做被积函数,b 和a 分别叫做定积分的上限和下限.用定积分的符号来表示,(A .47)和(A .49)式可分别写为()b at t s v t dt =⎰,(A .51)、()bas s A F s ds =⎰,(A .52).在变速直线运动的路程公式(A .51)里,自变量是t ,被积函数是v (t ),积分的上、下限分别是t b 和t a ;在变力作功的公式(A .52)里,自变量是s ,被积函数是F (s ),积分的上、下限分别是s b 和s a .求任意函数定积分的办法有赖于下面关于定积分的基本定理:若被积函数f (x )是某个函数Ф(x )的导数,即f (x )=Ф′(x ),则在x =a 到x =b 区间内f (x )对x 的定积分等于Ф(x )在这区间内的增量,即()()()ba f x dxb a =Φ-Φ⎰,(A .53).下面来证明上述定理.在a ≤x ≤b 区间内任选一点x i ,首先考虑Ф(x )在x =x i 到x =x i +△x =x i+1区间的增量△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i ):()()i i x x x x ∆Φ∆Φ=⋅∆∆,当0x ∆→时,可用Ф(x )的导数()d x dx Φ'Φ=代替x∆Φ∆;但按照定理的前提,Ф′(x )=f (x ),故△Ф(x i )≈Ф′(x i )△x =f (x i )△x 式中≈表示“近似等于”,若取△x →0的极限,上式就是严格的等式.把a ≤x ≤b 区间分成n -1小段,每段长△x ;上式适用于每小段.根据积分的定义和上式,有:12112100()lim[()()()]lim[()()()]bn n ax x n n f x dx f x x f x x f x x x x x --∆→∆→→∞→∞=∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆Φ+∆Φ+⋅⋅⋅+∆Φ⎰2132110lim{[()()][()()][()()]}()()n n n x n x x x x x x x x -∆→→∞=Φ-Φ+Φ-Φ+⋅⋅⋅+Φ-Φ=Φ-Φ因x 1=a ,xn =b ,于是得(A .53)式,至此定理证毕.下面看看函数Ф(x )在f -x 图(见图A -13)中所表现的几何意义.如前所述,△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i )=f (x i )△x ,正是宽为△x 、高为()i i i f x x P =的一个矩形(即图13A -中的1i i i x x NP +)的面积.它和曲线段P i P i+1下面的梯形x i x i+1P i+1P i 的面积只是相差一小三角形P i NP i +1的面积.当△x →0时,可认为△Ф(x i )就是梯形x i x i+1P i+1P i 的面积.既然当x 由x i 变到x i+1时,Ф(x )的增量的几何意义是相应区间f -x 曲线下的面积,则Ф(x )本身的几何意义就是从原点O 到x 区间f -x 曲线下面的面积加上一个常量C =Ф(0).例如Ф(x i )的几何意义是图形Ox i P i P 0的面积加C ,Ф(x i +1)的几何意义是图形Ox i+1P i+1P 0的面积加C ,等等.这样,△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i )就是:(Ox i+1P i+1P 0的面积+C )-(Ox i P i P 0的面积+C )=x i x i+1P i+1P i 的面积,而Ф(b )-Ф(a )的几何意义是:(ObP b P 0的面积+C )-(OaP a P 0的面积+C )=abP b P a 的面积.它相当于定积分()ba f x dx ⎰的值.5.3不定积分及其运算在证明了上述定积分的基本定理之后,就可以着手解决积分的运算问题了.根据上述定理,只要求得函数Ф(x )的表达式,利用(A .53)式立即可以算出定积分()ba f x dx ⎰来,那么,给出了被积函数()f x 的表达式之后,怎样去求Ф(x )的表达式呢?上述定理说明,Ф′(x )=f (x ),所以这就相当于问f (x )是什么函数的导数.由此可见,积分运算是求导的逆运算.如果f (x )是Ф(x )的导数,可以称Ф(x )是f (x )的逆导数或原函数.求f (x )的定积分就可以归结为求它的逆导数或原函数.在上节里讲了一些求导数的公式和定理,常见的函数都可以按照一定的法则把它们的导数求出来.然而求逆导数的问题却不像求导数那样容易,而需要靠判断和试探.例如,知道了Ф(x )=x 3的导数Ф′(x )=3x 2,也就知道了F (x )=3x 2的逆导数是Ф(x )=x 3;这时,如果要问函数f (x )=x 2的逆导数是什么,那么就不难想到,它的逆导数应该是x 3/3;这里要指出一点,即对于一个给定的函数f (x )来说,它的逆导数并不是唯一的.Ф1(x )=x 3/3是f (x )=x 2的逆导数,Ф2(x )=x 3/3+1和Ф3(x )=x 3/3-5也都是它的逆导数,因为Ф1′(x )、Ф2′(x )、Ф3′(x )都等于x 2.一般说来,在函数f (x )的某个逆导数Ф(x )上加一任意常量C ,仍旧是f (x )的逆导数.通常把一个函数f (x )的逆导数的通式Ф(x )+C 叫做它的不定积分,并记作()f x dx ⎰,于是()()f x dx x C =Φ+⎰,(A .54).因在不定积分中包含任意常量,它代表的不是个别函数,而是一组函数.。
高中物理竞赛中的数学知识

物理竞赛中的数学知识一、重要函数 1. 指数函数2. 三角函数3. 反三角函数反正弦Arcsin x ,反余弦Arccos x ,反正切Arctan x ,反余切Arccot x 这些函数的统称,各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x 的角。
二、数列、极限2. 等差数列: a n =a 1+(n-1)d ,前n 项和11(1)22n n a a n n S n na d +-==+ 3.等比数列:通项公式a n =a 1q(n-1),前n 项和11(1)(1)11n n n a a q a q S q q q--==≠-- 所有项和1(1)1n a S q q=<-4. 求和符号5.常用的等价无穷小为:当x →0时: sin x ~x ,tan x ~x ,arcsin x ~x ,arctan x ~x ,1-cos x ~221x , 11-+n x ~x n1。
(1+x)n =1+nx 等价无穷小可代换五、二项式定理1. 阶乘: n!=1×2×3×……×n2. 组合数:从m 个不同元素中取出n (n≤m )个元素的所有组合的个数,叫做从m 个不同元素中取出n 个元素的组合数3. 二项式定理即六、常用三角函数公式sin (π+α)=-sin α cos (π+α)=-cos α tan (π+α)=tan α sin (π/2+α)=cos α cos (π/2+α)=—sin α tan (π/2+α)=-cot αsin()sin cos cos sin A B A B A B +=+ s i n ()s i n c o s c o s s A B A B A B -=- cos()cos cos sin sin A B A B A B +=- c o s ()c o sc o ss i n sA B A B A B -=+ sin 22sin cos A A A = 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =-=-=-22tan tan 21tan AA A=-sin2A =cos 2A =s i n t a n 21c o sA A A ==+ 和差化积公式sin sin 2sincos 22a b a b a b +-+=⋅ sin sin 2cos sin22a b a ba b +--=⋅ cos cos 2cos cos 22a b a b a b +-+=⋅ cos cos 2sin sin22a b a ba b +--=-⋅ ()sin tan tan cos cos a b a b a b++=⋅积化和差公式()()1sin sin cos cos 2a b a b a b =-+--⎡⎤⎣⎦ ()()1cos cos cos cos 2a b a b a b =++-⎡⎤⎣⎦()()1s i n c o s s i n s i n 2a b a b a b =++-⎡⎤⎣⎦ ()()1c o s s i n s i n s i n 2a b a b a b =+--⎡⎤⎣⎦ 万能公式22tan2sin 1tan 2aa a=+ 221tan 2cos 1tan 2a a a -=+ 22t a n2t a n 1t a n2aa a=-求导与微分一、导数的概念1.几个基本初等函数的导数 ⑴()0c '= ⑵1x xμμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=-2.导数的四则运算 (1))(])([x u c x u c '⋅='⋅; (2))()(])()([x v x u x v x u '+'='±;(3))()()()()]()([x v x u x v x u x v x u '⋅+'⋅'=⋅;(4))()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡二、微分1.微分的概念设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义,若在其中给0x 一改变量x ∆,相应的函数值的改变量y ∆可以表示为).0()(0)()(00→∆∆+∆=-∆+=∆x x x A x f x x f y其中A 与x ∆无关,则称)(x f 在0x 点可微,且称A x ∆为)(x f 在0x 点的微分,记为.0x A x x dfx x dy∆====x A ∆是函数改变量y ∆的线性主部.)(x f y =在0x 可微的充要条件是)(x f 在0x 可导,且)(00x x f x x dy ∆'==.当x x f =)(时,可得x dx ∆=,因此.)(,)(00dx x f dy dx x f x x dy'='==由此可以看出,微分的计算完全可以借助导数的计算来完成.(2)微分的几何意义 当x 由0x 变到x x ∆+0时,函数纵坐标的改变量为y ∆,此时过0x 点的切线的纵坐标的改变量为dy.如图2-1所示.当dy <y ∆时,切线在曲线下方,曲线为凹弧. 当dy >y ∆时,切线在曲线上方,曲线为凸弧.2.微分运算法则 设)(),(x v x u 可微,则)()()()()()()().()()()()]()([).()()]()([.0)(),())((2x v x dv x u x du x v x v x u dx du x v x dv x u x v x u d x du x du x v x u d c d x cdu x cu d -=+=⋅±=±==三、不定积分1.不定积分概念【定义】(不定积分) 函数f(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分,记作⎰dx x f )(.若F(x)是f(x)的一个原函数,则⎰+=)()()(是任意常数C Cx F dx x f2.不定积分的性质(1)积分运算与微分运算互为逆运算.()()⎰⎰⎰⎰+=+='==.)()()()(,)()()()(C x F x dF C x F dx x F dx x f dx x f d x f dx x f dxd或或(2)⎰⎰≠=)0()()(k dx x f k dx x kf 常数(3)⎰⎰⎰±=±.)()()]()([dx x g dx x f dx x g x f3.基本积分公式kdx kx c =+⎰ 11x x dx c μμμ+=++⎰c o s s i n xd x x c=+⎰ sin cos xdx x c =-+⎰四、定积分【定义】(定积分) 函数)(x f 在区间[a,b ]上的定积分定义为∑⎰=→∆∆==ni iix baxf dx x f I 1)(lim)(ξ,【定理】(牛顿-莱布尼茨公式) 若函数)(x f 在区间[a,b ]上连续,)(x F 是)(x f 在[a,b ]上的一个原函数,则)()()()(a F b F abx F dx x f ba-==⎰.上述公式也称为微积分基本定理,是计算定积分的基本公式.常用数学知识汇总一、三角函数公式 1.两角和公式sin()sin cos cos sin A B A B A B +=+ s i n ()s i n c o s c o s s A B A B A B -=- cos()cos cos sin sin A B A B A B +=- c o s ()c o sc o ss i n sA B A B A B -=+ tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=- tan tan tan()1tan tan A BA B A B --=+cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ⋅-+=+ cot cot 1cot()cot cot A B A B B A ⋅+-=- 2.二倍角公式sin 22sin cos A A A = 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =-=-=- 22tan tan 21tan AA A=- 3.半角公式sin2A =cos 2A =sin tan21cos A A A ==+sin cot 21cos A A A==- 4.和差化积公式sin sin 2sincos 22a b a b a b +-+=⋅ sin sin 2cos sin22a b a ba b +--=⋅ cos cos 2cos cos 22a b a b a b +-+=⋅ cos cos 2sin sin22a b a ba b +--=-⋅ ()sin tan tan cos cos a b a b a b++=⋅5.积化和差公式()()1sin sin cos cos 2a b a b a b =-+--⎡⎤⎣⎦ ()()1cos cos cos cos 2a b a b a b =++-⎡⎤⎣⎦()()1s i n c o s s i n s i n 2a b a b a b =++-⎡⎤⎣⎦ ()()1c o s s i n s i n s i n 2a b a b a b =+--⎡⎤⎣⎦ 6.万能公式22tan2sin 1tan 2aa a=+ 221tan 2cos 1tan 2a a a -=+ 22t a n2t a n 1t a n2aa a=- 7.平方关系22sin cos 1x x += 22sec n 1x ta x -= 22csc cot 1x x -=8.倒数关系tan cot 1x x ⋅= sec cos 1x x ⋅= c sin 1cs x x ⋅=9.商数关系sin tan cos x x x =cos cot sin xx x= 二、重要公式(1)0sin lim 1x xx →= (2)()10lim 1x x x e →+= (3))1n a o >=(4)1n = (5)limarctan 2x x π→∞=(6)lim tan 2x arc x π→-∞=-(7)limarccot 0x x →∞= (8)lim arccot x x π→-∞= (9)lim 0xx e →-∞=(10)lim x x e →+∞=∞ (11)0lim 1xx x +→=三、下列常用等价无穷小关系(0x →)sin xx tan x x a r c s i n x x arctan xx 211c o s 2xx -()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ∂+-∂四、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭五、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x xμμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxee'= ⑽()ln xxaaa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'=⒀()arcsin x '=⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x'=-+⒄()1x '=⒅'=八、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d xxdx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1ln d x dx x= ⑿()1logln xad dx x a= ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x =-+ 九、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭十、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dx x c x=+⎰ ⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰ ⑽21arctan 1dx x c x=++⎰ ⑾arcsin x c =+。
拓展第一讲 物理竞赛中的数学基础

第一讲物理竞赛中的数学基础一、勾股定理勾股定理又叫毕氏定理:在一个直角三角形中,斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。
据考证,人类对这条定理的认识,少说也超过4000 年!又据记载,现时世上一共有超过300 个对这定理的证明!勾股定理,主要应用是直角三角形中已知两边求第三边。
1、应用勾股定理求最短距离。
我们已经学过平面内两点之间线段最短的道理,也就是说两点之间的所有连线,最短路线是两点之间的线段。
但在立体图形中不同的侧面上两点之间,曲面上的两点之间的最短距离如何解决,我们分两个小问题来讲。
(1)圆柱形物体上的两点的最短路线。
圆柱体是立体图形,两点之间的连线绝大部分是曲线,应该不是最短的,但有人只凭直觉、感觉,认为如图所示的A→B→C的路线最短,是错误的。
解决问题的方法是将圆柱的侧面展开转化为平面图形来解决。
如图,将右上圆柱的侧面沿母线AB展开后是矩形ABB′A′,不难看出,从A到C的最短路线应是矩形ABCD的对角线AC,这时AC是一个直角三角形的斜边,可用勾股定理解决,其中矩形ABB′A′长、宽分别是圆柱的高与底面周长。
(2)长方体(或正方体)面上两点间的距离。
长方体(或正方体)是立体图形,它的每个面都是平面,如果计算同一个面上两点之间的距离,则比较简单。
如果计算不在同一个面上的两点之间的距离,就变成了两个平面之间的问题,必须将它们转化到同一个平面内。
就需把长方体(或正方体)的侧面设法展开成为一个平面,且使计算距离的两个点所在的平面放在一起,这样可利用勾股定理解决问题。
如图,一个正方块,求A点到E点的最短距离,可把AA′D′D与A′B′C′D′展成一个平面,A 与E之间的最短距离就是RtΔADE的斜边AE的长,可根据题目中给出的数据,用勾股定理加以解决。
2、应用勾股定理可测量建筑物高度、河宽等,主要是在测量设计时构造直角三角形,其中两边可测,利用勾股定理求出无法直接测的距离,如测A、B间距离,可在与AB成90°的方向选一点C(可测出AC),同时,CB可直接测得,可用勾股定理算出AB,AB2=BC2-AC2。
物理竞赛中的数学知识

物理竞赛中的数学知识一、重要函数1.指数函数2.三角函数3.反三角函数反正弦Arcsin x,反余弦Arccos x,反正切Arctan x,反余切Arccot x这些函数的统称,各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x 的角。
二、数列、极限1.数列:按一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n项。
数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,a n,a(n+1),… 简记为{an},通项公式:数列的第N项a n 与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。
2. 等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。
通项公式a n =a 1+(n-1)d ,前n 项和11(1)22n n a a n n S n na d +-==+ 等比数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示。
通项公式a n =a 1q (n-1),前n 项和11(1)(1)11n n n a a q a q S q q q --==≠-- 所有项和1(1)1n a S q q=<- 3. 求和符号 4. 数列的极限: 设数列{}n a ,当项数n 无限增大时,若通项n a 无限接近某个常数A ,则称数列{}n a 收敛于A ,或称A 为数列{}n a 的极限,记作Aa n n =∞→lim 否则称数列{}n a 发散或nn a ∞→lim 不存在.三、函数的极限:在自变量x 的某变化过程中,对应的函数值f (x )无限接近于常数A ,则称常数A 是函数f (x )当自变量x 在该变化过程中的极限。
物理竞赛之数学基础辅导(共113张PPT)

而且是一种思维模式; 数学 不仅是一种知识, 而且是一种素养;
数学 不仅是一种科学,
而且是一种文化; 能否运用数学观念定量思维是衡量 民族科学文化素质的一个重要标志.
引
言
一、高等数学高在哪 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
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对映射
若 f ( X ) Y , 则称 f 为满射;
引例2, 3
X
若
则称 f 为单射;
f
Y f (X )
有
引例2
X
Y
若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
引例2
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例1.
海伦公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积 则在数集 自身之间定义了一种映射 (满射)
组成集合的事物称为元素. 元素 a 属于集合 M , 记作 a M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . 注: M 为数集
*表示 M 中排除 0 的集 ; M
简称元
不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
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三、函数
1. 函数的概念
定义5. 设数集 D R , 则称映射 D 上的函数 , 记为 定义域 为定义在
y f ( x) , x D
自变量
因变量
称为值域 函数图形:
y R f f ( D ) y y f ( x ), x D y
物理竞赛知识点 知乎

物理竞赛知识点知乎
物理竞赛知识点是指参加物理竞赛所需要具备的基础知识和技能。
参加物理竞
赛实质上是以研究为主要内容,要求选手以辩证思维能力来解决问题,由于物理竞赛要求非常高,选手是要具有相当良好的理论知识和技能才能获奖,因此,需要熟练掌握一些基础知识来参加物理竞赛,并能灵活运用这些知识来解决复杂的物理问题。
首先,参加物理竞赛必须要掌握的基本知识是数学,特别是高等数学知识。
高
等数学是物理的重要组成部分,只有将高等数学理论与实际应用结合起来,才能在实际上解决物理学问题,所以选手要掌握高等数学理论成分较强,并且需要较好的抽象思维能力,而高等数学能够提供这些能力。
其次,物理基础必须要扎实,包括力学、电学、光学等。
力学的单位化处理;电学的电场分析、电流和电流率的分析;光学的波动光对频率和波长的关系等都是必须掌握的知识和技能。
此外,参加物理竞赛还需要掌握一些最新的物理理论,包括现代物理学中的量子论、热力学、原子核物理、重离子核物理、等离子体理论等。
最后,参加物理比赛还需要熟悉一些针对物理比赛的技能,如对称性、对称点、静力学等。
物理竞赛虽然需要较强的理论基础,但也不是一件非常容易的事情。
参加物理
竞赛的选手需要严格掌握上述知识点,而更要花费大量的时间把理论运用到实践中,形成可以准确的解决问题的能力,这需要参赛选手拥有极为扎实的基础、良好的分析能力和卓越的实践经验。
因此,参加物理竞赛的选手就需要以扎实的基础为前提,着力学习和实践,培养自己的能力和知识体系,从而取得良好的成绩。
高中物理竞赛中的高等数学

高中物理竞赛中的高等数学一、微积分初步物理学研究的是物质的运动规律,因此经常遇到的物理量大多数是变量,而要研究的正是一些变量彼此间的联系.这样,微积分这个数学工具就成为必要的了.考虑到,读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识,对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的.所以在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法,在讲述方法上不求严格和完整,而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要.至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法,可在通过高等数学课程的学习去完成.§1.函数及其图形1.1 函数 自变量和因变量 绝对常量和任意常量在数学中函数的功能是这样定义的:有两个互相联系的变量x 和y ,如果每当变量x 取定了某个数值后,按照一定的规律就可以确定y 的对应值,那么称y 是x 的函数,并记作:y =f (x ),(A .1);其中x 叫做自变量,y 叫做因变量,f 是一个函数记号,它表示y 和x 数值的对应关系.有时把y =f (x )也记作y =y (x ).如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数,也可以用其它字母作为函数记号,如ϕ(x )、ψ(x )等等.①常见的函数可以用公式来表达,例如()32y f x x ==+,212ax bx +,cx,cos2x π,ln x ,x e 等等. 在函数的表达式中,除变量外,还往往包含一些不变的量,如上面出现的13 2 2e π、、、、和a b c 、、等,它们叫做常量;常量有两类:一类如13 2 2e π、、、、等,它们在一切问题中出现时数值都是确定不变的,这类常量叫做绝对常量;另一类如a 、b 、c 等,它们的数值需要在具体问题中具体给定,这类常量叫做任意常量.在数学中经常用拉丁字母中最前面几个(如a 、b 、c )代表任意常量,最后面几个(x 、y 、z )代表变量.当y =f (x )的具体形式给定后,就可以确定与自变量的任一特定值x 0相对应的函数值f (x 0).例如: (1)若y =f (x )=3+2x ,则当x =-2时y =f (-2)=3+2×(-2)=-1.一般地说,当x =x 0时,y =f (x 0)=3+2x 0.(2)若()cy f x x ==,则当0x x =时,00()c f x x =.1.2 函数的图形在解析几何学和物理学中经常用平面上的曲线来表示两个变量之间的函数关系,这种方法对于直观地了解一个函数的特征是很有帮助的.作图的办法是先在平面上取一直角坐标系,横轴代表自变量x ,纵轴代表因变量(函数值)y =f (x ).这样一来,把坐标为(x ,y )且满足函数关系y =f (x )的那些点连接起来的轨迹就构成一条曲线,它描绘出函数的面貌.图A -1便是上面举的第一个例子y =f (x )=3+2x 的图形,其中P 1,P 2,P 3,P 4,P 5各点的坐标分别为:(-2,-1)、(-1,1)、(0,3)、(1,5)、(2,7),各点连接成一根直线.图A -2是第二个例子()cy f x x==的图形,其中P 1,P 2,P 3,P 4,P 5各点的坐标分别为:1(,4)4c 、1(,2)2c 、(1,)c 、(2,)2c 、(4,)4c ,各点连接成双曲线的一支.1.3 物理学中函数的实例反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的.下面举几个例子. (1)匀速直线运动公式:s =s 0+vt .(A .2)此式表达了物体作匀速直线运动时的位置s 随时间t 变化的规律,在这里t 相当于自变量x ,s 相当于因变量y ,s 是t 的函数.因此记作:s =s (t )=s 0+vt ,(A .3)式中初始位置s 0和速度v 是任意常量,s 0与坐标原点的选择有关,v 对于每个匀速直线运动有一定的值,但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值.图A -3是这个函数的图形,它是一根倾斜的直线.易知它的斜率等于v .(2)匀变速直线运动公式:20012s s v t at =++,(A .4),v =v 0+at .(A .5)两式中s 和v 是因变量,它们都是自变量t 的函数,因此记作:2001()2s s t s v t at ==++,(A .6),v =v (t )=v 0+at ,(A .7)图A -4a 、4b 分别是两个函数的图形,其中一个是抛物线,一个是直线.(A .6)和(A .7)式是匀变速直线运动的普遍公式,式中初始位置s 0、初速v 0和加速度a 都是任意常量,它们的数值要根据讨论的问题来具体化.例如在讨论自由落体问题时,若把坐标原点选择在开始运动的地方,则s 0=0,v 0=0,a =g ≈9.8M /s 2,这时(A .6)和(A .7)式具有如下形式:21()2s s t gt ==,(A .8);v =v (t )=gt .(A .9);这里的g 可看作是绝对常量,式中不再有任意常量了. (3)玻意耳定律:PV =C .(A .10)上式表达了一定质量的气体,在温度不变的条件下,压强P 和体积V 之间的函数关系,式中的C 是任意常量.可以选择V 为自变量,P 为因变量,这样,(A .10)式就可写作:()CP P V V==,(A .11)它的图形和图A -2是一样的,只不过图中的x 、y 应换成V 、P .在(A .10)式中也可以选择P 为自变量,V 为因变量,这样它就应写成:()CV V P P==,(A .12) 由此可见,在一个公式中自变量和因变量往往是相对的. (4)欧姆定律:U IR =.(A .13)当讨论一段导线中的电流I 这样随着外加电压U 而改变的问题时,U 是自变量,I 是因变量,R 是常量.这时,(A .13)式应写作:()UI I U R==,(A .14);即I 与U 成正比. 应当指出,任意常量与变量之间的界限也不是绝对的.例如,当讨论串联电路中电压在各电阻元件上分配问题时,由于通过各元件的电流是一样的,(A .13)式中的电流I 成了常量,而R 是自变量,U 是因变量.于是U =U (R )=IR ,(A .15)即U 与R 成正比.但是当讨论并联电路中电流在各分支里的分配问题时,由于各分支两端具有共同的电压,(A .13)式中的U 就成了常量,而R 为自变量,I 是因变量,于是:()U I I R R==,(A .16)即I 与R 成反比.总之,每个物理公式都反映了一些物理量之间的函数关系,但是其中哪个是自变量,哪个是因变量,哪些是常量,有时公式本身反映不出来,需要根据所要讨论的问题来具体分析. §2.导数2.1 极限若当自变量x 无限趋近某一数值x 0(记作x →x 0)时,函数f (x )的数值无限趋近某一确定的数值a ,则a 叫做x →x 0时函数f (x )的极限值,并记作:0lim ()x x f x a →=,(A .17)(A .17)式中的“lim ”是英语“limit (极限)”一词的缩写,(A .17)式读作“当x 趋近x 0时,f (x )的极限值等于a ”.极限是微积分中的一个最基本的概念,它涉及的问题面很广.这里不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义,只通过一个特例来说明它的意义.考虑下面这个函数:232()1x x y f x x --==-,(A .18),这里除x =1外,计算任何其它地方的函数值都是没有困难的.例如当0x =时,(0)2f =,当2x =,(2)8f =,等等.但是若问x =1时函数值f (1)=?,就会发现,这时(A .18)式的分子和分母都等于0,即0(1)0f =!用0去除以0,一般地说是没有意义的.所以表达式(A .18)没有直接给出f (1),但给出了x 无论如何接近1时的函数值来.下表列出了当x 的值从小于1和大于1两方面趋于1时f (x )值的变化情况:表A -1 x 与f (x )的变化值x232x x --1x -232()1x x f x x --=- 0.9 -0.47 -0.1 4.70.99 -0.0497 -0.01 4.97 0.999 -0.004997 -0.001 4.997 0.9999 -0.0004997 -0.0001 4.9997 1.1 0.53 0.1 5.3 1.01 0.503 0.01 5.03 1.001 0.005003 0.001 5.003 1.00010.000500030.00015.0003从上表看,x 值无论从哪边趋近1时,分子分母的比值都趋于一个确定的数值5,这便是x →1时f (x )的极限值. 其实计算f (x )值的极限无需这样麻烦,只要将(A .18)式的分子作因式分解:3x 2-x -2=(3x +2)(x -1),并在x ≠1的情况下从分子和分母中将因式(x -1)消去:(32)(1)()3 2 (1)1x x y f x x x x +-===+≠-;即可看出:x 趋于1时,函数f (x )的数值趋于:3×1+2=5.所以根据函数极限的定义,21132lim ()lim 51x x x x f x x →→--==-. 2.2 几个物理学中的实例 (1)瞬时速度当一个物体作任意直线运动时,它的位置可用它到某个坐标原点O 的距离s 来描述.在运动过程中s 是随时间t 变化的,也就是说,s 是t 的函数:s =s (t ).函数s (t )表示的是这个物体什么时刻到达什么地方.形象一些说,假如物体是一列火车,则函数s (t )就是它的一张“旅行时刻表”.但是,在实际中往往不满足于一张“时刻表”,还需要知道物体运动快慢的程度,即速度或速率的概念.例如,当车辆驶过繁华的街道或桥梁时,为了安全,对它的速率就要有一定的限制;一个上抛体(如高射炮弹)能够达到怎样的高度,也与它的初始速率有关,等等.为了建立速率的概念,就要研究在一段时间间隔里物体位置的改变情况.假设考虑的是从t =t 0到t =t 1的一段时间间隔,则这间隔的大小为:△t =t 1-t 0.根据s 和t 的函数关系s (t )可知,在t 0和t 1=t 0+△t 两个时刻,s 的数值分别为s (t 0)和s (t 1)=s (t 0+△t ),即在t 0到t 1这段时间间隔里s 改变了:△s =s (t 1)-s (t 0)=s (t 0+△t )-s (t 0).在同样大小的时间间隔△t 里,若s 的改变量△s 小,就表明物体运动得慢, 所以就把s ∆与t ∆之比st∆∆叫做这段时间间隔里的平均速率,用v 来表示,则00()()s t t s t s v t t+∆-∆==∆∆,(A .19),举例说明如下. 对于匀变速直线运动,根据(A .4)式有2000001()2s t s v t at =++和2000001()()()2s t t s v t t a t t +∆=++∆++∆,22200000000000000111[()()]()()()()()12222s v t t a t t s v t at v at t a t s t t s t v v at a t t t t ++∆++∆-+++∆+∆+∆-====++∆∆∆∆;平均速率s v t ∆=∆反映了物体在一段时间间隔内运动的快慢,除了匀速直线运动的特殊情况外,st∆∆的数值或多或少与t ∆的大小有关;t ∆取得越短,s t ∆∆就越能反映出物体在0t t =时刻运动的快慢;通常就把0t ∆→时st∆∆的极限值叫做物体在t =t 0时刻的瞬时速率v ,即0000()()lim lim t t s t t s t sv t t ∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .20) 对于匀变速直线运动来说,0000001lim lim()2t t s v v at a t v at t ∆→∆→∆==++∆=+∆. 这就是熟悉的匀变速直线运动的速率公式(A .5). (2)瞬时加速度一般地说,瞬时速度或瞬时速率v 也是t 的函数:v =v (t ).但是在许多实际问题中,只有速度和速率的概念还不够,还需要知道速度随时间变化的快慢,即需要建立“加速度”的概念.平均加速度a 和瞬时加速度a 概念的建立与v 和v 的建立类似.在直线运动中,首先取一段时间间隔t 0到t 1,根据瞬时速率v 和时间t 的函数关系v (t )可知,在t =t 0和t =t 1两时刻的瞬时速率分别为v (t 0)和v (t 1)=v(t 0+△t ),因此在t 0到t 1这段时间间隔里v 改变了△v =v (t 0+△t )-v (t 0).通常把v t∆∆叫做这段时间间隔里的平均加速度,记作a ;00()()v t t v t v a t t +∆-∆==∆∆,(A .21) 举例来说,对于匀变速直线运动,根据(A .5)式有000()v t v at =+,000()()v t t v a t t +∆=++∆.所以平均加速度为000000()()[()]()v t t v t v a t t v at v a a t t t+∆-++∆-+∆====∆∆∆(常数).对于一般的变速运动,a 也是与t ∆有关的,这时为了反映出某一时刻速度变化的快慢,就需要取v t∆∆在0t ∆→时的极限,这就是物体在t =t 0时刻的瞬时加速度a :0000()()limlim t t v t t v t va t t∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .22)(3)应用举例水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差,这样才能使水流动.为简单起见,假设水渠是直的,这时可以把x 坐标轴取为逆水渠走向的方向(见图A -5),于是各处渠底的高度h 便是x 的函数:h =h (x ).知道了这个函数,就可以计算任意两点之间的高度差.在修建水渠的时候,人们经常运用“坡度”的概念.譬如说,若逆水渠而上,渠底在100m 的距离内升高了20cm ,人们就说这水渠的坡度是0.221001000m m =,因此所谓坡度,就是指单位长度内的高度差,它的大小反映着高度随长度变化的快慢程度.如果用数学语言来表达,就要取一段水渠,设它的两端的坐标分别为x 0和x 1,于是这段水渠的长度为:△x =x 1-x 0.根据h 和x 的函数关系h (x )可知,在x 0和x 1=x 0+△x 两地h 的数值分别为h (x 0)和h (x 1)=h (x 0+△x ),所以在△x 这段长度内h 改变了:△h =h (x 0+△x )-h (x 0).根据上述坡度的定义,这段水渠的平均坡度为:00()()h x x h x h k x x+∆-∆==∆∆,(A .23) 前面所举例子,△x 采用了100米的数值.实际上在100米的范围内,水渠的坡度可能各处不同.为了更细致地把水渠在各处的坡度反映出来,应当取更小的长度间隔x ∆,x ∆取得越小,hx∆∆就越能精确反映出x =x 0处的坡度.所以在x =x 0处的坡度k 应是0x ∆→时的平均坡度k 的极限值,即0000()()lim lim x x h x x h x hk x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .24)2.3 函数的变化率——导数前面举了三个例子,在前两个例子中自变量都是t ,第三个例子中自变量是x .这三个例子都表明,在研究变量与变量之间的函数关系时,除了它们数值上“静态的”对应关系外,往往还需要有“运动”或“变化”的观点,着眼于研究函数变化的趋势、增减的快慢,即函数的“变化率”概念.当变量由一个数值变到另一个数值时,后者减去前者,叫做这个变量的增量.增量,通常用代表变量的字母前面加个“△”来表示.例如,当自变量x 的数值由x 0变到x 1时,其增量就是△x ≡x 1-x 0.(A .25)与此对应.因变量y 的数值将由y 0=f (x 0)变到y 1=f (x 1),它的增量为△y ≡y 1-y 0=f (x 1)-f (x 0)=f (x 0+△x )-f (x 0).(A .26)应当指出,增量是可正可负的,负增量代表变量减少.增量比00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆,(A .27)可以叫做函数在x =x 0到x =x 0+△x 这一区间内的平均变化率,它在△x →0时的极限值叫做函数y =f (x )对x 的导数或微商,记作y ′或f ′(x ),0000()()()lim lim x x f x x f x yy f x x x ∆→∆→+∆-∆''===∆∆,(A .28)除y '或()f x '外,导数或微商还常常写作dy dx 、df dx 、ddx等其它形式.导数与增量不同,它代表函数在一点的性质,即在该点的变化率.应当指出,函数f (x )的导数f ′(x )本身也是x 的一个函数,因此可以再取它对x 的导数,这叫做函数y =f (x )的二阶导数,记作y ''、()f x ''、22d y dx 等;22()()()d y d dy dy f x f x dx dx dx dx '''''====,(A .29) 据此类推,则不难定义出高阶的导数来.有了导数的概念,前面的几个实例中的物理量就可表示为:瞬时速率:ds v dt =,(A .30);瞬时加速度:22dv d sa dt dt==,(A .31);水渠坡度:dh k dx =,(A .32).2.4 导数的几何意义在几何中切线的概念也是建立在极限的基础上的.如图A -6所示,为了确定曲线在P 0点的切线,先在曲线上P 0附近选另一点P 1,并设想P 1点沿着曲线向P 0点靠拢.P 0P 1的联线是曲线的一条割线,它的方向可用这直线与横坐标轴的夹角α来描述.从图上不难看出,P 1点愈靠近P 0点,α角就愈接近一个确定的值α0,当P 1点完全和P 0点重合的时候,割线P 0P 1变成切线P 0T ,α的极限值α0就是切线与横轴的夹角.在解析几何中,把一条直线与横坐标轴夹角的正切tan α叫做这条直线的斜率.斜率为正时表示α是锐角,从左到右直线是上坡的(见图A -7a );斜率为负时表示α是钝角,从左到右直线是下坡的(见图A -7b ).现在来研究图A -6中割线P 0P 1和切线P 0T 的斜率.设P 0和P 1的坐标分别为(x 0,y 0)和(x 0+△x ,y 0+△y ),以割线P 0P 1为斜边作一直角三角形△P 0P 1M ,它的水平边P 0M 的长度为△x ,竖直边MP 1的长度为△y ,因此这条割线的斜率为:10tan MP y P M xα∆==∆.如果图A -6中的曲线代表函数y =f (x ),则割线P 0P 1的斜率就等于函数在 0x x =附近的增量比yx∆∆,切线0PT 的低斜率0tan α是10P P →时,割线P 0P 1斜率的极限值,即10100tan lim tan lim ()P P P P yf x x αα→→∆'===∆;所以导数的几何意义是切线的斜率.§3.导数的运算在上节里只给出了导数的定义,本节将给出以下一些公式和定理,利用它们可以把常见函数的导数求出来.3.1 基本函数的导数公式(1)y =f (x )=C (常量):00()()()lim lim 0x x f x x f x C Cy f x xx ∆→∆→+∆--''====∆∆; (2)y =f (x )=x :000()()()()lim lim lim 1x x x f x x f x x x x x y f x x xx ∆→∆→∆→+∆-+∆-∆''=====∆∆∆; (3)y =f (x )=x 2:22000()()()()lim lim lim(2)2x x x f x x f x x x x y f x x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-''====+∆=∆∆;(4)y =f (x )=x 3:33222000()()()()lim lim lim[33()]3x x x f x x f x x x x y f x x x x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-''====+∆+∆=∆∆; (5)y =f (x )=1x :0()()()lim x f x x f x y f x x ∆→+∆-''===∆011lim x x x x x∆→-+∆=∆ 200()11lim lim ()()x x x x x x x x x x x x x∆→∆→-+∆-===-+∆⋅∆+∆; (6)y =f (x )=x :000()()()lim lim lim[]x x x f x x f x x x x x x x x x xy f x x x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-+∆-+∆+''====⋅∆∆∆+∆+ 220()()11limlim()2x x x x x x x x x x x x x∆→∆→+∆-===∆+∆++∆+上面推导的结果可以归纳成一个普遍公式:当ny x =时,1n n dx y nx dx-'==,(n 为任何数),(A .33). 例如:当1n =时,()y f x x ==,1dxy dx '==; 当2n =时,2()y f x x ==,22dx y x dx '==; 当3n =时,3()y f x x ==,323dx y x dx '==; 当1n =-时,11()y f x x x -===,2211()(1)d y x dx x x-'==-=-;当12n =时,12()y f x x x ===,121122d x y x dx x-'===;等等.利用(A .33)式还可以计算其它幂函数的导数(见表A -2).除了幂函数n x 外,物理学中常见的基本函数还有三角函数、对数函数和指数函数.现在只给出这些函数的导数公式(见表A -2)而不推导,解题时可以直接引用.3.2 有关导数运算的几个定理 定理一:[()()]d du dvu x v x dx dx dx ±=±,(A .34). 证明:00[()()]lim lim[]x x d u v u v du dvu x v x dx x x x dx dx∆→∆→∆±∆∆∆±==±=±∆∆∆. 定理二:[()()]()()d du dvu x v x v x u x dx dx dx ⋅=+,(A .35).证明:00[()][()]u(x)v(x)v()()[()()]lim lim x x d u x u v x v x u u x v u vu x v x dx x x∆→∆→+∆+∆-∆+∆+∆∆⋅==∆∆ 0lim[()()]()()x u v du dvv x u x v x u x x x dx dx ∆→∆∆=+=+∆∆.表A -2基本导数公式函数y =f (x )导数y ′=f ′(x )函数y =f (x ) 导数y ′=f ′(x )c (任意常量) 012n =- ,121x x -=3321212()x x --=- x n (n为任意常量)nx n -132n =-,3321()x x -=5523232()x x --=-n =1, x1…… ……n =2, x 2 2x sin xcos xn =3, x 33x 2 cos xsin x - 1n =-,11x x -=221(1)x x --=-ln x 1x2n =-,221x x -=332(2)x x --=-x ex e12n =,121x x=121212x x -= …… ……定理三:2()()()[]()[()]du dv v x u x d u x dx dx dx v x v x -=,(A .36).证明:000()()()[()]()[()]()()()()()[]lim lim lim ()[()]()[()]()x x x u x u u x d u x u x u v x v x v u x v x u u x v v x v v x dx v x x v x v v x xv x v v x x ∆→∆→∆→+∆-+∆-+∆∆-∆+∆===∆+∆∆+∆∆20()()()()lim [()]()[()]x u v du dv v x u x v x u x x x dx dx v x v v x v x ∆→∆∆--∆∆==+∆. 定理四:[()]d du dvu v x dx dv dx=⋅,(A .37). 证明:00[()][()]()()[()]lim lim[]x x d u v x x u v x u v v v v v u v x dx x v x ∆→∆→+∆-+∆-∆==⋅∆∆∆00()()lim[]lim[]x x u v v v v v du dvv x dv dx∆→∆→+∆-∆=⋅=⋅∆∆ 例1.求22y x a =±(a 为常量)的导数.解:22202dy dx da x x dx dx dx=±=±=. 例2.求ln x y a =(a 为常量)的导数. 解:ln ln 110dy d x d a dx dx dx x x=-=-=. 例3.求2y ax =(a 为常量)的导数. 解:222022dy da dx x a x a x ax dx dx dx=⋅+⋅=⋅+⋅=. 例4.求2x y x e =的导数. 解:22222(2)xx x x x dy dx de e x x e x e x x e dx dx dx=+=⋅+⋅=+. 例5.求23251x y x -=+的导数.解:2222222(32)(51)(51)(32)6(51)(32)515610(51)(51)(51)d x d x x x dy x x x x x dx dx dx x x x -++--⋅+--⋅++===+++. 例6.求tan y x =的导数. 解:2222sin cos cos sin sin cos cos sin (sin )1(tan )()sec cos cos cos cos d x d xxxdy d d x x x x x dx dx x x dxdx dx xx x x-⋅-⋅-======. 例7.求cos()y ax b =+(a 、b 为常量)的导数.解:令v ax b =+,()cos y u v v ==,则(sin )sin()dy du dv v a a ax b dx dv dx=⋅=-⋅=-+. 例8.求21y x =-的导数.解:令21v x =-,()y u v v ==,则21221dy du dv x x dx dv dx vx =⋅=⋅=-.例9.求22ax y x e -=(a 为常量)的导数.解:令v u e =,2v ax =-,则2222222(2)2(1)v ax dy dx du dvu x xu x e ax x ax e dx dx dv dx-=+⋅=+⋅⋅-=-§4.微分和函数的幂级数展开 4.1 微分自变量的微分,就是它的任意一个无限小的增量△x .用dx 代表x 的微分,则dx =△x .(A .38) 一函数y =f (x )的导数f ′(x )乘以自变量的微分dx 即为该函数的微分,用dy 或df (x )表示,即dy =df (x )=f ′(x )dx ,(A .39) 所以()dyf x dx'=,(A .40) 在之前曾把导数写成dydx的形式,是把它作为一个整体引入的.当时它虽然表面上具有分数的形式,但在运算时并不象普通分数那样可以拆成“分子”和“分母”两部分.在引入微分的概念之后,就可把导数看成微分dy 与dx 之商(所谓“微商”),即一个真正的分数了.把导数写成分数形式,常常是很方便的,例如,把上节定理四(A .37)式的左端[()]d u v x dx 简写成du dx,则该式化为du du dvdx dv dx =⋅;此公式从形式上看和分数运算法则一致,很便于记忆. 下面看微分的几何意义.图A -8是任一函数y =f (x )的图形,P 0(x 0,y 0)和P 1(x 0+△x ,y 0+△y )是曲线上两个邻近的点,P 0T 是通过P 0的切线.直角三角形△P 0MP 1的水平边0P M x =∆,竖直边1MP y =∆(见图8A -).设0PT 与1MP 的交点为N ,则0tan MNMNNP M xPM∠==∆,但0tan NP M ∠为切线P 0T 的斜率,它等于x =x 0处的导数f ′(x 0),因此00()tan dy f x x NP M x MN '=∆=∠⋅∆=.所以微分dy 在几何图形上相当于线段MN 的长度,它和增量1y MP ∆=相差1NP 一段长;从上一节计算导数时取极限的过程可以看出,dy 是y ∆中正比于x ∆的那一部分,而1NP 则是正比于(△x )2以及△x 更高幂次的各项之和[例如对于函数y =f (x )=x 3,△y =3x 2△x +3x (△x )2+(△)3,而d y =f ′(x )△x =3x 2△x ].当△x 很小时,(△x )2、(△x )3、…比△x小得多,1NP 也就比dy 小得多,所以可以把微分dy 叫做增量y ∆中的线性主部.也就是说,若函数在x =x 0的地方像线性函数那样增长,则它的增量就是dy .4.2幂函数的展开已知一个函数f (x )在x =x 0一点的数值f (x 0),如何求得其附近的点x =x 0+△x 处的函数值f (x )=f (x 0+△x )? 若f (x )为x 的幂函数n x ,可以利用牛顿的二项式定理:23000000000(1)(1)(2)()()[1()]()[1()]()[1()()()]2!3!n n nn n x x x n n x n n n x f x x x x x f x f x n x x x x x ∆∆∆-∆--∆==+∆=+=+=++++⋅⋅⋅000(1)(1)()()!nmm n n n m x f x m x =-⋅⋅⋅-+∆=∑,(A .41)此式适用于任何n (整数、非整数、正数、负数等等).若n 为正整数,则上式中的级数在M =n 的地方截断,余下的项自动为0,否则上式为无穷级数.不过当△x <<x 0时,后面的项越来越小,只需保留有限多项就足够精确了.不要以为数学表达式越精确越好.如图A -9中A 、B 两点间的水平距离为l ,若将B 点竖直向上提高一个很小的距离a (a <<l)到达B ′,问AB ′之间的距离比AB 增加了多少?利用勾股定理易得距离的增加量为22l l a l ∆=+-.这是个精确的公式,但没有给出一个鲜明的印象,究竟△l 是随a 怎样变化的?若用二项式定理将它展开,只保留到最低级的非0项,则有12222221[1()1]{[1()]1}[1()1]()222a a a l a a l l l l l ll l l∆=+-=+-=++⋅⋅⋅-≈=,即△l 是正比于a 平方增长的,属二级小量.这种用幂级数展开来分析主要变化趋势的办法,在物理学里是经常用到的.4.3泰勒展开非幂函数(譬如s in x 、e x )如何作幂级数展开?这要用泰勒(Taylor)展开. 下面用一种不太严格,但简单明了的办法将它导出.假设函数f (x )在x =x 0处的增量△f =f (x )-f (x 0)能够展成△x =x -x 0的幂级数:001()()()mm m f x f x a x x ∞=-=-∑,(A .42)则通过逐项求导可得101()()m m m f x ma x x ∞-='=-∑;当x →x 0时,m >1的项都趋于0,于是有f ′(x 0)=a 1;再次求导,得202()(1)()m m m f x m m a x x ∞-=''=--∑,当x →x 0时,m >2的项都趋于0,于是有f (x 0)=2a 2;如此类推,一般地说,对于M 阶导数有()0()!M M f x M a =;于是(A .42)式可以写为:()000()()()()!m m m Mf x f x f x x x m ∞=-=-∑,(A .43).若定义第0阶导数f (0)(x )就是函数f (x )本身,则上式还可进一步简写为:()000()()()!m m m f x f x x x m ∞==-∑,(A .44). 上述(A .43)或(A .44)式称为泰勒展开式,它在物理学中是非常有用的公式. 下面在表A -3中给出几个常见函数在x 0=0或1处的泰勒展开式.表A -3 常见函数的幂级数展开式函数展开式收敛范围12(1)x ± 234111113113512242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±-±-±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1x ≤ 32(1)x ± 234331311311312242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x ≤ 52(1)x ± 234553531531112242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x ≤ 12(1)x -± 234113135135712242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x < 32(1)x -± 234335357357912242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x < 52(1)x -±2345575795791112242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x < 1(1)x -±2341x x x x ±+±+±⋅⋅⋅1x <2(1)x -±23412345x x x x ±+±+±⋅⋅⋅1x < sin x3573!5!7!x x x x -+-+⋅⋅⋅ x <∞ cos x24612!4!6!x x x -+-+⋅⋅⋅ x <∞ tan x 35791217623153152835x x x x x +++++⋅⋅⋅ x <∞ xe 23411!2!3!4!x x x x +++++⋅⋅⋅ x <∞ln(1)x + 234234x x x x -+-+⋅⋅⋅11x -<≤ ln(1)x -234()234x x x x -++++⋅⋅⋅11x -≤<§5.积分5.1几个物理中的实例 (1)变速直线运动的路程大家都熟悉匀速直线运动的路程公式.若物体的速率是v ,则它在t a 到t b 一段时间间隔内走过的路程是s =v (t b -t a ),(A .45).对于变速直线运动来说,物体的速率v 是时间的函数:v =v (t ),函数的图形是一条曲线(见图A -10a ),只有在匀速直线运动的特殊情况下,它才是一条直线(参见图A -4b ).对于变速直线运动,(A .45)式已不适用.但是,可以把t =t a 到t =t b 这段时间间隔分割成许多小段,当小段足够短时,在每小段时间内的速率都可以近似地看成是不变的.这样一来,物体在每小段时间里走过的路程都可以按照匀速直线运动的公式来计算,然后把各小段时间里走过的路程都加起来,就得到t a 到t b 这段时间里走过的总路程.设时间间隔(t b -t a )被t =t 1(=t a )、t 2、t 3、…、t n 、t b 分割成n 小段,每小段时间间隔都是△t ,则在t 1、t 2、t 3、…、t n 各时刻速率分别是v (t 1)、v (t 2)、v (t 3)、…、v (t n ).若把各小段时间的速率v 看成是不变的,则按照匀速直线运动的公式,物体在这些小段时间走过的路程分等于v (t 1)△t 、v (t 2)△t 、v (t 3)△t 、…、v (t n )△t .于是,在整个(t b -t a )这段时间里的总路程是1231()()()()()nn i i s v t t v t t v t t v t t v t t ==∆+∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆∑,(A .46).现在再看看上式的几何意义.在函数v =v (t )的图形中,通过t =t 1、t 2、t 3、…、t n 各点垂线的高度分别是v (t 1)、v (t 2)、v (t 3)、…、v (t n )(见图A -10b ),所以v (t 1)△t 、v (t 2)△t 、v (t 3)△t 、…、v (t n )△t 就分别是图中那些狭长矩形的面积,而1()ni i v t t =∆∑则是所有这些矩形面积的总和,即图中画了斜线的阶梯状图形的面积.在上面的计算中,把各小段时间△t 里的速率v 看做是不变的,实际上在每小段时间里v 多少还是有些变化的,所以上面的计算并不精确.要使计算精确,就需要把小段的数目n 加大,同时所有小段的△t 缩短(见图A -10c ).△t越短,在各小段里v 就改变得越少,把各小段里的运动看成匀速运动也就越接近实际情况.所以要严格地计算变速运动的路程s ,就应对(A .46)式取n →∞、△t →0的极限,即01lim ()ni t i n s v t t ∆→=→∞=∆∑,(A .47). 当n 越来越大,△t 越来越小的时候,图A -10中的阶梯状图形的面积就越来越接近v (t )曲线下面的面积(图A -10d).所以(A .47)式中的极限值等于(t b -t a )区间内v (t )曲线下的面积.总之,在变速直线运动中,物体在任一段时间间隔(t b -t a )里走过的路程要用(A .47)式来计算,这个极限值的几何意义相当于这区间内v (t )曲线下的面积. (2)变力的功当力与物体移动的方向一致时,在物体由位置s =s a 移到s =s b 的过程中,恒力F 对它所作的功为:A =F (s b -s a )(A .48);若力F 是随位置变化的,即F 是s 的函数:F =F (s ),则不能运用(A .48)式来计算力F 的功.此时,也需要象计算变速运动的路程那样,把(s b -s a )这段距离分割成n 个长度为△s 的小段(见图A -11):并把各小段内力F 的数值近似看成是恒定的,用恒力作功的公式计算出每小段路程△s 上的功,然后加起来取n →∞、△s →0的极限值.具体地说,设力F 在各小段路程内的数值分别为F (s 1)、F (s 2)、F (s 3)、…、F (s n ),则在各小段路程上力F 所作的功分别为F (s 1)△s 、F (s 2)△s 、F (s 3)△s 、…、F (s n )△s ,在(s b -s a )整段路程上力F 的总功A 就近似地等于1()ni i F s s =∆∑;因为实际上在每一小段路程上加F 都是变化的,所以严格地计算,还应取n →∞、△s →0的极值,即01lim ()ni t i n A F s s ∆→=→∞=∆∑,(A .49).同上例,这极限值应是(s b -s a )区间内F (s )下面的面积(见图A -12).5.2定积分以上两个例子表明,许多物理问题中需要计算象(A .47)和(A .49)式中给出的那类极限值.概括起来说,就是要解决如下的数学问题:给定一个函数f (x ),用x =x 1(=a )、x 2、x 3、…、x n 、b 把自变量x 在(b -a )区间内的数值分成n 小段,设每小段的大小为△x ,求n →∞、△x →0时1()ni i f x x =∆∑的极限;通常把这类形式的极限用符号()ba f x dx ⎰来表示,即01()lim ()nbi ax i n f x dx f x x ∆→=→∞=∆∑⎰,(A .50);()baf x dx ⎰叫做x a =到x b =区间内()f x 对x 的定积分,()f x 叫做被积函数,b 和a 分别叫做定积分的上限和下限.用定积分的符号来表示,(A .47)和(A .49)式可分别写为()bat t s v t dt =⎰,(A .51)、()bas s A F s ds =⎰,(A .52).在变速直线运动的路程公式(A .51)里,自变量是t ,被积函数是v (t ),积分的上、下限分别是t b 和t a ;在变力作功的公式(A .52)里,自变量是s ,被积函数是F (s ),积分的上、下限分别是s b 和s a .求任意函数定积分的办法有赖于下面关于定积分的基本定理:若被积函数f (x )是某个函数Ф(x )的导数,即f (x )=Ф′(x ),则在x =a 到x =b 区间内f (x )对x 的定积分等于Ф(x )在这区间内的增量,即()()()ba f x dxb a =Φ-Φ⎰,(A .53).下面来证明上述定理.在a ≤x ≤b 区间内任选一点x i ,首先考虑Ф(x )在x =x i 到x =x i +△x =x i+1区间的增量△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i ):()()i i x x x x ∆Φ∆Φ=⋅∆∆,当0x ∆→时,可用Ф(x )的导数()d x dx Φ'Φ=代替x ∆Φ∆;但按照定理的前提,Ф′(x )=f (x ),故△Ф(x i )≈Ф′(x i )△x =f (x i )△x 式中≈表示“近似等于”,若取△x →0的极限,上式就是严格的等式.把a ≤x ≤b 区间分成n -1小段,每段长△x ;上式适用于每小段.根据积分的定义和上式,有:12112100()lim[()()()]lim[()()()]bn n ax x n n f x dx f x x f x x f x x x x x --∆→∆→→∞→∞=∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆Φ+∆Φ+⋅⋅⋅+∆Φ⎰2132110lim{[()()][()()][()()]}()()n n n x n x x x x x x x x -∆→→∞=Φ-Φ+Φ-Φ+⋅⋅⋅+Φ-Φ=Φ-Φ因x 1=a ,xn =b ,于是得(A .53)式,至此定理证毕.下面看看函数Ф(x )在f -x 图(见图A -13)中所表现的几何意义.如前所述,△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i )=f (x i )△x ,正是宽为△x 、高为()i i i f x x P =的一个矩形(即图13A -中的1i i i x x NP +)的面积.它和曲线段P i P i+1下面的梯形x i x i+1P i+1P i 的面积只是相差一小三角形P i NP i +1的面积.当△x →0时,可认为△Ф(x i )就是梯形x i x i+1P i+1P i 的面积.既然当x 由x i 变到x i+1时,Ф(x )的增量的几何意义是相应区间f -x 曲线下的面积,则Ф(x )本身的几何意义就是从原点O 到x 区间f -x 曲线下面的面积加上一个常量C =Ф(0).例如Ф(x i )的几何意义是图形Ox i P i P 0的面积加C ,Ф(x i +1)的几何意义是图形Ox i+1P i+1P 0的面积加C ,等等.这样,△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i )就是:(Ox i+1P i+1P 0的面积+C )-(Ox i P i P 0的面积+C )=x i x i+1P i+1P i 的面积,而Ф(b )-Ф(a )的几何意义是:(ObP b P 0的面积+C )-(OaP a P 0的面积+C )=abP b P a 的面积.它相当于定积分()ba f x dx ⎰的值.5.3不定积分及其运算在证明了上述定积分的基本定理之后,就可以着手解决积分的运算问题了.根据上述定理,只要求得函数Ф(x )的表达式,利用(A .53)式立即可以算出定积分()ba f x dx ⎰来,那么,给出了被积函数()f x 的表达式之后,怎样去求Ф(x )的表达式呢?上述定理说明,Ф′(x )=f (x ),所以这就相当于问f (x )是什么函数的导数.由此可见,积分运算是求导的逆运算.如果f (x )是Ф(x )的导数,可以称Ф(x )是f (x )的逆导数或原函数.求f (x )的定积分就可以归结为求它的逆导数或原函数.在上节里讲了一些求导数的公式和定理,常见的函数都可以按照一定的法则把它们的导数求出来.然而求逆导数的问题却不像求导数那样容易,而需要靠判断和试探.例如,知道了Ф(x )=x 3的导数Ф′(x )=3x 2,也就知道了F (x )=3x 2的逆导数是Ф(x )=x 3;这时,如果要问函数f (x )=x 2的逆导数是什么,那么就不难想到,它的逆导数应该是x 3/3;这里要指出一点,即对于一个给定的函数f (x )来说,它的逆导数并不是唯一的.Ф1(x )=x 3/3是f (x )=x 2的逆导数,Ф2(x )=x 3/3+1和Ф3(x )=x 3/3-5也都是它的逆导数,因为Ф1′(x )、Ф2′(x )、Ф3′(x )都等于x 2.一般说来,在函数f (x )。
高中物理奥林匹克 数学预备 高等数学航院高二班(共23张PPT)

x
(3)y x x2 的最大值;
8. 泰勒级数
f(x)
m0
f(m m )(!x0)(xx0)m
其中f(m)(x0)是f的m阶导数在x0处的值, f(0)(x0)= f(x时,
k
f(x)
m0
f(m m )(!x0)(xx0)m
例3. 求下列函数的近似: (1)cosx在x=0附近保留到第三阶小; (2) sinx在x=0附近保留到第三阶小; (3)1/(1-x)2在x=0附近保留到第二阶小。
二.积分
速度是位移对时间的求导。如果已知速度与时间的函 数关系,我们可以用v(t)dt求出dt时间内的位移(因为 dt无穷小,在这段时间内物体可看作匀速运动,相对 误差为无穷小),然后再求和就得到一段时间内的位 移,这个过程我们称为积分。如果知道初始位置,我 们就能求出任一时刻的位置。
2018江苏省物理学会物理理论夏令营 电磁学部分
数学预备知识
一.导数
1. 极限 若当自变量x无限趋近某一数值x0(记作x→x0)时, 函数f(x)的数值无限趋近某一确定的数值a,则a叫 做x→x0时函数f(x)的极限值,并记作
limf (x) a
xx0
2. 导数与微分
y(x)在x0处的导数为
y (x 0 ) x l x i0y m (x x ) x y 0 (x 0 ) lx i0y m (x 0 x x ) y (x 0 )
矢量的标积得到一个数。矢量的标积满足交换律和分 配律。
4. 矢量的外积(叉乘、矢积、矢量积)
C AB
|C|| A||B|sin θ是两个矢量的夹角
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高中物理竞赛的数学基础(自用)

普通物理的数学基础选自赵凯华老师新概念力学一、微积分初步物理学研究的是物质的运动规律,因此我们经常遇到的物理量大多数是变量,而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系。
这样,微积分这个数学工具就成为必要的了。
我们考虑到,读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识,对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的。
所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法,在讲述方法上不求严格和完整,而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要。
至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法,读者将通过高等数学课程的学习去完成。
§1.函数及其图形1.1函数?自变量和因变量?绝对常量和任意常量1.2函数的图象1.3物理学中函数的实例§2.导数2.1极限如果当自变量x无限趋近某一数值x0(记作x→x0)时,函数f(x)的数值无限趋近某一确定的数值a,则a叫做x→x0时函数f(x)的极限值,并记作(A.17)式中的“lim”是英语“limit(极限)”一词的缩写,(A.17)式读作“当x趋近x0时,f(x)的极限值等于a”。
极限是微积分中的一个最基本的概念,它涉及的问题面很广。
这里我们不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义,只通过一个特例来说明它的意义。
考虑下面这个函数:这里除x=1外,计算任何其它地方的函数值都是没有困难的。
例如当但是若问x=1时函数值f(1)=?我们就会发现,这时(A.18)式的说是没有意义的。
所以表达式(A.18)没有直接给出f(1),但给出了x无论如何接近1时的函数值来。
下表列出了当x的值从小于1和大于1两方面趋于1时f(x)值的变化情况:表A-1x与f(x)的变化值x3x2-x-2x-10.9-0.47-0.1 4.70.99-0.0497-0.01 4.970.999-0.004997-0.001 4.9970.9999-0.0004997-0.0001 4.99971.10.530.1 5.31.010.5030.01 5.031.0010.0050030.001 5.0031.00010.000500030.0001 5.0003从上表可以看出,x值无论从哪边趋近1时,分子分母的比值都趋于一个确定的数值——5,这便是x→1时f(x)的极限值。
高中物理奥赛常用数学公式

高中物理奥赛常用数学公式一、等差、等比数列1.定义:{}1n n n a a d a +-=⇔是等差数列{}1,(0,0)n n n n a q a q a a +=≠≠⇔是等比数列,, (,)2a b a b a b +±等差中项等比中项同号2.公式(1)通项1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- 11n n m n m a a q a q --==(2)前n 项和 11(1)(1)()222n n n a a n n n n s n na d na d +--==+=+- 1(1)2n s d a n n =+-也是等差数列 111(1)1111n n n a a q a q q q q s na q ⎧--=≠⎪--=⎨⎪=⎩二.数列求和 (1)2222(1)(21)123...6n n n n ++++++=(2) 223332(1)12(12)4n n n n ++++=+++= 三、三角公式1、和差角公式()()()sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan tan tan tan()(1tan tan )sin cos a b αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαααϕ±=±±=±±=±=±+=+ 2、倍角公式 万能公式22tan sin 22sin cos 1tan ααααα==+ 2222221tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan ααααααα-=-=-=-=+ 23332tan tan 21tan sin 33sin 4sin cos 4cos 3cos ααααααααα=-=-=- 3、半角公式,升降幂公式22221cos sin sin cos tan 222sin 1cos 1cos 21cos 2sin cos 221cos 2cos 1cos 2sin 22ααααααααααααααα-=====+-+==+=-=4、积化和差,和差化积公式 sin sin 2sin cos sin sin 2sin cos 2222cos cos 2cos cos cos cos 2sin cos 222211sin cos [sin()sin()]cos cos [cos()cos()]221sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+--++=-=+-+-+=-=-=++-=++-=-+--(2)正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===(R 是外接圆ABC ∆半径)(3)余弦定理 2222cos c a b ab C =+- 222cos 2a b c C ab +-= (4)11sin 224ABC a abc S ah ab C pr R ∆===== 其中为半周2a b c p ++=长 四、重要不等式1.2(,0)112a b a b a b+≥≥≥>+ 2.3(,,0)1113a b c a b c a b c++≥≥≥>++ 3.222(,)22a b a b ab ab a b R ++⎛⎫≤≤∈ ⎪⎝⎭ 3(,,0)3a b c abc a b c ++⎛⎫≤> ⎪⎝⎭五、球1、222R r d =+2、球面距离l R θ=⋅ 2222222cos 22cos R R AB R AB r r r θβ+-==+- (β是径度差)3、24S R π=球内接长方体 222224l R a b c ==++ 侧棱两两垂直的三棱锥补形长方体⇒⇒球内接长方体4、体积 343V R π=R R '==多面体内切球半径 : 3V r S =全六、二项式定理 (1)011()n n n n n n n n a b C a C a b C b -+=+++(2)22(1)11n n x nx nx c x +≈+≈++七、导数1.()()()00000x x f x x f x y f x lim lim x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆ ()()00f x x f x x x ⇔==在处可导,注意:在处不可导二、运算法则:()()()()()()()21234x u U V U V UV U V UV U U V UV y y u x V V ''''''±=±=+'''-⎛⎫'''== ⎪⎝⎭ 三、导数公式(1)0C '= (2)()1n n x nx -'=(3)()x x e e '= (4)()x x a a ln a '=(5)1(ln x )x '= (6)11(log )log ln a a x e x x a'== (7)(sin )cos x x '= (8)(cos )sin x x '=-8、设三角形A B C 的外心为O ,垂心为H ,从O 向BC 边引垂线,设垂足不L ,则AH=2OL 中考不需要,竞赛中很显然的结论9、三角形的外心,垂心,重心在同一条直线上。
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高中物理奥赛常用数学公式一、等差、等比数列1.定义:{}1n n n a a d a +-=⇔是等差数列{}1,(0,0)n n n n a q a q a a +=≠≠⇔是等比数列,, (,)2a b a b a b +±等差中项等比中项同号2.公式 (1)通项1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- 11n n m n m a a q a q --==(2)前n 项和 11(1)(1)()222n n n a a n n n n s n na d na d +--==+=+- 1(1)2n s d a n n =+-也是等差数列 111(1)1111n n n a a q a q q qq s na q ⎧--=≠⎪--=⎨⎪=⎩二.数列求和 (1)2222(1)(21)123...6n n n n ++++++=(2) 223332(1)12(12)4n n n n ++++=+++= 三、三角公式1、和差角公式()()()sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan tan tan tan()(1tan tan )sin cos a b αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαααϕ±=±±=±±=±=±+=+ 2、倍角公式 万能公式22tan sin 22sin cos 1tan ααααα==+ 2222221tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan ααααααα-=-=-=-=+ 23332tan tan 21tan sin 33sin 4sin cos 4cos 3cos ααααααααα=-=-=-3、半角公式,升降幂公式22221cos sin sin cos tan 222sin 1cos 1cos 21cos 2sin cos 221cos 2cos 1cos 2sin 22ααααααααααααααα-=====+-+==+=-=4、积化和差,和差化积公式sin sin 2sin cos sin sin 2sin cos 2222cos cos 2cos cos cos cos 2sin cos 222211sin cos [sin()sin()]cos cos [cos()cos()]221sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+--++=-=+-+-+=-=-=++-=++-=-+--(2)正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===(R 是ABC ∆外接圆半径)(3)余弦定理 2222cos c a b ab C =+- 222cos 2a b c C ab +-=(4)11sin 224ABC a abc S ah ab C pr R ∆===== 其中2a b c p ++=为半周长 四、重要不等式2(,0)112a b a b a b+≥≥≥>+3(,,0)1113a b c a b c a b c++≥≥≥>++ 3.222(,)22a b a b ab ab a b R ++⎛⎫≤≤∈ ⎪⎝⎭ 3(,,0)3a b c abc a b c ++⎛⎫≤> ⎪⎝⎭五、球 1、222R r d =+2、球面距离l R θ=⋅ 2222222cos 22cos R R AB R AB r r r θβ+-==+- (β是径度差)3、24S R π=球内接长方体 222224l R a b c ==++ 侧棱两两垂直的三棱锥补形⇒长方体⇒球内接长方体 4、体积 343V R π=R R '== 多面体内切球半径 : 3V r S =全 六、二项式定理(1)011()n n n n n n n n a b C a C a b C b -+=+++(2)22(1)11n n x nx nx c x +≈+≈++七、导数1.()()()00000x x f x x f x y f x lim lim x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆ ()()00f x x f x x x ⇔==在处可导,注意:在处不可导二、运算法则:()()()()()()()21234x u U V U V UV U V UV U U V UV y y u x V V ''''''±=±=+'''-⎛⎫'''== ⎪⎝⎭ 三、导数公式(1)0C '= (2)()1n n x nx -'=(3)()x x e e '= (4)()x x a a ln a '= (5)1(ln x )x '= (6)11(log )log ln a a x e x x a'== (7)(sin )cos x x '= (8)(cos )sin x x '=-8、设三角形ABC 的外心为O ,垂心为H ,从O 向BC 边引垂线,设垂足不L ,则AH=2OL 中考不需要,竞赛中很显然的结论9、三角形的外心,垂心,重心在同一条直线上。
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高中物理竞赛中的高等数学一、微积分初步物理学研究的是物质的运动规律,因此经常遇到的物理量大多数是变量,而要研究的正是一些变量彼此间的联系.这样,微积分这个数学工具就成为必要的了.考虑到,读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识,对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的.所以在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法,在讲述方法上不求严格和完整,而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要.至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法,可在通过高等数学课程的学习去完成. §1.函数及其图形1.1 函数 自变量和因变量 绝对常量和任意常量在数学中函数的功能是这样定义的:有两个互相联系的变量x 和y ,如果每当变量x 取定了某个数值后,按照一定的规律就可以确定y 的对应值,那么称y 是x 的函数,并记作:y =f (x ),(A .1);其中x 叫做自变量,y 叫做因变量,f 是一个函数记号,它表示y 和x 数值的对应关系.有时把y =f (x )也记作y =y (x ).如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数,也可以用其它字母作为函数记号,如ϕ(x )、ψ(x )等等.①常见的函数可以用公式来表达,例如()32y f x x ==+,212ax bx +,c x,cos2x π,ln x ,x e 等等.在函数的表达式中,除变量外,还往往包含一些不变的量,如上面出现的13 2 2e π、、、、和a b c 、、等,它们叫做常量;常量有两类:一类如13 2 2e π、、、、等,它们在一切问题中出现时数值都是确定不变的,这类常量叫做绝对常量;另一类如a 、b 、c 等,它们的数值需要在具体问题中具体给定,这类常量叫做任意常量.在数学中经常用拉丁字母中最前面几个(如a 、b 、c )代表任意常量,最后面几个(x 、y 、z )代表变量.当y =f (x )的具体形式给定后,就可以确定与自变量的任一特定值x 0相对应的函数值f (x 0).例如: (1)若y =f (x )=3+2x ,则当x =-2时y =f (-2)=3+2×(-2)=-1.一般地说,当x =x 0时,y =f (x 0)=3+2x 0.(2)若()cy f x x==,则当0x x =时,00()c f x x =.1.2 函数的图形在解析几何学和物理学中经常用平面上的曲线来表示两个变量之间的函数关系,这种方法对于直观地了解一个函数的特征是很有帮助的.作图的办法是先在平面上取一直角坐标系,横轴代表自变量x ,纵轴代表因变量(函数值)y =f (x ).这样一来,把坐标为(x ,y )且满足函数关系y =f (x )的那些点连接起来的轨迹就构成一条曲线,它描绘出函数的面貌.图A -1便是上面举的第一个例子y =f (x )=3+2x 的图形,其中P 1,P 2,P 3,P 4,P 5各点的坐标分别为:(-2,-1)、(-1,1)、(0,3)、(1,5)、(2,7),各点连接成一根直线.图A -2是第二个例子()cy f x x==的图形,其中P 1,P 2,P 3,P 4,P 5各点的坐标分别为:1(,4)4c 、1(,2)2c 、(1,)c 、(2,)2c 、(4,)4c,各点连接成双曲线的一支.1.3 物理学中函数的实例反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的.下面举几个例子. (1)匀速直线运动公式:s =s 0+vt .(A .2)此式表达了物体作匀速直线运动时的位置s 随时间t 变化的规律,在这里t 相当于自变量x ,s 相当于因变量y ,s 是t 的函数.因此记作:s =s (t )=s 0+vt ,(A .3)式中初始位置s 0和速度v 是任意常量,s 0与坐标原点的选择有关,v 对于每个匀速直线运动有一定的值,但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值.图A -3是这个函数的图形,它是一根倾斜的直线.易知它的斜率等于v .(2)匀变速直线运动公式:20012s s v t at =++,(A .4),v =v 0+at .(A .5)两式中s 和v 是因变量,它们都是自变量t 的函数,因此记作:2001()2s s t s v t at ==++,(A .6),v =v (t )=v 0+at ,(A .7)图A -4a 、4b 分别是两个函数的图形,其中一个是抛物线,一个是直线.(A .6)和(A .7)式是匀变速直线运动的普遍公式,式中初始位置s 0、初速v 0和加速度a 都是任意常量,它们的数值要根据讨论的问题来具体化.例如在讨论自由落体问题时,若把坐标原点选择在开始运动的地方,则s 0=0,v 0=0,a =g ≈9.8M /s 2,这时(A .6)和(A .7)式具有如下形式:21()2s s t gt ==,(A .8);v =v (t )=gt .(A .9);这里的g 可看作是绝对常量,式中不再有任意常量了.(3)玻意耳定律:PV =C .(A .10)上式表达了一定质量的气体,在温度不变的条件下,压强P 和体积V 之间的函数关系,式中的C 是任意常量.可以选择V 为自变量,P 为因变量,这样,(A .10)式就可写作:()CP P V V==,(A .11)它的图形和图A -2是一样的,只不过图中的x 、y 应换成V 、P .在(A .10)式中也可以选择P 为自变量,V 为因变量,这样它就应写成:()CV V P P==,(A .12) 由此可见,在一个公式中自变量和因变量往往是相对的. (4)欧姆定律:U IR =.(A .13)当讨论一段导线中的电流I 这样随着外加电压U 而改变的问题时,U 是自变量,I 是因变量,R 是常量.这时,(A .13)式应写作:()UI I U R==,(A .14);即I 与U 成正比. 应当指出,任意常量与变量之间的界限也不是绝对的.例如,当讨论串联电路中电压在各电阻元件上分配问题时,由于通过各元件的电流是一样的,(A .13)式中的电流I 成了常量,而R 是自变量,U 是因变量.于是U =U (R )=IR ,(A .15)即U 与R 成正比.但是当讨论并联电路中电流在各分支里的分配问题时,由于各分支两端具有共同的电压,(A .13)式中的U 就成了常量,而R 为自变量,I 是因变量,于是:()UI I R R==,(A .16)即I 与R 成反比.总之,每个物理公式都反映了一些物理量之间的函数关系,但是其中哪个是自变量,哪个是因变量,哪些是常量,有时公式本身反映不出来,需要根据所要讨论的问题来具体分析. §2.导数2.1 极限若当自变量x 无限趋近某一数值x 0(记作x →x 0)时,函数f (x )的数值无限趋近某一确定的数值a ,则a 叫做x →x 0时函数f (x )的极限值,并记作:0lim ()x x f x a →=,(A .17)(A .17)式中的“lim ”是英语“limit (极限)”一词的缩写,(A .17)式读作“当x 趋近x 0时,f (x )的极限值等于a ”.极限是微积分中的一个最基本的概念,它涉及的问题面很广.这里不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义,只通过一个特例来说明它的意义.考虑下面这个函数:232()1x x y f x x --==-,(A .18),这里除x =1外,计算任何其它地方的函数值都是没有困难的.例如当0x =时,(0)2f =,当2x =,(2)8f =,等等.但是若问x =1时函数值f (1)=?,就会发现,这时(A .18)式的分子和分母都等于0,即0(1)0f =!用0去除以0,一般地说是没有意义的.所以表达式(A .18)没有直接给出f (1),但给出了x 无论如何接近1时的函数值来.下表列出了当x 的值从小于1和大于1两方面趋于1时f (x )值的变化情况:表A -1 x 与f (x )的变化值x232x x -- 1x -232()1x x f x x --=- 0.9 -0.47 -0.1 4.7 0.99 -0.0497 -0.01 4.97 0.999 -0.004997 -0.001 4.997 0.9999 -0.0004997 -0.0001 4.9997 1.1 0.53 0.1 5.3 1.01 0.503 0.01 5.03 1.001 0.005003 0.001 5.003 1.0001 0.00050003 0.0001 5.0003从上表看,x 值无论从哪边趋近1时,分子分母的比值都趋于一个确定的数值5,这便是x →1时f (x )的极限值.其实计算f (x )值的极限无需这样麻烦,只要将(A .18)式的分子作因式分解:3x 2-x -2=(3x +2)(x -1),并在x ≠1的情况下从分子和分母中将因式(x -1)消去:(32)(1)()3 2 (1)1x x y f x x x x +-===+≠-;即可看出:x 趋于1时,函数f (x )的数值趋于:3×1+2=5.所以根据函数极限的定义,21132lim ()lim51x x x x f x x →→--==-. 2.2 几个物理学中的实例 (1)瞬时速度当一个物体作任意直线运动时,它的位置可用它到某个坐标原点O 的距离s 来描述.在运动过程中s 是随时间t 变化的,也就是说,s 是t 的函数:s =s (t ).函数s (t )表示的是这个物体什么时刻到达什么地方.形象一些说,假如物体是一列火车,则函数s (t )就是它的一张“旅行时刻表”.但是,在实际中往往不满足于一张“时刻表”,还需要知道物体运动快慢的程度,即速度或速率的概念.例如,当车辆驶过繁华的街道或桥梁时,为了安全,对它的速率就要有一定的限制;一个上抛体(如高射炮弹)能够达到怎样的高度,也与它的初始速率有关,等等.为了建立速率的概念,就要研究在一段时间间隔里物体位置的改变情况.假设考虑的是从t =t 0到t =t 1的一段时间间隔,则这间隔的大小为:△t =t 1-t 0.根据s 和t 的函数关系s (t )可知,在t 0和t 1=t 0+△t 两个时刻,s 的数值分别为s (t 0)和s (t 1)=s (t 0+△t ),即在t 0到t 1这段时间间隔里s 改变了:△s =s (t 1)-s (t 0)=s (t 0+△t )-s (t 0).在同样大小的时间间隔△t 里,若s 的改变量△s 小,就表明物体运动得慢, 所以就把s ∆与t ∆之比st∆∆叫做这段时间间隔里的平均速率,用v 来表示,则00()()s t t s t s v t t+∆-∆==∆∆,(A .19),举例说明如下. 对于匀变速直线运动,根据(A .4)式有2000001()2s t s v t at =++和2000001()()()2s t t s v t t a t t +∆=++∆++∆,22200000000000000111[()()]()()()()()12222s v t t a t t s v t at v at t a t s t t s t v v at a t t t t ++∆++∆-+++∆+∆+∆-====++∆∆∆∆;平均速率s v t ∆=∆反映了物体在一段时间间隔内运动的快慢,除了匀速直线运动的特殊情况外,st∆∆的数值或多或少与t ∆的大小有关;t ∆取得越短,s t ∆∆就越能反映出物体在0t t =时刻运动的快慢;通常就把0t ∆→时st∆∆的极限值叫做物体在t =t 0时刻的瞬时速率v ,即0000()()lim lim t t s t t s t sv t t ∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .20) 对于匀变速直线运动来说,0000001lim lim()2t t s v v at a t v at t ∆→∆→∆==++∆=+∆. 这就是熟悉的匀变速直线运动的速率公式(A .5).(2)瞬时加速度一般地说,瞬时速度或瞬时速率v 也是t 的函数:v =v (t ).但是在许多实际问题中,只有速度和速率的概念还不够,还需要知道速度随时间变化的快慢,即需要建立“加速度”的概念.平均加速度a 和瞬时加速度a 概念的建立与v 和v 的建立类似.在直线运动中,首先取一段时间间隔t 0到t 1,根据瞬时速率v 和时间t 的函数关系v (t )可知,在t =t 0和t =t 1两时刻的瞬时速率分别为v (t 0)和v (t 1)=v (t 0+△t ),因此在t 0到t 1这段时间间隔里v 改变了△v =v (t 0+△t )-v (t 0).通常把v t ∆∆叫做这段时间间隔里的平均加速度,记作a ;00()()v t t v t v a t t+∆-∆==∆∆,(A .21)举例来说,对于匀变速直线运动,根据(A .5)式有000()v t v at =+,000()()v t t v a t t +∆=++∆.所以平均加速度为000000()()[()]()v t t v t v a t t v at v a a t t t+∆-++∆-+∆====∆∆∆(常数). 对于一般的变速运动,a 也是与t ∆有关的,这时为了反映出某一时刻速度变化的快慢,就需要取vt∆∆在0t ∆→时的极限,这就是物体在t =t 0时刻的瞬时加速度a :0000()()lim lim t t v t t v t va t t∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .22)(3)应用举例水渠的坡度任何排灌水渠的两端都有一定的高度差,这样才能使水流动.为简单起见,假设水渠是直的,这时可以把x 坐标轴取为逆水渠走向的方向(见图A -5),于是各处渠底的高度h 便是x 的函数:h =h (x ).知道了这个函数,就可以计算任意两点之间的高度差.在修建水渠的时候,人们经常运用“坡度”的概念.譬如说,若逆水渠而上,渠底在100m 的距离内升高了20cm ,人们就说这水渠的坡度是0.221001000m m =,因此所谓坡度,就是指单位长度内的高度差,它的大小反映着高度随长度变化的快慢程度.如果用数学语言来表达,就要取一段水渠,设它的两端的坐标分别为x 0和x 1,于是这段水渠的长度为:△x =x 1-x 0.根据h 和x 的函数关系h (x )可知,在x 0和x 1=x 0+△x 两地h 的数值分别为h (x 0)和h (x 1)=h (x 0+△x ),所以在△x 这段长度内h 改变了:△h =h (x 0+△x )-h (x 0).根据上述坡度的定义,这段水渠的平均坡度为:00()()h x x h x h k x x+∆-∆==∆∆,(A .23) 前面所举例子,△x 采用了100米的数值.实际上在100米的范围内,水渠的坡度可能各处不同.为了更细致地把水渠在各处的坡度反映出来,应当取更小的长度间隔x ∆,x ∆取得越小,hx∆∆就越能精确反映出x =x 0处的坡度.所以在x =x 0处的坡度k 应是0x ∆→时的平均坡度k 的极限值,即0000()()lim lim x x h x x h x hk x x∆→∆→+∆-∆==∆∆,(A .24)2.3 函数的变化率——导数前面举了三个例子,在前两个例子中自变量都是t ,第三个例子中自变量是x .这三个例子都表明,在研究变量与变量之间的函数关系时,除了它们数值上“静态的”对应关系外,往往还需要有“运动”或“变化”的观点,着眼于研究函数变化的趋势、增减的快慢,即函数的“变化率”概念.当变量由一个数值变到另一个数值时,后者减去前者,叫做这个变量的增量.增量,通常用代表变量的字母前面加个“△”来表示.例如,当自变量x 的数值由x 0变到x 1时,其增量就是△x ≡x 1-x 0.(A .25)与此对应.因变量y 的数值将由y 0=f (x 0)变到y 1=f (x 1),它的增量为△y ≡y 1-y 0=f (x 1)-f (x 0)=f (x 0+△x )-f (x 0).(A .26)应当指出,增量是可正可负的,负增量代表变量减少.增量比00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆,(A .27) 可以叫做函数在x =x 0到x =x 0+△x 这一区间内的平均变化率,它在△x →0时的极限值叫做函数y =f (x )对x 的导数或微商,记作y ′或f ′(x ),0000()()()lim lim x x f x x f x yy f x x x∆→∆→+∆-∆''===∆∆,(A .28)除y '或()f x '外,导数或微商还常常写作dy dx 、df dx 、d dx等其它形式.导数与增量不同,它代表函数在一点的性质,即在该点的变化率.应当指出,函数f (x )的导数f ′(x )本身也是x 的一个函数,因此可以再取它对x 的导数,这叫做函数y =f (x )的二阶导数,记作y ''、()f x ''、22d y dx等;22()()()d y d dy dy f x f x dx dx dx dx '''''====,(A .29) 据此类推,则不难定义出高阶的导数来.有了导数的概念,前面的几个实例中的物理量就可表示为:瞬时速率:ds v dt =,(A .30);瞬时加速度:22dv d sa dt dt==,(A .31);水渠坡度:dh k dx =,(A .32).2.4 导数的几何意义在几何中切线的概念也是建立在极限的基础上的.如图A -6所示,为了确定曲线在P 0点的切线,先在曲线上P 0附近选另一点P 1,并设想P 1点沿着曲线向P 0点靠拢.P 0P 1的联线是曲线的一条割线,它的方向可用这直线与横坐标轴的夹角α来描述.从图上不难看出,P 1点愈靠近P 0点,α角就愈接近一个确定的值α0,当P 1点完全和P 0点重合的时候,割线P 0P 1变成切线P 0T ,α的极限值α0就是切线与横轴的夹角.在解析几何中,把一条直线与横坐标轴夹角的正切tan α叫做这条直线的斜率.斜率为正时表示α是锐角,从左到右直线是上坡的(见图A -7a );斜率为负时表示α是钝角,从左到右直线是下坡的(见图A -7b ).现在来研究图A -6中割线P 0P 1和切线P 0T 的斜率.设P 0和P 1的坐标分别为(x 0,y 0)和(x 0+△x ,y 0+△y ),以割线P 0P 1为斜边作一直角三角形△P 0P 1M ,它的水平边P 0M 的长度为△x ,竖直边MP 1的长度为△y ,因此这条割线的斜率为:10tan MP y P M xα∆==∆. 如果图A -6中的曲线代表函数y =f (x ),则割线P 0P 1的斜率就等于函数在 0x x =附近的增量比yx∆∆,切线0PT 的低斜率0tan α是10P P →时,割线P 0P 1斜率的极限值,即10100tan lim tan lim ()P P P P yf x xαα→→∆'===∆;所以导数的几何意义是切线的斜率. §3.导数的运算在上节里只给出了导数的定义,本节将给出以下一些公式和定理,利用它们可以把常见函数的导数求出来.3.1 基本函数的导数公式(1)y =f (x )=C (常量):00()()()lim lim 0x x f x x f x C C y f x x x ∆→∆→+∆--''====∆∆; (2)y =f (x )=x :000()()()()lim lim lim 1x x x f x x f x x x x x y f x x xx ∆→∆→∆→+∆-+∆-∆''=====∆∆∆; (3)y =f (x )=x 2:22000()()()()limlim lim(2)2x x x f x x f x x x x y f x x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-''====+∆=∆∆; (4)y =f (x )=x 3:33222000()()()()limlim lim[33()]3x x x f x x f x x x x y f x x x x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-''====+∆+∆=∆∆; (5)y =f (x )=1x :0()()()lim x f x x f x y f x x ∆→+∆-''===∆011lim x x x x x∆→-+∆=∆ 200()11lim lim ()()x x x x x x x x x x x x x∆→∆→-+∆-===-+∆⋅∆+∆;(6)y =f (x )=x :000()()()limlim lim[]x x x f x x f x x x x x x x x x xy f x x x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-+∆-+∆+''====⋅∆∆∆+∆+ 220()()11limlim()2x x x x x x x x x x x x x∆→∆→+∆-===∆+∆++∆+上面推导的结果可以归纳成一个普遍公式:当ny x =时,1n n dx y nx dx-'==,(n 为任何数),(A .33). 例如:当1n =时,()y f x x ==,1dxy dx '==; 当2n =时,2()y f x x ==,22dx y x dx '==; 当3n =时,3()y f x x ==,323dx y x dx '==; 当1n =-时,11()y f x x x -===,2211()(1)d y x dx x x-'==-=-;当12n =时,12()y f x x x ===,121122d x y x dx x-'===;等等.利用(A .33)式还可以计算其它幂函数的导数(见表A -2).除了幂函数n x 外,物理学中常见的基本函数还有三角函数、对数函数和指数函数.现在只给出这些函数的导数公式(见表A -2)而不推导,解题时可以直接引用.3.2 有关导数运算的几个定理定理一:[()()]d du dvu x v x dx dx dx ±=±,(A .34). 证明:00[()()]lim lim[]x x d u v u v du dvu x v x dx x x x dx dx∆→∆→∆±∆∆∆±==±=±∆∆∆. 定理二:[()()]()()d du dvu x v x v x u x dx dx dx ⋅=+,(A .35).证明:00[()][()]u(x)v(x)v()()[()()]lim lim x x d u x u v x v x u u x v u vu x v x dx x x∆→∆→+∆+∆-∆+∆+∆∆⋅==∆∆ 0lim[()()]()()x u v du dvv x u x v x u x x x dx dx∆→∆∆=+=+∆∆.表A -2基本导数公式函数y =f (x ) 导数y ′=f ′(x ) 函数y =f (x ) 导数y ′=f ′(x )c (任意常量) 0 12n =- ,121x x -= 3321212()x x --=- x n(n 为任意常量) nx n -132n =- ,3321()x x -=5523232()x x --=-n =1, x1 …………n =2, x 2 2x sin x cos xn =3, x 3 3x 2 cos x sin x - 1n =-,11x x -=221(1)x x --=-ln x 1x 2n =-,221x x -=332(2)x x --=-x ex e12n =,121x x= 121212x x -= …… ……定理三:2()()()[]()[()]du dv v x u x d u x dx dx dx v x v x -=,(A .36).证明:000()()()[()]()[()]()()()()()[]lim lim lim ()[()]()[()]()x x x u x u u x d u x u x u v x v x v u x v x u u x v v x v v x dx v x x v x v v x xv x v v x x ∆→∆→∆→+∆-+∆-+∆∆-∆+∆===∆+∆∆+∆∆20()()()()lim [()]()[()]x u v du dv v x u x v x u x x x dx dx v x v v x v x ∆→∆∆--∆∆==+∆. 定理四:[()]d du dvu v x dx dv dx=⋅,(A .37). 证明:00[()][()]()()[()]lim lim[]x x d u v x x u v x u v v v v v u v x dx x v x ∆→∆→+∆-+∆-∆==⋅∆∆∆00()()lim[]lim[]x x u v v v v v du dvv x dv dx∆→∆→+∆-∆=⋅=⋅∆∆ 例1.求22y x a =±(a 为常量)的导数.解:22202dy dx da x x dx dx dx=±=±=. 例2.求ln x y a =(a 为常量)的导数. 解:ln ln 110dy d x d a dx dx dx x x=-=-=. 例3.求2y ax =(a 为常量)的导数. 解:222022dy da dx x a x a x ax dx dx dx=⋅+⋅=⋅+⋅=. 例4.求2x y x e =的导数. 解:22222(2)xx x x x dy dx de e x x e x e x x e dx dx dx=+=⋅+⋅=+. 例5.求23251x y x -=+的导数.解:2222222(32)(51)(51)(32)6(51)(32)515610(51)(51)(51)d x d x x x dy x x x x x dx dx dx x x x -++--⋅+--⋅++===+++. 例6.求tan y x =的导数.解:2222sin cos cos sin sin cos cos sin (sin )1(tan )()sec cos cos cos cos d x d x x xdy d d x x x x x dx dx x x dx dx dx x x x x -⋅-⋅-======. 例7.求cos()y ax b =+(a 、b 为常量)的导数.解:令v ax b =+,()cos y u v v ==,则(sin )sin()dy du dvv a a ax b dx dv dx=⋅=-⋅=-+.例8.求21y x =-的导数.解:令21v x =-,()y u v v ==,则21221dy du dv xx dx dv dx v x =⋅=⋅=-.例9.求22ax y x e -=(a 为常量)的导数.解:令v u e =,2v ax =-,则2222222(2)2(1)v ax dy dx du dvu x xu x e ax x ax e dx dx dv dx-=+⋅=+⋅⋅-=- §4.微分和函数的幂级数展开 4.1 微分自变量的微分,就是它的任意一个无限小的增量△x .用dx 代表x 的微分,则dx =△x .(A .38)一函数y =f (x )的导数f ′(x )乘以自变量的微分dx 即为该函数的微分,用dy 或df (x )表示,即dy =df (x )=f ′(x )dx ,(A .39) 所以()dyf x dx'=,(A .40)在之前曾把导数写成dydx的形式,是把它作为一个整体引入的.当时它虽然表面上具有分数的形式,但在运算时并不象普通分数那样可以拆成“分子”和“分母”两部分.在引入微分的概念之后,就可把导数看成微分dy 与dx 之商(所谓“微商”),即一个真正的分数了.把导数写成分数形式,常常是很方便的,例如,把上节定理四(A .37)式的左端[()]d u v x dx 简写成du dx ,则该式化为du du dvdx dv dx=⋅;此公式从形式上看和分数运算法则一致,很便于记忆. 下面看微分的几何意义.图A -8是任一函数y =f (x )的图形,P 0(x 0,y 0)和P 1(x 0+△x ,y 0+△y )是曲线上两个邻近的点,P 0T 是通过P 0的切线.直角三角形△P 0MP 1的水平边0P M x =∆,竖直边1MP y =∆(见图8A -).设0PT 与1MP 的交点为N ,则0tan MNMNNP M xPM ∠==∆,但0tan NP M ∠为切线P 0T 的斜率,它等于x =x 0处的导数f ′(x 0),因此00()tan dy f x x NP M x MN '=∆=∠⋅∆=.所以微分dy 在几何图形上相当于线段MN 的长度,它和增量1y MP ∆=相差1NP 一段长;从上一节计算导数时取极限的过程可以看出,dy 是y ∆中正比于x ∆的那一部分,而1NP 则是正比于(△x )2以及△x 更高幂次的各项之和[例如对于函数y =f (x )=x 3,△y =3x 2△x +3x (△x )2+(△)3,而d y =f ′(x )△x =3x 2△x ].当△x 很小时,(△x )2、(△x )3、…比△x 小得多,1NP 也就比dy 小得多,所以可以把微分dy 叫做增量y ∆中的线性主部.也就是说,若函数在x =x 0的地方像线性函数那样增长,则它的增量就是dy .4.2幂函数的展开已知一个函数f (x )在x =x 0一点的数值f (x 0),如何求得其附近的点x =x 0+△x 处的函数值f (x )=f (x 0+△x )? 若f (x )为x 的幂函数n x ,可以利用牛顿的二项式定理:23000000000(1)(1)(2)()()[1()]()[1()]()[1()()()]2!3!n n nn n x x x n n x n n n x f x x x x x f x f x n x x x x x ∆∆∆-∆--∆==+∆=+=+=++++⋅⋅⋅000(1)(1)()()!nmm n n n m x f x m x =-⋅⋅⋅-+∆=∑,(A .41)此式适用于任何n (整数、非整数、正数、负数等等).若n 为正整数,则上式中的级数在M =n 的地方截断,余下的项自动为0,否则上式为无穷级数.不过当△x <<x 0时,后面的项越来越小,只需保留有限多项就足够精确了.不要以为数学表达式越精确越好.如图A -9中A 、B 两点间的水平距离为l ,若将B 点竖直向上提高一个很小的距离a (a <<l)到达B ′,问AB ′之间的距离比AB 增加了多少?利用勾股定理易得距离的增加量为22l l a l ∆=+-.这是个精确的公式,但没有给出一个鲜明的印象,究竟△l 是随a 怎样变化的?若用二项式定理将它展开,只保留到最低级的非0项,则有12222221[1()1]{[1()]1}[1()1]()222a a a l a a l l l l l l l l l∆=+-=+-=++⋅⋅⋅-≈=,即△l 是正比于a平方增长的,属二级小量.这种用幂级数展开来分析主要变化趋势的办法,在物理学里是经常用到的.4.3泰勒展开非幂函数(譬如s in x 、e x)如何作幂级数展开?这要用泰勒(Taylor)展开. 下面用一种不太严格,但简单明了的办法将它导出.假设函数f (x )在x =x 0处的增量△f =f (x )-f (x 0)能够展成△x =x -x 0的幂级数:001()()()mm m f x f x a x x ∞=-=-∑,(A .42)则通过逐项求导可得101()()m m m f x ma x x ∞-='=-∑;当x →x 0时,m >1的项都趋于0,于是有f ′(x 0)=a 1;再次求导,得202()(1)()m m m f x m m a x x ∞-=''=--∑,当x →x 0时,m >2的项都趋于0,于是有f (x 0)=2a 2;如此类推,一般地说,对于M阶导数有()0()!M M fx M a =;于是(A .42)式可以写为:()000()()()()!m m m Mf x f x f x x x m ∞=-=-∑,(A .43). 若定义第0阶导数f (0)(x )就是函数f (x )本身,则上式还可进一步简写为:()000()()()!m m m f x f x x x m ∞==-∑,(A .44). 上述(A .43)或(A .44)式称为泰勒展开式,它在物理学中是非常有用的公式. 下面在表A -3中给出几个常见函数在x 0=0或1处的泰勒展开式.表A -3 常见函数的幂级数展开式函数 展开式收敛范围12(1)x ± 234111113113512242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±-±-±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1x ≤ 32(1)x ± 234331311311312242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x ≤52(1)x ±234553531531112242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x ≤ 12(1)x -±234113135135712242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x < 32(1)x -±234335357357912242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x < 52(1)x -±2345575795791112242462468x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±+±+±⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1x < 1(1)x -±2341x x x x ±+±+±⋅⋅⋅1x < 2(1)x -±23412345x x x x ±+±+±⋅⋅⋅1x < sin x3573!5!7!x x x x -+-+⋅⋅⋅ x <∞ cos x24612!4!6!x x x -+-+⋅⋅⋅ x <∞tan x 35791217623153152835x x x x x +++++⋅⋅⋅ x <∞ xe23411!2!3!4!x x x x +++++⋅⋅⋅ x <∞ln(1)x + 234234x x x x -+-+⋅⋅⋅11x -<≤ ln(1)x -234()234x x x x -++++⋅⋅⋅11x -≤<§5.积分5.1几个物理中的实例 (1)变速直线运动的路程大家都熟悉匀速直线运动的路程公式.若物体的速率是v ,则它在t a 到t b 一段时间间隔内走过的路程是s =v (t b -t a ),(A .45).对于变速直线运动来说,物体的速率v 是时间的函数:v =v (t ),函数的图形是一条曲线(见图A -10a ),只有在匀速直线运动的特殊情况下,它才是一条直线(参见图A -4b ).对于变速直线运动,(A .45)式已不适用.但是,可以把t =t a 到t =t b 这段时间间隔分割成许多小段,当小段足够短时,在每小段时间内的速率都可以近似地看成是不变的.这样一来,物体在每小段时间里走过的路程都可以按照匀速直线运动的公式来计算,然后把各小段时间里走过的路程都加起来,就得到t a 到t b 这段时间里走过的总路程.设时间间隔(t b -t a )被t =t 1(=t a )、t 2、t 3、…、t n 、t b 分割成n 小段,每小段时间间隔都是△t ,则在t 1、t 2、t 3、…、t n 各时刻速率分别是v (t 1)、v (t 2)、v (t 3)、…、v (t n ).若把各小段时间的速率v 看成是不变的,则按照匀速直线运动的公式,物体在这些小段时间走过的路程分等于v (t 1)△t 、v (t 2)△t 、v (t 3)△t 、…、v (t n )△t .于是,在整个(t b -t a )这段时间里的总路程是1231()()()()()nn i i s v t t v t t v t t v t t v t t ==∆+∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆∑,(A .46).现在再看看上式的几何意义.在函数v =v (t )的图形中,通过t =t 1、t 2、t 3、…、t n 各点垂线的高度分别是v (t 1)、v (t 2)、v (t 3)、…、v (t n )(见图A -10b ),所以v (t 1)△t 、v (t 2)△t 、v (t 3)△t 、…、v (t n )△t 就分别是图中那些狭长矩形的面积,而1()ni i v t t=∆∑则是所有这些矩形面积的总和,即图中画了斜线的阶梯状图形的面积.在上面的计算中,把各小段时间△t 里的速率v 看做是不变的,实际上在每小段时间里v 多少还是有些变化的,所以上面的计算并不精确.要使计算精确,就需要把小段的数目n 加大,同时所有小段的△t 缩短(见图A -10c ).△t 越短,在各小段里v 就改变得越少,把各小段里的运动看成匀速运动也就越接近实际情况.所以要严格地计算变速运动的路程s ,就应对(A .46)式取n →∞、△t →0的极限,即01lim ()ni t i n s v t t ∆→=→∞=∆∑,(A .47). 当n 越来越大,△t 越来越小的时候,图A -10中的阶梯状图形的面积就越来越接近v (t )曲线下面的面积(图A -10d).所以(A .47)式中的极限值等于(t b -t a )区间内v (t )曲线下的面积.总之,在变速直线运动中,物体在任一段时间间隔(t b -t a )里走过的路程要用(A .47)式来计算,这个极限值的几何意义相当于这区间内v (t )曲线下的面积. (2)变力的功当力与物体移动的方向一致时,在物体由位置s =s a 移到s =s b 的过程中,恒力F 对它所作的功为:A =F (s b -s a )(A .48);若力F 是随位置变化的,即F 是s 的函数:F =F (s ),则不能运用(A .48)式来计算力F 的功.此时,也需要象计算变速运动的路程那样,把(s b -s a )这段距离分割成n 个长度为△s 的小段(见图A -11):并把各小段内力F 的数值近似看成是恒定的,用恒力作功的公式计算出每小段路程△s 上的功,然后加起来取n →∞、△s →0的极限值.具体地说,设力F 在各小段路程内的数值分别为F (s 1)、F (s 2)、F (s 3)、…、F (s n ),则在各小段路程上力F 所作的功分别为F (s 1)△s 、F (s 2)△s 、F (s 3)△s 、…、F (s n )△s ,在(s b -s a )整段路程上力F 的总功A 就近似地等于1()ni i F s s =∆∑;因为实际上在每一小段路程上加F 都是变化的,所以严格地计算,还应取n →∞、△s →0的极值,即01lim ()ni t i n A F s s ∆→=→∞=∆∑,(A .49).同上例,这极限值应是(s b -s a )区间内F (s )下面的面积(见图A -12).5.2定积分以上两个例子表明,许多物理问题中需要计算象(A .47)和(A .49)式中给出的那类极限值.概括起来说,就是要解决如下的数学问题:给定一个函数f (x ),用x =x 1(=a )、x 2、x 3、…、x n 、b 把自变量x 在(b -a )区间内的数值分成n 小段,设每小段的大小为△x ,求n →∞、△x →0时1()ni i f x x =∆∑的极限;通常把这类形式的极限用符号()ba f x dx ⎰来表示,即01()lim ()nbi ax i n f x dx f x x ∆→=→∞=∆∑⎰,(A .50);()baf x dx ⎰叫做x a =到x b =区间内()f x 对x 的定积分,()f x 叫做被积函数,b 和a 分别叫做定积分的上限和下限.用定积分的符号来表示,(A .47)和(A .49)式可分别写为()b at t s v t dt =⎰,(A .51)、()bas s A F s ds =⎰,(A .52).在变速直线运动的路程公式(A .51)里,自变量是t ,被积函数是v (t ),积分的上、下限分别是t b 和t a ;在变力作功的公式(A .52)里,自变量是s ,被积函数是F (s ),积分的上、下限分别是s b 和s a .求任意函数定积分的办法有赖于下面关于定积分的基本定理:若被积函数f (x )是某个函数Ф(x )的导数,即f (x )=Ф′(x ),则在x =a 到x =b 区间内f (x )对x 的定积分等于Ф(x )在这区间内的增量,即()()()ba f x dxb a =Φ-Φ⎰,(A .53).下面来证明上述定理.在a ≤x ≤b 区间内任选一点x i ,首先考虑Ф(x )在x =x i 到x =x i +△x =x i+1区间的增量△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i ):()()i i x x x x ∆Φ∆Φ=⋅∆∆,当0x ∆→时,可用Ф(x )的导数()d x dx Φ'Φ=代替x∆Φ∆;但按照定理的前提,Ф′(x )=f (x ),故△Ф(x i )≈Ф′(x i )△x =f (x i )△x 式中≈表示“近似等于”,若取△x →0的极限,上式就是严格的等式.把a ≤x ≤b 区间分成n -1小段,每段长△x ;上式适用于每小段.根据积分的定义和上式,有:12112100()lim[()()()]lim[()()()]bn n ax x n n f x dx f x x f x x f x x x x x --∆→∆→→∞→∞=∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆Φ+∆Φ+⋅⋅⋅+∆Φ⎰2132110lim{[()()][()()][()()]}()()n n n x n x x x x x x x x -∆→→∞=Φ-Φ+Φ-Φ+⋅⋅⋅+Φ-Φ=Φ-Φ因x 1=a ,xn =b ,于是得(A .53)式,至此定理证毕.下面看看函数Ф(x )在f -x 图(见图A -13)中所表现的几何意义.如前所述,△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i )=f (x i )△x ,正是宽为△x 、高为()i i i f x x P =的一个矩形(即图13A -中的1i i i x x NP +)的面积.它和曲线段P i P i+1下面的梯形x i x i+1P i+1P i 的面积只是相差一小三角形P i NP i +1的面积.当△x →0时,可认为△Ф(x i )就是梯形x i x i+1P i+1P i 的面积.既然当x 由x i 变到x i+1时,Ф(x )的增量的几何意义是相应区间f -x 曲线下的面积,则Ф(x )本身的几何意义就是从原点O 到x 区间f -x 曲线下面的面积加上一个常量C =Ф(0).例如Ф(x i )的几何意义是图形Ox i P i P 0的面积加C ,Ф(x i +1)的几何意义是图形Ox i+1P i+1P 0的面积加C ,等等.这样,△Ф(x i )=Ф(x i+1)-Ф(x i )就是:(Ox i+1P i+1P 0的面积+C )-(Ox i P i P 0的面积+C )=x i x i+1P i+1P i 的面积,而Ф(b )-Ф(a )的几何意义是:(ObP b P 0的面积+C )-(OaP a P 0的面积+C )=abP b P a 的面积.它相当于定积分()ba f x dx ⎰的值.5.3不定积分及其运算在证明了上述定积分的基本定理之后,就可以着手解决积分的运算问题了.根据上述定理,只要求得函数Ф(x )的表达式,利用(A .53)式立即可以算出定积分()ba f x dx ⎰来,那么,给出了被积函数()f x 的表达式之后,怎样去求Ф(x )的表达式呢?上述定理说明,Ф′(x )=f (x ),所以这就相当于问f (x )是什么函数的导数.由此可见,积分运算是求导的逆运算.如果f (x )是Ф(x )的导数,可以称Ф(x )是f (x )的逆导数或原函数.求f (x )的定积分就可以归结为求它的逆导数或原函数.。