2013届松江区高三一模数学理

松江区2012学年度第一学期高三期末考试

数学（理科）试卷

（满分150分，完卷时间120分钟） 2013.1

一、填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接

填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知集合{}0,A a =,{}21,B a =，若{}0,1,4,16A B = ，则a = ▲ ． 2．若行列式

1

2

401

2

x -=，则x = ▲ ．

3．若函数()23x f x =+的图像与()g x 的图像关于直线y x =对称，则(5)g ＝ ▲ ． 4．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 ▲ ．

5．已知数列{}n a 的前n 项和2n

n S n =+，则3a = ▲ ．

6．己知(1,2sin )a θ=

，cos 1b θ=- （，），且b a ⊥，则tan θ= ▲ ．．

7．抛物线的焦点为椭圆

145

2

2

=+y

x

的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为 ▲ 8．已知lg lg 1x y +=，则

25x

y

+的最小值为 ▲ ．

9．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若222

b c a bc +=+，且8bc =，

则△ABC 的面积等于 ▲ ．

10．若二项式7()+x a 展开式中5

x 项的系数是7，则)(lim 242n

n a

a a +++∞

→ = ▲ ．

11．给出四个函数：①x

x x f 1)(+

=，②x

x x g -+=3

3)(，③3

)(x x u =，④x x v sin )(=，

其中满足条件：对任意实数x 及任意正数m ，都有()()0f x f x -+=及()()f x m f x +>的函数为 ▲ ．（写出所有满足条件的函数的序号）

12．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜想甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且{}9,3,2,1,0, ∈b a ，若1≤-b a ，则称甲乙“心有灵犀”．现找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为 ▲ ．

13．已知)(x f y =是定义在R 上的增函数，且()y f x =的图像关于点(6,0)对称．若实数

y x ,满足不等式2

2

(6)(836)0f x x f y y -+-+≤，则2

2y x +的取值范围是 ▲ ．

14．定义变换T 将平面内的点(,)(0,0)P x y x y ≥≥

变换到平面内的点Q ．

若曲线0:

1(0,0)4

2

x y C x y +

=≥≥经变换T 后得到曲线1C ，曲线1C 经变换T 后得到曲线

2C ，依次类推，曲线1n C -经变换T 后得到曲线n C ，当*

n N ∈时，记曲线n C 与x 、y 轴

正半轴的交点为(,0)n n A a 和(0,)n n B b ．某同学研究后认为曲线n C 具有如下性质： ①对任意的*n N ∈，曲线n C 都关于原点对称； ②对任意的*n N ∈，曲线n C 恒过点(0,2)；

③对任意的*n N ∈，曲线n C 均在矩形n n n O A D B （含边界）的内部，其中n D 的坐标为

(,)n n n D a b ；

④记矩形n n n O A D B 的面积为n S ，则lim 1n n S →∞

=

其中所有正确结论的序号是 ▲ ．

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答

题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是 A ．210x y +-= B ．210x y -+=

C ．220x y +-=

D ．210x y --= 16．对于原命题：“已知a b c R ∈、、，若a b > ，则2

2

ac bc >”

，以及它的逆命题、否命题、逆否命题， 在这4个命题中，真命题的个数为 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个

17．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

18．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2),f x f x -=+且当

[2,0]x ∈-时，1()()12

x

f x =-．若在区间(2,6]-内关于x 的方程

()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是

A ．(1,2)

B ．(2,)+∞

C ．

D ．2)

三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定

区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）

已知(2cos ,1)a x = ，(cos 2)b x x = ，其中x R ∈.设函数()f x a b =⋅

，求()f x 的

最小正周期、最大值和最小值．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

已知z C ∈，且满足2

()52z z z i i ++=+． （1）求z ；

（2）若m R ∈，w zi m =+，求证：w 1≥．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420

x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）。

（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；

（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达

到最大，并求出最大值．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小