解析法证明正弦定理-教师版

成长快乐教育学科教师辅导教案

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授课类型

综合能力：解析法证明正弦定理 教学目标 1、在使用解析法的时候，掌握简化问题的能力；

2、适应多个变量的运算，提高运算能力.

教学内容

解析法证明正弦定理

一、正弦定理介绍：

对任意ABC ∆，其外接圆半径为R ，c b a ,,是对应顶角的边长.

则有正弦定理：R C

c B b A a 2sin sin sin ===.

二、简化问题，初步建立直角坐标系

问题1：解析几何的核心是坐标，在高中阶段，一般变量比较多，运算复杂.解析法证明正弦定理的第一步就是考虑怎么样建立坐标系，使得A 、B 、C 三点的坐标尽可能简单？

解析：

不妨以任意一顶点为坐标原点，比如以点A 为原点，以直线AB 为x 轴建立直角坐标系，如图：

问题2：在正弦定理：R C

c B b A a 2sin sin sin ===中，有三个等式，证明正弦定理成立就需要证明这三个等式成立，有没有办法减少证明等式成立的个数？

解析：

实际上我们只需要证明一个等式成立就可以了：

R A a 2sin = 如果在上面的坐标系中，我们能够证明R A

a 2sin =，那么如果以点B 为原点，直线BA 为x 轴，我们就能用同样的方法证明R B

b 2sin =；以点C 为原点，直线CA 为x 轴，我们就能用同样的方法证明R C

c 2sin =. 最终就可以得到R C

c B b A a 2sin sin sin ===.

问题3：在问题1中我们建立了直角坐标系，其中有3个基本的变量m 、n 、p ，其它的变量如边长a 、b 、c 以及各个顶角的正弦值A sin 、B sin 、C sin 都能用m 、n 、p 来表示，尝试一下吧！

问题3解析：

()22n p m BC a +-==

22n m AC b +==

p AB c ==

根据正弦的定义

22sin n m n

A +=

再根据三角形的面积公式：C ab B ac pn S ABC sin 2

1sin 2121===∆解出B sin 、C sin ()22sin n p m n ac

pn B +-== ()2222sin n m n p m pn ab pn C +⋅+-==

问题4：但是我们觉得3个基本的变量m 、n 、p 数量还是太多了，如果能少一点那就更简单了不是吗？如果将变量p 固定为1，这样做会影响我们的讨论吗？为什么？

解析：

从式子22sin n m n

A +=或者从图像中我们可以知道改变p 的数值并不影响A sin 的值

图像中有两个相似三角形ABC ∆和''C AB ∆

令''C AB ∆的外接圆半径为'R ，''C B 边长为'a

根据相似比的定义，可以得到：

'

'1R R a a p ==

可以改写成：

'

22R a R a =

如果正弦定理

R A a 2sin =即A R a sin 2=成立

那么一定也有A R a sin '2'=即A R

a sin 2=成立

则在''C AB ∆中正弦定理成立

我们得出结论：将p 固定为1不会影响我们的讨论.

三、总结建立的坐标系

稍微休息一下，我们通过对前面几个问题的研究，最终我们的图像变成了：

我们也求出了a 、A sin ：

()221n m a +-=

22sin n m n

A +=

于是正弦定理

R A

a 2sin =中左边的部分我们能够求出： ()[]()222211sin n m n m n

A a +⋅+-=

422222342221n n mn n m m m m n ++-++-=

那么

R A

a 2sin =中R 如何用m 、n 表示出来呢？

四、最后一步：用m 、n 表示出R

令ABC ∆外接圆的圆心为D

点D 是ABC ∆三条边上的垂直平分线的交点

实际上我们作两条边上的垂直平分线就可以得到点D

我们选择作边AC 、AB 上的垂直平分线1l 、2l

问题5：为什么不选边BC 上的垂直平分线？

解析：

为了简单地计算出点D 的坐标.

前面我们一直致力于简化问题，这里也是因为这个，可以看出来解析法的核心是简单地计算出点的坐标！

2

1:2=

x l ① 令b kx y l +=:1，存在两个位置数k 、b ，需要两个方程才能求出k 、b .

问题6：上面说的两个方程需要体现出什么几何意义？如何求出直线1l 的方程？

解析：线段的垂直平分线有两个重要几何性质：垂直、平方.

所以我们列的方程应当是

0=+⋅m n k （与直线AB l 垂直，方向向量乘积为0，避免使用斜率！）

b m k n +⋅=2

2 （线段的中垂线过线段的中点） 求出 n m n x n m y l 22:2

1++-= ②

我们已经知道了：

2

1:2=

x l ① n m n x n m y l 22:2

1++-= ②

那么联立这两个方程，就可以求出：

⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n m m n D 221,

21 AD R 22=

2241412⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++=n m m n

422222342221n n mn n m m m m n

++-++-=

A

a sin =

于是我们就用解析法证明出了正弦定理.