高二理2017.3定积分补充

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2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．02．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．23．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80B．﹣40C．40D．805．（5分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1 6．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A．5B．4C．3D．28．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．9．（5分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24B．﹣3C．3D．810．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣B．C．D．112．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3B．2C．D．2二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017届高三数学理科二模金卷分项汇编3：导数与定积分

【备战2017高考高三数学全国各地二模试卷分项精品】专题导数与定积分一、选择题1．【2017安徽阜阳二模】设函数()()ln R xf x x a a x =+-∈，若曲线122(1x x e y e e +=+是自然对数的底数）上存在点()00,x y 使得()()00f f y y =，则的取值范围是（）A. (],0-∞B. (]0,e C. 1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D. [)0,+∞ 【答案】C2．【2017广东佛山二模】设函数()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠）满足()()()1322f f f +=，现给出如下结论：①若()f x 是()0,1上的增函数，则()f x 是()3,4的增函数； ②若()()13a f a f ⋅≥⋅，则()f x 有极值；③对任意实数0x ，直线()()()0012y c a x x f x =--+与曲线()y f x =有唯一公共点. 其中正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】D【解析】由()()()1322f f f +=化简得6b a =-. ()2232312f x ax bx c ax ax c =++=-+'，其对称轴为2x =，如果()f x 在()0,1上递增，其关于2x =对称的区间为()3,4，故()3,4也是其增区间，①正确. ()()130a f f ⎡⎤-≥⎣⎦，即()2110a a c -≥，导函数()2312f x ax ax c =-+'的判别式()2144121212a ac a a c -=-，当0a >时， 12110a c a c ->-≥，判别式为正数，当0a <时，110,120a c a c a -≤-≤<，其判别式为正数，即导函数有零点，根据二次函数的性质可知原函数由极值，②正确.注意到()212f c a -'=，则③转化为()()002y f x f x x -'=-，即函数图像上任意两点连线的斜率和函数在2x =处的切线的斜率相等的有且仅有一个点.由于2x =是导函数()2312f x ax ax c =-+'的最小值点，即有且仅有一个最小值点，故③正确.点睛：本题主要考查函数单调性、极值与导数的知识，考查化归与转化的数学思想方法.首先根据题目所给方程()()()1322f f f +=，化简后可得到,a b 的一个关系式，从而消去，将题目的参数减少一个.然后利用导数这个工具，结合二次函数的对称轴与最值来判断各个结论的真假. 3．【2017安徽马鞍山二模】已知函数()2ln 1f x x x =+， ()g x kx =，若存在0x 使得()()00f x g x =，则的取值范围是（）A. (],1-∞B. [)1,+∞ C. (],e -∞ D. [),3m e +∞ 【答案】B【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及函数零点问题，属于难题.已知函数有零点 (方程有根) 求参数取值范围的三种常用的方法： (1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．4．【2017湖南长沙二模】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()()1x f x x e =+，则对任意m R ∈，函数()()()F x f f x m =-的零点个数至多有（）A. 3个B. 4个C. 6个D. 9个【答案】A点晴:本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.5．【2017湖南娄底二模】将函数()()ln 10y x x =+≥的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（(]0,θα∈），得到曲线C ，若对于每一个旋转角，曲线C 都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为（）A. πB. 2πC. 3πD. 4π 【答案】D【解析】函数()()ln 10y x x =+≥的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于90︒时，其图象都依然是一个函数图象，因为0x ≥是11y x '=+是的减函数，且01y <'≤,当且仅当0x =时等号成立，故在函数()()ln 10y x x =+≥的图象的切线中， 0x =处的切线倾斜角最大，其值为4π，由此可知4max πα=，故选D.6．【2017河北唐山二模】已知()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()()2'0x f x xf x ++>，则（）A. ()0f x >B. ()0f x <C. ()f x 为减函数D. ()f x 为增函数【答案】A点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数()g x 是解题的关键，本题是一道中档题；构造函数()()2xg x x f x e =，结合题意可得函数()g x 在()0,+∞递增，在(),0-∞内单调递减，可得结果.7．【2017安徽淮北二模】已知函数()()()ln ,23f x x g x m x n ==++，若对任意的()0,x ∈+∞,总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（） A. B.1e C. 21e 【答案】C【解析】由题意得()ln 23x m x n ≤++对任意的()x 0,∞∈+恒成立，所以230m +>，令()y ln 23x m x n =-+-，得()11'23023m x x m =-+=⇒=+，当123x m >+时， 0y '<；当1023x m <<+时， 0y '>；所以当123x m =+时， 1max 1ln10,2323n y n m e m --=--≤+≥+，从而()()123,n n m n f m n e ++≥=，因为()11,0,1n nf m n n e+='-==，所以当1n >时，(),0f m n '<；当1n <《时， (),0f m n '>；因此当1n =时， ()2max 1,f m n e=，选C. 点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用()0f x '>或()0f x '<求单调区间；第二步：解()0f x '=得两个根12,x x ；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．二、填空题8．【2017安徽阜阳二模】已知方程()2ln 2||2x m x -=-，有且仅有四个解1234,,,x x x x ，则()1234m x x x x +++=__________．【答案】4e【解析】由图可知1234428x x x x +++=⨯= ,且3x > 时, ()ln 2y x =- 与()22y m x =- 只有一个交点,令21t x =-> ,则由223ln 12ln ln t tt mt m m t t-='=⇒=⇒ ,再由312ln 0t m t t -'==⇒=不难得到当t = 时()ln 2y x =- 与()22y m x =- 只有一个交点,即12m e== ,因此()12344m x x x x e +++=点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究. 9．【2017广东佛山二模】若直线y kx =与曲线x y x e -=+相切，则k =__________．【答案】1e -【解析】即求曲线过原点切线的斜率，设切点为()()00,x f x ，斜率()001x f x e-='-，切线方程为()()00001x x y x e e x x ----=--，将原点坐标代入化简得()00010,1x xe x -+==-，故()11e k f =-=-'.10．【2017湖南娄底二模】若()2sin 18aaxx dx -+=⎰，则a =__________．【答案】3 【解析】()23312sin |1833aaa x x dx x cosx a a -⎛⎫+=-== ⎪-⎝⎭⎰，所以3a =.11．【2017山西三区八校二模】定义在R 上的奇函数()f x 的导函数满足()()'f x f x <，且()()31f x f x ⋅+=-，若()2015f e =-，则不等式()x f x e <的解集为__________．【答案】()1,+∞12．【2017江西4月质检】已知点P 为函数()xf x e =的图象上任意一点，点Q 为圆()22211x e y --+=上任意一点（为自然对数的底），则线段PQ 的长度的最小值为__________．【答案】1【解析】圆心()2e 1,0C +，先求PC 的最小值，设()(),e ,'e t xP t f x =，所以以点P 为切点的切线方程为()e e tty x t -=-，当PC 垂直切线时， ()222e ·e 1e e 1,1e 1t t t t t t =-⇒+=+∴=-+，此时点()1,e P ，函数图象上任意点到点C 的距离大于点C PQ 的最小值是1，故答案为1.【方法点睛】本题主要考查圆的方程、导数的几何意义、点到直线的距离公式及数学的转化与划归思想.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题将两点间的距离转化为圆心到切线的距离是解题的关键.学。

高二定积分的简单应用(理科)

一、教学目标1. 能用定积分知识解决在物理学中的一些简单问题及求曲边图形的面积等问题2. 体会数与形结合的思想、等价转化的数学思想的应用.二、知识要点分析1. 定积分在物理学中的简单应用（1）变速直线运动的路程：作变速直线运动的物体在时间t=a 到时间t=b （a<b ）内所经过的路程S 等于其速度V=v （t ）在区间[a ，b]上的定积分，（其中v （t ）恒为正）即⎰=badt t v S )(（2）变力做功：物体在力F （x ）的作用下做直线运动，且物体沿着力F （x ）相同的方向从x=a 移动到x=b （a<b ）变力所做的功W=⎰badx x F )(2. 定积分求曲边多边形的面积（1）几种典型曲边梯形面积的计算方法（i ）由三条直线x=a ，x=b （a<b ），x 轴，一条曲线y=f （x ），（f （x ）恒为正）围成的曲边梯形面积⎰=badx x f S )(（ii ）由三条直线x=a ，x=b （a<b ），x 轴，一条曲线y=f （x ），（f （x ）恒为负）围成的曲边梯形面积⎰⎰-==babadx x f dx x f S )(|)(|（iii ）由三条直线x=a ，x=b （a<b ），x 轴，两条曲线y=f （x ），y=g （x ），))()((x g x f ≥围成的图形面积⎰-=badx x g x f S )]()([(（2）求曲边图形面积的一般步骤：（a ）画图，并将图形分割成若干个曲边梯形（b ）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上下限. （c ）确定被积函数（d ）求出各曲边梯形的面积和，即各种定积分的绝对值之和.【典型例题】知识点一：定积分在物理学中的简单的应用例1：一物体在力F ⎩⎨⎧>+≤≤=)2(,43)20(,10)(x x x x （单位：N ）的作用下沿力F 相同的方向，从x=0处运动到x=4处（单位：米），这力F （x ）所做的功是（）A . 44B . 46C . 48D . 50【题意分析】本题考查物理学中的变力做功问题，物体在x=0到x=4距离内所做的功是函数F （x ）在区间［0，4］上的定积分.【思路分析】由已知F （x ）的表达式是分段函数，故物体所做的功是函数F （x ）在［0，2］，［2，4］上的积分之和.【解题步骤】由定积分的物理意义知：⎰⎰⎰⎰++=+=42202042)43(10)()(dx x dx dx x F dx x F W ＝42220|)423(|10x x x ++ ＝46，故选（B ）【解题后的思考】本题考查的知识点是利用定积分求变力做功的问题，易错点是：认为F （x ）在区间［0，4］内所做的功是⎰+4)43(dx x .例2：一物体做变速直线运动，其v －t 曲线（如图所示），求物体在s s 621-内的运动路程.【题意分析】本题考查物理学中变速直线运动路程问题，由v （t ）曲线知：0)(≥t v ，故在s s 621-间的物体运动的路程是v （t ）在区间]6,21[上的定积分.【思路分析】由v －t 曲线知：v （t ）是关于t 的分段函数，即在［0，1］时间内物体做加速直线运动在［1，3］时间内物体做匀速运动，在［3，6］时间内物体也做加速运动但加速度不同所以首先要确定v （t ）分段函数的表达式，然后求物体在]6,21[内运动的路程，即是v（x ）在三个区间内的定积分之和.【解题步骤】由v （t ）曲线知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+≤≤≤≤=)63(,131)31(,2)10(,2)(t t t t t t v⎰⎰⎰⎰=+++=+++==∴6363231121231621121449|)t t 61(|t 2|t dt )1t 31(dt 2tdt 2dt )t (v S 故物体在s s 621-内运动的路程是m 449【解题后的思考】本题是考查利用定积分求变速直线运动的路程的问题，v （t ）往往是关于时间t 的分段函数，所以首先是求出v （t ）函数的分段表达式，再求在每一个区间上的定积分然后相加即得，体现的数学思想是数与形结合的思想.易错点是：求在每个时间区间的函数表达式有误.例3：一质点在直线上从时刻t=0（s ）开始以速度)/(342s m t t v +-=运动，求（1）在t=4s 时该点的位置. （2）在t=4s 时运动的路程.【题意分析】本题的第一问中：在t=4s 的位置是由物体的位移确定的，故物体的位移就是在［0，4］内v （t ）的定积分.第二问中，从时刻t=0到时刻t=4不能保证0)(≥t v 恒成立.而路程是位移的绝对值之和.因此要把区间［0，4］分割，以便能准确的判断v （t ）在哪些区间为正哪些区间为负.【思路分析】由)3)(1(342--=+-=t t t t v 知：在区间［0，1］，［3，4］内v （t ）为正值，在区间［1，3］内v （t ）为负值.在时刻［1，3］内物体运动的路程是⎰+--312)34(dt t t.【解题步骤】（1）在时刻t=4s 时物体的位移是：⎰=+-=+-44023234|)3231()34(m t t t dt t t 即t=4s 时刻质点距出发点m 34（2）由)3)(1(342--=+-=t t t t v 知：运动物体在t=4s 时刻运动的路程⎰⎰⎰+-++-++-=43213122dt )3t 4t (|dt )3t 4t (|dt )3t 4t (S⎰⎰⎰+-++--+-=43213122dt )3t 4t (dt )3t 4t(dt )3t 4t(＝4【解题后的思考】本题考查的知识点是利用定积分求变速直线运动路程的问题，要明确仅当v （t ）恒为正时，物体在时刻t=0到时刻t=4时运动的路程⎰=badt t v S )(，因此本题正对v（t ）的表达式要把时刻区间［0，4］分割，确保在哪些时刻区间v （t ）为正，哪些时刻区间v （t ）为负.体现的数学思想是分类讨论的数学思想.同时要理解物理学中的路程与位移的区别.易错点是：混淆路程与位移的概念.【小结】这一题组三个例题主要讲述利用定积分求变力做功的问题和求变速直线运动物体的路程问题.对求变力做功问题要根据物理学的意义求力F 的表达式，及在力F 作用下位移的起始位置与末位置，以确定积分的上下限.在求变速直线运动路程问题时，要根据v （t ）曲线写出v （t ）函数的表达式，或由v （t ）表达式判断在时刻区间v （t ）是否为正.因为仅当v （t ）恒为正时，⎰=badt t v S )(.知识点二：求曲边梯形的面积例1：曲线3x y =与直线y=x 围成的图形的面积是（） A .⎰--113)(dx x xB .⎰--113)(dx x xC . ⎰-103)(2dx x xD . ⎰--013)(2dx x x【题意分析】根据定积分的几何意义要求两曲线围成的图形面积必须确定被积函数、积分的上下限.【思路分析】在同一坐标系内画出函数3x y =和y=x 的图象，求出交点坐标从而确定积分的上下限及被积函数.【解题过程】在同一坐标系内画出函数图象（如图）A （1，1），B （－1，－1）由两函数图象知：两图象围成的面积在第一、第三象限. 根据图象的对称性知：两部分面积相等.在第一象限两图象围成的面积OAC OAC S S S 曲边三角形∆∆-=1⎰⎰⎰-=-=∴1313101)(dx x x dx x xdx S故两曲线围成的图形面积⎰-==1031)(22dx x x S S ，选（C ）【解题后的思考】本题是利用定积分求曲边图形的面积，解题的关键是确定被积函数和积分的上下限.通过画出两函数的图象及求交点坐标来确定积函数和积分的上下限，体现了数形结合这一数学思想的应用，易错点：画函数图象不准确导致积分上下限的确定有误.例2：求抛物线)0y (x 8y 2>=与直线x+y －6=0及y=0围成的图形面积.【题意分析】画出图形确定被积函数和积分的上下限，再利用定积分的几何意义求面积【思路分析】画出)0y (x 8y 2>=及x+y －6=0的图象，求两曲线的交点坐标，正确划分图形，然后确定被积函数及积分的上下限. 【解题过程】由题意画出图形（如图）由⇒⎩⎨⎧=-+>=06)0(82y x y x y 两曲线的交点A （2，4）故所求的面积⎰⎰-+=+=∆622)6(8dx x dx x S S S ABC OAB 曲边三角形＝340|)216(|3286222032=-+⨯x x x【解题后的思考】本题考查求两条曲线围成的曲边梯形面积的问题，处理的方法（1）准确地画出两个函数的图象，（2）求出两曲线的交点坐标，然后对正确的图形分割后，（3）确定被积函数及积分的上下限.体现数形结合的思想及其应用，易错点是：图形分割不正确导致被积函数有误，如本题会误认为：S=⎰--4]8)6[(dx x x .例3：在曲线)0(2≥=x x y 上某一点A 处作切线，使之与曲线以及x 轴围成的面积为121，求切点A 的坐标，及过点A 的切线方程. 【题意分析】本题考查的知识点是：导数的几何意义及利用定积分求曲边图形的面积.利用导数的几何意义求切线AC 的方程，再利用曲边三角形的面积是121求切点坐标【思路分析】设切点A （),00y x 求出切线方程进而求出C 点坐标，根据121=AOC S 曲边三角形求出0x .【解题过程】设切点A （),00y x ，由导数的几何意义知：切线AC 的斜率k=2x 0，所以切线方程是)(2000x x x y y -=-，200x y =， 2002x x x y -=∴切线方程是令)0,2(000x C y ⇒=，设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成的图形面积是S ，则S==--=⋅-=-⎰∆2000x 03x 02ABC AOB x )2x x (21|x 31|AB ||BC |21dx x S S 00曲边三角形 30x 121， ,1121121030=⇒=∴x x 故切点A （1，1），所求的切线方程为y=2x －1. 【解题后的思考】本题是导数与积分综合试题，解题的关键是（1）利用导数求切线斜率进而求切线方程.（2）利用积分求曲边三角形AOB 的面积减去三角形ABC 的面积来表示曲边三角形AOC 的面积.求切点坐标，易错点是：求曲边三角形AOC 的面积时不会分割为曲边三角形AOB 的面积减去三角形ABC 的面积.【小结】本题组主要讲述利用定积分求曲边图形的面积，处理问题的关键是要能画出函数的图象，并且合理地分割图形，以便确定被积函数和积分的上下限.易错点：图形分割不合理导致被积函数和积分上下限的确定错误.【本讲涉及的数学思想、方法】本讲主要讲定积分的简单的应用，在处理定积分在物理学中的应用和求曲边图形面积时充分体现了数形结合的数学思想的应用和分类讨论的数学思想的应用.【模拟试题】（答题时间：60分钟，满分60分）一、填空题（每题5分，计20分）1. 已知函数f （x ）＝dx bx ax x)1(20++⎰是奇函数，且f （1）－f （－1）=31，则a+b=__________2. 直线y=2x+3与抛物线y=x 2围成的图形面积是3. 长为25cm 的弹簧，若加100N 的力，则弹簧伸长到30cm ，则弹簧从25cm 到30cm 所做的功是4. 曲线xy=1及直线y=x ，y=2围成的平面图形的面积是 .二、计算题（计40分）：5. 已知f （x ）=⎰-===-≠++1'2,2)(,0)0(,2)1(),0(,dx x f f f a c bx ax 求f （x ）的解析式.（10分）6. 某一物体沿数轴的正方向做变速直线运动，其速度v （t ）=1－t 2，初始位置为x 0=1，求它在前2秒内走过的路程及2秒末的位置.（10分）7. 在原点O 有一个带电量为＋q 的点电荷，它所产生的电场对周围的电荷有作用力，现有一个单位正电荷从距离原点a 处沿着射线方向移至距O 点为b （a<b ）的地方，求电场力所做的功.（10分）8. 求曲线y=2x －x 2，y=2x 2－4x 所围成图形的面积.（10分）【试题答案】一、填空题1. 25-解析：f （x ）=dx bx ax x )1(20++⎰=x x b x a x x b x a x++=++2302323|)23(，由f （x ）为奇函数知：b=0，又由f （1）－f （－1）=2531-=⇒a .2.332解析：3,132212=-=⇒⎩⎨⎧=+=x x xy x y 332)32(31312=-+=∴⎰⎰--dx x dx x S .3. 2250N 解析：设x 表示弹簧伸长的长度，则F （x ）=kx ，当F=100N 时，x=5，故k=20，所以F=20xN x xdx W 2250|1020150215===⎰4.2ln 23- 解析：由已知：舍去）或(11111⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==y x y x x y xy 以y 轴为积分变量可得面积2ln 23|)ln 21()1(21221-=-=-=⎰y y dy y y S二、计算题5. 解：由已知：f （－1）=2得：a －b+c=2 (1)00)0(2)(''=⇒=+=b f b ax x f ，由 (2)2c b 21a 31|)cx bx 21ax 31(dx )c bx ax (dx )x (f 102310210-=++=++=++=∴⎰⎰…（3）由（1）（2）（3）解得：a=6，b=0，c=－4. 46)(2-=∴x x f6. 解：当10≤≤t 时，v （t ）0≥，当21≤≤t 时，v （t ）<0，故前2秒内走过的路程是：⎰⎰⎰⎰=---=-1212210212)1()1()()(dt t dt t dt t v dt t v ，2秒末所在的位置是：31)1(1)(22201=-+=+=⎰⎰dt t dt t v x x ，即它在2秒内走过的路程是2，2秒末的位置是31 7. 解：取电荷移动的射线方向为x 轴正方向，那么电场力k (xqk F 2⋅=为常数），这是一个变力，在]x x x [∆++上，显然x xqk w ∆⋅⋅=2， )11(|2ba kq x kq dx x kq wb ab a -=-==∴⎰ 8. 解：由2,04222122==⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=-=x x xx y xx y由图知：所求的面积⎰⎰-+-=202022|)42(|)2(dx x x dx x x S ＝⎰⎰---20222)42()2(dx x x dx x x ＝4.。

高二数学-定积分概念-课件

0
( x f (t)dt)2
0
( x f (t)dt)2
0
0
依题意，在[0, x](x 0)上, f (t) 0, (x t) f (t) 0,
且(x t) f (t) 0,故
x
f (t)dt 0,
x
(x t) f (t)dt 0,
0
0
F(x) 0(x 0),从而F(x)在(0,)内单调增加。
(2) lim 4 sin n xdx 0. n 0
解：（利用积分中值定理）
(1)
1 2
xn
dx
n
(1 0)
(0 1)
0 1 x 1 2
2
原式 lim n 0.
n 2(1 )
(2)
4
sin
n
xdx
sin
n
(
0)
0
4
原式 lim sin n 0.
n 4
(0 )
n
n
(iii)求和： A Ai f (i )xi
i1
i1
o a xi1i xi
bx
(iv)取极限：令 max{ x1,xn}，则曲边梯形面积
n
A lim 0 i1
f (i )xi
1.定积分定义设函数f(x)在[a,b]上有界，
(i)分割：在[a,b]内插入若干个分点a x0 xn1 xn b，
x
0
(1) (1) 2
例4 设f (x)在[0,)内连续，且f (x) 0.证明
x
tf (t)dt
F(x)
0 x
在(0,)内卫单调增加函数。
0 f (t)dt
证
x
x

人教版2017高中数学(选修2-2)1.5.3定积分的概念PPT课件

(3)
��
��1 (��)· ��2 (��) dx=
)
首页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测
课前预习案
课堂探究案
首页探究一探究二探究三思维辨析当堂检测
课前预习案
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课堂探究案
解析: 令 f(x)=x2-2x. 将区间 1,2 等分成 n 个小区间, 分别为 1,1 + 1+
��
f(x)dx(k 为常数);
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做一做 2 若
A.m
exdx=m,则 0 3exdx 等于( B.3m C.m+3 D.9m
2 0
2 0
2
)
解析:
2 0
3exdx=3
exdx=3m.
答案:B
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课堂探究案
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)在定积分定义的第二步“近似代替”中,必须用左端点或右端点进行代替. ( × ) (2)定积分 f(x)dx 表示由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积. ( × )
kf(x)dx=k
�� 1 (��) ± ��2 (��) dx= �� f1(x)dx± �� f2(x)dx; �� f(x)dx= �� f(x)dx+ �� f(x)dx(其中 a<c<b).

2017年高考新课标Ⅲ卷理数试题解析(精编版)(解析版)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A I B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【考点】交集运算；集合中的表示方法【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 2．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ．12B ．22C 2D ．2【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得2i1iz=+，由复数求模的法则可得1121zzz z=，则2i21i2z===+.故选C.【考点】复数的模【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：(1)1212z z z z±=±；(2)1212z z z z⨯=⨯；(3)22z z z z⋅==；(4)121212z z z z z z-≤±≤+；(5)1212z z z z=⨯；(6)1121zzz z=.3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，学/科网绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】故选A.【考点】折线图【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率分布折线图，频率分布折线图的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，它们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律.4．()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C 【解析】试题分析：()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=. 故选C.【考点】二项展开式的通项公式【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.5．已知双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为5y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 【解析】【考点】双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()2220x y a bλλ2-=≠，再由条件求出λ的值即可.6．设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x = D ．()f x 在(π2,π)单调递减【答案】D 【解析】试题分析：函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确；函数()f x 图像的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图像关于直线8π3x =对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确；当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D.【考点】函数()cos y A x ωϕ=+的性质【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x bω=+的形式.（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可.7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D 【解析】试题分析：阅读程序框图，程序运行如下：首先初始化数值：1,100,0t M S ===，然后进入循环体：此时应满足t N ≤，执行循环语句：100,10,1210MS S M M t t =+==-=-=+=；此时应满足t N ≤，执行循环语句：90,1,1310MS S M M t t =+==-==+=；此时满足91S <，可以跳出循环，则输入的正整数N 的最小值为2. 故选D.【考点】程序框图【名师点睛】利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构.当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断.注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用.赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式.8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．πB．3π4C．π2D．π4【答案】B【考点】圆柱的体积公式【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.9．等差数列{}n a的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{}n a前6项的和为A．24-B．3-C．3 D．8 【答案】A【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-.故选A. 【考点】等差数列求和公式；等差数列基本量的计算【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.10．已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．6 B ．3 C ．2 D ．13【答案】A 【解析】【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：①求出a ，c ，代入公式e ＝c a； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).11．已知函数211()2(ee )x xf x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C 【解析】试题分析：函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+，设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e 1eeee ex x x x x x g x ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点，即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 【考点】函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.12．在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为 A ．3B ．2C 5D ．2【答案】A 【解析】试题分析：如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y , 易得圆的半径5r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r ，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤21514z -≤+，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A. 【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高二定积分及其简单应用

定积分及其简单应用定积分∫b a [f (x )－g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积． ②一般情况下，定积分∫b a f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．3．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________．解析：∫20x 2d x ＝13x 3 |20＝83. 答案：834．∫101－x 2d x ＝________.解析：由定积分的几何意义可知，∫101－x 2d x 表示单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，所以∫101－x 2d x ＝14π. 答案：14π 例1、利用微积分基本定理求下列定积分：(1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ； (2)∫π0(sin x －cos x )d x ； (3)∫20x (x ＋1)d x ；(4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x＋1x d x ； (5)20π⎰sin 2x 2d x .[解答](1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ＝∫21x 2d x ＋∫212x d x ＋∫211d x ＝x 33|21＋x 2 |21＋x |21＝193. (2)∫π0(sin x －cos x )d x ＝∫π0sin x d x －∫π0cos x d x ＝(－cos x ) |π0－sin x |π0＝2.(3)∫20x (x ＋1)d x ＝∫20(x 2＋x )d x ＝∫20x 2d x ＋∫20x d x ＝13x 3 |20＋12x 2 |20＝⎝⎛⎭⎫13×23－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－0＝143. (4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝∫21e 2x d x ＋∫211x d x ＝12e 2x |21＋ln x |21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1＝12e 4－12e 2＋ln 2. (5)20π⎰sin 2x2d x ＝20π⎰⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝20π⎰12d x －1220π⎰cos x d x ＝12x20π－12sin x 20π＝π4－12＝π－24.变式练习1．求下列定积分： (1)∫20|x －1|d x ；(2)20π⎰1－sin 2x d x .解：(1)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ， x ∈[0，1)x －1， x ∈[1，2]故∫20|x －1|d x ＝∫10(1－x )d x ＋∫21(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 22 |10＋⎝⎛⎭⎫x 22－x |21＝12＋12＝1. (2)20π⎰1－sin 2x d x ＝20π⎰|sin x －cos x |d x ＝40π⎰(cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰(sin x －cos x )d x＝(sin x ＋cos x )40π＋(－cos x －sin x ) 24ππ＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.例2、 ∫10－x 2＋2x d x ＝________.[解答] ∫10－x 2＋2x d x 表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y ＝－x 2＋2x 得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，又∵0≤x ≤1，∴y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形为14个圆，其面积为π4.∴∫10－x 2＋2x d x ＝π4.在本例中，改变积分上限，求∫20－x 2＋2x d x 的值．解：∫20－x 2＋2x d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以∫20－x 2＋2x d x ＝π2.变式练习2．(2013·福建模拟)已知函数f (x )＝∫x 0(cos t －sin t )d t (x >0)，则f (x )的最大值为________．解析：因为f (x )＝∫x 02sin ⎝⎛⎭⎫π4－t d t ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－t |x 0＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x －2cos π4＝sin x ＋cos x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－1≤2－1，当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1时，等号成立．答案：2－1归纳1、利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．四、拓展延伸能力升华利用定积分求平面图形的面积例1、 (2012·山东高考)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.103 B ．4 C.163D ．6 [解答] 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，即两曲线交于点(4,2)．由定积分的几何意义可知，由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为∫40(x －x ＋2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2＋2x |40＝163. [答案] C若将“y ＝x －2”改为“y ＝－x ＋2”，将“y 轴”改为“x 轴”，如何求解？解：如图所示，由y ＝x 及y ＝－x ＋2可得x ＝1.由定积分的几何意义可知，由y ＝x ，y ＝－x ＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为∫20f (x )d x ＝∫1x d x ＋∫21(－x ＋2)d x ＝23x32 |10＋⎝⎛⎭⎫2x －x 22 |21＝76.变式练习3．(2013·郑州模拟)如图，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.14解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14，y ＝x 2⇒x ＝12或x ＝－12(舍)，所以阴影部分面积S ＝120⎰⎝⎛⎭⎫14－x 2d x ＋112⎰⎝⎛⎭⎫x 2－14d x ＝⎝⎛⎭⎫14x －13x 3120＋⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 112＝14.定积分在物理中的应用例2、列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？[解答] a ＝－0.4 m/s 2，v 0＝72 km/h ＝20 m/s.设t s 后的速度为v ，则v ＝20－0.4t .令v ＝0，即20－0.4 t ＝0得t ＝50 (s)．设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ，则s ＝∫500v d t ＝∫500(20－0.4t )d t ＝(20t －0.2t 2) |500＝20×50－0.2×502＝500(m)，即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动．变式练习4．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：选B 力F (x )做功为∫2010d x ＋∫42(3x ＋4)d x ＝10x |20＋⎝⎛⎪⎪⎭⎫32x 2＋4x 42＝20＋26＝46.例3、(2012·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________． [解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1，与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3120＋⎝⎛⎭⎫5x 2－103x 3112＝54.[答案] 54变式练习1．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112B.14C.13D.712解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得x ＝0或x ＝1，由图易知封闭图形的面积＝∫10(x 2－x 3)d x ＝13－14＝112.2．(2012·山东高考)设a >0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意∫a 0x d x ＝a 2.又⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32′＝x ，即23x 32 |a 0＝a 2，即23a 32＝a 2.所以a ＝49. 五、课后作业巩固提高1.∫e 11＋ln xxd x ＝( ) A ．ln x ＋12ln 2x B.2e －1 C.32 D.12解析：选C∫e 11＋ln xxd x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋ln 2x 2e1＝32. 2．(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2 解析：选B 由题中图象易知f (x )＝－x 2＋1，则所求面积为2∫10(－x 2＋1)d x ＝2⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 1＝43. 3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈(1，2]，则∫20f (x )d x ＝( )A.34B.45C.56 D ．不存在解析：选C 如图．∫20f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫21(2－x )d x ＝13x 3 |10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2 |21＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56. 4．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 mB.803 mC.403 mD.203 m 解析：选A v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，∫20(40－10t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎫40t －103t 3 |20＝40×2－103×8＝16035．(2013·青岛模拟)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32 D.3 解析：选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分33ππ-⎰cos x d x ＝sin x33ππ-＝32－⎝⎛⎭⎫－32＝ 3. 6．设a ＝∫π0sin x d x ，则曲线y ＝f (x )＝xa x ＋ax －2在点(1，f (1))处的切线的斜率为________．解析：∵a ＝∫π0sin x d x ＝(－cos x ) |π0＝2，∴y ＝x ·2x ＋2x －2.∴y ′＝2x ＋x ·2x ln 2＋2. ∴曲线在点(1，f (1))处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝4＋2ln 2.答案：4＋2ln 27．在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝∫41(1＋2x )d x ，则该数列的前5项之和S 5等于________．解析：a 4＝∫41(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2) |41＝18，因为数列{a n }是等比数列，故18＝23q 3，解得q ＝3，所以S 5＝23(1－35)1－3＝2423.答案：24238．(2013·孝感模拟)已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则当∫a 0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________. 解析：∫a 0(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x ) |a 0＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1， ∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1取最大值．答案：π4 9．计算下列定积分：(1)20π⎰sin 2x d x ；(2)∫32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ； (3)120⎰e 2x d x .解：(1)20π⎰sin 2x d x ＝20π⎰1－cos 2x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －14sin 2x 20π＝⎝⎛⎭⎫π4－14sin π－0＝π4. (2)∫32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝∫32⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x ＋ln x |32＝⎝⎛⎭⎫92＋6＋ln 3－(2＋4＋ln 2) ＝92＋ln 3－ln 2＝92＋ln 32. (3)120⎰e 2xd x ＝12e 2x120＝12e －12. 10．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝∫10(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22－13x 3 |10＝16.又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S 2＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝⎝⎛⎭⎫1－k 2x 2－13x 3 |1－k 0＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.11．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，求点P 的坐标．解：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )，则∫x 0(kx －x 2)d x ＝∫2x (x 2－kx )d x ，即⎝⎛⎭⎫12kx 2－13x 3 |x0＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 2 |2x，解得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 2，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，169. 12．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝∫10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋∫31⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2 |10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2 |31＝23＋16＋43＝136.。

高二数学定积分的简单应用PPT精品课件

定积分的应用习题课
及的方x轴例程所1.围如成图图，形曲的线面y＝积x2为(1x12 ≥，0)求与切切线线ll
y＝2x－1
y
y＝x2
l A
O CB x
例2 设动抛物线y＝ax2＋bx(a＜0， b＞0)与x轴所围成图形的面积为S，若该抛物线与直线x＋y＝4相切，当a，b变化时，求S的最大值.
yl
S max
5 6
O
Ax
y＝ax2＋bx
例3 设地球质量为M，半径为R，引力常数为G，求把质量为m（单位：kg）的物体从地球表面升高h（单位：m）所作的功.
W
GMmh R(R h)
例4 一质点从时刻t＝0（单位：s）开始，以速度v＝t2－4t＋3（单位：m/s）作直线运动，当t＝4s时，求质点的位移和运动的路程.
位移:
4 3
m
路程:4m
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人教版高中数学选修2-21.7.3定积分学案

1．7.3定积分(习题课)
利用定积分的基本思想、定积分的观点、微积分基本定理解决积分中的基本问题．
基础梳理
定积分的主要观点：
1．定积分的几何意义：定积分b a f(x)dx(f(x)>0)表示由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．
2．定积分的性质：
3．求定积分有三种方法：定义法、几何意义、基本定理要依据题目特点灵巧采用方法，
如求b a 1－ x2dx，可采用几何意义求解，即求半圆y＝1－ x2的面积．常用方法是几何意义和基本定理．
4．求定积分常用技巧：
①对被积函数，往常要先化简再求积分；
②求被积函数是分段函数的定积分，依照定积分“对区间的可加性”，分段积分再乞降；
③对含有绝对值符号的被积函数，要去绝对值符号才能积分．
自测自评
基础巩固
能力提升。

2017届高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：2.13 定积分与微积分基本定理 Word版含答案

第十三节定积分与微积分基本定理积分的运算及应用(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．(2)了解微积分基本定理的含义．知识点一定积分 1．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )． 2．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．易误提醒 (1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．[自测练习]1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( )A.⎠⎛1－1x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛102x d x D.⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x 解析：由分段函数的定义及积分运算性质，∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x . 答案：D2．已知f (x )是偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．6D ．16解析：因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以⎠⎛6－6f (x )d x ＝⎠⎛0－6f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16. 答案：D知识点二微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )| ba，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．必备方法运用微积分基本定理求定积分的方法： (1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分． (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．[自测练习]3．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a解析：a ＝⎠⎛01x －13d x ＝32x 23| 10＝32， b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－23x 32| 10＝13，c ＝⎠⎛01x 3d x ＝14x 4| 10＝14，因此a >b >c ，故选A. 答案：A4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.112 B.14 C.13D.712解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.结合图形知(图略)所求封闭图形的面积为⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 4| 10＝112，故选A. 答案：A考点一定积分的计算|1．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( ) A ．9π B ．3π C.94π D.92π 解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝9π4，故选C.答案：C2．(2016·临沂模拟)若∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C. 3D ．－ 3解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x . ∴∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝(a sin x －cos x )⎪⎪π20 ＝⎝⎛⎭⎫a sin π2－cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2.∴a ＝1. 答案：B3．(2015·西安模拟)已知A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ，则A ＝________.解析：A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛13(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 31＝223. 答案：223定积分计算的三种方法定义法、几何意义法和微积分基本定理法，其中利用微积分基本定理是最常用的方法，若被积函数有明显的几何意义，则考虑用几何意义法，定义法太麻烦，一般不用．考点二利用定积分求平面图形的面积|设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( )A ．1 B.13 C.23D.43[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2()1×1－⎠⎛01x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫1×1－13x 3| 10＝43，选D.[答案] D利用定积分求平面图形面积的三个步骤(1)画图象：在直角坐标系内画出大致图象．(2)确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定积分上限和下限．(3)用牛顿－莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分，写出结果．1．(2015·衡中三模)由曲线y＝2－x2，直线y＝x及x轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．解析：把阴影部分分成两部分求面积．S＝S1＋S2＝⎠⎛0－2(2－x2)d x＋⎠⎛1(2－x2－x)d x＝⎝⎛⎭⎫2x－x33|0－2＋⎝⎛⎭⎫2x－x33－x22|10＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76.答案：423＋76考点三定积分物理意义的应用|一物体做变速直线运动，其v -t曲线如图所示，则该物体在12s～6 s间的运动路程为________．[解析]由图象可知，v(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧2t，0≤t<1，2，1≤t<3，13t＋1，3≤t≤6，所以12s～6 s间的运动路程s ＝⎠⎜⎛126 v (t )= ⎠⎜⎛1262t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t ＝36111322149264t t t ⎛⎫+++=⎪⎝⎭. [答案]494利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，(0≤x ≤2)，3x ＋4，(x >2)，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：力F (x )做功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42 ＝20＋26＝46. 答案：B5.混淆图形面积与定积分关系致误【典例】已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3112012231053x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝54. [答案] 54[易误点评] (1)本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．(2)本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．[防范措施] 解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形．(2)准确确定被积函数和积分变量．[跟踪练习] (2015·洛阳期末)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知，所求面积为⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x | 0－1＋e x | 10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12.答案：e －12A 组考点能力演练1．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－2或4D ．4解析：由⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8得(x 2－2x )| t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，故选D.答案：D2．(2015·青岛模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0ef (x )d x的值为( )A.43 B.54 C.65D.76解析：⎠⎛0ef (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛1ef (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e1x d x ＝x 33| 10＋ln x | e1＝13＋ln e ＝43，故选A.答案：A3．(2016·武汉模拟)设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的第4项为( ) A ．－1 280x 3 B ．－1 280 C ．240D ．－240解析：本题考查定积分的计算与二项式定理．依题意得a ＝(x 3－x 2)| 21＝4，二项式⎝⎛⎭⎫4x 2－1x 6的展开式的第四项是T 4＝C 36·(4x 2)3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－1 280x 3，故选A. 答案：A4．如图所示，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln 22B.1－ln 22C.1＋ln 22D.2－ln 22解析：本题考查定积分的计算与几何概率的意义．依题意，题中的矩形区域的面积是1×2＝2，题中的阴影区域的面积等于2×12＋eq \a\vs4\al(\i\in(1xd x ＝1＋ln x eq \b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,＝1＋ln 2，因此所求的概率等于1＋ln 22，故选C. 答案：C5．已知数列{a n }是等差数列，且a 2 013＋a 2 015＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2016)的值为()A ．π2B ．2πC ．πD ．4π2解析：⎠⎛024－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝4在第一象限的面积，即⎠⎛024－x 2d x ＝π，又数列{a n }是等差数列，所以a 2 013＋a 2 015＝a 2 012＋a 2 016＝2a 2 014，所以得a 2 014·(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝π2×2π＝π2，故选A.答案：A6．(2015·南昌模拟)直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，解得x ＝0或23，所以所求面积为∫230⎝⎛⎭⎫x －x 2－13x d x ＝∫230⎝⎛⎭⎫23x －x 2d x＝⎝⎛⎭⎫13x 2－13x 3⎪⎪230＝13×⎝⎛⎭⎫232－13×⎝⎛⎭⎫233－0＝481. 答案：4817．(2015·长春二模)已知a >0且曲线y ＝x 、x ＝a 与y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意a 2＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32| a 0，所以a ＝49.答案：498．已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则⎠⎛0a (cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.解析：⎠⎛0a(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| a 0＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1.∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，[]⎠⎛0a(cos x －sin x )d x max ＝2－1.答案：π49．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2| 31＝23＋16＋43＝136. 10．汽车以54 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解：由题意，得v 0＝54 km/h ＝15 m/s. 所以v (t )＝v 0＋at ＝15－3t . 令v (t )＝0，得15－3t ＝0.解得t ＝5. 所以开始刹车5 s 后，汽车停车．所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 s ＝⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(15－3t )d t ＝⎝⎛⎭⎫15t －32t 2| 50＝37.5(m)．故汽车走了37.5 m.B 组高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )| 10＝1＋e 1－1＝e.答案：C2．(2014·高考江西卷)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( ) A ．－1 B ．－13C.13D ．1解析：令⎠⎛01f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2mx | 10＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13，故选B. 答案：B3．(2013·高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析：由v (t )＝0得t ＝4.故刹车距离为s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎡⎦⎤－32t 2＋7t ＋25ln (1＋t )| 40＝4＋25ln 5.答案：C4．(2014·高考山东卷)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)． ∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4| 20＝4. 答案：D5．(2015·高考天津卷)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意，可得封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3| 10＝12－13＝16. 答案：166．(2015·高考陕西卷)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠⎛05⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×(6＋10)2＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2. 答案：1.2。

2017_2018学年高中数学第四章定积分3定积分的简单应用教学案北师大版选修2_2

[精解详析]
作出曲线xy＝1，直线x＝y，y＝3的草图，所求面积为图中阴影部份的面积．
求交点坐标：由
得故A ；
由得或 (舍去)，故B(1,1)；
由得故C(3,3)，
故所求面积S＝S1＋S2＝ dx＋ (3－x)dx＝(3x－lnx) ＋＝4－ln3.
[一点通] 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所转变，通过解方程组求出曲线的交点坐标后，能够将积分区间进行细化分段，然后依照图形对各个区间别离求面积进而求和，在每一个区间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数．
解：作出曲线y2＝x，y＝x3的草图，所求面积为如图中的阴影部份的面积．
解方程组得交点的横坐标x＝0，x＝1，因此所求图形面积为
S＝ dx－ x3dx＝ x － x4 ＝－＝ .
分割型图形面积的求解
[例2] 求由曲线xy＝1及直线x＝y，y＝3所围成平面图形的面积．
[思路点拨] 作出直线和曲线的草图，可将所求图形的面积转化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确信积分的上、下限．
5．求由曲线y＝x2和直线y＝x及y＝2x所围成的平面图形的面积．
解：由得A(1,1)，
由得B(2,4)，如下图所求面积为
S＝ 2xdx－ xdx＋ 2xdx－ x2dx
＝ (2x－x)dx＋ (2x－x2)dx
＝ xdx＋ (2x－x2)dx
＝ x2 ＋＝ .
简单几何体的体积的求解
[例3] 求抛物线y＝2x2与直线x＝a(a>0)及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周取得的几何体的体积．
A．π2B．4π2
C. π2D.
解析：V＝π sin2xdx＝π dx