第10-11讲gfhgfh

2.2条件平差原理
例（2）在图3-1中，设HA为A点的已知高程，为了确定B、C 两点的高程，只要观测两个高差就够了，即必要观测数为 t=2，而图中按箭头方向观测了h1、h2、h3三个高差，则 n=3，因为有了多余观测（r=1），所以在观测高差的最或 是值 之间产生了一个条件，
ˆ ˆ ˆ h1 h2 h3 0
L1 L 2 L n 1 Ln
a0 b A0 0 r 1 r0
v1 v 2 V1 n vn
W
r 1
a b r
1.2平差的基本方法
控制网
按照起算数据的不同
独立网
（等于或少于必要起算数据）
非独立网
（多于必要起算数据的网）
2条件平差的原理
2.1条件平差概述 (1)多余观测 形成了一定的条件； (2)观测值存在误差所以观测值不能满足条 件而产生闭合差。 (3)条件平差就是要根据观测元素之间所构成 的条件，按最小二乘法原理求得各观测值 的最或然值，以消除因多余观测而产生的 不符值，并做出相应的精度评定 .

r
0
r n
A P 1 A
nn nr
T
K
r 1
W
r n

r 1
0
W
r 1

r n n 1
AL A 0
r 1
N K
r r r 1
W
r n

r 1
0
W
r 1

r n
AL

n 1
A 0
r 1
N
r r

r n
AP
1
n n
n r
A
T
设
N K
r r r 1
2 2 F (v , v2 , vn ) ( p1v 2 p2 v2 pn vn ) 1 1
2k a ( a1v a2 v2 an vn 1 2kb (b v b2 v2 bn vn 1 1 2k r ( r v r v2 r vn 1 1 2 n
1 P 1 0 0 0 1 P 2 0 0 0 1 P n
v1 v2 vn
T
A
1 ( a1k a b1kb r k r ) 1 p1 1 ( a2 k a b2 kb r2 k r ) p2 1 ( an k a bn kb rn k r ) pn
a1 ( L1 v1 ) a2 ( L2 v2 ) an ( Ln vn ) a0 0 b1 ( L1 v1 ) b2 ( L2 v2 ) bn ( Ln vn ) b0 0 c1 ( L1 v1 ) c2 ( L2 v2 ) cn ( Ln vn ) c0 0
d d (V PV ) d ((2 K ( AV W )) 0 dV dV dV
T T
d (V T PV ) dV 2V T P 2V T P dV dV d ( 2 K T ( AV W )) dV 2 K T A 2 K T A dV dV
d 2 V T P 2K T A 0 即 dV V T P K T A 0或V T P K
r n
AV
r 1
n 1
W
r 1 r 1

r 1
0
来自百度文库
W

AL
n 1
A 0
r 1
因为条件方程的个数等于多余观测数，而多余观测数只是观测量总数n的一部分，所以， 未知数V的数目总是大于条件方程的数目，即n＞r，故式（3-10）的解不唯一。而我们所 需要的是其中能使[pvv]=min（最小）唯一的一组v值。为了求得一组既能满足条件方程 （3-10），而又能使[pvv]=最小的v值，可采用数学中求条件极值的原理。为此，组成新函
ˆ ˆ ˆ a1 L a2 L2 an Ln a0 0 1 ˆ ˆ ˆ b L b2 L2 bn Ln b0 0 1 1 ˆ ˆ ˆ c1 L c2 L2 cn Ln c0 0 1
（3-6）
试种，ai，bi，…，ri（i=1，2，…，n）为平差值条件方程的系 数，它们是某些固定值，随条件方程不同而取不同的值。
W
r n

r 1
0
W
r 1

r n n 1
A L A0
r 1
条件平差求平差值的步骤
条件平差求平差值的计算步骤归纳如下： （1）根据平差的具体问题，确定条件方程的个数，列 出条件方程式，条件方程的 个数等于多余观测数r。 （2）根据条件方程式的系数、闭合差及观测值的权 （或协因数阵）组成法方程， 法方程的个数等于多余观测数r。 （3）解算法方程，求出联系数k值。 （4）将k代入改正数方程求改正数v，并计算平差值 （5）用平差值检核平差计算结果的正确性。
P 1

(
a1a1 a2 a2 a a ab ab ab n n ) k a ( 1 1 2 2 n n ) kb p1 p2 pn p1 p2 pn a1r a r a r 1 2 2 n n ) k r a 0 p1 p2 pn
(
(
a1b a b a b bb b b b b 1 2 2 n n ) k a ( 1 1 2 2 n n ) kb p1 p2 pn p1 p2 pn br b r b r 1 1 2 2 n n ) k r b 0 p1 p2 pn
aa a b ar p k a p kb p k r a 0 a b b b br p k a p kb p k r b 0 ar br rr p k a p kb p k r
a ) b ) r )
式中，系数-2ka，-2kb，…，-2kr在数学中成为拉格朗日乘数。在测量平差中，常称 这些k为联系数，其个数与条件方程的个数相同。 为求新函数Φ的极值，应对式（3-11）中的各个变量vi求一阶偏导数，并令其等于零。 于是有
2 p1v1 2a1k a 2b1 kb 2r k r 0 1 v1 2 p2 v2 2a2 k a 2b 2 kb 2r k r 0 2 v2 2 pn vn 2an k a 2b n kb 2r k r 0 n vn
第一节 条件平差的原理
主要内容 • 1测量平差方法概述 1.1平差的目的 1.2平差的基本方法
• 2条件平差原理
1测量平差方法概述
• 1.1平差目的：
根据最小二乘法原理，正确的消除各观测值之间的矛盾， 合理地分配误差，求观测值的最或是值，同时评定精度。
（1）必要观测：可确定全部未知量所需的最少的 观测（必需观测）通常以t表示。 （2）多余观测：必要观测以外的观测，通常以r表 示。
例(1):
单三角形的多余观测数r=n-t=3-2=1。由于总是要进行多 余观测，又因观测中不可避免地要产生随机误差，于是观 测值之间就会出现矛盾，即三角形3个内角的观测值 L1,L2,L3之和不等于180，这就产生了三角形闭合差，以符 号ω表示，亦即 ω=(L1+L2+L3)-180 因而，必须对观测值Li（i=1，2，3）进行改正，即在观测 值中加入改正数vi，求出改正后的观测值，即平差值，
（3-5）
式中，vi为条件方程的未知数（改正数）；ωh为条件方程的 自由项（闭合差）。式（3-5）便是改正数条件方程。通常所说 的“条件方程”就是指改正数条件方程。
2.2条件平差原理
在平差问题中，若有n个观测值Li时，就会有n个改正数vi； 有r个多余观测值时，就有r个条件方程。下面就一般形式说明条件平差原理。
(
(
r a1 r a r a br b r b r 1 2 2 n n ) k a ( 1 1 2 2 n n ) kb p1 p2 pn p1 p2 pn rr r r r r 1 1 2 2 n n ) k r r 0 p1 p2 pn
(
1
1 1 1 1 1 1 1
ˆ (7)求平差值： L L v
(8)检验结果：
ˆ L L 1800 0 L1 ˆ2 ˆ3
(3-7)
a b L b2 L2 bn Ln b0 b 1 1 c1 L c2 L2 cn Ln c0 c 1
a1 L a2 L2 an Ln a0 1
(3-8)
a1v1 a2 v2 an vn a 0 b1v1 b2 v2 bn vn b 0 c1v1 c2 v2 cn vn c 0
只有经过闭合差改正后的平差值才能满足要求。
1.2平差的基本方法
• 1.2.1条件平差 条件平差法是根据条件方程式按最小二乘法 原理求观测值的最或是值。
• 1.2.2间接平差 间接平差法是根据观测量与未知量的函数关 系，列出误差方程式，然后再按最小二乘法原 理求未知量的最或是值
1.2平差的基本方法
必要起算数据：为确定1个网的大小和位置所必须的已知数据。
(1)1个三角网的必要起算数据有4个： [S，A，X，Y]（或者X1Y1，X2Y2）。 (2)测边网与边角网的必要起算数据是3个： [A，X，Y]。 (3)导线网的必要起算数据是3个： [A，X，Y]。 (4)高程控制网中必要的起算数据是1个： 已知点的高程。
（3-2）
式（3-2）称为平差值条件方程。因观测量的最或是值等 于观测值加改正数，即
2.2条件平差原理
h1 v1 h2 v2 h3 v3 0
由于观测存在误差，所以有 （3-3）
h1 h2 h3 h
将式（3-4）代入式（3-3）得
（3-4）
v1 v2 v3 h 0
例题3-1 解：（1）条件方程的个数： r=n-t=3-2=1
ˆ L L 1800 0 L1 ˆ2 ˆ3
(2)列立条件方程：
ˆ Li Li vi
(3)改正数方程 v1 v2 v3 0 0 L1 L2 L3 180
1
v1 1v2 3.0'' 0 v3
1
P P2 P 1 3
AV W 0
(4)解算法方程：
AP A K W 0
1 1 1 1 1 1 1 K 3'' 0 1 1
1 T
(5)求K值
K N 3 1
1
(6)求改正数值
V
V P A K
T
(3-9)
式（3-9）即为有 个未知数 的条件方程。设A表示条件方程组得 系数矩阵；V表示最或是值改正数矩阵；W表示条件方程组得闭合 差矩阵；L为观测值矩阵；A0为条件方程的常数矩阵，即：
a1 b 1 A rn 1 r a2 b2 r2 an bn rn