2019年上海市七宝中学高三三模数学试卷(附答案)(精校Word版)

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【全国百强校】上海市闵行区七宝中学2019届高三第二学期3月月考数学试题(解析版)

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知集合，且，则可以是（）A. B. C. D.2.若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）A. B. C. D.3.已知等差数列满足，则中一定为零的项是（）A. B. C. D.4.已知，则下列各式中一定成立（）A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. B. C. D.6.已知复数，则下面结论正确的是（）A. B.C. 一定不是纯虚数D. 在复平面上，对应的点可能在第三象限7.椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，8.某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在层班级，生物在层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（）层地理层层生物层层物理层物理层A. 8种B. 10种C. 12种D. 14种第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.已知成等比数列，且，则____．10.在中，，则_______；_________.11.已知向量，同时满足条件①，②的一个向量的坐标为_____ .12.在极坐标系中，若圆关于直线对称，则_____.13.设关于的不等式组表示的平面区域为．记区域上的点与点距离的最小值为，则（1）当时，____；（2）若，则的取值范围是____．14.已知函数，，其中.若，使得成立，则____．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明~演算步骤或证明过程15.已知函数的最大值为．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间．16.据《人民网》报道，“美国国家航空航天局发文称，相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷（1）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（2）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积占造林总面积的比值超过的概率是多少？（3）在这十个地区中，从新封山育林面积超过五万公顷的地区中，任选两个地区，记为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求的分布列及数学期望．17.如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为?如果存在，求出线段的长；如果不存在，说明理由．18.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证：函数存在极小值；（3）请直接写出函数的零点个数．19.已知抛物线，其中．点在的焦点的右侧，且到的准线的距离是与距离的3倍．经过点的直线与抛物线交于不同的两点，直线与直线交于点，经过点且与直线垂直的直线交轴于点.（1）求抛物线的方程和的坐标；（2）判断直线与直线的位置关系，并说明理由．20.首项为O的无穷数列同时满足下面两个条件：①；②.（1）请直接写出的所有可能值；（2）记，若对任意成立，求的通项公式；（3）对于给定的正整数，求的最大值．。

精品解析：2019年上海市七宝中学高三下第三次模拟考试数学试题(解析版)

2C21019

4C22019

(2)2019
C 2019 2019

________
【答案】 1
【解析】
【分析】
根据二项式定理展开式配凑，即可求出．
【详解】 1
2C21019

4C22019

(2)2019
C 2019 2019
Байду номын сангаас

C0 2019
g 0 0 得出 g 1 0
1 ，结合 1
a 1 b 1 ，可作出关于 a 、 b
的不等式组，作出可行域，将
2a b 1 5
视为可行
域中的点
a,
b 到直线
2a

b
1

0
的距离，结合图象可得出答案.
y f x
【详解】作出函数
的图象如下图所示：
10.已知数列{an}满足： a1 1，且 (n 1)an1 nan 3 0 ，若对任意的 a [2, 2] ，不等式 an 2t2 at 1恒成立，则实数 t 的范围为________ 【答案】 t 2 或 t 2
【解析】【分析】
先求出数列{an}的通项公式，再求出其最大值，然后求出 g(a) at 2t2 1在 a [2, 2] 上的最小值，即
3 【答案】 3
【解析】【分析】
设圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，高为 h ，根据圆锥底面圆周长等于展开后半圆的弧长得出 r ，由题意
得出 l 2 ，再由勾股定理得出 h 的值，最后利用锥体的体积公式计算出圆锥的体积.
【详解】设圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，高为 h ，则 l 2 ，

2019届上海市高考模拟卷(三)数学试题(解析版)

2019届上海市高考模拟卷（三）数学试题一、单选题1．设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由“|x ﹣2|＜1”得1＜x ＜3，由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，即“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．2．已知集合{(,)|||||1}P x y x y =+…，{}22(,)|1Q x y x y =+…，则有（）A ．P Q =B ．PQ C ．P Q P = D ．P Q Q ⋂=【答案】B【解析】根据两个集合分别表示的平面区域分析可得答案. 【详解】因为{(,)|||||1}P x y x y =+…表示四个顶点分别为(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--的正方形围成的区域(包括边界),而{}22(,)|1Q x y x y =+…表示的圆心为原点,半径为1的圆围成的区域(包括边界),所以P Q .故选:B 【点睛】本题考查了集合之间的真子集关系,属于基础题.3．将向量1a =(1x ，1y )，2a =(2x ，2y )，…n a =(n x ,n y )组成的系列称为向量列{n a }，并定义向量列{n a }的前n 项和12n n S a a a =++⋅⋅⋅+．如果一个向量列从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列。

若向量列{n a }是等差向量列，那么下述四个向量中，与21S 一定平行的向量是 ( ) A ．10a B ．11aC ．20aD ．21a【答案】B【解析】依题意，当{}n a 为等差向量列时，设每一项与前一项的差都等于d ，则可求出通项公式1(1)n a a n d =+- ，所以{}n a 前21项和211221111111()(20)2121021S a a a a a d a d a d a =+++=+++++=+= ，故与21S 平行的向量是11a ，选B.点睛: 本题主要考查新定义: 等差向量列的理解和应用, 属于中档题. 解题思路：设每一项与前一项的差都等于d ，运用类似等差数列的通项和求和公式，计算可得211121S a =，由向量共线定理，可得出结论. 考查类比的数学思想方法和向量共线定理的运用.4．设集合A ＝[0，12)，B ＝[12，1]，函数()()1,221,x x Af x x x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若x 0∈A ，且f[f(x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( ) A ．(0，14] B ．(14，12) C ．(14，12] D ．[0，38]【答案】B 【解析】【详解】 ∵x 0∈A ，∴f(x 0)＝x 0＋12∈B. ∴f[f(x 0)]＝f(x 0＋12)＝2(1－x 0－12)＝1－2x 0. 又因为f[f(x 0)]∈A ，∴0≤1－2x 0<12，解得14<x 0≤12，又0≤x 0<12.∴14<x 0<12，故选B.二、填空题5．函数sin cos cos sin 44y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期T =___________.【答案】π【解析】利用两角和的正弦公式化简函数表达式，由此求得函数的最小正周期. 【详解】依题意ππsin sin 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数的周期2ππ2T ==. 故填：π. 【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.6．若函数21()12x f x =，(0,)x ∈+∞，则其反函数1()f x -=_________.【答案】2log (1)1x +-,(1,)x ∈+∞【解析】计算二阶行列式化简()f x ,再根据求反函数的步骤可求得反函数. 【详解】因为21()12x f x =1221121x x +=⨯-⨯=-,因为x ∈(0,)+∞,所以()(1,)f x ∈+∞, 所以由121x y +=-得21log (1)x y +=+,所以2log (1)1x y =+-,交换,x y 可得2log (1)1y x =+-, 所以12()log (1)1fx x -=+-,(1,)x ∈+∞,故答案为:2log (1)1x +-, (1,)x ∈+∞. 【点睛】本题考查了二阶行列式的计算,反函数的求法,属于基础题.7．在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点】二项式定理及二项展开式的通项.8．过原点且与圆22420x y x y ++-=相切的直线方程为_______. 【答案】20x y -=【解析】切线的斜率显然存在,设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,列方程可解得答案. 【详解】由22420x y x y ++-=得22(2)(1)5++-=x y ,所以圆心为(2,1)-,因为圆心到y 轴的距离为2,所以所求切线的斜率一定存在, 所以设所求切线方程为y kx =,即0kx y -=,=解得2k =,所以所求切线方程为20x y -=. 故答案为:20x y -=. 【点睛】本题考查了求圆的切线方程,属于基础题.9．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓放粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为__________石；（结果四舍五入，精确到各位）．【答案】169【解析】根据古典概型概率公式可得这批米内夹谷的概率约为28254，所以这批米内夹谷约为281534169254⨯≈石，故答案为169. 10．抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线-=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________. 【答案】6【解析】因为抛物线x 2=2py 的准线2py =-和双曲线-=1相交交点横坐标为=, 6.2x p p =∴=由等边三角形得解得【考点】本题主要考查抛物线的概念、标准方程、几何性质，考查分析问题解决问题的能力.11．若复数z x yi =+（x ，y ∈R ，i 为虚数单位）满足|||22|z z i =--，则33x y +的最小值为_______. 【答案】6【解析】根据复数模的计算公式将|||22|z z i =--化为2y x =-,将其代入到33x y +后,利用基本不等式可求得答案. 【详解】由|||22|z z i =--=化简得2x y +=,即2y x =-, 所以33x y +233x x -=+932363x x =+≥=⨯=,当且仅当 1.1x y ==时等号成立. 故答案为:6 【点睛】本题考查了复数的模的公式,基本不等式求最小值,属于基础题. 12．一个等差数列{}n a 中，2nna a 是一个与n 无关的常数，则此常数的集合为．【答案】11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，公差为d ，()()1211,21n n a a n d a a n d ∴=+-=+-1212n n a a d nd a a d nd-+∴=-+ 2n n a a 是一个与n 无关的常数10a d ∴-=或0d =，所以比值常数为11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【考点】等差数列通项公式13．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球的表面积为______.【答案】169π【解析】把直三棱柱111ABC A B C -的补成一个长方体，则直三棱柱111ABC A B C -的外接球和长方体的外接球是同一个球，由长方体的对角线长等于球的直径，求得球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解．【详解】由题意，直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC ∆为直角三角形，可把直三棱柱111ABC A B C -的补成一个长方体，则直三棱柱111ABC A B C -的外接球和长方体的外接球是同一个球，又由长方体的对角线长等于球的直径，且13,4,12AB AC AA ===，即213R ===，即132R =，所以球的表面积为221344()1692S R πππ==⨯=．故答案为：169π 【点睛】本题主要考查了直三棱柱与球的组合体问题，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14．新一季“中国好声音”开唱，开场节目是四位导师各选一首自己的代表作供其他导师演唱，每人恰好都是唱别人的歌.假设四首歌已选定，则有______种不同演唱方式. 【答案】9【解析】将问题转化为四个元素填四个空的全错位排列后,再按照元素1的位置分3类讨论计算结果相加即可得到. 【详解】将四位导师抽象为四个元素,设为1,2,3,4,四首歌抽象为四个空位,设为1,2,3,4,依题意转化为四个元素填四个空的全错位排列,第一类:元素1填在2号空位,则元素2有3种填法,元素3,4填法唯一,此时共有3种填法; 第二类,元素1填在3号空位,则元素3有3种填法,元素2,4填法唯一,此时共有3种填法;第三类,元素1填在4号空位,则元素4有3种填法,元素2,3填法唯一,此时共有3种填法; 根据分类计算原理可得共有3+3+3=9种填法. 综上所述,共有9种不同的演唱方式. 故答案为:9 【点睛】本题考查了有限制条件的排列问题,属于中档题.15．若函数()2(1)y x x ax b =+++的图象关于点()20，成中心对称，则a b +=______. 【答案】3【解析】在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上取两点(1,0)-,(0,)b ,求出它们关于点(2,0)对称的点(5,0),(4,)b -后,代入()2(1)y x x ax b =+++,解方程组可得答案.【详解】在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上取两点(1,0)-,(0,)b ,则它们关于点(2,0)对称的点(5,0),(4,)b -也在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上, 即(51)(255)0(41)(164)a b a b b +++=⎧⎨+++=-⎩,即52510340a b a b +=-⎧⎨+=-⎩,解得7,10a b =-=,所以3a b +=. 故答案为:3 【点睛】本题考查了函数图象的对称中心的性质,属于基础题.16．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足·2OA OB OAOB===，由点集{|,1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是__________．【答案】【解析】【详解】由|OA |＝|OB |＝OA ·OB ＝2，知cos ∠AOB ＝12，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝3π，又A ，B 是两定点，可设A 1)，B (0,2)，P (x ，y )，由OP ＝λOA ＋μOB，可得{2x y λμ，＝＋⇒{26x y x λμ==-.因为|λ|＋|μ|≤1x＋2y x -≤1，等价于由可行域可得S 0＝12×P 所表示的区域面积S ＝4S 0＝三、解答题17．已知(sin ,1)a α=，(cos ,2)b α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若//a b ，求sin 2α的值；（2）在（1）的条件下，若5cos()13αβ+=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sinβ的值. 【答案】(1)45,(2)65【解析】(1)由//a b 可得1tan 2α=,再由万能公式可得sin 2α的值, (2)利用sin sin()βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+可得答案. 【详解】(1)因为 //a b ,所以2sin cos 0αα-=,即1tan 2α=, 所以2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 1ααααααααα===++2124215()12⨯==+. (2)由(1)知,cos 2sin αα= ,且(0,)2πα∈,所以22sin (2sin )1αα+=,所以21sin 5α=,所以sin α,cos α=, 又(0,)2πβ∈,所以(0,)αβπ+∈,所以12sin()13αβ+===, 所以sin sin()sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+1251313=-=【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,二倍角的正弦公式,同角公式,两角差的正弦公式,属于基础题.18．如图，正四棱锥P ABCD -内接于圆锥，圆锥的轴截面是边长为10cm 的正三角形.（1）求异面直线PA 与BC 所成角的大小；（2）若正四棱锥由圆锥削去一部分得到，则需要削去部分的体积为多少？（精确到30.1cm ）【答案】(1)arccos4,(2)382.3cm .【解析】(1)根据//AD BC 可知, PAD ∠就是异面直线P A 与BC 所成的角,在三角形PAD 中由余弦定理可求得,(2)用圆锥的体积减去正四棱锥的体积即可得到答案. 【详解】(1)在正四棱锥P ABCD -中,//AD BC ,所以PAD ∠就是异面直线P A 与BC 所成的角,在正方形ABCD 中,10AC =,所以AD =, 在三角形PAD 中,10PA PD ==,所以222cos2PA AD PD PAD PA AD +-∠=⨯⨯2224==,所以PAD ∠=,所以异面直线P A 与BC 所成角的大小为.(2)在直角三角形PAO 中,PO ===所以圆锥的体积211133V PO AO π=⋅⋅⋅=⨯25⨯=,正四棱锥P ABCD -的体积221133V PO AD =⋅⋅=⨯23=,所以需要削去部分的体积为12(2)333V V π-=-=-82.3≈. 所以需要削去部分的体积约为82.33cm . 【点睛】本题考查了正四棱锥的结构特征,异面直线所成角,椎体的体积公式,属于中档题. 19．首项为12的无穷等比数列{}n a 所有项的和为1，n S 为{}n a 的前n 项和，又()25log 1n n b S t +-=，常数*t N ∈，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n c 是递减数列，求t 的最小值. 【答案】(1)12n na =,(2)1【解析】(1)根据无穷等比数列{}n a 所有项的和为1,求出公比12q =,再根据等比数列的通项公式可得;(2)求出n S 后代入可得5n b n t =+,1(5)2n n c n t =+⋅,然后根据数列递减可得10n n c c +-<恒成立,由不等式恒成立可得答案.【详解】(1)设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,则111a q =-,所以1211q=-,解得12q =,所以111111()222n n n n a a q--==⨯=, (2)因为11(1)22112n n S -=-112n =-,所以215log (11)2n n b t +-+=, 所以5n b n t =+,所以1(5)2n n n n c a b n t ==+⋅,因为{}n c 是递减数列, 所以1111(55)(5)22n n n n c c n t n t ++-=++⋅-+⋅11(55102)2n n t n t +=++--⋅ +11(55)2n n t =--⋅0< 恒成立,所以550n t --<恒成立,所以55t n >-+恒成立,因为()55f n n =-+为递减函数,所以1n =时,()f n 取得最大值(1)550f =-+=, 所以0t >,又因为*t N ∈,所以t 的最小值为1. 【点睛】本题考查了无穷等比数列的和,等比数列的通项公式和前n 项和,数列的单调性,属于中档题.20．设S 、T 是R 的两个非空子集，如果函数()y f x =满足：①{()|}T f x x S =∈；②对任意1x ，2x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称函数()y f x =为集合S 到集合T 的“保序同构函数”.（1）试写出集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”；（2）求证：不存在从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”；（3）已知2()1xf x x =+是集合[]0,s 到集合[]0,t 的“保序同构函数”，求s 和t 的最大值.【答案】(1) ()tan()2f x x ππ=-(01)x <<,(2)证明见解析,(3)s 的最大值为1,t 的最大值为12【解析】(1)直接由题意写出()tan()2f x x ππ=-(01)x <<即可;(2)用反证法证明即可;(3)用定义证明()f x 在[0,1]上递增,在[1,)+∞上递减后,可得1s ≤,(1)t f ≤. 【详解】(1)取()tan()2f x x ππ=-(01)x <<,该函数是集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”; 证明:任取1201x x <<<, 则122222x x ππππππ-<-<-<,因为tan y x =在(,)22ππ-上为增函数,所以12tan()tan()22x x ππππ-<-, 即12()()f x f x <,由定义可知, 函数()tan()2f x x ππ=-是集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”.(2)证明:假设存在一个从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”,由“保序同构函数”的定义可知,集合Z 和集合Q 中的元素必须是一一对应的,不妨设整数0和1在Q 中的像分别为a 和b ,根据保序性,因为0<1,所以a b <,又2a b +也是有理数,但是2a b+没有确定的原像,因为0和1之间没有另外的整数了,故假设不成立,故不存在从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”.(3)设120x x <<,则12122212()()11x x f x f x x x -=-++21122212()(1)(1)(1)x x x x x x --++, 所以当1201x x <<≤时,21120,10x x x x ->-<,所以12())0(f x f x -<,即12()()f x f x <,所以()f x 在[0,1]上递增,当211x x >≥时, 21120,10x x x x ->->,所以12())0(f x f x ->,即12()()f x f x >, 所以()f x 在[1,)+∞上递减, 因为2()1xf x x =+是集合[]0,s 到集合[]0,t 的“保序同构函数”,所以()f x 在[0,]s 上递增,所以1s ≤,所以s 的最大值为1,t 的最大值为11(1)112f ==+. 【点睛】本题考查了正切函数的单调性,函数单调性的定义,利用单调性求函数的最值,属于难题.。

上海市闵行区七宝中学2019届高三第二学期3月月考数学试题(解析版)

高三数学试题2019-3-25一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）1.已知集合，且，则实数的值是_________.【答案】5【解析】【分析】利用集合的包含关系，推出是的元素，从而可得结果.【详解】，集合，可得，所以，故答案为5 .【点睛】本题主要考查子集的定义，属于基础题.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.2.函数的定义域是_________.【答案】【解析】【分析】由，化为,解分式不等式可得结果.【详解】要使函数有意义，则，即,解得或,即函数的定义域是，故答案为.【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.3.函数的反函数是__________.【答案】【分析】利用指数函数的性质求出原函数的值域，可得反函数的定义域，根据指数与对数的互化关系可得结果.【详解】因为，所以，即原函数的值域是，所以反函数的定义域是，由可得,所以的反函数是，故答案为.【点睛】本题主要考查反函数的基本性质与求解反函数的方法，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 4.如果圆锥的底面积为，母线长为2，那么该圆锥的高为___________.【答案】【解析】【分析】由底面积求出底面半径，利用勾股定理可得结果.【详解】设圆锥底面半径为,因为圆锥的底面积为，所以又因为母线长为2，所以该圆锥的高为，故答案为.【点睛】本题主要考查圆锥的性质，意在考查对基础知识的掌握情况，考查了空间想象能力，属于基础题.5.二项式的展开式中的常数项为．【答案】112【解析】试题分析：由二项式通项可得，（r=0,1,…,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112.考点：二项式通项。

上海市七宝中学2019届高三上学期期末考试数学试题(精品解析)

2019年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题）1.设集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，其中a∈R，下列说法正确的是（）A. 对任意a，P1是P2的子集B. 对任意a，P1不是P2的子集C. 存在a，使得P1不是P2的子集D. 存在a，使得P2是P1的子集【答案】A【解析】【分析】由不等式的性质得：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，不能推出x2+ax+1＞0，由集合间的关系得：P1P2，得解．【详解】解：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，则有x2+ax+1=x2+ax+2-1＞-1，不能推出x2+ax+1＞0，即P1P2，故选：A．【点睛】本题考查了集合间的关系，不等式的性质，属简单题．2.△ABC中，a2：b2=tan A：tan B，则△ABC一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由已知a2：b2=tan A：tan B，利用正弦定理及同角基本关系对式子进行化简，然后结合二倍角公式在进行化简即可判断.【详解】解：∵a2：b2=tan A：tan B，由正弦定理可得，∵sin A sin B≠0∴∴sin A cosA=sin B cosB即sin2A=sin2B∴2A=2B或2A+2B=π∴A=B或A+B=，即三角形为等腰或直角三角形故选：D．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理的应用，式子变形是解题的关键和难点．3.抛物线y=2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M的纵坐标，弦的长度为，即，整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在;（2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;（4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题.4.已知正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，且a n＜2n+1对n∈N*恒成立，则a1的范围为（）A. [1，3]B. （1，3）C. （0，3]D. （0，4）【答案】C【解析】【分析】由条件可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n=1+a n，（a n＞0，b n＞1），运用累乘法，结合不等式恒成立，即可得到所求范围．【详解】解：正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n=1+a n，（a n＞0，b n＞1）即有b2≥2b1，b3≥2b2，…，b n≥2b n-1，累乘可得b n≥b1•2n-1，可得1+a n≥（1+a1）•2n-1，又a n＜2n+1对n∈N*恒成立，可得1+2n+1＞1+a n≥（1+a1）•2n-1，即有1+2n+1＞（1+a1）•2n-1，可得a1＜3+恒成立，由3+＞3，可得0＜a1≤3．故选：C．【点睛】本题考查数列的递推式，注意累乘法的运用，考查等比数列的通项公式，考查不等式的性质和恒成立思想，属于中档题．二、填空题（本大题共12小题）5.设A={x||x|≤2018，x∈R}，B={x|y=，x∈R}，则A∩B=______．【答案】【解析】【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【详解】解：A={x|-2018≤x≤2018}，B={2019}；∴A∩B=∅．故答案为：∅．【点睛】考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算6.已知定义域在[-1，1]上的函数y=f（x）的值域为[-2，0]，则函数y=f（cos）的值域是______．【答案】[-2，0]【解析】【分析】可以看出-1，从而对应的函数值，这便得出了该函数的值域．【详解】解：∵cos∈[-1，1]；∴；即y∈[-2，0]；∴该函数的值域为[-2，0]．故答案为：[-2，0]．【点睛】考查函数定义域、值域的概念，本题可换元求值域：令cos=t，-1≤t≤1，从而得出f（t）∈[-2，0]．7.若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），则实数a等于______．【答案】4【解析】【分析】推导出|ax-2|＜6的解集为（-1，2），从而-4＜ax＜8解集为（-1，2），由此能求出a的值．【详解】解：∵行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），∴|ax-2|＜6的解集为（-1，2），∴-6＜ax-2＜6，即-4＜ax＜8解集为（-1，2），解得a=4．故答案为：4．【点睛】本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.在（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是______．【答案】（，）【解析】【分析】设f（x）=sin3x-cos3x，x∈（0，2π），化f（x）=（sin x-cos x）（1+sin2x），判断sin x-cos x＞0时f（x）＞0，由此求出不等式成立的x的取值范围．【详解】解：由题意，设f（x）=sin3x-cos3x，x∈（0，2π），∴f（x）=（sin x-cos x）（sin2x+sin x cosx+cos2x）=（sin x-cos x）（1+sin2x），又1+sin2x＞0恒成立，∴sin x-cos x＞0，即sin x＞cos x，即＜x＜时，f（x）＞0，∴（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化应用问题，是中档题．9.在等差数列{a n}中，S7=8，则a4=______．【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质及前n项和列式求解．【详解】解：在等差数列{a n}中，由S7=，得．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的性质，是基础题．10.已知f（x+1）=2x-2，那么f-1（2）的值是______．【答案】3【解析】【分析】令t=x+1，将已知等式中的x一律换为t，求出f（t）即得到f（x），然后令f（x）=2x-1-2=2，求出相应的x，即为f-1（2）的值．【详解】解：令t=x+1则x=t-1所以f（t）=2t-1-2所以f（x）=2x-1-2令f（x）=2x-1-2=2，解得x=3∴f-1（2）=3故答案为：3．【点睛】已知f（ax+b）的解析式，求f（x）的解析式，一般用换元的方法或配凑的方法，换元时，注意新变量的范围，同时考查了反函数求值，属于基础题．11.甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为______．【答案】【解析】【分析】4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有12种，其中甲丙相邻的只有4种，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率．【详解】解：甲、乙相邻的方法有=12种情况，如果满足甲、丙相邻，则有4种情况，所以所求的概率为P=故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12.若P（x，y）是双曲线上的动点，则|x-y|最小值是______．【答案】2【解析】【分析】利用双曲线方程，通过三角代换转化求解x，y，然后求解|x-y|的最小值．【详解】解：P（x，y）是双曲线上的动点，设：x=，y=2tanθ，所以|x-y|=|-2tanθ|=，表达式的几何意义是单位圆上的点与（0，）斜率的2倍，可得：2∈[2，2+2]，故答案为：2【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．13.设点P到平面α的距离为，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于30°且不大于60°，则这样的PQ所构成的区域体积为______．【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，分别求出两个圆锥的半径，代入圆锥体积公式作差即可．【详解】解：如图，过P作PO⊥α，则PO=，当∠PQO=60°时，OQ=1，当∠PQO=30°时，OQ=3．∴PQ所构成的区域体积为V=．故答案为：．【点睛】本题考查圆锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．14.已知AB为单位圆上弦长为的弦，P为单位圆上的点，若f（λ）=的最小值为m（其中λ∈R），当点P在单位圆上运动时，则m的最大值为______．【答案】【解析】【分析】设λ，根据向量减法的运算法则，转化为点到直线的距离，利用直线和圆相交时的垂径定理结合勾股定理进行求解即可．【详解】解：设λ，则f（λ）===，又C点在直线AB上，要求f（λ）最小值，等价为求出的最小值，显然当CP⊥AB时，CP最小，可得f（λ）的最小值m为点P到AB的距离，∵|AB|=，∴|BC|=，则|OC|=则|CP|=|OP|+|OC|=1+=，即m的最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查向量共线定理的运用，以及圆的垂径定理和勾股定理的运用，利用向量的基本运算结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．15.已知函数f（a，x）=sin x+cos x随着a，x在定义域内变化时，该函数的最大值为______【答案】【解析】【分析】运用辅助角公式和正弦函数的值域可得f（a，x）≤，再由柯西不等式，计算可得所求最大值．【详解】解：函数f（a，x）=sin x+cos x=sin（x+θ）（θ为辅助角），即有f（a，x）≤（sin（x+θ）=1取得等号），由柯西不等式可得（）2≤（1+1）（a+1-a）=2，当且仅当a=时，取得等号，即有≤，即f（a，x）的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用辅助角公式和正弦函数的值域，以及柯西不等式，考查运算能力，属于中档题．16.已知定义在上的函数f（x）=，设a，b，c为三个互不相同的实数，满足f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围为______．【答案】（81，144）【解析】【分析】先判断函数的性质以及图象的特点，设a＜b＜c，由图象得ab是个定值，利用数形结合的思想去解决即可．【详解】解：作出f（x）的图象如图：当x＞9时，由f（x）=4-=0，得x=16，若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c，因为f（a）=f（b）=f（c），所以由图象可知0＜a＜3＜b＜9，9＜c＜16，由f（a）=f（b），得1-log3a=log3b-1，即log3a+log3b=2，即log3（ab）=2，则ab=9，所以abc=9c，因为9＜c＜16，所以81＜9c＜144，即81＜abc＜144，所以abc的取值范围是（81，144）．故答案为：（81，144）．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合得到ab是个常数是解决本题的关键．综合考查学生的推理能力．三、解答题（本大题共5小题）17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图），AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点．（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D1CDE是否为鳖臑？并说明理由．【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，即∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角，解三角形可得△AD1F为等边三角形，从而得到异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）证明DE⊥CE，进一步得到D1E⊥CE，可知四面体D1CDE是鳖臑．【详解】解：（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，∴∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，由AD=AA1=1，AB=2，得∴△AD1F为等边三角形，则．∴异面直线AD1与EC所成角的大小为；（2）连接DE，∵E为AB的中点，∴DE=EC=，又CD=2，∴DE2+CE2=DC2，得DE⊥CE．∵D1D⊥底面DEC，则D1D⊥CE，∴CE⊥平面D1DE，得D1E⊥CE．∴四面体D1CDE的四个面都是直角三角形，故四面体D1CDE是鳖臑．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.设S，T是R的两个非空子集，如果函数y=f（x）满足：①T={f（x）|x∈S}；②对任意x1，x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称函数y=f（x）为集合S到集合T的“保序同构函数”．（1）试判断下列函数f（x）=，f（x）=tan（πx-）是否是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数；请说明理由．（2）若f（x）=是集合[0，s]到集合[0，t]是保序同构函数，求s和t的最大值．【答案】（1）见解析；（2）s的最大值为1，t的最大值为【解析】【分析】（1）根据集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数的定义，判断函数是否是单调递增函数即可；（2）利用导数研究函数f（x）=在x≥0上的单调区间，结合保序同构函数的定义进行求解即可．【详解】解：（1）由②知，函数为增函数即可．若f（x）=，当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，函数y=为增函数，同时y=为增函数，即f（x）=增函数，满足条件．若f（x）=tan（πx-），当0＜x＜1时，0＜πx＜π，-＜πx-＜，此时函数f（x）为增函数，满足条件．即两个函数都是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数．（2）函数f（x）为f′（x）==，当x＞0时，由f′（x）＞0得1-x2＞0得x2＜1，得0＜x＜1，由f′（x）＜0得1-x2＜0得x2＞1，即x＞1，即函数f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，则s的最大值为1，t的最大值为f（1）=．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，结合新定义保序同构函数转化为判断函数的单调性是解决本题的关键．19.如图，已知一个长方形展览大厅长为20m，宽为16m，展厅入口位于其长边的中间位置，为其正中央有一个圆心为C的圆盘形展台，现欲在展厅一角B点处安装一个监控摄像头对展台与入口进行监控（如图中阴影所示），要求B与圆C在同一水平面上．（1）若圆盘半径为2m，求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值；（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60°，求圆盘半径的最大值．（注：水平摄像视角指镜头中心点与水平观察物体边缘的视线的夹角）【答案】(1) 1+ (2) 5-4【解析】【分析】（1）分别求出∠ABC和∠CBE的正切值，利用两角和的正切公式计算；（2）利用两角差的正切公式计算tan∠CBE，再根据正切的定义列方程求出圆的半径．【详解】解：（1）过C作入口所在边的高AC，垂足为A，由题意可知AC=8，AB=10，BC==2，∴tan∠ABC=，过B作圆C的切线BE，切点为E，则CE⊥BE，CE=2，且∠ABE为监控摄像头最小水平摄像视角．∵BE==12，∴tan∠CBE=，∴tan∠ABE=tan（∠ABC+∠CBE）=1+．∴当圆盘半径为2时，监控摄像头最小水平摄像视角的正切值为1+．（2）过B作直线BD，使得∠ABD=60°，过C作CM⊥BD，垂足为M，则∠CBD=60°-∠ABC，∴tan∠CBD=tan（60°-∠ABC）=．设圆盘的最大半径为r，则tan∠CBD=．解得r=5-4．∴圆盘的最大半径为5-4．【点睛】本题考查了函数模型的应用，直线与圆的位置关系，属于中档题．20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F1任作一条与坐标轴都不垂直的直线，与C交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．当直线AB的斜率为时，AF2与x轴垂直．（1）求椭圆C的方程（2）若A是该椭圆上位于第一象限的一点，过A作圆x2+y2=b2的切线，切点为P，求|AF1|-|AP|的值；（3）设P（0，m）（m≠±b）为定点，直线l过点P与x轴交于点Q，且与椭圆交于C，D两点，设，，，求λ+μ的值．【答案】（1）=1（2）2（3）【解析】【分析】（1）根据题意4a=8，再根据勾股定理求出c=1，即可求出椭圆方程，（2）由题意，根据直线和圆相切，以及勾股定理可得AF1|=2+x0，|PA|=x0，即可求出|AF1|-|AP|的值（3）根据向量的运算可得λ+μ=2+m（+），再题意直线l的方程为x=y（x+m），代入，由此利用韦达定理结合已知条件，即可求出．【详解】解：（1）∵△ABF2的周长为8，∴4a=8，即a=2，∵tan∠AF1F2=，设|AF2|=3m，则|F1F2|=2c=4m，∴|AF1|=5m，∵|AF1|+|AF2|=2a=4，∴3m+5m=4，∴m=，∴2c=2，∴c=1，∴b2=a2-c2=3，∴椭圆C的方程=1，（2）设A（x0，y0），则=1，（|x0|＜2）∴|AF1|2=（x0+1）2+y02=（x0+4）2，∴|AF1|=2+x0，连接OP，OP，由相切条件知：|PA|2=|OP|2-|OP|2=x02+y02-3=x02+3-x02-3=x02，∴|PA|=x0，∴|AF1|-|AP|=2+x0-x0=2．（3）设C（x1，y1），D（x2，y2），显然可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=k（y-m），令y=0，可得x=-km，则Q（-km，0），由，得（x1+km，y1）=λ（x1，y1-m），则y1=λ（y1-m），即λ==1+，，可得（x2+km，y2）=μ（x2，y2-m），即μ=1+将x=k（y-m），代入椭圆=1中（4+3k2）y2-6mk2y+3k2m2-12=0，由韦达定理得y1+y2=，y1y2=，∴λ+μ=2+m（+）=2+m•=2+==．【点睛】本题考查椭圆的求法，考查直线和椭圆的位置关系，韦达定理，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.设正项数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，q为非零正常数，已知对任意整数n，m，当n＞m时，S n-S m=q m•S n-m 恒成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明数列是递增数列；（3）是否存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列？若存在，求出常数c的值；若不存在，说明理由．【答案】（1) a n=q n-1 (2)见证明 (2)见解析【解析】【分析】（1）由已知条件，可令m=n-1，代入结合数列的递推式，即可得到所求通项公式；（2）讨论公比q是否为1，求得S n，以及，由单调性的定义即可得证；（3）假设存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列，结合对数的运算性质和等差数列的通项公式，即可得到所求结论．【详解】解：（1）因为对任意正整数n，m，当n＞m时，S n-S m=q m•S n-m总成立，所以n≥2时，令m=n-1，得到S n-S n-1=q n-1•S1，即a n=a1q n-1=q n-1，当n=1时，也成立，所以a n=q n-1，（2）证明：当q=1时，S n=n，=随着n的增大而增大；当q＞0，q≠1时，S n=，，由＜0，可得数列{}是递增数列；（3）假设存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列．当q=1时，S n=n，q≠1时，S n=，{lg（c-S n）}为等差数列，可得q≠1，lg（c-+）=lg=n lg q-lg（1-q）为等差数列，即有c=（0＜q＜1），【点睛】本题考查数列的通项和求和的关系，考查等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的单调性的判断，考查运算能力，属于中档题．。

【优选】上海市七宝中学2019年高三上学期期末考试数学试题(精品解析)

2019年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题）1.设集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，其中a∈R，下列说法正确的是（）A. 对任意a，P1是P2的子集B. 对任意a，P1不是P2的子集C. 存在a，使得P1不是P2的子集D. 存在a，使得P2是P1的子集【答案】A【解析】【分析】由不等式的性质得：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，不能推出x2+ax+1＞0，由集合间的关系得：P1P2，得解．【详解】解：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，则有x2+ax+1=x2+ax+2-1＞-1，不能推出x2+ax+1＞0，即P1P2，故选：A．【点睛】本题考查了集合间的关系，不等式的性质，属简单题．2.△ABC中，a2：b2=tan A：tan B，则△ABC一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由已知a2：b2=tan A：tan B，利用正弦定理及同角基本关系对式子进行化简，然后结合二倍角公式在进行化简即可判断.【详解】解：∵a2：b2=tan A：tan B，由正弦定理可得，∵sin A sin B≠0∴∴sin A cosA=sin B cosB即sin2A=sin2B∴2A=2B或2A+2B=π∴A=B或A+B=，即三角形为等腰或直角三角形故选：D．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理的应用，式子变形是解题的关键和难点．3.抛物线y=2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M的纵坐标，弦的长度为，即，整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在;（2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;（4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题.4.已知正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，且a n＜2n+1对n∈N*恒成立，则a1的范围为（）A. [1，3]B. （1，3）C. （0，3]D. （0，4）【答案】C【解析】【分析】由条件可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n=1+a n，（a n＞0，b n＞1），运用累乘法，结合不等式恒成立，即可得到所求范围．【详解】解：正数数列{a n}满足a n+1≥2a n+1，可得1+a n+1≥2（a n+1），设b n=1+a n，（a n＞0，b n＞1）即有b2≥2b1，b3≥2b2，…，b n≥2b n-1，累乘可得b n≥b1•2n-1，可得1+a n≥（1+a1）•2n-1，又a n＜2n+1对n∈N*恒成立，可得1+2n+1＞1+a n≥（1+a1）•2n-1，即有1+2n+1＞（1+a1）•2n-1，可得a1＜3+恒成立，由3+＞3，可得0＜a1≤3．故选：C．【点睛】本题考查数列的递推式，注意累乘法的运用，考查等比数列的通项公式，考查不等式的性质和恒成立思想，属于中档题．二、填空题（本大题共12小题）5.设A={x||x|≤2018，x∈R}，B={x|y=，x∈R}，则A∩B=______．【答案】【解析】【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【详解】解：A={x|-2018≤x≤2018}，B={2019}；∴A∩B=∅．故答案为：∅．【点睛】考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算6.已知定义域在[-1，1]上的函数y=f（x）的值域为[-2，0]，则函数y=f（cos）的值域是______．【答案】[-2，0]【解析】【分析】可以看出-1，从而对应的函数值，这便得出了该函数的值域．【详解】解：∵cos∈[-1，1]；∴；即y∈[-2，0]；∴该函数的值域为[-2，0]．故答案为：[-2，0]．【点睛】考查函数定义域、值域的概念，本题可换元求值域：令cos=t，-1≤t≤1，从而得出f（t）∈[-2，0]．7.若行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），则实数a等于______．【答案】4【解析】【分析】推导出|ax-2|＜6的解集为（-1，2），从而-4＜ax＜8解集为（-1，2），由此能求出a的值．【详解】解：∵行列式的展开式的绝对值小于6的解集为（-1，2），∴|ax-2|＜6的解集为（-1，2），∴-6＜ax-2＜6，即-4＜ax＜8解集为（-1，2），解得a=4．故答案为：4．【点睛】本题考查实数值的求法，考查行列式展开法则、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.在（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是______．【答案】（，）【解析】【分析】设f（x）=sin3x-cos3x，x∈（0，2π），化f（x）=（sin x-cos x）（1+sin2x），判断sin x-cos x ＞0时f（x）＞0，由此求出不等式成立的x的取值范围．【详解】解：由题意，设f（x）=sin3x-cos3x，x∈（0，2π），∴f（x）=（sin x-cos x）（sin2x+sin x cosx+cos2x）=（sin x-cos x）（1+sin2x），又1+sin2x＞0恒成立，∴sin x-cos x＞0，即sin x＞cos x，即＜x＜时，f（x）＞0，∴（0，2π）内使sin3x＞cos3x成立的x的取值范围是（，）．故答案为：（，）．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化应用问题，是中档题．9.在等差数列{a n}中，S7=8，则a4=______．【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质及前n项和列式求解．【详解】解：在等差数列{a n}中，由S7=，得．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的性质，是基础题．10.已知f（x+1）=2x-2，那么f-1（2）的值是______．【答案】3【解析】【分析】令t=x+1，将已知等式中的x一律换为t，求出f（t）即得到f（x），然后令f（x）=2x-1-2=2，求出相应的x，即为f-1（2）的值．【详解】解：令t=x+1则x=t-1所以f（t）=2t-1-2所以f（x）=2x-1-2令f（x）=2x-1-2=2，解得x=3∴f-1（2）=3故答案为：3．【点睛】已知f（ax+b）的解析式，求f（x）的解析式，一般用换元的方法或配凑的方法，换元时，注意新变量的范围，同时考查了反函数求值，属于基础题．11.甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为______．【答案】【解析】【分析】4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有12种，其中甲丙相邻的只有4种，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率．【详解】解：甲、乙相邻的方法有=12种情况，如果满足甲、丙相邻，则有4种情况，所以所求的概率为P=故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12.若P（x，y）是双曲线上的动点，则|x-y|最小值是______．【答案】2【解析】【分析】利用双曲线方程，通过三角代换转化求解x，y，然后求解|x-y|的最小值．【详解】解：P（x，y）是双曲线上的动点，设：x=，y=2tanθ，所以|x-y|=|-2tanθ|=，表达式的几何意义是单位圆上的点与（0，）斜率的2倍，可得：2∈[2，2+2]，故答案为：2【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．13.设点P到平面α的距离为，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于30°且不大于60°，则这样的PQ所构成的区域体积为______．【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，分别求出两个圆锥的半径，代入圆锥体积公式作差即可．【详解】解：如图，过P作PO⊥α，则PO=，当∠PQO=60°时，OQ=1，当∠PQO=30°时，OQ=3．∴PQ所构成的区域体积为V=．故答案为：．【点睛】本题考查圆锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．14.已知AB为单位圆上弦长为的弦，P为单位圆上的点，若f（λ）=的最小值为m（其中λ∈R），当点P在单位圆上运动时，则m的最大值为______．【答案】【解析】【分析】设λ，根据向量减法的运算法则，转化为点到直线的距离，利用直线和圆相交时的垂径定理结合勾股定理进行求解即可．【详解】解：设λ，则f（λ）===，又C点在直线AB上，要求f（λ）最小值，等价为求出的最小值，显然当CP⊥AB时，CP最小，可得f（λ）的最小值m为点P到AB的距离，∵|AB|=，∴|BC|=，则|OC|=则|CP|=|OP|+|OC|=1+=，即m的最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查向量共线定理的运用，以及圆的垂径定理和勾股定理的运用，利用向量的基本运算结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．15.已知函数f（a，x）=sin x+cos x随着a，x在定义域内变化时，该函数的最大值为______【答案】【解析】【分析】运用辅助角公式和正弦函数的值域可得f（a，x）≤，再由柯西不等式，计算可得所求最大值．【详解】解：函数f（a，x）=sin x+cos x=sin（x+θ）（θ为辅助角），即有f（a，x）≤（sin（x+θ）=1取得等号），由柯西不等式可得（）2≤（1+1）（a+1-a）=2，当且仅当a=时，取得等号，即有≤，即f（a，x）的最大值为．故答案为：．【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用辅助角公式和正弦函数的值域，以及柯西不等式，考查运算能力，属于中档题．16.已知定义在上的函数f（x）=，设a，b，c为三个互不相同的实数，满足f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围为______．【答案】（81，144）【解析】【分析】先判断函数的性质以及图象的特点，设a＜b＜c，由图象得ab是个定值，利用数形结合的思想去解决即可．【详解】解：作出f（x）的图象如图：当x＞9时，由f（x）=4-=0，得x=16，若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c，因为f（a）=f（b）=f（c），所以由图象可知0＜a＜3＜b＜9，9＜c＜16，由f（a）=f（b），得1-log3a=log3b-1，即log3a+log3b=2，即log3（ab）=2，则ab=9，所以abc=9c，因为9＜c＜16，所以81＜9c＜144，即81＜abc＜144，所以abc的取值范围是（81，144）．故答案为：（81，144）．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合得到ab是个常数是解决本题的关键．综合考查学生的推理能力．三、解答题（本大题共5小题）17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图），AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点．（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D1CDE是否为鳖臑？并说明理由．【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，即∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角，解三角形可得△AD1F为等边三角形，从而得到异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）证明DE⊥CE，进一步得到D1E⊥CE，可知四面体D1CDE是鳖臑．【详解】解：（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，∴∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，由AD=AA1=1，AB=2，得∴△AD1F为等边三角形，则．∴异面直线AD1与EC所成角的大小为；（2）连接DE，∵E为AB的中点，∴DE=EC=，又CD=2，∴DE2+CE2=DC2，得DE⊥CE．∵D1D⊥底面DEC，则D1D⊥CE，∴CE⊥平面D1DE，得D1E⊥CE．∴四面体D1CDE的四个面都是直角三角形，故四面体D1CDE是鳖臑．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.设S，T是R的两个非空子集，如果函数y=f（x）满足：①T={f（x）|x∈S}；②对任意x1，x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称函数y=f（x）为集合S到集合T的“保序同构函数”．（1）试判断下列函数f（x）=，f（x）=tan（πx-）是否是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数；请说明理由．（2）若f（x）=是集合[0，s]到集合[0，t]是保序同构函数，求s和t的最大值．【答案】（1）见解析；（2）s的最大值为1，t的最大值为【解析】【分析】（1）根据集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数的定义，判断函数是否是单调递增函数即可；（2）利用导数研究函数f（x）=在x≥0上的单调区间，结合保序同构函数的定义进行求解即可．【详解】解：（1）由②知，函数为增函数即可．若f（x）=，当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，函数y=为增函数，同时y=为增函数，即f（x）=增函数，满足条件．若f（x）=tan（πx-），当0＜x＜1时，0＜πx＜π，-＜πx-＜，此时函数f（x）为增函数，满足条件．即两个函数都是集合A={x|0＜x＜1}到集合R的保序同构函数．（2）函数f（x）为f′（x）==，当x＞0时，由f′（x）＞0得1-x2＞0得x2＜1，得0＜x＜1，由f′（x）＜0得1-x2＜0得x2＞1，即x＞1，即函数f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，则s的最大值为1，t的最大值为f（1）=．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，结合新定义保序同构函数转化为判断函数的单调性是解决本题的关键．19.如图，已知一个长方形展览大厅长为20m，宽为16m，展厅入口位于其长边的中间位置，为其正中央有一个圆心为C的圆盘形展台，现欲在展厅一角B点处安装一个监控摄像头对展台与入口进行监控（如图中阴影所示），要求B与圆C在同一水平面上．（1）若圆盘半径为2m，求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值；（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60°，求圆盘半径的最大值．（注：水平摄像视角指镜头中心点与水平观察物体边缘的视线的夹角）【答案】(1) 1+ (2) 5-4【解析】【分析】（1）分别求出∠ABC和∠CBE的正切值，利用两角和的正切公式计算；（2）利用两角差的正切公式计算tan∠CBE，再根据正切的定义列方程求出圆的半径．【详解】解：（1）过C作入口所在边的高AC，垂足为A，由题意可知AC=8，AB=10，BC==2，∴tan∠ABC=，过B作圆C的切线BE，切点为E，则CE⊥BE，CE=2，且∠ABE为监控摄像头最小水平摄像视角．∵BE==12，∴tan∠CBE=，∴tan∠ABE=tan（∠ABC+∠CBE）=1+．∴当圆盘半径为2时，监控摄像头最小水平摄像视角的正切值为1+．（2）过B作直线BD，使得∠ABD=60°，过C作CM⊥BD，垂足为M，则∠CBD=60°-∠ABC，∴tan∠CBD=tan（60°-∠ABC）=．设圆盘的最大半径为r，则tan∠CBD=．解得r=5-4．∴圆盘的最大半径为5-4．【点睛】本题考查了函数模型的应用，直线与圆的位置关系，属于中档题．20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F1任作一条与坐标轴都不垂直的直线，与C交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．当直线AB的斜率为时，AF2与x轴垂直．（1）求椭圆C的方程（2）若A是该椭圆上位于第一象限的一点，过A作圆x2+y2=b2的切线，切点为P，求|AF1|-|AP|的值；（3）设P（0，m）（m≠±b）为定点，直线l过点P与x轴交于点Q，且与椭圆交于C，D两点，设，，，求λ+μ的值．【答案】（1）=1（2）2（3）【解析】【分析】（1）根据题意4a=8，再根据勾股定理求出c=1，即可求出椭圆方程，（2）由题意，根据直线和圆相切，以及勾股定理可得AF1|=2+x0，|PA|=x0，即可求出|AF1|-|AP|的值（3）根据向量的运算可得λ+μ=2+m（+），再题意直线l的方程为x=y（x+m），代入，由此利用韦达定理结合已知条件，即可求出．【详解】解：（1）∵△ABF2的周长为8，∴4a=8，即a=2，∵tan∠AF1F2=，设|AF2|=3m，则|F1F2|=2c=4m，∴|AF1|=5m，∵|AF1|+|AF2|=2a=4，∴3m+5m=4，∴m=，∴2c=2，∴c=1，∴b2=a2-c2=3，∴椭圆C的方程=1，（2）设A（x0，y0），则=1，（|x0|＜2）∴|AF1|2=（x0+1）2+y02=（x0+4）2，∴|AF1|=2+x0，连接OP，OP，由相切条件知：|PA|2=|OP|2-|OP|2=x02+y02-3=x02+3-x02-3=x02，∴|PA|=x0，∴|AF1|-|AP|=2+x0-x0=2．（3）设C（x1，y1），D（x2，y2），显然可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=k（y-m），令y=0，可得x=-km，则Q（-km，0），由，得（x1+km，y1）=λ（x1，y1-m），则y1=λ（y1-m），即λ==1+，，可得（x2+km，y2）=μ（x2，y2-m），即μ=1+将x=k（y-m），代入椭圆=1中（4+3k2）y2-6mk2y+3k2m2-12=0，由韦达定理得y1+y2=，y1y2=，∴λ+μ=2+m（+）=2+m•=2+==．【点睛】本题考查椭圆的求法，考查直线和椭圆的位置关系，韦达定理，考查两数和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.设正项数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，q为非零正常数，已知对任意整数n，m，当n＞m时，S n-S m=q m•S n-m恒成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明数列是递增数列；（3）是否存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列？若存在，求出常数c的值；若不存在，说明理由．【答案】（1) a n=q n-1 (2)见证明 (2)见解析【解析】【分析】（1）由已知条件，可令m=n-1，代入结合数列的递推式，即可得到所求通项公式；（2）讨论公比q是否为1，求得S n，以及，由单调性的定义即可得证；（3）假设存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列，结合对数的运算性质和等差数列的通项公式，即可得到所求结论．【详解】解：（1）因为对任意正整数n，m，当n＞m时，S n-S m=q m•S n-m总成立，所以n≥2时，令m=n-1，得到S n-S n-1=q n-1•S1，即a n=a1q n-1=q n-1，当n=1时，也成立，所以a n=q n-1，（2）证明：当q=1时，S n=n，=随着n的增大而增大；当q＞0，q≠1时，S n=，，由＜0，可得数列{}是递增数列；（3）假设存在正常数c使得{lg（c-S n）}为等差数列．当q=1时，S n=n，q≠1时，S n=，{lg（c-S n）}为等差数列，可得q≠1，lg（c-+）=lg=n lg q-lg（1-q）为等差数列，即有c=（0＜q＜1），【点睛】本题考查数列的通项和求和的关系，考查等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的单调性的判断，考查运算能力，属于中档题．。

2019年最新高三题库七宝中学2019届高三下学期摸底考试数学试卷

上海市七宝中学高三（下）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，共56分）1．（4分）已知集合A={﹣1，0，a}，B={x|1＜2x＜2}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（0，1）．2．（4分）函数的最小正周期为π．解：函数=3．（4分）（2011•东城区一模）在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于=42．4．（4分）若tanα=﹣2，α是直线y=kx+b的倾斜角，则α=π﹣arctan2．（用α的反正切表示）5．（4分）（2011•南通一模）设（1+2i）z=3﹣4i（i为虚数单位），则|Z|=||．故答案为：6．（4分）（2013•嘉定区二模）求值：=﹣1．由二项式定理可知解：∵7．（4分）已知平面向量，若，则=．表示出向量解：设，的夹角为，则cos，即，，即，，代入，故答案为：．8．（4分）（2013•嘉定区二模）设a＞0，a≠1，行列式中第3行第2列的代数余子式记作y，函数y=f （x）的反函数图象经过点（2，1），则a=4．=9．（4分）已知P是椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，则的最小值为．（当且仅当≥（当且仅当的最小值为故答案为：10．（4分）（2010•镇江一模）已知{a n}是等差数列，设T n=|a1|+|a2|+…+|a n|（n∈N*）．某学生设计了一个求T n的部分算法流程图（如图），图中空白处理框中是用n的表达式对T n赋值，则空白处理框中应填入：T n←n2﹣9n+40．=11．（4分）不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为[1，3]．若不等式解：∵||故不等式质，将不等式12．（4分）定义在R上的函数f（x）满足f（m+n2）=f（m）+2[f（n）]2，其中m，n∈R，且f（1）≠0．则f（2013）=4024[f（1）]2 +f（1）．13．（4分）设a∈R，若x＞0时均有（ax﹣1）（x2﹣2ax﹣1）≥0，则a=．，（（，，代入得：=0，或（舍去）故答案为14．（4分）（理）设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c；则下列命题正确的是①②③．①若ab＞c2；则C＜②若a+b＞2c；则C＜③若a3+b3=c3；则C＜④若（a+b）c＜2ab；则C＞．≥，即，所以，，所以假设＜15．（文）对于任意的平面向量，定义新运算⊕：．若为平面向量，k∈R，则下列运算性质一定成立的所有序号是①③．①=；②；③；④．①⊕⊕，故正确；⊕=⊕⊕≠⊕，⊕⊕=⊕）⊕=⊕（⊕⊕）⊕，⊕⊕=⊕⊕=（x1+x2，y1y2）+（x1+x3，y1y3）=（2x1+x2+x3，y1（y2+y3）），⊕（⊕⊕⊕二、选择题（每小题5分，共20分）17．（5分）已知圆x2+y2=2，直线l与圆O相切于第一象限，切点为C，并且与坐标轴相交于点A、B，则当线段的方程为（AB=≥18．（5分）（2012•松江区三模）已知各项均不为零的数列{a n}，定义向量，，*∥成立，则数列∥成立，则数列⊥成立，则数列⊥成立，则数列⇒解：由，）＜，故，20．（文）已知函数f（x）=2sinx+3tanx．项数为27的等差数列{a n}满足a n∈（），且公差d≠0．若f（a1）（﹣，）三、解答题（12+14+14+16+18，共74分）21．（12分）试判断定义域为[﹣1，1]上的函数f（x）为奇函数是f（0）=0的什么条件？并说明理由．22．（14分）已知ABCD﹣A1B1C1D1是底面边长1正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成的角为，求该棱柱的侧面积；（2）（理）若点C到平面AB1D1的距离为，求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．（3）（文）设高AA1=2，求四面体AB1D1C的体积．，则则该棱柱的侧面积为．⇔的体积为的体积为的体积为．23．（14分）已知函数，a∈R且a≠0．（1）若对∀x∈R，都有f（x）≤0，求a的取值范围；（2）若a≥2，且∃x∈R，使得f（x）≤0，求a的取值范围．．令，则任意．，恒成立的充要条件是，所以所以因此的充要条件是24．（16分）已知椭圆方程为C：=1，它的左、右焦点分别为F1、F2．点P（x0，y0）为第一象限内的点．直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．（1）求椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角；（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2．试找出使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k OA、k OB、k OC、k OD满足k OA+k OB+k OC+k OD=0成立的条件（用k1、k2表示）．（3）又已知点E为抛物线y2=2px（p＞0）上一点，直线F2E与椭圆C的交点G在y轴的左侧，且满足，求p的最大值．=﹣≥﹣﹣=+﹣），∴=，12p=，则﹣﹣t=时，的最大值为25．（18分）设数列{a n}的通项公式为a n=an+b（n∈N*，a＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．（1）若a=2，b=﹣3，求b10；（2）若a=2，b=﹣1，求数列{b m}的前2m项和公式；（3）是否存在a和b，使得？如果存在，求a和b的取值范围；如果不存在，请说明理由．．根据≤≤＜﹣，从而得出结论．．+=m．≤）a=，可得﹣﹣＜﹣，即﹣，进过检验，满足条，使得a=，且﹣≤＜﹣．。

上海市七宝中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

上海市七宝中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知是虚数单位，若复数)(3i a i +-（R a ∈）的实部与虚部相等，则=a （）A ．1-B ．2-C ．D ． 2．已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x B x x R =≤∈，则集合U A C B 为（）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力. 3．给出函数()f x ，()g x 如下表，则(())f g x 的值域为（）A ．{}4,2B ．{}1,3C ．{}1,2,3,4D ．以上情况都有可能4．过点),2(a M -，)4,(a N 的直线的斜率为21-，则=||MN （） A ．10 B ．180 C ．36 D ．565．设n S 是等差数列{}n a 的前项和，若5359a a =，则95S S =（）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 2 D ． ﹣27．已知函数22()32f x x ax a =+-，其中(0,3]a ∈，()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立，在1和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为T ，则T =（） A ．20152B ．20153C ．201523D ．2015228．正方体1111D ABC A B C D - 中，,E F 分别为1,AB B C 的中点，则EF 与平面ABCD 所成角的正切值为（）A ．B 2 C. 12 D 29．已知，则tan2α=（）A．B．C．D．10．在ABC ∆中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（）A ．B ． C. D11．已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．或 D ．或12．若函数f （x ）=log a （2x 2+x ）（a ＞0且a ≠1）在区间（0，）内恒有f （x ）＞0，则f （x ）的单调递增区间为（）A ．（﹣∞，）B ．（﹣，+∞）C ．（0，+∞）D ．（﹣∞，﹣）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．设x R ∈，记不超过x 的最大整数为[]x ，令{}[]x x x =-.现有下列四个命题: ①对任意的x ，都有1[]x x x -<≤恒成立； ②若(1,3)x ∈，则方程{}22sincos []1x x +=的实数解为6π-；③若3n n a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（n N *∈），则数列{}n a 的前3n 项之和为23122n n -；④当0100x ≤≤时，函数{}22()sin []sin 1f x x x =+-的零点个数为m ，函数{}()[]13xg x x x =⋅--的零点个数为n ，则100m n +=.其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。

2019届上海市七宝中学高三上学期摸底考试数学试题(解析版)

2019届上海市七宝中学高三上学期摸底考试数学试题一、单选题1．若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1b a<”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【详解】若“0＜ab ＜1”，当a ，b 均小于0时，b ＞1a 即“0＜ab ＜1”⇒“b ＜1a”为假命题；若“b ＜1a 当a ＜0时，ab ＞1，即“b ＜1a”⇒“0＜ab ＜1”为假命题，综上“0＜ab ＜1”是“b ＜1a”的既不充分也不必要条件，故选D 2．若函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-上存在最小值2-,则非零实数ω的取值范围是（）A ．(,2]-∞-B ．[6,)+∞C ．5(,2][,)2-∞-+∞UD ．15(,][6,)2-∞-+∞U 【答案】C【解析】先根据x 的范围求出x ω的范围,根据函数()f x 在区间[,]54ππ-上存在最小值2-,然后对ω大于0和小于0两种情况讨论最值,即可求得非零实数ω的取值范围.【详解】Q 函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-⇒当0>ω时,,54x ππωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ Q 函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-上存在最小值2-∴ 52ππω-≤-可得:52ω∴≥⇒当0ω<时,,45x ππωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q 函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-上存在最小值2-∴42ππω≤-可得:2ω≤-综上所述,非零实数ω的取值范围是:5(,2],2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.故选:C. 【点睛】本题考查了正弦函数在某区间上取最值时,求非零实数ω的取值范围.解题关键是能够掌握正弦函数sin()y A x ωφ=+图像性质,数学结合.3．已知集合{(,)|||||1}M x y x y =+≤,若实数对(,)λμ满足:对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈,则称(,)λμ是集合M 的“嵌入实数对”,则以下集合中,不存在集合M 的“嵌入实数对”的是（） A ．{(,)|2}λμλμ-= B ．{(,)|2}λμλμ+= C ．22{(,)|2}λμλμ-= D ．22{(,)|2}λμλμ+=【答案】C【解析】由定义可知||1λ≤,||1μ≤利用不等式的性质,即可得出2222,,,λμλμλμλμ+--+的范围,从而得出答案.【详解】Q {(,)|||||1}M x y x y =+≤Q 对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈可得:||||1x y λμ+≤Q 11x y x y λμ⎧+≤⎪⎨+≤⎪⎩, 结合:实数对(,)λμ满足,对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈.∴ 可得||1λ≤,||1μ≤ 即11λ-≤≤,11μ-≤≤对于A,Q 11μ-≤≤,可得11μ-≤-≤,根据1111λμ-≤≤⎧⎨-≤-≤⎩ 可得:22λμ-≤-≤, ∴ 故存在集合M 的“嵌入实数对使2λμ-=对于B,Q 1111λμ-≤≤⎧⎨-≤≤⎩可得22λμ-≤+≤,∴ 故存在集合M 的“嵌入实数对使2λμ+=对于C,Q ||1λ≤,||1μ≤可得:220110λμ⎧≤≤⎨-≤-≤⎩ 故2211λμ-≤-≤, ∴ 故不存在集合M 的“嵌入实数对使222λμ-=对于D, Q ||1λ≤,||1μ≤可得220101λμ⎧≤≤⎨≤≤⎩,故2202λμ≤+≤. ∴ 故存在集合M 的“嵌入实数对使222λμ+=综上所述,故C:22{(,)|2}λμλμ-=不存在集合M 的“嵌入实数对. 故选:C. 【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是能理解新定义“嵌入实数对”,结合不等式知识进行求解,考查了学生的理解能力和推理能力,属于基础题.4．已知函数210()(1)0x x f x f x x -⎧-+≤=⎨->⎩,则下列命题中正确命题的个数是（）①函数()f x 在[1,)-+∞上为周期函数①函数()f x 在区间(),1m m +,()m N +∈上单调递增①函数()f x 在1x m =-（m N ∈）取到最大值0,且无最小值①若方程()log (2)a f x x =+（01a <<）有且仅有两个不同的实根,则11[,)32a ∈A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】作出()f x 的图像,由图像对各选项进行判断即可.0x ≤时,12112x x y -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭,可由12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像作关于x 轴的对称图像,再向上平移一个单位得到.当0x >时,()(1)f x f x =-故是周期为1的周期函数,01x <≤图像可由10x -<≤时,112xy ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭向右平移一个单位得到,根据周期函数的性质即可得到0x >图像.【详解】()f x 的图像如图所示:对于⇒,因为(1)1f -=-,(0)0f =,可得(1)(0)f f -≠所以函数()f x 在[1,)-+∞上不是周期函数,故⇒不正确; 对于⇒,当(),1m m +,()m N+∈结合函数图像可知,函数()f x 在区间(),1m m +,()m N +∈上单调递增,故⇒正确;对于⇒,因为0m =时,(1)(1)1f m f -=-=-,不是最大值, 故⇒不正确; 对于⇒,如图所示,图中两条曲线对应的a 分别为13和12,故方程为()log (2)(01)a f x x a =+<<,有且只有两个实根,则11,32a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,故⇒正确. 故选:B. 【点睛】本题考查了分段函数和周期函数等相关知识.解题关键是根据函数平移变换画出其函数图像,结合函数图像对其单调性,最值进行求解,考查了计算能力和理解能力,属于中档题.二、填空题5．已知集合2{|340}A x x x =--=,{|10,}B x mx m R =+=∈.且A B A ⋃=,则所有满足条件的m 构成的集合为________【答案】1{0,,1}4-【解析】先化简集合A .由A B A ⋃=,可得B A ⊆,分类讨论=0m 和0m ≠,即可求出构成m 的集合. 【详解】Q 集合2{|340}A x x x =--= ∴ {1,4}A =-Q A B A ⋃=,可得B A ⊆⇒当0m =时,满足B A ⊆,符合题意⇒当0m ≠时,1{|10}B x mx m ⎧⎫=+==-⎨⎬⎩⎭Q B A ⊆∴ 11m -=-或14m-= 解得:1m =或14m =-. ∴ 所有满足条件的m 构成的集合为:1{0,,1}4-.故答案为:1{0,,1}4-.【点睛】本题考查根据集合的关系求参数取值范围的问题,一般涉及子集问题时,需考虑集合是空集或非空集两种情况,属于基础题.6．设,a b ∈R ,则“tan b α=”是“arctan b α=”的________条件【答案】必要不充分【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】Q ,a b ∈R ,只有当22ππα-<<时,由tan b α=才有arctan b α=∴ 由tan b α=不能推出arctan b α=故tan b α=不是arctan b α=的充分条件又Q 由arctan b α=得tan tan(arctan )b α=∴ 可得tan b α=故tan b α=是arctan b α=的必要条件;∴ tan b α=是arctan b α=的必要不充分条件.故答案为:必要不充分. 【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题. 7．294i z z +=+（i 为虚数单位），则||z =________ 【答案】5【解析】设z a bi =+(,a b ∈R ),则z a bi =-,代入294i z z +=+,整理后由复数相等的条件列式求得,a b 的值,根据z a bi =+的模为z =,即可求得z .【详解】Q 设z a bi =+(,a b ∈R ),则z a bi =-,代入294i z z +=+,得:()2()394a bi a bi a bi i ++-=-=+39,4a b ∴=-= 故:3,4a b ==-∴ 34z i =-根据z a bi =+的模为z =∴ 5z ==故答案为:5. 【点睛】本题主要考查复数相等和复数求模,明确复数的实部与虚部是解题关键,考查计算能力,属于基础题.8．若①ABC 中，a ＋b ＝4，C ＝30°，则①ABC 面积的最大值是________．【答案】1 【解析】【详解】在⇒ABC 中，⇒C ＝30°，a ＋b ＝4，⇒⇒ABC 的面积S ＝12ab ·sin C ＝12ab ·sin30°＝14ab ≤241()2a b +＝14×4＝1，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．因此⇒ABC 面积的最大值是1.故答案为1.9．设直线l 过点(4,0)P -，且与直线:310m x y -+=的夹角为arccos10，则直线l 的方程是________【答案】4x =-或43160x y -+=【解析】设l 的方程为(4)(1)0a x b y ++-=(,a b 不同时为零),根据直线夹角公式可得=,化简可得0b =或34a b =-,即可求得直线l 的方程. 【详解】直线:310m x y -+=的方向向量为(1,3)α= 设所求直线的方向向量为(,)a b β=(,a b 不同时为零)Q 依题意有:|cos ,|cos arccos 1010αβ⎛⎫〈〉== ⎪ ⎪⎝⎭ ∴||||10αβαβ⋅= ,10= 解得243a ab =,即0a =或34a b =- ⇒当0a =时,则(0,)b β=且0b ≠∴ 此时直线l 的斜率不存在,直线的方程为:4x =-⇒当34a b =-时,则,a b 均不为0可得:3,4b b β⎛⎫= ⎪⎝⎭,故直线的斜率为:4334b b =∴ 直线的方程为:4(4)3y x =+ ,即43160x y -+= 综上所述, 直线l 的方程:4x =-或43160x y -+=. 故答案为: 4x =-或43160x y -+=. 【点睛】本题考查直线夹角的问题,解题关键是熟记直线夹角的计算公式,考查了计算能力.属于基础题.10．设常数0a >，9x ⎛ ⎝展开式中6x 的系数为4，则()2lim n n a a a →∞+++=L _______【答案】12【解析】根据二项展开式的通项公式3992199rr r rr r r T C xa C x --+==和已知求出r ，再代入求a ，从而将a 代入所求表达式，结合等比数列的前n 项和公式求和并取极限即可. 【详解】9x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为3992199rr r r r r r T C x a C x--+==，令3962r -=，解得2r =，则2294a C =，解得13a =，所以，()2lim lim l 11(1)111331223213im n n n n n n a a a →∞→∞→∞-⎛⎫=-= ⎪⨯⎝-+⎭++=L .故答案为：12. 【点睛】本题考查二项展开式的通项公式和系数，考查了等比数列的前n 项和以及极限的简单计算，注意仔细审题，认真计算，属中档题.11．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，11()142xx f x =-++，则此函数的值域为________.【答案】{}55,11,044⎡⎛⎫⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎭⎦⎣⎝【解析】先求当0x >时函数的值域，再根据函数的奇偶性得到函数在R 上的值域. 【详解】当0x >时，21111()1=()14222x x x x f x =-++-++, 令1,(01)2x t t =<<，所以2()1(01)g t t t t =-++<<，所以5()(1,]4g t ∈.由于函数是奇函数，所以当0x <时，5()[,1)4f x ∈--.当0x =时，(0)0f =.综上所述，此函数的值域为{}55,11,044⎡⎛⎫⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎭⎦⎣⎝.故答案为：{}55,11,044⎡⎛⎫⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎭⎦⎣⎝【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查指数型函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．已知函数8()log (8)af x x x=+-在[2,)+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是________ 【答案】[4,20)-【解析】根据复合函数单调性同增异减,因为外层函数8log y x =是单调增函数,则需内层函数8a y x x =+-也是增函数,且满足80ax x+->,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】Q 8()log (8)af x x x=+-设8log ,8a y t t x x==+-8log y t =Q 在(0,)+∞上为增函数要保证8()log (8)a f x x x=+-在[2,)+∞上是增函数8at x x∴=+- 在[2,)+∞上是增函数∴ 210at x'=+≥在[2,)+∞上恒成立 2a x ∴≥- 在[2,)+∞上恒成立 22,4x x ≥≥Q 可得24x -≤-4a ∴≥-Q 8()log (8)af x x x=+-2802a∴+-> 20a ∴<∴ 实数a 的取值范围是:[4,20)-.故答案为:[4,20)-.【点睛】本题考查了根据复合函数单调性求参数.对于复合函数单调性的判断要掌握同增异减,对函数的内层和外层分别判断,当外层函数是增函数时,内层函数也需要增函数,注意内层函数要满足外层函数的定义域.13．奇函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有(2)(2)0f x f x ++-=,且(1)9f =,则(2016)(2017)(2018)f f f ++的值为________【答案】9【解析】由(2)(2)0f x f x ++-=推导出(4)()f x f x +=即可得到()f x 的周期为4,当0x =时,由 (2)(2)0f f +=得(2)0f =.结合(1)9f =,即可求得(2016)(2017)(2018)f f f ++的值.【详解】Q (2)(2)0f x f x ++-=(2)(2)f x f x ∴+=-- ⇒⇒Q ()f x 为奇函数,故()()f x f x -=-(2)[(2)](2)f x f x f x ∴-=--=-- ⇒⇒由⇒⇒可得:(2)(2)f x f x +=-即:(4)()f x f x += 可得:()f x 的周期为4Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数,可得: (0)0f =Q 当0x =时, 由(2)(2)0f x f x ++-=,可得: (20)(20)0f f ++-= ∴ (2)0f =(2016)(50440)(0)f f f ∴=⨯+=(2017)(20161)(1)9f f f =+==(2018)(20162)(2)0f f f =+==∴ (2016)(2017)(2018)9f f f ++=故答案为:9. 【点睛】本题考查通过奇函数的定义及周期函数的定义求函数的周期,解题关键是通过赋值法求特定的函数值和利用周期性求函数的值.14．在直角坐标系中，已知()1,0A ，()4,0B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得2PA PB =，则实数m 的取值范围是______．【答案】(),-∞⋃+∞【解析】设点P 的坐标为(),x y ，根据条件2PA PB =求出动点P 的轨迹方程，可得知动点P 的轨迹为圆，然后将问题转化为直线10x my +-=与动点P 的轨迹圆有公共点，转化为圆心到直线的距离不大于半径，从而列出关于实数m 的不等式，即可求出实数m 的值. 【详解】设点P 的坐标为(),x y ，2PA PB =Q =化简得()2254x y -+=，则动点P 的轨迹是以()5,0为圆心，半径为2的圆，由题意可知，直线10x my +-=与圆()2254x y -+=有公共点，2≤，解得m ≤或m ≥因此，实数m 的取值范围是(),-∞⋃+∞.故答案为：(),-∞⋃+∞.【点睛】本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了利用直线与圆的位置关系求参数，解题的关键就是利用距离公式求出动点的轨迹方程，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 15．下列命题:①关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩的系数行列式0D =是该方程组有解的必要非充分条件;①已知E 、F 、G 、H 是空间四点,命题甲:E 、F 、G 、H 四点不共面,命题乙:直线EF 和GH 不相交,则甲成立是乙成立的充分非必要条件;①“2a <”是“对任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充要条件;①“0p =或4p =-”是“关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根”的充要条件; 其中,真命题序号是________ 【答案】⇒【解析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断,即可得出答案. 【详解】对于⇒,Q 系数行列式0D ≠,关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩有唯一解,∴ 0D =是该方程组有解的非充分条件又Q 系数行列式0D =,0x D ≠或0y D ≠关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩无解系数行列式0D =, 0x y D D ==关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩有无穷组解∴ 关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩的系数行列式0D =是该方程组有解的非必要非充分条件; 故⇒不正确;对于⇒,已知E 、F 、G 、H 是空间四点,命题甲:E 、F 、G 、H 四点不共面,命题乙:直线EF 和GH 不相交.Q 命题甲可以推出命题乙,甲成立是乙成立的充分条件又Q 直线EF 和GH 不相交,当EF GH P ,即E 、F 、G 、H 四点共面,∴ 命题乙不能推出命题甲,甲成立是乙成立的非必要条件 ∴ 甲成立是乙成立的充分非必要条件.故⇒正确;对于⇒,设|1||1|y x x =++- 当1x ≥时,22y x =≥; 当11x -≤<时,2y =; 当1x <-时,22y x =->. 故|1||1|2x x ++-≥Q 2a <能推出任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥又Q 对任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥不能推出2a <故“2a <”是“对任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充分不必要条件故⇒不成立;对于⇒,由关于x 的实系数方程px p x=+有且仅有一个实数根,得:20x px p +-=, 由240p p ∆=+=得:0p =或4p =-当0p =时,得0x =,检验知:0x =不是方程px p x=+的实根,故此时方程无解当4p =-时,2440x x -+=,解得2x =,检验知:2x =是方程px p x=+的实根. 故此时关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实数根 ∴ “0p =或4p =-”不能推出“关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根” 又Q 关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根也不能推出“0p =或4p =-” ∴ “0p =或4p =-”是“关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根”的既不充分也不必要条件. 故⇒错误. 故答案为:⇒. 【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档题.16．在直角坐标平面xOy 中,已知两定点1(2,0)F -与2(2,0)F 位于动直线:0l ax by c ++=的同侧,设集合{|P l =点1F 与点2F 到直线l 的距离之差等于2}，22{(,)|4,,}Q x y x y x y R =+≤∈,记{(,)|(,),}S x y x y l l P =∉∈,{(,)|(,)}T x y x y Q S =∈I ,则由T 中的所有点所组成的图形的面积是________【答案】43π【解析】根据条件确定集合P 对应的轨迹,利用集合T 的定义,确定T 对应图形,即可求得T 中的所有点组成的图形的面积. 【详解】Q 两定点1(2,0)F -与2(2,0)F 位于动直线:0l ax by c ++=的同侧,如图:过1(2,0)F -与2(2,0)F 分别作l 直线的垂线,垂足分别为,B C 由题意得122F B F C -=,即12F A =Q 在12Rt AF F △中214F F =,∴ 121cos 2AF F ∠=可得2160AF F ︒∠= ∴.集合P 对应的轨迹为线段2AF 的上方部分,Q 对应的区域为半径为2的单位圆内部根据T 的定义可知,T 中的所有点组成的图形为图形阴影部分∴ 阴影部分的面积为:21142224sin 62360ππ︒⎛⎫⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭故答案为:43π. 【点睛】本题考查了集合的新定义的理解,解题关键是能够通过已知条件画出阴影面积的几何图像,数学结合,考查了分析能力和计算能力.三、解答题17．关于x 的不等式201x a x+<的解集为()1,b -．()1求实数a ，b 的值；()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．【答案】（1）1a =-，2b =（2）12-【解析】(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;(2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出．【详解】解：(1)不等式201x a x+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -．1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，解得1a =-,2b =． (2)由(1)知1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为纯虚数，20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,解得12tan α=-. 【点睛】本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.18．如图,四棱锥P ABCD -中,PD ⊥底面ABCD ,且底面ABCD 为平行四边形,若60DAB ∠=︒,2AB =,1AD =.（1）求证:PA BD ⊥;（2）若45PCD ∠=︒,求点D 到平面PBC 的距离h .【答案】（1）答案见解析（2）7. 【解析】（1）因为60DAB ∠=︒,2AB =,1AD =,利用余弦定理求出BD ,即可判断出ABD △满足勾股定理,即ABD △直角三角形且角ADB ∠为直角,则AD BD ⊥,结合已知PD ⊥底面ABCD ,即可求证PA BD ⊥.（2）利用等体积法,根据P BCD D BCP V V --=列方程,即可求得点D 到平面PBC 的距离h . 【详解】（1）1,2,60AD AB DAB ︒==∠=Q根据余弦定理可得: 2222cos60BD AB AD AB AD ︒=+-⋅⋅∴BD =222AD BD AB ∴+= AD BD ∴⊥Q PD ⊥底面ABCD ,BD ⊂底面ABCDPD BD ∴⊥,又AD PD D =I BD ∴⊥平面PAD PA ⊂Q 平面PAD ∴ PA BD ⊥综上所述, PA BD ⊥ （2）由（1）可知BC BD ⊥122BCD S BC BD ∴=⨯⨯=V 45PCD ︒∠=Q 可得:2PD CD ==123P BCD V -∴==1PC PB BC ===Q222BC PB PC ∴+=PB BC ∴⊥12BCP S BC PB ∴=⋅=V13D BCP V h -∴==又Q P BCD D BCP V V --=63=解得:7h = . 【点睛】本题考查了判定空间两条直线垂直和点到面的距离问题.本题的解题关键是将判定空间线线垂直转化为求证空间线面垂直,考查了学生空间想象能力和计算能力.属于中等题.19．如果一条信息有n 1,N)n n >∈（种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为12,,,n p p p L ，则称H = ()()()12n f p f p f p ++L （其中()f x = log ,a x x - ()0,1x ∈）为该条信息的信息熵．已知1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n 位选手（分别记为12,,,n A A A L ）参加，若当1,2,k = ,1n -L 时，选手k A 获得冠军的概率为2k -，求“谁获得冠军”的信息熵H 关于n 的表达式．【答案】（1）5（2）422n-【解析】试题分析：利用11()22f =求出a ，根据题目（1）所给出的信息，32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，“某人被选中”的概率均为132，利用公式H = ()()()12n f p f p f p ++L （其中()f x = log ,a x x - ()0,1x ∈），求出信息熵的值；比赛共有n 位选手（分别记为12,,,n A A A L ）参加，若当1,2,k =,1n -L 时，选手k A 获得冠军的概率为2k -，利用公式H =()()()12n f p f p f p ++L （其中()f x = log ,a x x - ()0,1x ∈），表示出信息熵后，利用错位相减法求出数列的和.试题解析：（1）由1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，可得111log 222a -=，解之得2a =. 由32种情形等可能，故()11,2,,3232k P k ==L ，所以21132log 53232H ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，答：“谁被选中”的信息熵为5．（2）n A 获得冠军的概率为111111111+1124222n n n ---⎛⎫⎛⎫-++=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，当1,2,k = ,1n -L 时，()22log 22k kk k k f p --=-=，又()112nn n f p --=，故111231124822n n n n H ----=+++++L ， 1112211+248222n n n n n n H L ----=++++，以上两式相减，可得11111111+1224822n n H --=+++=-L ，故422n H =-，答：“谁获得冠军”的信息熵为422n-． 20．双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点.（1）若l 的倾斜角为π2，1F AB V 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b =l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r，求l 的斜率.【答案】（1）y =；（2）. 【解析】试题分析：（1）设(),x y A A A ，根据题设条件得到()24413b b+=，从而解得2b 的值．（2）设()11,x y A ，()22,x y A ，直线:l ()2y k x =-与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l 与双曲线交于两点，可得230k -≠，且()23610k∆=+>．再设AB 的中点为(),x y M M M ，由()110F F A +B ⋅AB =u u u r u u u r u u u r 即10F M⋅AB =u u u u r u u u r，从而得到11F k k M ⋅=-，进而构建关于k 的方程求解即可．试题解析：（1）设(),x y A A A ．由题意，()2,0F c，c ，()22241y bcb A =-=，因为1F AB V是等边三角形，所以2c A =，即()24413bb+=，解得22b =．故双曲线的渐近线方程为y =．（2）由已知，()12,0F -，()22,0F ．设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠．由()221{32y x y k x -==-，得()222234430k x k x k --++=．因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k ∆=+>．设AB 的中点为(),x y M M M ．由11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r 即10F M⋅AB =u u u u r u u u r，知1F M ⊥AB ，故11F k k M ⋅=-．而2122223x x k x k M +==-，()2623k y k x k M M =-=-，12323F k k k M =-，所以23123k k k ⋅=--，得235k =，故l的斜率为5±．【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、平面向量的数量积【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，利用,,,a b c e 的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程得到方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.21．若定义在R 上的函数()y f x =满足：对于任意实数x 、y ，总有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=恒成立，我们称()f x 为“类余弦型”函数．()1已知()f x 为“类余弦型”函数，且()514f =，求()0f 和()2f 的值； ()2在()1的条件下，定义数列()()21(1,n a f n f n n =+-=2，3，).⋯求201720181222223333a a a alog log log log ++⋯++的值． ()3若()f x 为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t ，总有()1f t >，证明：函数()f x 为偶函数，设有理数1x ，2x 满足12x x <，判断()1f x 和()2f x 的大小关系，并证明你的结论．【答案】（1）()01f =，()1728f =（2）2035153（3）证明见解析，()()12.f x f x <，证明见解析【解析】()1是抽象函数基础题,令121,0x x ==,求得()01f =;令121x x ==,求得()1728f =; ()2对于此数列,需要求其通项,而求通项又需要递推公式,令x n =，1y =,利用题中关系式推导出递推公式12n n a a -=,求通项然后利用对数的运算法则求解答案;()3属于难题,因为()()12的铺垫,代入特定的数即令0x =,y 为任意实数即可证明偶函数,证明()1f x 与()2f x 的大小关系需要定义新的数列,又因为题目中的有理数条件,要充分利用分数的特点. 【详解】解：()1令1x =，0y =，则()()()()11210+=f f f f ，所以()01f =．令1x =，1y =，则()()()()20211f f f f +=，所以()1728f =． ()2令x n =，1y =，其中n 是大于1的整数，则()()()()()511212f n f n f n f f n ++-==，所以()()()()()21221f n f n f n f n +-=--，即12n n a a -=．又因为()()12213a f f =-=，所以数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，所以132n n a -=⋅，则213na log n =-．所以原式0120172035153=++⋯+=．(3)证明:由题意函数()f x 定义域为R 关于原点对称,令0x =,y 为任意实数,则()()()()()202f y f y f f y f y +-==，即()()-=f y f y ，所以()f x 是偶函数．令N 为1x ,2x 分母的最小公倍数,并且1a x N =,2b x N=,a b 、都是自然数,并且a b <．令数列{}n c 满足n nc f N ⎛⎫=⎪⎝⎭，0n =，1，.⋯下证：数列{}n c 单调递增． ()1.01i f f N ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以01c c <；.ii 若1n n c c -<，n 是正整数，即1n n f f N N -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；令n x N =，1y N =，则11122n n n n f f ff f N N N N N +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即112n n n c c c +-+>．所以()1112n n n n n n n c c c c c c c +-->-=+->．综上,数列{}n c 单调递增,所以()()12fx f x <，又因为()f x 是偶函数，所以()()12.f x f x <【点睛】本题涉及抽象函数、数列求通项求和等知识，使用了赋值法、数学归纳法等方法,属于难题.。

上海市七宝中学2019届高三月考数学试卷(2019.3.25)(简略答案)

七宝中学高三数学试题2019.3.25一、填空题（本大题共有12题，满分54分）．1．已知集合，且，则实数的值是___________．{1,3,},{3,5}==A m B ⊆B A m 2．函数的定义域是_____________．()=f x 3．函数的反函数是_______________．2(2)=≥x y x 4．如果圆锥的底面积为，母线长为2，那么该圆锥的高为_____________．π5．二项式的展开式中的常数项为_____________．82⎫-⎪⎭x 6．已知复数（为虚数单位），复数满足，则________．03=+z i i z 003⋅=+z z z z =z 7．如右图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为______________．8．某班从4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运动会的点名签到工作，则选出的志愿者中既有男生又有女生的概率是____________（结果用最简分数表示）．9．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此,a b 平面内另一向量在满足时，均能c (3)(4)0+⋅-=a cbc 使成立，则的最小值是___________．||-≤ c b k k 10．已知函数，若函数的所有零点()5sin(2),0,,[0,5]2πθθπ⎛⎤=-∈∈ ⎥⎝⎦f x x x ()()3=-F x f x 依次记为，且，，若123,,,, n x x x x 1231-<<<⋯<<n n x x x x x *∈n N ，则___________．123218322222π--+++⋯+++=n n n x x x x x x θ=11．已知函数，图像的最高点从左到右依次记为函数()(0)2π=≥f x x x 135,,, P P P 图像与轴的交点从左到右依次记为，设()=y f x 246,,, P P P()()()23122323343441251+++=⋅+⋅+⋅++⋅ nn n n n n S P P P P P P P P P P P P P P P P 则______________．lim1(2)→∞=+-nnn S主主主1A112．若数列满足为常数，，则称数列为等方差数列，为公{}n a 221,--=n n a a p p 2≥n {}n a p 方差，已知正数等方差数列的首项，且成等比数列，，{}n a 11=a 125,,a a a 12≠a a 设，取的非空子集，*12231111|,1100,N +⎧⎫==++⋯+≤≤∈⎨⎬+++⎩⎭n n n n A T T n n a a a a a a A B 若的元素都是整数，则为“完美子集”，那么集合中的完美子集的个数为___________．二、选择题（每题5分，共20分）13．关于的二元一次方程组的增广矩阵为（）,x y 341310+=⎧⎨-=⎩x y x y A B C D3411310-⎛⎫ ⎪-⎝⎭3411310⎛⎫ ⎪--⎝⎭3411310⎛⎫ ⎪-⎝⎭3411310⎛⎫⎪⎝⎭14．若函数为非奇非偶函数，则有（）(),=∈R y f x x A ．对于任意的，都有且0∈x R ()()00-≠f x f x ()()00-≠-f x f x B ．存在，使且0∈x R ()()00-≠f x f x ()()00-≠-f x f x C ．存在，使且12,∈x x R ()()11-≠f x f x ()()22-≠-f x f x D ．对于任意的，都有或0∈x R ()()00-≠f x f x ()()00-≠-f x f x 15．无穷等差数列的首项为，公差为，前项和为，则“”{}n a 1a d n ()*∈n S n N 10+>a d 是“ 为递增数列”的（）{}n S A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件16、在圆锥中，已知高，底面圆半径为4，为母线上一点，根据圆锥曲线的定PO 2=PO 义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（）①圆的面积为4π③双曲线两渐近线的夹角为4arcsin5π-A 1个B 2个C 3个D 4个三、解答题：（本大题共有5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知长方体的棱长，求：1111-ABCD A B C D 12,1,2===AB BC AA （1）异面直线与所成角的大小；1BC 1CD （2）点到平面的距离．B 1ACD1C A 118．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．函数，其中．)()lg2=+f x x 0>b （1）若函数是奇函数，求的值；b （2）在（1）的条件下，判别函数图像是否存在两点，使得直线平行于轴，说,A B AB x 明理由；19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形的长分别为，,,ABCD AB AD ,4m 上部是圆心为的劣弧，。

2019届上海市七宝高三下第三次模拟考试数学试题

2019届上海市七宝中学高三下第三次模拟考试数学试题一、单选题1．“2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=没有实数根”的（） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.非充要条件【答案】A【解析】根据方程没有实数根，求出等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若关于x 的实系数方程210x px ++=没有实数根，则判别式△240p =-<，解得22p -<<．由充分条件和必要条件的定义可知，“2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=没有实数根”的必要不充分条件．故选：A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出方程没有实数根的等价条件是解决本题的关键．2．已知函数()cos |sin |f x x x =-，那么下列命题中假命题是（） A.()f x 是偶函数 B.()f x 在[,0]π-上恰有一个零点 C.()f x 是周期函数 D.()f x 在[,0]π-上是增函数【答案】D【解析】根据函数()cos |sin |f x x x =-的性质,逐个判断各选项的真假．【详解】对于A ，函数()cos |sin |f x x x =-，定义域为R ，且满足()cos()|sin()|cos |sin |()f x x x x x f x -=---=-=，所以()f x 为定义域R 上的偶函数，A 正确；对于B ，[,0]x π∈-时，sin 0x ，()cos |sin |cos sin 4f x x x x x x π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭，且3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 在[],0π-上恰有一个零点是4π-，B 正确；对于C ，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数()f x 是最小正周期为2π的周期函数，C 正确；对于D ，[,0]x π∈-时，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 在[],0π-上先减后增，D 错误．故选：D ．【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、周期性的应用以及零点的求法．3．已知点00(,)P x y 是曲线C 上的动点，若抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A 、B满足PA 、PB 的中点均在C 上，则A 、B 两点的纵坐标是以下方程的解（）A.22000280y y y x y -+-=B.22000280y x y x y -+-= C.22000280y y y y x -+-=D.22000280y x y x y ++-=【答案】A【解析】设出A ，B 的坐标，用中点公式求出PA ，PB 的中点坐标后代入抛物线方程，再由根与方程的关系即可得出．【详解】设211,4y A y ，222,4y B y ，则PA 的中点210014,22y x y y M ⎛⎫+ ⎪+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，PB 的中点200224,22y x y y N ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 2120014422y x y y ++⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即2210100280y y y x y -+-=，同理得2220200280y y y x y -+-=，因此12,y y 是方程22000280y y y x y -+-=的两根．故选：A ．【点睛】本题主要考查抛物线的性质以及中点公式的应用，意在考查学生的数学运算能力． 4．已知实数x 、y 满足：22(2)1x y +-=，223x y x y ω+=+的取值范围是（）A.(3,2]B.[1,2]C.(0,2]D.3(,1]2【答案】B【解析】构造直线30x y +=，过圆上一点P 作直线的垂线PM ，则2232sin x y POM x y+=∠+，求出sin POM ∠的范围即可得出．【详解】设(,)P x y 为圆22(2)1x y +-=上的任意一点，则P 到直线30x +=的距离32x PM +=，P 到原点的距离22OP x y =+ 22322sin x y PMPOM OPx y +==∠+．设圆22(2)1x y +-=与直线y kx =211k =+，解得3k =POM ∴∠的最小值为30︒，最大值为90︒，1sin 12POM ∴∠，12sin 2POM ∴∠．故选：B ．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，距离公式的应用，解题关键是数形结合思想的应用，能阅读出ω=所代表的几何意义，意在考查学生的数形结合能力和数学运算能力．二、填空题5．已知复数z 满足(1i)2z +=（i 是虚数单位），则||z =______．【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．【详解】解：()12z i +=，()()()()2121211112i i z i i i i --∴====-++-，则z ==【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题． 6．不等式1021x x -≤+的解集是____．【答案】1,12⎛⎤-⎥⎝⎦【解析】将分式型不等式转化为二次不等式求解，结合定义域将在分式中无意义的值去除. 【详解】由题意知：原不等式可化为：()()1210x x -+≤且12x ⎛⎫≠-⎪⎝⎭. 解得：112x -<≤. 【点睛】本题考查分式型不等式的求法，可将分式不等式化为二次不等式求解，但要注意分式不等式与二次不等式的定义域上的区别，注意将无意义的值去除.7．函数()y f x =的值域是[1,1]-，则函数2(1)y f x =+的值域为________【答案】[2,2]-【解析】根据平移的相关知识知，函数()y f x =与函数(1)y f x =+的值域相同，而函数2(1)y f x =+是由函数(1)y f x =+中的x 值不变，y 值变为原来的2倍得到，即可求出．【详解】因为函数()y f x =的值域是[1,1]-，将函数()y f x =图象向左平移一个单位，得到函数(1)y f x =+，其值域仍是[1,1]-，而函数2(1)y f x =+是由函数(1)y f x =+中的x 值不变，y 值变为原来的2倍得到，所以其值域为[2,2]-．故答案为：[2,2]-．【点睛】本题主要考查由简单函数的值域求复合函数的值域．8．求值：1220192019201920192019124(2)C C C -+-⋅⋅⋅+-=________【答案】1-【解析】根据二项式定理展开式配凑，即可求出．【详解】1220192019201920192019124(2)C C C -+-⋅⋅⋅+-()()()()012201902019120182201720190201920192019201912121212C C C C =⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-()2019121=-=-．故答案为：1-．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,考查学生对二项展开式的理解．9．将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为________【答案】3【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，根据圆锥底面圆周长等于展开后半圆的弧长得出r ，由题意得出2l =，再由勾股定理得出h 的值，最后利用锥体的体积公式计算出圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，则2l =，由题意可知，2l r ππ=，12lr ∴==，由勾股定理得h =因此，该圆锥的体积为22111333r h ππ=⨯=，故答案为：3. 【点睛】本题考查圆锥体积的计算，涉及圆锥的侧面展开图问题，解题时要注意扇形弧长等于圆锥底面圆周长这一条件的应用，考查空间想象能力，属于中等题.10．若实数集合{31,65}A x y =与{5,403}B xy =仅有一个公共元素，则集合A B 中所有元素之积的值为________ 【答案】0【解析】根据两集合仅有一个公共元素,所以有31565403x xy y =⎧⎨≠⎩或31403655x y xy =⎧⎨≠⎩或31565403x xy y ≠⎧⎨=⎩或31403655x y xy≠⎧⎨=⎩，解出,x y 的值,即可求出集合A B 中所有元素之积．【详解】依据题意得， 31565403x xy y =⎧⎨≠⎩或31403655x y xy =⎧⎨≠⎩或31565403x xy y ≠⎧⎨=⎩或31403655x y xy ≠⎧⎨=⎩，解得40365x y =⎧⎪⎨≠⎪⎩或130x y ≠⎧⎨=⎩，所以集合A B 中所有元素之积的值为0．故答案为：0．【点睛】本题主要考查集合的交集．并集的定义以及其运算．11．已知函数1()2x f x a -=-（0a >且1a ≠）的反函数为1()f x -，若1()y f x -=在[0,1]上的最大值和最小值互为相反数，则a 的值为________【答案】6【解析】先求出函数1()2x f x a -=-的反函数1()f x -，由单调性即可求出其在[0,1]上的最大值和最小值，列出方程，即可求出．【详解】设12x y a -=-，解得()log 21a x y =++，则()1()log 21a f x x -=++，由于其在[0,1]上单调，所以其最大值和最小值之和为()()1101ff --+，即有()()1101log 21log 310a a f f --+=+++=，解得a =．故答案为：6．【点睛】本题主要考查反函数以及其最值的求法．12．一名信息员维护甲乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________ 【答案】0.88【解析】根据相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式直接求解即可．【详解】＂至少有一个公司不需要维护＂的对立事件是＂两公司都需要维护＂，所以至少有一个公司不需要维护的概率为10.30.40.88p =-⨯=，故答案为：0.88．【点睛】本题主要考查概率的求法以及相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式的应用．13．已知正方形ABCD 中心为O 且其边长为1，则()()OD OA BA BC -⋅+的值为________ 【答案】1【解析】由平面向量的线性运算以及数量积的运算即可计算得出．【详解】2()()()()1OD OA BA BC AD BA BC BC BA BC BC -⋅+=⋅+=⋅+==．故答案为：1．【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积的运算．14．已知数列{}n a 满足：11a =，且1(1)30n n n a na ++--=，若对任意的[2,2]a ∈-，不等式221n a t at ≤+-恒成立，则实数t 的范围为________【答案】2t ≥或2t ≤-【解析】先求出数列{}n a 的通项公式，再求出其最大值，然后求出2()21g a at t =+-在[2,2]a ∈-上的最小值，即可解不等式组求出．【详解】由1(1)30n n n a na ++--=得，1(1)3n n n a na ++-=，所以数列{}n na 是以1为首项，3为公差的等差数列．所以()13132n n n n a =+-=-，即233n na =-<，因为2()21g a at t =+-在[2,2]a ∈-上单调，所以()(){}min min 2,2g g g =-，因此可得()()2323g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩即2222132213t t t t ⎧-+-≥⎨+-≥⎩，解得2t ≥或2t ≤-．故答案为：2t ≥或2t ≤-．【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法、数列最大项的求法，不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的转化能力和数学运算能力．15．如图，正方体ABCD EFGH -棱长为1，点M 在正方体的表面EFGH 上，定义每一点均在正方体表面上的一条路线为一条路径，已知点M 到A 的最短路径长(,)l M G ，则(,)l M G 的最大值为________5【解析】在表面展开图中利用勾股定理计算MA 的最小值，即可得出(,)l M G 的最大值．【详解】作出侧面ADHG 和上底面EFGH 的展开图如图所示：设M 到直线EF 的距离为x ，M 到EH 的距离为y ，则MA 的最小值为()22,(1)l M G x y =++01,01x y ≤≤≤≤，显然当1x y ==时，(,)l M G 5 5 【点睛】本题主要考查几何体的侧面展开图，意在考查学生的直观想象和数学运算能力.16．已知221log 2()220xx f x x xx ⎧≤≤⎪=⎨⎪--≤⎩，若1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，且方程2[()]()0f x af x b -+=有55________ 【答案】35[0,5【解析】设()t f x =，作出函数()y f x =的图象，由方程()()20f x af x b -+=⎡⎤⎣⎦有5个不同根转化为二次方程20t at b -+=的两根101t <<，20t <，并构造函数()2g t t at b =-+，转化为二次函数的零点分布，得出()()0010g g ⎧<⎪⎨>⎪⎩，结合1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，可作出关于a 、b 215a b -+视为可行域中的点(),a b 到直线210a b -+=的距离，结合图象可得出答案. 【详解】作出函数()y f x =的图象如下图所示：设()t f x =，则方程()()20f x af x b -+=⎡⎤⎣⎦有5个不同根转化二次方程20t at b -+=的两根101t <<，20t <，构造函数()2g t t at b =-+，可得不等式()()0010g g ⎧<⎪⎨>⎪⎩，即010b a b <⎧⎨-+>⎩，结合1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，作出图形如下图所示，不等式组1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩表示的平面区域为边长为2的正方形ABCD ，不等式组0101111b a b a b <⎧⎪-+>⎪⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩表示的区域为下图中的阴影部分（不包括a 轴），215a b -+视为可行域中的点(),a b 到直线210a b -+=的距离，当点(),a b 与点()1,0E 21210135555a b -+⨯-+==， 215a b -+的取值范围是35⎡⎢⎣⎭，故答案为：35⎡⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查复合函数的零点个数问题，涉及二次函数零点分布、线性规划以及点到直线的距离，解题的关键在于将问题转化为二次函数零点的分布，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于难题.三、解答题17．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是等腰直角三角形，1AB AC ==，侧棱1AA ⊥底面ABC ，且12AA =，E 是BC 的中点．（1）求直三棱柱111ABC A B C -的全面积；（2）求异面直线AE 与1A C 所成角θ的大小（结果用反三角函数表示）；【答案】（1）5+22（2）10arccos10θ=.【解析】试题分析：（1）直三棱柱111ABC A B C -的全面积为两个底面三角形面积与侧面积之和. 底面ABC 是等腰直角三角形,其面积为11111222ABC S AB AC ∆=⋅=⋅⋅=,侧面展开图为矩形，其面积为1()(121)2422S AB BC AC AA =++⋅=⋅=+侧∴=2=5+22ABC S S S ∆+侧全2）求异面直线所成角，关键在于利用平行，将所求角转化为某一三角形中的内角.因为条件有中点，所以从中位线上找平行. 取11B C 的中点1E ，连11A E ，则11//A E AE，即11CA E ∠即为异面直线AE 与1A C所成的角θ．分别求出三角形三边，再利用余弦定理求角.15AC ，1122E A =，1322CE =，222232((5)(1022cos 10210252θ+-===⋅⋅，10θ=.解：（1）11111222ABCS AB AC∆=⋅=⋅⋅=（2分）1()(121)2422S AB BC AC AA=++⋅=++⋅=+侧（4分）∴=2=5+22ABCS S S∆+侧全（6分）（2）取11B C的中点1E，连11A E，则11//A E AE，即11CA E∠即为异面直线AE与1A C 所成的角θ．（2分）连1E C.在11Rt E C C∆中，由112E C=，12CC=知1132422A C=+=在11Rt A C C∆中，由111AC=，12CC=知15AC（4分）在11A E C∆中，222232()(5)(1022cos210252θ+-===⋅⋅∴10arccos10θ=（6分）【考点】三棱柱的全面积，平移求线线角18．设函数()f x在[1,)+∞上有定义，实数a和b满足1a b≤<，若()f x在区间(,]a b上不存在最小值，则称()f x在(,]a b上具有性质P.（1）当2()f x x cx=+，且()f x在区间(1,2]上具有性质P时，求常数c的取值范围；（2）已知(1)()1f x f x+=+（1x≥），且当12x≤<时，()1f x x=-，判别()f x在区间(1,4]上是否具有性质P ，试说明理由.【答案】（1）2c ≥-；（2）具有性质P ，理由见解析. 【解析】（1）分别讨论()f x 图象的对称轴2cx =-与1和2的关系，由单调性即可得出()f x 是否存在最小值，从而求出c 的取值范围；（2）由题目条件可得出()f x 在区间(1,4]上如果有最小值，则最小值必在区间(1,2]上取到，又1,12()1,2x x f x x -<<⎧=⎨=⎩在区间(1,2]上不存在最小值，所以()f x 在区间(1,4]上具有性质P ．【详解】（1）当(1,2)2c-∈时，2()f x x cx =+在(1,2]上先减后增，存在最小值2c f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当22c-≥时，()f x 在(1,2]上单调递减，存在最小值()2f ；当12c-≤时，()f x 在(1,2]上单调递增，所以不存在最小值．所以2c ≥-．（2）()f x 在区间(1,4]上具有性质P ，原因如下：因为1x 时，(1)()1()f x f x f x +=+>，所以()f x 在区间(1,4]上如果有最小值，则最小值必在区间(1,2]上取到，另一方面，1,12()1,2x x f x x -<<⎧=⎨=⎩在区间(1,2]上不存在最小值，所以()f x 在区间(1,4]上具有性质P ．【点睛】本题主要考查学生的应用能力，能够利用所学知识结合题目给出的定义研究函数的性质．19．如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中P 、Q 分别在射线OA 和OB 上.经测量得，扇形OPQ 的圆心角（即POQ ∠）为23π、半径为1千米.为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ 区域外修建一条公路MN ，分别与射线OA 、OB 交于M 、N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ 相切于点S .设POS α∠=（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计.（1）试将公路MN 的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围；（2）试确定α的值，使得公路MN 的长度最小，并求出其最小值.【答案】⑴223(tan tan tan()33tan 1MN πααα=+-=-62ππα<<，⑵当3πα=时，MN 长度的最小值为3..【解析】试题分析：⑴由切线的性质可得OS ⊥MN .则SM =tan α，SN =23tan πα⎛⎫-⎪⎝⎭，据此可得2312331tan MN tan tan tan απααα+⎛⎫=+-=⎪-⎝⎭，其中62ππα<<. ⑵ 利用换元法，令310t tan α=->，则342MN t t ⎫=++⎪⎝⎭，由均值不等式的结论有：34 22233MN t t ⎛⎫≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当4t t =即2t =时等号成立，即MN 长度的最小值为3. 试题解析：⑴因为MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，所以OS ⊥MN .在RT OSM 中，因为OS =1，∠MOS =α，所以SM =tan α，在RT OSN 中，∠NOS =23πα-，所以SN =23tan πα⎛⎫-⎪⎝⎭，所以2312331tan MN tan tan tan απααα+⎛⎫=+-=⎪-⎝⎭，其中62ππα<<.⑵ 因为62ππα<<310tan α->，令310t tan α=->，则)313tan t α=+，所以423MN t t ⎫=++⎪⎝⎭，由基本不等式得2MN ⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当4t t =即2t =时取“=”.此时tan α=62ππα<<，故3πα=.答：⑴2123tan MN tan tan απαα+⎛⎫=+-=⎪⎝⎭，其中62ππα<<. ⑵当3πα=时，MN 长度的最小值为.点睛：(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解． (2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y C a b+=（1a b >>）的左右两个焦点分别是1F 、2F ，P 在椭圆C 上运动.（1）若对12F PF ∠有最大值为120°，求出a 、b 的关系式；（2）若点P 是在椭圆上位于第一象限的点，过点1F 作直线1F P 的垂线1l ，过2F 作直线2F P 的垂线2l ，若直线1l 、2l 的交点Q 在椭圆C 上，求点P 的坐标；（3）若设22b =，在（2）成立的条件下，试求出P 、Q 两点间距离的函数()f a ，并求出()f a 的值域.【答案】（1）2a b =；（2）22P ⎛⎫；（3）()2f a a =>，()f a 的值域为()2,+∞．【解析】（1）根据椭圆定义可知122PF PF a +=，再利用余弦定理及基本不等式可得,a b 的关系式；（2）设出P 点坐标，分别求出直线1l 与直线2l 的方程，结合P 在椭圆上即可求得点P 的坐标；（3）把,P Q 的坐标用含有a 的代数式表示，由两点间的距离公式可得两点,P Q 间距离的函数()f a ，再换元由单调性求出其值域．【详解】（1）根据椭圆的定义可知，122PF PF a +=，122FF c =，因为2122122PF PF PF PF a ⎛+⎫≤= ⎪⎝⎭所以()2222212121112111212122cos 22PFPF PF PF F F PF PF F F PF F PF PF PF PF +--+-∠==‖‖‖22221244211122a c b PF PF a -=--=-‖ 224a b ∴=，即2a b =．（2）设()00,P x y ，()000,0x y >>当0x c =时，直线2PF 斜率不存在，易知Q 与1F 重合，不满足题意；当0x c ≠时，则直线2PF 的斜率200PF y k x c =-，直线2l 的斜率020x ck y -=-，直线2l 的方程00()x cy x c y -=--，① 直线1PF 的斜率100PF y k x c =+，则直线1l 的斜率010x ck y +=-，直线1l 的方程00()x cy x c y +=-+，② 联立①②，解得：02200x x x c y y =-⎧⎪-⎨=⎪⎩，则22000(,)x c Q x y --，由,P Q 在椭圆上，,P Q 的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则22000x c y y -=，22200y x c ∴=-，则222002200221y x cx y a b ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，又P 在第一象限，P ∴的坐标为22P ；（3）若22b =，则2P，2(Q ，则)222PQ a=>，2()f a a ∴=>．(2)t t =>，则222a t =-，2244()()2(2)t f a g t t t t t-===->，()g t 在(2,)+∞上为增函数，()g t ∴的值域为(2,)+∞，即()f a 的值域为(2,)+∞．【点睛】本题主要考查椭圆定义及其性质应用，余弦定理、基本不等式的应用，两条直线的交点坐标求法，点与椭圆的位置关系判断，两点间距离公式的应用，以及函数最值的求法，意在考查学生的数学运算能力和综合运用知识的能力． 21．已知正整数数列{}n a 满足：1a a =，2a b =，2120181n n n a a a +++=+（1n ≥）.（1）已知52a =，61009a =，试求a 、b 的值；（2）若1a =，求证：22017||2n n na a +-≤；（3）求+ab 的取值范围.【答案】（1）2,1009a b ==；（2）详见解析；（3）{}1011,2019【解析】（1）根据递推式赋值逆推，分别求出4321,,,,a a a a 即可求出,a b 的值；（2）根据递推式赋值求出23,a a 的值，即可找出数列{}n a 的规律，由此得证；（3）依据22121201820181n n n n n n n a a a a a a a ++++++=⇔-=-+，讨论n a 与2n a +的大小关系即可得出．【详解】（1）令4n =得，4465201820181009121a a a a ++===++，解得41009a =；令3n =得，3354201820182110091a a a a ++===++，解得32a =；令2n =得，2243201820181009121a a a a ++===++，解得21009a =；令1n =得，1132201820182110091a a a a ++===++，解得12a =；所以2,1009a b ==．（2）证明：令1n =得，13222018201911a a a a +==++，因为数列{}n a 各项为正整数，2019的正整数约数有1，3，673，2019，因此21a +的值可能为3，673，2019，即 22a =或2672a =或22018a =.当22a =时，132********67313a a a +===+，*2432018202010101674337a a N a +===∉+，所以不符题意，应舍去；当2672a =时，132********31673a a a +===+，*2432018672201813451312a a N a ++===∉++，所以不符题意，应舍去；当22018a =时，132********112019a a a +===+，2432018201820182018111a a a ++===++，354201812018112019a a a ++===+，4652018201820182018111a a a ++===++，…… 所以1n ≥，当n 为奇数时，1n a =；当n 为偶数时，2018n a =；故22017||02n n na a +-=≤，不等式成立．（3）由（1）（2）可知，当12018a b =⎧⎨=⎩或21009a b =⎧⎨=⎩可以满足题意，所以1011a b +=或2019a b +=．22121201820181n n n n n n n a a a a a a a ++++++=⇔-=-+．①当2n n a a +=时，奇数项都相等，偶数项都相等且122018n n a a ++=，即有122018a a ab ==，因为数列{}n a 各项为正整数，且20181201821009=⨯=⨯，所以12018a b =⎧⎨=⎩或21009a b =⎧⎨=⎩或10092a b =⎧⎨=⎩或20181a b =⎧⎨=⎩ 此时1011a b +=或2019a b +=；②当2n n a a +>时，奇数项递增，偶数项递增，而21220180n n n n a a a a +++-=-> ，随着n 的增大，存在0n n =时，1220180n n a a ++-<，这样与条件矛盾，故2n n a a +>不成立；③当2n n a a +<时，奇数项递减，偶数项递减，而21220180n n n n a a a a +++-=-< ，随着n 的增大，存在0n n =时，1220180n n a a ++->，这样与条件矛盾，故2n n a a +<不成立；综上，1011a b +=或2019a b +=，即{}1011,2019a b +∈．【点睛】本题主要考查利用递推式求数列中的项，以及归纳推理的应用，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力．。

2019届上海市七宝中学高三上学期摸底考试数学试题(解析版)

2019届上海市七宝中学高三上学期摸底考试数学试题一、单选题1．若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1b a”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【详解】若“0＜ab ＜1”，当a ，b 均小于0时，b ＞1a 即“0＜ab ＜1”⇒“b ＜1a”为假命题；若“b ＜1a 当a ＜0时，ab ＞1，即“b ＜1a”⇒“0＜ab ＜1”为假命题，综上“0＜ab ＜1”是“b ＜1a”的既不充分也不必要条件，故选D 2．若函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-上存在最小值2-,则非零实数ω的取值范围是（） A ．(,2]-∞- B ．[6,)+∞ C ．5(,2][,)2-∞-+∞D ．15(,][6,)2-∞-+∞ 【答案】C【解析】先根据x 的范围求出x ω的范围,根据函数()f x 在区间[,]54ππ-上存在最小值2-,然后对ω大于0和小于0两种情况讨论最值,即可求得非零实数ω的取值范围.【详解】函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ- ①当0>ω时,,54x ππωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-上存在最小值2- ∴ 52ππω-≤-可得:52ω∴≥②当0ω<时,,45x ππωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-上存在最小值2-∴42ππω≤-可得:2ω≤-综上所述,非零实数ω的取值范围是:5(,2],2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 故选:C. 【点睛】本题考查了正弦函数在某区间上取最值时,求非零实数ω的取值范围.解题关键是能够掌握正弦函数sin()y A x ωφ=+图像性质,数学结合.3．已知集合{(,)|||||1}M x y x y =+≤,若实数对(,)λμ满足:对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈,则称(,)λμ是集合M 的“嵌入实数对”,则以下集合中,不存在集合M 的“嵌入实数对”的是（） A ．{(,)|2}λμλμ-= B ．{(,)|2}λμλμ+= C ．22{(,)|2}λμλμ-= D ．22{(,)|2}λμλμ+=【答案】C【解析】由定义可知||1λ≤,||1μ≤利用不等式的性质,即可得出2222,,,λμλμλμλμ+--+的范围,从而得出答案.【详解】{(,)|||||1}M x y x y =+≤对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈ 可得:||||1x y λμ+≤11x y x y λμ⎧+≤⎪⎨+≤⎪⎩, 结合:实数对(,)λμ满足,对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈.∴ 可得||1λ≤,||1μ≤ 即11λ-≤≤,11μ-≤≤对于A,11μ-≤≤,可得11μ-≤-≤,根据1111λμ-≤≤⎧⎨-≤-≤⎩ 可得:22λμ-≤-≤,∴ 故存在集合M 的“嵌入实数对使2λμ-=对于B,1111λμ-≤≤⎧⎨-≤≤⎩可得22λμ-≤+≤,∴ 故存在集合M 的“嵌入实数对使2λμ+=对于C,||1λ≤,||1μ≤可得:220110λμ⎧≤≤⎨-≤-≤⎩ 故2211λμ-≤-≤, ∴ 故不存在集合M 的“嵌入实数对使222λμ-=对于D,||1λ≤,||1μ≤可得220101λμ⎧≤≤⎨≤≤⎩,故2202λμ≤+≤. ∴ 故存在集合M 的“嵌入实数对使222λμ+=综上所述,故C:22{(,)|2}λμλμ-=不存在集合M 的“嵌入实数对. 故选:C. 【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是能理解新定义“嵌入实数对”,结合不等式知识进行求解,考查了学生的理解能力和推理能力,属于基础题.4．已知函数210()(1)0x x f x f x x -⎧-+≤=⎨->⎩,则下列命题中正确命题的个数是（）①函数()f x 在[1,)-+∞上为周期函数②函数()f x 在区间(),1m m +,()m N +∈上单调递增③函数()f x 在1x m =-（m N ∈）取到最大值0,且无最小值④若方程()log (2)a f x x =+（01a <<）有且仅有两个不同的实根,则11[,)32a ∈ A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】作出()f x 的图像,由图像对各选项进行判断即可.0x ≤时,12112x x y -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭,可由12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像作关于x 轴的对称图像,再向上平移一个单位得到.当0x >时,()(1)f x f x =-故是周期为1的周期函数,01x <≤图像可由10x -<≤时,112xy ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭向右平移一个单位得到,根据周期函数的性质即可得到0x >图像.【详解】()f x 的图像如图所示:对于①,因为(1)1f -=-,(0)0f =,可得(1)(0)f f -≠所以函数()f x 在[1,)-+∞上不是周期函数,故①不正确; 对于②,当(),1m m +,()m N+∈结合函数图像可知,函数()f x 在区间(),1m m +,()m N +∈上单调递增,故②正确;对于③,因为0m =时,(1)(1)1f m f -=-=-,不是最大值, 故③不正确; 对于④,如图所示,图中两条曲线对应的a 分别为13和12,故方程为()log (2)(01)a f x x a =+<<,有且只有两个实根,则11,32a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,故④正确. 故选:B. 【点睛】本题考查了分段函数和周期函数等相关知识.解题关键是根据函数平移变换画出其函数图像,结合函数图像对其单调性,最值进行求解,考查了计算能力和理解能力,属于中档题.二、填空题5．已知集合2{|340}A x x x =--=,{|10,}B x mx m R =+=∈.且A B A ⋃=,则所有满足条件的m 构成的集合为________ 【答案】1{0,,1}4-【解析】先化简集合A .由A B A ⋃=,可得B A ⊆,分类讨论=0m 和0m ≠,即可求出构成m 的集合. 【详解】集合2{|340}A x x x =--=∴ {1,4}A =-A B A ⋃=,可得B A ⊆①当0m =时,满足B A ⊆,符合题意 ②当0m ≠时,1{|10}B x mx m ⎧⎫=+==-⎨⎬⎩⎭B A ⊆∴ 11m-=-或14m -=解得:1m =或14m =-.∴ 所有满足条件的m 构成的集合为:1{0,,1}4-.故答案为:1{0,,1}4-. 【点睛】本题考查根据集合的关系求参数取值范围的问题,一般涉及子集问题时,需考虑集合是空集或非空集两种情况,属于基础题.6．设,a b ∈R ,则“tan b α=”是“arctan b α=”的________条件【答案】必要不充分【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】,a b ∈R ,只有当22ππα-<<时,由tan b α=才有arctan b α=∴ 由tan b α=不能推出arctan b α=故tan b α=不是arctan b α=的充分条件又由arctan b α=得tan tan(arctan )b α=∴ 可得tan b α=故tan b α=是arctan b α=的必要条件;∴ tan b α=是arctan b α=的必要不充分条件.故答案为:必要不充分.【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题. 7．294i z z +=+（i 为虚数单位），则||z =________ 【答案】5【解析】设z a bi =+(,a b ∈R ),则z a bi =-,代入294i z z +=+,整理后由复数相等的条件列式求得,a b 的值,根据z a bi =+的模为z =即可求得z .【详解】设z a bi =+(,a b ∈R ),则z a bi =-,代入294i z z +=+,得:()2()394a bi a bi a bi i ++-=-=+39,4a b ∴=-= 故:3,4a b ==-∴ 34z i =-根据z a bi =+的模为z =∴ 5z ==故答案为:5. 【点睛】本题主要考查复数相等和复数求模,明确复数的实部与虚部是解题关键,考查计算能力,属于基础题.8．若△ABC 中，a ＋b ＝4，C ＝30°，则△ABC 面积的最大值是________．【答案】1 【解析】【详解】在△ABC 中，∵C ＝30°，a ＋b ＝4，∴△ABC 的面积S ＝12ab ·sin C ＝12ab ·sin30°＝14ab ≤241()2a b +＝14×4＝1，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．因此△ABC 面积的最大值是1. 故答案为1.9．设直线l 过点(4,0)P -，且与直线:310m x y -+=的夹角为，则直线l 的方程是________【答案】4x =-或43160x y -+=【解析】设l 的方程为(4)(1)0a x b y ++-=(,a b 不同时为零),根据直线夹角公式可得=,化简可得0b =或34a b =-,即可求得直线l 的方程. 【详解】直线:310m x y -+=的方向向量为(1,3)α= 设所求直线的方向向量为(,)a b β=(,a b 不同时为零)依题意有:|cos ,|cos arccos 1010αβ⎛〈〉== ⎝⎭∴||||αβαβ⋅=,10= 解得243a ab =,即0a =或34a b =- ①当0a =时,则(0,)b β=且0b ≠∴ 此时直线l 的斜率不存在,直线的方程为:4x =-②当34a b =-时,则,a b 均不为0可得:3,4b b β⎛⎫=⎪⎝⎭,故直线的斜率为:4334b b = ∴ 直线的方程为:4(4)3y x =+ ,即43160x y -+=综上所述, 直线l 的方程:4x =-或43160x y -+=. 故答案为: 4x =-或43160x y -+=. 【点睛】本题考查直线夹角的问题,解题关键是熟记直线夹角的计算公式,考查了计算能力.属于基础题.10．设常数0a >，9x ⎛+ ⎝展开式中6x 的系数为4，则()2lim n n a a a →∞+++=_______【答案】12【解析】根据二项展开式的通项公式3992199rrr r r r r T C x a C x --+==和已知求出r ，再代入求a ，从而将a 代入所求表达式，结合等比数列的前n 项和公式求和并取极限即可. 【详解】9x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为3992199rr r r r r r T C x a C x --+==，令3962r -=，解得2r ，则2294a C =，解得13a =，所以，()2lim lim l 11(1)111331223213im n n n n n n a a a →∞→∞→∞-⎛⎫=-= ⎪⨯⎝-+⎭++=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查二项展开式的通项公式和系数，考查了等比数列的前n 项和以及极限的简单计算，注意仔细审题，认真计算，属中档题.11．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，11()142x xf x =-++，则此函数的值域为________. 【答案】{}55,11,044⎡⎛⎫⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎭⎦⎣⎝【解析】先求当0x >时函数的值域，再根据函数的奇偶性得到函数在R 上的值域. 【详解】当0x >时，21111()1=()14222x x x x f x =-++-++, 令1,(01)2x t t =<<，所以2()1(01)g t t t t =-++<<，所以5()(1,]4g t ∈.由于函数是奇函数，所以当0x <时，5()[,1)4f x ∈--. 当0x =时，(0)0f =.综上所述，此函数的值域为{}55,11,044⎡⎛⎫⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎭⎦⎣⎝.故答案为：{}55,11,044⎡⎛⎫⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎭⎦⎣⎝【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查指数型函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．已知函数8()log (8)a f x x x=+-在[2,)+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是________ 【答案】[4,20)-【解析】根据复合函数单调性同增异减,因为外层函数8log y x =是单调增函数,则需内层函数8a y x x =+-也是增函数,且满足80ax x+->,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】8()log (8)af x x x=+-设8log ,8a y t t x x==+-8log y t =在(0,)+∞上为增函数要保证8()log (8)a f x x x=+-在[2,)+∞上是增函数8at x x∴=+-在[2,)+∞上是增函数 ∴ 210at x'=+≥在[2,)+∞上恒成立 2a x ∴≥- 在[2,)+∞上恒成立22,4x x ≥≥ 可得24x -≤-4a ∴≥-8()log (8)a f x x x=+-2802a∴+-> 20a ∴<∴ 实数a 的取值范围是:[4,20)-.故答案为:[4,20)-.【点睛】本题考查了根据复合函数单调性求参数.对于复合函数单调性的判断要掌握同增异减,对函数的内层和外层分别判断,当外层函数是增函数时,内层函数也需要增函数,注意内层函数要满足外层函数的定义域.13．奇函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有(2)(2)0f x f x ++-=,且(1)9f =,则(2016)(2017)(2018)f f f ++的值为________【答案】9【解析】由(2)(2)0f x f x ++-=推导出(4)()f x f x +=即可得到()f x 的周期为4,当0x =时,由 (2)(2)0f f +=得(2)0f =.结合(1)9f =,即可求得(2016)(2017)(2018)f f f ++的值.【详解】(2)(2)0f x f x ++-=(2)(2)f x f x ∴+=-- ┄①()f x 为奇函数,故()()f x f x -=-(2)[(2)](2)f x f x f x ∴-=--=-- ┄②由①②可得:(2)(2)f x f x +=- 即:(4)()f x f x += 可得:()f x 的周期为4函数()f x 是定义在R 上的奇函数,可得: (0)0f =当0x =时, 由(2)(2)0f x f x ++-=,可得: (20)(20)0f f ++-=∴ (2)0f =(2016)(50440)(0)f f f ∴=⨯+= (2017)(20161)(1)9f f f =+== (2018)(20162)(2)0f f f =+==∴ (2016)(2017)(2018)9f f f ++=故答案为:9. 【点睛】本题考查通过奇函数的定义及周期函数的定义求函数的周期,解题关键是通过赋值法求特定的函数值和利用周期性求函数的值.14．在直角坐标系中，已知1,0A ，()4,0B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得2PA PB =，则实数m 的取值范围是______．【答案】(),-∞⋃+∞【解析】设点P 的坐标为(),x y ，根据条件2PA PB =求出动点P 的轨迹方程，可得知动点P 的轨迹为圆，然后将问题转化为直线10x my +-=与动点P 的轨迹圆有公共点，转化为圆心到直线的距离不大于半径，从而列出关于实数m 的不等式，即可求出实数m 的值. 【详解】设点P 的坐标为(),x y ，2PA PB ==化简得()2254x y -+=，则动点P 的轨迹是以()5,0为圆心，半径为2的圆，由题意可知，直线10x my +-=与圆()2254x y -+=有公共点，2≤，解得m ≤m ≥因此，实数m 的取值范围是(),-∞⋃+∞.故答案为：(),-∞⋃+∞.【点睛】本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了利用直线与圆的位置关系求参数，解题的关键就是利用距离公式求出动点的轨迹方程，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 15．下列命题:①关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩的系数行列式0D =是该方程组有解的必要非充分条件;②已知E 、F 、G 、H 是空间四点,命题甲:E 、F 、G 、H 四点不共面,命题乙:直线EF 和GH 不相交,则甲成立是乙成立的充分非必要条件;③“2a <”是“对任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充要条件; ④“0p =或4p =-”是“关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根”的充要条件;其中,真命题序号是________ 【答案】②【解析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断,即可得出答案. 【详解】对于①, 系数行列式0D ≠,关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩有唯一解,∴ 0D =是该方程组有解的非充分条件又系数行列式0D =,0x D ≠或0y D ≠关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩无解系数行列式0D =, 0x y D D == 关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩有无穷组解∴ 关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩的系数行列式0D =是该方程组有解的非必要非充分条件; 故①不正确;对于②,已知E 、F 、G 、H 是空间四点,命题甲:E 、F 、G 、H 四点不共面,命题乙:直线EF 和GH 不相交.命题甲可以推出命题乙,甲成立是乙成立的充分条件又直线EF 和GH 不相交,当EFGH ,即E 、F 、G 、H 四点共面,∴ 命题乙不能推出命题甲,甲成立是乙成立的非必要条件 ∴ 甲成立是乙成立的充分非必要条件.故②正确;对于③,设|1||1|y x x =++- 当1x ≥时,22y x =≥; 当11x -≤<时,2y =; 当1x <-时,22y x =->.故|1||1|2x x ++-≥2a <能推出任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥又对任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥不能推出2a <故“2a <”是“对任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充分不必要条件故③不成立;对于④,由关于x 的实系数方程px p x=+有且仅有一个实数根,得:20x px p +-=, 由240p p ∆=+=得:0p =或4p =-当0p =时,得0x =,检验知:0x =不是方程px p x=+的实根,故此时方程无解当4p =-时,2440x x -+=,解得2x =,检验知:2x =是方程px p x=+的实根.故此时关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实数根∴ “0p =或4p =-”不能推出“关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根”又关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根也不能推出“0p =或4p =-”∴ “0p =或4p =-”是“关于x 的方程px p x=+有且仅有一个实根”的既不充分也不必要条件. 故④错误. 故答案为:②. 【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档题.16．在直角坐标平面xOy 中,已知两定点1(2,0)F -与2(2,0)F 位于动直线:0l ax by c ++=的同侧,设集合{|P l =点1F 与点2F 到直线l 的距离之差等于2}，22{(,)|4,,}Q x y x y x y R =+≤∈,记{(,)|(,),}S x y x y l l P =∉∈,{(,)|(,)}T x y x y QS =∈,则由T 中的所有点所组成的图形的面积是________【答案】43π 【解析】根据条件确定集合P 对应的轨迹,利用集合T 的定义,确定T 对应图形,即可求得T 中的所有点组成的图形的面积.【详解】两定点1(2,0)F -与2(2,0)F 位于动直线:0l ax by c ++=的同侧,如图:过1(2,0)F -与2(2,0)F 分别作l 直线的垂线,垂足分别为,B C 由题意得122F B F C -=,即12F A = 在12Rt AF F △中214F F =,∴ 121cos 2AF F ∠=可得2160AF F ︒∠= ∴.集合P 对应的轨迹为线段2AF 的上方部分,Q 对应的区域为半径为2的单位圆内部根据T 的定义可知,T 中的所有点组成的图形为图形阴影部分∴ 阴影部分的面积为:21142224sin 4362360ππ︒⎛⎫⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭故答案为:433π. 【点睛】本题考查了集合的新定义的理解,解题关键是能够通过已知条件画出阴影面积的几何图像,数学结合,考查了分析能力和计算能力.三、解答题17．关于x 的不等式201x a x+<的解集为()1,b -． ()1求实数a ，b 的值；()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．【答案】（1）1a =-，2b =（2）12-【解析】(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;(2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出．【详解】解：(1)不等式201x a x+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -．1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，解得1a =-,2b =． (2)由(1)知1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为纯虚数，20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,解得12tan α=-. 【点睛】本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.18．如图,四棱锥P ABCD -中,PD ⊥底面ABCD ,且底面ABCD 为平行四边形,若60DAB ∠=︒,2AB =,1AD =.（1）求证:PA BD ⊥;（2）若45PCD ∠=︒,求点D 到平面PBC 的距离h . 【答案】（1）答案见解析（2221. 【解析】（1）因为60DAB ∠=︒,2AB =,1AD =,利用余弦定理求出BD ,即可判断出ABD △满足勾股定理,即ABD △直角三角形且角ADB ∠为直角,则AD BD ⊥,结合已知PD ⊥底面ABCD ,即可求证PA BD ⊥.（2）利用等体积法,根据P BCD D BCP V V --=列方程,即可求得点D 到平面PBC 的距离h . 【详解】（1）1,2,60AD AB DAB ︒==∠=根据余弦定理可得: 2222cos60BD AB AD AB AD ︒=+-⋅⋅∴BD222AD BD AB ∴+= AD BD ∴⊥PD ⊥底面ABCD ,BD ⊂底面ABCDPD BD ∴⊥,又AD PD D =BD ∴⊥平面PADPA ⊂平面PAD∴ PA BD ⊥综上所述, PA BD ⊥ （2）由（1）可知BC BD ⊥12BCDSBC BD ∴=⨯⨯=45PCD ︒∠= 可得:2PD CD ==123P BCD V -∴==21PC PB BC ==== 222BC PB PC ∴+=PB BC ∴⊥12BCPSBC PB ∴=⋅=1326D BCP V h -∴=⨯=又P BCD D BCP V V --==解得:7h = . 【点睛】本题考查了判定空间两条直线垂直和点到面的距离问题.本题的解题关键是将判定空间线线垂直转化为求证空间线面垂直,考查了学生空间想象能力和计算能力.属于中等题.19．如果一条信息有n 1,N)n n >∈（种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为12,,,n p p p ，则称H = ()()()12n f p f p f p ++（其中()f x = log ,a x x - ()0,1x ∈）为该条信息的信息熵．已知1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n 位选手（分别记为12,,,n A A A ）参加，若当1,2,k =,1n -时，选手k A 获得冠军的概率为2k -，求“谁获得冠军”的信息熵H 关于n 的表达式．【答案】（1）5（2）422n - 【解析】试题分析：利用11()22f =求出a ，根据题目（1）所给出的信息，32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，“某人被选中”的概率均为132，利用公式H = ()()()12n f p f p f p ++（其中()f x = log ,a x x - ()0,1x ∈），求出信息熵的值；比赛共有n 位选手（分别记为12,,,n A A A ）参加，若当1,2,k =,1n -时，选手k A 获得冠军的概率为2k -，利用公式H = ()()()12n f p f p f p ++（其中()f x = log ,a x x - ()0,1x ∈），表示出信息熵后，利用错位相减法求出数列的和.试题解析：（1）由1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，可得111log 222a -=，解之得2a =. 由32种情形等可能，故()11,2,,3232k P k ==，所以21132log 53232H ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，答：“谁被选中”的信息熵为5．（2）n A 获得冠军的概率为111111111+1124222n n n ---⎛⎫⎛⎫-++=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1,2,k =,1n -时，()22log 22k k k k k f p --=-=，又()112nn n f p --=，故111231124822n n n n H ----=+++++， 1112211+248222n n n n n n H ----=++++，以上两式相减，可得11111111+1224822n n H --=+++=-，故422n H =-，答：“谁获得冠军”的信息熵为422n -．20．双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点. （1）若l 的倾斜角为π2，1F AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b =l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率.【答案】（1）y =；（2）. 【解析】试题分析：（1）设(),x y A A A ，根据题设条件得到()24413b b +=，从而解得2b 的值．（2）设()11,x y A ，()22,x y A ，直线:l ()2y k x =-与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l 与双曲线交于两点，可得230k -≠，且()23610k ∆=+>．再设AB的中点为(),x y M M M ，由()110F F A +B ⋅AB =即10F M⋅AB =，从而得到11F k k M ⋅=-，进而构建关于k 的方程求解即可．试题解析：（1）设(),x y A A A ．由题意，()2,0F c ，c ，()22241y b c b A =-=，因为1F AB 是等边三角形，所以2c y A =，即()24413b b +=，解得22b =．故双曲线的渐近线方程为y =．（2）由已知，()12,0F -，()22,0F ．设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠．由()221{32y x y k x -==-，得()222234430k x k x k --++=．因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()23610k ∆=+>．设AB 的中点为(),x y M M M ．由11()0F A F B AB +⋅=即10F M⋅AB =，知1F M ⊥AB ，故11F k k M ⋅=-．而2122223x x k x k M +==-，()2623k y k x k M M =-=-，12323F k k k M =-，所以23123k k k ⋅=--，得235k =，故l的斜率为【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、平面向量的数量积【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，利用,,,a b c e 的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程得到方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.21．若定义在R 上的函数()y f x =满足：对于任意实数x 、y ，总有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=恒成立，我们称()f x 为“类余弦型”函数．()1已知()f x 为“类余弦型”函数，且()514f =，求()0f 和()2f 的值； ()2在()1的条件下，定义数列()()21(1,n a f n f n n =+-=2，3，).⋯求201720181222223333a a a alog log log log ++⋯++的值． ()3若()f x 为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t ，总有()1f t >，证明：函数()f x 为偶函数，设有理数1x ，2x 满足12x x <，判断()1f x 和()2f x 的大小关系，并证明你的结论．【答案】（1）()01f =，()1728f =（2）2035153（3）证明见解析，()()12.f x f x <，证明见解析【解析】()1是抽象函数基础题,令121,0x x ==,求得()01f =;令121x x ==,求得()1728f =; ()2对于此数列,需要求其通项,而求通项又需要递推公式,令x n =，1y =,利用题中关系式推导出递推公式12n n a a -=,求通项然后利用对数的运算法则求解答案;()3属于难题,因为()()12的铺垫,代入特定的数即令0x =,y 为任意实数即可证明偶函数,证明()1f x 与()2f x 的大小关系需要定义新的数列,又因为题目中的有理数条件,要充分利用分数的特点. 【详解】解：()1令1x =，0y =，则()()()()11210+=f f f f ，所以()01f =．令1x =，1y =，则()()()()20211f f f f +=，所以()1728f =． ()2令x n =，1y =，其中n 是大于1的整数，则()()()()()511212f n f n f n f f n ++-==，所以()()()()()21221f n f n f n f n +-=--，即12n n a a -=．又因为()()12213a f f =-=，所以数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，所以132n n a -=⋅，则213na log n =-．所以原式0120172035153=++⋯+=．(3)证明:由题意函数()f x 定义域为R 关于原点对称,令0x =,y 为任意实数,则()()()()()202f y f y f f y f y +-==，即()()-=f y f y ，所以()f x 是偶函数．令N 为1x ,2x 分母的最小公倍数,并且1a x N =,2b x N=,a b 、都是自然数,并且a b <．令数列{}n c 满足n n c f N ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0n =，1，.⋯下证：数列{}n c 单调递增．()1.01i f f N ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以01c c <；.ii 若1n n c c -<，n 是正整数，即1n n f f N N -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；令n x N =，1y N =，则11122n n n n f f f f f N N N N N +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即112n n n c c c +-+>．所以()1112n n n n n n n c c c c c c c +-->-=+->．综上,数列{}n c 单调递增,所以()()12f x f x <，又因为()f x 是偶函数，所以()()12.f x f x <【点睛】本题涉及抽象函数、数列求通项求和等知识，使用了赋值法、数学归纳法等方法,属于难题.小课堂：如何培养自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

上海市闵行区七宝中学2019届高三数学下学期3月月考试题(含解析)

上海市闵行区七宝中学2019届高三数学下学期3月月考试题（含解析）一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）1.已知集合，且，则实数的值是_________.【答案】5【解析】【分析】利用集合的包含关系，推出是的元素，从而可得结果.【详解】，集合，可得，所以，故答案为5 .【点睛】本题主要考查子集的定义，属于基础题. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.2.函数的定义域是_________.【答案】【解析】【分析】由，化为,解分式不等式可得结果.【详解】要使函数有意义，则，即,解得或,即函数的定义域是，故答案为.【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.3.函数的反函数是__________.【答案】【解析】【分析】利用指数函数的性质求出原函数的值域，可得反函数的定义域，根据指数与对数的互化关系可得结果.【详解】因为，所以，即原函数的值域是，所以反函数的定义域是，由可得,所以的反函数是，故答案为.【点睛】本题主要考查反函数的基本性质与求解反函数的方法，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.4.如果圆锥的底面积为，母线长为2，那么该圆锥的高为___________.【答案】【解析】【分析】由底面积求出底面半径，利用勾股定理可得结果.【详解】设圆锥底面半径为,因为圆锥的底面积为，所以又因为母线长为2，所以该圆锥的高为，故答案为.【点睛】本题主要考查圆锥的性质，意在考查对基础知识的掌握情况，考查了空间想象能力，属于基础题.5.二项式的展开式中的常数项为．【答案】112【解析】试题分析：由二项式通项可得，（r=0,1,…,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112.考点：二项式通项。

2019年上海市闵行区七宝中学高三下学期适应性考试(三模)(理)数学试题(附带超详细答案解析)

（2）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且 ,试写出（不需证明）；
（3）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，求的表达式.
23．已知，为两非零有理数列（即对任意的，均为有理数），为一无理数列（即对任意的，为无理数）．
（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式．
（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为．
（3）已知，，对任意的，恒成立，试计算．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
先根据直线的法向量，求出直线的一个方向向量，由此求出直线的斜率，进而求得直线的倾斜角．
【详解】
解：直线的一个法向量为，
直线的一个方向向量为，
设直线的倾斜角为 பைடு நூலகம்则有，
20．某海域有两个岛屿，岛在岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发出过鱼群．以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系.
（1）求曲线的标准方程；
（2）某日，研究人员在两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为，问你能否确定处的位置（即点的坐标）？
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
5．函数的定义域为____.
6．已知，，则 _____.
7．在的展开式中项的系数为______________.
8．已知地球的半径为，在北纬东经有一座城市，在北纬西经有一座城市，则坐飞机从城市飞到的最短距离是______________.（飞机的飞行高度忽略不计）

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