【志鸿全优设计】2013-2014学年七年级数学上册 第四章 3角例题与讲解 北师大版
【志鸿优化设计】2013-2014学年七年级数学上册 第三章 整式及其加减 5 探索与表达规律第1课
第三章整式及其加减 5 探索与表达规律第1课时教学重点与难点
教学重点：通过探索得到实际生活中蕴涵的数学规律，再依据规律正确求解．
教学难点：用代数式正确地表示实际问题中蕴涵的数学规律．
学情分析
认知基础：《整式及其加减》这一章是开启整个初中阶段代数学习大门的钥匙，《探索规
律》作为本章的最后一节，是学生初步学习数学符号语言后在应用方面的升华．学生通过前
几节的学习很好地体会了代数式是刻画现实世界的有效数学模型，建立初步的符号感，发展
了学生的抽象思维．
活动经验基础：在前几节的学习过程中，教材已经给学生提供了许多情境供他们观察、
讨论、操作，比如说数火柴棒问题，学生在活动中自觉体会了许多字母表示数的规律，获得
了初步的数学活动经验和体验，已经具备了初步的语言表达能力及符号表示能力，为本节课
从直观形象和抽象符号上进行规律探索，进一步体会数学的生活化创造了有利条件．
教学目标
1．经历探索数量关系，应用符号表示规律，通过验算证明规律的过程．在整个过程中
使学生进一步理解掌握探索规律的步骤．
2．会用代数式表示简单问题中的数量关系．在探究知识的过程中培养学生的创新能力．
3．培养面对挑战勇于克服困难的意志，鼓励大胆尝试，从中获得成功的体验，激发学
习热情．
教学方法
本节课的学习内容都是现实生活和数学计算中常见的、熟知的，因此教师应该把知识的
学习置于具体情境之中，通过丰富的例子使学生经历从自然语言到符号语言和图表语言的双
向交流过程．整个过程学生完全可以通过“做数学”开展独立探索或小组合作学习完成学习
任务．在这一教学过程中，要注重由学生充分动手实践与合作交流来完成对规律的探索和验
新人教版七年级数学上册第4章 几何图形初步《4.3.1 角》优质课件
房顶的角
圆规的角
剪刀的角
楼梯的折角
时针和分针的夹角
棱锥上的角
三角尺上的角
通过以上生活中的实例以及小学对角的认 识，根据你的理解，如何定义一个角？
角:有公共端点的两条射线组成的图形叫 做角.公共端点叫角的顶点，两条射 线叫角的边.——角的静态定义.
射边线
顶点
射边线
角的表示
如图，如何表能示把∠这个BO角C？
课堂小结
角的定义
角
有公共端点的两条射线 组成的图形
一条射线绕着它的端点 旋转而成的图形
用三个大写字母或 一个大写字表示.
角的表示 方法
用一个数字表示 用一个希腊字母表示
课后作业
1.完成以下各题
E
(1)写出图中能用一个字
母表示的角;
A
(2)写出图中以A为顶点的角;
(3)图中共有几个角？ B
2. 课本第134页练习1.
1°的60分之一为1分，记作1′，即1°＝60′ 1′的60分之一为1秒，记作1″，即1′＝60″
1. 1小时= 60 分， 1分= 60 秒. 2. 3.3小时= 3 小时 18 分，
2小时30分= 2.5 小时. 3. 1°= 60 ′，1′= 6″0. 4. 0.75°= 45 ′= 2700 ″，
34.37°= 34 ° 22 ′ 12″. 5. 1800″= 0.5 °，39°36′= 39.6°.
人教版七年级数学上册第四章4.3《角》例题与讲解
4.3 角
1．角的定义及其表示方法
(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．
(2)角的表示方法：
有四种表示角的方法：
①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注； ②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；
③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；
④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间． 破疑点 角的理解 (1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角．
【例1－1】 下列说法正确的是( )．
A ．平角是一条直线
B ．一条射线是一个周角
C ．两边成一条直线时组成的角是平角
D ．一个角不是锐角就是钝角
解析：要做对这类题目，一定要理解概念，严格按照概念进行判断，才能得出正确的结论．平角、周角都是特殊角，虽然它们与一般角形象不符，但是它们仍然是角，它们都具有一个顶点和两条边，只不过平角的两边成一条直线，周角的两边重合成一条射线罢了． 答案：C
【例1－2】 如图，以点B 为顶点的角有几个？请分别把它们表示出来．
分析：.射线BA 与BD ，BA 与BC ，BD 与BC 各组成一个角．表示顶点的字母必须写在
中间．当一个顶点处有多个角时，不能用一个表示顶点的大写字母表示，所以不能把∠ABC 错写成“∠B ”．书写力求规范，如用数字或希腊字母表示角时要在靠近顶点处加弧线注上阿拉伯数字或小写的希腊字母．注意：角的符号一定要用“∠”，而不能用“＜”． 解：以B 为顶点的角有3个，分别是∠ABC ，∠ABD ，∠DBC .
新人教版初中数学七年级上册《第四章几何图形初步：4.3角》公开课教案_2
四、教学方法及教学思路
本人在农村中学任教，面对的都是乡土气息浓厚的农村孩子。由于诸多方面的原因，造成这样的现状：绝大多数学生基础薄弱，没有学习习惯，学习品质、竞争意识差，更没有学习中知难而上的信心和毅力。所以面对这样的教育主体，我们在激发学生的学习兴趣、引导探究发现的同时，一定要注意学生的听课状态，降低难度，干启不发时，直接入主题。同时不能过分强调和主张学生课后的自主学习，因为绝大多数学生没有自主学习的习惯和能力。所以很多技能需在课上培养、训练和提高。我这里的教学，接近“一对一”的教，“手把手”的学。很多问题课前就有预见，准备好解决策略和途径。
能准确找出和表示简单至复杂图形中的角。
通过强化、重复训练，夯实角的认识，提高学习几何的信心。
三、教材分析
人教版七年级数学（上）《第四章 图形认识初步》第三部分的第一节 《角》的第一课时。
本章是图形与几何的起始章，是图形学习的第三学段。在本章，要进一步丰富学生对几何图形的感性认识，还要引导学生逐步认识一些基本图形的特征和性质。但这并不意味着要用严格的逻辑推理方式来展开学习，还是要强调在实际背景中直观理解图形的概念和特征，经历探索图形性质的过程。
回首本节教学的前前后后，不足之处是缺乏艺术性，即教学语言的艺术感染力。所以在这方面本人还需要加强。
人教版数学七年级上册 4.3.1《角》17张PPT课件
新知应用
例1 度分秒的互化：
（2） 17°6′36″= 17.11 °．
解析：17°6′36″=17°+6′+
36 60
′′
=17+6.6′
=17+
6.6 60
°
=17.11.
按1″=
1 60
′，1′=
1 60
°，先把秒化成分，再把分化成度.
(整数化小数)
新知应用
例2 如图，时钟显示为10:10时，时针与分针所夹角度( D ) A．90° B．100° C．105° D．115°
角
新知引入
观察左边的实物， 你发现这些实物能 抽象出什么样的共 同形象？
——角
新知讲解
你会画角吗？
角的定义与表示方法
问题 从你刚画的这些不同的图形中，能归纳出它们的共 同特点吗？尝试去描述一下角是由什么组成的图形？
公共端点 两条射线 角的定义
有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角．
两条射线 —角的两条边 公共端点 —角的顶点
1周角= 360 °；1平角= 180 °.
1°= 60 ′；1′= 60 ″.
新知应用
例1 度分秒的互化： （1） 57.32°= 57 ° 19 ′ 12 ″； 解析：57.32°=57°+0.32×60′ =57°+19.2′ =57°19′+0.2×60″ =57°19′12″
【志鸿优化设计】2013-2014学年七年级数学上册 第二章 有理数及其运算 9 有理数的乘方第2课
第二章有理数及其运算 9 有理数的乘方第2课时教学重点与难点
教学重点：
1．了解乘方运算结果的变化规律．
2．能进行较为复杂的有理数乘方运算．
教学难点：进一步理解乘方运算中的括号、符号问题．
学情分析
认知基础：本节课是“有理数的乘方”第2课时．在第1课时中学生已经理解了乘方的
意义，会进行简单的乘方运算，并初步了解了乘方运算结果的变化规律，但对乘方运算结果
的变化规律缺乏整体性的认识，并且进行有理数的混合运算的能力不足．
活动经验基础：学生通过探索有理数的加减乘除及乘方的运算法则和运算律的过程，亲
身经历了归纳、猜测、验证、推理、计算、交流等数学活动；理解了有理数的算理，进一步
体会了化归的思想方法；体验了数学与现实世界的密切联系及数学活动的探索性及创造性．
教学目标
1．全面了解当底数大于1及小于1时乘方运算结果的变化规律，发展学生的数感．
2．进一步理解有理数乘方的意义，并能解决一些相关的数学问题．
3．能进行较为复杂的有理数乘方运算．
教学方法
本节课采用“引导——自主探索”的教学模式，通过创设情境，为学生搭建展示思维过
程的平台，全面了解乘方运算结果的变化规律，发展学生的数感．借助变式例题和反例练习，
引导学生亲身经历观察、思考、对比、计算、交流等探索过程，培养学生进行较为复杂的有
理数乘方运算即简单的混合运算的能力并培养学生反思的意识与习惯．通过将教师的“引”
与学生的“探”融为一个和谐的整体，使教学活动成为在教师引导下学生的一种自主探索的
学习活动，在探索中形成自己的观点，提高计算能力、判断能力和自主探究的意识．
人教版数学七年级上册：4.3.1《角》习题课件(附答案)
(1)时针每分钟转动的角度为 0.5 °，分针每分钟转 动的角度为 6 °； (2)8 点整，钟面角∠AOB＝ 120 °，钟面角与此相 等的整点还有 4 点；
(3)如图，设半径 OC 指向 12 点方向，在图中画出 6 点 15 分时半径 OA、OB 的大概位置，并求出此时 ∠AOB 的度数. 解：如图，∠AOB＝3×30°＋ 15×0.5°＝97.5°.
Байду номын сангаас
4.如图，图中共有 3 个角，它们分别是 ∠BOC， ∠AOB，∠AOC .
第4题图
第5题图
5.如图，∠ABC 可以表示成∠ 1 或∠ B ，∠α 可
以表示成 ∠ACB ，∠2 可以表示成 ∠CAD .
6.如图，写出符合下列条件的角(图中所有的角均指 小于平角的角). (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以点 A 为顶点的角. 解：(1)能用一个大写字母表示 的角有∠C，∠B. (2)以点 A 为顶点的角有∠CAB， ∠CAD 和∠DAB.
13.如图，点 O 在直线 AB 上，则图中小于平角的角 共有( C ) A.7 个 B.8 个 C.9 个 D.10 个
14.若∠P＝25°12′，∠Q＝25.12°，∠R＝25.2°，则下 列结论：①∠P＝∠Q；②∠Q＝∠R；③∠P＝∠R； ④∠P＝∠Q＝∠R.其中错误的有 ①②④ (填序号). 15.某校在上午 9：30 开展“大课间”活动，上午 9：30 这一时刻钟面上分针与时针所夹的角等于
七年级数学上册第四章几何图形初步认识4.3.1角(图文详解)
注意事项
1.用三个大写的字母表示 表示顶点的字母要写在中间
2.用一个顶点的字母 来表示 3.用一个数字表示
4.用希腊字母表示
一个字母只表示一个角
在靠近顶点处画上弧线， 并写上数字 在靠近顶点处画上弧线， 并写上希腊字母
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
判断题： （1）两条射线组成的图形叫角.( × ) （2）角的大小与边的长短无关.( √ ) （3）角的两边是两条射线. ( √ )
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
角的表示方法： 角用“∠”表示，读作“角”.角的表示方法有下面四种： (1)角可以用三个大写字母表示,但表示顶点的字母一定要 写在中间； (2)用一个字母表示角,但必须是以这个字母为顶点的角 只有一个； (3)用一个数字表示角,在靠近顶点处画上弧线,写上数字； (4)用一个希腊字母表示,在靠近顶点处画上弧线,写上希腊 字母.
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
它们给我们怎样的图形印象.
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
B
想一想：
O
A
（1）你能指出所画角的边和顶点吗？
（2）角的两边是前面学过的什么图形，它们的位置关系
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
北师大版七年级上册数学第四章《4.3角》课件(共27张PPT)
5.如图,已知∠AOB，用量角器量出它的度数.
A
O
B
用量角器度量角的方法: 1.对中——角的顶点对量角器的中心; 2.重合——角的一边与量角器的零线重合; 3.读数——读出角的另一边所对的度数.
课堂练习
1. 判断下面各角的表示方法是否正确.
A
A
A
A
A
B
CB
CB
C
∠ACB
∠CAB
∠ABC
（ ×）
3.填一填：
1.1小时= 60 分， 1分= 60 秒. 2.3.3小时= 3 小时 18 分，
2小时30分= 2.5 小时. 3.1°= 60 ′，1′= 60 ″. 4.0.75°= 45 ′= 2700 ″， 34.37°= 34 ° 22 ′ 12 ″. 5.1800″= 0.5 °，39°36′= 39.6 °.
8时时针指向8，分针指向12，时针与分针之间共有4个大格，所以早上8时的时针与分针所成的角（小于平角）的度数是120°.
角用符号“∠”来表示.
A.60° B.80° 1°的60分之一为1分，记作1′，即1°＝60′
读数——读出角的另一边所对的度数.
C.120°
D.150°
2.
用三个大写字母表示时，中间字母是顶点字母；
解析：大于0°且小于180°的角有∠ABC， ∠ACB，∠BAC，∠ADC，∠ADB，∠BAD，∠DAC ，共7个.故选D.
【志鸿全优设计】七年级数学上册 第四章 4角的比较例题与讲解 北师大版
4 角的比较
1．角的大小比较
(1)度量法：先用量角器测量出各角的度数，再按照角的度数比较大小，从而确定两个角的大小关系．
(2)叠合法：两个角比较大小时，把两个角的顶点和一条边分别重合，另一条边放在重合边的同侧，根据另一条边的位置确定角的大小．
如比较∠ABC 和∠DEF 的大小，可把∠DEF 移到∠ABC 上，使它的顶点E 和∠ABC 的顶点B 重合，一边ED 和BA 重合，另一边EF 和BC 落在BA 的同一侧．
①如果EF 和BC 重合(如图1)，那么∠DEF 等于∠ABC ，记作∠DEF ＝∠ABC ；
②如果EF 落在∠ABC 的外部(如图2)，那么∠DEF 大于∠ABC ，记作∠DEF ＞∠ABC ； ③如果EF 落在∠ABC 的内部(如图3)，那么∠DEF 小于∠ABC ，记作∠DEF ＜∠ABC .
【例1】 如图，求解下列问题：
(1)比较∠COD 和∠COE 的大小；
(2)借助三角尺，比较∠EOD 和∠COD 的大小； (3)用量角器度量，比较∠BOC 和∠COD 的大小．
分析：(1)可用叠合法比较．∠COD 和∠COE 有一条公共边OC ，而OD 在∠COE 的内部，故∠COD 小；(2)我们要选择三角尺的一个角来估算这两个角的度数，就可以达到比较的目的；(3)通过度量容易得出结论．
解：(1)由图可以看出，∠COD <∠COE .
(2)用三角尺中30°的角分别和这两个角比较，可以发现∠EOD ＜30°，∠COD ＞30°，所以∠EOD ＜∠COD .
(3)通过度量可知：∠BOC ＝46°，∠COD ＝44°，所以，∠BOC >∠COD . 2．角的平分线
人教版七年级上册数学：4.3《角》教学课件
E
F
所以:∠AOB＜∠DEF
叠合法比较∠ABC 和 ∠DEF的大小
把∠DEF移动，使它的顶点E和∠ABC的顶点B重合，一边
EF和BC重合，另一边ED和BA落在BC的同旁。
A
B（ ）
C（ ）
E
两
D
“
重
”
一
“ F同
”
ED落在∠ABC的外部，则∠DEF ＞ ∠ABC。
比较∠ABC 和 ∠DEF的大小
把∠DEF移动，使它的顶点E和∠ABC的顶点B重合，一边 EF和BC重合，另一边ED和BA落在BC的同旁。
东
西南方向:_射__线__O_F__
A 东南方向:_射__线__O_G__
东北方向:_射__线__O_H__ G
北
（3）南偏西25°
B
70°
射线 OA
西
O
东 北偏西70°
60°
射线 OB
C
25°
南偏东60°
A南
射线OC
北
乙地对甲地的方位角
1. 先找出中心点,然后 画出方向指标
2. 把中心点和目的地用线 连接起來
A（ ）
D
B（ ） C（ ）
E
F
ED与BA重合，则∠DEF ＝∠ABC。
思考：下图中共有几个 角？它们有什么关系？
A C
人教版七年级数学上册 第4章几何图形初步--角的计算 专题训练(共30张PPT)
14．如图，已知∠AOE是平角，∠DOE＝20°，OB平分∠AOC，且 ∠COD∶∠BOC＝2∶3，求∠BOC的度数．
解：设∠COD＝2x°，则∠BOC＝3x°，因为OB平分∠AOC，所以 ∠AOB＝3x°，所以2x＋3x＋3x＋20＝180，解得x＝20，所以∠BOC＝ 3×20°＝60°
15．如图，已知∠AOE＝130°，∠AOB∶∠BOC＝2∶1，且3∠COE＝ 2∠AOB，求∠AOB的度数．
19．已知∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC， OD平分∠AOC，∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，试求∠COF的度数．
解：①当∠AOB 大于∠BOC 时，如图①，∠BOE＝∠AOE＝30°，∠ BOD＝20°，所以∠DOE＝10°，∠AOD＝40°，因为∠COD＝∠AOD ＝40°，∠BOD＝20°，所以∠BOC＝20°，从而∠COF＝12×20°＝10 °
பைடு நூலகம்
6．如图，∠AOD＝120°，∠2＝2∠1＝60°，则∠DOC的度数是 __6_0_°___，∠BOD的度数是_1_5_0_°___.
7．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，求∠AOD的度数． 解：∠AOD＝120°
8．如图，将一张长方形纸片沿BC折叠，点A落在点A′处，然后作 ∠A′BD的平分线BE，求∠CBE的度数．
10．已知∠AOB＝40°，OD是∠BOC的平分线． (1)如图①，当∠AOB与∠BOC互补时，求∠COD的度数； (2)如图②，当∠AOB与∠BOC互余时，求∠COD的度数．
人教版七年级数学上册第四章4.3《角》例题与讲解
4.3 角
1． 角的定义及其表示方法
(1) 角的定义：有公共端点的两条射线构成的图形叫做角，这个公共端点是角的极点，这两条射线是角的两条边．
角也能够看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． 当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．
(2)角的表示方法：
有四种表示角的方法：
①用一个阿拉伯数字表示独自的一个角，在角内用一段弧标明；②用一个大写英文字母表示 独自的一个角，当角的极点处有两个或两个以上的角时，
不可以用这种方法表示角；
③用一个小写希腊字母表示独自的一个角；④用三个大写英文字母表示随意一个角，这时表示极点的字母必定要写在中间． 破疑点 角的理解 (1)角的大小与边的长短没关，只与构成角的两条射线张开的幅度
大小相关，角能够胸怀，能够比较大小，能够进行运算； (2) 假如没有特别说明，所说的角 都是指小于平角的角．
【例 1－ 1】 以下说法正确的选项是
( ) ．
A ．平角是一条直线
B ．一条射线是一个周角
C ．两边成一条直线时构成的角是平角
D ．一个角不是锐角就是钝角
分析： 要做对这种题目， 必定要理解观点， 严格依据观点进行判断， 才能得出正确的结论．平角、周角都是特别角，固然它们与一般角形象不符，可是它们仍旧是角，它们都拥有 一个极点和两条边，只可是平角的两边成一条直线，周角的两边重合成一条射线罢了．
答案： C
【例 1－ 2】 如图，以点 B 为极点的角有几个？请分别把它们表示出来．
剖析： .射线 BA 与 BD ， BA 与 BC ，BD 与 BC 各构成一个角．表示极点的字母一定写在
【志鸿优化设计】2013-2014学年七年级数学上册 第4章4.6 用尺规作线段与角例题与讲解 (新
4.6 用尺规作线段与角
1．尺规作图的概念
几何中，通常用没有刻度的直尺和圆规来画图，这种画图的方法叫做尺规作图．
(1)尺规作图与画图虽然都是指按要求画出符合条件的正确图形，但两者还是有本质上的区别．尺规作图是画图的一种特殊的表现形式，它要求只能限定用直尺和圆规这两种工具完成画图过程，而画图一般不限定工具．既可用直尺和圆规，也可以用其他的辅助工具，比如量角器、三角板、刻度尺等．
(2)直尺的功能：在两点间连接一条线段；将线段向两边延长．圆规的功能：以任意一点为圆心，适当长为半径作一个圆；以任意一点为圆心，适当长为半径画一段弧．
【例1】 下列说法中，正确的是( )．
A ．延长射线OA
B ．作直线AB 的延长线
C ．延长线段AB 到C ，使AC ＝12
AB D ．延长线段AB 到C ，使AC ＝2AB 解析：A 项：射线不可以延长，只能反向延长；B 项：直线没有延长线和反向延长线；C
项：如果延长AB 到C ，则AC ＞AB ，不可能AC ＝12
AB . 答案：D
2．作一条线段等于已知线段
(1)已知：线段a
求作：线段AB ，使AB ＝a .
作法：
①作一条直线l ；
②在l 上任取一点A ，以点A 为圆心，以线段a 的长度为半径画弧，交直线l 于点B . 线段AB 就是所求作的线段．
(2)常用的基本作图语言有：①过点×和点×作射线××(或作直线××)；②在射线××上截取××＝××；③在射线上顺次截取××＝××＝××；④以点×为圆心，××长为半径作弧，交××于点×.
谈重点作图的要求
作图题的作图要求：(1)要根据问题把已知条件具体化；(2)要写明作什么图形，满足什么要求；(3)在作法中要使用规X 语句，按照作图的顺序逐一写明；(4)最后要指出结论．
七年级数学上册第四章几何图形初步4.3角4.3.1角课件新版新人教版
1 ×18=18.305°,故C选项错误;22.25°=22°+0.25×60'=22°15',故D选 3 600
项正确.
10.将下列各角用度、分、秒表示出来. (1)32.41°;(2)75.5°;(3) °. 解析 (1)32.41°=32°+0.41×60‘=32°+24.6’=32°+24‘+0.6×60″=32°24'36″.
3.(2018江西临川一中月考)下列四个图形中,能用∠α、∠AOB、∠O三 种方法表示同一个角的是 ( )
答案 C C选项中,以O为顶点的角只有一个,可以用∠O来表示,且∠ α、∠AOB、∠O为同一个角.
4.如图4-3-1-2,下列说法:①∠1就是∠ABC;②∠2就是∠DBC;③以B为 顶点的角有3个,它们是∠1,∠2,∠ABC;④∠ADB也可以表示成∠D;⑤ ∠BCD也可以表示成∠ACB,还可以表示成∠C,其中说法正确的有 ( )
1 12
(2)75.5°=75°+0.5×60'=75°30'. (3) °= ×60'=5'.
1 12
1 12
11.用度表示下列各角. (1)37°36″;(2)51°6';(3)15°24'36″. 解析
《初中同步测控全优设计》2013-2014学年华师大版七年级数学上册例题与讲解：第4章4.5最基本的图形：点和线
4.5 最基本的图形——点和线
1．点、线段、射线和直线
(1)点
点的概念：用削尖的铅笔轻触一张白纸，就在纸上留下了点的直观形象．在许多图示上，点常用来表示那些大小尺寸可以忽略的物体．例如，在小比例尺地图上，一个城市就常常用一个点来表示．许多点的聚集又可以表现不同的图形，例如，报纸上的图片、电视屏幕上的画面，都是由浓淡不同或者色彩各异的点组成的．点通常用大写字母来表示．下图中的两点分别用“A”，“B”来表示．
(2)线段
①线段的概念
在日常生活中，一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线都给我们以线段的形象．实际上，线段是无数排成行的点的聚集．线段具有两个特征：a.线段是直的；b.线段有两个端点，所以说它是有界的．像我们身边的黑板的四边，桌子的四边等都是线段．
②线段的表示方法
a．一条线段可用它的两个端点的大写字母来表示．如图，以A，B为端点的线段，可记作“线段AB”或“线段BA”．
b．一条线段可用一个小写字母来表示．如图，线段AB也可记作“线段a”．
③线段的基本性质
线段的性质是“两点之间，线段最短”．这就是说，所有连结A，B两点的线中，线段AB最短．即“两点之间，线段最短”．
④两点的距离
连结两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．注意：在这里，距离指的是具体的“数”，而不是线段这个图形．
(3)射线
①射线的概念
把线段向一方无限延伸就形成了射线，像手电筒，探照灯所射出的光线都可以近似地看成射线．它只有一个端点，向一方无限延伸，是无界的．
②射线的表示方法
用两个大写字母表示，一条射线可用它的端点和射线上另一个点来表示．如图中的射线可表示为“射线OA”，表示端点的字母必须写在前面．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3 角
1．角的定义
(1)静态定义：由两条具有公共端点的射线组成的几何图形叫做角．如图甲．
角的有关概念：
顶点：两条射线的公共端点．
边：组成角的两条射线．
(2)动态定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转所形成的几何图形．如图乙．
谈重点角的理解
(1)角有两个特征：①角是由两条射线组成的；②这两条射线有公共的端点．
(2)角的大小与角的两边的长短无关：由于角的两边是射线，而射线是向一方无限延伸的，所以角的大小与角的两边的长短无关，只与两条射线张开的程度有关．【例1】下列说法错误的有( )．
①有公共点的两条射线形成的图形是角
②从一点引出的两条射线形成的图形是角
③角的大小与两边所画的长度有关
④线段绕着一个端点旋转也可以形成角
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析：
答案：C
2．角的表示方法及画法
角的表示方法有四种．
(1)三个大写英文字母表示法：用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图(1)中的角，可记为∠AOB，注意顶点的字母写在中间，每条边上的一点A，B写在两旁．
(2)顶点字母表示法：当角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，如图(1)中的∠AOB也可记为∠O.
(3)阿拉伯数字表示法：在角的顶点处加上弧线标上数字，就可以用这个数字来表示角，如图(2)中的∠AOB可记为∠1.
(4)希腊字母表示法：在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母(α，β，γ等)，就可以用这个小写希腊字母来表示角，如图(2)中的∠BOC可记为∠α.这种方法与数字表示法实际上是一样的．
释疑点表示角时的注意事项
①以上四种表示方法的前面必须加上角的符号“∠”．
②表示角所用的符号“∠”，不能写成小于号“<”．
③当一个顶点处有两个以上的角时，不能用顶点字母表示法来表示角，如图(2)中以O
为顶点的角有∠1，∠α，∠AOC ，就不能用∠O 来表示了．否则，就会产生混乱．
3．平角、周角
(1)平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角，平角是180°，如图1.
(2)周角：如图2，一条射线绕它的端点旋转一周，当终边与始边重合时，所成的角叫
做周角．周角等于360°.
(3)平角与周角的关系：一周角等于两平角．
平角的两边成一条直线，周角的两边重合后成一条射线，但不能认为一条直线就是平角或认为一条射线就是周角．角必须有顶点和两边．
【例3】 下列说法是否正确，为什么？
①平角是一条直线；
②钟表上的分针经过1小时形成一个周角．
分析：可根据平角和周角的形成定义判断．
解：①错．因为平角是一条射线绕着它的端点旋转到反方向位置时形成的图形，平角有顶点、边这些基本元素，而直线没有，故是错误的； ②正确．因为分针经过1小时会旋转一周，所以分针经过1小时会回到初始位置，即能形成一个周角．
4．度、分、秒的换算
(1)角的单位及意义
角的单位是度、分、秒．
意义：①把一个平角180等分，每一份就是一度的角，记作1°；②把一度的角60等分，每一份就是一分的角，记作1′；③把一分的角60等分，每一份就是一秒的角，记作1″.
(2)度、分、秒的进率及换算方法
度、分、秒的进率是60.即1°＝60′，1′＝60″，1°＝60′＝3 600″.
度60
60⨯÷分6060⨯÷秒
(3)度、分、秒有关的计算
度、分、秒的进率是六十进制，不同于十进制．在运算中满60才向高位进1，而借1则表示低位的60.
在进行度、分、秒的加减法或乘除法的运算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减、不够除的要借位．从高位借的，单位要化为低位的单位后才能进行运算．
在相乘或相加时，当低位大于或等于60时，要向高位进位．
【例4－1】 (1)用度、分、秒表示48.13°为__________；
(2)用度表示23°9′36″为__________．
解析：(1)先把0.13°化成分：60′×0.13＝7.8′，再把0.8′化成秒：60″×0.8＝48″，所以48.13°＝48°7′48″；
(2)先把36″化成分：⎝ ⎛⎭⎪⎫160′×36＝0.6′，再把9.6′化成度：⎝ ⎛⎭
⎪⎫160°×9.6＝0.16°，所以23°9′36″＝23.16°.
答案：(1)48°7′48″ (2)23.16°
【例4－2】 计算：
(1)13°29′＋78°37″； (2)61°39′－22°5′32″；
(3)23°53′×3； (4)107°43′÷5.
分析：先将相同单位相加减，注意进位和借位；乘法要先乘低位，再乘高位；除法是先除高位，高位余数换算成低位数后，再除低位．
解：(1)13°29′＋78°37″＝91°29′37″.
(2)61°39′－22°5′32″
＝61°38′60″－22°5′32″
＝39°33′28″.
(3)23°53′×3＝69°159′＝71°39′.
(4)107°43′÷5＝(105°＋2°43′)÷5
＝105°÷5＋163′÷5
＝21°＋(160′＋180″)÷5
＝21°＋160′÷5＋180″÷5
＝21°32′36″.
5.角的计数方法
数角的个数与数线段的条数的方法基本上相同，都要按一定的方法去数．常用的有两种方法：
①始边计数法：先以某条边为始边(固定一边)，按顺时针方向或逆时针方向找到与之构成的所有的角，然后再以另一条射线为边，重复上面的过程，最后把所有的角的个数加起来，就是构成角的总个数．
②分类计数法：先数清基本的角，再数由两个基本角组成的角，由三个基本角组成的角……
【例5】如图，图中共有多少个角？用字母分别表示出来．
分析：要确定有多少个角，需要先确定始边与终边的条数．可以用始边计数法数角的个数．即先以OA为始边，则能与它组成角的边有3条，就有3个角；再以OB为始边，按逆时针数出角的个数，依次类推．
解：以OA为一边的角有∠AOB，∠AOC，∠AOD；
以OB为一边且不重复的角有∠BOC，∠BOD；
以OC为一边且不重复的角有∠COD.
因此图中共有6个角，它们分别为：
∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD.
6．角的应用
角在生活和生产中随处可见．本节的有关角的应用主要是钟表中的角．
钟面上共有12个大格，把周角平均分，即360°÷12＝30°.钟表面上有60个小格，360°÷60＝6°.因此，时针每小时转动30°，分针每分钟转动6°.
时针与分针的夹角的求法：
先确定时针与分针之间有几个大格，即有多少个30°.用30°乘大格数．
特别注意：①从时针开始数，所形成的角有时需要按顺时针数，如3：40；有时需要按逆时针数，如2：50.
②从时针开始，按顺时针形成的角，两个度数相减；按逆时针形成的角度数相加．
③时针每分钟转30°÷60＝0.5°.
【例6】如图是部分节目的播出时间，分别确定出钟表上时针与分针所成的最小的角的度数．
分析：确定钟表上时针与分针所成的最小角的度数，需要先确定时针与分针形成的角中包含几个大格和小格．