运筹学第7章：图与网络分析

S (T * ) = min S (T )
T
那么称T*是G 的最小生成树。 最小生成树。 某六个城市之间的道路网如 图所示， 图所示 ， 要求沿着已知长度 v 的道路联结六个城市的电话 1 线网， 线网 ， 使电话线的总长度最 短。
v3 6 1 5 v2 7 2 v4 3 4 5 v5 4 v6
（一）破圈法
3、 如果一个图是由点和弧所构成的， 如果一个图是由点和弧所构成的， 那么称它为有 那么称它为 有 向图， 向图 ， 记作 D =(V, A)， 其中 V 表示有向图 D 的点集 合，A表示有向图D的弧集合。 的弧集合。一条方向从vi 指向vj 的 弧,记作( 记作(vi ,vj )。 4、一条边的两个端点是相同的, 一条边的两个端点是相同的,那么称为这条边是环 那么称为这条边是环 5、如果两个端点之间有两条以上的边， 如果两个端点之间有两条以上的边，那么称为它 们为多重边 多重边。 们为多重边。 6、一个无环、 一个无环、无多重边的图称为简单图 无多重边的图称为简单图； 简单图； 一个无环， 一个无环，有多重边的图称为多重图 有多重边的图称为多重图。 多重图。 7、每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为完全图 每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为完全图 任意两个顶点之间有且仅有一条有向边的简单图称 为有向完全图。 有向完全图。
邻接矩阵为： 邻接矩阵为：
v1 0 v2 1 v 3 0 B= v 4 1 v 5 1 v6 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0
v1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6
树的性质： 树的性质：
（1）树必连通， 树必连通，但无回路（ 但无回路（圈）。 （2）n 个顶点的树必有n-1 条边。 条边。 （3）树中任意两个顶点之间， 中任意两个顶点之间，恰有且仅有一条链( 恰有且仅有一条链(初 等链) 等链)。 （4）树连通， 树连通，但去掉任一条边， 但去掉任一条边， 必变为不连通。 必变为不连通。 （5）树无回路( 无回路(圈)，但不相邻 的两个点之间加一条边， 的两个点之间加一条边，恰得到 一个回路（ 一个回路（圈）。
wi j ai j = 0 (v i , v j ) ∈ E (vi , v j ) ∉ E
称矩阵A为网络G的权矩阵。 设图G =(V，E)中顶点的个数为n，构造一个矩阵
A = ( a i j ) n×n，其中： 其中：
1 ai j = 0 (v i , v j ) ∈ E (v i , v j ) ∉ E
v1 v6 v5 v2
v3 v4
2、设图K = (V , E1 )是图G=(V , E )的一支撑子图， 的一支撑子图，如 果图 K = (V , E1 )是一个树， 是一个树，那么称K是G的一个生成树 的一个生成树 (支撑树) 支撑树)，或简称为图G 的树。 的树。图G 中属于生成树的 边称为树枝 边称为树枝， 不在生成树中的边称为弦。 树枝，不在生成树中的边称为弦
e5
（一）破圈法
（二）避圈法
在图中任取一条边e1，找一条与e1不构成圈的边e2，再找 一 条 与 { e1，e2} 不 构 成 圈 的 边 e3。 一 般 设 已 有 { e1， e2，…，ek}，找一条与{e1，e2，…，ek}中任何一些边不 构成圈的边ek+1，重复这个过程， 重复这个过程，直到不能进行为止。 直到不能进行为止。
v2 v1 v3
e 2 = {v1 , v 2 } e 4 = {v 3 , v 4 } e 6 = {v 3 , v 5 } e 8 = {v 5 , v 6 } e10 = {v1 , v 6 }
v4 v6
e9
V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 }， A = {(v1 , v3 ) , (v2 , v1) , (v2 , v3 ) , (v2 , v5 ) , (v3 , v5 ) , (v4 , v5 ) , (v5 , v4 ) , (v5 , v6 ) }
第六章 图与网络分析
(Graph Theory and Network Analysis)
A
C
D
B
A
哥尼斯堡七桥问题
C D
B
一笔画问题
北京 济南
天津 青岛
左图是我国北京、 左图是我国北京、 上海等十个城市间 的铁路交通图， 的铁路交通图，反 映了这十个城市间 的铁路分布情况。 的铁路分布情况。
电话线分布图
v3 v3 v1 v2 v4 v1 v2 v4 v5 v6 v1 v3 v1 v5
v3 v2 v6 v1
v3
v5 v2
v3 v1 v2
v5 v6
二、最小生成树问题
如果图T = (V , E1 ) 是图G的一个生成树， 的一个生成树，那么称E1上 所有边的权的和为生成树T的权， 的权，记作S(T)。如果图 G的生成树T*的权S(T*)，在G 的所有生成树T 中的权 最小， 最小，即
BB
C C
A B
C
D
E
用图表示的比赛情况
图与网络的基本知识
一、图与网络的基本概念
1、 一个图是由一些点及点与点之间的连线（ 一个图是由一些点及点与点之间的连线（不带 箭头或带箭头） 箭头或带箭头）组成。 组成。 两点间不带箭头的连线称作边 两点间不带箭头的连线称作边，带箭头的连线 称作弧 称作弧。 2 、 如果一个图是由点和边所构成的， 如果一个图是由点和边所构成的 ， 则称其为 无向图， 无向图 ， 记作 G =(V，E) 。 其中， 其中 ， V表示无向图 G 的点集合， 的点集合，E表示无向图G的边集合, 的边集合,连接点的边记 作[vi ,vj]，或者[ 或者[vj,vi]。
第1步：任取一个圈， 任取一个圈，从圈中去掉一条权最大的边(如果有 两条或两条以上的边都是权最大的， 两条或两条以上的边都是权最大的，则任意去掉其中一条) 第 2步 ：在余下的图中， 在余下的图中，重复上述步骤， 重复上述步骤，一直得到一个不 含圈的图为止。 含圈的图为止。
v v3 3 v 3 6 v v1 1 v 1 5 5 5 v2 v 2 v 2 1 1 1 7 2 2 2 3 3 3 v v4 4 v 4 4 4 4 5 5 v v5 5 v 5 4 4 4 v6
9、设G1= (V1 , E1 )，G2 = (V2 , E2 )如果V2⊆V1,E2⊆ E1 称G2是G1的子图； 子图；如果V2 = V1,E2 ⊆ E1称G2是G1的部 分图或支撑子图 分图或支撑子图。 支撑子图。
v2 v1 e1 e6 v6 e7 e5 (a ) e8 v7 e2 e9 e10 e11 v5 e4 v3 e3 v4 v1 v2 e1 e6 e7 e8 v7 v5 (b ) v1 e1 e7 v2 e9 e10 v7 e 11 v5 ( c) v4 v3
v1 v 2树问题
一、相关概念
已知有六个城市， 已知有六个城市，它们之间要架设电话线， 它们之间要架设电话线，要求任 意两个城市均可以互相通话， 意两个城市均可以互相通话 ， 并且电话线的总长度 最短。 最短。
v1 v6 v5 v2
v3 v4
1、一个连通的无圈的无向图叫做树 一个连通的无圈的无向图叫做树(不含圈的图称森林 不含圈的图称森林) 森林) 树中次为1 树中次为1的点称为树叶 的点称为树叶， 树叶，次大于1 次大于1的点称为分支点 的点称为分支点。 分支点。
v5
8、 以点 v为端点的边的个数称为点 v的度(次 )，记作 d(v)。(环记两度) 环记两度) 度为零的点称为弧立点 度为零的点称为 弧立点， 弧立点 ， 度为1 度为 1 的点称为悬挂点 的点称为 悬挂点。 悬挂点 。 悬 挂点的关联边称为悬挂边 挂点的关联边称为悬挂边。 悬挂边。度为奇数的点称为奇点 度为奇数的点称为奇点， 奇点， 度为偶数的点称为偶点 度为偶数的点称为偶点。 偶点。 有向图中， 有向图中，以vi 为始点的边数称为点vi的出次, 出次,用d + (vi ) 表示； 表示；以vi 为终点的边数称为点vi 的入次， 入次，用 d − ( v i ) 表 示；vi 点的出次和入次之和就是该点的次 点的出次和入次之和就是该点的次。 有向图中， 有向图中，所有顶点的入次之和等于所有顶点的出 次之和。 次之和。 定理1 定理1 所有顶点度数之和等于所有边数的2 所有顶点度数之和等于所有边数的2倍。 定理2 在任一图中， 在任一图中，奇点的个数必为偶数。 奇点的个数必为偶数。
v1 v5 v2 v5 v1 v2
v4
v3
v4
v3
一个图G 有生成树的充要条件是G 是连通图。 是连通图。
求出下图的一个生成树。 求出下图的一个生成树。
v2 e1 v1 e2 v2 e1 v1 e2 v3 e3 e5 e6 e4 e7 v4 e8 v5 v1 e2 v3 v3 v2 e4 v4 e6 e8 v5 e3 e4 e7 v4 e 8 e6 v5
v2 e1 v1 e2 e3 v3
e4 e5 e7
v4 e9 e8 e10 v5 v6
e6
12、图中任意两点之间均至少有一条通路， 图中任意两点之间均至少有一条通路，则称 此图为连通图 此图为连通图， 连通图，否则称为不连通图。 否则称为不连通图。
二、图的矩阵表示
对于网络（ 对于网络（赋权图） 赋权图）G =(V，E)，其中边 (v i , v j ) 有权 w i j ，构造矩阵 A = (a i j ) n×n，其中： 其中：
称矩阵A为网络G的邻接矩阵。
v1
4 6 3 7
例
v6
v2 2 v3 5
3
3
4 2 v5 v4
权矩阵为： 权矩阵为：
v1 0 v2 4 v 3 0 A= v4 6 v5 4 v6 3 4 0 2 7 0 0 0 2 0 5 0 3 6 7 5 0 2 0 4 0 0 2 0 3 3 0 3 0 3 0
V = {v1 ,v 2 , v 3 , v 4 , v5 , v 6 } E = {e1 ， e2 , e 3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10 }
v1 e10 v6 e8
e1 e2 e5 e6 v5 e7 v3 v2 e3 e v4 4
e1 = {v1 , v 2 } e 3 = {v 2 , v 3 } e5 = {v1 , v 3 } e 7 = {v 3 , v 5 } e 9 = {v 6 , v 6 }
e6 v6
v6 e5
子图
支撑子图
10、 10、在实际应用中， 在实际应用中， 给定一个图 G =(V，E)或有向图 D=(V，A)，在 V中指定两个点， 中指定两个点，一个称为始点（ 一个称为始点（或发 点），记作 ），记作v1 ，一个称为终点（ 一个称为终点（或收点）， 或收点），记作 ），记作vn ， 其余的点称为中间点。 其余的点称为中间点。对每一条弧 ( v i , v j ) ∈ A ，对应 一个数 w i j ， 称为弧上的 “权 ”。 通常把这种赋权的图 称为网络 网络。 称为网络。 11、由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列 称为链 称为链。如:v0 , e1 , v1 , e2 , v2 ,e3 , v3 ,… ,vn-1 , en , vn， 记作( 记作(v0 ， v1 ， v2， v3 , …, vn-1 ， vn),其链长为 ),其链长为n ， 其中v0 ，vn分别称为链的起点 分别称为链的起点和 起点和终点。 终点。若链中所含的 边均不相同， 边均不相同，则称此链为简单链 则称此链为简单链； 简单链；所含的点均不相同 的链称为初等链 的链称为初等链 , 也称通路 也称通路。 通路。
郑州
徐州
连云港
南京 武汉
上海
煤气管道图 航空线图
已知有A、B、C、D、E五个球队， 五个球队，A队和其他 各队都比赛过一次， 各队都比赛过一次，B队和A、C两队比赛过， 两队比赛过，C队 和A、B、D队比赛过， 队比赛过，D队和A、C、E队比赛过， 队比赛过， E队和A、D队比赛过。 队比赛过。
E E AA D D