高三数学5月适应性测试试题理

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云南省昆明市高三适应性考试理科数学试卷

机密★启用前【考试时间：5月8日 15:00～17:00】云南省昆明市2008届高三适应性考试理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 满分150分，考试用时120分钟.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：第Ⅰ卷共2页，共12小题 ,请用黑色碳素笔将答案答在答题卡上，答在试卷上的答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数()lg(1)f x x =-的定义域为集合A ，函数()g x B ，则A B 等于（A ）[)0,1 （B ）(),1-∞ （C ）R （D ）∅ 2．已知α是第三象限的角，并且sin α=45-，则tan α等于（A ）34（B ）43（C ）34-（D ）43-3（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4．如果0,0a b ><，那么下列不等式中正确的是（A ）11a b< （B ）22a b > （C ）a b a b +>- （D ）a b a b ->+5．设向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则“2121y yx x =”是“//”的（A ）充要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分不必要条件（D ）既不充分也不必要条件 6．过坐标原点且与圆224210x y x y +-++=相切的直线方程为（A ）34y x =（B ）34y x =- （C ）34y x =或0x = （D ）34y x =-或0x = 7．正三角形ABC 的三个顶点在球O 的表面上，OA AB =，球心O 到平面ABC 的距离为1，则球O 的表面积为（A ）4π （B ）6π （C ）8π （D ）16π8．在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，33324,20a b b b b =-=，则数列{}n a 前5项的和5S 为（A ）5 （B ）10 （C ）20 （D ）409．已知函数()sin 2f x x x =的图象为C ，则下列命题中①函数()f x 的周期为2π； ②函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为2-； ③图象C 关于直线712x π=对称； ④图象C 关于点(,0)6π-对称. 正确的命题个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 10．某学校在一次数学基础测试统计中, 所有学生成绩服从正态分布(100,4)N （单位：分），现任选一名学生, 该生成绩在96分~104分内的概率是（A ） (2)(2)F F -- （B ） 1(2)-Φ （C ）2(1)1Φ- （D ）2(2)1Φ- 11．我省某电力部门有5名电力技术员1A 、2A 、3A 、4A 、5A 和4名电力工程师1B 、2B 、3B 、4B ，现从中选派2名技术员和1名工程师支援某省今年年初遭受的严重雪灾灾后电力修复工作, 如果1A 、2A 两名技术员只能同时选派或同时不选派，技术员3A 和工程师1B 不能同时选派，则不同的选派方案有（A ）16种（B ）15种（C ） 14种（D ） 13种12．路灯距地面9m , 一身高1.8m 的人沿穿过灯下的直路以2m s 的速度自O 处按图示方向行走, 则人影长度变化速率是（A ）0.25m s （B ）2m s （C ） 1.5m s （D ）0.5m s机密★启用前【考试时间：5月8日 15:00～17:00】昆明市2008届高三适应性考试理科数学试卷第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第Ⅱ卷共2页，共10小题 ,请用黑色碳素笔将答案答在答题卡上，答在试卷上的答案无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案直接答在答题卡上. 13．函数()21(0)x f x x =->的反函数为1()f x -，则1(3)f -= .14．已知7(a x-的展开式中2x 项的系数为3，则实数a 的值为．（用数字作答）15．已知双曲线221y x m -=与椭圆22172x y +=有相同的焦点，则双曲线的渐近线方程为 .16．棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点P 、Q 、R 分别是表面1111D C B A 、11B BCC 、 11A ABB 的中心，给出下列结论：①PR 与BQ 是异面直线； ②⊥RQ 平面11B BCC ； ③平面PQR ∥平面AC D 1；④过P 、Q 、R 的平面截该正方体所得截面是边长为2的等边三角形. 以上结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，S 表示该三角形的面积，且22cos cos 22cos .B B B =+（Ⅰ）求角B 的大小；C 1B1A 1AE（Ⅱ）若2,a S ==，求b 的值.18．（本小题满分12分）在2008年北京奥运会某项目的选拔比赛中, A 、B 两个代表队进行对抗赛, 每队三名队员, A 队队员是123,A A A 、、B 队队员是123,B B B 、、按以往多次比赛的统计, 对阵队员之间胜负概率如下表, 现按表中对阵方式出场进行三场比赛, 每场胜队得1分, 负队得0分, 设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ、η, 且3ξη+=.（Ⅰ）求A 队得分为2分的概率；（Ⅱ）求ξ的分布列;并用统计学的知识说明哪个队实力较强.19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -，⊥CB 平面11A ABB ，E 是棱11C B 上一点，D 是1AC 的中点，//1AC 平面B EA 1，21==BB AB ，二面角11B B A E --的大小为4π. （Ⅰ）求11C B 的长；（Ⅱ）求二面角11B A D B --的大小. 20．（本小题满分12分）设函数()(1)ln(1)f x x x =++. （Ⅰ）求()f x 的单调区间;（Ⅱ）若2()g x x x a =++，且对任意12[0,2]x x ∈、总有12()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围. 21．（本小题满分12分）设点()0,1F ，动圆P 经过点F 且和直线l ：1y =-相切. 记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W .（Ⅰ）求曲线W 的方程；（Ⅱ）设点Q 为直线20x y --=上的动点，过点Q 作曲线W 的切线QA QB 、（A B、为切点），证明：直线AB 必过定点并指出定点坐标.22．（本小题满分12分）在数列{}n a 中，已知11a =-， 131n n a S n +=+-()*n N ∈（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()()1313n nn n b a λ-=+-+（λ为非零常数），问是否存在整数λ，使得对任意*n N ∈都有1n n b b +>？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.昆明市2008届高三适应性考试理科数学参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1.A2.A3.B4.D5.C6.C7.B8.B9.B 10.D 11.C 12.D二、填空题（每小题5分，共20分） 13.2 14.3715.2y x =± 16.③④三、解答题（共70分） 17. （本小题满分10分）解：（Ⅰ）由22cos cos 22cos B B B =+ 可得：222cos 2cos 12cos .B B B =-+1cos ,2B ∴=又0B π<<3B π∴=; ………………………… 5分（Ⅱ）1sin 2ac B =4c ∴=22212cos 416224122b ac ac B ∴=+-=+-⨯⨯⨯=b ∴=………………………………………… 10分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设A 队得分为2分的事件为0A ,∴022*********()35535535575P A =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………… 4分（Ⅱ）ξ的可能取值为3 , 2 , 1 , 0 ;8(3)75P ξ==, 28(2)75P ξ==, 2331231322(1)3553553555P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 1333(0)35525P ξ==⨯⨯=,∴ξ的分布列为:………… 8分于是 32288220123255757515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=, ……………… 9分 ∵ 3ξη+=, ∴ 23315E E ηξ=-+= ……………………… 11分由于E E ηξ>, 故B 队比A 队实力较强. ……………………… 12分19．（本小题满分12分）解法一（Ⅰ）连结OE ，∵//1AC 平面B EA 1，平面11C AB ∩平面OE B EA =1∴OE AC //1 又∵O 是1AB 的中点 ∴E 是11C B 的中点EAA 1B 1C 1∵1BE A E =∴B A EO 1⊥，B A O B 11⊥∴1EOB ∠是二面角11B B A E --的平面角.41π=∠EOB ，在直角三角形1EOB 中，21=OB ，211==OB EB222111==EB C B ………… 6分（Ⅱ）解：过1B 作11DA M B ⊥，垂足为M ，连结OD ，OM∵OD 是三角形11C AB 的中位线， ∴11//C B OD ∵11B C ⊥面11ABB A ∴OD ⊥面11ABB A∴OD O B ⊥1，又B A O B 11⊥ ∴⊥O B 1平面1DBAOM 为M B 1在平面1DBA 上的射影，又∵11DA M B ⊥，由三垂线定理逆定理，得D A OM 1⊥∴MO B 1∠为二面角11B D A B --的平面角 ∵4211211=+=C B AB AC ，221111===AC D A D B 在直角三角形OM B 1中，32231=⨯=M B ，21=OB 3632sin 111===∠M B OB MO B ∴二面角11B D A B --的大小为36arcsin. ……………… 12分解法二：（Ⅰ）建立如图所示空间坐标系B xyz -，则110(0,2,),(0,2,),(2,0,0)C z E z A , 1(0,2,0),B111(2,2,0),(1,1,)2A D z ，1101(2,2,),(0,2,),(2,2,0)AC z BE z BA =-==平面1BA E 的法向量为1n 由1110n BE n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得102(1,1,)n z =-, 1//AC 平面1EBA ,111110,0,2AC n AC n z z ∴⊥∴⋅=∴=.所以点E 是棱11C B 的中点.平面11BA B 的法向量2(0,0,1)n =，1212cos 4nn n n π⋅=⋅，01z z ∴=即11BC =（Ⅱ）设平面1BDA 的法向量为3n ，平面11DA B 的法向量4n(1,1BD =，1(2,2,0)BA =，3(1,1,0)n ∴=-111(2,0,0),(1,1A B B D =-=-41)n ∴=- 34cos ,3n n <>=-∵二面角11B A D B --为锐角∴二面角11B A D B --的大小为cos 3arc 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为1(,)-+∞.11f x x ()ln()'=++11f x x ()ln()'=++，令()0f x '=得:11x e=-所以()f x 在11e ,⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭内为增函数,在11,1e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦内为减函数. ……………… 6分（Ⅱ）由题意得:min max ()()f x g x >, []0,2x ∈[]0,2,()x f x ∈为递增函数,min ()0f x ∴=; []0,2,()x g x ∈为递增函数, max ()6g x a ∴=+a ∴的取值范围为6a <-. ……………… 12分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）过点P 作PN 垂直直线1y =-于点.N依题意得：||||PF PN =，所以动点P 的轨迹为是以()0,1F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线，即曲线W的方程是24.x y = ………………………4分（Ⅱ）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，00(,)Q x y ，则由24x y =知，2xy '=， ∴12AQ x k =，22BQ x k =又∵切线AQ 的方程为：111()2x y y x x -=-，注意到2114x y =切线AQ 的方程可化为：11220xx y y --=；由00(,)Q x y 在切线AQ 上， ∴0110220x x y y --= 于是11(,)A x y 在直线00220x x y y --=上同理，由切线BQ 的方程可得：0220220x x y y --= 于是22(,)B x y 在直线00220x x y y --=上所以，直线AB 的方程为：00220x x y y --=，又把002y x =-代入上式得：002240x x y x --+=∴直线AB 的方程为：02(2)2x y x -=- ∴直线AB 必过定点()2,2M . ………………………12分（Ⅱ）解法二：设00(,)Q x y ，切点的坐标为)4,(211x x ，则由24x y =知，2xy '=，得切线方程：)(241121x x x x y -=-即为：042121=+-y x x x ，又∵00(,)Q x y 在切线上，所以可得：04201021=+-y x x x ，又把002y x =-代入上式得： 084201021=-+-x x x x ，解之得：8402001+-±=x x x x∴)4)84(,84(202020020+-++-+x x x x x x A ，)4)84(,84(202000200+--+--x x x x x x B故直线AB 的方程为：)]84([24)84(0200020200+-+-=+-+-x x x x x x x x y 化简得：002240x x y x --+= ∴直线AB 的方程为：02(2)2x y x -=- ∴直线AB 必过定点()2,2M . 22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由131n n a S n +=+-()*n N ∈①得：134n n a S n -=+-()2n ≥②①-②得123(2)n n a a n +=+≥，即有()1323n n a a ++=+()2n ≥,∴数列{}3n a +是从第二项为234a +=，公比为2的等比数列∴()223322n n n a a -+=+⋅= 即23n n a =-()2n ≥， ……………………5分而11a =-满足该式， ∴23n n a =-()*n N ∈. ……………………6分（Ⅱ）()1312n n n n b λ-=+- ， ()111312n n n n b λ+++=+- 要使1n n b b +>恒成立∴()11233120n n n n n b b λ-+-=⋅--⋅>恒成立即()11312n n λ--⎛⎫-< ⎪⎝⎭当n 为奇数时，132n λ-⎛⎫< ⎪⎝⎭恒成立，而132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为1 ∴1λ< ………………………………………………10分当n 为偶数时，132n λ-⎛⎫>- ⎪⎝⎭恒成立，而132n -⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值为32- ∴32λ>- ∴302λ-<<或01λ<< 所以，存在1λ=-，使得对任意*n N ∈都有1n n b b +>. ……………………………………12分。

浙江省嘉兴市平湖市当湖高级中学2024届高三下学期5月下旬适应性测试数学试题

浙江省嘉兴市平湖市当湖高级中学2024届高三下学期5月下旬适应性测试数学试题一、单选题1．已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,4,5,6,1,3,5,7U A B ===，则()U A B =I ð（） A ．{}2,4B ．{}2,6C ．{}4,6D ．{}2,4,5,62．在复平面内表示复数（1﹣i ）（a +i ）的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，﹣1）C ．（1，+∞）D ．（﹣1，+∞）3．如图是()y f x =的导函数()f x '的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（）A ．当1x =-时，()f x 取得极大值B ．()f x 在[]2,1-上是增函数C ．当1x =时，()f x 取得极大值D ．()f x 在[]1,2-上是增函数，在[]2,4上是减函数4．设x ，()()(),1,1,1,1,,,,4,2y a b y z c x ∈===-R r r r ，且,a c b c ⊥r r r r∥，则2a b +=r r （）A ．B ．0C ．3D ．5．设A ，B 为任意两个事件，且A B ⊆，()0P B >，则下列选项必成立的是（） A ．()()|P A P A B > B ．()()|≥P A P A B C ．()()|P A P A B <D ．()()|≤P A P A B6．在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是圆22:(3)(4)1C x y -+-=上的动点，若(,0),(,0),0A a B a a -≠，则||PA PB +u u u r u u u r的最小值为（）A ．12B ．8C ．6D ．47．在锐角ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若2cos c B a c =-，则()sin sin A C B-的取值范围为（） A．(B ．()0,1C．(D．8．已知函数()()12,024,24x x f x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-<<⎩，方程()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=（其中0θπ<<）有6个不同的实根，则θ的取值范围是（）A ．π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π2π0,,π33⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．50ππ,,66π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UD ．π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．用“五点法”作函数()()sin φf x A x B ω=++（0A >，0ω>，π2ϕ<）在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数()y f x =描述正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期是πB ．函数()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称D ．函数()f x 与()π2cos 213g x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭表示同一函数10．已知等差数列{}n a 的首项12a =，公差8d =，在{}n a 中每相邻两项之间都插入k 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{}n b ，以下说法正确的是（）A ．86n a n =-B ．当3k =时，2n b n =C ．当3k =时，29b 不是数列{}n a 中的项D ．若9b 是数列{}n a 中的项，则k 的值可能为711．如图，点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，则（）A ．当P 在平面11BCCB 上运动时，三棱锥1P AA D -的体积为定值43B ．当P 在线段AC 上运动时，1D P 与11AC 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若F 是11A B 的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足1PF BD ⊥时，PF 长度的最D ．使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45︒的点P 的轨迹长度为π+三、填空题12．已知正项等比数列{}n a 的前n 和为n S ，若313S =，且5436a a a =+，则满足123n S <的n 的最大值为.13．()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为．（用数字作答）14．已知双曲线C :22221x y a b-=（0,0a b >>），12F F 、分别为左、右焦点，过1F 的直线l 交双曲线右支为A ，以1AF 为直径的圆交右支另一点为B ，且AB 过2F 当222AF F B =u u u u r u u u u r，则双曲线离心率为.四、解答题15．地区生产总值(地区GDP )是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年(2019年-2023年)中，某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃，从1464亿元增长到了3008亿元，若该地区在这五年中的年份编号x (2019年对应的 x 值为1，2020 年对应的x 值为2，以此类推)与地区生产总值y (百亿元)的对应数据如下表：(1)该地区2023年的人均生产总值为9.39 万元，若2023年全国的人均生产总值X (万元)服从正态分布()28.57,0.82X N ~，那么在全国其他城市或地区中随机挑选2 个，记随机变量 Y为“2023年人均生产总值高于该地区的城市或地区的数量”，求1Y = 的概率；(2)该地区的人口总数t (百万人)与年份编号x 的回归方程可以近似为0.2 2.2t x =+，根据上述的回归方程，估算该地区年份编号x 与人均生产总值(人均GDP )u (万元)之间的线性回归方程u bx a =+.参考公式与数据：人均生产总值=地区生产总．．．．．值÷人口总数；线性回归方程ˆˆy bxa =+中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别是： ()()()121ˆˆˆ,niiinii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑，若()2,X N μσ:，则()()0.68,220.95P x P x μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈.16．在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD是正方形，若2,3AD QD QA QC ====．（1）证明：平面QAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角B QD A --的平面角的余弦值．17．已知函数()()222e xf x x x a =-+．(1)若()f x 在[]2,7上单调递增，求a 的取值范围； (2)试讨论函数()f x 的单调性．18．已知椭圆221222:1(0),(,0),(,0)x y C a b F c F c a b +=>>-为其左、右焦点，P 为C 上点.12F PF θ∠=.当2π3θ=，12F PF △面积最大.(1)求椭圆C 的离心率.(2)过P 与椭圆C 相切的切线方程为0x y -，求椭圆C 的方程.(3)在（2）的前提下，若P .过P 的直线l 交C 的另一点Q ，A 为C 的左顶点.求APQ △面积的最大值.19．已知有穷数列()*12:,,,,3N A a a a N N ∈≥N L 满足{}()1,0,11,2,,i a i N ∈-=L ．给定正整数m ，若存在正整数s ，()t s t ≠，使得对任意的{}0,1,2,,1k m ∈-L ，都有s k t k a a ++=，则称数列A 是m -连续等项数列．(1)判断数列:1,1,0,1,0,1,1A --是否为3-连续等项数列？是否为4-连续等项数列？说明理由；(2)若项数为N 的任意数列A 都是2-连续等项数列，求N 的最小值；(3)若数列12:,,,N A a a a L 不是4-连续等项数列，而数列112:,,,,1N A a a a -L ，数列212:,,,,0N A a a a L 与数列312:,,,,1N A a a a L 都是4-连续等项数列，且30a =，求N a 的值．。

山西省2020届高三高考考前适应性测试(5月)理科数学·A卷试题(含答案)

积是
A. 4 15
B. 5 15 4
C. 3 3 2
D. 5 3 3
12. 设函数 f (x)是定义在 (0, +∞)上的可导函数，满足① f (x) > 0，② 2xf ′(x) + f (x) < 0，其中
f ′(x)为 f (x)的导函数 . 对于任意 a > b > 0，必有
A. a2 f (a) > b2 f (b)
题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.［选修 4-4：坐标系与参数方程］（10 分）过点 P（2，0）的直线 l 与抛物线 C:y2 = 2x 相交于 A，B 两点 .
（1）求 AB 中点轨迹的直角坐标方程；
（2）若 P 满足| | PA | - | PB | |=2 2 时,求 l 的方程 .
OCPD（O 为坐标原点）面积的最小值是
A. 3
B. 2
C. 1
D. 2
8. 某病毒引起的肺炎的潜伏期平均为 7 天左右，短的约 2~3 天，长的约 10~14 天，甚至有 20
余天 . 某医疗机构对 400 名确诊患者的潜伏期进行统计，整理得到以下频率分布直方图 .
根据该直方图估计：要使 90% 的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数至少是
2020 年山西省高考考前适应性测试（二）
理科数学参考答案详解及评分说明
评分说明： 1. 考生如按其他方法或步骤解答，正确的，同样给分；有错的，根据错误的性质，参照评分说明中相应的规定
评分 . 2. 计算题只有最后答案而无演算过程的，不给分；只写出一般公式但未能与试题所给的具体条件联系的，不
给分 .
C. 若 a⫽α，b ⊂ α，则 a⫽b

河南省2022届普通高中毕业班高考适应性测试理科数学试题(含答案解析)

河南省2022届普通高中毕业班高考适应性测试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N =，则a 的值是（）A ．-2B ．-1C ．0D ．12．已知复数z 满足()12i 32i z +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A ．15-B ．85-C ．1i 5-D ．8i 5-3．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，11a =，15b =，且212134a b -=，则1111a b -的值为（） A ．-17B ．-15C ．17D ．154．“2021年12月2日”因其数字“20211202”的对称性被很多人晒到了朋友圈，类似这样的对称性在二十一世纪，我们还能再遇到（） A ．6次B ．7次C ．8次D ．9次5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（）AB C ．2D 6．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为g m ，则（） A ．10m >B ．10m =C ．10m <D ．以上都有可能7．已知侧棱和底面垂直的三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为3，D 为侧棱1CC 的中点，M 为侧棱1AA 上一点，且11A M =，N 为11B C 上一点，且MN ∥平面ABD ，则1NB 的长为（） A ．1B ．2C ．32D ．128．如图，椭圆C ：22154x y +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点1F ，2F 分别作弦AB ，CD .若//AB CD ，则12AF CF +的取值范围为（）A ．⎣B ．⎣C ．⎣D ．⎣ 9．若定义在R 上的偶函数()f x 的图象关于点()2,0对称，则下列说法错误的是（）A ．()()f x f x =-B ．()()220f x f x ++-=C ．()()35f f =D ．()()22f x f x +=-10．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，，则下列选项不正确的是（）A ．在第9条斜线上，各数之和为55B ．在第()5n n ≥条斜线上，各数自左往右先增大后减小C ．在第n 条斜线上，共有()2114nn +--个数D ．在第11条斜线上，最大的数是37C11．已知3log 2a =，11log 5b =，lg4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.为了纪念数学家高斯，人们把函数[]y x =，x ∈R 称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]2.13-=-，[]3.13=.那么函数()[][]2sin cos sin cos f x x x x x =⋅++的值域内元素的个数为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题13．已知函数()3221f x ax a a x x =+-+-的极大值点是1-，则=a ___________.14．有两枚质地均匀，大小相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为___________.15．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()20a c b c -⋅-=，则c 的最大值是___________.16．已知三棱锥P ABC -中，ABC 是边长为PA PB a ==，且平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥P ABC -的每个顶点都在表面积为654π的球面上，则=a ___________.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A B C B C =++.(1)求角A 的大小；(2)若1a =，b c λ+存在最大值，求正数λ的取值范围.18．如图，1l ，2l 是两条互相垂直的异面直线，点P 、C 在直线1l 上，点A 、B 在直线2l 上，M 、N 分别是线段AB 、AP 的中点，且==PC AC a ，PA =．（1）证明：PC ⊥平面ABC ；（2）设平面MNC 与平面PBC 所成的角为()090θθ︒<≤︒．现给出下列四个条件： ①12CM AB =；①AB =；①CM AB ⊥；①BC AC ⊥．请你从中再选择两个条件以确定cos θ的值，并求之．19．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2月20日在中国举行，其中冰壶比赛项目是本届奥运会的正式比赛项目之一，1998年中国女子冰壶队第一次参加奥运会冰壶比赛就获得了铜牌．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN 的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN 将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O 的远近决定胜负．某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：①每人至多投3次，先在点M 处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；①自第二次投掷开始均在点A 处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；①测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响．（1）求甲通过测试的概率；（2）设Y 为本次测试中乙的得分，求Y 的分布列；（3）请根据测试结果来分析，甲，乙两人谁的水平较高？ 20．已知函数()()()ln 0f x x a x a =->. (1)当1a =时，判断函数()f x 的单调性；(2)证明函数()f x 存在最小值()g a ，并求出函数()g a 的最大值.21．已知抛物线C ：()220y px p =>，过点()2,0R 作x 轴的垂线交抛物线C 于G ，H两点，且OG OH ⊥（O 为坐标原点）. (1)求p ；(2)过()2,1Q 任意作一条不与x 轴垂直的直线交抛物线C 于A ，B 两点，直线AR 交抛物线C 于不同于点A 的另一点M ，直线BR 交抛物线C 于不同于点B 的另一点N .求证：直线MN 过定点.22．在平面直角坐标系xOy 中，1C 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，2C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求2C 的直角坐标方程；(2)1C 与2C 相交于不同两点A 、B ，线段AB 中点为M ，点()0,1N -，若2MN =，求1C 参数方程中sin α的值.23．设函数()|||21|f x x a x a =-+++.(1)当0a =时，求不等式()2||1f x x <+的解集；(2)若0a >，且关于x 的不等式()2f x 有解，求实数a 的取值范围.参考答案：1．B 【解析】【分析】根据集合N 和并集，分别讨论a 的值，再验证即可. 【详解】因为{}1,2,3MN =，若110a a -=⇒=，经验证不满足题意；若121a a -=⇒=-，经验证满足题意. 所以1a =-. 故选：B. 2．B 【解析】【分析】根据复数的概念与复数的除法运算解题即可. 【详解】由题()()()()32i 12i 32i 18i 18i 12i 12i 12i 555z -----====--++-，所以z 的虚部为85- 故选：B 3．D 【解析】【分析】结合等差数列的通项公式可求得121910-=d d ，进而可求出结果. 【详解】因为数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，设数列{}n a ，{}n b 的公差分别为12,d d ，又11a =，15b =，且212134a b -=，则()()1112202034+-+=a d b d ，即121910-=d d ，所以()()()1111121112101041015=+-+=--+-=a d b d d a b d ，故选：D. 4．B【解析】【分析】根据题意，直接列举求解即可. 【详解】解：由对称性可知，前两位为20，后两位为02，因为每年有12个月，所以列举可得，在二十一世纪，有20011002,20100102，20111102,20200202,20211202， 20300302,20400402,20500502，20600602,20700702,20800802，20900902，所以在二十一世纪，我们还能再遇到7次. 故选：B 5．D 【解析】【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为by x a =±，易知b y x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒==故选：D. 6．A 【解析】【分析】设天平的左臂长为a ，右臂长b ，则ab ，售货员现将5g 的砝码放在左盘，将黄金g x 放在右盘使之平衡；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金g y 放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为()g x y +，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a ，右臂长为b ，则a b ，再设先称得黄金为g x ，后称得黄金为g y ，则5bx a =，5ay b =，5a x b ∴=，5b y a=，555510a b a b x y b a b a ⎛⎫∴+=+=+≥⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当a bb a=，即a b =时等号成立，但a b ，等号不成立，即10x y +>.因此，顾客购得的黄金10m >. 故选：A. 7．B 【解析】【分析】通过构造面面平行，得到//MN 平面ABD ，再利用三角形相似，求得1NB 的长度. 【详解】如图，取1BB 上一点F ，11B F =，延长1DC 至点E ，使2DE =，连接EF ，使//EF BD ，11EFB C N =，连接ME ，//,BF DE BF DE =，∴四边形FBDE 是平行四边形，//EF BD ∴ EF ⊄平面ABD ，//EF ∴平面ABD ， MF AB //，同理//MF 平面ABD ，且MFEF F =，∴平面//MEF 平面ABD ，MN ⊂平面MEF ，//MN ∴平面ABD ，1112EC DE DC =-=，11B FN ENC ，111121B F B N EC NC ∴== 又113B C =，12NB ∴=故选：B【解析】【分析】分直线斜率不存在和存在两种情况，当直线AB 的斜率不存在，可求出点,A B 的坐标，从而可得12AF CF AB +=，当直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系，表示出12x x +，从而可表示出1AF ，1BF ，进而可表示12AF CF + 【详解】解：由椭圆的对称性可知AB CD =，12AF DF =，12BF CF =. 设点()11,A x y ，()22,B x y .若直线AB的斜率不存在，则点A ⎛- ⎝⎭，1,B ⎛- ⎝⎭，所以AB =，所以12AF CF AB +==. 若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，联立22(1),1,54y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()222245105200k x k x k +++-=，0∆>，则21221045k x x k +=-+. 又11AF =，同理可得12BF =，所以)1212||AF CF AB x x +==+==⎝，所以12AF CF +∈⎝. 综上，12AFCF +的取值范围为⎣，故选:C.【解析】【分析】由偶函数即可判断A 选项，由()f x 的图象关于点()2,0对称可判断B 、D 选项，特值检验即可判断C 选项. 【详解】因为()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，故A 正确；因为()f x 的图象关于点()2,0对称，对于()f x 的图象上的点(),x y 关于()2,0的对称点()4,--x y 也在函数图象上，即()()4-=-=-f x y f x ，用2x +替换x 得到，()()422-+=-+⎡⎤⎣⎦f x f x ，即()()220f x f x ++-=，故B 正确；令1x =，则()()31f f =-，令3x =，则()()()511=--=-f f f ，则()()35f f =，故C 正确；由B 知，()()()222f x f x f x +=--=--，故D 错误；故选：D. 10．A 【解析】【分析】根据从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，得到数列规律为12n n n a a a +++=判断A 选项，再根据杨辉三角得到第n 条斜线上的数为：()012341123451,,,,,,,,k k n n n n n n k n k C C C C C C C --------+，进而判断BCD.【详解】从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，，其规律是12n n n a a a +++=，所以第9条斜线上各数之和为13+21=34，故A 错误；第1条斜线上的数：00C ，第2条斜线上的数：11C ；第3条斜线上的数：0121,C C ，第4条斜线上的数：0132,C C ，第5条斜线上的数：012432,,C C C ，第6条斜线的数：012543,,C C C ， ……，依此规律，第n 条斜线上的数为：()012341123451,,,,,,,,k kn n n n n n k n k C C C C C C C --------+，在第11条斜线上的数为0123451098765,,,,,C C C C C C ，最大的数是37C ，由上面的规律可知：n 为奇数时，第n 条斜线上共有12224n n ++=个数； n 为偶数时，第n 条斜线上共有共有224nn=个数，所以第n 条斜线上共()2114nn +--，故C 正确；由上述每条斜线的变化规律可知：在第(5)n n 条斜线上，各数自左往右先增大后减小，故B 正确. 故选：A. 11．B 【解析】【分析】利用对数的单调性进行判断即可. 【详解】因为235125,11==112311log 5lo 2113g b =>=，因为2233=23332log 2log 33<=，即23<a ，因为4=2310232lg 4lg103<=，即23c <，，因为3lg 2lg 2lg3lg 4lg 2(12lg3)lg 2(1lg9)log 2lg 4lg 40lg3lg3lg3lg3a c ----=-=-===>，所以a c >，即c ab <<，故选：B 【点睛】关键点睛：根据对数函数的单调性，结合特殊值法进行比较是解题的关键.12．C 【解析】【分析】化简函数解析式，判断函数值域，进而得解. 【详解】由()[][][]2sin cos sin cos sin 24f x x x x x x x π⎤⎛⎫=⋅++=++ ⎪⎥⎝⎭⎦，所以函数()f x 的周期2T π=，故只需求[)0,2x π∈的值域. 当0x =时，函数()011f x =+=，当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数sin 2y x =与函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭均单调递增，所以(){}1,2f x ∈，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =与函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}1,2f x ∈，当324x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，函数sin 2y x =与函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}0,1f x ∈，当34x π=时，函数()101f x =-+=-，当3,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递增，函数4y x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}1,0f x ∈-，当x π=时， ()()011f x =+-=-，当5,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递增，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，所以(){}1,0f x ∈-，当54=x π时，()()110f x =+-=，当53,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递减，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，所以(){}1,0f x ∈-，当32x π=时，()()011f x =+-=-，当37,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递减，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，所以(){}1,0f x =-，当74x π=时，()()101f x =-+=-，当7,24x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，函数sin 2y x =单调递增，函数4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增，所以(){}1,0,1f x ∈-，综上所述(){}1,0,1,2f x ∈-，故选：C. 13．1 【解析】【分析】求导，由(1)0f '-=解出a ，检验1-是极大值点. 【详解】()232f x x ax a '=+-，由极大值点是1-，得(1)0f '-=，320a a --=，1a =.此时，()()232131(1)f x x x x x '=+-=-+ ，()f x 在()1,1,,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，极大值点是1-，满足题意.故答案为：1. 14．512【解析】【分析】根据题意，列举基本事件总数，和满足条件的基本事件数，进而根据古典概型求解即可. 【详解】解：两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，同时掷两枚骰子，基本事件有：()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6，()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6，()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6，()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6，()()()()()()6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，共有6636⨯=种，两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除包含的基本事件有：(1,6),(2,3),(2,6),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,6)，(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共15种，所以两枚骰子朝上面的数字之积能被6整除的概率为1553612P ==. 故答案为：51215【解析】【分析】首先根据数量积公式展开，再化简25cos c α=，利用三角函数的有界性求最值. 【详解】()()()220220a c b c a b a b c c-⋅-=⇔⋅-+⋅+=，则()222c a b c =+⋅，设()2a b +与c 的夹角为α，而222445a b a a b c +=+⋅+=，∴()2222cos 5cos c a b c a b c c αα=+⋅=+=，即25cos c α=，所以max52c=.16 【解析】【分析】取AB 的中点E ，连接,PE CE ，证得PE ⊥平面ABC ，CE ⊥平面PAB ，取ABC 的外心F ，作//FM PE ，取PAB △的外心H ，过点H 作EF 的平行线交FM 于点O ，得到点O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，结合球的性质及勾股定理建立方程后可求得答案. 【详解】取AB 的中点E ，连接,PE CE ，则,PE AB CE AB ⊥⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以可得PE ⊥平面ABC ，CE ⊥平面PAB ，取ABC 的外心F ，作//FM PE ，则,,,F M E P 四点共面，取PAB △的外心H ，过点H 作EF 的平行线交FM 于点O ，因为EF 垂直平面PAB ，则HO ⊥平面PAB ，所以点O 到,,,A B C P 四点的距离相等，所以点O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，在PAB △中，22212cos 2a a APB a +-∠=，根据三角函数同角的平方关系可得sin APB ∠ 所以PAB △外接圆的半径PH =，连接OP ，可求得1OH EF ==，由三棱锥P ABC -外接球的表面积为654π，则有2265654416R R ππ=⇒=，所以2222216516R OP H O PH ==+=+=，解得a =17．(1)23π (2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互化，结合余弦定理可求得角A ；（2）利用正弦定理边角互化，将b c λ+的最大值转化为三角函数的最大值求解，从而列关于λ的不等式求解.(1)由正弦定理，222sin sin sin sin sin A B C B C =++可化为222a b c bc =++，所以222b c a bc +-=-.由余弦定理，得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-. 又()0,A π∈，所以23A π=. (2)由正弦定理sin sin sin b c a B C A ===，得)()sin sin sin sin b c B C A C C λλλ+=+=++⎤⎦()1sin 2C C C λϕ⎤⎛⎫+-=+⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，其中2tan 12ϕλ=-因为0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，要使b c λ+存在最大值，即2C πϕ+=有解，所以,62ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭>，即0213λ<-<，所以正数λ的取值范围为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18．（1）证明过程见解析（2）cosθ=【解析】【分析】（I ）在△P AC 中根据PC ＝AC ＝a，PA =，三边满足勾股定理则PC ⊥AC ，根据题意可知PC ⊥AB ，又AC ∩AB ＝A ，满足线面垂直的判定定理，从而得证；（II ）本小问具有开放性，由选择确定cos θ的大小，根据AC ⊥BC ，且AB ，AC ＝a则BC ＝a ，以C 为坐标原点，CB 、CA 、CP 的方向为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，CA =（0，a ，0）是平面PBC 的一个法向量，然后求出平面MNC 的法向量n ，然后根据cos n ＜，n CA CA n CA⋅=⋅＞，从而求出cos θ的值．【详解】证明：(1) 在△P AC 中∵PC ＝AC ＝a ，PA =． ∴PC 2+AC 2＝P A 2，∴PC ⊥AC∵l 1、l 2是两条互相垂直的异面直线，点P 、C 在直线l 1上，点A 、B 在直线l 2上， ∴PC ⊥AB ，又AC ∩AB ＝A ∴PC ⊥平面ABC（2）方案一：选择②④可确定cos θ的大小 ∵AC ⊥BC ，且AB =，AC ＝a ∴BC ＝a以C 为坐标原点，CB 、CA 、CP 的方向为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系则C （0，0，0），B （a ，0，0），A （0，a ，0），P （0，0，a ）又M 、N 分别是线段AB 、AP 的中点， ∴M （2a ，2a ，0），N （0，2a ，2a ）∵CA ⊥平面PBC∴CA =（0，a ，0）是平面PBC 的一个法向量设平面MNC 的法向量n =（x ，y ，z ）由n CN n CM ⎧⊥⎨⊥⎩得022022aa y z a a x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取x ＝1，得n =（1，﹣1，1）为平面MNC 的一个法向量 ∴cos n ＜，3n CA a CA an CA⋅-===⋅＞∴cos θ方案二：选择①④可确定cos θ的大小,,CM AB BC AC a ⊥∴==又BC AC ⊥，下同方案一方案三：选择②①可确定cos θ的大小,,CM AB BC AC a ⊥∴==又2AB a =，BC AC ∴⊥，下同方案一.（注：①①等价，不能确定，①①可转化为①①，①①可转化为①①）【点睛】本题要求空间中二面角的余弦值，可以利用平面的法向量的夹角，从而求出二面角的余弦值，注意要建立适当的直角坐标系，属于中档题． 19．（1）0.3；（2）答案见解析；（3）甲. 【解析】【分析】（1）根据题意甲通过测试包括第一次没通过第二次和第三次通过，或者第一次通过，第二次或第三次有一次通过，故得分分别为4分或者5分，然后求出概率即可；（2）根据题意可求出乙的可能得分为0，2，3，4，5，然后依次求出概率即可得到分布列；（3）比较甲乙通过测试的概率即可得出结论. 【详解】解：（1）若甲通过测试，则甲的得分X 为4或5，()0.90.50.540.225P X =⨯==⨯，()50.10.50.50.10.50.0250.050.075P X ==⨯⨯+⨯=+=，所以()()0.2250.0750.345P P X X ===+=+=．（2）Y 的可能取值为0，2，3，4，5．()0.80.60.600.288P Y =⨯==⨯，()0.80.40.60.80.60.40.3842P Y =⨯⨯+⨯⨯==，()0.20.60.630.072P Y =⨯==⨯， ()40.80.40.40.128P Y ==⨯⨯=，()0.20.60.40.20.40.5128P Y =⨯⨯==+⨯．（3）甲水平高理由如下：乙通过测试的概率()()450.1280.1280.256P P Y P Y ==+==+= 甲通过测试的概率0.3大于乙通过测试的概率0.256．【点睛】求相互独立事件同时发生的概率的步骤：（1）首先确定各事件是相互独立的；（2）再确定格式件会同时发生；（3）求出每个事件发生的概率，再求积. 20．(1)在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增 (2)证明见解析，()max 0g a = 【解析】【分析】（1）将1a =代入后求导，利用导数判断原函数单调性即可.（2）通过二次求导证明()f x '单调递增，然后利用零点存在定理判断()f x '在区间)a 上存在唯一零点，然后利用隐零点思想得到最小值()g a ，最后再构造新函数()g a 求出其最大值，注意在判断零点所在区间时要合理利用放缩思想，这一步为此题难点. (1) 由题意知，()()1ln f x x x =-，()()1ln 10f x x x x '=+->，()210x f x x+''=>.所以函数()f x '单调递增.又()10f '=，所以当01x <<时()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. (2)由题意知，()()ln 10a f x x x x '=+->，()20x af x x+''=>. 所以函数()f x '单调递增. 令()ln 1h x x x =-+，则()1xh x x-'=. 当01x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增；当1x >时，()0h x '<，函数()h x 单调递减. 所以()()max 10h x h ==，即ln 1≤-x x .所以()ln 1a af x x xx x'=+-≤-，即0f '≤=. 另一方面，()0e ln e 1110e e a aa a a f a '=+->+-=>，所以存在)at ∈，使得()ln 10a f t t t'=+-=，① 即当0x t <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当x t >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 所以函数()f x 存在最小值()()()ln f t g a t a t ==-.由①式，得ln a t t t -=.所以()()20t a g a t-=-≤（当且仅当a t =，即ln 0a =，1a =时，等号成立）.所以()()max 10g a g ==，即为所求. 【点睛】导数问题中，求导后发现导数无法因式分解，或者无法直接求出零点时的一个常用方法就是隐零点，利用设而不求思想得到最值，然后利用该隐零点所满足的等式关系进代换，从而能够方便的解题，例如本题中：ln a tt t-=即为可代换的式子. 21．(1)1p =(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由题意知2RG OR ==，不妨设()2,2G ，代入抛物线方程中可求出p 的值，（2）设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则可表示出直线AB ，AM ，BN 的方程，再由直线AB 过()2,1Q 及直线AM ，BN 过()2,0R 可得()121240y y y y -++=，13244y y y y ==-，再表示出直线MN 的方程，结合前面的式子化简可得结论(1)由题意知，2RG OR ==.不妨设()2,2G ，代入抛物线C 的方程，得44p =解得1p =.(2)由（1）知，抛物线C 的方程为22y x =. 设211,2y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,2y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AB 的斜率为12221212222AB y y k y y y y -==+-. 所以直线AB 的方程为2111222y y x y y y ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，即()121220x y y y y y -++=. 同理直线AM ，BN ，MN 的方程分别为()131320x y y y y y -++=，()242420x y y y y y -++=，()343420x y y y y y -++=，由直线AB 过()2,1Q 及直线AM ，BN 过()2,0R 可得()121240y y y y -++=，13244y y y y ==-.又直线MN 的方程为()343420x y y y y y -++=，即1212441620x y y y y y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭.所以直线MN 的方程为()1212280y y x y y y +++=.把()121240y y y y -++=代入()1212280y y x y y y +++=，得()12122480y y x y y y +++=， ()122)880(y y x y y +++=，所以由20x y +=，880y +=可得2x =，1y =-.所以直线MN 过定点()2,1-.22．(1)()()22112x y -+-= (2)35或1 【解析】【分析】（1）将曲线2C 的极坐标方程化为22cos 2sin =+ρρθρθ，再利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可得出曲线2C 的直角坐标方程；（2）设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线的方程代入曲线2C 的普通方程，根据已知条件结合韦达定理可得出关于sin α的二次等式，即可解得sin α的值.(1)解：由4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得2cos 2sin =+，所以22cos 2sin =+ρρθρθ，将cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩代入得2222x y x y +=+，即()()22112x y -+-=，所以2C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=；(2) 解：将cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩代入()()22112x y -+-=整理得()22cos 4sin 30t t αα-++= 设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，则1t 、2t 是方程()22cos 4sin 30t t αα-++=的两根，所以122cos 4sin t t αα+=+，因为2MN =，所以1222t t +=，所以cos 2sin 2αα+=，此时()222cos 4sin 1242120αα∆=+-=⨯->，所以()221sin 41sin αα-=-，所以()()5sin 3sin 10αα--=，所以3sin 5α=或sin 1α=. 23．(1)(2,0)-(2)01a <<【解析】【分析】（1）分类讨论方式求绝对值不等式的解集.（2）分类讨论求绝对值不等式的含参解集，再根据不等式()2f x 有解，结合解集和对应x 的范围求参数范围，然后取并即可.(1)由题设，()|||21|2||1f x x x x =++<+，即|21|||1x x +-<，当12x <-时，211x x --+<，可得122x -<<-；当102x -≤<时，211x x ++<，可得102x -≤<；当0x ≥时，211x x +-<，无解；综上，20x -<<，即不等式解集为(2,0)-.(2)由题设，0a >，()|||21|2f x x a x a =-+++<有解，当12a x +<-时，312x --<，则1x >-，此时有解112a +->-，得：1a <；当12a x a +-≤<时，212x a ++<，则12x a <-，此时有解1122a a +-<-，得：1a <；当x a ≥时，312x +<，则13x <，此时有解13a <；综上，要使0a >，()2f x 有解，则01a <<.。

2022年湖北省黄冈中学高考数学适应性试卷(5月份)+答案解析(附后)

2022年湖北省黄冈中学高考数学适应性试卷（5月份）1. 命题“，”的否定是( )A.， B. ，C. ，D.，2. 设集合，，则( )A.B.C.D. 3. 已知复数，则( )A. B. 4 C.D. 104. 设是等差数列的前n 项和，，，则( )A. 90B. 100C. 120D. 2005. 已知某圆台的高为1，上底面半径为1，下底面半径为2，则侧面展开图的面积为( )A.B.C.D.6. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割均为，这一数值也可以表示为，若，则( )A. 8B. 4C. 2D. 17. 已知a ，b 为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为( )A. 8B. 9C. 10D. 138. 已知抛物线E ：的焦点为F ，点A 是抛物线E 的准线与坐标轴的交点，点P 在抛物线E 上，若，则( )A. B. C. D.9. 已知a ，b ，c 均为非零实数，且，则下列不等式中，一定成立的是( )A. B.C.D.10. 2021年某市教育部门组织该市高中教师在暑假期间进行集中培训，培训后统一举行测试．现随机抽取100名教师的测试成绩进行统计，得到如图所示的频率分布折线图，已知这100名教师的成绩都在区间内，则下列说法正确的是( )A. 这100名教师的测试成绩的极差是20分B. 这100名教师的测试成绩的众数是分C.这100名教师中测试成绩不低于90分的人数约占D. 这100名教师的测试成绩的中位数是85分11. 已知函数，将图像上所有的点向左平移个单位长度后得到函数的图像，若是偶函数，且在上恰有一个极值点，则的取值可能是( )A. 1B. 3C. 5D. 712. 已知是半径为2的圆O的内接三角形，则下列说法正确的是( )A.若角，则B. 若，则C. 若，则的夹角为D. 若，则AB为圆O的一条直径13. 已知函数是奇函数，则实数a的值为______.14. 已知，是双曲线的两个焦点，P是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为N，则点N到坐标原点O的距离是______.15. 甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为__________.16. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为______.17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且满足求角B的大小；求的面积的最大值．18. 已知数列的前n项和为，正项等比数列的首项为，且求数列和的通项公式；求使不等式成立的所有正整数n组成的集合．19. 在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产．某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为456P a b其中，求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为单位：元，设时的概率为m，求当m取最大值时，利润X的分布列和数学期望；设某数列满足，，，若，求n的最小值．20. 已知四棱锥中，底面ABCD是矩形，且，是正三角形，平面PAD，E、F、G、O分别是PC、PD、BC、AD的中点．求平面EFG与平面ABCD所成的锐二面角的大小；线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．21. 已知点是椭圆的左焦点，且椭圆C经过点过点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，过点M作直线l：的垂线，垂足为求椭圆C的标准方程；求证：直线EN过定点，并求定点的坐标．22. 已知函数当时，求的最小值；若，是定义域上的增函数，求实数a的取值集合．答案和解析1.【答案】D【解析】解：根据题意，命题“，”的否定为，，故选：根据题意，由全称命题、特称命题的关系，分析可得答案．本题考查命题的否定，涉及全称命题、特称命题的关系，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：，，，故选：可求出集合A，B，然后进行补集和并集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，对数函数的单调性，交集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：，，故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：因为等差数列中，，，则故选：由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解．本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由题意知圆台母线长为，且上底面圆周为，下底面圆周为，圆台侧面展开图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为：，则圆环所在的大圆半径为，侧面展开图的面积为故选：由题意求得圆台的侧面展开图为圆环的一部分，求出小圆和大圆半径即可求出答案．本题考查圆台的侧面展开图的面积的求法，考查圆台的结构特征、侧面展开图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：，若，，故选：由已知利用同角三角函数基本关系式可求，利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：设上切点，曲线的导数为，由题意得，可得，又a，b为正实数，，当且仅当即时，上式等号成立，的最小值是9，故选：由题意列式求得，然后结合1的代换利用基本不等式求最值．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求最值的方法，是中档题．8.【答案】B【解析】解：过P作准线的垂线，垂足为Q，由，可得，由题意如图所示：在中，可，由抛物线的性质可得，所以，在中，由正弦定理可得：，所以，故选：过P作准线的垂线，垂足为Q，由，可得，求出的值，由抛物线的性质可得，由正弦定理可得的值．本题考查抛物线的性质的应用及三角形的正弦定理的应用，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：对于A，，当时，，故A错误，对于B，，，，故B正确，对于C，令，，，满足非零实数，但，故C错误，对于D，，，，，故D正确．故选：根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．本题主要考查不等式的性质，以及特殊值法，属于基础题．10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查频率分布折线图，属于基础题．根据频率分布折线图是连接频率分布直方图中各长方形中上端的中点得到的折线图，结合频率分布直方图中各数据的计算可判断每个选项的正误．【解答】解：这100名教师的测试成绩的最高分和最低分都无法确定，则极差不确定，故A错误；由图可知，这100名教师的测试成绩的众数为分，故B正确；这100名教师中测试分数不低于90分的人数占，故C正确；设这100名教师测试成绩的中位数为a，则，解得，故D错误．故选：11.【答案】BCD【解析】解：函数，将图像上所有的点向左平移个单位长度后得到函数的图像，若是偶函数，则，，即，，，，在上，，而恰有一个极值点，，求得，故选：由题意，利用函数的图象变换规律，余弦函数的图象和极值点，求得的范围，可得结论．本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象和极值点，属于中档题．12.【答案】BC【解析】【分析】根据平面向量线性运算，平面向量垂直性质，平面向量数量积定义，向量夹角公式即可求解．本题考查平面向量线性运算，平面向量垂直性质，平面向量数量积定义，向量夹角公式，属中档题．【解答】解：对A，如图，过O作OH垂直AB于点H，则H为AB的中点，，又，，，，错误；对B，，，为BC中点，为直径，，正确；对C，，设，则，由两边平方得，解得，，，又，，正确；对D，，，，，，为直径，错误．故选：13.【答案】1【解析】解：因为是奇函数，由奇函数性质可得，所以，整理得恒成立，所以故答案为：由已知结合奇函数的定义代入即可求解a的值．本题主要考查了奇函数的定义的应用，属于基础题．14.【答案】1【解析】解：设点关于直线PN对称的点为，则，由定义可知，，设，则，则，即，故答案为：设点关于直线PN对称的点为，结合定义得出，再由距离公式得出点N到坐标原点O的距离．本题考查了双曲线的定义和性质，属于中档题．15.【答案】【解析】【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用。

2021年5月温州市(三模)普通高中高考适应性测试数学试卷及参考答案

机密食考试结束前2021年5月份温州市普通高中高考适应性测试数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页.i ，高分150分，考试时间120分钟．参考公式：柱体的体积公式V = Sh 如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A,B 相互独立，那么P(A ·B }=P(A)· P(B)其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式如果事｛牛A在一次试验中发生的概率是pV =-Sh 3 次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率P”（k)=C；扩(1一p）叮树，I,2，…，n) 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高球的表面积公式台体的体积公式冲（S1+ ..js;s; + S2)其中S1S 2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高S=4πR 2球的体积公式4 、V ＝一πR J 3 其中R表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每，l、题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U 为实数集R ，集合A={x E R jx>'V"3｝，集合IUB={O,l,2，匀，则图中阴影部分表示的集合为（...A.{O}B.{0,1}c.{3,4}D .{1,2,3,4}I J>. . 2.己知z ＝－－＋二二I,j 为虚数单位，则z 2+z = C .._ )2 2A.1B.-IC..Ji iD.-.Ji iIx ；三03.若实数x,y 满足约束条件�x-y -3主0，则z=x-2y( .._ )[x+2y豆。

第l 题图A.有最小值4日有最小值6 C.有最大值4 D.有最大值62021年5月浙江省温州市三模答案19.20. .21.22.。

浙江七彩阳光联盟2025届高考适应性考试数学试卷含解析

浙江七彩阳光联盟2025届高考适应性考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1024C ．1198D ．15602．若x yi +(,)x y ∈R 与31ii+-互为共轭复数，则x y +=（） A ．0B ．3C ．－1D ．43．如图，设P 为ABC ∆内一点，且1134AP AB AC =+，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为A ．14 B ．13 C ．23D ．164．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（）A ．13B ．12C ．23D ．345．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知复数22z a i a i =--是正实数，则实数a 的值为( ) A ．0B ．1C ．1-D ．1±7．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（） A ．B ．C ．1D ．28．已知集合{|4},{|2,}A x N y x B x x n n Z =∈=-==∈,则A B =（）A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4]9．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（）． A ．15±B ．15-C ．15D ．75-10．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．240B ．264C ．274D ．28211．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p ﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P ﹣1（其中p 是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．612．已知复数z 满足()125z i ⋅+=（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽池州市东至二中2025届高三适应性调研考试数学试题含解析

安徽池州市东至二中2025届高三适应性调研考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．842．执行如图所示的程序框图，若输出的310S =，则①处应填写（）A ．3?k <B ．3?kC ．5?kD ．5?k <3．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( ) A 21B 31C ．2D 54．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．12a <≤B ．5a <C ．35a <<D ．25a ≤≤5．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（） A ．23B ．25C ．28D ．297．已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（） A ．1318B ．1318或1936C ．139D ．1368．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABCS =，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP x y CACB=⋅+⋅，则11x y+的最小值为（） A ．73123+B ．12C ．43D ．53124+9．复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z :满足122z z ⋅=-.则2z 等于（） A ．2B ．2C ．10D ．1010．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（）A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103 11．将函数2()322cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（）A ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭π C ．3,08⎛⎫-⎪⎝⎭π D ．3,18⎛⎫-⎪⎝⎭π 12．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），且满足3AF BF =，则直线l 的斜率为（） A ．1 B ．3 C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学5月适应性考试试题理试题

2021届高三数学5月适应性考试试题理〔无答案〕本试题卷一共6页，23小题〔含选考题〕。

全卷满分是150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★考前须知：1、答卷前，先将本人的姓名、准考证号填写上在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的规定的正确位置。

2、选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的答题：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的答题：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置需要用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、在在考试完毕之后以后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第一卷一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.〕1．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，那么U C A =〔〕 A ．{0,1,2} B ．{1,0,1}- C ．{1,0,2}- D ．{1,1,2}- 2．(32)2i x yi +=-，其中 x ，y 是实数，那么x yi +=〔〕A ．2BCD ．133．双曲线22212x y a-=过点(2,1)-,那么该双曲线的渐近线方程为( )21122A ．22y x =±B ．2y x =±C ．y x =±D ．52y x =± 4．以下说法正确的选项是〔〕A ．命题“假设29x =，那么3x =±〞的否命题为“假设29x =，那么3x ≠±〞 B ．假设命题P ：0x R ∃∈，200310x x -->，那么命题P ⌝：x R ∀∈，2310x x --< C ．设,a b 是两个非零向量，那么“0a b ⋅<是“,a b 夹角为钝角〞的必要不充分条件 D ．假设命题P ：102x >-，那么P ⌝：102x ≤- 5．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为45，那么S 5=〔〕A ．31B ．29C ．36D ．33 6．11a b=>，假如方程log x b a x =，log x a b x =，log x b b x =的根分别为1x ，2x ，3x ，那么1x ，2x ，3x 的大小关系为〔〕 A ．312x x x << B ．321x x x <<C ．132x x x <<D ．123x x x <<7．执行如图2所示的程序框图，假设输出7S =，那么输入()k k N*∈的值是〔〕A ．2B ．3C ．4D ．58．一个三棱锥的三视图如以下图所示，那么该几何体的体积为( )A ．1B ．433S ＝S+2n-1n ＝n+1 n<k?C ．833D ．29．?九章算术?是我国古代数学名著，也是古代数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？〞其意思为：“直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内接正方形边长为多少步？〞现假设向此三角形内投豆子，那么落在其内接正方形内的概率是〔〕 A ．60289 B ．90289 C ．120289 D ．24028910．如图，12 A A ，为椭圆22195x y +=的长轴的左、右端点，O 为坐标原点， S Q T ，，为椭圆上不同于12 A A ，的三点，直线12 QA QA OS ，，，OT 围成一个平行四边形OPQR ，那么22OS OT +=〔〕A ．14 B.12 C. 35+ D ．1811．定义在[0，+∞〕上的函数()f x 满足()2(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时，2()24.f x x x =-+设()f x 在[)22,2n n - 上的最大值为n a 〔n∈N *〕，且{}n a 的前n项和为n S ，那么n S =( ) A ．B ．C ．122n +- D ．622-+n12．如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的间隔分别为13，．点M N ，分别在12l l ，上，8PM PN +=，那么PM PN ⋅的最大值为〔〕A ．15B ． 12C ．10D ．9二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．13．实数x ，y 满足，那么目的函数32z y x =--的最大值为．14．220(31),x dx m ⎰-=那么21(1)()mx x x-+的展开式中4x 的系数是． 15．对于以下命题：①在△ABC 中，假设sin 2sin 2A B =,那么△ABC 为等腰三角形； ②a ，b ，c 是△ABC 的三边长，假设3,5,6a b A π===,那么△ABC 有两组解；③设2012sin3a π=，2012cos 3b π=，2012tan 3c π=,那么ab c >>；④将函数2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象向左平移6π个单位，得到函数2cos 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象．其中所有正确命题的序号是． 16．{}n a 数列的首项为1a ，满足(1)21(1)(,2)n n n n a a n n N n +-+=⋅-∈≥，201711006,0,S b a b =-->且那么114a b+的最小值为．三、解答题：(解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.)17．向量(3sin 3,),(,cos3)(),0.a x y b m x m m R a b =-=-∈+=且设()y f x =．〔1〕求()f x 的表达式，并求函数()f x 在183ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上图象最低点M 的坐标．〔2〕在ABC ∆中，4()3,,9f A A π=->且D 为边BC 上一点， 3,2,2,AC DC BD DC AD ===且求线段DC 的长．18．某理科考生参加自主招生面试，从7道题中〔4道理科题3道文科题〕不放回地依次任取3道答题．〔1〕求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；〔2〕规定理科考生需答题两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，假设每一小题答对得10分，否那么得零分．现该生已抽到三道题〔两理一文〕，求其所得总分X 的分布列与数学期望E 〔X 〕．19．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =. 〔1〕求证：BC ⊥平面ACFE ；〔2〕点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 二面角的平面角为(90)θθ≤，试求cos θ的取值范围.20．双曲线M ：22221(0,0)y x a b a b-=>>的上焦点为F ，上顶点为A ，B 为虚轴的端点，离心率23,3e =且31.2ABF S ∆=-抛物线N 的顶点在坐标原点，焦点为F . （1）求双曲线M 和抛物线N 的方程；（2）设动直线l 与抛物线N 相切于点P ，与抛物线的准线相交于点Q ，那么以PQ 为直径的圆是否恒过y 轴上的一个定点？假如经过，试求出该点的坐标，假如不经过，试说明理由.21．函数()5ln 1kxf x x x =+-+〔k R ∈〕．〔Ⅰ〕求函数()y f x =的单调区间；〔Ⅱ〕假设*k N ∈，且当(1,)x ∈+∞时，()0f x >恒成立，求k 的最大值．〔ln(3 1.76+≈〕请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩〔α为参数，[]0,απ∈〕，直线l的极坐标方程为44ρπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭. 〔1〕写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；〔2〕P 为曲线C 上任意一点，Q 为直线l 任意一点，求PQ 的最小值.23．选修4-5：不等式选讲函数()f x =的定义域为R ．〔1〕务实数m 的范围；〔2〕假设m 的最大值为n ，当正数b a ,满足41532n a b a b+=++时，求47a b +的最小值．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高三数学5月适应性考试试题含解析试题

绿色联盟2021届高三数学5月适应性考试试题〔含解析〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、选择题：本大题一一共有10小题，每一小题4分，一共40分。

1=2-i，z2=1+2i，i为虚数单位，那么z1· =〔〕A. 4-5iB.3i C. 4-3i D. -5i 【答案】 D【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：.故答案为：D【分析】利用复数的运算性质即可得出结果。

2.x，y为实数，那么“xy≥0〞是|x+y|≥|x-y|的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】 C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：由，当时，成立，当时，也成立。

故答案为：C【分析】根据题意对x、y分情况讨论即可得出结论成立。

3.a为第二象限角，且3sina+cosa=0，那么sina=〔〕A. B.C. -D. -【答案】 A【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】【解答】解：， a 为第二象限角，sina<0∴.故答案为：A【分析】利用同角三角函数的根本关系式再结合角a的象限即可求出结果。

4.设U为全集，对于集合M，N，以下集合之间关系不正确的选项是〔〕A. M∩NMUNB. (C U M)U(C U N)=C U(M∩N)C. (C U M)∩(C U N)=C U(MUN) D. (C U M) ∩(C U N)=C U(M∩N)【答案】 D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】解：根据集合的运算性质，可得到(C U M)U(C U N)=C U(M∩N)， (C U M) ∩(C U N)=C U(MUN)。

故答案为：D【分析】结合集合的交、并、补运算性质逐一判断即可得出结论。

5.函数f(x)图象如下图，那么该图象所对应的函数是〔〕A. f(x)=e-xB. f(x)=e-2C. f(x)=e x2D. f(x)=e-x2【答案】 D【考点】函数的图象【解析】【解答】解：由图像可得出这个函数为偶函数，故排除A选项，再由特殊值法可得出f(0)=1,排除B选项，再由图像的增减性在为减函数在为增函数，进而可判断出满足条件为f(x)=e-x2。

高三数学5月适应性练习试题(一)理(含解析) 试题

心尺引州丑巴孔市中潭学校2021年高考适应性练习(一)理科数学本卷须知：1．本试题总分值150分，考试时间为120分钟．3．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1.集合{}()(){}1,2,3,130,A B x x x x Z A B ==+-<∈⋂=，则A. {l}B. {l ，2}C.{}0123，，， D.{}10123，，，，- 【答案】B 【解析】【分析】先求集合B ，再求两个集合的交集. 【详解】因为(1)(3)0x x +-<，所以13x ，因为x ∈Z ，所以{}0,1,2B =,所以{}1,2A B =,应选B.【点睛】此题主要考查集合的交集运算，侧重考查数学运算的核心素养. 2.z 为复数，假设()1i i z ⋅+=(i 是虚数单位)，那么z=A. 1C.12【答案】D【解析】【分析】先根据复数除法求出复数z ，结合复数模长的求解方法可得模长.【详解】因为(1)z i i+=，所以i i(1i)1i 11i 1i (1i)(1i)222z -+====++-+，所以||2z ==，应选D. 【点睛】此题主要考查复数的除法及模长，复数模长的求解一般是先化简复数为z a bi =+形式，结合模长公式z =.3.以下列图是国家统计局今年4月11日发布的2021年3月到2021年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图．(注：2021年2月与2021年2月相比较称同比，2021年2月与2021年1月相比较称环比)，根据该折线图，以下结论错误的选项是A. 2021年3月至2021年3月全国居民消费价格同比均上涨B. 2021年3月至2021年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C. 2021年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D. 2021年3月全国居民消费价格环比变化最快【答案】C 【解析】【分析】根据折线图提供的信息逐个选项验证可得.【详解】对于选项A ，从图可以看出同比涨跌幅均为正数，故A 正确；对于选项B ，从图可以看出环比涨跌幅有正数有负数，故B 正确；对于选项C ，从图可以看出同比涨幅最大的是2021年9月份和2021年10月份，故C 错误；对于选项D ，从图可以看出2021年3月全国居民消费价格环比变化最快，故D 正确.【点睛】此题主要考查统计图表的识别，根据折线图研究统计结论，侧重考查数据分析的核心素养. 4.数列{}n a 中，12,a =且121n n a a n +=++，那么10a = A. 19 B. 21C. 99D. 101【答案】D 【解析】【分析】利用累加法及等差数列的求和公式可求10a . 【详解】因为121n n a a n +=++，所以213a a =+，325a a =+，437a a =+10919a a =+.上面各式相加可得1013193519291012a a +=++++=+⨯=，应选D. 【点睛】此题主要考查数列通项公式的求解，利用累加法求解数列通项公式时注意数列项数的变化.5.双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，点(4，1)在双曲线上，那么该双曲线的方程为A. 2214x y -=B. 221205x y -=C. 221123x y -=D.2218x y -= 【答案】C 【解析】【分析】根据离心率可得一个方程，结合双曲线过点(4，1)得另一个方程，联立可得.，所以c a =①；因为点(4，1)在双曲线上，所以221611a b-=②；因为222c a b =+③；联立①②③可得2212,3a b ==，应选C.【点睛】此题主要考查双曲线方程的求解，根据条件建立方程组是求解的关键，注意隐含关系的挖掘使用.6.执行如下列图的程序框图，输出的结果为 A. 3，5 B. 8，13 C. 12，17 D. 21，34【答案】B 【解析】【分析】结合框图的循环条件，逐步运算可得结果. 【详解】第一次运算：i 2,1,2a b ===；第二次运算：i 3,3,5a b ===；第三次运算：i 4,8,13a b ===；此时结束循环，输出结果，应选B.【点睛】此题主要考查程序框图的识别，侧重考查数学运算的核心素养. 7.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，当(]0,1x ∈时，()2ln x f x x =+，那么()2019f =A. 2-B. 2C. 12-D.12【答案】A 【解析】【分析】先根据()()4f x f x +=可得函数周期，结合奇函数及解析式可得()2019f .【详解】因为()()4f x f x +=，所以周期为4，所以()()20191f f =-；因为()f x 为奇函数，所以()()20191(1)f f f =-=-.因为当(]0,1x ∈时，()2ln x f x x =+，所以(1)2f =，即()20192f =-，应选A.【点睛】此题主要考查函数性质的应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养. 8.向量()()()21,1,21,30,0,//,m a n b a b m n a b=-=->>+若则的最小值为A. 12B. 8+C. 15D.10+【答案】B 【解析】【分析】根据向量平行求出,a b 的关系式，结合均值定理可求最小值. 【详解】因为//m n ，所以3210a b +-=，212143()(32)888b a a b a b a b a b+=++=++≥+=，当且仅当2b=时，取到最小值8+【点睛】此题主要考查平面向量平行的应用及均值定理求最小值，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.9.将函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+<<π的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，那么函数()f x 的一个单调减区间为A. 5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】先根据平移变换求出ϕ，然后再根据正弦函数的单调区间.【详解】把()()()sin 20f x x ϕϕ=+<<π的图象向右平移4π个单位长度后得到()sin(2)sin(2)26g x x x ϕππ=-+=+，所以23ϕπ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令2222232k x k ππ3ππ+≤+≤π+，解得1212k x k π5ππ-≤≤π+，令0k =可得一个减区间为,]1212π5π[-，应选A. 【点睛】此题主要考查三角函数的单调区间求解，平移图象时，注意x 的系数对解析式的影响. 10.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线条画出的图形为某几何体的三视图，那么该几何体的外接球外表积为 A. 3π B. 12πC. 18πD. 27π【答案】D 【解析】【分析】根据三视图复原出几何体，结合几何体的特征求出其外接球的外表积. 【详解】根据三视图复原成几何体如图，它是从一个四棱锥截下的局部,四棱锥如图，四棱锥又可以看作是从边长为3的正方体中截取出来的，所以三棱锥的外接球就是截取它的正方体的外接球，正方体的对角线的长就是外接球的直径，所以其外接球半径为22233333R ++==,故外接球的外表积为2427S R =π=π,应选D.【点睛】此题主要考查三视图的识别，利用三视图复原几何体时，要注意数据的对号入座.侧重考查直观想象的核心素养.11.数列：()12,,,11k k N k k *⋅⋅⋅∈-，按照k 从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列{}n a ：1212381,,,,,,,213219⋅⋅⋅则首次出现时为数列{}n a 的 A. 第44项 B. 第76项C. 第128项D. 第144项【答案】C 【解析】【分析】从分子分母的特点入手，找到89出现前的所有项，然后确定89的项数. 【详解】观察分子分母的和出现的规律：2,3,4,5，把数列重新分组：11212312(),(,),(,,),(,,,)12132111k k k -，可看出89第一次出现在第16组，因为12315120++++=，所以前15组一共有120项；第16组的项为1278(,,,,)1615109，所以89是这一组中的第8项，故89第一次出现在数列的第128项，应选C.【点睛】此题主要考查数列的通项公式，结合数列的特征来确定，侧重考查数学建模的核心素养. 12.函数()21ln 2f x a x x =+，在其图象上任取两个不同的点()()()112212,,,P x y Q x y x x >，总能使得()()12122f x f x x x ->-，那么实数a 的取值范围为A. ()1,+∞B.[)1,+∞C. (1，2)D. []1,2【答案】B 【解析】【分析】根据()()12122f x f x x x ->-可知()f x 的图象上任意两个点连线的斜率大于2，结合导数的几何意义可求.【详解】()a f x x x '=+，因为()()12122f x f x x x ->-，所以()2af x x x'=+>；易知当0a ≤时，不符合题意；当0a>时，()af x x x'=+≥12x x >，所以()af x x x'=+>2≥，即1a ≥，应选B. 【点睛】此题主要考查导数的几何意义，曲线上任意两点的斜率问题转化为导数的几何意义，侧重考查数学建模的核心素养.二、填空题：本大题共有4个小题，每题5分，共20分．13.杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的<详解九章算术>(1261年)一书中用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角〞，由杨辉三角可以得到()na b +展开式的二项式系数．根据相关知识可求得()512x -展开式中的3x 的系数为【答案】80- 【解析】【分析】利用二项式定理展开式的通项公式求解. 【详解】()512x -的展开式的通项公式为155(2)(2)r r r r r r T C x C x +=-=-，令3r =，可得系数为335(2)80C -=-.【点睛】此题主要考查二项式定理的应用，求解二项式展开式特定项时，一般是利用通项公式求解.14.假设,x y 满足约束条件20220,3260x y x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩那么2z x y =+的最小值为【答案】27- 【解析】【分析】作出可行域，平移目标式，确定最值点，求出最值.【详解】作出可行域如图，平移直线0:20l x y +=可得目标函数z 在点A 处取到最小值，联立2203260x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得106(,)77A -,代入2z x y =+可得z 的最小值27-. 【点睛】此题主要考查线性规划，利用线性规划知识求解线性目标函数的最值问题，侧重考查直观想象的核心素养.15.一正四棱柱(底面为正方形的直四棱柱)内接于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为 223【解析】【分析】根据内接关系作出截面图，建立正四棱柱和圆锥之间的关系，从而可求. 【详解】设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，如图由题意可得21221h =解得22h a =-，正四棱柱的体积为232(22)22V Sh a a a a ==-=-+，2324V a a '=-+，当2(0,3a ∈时，0V '>，V 为增函数；当22()3a ∈+∞时，0V '<，V为减函数；所以当23a =223【点睛】此题主要考查组合体的内接问题，体积最大值确实定要根据目标式的特征来选择适宜的方法，侧重考查直观想象的核心素养. 16.抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且AF FB =，假设点A ，B 在l 上的投影分别为M ，N ，那么△MFN 的内切圆半径为【答案】1)【解析】【分析】先根据AF FB =可得，直线l 垂直于x 轴，确定△MFN 的形状，然后可求其内切圆半径.【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ,因为AF FB=，所以直线l垂直于x 轴，所以(1,2),(1,2)A B -,所以(1,2),(1,2)M N ---，(2,2),(2,2)FM FN =-=--,因为0FM FN ⋅=，所以△MFN为直角三角形，且22FM FN ==r ，那么有114)22r ⨯=，解得1)r ==-. 【点睛】此题主要考查直线和抛物线的位置关系，内切圆的问题一般是通过面积相等来求解，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.三、解答题：共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：60分．17.函数()()cos sin 1032f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=--++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正周期为π.(1)当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值与最小值： (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，假设()2222,25f A b a c ==-，求sinC ．【答案】〔1〕()f x 最大值为2，()f x 最小值为32.〔2〕sin C =【解析】【分析】〔1〕先化简函数为HY 型，结合周期可得ω，从而可求最值；〔2〕先根据()2f A =求出A ，结合条件及余弦定理可得,a c 关系，利用正弦定理可求sinC.【详解】解：〔1〕()cos()sin()132f x x x ππωω=--++因为()f x 的最小正周期为π，所以2=ππω，可得2ω=，故()sin(2)16f x x π=-+，当[,]42x ππ∈时，52[,]636x πππ-∈，所以当226x ππ-=时，()f x 最大值为2，当5266x ππ-=时，()f x 最小值为32. 〔2〕由()2f A =可得，sin(2)16A π-=，因为11(0,),2(,)666A A ππππ∈-∈-，所以262A ππ-=，3A π=,由余弦定理知，2222cos b c a bc A bc +-==，又22225b a c =-，可得22320c bc b +-=，解得3b c =，a =，由正弦定理知，sin sin a c A C=，sin 14C ==. 【点睛】此题主要考查三角函数的性质及解三角形问题，三角函数性质问题的关键是化简，注意公式的使用，侧重考查数学运算的核心素养.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，AB//CD ，AB AD ⊥，AB=AD=2CD=2，△ADP 为等边三角形．(1)当PB 长为多少时，平面PAD ⊥平面ABCD?并说明理由；(2)假设二面角P AD B --大小为150°，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】〔1〕当PB=PAD ⊥平面ABCD ，详见解析〔2【解析】【分析】(1)根据平面和平面垂直可得线面垂直，从而可得AB PA ⊥,利用直角三角形知识可得PB 的长； (2)构建空间直角坐标系，利用法向量求解直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值. 【详解】解：〔1〕当PB=PAD ⊥平面ABCD ，证明如下：在PAB ∆中，因为2,AB PA PB ===AB PA ⊥，又AB AD ⊥，AD PA A ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，又AB平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ；〔2〕分别取线段,AD BC 的中点,O E ，连接,PO OE ，因为ADP ∆为等边三角形，O 为AD 的中点，所以PO AD ⊥，,O E 为,AD BC 的中点，所以//OE AB ,又AB AD ⊥，所以OE AD ⊥，故POE ∠为二面角P AD B --的平面角，所以150POE ∠=，如图，分别以,OA OE 的方向以及垂直于平面ABCD 向上的方向作为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，因为OP =150POE ∠=，所以3(0,,22P -，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,1,0)C -. 可得(0,2,0)AB =，735(1,),(1,,222PB PC =-=-,，设(,,)n x y z =为平面PBC 的一个法向量，那么有0,0PB nPC n⋅=⋅=，即70225022x y z x y z ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，令1x =，可得(1,2,n=--，设AB与平面PBC所成角为θ，那么有|| sin||||AB nAB nθ⋅=所以直线AB与平面PBC.【点睛】此题主要考查平面和平面垂直的性质及线面角的求解，侧重考查逻辑推理，直观想象和数学运算的核心素养.19. 支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端(通常是 )对所消费的商品或效劳进行账务支付的一种效劳方式．随着信息技术的开展，支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用支付〞的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用支付的人数如下所示：(年龄单位：岁)(1)假设以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用支付〞与年龄有关?(2)假设从年龄在[55，65)，[65，75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用支付〞的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考数据：参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.【答案】〔1〕见解析.〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕根据频数分布表完成列联表，计算卡方，得出结论；〔2〕先确定X的所有可能取值，再分别求解其概率，然后可求分布列和期望.【详解】解：〔1〕由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人，可得列联表如下：于是有2K的观测值2100(60151510)14.28610.82875257030k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用支付〞与年龄有关. 〔2〕由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3，相应的概率为：223222531(0)10C C P X C C ===，1122132232222253532(1)5C C C C C P X C C C C ==+=，11122322222222535313(2)30C C C C C P X C C C C ==+=，212222531(3)15C C P X C C ===，于是X的分布列为:所以0123105301515EX=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】此题主要考查HY 性检验和随机变量的分布列及期望，侧重考查数学建模，数据分析和数学运算的核心素养.20.椭圆()222210x y a b a b +=>>的四个顶点围成的菱形的面积为2220x y x +-=的圆心．(1)求椭圆的方程；(2)假设M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为12,k k ，当1234k k =-时，△MON 的面积是否为定值?假设为定值，求出此定值；假设不为定值，说明理由．【答案】〔1〕22143x y +=〔2〕MON S ∆【解析】【分析】(1)根据菱形的面积和焦点建立方程组，解方程组可得； (2)先求弦长和三角形的高，再求面积的表达式，求出定值. 【详解】解：〔1〕由题意可知，2ab=圆2220xy x +-=的圆心为(1,0)，所以1c =，因此221a b -=，联立221ab a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解之224,3a b ==，故椭圆的方程为22143x y +=.〔2〕设1122(,),(,)M x y N x y ，当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 可得，222(34)84120k x kmx m +++-= 那么有222222644(34)(412)48(43)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，即2243m k <+，21212228412,3434km m x x x x k k --+==++，所以12MN x =-==点O 到直线MN的距离d =，所以1||2MONSMN d ∆==又因为12121234y y k k x x ⋅==-，所以22222121221228()()334412434kmkm m k x x km x x mk k m x x k -+++++=+=--+，化简可得22243m k =+，满足>0∆，代入MONS ∆===，当直线MN 的斜率不存在时，由于1234k k =-，考虑到,OM ON 关于x轴对称，不妨设12k k ==，那么点,M N的坐标分别为M N ,此时12MONS ∆= 综上，MON ∆.法二：设1122(2cos ),(2cos )M N θθθθ，由题意12121212123sin sin 34cos cos 4y y k k x x θθθθ⋅===-，可得12cos()0θθ-=，所以12()2k k πθθπ-=+∈Z ，而12211sin sin |2MONS θθθθ∆=⨯- 因为122k πθθπ-=+，所以12sin(=1θθ-±），故MON S ∆=为定值.【点睛】此题主要考查椭圆方程的求解和定值问题，侧重考查数学运算的核心素养. 21.函数()()2x f x x ax e =-，函数图象在1x =处的切线与x 轴平行.(1)讨论方程()f x m =根的个数；(2)设()ln 1x gx b x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，假设对于任意的()10,2x ∈，总存在[]21,e x ∈，使得()()12f x g x ≥成立，求实数b 的取值范围．【答案】〔1〕见解析〔2〕e2b ≤- 【解析】【分析】(1)先根据函数图象在1x =处的切线与x 轴平行可求a 的值，然后求出函数的极值，从而可得根的个数； (2) 对于任意的()10,2x ∈，总存在[]21,e x ∈，使得()()12f xg x ≥成立，可以转化为min min ()()f x g x ≥，进而分别求解最值即可.【详解】解：〔1〕22()(2)e ()e [(2)]e x x x f x x a x ax x a x a '=-+-=+--，由题意知，()01f '=，即(32)e=0a -，解得32a =，故23()()e 2x f x x x =-，此时211()23e (23)(1)e 22x x f x x x x x '=+-=+-()，那么有：且当x →-∞时，()0f x →，当x →+∞时，()f x →+∞.所以，当e 2m <-时，方程无根，当e 2m =-或m >时，方程有一根，当e 02m -<≤或m =时，方程有两个根，当0m <<时，方程有三个根；〔2〕由题意可知，只需min min ()()f x g x ≥，由〔1〕知，当(0,2)x ∈时，min e ()2f x =-，而21ln ()()xg x b x-'=，当[1,e]x ∈时，1ln 0x -<，当0b >时，()0g x '<，()g x 在[1,]e 单调递减，min 1()(e)(1)eg x g b ==+，所以e 1(1)2eb -≥+，因为0b >，无解， 0b =，()0g x =，无解，0b <，()0g x '>，()g x 在[1,]e 单调递增，min ()(1)g x g b ==，此时，e2b ≤-，综上所述，实数b 的取值范围为e 2b ≤-. 【点睛】此题主要考查利用导数解决切线问题，方程根的问题及最值问题，侧重考查数学建模，数学运算和数学抽象的核心素养.(二)选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题作答．22.[选修4—4：坐标系与参数方程]:在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩〔t为参数，0απ≤<〕，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ--+=，直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设P(1，2)，求22PA PB+的取值范围．【答案】〔1〕直线l 的普通方程为sin cos sin 2cos 0x y αααα--+=. 曲线C 的直角坐标方程为2268210x y x y +--+=〔2〕(8,24]【解析】【分析】(1)消去参数可得直线l 的普通方程，利用cos ,sin x y ρθρθ==可以化成直角坐标方程；(2)联立直线和曲线方程，结合参数的几何意义可求..【详解】解：〔1〕因为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，所以sin sin cos sin cos 2cos sin cos x t y t αααααααα=+⎧⎨=+⎩，两式相减可得直线l 的普通方程为sin cos sin 2cos 0x y αααα--+=.因为cos xρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以曲线C 的直角坐标方程2268210x y x y +--+=. 〔2〕将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程： 24(sin cos )40tt αα-++=.因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解，设为12,t t ，那么 12t t +=4(sin cos )αα+，124t t =.并且216(sin cos )1632sin cos 0αααα∆=+-=>，注意到0απ≤< ，解得02πα<<.因为直线l 的参数方程为HY 形式，所以根据参数t 的几何意义，有22||PA PB +=2212t t +=21212()2t t t t +-=216(sin cos )8αα+-16sin 28α=+，因为02πα<<，所以sin 2(0,1]α∈，16sin 28(8,24]α+∈.因此22||||PA PB +的取值范围是(8,24].【点睛】此题主要考查参数方程与普通方程的转化及极坐标方程与直角坐标方程的转化，利用参数的几何意义求解范围等，侧重考查了数学建模和数学运算的核心素养. 23.[选修4—5：不等式选讲]:函数()2123f x x m x =+-+-．(1)当m=2时，求不等式()6f x ≤的解集；(2)假设()26f x x ≤-的解集包含区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围。

高三数学5月适应性考试试题二理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校2021年高三适应性考试〔二〕理科数学第一卷〔选择题60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.，，那么=〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求得集合A，然后进展交集运算即可.【详解】求解不等式可得：，结合交集的定义可知：.A.【点睛】此题主要考察集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.2.是虚数单位，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算计算复数的值即可.【详解】由复数的运算法那么有：.应选：B.【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四那么运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的一共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.3.如图，在边长为的正方形内随机投掷个点，假设曲线的方程为，，那么落入阴影局部的点的个数估计值为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合几何概型公式可得落入阴影局部的点的个数估计值.【详解】由题意结合几何概型概率公式可得落入阴影局部的点的个数估计值：.应选：D.【点睛】此题主要考察几何概型公式及其应用，属于根底题.的以下结论，错误的选项是〔〕A.图像关于对称B.最小值为C.图像关于点对称D.在上单调递减【答案】C【解析】【分析】将函数的解析式写成分段函数的形式，然后结合函数图像考察函数的性质即可.【详解】由题意可得：，绘制函数图像如下列图，观察函数图像可得：图像关于对称，选项A正确；最小值为，选项B正确；图像不关于点对称，选项C错误；在上单调递减，选项D正确；应选：C.【点睛】此题主要考察分段函数的性质，函数图像的应用，函数的性质等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.5.运行如下列图框图的相应程序，假设输入的值分别为和那么输出的值是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合流程图利用断定条件确定输出的数值即可.【详解】由于，据此结合流程图可知输出的数值为：.应选：C.【点睛】此题主要考察流程图的阅读，实数比较大小的方法，对数的运算等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.6.，假设，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意利用函数的解析式和函数局部奇函数的特征可得的值.【详解】由题意可得：，而.应选：D.【点睛】此题主要考察函数值的求解，函数局部奇偶性的应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.7.某几何体的三视图如图，那么它的外接球的外表积为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知该几何体是一个底面半径为高为2的圆柱,根据球与圆柱的对称性,可得外接球的半径，的值域是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先整理函数的解析式，然后结合函数的解析式可得函数的值域.【详解】由于，其中，，∵tanφ，∴φ，又∵0≤x≤π，∴x+φ，∴当x+φ＝时，函数取最大值5，又函数在〔0，〕上单调递增，在〔，π〕单调递减，∴当x＝0时，函数取最小值﹣4，故函数的值域为[﹣4，5]应选：A.【点睛】此题主要考察辅助角公式，三角函数值域的求解等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.，满足线性约束条件，那么的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目的函数的几何意义确定函数的最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如下列图，目的函数即：，其中z获得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目的函数的几何意义可知目的函数在点A处获得最小值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目的函数的最小值为：.应选：B.【点睛】此题考察了线性规划的问题，关键是画出可行域并理解目的函数的几何意义，属于根底题.的两条渐近线分别为，，为其一个焦点，假设关于的对称点在上，那么双曲线的渐近线方程为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意首先求得对称点的坐标，然后结合点在渐近线上得到a,b之间的关系即可确定双曲线的渐近线方程.【详解】不妨取，设其对称点在，由对称性可得：，解得：，点在，那么：，整理可得：，双曲线的渐近线方程为：.应选：D.【点睛】此题主要考察双曲线的性质，双曲线渐近线的求解等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.，恒成立，那么的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先确定函数的特征，然后结合函数图像求得k的取值范围即可确定k的最小值.【详解】令，那么，很明显函数的周期为，由导函数的符号可得函数在区间上具有如下单调性：在区间和上单调递增，在区间上单调递减，绘制函数图像如下列图，考察临界条件，满足题意时，直线恒在函数的图像的上方，临界条件为直线与曲线相切的情况，此时，即的最小值为.应选：A.【点睛】此题主要考察导函数研究函数的性质，导函数求解切线方程，数形结合的数学思想等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.的左焦点的直线过的上端点，且与椭圆相交于点，假设，那么的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先设出点的坐标，然后利用点在椭圆上即可求得椭圆的离心率.【详解】由题意可得，由得，点A在椭圆上，那么：，整理可得：.应选D.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或者离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或者a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分.13.展开式中的常数项为__________．【答案】.【解析】【分析】利用通项公式即可得出．【详解】通项公式T r+1〔x2〕6﹣r〔﹣1〕r x12﹣3r，令12﹣3r＝0，解得r＝4．∴展开式中的常数项15．故答案为15．【点睛】此题考察了二项式定理的通项公式，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．14.的内角，，的对边分别为，，，且，那么__________．【答案】【解析】【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和同角三角函数根本关系即可确定的值.【详解】由题意结合正弦定理有：，即，整理变形可得：，，即.【点睛】此题主要考察同角三角函数根本关系，正弦定理及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.去截圆柱，截得一离心率为的椭圆，那么平面与圆柱底面所成锐二面角的余弦为______．【答案】.【解析】【分析】根据椭圆的几何特征，椭圆上两点间的最长间隔是长轴长，最短间隔是短轴长，结合轴截面图形进展求解即可．【详解】设圆柱的底面直径为2，所以由题意可得椭圆的短轴长是2，又椭圆的离心率为e，∴椭圆的长轴长为，又过椭圆长轴的轴截面图形如图，JK是底面直径，长度为2，三角形是直角三角形，椭圆的长轴长=LJ＝，∴cos∠KJL=．故答案为.【点睛】此题考察与二面角有关的立体几何综合题，以及椭圆的性质，是解析几何与立体几何结合的一道综合题．与曲线相交于，，，四点，为坐标原点，那么__________．【答案】.【解析】【分析】先求得圆心坐标，再利用圆与曲线的对称性结合向量的加法法那么可得，计算即可.【详解】∵圆的圆心为M〔-3，2〕，∴圆关于M〔-3，2〕中心对称，又曲线，关于〔-3，2〕中心对称，∴圆与曲线的交点关于〔-3，2〕中心对称，不妨设与，与关于〔-3，2〕中心对称，那么，,∴，故答案为.【点睛】此题主要考察圆及反比例函数的对称性的应用，平面向量的运算法那么，意在考察学生的转化才能，属于中档题.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕的前项和为，公差，，，，成等比数列.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕记点，，，求证：的面积为.【答案】(1).(2)见解析.【解析】【分析】(1)由题意求得首项和公差即可确定数列的通项公式；(2)结合(1)中的通项公式可得前n项和公式，结合图形的特征计算三角形的面积即可.【详解】〔1〕由题意得由于，解得，；〔2〕由〔1〕知的面积【点睛】此题主要考察等差数列的通项公式与前n项和公式的求解，数形结合的数学思想等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.18.是衡量空气污染程度的一个指标，为了理解空气质量情况，从年每天的值的数据中随机抽取值划分成区间、、、，分别称为一级、二级、三级和四级，统计时用频率估计概率.〔1〕根据年的数据估计该在年中空气质量为一级的天数；〔2〕假设对环境进展治理，经治理后，每天值近似满足正态分布，求经过治理后的值的均值下降率.【答案】〔1〕91.(2).【解析】【分析】(1)由频率近似概率，计算空气质量为一级的天数即可；(2)先由频率分布直方图求解未治理前的均值，再由正态分布得到治理后的均值，从而可得均值下降率.【详解】〔1〕由样本空气质量的数据的频率分布直方图可知，其频率分布如下表：值频率由上表可知，假设维持现状不变，那么该下一年的某一天空气质量为一级的概率为，因此在天中空气质量为一级的天数约有〔天〕.〔2〕假设维持不变，那么该的值的均值约为由于该的环境进展治理，治理后每天值近似满足，所以治理后的值的均值为，因此治理后的值的均值下降率为【点睛】此题主要考察频率分布直方图的应用，考察了均值的运算及正态分布的知识，考察计算求解才能，属于中档题.19.如图〔1〕中，，，，分别是与的中点，将沿折起连接与得到四棱锥〔如图〔2〕〕，为线段的中点.〔1〕求证：平面；〔2〕当四棱锥体积最大时，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)见解析.(2).【解析】【分析】(1)作出辅助线，结合线面平行的断定定理即可证得题中的结论；〔2〕先证得体积最大时，平面，建立空间坐标系，求得平面的法向量，利用空间向量法求解线面角即可.【详解】〔1〕取的中点，连接，，由于是的中点，，且又，分别为与的中点，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面.〔2〕当四棱锥体积最大时，平面平面由于，平面，建立如下列图的坐标系，由题知，，，，，，，，，设平面的法向量，那么，即，取一组解，记与平面所成角为，那么【点睛】此题主要考察线面平行的断定定理，考察了空间向量法解决空间角的问题，考察计算求解才能，属于中档题.的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，.〔1〕求的值；〔2〕假设与坐标轴不平行，且关于轴的对称点为，求证：直线恒过定点.【答案】(1)(2)见证明【解析】【分析】(1)由题意分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况即可确定p的值；(2)设出点的坐标，结合(1)中的结论利用点斜式得到直线BD的方程，由直线方程即可证得直线恒过定点.【详解】〔1〕当直线轴时，可得，，由得，，当直线与轴不垂直时，设的方程为代入得，设，，那么，由得，即，，，综上所述.〔2〕由〔1〕知抛物线方程为，由于，关于轴对称，故的坐标为，所以直线的方程为，即，又，所以，直线恒过点.【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，假设过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，假设不过焦点，那么必须用一般弦长公式．.〔1〕讨论的单调性；〔2〕假设曲线的一条切线方程为，〔i〕求的值；〔ii〕假设时，恒成立，务实数的取值范围.【答案】(1)见解析.(2)〔i〕1,〔ii〕.【解析】【分析】〔1〕求导后，分和两种情况，解得与的解集，可得的单调性.〔2〕〔i〕设切点为，由题意利用切线与导函数的关系建立方程组即可确定b的值；〔ii〕将原问题转化为函数在给定区间上单调性的问题，利用导函数研究函数单调性的方法即可确定实数的取值范围.【详解】由得，假设，那么，即在上是增函数；假设，令得，令得，即在上是单调减函数，在上是单调增函数.〔2〕〔i〕设切点为，得由题意得，消去与得，令，，时，；时，；时，；在上是减函数，在上是增函数，，即仅有一个零点，即方程仅有一个根，〔ii〕由〔i〕知，即为由知，上式等价于函数在为增函数，即，令，，时，；时，；时，在上单调递减，在上单调递增，，那么，即，所以实数的范围为.【点睛】此题主要考察导数研究函数的单调性及切线方程，利用导数研究恒成立问题等知识，考察了转化才能和计算求解才能，属于较难题.请考生在22、23两题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题记分.的极坐标方程为，直线的参数方程为〔为参数〕〔1〕写出的直角坐标方程与的普通方程；〔2〕直线与曲线相交于两点，，设点，求的值.【答案】(1)的直角坐标方程为，的普通方程为.(2)【解析】【分析】(1)由题意利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式和参数方程与普通方程互化的方法可得相应的方程；(2)由题意联立直线的参数方程和C的直角坐标方程，结合参数方程的几何意义即可确定的值.【详解】〔1〕曲线C的方程即，利用极坐标与直角坐标方程互化公式可得的直角坐标方程为，消去参数可得直线的普通方程为.〔2〕由〔1〕知点在直线上，所以直线的参数方程可改写为〔为参数〕，①将①代入得，即，所以，，根据参数的几何意义知.【点睛】此题主要考察参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.23.〔1〕假设，，求证：；〔2〕假设，，且对于恒成立，务实数的取值范围.【答案】(1)见证明；(2)或者【解析】【分析】(1)由题意利用作差法证明题中的不等式即可；(2)由题意结合(1)的结论和绝对值三角不等式的性质得到关于m的不等式，求解不等式即可确定实数的取值范围.【详解】〔1〕由于，，，当且仅当时取等号，所以〔2〕由〔1〕知而，，解得或者【点睛】此题主要考察作差法证明不等式的方法，绝对值三角不等式的应用，绝对值不等式的解法等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.。

河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试理科数学试题

一、单选题1. 已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A ．（2，3）B ．（2，3]C ．[2，3）D ．[2，3]2.抛物线：的准线与轴交于点，焦点为，点是抛物线上的任意一点，令，当取得最大值时，直线的斜率是A．B．C．D．3. 若从无穷数列中任取若干项（其中）都依次为数列中的连续项，则称是的“衍生数列".给出以下两个命题:（1）数列是某个数列的“衍生数列”；（2）若各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，则从某一项起为常数列.下列判断正确的是（）.A ．（1）（2）均为真命题B ．（1）（2）均为假命题C ．（1）为真命题，（2）为假命题D ．（1）为假命题，（2）为真命题4.若，则（）A．B．C．D．5. 已知随机变量服从正态分布, 且,则A．B．C．D．6. 设集合，，则A．B．C．D．7. 某地为方便群众接种新冠疫苗，开设了，，，四个接种点，每位接种者可去任一个接种点接种．若甲，乙两人去接种新冠疫苗，则两人不在同一接种点接种疫苗的概率为（）A．B．C．D．8.已知双曲线的左､右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为A ，若，则此双曲线的渐近线为（）A．B．C．D．9.已知，则（）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >a >b10. 已知函数，则的一个单调递减区间是( )A．B．C．D．11. 已知i 是虚数单位,若复数z满足,则=A ．-2iB ．2iC ．-2D ．212. 已知，，c =40.1，则（）A．B．C．D．河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试理科数学试题二、多选题13. 已知某种垃圾的分解率为，与时间（月）满足函数关系式（其中，为非零常数），若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过（）（参考数据：）A ．48个月B ．52个月C ．64个月D ．120个月14.已知函数，则下列结论正确的是（）A ．是偶函数，递增区间是B．是偶函数，递减区间是C ．是奇函数，递减区间是D ．是奇函数，递增区间是15. 已知直线经过点，那么直线的斜率是（）A．B．C ．1D ．216. 若a 、b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“a ＜”或“b＞”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17. 若随机变量Ｘ服从两点分布，且，则（）A．B．C．D．18.如图所示，在长方体中，是的中点，直线交平面于点，则（）A ．三点共线B ．的长度为1C ．直线与平面所成角的正切值为D ．的面积为19. 已知异面直线与直线所成角为，过定点的直线与直线、所成角均为，且平面与平面的夹角为，直线与平面所成角均为，则对于直线的条数分析正确的是（）A ．当时，直线不存在B．当时，直线有3条C ．当时，直线有4条D ．当时，直线有4条20. 对于函数，下列说法正确的是（）A ．在处取得极大值B．有两个不同的零点C．D ．若在上恒成立，则三、填空题四、解答题21.设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（）A．B．C．D．22.已知正四面体的棱长为2，M ，N 分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（）A．若取得最小值，则B．若，则平面C ．若平面，则三棱锥外接球的表面积为D ．直线到平面的距离为23. 下列说法中的是（）A．B ．若且，则C ．若非零向量且，则D ．若，则有且只有一个实数，使得正确24.设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（）A．B．当时，的最大值为C．数列为等差数列，且和数列的首项、公差均相同D ．数列前项和为，最大25. 已知函数对任意的满足，且当时，，若有4个零点，则实数a 的取值范围是______．26.已知三棱锥的所有棱长都相等，点O 是的中心，点D 为棱PC 上一点，平面ABD 把三棱锥分成体积相等的两部分，平面ABD 与PO 交于点E ，若点P ，A ，B ，C都在球的表面上，点E ，A ，B ，C 都在球的表面上，则球与球表面积的比值为______．27. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的取值范围为______．28. 的展开式的各项二项式系数之和为32，各项系数和为1，则展开式中的系数为_________.29. 设点在单位圆的内接正六边形的边上，则的取值范围是__________.30.设函数是定义域为的奇函数，且，则____________．31. 点M （2，-2）到直线的距离为______.32. 函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则______.33. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.(1)化简曲线的方程；(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A 作直线的垂线，交于两点，求五、解答题面积的最小值.34. 已知数列是公比为2的等比数列，数列是等差数列，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．35. 在△ABC 中，已知角A 为锐角，且.（1）将化简成的形式；（2）若，求边AC 的长.36. 已知椭圆C ：（）的离心率为，左顶点A 到右焦点的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A ），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程.37. 已知，求下列各式的值(1)；(2)38.在中，，，．(1)求A 的大小；(2)求外接圆的半径与内切圆的半径．39. 如图所示，在三棱锥A -BCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且.（1）在∠BDC 的角平分线上，是否存在一点O ，使得AO ∥平面EFC ？若存在，请作出证明；若不存在，请说明理由；（2）若平面BCD ⊥平面ADC ，BD ⊥DC ，，求二面角F -EC -D 的正切值.40.如图，在正方体中，E 是棱上的点（点E 与点C ，不重合）．(1)在图中作出平面与平面ABCD 的交线，并说明理由；(2)若正方体的棱长为1，平面与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为，求线段CE 的长．41. 开学初学校进行了一次摸底考试，物理老师为了了解自己所教的班级参加本次考试的物理成绩的情况，从参考的本班同学中随机抽取名学生的物理成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的学生中成绩在内的有3人．（1）求的值，并估计本班参考学生的平均成绩；（2）已知抽取的名参考学生中，在的人中，女生有甲、乙两人，现从的人中随机抽取2人参加物理竞赛，求女学生甲被抽到的概率．42. 如图，已知平行六面体的底面是菱形，，，且.(1)试在平面内过点作直线，使得直线平面，说明作图方法，并证明：直线；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.43. 如图，在四棱锥中，平面，底面满足，且，，三角形的面积为(1)画出平面和平面的交线，并说明理由(2)求点到平面的距离44. 今年春节期间，在为期5天的某民俗庙会上，某摊点销售一种儿童玩具的情况如下表：日期天气2月13日2月14日2月15日2月16日2月17日小雨小雨阴阴转多云多云转阴销售量上午4247586063下午5556626567由表可知：两个雨天的平均销售量为100件/天，三个非雨天的平均销售量为125件/天.（1）以十位数字为茎，个位数字为叶，画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；六、解答题（2）假如明天庙会5天中每天下雨的概率为，且每天下雨与否相互独立，其他条件不变，试估计庙会期间同一类型摊点能够售出的同种儿童玩具的件数；（3）已知摊位租金为1000元/个，该种玩具进货价为9元/件，售价为13元/件，未售出玩具可按进货价退回厂家，若所获利润大于1200元的概率超过0.6，则称为“值得投资”，那么在（2）的条件下，你认为“值得投资”吗?45.如图，正四棱柱中，，点在上且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．46.如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，在侧棱上，且.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.47.如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点．(1)求证：平面；(2)若，，求三棱锥的体积．48. 已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）当时，求证：．49. 已知四边形ABCD 为平行四边形，E 为CD 的中点，AB =4，为等边三角形，将三角形ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置，且平七、解答题面平面ABCE.(1)求证：；(2)试判断在线段PB 上是否存在点F ，使得平面AEF 与平面AEP 的夹角为45°.若存在，试确定点F 的位置；若不存在，请说明理由.50.已知数列的前n项和为，且，，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.51. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将个样本数据按、、、、、分成组，并整理得到如下频率分布直方图.(1)请通过频率分布直方图估计这份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.(2)以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于分，则被认定为成绩合格，低于分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取人，用表示成绩合格的人数，求的分布列及数学期望.52. 中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示．材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W 来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W 较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，圆形截面正方形截面矩形截面条件r 为圆半径a 为正方形边长h 为矩形的长，b 为矩形的宽，抗弯截面系数(1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；(2)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如下图所示，请问为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理．53. 某校举办歌唱比赛，七名评委对甲、乙两名选手打分如下表所示：评委选手甲91949692939795选手乙929590969491(1)若甲和乙所得的平均分相等，求的值；(2)在（1）的条件下，从七名评委中任选一人，求该评委对甲的打分高于对乙的打分的概率；(3)若甲和乙所得分数的方差相等，写出一个的值（直接写出结果，不必说明理由）．54. 某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.55. 随着生活节奏的加快､生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2016—2020年全国居民每百户家用汽车拥有量（单位：辆）与全国居民人均可支配收入（单位：万元）绘制的散点图.(1)由图可知，可以用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数）(2)已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可支配收入均以6%的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.参考数据：2.8232.560.46 5.27，，.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.56. 甲乙二人均为射击队S中的射击选手，某次训练中，二人进行了100次“对抗赛”，每次“对抗赛”中，二人各自射击一次，并记录二人射击的环数，更接近10环者获胜，环数相同则记为“平局”．已知100次对抗的成绩的频率分布如下：“对抗赛”成绩（甲：乙）总计频数21136251510424100八、解答题这100次“对抗赛”中甲乙二人各自击中各环数的频率可以视为相应的概率．(1)设甲，乙两位选手各自射击一次，得到的环数分别为随机变量X ，Y，求，，，．(2)若某位选手在一次射击中命中9环或10环，则称这次射击成绩优秀，以这100次对抗赛的成绩为观测数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为甲的射击成绩优秀与乙的射击成绩优秀有关联？(3)在某次团队赛中，射击队S 只要在最后两次射击中获得至少19环即可夺得此次比赛的冠军，现有以下三种方案：方案一：由选手甲射击2次﹔方案二：由选手甲、乙各射击1次；方案三：由选手乙射击2次．则哪种方案最有利于射击队S 夺冠？请说明理由．附：参考公式：参考数据：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82857. 已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，短轴长为．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 与椭圆C 相切于点A ，A 关于原点O 的对称点为点B ，过点B 作，垂足为M ，求面积的最大值．58.在中，已知.(1) 求的值；(2)若，求的面积.59.在中，内角的对边分别为，已知.(1)求角A 的大小；(2)若的面积为，且，求的周长.60. 已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)设函数有两个极值点，证明：．61. 年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫情和严重洪涝灾害的考验.党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇，全党全社会戮力同心真抓实干，取得了积极成效．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示:土地使用面积（单位：亩）管理时间（单位：月）并调查了某村名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示;愿意参与管理不愿意参与管理男性村民女性村民（1）做出散点图，判断土地使用面积与管理时间是否线性相关;并根据相关系数说明相关关系的强弱．(若，认为两个变量有很强的线性相关性，值精确到) .参考公式：参考数据：（2）完成以下列联表，并判断是否有的把握认为该村的村民的性别与参与管理意愿有关.愿意参与管理不愿意参与管理合计男性村民女性村民62. 《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体中，平面，，是棱的中点．(I)证明：．并判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由．(Ⅱ)若四面体是鳖臑，且，求二面角的余弦值．。

高三(5月份)数学(理科)适应性试卷(含答案与解析)

A B B C=，则集合CAi(12i)z=-C．2311)e ,x x aa ≤>，若函数 B ．||=1||2ab =，，且(2)1b a b +=，则向量a ，b 的夹角的余弦值为的展开式中，含23x y 的项的系数是m n ，3k n，对所有的正整数9n17-=-nn=时，取等号，，即3PAC平面ABCD为原点，,AC AB方向分别为，31(,22D-,0，3(22DC=，2(CP=-的一个法向量为(,,n x y=，3223n DC xn CP⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪，得(1,3,n=-AB，为面P AC的一个法向量，且(0AB=，，||63||||AB nAB n=，即二面角192m+1(8)64 +6226464(2m +，B ，N 四点在同一圆上等价于OA OB的取值范．高三（5月份）数学（理科）适应性试卷解析1．【分析】由题意，利用交集及并集的定义判断即可．【解答】解：∵A∪B=B∩C，∴A⊆B⊆C，2．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：由i•z=（1﹣2i）2，得=，∴|z|=．3．【分析】利用同角三角函数的基本关系、任意角的三角函数的定义，求得要求式子的值．【解答】解：∵角α的终边落在直线y=2x上，∴tanα=2，∴sin2α﹣cos2α+sinαcosα====1，4．【分析】利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．【解答】解：A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C．设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．5．【分析】根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设其方程为﹣x2=λ，将点（2，3）代入其中可得﹣22=λ，解可得λ的值，变形即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的渐进线方程为y=±x，则可以设其方程为﹣x2=λ，（λ≠0）又由其过点（2，3），则有﹣22=λ，解可得：λ=﹣1，则双曲线的标准方程为：x2﹣=1；6．【分析】设lglog310=m，则lglg3=﹣lglog310=﹣m．由f（lglog310）=5，得到asinm+b=4，由此能求出结果．【解答】解：∵（a，b∈R），若f（lglog310）=5，∴设lglog310=m，则lglg3=﹣lglog310=﹣m．∵f（lglog310）=5，（a，b∈R），∴f（m）=asinm+b=5，∴asinm+b=4，∴f（lglg3）=f（﹣m）=﹣（asinm+b）+1=﹣4+1=﹣3．7．【分析】根据这两幅图中的信息，即可得出结论．【解答】解：由图2知，样本中的女生数量多于男生数量，样本中的男生、女生均偏爱理科；由图1知，样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，8．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当y=1024时，不满足条件退出循环，输出x的值即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=2，y=0满足条件y＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=1满足条件y＜1024，执行循环体，x=，y=2满足条件y＜1024，执行循环体，x=2，y=3满足条件y＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=4观察规律可知，x的取值周期为3，由于1024=341×3+1，可得：满足条件y＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=1024不满足条件y＜1024，退出循环，输出x的值为﹣1．9．【分析】由已知的四棱锥三视图，画出该四棱锥的直观图，结合图中数据求出四棱锥的表面积．【解答】解：由已知的四棱锥三视图，可得：该四棱锥的直观图如图所示：其底面面积为：S矩形ABCD=2×=2，侧面S△PBC=×2×1=1，S△PCD=×2×=，S△PAB=×2×2=2，S△PAD=××=；∴四棱锥的表面积为S=2+1++2+=3+3+．10．【分析】根据题意，画出序列图即可．【解答】当n=7时，序列如图：故S7=420+210+140+105+84+70+60=1089，11．【分析】设右焦点F（c，0），双曲线的两条渐近线方程为l1：y=x，l2：y=﹣x．由点到直线的距离公式，计算可得|FA|，再由两直线平行的条件：斜率相等，可得直线FB的方程，联立直线l2，可得交点B 的坐标，运用两点的距离公式，化简整理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：设F（c，0），双曲线的两条渐近线方程为l1：y=x，l2：y=﹣x．①则F到直线l1的距离|FA|===b，由FB∥l1，可得直线FB的方程为y=（x﹣c），②由①②可得x=c，y=﹣，即有B（c，﹣），|FB|==c=•，由，可得b=••，即2c2=5ab，两边平方可得4c4=25a2b2=25a2（c2﹣a2），由e=，可得4e4﹣25e2+25=0，解得e2=5或e2=，即为e=或e=．12．【分析】判断f（x）在（﹣∞，a]上的单调性，讨论a与﹣2的大小关系即可求出M的范围．【解答】解：若f（x）有最大值，显然f（x）在（a，+∞）不单调递增，故b≤0，且ab﹣1≤f（a），当x≤a时，f（x）=﹣（x+1）e x，∴f′（x）=﹣（x+2）e x，令f′（x）=﹣（x+2）e x=0，解得x=﹣2∴当x＜﹣2时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x＞﹣2时，f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当x=﹣2时，f（x）取得最大值f（﹣2）=，∴当a≥﹣2时，f（x）max=，当a＜﹣2时，f（x）max=f（a），又x→﹣∞时，f（x）→0，∴0＜M≤，13．【分析】利用向量的数量积运算法则和夹角公式即可得出．【解答】解：∵•（2+）=1，∴，∵，∴，化为．∴==﹣．14．【分析】首先求出a，然后画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值．【解答】解：二项式（x+y）5的展开式中，x2y3的项的系数是a==10，所以，对应的可行域如图：由目标函数变形为n=，当此直线经过C（）时u最小为，经过B（4，0）时u最大为4，所以u的取值范围为；15．【分析】这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，这是解决本题的突破口；然后进行分析、推理即可得出结论．【解答】解：在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙、丁【解答】解：由题意，AC==50nmile，60min 后，轮船到达D′，AD′=50×1=50nmile∵=∴sin∠ACB=，∴cos∠ACD=cos=，∴AD==350，∴cos∠DAC==0，∴∠DAC=90°，∴CD′==100，∴∠AD′C=60°，∴sinθ=sin（75°﹣60°）=，3k n，对所有的正整数9-=-n17nn=时，取等号，，即3法二、由题意证得AB⊥AC．又面PAC⊥平面ABCD，可得AB⊥面PAC．以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系．求出P的坐标，再求出平面PDC的一个法向量，由图可得为面PAC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PC﹣D的余弦值．为原点，,AC AB 方向分别为，31(22D -，，，3(22DC =，2(CP =-的一个法向量为(,,n x y =，30223n DC x n CP ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪，得(1,3,n =-AB ，为面PAC 的一个法向量，且(0AB =，，||63||||AB n AB n =，即二面角（2）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．226464(2m +M ，B ，N 四点在同一圆上等价于②问题转化为（xlnx ﹣1）（xe x ﹣1+1）+2≥0，即（lnx+）（x+e 1﹣x ）≥2，设h （x ）=lnx+，根据函数的单调性证明即可．。

宁波市镇海中学2024届高三下学期适应性测试数学试卷(解析版)

浙江省宁波市镇海中学2024届高三下学期适应性测试数学试卷说明:本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卷上. 一、单选题:本大题共8小题，毎小题5分，共40分.1. 设集合{}21{|,3}x P x Q x x x =>=∈≤Z ∣，，则P Q 的子集个数是（）A. 3B. 4C. 8D. 16【答案】C 【解析】【分析】化简集合,P Q ，求出P Q 判断子集个数.【详解】{}{}210xPx x x =>=> ，{}{}Z,33,2,1,0,1,2,3Q x x x =∈≤=−−−，{}1,2,3P Q ∴∩=，所以P Q 的子集个数为328=个.故选：C.2. 已知复数i(,R z a b a b =+∈，i 为虚数单位)，若1z =且i 1z −=，则2i z −= （） A. 2B.C.D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据复数的模求出,a b ，再根据复数的模的计算公式即可得解.【详解】由1z =且i 1z −=，得()2222111a b a b += +−=，解得21234b a= =，则2i z −故选：B.3. 已知ABC 是边长为1的正三角形，1,3AN NC P = 是BN 上一点且29AP mAB AC =+，则AP AB ⋅=（） A.29B.19C.23D. 1【答案】A【解析】【分析】根据题意得89AP mAB AN =+，由,,P B N 三点共线求得19m =，利用向量数量积运算求解. 【详解】13AN NC =，14AN AC ∴=，且2899AP mAB AC mAB AN =+=+ ，而,,P B N 三点共线，819m ∴+=，即19m =， 1299AP AB AC ∴=+ ，所以o12122cos 6099999AP AB AB AC AB ⋅=+⋅=+×=. 故选：A.4. 已知数列{}n a 满足点(),n n a 在直线21133y x =−上，{}n a 的前n 项和为n S ，则n nS 的最小值为（） A. 47− B. 48−C. 49−D. 50−【答案】C 【解析】【分析】由题意可得数列{}n a 是等差数列，根据等差数列的求和公式求出n S ，从而可得()2103n n n nS −=，设()()()21003x x f x x −=>，利用导数研究其单调性，结合n ∗∈N 即可求解.【详解】因为数列{}n a 满足点(),n n a 在直线21133y x =−上，所以21133n a n =−. 因为()()121121121233333n n a a n n n − −=−−−−=≥ ，所以数列{}n a 是首项为1211333a =−=−，公差为23的等差数列，所以()()()11023233n n n n n S n −−=−+×=，则()2103n n n nS −=. 设()()()21003x x f x x −=>，则()()13203f x x x ′=−，当200,3x∈ 时，()0f x ′<；当20,3 ∈+∞x 时，()0f x '>，所以()f x 在200,3上单调递减，在20,3+∞上单调递增. 又n ∗∈N ，()()()()226473648,74933f f ×−×−==−==−，所以()min 49f n =−，即n nS 的最小值为49−. 故选:C.5. 已知棱长为1的正方体1111,,ABCD A B C D M N −分别是AB 和BC 的中点，则MN 到平面11A C D 的距离为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】延长MN 交DC 延长线于点Q ，连接11,A Q C Q ，由几何关系证明MN 到平面11A C D 的距离即点Q 到平面11A C D 的距离，再由等体积法1111Q A DC A QDC V V −−=求出结果即可；【详解】延长MN 交DC 延长线于点Q ，连接11,A Q C Q ，AC ，因为,M N 分别是AB 和BC 的中点，则//MN AC ，由正方体的性质可得11//AC AC ，所以11//MN AC ，又11AC ⊂平面11A CD ，MN ⊄平面11A C D ，所以//MN 平面11A C D ，所以MN 到平面11A C D 的距离即点Q 到平面11A C D 的距离，设为h ，则1111Q A DC A QDC V V −−=，因为正方体的棱长为1，所以32DQ =，1111A D DC AC ===，所以111111133A DCDQC S h S A D ⋅=⋅，即21113113322h h ×=××××⇒=，故选：C.6. 已知函数()()2122()2cos sin 21(0)f x x x f x f x x ωωω=+−>==−的最小值为2π3，则ω=（）A.12B. 1C. 2D. 3【答案】A 【解析】【分析】先由二倍角的余弦公式，辅助角公式化简()f x ，再由sin y x =与12y =相交的两个交点的最近距离为5ππ2π663−=，结合1212min min ππ2π222443x x x x ωωω +−+=−=解出即可.【详解】2π()2cos sin 21cos 2sin 224f x x x x x x ωωωωω=+−=+=+，因为()()12f x f x ==，所以12ππ1sin 2sin 2442x x ωω+=+=，因为当[]0,2πx ∈时，1sin 2x =对应的x 的值分别为π5π,66，所以sin y x =与12y =相交的两个交点的最近距离为5ππ2π663−=，又12x x −的最小值为2π3，所以1212min minππ2π222443x x x x ωωω +−+=−=，即2π2π12332ωω×⇒，故选：A.7. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c −，点A ，B 在C 上，直线1F A 倾斜角为π3，且122F A F B = ，则C 的离心率为（）A.13B.C.12D.23【答案】D 【解析】【分析】由椭圆焦半径公式求出12,F A F B ，结合条件列式运算得解. 【详解】根据题意，12//F A F B ，所以直线2F B 的倾斜角为π3，由椭圆焦半径公式得2122b F A a c =−，2222π2cos3b b F B ac a c ==++，122F A F B =，122F A F B ∴=，即()222a c a c +=−，化简得23a c =，23e ∴=. 故选：D.8. 己知12ln 312ln5ln 2,,23225a b c =+=+=+，则（） A. c b a >> B. b a c >>C. a b c >>D. a c b >>【答案】B 【解析】【分析】构造()()()ln 10f x x x x =+−>，利用导数证明()()ln 10x x x +<>，代入13x =可比较,a b 大小，根据对数函数的性质可判断,a c 的大小，从而可求解.【详解】设()()()ln 10f x x x x =+−>，则()11011xf x x x−=−=+′<+，的所以()f x 在()0,∞+上单调递减，所以()()00f x f <=，所以()()ln 10x x x +<>，所以11ln 133+< ，即41ln 33<，所以12ln 2ln 33<+，即1ln 3ln 262<+，所以12ln 3ln 2232+<+，即a b <. 由2532<，可得ln 25ln 32<，即2ln 55ln 2<，即2ln 5ln 25<，所以12ln 51ln 2252+<+，即c a <. 综上所述，b a c >>. 故选:B.二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.9. 下列选项中正确的有（）A. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r 的值越接近于1B. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高C. 已知随机变量X 服从正态分布()22,,(4)0.8N P X σ<=，则(24)0.2P X <<= D. 若数据121621,21,,21x x x ++…+的方差为8，则数据1216,,,x x x …的方差为2 【答案】BD 【解析】【分析】由线性相关系数的性质可得A 错误；由残差图的意义可得B 正确；由正态分布的对称性可得C 错误；利用方差的性质可得D 正确；【详解】A ：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r 的值越接近于1，故A 错误；B ：在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故B 正确；C ：由随机变量X 服从正态分布()22,,(4)0.8N P X σ<=，所以根据正态分布的对称性可得()()(24)420.80.50.3P X P X P X <<=<−≤=−=，故C 错误； D ：设数据1216,,,x x x …的方差为m ，因为数据121621,21,,21x x x ++…+的方差为8，所以228m ×=，解得2m =，故D 正确；故选：BD.10. 设抛物线24y x =，弦AB 过焦点F ，过A ，B 分别作拋物线的切线交于Q 点，则下列结论一定成立的是（）A. 存在点Q ，使得0QA QB ⋅>B. QF 的最小值为2C. 2QA AF AB =⋅D. ABQ 面积的最小值为4【答案】BCD 【解析】【分析】设()()1122:1,,,,AB l xty A x y B x y =+,联立直线AB 和抛物线的方程，得12124,4y y t y y +==−,根据导数的几何意义求出,QA QB 的方程，可得()1,2Q t −，QF AB ⊥，再逐项判断即可.【详解】易知()1,0F ，准线方程为=1x −，设()()1122:1,,,,AB l x ty A x y B x y =+, 由241y xx ty = =+，消去x 可得2440y ty −−=,()()22Δ441416160t t =−−××−=+>，则12124,4y y t y y +==−. 不妨设A 在第一象限，因为24y x =，则y =,则12122y x −=⋅⋅′ 则QA的方程为)11y y x x −=−，即()1112y y x x y −=−，即211122y y y x x −=−，即111422y y x x x −=−，即1122y y x x =+. 同理可得QB 的方程为2222=+y y x x . 联立11222222y y x x y y x x =+=+ ，可得12121422y y x y y y t==− + ==，即()1,2Q t −, 则Q 在抛物线的准线=1x −上. 又22QF tk t ==−−，所以1QF AB k k ⋅=−，即QF AB ⊥. .对于A ，因为12122241QA QBk k y y y y ⋅=⋅==−，所以QA QB ⊥，即0QA QB ⋅=，故A 错误；对于B ，设准线=1x −与x 轴交于点H ，因为Q 在抛物线的准线=1x −上，所以2QF HF ≥=，即QF 的最小值为2，故B 正确；对于C ，因为QA QB ⊥，QF AB ⊥，所以Rt AQB ∽Rt AQF △，所以AQ AF ABAQ=，即2QA AF AB =⋅，故C 正确；对于D，()241AB t ===+.设Q 到直线AB 的距离为d ,则d =, 所以()214142QAB S AB d t =⋅=+≥ ，当且仅当0=t 时取等，故ABQ 面积的最小值为4，故D 正确. 故选:BCD.【点睛】关键点睛：已知切点()00,M x y 和抛物线()220y px p =>，则抛物线在()00,M x y 处的切线方程为()00y yp x x =+；已知切点()00,M x y 和抛物线()220x py p =>，则抛物线在()00,M x y 处的切线方程为()00x xp y y =+.11. 已知数列{}n u ，其前n 项和为n S ，若存在常数0M >，对任意的*n ∈N ，恒有1121n n n n u u u u u u M +−−+−++−≤ ，则称{}n u 为B −数列.则下列说法正确的是（）A. 若{}n u 是以1为首项，(|q |1)q ＜为公比的等比数列，则{}n u 为B −数列B. 若{}n u 为B −数列，则{}n S 也为B −数列C. 若{}n S 为B −数列，则{}n u 也为B −数列D. 若{}{},n n a b 均为B −数列，则{}n n a b ⋅也为B −数列【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，根据题意可得1n n u q−=，利用B −数列的定义求解判断；对B ，举反例()*1N nu n =∈不合题意；对C ，根据条件得12n n u u u M ++++≤ ，结合B −数列的定义和绝对值三角不等式可判断；对D ，由数列{}{},n n a b 是B −数列，可得11n a M a ≤+，21n b M b ≤+，结合绝对值三角不等式可证112112n n n n a b a b K M K M ++−≤+，得解.【详解】对于A ，1n n u q−=，于是()1111n n n n n u u q qq q −−+−=−=−，()()0111121n n n n n u u u u u q q q q −+−∴−+−++−+++()11111n q qq qq−−=−⋅<−−，故A 正确；对于B ，若()*1N nu n =∈，显然数列{}nu 是B −数列，nSn =，但1121n n n n S S S S S S n +−−+−++−=，所以数列{}n S 不是B −数列，故B 错误；对于C ，因为数列{}n S 是B −数列，所以存在正数M ，对于任意的*N n ∈，有1121n n n n S S S S S S M +−−+−++−≤ ，即12n n u u u M ++++≤ ，所以112112122n n n n n n u u u u u u u u u u +−+−+−++−≤++++12112222n n u u u u M u +≤++++=+ ，所以数列{}n u 是B −数列，故C 正确；对于D ，若数列{}{},n n a b 是B −数列，则存在正数12,M M ，对任意的*N n ∈，有11211n n n n a a a a a a M +−−+−++−≤ ，11212n n n n b b b b b b M +−−+−++−≤ ，因为1122111211n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a −−−−=−+−++−+≤−+−+11M a ≤+，同理可得21n b M b ≤+，记111K M a =+，221K M b =+，则有111111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b b a a a b b +++++++++−=−+−≤−+−21112112n n n n K a a K b b K M K M ++≤−+−≤+，所以数列{}n n a b ⋅也是B −数列，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题是新定义问题的求解，关键是理解新定义，将新定义问题转化为熟悉的问题来进行求解.三、填空题:本大题共3小题，每题5分，共15分.答案填在题中的横线上.12. 已知双曲线22122:1x y C a b −=的离心率2e =，则双曲线22222:1y x C a b−=的渐近线方程为____________.【答案】y x = 【解析】【分析】由双曲线22122:1x y C a b−=的离心率2e =可得到b =，再由焦点在y 轴上的渐近线方程为ay x b=±求出即可. 【详解】因为双曲线22122:1x y C a b−=的离心率2e =，所以2223c e b a b a ===⇒=⇒=，又双曲线22222:1y x C a b−=，所以渐近线方程为ay x x b =±，故答案为：y x =. 13.已知圆锥的轴截面面积为____________. 【答案】2 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ，高为h，可得hr =312722R h h −=+，设()312722f h h h −=+，利用导数判断单调性求出最值.【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h，则hr =，设圆锥的外接球的半径为R ，则无论球心O 在圆锥内还是圆锥外，都有()222R R h r =−+，则22433271272222r h h R h h h h −++===+，设()312722f h h h −=+，则()()()()24444933181812222h h h h f h h h h−++−−=−==′，当03h <<时，()0f h ′<，()f h 单调递减，当3h >时，()0f h ′>，()f h 单调递增，()()min 32f h f ∴==故答案为：2.14. 面积为1的ABC 满足,2AB AC AD =为BAC ∠的内角平分线且D 在线段BC 上，当边BC 的长度最㛒时，ADAC的值是____________.【解析】【分析】设AC m =，BAD CAD α∠==，由1ABC S =△得2sin 21m α=，且23sin AD m α=，进而4cos 3m AD α=，在ABC 中，由余弦定理结合基本不等式求得BC的最小值时，cos α=，从而.得到答案.详解】设AC m =，BAD CAD α∠==，则1π0,22BAC α=∠∈，从而tan 0α>，因为2112sin 2sin 22ABC S m m m αα==⋅⋅⋅= ，又11312sin sin sin 222ABC ABD ADC S S S m AD m AD m AD ααα==+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ ，所以2sin 21m α=，且23sin AD m α=，从而222sin 24cos 3sin 3sin 3m mAD m m αααα===，在ABC 中，由余弦定理得，()222222254cos 2422cos 254cos 2sin 2m BC m m m m m m m αααα−=+−⋅⋅⋅=−=()()2222225sin cos 4cos sin 54cos 29sin cos sin 22sin cos 2sin cos αααααααααααα+−−−+==91tan 322tan αα=+≥=，当且仅当91tan 22tan αα=即1tan 3α=时，等号成立，所以当BC1tan 3α=，此时cos α=所以4cos 43cos 3m AD AC m αα===..【点睛】关键点睛：本题解题的关键是利用余弦定理求出BC 的表达式，并结合条件和基本不等式得到BC 的最小值时的条件.四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15. 已知函数()e 1x f x ax =−−.【（1）讨论()f x 的单调性;（2）若对任意的0,()0x f x ≥≥恒成立，求a 的范围. 【答案】（1）答案见解析（2）1a ≤ 【解析】【分析】（1）求导后分0a ≤和0a >讨论导数的正负即可；（2）当0x =时，代入函数求出R a ∈，当0x >时，分离参数并构造函数()e 1x g x x−=，求导后再次构造函数()()1e 1xh x x =−+，再求导分析单调性，最终求出()min g x 即可；【小问1详解】()e x f x a ′=−，当0a ≤时，()0f x ′>恒成立，故()f x 在R 上单调递增，当0a >时，令()0f x ′=，解得ln x a =，所以当()ln ,x a ∞∈+时，()0f x ′>，()f x 单调递增；当(),ln x a ∞∈−时，()0f x ′<，()f x 单调递减；综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x 在()ln ,a ∞+上单调递增，在(),ln a ∞−上单调递减；【小问2详解】当0x =时，()0e 010f x −−，符合题意，此时R a ∈；当0x >时，因为()0f x ≥恒成立，即e 1x a x−≤恒成立，令()e 1x g x x −=，则()()21e 1x x g x x−′+=，再令()()1e 1xh x x =−+，则()e 0xh x x ′=>恒成立，则()h x 在()0,∞+单调递增，所以()()00h x h >=，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以当0x >时，()0min 00e 1e e lim lim 111x x x x a g x x →→−≤====，所以1a ≤16. 在空间四边形ABCD中，2,AB BC BD AC AD DC ======（1）求证:平面ADC ⊥平面ABC ;（2）对角线BD 上是否存在一点E ，使得直线AD 与平面ACE 所成角为30°.若存在求出BEED的值，若不存在说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，BEED=. 【解析】【分析】（1）取AC 的中点O ，连,DO BO ,可证明,AD CD DO AC ⊥⊥，DO OB ⊥，根据线面垂直与面面垂直的判定定理即可证明；（2）以O 为原点，,,OB OC OD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出AD与平面ACE 法向量n 的坐标，根据sin 30AD nAD n⋅°=⋅即可求解.【小问1详解】取AC 的中点O ，连,DO BO ,因为2,AC AD DC ===,AD CD DO AC ⊥⊥，且1DO =.又2AB BC AC ===，则BO AC ⊥，且BO =.又BD =，则222BDDO BO =+，则DO OB ⊥. 因为,,AC OB O AC OB ∩=⊂平面ABC ，所以DO ⊥平面ABC . 因为DO ⊂平面ADC ，所以平面ADC ⊥平面ABC . 【小问2详解】易知,,OB OC OD 两两垂直，以O 为原点，,,OB OC OD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，的则()())0,0,0,0,1,0,O A B−,()()0,1,0,0,0,1C D ,则)1DB =− .设),0,DE DB λλ==−，则),0,1Eλ−+.则)(),0,1,0,1,0OE OCλ=−+=.设平面ACE 的法向量为(),,n x y z =，则()100n OEx z n OC y λ ⋅=+−+= ⋅==，令1x λ=−，则,0z y，即()n λ=− .又()0,1,1AD = ,所以sin 30°即12=，即22210λλ+−=，解得λ=或λ=，因为DE DB λ=，所以()DE DE EB λ=+ ,所以()1BE DE λλ=−，所以1BE BE EDDEλλ−===故BEED=. 17. 镇海中学篮球训练营有一项三人间的传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n 次传球后球在甲手中的概率为np ，1,2,3,n =（1）写出1p ，2p ，3p 的值;（2）求1n p +与n p 的关系式()*Nn ∈，并求np;（3）第1次仍由甲将球传出，若首次出现连续两次球没在甲手中，则传球结束，记此时的传球次数为X ，求X 的期望.【答案】（1）10p =，212p =，314p =；（2）11122n n p p +=−+，1111332n n p −=−×−；（3）4 【解析】【分析】（1）分析传球的情况，写出1p ，2p ，3p 的值；（2）分析传球1n +次时的情况，得到1n p +与n p 的关系式，利用待定系数法，构造新数列，求出新数列的通项公式，从而得到n p 的通项公式；（3）分析传球两次结束的情况，以及传球两次后求回到甲手中的情况，列出关系式，求出()E X . 【小问1详解】传球一次，球一定不在甲手中，所以10p =；传球两次，球在甲手中时，有两种情况，甲→乙→甲，甲→丙→甲，所以21111122222p =×+×=；传球三次，球在甲手中，说明传球两次时球不在甲手中，概率为12，此时传给甲的概率为12，所以3111224p =×=.【小问2详解】传球1n +次时球在甲手中，说明传球n 次时球不在甲手中，概率为1n p −，此时，传球给甲的概率为12，所以有11(1)2n n p p +=−，所以11122n n p p +=−+，所以1111323n n p p + −=−−，因为11133p −=−，所以数列13n p−是首项为13−，公比为12−的等比数列，所以1111332n n p −−=−×−，1111332n n p −=−×−，故1n p +与n p 的关系式为11122n n p p +=−+，1111332n n p − =−×−.【小问3详解】X 的最小取值为2，表示传球2次后，球连续两次不在甲手中，有两种情况，甲→乙→丙，甲→丙→乙，所以()11111222222P X ==×+×=，若传球2次后，球在甲手中，则回到了最初的状态，所以有()()()()()2222E X P X E X P X ==++⋅>，即()()()112222E X E X =×++×，解得()4E X =，所以X 的期望为4.18. 已知12(2,0),(2,0),(1,0),(1,0)A B F F −−，动点P 满足34PA PB k k ⋅=−，动点P 的轨迹为曲线1,PF τ交τ于另外一点2,Q PF 交τ于另外一点R .（1）求曲线τ的标准方程; （2）已知1212PF PF QF RF +是定值，求该定值;（3）求PQR 面积的范围.【答案】（1）()221043x y y +=≠（2）103（3）PQR S ∈ 【解析】【分析】（1）设点P 的坐标，由题意可得点P 的恒纵坐标的关系，即可得到曲线的标准方程；（2）设直线PQ 和直线PR 的方程，然后与椭圆的方程联立，即可得到,Q R 的坐标关系，进而可得1212PF PF QF RF +为定值；（3）由题意可得12PQR PF F S S 的比值，由题意可得PQR 面积的表达式，再由函数的单调性，即可得到结果.【小问1详解】令(),P x y 且2x ≠±，因为34PA PB k k ⋅=−，所以3224y y x x ⋅=−+−，整理可得()221043x y y +=≠，所以τ的标准方程为()221043x yy +=≠.【小问2详解】设()00,P x y ，()11,Q x y ，()22,R x y ，设直线PQ 和直线PR 的方程分别为1x my =−，1x ny =+，联立直线PQ 与椭圆方程221143x my x y =−+= ，整理可得()2234690m y my +−−=，则012643m y y m +=+，012943y y m =−+，联立直线PR 与椭圆方程221143x ny x y =+ += ，整理可得()2234690n y my ++−=，可得022643n y y n +=−+，022934y y n =−+，又因为001x my =−，001x ny =+，所以01001012233y y x m y y y ++=−=−⋅，所以01012233y y x y +=−−，即0012533y x y =−−，同理可得02003012233y y x n y y y +−==⋅，02022233y y x y +=−，即0022533y x y =−，所以120000121212103PF PF y y y y QF RF y y y y +=+=−+= . 设()00,P x y ，()11,Q x y ，()22,R x y ，设12,PQ PF PR PF λµ==，则有()()101011x x y y λλλ =−− =− ，又()()220022001(1)43111(2)43x y x y λλλ += −−− +=， ()()()2112λ×−−可得()2020021282425x x x λλλλλλ−−+=−⇒=+，同理可得002825x x µ−=−，所以1200122525111011333PF PF x x QF RF λµ+−+=+=+=−−−.【小问3详解】不妨设00y >，于是1212121sin 21sin 2PQRPF F PQ PR QPR S PQ PR S PF PF PF PF QPR λµ⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠ ，因此2000120002000282816125225254PQRx x x S F F y y y x x x λµ+−−=⋅⋅=⋅⋅=⋅+−− ，又因为220413y x=−，所以22000022004416934252743416PQR y y S y y y y −−+=⋅=⋅−−+ ，设()20002092716y f y y y +=⋅+，(0y ∈，则()00002200117117116271627y f y y y y y=+=+ ++，(0y ∈， ()()()()242000000222200117162732117256100838881016271627y y y y y f y y y +−×−+=+=>++′，所以()0f y在(单调递增，则PQR S ∈ . 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了椭圆中的定值问题与椭圆中的三角形面积问题，难度较大，解答本题的关键在于设出直线方程与椭圆方程联立，表示出三角形面积公式，代入计算. 19. 已知无穷数列{}()*0,n n a a n ≠∈N，构造新数列(){}1na 满足()11nn n a a a +=−，(){}2n a 满足()()()2111n n na a a +=−，...，(){}k n a 满足()()()()11*12,k k k n n n a a a k k −−+=−≥∈N ，若(){}k n a 为常数数列，则称{}n a 为k 阶等差数列；同理令()11n nn a b a +=，()()()1211n n n b b b +=，...，()()()()1*112,k k n n k nb b k k b −+−=≥∈N ，若(){}k n b 为常数数列，则称{}n a 为k 阶等比数列.（1）已知{}n a 为二阶等差数列，且11a =，24a =，()22n a =，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 为k 阶等差数列，{}n b 为一阶等比数列，证明：{}n an b 为1k +阶等比数列；（3）已知23814n nn n d −+−=，令{}n d 的前n 项和为n S，n n m T ==，证明：2n T <.【答案】（1）2n a n =（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据二阶等差数列的定义求解；（2）先确定{}n a 是k 阶等差数列的充分必要条件，再对已知条件进行转化即可；（3）先用数学归纳法证明2114n n n S −=+，再利用该结果证明结论；或者先用导数方法证明2114n nn S −=+，再利用该结果证明结论. 【小问1详解】由()22n a =知()()1112n n a a +=−，故可设()12n a n c =+.所以12n n n c a a +=−+，故()()()()()11212...1111n a c a n n c a n n n =++++−+−=+−+−.从而212a a c =++，代入11a =，24a =可得1c =，所以()()2111n a n n n n =+−+−=. 故{}n a 的通项公式为：2n a n =.【小问2详解】先证明2个引理.引理1：对任意非负整数i ，存在(),0,1,...,1i m p m i ∈=+R ，使得11,10n i i mi mj m j pn −+==∑∑对任意n 正整数成立，这里约定10ij j==∑.证明：用数学归纳法证明该结论. 当0i =时，有111n i j j n −==−∑，取0,10,01p p =−=即可，故结论成立；假设结论对0,1,2,...,1i −成立，则()()()()()1111111111111...n n i i i i i i u u nu uu u u u −−+−++==++−=++++++∑∑.故可设()()11111111...1n i i i i u ni u q u q u −+−−==++++++∑，这就得到111111121211111111...11n n n n n ii i i i i u u u u u u n q u q u q u i −−−−−+−−−−==== =−−−−−− +∑∑∑∑∑121111,22,11,00,000011...1i i i m m m m i i m i i m m m m m m m n q p n q p n q p n q p n i −+−−−−==== −−−−−− +∑∑∑∑. 所以取,111i i p i +=+，()(),11,22,00,1...1,2,...,1i m m m m m m m m p q p q p q p m i i −−−−=−+++=+，(),011,022,000,011 (1)i i i i i p q p q p q p i −−−−=−−−−−+即可，这得到结论对i 成立. 由数学归纳法即知引理1成立.引理2：{}n a 是k 阶等差数列的充分必要条件是n a 能够表示为关于n 的至多k 次的多项式形式，即()()1101101...,,...,,kk nk k k k a p n p n p n p p p p p −−=+−+++∈R . 证明：我们对k 使用数学归纳法. 当1k =时，结论显然成立；对1k >，假设结论对1k −成立，考虑k 的情形：一方面，如果0kin i i a p n ==∑，则有 ()()()11110000001101C C C C kki k i k k iij j jjjjj j nn n i i i iii ii i i i j i j j i kj i j a a a p n n p n p np n p n −−−+=====≤<≤==+−+−=∑∑∑∑∑∑∑∑.故由于结论对1k −成立，知(){}1na 是1k −阶等差数列，所以{}na 是k 阶等差数列；另一方面，如果{}na 是k 阶等差数列，则(){}1na 是1k −阶等差数列.故由于结论对1k −成立，知(){}1na 的通项公式具有形式()101k i ni i aq n −==∑.故()()1111111111111111100111n n n k k n k n iii n j j i i i j j j i i j j i j a a a a a a a q ja q j a q j −−−−−−−−+=========+−=+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑∑.据引理1可知，每个11n ij j−=∑都可以表示为11,10n i i m i mj m j pn −+==∑∑的形式，故{}1111,1,,0001,00max 0,1k i kk mmmn i i m i i m i i m i m m i i k m i m a a q p n a q p n q p n −+−==≤≤+≤<==− =+=+=∑∑∑∑∑. 综上，结论对k 成立. 由数学归纳法知引理2成立. 回到原题.由于{}n b 为一阶等比数列，故1n n b b +恒为常值，设1n nb q b +=，则n n b A q =⋅. 为使1n nb b +有意义，必有,A q 不为零.所以n n na ana n A b q=⋅.由于{}n a 为k 阶等差数列，故由引理2，可设0kin i i a p n==∑.取010k p p +==就有101kk iin iii i a p n p n +====∑∑，11101kk i i n ii i i na p n pn ++−====∑∑，所以由引理2可知{}n a 和{}n na 都是1k +阶等差数列.设()0n nn a c b =，()()()()1111,2,...i i n n i nc i c c −+−==，()0n nd na =，()()()()1111,2,...i i i n n n d i d d −−+−==，则()1k n a +和()1k n d +都是常值.而归纳即知()()()i i n n i d na c A q =⋅，故()()()111k k nn n a k d c A q +++=⋅是常值，从而{}n an b 为1k +阶等比数列.【小问3详解】方法一：用数学归纳法证明：2114n nn S −=+. 当1n =时，由2111381111144S d −+−−====+知结论成立；对2n ≥，假设结论已对n 1−成立，即()2111114n n n S−−−−=+，则()()22222111141438138111114444n n nn n nnn n n n n n n S S d −−−−−−−+−−+−−=+=++=+=+. 所以结论对n 也成立.综上，对任意的正整数n ，都有2114n n n S −=+.故12nnn n nnmm m m m m mT ==<∑. 这就得到1112222nn nn m m m m m m m m mT ===−<=∑∑∑11122nnm mm m m m −==−∑∑1110222nn m m n m m m m n −−==−−∑∑11111222nn m m n m m m m n −−==−=−−∑∑11122n m nm n−=−∑ 121222nn n=−−< . 方法二：对正整数n ，根据等比数列求和公式有()111nn k k x xx x +=−=−∑.两边同时求导，得()()111111nnn kk k k n x x x kx−==−+=−+−∑∑.所以()()11111nnn kk k k x n xx x x kx +==−+=−+−∑∑.再次求导，得()()2211111111nnn nnkkkk k k k k n x x kx kx x kx −====−+=−−−+−∑∑∑∑.所以()()212111121nnnn kkk k k k x n xx x x kx x k x +===−+=−−+−∑∑∑.从而当01x <<时，分别由上面的式子可以得到：111n nkk x x x x +=−=−∑； ()()()()112121111111111nn nknn n n k k k x x n x x n x x n x nx x kx x x x x x +++==−−++−++−++−=⋅=⋅=−−−∑∑； ()212111121nnn kknk k k k x n xx x x kx k x x+===−+++=−∑∑∑()()()121212112111n n n n x n x nx x x x n x x x x x x++++−++−−++⋅+⋅−−=−()()()()()()()()2211123111211n n n n x x n x x x x x x x n x nx x ++++−−++−−+−++=−()()()()()22212233232322331221122121n n n n n n n x n x x n x x n x x x x x x n x nx x +++++++−+−+++−++−−++−++=−()()()2212223312211n n n x x n x n n x n x x ++++−+++−−=−.所以2211113811384444nn n nn k k k kk k k k k k k k S ====−+−==−+−∑∑∑∑ ()2222123121321112211111444444444438111111444n n n n n n n n n n n n++++++++−++−+−−+−=−⋅+⋅− −−−()222212312116411221128114119444449444344n n n n n n n n n n n n ++++++ ++−+ =−+−+−+−+−−2235216416499949494n n +−⋅−⋅+⋅2114n n −=+.故12211122222222112nnnnnn n n m n m m m m m n n m n T ++=+−++===<===−<−∑. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于基于等差数列和等比数列的新定义，理解新定义的本质方可解决问题.。

2024 年大连市高三适应性测试数学参考答案

2024年大连市高三适应性测试参考答案与评分标准数学说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．第Ⅰ卷一.单项选择题1．B；2．C；3．A；4．D ；5．D；6．A；7.A；8．D．二.多项选择题9．A ，C ，D ；10．A ，B ，D ；11．A ，B ，D.第Ⅱ卷三.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）12．013．0.3514．46四.解答题：(本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.解：（I）由a A b =sin 2结合正弦定理可知：A B A sin sin sin 2=，),0(π∈A ，0sin ≠A ，21sin =B ，…………………3分故656ππ或=B ，……………………………………………………………………5分又因为ABC ∆是锐角三角形，故6π=B .……………………………………………6分（II）已知6π=B ，所以23)3sin(23)65cos(cos cos cos cos ++=+-+=++ππA A A C B A ，…………………9分因为ABC ∆为锐角三角形，故23265020πππππ<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=<<<A A C A ，………………………11分则233sin(2165332<+<<+<ππππA A ，，……………………………………………………12分故⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∈++3231cos cos cos ，C B A .…………………………………………………………13分16.解：（I ）根据表格数据可以看出，30天里，有7个0，也就是有7天是不变的，根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为730；…………………………………4分（II ）在这30天里，有10天上涨，所以上涨概率是13，…………………………………………6分故3~13,X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而3331233(),0,1,2,k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………………8分所以，随机变量X 的分布列为X0123P8274929127随机变量X 的数学期望()3113E X =⨯=．………………………………………………………12分（III ）由于第30天处于上涨状态，从前29次的9次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有2次，不变的有4次，下跌的有3次，因此估计第31次不变的概率最大.……………………………………15分17.（I）证明：连接AC ，显然AC 和BD 相交于点F .……………………………………………1分在SAC ∆中，F E ，分别为AC SC ，中点，所以SAB EF SAB SA SA EF 平面，平面，⊄⊂//，…………………………………………………5分则SAB EF 平面//………………………………………………………………………………………6分（II）取AB 中点O ，则S SC SO AB SC AB CD CD SC AB SO =⊥⊥⊥ ，，则，，又//，则⊥AB 平面SOC ，可得SOC ∠就是二面角D AB S --的平面角，…………………………………8分所以CO AB SOC o ⊥=∠，120，ABC ∆为正三角形.过O 作平面ABCD 的垂线OM ，以O 为原点，OB ，OC ，OM 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则)23,23,0()0,3,2()0,3,0()0,0,1()0,0,1(---S D C A B ，，，，，…………………11分则)43,43,0(E ，)0,3,3(-=BD ，)43,43,1(-=BE 进而得到平面BDE 的一个法向量为3331n (,,)=，)0,3,1(-=AD ，…………………13分直线AD 与平面BED 成角的正弦值633737237AD n sin cos AD,n AD nθ⋅=<>===⨯⋅……………………………………………15分18.（本小题满分17分）解:（I）因为⊥a b ，a 1(1,)4x y =+，b (1,)x y =-所以1(1,)(1,)04x y x y +-=，即2214y x +=.………………………………………………………4分xzyO z(II)由题意知点,A B 关于原点对称，设()11,A x y ，()22,C x y 则()11,--B x y ，则221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y x y x ，两式作差得：()2222212104-+-=y y x x ．即()()212121214---⋅=----y y y y x x x x ．…………………………………………………………………6分又2121-=-AC y y k x x ，()()2121--=--BC y y k x x ，4∴⋅=-AC BC k k ，则4=-AC BCk k ．……………………………………………………………8分又2= AH HD ,11,2⎛⎫∴- ⎪⎝⎭x D y ，()()11111142--==---BC y y y k x x x 11∴=-AC x k y ，11= ABy x k ，∴⊥AB AC ．…………………………………………………10分（III）直线AC 的方程为()22111111111+=--+=-+y y x x y x y y x x x x ，将直线AB 的方程代入椭圆E 的方程，2222111114(40++-+-=y x x y y x x 整理得：()()()2222222221111111148440+-+++-=y x y y x y y x y x，()2211112221184+∴+=+y x y y y y x，…………………………………………………………………12分()()1221111121122211|63|112224+∴=⨯⨯--=⨯⨯+=+ AA Bx y x y y S AD y y y y y x ，221114+= y x ，()()()112211111122222211111122112424444417⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∴==++++ ABcx y x y x y y x S x y x y x y y x ．…………………14分令1111y x t x y +=，则2t ≥，（当且仅当11x y =时等号成立）．224249494∴==++ ABC t S t t t．函数94y t t=+在[)2,+∞上单调递增，…………………………………………………16分∴当2t =时，94y t t =+取得最小值252，故∆ABC 面积的最大值为248242525⨯=．………………………………………………………17分19.解：（I ）由题知12,0,2x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且12x x ≠，不妨设2102x x π≤<≤，设函数()()()sin h x g x f x x x =-=-，有()1cos 0h x x '=-≥，所以函数()sin h x x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是增函数，…………………………………………………2分所以12()()h x h x >，即2211()()()()g x f x g x f x -<-，所以有1212()()()()f x f x g x g x -<-，因为()sin f x x =与()g x x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上都是增函数，所以有1212()()0()()0f x f x g x g x -≥-≥，，且1212()()()()f x f x g x g x -≤-，所以函数()sin ,[0,]2f x x x π=∈与()g x x =“具有性质(1)H ”……………………………4分（II ）由函数()211,[0,)2f x x x =+∈+∞与()x g x e x =-“具有性质()H t ”，得()()()()1212f x f x tg x g x -≤-，12,[0,x x ∈+∞）且12x x ≠，因为()1xg x e '=-，[0,x ∈+∞），所以()0g x '≥，因为()xg x e x =-在[0,+∞）上是增函数，又()2112f x x =+在[0,+∞）上是增函数，不妨设210x x ≤<，所以()1212f x f x t g x g x -≤-（）（）（）（），所以必有2211tgx f x tg x f x -<-（）（）（）（），设函数()()()h x tg x f x =-，所以函数()()()h x tg x f x =-在[0,+∞）是增函数，……………………………………………………7分所以()()()(1)0x h x tg x f x t e x '''=-=--≥在[0,+∞）恒成立，设()(1)x x t e x ϕ=--，所以()1x x te ϕ'=-，当1t ≥时，所以()0x ϕ'≥在[0,+∞）恒成立，所以()(1)x x t e x ϕ=--在[0,+∞）是增函数，所以()(0)0x ϕϕ≥=，当01t <<时，由()0x ϕ'>，可得ln x t >-，由()0x ϕ'<，可得0ln x t <<-，所以()(1)x x t e x ϕ=--在0,ln t -（）是减函数，ln t,-+∞（）是增函数，所以(ln )(0)0t ϕϕ-<=，所以01t <<时不成立，所以1t ≥.…………………………………………………………………………………………………10分（III ）由函数()y g x =在()0,+∞有两个零点12,x x ，得()()120g x g x ==，又函数()ln 1f x x x x =-+与()y g x =“具有性质(1)H ”，则()()()()12120f x f x g x g x -≤-=，即()()12f x f x =，即111222ln 1ln 1x x x x x x -+=-+，即111222ln ln x x x x x x -=-，………………………………………………………………………12分设()ln k x x x x =-，所以()ln k x x '=-，由()0k x '>，可得01x <<，由()0k x '<，可得1x >，所以()ln k x x x x =-在0,1（）是增函数，1,+∞（）是减函数，令()()12k x k x a ==，不妨设12x x <，可得1201x x e<<<<要证122x x +>，只需证212x x >-，因为121x ->，21x >，且()k x 在()1,+∞上单调递减，所以要证212x x >-，只需证()()212k x k x <-，又()()21k x k x =，所以只需证()()112k x k x <-，即证()()1120k x k x --<，设()()()()201m x k x k x x =--<<则()()()22ln ln(2)ln[(1)1]0m x k x k x x x x '''=+-=---=---+>所以()m x 在()0,1上单调递增，又()10m =，所以()0m x <，因为101x <<，所以()10m x <，即()()1120x k k x --<，从而122x x +>.…………………14分因为当101x <<时，()1111ln 0k x x x x -=->，所以()11k x x >，从而()11a x k x =>，故1x a <，…………………………………………………15分设()()()()0n x k x x e x =--+>，则()ln 1n x x '=-+，由()0n x '>，可得0x e <<，由()0n x '<，可得x e >，所以()()()n x k x x e =--+在0,e （）是增函数，(,)e +∞是减函数，故()()0n x n e ≤=，所以()k x x e ≤-+，从而()22a k x x e =≤-+，故2x a e ≤-+，…………………………………………………………16分所以12x x a a e e+<-+=综上所述，不等式122x x e <+<成立.……………………………………………………………17分。

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2017年福州市高三毕业班适应性数学(理科)试卷本试题卷分共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 已知集合{}30,2,1,0,11x A xB x +⎧⎫==--⎨⎬+⎩⎭…，则A B 的子集个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 (2) 已知i 是虚数单位，且()1i 7i m n +=+（m n ∈R ,），则i2im n m n +-的虚部等于（A ）17（B ）314 （C ）15（D ）35(3) 已知命题4:0,4p x x x∀>+>，则p ⌝为（A ）4:04p x x x⌝∀+，剟（B ）4:04p x x x⌝∃+，剟（C ）4:04p x x x ⌝∃>+=，（D ）4:04p x x x⌝∃>+，…(4) 某市组织了一次高三调研考试，考后统计的数学成绩()80,100N ξ ，则下列说法中不正确的是（A ）该市这次考试的数学平均成绩为80分（B ）分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同（C ）分数在110以上的人数与分数在50分以下的人数相同（D ）该市这次考试的数学成绩的标准差为10(5) 已知圆锥曲线221mx y +=的一个焦点与抛物线28x y =的焦点重合，则此圆锥曲线的离心率为（A ）2（B（C（D ）不能确定(6) 某几何体的正（主）视图与侧（左）视图均为边长为1的正方形，则下列图形一定不是该几何体俯视图的是(7) 执行右图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 值是（A ）2017 （B ）1008 （C ）3024（D ）3025(8) 若将函数()cos sin f x x x =-的图象向右平移m 个单位后恰好与函数()y f x '=-的图象重合,则m 的值可以为（A ）π4 （B ）π2（C ）3π4（D ）π(9) 我国古代数学名著《数学九章》中有“天池盆测雨”：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量约为（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸，1寸约等于33mm ）（A ）（B ）（C ）（D ）（A ）33mm （B ）66mm （C ）99mm （D ）132mm(10)已知,,a b c 分别是ABC △的内角,,A B C 所对的边，点M 为ABC △的重心．若aMA bMB +=0 ，则C =（A ）π4（B ）π2（C ）5π6（D ）2π3(11)过抛物线:C 28y x =的焦点作直线l 与C 交于A B ,两点，它们到直线3x =-的距离之和等于7，则满足条件的l （A ）恰有一条（B ）恰有两条（C ）有无数多条（D ）不存在(12)已知函数2017()sin f x x x x =--+，若π0,2θ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭,()()2c o s3s i n 320f mfm θθ++-->恒成立，则实数m 的取值范围是（A ）1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（B ）1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦（C ）1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（D ）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第()()13~21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第()()2223、题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．(13)随着智能手机的普及，网络购物越来越受到人们的青睐，某研究性学习小组对使用智能手机的利与弊随机调查了10位同学，得到的满意度打分如茎叶图所示．若这组数据的中位数、平均数分别为,a b ，则,a b 的大小关系是．(14)若2017220170122017(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅-，则20171222017333a a a ++⋅⋅⋅+= ． (15)如图，在直角坐标系xOy 中，将直线2xy =与直线1x =及x 轴所围成的图形（阴影部分）绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积211300πππd 21212x V x x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰圆锥．据此类比：将曲线3y x =（0x …）与直线8y =及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V = ．(16)若函数22()(4)|2|2f x x x a x a =---+有四个零点,则实数a 的取值范围是．5439973187657三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2115,(1)n n a nS n S n n +=-+=+．（Ⅰ）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（Ⅱ）若()121n nb n a =+，判断{}n b 的前n 项和n T 与16的大小关系，并说明理由．(18)（本小题满分12分）为了开一家汽车租赁公司，小王调查了市面上A B ,两种车型的出租情况，他随机抽取了某租赁公司的这两种车型各100辆，分别统计了每辆车在某一周内的出租天数，得到下表的统计数据：Ａ型车（Ⅰ）根据上述统计数据，估计该公司一辆Ａ型车，一辆Ｂ型车一周内合计出租天数恰好为４天的概率；（Ⅱ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，在不考虑其他因素的情况下，运用所学的统计学知识，你会建议小王选择购买哪种车型的车，请说明选择的依据． (19)（本小题满分12分）如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，矩形BFED 所在的平面与平面ABCD 垂直，且12AD DC CB BF AB ====．（Ⅰ）求证：平面ADE ⊥平面BFED ；（Ⅱ）若P 为线段EF 上一点，平面PAB 与平面ADE 所成的锐二面角为θ，求θ的最小值． (20)（本小题满分12分）F A已知,i j 为直角坐标平面xOy 内x y ,轴正方向上的单位向量，()1,x y =++a i j ()1x y =-+b i j （,x y ∈R ），且6+=a b ．（Ⅰ）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点()0,1作直线l 与曲线C 交于A B ,两点，OP OA OB =+，是否存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． (21)（本小题满分12分）已知函数()()()ln 11f x x k x =+++．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()1f x -…恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）求证：2ln (1)14ni i n n i =-<+∑．（2n n ∈N 且…）请考生在第()22、()23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

(22)（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为23,24x t y t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若1C 与2C 交于A B ,两点，点P的极坐标为π4⎛⎫- ⎪⎝⎭，求11||||PA PB +的值． (23)（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程已知函数()211,()f x x x g x x a x a =-++=-++．（Ⅰ）解不等式()9f x >；（Ⅱ）12,x x ∀∈∃∈R R ，使得12()()f x g x =，求实数a 的取值范围．2017年福州市高三毕业班适应性理科数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）D （3）D （4）B （5）A （6）D （7）D（8）B（9）C（10）D（11）D（12）A二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）a b =（14）20174()13-（15）96π5 （16）256(8,0)(0,){}27-+∞-三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)本小题考查等差数列的通项公式、n a 与n S 关系、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）∵211(1),(), 5.n n nS n S n n n N a *+-+=+∈= ∴111(1)(1),1,511n n n n S S SnS n S n n n n ++-+=+-==+ ·············· 3分数列{}nS n 是首项为5,公差为1的等差数列, ··············· 4分（Ⅱ）25(1)4,4,nn S n n S n n n =+-=+=+ ················ 5分当2n ≥时,123,1n n n a S S n n -=-=+=时也符合,故23,()n a n n *=+∈N ························· 6分1111().(21)(23)22123n b n n n n ==-++++ ················· 8分11111111111()()23557212323236n T n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<+++. ······· 12分(18) 本小题主要考查频数分布表、相互独立事件的概率、期望等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）设事件i A 表示一辆A 型车在一周内出租的天数恰好为i 天; 事件jB 表示一辆B 型车在一周内出租的天数恰好为j 天;其中,123,7,i j =⋅⋅⋅，，，则估计该公司一辆A 型车,一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为: 1322319()125P A B A B A B ++=，估计该公司一辆A 型车,一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率是9125．·································· 6分（Ⅱ）设X 为A 型车出租的天数,则X 的分布列为设Y 为BE (X )=1×E (Y )=1×0.14+2×0.20+3×0.20+4×0.16+5×0.15+6×0.10+7×0.05=3.48,一辆A 型车一周的平均出租天数为3.62, 一辆B 型车一周的平均出租天数为3.48,所以选择购买A 型车. ························· 12分 (19)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分12分．解：（Ⅰ）取AB 中点F ,连接DF ,因为AB //CD,1.2AD AB BF ==所以四边形BCDF 为平行四边形,,DF CB = ··············· 2分依题意,ADF ∆为正三角形,.AD BD ⊥ ·················· 3分因为平面BFED ⊥平面ABCD , 平面BFED 平面ABCD DB =,,AD DB AD ⊥⊂平面ABCD ,所以AD ⊥平面BFED . ············ 5分又AD ⊂平面ADE , ∴平面ADE ⊥平面BFED ; ·············· 6分（Ⅱ）因为四边形BFED 为矩形,所以ED ⊥DB , 如图建立空间直角坐标系D-xyz .设AD =1,则(100),(0(0,,1)(0A B P t t ≤≤，， ············· 7分(1,,1),(1AP t AB =-=- ,设(,,)m x y z =是平面0,0.x ty z x -++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩取,m t =- ··· 9分又平面ADE 的一个法向量为(0,1,0).n =· 10分min 1cos ,[0,),223ππθθθ≤∈=. ············· 12分(20)本小题主要考查坐标法、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．满分12分．解：（Ⅰ）依题意,点(,)M x y 到点12(10),(10)F F -，，的距离之和为6>12||2F F =. · 3分所以点M 的轨迹是以12F F 、为焦点,长轴长为6的椭圆,其方程为：22198x y +=. ····························· 5分（Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+，代入22198x y +=得22(98)18630k x kx ++-=, ······················· 6分设1122(,),(,)A x y B x y . 则1212221863,.9898k x x x x k k -+=-=++ ··················· 7分∴四边形OAPB 为平行四边形,若四边形OAPB 为矩形,则.OA OB ⊥ ····· 8分即212121212(1)()10,OA OB x x y y k x x k x x ⋅=+=++++=222226318(1)10,7255.9898k k k k k -+⋅-+=-=++ ··············· 11分所以满足条件的直线不存在. ····················· 12分 (21)本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(1,).-+∞ ················· 1分 1'().1f x k x =++ ··························· 2分①0k ≥时,'()0,f x > ()f x 的递增区间为(1,),-+∞无递减区间; ······· 3分 ②0k <时,令'()0f x >得()f x 的递增区间为1(1,1),k ---递减区间为1(1,)k --+∞. 4分（Ⅱ）由(Ⅰ)知，0k ≥时, ()f x 在(1,)-+∞上递增,(0)0f k =≥,不合题意, · 6分故只考虑0k <的情况,由(Ⅰ)知max 1()(1)1ln()1f x f k k =--=---≤-，ln()01 1.k k k -≥-≥∴≤-，， ······················· 8分（Ⅲ）由(Ⅱ)得ln 1x x <-当2x ≥恒成立.则22ln 1(,2)n n n N n *<-∈≥即2ln (1)(1),n n n <-+ ln 1(2).12n n n N n n *-∴<∈≥+， ····················· 10分 2ln ln 2ln 3ln 4ln 1231(1).(2)1345122224ni in n n n n N n i n =--=+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+=∈≥++∑且即2ln (1).(2)14ni in n n N n i =-<∈≥+∑且 ···················· 12分(22) 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等．满分10分．解：（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为4320;x y +-= ·············· 2分曲线2C 的直角坐标方程为:2y x =. ··················· 5分（Ⅱ）1C 的参数方程的标准形式为32,5(42.5x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)代入2y x =得29801500,t t -+= ·························· 6分设12,t t 是A B 、对应的参数,则121280500.93t t t t +==>， ··········· 7分1212||11||||8.||||||||||15t t PA PB PA PB PA PB t t ++∴+===⋅ ··············· 10分(23) 本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力, 考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分10分．解：（Ⅰ）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧≥⎪⎪⎪=--<<⎨⎪-≤⎪⎪⎩ ··················· 2分()9f x >等价于111,,1,22303929x x x x x x ⎧⎧≤-≥-<<⎧⎪⎪⎨⎨⎨->⎩⎪⎪>->⎩⎩或或 ············· 3分综上,原不等式的解集为{|33}.x x x ><-或 ················ 5分（Ⅱ）||||2||.x a x a a -++≥ ····················· 7分由(Ⅰ)知13()().22f x f ≥= 所以32||2a ≤， ··························· 9分实数a 的取值范围是33[,].44- ····················· 10分。

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