5.2绝对值三角不等式A 课件(人教A版选修4-5)
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5.2不等式和绝对值不等式(二)课件(人教A版选修4-5)
a
ab
b
由这个图，你还能发现什么结论？
推论 练习
定理（绝对值三角形不等式） 如果 a , b 是实数，则 a b ≤ a b ≤ a b 注：当 a、 b 为复数或向量时结论也成立.
我们还可讨论涉及多个实数的绝对值不等式的问题：
推论 1（运用数学归纳法可得） ：
a1 a2 an ≤ a1 a2 an .
可以看到,几何背景在问题解决中有其独特的魅力。
这节课我们来研究:绝对值有什么性质? 我们知道,一个实数 a 的绝对值的意义: a ( a 0) ⑴ a 0 (a 0) ;（定义） a (a 0) |a| a x 0 ⑵ a 的几何意义: O A
表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离.
关于绝对值还有什么性质呢?
a a2 ①
a a ② ab a b , ,……(从运算的角度来看绝 b b
对值的特点,你发现了什么?)
思考:用恰当的方法在数轴上把 a , b , a b 表示出 来，你能发现它们之间的什么关系?
注：绝对值的几何意义: ⑴ a 表示数轴上的数 A 对应的点与原点 O 的距离 OA ; ⑵ a b 表示数轴上的数 A 对应的点与数 b 对应的点 B 的距离.如图: 即 a = OA ， a b AB
证明:对于 a 2 ຫໍສະໝຸດ b2 ，可想到直角三角形的斜边， 这时可构造出图形： 以 a+b+c 为边长画一个正方形，如图
2 2 2 2 则 AP1 a b , P1 P2 b c ,
P2 B c 2 a 2 ， AB 2(a b c) .
显然 AP1 P1 P2 P2 B ≥ AB ， 即 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 ≥ 2 (a b c ) .
高中数学人教A版选修4-5优化课件：第一讲 二 绝对值不等式 1 绝对值三角不等式
01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理] 一、绝对值的几何意义 1．实数 a 的绝对值|a|表示数轴上坐标为 a 的点 A 到 原点 的距离． 2．对于任意两个实数 a，b，设它们在数轴上的对应点分别为 A，B，那么|a－b| 的几何意义是数轴上 A，B 两点之间的距离 ，即线段 AB 的 长度 ．
二、绝对值三角不等式 1．如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立．
2．如果把上面的绝对值三角不等式中的实数 a，b 换成向量 a，b，则它的几何 意义是 三角形两边之和大于第三边 三、三个实数的绝对值不等式 如果 a， b， c 是实数， 那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|， 当且仅当 (a－b)(b－c)≥0 等号成立． 时， ．
)
解析：|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|<h＋k，故选 C.
答案：C
3．函数 y＝|x－1|＋|x－5|的最小值为________，此时 x 的取值范围是________．
解析：|x－1|＋|x－5|＝|x－1|＋|5－x| ≥|x－1＋5－x|＝4， 当且仅当(x－1)(5－x)≥0， 即 1≤x≤5 时等号成立．
ε ε 1．|x－A|< ，|y－A|< 是|x－y|<ε 的( 2 2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
)
ε ε 解析：若|x－A|< ，|y－A|< ， 2 2 则有|x－y|＝|x－A＋A－y| ε ε ＝|(x－A)＋(A－y)|≤|x－A|＋|y－A|< ＋ ＝ε. 2 2 ε ε ∴|x－A|< ，|y－A|< 是|x－y|<ε 成立的充分条件． 2 2 3 ε ε ε 反之，若|x－y|<ε，则可以取|x－A|< ε，|y－A|< 使得条件|x－A|< ，|y－A|< 得 4 4 2 2 不到满足． ε ε 因此，我们有|x－A|< ，|y－A|< 是|x－y|<ε 成立的充分不必要条件，故选择 A. 2 2 答案：A
人教A版高中数学选修4-5课件绝对值三角不等式
推论1：
推论2：
证明：在定理中以 即：
定理探索
当 当 只要证 即证 而
时，显然成立， 时，要证
显然成立．
从而证得
， .
定理探索
还有别的证法吗？
由
与
，
得
.
当我们把
看作一个整体时，上式逆
用
可得什么结论？
定理探索
能用已学过得的
证明
吗？
可以 表示为
即 就是含有绝对值不等式的重要定理， 即.
例题
例2已知
(1)当不共线时有 (2)当共线且同向时有
绝对值三角 不等式
如何证明定理1?
探究
你能根据定理1的研究思路,探究一下|a|，|b|， |a+b|,|a-b|之间的其它关系吗?
结论:
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
注意：1左边可以“加强”同样成立，即
2这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边 之和大于第三边，两边之差小于第三边 3同号时右边取“=”，异号时左边取“=”
推论:
或
.
（二）绝对值的几何意义：
实数a的绝对值|a|，表示数轴上坐标为a的 点A到原点的距离（图1）。
|a|
O
A
x
如：|-3|或|3|在数轴上分别等于点A或点B到 坐标原点的距离。
由绝对值的几何意义可知，A、B之间的点 与坐标原点的距离小于3，可表示为：
即实数x对应的点到坐标原点的距离小于3
同理，与原点距离大于3的点对应的实数可表 示为：
，
求证
.
证明：
例题
例3求证 证明：在
当
.
时，显然成立. 时，左边
推论2：
证明：在定理中以 即：
定理探索
当 当 只要证 即证 而
时，显然成立， 时，要证
显然成立．
从而证得
， .
定理探索
还有别的证法吗？
由
与
，
得
.
当我们把
看作一个整体时，上式逆
用
可得什么结论？
定理探索
能用已学过得的
证明
吗？
可以 表示为
即 就是含有绝对值不等式的重要定理， 即.
例题
例2已知
(1)当不共线时有 (2)当共线且同向时有
绝对值三角 不等式
如何证明定理1?
探究
你能根据定理1的研究思路,探究一下|a|，|b|， |a+b|,|a-b|之间的其它关系吗?
结论:
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
注意：1左边可以“加强”同样成立，即
2这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边 之和大于第三边，两边之差小于第三边 3同号时右边取“=”，异号时左边取“=”
推论:
或
.
（二）绝对值的几何意义：
实数a的绝对值|a|，表示数轴上坐标为a的 点A到原点的距离（图1）。
|a|
O
A
x
如：|-3|或|3|在数轴上分别等于点A或点B到 坐标原点的距离。
由绝对值的几何意义可知，A、B之间的点 与坐标原点的距离小于3，可表示为：
即实数x对应的点到坐标原点的距离小于3
同理，与原点距离大于3的点对应的实数可表 示为：
，
求证
.
证明：
例题
例3求证 证明：在
当
.
时，显然成立. 时，左边
5.2绝对值三角不等式A 课件(人教A版选修4-5)
探究 你能比较 a b 与 a b
a b a b a b a b a b a b
之间的大小关
当ab>0时，
当ab<0时， 当ab=0时，
你能将上述情况综合起来吗？
定理1
如果a,b是实数，则 当且仅当
a b a b
ab 0 时，等号成立。
如果把定理1中的实数a,b分别换为向量
例2
两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工， 这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km 处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区， 每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。 要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应 该建于何处？
分析：如果生活区建于公路路牌的第xkm处，两个施工队每天往返的路程 之和为S(x)km,那么 S x 2 x 10 x 20 于是，上面的问题就化 归为数学问题：当x取何值时，函数 S x 2 x 10 x 20 取得最小
10 x 20
所以，生活区建于两个施工地点之间的任何一个位置时， 都能使两个施工队每天往返的路程之和最小。
70
60
s x = 2 x-10 + x-20
50
40
30
20
10
-60
-40
-20
10
20
40
60
80
100
-10
-20
-30
值。这个问题可以应用绝对值不等式的性质来解。
解：设生活区应该建于公路路牌的第xkm处，两个施工队 每天往返的路程之和为S(x)km,则 因为
S x 2 x 10 x 20
5.2 绝对值不等式的解法2课件(人教A版选修4-5)
∴ 0≤x＜1
②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1
∴ －1＜x＜0
综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}
2013-1-17 南粤名校——南海中学
探索：不等式|x|<1的解集。 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 对原不等式两边平方得x2<1
即 x2－1<0
即 (x+1)(x－1)<0
南粤名校——南海中学
1
二、探索解法
探索：不等式|x|<1的解集。
方法一： 利用绝对值的几何意义观察 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 方法四： 利用函数图象观察
2 3 4
这是解含绝对值不等式的四种常用思路
2013-1-17 南粤名校——南海中学
2013-1-17
南粤名校——南海中学
探索：不等式|x|<1的解集。 方法一： 利用绝对值的几何意义观察
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1 的点的集合。
-1 0 1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<探索：不等式|x|<1的解集。 方法二： 利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论 ①当x≥0时，原不等式可化为x＜1
即－1<x<1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
2013-1-17 南粤名校——南海中学
探索：不等式|x|<1的解集。 方法四： 利用函数图象观察 从函数观点看，不等式|x|<1的解集表示函数 y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对 y 应的x的取值范围。 所以，不等式|x|<1的 解集为{x|-1<x<1} 1 y=1 x
高中数学人教A版选修4-5课件：1-2-1绝对值三角不等式
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典例透析
1
2
3
3.三个实数的绝对值不等式 定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当 (a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
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1
2
1.对绝对值三角不等式的理解 剖析：绝对值三角不等式实质是两个实数的和差的绝对值与绝 对值的和差的关系,我们可以类比得到另外一种形式:|a|-|b|≤|ab|≤|a|+|b|. 和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab>0,ab<0,ab=0三种 情况来确定的,其本质是叙述在两个实数符号的各种情形下得到的 结果,即这个定理本身就是一个分类讨论问题.“数”分正、负、零各 种不同情况讨论,往往在所难免,因此,对绝对值的认识要有分类讨 论的习惯.
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题型一
题型二
题型三
题型一
绝对值三角不等式的性质
【例1】 设a,b∈R,且|a+b+1|≤1,|a+2b+4|≤4,求|a|+|b|的最大值. 分析：解决本题的关键是灵活运用绝对值三角不等式的性质.因 为a,b的符号不确定,所以需要分ab≥0和ab<0进行讨论. 解:|a+b|=|(a+b+1)-1|≤|a+b+1|+|-1|≤1+1=2,|a-b|=|3(a+b+1)2(a+2b+4)+5|≤3|a+b+1|+2|a+2b+4|+5≤3×1+2×4+5=16. ①当ab≥0时,|a|+|b|=|a+b|≤2; ②当ab<0时,则a(-b)>0, |a|+|b|=|a|+|-b|=|a+(-b)|≤16. 总之,恒有|a|+|b|≤16. 而a=8,b=-8时,满足|a+b+1|=1,|a+2b+4|=4,且|a|+|b|=16. 因此|a|+|b|的最大值为16.
《不等式和绝对值不等式》课件7 (人教A版选修4-5)
n n
（乘方性） （开方性）
二: 不等式的性质
能证明它们吗?
1.如果a > b，c > d，那么a + c > b + d 2.如果a > b > 0，c > d > 0，那么ac > bd
a b 例：已知a > b > 0,c > d > 0，求证 > . d c
三: 基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a 2 + b 2 ≥ 2ab， 当且仅当a = b时等号成立。
本专题知识结构
第一讲 值不等式 不等式和绝对
不 等 式 选 讲
第二讲 的基本方法
证明不等式
第三讲 排序不等式
柯西不等式与
第四讲 明不等式
数学归纳法证
第一讲 不等式和绝对值不等式
一:不等式的基本性质
A B a b b>a B b
a>b
A a
a>b a-b>0
基本不等式
几何解释
b
a b a b
三: 基本不等式
定理2：（基本不等式） a+b 如果a，b 0，那么 ≥ ab， 2 当且仅当a = b时等号成立。
算术平均数
几何平均数
C
几何解释
ab
A
a O D b B
定理：设x,y都是正数，则有 1）若xy = s（定值），则当x = y时,x + y有最小值2 s .
a > b,c > d a +c > b+d
（加法法则）
4.a > b, > 0 ac > bc c （可乘性） a > b, < 0 ac < bc c
（乘方性） （开方性）
二: 不等式的性质
能证明它们吗?
1.如果a > b，c > d，那么a + c > b + d 2.如果a > b > 0，c > d > 0，那么ac > bd
a b 例：已知a > b > 0,c > d > 0，求证 > . d c
三: 基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a 2 + b 2 ≥ 2ab， 当且仅当a = b时等号成立。
本专题知识结构
第一讲 值不等式 不等式和绝对
不 等 式 选 讲
第二讲 的基本方法
证明不等式
第三讲 排序不等式
柯西不等式与
第四讲 明不等式
数学归纳法证
第一讲 不等式和绝对值不等式
一:不等式的基本性质
A B a b b>a B b
a>b
A a
a>b a-b>0
基本不等式
几何解释
b
a b a b
三: 基本不等式
定理2：（基本不等式） a+b 如果a，b 0，那么 ≥ ab， 2 当且仅当a = b时等号成立。
算术平均数
几何平均数
C
几何解释
ab
A
a O D b B
定理：设x,y都是正数，则有 1）若xy = s（定值），则当x = y时,x + y有最小值2 s .
a > b,c > d a +c > b+d
（加法法则）
4.a > b, > 0 ac > bc c （可乘性） a > b, < 0 ac < bc c
4-5.2.2绝对值不等式的解法_课件(人教A版选修4-5)
• 5．不等式|x－1|－|x＋4|＞1的解是_________. • 6．不等式x2－2|x|－15＞0的解集为________ .
• 7．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|＜a的解集为空集，
•
则a的取值范围为 ( ) (A)(3,＋∞) (B)[3,＋∞) ∞,3) 围是 (A) m＞2 (C)(－∞,3] (D)(－
行讨论，如本例需对a+1的符号进行讨论，否则易导致错误结
果.
变式1 解不等式
|x－a|＞a．
例2 解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
(Ⅰ)当5x-6≥0,即x≥6/5时，不等式化为 5x-6<6-x，解得x<2, 所以6/5≤x＜2 (Ⅱ)当5x-6<0,即x<6/5时，不等式化为 -(5x-6)<6-x，解得x>0 所以0<x<6/5 取(Ⅰ)、 (Ⅱ) 并集得原不等式解集为(0, 2)
5.2.1 含有绝对值的 不等式的解法
复习：
1.绝对值的定义: |x|= 2.几何意义:
x2
B O
x 0 -x
x>0 x=0 x<0
一个数的绝对值表示数轴上这个数对 应的点到原点的距离.
x1
A x
|x1| =OA |x2| =OB
|x2-x1| =AB
两个数的差的绝对值表示数轴上这两个 个数对应的两点间距离.
变式1.不等式|x－1|＞|x－2|的解集为 ______.
变式2
x－ 1＞ ( 2－x ) 2 ,
求它的解集.
【解析】
x－ 1 ＞( 2－x) (x－ 1) ＞ 2－x 3 x 2－2x 1＞x 2－4x 4 2x＞3 x＞ , 2 又2－x≥0，所以x≤2.
5.2不等式和绝对值不等式(一)课件(人教A版选修4-5)
思考 2.已知 a 0, b 0, a b 时,
2ab ab 求证: ab
证明不等式的最基本的思考是分析法——很多 时候就是对要证的不等式进行变形转化。
不等式的基本性质 基本不等式
不等式的性质 ⑴(对称性或反身性) a b b a ; ⑵(传递性) a b，b c a c ; ⑶(可加性) a b a c b c ,此法则又称为移项法则; (同向可相加) a b，c d a c b d ⑷(可乘性) a b，c 0 ac bc； a b，c 0 ac bc . (正数同向可相乘) a b 0，c d 0 ac bd ⑸(乘方法则) a b （n N） a n bn 0 0 ⑹(开方法则) a b （n N , n ≥ 2） n a n b 0 0 1 1 ⑺(倒数法则) a b，ab 0 a b 掌握不等式的性质，应注意：条件与结论间的对应关系， 是“ ”符号还是“ ”符号；运用不等式性质的关键是不 等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。
注：一正、二定、三等。
例 3求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方 --------------形的面积最大;
(2)在所有面积相同的矩形中,正方 ---------------形的周长最短.
例3答案
例4
例 3求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方 --------------形的面积最大; (2)在所有面积相同的矩形中,正方 ---------------形的周长最短. 设矩形周长为L,面积为S,一边长为x,一边长为y, 周长L=2x+2y
3 3⑴已知 0 x ,求函数 y x(3 2x) 的最大值. 2 2 x2 ⑵求函数 y ( x 3) 的最小值. x 3 x2 3 ⑶求函数 y 的最小值. 2 x 2 解: ⑵∵ x 3 ,∴ x 3 0 2 x 2 2( x 2 9) 18 18 2x 6 ∴y x 3 x 3 x 3 18 12 ≥24 = 2( x 3) x 3 18 当且仅当 2( x 3) 即 x 6 时取等号. x3 2 x2 ( x 3) 的最小值为 24,且当 x 6 时取得. ∴函数 y x 3
5.2不等式和绝对值不等式(四)课件(人教A版选修4-5)
第一讲不等式和绝对值不等式（三）
接上节课思考
知识要点
练习第1题
练习第2题
课堂练习
上节课的 课外练习 讲解
方法小结
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不 等式（组） ，根据式子的特点可用下列解法公式进行转化：
⑴ f x a (a 0) f x a或f x a；
-(x-1)+(x+2) (3)当x<-2时，原不等式同解于 x<-2 x≤-3 -(x-1)-(x+2) ≥5 综合上述知不等式的解集为 x x ≥ 2或x ≤ 3
-2 ≤ x ≤ 1
x ≥5
2.解不等式|x-1|+|x+2|≥5 方法三：通过构造函数，利用函数的图象(体现了 函数与方程的思想)． 解 原不等式化为|x-1|+|x+2|-5 ≥0 令f(x)=|x-1|+|x+2|-5 ,则 (x-1)+(x+2)-5 (x>1) f(x)= -(x-1)+(x+2)-5 (-2≤x≤1) y -(x-1)-(x+2)-5 (x<-2) 2x-4 (x>1) f(x)= -2 (-2≤x≤1) -2x-6 (x<-2) 1 -2 由图象知不等式的解集为
还有没有其他方法?
2.怎么解不等式|x-1|+|x+2|≥5 呢?
解绝对值不等式关键是去绝对值符号, 你有什么方法解决这个问题呢?
方法一：利用绝对值的几何意义(体现了数形结 合的思想).
解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2
-3 -2
所以原不等式的解为 x x ≥ 2或x ≤ 3
接上节课思考
知识要点
练习第1题
练习第2题
课堂练习
上节课的 课外练习 讲解
方法小结
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不 等式（组） ，根据式子的特点可用下列解法公式进行转化：
⑴ f x a (a 0) f x a或f x a；
-(x-1)+(x+2) (3)当x<-2时，原不等式同解于 x<-2 x≤-3 -(x-1)-(x+2) ≥5 综合上述知不等式的解集为 x x ≥ 2或x ≤ 3
-2 ≤ x ≤ 1
x ≥5
2.解不等式|x-1|+|x+2|≥5 方法三：通过构造函数，利用函数的图象(体现了 函数与方程的思想)． 解 原不等式化为|x-1|+|x+2|-5 ≥0 令f(x)=|x-1|+|x+2|-5 ,则 (x-1)+(x+2)-5 (x>1) f(x)= -(x-1)+(x+2)-5 (-2≤x≤1) y -(x-1)-(x+2)-5 (x<-2) 2x-4 (x>1) f(x)= -2 (-2≤x≤1) -2x-6 (x<-2) 1 -2 由图象知不等式的解集为
还有没有其他方法?
2.怎么解不等式|x-1|+|x+2|≥5 呢?
解绝对值不等式关键是去绝对值符号, 你有什么方法解决这个问题呢?
方法一：利用绝对值的几何意义(体现了数形结 合的思想).
解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2
-3 -2
所以原不等式的解为 x x ≥ 2或x ≤ 3
人教A版高中数学选修4-5课件第一讲二1绝对值三角不等式
(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|. 当且仅当时，等号成立． 几何解释：在(数a－轴b上)(b，－ac，)≥b0，c所对应的点分别为A，B， C， 当点B在点A，C之间时，|a－c||a－b|＋|b－c|. 当点B不在点A，C之间时：①点B在＝A或C上时，|a－c| |a－b|＋|b－c|； ②＝点B不在A，C上时，|a－c||a－b|＋|b－c|. 应用：利用该定理可以确定绝对值< 函数的值域和最值．
[例2] (1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值． (2)设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)． 若|a|≤1，求|f(x)|的最大值． [思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求 解．
[解] (1)法一：||x－3|－|x＋1|| ≤|(x－3)－(x＋1)|＝4， ∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4. ∴ymax＝4，ymin＝－4.
(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对 值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式． (2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的 关键．
3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2则|a＋b|的最大值是________， 最小值是________． 解析：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|， ∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5. 答案：5 1
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
1．绝对值三角不等式
绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当时， 等号ab成≥0立． 几何解释：用向量a，b分别替换a，b. ①当a与b不共线时，有|a＋b|<|a|＋|b|，其几何意义为： ．三角形的两边之和大于第三边 ②若a，b共线，当a与b时，同|a＋向b|＝|a|＋|b|，当a与b 时反，向|a＋b|<|a|＋|b|. 由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对 值三角不等式． ③定理1的推广：如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b| ≤|a|＋|b|.
高中数学人教A版选修4-5配套课件：1-2-1《绝对值三角不等式》
与|x
2．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤ |a|＋|b| ，当且仅 当 ab≥0 时，等号成立．
试一试：证明：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|.
提示 |a＋b|≤|a|＋|b|⇔|a＋b|2≤(|a|＋|b|)2 ⇔(a＋b)2≤|a|2＋2|a||b|＋|b|2 ⇔a2＋2ab＋b2≤a2＋2|a||b|＋b2 ⇔ab≤|ab|.
x 2 ③若|x|＜2，|y|＞3，则y＜ ； 3
|A|＋|B| 1 ④若 AB≠0，则 lg ≥ (lg |A|＋lg |B|)． 2 2 其中正确的命题有 A．4 个 C．2 个 B．3 个 D．1 个 ( )．
[思维启迪]
|x－a|＜m (1)利用绝对值三角不等式，推证 |y－a|＜m
题型三
绝对值三角不等式定理的应用
【例3】 (1)“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y， a，m∈R)的 A．充分非必要条件 ( )．
B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
(2)以下四个命题： ①若 a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|； ②若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；
证明 设 0≤x1<x2≤1， 1 1 ①若 x2－x1≤ ，则|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|≤ . 2 2 1 即|f(x2)－f(x1)|< . 2 1 ②若2<x2－x1≤1，则 |f(x2)－f(x1)|＝|f(x2)＋f(0)－f(1)－f(x1)| ＝|f(x2)－f(1)＋f(0)－f(x1)| ≤|f(x2)－f(1)|＋|f(0)－f(x1)|
所以|x＋y|＜|x－y|. 答案 A
2．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是 ( A．当a，b异号时，左边等号成立 B．当a，b同号时，右边等号成立 )．
《1.绝对值三角不等式》课件4-优质公开课-人教A版选修4-5精品
所以有|a＋b|＞0⇔a≠－b⇔|a|a|＋ ＋b|b||≥1.
动
探 究
因此|a|a|＋ ＋b|b||≥1成立的充要条件是a≠－b.
课 时 作 业
【答案】 (1)a≠b (2)a≠－b
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新课标 ·数学 选修4-5
课
当
前
堂
自
双
主 导
1．本题求解的关键在于|a|－|b|≤|a－b|与|a|＋|b|≥|a＋b|
动
探 究
即|ax＋xb2|<2.
课 时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-5
课
当
前
堂
自
双
主 导
1．将文字语言“m 等于|a|，|b|,1 中最大的一个”转化为
基 达
学
标
符号语言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是证明本题的关键．
2．运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩
课
堂 互
的方向和“尺度”，切忌放缩过度．
堂
互 动 探 究
课 时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-5
运用绝对值不等式求最值与范围
对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋|x＋2|≥m恒
课 前
成立的m的取值范围．
当 堂
自
双
主 导
【思路探究】 令t＝|x＋1|＋|x＋2|，只需m≤tmin.
基 达Βιβλιοθήκη 学【自主解答】 法一 对x∈R，|x＋1|＋|x＋2|
课 堂
＝2(|a|＋1)．
互 动 探 究
课 时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-5
课 前
(教材第19页习题1.2第5题)求函数y＝|x－4|＋|x
人教A版选修4-5 第一章 二 1.绝对值三角不等式 课件(28张)
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
求 f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和 f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种方 法 (1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解． (2)利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解，但要注意两数的 “差”还是“和”的绝对值为定值． (3)利用绝对值的几何意义求解．
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
(2)因为||x－1|－|x＋1||≤|(x－1)－(x＋1)|＝2， 当且仅当(x－1)(x＋1)≥0， 即 x≥1 或 x≤－1 时取等号，即－2≤|x－1|－|x＋1|≤2， 当 x≥1 时函数取得最小值－2，当 x≤－1 时，函数取得最大 值 2，当－1＜x＜1 时，－2＜|x－1|－|x＋1|＜2，故函数 f(x) 的值域为[－2，2]．
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
(2)当 a＝0 时，f(x)＝x； 当－1≤x≤1 时，f(x)的最大值为 f(1)＝1， 不满足题设条件，所以 a≠0. 又 f(1)＝a＋1－a＝1，f(－1)＝a－1－a＝－1， 故 f(±1)均不是最大值． 所以 f(x)的最大值187应在其对称轴上顶点位置取得， 所以 a＜0.
第一讲 不等式和绝对值不等式
【解】 (1)因为|x|≤1，|a|≤1， 所以|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x| ＝|a||x2－1|＋|x|≤|x2－1|＋|x| ＝1－|x2|＋|x| ＝－|x|2＋|x|＋1 ＝－|x|－122＋54≤54. 所以|x|＝12时，|f(x)|取得最大值54.
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
－1＜－21a＜1， 所以命题等价于f－21a＝187，
a＜0，
第一讲 不等式和绝对值不等式
求 f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和 f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种方 法 (1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解． (2)利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解，但要注意两数的 “差”还是“和”的绝对值为定值． (3)利用绝对值的几何意义求解．
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第一讲 不等式和绝对值不等式
(2)因为||x－1|－|x＋1||≤|(x－1)－(x＋1)|＝2， 当且仅当(x－1)(x＋1)≥0， 即 x≥1 或 x≤－1 时取等号，即－2≤|x－1|－|x＋1|≤2， 当 x≥1 时函数取得最小值－2，当 x≤－1 时，函数取得最大 值 2，当－1＜x＜1 时，－2＜|x－1|－|x＋1|＜2，故函数 f(x) 的值域为[－2，2]．
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第一讲 不等式和绝对值不等式
(2)当 a＝0 时，f(x)＝x； 当－1≤x≤1 时，f(x)的最大值为 f(1)＝1， 不满足题设条件，所以 a≠0. 又 f(1)＝a＋1－a＝1，f(－1)＝a－1－a＝－1， 故 f(±1)均不是最大值． 所以 f(x)的最大值187应在其对称轴上顶点位置取得， 所以 a＜0.
第一讲 不等式和绝对值不等式
【解】 (1)因为|x|≤1，|a|≤1， 所以|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x| ＝|a||x2－1|＋|x|≤|x2－1|＋|x| ＝1－|x2|＋|x| ＝－|x|2＋|x|＋1 ＝－|x|－122＋54≤54. 所以|x|＝12时，|f(x)|取得最大值54.
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第一讲 不等式和绝对值不等式
－1＜－21a＜1， 所以命题等价于f－21a＝187，
a＜0，
人教A版高中数学选修4-5课件第一讲二2绝对值不等式的解法
高中数学课件
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2．绝对值不等式的解法
1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤a，|x|≥a(a>0)型 不等式求解． |ax＋b|≤c(c>0)型不等式的解法：先化为， －c≤ax＋b≤c 再由不等式的性质求出原不等式的解集． 不等式|ax＋b|≥c(c>0)的解法：先化为或 ax＋b≥c ，ax再＋进b≤一－步c 利用不等式性质求出原不等式的解集．
[例1] 解下列不等式： (1)|5x－2|≥8；(2)2≤|x－2|≤4. [思路点拨] 利用|x|>a及|x|<a(a>0)型不等式的解法求 解．
[解] (1)|5x－2|≥8⇔5x－2≥8或5x－2≤－8⇔x≥2或x≤ －65，
∴原不等式的解集为{x|x≥2或x≤－65}，或x－2≥2， ∴x≤0，或x≥4. 由②得－4≤x－2≤4， ∴－2≤x≤6. ∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤0，或4≤x≤6}．
[解] 法一：因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一 点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差． 即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|. 由图像知(|PA|－|PB|)max＝1， (|PA|－|PB|)min＝－1. 即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1. (1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可， 即m<1，m的范围为(－∞，1)；
|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式 的三种解法：分区间(分类)讨论法、图像法和几何法． 分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和 图像法直观，但只适用于数据较简单的情况．
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2．绝对值不等式的解法
1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤a，|x|≥a(a>0)型 不等式求解． |ax＋b|≤c(c>0)型不等式的解法：先化为， －c≤ax＋b≤c 再由不等式的性质求出原不等式的解集． 不等式|ax＋b|≥c(c>0)的解法：先化为或 ax＋b≥c ，ax再＋进b≤一－步c 利用不等式性质求出原不等式的解集．
[例1] 解下列不等式： (1)|5x－2|≥8；(2)2≤|x－2|≤4. [思路点拨] 利用|x|>a及|x|<a(a>0)型不等式的解法求 解．
[解] (1)|5x－2|≥8⇔5x－2≥8或5x－2≤－8⇔x≥2或x≤ －65，
∴原不等式的解集为{x|x≥2或x≤－65}，或x－2≥2， ∴x≤0，或x≥4. 由②得－4≤x－2≤4， ∴－2≤x≤6. ∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤0，或4≤x≤6}．
[解] 法一：因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一 点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差． 即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|. 由图像知(|PA|－|PB|)max＝1， (|PA|－|PB|)min＝－1. 即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1. (1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可， 即m<1，m的范围为(－∞，1)；
|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式 的三种解法：分区间(分类)讨论法、图像法和几何法． 分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和 图像法直观，但只适用于数据较简单的情况．
5.2绝对值三角不等式 课件(人教A版选修4-5)
a<0,b<0 a+b x a O b |a+b|=|a|+|b|
x
a<0,b>0 a+b x a O b |a+b|<|a|+|b|
易得: |a+b|=|a|+|b|
(3)如果ab=0,则a=0或b=0
综上所述,可得:
定理1: 如果a,b是实数,则 |a+b||a|+|b| 当且仅当ab0时,等号成立. 如果把定理1中的实数a,b分别换 为向量
同学们能再探究一下|a|-|b|与|a+b|, |a|+|b|与 |a-b|, |a|-|b|与|a-b|等之间的关系? 如: 如果a,b是实数,则 |a|-|b||a-b||a|+|b| 再如: 如果a,b,c是实数,则 |a-c||a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.
类比不等式基本性质的得出过程，同学们认为
可以怎样提出关于绝对值不等式性质的猜想？
从“运算”的角度考察绝对值不等式。 如：对于实数a,b，可以考察|a|, |b|, |a+b|, |a-b|, |a|+|b|, |a|-|b| 等之间的关系。
用恰当的方法在数轴上把|a|, |b|, |a+b|表示出来，
S(x)=2(|x-10|+|x-20|) |x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x| |(x-10)+(20-x)|=10 当且仅当(x-10)(20-x)0时 取等号. 又解不等式:
S 60 40 20
S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
人教A版高中数学选修4-5课件绝对值三角不等式2
用向量分别替换实数a,b,
y
当向量不共线时,则由向量加法的
三角形法则,
向量构成三角形,
x
故可得向量形式的不等式: O
|a+b|<|a|+|b| 当向量共线呢?
故该定理的几何意义为:
三角形的两边之和大于第三边.
绝对值三角不等式:|a+b||a|+|b| 证明: 当ab0时,ab=|ab|
|a+b|
O
a
x
a
O
a
O
x
a+b b
x
(1)当ab>0时, a>0,b>0
a<0,b<0
a+b x Oa b
a+b b
a
O
x
由图可得:|a+b|=|a|+|b|
(2)当ab<0时 a>0,b<0
a+b b
O
a
x
|a+b|<|a|+|b|
a<0,b>0
a
当ab<0时,ab=-|ab| |a+b|
故|a+b||a|+|b|
当且仅当ab0时,等号成立.
同学们能再探究一下|a|-|b|与|a+b|,|a|+|b|与|a-b|,|a||b|与|a-b|等之间的关系?
如:如果a,b是实数,则 |a|-|b||a-b||a|+|b|
再如:如果a,b,c是实数,则 |a-c||a-b|+|b-c|
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ac ab bc
a b b c 0 当且仅当________________时，等号成立。
2、如果a, b是实数，你能比较 a b 与 a b 的 大小吗？并说明理由。
a b ab
ab 0 且 a b 当且仅当__________________ 时，等号成立。
例2
两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工， 这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km 处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区， 每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。 要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应 该建于何处？
分析：如果生活区建于公路路牌的第xkm处，两个施工队每天往返的路程 之和为S(x)km,那么 S x 2 x 1 0 x 2 0 于是，上面的问题就化 归为数学问题：当x取何值时，函数 S x 2 x 1 0 x 2 0
[系列4 ]
绝对值三角不等式
y
a b
O
a
b
x
创设情境
在数轴上，你能指出实数a的绝对值 a 的几何意义吗？
a
0 a
A x
它表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离 那么， a b 的几何意义呢？ 数轴上A,B两点之间的距离
B b
ab
B -b
A
a
ab
O
x
探究
设a, b为实数， 你能比较 a b 与 a b 之间的大小关 系吗？
当ab>0时， a b a b
当ab<0时， a b a b 当ab=0时， a b a b 你能将上述情况综合起来吗？
定理1
如果a,b是实数，则 a b a b 当且仅当 a b 0 时，等号成立。
如果把定理1中的实数a,b分别换为向量 a , b ，
能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？
迁移类比
当向量 a , b 不共线时，
y
a b a b
当向量 a , b 共线时，
O
a b
a
b
x
同向：a b 反向： a b
a b a b
向量形式的不等式
a b a b
当且仅当 a 与 b 同向 时，等号成立。
由于定理1与三角形之间的这种联系，我们称其中的不等 式为绝对值三角不等式。
知识推广
如果将定理1中的实数a , b改为复数 z 1 , z 2 不等式仍成立吗？ ，
z1 z 2 z1 z 2
练习
1、如果a, b, c是实数，证明
-10
-20
-30
定理1的完善 如果a, b是实数，则
a b ab a b
当且仅当_________时，右边等号成立。 ab 0
当且仅当 a b 0 时，左边等号成立；
a b
小 结
请你诊断
学完定理1后，小明和小红分别提出了新见解。 小明认为，如果a, b, c是实数，则
abc a b c
取得最小ຫໍສະໝຸດ 值。这个问题可以应用绝对值不等式的性质来解。
解：设生活区应该建于公路路牌的第xkm处，两个施工队 每天往返的路程之和为S(x)km,则 因为
S x 2 x 10 x 20
x 10 x 20 x 10 20 x 10
当且仅当 解得
（2） x a x b a b
知识应用：
例1 已知 0 , x a 求证
, y b ,
2 x 3 y 2 a 3b 5
练习： 设 M , 0 , x a
2
, yb
2
,
a M , y M
求证：
xy ab M
（定理1的变形）
4、推论：
ac ab bc
a,b, c R
a b ab a b
abc a b c
（定理1的推广）
作业：
1、求证：（1） a b a b 2 a
（2） a b a b 2 b
2、求证：（1） x a x b a b
小红认为，如果a, b是实数，则
a b ab a b
如果你是老师，你能帮他们评判一下吗？
小 结
1、 a b 的几何意义；
2、定理1： 如果a, b是实数，则 a b a b 当且仅当 a b 0 时，等号成立。 （向量形式、复数形式） 3、定理1的完善：
a b ab a b
x 10 20 x
10 x 20
0 时取等号。
所以，生活区建于两个施工地点之间的任何一个位置时， 都能使两个施工队每天往返的路程之和最小。
70
60
s x = 2 x-10
+ x-20
50
40
30
20
10
-60
-40
-20
10
20
40
60
80
100