与圆有关中阴影部分的面积
圆中阴影部分面积的计算
圆中阴影部分面积的计算
要计算圆的阴影部分的面积，首先需要了解一些基本的几何概念和公式。
下面将逐步介绍计算过程。
1.圆的面积公式：
2.圆的周长公式：
3.阴影部分的面积计算：
首先，我们假设有一个大圆，其半径为R。
然后，在大圆的中心位置画一个小圆，其半径为r。
阴影部分的面积就是大圆的面积减去小圆的面积。
那么，阴影部分的面积可以用以下公式表示：
Shadow Area = π * R^2 - π * r^2
为了计算具体的值，需要知道大圆和小圆的半径。
假设大圆的半径为10单位，小圆的半径为8单位。
那么，可以将这些值代入上述公式，得到阴影部分的面积：
Shadow Area = π * 10^2 - π * 8^2
=π*100-π*64
≈314.159-201.0624
≈113.0966
所以，在这个假设中，阴影部分的面积约为113.1单位。
如果想要通过给定的半径来计算阴影部分的面积，可以根据需要修改上述公式。
另外，如果阴影部分的形状不是简单的圆形，而是由多个形状组成的复杂曲线，那么计算面积的方法也会有所不同。
在那种情况下，可能需要使用数值积分等更高级的数学方法来计算。
圆-阴影部分面积(附答案)
求阴影部分面积例1.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×1=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。
设圆的半径为r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：最基本的方法之一。
用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。
例4.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-π()=16-4π=3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。
例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）π-π()=100.48平方厘米（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。
(单位:厘米) 解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求)正方形面积为：5×5÷2=12.5所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形) 例8.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为圆，所以阴影部分面积为：π()=3.14平方厘米例9.求阴影部分的面积。
五年级《圆》求阴影部分面积的十大方法
求与圆相关的阴影部分面积的十大方法（一）、相加法（分割法）：将不规则图形分割成成几个基础规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积。
例：下图只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后相加即可。
（二）、相减法：将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差。
例：下图只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。
（三）、直接求法：根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积。
例：下图阴影部分的面积，分析发现它是一个底为2，高为4的三角形，就可以直接求面积了。
（四）、重新组合法：将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可。
S 阴影=S 半圆+S 正方形S 阴影=S 正方形-S 圆S 阴影=S 三角形例：下图可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。
（五）、辅助线法：根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可。
例：下图虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法计算2个三角形面积之和更简便。
（六）、割补法：把原图形的一部分切割下来，补在图形中的另一部分，使之成为规则图形，从而使问题得到解决。
例：下图只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半。
（七）、平移法：将图形中某一部分切割下来，平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积。
S 阴影=S 正方形-S 圆S 阴影=S 正方形÷2S 阴影=S 三角形①+S 三角形②例：下图可先沿中间切开，把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
（八）、旋转法：将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度，贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积。
专题8 巧求圆中阴影部分的面积（含答案）
专题8 巧求圆中阴影部分的面积【知识解读】求与圆有关的阴影部分的面积，能考查同学们的观察能力、随机应变能力和综合运用数学知识的能力，解答此类问题要注意观察和分析图形的形成，学会分解和组合图形，消除思路中的“阴影”，明确要计算图形的面积，可以通过哪些图形的和或差得到，就能给解决问题带来一片光明，切勿盲目计算；下面介绍几种常用的解法．培优学案【典例示范】等积变换法：是在不改变图形面积的前提下，利用“等底、等高的两个三角形的面积相等”，将不规则图形转化为规则图形的面积来求解的方法．例1 如图1－8－1，点P 是半径为1的⊙O 外一点，OP ＝2，P A 切⊙O 于点A ，弦AB ∥OP ，连接PB ，则图中阴影部分的面积是．图181AB OP图182ABCDEMNO【跟踪训练】如图1－8－2，AB 是⊙O 的直径，MN 是⊙O 的切线，C 为切点，过点A 作AD ⊥MN 于点D ，交⊙O 于点E ．已知AB ＝6，BC ＝3，求图中阴影部分的面积．【解答】和差法：是指将阴影部分看作两个规则图形的和或差．例2 如图1－8－3，扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，扇形半径为4，点C 在BC 上，CD ⊥OA ，垂足为点D ，当CD ＝OD 时，图中阴影部分的面积为．图183BCD图184CEF【跟踪训练】如图1－8－4，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，点D 为AB 的中点，已知扇形EAD 和扇形FBD 的圆心分别为点A 、点B ，且AC ＝2，则图中阴影部分的面积为（结果不取近似值）．割补法：是在不改变图形面积的前提下，通过割补，将发散的图形面积集中在一起，把不规则的图形凑合成规则图形的方法．例3 如图1－8－5，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为cm 2．图185ABO图186A 'O 'O ABC【跟踪训练】如图1－8－6，将半圆O 绕直径AB 的端点B 逆时针旋转30°，得到半圆O ′，A ′B 交直径AB 于点C ，若BC ＝23，则图中阴影部分的面积为 ．【提示】连接O ′C ，A ′C ，将阴影部分的面积通过割补，转化为△BO ′C 的面积加上扇形O ′AC 的面积．特殊位置法：是在不改变题意的前提下，通过取特殊位置，将图形特殊化，以方便求解．例4 如图1－8－7，一个半径为r 的圆形纸片在边长为a （a ＞3r ）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“接触不到的部分”的面积是()A ．23r πB 233π- C ．()233r πD ．2r π【提示】解答本题的关键是搞清楚圆形纸片“不能接触到的部分”的面积，即圆形纸片与正三角形的相邻两边都相切时，两切点与正三角形的一个顶点形成的曲边三角形的面积．图187图188【跟踪训练】如图1－8－8，一张半径为1的圆形纸片在边长为a （a ≥3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（） A ．2a π-B ．()24a π-C ．πD ．4π-整体代换法：是指在解答过程中，可将某些不易求的且不发生变化的量看作整体处理． 例5 如图1－8－9，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝CB ＝4，分别以A ，B ，C 为圆心，以12AC 为半径画弧，三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是．图189CBA【提示】直接求阴影部分的面积是不可能的，根据题意结合图形，知阴影部分的面积等于直角三角形的面积减去三个扇形的面积，其中A ，B 两个扇形的面积无法直接求出，但若把它们看作一个“整体”，则问题易求．【跟踪训练】1.如图1-8-10，正方形的边长a ，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为 . 【提示】图中阴影部分的面积可以看作四个半圆的面积之和与正方形的面积之差.CBAOFEDCBA2.如图1-8-11，⊙A ，⊙B ，⊙C 两两不相交，且半径都是2cm ，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是 cm 2.【提示】图中3个扇形正好拼成一个圆心角为180°的大扇形。
与圆有关的计算——求阴影部分面积
㊀㊀㊀解题技巧与方法１２５㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０４与圆有关的计算与圆有关的计算㊀㊀㊀ 求阴影部分面积Һ王㊀玮㊀（十堰市东风第五中学，湖北㊀十堰㊀４４２０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ面积问题是初中数学中的常见题型，与圆有关的求阴影部分面积问题是这类问题中的一个难点，通常不规则的阴影图形的面积是由三角形㊁四边形㊁扇形㊁圆和弓形等基本图形组合而成的，学生在解决问题时需要观察图形特点，会分割或组合图形．ʌ关键词ɔ计算；阴影部分面积在近几年的中考试题中，求阴影部分的面积是一个热点．观察㊁分析图形可知，阴影部分通常是由三角形㊁四边形㊁扇形和圆等常见的几何图形组成的．学生在解决问题时首先要明确需要计算面积的阴影部分是由哪些图形分解或组合而成的，才能找到解题的途径．下面将求阴影部分面积的常见方法总结如下．类型一：直接公式法例１㊀如图１，矩形ＡＢＣＤ的边长ＡＢ＝１，ＢＣ＝２．把ＢＣ绕Ｂ逆时针旋转，使Ｃ恰好落在ＡＤ上的点Ｅ处，线段ＢＣ扫过部分为扇形ＢＣＥ，则扇形ＢＣＥ的面积是．图１ʌ分析ɔ根据矩形的性质得出ＡＤʊＢＣ，øＡ＝９０ʎ，易得øＥＢＣ＝øＡＥＢ＝３０ʎ，再根据扇形的面积公式求出即可．例２㊀如图２，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，øＡ＝９０ʎ，ＢＣ＝４．分别以点Ｂ㊁点Ｃ为圆心，线段ＢＣ长的一半为半径作圆弧，交ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ于点Ｄ，Ｅ，Ｆ，则图中阴影部分的面积为．ʌ分析ɔ阴影部分的面积Ｓ＝ＳәＡＢＣ－Ｓ扇形ＢＤＥ－Ｓ扇形ＣＥＦ．图２例３㊀如图３，在▱ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＢＣ的中点，以Ｅ为圆心，ＢＥ长为半径画弧交对角线ＡＣ于点Ｆ，若øＢＡＣ＝６０ʎ，øＡＢＣ＝１００ʎ，ＢＣ＝４，则扇形ＥＢＦ的面积为．图３ʌ分析ɔ先根据三角形内角和定理求出øＡＣＢ，再根据三角形外角的性质求出øＢＥＦ，最后根据扇形面积公式直接计算即可．例４㊀如图４，ＡＢ是☉Ｏ的直径，ＣＤ是弦，øＢＣＤ＝３０ʎ，ＯＡ＝２，则阴影部分的面积是．图４ʌ分析ɔ先根据圆周角定理得到øＢＯＤ＝６０ʎ，然后根据扇形的面积公式计算阴影部分的面积即可．类型二：直接和差法阴影部分面积可由扇形㊁三角形㊁特殊四边形的面积相加减得到．㊀图５例５㊀如图５，在扇形ＯＡＢ中，已知øＡＯＢ＝９０ʎ，ＯＡ＝２，过ＡＢ(的中点Ｃ作ＣＤʅＯＡ，ＣＥʅＯＢ，垂足分别为Ｄ，Ｅ，则图中阴影部分的面积为．ʌ分析ɔ先根据矩形的判定定理得到四边形ＣＤＯＥ是矩形，再连接ＯＣ，根据全等三角形的性质得到ＯＤ＝ＯＥ，得到矩形ＣＤＯＥ是正方形，最后根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论．图６例６㊀如图６，在菱形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，øＡＢＣ＝６０ʎ，ＡＢ＝２，分别以点Ａ㊁点Ｃ为圆心，以ＡＯ的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．ʌ分析ɔ先根据菱形的性质得到ＡＣʅＢＤ，øＡＢＯ＝１２øＡＢＣ＝３０ʎ，øＢＡＤ＝øＢＣＤ＝１２０ʎ，再根据直角三角形的性质求出ＡＣ，ＢＤ的长，最后根据扇形面积公式㊁菱形面积公式计算即可．图７例７㊀如图７，在边长为２３的正方形ＯＡＢＣ中，Ｄ为边ＢＣ上一点，且ＣＤ＝２，以Ｏ为圆心㊁ＯＤ为半径作圆弧，分别与ＯＡ，ＯＣ的延长线交于点Ｅ，Ｆ，则阴影部分的面积为．㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２６数学学习与研究㊀２０２３ ０４ʌ分析ɔ设ＡＢ交ＥＦ(于Ｍ，阴影部分的面积Ｓ＝Ｓ正方形ＯＡＢＣ－ＳәＯＡＭ－Ｓ扇形ＯＤＭ－ＳәＯＣＤ．例８㊀如图８，已知四边形ＡＢＣＤ和四边形ＢＥＦＭ均为正方形，以Ｂ为圆心㊁ＢＥ为半径作弧ＥＭ．若大正方形的边长为８，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）图８ʌ分析ɔ根据正方形的性质得出øＡＢＣ＝øＤＣＭ＝９０ʎ，ＢＥ＝ＢＭ＝８，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，设ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ＝ａ，则阴影部分的面积Ｓ＝Ｓ扇形ＢＭＥ＋Ｓ正方形ＡＢＣＤ＋ＳәＤＭＣ－ＳәＡＤＥ，代入求出即可．类型三：构造和差法阴影部分面积需要通过添加辅助线构造扇形㊁三角形或特殊四边形，然后相加减．图９例９㊀如图９，ＡＢ是☉Ｏ的直径，ＣＤ为☉Ｏ的弦，ＡＢʅＣＤ于点Ｅ，若ＣＤ＝６３，ＡＥ＝９，求阴影部分的面积．ʌ分析ɔ根据垂径定理得出ＣＥ＝ＤＥ＝１２ＣＤ＝３３，再利用勾股定理求得半径，根据锐角三角函数关系得出øＥＯＤ＝６０ʎ，进而结合扇形面积公式即可求出答案．例１０㊀如图１０，正方形ＡＢＣＤ内接于☉Ｏ，ＰＡ，ＰＤ分别与☉Ｏ相切于点Ａ和点Ｄ，ＰＤ的延长线与ＢＣ的延长线交于点Ｅ．已知ＡＢ＝２，则图中阴影部分的面积为．图１０ʌ分析ɔ如图１０所示，连接ＡＣ，ＯＤ，根据已知条件得到ＡＣ是☉Ｏ的直径，øＡＯＤ＝９０ʎ，根据切线的性质得到øＰＡＯ＝øＰＤＯ＝９０ʎ，易得әＣＤＥ是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得到ＰＥ＝３２，最后根据梯形和圆的面积公式即可求出阴影部分的面积．图１１例１１㊀如图１１，等边三角形ＡＢＣ的边长为２，以Ａ为圆心，１为半径作圆弧分别交ＡＢ，ＡＣ边于Ｄ，Ｅ，再以点Ｃ为圆心，ＣＤ长为半径作圆交ＢＣ边于Ｆ，连接Ｅ，Ｆ，那么图中阴影部分的面积为．ʌ分析ɔ如图１１，过Ａ作ＡＭʅＢＣ于Ｍ，ＥＮʅＢＣ于Ｎ，根据等边三角形的性质得到ＡＭ＝３２ＢＣ＝３２ˑ２＝３，求得ＥＮ＝１２ＡＭ＝３２，再根据三角形的面积和扇形的面积公式计算即可．例１２㊀如图１２，在ＲｔәＡＢＣ中，øＢＡＣ＝３０ʎ，以直角边ＡＢ为直径作半圆交ＡＣ于点Ｄ，以ＡＤ为边作等边三角形ＡＤＥ，延长ＥＤ交ＢＣ于点Ｆ，ＢＣ＝２３，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）图１２ʌ分析ɔ如图１２，根据题意结合等边三角形的性质分别得出ＡＢ，ＡＣ，ＡＤ，ＤＣ的长，进而利用Ｓ阴影＝ＳәＡＢＣ－ＳәＡＯＤ－Ｓ扇形ＯＤＢ－ＳәＤＣＦ求出答案．图１３例１３㊀如图１３，在菱形ＡＢＣＤ中，øＤ＝６０ʎ，ＡＢ＝２，以Ｂ为圆心㊁ＢＣ长为半径画ＡＣ(，点Ｐ为菱形内一点，连接ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ．当әＢＰＣ为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为．ʌ分析ɔ如图１３，连接ＡＣ，延长ＡＰ交ＢＣ于Ｅ，根据菱形的性质得出әＡＢＣ是等边三角形，进而通过三角形全等证得ＡＥʅＢＣ，从而求得ＡＥ，ＰＥ，则Ｓ阴影＝Ｓ扇形ＢＡＣ－ＳәＰＡＢ－ＳәＰＢＣ．例１４㊀如图１４，在әＡＢＣ中，Ｏ为ＢＣ边上的一点，以Ｏ为圆心的半圆分别与ＡＢ，ＡＣ相切于点Ｍ，Ｎ．已知øＢＡＣ＝１２０ʎ，ＡＢ＋ＡＣ＝１６，ＭＮ(的长为π，则图中阴影部分的面积为．图１４ʌ分析ɔ如图１４，连接ＯＭ，ＯＮ，根据半圆分别与ＡＢ，ＡＣ相切于点Ｍ，Ｎ，可得ＯＭʅＡＢ，ＯＮʅＡＣ，由øＢＡＣ＝１２０ʎ，可得øＭＯＮ＝６０ʎ，进而得出øＭＯＢ＋øＮＯＣ＝１２０ʎ，再根据ＭＮ(的长为π，可得ＯＭ＝ＯＮ＝ｒ＝３，连接ＯＡ，根据ＲｔәＡＯＮ中，øＡＯＮ＝３０ʎ，ＯＮ＝３，可得ＡＭ＝ＡＮ＝３，进而可求得图中阴影部分的面积．类型四：等积转化法利用等积转化法将阴影部分面积转化为求扇形㊁三角形㊁特殊四边形的面积或它们面积的和差．㊀㊀㊀解题技巧与方法１２７㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０４例１５㊀如图１５，将半径为２㊁圆心角为９０ʎ的扇形ＢＡＣ绕点Ａ逆时针旋转６０ʎ，点Ｂ，Ｃ的对应点分别为Ｄ，Ｅ，点Ｄ在ＡＣ(上，则阴影部分的面积为．图１５ʌ分析ɔ如图１５，连接ＢＤ，直接利用旋转的性质结合扇形面积求法及等边三角形的判定与性质得出Ｓ阴影＝Ｓ扇形ＢＡＣ－Ｓ弓形ＡＤ＝Ｓ扇形ＢＤＣ＋ＳәＡＤＢ，进而得出答案．例１６㊀如图１６，在әＡＢＣ中，ＣＡ＝ＣＢ，øＡＣＢ＝９０ʎ，ＡＢ＝２，点Ｄ为ＡＢ的中点，以点Ｄ为圆心作圆心角为９０ʎ的扇形ＤＥＦ，点Ｃ在弧ＥＦ上，则图中阴影部分的面积为．图１６ʌ分析ɔ如图１６，连接ＣＤ，证明әＤＣＨɸәＤＢＧ，则Ｓ四边形ＤＧＣＨ＝ＳәＢＤＣ，求得扇形ＦＤＥ的面积，则阴影部分的面积即可求得．例１７㊀如图１７，ＡＢ是半圆Ｏ的直径，线段ＤＣ是半圆Ｏ的弦，连接ＡＣ，ＯＤ，若ＯＤʅＡＣ于点Ｅ，øＣＡＢ＝３０ʎ，ＣＤ＝３，则阴影部分的面积为．图１７ʌ分析ɔ如图１７，连接ＯＣ，先证得әＣＯＤ是等边三角形，然后证得ＲｔәＡＯＥɸＲｔәＣＯＥ，即可得出Ｓ阴影＝Ｓ扇形ＯＣＤ．㊀图１８例１８㊀如图１８，在边长为４的正方形ＡＢＣＤ中，以ＡＢ为直径的半圆交对角线ＡＣ于点Ｅ，以Ｃ为圆心㊁ＢＣ长为半径画弧交ＡＣ于点Ｆ，则图中阴影部分的面积是．ʌ分析ɔ如图１８，连接ＢＥ，易证Ｓ弓形ＡＥ＝Ｓ弓形ＢＥ，ʑ图中阴影部分的面积＝Ｓ半圆－１２（Ｓ半圆－ＳәＡＢＥ）－（ＳәＡＢＣ－Ｓ扇形ＣＢＦ）．类型五：容斥原理法当阴影部分是由几个图形叠加形成时，求阴影部分面积需先找出叠加前的几个图形，然后厘清图形之间的重叠关系．计算方法：叠加前的几个图形面积之和－（多加部分面积＋空白部分面积）．例１９㊀如图１９，直径ＡＢ＝６的半圆，绕Ｂ点顺时针旋转３０ʎ，此时点Ａ到了点Ａᶄ处，则图中阴影部分的面积为．图１９ʌ分析ɔȵ半圆绕Ｂ点顺时针旋转３０ʎ，ʑＳ阴影＝Ｓ半圆＋Ｓ扇形ＢＡＡᶄ－Ｓ半圆＝Ｓ扇形ＢＡＡᶄ．例２０㊀如图２０，点Ｏ在坐标原点上，ＯＡ边在ｘ轴上，ＯＡ＝８，ＡＣ＝４，把әＯＡＣ绕点Ａ按顺时针方向转到әＯᶄＡＣᶄ的位置，使得点Ｏᶄ的坐标是（４，４３），则在这次旋转过程中线段ＯＣ扫过部分（阴影部分）的面积为．图２０ʌ分析ɔ如图２０，过Ｏᶄ作ＯᶄＭʅＯＡ于Ｍ，解直角三角形求出旋转角的度数，根据图形得出阴影部分的面积Ｓ＝Ｓ扇形ＡＯＯᶄ＋ＳәＯᶄＡＣᶄ－ＳәＯＡＣ－Ｓ扇形ＡＣＣᶄ＝Ｓ扇形ＡＯＯᶄ－Ｓ扇形ＡＣＣᶄ，分别求出即可．㊀图２１例２１㊀如图２１，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝４，以Ａ为圆心㊁ＡＤ长为半径画弧交ＡＢ于点Ｅ，以Ｃ为圆心㊁ＣＤ长为半径画弧交ＣＢ的延长线于点Ｆ，求图中阴影部分的面积．ʌ分析ɔ图中阴影部分的面积＝Ｓ扇形ＣＦＤ－（Ｓ矩形ＡＢＣＤ－Ｓ扇形ＡＤＥ）．㊀图２２例２２㊀如图２２，在扇形ＯＡＢ中，øＡＯＢ＝１２０ʎ，连接ＡＢ，以ＯＡ为直径作半圆Ｃ交ＡＢ于点Ｄ，若ＯＡ＝４，则图中阴影部分的面积为．ʌ分析ɔ如图２２，连接ＯＤ，ＣＤ，根据圆周角定理得到ＯＤʅＡＢ，根据等腰三角形的性质得到ＡＤ＝ＤＢ，øＯＡＤ＝３０ʎ，再根据扇形面积公式㊁三角形的面积公式计算即可．阴影部分的面积Ｓ＝Ｓ扇形ＯＡＢ－ＳәＡＯＢ－（Ｓ扇形ＣＡＤ－ＳәＡＣＤ）．ʌ参考文献ɔ［１］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（２０２２年版）［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０２２．［２］章士藻．中学数学教育学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７．［３］曹一鸣，冯启磊，陈鹏举，等．基于学生核心素养的数学学科能力研究［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０１７．。
圆面积有关的阴影部分面积计算
圆面积有关的阴影部分面积计算以圆面积有关的阴影部分面积计算为标题的文章应该涵盖以下内容：一、引言圆是数学中的基本几何图形之一，其面积是数学中的重要概念之一。
在实际生活中，我们经常遇到需要计算圆面积的问题，尤其是涉及到圆的阴影部分时。
本文将围绕圆面积与阴影部分面积的计算展开讨论。
二、圆的面积计算公式圆的面积计算公式是数学中的基本知识之一，可通过半径或直径来计算。
圆的面积公式为：S = πr²，其中S表示圆的面积，π是一个常数，约等于3.14，r是圆的半径。
三、阴影部分面积的计算方法1. 圆的阴影部分面积计算当一个圆在光线照射下，其一部分被遮挡形成阴影时，我们需要计算阴影部分的面积。
如果阴影的形状是一个扇形，我们可以使用扇形面积公式来计算。
扇形面积公式为：S = 0.5θr²，其中θ表示扇形的圆心角（以弧度为单位），r表示圆的半径。
2. 圆与其他几何图形的阴影部分面积计算当一个圆与其他几何图形相交时，我们需要计算出圆与其他图形的交集部分的面积。
例如，当一个圆与一个矩形相交时，我们可以将矩形分为两个部分，一个是圆内部的部分，另一个是圆外部的部分。
然后，我们可以计算出这两个部分的面积，并将两个面积相减得到阴影部分的面积。
四、实际应用举例1. 圆形窗户的阴影面积计算假设有一个房间中的圆形窗户，光线从窗户外照射进来，我们想知道窗户内部的阴影面积。
我们可以使用扇形面积公式来计算窗户内部的阴影面积，其中圆心角可以由窗户的位置和光线的方向来确定。
2. 圆形花坛的阴影面积计算想象一个圆形花坛，阳光从上方斜射下来，我们想知道花坛内部的阴影面积。
我们可以将花坛分为两部分，一部分是阳光直接照射的部分，另一部分是被花坛挡住的阴影部分。
通过计算这两个部分的面积，我们可以得到花坛内部的阴影面积。
五、结论本文通过介绍圆的面积计算公式和阴影部分面积的计算方法，以及实际应用举例，帮助读者理解了圆面积与阴影部分面积的计算原理。
和圆联系的阴影部分面积求法举例
和圆联系的阴影部分面积求法举例 求阴影部分面积解：这是最基本的方法： 圆面积减去等腰直角三角形的面积， ×-2×1=1.14（平方厘米）解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去 圆的面积。
设圆的半径为 r ，因为正方形的面积为7平方厘米，所以 =7，所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。
(单位：厘米)解：最基本的方法之一。
用四个 圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积， 所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。
例4.求阴影部分的面积。
(单位：厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积， 16-π()=16-4π=3.44平方厘米 例5.求阴影部分的面积。
(单位：厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为"叶形"，是用两个圆减去一个正方形， π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米 另外：此题还能够看成是1题中阴影部分的8倍。
例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分） π-π()=100.48平方厘米（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。
(单位：例8.求阴影部分的面积。
(单厘米)解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求)正方形面积为：5×5÷2=12.5所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米(注：以上几个题都能够直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形) 位：厘米)解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为圆，所以阴影部分面积为：π()=3.14平方厘米例9.求阴影部分的面积。
(单位：厘米)解：把右面的正方形平移至左边的正方形部分，则阴影部分合成一个长方形，所以阴影部分面积为：2×3=6平方厘米例10.求阴影部分的面积。
圆 阴影部分面积(含答案)
圆阴影部分面积(含答案)求一个图形的阴影部分面积是一个基本的几何问题。
下面给出一些例子：例1：求一个圆形和一个等腰直角三角形组成的阴影部分的面积。
首先计算圆的面积，假设半径为r，则圆面积为πr²。
然后计算三角形的面积，假设直角边长为a，则三角形面积为a²/2.最终阴影部分的面积为πr²-a²/2.例2：求一个正方形中的阴影部分面积。
假设正方形面积为7平方厘米，则阴影部分可以用正方形的面积减去圆的面积来计算。
如果圆的半径为r，则圆的面积为πr²，阴影部分面积为7-πr²。
例3：求一个由四个圆和一个正方形组成的阴影部分的面积。
首先将四个圆组成一个大圆，然后用正方形的面积减去这个大圆的面积。
假设正方形边长为2，则大圆的半径为1，面积为π，阴影部分面积为2²-π=0.86平方厘米。
例4：求一个正方形中的阴影部分面积。
同样可以用正方形的面积减去圆的面积来计算。
假设正方形面积为16平方厘米，则阴影部分面积为16-πr²=3.44平方厘米。
例5：求一个由两个圆和一个正方形组成的阴影部分的面积。
将阴影部分分成两个“叶形”，每个“叶形”由两个圆和一个正方形组成。
假设圆的半径为r，则每个“叶形”的面积为2πr²-4，阴影部分的面积为2(2πr²-4)=4πr²-8.例6：已知一个小圆的半径为2厘米，大圆的半径是小圆的3倍，求空白部分甲比乙的面积多多少厘米？两个空白部分面积之差就是两圆面积之差。
假设小圆的半径为2，则小圆面积为4π，大圆面积为36π，空白部分的面积为32π-4π=28π=100.48平方厘米。
例7：求一个正方形中的阴影部分面积。
首先计算正方形的面积，假设对角线长为5，则正方形面积为25/2.然后计算圆的面积，假设圆的半径为r，则圆的面积为πr²，阴影部分的面积为πr²/4-25/2=7.125平方厘米。
与圆有关的计算求阴影部分面积-2024年中考数学答题技巧与模板构建(解析版)
与圆有关的计算求阴影部分面积 题型解读｜模型构建｜通关试练模型01 阴影部分面积计算求阴影部分面积在考试中主要考查学生对图形的理解和数形结合的认识能力具有一定的难度.一般考试中选择题或填空题型较多，熟练掌握扇形面积、弧长的计算、等边三角形的判定和性质，特殊平行四边形性质是解题的关键． 模型02 阴影部分周长计算求阴影部分弧长或周长的计算，掌握弧长计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计算的关键．该题型一般考试中选择题或填空题型较多，圆心角是n °，圆的半径为R 的扇形面积为S ，则S 扇形=n 360πR 2或S 扇形=12lR （其中l 为扇形的弧长）．熟练应用公式是解题的关键. 模型03 与最值相关的计算阴影部分面积和周长中求最值，此题有一定的难度，解题中注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．本题考查中经常与轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识点相结合，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题.求阴影部分面积方法总结 方法一 直接利用公式法求阴影部分面积方法二 直接或构造和差法求阴影部分面积 方法三 利用等积转换法求阴影部分面积方法四 利用容斥原理求阴影部分面积模型01 阴影部分面积计算 考｜向｜预｜测阴影部分面积计算问题该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主.解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为规则图形的面积进行求解，属于中考选择或填空题中的压轴题.答｜题｜技｜巧 第一步： 确定弧所对的圆心，（找圆心）第二步： 连接圆心与弧上的点；（连半径） 第三步： 确定圆心角度数（有提示角度的话注意求解相应角，没有提示角度的话一般为特殊角，大胆假设小心论证）第四步： 把不规则图形面积转化为规则图形面积进行求解例1．（2023·四川）一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD 中，6cm AB =，4cm BC =，以点A 为圆心，AD 为半径作圆与BA 的延长线相交于点F ，则阴影部分的面积是（ ）A ．2(4π4)cm +B ．2(4π8)cm +C ．2(8π4)cm +D ．2(4π16)cm −【答案】A 【详解】解：由题意知4cm AF AD BC ===，10cm BF AF AB =+=，阴影部分的面积211π42S AB BC AD BF BC =⋅+−⋅ 21164π410442=⨯+⨯−⨯⨯244π20=+−4π4=+，故选A ．例2．（2023·湖北）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，3,6,AB AC O ==是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆分别与,AB AC 边相切于,D E 两点，则图中两个阴影部分面积的和为 ．【答案】5π−/5π−+【详解】解：如图，连接OD ，OE ，以O 为圆心的半圆分别与,AB AC 边相切于,D E 两点，∴OD AB ⊥，OE AC ⊥，90A ∠=︒，∴四边形ADOE 是矩形， 又OD OE =，∴四边形ADOE 是正方形，∴AD DO OE AD ===，90DOE ∠=︒，90A OEC ∠=∠=︒，A C B E C O ∠=∠，∴ACB ECO ∠∽， ∴AC AB EC EO =，设AD DO OE AD r ====，则6EC AC AE r =−=−， ∴636r r =−，解得2r =，∴2AD DO OE AD ====， 90DOE ∠=︒，∴DOB 和EOC △所包含扇形的面积之和为：22180901ππ2π3604r ︒−︒⨯=⨯=︒，∴图中两个阴影部分面积的和为：21π362π5π2ABC ADOE S S −−=⨯⨯−−=−正方形，故答案为：5π−．模型02 阴影部分周长计算考｜向｜预｜测阴影部分弧长或周长计算该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查求与弧结合的不规则图形的周长，准确应用弧长公式是解题的关键.但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求规则图形的长度问题.答｜题｜技｜巧第一步： 观察图形特点，确定弧长和线段长；第二步： 利用弧长公式求长度；第三步： 求图形中其它边的长度；例1．（2023·河北）如图，正方形ABCD 的边长为2，分别以B ，C 为圆心，以正方形的边长为半径的圆相较于点P ，那么图中阴影部分①的周长为 ，阴影部分①②的总面积为 ．【答案】 2π+ 2233π【详解】解：连接PB 、PC ，作PF BC ⊥于F ，2PB PC BC ===，PBC ∴△为等边三角形，60PBC PCB ∴∠=∠=︒，30PBA ∠=︒，∴sin602PF PB =⋅︒=∴阴影部分①的周长AP BP l l AB =++ 3026022180180ππ⨯⨯=++2π=+阴影部分①②的总面积()2BPC ABP BPC S S S ⎡⎤=−−⨯⎣⎦扇形扇形223026021223603602ππ⎡⎤⎛⨯⨯=−−⨯⨯⎢⎥ ⎝⎣⎦ 23π=，，故答案为：2π+；23π．例2．（2023·浙江）如图，正方形ABCD 中，分别以B ，D 为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为 ．【答案】a π 【详解】解：四边形ABCD 是正方形，边长为a ，AB CB AD CD a ∴====，90B D ∠=∠=︒，∴树叶形图案的周长902180a a ππ⋅=⨯=．故答案为：a π． 模型03 与最值相关的计算 考｜向｜预｜测圆的弧长与面积和最值相关的计算主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握.该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题，进而解决求阴影部分的最值问题. 答｜题｜技｜巧 第一步： 观察图形特点，确定变量和不变的量（一般情况下弧长固定，线段长变化）第二步： 利用将军饮马或者“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”等知识点进行转化 第三步： 牢记弧长公式，求对弧长和线段长；第四步： 利用数形结合思想注意确定最值；例1．（2023·江苏）如图，点C 为14圆O 上一个动点，连接AC ，BC ，若1OA =，则阴影部分面积的最小值为（ ）A ．3144πB ．142π−C ．24πD ．184π− 【答案】C【详解】解：连接AB ，OC '，AC '，BC '，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC 的面积最大，只需满足ABC 的面积最大即可， 从而可得当点C 位于弧AB 的中点C '时，ABC 的面积最大，连接OC '，则OC AB '⊥于D ，12OD AB ∴===，1DC OC OD ''∴=−=，1111122AOB ABC AOBC S S S ''⎛∴=+=⨯⨯+⎝⎭四边形， 扇形AOB 的面积29013604ππ⨯==， ∴阴影部分面积的最小值42π=−，故选：C ． 例2．（2022·浙江）如图，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，P 的坐标为（2，2），弦AB 经过点P，则图中阴影部分面积的最小值为（）A ．8πB ．323πC ．8π﹣16D ．323π−【答案】D【详解】解：由题意当OP ⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，∵P （2，2），∴，∵OA'=OB'=∴=，∴tan ∠A'OP=tan ∠，∴∠A'OP=∠B'OP=60°，∴∠A'OB'=120°，∴S 阴=S 扇形OA'B'-S △A'OB''=()212042132462236023ππ−=− ，故答案为：D ． 例3．（2023·吉林）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =，以AB 直径作圆，P 为BC 边的垂直平分线DE上一个动点，则图中阴影部分周长的最小值为．【答案】483π+【详解】解：如图，连接CE ，连接BP∵P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，∴点C 和点B 关于直线DE 对称，∴CP BP =,∴AP CP AP BP +=+∴当动点P 与点E 重合时AP BP +最小，此时AP CP +最小，∵90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =，∴28AB AC ==，4AE =,∴CP AP AC ==，∴ACP △是等边三角形，∴60APC ∠=︒，∵8AP CP AP BP AB +=+==， ∴阴影部分的周长最小值为6044881803ππ︒⨯⨯+=+︒. 故答案为483π+.1．（2023·江苏）如图，在Rt ABC △中，9034A AB AC ∠=︒==,,，以O 为圆心的半圆分别与AB AC 、边相切于D E 、两点，且O 点在BC 边上，则图中阴影部分面积S =阴（ ）A ．12B ．π3C ．35π4−D ．15036π4949− 【答案】D 【详解】解：连接,OD OE ，设O 与BC 交于M 、N 两点，∵AB AC 、分别切O 于D 、E 两点，∴90ADO AEO ∠=∠=︒，又∵90A ∠=︒，∴四边形ADOE 是矩形，∵OD OE =，∴四边形ADOE 是正方形，∴90DOE ∠=︒，∴90DOM EON ∠+∠=︒，设OE x =，则AE AD OD x ===，4EC AC AE x =−=−． ∵,90C C CEO A ∠=∠∠=∠=︒，∴COE CBA ∽， ∴CE OE CA AB = ， ∴443x x −= ， 解得127x = ，∴()ABC ADOE DOM EON S S S S S =−−+阴影正方形扇形扇形 22129011273427360π⎛⎫⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯⨯−− ⎪⎝⎭ 150364949π=−．故选D ．2．（2022·湖北）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6AB =，AD 是BAC ∠的平分线，经过A ，D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，O 分别与AB 、AC 相交于点E 、F ．若圆半径为2．则阴影部分面积（ ）．A ．13πB ．43πC ．23π D3− 【答案】C【详解】解：连接OD ，OF ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB ＝∠DAC ，∵OD ＝OA ，∴∠ODA ＝∠OAD ，∴∠ODA ＝∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB ＝∠C ＝90°，∴S △AFD ＝S △OFA ，∴S 阴＝S 扇形OFA ，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴S阴＝S扇形OFA＝2 6022= 3603 p p.故选：C．3．（2023·安徽）如图是某芯片公司的图标示意图，其设计灵感源于传统照相机快门的机械结构，圆O中的阴影部分是一个正六边形，其中心与圆心O重合，且AB BC=，则阴影部分面积与圆的面积之比为（）A B C D【答案】B【详解】解：如图所示，连接OA，OB，OC设正六边形的边长为1，则1OA =，60AOB ∠=︒，OA OB =∴AOB 为等边三角形，则60BOA OBA ∠=∠=︒，1OA OB AB ===，2AC =，∴BCO BOC ∠=∠，又∵ABO BCO BOC ∠=∠+∠，∴30BCO BOC ∠=∠=︒，则=90AOC ∠︒，∴OC所以圆的面积为3π，正六边形的面积为1166sin 6061122AOB S AB OA =⨯⋅⋅︒=⨯⨯⨯△，则阴影部分面积与圆的面积之比为23π=， 故选：B ．4．（2022·广西）如图所示，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，4为半径的圆，点P），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值等于（ ）A ．2π﹣4B ．4π﹣8 CD【答案】D 【详解】由题意当OP ⊥AB 时，阴影部分的面积最小，∵P），∴OP=2，∵OA=OB=4，∴∴tan ∠AOP=tan ∠∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠AOB=120°，∴S 阴=S 扇形OAB ﹣S △AOB=2120·41-23602π⨯= ，故选D ．5．（2023·山东）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于AB 、两点，分别以AB 、两点为圆心，画与x 轴相切的两个圆，若点A 的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是（ ）A ．12πB ．14πC ．πD ．4π【答案】C【详解】解：∵点A 的坐标为（2，1），且⊙A 与x 轴相切，∴⊙A 的半径为1，∵点A 和点B 是正比例函数与反比例函数的图象的交点，∴点B 的坐标为（-2，-1），同理得到⊙B 的半径为1，∴⊙A 与⊙B 关于原点中心对称，∴⊙A 的阴影部分与⊙B 空白的部分完全重合，∴⊙A 的阴影部分与⊙B 空白的部分的面积相等，∴图中两个阴影部分面积的和=π•12=π．故选C ．6．（2023·山西）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，点O 在AB 上，以O 为圆心作圆与BC 相切于点D ，与AB 、AC 相交于点E 、F ；连接AD 、FD ，若O 的半径为2．则阴影部分面积为（ ）A ．13πB ．43πC ．23πD ．23π【答案】C【详解】解：连接OD ，OF ．∵O 与BC 相切，∴90ODB ∠=︒.∵90C ∠=︒，∴ODB C ∠=∠，∴OD AC ∥，∴.AFD OFA S S =，∴OFA S S =阴影扇形，∵30B ∠=︒，∴60BAC ∠=︒，∵OF OA =，∴AOF 是等边三角形，∴60AOF ∠=︒， ∴260223603OFA S S ππ⋅⋅===阴影扇形．故选C ．7．（2023·黑龙江）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，分别以点A ，B 为圆心，AC ，BC 的长为半径作圆，分别交AB 于点DE ，则弧CD 弧CE 和线段DE 围成的封闭图形（图阴影部分）的面积 （结果保留π）【答案】4π8−【详解】解：∵904ACB AC BC ∠=︒==，， ∴14482ABC S =⨯⨯=△，4542CAD S ππ⨯==扇形，()282164S ππ=⨯−=−空白， ∴()816448ABC S S S ππ=−=−−=−阴影空白，故答案为：48π−．8．（2022·河南）在矩形ABCD 中，4,AB AD ==，以BC 为直径作半圆（如图1），点P 为边CD 上一点．将矩形沿BP 折叠，使得点C 的对应点E 恰好落在边AD 上（如图2），则阴影部分周长是 ．4+/4【详解】解：设阴影部分所在的圆心为O ，如图，连接OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠A=90°，由折叠得，BE BC ==∵4,AB =∴4AE ==∴,AB AE = ∴1(18090)452ABE AEB ∠=∠=︒−︒=︒∴90904545,OBE ABE ∠=︒−∠=︒−︒=︒∵OB OF =∴45OBF OFB ∠=∠=︒∴180454590BOF ∠=︒−︒−︒=︒∴BF 的长==，4BF ==，∴ 阴影部分周长4+4+．9．（2022·内蒙古）如图，在Rt AOB 中，90AOB ∠=︒，以O 为圆心，OB 的长为半径的圆交边AB 于点D ，点C 在边OA 上且CD AC =，延长CD 交OB 的延长线于点E ．(1)求证：CD 是圆的切线；(2)已知4sin 5OCD ∠=，AB =AC 长度及阴影部分面积． 【答案】(1)证明见详解；(2)AC=3，阴影部分面积为50-43π．【详解】（1）证明：连接OD∵OD=OB∴∠OBD=∠ODB∵AC=CD∴∠A=∠ADC∵∠ADC=∠BDE∴∠A=∠EDB∵∠AOB=90°∴∠A+∠ABO=90°∴∠ODB+∠BDE=90°即OD ⊥CE ，又D 在o 上∴CD 是圆的切线；（2）解：由（1）可知，∠ODC=90°在Rt △OCD 中，4sin 5OD OCD OC ∠==∴设OD=OB=4x ，则OC=5x ，∴3CD x∴AC=3x∴OA=OC+AC=8x在Rt △OAB 中：222OB OA AB +=即：()()(22248x x += 解得1x =，（-1舍去）∴AC=3，OC=5，OB=OD=4在Rt △OCE 中，4sin 5OE OCD ∠==∴设OE=4y ，则CE=5y ，∵222OE OC CE +=()()222455y y += 解得53y =，（53−舍去） ∴2043OE y ==219012050-5-4-42360233OB S OE OC πππ⋅=⋅=⨯⨯=阴影 ∴阴影部分面积为50-43π．1．如图，在以点O 为圆心的半圆中，AB 为直径，且AB=4，将该半圆折叠，使点A 和点B 落在点O 处，折痕分别为EC 和FD ，则图中阴影部分面积为（ ）A ．3πB ．23πC ．3πD ．23π 【答案】D 【详解】∵AB 是直径，且AB=4，∴OA=OE=2，∵使点A 和点B 落在点O 处，折痕分别为EC 和FD ，∴AC=OC=OD=DB=1，∴CD=2，∴△EOF 是等边三角形，∴∠EOF=60°，S 半圆=21222=ππ⨯，S 长方形CDFE=2∴S 阴=S 长方形CDFE -(S 半圆-S 长方形CDFE)+2（S 扇形OEF -S △EOF ）=212232+（-ππ⨯=23π 故选D.2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 是AB 中点，在AD 上取一点G ，以点G 为圆心，GD 的长为半径作圆，该圆与BC 边相切于点F ，连接DE ，EF ，则图中阴影部分面积为（ ）A．3πB．4πC．2π+6D．5π+2【答案】B【详解】如图，连接GF，∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC＝6，∠ADC＝∠C＝90°＝∠A＝∠B，AB＝CD＝4∵点E是AB中点∴AE＝BE＝2∵BC与圆相切∴GF⊥BC，且∠ADC＝∠C＝90°∴四边形GFCD是矩形，又∵GD＝DF∴四边形GFCD是正方形∴GD＝GF＝CD＝CF＝4∴BF＝BC﹣FC＝2∵S阴影＝（S四边形ABFD﹣S△AED﹣S△BEF）+（S扇形GDF﹣S△GDF）∴S阴影＝（(26)4116222222+⨯−⨯⨯−⨯⨯）+（4π﹣1442⨯⨯）＝4π.故选B．3．如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画AB，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，求阴影部分面积( )A ．4π−B ．6πC ．42π−−D ．43π−−【答案】C【详解】过E 点作EM ⊥BC 于M 点，作EN ⊥AB 于N 点，如图，∵BE ⊥CE ，∴∠BEC=90°，∵∠BCE=30°，∴∠EBC=60°，∵EM ⊥BC ，∴在Rt △EMC 中，∴tan ∠ECM=EM MC =tan30°=，∴，∴∴在Rt △EBM 中，∴tan ∠EBM=EMBM∴BM=，∵BM+MC=BC=4，∴=4，∴EM =∴BM=1==，∵NE ⊥AB ，EM ⊥BC ，且∠ABC=90°，∴四边形BMEN 是矩形，∴NE=BM=1，∵AB=BC=4，∠ABC=90°，∴1141222ABE S AB NE =⨯⨯=⨯⨯=△，11422BEC S BC EM =⨯⨯=⨯=△22901443604ABCS AB πππ=⨯⨯=⨯⨯=扇形o o∴42ABE BEC ABC S S S S π=−−=−−△△阴影扇形故选：C ．4．如图，正三角形ABC 的边长为4cm ，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，2cm 为半径作圆．则图中阴影部分面积为（ ）A ．（π）cm 2B ．（πcm 2C ．（2π）cm 2D ．（2π-cm 2【答案】C【详解】连接AD ，∵△ABC 是正三角形，∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，∵BD=CD ，∴AD ⊥BC ，∴=∴S 阴影=S △ABC -3S 扇形AEF=1226023360π⨯⨯2π)cm2，故选C ．5．如图，在Rt AOB △中，90AOB ∠=︒，2OA =，1OB =，将Rt AOB △绕点O 顺时针旋转90︒后得Rt FOE △，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90︒后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是（ ）A ．πB ．5π+C ．524π−D ．724π− 【答案】C 【详解】解：作DH AE ⊥于H ，∵90AOB ∠=︒，2OA =，1OB =，∴AB 由旋转，得EOF BOA ≌，∴OAB EFO ∠=∠，∵90FEO EFO FEO HED ∠+∠=∠+∠=︒，∴EFO HED ∠=∠，∴HED OAB ∠=∠，∵90DHE AOB ∠=∠=︒，DE AB =，∴()AAS DHE BOA ≌，∴1DH OB ==，阴影部分面积ADE =V 的面积EOF +V 的面积+扇形AOF 的面积−扇形DEF 的面积211902905311222360360ππ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+−5124π=−故选：C ．6．如图，在半径为2、圆心角为90︒的扇形OAB 中，2BC AC =，点D 从点O 出发，沿O A →的方向运动到点A 停止．在点D 运动的过程中，线段BD ，CD 与BC 所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为（ ）A ．23πB ．213π−C ．3πD ．132π− 【答案】B【详解】当点D 在线段OA 上时，易得当点D 与点A 重合时，阴影部分面积最小，连接OC 、BC ，过点C 作CH OA ⊥于点H ，如图，190303AOC ︒︒∠=⨯=，112CH OC ∴==， ∵290603BOC ︒︒=⨯=∠， ∴260223603BOC S =⨯⨯=扇形ππ．∴ 2112212213223BOC AOC AOB S S S S ππ=+−=+⨯⨯−⨯⨯=−△△阴扇形；∴线段BD 、CD 与BC 所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为213π−．故答案为B ．7．如图，矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，F 是AB 中点，以点A 为圆心，AD 为半径作弧交AB 于点E ，以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分面积的差12S S −为（ ）A ．13124π−B ．9124π−C ．1364π+D ．6【答案】A 【详解】解：∵在矩形ABCD 4,3AB BC ==，F 是AB 中点，∴2BF BG ==，∴12ABCD ADE BGF S S S S S −+=−矩形扇形扇形， ∴22129039021343123603604S S πππ⋅⨯⋅⨯−=⨯−−=−， 故选A ．8．如图，在半径为4的扇形OAB 中，90AOB ∠=︒，点C 是AB 上一动点，点D 是OC 的中点，连结AD 并延长交OB 于点E ，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）A ．44π−B ．4πC ．24π−D ．2π【答案】B 【详解】∵点D 是OC 的中点，2OD =，∴点D 在以O 为圆心2为半径的圆弧上，∴可知当AE 与小圆O 相切于D 时，OE 最大，即△AOE 的面积最大，此时阴影部分的面积取得最小值， ∵24OA OD ==， ∴1sin =2OD OAE OA =∠,则30OAE ∠=︒，∵∠AOB=90°，∴tan OE OA OAE =⋅∠=，∴4OAE OAB S S S π=−=阴影扇形， 故选B ．9．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AB =，AD 是BAC ∠的平分线，经过A ，D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，O 分别与AB 、AC 相交于点E 、.F 若圆半径为2.则阴影部分面积= ．【答案】23π/23π【详解】解：连接OD ，OF ．AD 是BAC ∠的平分线，DAB DAC ∴∠=∠，OD OA =，ODA OAD ∴∠=∠，ODA DAC ∴∠=∠，OD ∴∥AC ，90ODB C ∴∠=∠=︒，∴AFD OFA S S =，∴OFA S S =阴扇形，2OD OA ==，6AB =，4OB ∴=，2OB OD ∴=，30B ∴∠=︒，60A ∴∠=︒，OF OA =，AOF ∴是等边三角形，60AOF ∴∠=︒，260π22π3603OFA S S ⋅∴===阴影部分扇形，故答案为：2π3．10．如图，在Rt ABC 中，30A ∠=︒，BC =点O 为AC 上一点，以O 为圆心，OC 长为半径的圆与AB 相切于点D ，交AC 于另一点E ，点F 为优弧DCE 上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为 ．【答案】223π+ 【详解】解：连接DE ，OD ，∵Rt ABC 中，30A ∠=︒，BC =∴6tan 30BC AC ===︒，∵AB 为O 的切线，∴90ADO ∠=︒，∴2AO OD =，60AOD ∠=︒，∵OD OE OC ==，∴36AC AO OC OD =+==，△ODE 为等边三角形，∴2DE OE OD OC ====，∵S 阴影=S 弓形DGE+S △DEF∴当OF ⊥DE 时，阴影部分面积最大，此时OF 与DE 交于G ，∴∠DOG=∠EOG=30°，∠DGO=90°，∴cos302OG OD =⋅︒==，2GF OG OF =+=，∴S 阴影= S 扇形ODE - S △DEO +S △DEF=260211222(22360223ππ⨯⨯−⨯⨯⨯=+．11．如图，点C 为14圆O 上一个动点，连接AC ，BC ，若OA ＝1，则阴影部分面积的最小值为 ．【答案】42π−【详解】取弧AB 的中点C′，连接AB 、OC '、AC '、BC '，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC 的面积最大，只需满足△ABC 的面积最大即可，从而可得当点C 位于弧AB 的中点C '时，△ABC 的面积最大，则OC AB '⊥于D1222OD AB ∴===12DC OC OD ''∴=−=−1111(122AOB ABC AOBC S S S D D ''∴=+=⨯⨯+=四边形扇形AOB 的面积29013604ππ⨯== ∴阴影部分面积的最小值为4π=故答案为：4π．12．如图所示，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，4为半径的圆，点P），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值= ．【答案】【详解】解：由题意当OP ⊥AB 时，阴影部分的面积最小．∵P，∴OP=2．∵OA'=OB'=4，∴∴tan ∠A'OP=tan ∠∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠A'OB'=120°，∴S 阴=S 扇形OA'B'-S △A'OB'=2120π4360⋅⋅﹣122⋅．故答案为：．13．如图，扇形OAB 中，OA R =，60AOB ∠=︒，C 为弧AB 的中点，点D 为OB 上一动点，连接AD DC 、，当阴影部分周长最小时，tan ADC ∠等于 ．【答案】【详解】解：如图，作点C 关于OB 的对称点E ，连接AE 交OB 于点F ，连接FA 、OC ， 由对称可知，DC DE =，FC FE =，∵AD CD AD DE AE AF EF +=+≥=+，当点D 移动到点F 时，取等号，此时AD CD +最小， ∵C 为弧AB 的中点，∴AC BC =，则30AOC COB BOE ∠=∠=∠=︒，90AOE ∴∠=︒， 又OA OE =，∴45OEF ∠=︒，∴304575EFB BOE OEA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，由轴对称可知，75CFB EFB ∠=∠=︒，∴30AFC ∠=︒，∴当阴影部分周长最小时，30ADC AFC ∠=∠=︒，则tan ADC ∠= ．故答案为：．14．如图，扇形AOB 中，120AOB ∠=︒，M 切弧AB 于点C ，切OA ，OB 分别于点D ，E ，若1OA =，则阴影部分面积的周长为 ．【答案】13π16−+【详解】∵⊙M 内切于扇形AOB ，∴C 、M 、O 三点共线，连接C 、M 、O ，连接ME 、MD ，如图所示，根据相切的性质可知DM ⊥AO ，ME ⊥OB ，设⊙M 的半径为R ，∴ME=MD=MC=R ，∠MDO=∠MEO=90°，结合MO=MO ，可得t t R MDO R MEO ≅△△，∴∠MOD=∠MOE=12∠AOB=120°×12=60°，∴在Rt △MOE 中，∠OME=90°-∠MOE=30°，∴OE=ME=R ，OM=2OE=R ，又∵OA=OC=OB=1，∴OM+MC=1，即R+R=1，解得R=3，∴OE=2BE=OB -1，∵∠MOE=60°，∴»60123603BC OA ππ=⨯⨯=o o ，∵∠OME=30°，∴∠CME=180°-∠OME=180°-30°=150°，15015015223603606EC ME R πππ=⨯⨯=⨯⨯=−，则阴影部分的周长为：BE+BC +EC 1+13π+156π−=1316π−，故答案为：1316π−．15．如图，在AOB 中，2OA =，3OB =，32AB =．将AOB 绕点O 逆时针旋转45︒后得到COD △，则图中阴影部分（边AB 扫过的图形）的周长为 ．【答案】534π+ 【详解】解：∵32CD AB ==，AC 的长为4521801802n OA πππ⋅⨯==，BD 的长为45331801804n OB πππ⋅⨯==，∴阴影部分的周长为533534224AC BD AB CD ππ+++=++=+． 故答案为534π+． 16．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于点D ．(1)若25B ∠=︒，求AD 的度数；(2)若D 是AB 的中点，且4AB =，求阴影部分（弓形）的面积．【答案】(1)50°(2)23π【详解】（1）解：连接CD ，如图，90ACB ∠=︒，25B ∠=︒，902565BAC ∴∠=︒−︒=︒，CA CD =，65CDA CAD ∴∠=∠=︒，180656550ACD ∴∠=︒−︒−︒=︒，∴AD 的度数为50︒；（2）解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，D 是AB 的中点，90ACB ∠=︒，122CD AD BD AB ∴====，CD CA =， ACD ∴为等边三角形，60ADC ∴∠=︒，sin 60CH CD =⋅︒=∴阴影部分的面积260212236023ACD ACD S S ππ⋅⋅=−=−⨯=扇形17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC , 以AB 为直径作圆O ，分别交AC , BC 于点D 、E ．(1)求证：BE ＝CE ;(2)当∠BAC ＝40°时，求∠ADE 的度数；(3)过点E 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点F ,当AO ＝BE ＝2时,求图中阴影部分面积．【答案】(1)见解析(2)110︒(3)23π【详解】（1）证明：如图，连接AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∴AE ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BE=CE ；（2）∵AB=AC ，AE ⊥BC ，∠BAC ＝40° ∴1==20°,2BAE BAC ∠∠∴∠ABE=90°-∠BAE=70°，∵四边形ABED 是圆内接四边形,∴∠ADE=180°-∠ABE=110°，（3）连接OE ，∵EF 是O 的切线，∴OE EC ⊥，∵22AO BE OB OE AO =====，，∴BOE 是等边三角形，∴60BOE ∠=︒，30F ∠=︒∴EF ==∴160××42==223603OEF OBE S S S ππ−⨯⨯阴影部分扇形． 18．如图，ABC 中，90,ACB BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点O ，以点O 为圆心，OC 长为半径作圆．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若30,4CAO OC ∠=︒=，求阴影部分面积．【答案】（1）见解析；（2）163π−【详解】解：（1）证明：过O 作OD AB ⊥于D ，如图所示，90,ACB ∠=︒OC AC ∴⊥， OA 平分,BAC ∠OD OC ∴=， OC 为O 的半径，OD ∴为O 的半径，AB ∴是O 的切线．（2）∵OD ⊥AB ，∴∠ODB=90°，∵∠CAO=30°，∠ACB=90°，∴∵∠AOC=90°-30°=60°，∴∠COD=2∠AOC=120°，由（1）得：AB 是⊙O 的切线，OC ⊥AC ，∴AC 为⊙O 的切线，∴∴阴影部分面积=△AOC的面积+△AOD的面积-扇形OCD的面积2 1112044422360π⨯=⨯+⨯−163π=．。
01 微专题 四种方法求与圆有关的阴影部分面积
心,∠EOF 的两边与△ABC 的边交于 E、F,∠EOF＝120°,则∠EOF
与△ABC 的边所围成阴影部分的面积是 ( C )
A． 3
2
C． 3 3
B． 2 35D． 34第7题图8．如图,在菱形ACBD中,AB 与CD相交于点O, ∠ACB＝120°,以点C为圆心
,CA 长为半径作 A,B再以点C 为圆心,CO 长为半径作 E,F分别交CA,CB 于点
S阴影 ＝S扇形CAE ＋S扇形CBD －S△ABC ．
方法应用 11．如图,在矩形ABCD 中,AB ＝2, BC＝3,以点A 为圆心,AB 长为半 径画弧 交AD于点E,以点C 为圆心,CB 长为半径画弧交CD的延长线于点F,则图中阴 影部分的面积为_1_34___-_6_.
第11题图
S阴影＝ S扇形ACE － S扇形BCF
方法应用
6．如图,在扇形 AOB中,∠AOB＝90°,OA＝3,点C 为 AB的三等分
点,CD⊥OB 于点D,则图中阴影部分的面积为 ( C )
A．4
B．2
C．3
4
D．π
第6题图
7．(2019宜宾)如图,∠EOF 的顶点O是边长为2的等边△ABC 的重
微专题 四种方法求与圆有关的阴影部分面
积
方法一 直接公式法 方法解读
所求阴影部分为扇形、三角形或特殊四边形时,直接用面积公式进行求 解．
方法应用 1．如图,在▱ABCD 中,∠B＝60°,☉C 的半径为3,则图 中阴影部分的面积是 ____3_π_．
2．如图, AB 是☉O 的直径,CD 是弦,∠BCD＝ 2
用公式法 表示扇形、 三角形、特
S阴影 ＝S扇形BOB′ －S△BOC － S扇形A′OC － S△A′OB′＝ S扇形BOB′－ S扇形A′OC － S菱形ABCO
小学六年级圆_阴影部分面积
求阴影部分面积例1. 求阴影部分的面积。
（单位:厘米）解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，X -2X1=（平方厘米）例3. 求图中阴影部分的面积。
（单位:厘米）解：最基本的方法之一。
用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2X2 - n=平方厘米。
例5.求阴影部分的面积。
（单位:厘米）解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，n（）X2 -16=8n -16=平方厘米另外：此题还可以看成是1 题中阴影部分的8 倍。
例7.求阴影部分的面积。
（单位:厘米）解：正方形面积可用（对角线长X对角线长* 2,求）正方形面积为：5X5*2=所以阴影面积为：n* =平方厘米（注: 以上几个题都可以直接用图形的差来求, 无需割、补、增、减变形）例9.求阴影部分的面积。
（单位:厘米）解：把右面的正方形平移至左边的正方形部分,则阴影部分合成一个长方形,所以阴影部分面积为：2X3=6 平方厘米例11. 求阴影部分的面积。
（单位: 厘米）例2. 正方形面积是7 平方厘米, 求阴影部分的面积。
（单位: 厘米）解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。
设圆的半径为r ,因为正方形的面积为7 平方厘米,所以=7 ,所以阴影部分的面积为：7-=7- X7=¥方厘米例4.求阴影部分的面积。
（单位: 厘米）解：同上,正方形面积减去圆面积,16- n（）=16 -4n=平方厘米例6. 如图：已知小圆半径为2 厘米,大圆半径是小圆的3 倍,问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）n - n （）=平方厘米（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例8.求阴影部分的面积。
（单位: 厘米）解：右面正方形上部阴影部分的面积,等于左面正方形下部空白部分面积,割补以后为圆,所以阴影部分面积为：n （）=平方厘米例10.求阴影部分的面积。
小学数学之和圆相关的-阴影部分面积(含答案)
求阴影部分面积例1.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×1=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。
设圆的半径为r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：最基本的方法之一。
用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。
例4.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-π()=16-4π=3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。
例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）π-π()=100.48平方厘米（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。
(单位:厘米) 解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求)正方形面积为：5×5÷2=12.5所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形) 例8.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为圆，所以阴影部分面积为：π()=3.14平方厘米例9.求阴影部分的面积。
15解题技巧专题圆中求阴影部分的面积
15解题技巧专题圆中求阴影部分的面积圆中求阴影部分的面积是一类常见的几何解题题型。
解决这类问题的关键是理解题意，找出合适的几何关系，并运用相应的公式进行计算，下面将结合一些具体的例题，介绍一些解题技巧。
首先，我们需要理解圆中求阴影部分的面积是指如何计算圆与一些几何图形的交集部分的面积。
在解题时，我们可以通过切割、旋转、改变图形位置等方式来求解阴影部分的面积。
接下来，我们将介绍三个常见的情况：正方形在圆内、矩形在圆内以及两个半圆的交集。
情况一：正方形在圆内题目描述：一个边长为a的正方形完全位于半径为r的圆内，求阴影部分的面积。
解题思路：首先，我们可以画出正方形和圆的示意图，并标明已知的边长和半径。
然后，我们来观察正方形在圆内的情况，可以发现正方形四个顶点与圆心连线的交点是正方形对角线的中点。
这给了我们一个重要的提示：我们可以通过计算正方形对角线的中点到圆心的距离来求得阴影部分的面积。
这个距离可以通过使用勾股定理计算得到。
最后，我们可以通过求解正方形对角线的中点到圆心的距离，来求得阴影部分的面积。
具体的计算步骤如下：计算中点到圆心的距离d：根据勾股定理，正方形对角线的长度为a*√2，所以中点到圆心的距离d为d=√(a^2/2)。
计算阴影部分的面积S：阴影部分的面积可以通过圆的面积减去扇形的面积得到，所以S=π*r^2-π*(d^2)/4情况二：矩形在圆内题目描述：一个长为a，宽为b的矩形完全位于半径为r的圆内，求阴影部分的面积。
解题思路：首先，我们可以画出矩形和圆的示意图，并标明已知的长、宽和半径。
然后，我们来观察矩形在圆内的情况，可以发现矩形四个顶点与圆心连线的交点是矩形边的中点。
这给了我们一个重要的提示：我们可以通过计算矩形边的中点到圆心的距离来求得阴影部分的面积。
这个距离可以通过使用勾股定理计算得到。
最后，我们可以通过求解矩形边的中点到圆心的距离，来求得阴影部分的面积。
具体的计算步骤如下：计算中点到圆心的距离d：根据勾股定理，矩形的对角线长度为√(a^2+b^2)，所以中点到圆心的距离d为d=√((a^2+b^2)/4)。
如何求圆的阴影面积公式
如何求圆的阴影面积公式一、引言圆是几何中最基本的图形之一，它具有许多独特的性质和特点。
在实际生活中，我们经常会遇到圆的阴影问题，比如太阳光照射到圆形物体上形成的阴影。
本文将介绍如何求解圆的阴影面积公式。
二、圆的阴影面积公式的推导要求解圆的阴影面积，首先需要了解圆的几何性质。
圆的核心特点是中心和半径，其中中心表示圆心的位置，半径表示圆的大小。
在求解圆的阴影面积时，我们可以通过计算圆与阴影的相对位置和大小来得到结果。
1. 圆的面积公式圆的面积公式是一个基本的几何定理，可以用来计算圆的面积。
根据圆的定义，圆的面积等于半径的平方乘以π（即πr^2）。
这个公式可以通过数学推导得出，也可以通过实际测量得到。
2. 圆与阴影的关系当太阳光照射到圆形物体上时，物体会产生一个阴影。
阴影的形状和大小取决于物体的形状、大小以及光源的位置和光线的方向。
对于一个圆形物体来说，它的阴影形状也是圆形的，只是大小和原来的圆形物体有所不同。
3. 求解圆的阴影面积公式为了求解圆的阴影面积公式，我们需要知道圆的半径和阴影的半径。
圆的半径可以通过测量得到，而阴影的半径可以通过几何推导得到。
当光源与圆心连线与圆的切线垂直时，阴影的半径等于圆的半径；当光源与圆心连线与圆的切线不垂直时，阴影的半径小于圆的半径。
根据这个关系，我们可以得到圆的阴影面积公式。
4. 圆的阴影面积公式根据前面的推导，圆的阴影面积公式可以表示为：阴影面积= 圆的面积 - 圆的阴影面积。
三、实例分析为了更好地理解圆的阴影面积公式，我们来看一个具体的实例。
假设有一个半径为5cm的圆形物体，太阳光照射到该物体上形成了一个阴影。
已知光源与圆心连线与圆的切线的夹角为30度，求解阴影的面积。
根据圆的面积公式，可以计算出圆的面积为25π cm^2。
然后，根据阴影的半径与圆的半径的关系，可以得到阴影的半径为5cos30度= 5 * √3 / 2 = 5√3 / 2 cm。
根据圆的阴影面积公式，可以计算出阴影的面积为：阴影面积= 25π - (5√3 / 2)^2π = 25π - 75π / 4 = 25π / 4 cm^2。
外方内圆求阴影部分面积的公式
外方内圆求阴影部分面积的公式外方内圆的阴影部分面积可以通过以下公式进行计算：
阴影部分面积=外圆面积-内圆面积
其中，外圆面积的公式为：
外圆面积= π *外圆半径²
内圆面积的公式为：
内圆面积= π *内圆半径²
所以，阴影部分面积的公式可以简化为：
阴影部分面积= π * (外圆半径² -内圆半径²)
在拓展方面，如果我们考虑不规则形状的外方内圆，由于没有确定的数学公式，我们可能需要使用数值方法，如数值积分或数值逼近方法来近似计算阴影部分面积。
这种方法可以将阴影部分的形状划分成小的区域，并对每个区域进行面积的计算，然后将这些小区域的面积相加来得到总面积。
这种方法非常灵活，适用于各种形状的阴影部
分的计算。
不过，这也意味着计算的精度会受到划分区域的大小和数量的影响。
小学六年级数学之圆_阴影部分面积(含答案)
求阴影部分面积例1.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×1=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。
设圆的半径为r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：最基本的方法之一。
用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。
例4.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-π()=16-4π=3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。
例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）π-π()=100.48平方厘米（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。
(单位:厘米) 解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求)正方形面积为：5×5÷2=12.5所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形) 例8.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为圆，所以阴影部分面积为：π()=3.14平方厘米例9.求阴影部分的面积。
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与圆有关的阴影部分的面积
[自学笔记]
1. 圆心角为n °，半径为R 的扇形的面积为
2. 半径为r 的圆的面积为
3. 弓形的面积为
4. 边长为a 的等边三角形的面积为
[自学检测]
1.图中阴影部分的面积为
2. 如图，扇形AOB 的圆心角为直角，若OA ＝2，以AB 为直径作半圆，则阴影部分的面积为
3. 如图，在正方形ABCD 中，以A 为顶点作等边△AEF ，交BC 边于E ，交DC 边于F ；又以A 为圆心，AE 的长为半径作弧EF 。
若△AEF
4.如图，三个小正方形的边长都是1，则图中阴影部分面积和是
5. 在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆半径为
2，则阴影部分的面积为
6. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB=30°，CD= 32 ，则阴影部分图形的面积为（ ）
A .4π
B 2π C.π D 3
2π
7. 如图,圆O 的半径为1cm,正六边形ABCDEF 内接于圆O,则图中阴影部分面积为 cm²
8. 在∆ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB 为直径的圆交BC 于D ，则图中阴影部分的面积为
9. 矩形ABCD 中,BC=2,DC=4,以AB 为直径的半圆O 与DC 相切于点E,则阴影部分的面积是
[基础夯实]
1.正方形ABCD 边长为2，以C 点为圆心，AC 长为半径作弧，则图中阴影部分的面积为 .
2..如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 相外离，它们的半径都是1，顺次连接三个圆心得到△ABC ，则图中三个扇形（阴影部分）的面积之和是 .
3.某种商品的商标图案如图（阴影部分）
已知菱形ABCD 的边长为4，∠A=60°，弧BD 是以A 为圆心AB 长为半径的弧，弧DC 是以B 为圆心BC 为半径的弧，则该商标图案的面积为
[解惑提升]
D C
1.如图四边形ABCD 是菱形，∠A=60º，AB=2，扇形BEF 的半径为2，
圆心角为60º，则图中阴影部分的面积是（ ） A.
2332-π； B.332-π； C.23-π； D. 3-π。
2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°．把△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转60°后得到△AB'C'，若AB=4，则线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是( )
A.π
B.π
C.2π
D.4π
[分层作业]
A ．如图，在扇形AO
B 中，∠AOB ＝90°，点
C 为OA 的中点，CE
⊥OA 交⌒AB 于点E ．以点O 为圆心，OC 的长为半径作⌒CD
交OB 于点D ．若OA ＝2，则阴影部分的面积为 .
B1如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，以点C 为圆心，CD 为半径的弧与BC 交于点E ，若四边形ABED 是平行四边形，AB=3，则扇形CDE （阴影部分）的面积（ ）
A.23π B 21π C π D3π
B2。
如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD 的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是__ ____（结果保留根号）。