第三讲向量

( 2) 秩( A) = r ⇔ A 中存在非零的 r 阶子式 , 而 A 的所有 r + 1 阶子 式全为零 . ( 3 ) 秩 ( A) = r ⇔ 存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q , 使得 ⎛ Er PAQ = ⎜ ⎜ 0 ⎝ 0⎞ ⎟ , 其中 E r 为 r 阶单位矩阵 . 0⎟ ⎠ 0 ).
(4) AT = A−1 .
注意 (1)正交矩阵的行列式只能是 1 或 -1.
(2)如果正交矩阵有实特征值,则其实特征值也只能是 1 或 -1.
2．向量组的线性相关性
设 α1 ,α 2 , (1) α 1 , α 2 ,
, α s 是 n 维向量 , 则下列命题等价： , α s 线性相关 . , k s , 使 k1α 1 + k 2α 2 + + x sα s = 0 有非零解 . , α s ). + k sα s = 0.
( 2 ) 存在不全为零的数 k1 , k 2 , ( 3 ) 向量方程 x1α 1 + x 2α 2 +
( 3 )设平面 Π 1 , Π 2 的法向量是 α 1 , α 2 , 则 Π 1 , Π 2 平行或重合 ⇔ α 1 , α 2 线性相关 .
3．向量组的线性无关性
设 α1 ,α 2 , (1) α 1 , α 2 ,
, α s 是 n 维向量 , 则下列命题等价： , α s 线性无关 . + k sα s = 0 当且仅当 k1 = k 2 = + x sα s = 0 只有零解 . , α s ). = k s = 0.
第三讲 向量空间与矩阵的秩 一、考试要点 1.向量的概念, 向量的线性组合和线性表示. 2.向量组的等价, 向量组的线性相关性. 3.向量组的极大线性无关组和秩. 4.矩阵的秩, 矩阵的等价性. 5.向量的内积, 线性无关向量组的正交规范化方法. *6.正交矩阵及其性质（*表示仅数学一要求，下同）. *7.向量空间的有关概念, 基变换和坐标变换, 过渡矩阵.
注意
(1)设直线 l1 , l 2 的方向向量是 α 1 , α 2 , 则 l1 , l 2 平行或重合 ⇔ α 1 , α 2 线性相关 .
( 2 )设直线 l1 , l 2 的方向向量是 α 1 , α 2 , 而 α 3 是始点在 l1 上终点 在 l 2 上的任一向量 , 则 l1 , l 2 共面 ⇔ α 1 , α 2 , α 3 线性相关 .
AB = 0 ⇔ Aα i = 0 ( i = 1,2,
( 3 ) 若 AB = 0 且 B ≠ 0, 则 A 的列向量组线性相关 . ( 4 ) 若 AB = 0 且 A ≠ 0, 则 B 的行向量组线性相关 .
8．矩阵的等价性
设 A, B 是两个同型矩阵，则以 下命题等价：
(1) A, B 等价，即 A ⎯初等变换 → B . ⎯⎯ ⎯
( 2 ) k1α 1 + k 2α 2 +
( 3 ) 向量方程 x1α 1 + x 2α 2 +
( 4 ) 齐次线性方程组 AX = 0 只有零解 , 其中 A = (α 1 , α 2 , ( 5 ) 秩 (α 1 , α 2 , (6) α 1 , α 2 , (7) α 1 , α 2 , ,α s ) = s.
, α s 线性无关 , 而 α 1 , α 2 , , α s 唯一线性表示 .
6．矩阵的秩
(1) 设 m × n 矩阵 A 的列向量为 α 1 , α 2 ,
, α n , A 的行向量为 , β m ).
β1 , β 2 ,
, β m , 则秩 ( A) = 秩 (α 1 , α 2 ,
, α n ) = 秩( β 1 , β 2 ,
, α s 线性无关， ( β 1 , β 2 , 且 , β t ) = 秩 (C ).
, β t ) = (α 1 , α 2 ,
（4） β 1 , β 2 ,
, β t 可由 α 1 , α 2 ,
, α s 线性表示的充要条件是 ,α s , β 1 , , βt )
秩(α 1 , α 2 ,
, α s ) = 秩(α 1 ,
( 5) α 1 , α 2 ,
,α s 与 β1 , β 2 ,
, β t 等价的充要条件是 , β t ) = 秩(α 1 , ,α s , β1 , , βt )
秩(α 1 , α 2 ,
, α s ) = 秩( β 1 , β 2 ,
5．其它常用结论
(1)若 n 维向量组 α 1 , α 2 ,
, α s 中的任一向量不能由其 余向量线性表示 . , α s 的极大线性无关组是它 本身 .
4．两个向量组的线性关系
（1）向量组 β 1 , β 2 ,
, β t 可由向量组 α 1 , α 2 ,
, α s 线性表示的充要 , α s )C .
条件是存在 s × t 矩阵 C ， 使得 ( β 1 , β 2 ,
, α s 线性相关 , 则对任意 n 维向量 β , 有
α1 ,α 2 ,
, α s , β 也线性相关 . , α s 线性无关 , 则其任意部分组也线性 无关 . , α s , β 线性相关 , 则 β
( 2)若向量组 α 1 , α 2 , ( 3) 若 α 1 , α 2 , 可由 α 1 , α 2 ,
, a n )T , 则 α 的模为 α = (α , α ) =
( 3 ) 设 α , β ∈ R n , 则 α 与 β 正交 ⇔ (α , β ) = 0.
(4) 设 α 1 , α 2 , 则 α1 ,α 2 ,
, α s 是正交向量组 , 即 , s ),
(α i , α j ) = 0 ( i ≠ j ), α i ≠ 0 ( i = 1,2, , α s 线性无关 .
(1) 设 α = ( a1 , a 2 ,
, a n )T , β = ( b1 , b2 ,
, bn )T , 则 α , β 的内积为 + a n bn .
a i2 . ∑
i =1 n
(α , β ) = α T β = βα T = a1b1 + a 2 b2 +
( 2 ) 设 α = ( a1 , a 2 ,
10．Schmidt正交化方法
设 n 维向量 α 1 , α 2 ,
(1 ) 正交化 : 令 β1 = α1,
, α s 线性无关 .
(α 2 , β 1 ) β2 = α2 − β1, (β1 , β1 ) (α s , β 1 ) βs = αs − β1 − (β1 , β1 )
( 2 ) 规范化 : 令 η i =
, β t ) = (α β 2 , 秩( β 1 , β 2 ,
则秩 ( β 1 , β 2 ,
, β t 可由向量组 α 1 , α 2 , , β t ) ≤ 秩 (α 1 , α 2 , ,α s )
, α s 线性表示，则
, α s )C ,
（3）若 α 1 , α 2 ,
(α s , β s − 1 ) − β s −1 . ( β s −1 , β s −1 )
, s ).
βi βi
( i = 1, 2 ,
( 3) 结论 : η1 ,η 2 ,
,η s 是规范正交向量组 , 且与 α 1 , α 2 ,
, α s 等价 .
11．正交矩阵
设 A 是 n 阶矩阵 , 则以下命题等价： (1) AAT = AT A = E . ( 2) A 的 n 个行向量是规范正交向 量组. ( 3) A 的 n 个列向量是规范正交向 量组.
(13 ) 秩 ( A + B ) ≤ 秩 ( A B ) ≤ 秩 ( A) + 秩 ( B ).
7．AB=0类问题
(1) 设 A 是 m × s 矩阵， B = (α 1 , α 2 , ( 2 ) 若 AB = 0，则秩 ( A) + 秩 ( B ) ≤ s .
, α n ) 是 s × n 矩阵，则 , n ).
二、基本内容与结论 1．向量的线性表示
设 α1 ,α 2 ,
, α s , β 是 n 维向量, 则下列命题等价： , α s 线性表示 . , k s , 使 β = k1α 1 + k 2α 2 + + k sα s . , α s ). + x sα s = β 有解 .
(1) β 可由 α 1 , α 2 , ( 2) 存在数 k1 , k 2 ,
( 4 ) 齐次线性方程组 AX = 0 有非零解 , 其中 A = (α 1 , α 2 , ( 5 ) 秩 (α 1 , α 2 , (6) 在 α 1 , α 2 , (7) α 1 , α 2 , ,α s ) < s.
, α s 中, 至少有一个向量可由其 余向量线性表示 .
, α s 的极大线性无关组是它 的真部分组 .
( 3 ) 向量方程 x 1α 1 + x 2α 2 +
( 4 ) 线性方程组 AX = β 有解 , 其中 A = (α 1 , α 2 ,
( 5 ) 秩 ( A) = 秩 ( A β ).
( 6 ) 秩 (α 1 , α 2 , , α s ) = 秩 (α 1 , α 2 , , α s , β ).
( 4 ) 秩 ( A) = m ⇔ 存在 n 阶可逆矩阵 Q , 使得 AQ = ( E m
⎛ En ⎞ ( 5 ) 秩 ( A) = n ⇔ 存在 m 阶可逆矩阵 P , 使得 PA = ⎜ ⎟ . ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠
( 6 ) 设 A 为 m × n 矩阵 , 则秩 ( A) ≤ min{ m , n}. ( 7 ) 秩 ( A) = 秩 ( AT ) = 秩 ( kA ) ( k ≠ 0 ). ( 8 ) 秩 ( AT A) = 秩 ( AA T ) = 秩 ( A). ( 9 ) 秩 ( AB ) ≤ min{ 秩 ( A), 秩 ( B )}. (10) 秩( AB ) ≥ 秩( A) + 秩( B ) − n, 其中 n 为 A 的列数或 B 的行数 . (11) 设 P , Q 为可逆矩阵 , 则秩 ( PAQ ) = 秩 ( A). ⎛A (12 ) 秩 ⎜ ⎜C ⎝ 0⎞ ⎛A ⎟ ≥ 秩⎜ ⎜0 B⎟ ⎠ ⎝ 0⎞ ⎟ = 秩 ( A) + 秩 ( B ). B⎟ ⎠