第五讲 中学数学的逻辑基础(1)
数学逻辑基础中学数学教案
数学逻辑基础中学数学教案一、教学目标本教案旨在帮助学生建立和巩固数学逻辑基础知识，使其具备分析和解决问题的能力。
具体目标如下：知识目标：1. 了解命题逻辑、谓词逻辑和命题公式的基本概念；2. 掌握命题的联结词与真值表之间的关系；3. 理解蕴含关系及其在推理中的应用；4. 学会使用真值表验证命题等价性。
能力目标：1. 能够分析并解决涉及数学逻辑的问题；2. 能够利用推理规则进行逻辑论证；3. 能够应用数学逻辑知识解决实际问题。
二、教学内容1. 命题逻辑1.1 命题的概念1.1.1 命题的定义和性质1.1.2 命题的例子与非命题的例子1.2 命题联结词1.2.1 否定、合取、析取、条件、双条件等联结词 1.2.2 联结词的真值表与逻辑运算规则1.3 命题公式1.3.1 命题变元和命题常项的表示1.3.2 命题公式的构造和判断方法2. 谓词逻辑2.1 谓词的概念2.1.1 命题与谓词的区别2.1.2 谓词的例子和表示方法2.2 谓词的量词2.2.1 全称量词和存在量词的定义和性质2.2.2 量词的应用举例2.3 谓词公式2.3.1 谓词变元和谓词常项的表示2.3.2 谓词公式的构造和判断方法3. 蕴含与等价3.1 蕴含关系的定义和性质3.1.1 充分必要条件的概念3.1.2 蕴含关系与真值表之间的关系3.2 等价关系的定义和性质3.2.1 充分必要条件的概念3.2.2 等价关系与真值表之间的关系3.3 蕴含与等价的应用3.3.1 推理规则的运用3.3.2 真值表验证命题等价性的方法三、教学步骤步骤一：引入命题逻辑1. 通过实际例子引出命题的概念，以及命题的真值表和联结词。
2. 给出命题逻辑的定义和基本性质，并解释命题公式及其构造方法。
步骤二：命题联结词与真值表1. 介绍并讲解否定、合取、析取、条件和双条件等联结词的概念与特点。
2. 利用真值表演示联结词的运算规则，并提供练习题以加深理解。
步骤三：谓词逻辑的概念和应用1. 引出谓词的概念及其与命题的区别，并提供具体的例子进行说明。
数学逻辑的基础知识
数学逻辑的基础知识作为一门关于推理和推断的学科，数学逻辑在现代数学中起着重要的作用。
它不仅帮助我们理解数学的基础原理，还在解决问题和做出决策时提供了有力的工具。
本文将介绍数学逻辑的基础知识，包括命题、谓词逻辑和推理等内容。
一、命题逻辑命题逻辑是数学逻辑的基础，它涉及到命题及其关系的研究。
命题是陈述语句，它要么是真的，要么是假的，没有其他可能性。
命题逻辑使用逻辑运算符来组合命题，常用的逻辑运算符有与（∧）、或（∨）、非（¬）和蕴含（→）。
通过将这些逻辑运算符应用于命题，我们可以构建复杂的命题和推理。
例如，假设命题P代表"今天下雨"，命题Q代表"我会带伞"，那么我们可以使用逻辑符号表示：P：今天下雨Q：我会带伞若要表示"如果今天下雨，那么我会带伞"，可以写为P→Q。
这个逻辑命题表示了一个条件关系。
二、谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的扩展，它引入了谓词来描述对象之间的关系。
谓词是一个带有参数的陈述，可以是真的也可以是假的。
在谓词逻辑中，我们使用量词来描述范围。
常用的量词有全称量词（∀）和存在量词（∃）。
全称量词表示某个命题对所有对象都成立，存在量词表示某个命题存在至少一个对象满足条件。
例如，假设P(x)表示"∀x，x是偶数"，那么这个谓词表示了全部偶数的集合。
存在量词的运用可以用来存在性证明，例如∃x，P(x)可以表示存在一个偶数。
三、推理推理是数学逻辑中的核心概念，它是基于已知命题的逻辑关系来获得新命题的过程。
推理可以是直接的，也可以通过逻辑推导规则来进行。
逻辑推导规则是一套用于推理的准则，通过这些规则我们可以根据已有的命题推断出新的命题。
常用的推导规则包括引入规则、消去规则和矛盾原理等。
例如，假设我们已知P→Q和Q→R成立，我们可以使用推理规则推导出P→R。
这种推理过程被称为假言推理。
总结数学逻辑是数学中一门重要的分支，它帮助我们理解数学的基础原则，提供了解决问题和做出决策的强大工具。
数学概念及其逻辑结构
三、概念间的关系
有某种可比较关 系的概念. 例如，“正数”和“整数”就是可比较的概念， 而“正数”和“多边形”就是不可比较的概念. 在可比较的概念间，有相容关系和不相容关系.
（一）相容关系 （Compatible relation ）
二、概念的内涵与外延
概 念 的 内 涵与 外 延 明确 了 ,就 可 以 更 好地 认 识 概念 ,把 握 概 念 ,否 则 就 会 出 现 错误 。 例 如 ,若 对“ 算 术 平 方 根 ” 这 个 概 念的 内 涵 不明 确 ,往 往 会 出 现 如 下 的 错误 :
(-2) 2
=-2，
( x - 1) 2 = x - 1
。
要 对 概 念 加深 认 识 ,不 仅 要 明确 概 念 的内 涵 与 外延 ,还 要 掌 握 概 念 的 内涵 与 外 延之 间 的 关系 。
（二）内涵与外延之间的关系
概念的内涵严格确定了概念的外延；反过来，概念的外延完全 确定了概念的内涵。因此，对概念的内涵所作的改变一定 导致概念外延的改变。具体来说即：这两个方面是相互联 系、互相制约的:当概念的内涵扩大时,则概念的外延就缩 小;当概念的内涵缩小时,则概念的外延就扩大。反过来也 一样。内涵和外延之间的这种关系,称为反变关系。\例如,
物区别于另一种事物的根本依据。
数学概念是反映思考对象在空间形式和数量关系及其模式方面的本 质属性的思维形式。 （二）产生与发展途径 概念是通过概括以及与概括紧密相联系的抽象而形成的。
数学概念的产生和发展有各种不同的途径：
1）从现实模型中直接反映得来，如初等数学中的点、线、面、体、 自然数等；
2）在原有数学概念的基础上，经过多级抽象和概括而形成，如近 代数学中的群、环、域、空间等；
数学的逻辑关系
数学的逻辑关系数学作为一门学科，是研究数量、结构、变化以及空间等概念与符号之间的关系的科学。
而数学的逻辑关系则是指数学中所运用的逻辑思维和推理方式，用于描述和解释数学概念、定理和证明的关系。
一、基本逻辑关系在数学中，最基本的逻辑关系是命题之间的关系。
命题是可以判断真假的陈述句，在数学中通常用字母表示。
命题之间存在三种基本的逻辑关系：合取、析取和否定。
1.合取关系合取关系是指将两个命题连接起来形成一个新的命题。
用逻辑符号“∧”表示。
当且仅当两个命题同时为真时，合取关系才为真。
例如，命题p为“2是偶数”，命题q为“3是奇数”，则合取关系p∧q 表示“2是偶数且3是奇数”。
2.析取关系析取关系是指将两个命题连接起来形成一个新的命题。
用逻辑符号“∨”表示。
当至少有一个命题为真时，析取关系就为真。
例如，命题p为“2是偶数”，命题q为“3是奇数”，则析取关系p∨q 表示“2是偶数或3是奇数”。
3.否定关系否定关系是指将一个命题的真值取反，形成一个新的命题。
用逻辑符号“¬”表示。
例如，命题p为“2是偶数”，则否定关系¬p表示“2不是偶数”。
二、推理和证明中的逻辑关系数学中的推理和证明是建立在逻辑关系的基础上的。
推理是指从已知的命题出发，根据逻辑关系得出新的命题的过程。
而证明则是通过推理过程来验证或证实一个命题是否成立。
1.演绎推理演绎推理是基于已知命题和逻辑关系，通过一系列逻辑推理，得出结论的过程。
它包括三个部分：前提、推理规则和结论。
例如，已知命题p为“所有A都是B”，命题q为“a是A”，则根据演绎推理的规则，可以得出结论“a是B”。
2.归纳推理归纳推理是从具体事例中归结出一般结论的推理方式。
它通过整体的观察，找出事物之间的规律，从而得出结论。
例如，通过观察一系列自然数的奇偶性可发现，所有的偶数都能被2整除。
因此，可以归纳得出结论“所有偶数都能被2整除”。
3.直接证明直接证明是一种以已知命题为前提，通过逻辑推理得出结论的证明方法。
数学的逻辑数学原理与应用的基础知识
数学的逻辑数学原理与应用的基础知识数学是一门严密而精确的学科，其中逻辑数学是数学的基础。
逻辑数学原理是数学推理的基本规则和方法，它们是数学思维和证明的基石。
本文将介绍数学的逻辑数学原理和一些基础知识，并探讨它们在实际应用中的作用。
一、命题逻辑命题逻辑是逻辑数学的基础，它研究的是由简单命题通过逻辑连接词（如“与”、“或”、“非”等）组成的复合命题。
在命题逻辑中，命题是指可以判断真假的陈述句。
例如，“2 + 2 = 4”是一个命题，因为它是真的；而“今天是星期天”就不是一个命题，因为它的真假无法确定。
命题逻辑中的逻辑连接词有与（∧）、或（∨）、非（¬）等。
通过这些逻辑连接词，我们可以形成复合命题。
例如，“明天下雨与后天放假”可以表示为命题P∧Q，其中P表示“明天下雨”，Q表示“后天放假”。
我们可以通过真值表或真值运算规则判断复合命题的真假。
二、谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的扩展，它引入了谓词符号，可以表示关于对象的性质或关系的命题。
在谓词逻辑中，命题可以包含变量，它们可以取值为个体或集合。
例如，命题“x是奇数”中的变量x可以取值为1、3、5等奇数。
谓词逻辑还引入了量词符号，用来表示命题对于某个变量的所有值或存在某个值。
例如，“对于所有的x，若x是奇数，则x+2也是奇数”可以表示为∀x(奇数(x)→奇数(x+2))。
谓词逻辑在数学中有广泛的应用，例如在数学推理和证明中，常常使用全称量词和存在量词来描述性质和关系，进而进行推理和证明。
三、集合论集合论是数学的另一个基础分支，它研究的是集合及其运算。
在集合论中，集合是由一些确定的对象组成的整体。
我们可以通过列举元素或规定条件来描述一个集合。
例如，{1, 2, 3}表示由元素1、2、3组成的集合；{x | x是奇数}表示所有奇数的集合。
集合论中的运算有交集、并集、补集等。
交集表示两个集合中共有的元素，通过符号∩表示。
并集表示两个集合中所有的元素，通过符号∪表示。
中学数学的逻辑基础
§4.1 中学数学概念
四、概念的定义 2、定义的几种方式 ⑯其它定义方法： 递归定义(递推式定义法。如 n阶行列式、n阶导数、n 重积分的定义)、 描述性定义法(如等式、极限的定义) 公理定义法。
§4.1
中学数学概念
四、概念的定义 3、定义的规则 ⑪定义必须是相称的。即定义项和被定义项的外延必须 是相同的，既不能扩大，也不能缩小，应当恰如其分。 如无理数是指无限不循环小数，而不能用无限小数(过 宽)和不尽方根(过窄)来定义无理数。 ⑫定义不能循环。即在同一个科学系统中，不能以A概 念来定义B概念，而同时又以B概念来定义A概念。如： “加法是求几个数和的方法”。900的角叫做直角。 ⑬定义应当清楚、简明，一般不用否定形式和未知的概 念。即定义要简明扼要，所列定义项必须是确切的概念， 不能用譬喻或其他含糊的说法代替定义。如：笔直笔直 的线(不清楚)，叫做直线；两组对边互相平行的平面平 行四边形(不简明)；不是有理数的数，叫做无理数(否定 形式)。对初中生来说，在复数a+bi中，虚部b=0的数叫 做实数(应用未知概念)。
四、概念的定义 1、给概念下定义:用已知的概念来认识未知概念，使未 知的概念转化为已知的概念，叫做给概念下定义。概念 的定义都是由下定义的概念(已知概念)与被下定义的概 念(未知概念)这两部分组成。 ⑪定义是建立概念的逻辑方法。 ⑫下定义的模式有两种：一是通过揭示概念的内涵来给 出定义，二是通过揭示概念的外延来给出定义。 2、定义的几种方式 ⑪“种+类差”定义法：根据概念的从属关系，规定被 定义概念的上位概念中是邻近的种概念，然后指出被定 义概念在它的种概念里区别于其他类概念的本质属性的 一种定义方法。如平行四边形。
§4.1
逻辑基础
第四章中学数学逻辑思维与能力所谓逻辑，在日常应用中多指思维规律。
这里所说的中学数学的逻辑基础，主要是指形式逻辑，而正确地理解和运用形式逻辑的有关知识可以说是现代社会公民应该具备的基本素质，无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地理解和运用形式逻辑的有关知识表达自己的思想。
于是，本章便着重择要对中学数学逻辑基础的基本内容，包括数学概念、数学命题、数学推理和数学证明以及形式逻辑的基本规律进行研究。
第一节数学概念1．概念与数学概念概念是反映事物本质属性的思维形式。
所谓“本质属性”,就是指它构成某种事物的基本特征,这类属性只为该种事物所具有,它是这种事物区别于其它事物的根本依据。
数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式。
它的产生，一般说来有两种情形：一种是直接从对客观事物的空间形式或数量关系的反映而得到的，如自然数的概念；另一种是在已有数学概念的基础上，经过多层次的抽象概括而形成的，如平行四边形的概念。
内涵与外延是构成数学概念的两个重要方面。
数学概念的内涵反映数学对象的本质属性，外延是数学概念所有对象的总和。
例如，“对边平行”、“对角相等”、“同旁内角互补”、“对角线相互平分”等都是平行四边形的内涵；而“所有的平行四边形”则是“平行四边形”的外延。
又如，“奇数”这个概念，它的内涵是“整数”“被2除余1”，而外延是{}Z-2。
在概念的内涵和外延之间有着密切的关=,1xnnx∈系：内涵扩大，则外延就缩小；反之，内涵缩小，则外延就扩大，它们之间的这种关系,称为反变关系。
例如,在四边形的内涵中,再增加“两组对边分别平行”这个条件,就得到平行四边形的概念,其外延比四边形的外延就缩小了。
在等腰三角形的概念中减少“有两边相等”这个条件,就得到三角形的概念,其外延就比等腰三角形的外延扩大了。
要注意的是,这种反变关系只能适用于外延间存在着包含和被包含的两个概念之间。
2．概念间的关系我们只研究可比较概念间的关系。
数学逻辑的基本概念和规律
数学逻辑的基本概念和规律数学逻辑是数学领域中的一个重要分支，它研究的是数学推理和推导的基本规律和方法。
数学逻辑在数学的发展中起到了至关重要的作用，它帮助我们建立了一套准确严谨的数学体系，同时也为我们的思维提供了一种有效的工具。
本文将介绍数学逻辑的基本概念和规律，从而帮助读者更好地理解和应用数学逻辑。
一、命题逻辑命题逻辑是数学逻辑的基础，它研究的是关于命题和命题之间的逻辑关系。
在命题逻辑中，命题是指具有确定真值（真或假）的陈述句。
命题逻辑使用逻辑联结词（如与、或、非等）来构建复合命题，并通过逻辑运算来推导出命题之间的关系。
例如，如果p是"今天下雨"的命题，q是"我带伞"的命题，那么p与q之间的逻辑关系可以用"如果p则q"来表示。
在命题逻辑中，有许多重要的规律和定律。
其中，蕴涵定律是命题逻辑中最基本的定律之一，它指出如果一个命题的真值为真，则它蕴含任意命题的真值。
另外，等价关系也是命题逻辑中常用的推理方法，它表明两个命题具有相同的真值。
二、谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的扩展，它研究的是关于谓词和变量的逻辑关系。
在谓词逻辑中，谓词是指包含变量的陈述句，它们的真值取决于变量的赋值。
谓词逻辑使用量词（如全称量词和存在量词）来描述变量的范围，并通过逻辑运算来推导出谓词之间的关系。
例如，如果P(x)表示"x是偶数"的谓词，Q(x)表示"x是素数"的谓词，那么全称量词可以表示为"对于所有的x，如果P(x)成立，则Q(x)也成立"。
在谓词逻辑中，存在唯一性量词是一个重要的概念。
它指出存在一个唯一的元素满足某个谓词。
另外，谓词逻辑中的演绎推理和归纳推理也是常用的推理方法，它们能够帮助我们从已知的命题中推导出新的命题。
三、集合论和数理逻辑集合论和数理逻辑是数学逻辑的两个重要分支，它们在数学的各个领域中起到了至关重要的作用。
初中数学逻辑推理知识点详解
初中数学逻辑推理知识点详解数学作为一门理科学科，除了具备计算和解题能力外，还强调逻辑推理的能力。
逻辑推理是数学的基础，也是我们解决问题和思考的重要方法。
在初中数学中，有许多涉及逻辑推理的知识点。
本文将详细解析初中数学中的逻辑推理知识点，帮助同学们全面理解和掌握。
一、命题与命题的逻辑关系在逻辑推理中，命题是最基本的概念。
命题是陈述句，它要么为真，要么为假。
常见的命题包括数学中的等式、不等式、几何中的性质、命题函数等等。
1.1 命题的逻辑联结词在命题相互关联时，常使用逻辑联结词来表达它们之间的逻辑关系。
常见的逻辑联结词有与、或、非三种。
（1）与：命题p与命题q都为真时，联结词“与”表示的命题为真。
（2）或：命题p与命题q中至少有一个为真时，联结词“或”表示的命题为真。
（3）非：对于一个命题p，它的否定命题记为非p，当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。
1.2 命题的等价与否定在逻辑推理中，等价和否定是表达命题之间关系的两种重要方法。
（1）等价：两个命题p和q称为等价命题，当且仅当p的真值与q的真值相同时。
（2）否定：对于一个命题p，它的否定命题记为非p，当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。
二、命题的推理与证明命题的推理与证明是逻辑推理中的核心内容，也是数学问题求解的基础。
下面介绍几种常见的命题推理和证明方法。
2.1 充分条件与必要条件对于两个命题p和q，如果p推出q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件。
用数学符号表示为：“p→q”。
充分条件和必要条件是互逆的关系，即“p→q”与“非q→非p”等价。
2.2 全称量词和存在量词全称量词“∀”表示对某个命题表达式的所有可能取值都成立。
存在量词“∃”表示存在一个命题表达式的值使得其成立。
2.3 数学归纳法数学归纳法是一种常见的数学证明方法，它适用于证明一类命题成立。
它包含两个步骤：基础步骤和归纳步骤。
首先，证明命题在某个特殊情况成立，这称为基础步骤；然后，证明当命题在某个特殊情况成立时，它在下一个特殊情况也成立，这称为归纳步骤。
数学逻辑基础
数学逻辑基础数学是一门既理论又实践的学科，它以逻辑为基础。
逻辑是一种思维方式，用来确定论据之间的关系以及推理的正确性。
在数学中，逻辑起着重要的作用，帮助我们建立合理的思维框架，进行证明和推理。
一、命题逻辑命题逻辑是逻辑学中的一个重要分支，它研究复合命题之间的逻辑关系。
在命题逻辑中，命题是一个陈述句，可以判断为真或假。
命题之间的逻辑关系包括“与”、“或”、“非”等。
1.1 命题的连接词命题的连接词是用来连接两个或多个命题的词语。
常见的命题连接词有“与”、“或”、“非”。
1.1.1 与“与”是命题逻辑中的一个重要连接词，用符号“∧”表示。
当两个命题都为真时，连接后的命题才为真。
1.1.2 或“或”是命题逻辑中的另一个重要连接词，用符号“∨”表示。
当至少有一个命题为真时，连接后的命题就为真。
1.1.3 非“非”是命题逻辑中的一个否定连接词，用符号“¬”表示。
它表示对命题的否定。
1.2 命题逻辑的推理命题逻辑的推理是基于一些逻辑规则和公理进行的。
通过逻辑规则和公理可以得到新的命题，从而推导出结论。
1.2.1 假言推理假言推理是一种常见的推理方式，其中包括条件命题和推理规则。
条件命题是一种以“若...则...”的形式陈述的命题。
例如，假设命题p表示“如果下雨，那么地面湿”。
命题q表示“下雨”。
根据条件命题和推理规则，我们可以推断出，如果p为真，q也必须为真。
这是假言推理的基本原理。
1.2.2 演绎推理演绎推理是基于一系列已知命题和推理规则进行的一种推理方式，通过逻辑结构可以得出结论。
例如，已知命题p为真，命题p推出命题q。
依据演绎推理的规则，我们可以得出结论q为真。
二、谓词逻辑谓词逻辑是逻辑学中的另一个重要分支，它研究语句中的谓词与是非关系之间的逻辑关系。
在谓词逻辑中，谓词是描述性质或行为的词语，它和命题不同，可以包含变量。
2.1 谓词逻辑的量词谓词逻辑中的量词包括全称量词和存在量词。
全称量词用符号“∀”表示，表示对所有可能的情况都成立。
数学知识点逻辑推理的基本方法
数学知识点逻辑推理的基本方法逻辑推理是数学中极为重要的一部分，它通过合理的思维过程来解决问题。
本文将介绍数学知识点逻辑推理的基本方法，帮助读者更好地理解和应用于实际问题中。
一、命题逻辑命题逻辑是逻辑推理的基础，它关注的是命题之间的关系。
命题是陈述性句子，可以是真（True）或假（False）。
常见的命题逻辑方法有：1.1 逻辑联结词逻辑联结词是用于连接命题的词汇，常见的有“与”（∧）、“或”（∨）、“非”（¬）等。
通过这些逻辑联结词的运用，可以构建复合命题，进一步分析逻辑推理的结论。
1.2 命题联结词命题联结词用于连接整个命题，包括前提和结论部分。
常见的命题联结词有：“如果……那么”、“只有……才”等。
通过使用这些联结词，可以确定命题之间的关系，从而进行逻辑推理。
二、演绎推理演绎推理是逻辑推理的一种常见方法，主要通过一系列前提和规则，推导出结论。
它分为推理（deduction）和证明（proof）两个过程。
2.1 推理推理是一种基于已知事实的逻辑推断过程。
它通过提供的前提和一定的规则，得出结论。
常见的推理方法有：（1）假设法：假设某个命题为真，推导出其他可以得出的结论，如果这些结论与已知事实相符，则假设成立；（2）归谬法：通过假设某个命题不成立，推导出明显的错误结论，从而验证该假设命题是真的；（3）演绎法：根据已知的命题和准则，得出新的命题。
2.2 证明证明是为了验证一个命题的真实性，要求所有步骤都必须符合严密的逻辑推理。
常见的证明方法有：（1）直接证明法：通过一连串的逻辑推理，证明一个命题的真实性；（2）间接证明法：假设要证明的命题不成立，通过一系列推理过程，得出矛盾结论，从而验证命题的真实性；（3）反证法：假设要证明的命题不成立，通过一系列逻辑推理，得出与已知事实矛盾的结论，从而证明命题的真实性。
三、归纳推理归纳推理是从特殊到一般的逻辑推理，通过某些特殊情况的观察，得出一般规律。
常见的归纳推理方法有：3.1 数学归纳法数学归纳法是一种证明自然数性质的普遍方法，它包含两个步骤：（1）基础步骤：证明当n取某个固定的值时，命题成立；（2）归纳步骤：假设命题对n=k成立，通过推理证明命题对n=k+1也成立。
中学数学逻辑基础数学概念及其教学
§1 数学概念及其教学
（3）交叉关系 当 ( A B) A ，且 ( A B) B 时，即两概念的 外延集相交但不重不含，则称这两个概念为交叉 关系。
A B
如：“矩形”和“菱形”，几 何中的“交轨法”等。
A
B
§1 数学概念及其教学
2 不相容关系 同一属概念下的两个种概念的外延集交集为 空集，则称两概念为不相容关系。 （1）矛盾关系 当A B C 时，即两种概念的外延集之并恰好 为其属概念的外延集，就称这两种概念之间为矛 盾关系。
§1 数学概念及其教学
（2）属种关系（包含关系） 当 A B 时，即概念B的外延集是概念A的外 延集的真子集，就称两个概念为属种关系（或从 属关系），且称外延集较大的概念A为属概念（或 上位概念），称外延集较小的概念B为种概念（或 下位概念）。
属 A B 种
如：“实数”与“有理数”， “四边形”与“平行四边形”等。
§1 数学概念及其教学
（2）外延性定义 方法：直接指明被定义概念的外延。 （3）语词定义 方法：用语词说明或规定被定义项概念的含义。 （4）归纳定义（递归定义） 方法：对于与自然数有关的被定义概念，用递 归的方式给出。 3 定义的规则 规则1 定义必须相称 ； 规则2 定义必须简明 ；
§1 数学概念及其教学
如：“实数集”下的“有理数” A 与“无理数”。
B
§1 数学概念及其教学
（2）对立关系（反对关系） 当 A B C 时，即两种概念的外延集之并小 于其属概念的外延集，就称这两种概念之间为反 对关系。 如：“三角形”下的“锐角三角 形”和“钝角三角形”。 A 概念的不相容关系是数学中 反证法、穷举法的依据之一。
§1 数学概念及其教学
初中数学与逻辑的基础知识
初中数学与逻辑的基础知识数学是一门涉及抽象推理和逻辑思维的学科，对于学生的思维能力和解决问题的能力有着重要的影响。
在初中阶段，学生接触到了更深入的数学概念和方法，掌握了一些基础的逻辑知识。
本文将介绍初中数学与逻辑的基础知识，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这门学科。
首先，初中数学的基本概念包括数字、代数、几何和概率统计等。
数字是数学的基础，学生需要熟练掌握自然数、整数、有理数和实数等的概念和运算规则。
代数是数学研究的一种方法，通过符号表达和处理数学关系，学生需要掌握方程、不等式、函数等代数表达式的意义和运算方法。
几何是研究空间形体和其性质的学科，学生需要熟悉平面图形和立体图形的名称、性质和计算方法。
概率统计是一门研究随机事件发生及其规律的学科，学生需要了解频率、概率、抽样调查等基本概念以及数据的整理、分析和展示方法。
另外，逻辑是思维的基础，也是数学和科学研究的基本能力。
在数学中，逻辑主要包括命题逻辑、谓词逻辑和集合论等。
命题逻辑研究命题的逻辑关系，学生需要了解命题的概念、真值表和逻辑运算的规则。
谓词逻辑研究的是命题中含有变量的逻辑关系，学生需要了解命题的量词、谓词与量词的逻辑运算。
集合论研究的是集合的性质和运算规则，学生需要了解集合的定义、分类和集合间的关系。
初中数学与逻辑的基础知识在学生的日常生活中也有广泛的应用。
例如，在购物中，学生需要计算折扣、比较价格和计算找零；在时间管理中，学生需要计算和估算时间；在各类游戏中，学生需要运用逻辑思维解决问题。
掌握数学与逻辑的基础知识不仅能够提升学生的学业成绩，还有助于培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
要想更好地掌握初中数学与逻辑的基础知识，学生可以采取以下几个方法：首先，注重基础知识的掌握。
学生在学习新知识时，要将基本概念和定理牢固掌握，建立起扎实的数学基础。
要理解数学定理的证明过程，多进行实际操作和练习题的训练，加深对数学概念的理解。
其次，培养逻辑思维能力。
数学的数理逻辑基础
数学的数理逻辑基础数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念和关系的学科。
而数理逻辑则是数学的基石，它研究的是推理的规则和形式系统的基本结构。
数理逻辑帮助我们理解和应用数学的概念、定理以及推理过程。
本文将探讨数学的数理逻辑基础。
一、命题逻辑命题逻辑是最基本的数理逻辑体系之一，它研究的是命题和命题之间的逻辑关系。
在命题逻辑中，命题是陈述或表达某种陈述的句子，可以判断为真或假。
命题逻辑使用符号表示命题，并通过连接词和推理规则描述命题之间的关系。
命题逻辑的连接词包括与（∧），或（∨），非（¬）以及蕴含（→）。
例如，命题p与命题q可以通过连接词“∧”表示为p∧q，表示p和q都为真；通过连接词“∨”表示为p∨q，表示p和q中至少有一个为真；通过连接词“¬”表示为¬p，表示p的否定；通过连接词“→”表示为p→q，表示如果p为真则q也为真。
命题逻辑的推理规则有假言推理、析取三段论、消解规则等。
这些推理规则帮助我们从已知命题推出新的命题，并验证其逻辑的正确性。
二、一阶逻辑一阶逻辑是为描述现实世界中的量化、关系和函数等概念而设计的逻辑系统。
与命题逻辑不同，一阶逻辑不仅仅研究命题的真值，还引入了量词和变量。
一阶逻辑包括命题变项、项、公式、量词和推理规则等概念。
命题变项是用变量表示的命题，项是一种符号串，表示命题变项和常量之间的关系。
公式是由项和逻辑符号组成的陈述，可以判断为真或假。
量词包括全称量词（∀）和存在量词（∃），用于描述命题变项的范围。
一阶逻辑的推理规则包括普通推理规则和量词推理规则。
通过这些推理规则，我们可以推导出新的命题，并验证其逻辑的有效性。
三、集合论和公理化数学集合论是数学中的一个重要分支，它通过集合的概念描述了数学对象的集合以及它们之间的关系。
集合论在一定程度上将数学建立在了严谨的逻辑基础之上。
在集合论中，集合是由一些确定的对象组成的整体。
集合之间的关系可以通过包含关系表示，例如集合A包含于集合B可以表示为A⊆B。
中学数学的逻辑基础知识
第四章中学数学的逻辑基础知识教学目的：通过本章的学习，使学生掌握概念、命题、推理、证明等的特点，了解并掌握在具体的教学过程中学生的心理分析。
教学内容：1、数学概念及其教学。
2、数学命题及其教学。
3、数学推理、证明及其教学。
教学重、难点：中学数学基础知识的教学方法。
教学方法：讲授法教学过程：§1 数学概念及其教学1．1 数学概念1、数学概念的意义客观事物都有各自的许多性质，或者称为属性．人们在实践活动中，逐渐认识了所接触对象的各种属性．在感性认识的基础上，经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，于是，便称其为这种事物的本质属性．反映事物本质属性的思维形式叫做概念．数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系．反映数学对象的本质属性的思维形式叫做数学概念．数学概念通常用特有的名称或符号来表示．名称（或符号）和与此相关联的概念分属两个不同的范畴．概念反映名称（或符号）的内容，表达出人们认识事物的结果，而概念的名称（或符号）是表达概念的语言形式．有时同一个概念会有不同的名称（或符号），如“5”、“五”、“five”都表示同一个数，因此，使用名称（或符号）时，重要的是它所表达的内容，即相关联的概念本身．必须注意“属性”与“本质属性”的不同．一个数学对象的某个属性，可以是其它数学对象也具有的，但是本质属性是它区别于其它数学对象的属性．例如，一组对边平行“是平行四边形的属性，但不是本质属性；“对角线相等”是正方形的属性，但不是本质属性．一般的，一个概念的本质属性完全刻划了这个概念，从这一点来说，它是不可分割的．它的一部分只是这个概念的属性，但不再是本质属性．2、概念的外延与内涵概念反映了事物的本质属性，也就反映了具有这种本质属性的事物．一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延．例如，“平行四边形”这一概念的外延是“所有平行四边形的集合”，“偶素数”这一概念的外延是“2”．一个概念所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵．把这个概念的每一个本质属性都称为这个概念的内涵的一个表现形式式这些本质属性之间是相互等价的，它们的全体构成一个等价类．因此，一个概念的内涵实际是一个等价类，这个概念的内涵的每一个表现形式都是它的一个代表元．我们约定，一般情况下，说出一个概念的内涵，只要说出它的任一个代表元．一个概念的内涵和外延分别从质和量两个方面刻划了这个概念，每个概念都是其内涵与外延的统一体．概念的内涵严格确定了概念的外延，反之，概念的外延完全确定了概念的内涵．概念的外延和内涵是主观对客观的认识，由于人们对客观事物的认识是发展变化的，概念的外延和内涵必然相应地发生变化，但是在发展变化的过程中有其相对的稳定性．例如角的概念，起初角是作为具有公共端点的两条射线所构成的图形．其外延在小学阶段为0o 到180o 的角，到初中发展为0o 到360o 的角．后来发展成，角是一条射线绕着端点旋转所形成的图形．其外延，在平面几何中为0o 到360o 的角，在三角中发展为任意角．在以上的发展变化过程中，角这一概念的外延与内涵都发生了变化，但是在数学科学体系的确定的阶段，每一个数学概念的外延和内涵都是确定的，并且如前面已经说过的，概念的外延和内涵二者是相互确定的．当用集合(){}x x A Φ=表示一个概念的外延时，()x Φ就给出了这个概念的内涵．3、概念间的关系为了弄清数学概念，必须对互相联系着的概念进行比较，即比较它们的外延与内涵，研究相互间的关系．这里介绍中学数学中常见的一些关系，从比较概念的外延入手，并结合分析内涵之间的关系．（1）相容关系如果两个概念的外延至少有一部分重合，则称它们之间的关系为相容关系．相容关系可分为以下三种情况：i ）同一关系 如果两个概念的外延完全相同，则称这两个概念间的A （B ）图4-1关系为同一关系，这两个概念称为同一概念．同一关系可用图4-1表示．之所以提出同一关系，是因为虽然概念的外延完全确定了概念的内涵，但内涵的表现形式可以不同．研究同一关系可以对概念的本质属性有更深刻、更全面的认识，在推理证明中，这些等价的本质属性互相代换，可使问题易于解决．例1 下列各组概念是同一概念：（i ）偶素数；最小的正偶数．（ii ）有理数；形如q / p （p 、q 是整数，p ≠0）的数．（iii ）等腰三角形底边上的高、中线、顶角的平分线．ii ）从属关系如果一个概念A 的外延真包含于另一个概念B 的外延，那么称这两个概念之间的关系为从属关系．外延较小的概念A 叫做种概念，外延较大的概念B 叫做属概念．如图4-2所示． 例2 下列各组概念间具有从属关系，前者是种概念，后者是属概念： （i ）有理数；实数．（ii ）一元二次方程；整式方程．（iii ）矩形；平行四边形．种概念和属概念是相对而言的．例如，“平行四边形”这一概念，相对于“矩形”概念来说是属概念，而相对于“四边形”概念来说却是种概念．从内涵方面看，显然种概念具有属概念的一切属性，而两者的本质属性又不相同，所以属概念的本质属性都是种概念的属性，种概念的内涵真包含属概图4-2念的内涵．即是说，具有从属关系的概念之间，就包含的意义上讲，外延愈小，内涵愈多；外延愈大，内涵愈少．反之，内涵愈多，外延愈小；内涵愈少，外延愈大．这称为外延与内涵的反变关系．例如：需要指出的是，如果在给定的一个概念的基础上，增多内涵或缩小外延，就得到原概念的一个种概念；减少内涵或扩大外延，就得到原概念的一个属概念．在数学中，为了对某一个概念加深认识，或者为了用较一般的概念来说明特殊概念，往往采取逐步增加概念的内涵，使概念的外延缩小的方法，从而得到一系列具有从属关系的概念，这种方法叫做概念的限定．例如，在平行四边形的内涵中增加“有一个角为直角”这一性质，就成为矩形的内涵了；同时，就从平行四边形的外延缩小到了矩形的外延．在相反的情况，为了从特殊概念来认识一般概念，而把某一概念的内涵逐步减少，使概念的外延逐步扩大，从而得到一系列具有从属关系的概念，这种方法叫概念的概括．例如，与上面的例子相反的过程就是概念的概括．再如，从二次根式到n次根式，从（平面）四边形到空间四边形，都是概念的概括．iii）交叉关系如果两个概念的外延有且只有部分重合，那么称这个概念间的关系为交叉关系，这两个概念叫交叉概念．如图4-3所示．例3 下列各组概念是交叉概念：（i）正数；整数．（ii）等腰三角形；直角三角形．A图4-3B（iii ）矩形；菱形．两个交叉概念的外延重合部分所反映的对象，同时具有这两个概念的一切属性．另一方面，由这个外延的重合部分就给出了另一个概念，它相对于原来的两个概念来说都是种概念．如例3中的交叉概念“正数”和“整数”，其外延重合部分是正整数概念的外延，正整数同时包含了正数和整数的一切属性．交叉概念“矩形”和“菱形”，其外延重合部分是正方形的外延，正方形概念同时是矩形和菱形的种概念，它的内涵同时包含了矩形和菱形的内涵．（2）不相容关系如果两个概念的外延没有任何部分重合，即它们的交集是空集，那么称这两个概念间的关系为不相容关系或全异关系．不相容关系可分为下列两种情况．i ）对立关系在同一属概念之下的两个种概念，如果它们的外延的交集是空集，而外延的并集小于这个属概念的外延，那么称这两个种概念之间的关系（相对于这一属概念而言）为对立关系，这两个种概念叫对立概念．（如图4-4如示）．例4 下列各组概念是对立概念：（i ）正有理数；负有理数（相对于属概念“有理数”而言）．（ii ）等腰梯形，直角梯形（相对于属概念“梯形”而言）．（iii ）整式方程；分式方程（相对于属概念“代数方程”而言）．对立概念虽然都具有给定属概念的属性，但是它们是相互排斥的，所反映的对象没有一个是相同的；另一方面，在给定的属概念所反映的对象中存在着图4-4不属于两个概念中任何的一个对象，即是有非此非彼的对象．如例4的（iii ）中，无理方程即非整式方程又非分式方程．ii ）矛盾关系在同一属概念之下的两个种概念，如果它们外延的交集为空集，而外延的并集等于这个属概念的外延，那么称这两个种概念之间的关系（相对于这一属概念而言）为矛盾关系，这两个概念称为矛盾概念．如图4-5所示．例5 下列各组概念是矛盾概念：（i ）零；非零整数（相对于属概念“整数”而言）．（ii ）不等边三角形；等腰三角形（相对于属概念“三角形”而言）．（iii ）整式方程；分式方程（相对于属概念“有理方程”而言）．矛盾概念也都具有给定属概念的属性，又是互相排斥的．同时，给定的属概念所反映的任一对象，对这两个种概念来说，有非此即彼的关系．如例5的（ii ）中，任一个三角形，或是不等边三角形，或是等腰三角形，二者只有其一，同时二者必居其一．值得注意的是，如果说明两个概念是不相容概念，只要直接去比较二者的外延；但如果要进一步说明，是对立概念还是矛盾概念，则一定要相对于它们的一个给定的共同的属概念才能讨论．例如“正整数”和“负整数”两个概念，相对于属概念“整数”来说是对立概念，而相对于属概念“非零整数”来说，则是矛盾概念．概念的不相容关系在数学证明的反证法、穷举法中有所应用．任何两个联系着的可比较的概念之间必具有相容关系和不相容关系中的一 A B图4-5种．进而分析，必具有同一关系、从属关系、交叉关系、对立关系、矛盾关系之一种．具有全异关系的两个概念未必是对立关系、矛盾关系，但具有对立关系、矛盾关系的两个概念必是全异关系．对具相容关系的两个概念亦可作类似分析．4、概念的定义（1）概念的定义定义是建立概念的逻辑方法．人们在认识事物的过程中，经过抽象，形成概念，就要借助语言或符号，加以明确、固定和传递，这就要给概念下定义．常常是在抽象出事物的本质属性之后，运用逻辑的方法和精练的语言或符号揭示出对象的本质属性．下定义的方式，可以是直接揭示对象的本质属性来给出定义，也可以是通过揭示概念的外延来给出定义，这是因为概念的外延完全确定了它的内涵．对于用前一类办法定义的概念，定义中揭示的这个概念所反映的对象的本质属性，称为基本本质属性，也称为这个概念的基本内涵．当要求说出一个概念的内涵时，通常只要说出它的基本内涵．一个概念，其对象的所有属性都可以由定义推出．由于和本质属性等价的属性也是本质属性，所以一个概念，其反映的对象的本质属性常常不止一个，由它的任意一个本质属性都可以得到这个概念的一个等价定义．例如，平行四边形的定义为：“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．”定义中直接揭示的“两组对边分别平行的四边形”就是平行四边形概念的基本内涵．而与之等价的，“两组对边分别相等的四边形”，“一组对边平行且相等的四边形”，“两组对角分别相等的四边形”，“对角线互相平分的四边形”等，都是平行四边形的本质属性，由其中任一个都可得到平行四边形的一个等价定义．不过，中学数学教学中，一般不提等价定义．概念的定义是一种约定，因此，任何定义都不能证明它是否正确，但是它应当选择得合理．在教学过程中，向学生说明一个概念定义的理由是有益的．（2）原始概念在数学中总是力求对数学概念下定义，就是说用一些已知的概念来定义新概念，这样就构成了一个概念的体系，但是数学概念的个数是有限的，所以在这个概念的体系中总有一些概念不能再用别的概念来定义，而被作为概念体系的出发点，这样的概念叫原始概念，或基本概念，或不定义概念．在中学数学里，对原始概念采用直观描述的办法．如拉紧的线、纸的折痕给我们以直线的形象，平静的水面给我们以平面的形象．又如中学数学里对集合所作的描述，只是使用一些同义语让学生意会，不是集合的定义．再如“0，1，2，3，……叫自然数”，这是直观说明的方法，不是自然数的定义，这些概念都是不定义的概念．在数学科学中，对原始概念可用公理来间接定义．如点、直线、平面的概念，由希尔伯特公理系统间接给出，它们除了满足公理系统外，不需要再给出任何其它意义．自然数（序数理论）由皮亚诺公理、集合也由公理化方法来间接定义，等等．前面说过，对概念逐步进行概括，就可得到一系列具有从属关系的概念．不过，这个过程只能进行有限个步骤，就必然归结为原始概念．如图4-6所示，正方形是特殊的菱形，菱形是特殊的平行四边形，平行四边菱形平行四边形四边形多边形正方形点集—几何图形形是特殊的四边形，四边形是特殊的多边形，多边形是特殊的几何图形，几何图形是点集．这样，就追溯到了原始概念：点和集合．（3）常用的定义方法i）属概念加种差定义法我们先看平行四边形的定义：“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．”这里，“平行四边形”是被定义的概念，“四边形”是已有定义的，它是属概念，“两组对边分别平行”是平行四边形与其它四边形的差别，称之为“种差”，这种定义方法就是属概念加种差定义法．一般地，属概念加种差定义法就是，用被定义概念最邻近的属概念，连同被定义的概念与同一属概念下其它种概念之间的差别（即种差），来进行定义的方法．种差揭示了被定义概念相对于这个属概念来说特有的属性，它连同这个属概念的基本内涵一起，就构成了被定义概念的基本内涵．注意到被定义概念的属概念常常不止一个，显然，选择最邻近的属概念可使种差简单一些．属概念加种差定义法使概念间的关系很明了，有助于概念的系统化．ii)发生式定义法不是直接揭示概念的基本内涵或外延，而是通过指出概念所反映的对象产生的过程，由此来定义概念的方法，叫做发生式定义法．发生式定义法是属概念加种差定义法的一个变异，这里的属概念不一定是被定义概念最邻近的属概念，种差也不是揭示被定义概念相对于属概念来说特有的属性，而是给出被定义概念所反映对象发生的过程．例如，“平面内一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角．”“把数和表示数的字母用代数运算符号联结起来的式子叫代数式，单独一个数或一个字母也是代数式．”用的都是发生式定义法．iii) 关系定义法是以事物间的关系作为种差的定义，它指出这种关系是被定义事物所具有而任何其他事物所不具有的特有属性．例如，偶数的定义：能被２整除的整数叫做偶数．这是一个关于偶数的关系定义，它的种差是偶数与２的一种关系．iv)外延定义法有些数学概念的外延是单一的对象或是几个简单明显的对象组成的集合，往往直接揭示概念的外延作为定义．例如，“有理数和无理数统称为实数”，“我们规定a0=1（a≠0）”等都是用的揭示外延定义法．v）递归定义法例如用递推公式a n=a n-1+d定义等差数列，就是归纳定义法．（4）定义的规则i）定义必须是相称的我们知道，常常是先形成概念，再用下定义这样的逻辑方法来明确和建立概念．因此，下定义时，必须使定义所确定的概念和人们已经形成的概念相一致．必须准确揭示要建立的概念的基本内涵，或者说必须使由所下定义确定的概念外延和人们已经形成的，已建立的概念的外延相同，这就是定义应当相称的意思．另外，学生学习、理解、掌握定义，必须与人们已经建立的概念、已经下的定义相一致，或者说相称．因为，定义虽然是一种约定，任何定义谈不上证明是否正确，但是，一经约定，就不能再下与此不一致的“定义”了，不能随便把与数学中已建立的概念不相一致的东西作为这个概念的“定义”．例如，不能把“两条不相交的直线”当作平行线的定义，因为在空间，不相交的直线还有异面直线的情形．应该是“在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线”．又如，不能把“无理数是开不尽的方根”当作无理数的定义，因为无理数概念外延中还包括了除此而外的许多其它数，象π、e、tan2、sin1o等等．ii）不能循环定义如果把甲概念作为已知概念来定义乙概念，又把乙概念作为已知概念来定义甲概念，就是循环定义，犯了逻辑错误．循环定义既不能揭示概念的基本内涵，又不能确定概念的外延．例如，用两直线垂直来定义直角，又用两直线成直角来定义垂直，就是循环定义．iii）一般不用否定形式作定义定义要揭示概念所反映对象的本质属性，而否定形式一般不能做到这一点．例如不能把“不是有理数的数叫做无理数”当作无理数的定义，因为这既没有揭示出无理数的基本内涵，也没有确定无理数的外延．当然也有例外的情形，如平行线的定义．不过，这个定义表面上看，是否定形式，但它实际上揭示出了平行线“在同一平面内，没有公共点”的本质属性．iv）定义中应没有多余的条件定义中列举的属性对于揭示概念反映的对象的本质属性来说应是必不可少的．所谓必不可少是指每一个属性都是独立的，不能由列举出的其它属性推出．凡是可由列举的其它属性推出的，对于定义来说都是多余的条件，应删去．例如，把“四个角都是直角的平行四边形叫做矩形”当作矩形定义，条件就多余了．5、概念的划分（1）概念划分的意义把一个属概念分成若干个种概念，来揭示概念外延的逻辑方法叫做概念的划分．在数学中常用划分把概念系统化．例如，对复数可作如下的分类：（2）划分的基本要求正确的划分应符合下列条件：i）所分成的种概念之间应是全异关系，即是说任两个种概念的外延的交集应是空集．换言之，属概念反映的任一个对象只能属于一个种概念的外延，不能有重复．例如，把“平行四边形”作如下“划分”是错误的．平行四边形矩形菱形正方形非纯虚数a+bi （a≠0）因为“矩形”和“菱形”的外延有重合部分，就是“正方形”的外延．又如，把“三角形”作如下“划分”也是错误的．因为等边三角形是特殊的等腰三角形．ii ）划分应是相称的．即是说所分成的全异种概念的外延的并集等于属概念的外延．换言之，属概念反映的任一对象都应属于一个种概念的外延，没有遗漏．例如，把“三角形”作如下“划分”是错误的．漏掉了“只有两边相等的三角形”，“不等边”并非是对“等边”的否定，而是“三边都不相等”．iii ）每次划分都应按照同一个标准进行． 在一次划分中用不同的根据就造成了混乱．例如，在对三角形进行“划分”时，如果分出的种概念中，既有等边三角形，同时又有“直角三角形”，就是不正确的．iv ）划分不应越级应把属概念分为最邻近的种概念．例如，把“实数”分为“有理数”和“无理数”两类是正确的．如果把“实数”分为“整数”、“分数”和“无理数”就越级了．越级分类会把概念的系统搞乱．三角形不等边三角形等腰三角形 等边三角形三角形不等边三角形 等边三角形（3）二分法二分法是一种常用的划分方法，是把一个概念的外延中具有某个属性的对象作为一类，把不具有这个属性的对象作为另一类．换言之，是把属概念分成两个矛盾的种概念．例如，把“实数”分为“负实数”和“非负实数”，就是用的二分法．二分法，集中注意了概念的某个属性，而且自然满足了上面关于正确分类的前三个条件，因此常常被采用．§2 数学命题2．1 数学命题的意义和结构一、判断的意义和种类产生概念之后，人们就要运用已有的概念对客观事物进行肯定或否定．对思维对象有所肯定或否定的思维形式叫做判断．判断是属于主观对客观的认识，因此，判断有真有假，其真假要由实践来检验，在数学中要进行证明．判断，按思维对象的量分类，有全称判断、特称判断、单称判断；按质来分，有肯定判断、否定判断．二、数学命题的意义关于数学对象及其属性的判断叫做数学判断．判断要借助于语句，表示判断的语句叫命题．在数学中，用来表示数学判断的陈述句或符号的组合叫做数学命题．由于判断有真假，所以数学命题也就有真命题和假命题之分．命题的“真”和“假”，称为命题的真值，我们分别用1和0表示．一个命题要么真，要么假，二者必居其一．形式逻辑专门研究判断的形式，而不管判断的内容，只从真值的角度研究命题的形式及各种命题之间的关系．在数学中，既研究命题的内容，又研究命题的形式．只有把内容和形式统一起来，才成为数学命题．例如，“2+3=5”，“线段AB的长为10cm”，“三角形ABC是等腰三角形”等，都是数学命题．在数学中，弄清以下四种常用命题形式及相互关系是重要的：（1）全称肯定命题，通常用A表示．它的逻辑形式为“所有的S是P”，可记为“SAP”．（2）全称否定命题，通常用E表示．它的逻辑形式为“所有的S都不是P”，可记为“SEP”．（3）特称肯定命题．通常用I表示．它的逻辑形式为“有的S是P”，可记为“SIP”．（4）特称否定命题．通常用O表示．它的逻辑形式为“有的S不是P”，可记为“SOP”．此外，还有单称肯定命题，如＂π是无理数＂；单称否定命题，如＂3.1416不是无理数”.以上四种命题形式中，S叫做命题的主项（或称主词），表示命题的对象；“所有的”或“有的”，表示主项的数量，叫做量项（或称量词）；（需要注意的是，全称命题中的量词“所有的”常常省略不写）．P叫做谓项（或称宾词），表示性质；“是”或“不是”称为联项（或联结词），表示肯定或否定．我们来看对于有相同主项、谓项的这四种命题之间，其真假有什么联系．。
中小学数学的逻辑基础
中小学数学的逻辑基础概念一、什么是数学概念概念是指反映事物的本质属性和特征的思维形式。
比如，圆是一类事物，它是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，这是圆的本质属性，而圆的概念就是这一本质属性的反映。
客观世界的许许多多事物都有各种各样的性质，事物间存在各式各样的关系，这些性质和关系都是事物的属性。
事物由于属性相同或不同，形成各种不同的类，属性相同的事物形成一类，属性不同的事物就形成不同的类。
正确概念是科学抽象的结果。
人们在实践活动中接受客观事物的各种各样的信息，形成观念，从而获得感性认识，在此基础上运用比较、分析、综合、抽象和概括等方法，去粗取精，舍掉事物的一些次要方面，保留了事物的本质属性，抽象出一类物事所具有而其它类事物所不具有的那些属性，即本质属性和特征，从而形成了反映事物的本质属性和特征的各种各样的概念。
现实世界的空间形式和数量关系是数学的特定研究对象，数学概念就是反映这些数学对象的本质属性和特征的思维形式。
例如，人们对太阳、满月等现实的圆形物体的形象得到了圆的感性认识，初步形成了关于圆的观念，在实践活动中，通过制造圆形工具或器皿需要画圆，从而逐步认识了圆的本质属性，最后形成圆的概念。
在数学中，每一个概念通常都用一个特有的名称或符号来表示，例如，O表示以点O为圆心的圆，又如两个三角形全等用≌来表示。
数学概念的产生与发展途径是多方面的。
有的数学概念是从它的现实模型直接反映得来的。
例如，几何中的三角形、梯形等概念都是从物体的形状、位置、大小关系等具体形象抽象概括得来的。
又如，自然数概念是从绳子的条数，或其它单位事物集合元素的个数，或者从事物排列的次序抽象概括得来的。
另外，有的数学概念是经过人们的加工，把客观事物的属性理想化、纯粹化才得到的。
例如，直线这个概念所反映的“直”和“可以无限延伸”等特征是从笔直的条形物体的形象理想化、纯粹化得来的。
还有些数学概念是从数学内部的需要中产生出来的。
例如，无理数，它是在运用勾股定理计算以1和1为两条直角边的直角三角形斜边长时而得到的，由此引发了无理数的诞生。
简明初中数学复习逻辑推理的基本方法
简明初中数学复习逻辑推理的基本方法数学是一门以逻辑为基础的学科，逻辑推理是数学思维的核心。
初中数学中，通过学习逻辑推理的基本方法，可以帮助我们提高问题解决能力，培养逻辑思维和分析能力。
下面将介绍一些简明的初中数学复习逻辑推理的基本方法。
1. 确定问题在解决一个数学问题之前，首先要确立清晰的问题定义。
仔细阅读问题，找出与问题相关的要素和条件。
理解问题的核心并梳理思路，有助于我们明确解题的方向。
2. 列出已知条件和假设在解题过程中，将问题中已知的条件列出来，用适当的符号表示。
同时，如果问题中有一些假设条件，也要将其明确列出来。
这样可以让我们更好地理解问题，并且为后续的推理和计算提供基础。
3. 进行逻辑推理在明确了问题和相关条件之后，我们可以根据已知条件进行逻辑推理。
通过运用各种推理方法，如归纳法、演绎法等，来推导出更多的结论。
逐步推理，将问题分解为更小的子问题，并找出它们之间的联系，以达到解决整个问题的目的。
4. 使用图表辅助推理在解决一些几何和代数问题时，可以使用图表来辅助推理。
绘制几何图形或者制作表格，有助于我们更好地理解问题，并能够更清晰地观察和发现问题中的规律和关系。
5. 勤于总结规律在解决数学问题时，我们经常会遇到一些规律和性质。
要善于观察、整理并总结这些规律。
通过发现问题中的共性和相似之处，我们可以更快地解决类似的问题，并且提高解题的准确性和效率。
6. 多做习题与模拟题只有通过大量的练习和实践，才能真正掌握逻辑推理的方法。
多做习题和模拟题，不仅可以帮助我们巩固知识和技巧，还可以培养我们的逻辑思维能力和快速反应能力。
7. 合理利用计算工具在进行数学推理和计算时，我们可以合理利用计算工具，如计算器、平面几何工具等。
这些工具可以帮助我们快速进行计算和绘图，节约时间和精力。
以上是简明初中数学复习逻辑推理的基本方法。
通过掌握这些方法，我们能够更好地解决数学问题，提高数学成绩，培养逻辑思维和分析能力。
中学数学逻辑基础
“中学数学逻辑基础”教学方案一、教学目的：通过教学使学生了解中学数学是由概念、定义、公理、定理等组成的逻辑体系。
深入认识在理解数学概念、数学命题,进行判断和推理时,必须遵守逻辑规律,否则,就会犯逻辑错误。
掌握数学中有关的逻辑知识,对于深刻领会数学教学内容,按逻辑原则组织教学,提高学生的逻辑思维能力的意义和作用。
二、教学重点、难点与关键：数学知识的逻辑系统，数学教学的逻辑要求和组织原则三、教学方法：讲授、讨论与见习教学四、教材分析：中学数学是由概念、定义、公理、定理等组成的逻辑体系。
在理解数学概念、数学命题,进行判断和推理时,必须遵守逻辑规律,否则,就会犯逻辑错误。
掌握数学中有关的逻辑知识,对于深刻领会数学教学内容,按逻辑原则组织教学,提高学生的逻辑思维能力,有着重要的意义和作用。
本章着重结合数学概念、数学命题、数学推理与证明的教学。
阐述逻辑知识在中学数学教学中的运用。
五、教学程序：11.1 概念及其定义11.1.1概念的本质概念是反映事物本质属性的思维形式。
所谓“本质属性”,就是指它构成某种事物的基本特征,这种属性只为这类事物所具有,它是一种事物区别于另一种事物的根本依据。
数学概念是反映思考对象空间形式和数量关系本质属性的思维形式。
例如,平行四边形这个数学概念,它具有方位、大小、形状诸方面的许许多多属性,但只要抓住“四条边”这条属性,就可把它与多边形相区分;只要抓住“两组对边分别平行”这条属性,就可把它与一般四边形相区分。
“四条边”、“两组对边分别平行”就是平行四边形这个概念的本质属性。
一旦把本质属性从众多的属性中分离出来,并把这些本质属性作为一个“整体”,我们便形成了“平行四边形”这个清晰的数学概念。
因此我们说,概念是事物本质属性的反映指的是整体反映。
11.1.2概念的内涵与外延概念的内涵与外延,是概念的基本特征,是准确把握概念和系统掌握知识的基础。
因此,对概念的内涵与外延要特别予以重视。
1、内涵与外延的含义概念的内涵就是概念所反映的事物的本质属性的总和,概念的外延就是概念所反映的事物的总和(或范围)。
数学的数学逻辑
数学的数学逻辑数学作为一门严密的学科，以其独立的思维方式和严谨的逻辑性而著称。
作为一位数学爱好者，我对数学的数学逻辑产生了浓厚的兴趣。
本文将从数学的逻辑性、数学证明以及数学思维方式三个方面来探讨数学的数学逻辑。
一、数学的逻辑性数学的逻辑性是其独特之处。
数学家通过推理和证明来建立数学定理和公式，这种推理过程严格遵循数学基本法则和逻辑规律。
无论是代数、几何还是概率论，数学在表达问题和解决问题时都遵循着一致的逻辑结构。
与其他学科不同，数学的逻辑性使得它可以建立起严密的理论体系，从而为其他领域提供了有力的支持和指导。
数学的逻辑性还体现在其符号化的表达方式上。
数学家通过符号和公式来表达问题和解决问题，这种符号化的表达方式具有简洁明了、精确无歧义的特点。
例如，对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过求解方程的根来得到问题的解。
这种符号化的表达方式不仅有利于问题的解答，还能提高学习者的数学思维能力和逻辑思维能力。
二、数学证明数学证明是数学中最重要的一部分，也是数学的逻辑性得以体现的关键。
数学证明是通过逻辑推理和推导来证明一个数学命题的真实性或者错误性。
数学证明旨在通过推理链条将命题与已知的数学定理相连接，从而建立起一个严密的逻辑框架。
在数学证明中，严谨性和准确性是首要的要求。
一个数学证明必须经过反复推敲和逻辑严格的推导，不能有任何疏漏和矛盾。
同时，数学证明还需要遵循一定的证明结构和证明方法，如数学归纳法、反证法、直接证明等。
通过合理的证明结构和方法，数学家能够有效地解决各种数学难题，为学科发展提供了坚实的基础。
三、数学思维方式数学思维方式是指学习者在数学问题上运用的思考方式和思维模式。
数学思维方式具有抽象性、整体性、逻辑性和创造性等特点。
通过运用数学思维方式，我们能够更好地理解和解决数学问题。
数学思维方式的核心是逻辑推理和抽象思维。
逻辑推理是通过分析问题、归纳总结、演绎推理等方法，从而得出问题的解答。
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第五讲中学数学的逻辑基础（1）本讲简介：恩格斯指出：“初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少的说来是这样。
”中学数学的逻辑基础，主要指形式逻辑，也部分地涉及到辩证逻辑讲以唯物辩证法作指导，重点考察数学概念和数学命题的逻辑基础。
知识结构：学习建议：数学概念是最基本的数学思维形式。
对每个数学概念，应理解和掌握它的内涵外延及定义。
要理解并正确运用概念定义和划分的规则。
理清相关的不同概念之间的系。
数学知识和理论的基本表现形式就是数学命题。
要理解并掌握否定式、合取式、取式、蕴涵式和等值式这5种基本复合命题的真值表，会求复合命题的真值。
掌握数命题（蕴涵式）的四种形式及其内部联系。
重点与难点：本讲的重点是数学概念的定义和划分的规则，5种基本的复合命题的涵义和真值律。
第五讲中学数学的逻辑基础（1）第一节数学概念第二节数学命题相关知识第一节数学概念一、什么是概念概念是反映客观事物本质属性的思维形式。
数学概念是反映现实世界空间形式和量关系本质属性的思维形式。
概念不同于感知，感知是具体的、直接的，概念却是抽象的、概括的。
抽象性和括性是概念不同于感知的重要特征。
概念是最基本的思维形式，任何一门学科，都是由一系列的概念及其体系组成的如果把人的思维比作一个有机体，那么概念就是这个有机体的细胞。
二、概念的内涵和外延1.概念的内涵是概念所反映的对象本质属性的总和（即概念所反映的对象的质的面）；概念的外延是概念所反映的对象的全体（即概念所指的对象的范围或集合）。
如，“平行四边形”的内涵包括：是四边形，对边平行，对边相等，对角相等，对线互相平分等等。
“平行四边形”的外延包括：矩形、菱形、正方形以及各种各样的任意的平行边形。
2.概念的内涵与外延之间的关系：概念的内涵扩大，它的外延就缩小；反之，概的内涵缩小，它的外延就扩大。
例如，在矩形的内涵中增加“邻边相等”的属性，就到正方形的概念，其外延就缩小了；在矩形的内涵中减少内角是直角，就得到平行四形的概念，其外延就扩大了。
三、概念间的关系概念间的关系，是指两个概念的外延所对应的集合之间的关系。
概念之间的关系分为同一关系、从属关系、交叉关系和全异关系四类。
1.同一关系如果两个概念A和B的外延相等，那么这两个概念之间的关系叫做同一关系，这个概念叫做同一概念（图（1））。
例如，“等边三角形”和“正三角形”，一个圆“直径”和该圆中“最大的弦”都是同一概念。
具有同一关系的两个概念在推理时可互相代替。
2.从属关系如果概念A的外延是概念B的外延的真子集，那么这两个概念之间的关系叫做从关系，其中外延较大的概念B叫做属概念，外延较小的概念A叫做种概念（图（2）例如“有理数”和“实数”具有从属关系，这里，“实数”是属概念，“有理数”是概念。
属概念和种概念是相对的。
例如，“矩形”和“平行四边形”具有从属关系，这“矩形”是种概念；“正方形”和“矩形”也具有从属关系，而这时“矩形”是属念。
3.交叉关系如果概念A的外延和概念B的外延只有一部分重合，那么这两个概念之间的关系做交叉关系，这两个概念叫做交叉概念（图（3））。
例如，“有理数”和“正实数是交叉概念，它们外延的交集是“正有理数”的外延。
又如，“矩形”和“菱形”是叉概念，它们外延的交集是“正方形”的外延。
4.全异关系如果概念A的外延和概念B的外延的交集为空集，那么这两个概念之间的关系叫全异关系（或不相容关系），这两个概念叫做全异概念（图（4））。
“直角三角形和“等边三角形”、“自然数”和“负有理数”都是全异概念。
在全异关系中，有两常见的特殊情形：（1）矛盾关系。
如果概念A和概念B具有全异关系，且它们外延的并集等于某一概念C的外延，那么这两个概念间的关系（相对于属概念C而言）叫做矛盾关系，这个概念叫做矛盾概念（图（5））。
例如，“有理数”和“无理数”相对于实数来说具矛盾关系。
又如“等腰三角形”和“不等边三角形”相对于三角形是一对矛盾概念。
(2)对立关系。
如果概念A和概念B具有全异关系，且它们外延的并集为某一属概C的真子集，那么这两个概念间的关系（相对于属概念C而言）叫做对立关系，这两概念叫做对立概念（图（6））例如，“正有理数”和“负有理数”相对于有理数来是具有对立关系的两个概念。
又如，“锐角三角形”和“直角三角形”是一对对立概四、概念的定义1.定义定义是建立概念的逻辑方法，下定义的模式通常有两种：一种是通过揭示概念的涵来给出定义；另一种是通过揭示概念的外延来给出定义。
例1两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
例2函数叫做指数函数。
一切定义都由被定义项、定义项和定义联项三部分组成。
被定义项是需要加以明的概念。
定义项是用来明确定义项的概念。
定义联项是用来联结被定义项和定义项的语。
常用的定义联项有“叫做”、“就是”、“是”、“称为”等等。
2.定义的方式（1）属加种差定义。
属加种差定义是数学概念的最常用的一种定义方式。
用属种差下定义，要做好两方面的工作：一是找出被定义概念的临近的属概念；二是确定差，即找出被定义概念与同一属概念中其它种概念之间的差别。
属加种差定义可以用列公式表示：属 + 种差 = 被定义项例如，平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行边形种差属定义项（提示5.1）（2）发生定义。
发生定义是把只属于被定义概念，而不属于其他任何事物的发或形成的属性作种差的定义。
例如，椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
（3）关系定义。
关系定义是以事物间的关系作为种差的定义，它指出这种关系被定义事物所具有而其他事物不具有的特有属性。
例如，偶数的定义：能被2整除的数叫做偶数。
（4）外延定义。
外延定义是通过列举概念的全部对象来下的定义。
例如，有理的定义：正整数、负整数、正分数、负分数和零统称有理数。
（5）约定式定义。
约定式定义是依据数学上的某种特殊需要，通过约定的方式下的定义。
例如，“零指数”的概念规定为：。
（6）递归定义。
略。
3.定义的规则∙规则1 定义必须是相称的，即定义项和被定义项必须是同一概念。
∙规则2 定义不应当是循环的，即给概念下定义时，不能用被定义项来说明自∙规则3 定义应当清楚确切。
即定义要简明扼要，所列定义项必须是确切的概不能用譬喻或其它含糊的说法来表达定义。
举例说明参见《中学数学教材教法总论》P85五、概念的划分1.划分划分是揭示概念外延的逻辑方法。
也就是通过把一个属概念分为若干个种概念来确概念的逻辑方法。
任何划分都包含划分的母项、划分的子项和划分的根据三个要素。
2.划分的规则∙规则1 划分应当是相称的。
即划分后各个子项外延的总和（并集），应当与项的外延相等。
∙规则2 划分后各个子项应当互不相容。
即划分后不能有一些事物既属于这个项，又属于另一个子项。
∙规则3 划分应按同一标准进行。
即每次划分不能使用几个不同的划分根据。
举例说明参见《中学数学教材教法总论》P86--87第二节数学命题一、判断与命题判断是对客观事物有所肯定或否定的思维形式。
例如，“正数都大于零”，“对顶角相等”，“是有理数”都是判断。
判断有真有假。
一个判断如真实地反映了客观事物的情况，就是真判断；否则就是假判断。
上面的三个判断中，前两个是真判断，第三个是假判断。
判断的表达要依附于语句。
数学中，表达判断的语句称为命题。
表达真判断的语句称为真命题，表达假判断的语句称为假命题。
在形式逻辑中，一个命题不是真的就是假的，不能既真又假。
数学命题常用符号来表达。
例如，“”，“”等都是数学命题。
在命题逻辑中，通常用等表示命题，称为命题变量或命题变元。
命题变量只能取“真”、“假”二值。
通常用“1”表示“真”，用“0”表示“假”。
如果命题是一个真命题，就说的真值等于1，记作；如果命题是一个假命题，就说的真值等于0 ，记作。
数学命题一般可分作简单命题和复合命题两大类。
二、简单命题简单命题，就是不包含其他命题的命题。
简单命题可分为性质命题和关系命题两种。
1.性质命题性质命题，就是判断事物具有（或不具有）某种性质的命题。
性质命题由主项、谓项、量项和联项四部分组成。
根据量项的“全称”或“特称”的量，以及联项的“肯定”或“否定”的质，性质命题可以分为四种形式：∙（1）全称肯定命题（）。
它的形式是：所有都是（）。
例如：一切矩都是平行四边形。
∙（2）全称否定命题（）。
它的形式是：所有都不是（）。
例如：自然数都不是无理数。
∙（3）特称肯定命题（）。
它的形式是：有些是（）。
例如：有些奇数是素数。
∙（4）特称否定命题（）。
它的形式是：有些不是（）。
例如：有些一元二次方程没有实数根。
此外，还有单称肯定命题，如“7是素数”；单称否定命题，如“不是有理数”。
2.关系命题关系命题，就是断定事物与事物之间关系的命题。
例如，“一切正数都大于零”，“直线平行于直线”。
三、复合命题1.逻辑联结词复合命题，是由两个或两个以上其他命题用逻辑联结词结合起来而构成的命题。
常用的逻辑联结词有否定、合取、析取、蕴涵、当且仅当等五种。
（1）否定（非）。
给定一个命题p，它与联结词“非（-）”构成复合命题“非p”,记作“_p”。
若p真，则_p假；若p假，则⌝_p 真。
_p称为p的否定式。
_p的真值表为；（2）合取（与、且）。
给定两个命题p、q ，用“与（∧）”联结起来，构成复合命题“p 与q ”,记作p∧q 。
若p 、q均真，则p∧q 为真；若p 、q 中至少有一个为假，则p∧q 为假。
命题p∧q 称为 p 与q的合取式，又称联言命题。
p∧q 的真值表为100010000（3）析取（或）。
给定两个命题p、q，用“或（∨）”联结起来，构成复合命题“p 或 q ”,记作p∨ q。
若p 、 q 中至少有一个为真`，则p∨ q 为真；若p 、 q 均假，则p∨ q 为假。
命题p∨ q 称为 p 、 q的析取式，又称选言命题。
p∨ q 的真值表为（4）蕴涵（若…则…）。
给定两个命题p、q ，用“若…则…（→）”联结起来，构成复合命题“若p 则q ”,记作p→q 。
若p 真但q 假，则p →q 为假；在p、q 的其余情况下，p →q 均真。
命题 p →q称为 p、q的蕴涵式，又称假言命题。
p 称为条件（或前件），q 称为结论（或后件）。
p →q 的真值表为（5）当且仅当。
给定两个命题p、q ，用“当且仅当（↔）”联结起来，构成复合命题“当且仅当”,记作p↔q 。
若p、q 同真或同假，则p↔q 为真；否则，p↔q 为假。
命题p↔q 称为p、q 的等值式，又称充要条件假言命题。
p↔q 的真值表为否定式、合取式、析取式、蕴涵式和等值式，是复合命题中最简单、最基本的形式。
由这些基本形式，经过各种组合，可以得到更为复杂的复合命题。
为了省略括号，通常约定逻辑联结词的结合力依此减弱。