信号与系统-习题1

)t t)](23--t δttttn][)1(][2121nxnx n-+])1[(2-nxnn][nx]4[-nx]3[nx-]3[nxn]13[+nx1.27 解（a ）()(t x t y =① 因为)2()2()0(x x y +-=，在0=t 的输出与前后时刻的输入都有关，所以系统是记忆的。

② 已知)2()2()(111t x t x t y -+-=，)2()2()(222t x t x t y -+-=。

当)()(012t t x t x -=时，)2()2()(01012t t x t t x t y --+--=，而)2()2()(010101t t x t t x t t y +-+--=-，所以：)()(012t t y t y -≠。

因而系统是时变的。

③已知)2()2()(111t x t x t y -+-=，)2()2()(222t x t x t y -+-=，)2()2()(333t x t x t y -+-=，当)()()(213t x t x t x +=时，)]2()2([)]2()2([)(21213t x t x t x t x t y -+-+-+-= 所以)()()(213t y t y t y +=，因而系统是可加的。

当)()(12t ax t x =时，)()2()2()(1112t ay t ax t ax t y =-+-=，因而系统是齐次的。

综合系统的可加性与齐次性，所以系统是线性的。

④因为)2()2()0(x x y +-=，在0=t 的输出与2=t 的输入也有关，所以系统是非因果的。

⑤若+∞<≤B t x )(，即输入有界，则：+∞<≤-+-≤-+-=B t x t x t x t x t y 2)2()2()2()2()(，即输出有界。

所以系统是稳定的。

（b ）)()].3[cos()(t x t t y =①可见，在0t t =点的输出)(0t y 仅与t t =点的输入有关∴非记忆。

②已知)()]3[cos()(11t x t t y ⋅=，)()]3[cos()(22t x t t y ⋅=。

当)()(012t t x t x -=时，)()]3[cos()(012t t x t t y -⋅=，而)()33cos()(01001t t x t t t t y -⋅-=-， )()(012t t y t y -≠，因而系统是时变的。

③已知)]()3[cos()(11t x t t y ⋅=，)()]3[cos()(22t x t t y ⋅=，)()]3[cos()(33t x t t y ⋅=，当)()()(213t x t x t x +=时，)]()([)]3[cos()(213t x t x t t y +⋅=， 所以)()()(213t y t y t y +=，因而系统是可加的。

当)()(12t ax t x =时，)()]().3[cos()(12t ay t ax t t y ==，因而系统是齐次的。

综合系统的可加性与齐次性，所以系统是线性的。

④因为系统是非记忆的，所以系统是因果的。

⑤若+∞<≤B t x )(，即输入有界，则：∞<≤≤≤=B t x t x t t x t t y )()().3cos()().3cos()(，即输出有界，所以系统是稳定的。

（c ）ττd x t y t⎰∞-=2)()(①0t t =Θ的输出)(0t y 与)2,(0t t -∞∈的输出有关，∴系统是记忆的。

②当输入)()(01t t x t x -=时，输出ττd t x t y t⎰∞--=201)()(，令s t =-0τ，则0t s +=τ，那么)()()()(022100t t y x ds s x t y t t t t -≠==⎰⎰-∞--∞-τ，因而系统是时变的。

③已知ττd x t y t )()(211⎰∞-=，ττd x t y t )()(222⎰∞-=。

令)()()(213t x t x t x +=，则)()()]()([)(212213t y t y d x x t y t +=+=⎰∞-τττ，因而系统是可加的。

当)()(1t ax t x =时，)()()()(2211t ay d ax d x t y tt===⎰⎰∞-∞-ττττ，因而系统是齐次的。

综合系统的可加性与齐次性，所以系统是线性的。

④ττd x y ⎰∞-=10)()5(Θ，即5=t 时的输出)5(y 与)10,(-∞=t 间的输入都有关∴系统是非因果的。

⑤若+∞<=B t x )(，即输入有界，则：∞==≤=⎰⎰⎰∞-∞-∞-tttd B d x d x t y 222)()()(τττττ，所以系统是不稳定的。

（d ）⎩⎨⎧≥-+<=0),2()(0,0)(t t x t x t t y ①)2()0()0(-+=x x y Θ，即)0(y 与2,0-==t t 的输入有关，∴系统是记忆系统。

②令)()(01t t x t x -=，则⎩⎨⎧≥--+-<=⎩⎨⎧≥-+<=0),2()(0,00),2()(0,0)(00111t t t x t t x t t t x t x t t y而⎩⎨⎧≥--+-<=⎩⎨⎧≥---+-<-=-000000000),2()(,00),2()(0,0)(t t t t x t t x t t t t t t x t t x t t t t y)()(01t t y t y -≠∴，系统是时变的。

③令)()(1t ax t x =，则)(0),2()(0,0)(1t ay t t ax t ax t t y =⎩⎨⎧≥-+<=，所以，系统是齐次的。

已知⎩⎨⎧≥-+<=0),2()(0,0)(111t t x t x t t y ，⎩⎨⎧≥-+<=0),2()(0,0)(222t t x t x t t y 当)()()(213t x t x t x +=时，)()(0),2()(0,00),2()(0,00),2()2()()(0,00),2()(0,0)(2122112121333t y t y t t x t x t t t x t x t t t x t x t x t x t t t x t x t t y +=⎩⎨⎧≥-+<+⎩⎨⎧≥-+<=⎩⎨⎧≥-+-++<=⎩⎨⎧≥-+<=综上，所以，系统是线性的。

④考察0t t =点，若00<t ，则0)(0=t y若00≥t ，则)2()()(000-+=t x t x t y ，满足因果的定义，所以系统是因果的。

⑤若∞<≤B t x )(，即输入有界，则：∞<≤⎩⎨⎧≥+<=B t t x t x t t y 20,)2()(0,0)(，有界，所以系统是稳定的。

（e ）⎩⎨⎧≥-+<=0)(),2()(0)(,0)(t x t x t x t x t y ①考察0t t =点，若0)(0≥t x ，则)2()()(00-+=t x t x t y即0t t =点的输出)(0t y 与2,00-==t t t t 点的输入有关，所以，系统是记忆的。

②令)()(01t t x t x -=，则)(0)(),2()(0)(,00)(),2()(0)(,0)(0000011111t t y t t x t t x t t x t t x t x t x t x t x t y -=⎩⎨⎧≥---+-<-=⎩⎨⎧≥-+<=因此，系统是时不变的。

③已知⎩⎨⎧≥-+<=0)(),2()(0)(,0)(11111t x t x t x t x t y ，⎩⎨⎧≥-+<=0)(),2()(0)(,0)(22222t x t x t x t x t y 令)()()(213t x t x t x +=，则：⎩⎨⎧≥+-+-++<+=⎩⎨⎧≥-+<=0)()(),2()2()()(0)()(,00)(),2()(0)(,0)(2121212133333t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t t x t y 而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+-++-+≥<-+<≥-+<<<++=+0)(&0)(&0)()(),2()()2()(0)(&0)(),2()(0)(&0)(),2()(0)(&0)(&0)()(,00)()(2121221121222111212121t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t y t y所以，)()()(213t y t y t y +≠∴系统是非线性的。

④考察0t t =点，若0)(0<t x ，则0)(0=t y若0)(0≥t x ，则)2()()(000-+=t x t x t y ，满足因果的定义，所以系统是因果的⑤若∞<≤B t x )(，则：∞<≤⎩⎨⎧≥+<=B t x t x t x t x t y 20)(,)2()(0)(,0)(，有界，所以系统是稳定的。

（f ）)3/()(t x t y =①()3/1)1(x y =Θ，即1=t 时的输出与3/1=t 时的输入有关，∴系统是记忆的。

②令)()(01t t x t x -=，则)3/()3/()(011t t x t x t y -==而)()3/3/(]3/)[()(1000t y t t x t t x t t y ≠-=-=-，所以，系统是时变的。

③已知)3/()(11t x t y =，)3/()(22t x t y =，令)()()(213t x t x t x +=，则：)()()3/()3/()3/()(212133t y t y t x t x t x t y +=+==，因而系统是可加的。

当)()(1t ax t x =时，)()3/()3/()(11t ay t ax t x t y ===，所以系统是齐次的。

综上，系统是线性的。

④)31()1(-=-x y Θ，即1-=t 时的输出与3/1-=t 时的输入有关，∴系统是非因果的。

⑤若∞<≤B t x )(，则：则∞<≤=B x t y )3/1()(，所以系统稳定。

（g ）dt t dx t y )()(=①∆-∆+==→∆=)()(|)()()(0000lim 0t x t x t d t dx t y t t Θ,即0t t =时的输出与∆+=00,t t t 的输入有关，所以系统是记忆的。