计量经济模型的应用

技术进步的测算
dy dA f L dL f K dK ( )( )( ) ( )( )( ) y A L f L K f K
dy 产出增长率 y
dA 技术进步率 A
dL L 劳动增长率
f L 劳动产出弹性 L f
dK 资本增长率 K
f K 资本产出弹性 K f
生产的增长速度方程
边际产量
y 1 y 1 ( ) K A K
K d ln( ) 1 L y y d ln( / ) 1 L K
y y 1 ( ) L A L
替代弹性
0
时
1
，CES生产函数趋近于C-D生产函数
y AL K 1
K

引入时间因素（技术进步）
y Ae K L e
rt

ln(y / L) ln A rt ln(K / L)
( 1)
(3) CES生产函数
A0
规模参数
0 1 分配参数
y A(L (1 ) K )1/
1 替代参数
0 * i 1
n
Vi ( Pi X i bi Pi X i0 ) bi*Y
0 * i 1
n
Vi ai bi*Y

第二步：OLS估计，得出的
估计量 ai 和bi
*
线性支出系统的参数估计(2)

第三步：求出原模型相关参数
ai Pi X i0 bi* Pi X i0
)
1 /
CES生产函数的扩展

引入时间因素（技术进步） rt 1/ y Ae (L (1 ) K )

可变规模报酬 h / y A(L (1 ) K )
h 1 规模收益递增 h 1 规模收益不变 h 1 规模收益递减
s11 s22 1
加总条件的弹性形式
s2 1 21 1 0 s1
2
s1 12 1 0 s2
二.需求函数的形式与估计

单方程模型 线性支出系统（LES）

扩展线性支出系统（ELES）
1.单方程模型
X i 0 i Pi Y i
替代弹性较小
替代弹性较大
L
CES生产函数的性质

CES生产函数具有一阶齐次性 （规模报酬不变）
A[ (L) (1 )(K ) ]1/ A[ (L (1 ) K ]1/ A(L (1 ) K

替代弹性
K

0 1
L
C-D生产函数的性质
y f ( K , L) AK L

f (K , L)
1 1
1

AK L


C-D函数齐次的阶数为产出弹性和
规模收益递增
规模收益不变
规模收益递减
C-D生产函数的扩展
一.生产函数的性质

生产函数：一定技术水平下，要素投入量与 最大产量之间的关系
y f ( x1 , x2 ,, xn )
生产函数的性质

单调性
f 0 xi

凸性（边际产量递减）
2 f 0 2 x i
生产函数的性质

齐次性
f (x1, x2 ,, xn ) f ( x1, x2 ,, xn ) 0 h 1 规模收益递增
i 1
0 a P X b P X i i i i i i 0 * i 1 n
n
(1 bi ) Pi X i0
* i 1
n
Pi X i
i 1
n
0
a (1 b )
i * i
Pi X i ai bi
0
*
a (1 b )
i * i
i 1 n
X i 0 i ln Pi ln Y i
i 1
n
ln X i 0 i ln Pi ln Y i
i 1
n
2.线性支出系统需求模型
假设消费者对n种商品的效用函数为：
U ( x1 , x2 , , xn ) i log( xi i )
X i / X i ln X i i Pi / Pi ln Pi

需求交叉弹性/互价格弹性 X i / X i ln X i ij Pj / Pj ln Pj 需求收入弹性
Байду номын сангаас
X i / X i ln X i i I i / I ln I

需求函数具有零阶齐次性
x j (p1, p2 , I ) 0 x j ( p1, p2 , I )

当收入与物价同比例增长时，对各种物品的需求没 有改变，说明无货币幻觉
齐次性条件： x1 p1 x1 p2 x1 I 0
p1 p2 I x2 x x p1 2 p2 2 I 0 p1 p2 I
斯卢茨基条件的弹性形式

负数条件：
1 s11 0 2 s2 2 0

对称条件：
1 1 12 1 21 2 s2 s1
(4)加总条件

恩格尔加总条件（求和加总条件）：
x1 x2 p1 p2 1 I I
边际支出之和等于1

古诺加总条件：
多要素CES生产函数

多要素一级CES生产函数
Y A(1 K 2 L 3 E ) 0 j 1, 1 1
m


j
1 ( j 1,2,3)

多要素二级CES生产函数
YKE (a1 K 1 a2 E 1 )
h
h 1 h 1
规模收益不变 规模收益递减
称生产函数具有h阶齐次性质
二.常用生产函数
(1)线性生产函数
Y 0 1K 0 L
(2) C-D生产函数
y AK L
产出弹性
替代弹性

K
y / y K / K
y / y L L / L
K K K K K d ( ) /( ) d ln( ) d ln( ) d ln( ) L L L L L 1 PL PL PL y y K d ( ) /( ) d ln( ) d ln( / ) d ln( ) PK PK PK L K L
其他需求函数模型

耐用品存量调整模型
S te 0 1 pt 2 I t t S t S t 1 ( S te S t 1 ) S t (1 ) S t 1 qt qt S t S t 1 S t 1 ( S te S t 1 ) S t 1 0 1 pt 2 I t ( ) S t 1 t
Ste — —期望存量
St — —实际存量 qt — —购买量
— —报废率

状态调整模型：
耐用品
qt 0 1 pt 2 I t 3 St 1 t
非耐用品
qt 0 1 pt 2 I t 3qt 1 t
5.2 应用于企业：生产函数

消费者均衡

目标：效用最大化 约束：收入一定
Max U U ( X1 , X 2 ,, X n )
PX
i 1 i
n
i
I
典型的多元函数求极值问题，构造拉格朗日函数
X i X i (P 1, P 2 ,, P n; I ) i 1,2, , n
需求弹性

需求价格弹性/自价格弹性
中性技术进步的种类

希克斯中性技术进步 y A(t ) f ( L, K )

哈罗德中性技术进步（劳动节约型）
y f ( A(t ) L, K )

索罗中性技术进步（资本节约型）
y f ( L, A(t ) K )
技术进步的测算（希克斯中性技 术进步）
y A(t ) f ( L, K ) ln y ln A(t ) ln f ( L, K ) dy dA df ( L, K ) y A f ( L, K ) f F df ( L, K ) dL dK L K dy dA f L dL f K dK ( )( )( ) ( )( )( ) y A L f L K f K
i 1
n
0,
i

i 1
n
i
1
i种商品的最低消费量
在预算约束下，可推导出消费者对n种商品的需求 函数
线性支出系统需求模型
Pi X i Pi X bi ( M Pi X i0 )
0 i i 1 n
PX
i 1 i
n
i
M
预算，总支出
X
0 i
第i种商品的基本需求量 超过基本需求的支出中用于购买第i种商 品的比例，边际预算比 0 bi 1, bi 1
n
齐次性条件的弹性形式
1 12 1 0 21 2 2 0
任一商品的所有弹性之和必须为零
(3)斯卢茨基(Slutsky)条件

负数条件：
x1 x1 x1 0 p1 I x2 x2 x2 0 p2 I

对称条件：
x1 x1 x2 x2 x2 x1 p2 I p1 I
y a l k
技术进步贡献率
y a l k
a l k 1 y y y a l k 1 y y y
技术进步 贡献率 劳动增长 贡献率 资本增长 贡献率
例

某企业期初的生产函数 Q 5K L ，在这期间企业资本投 入增加了10%，劳动力投入增加了15%，产量增加了20%，
Y A(b1YKE b2 L ) 1 1
1

三.生产函数在技术进步评价中的应用

考虑技术进步的生产函数
y f ( K , L, t )

一般所谓技术进步是指中性技术进步：生产 函数的变化使劳动和资本之间的边际替代率 不变，只是简单地使既定投入量所达到的最 大产量增加或减少
5
计量经济模型的应用
主要内容：
• 应用于家庭 • 应用于企业 • 宏观计量经济 模型 • 联立方程模型 的其他应用
5.1 应用于家庭：需求函数

需求理论 需求函数的形式与估计
一.需求理论
1.基本概念

一定时期内，消费者在各个价格水平下愿意 并且能够购买某种商品的数量 购买欲望和支付能力的统一
i 0 1
bi
3.扩展线性支出系统需求模型
Pi X i Pi X bi (Y Pi X i0 )
0 i * i 1 n
Y
收入 边际消费倾向
* i * i
b
* i
bi b / b
线性支出系统的参数估计(1)

第一步：改变模型形式
Pi X i Pi X i bi (Y Pi X i0 )
0.4 0.6

求：（1）技术进步引起的产量增长率
（2）技术进步贡献率
20% 10% 0.4 15% 0.6 7% 7% 100% 35% 20%
一个例子（蔡昉）
中国经济增长的动力分析 21% 3% 28% 物质资本投入 劳动力投入 人力资本投资 劳动力转移 纯技术进步与改革
2.需求函数的性质/约束条件

以两种商品为例，需求函数必须满足下列约束： (1)预算约束条件：
p1 x1 ( p1 , p2 , I ) p2 x2 ( p1 , p2 , I ) I
也可表示为：
s1 s2 1 sj pjxj I ( j 1,2)
(2)齐次性约束条件

背景知识：函数的齐次性质
若函数f ( x1 , x2 , , xn )满足： f (x1 , x2 , , xn ) h f ( x1 , x2 , , xn ) 则称f ( x1 , x2 , , xn )具有h阶齐次性， 并有欧拉定理（ Euler's theorem ） f x j hf ( x1 , x2 , , xn ) j 1 x j