高二数学单元测试(平面解析几何初步)
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高二数学单元测试(平面解析几何初步)
一、填空题
:本大题共14小题,每小题5分,满分70分.
1、与圆22(3)(1)2xy相切,且在两坐标轴上有相等截距的切线有___3___条.
2、已知圆C1:0276:07622222yyxCxyx与圆相交于A,B两点,则线段AB的中垂线方
程为 x+y-3=0 .
3、过点P(2,3)作圆C:(x-1)2+(y-1)2=1的两条切线,切点分别为BA,,则过CBA,,三点的圆的方程为
240xy
4、如果圆2244100xyxy上至少有三点到直线0axby的距离为22,那么直线0axby的
倾斜角的取值范围为51212.
5、已知圆C方程为:224xy,直线l过点1,2P,且与圆C交于A、B两点,若||23AB,则直线l的
方程为3450xy或1x.
6、圆16:22yxC上两点)(),,(2,211yxByxA,若 34AB,则2121yyxx 8
7、若直线1kxy与圆0422mykxyx交于M、N两点,并且M、N关于直线0yx对称,则不等式
组0001ymykxykx表示的平面区域的面积是41.
8、由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为7.
9、点M(a,b)(ab≠0)是圆C:x2 + y2 = r2内一点,直线l是以M为中点的弦所在的直线,直线m的方程是ax
+ by = r2,那么直线l与直线m的关系是 平行 .
10、与直线20xy和曲线221212540xyxy都相的切的半径最小圆的标准方程是
2)2()2(22yx
.
11、设两直线的方程分别为0,0xyaxyb,已知,ab是关于x的方程20xxc的两个实数根,
且11168c,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值的差为467.
12、已知1:3:2::cba,方程02cbxax的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)在与圆222yx的
位置关系是 点在圆内 .
13、过x轴上一点P,作圆C:x2+(y-2)2=1的切线,切点分别为A,B,则△ABC面积的最大值为433.
14、设圆222(3)(5)(0)xyrr上有且仅有两个点到直线4320xy的距离等于1,则圆半径r的取
值范围是 (4,6) .
二、解答题:
本大题共6题,15-17每小题14分,18-20每小题16分,共计90分,解答应写出文字说明,证
明过程和演算步骤.
15、已知直线l经过点P(-1,1),它被两平行直线l1:x+2y-1=0及l2:x+2y-3=0所截得的线段M1M2的中
点M在直线l3:x-y-1=0上,试求直线l的方程.
解法一:(1)当直线l斜率不存在时,直线l的方程是x=-1,与直线l1,l2的交点分别为M1(-1,1),M2(-1,
2).线段M1M2的中点(-1,32)不在直线l3上,不合.
(2)当直线l斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x+1),分别与l1,l2联列解得M1(-1,1),M2(1-2k1+2k,1+4k1+2k),
线段M1M2的中点为M(-2k1+2k,1+3k1+2k),因为M在直线l3上,代入得,k=-27.代入得直线l的方程为2x+7y-
5=0.
解法二:因为被两平行直线l1,l2所截线段M1M2的中点在与l1,l2平行且与l1,l2等距离的直线上,而与l1,l
2
平行且与l1,l2等距离的直线方程为x+2y-2=0,又由已知线段M1M2的中点M在直线l3:x-y-1=0上,所以
由方程组x+2y-2=0,x-y-1=0解得线段M1M2中点M的坐标为(43,13).从而直线l经过点P(-1,1)和M(43,13),代入
两点式得直线l的方程为2x+7y-5=0.
16、已知圆C与两坐标轴都相切,圆心C到直线yx的距离等于2.
(1)求圆C的方程.(2)若直线l与x轴正半轴与y正半轴分别交于A(m,0),B(0,n)两点(2,2)mn,且
直线l与圆C相切,求三角形AOB面积的最小值.
解;(1)圆C方程为2222(1)(1)1,(1)(1)1xyxy或++.
(2)直线0lnxmymn方程为,∵22:(1)(1)1lCxy直线与圆相切,
∴221,nmmnnm ∴222(),nmmnnm左边展开,整理得,222.mnmn
∴2.2mnmn
∵0,0,2mnmnmn,∴222mnmn,
∴2()420,mnmn∴22,22.mnmn或
∵2,2mn∴22mn,
∴mn≥6+42 mns21 ≥3+22三角形AOB面积的最小值为3+22
17、已知圆C方程为:224xy.
(Ⅰ)直线l过点1,2P,且与圆C交于A、B两点,若||23AB,求直线l的方程;
(Ⅱ)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m,设m与y轴的交点为N,若向量OQOMON,求动点
Q
的轨迹方程.
解:(Ⅰ)①当直线l垂直于x轴时,则此时直线方程为1x,l与圆的两个交点坐标为3,1和3,1,其距
离为32 满足题意
②若直线l不垂直于x轴,设其方程为12xky,即02kykx
设圆心到此直线的距离为d,则24232d,得1d ∴1|2|12kk,34k,
故所求直线方程为3450xy 综上所述,所求直线为3450xy或1x
(Ⅱ)设点M的坐标为00,yx(00y),Q点坐标为yx,则N点坐标是0,0y
∵OQOMON,∴00,,2xyxy 即xx0,20yy
又∵42020yx,∴224(0)4yxy ∴Q点的轨迹方程是221(0)416xyy.
18、某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求,进行了20天的测试,人为地调控每天产品的单价P(元/
件):前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝),后10天呈直线上升,其中4天的单价记录如
下表:
时间(将第x天记为x)x 1 10 1
1
18
单价(元/件)P 9 0 1 8
而这20天相应的销售量Q(百件/天)与x对应的点),(Qx在如图所示的半圆上.
(Ⅰ)写出每天销售收入y(元)与时间x(天)的函数关系式)(xfy;
(Ⅱ)在这20天中哪一天销售收入最高?为使每天销售收入最高,按此次测试结果应将单价P定为多少元为好?
(结果精确到1元)
解:(1)*,20,11,1010,1,10Nxxxxxp,
2
10100xQ
,*,20,1Nxx,
∴*22,20,1,1010010100100NxxxxQpy。
(2)∵250021010010101001022222xxxx,
∴当且仅当221010010xx,即2510x时,y有最大值。
∵*Nx,∴取173或x时,499951700maxy(元),
此时,7p(元)。答:第3天或第17天销售收入最高,此时应将单价P定为7元为好
(亦可转化为关于2)10(x的二次函数来求解)
19、已知圆C的方程为x2+y2-6x-2y+5=0,过点P(2,0)的动直线l与圆C交于P1,P2两点,过点P1,P
2
分别作圆C的切线l1,l2,设l1与l2交于为M,求证:点M在一条定直线上,并求出这条定直线的方程.
解法一:因为⊙C:(x-3)2+(y-1)2=5,所以圆心C为(3,1).设P1(x1,y1),P2(x2,y2),M(x0,y0),因为P1MCP1,
所以MP1CP1=0.所以(x1-x0)(x1-3)+(y1-y0)(y1-1)=0,即(x1-3)2+(3-x0)(x1-3)+(y1-1)2+(1-y0)(y1-1)
=0,因为(x1-3)2+(y1-1)2=5,所以(x0-3)(x1-3)+(y0-1)(y1-1)=5,
同理(x0-3)(x2-3)+(y0-1)(y2-1)=5.所以过点P1,P2的直线方程为(x-3)(x0-3)+(y-1)(y0-1)=5.因直线
P1P2过点(2,0).所以代入得(2-3)(x0-3)+(0-1)(y0-1)=5,即x0+y0+1=0.所以点M恒在直线x+y+1=0
上.
解法二:设M(x0,y0),则以MC为直径的圆C1的方程为(x-x0)(x-3)+(y-y0)(y-1)=0,即x2+y2-(x0+3)x-
(y0+1)y+3x0+y0=0,由平面几何知识可得,过M作⊙C的两条切线的切点分别为P1,P2,直线P1P2的方程即
为⊙C与⊙C1公共弦所在直线方程,从而由⊙C与⊙C1方程相减得直线P1P2的方程为(x0-3)x+(y0-1)y+5-
3x0-y0=0,因为直线P1P2过点P(2,0),代入得x0+y0+1=0,即点M恒在直线x+y+1=0上.
20、如图,已知圆O的直径AB=4,定直线L到圆心的距离为4,且直线L⊥直线AB。点P是圆O上异于A、B的
任意一点,直线PA、PB分别交L与M、N点。
试建立适当的直角坐标系,解决下列问题:(1)若∠PAB=30°,求以MN为直径的圆方程;(2)当点P变化
时,求证:以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。
解:建立如图所示的直角坐标系,⊙O的方程为
22
4xy
,直线L的方程为4x。
(1)∵∠PAB=30°,∴点P的坐标为(1,3),∴
3
:(2)3APlyx
,:3(2)BPlyx。将x=4
代入,得
(4,23),(4,23)MN
。∴MN的中点坐标为(4,
0),
MN=43。∴以MN为直径的圆的方程为
22
(4)12xy
。
同理,当点P在x轴下方时,所求圆的方程仍是22(4)12xy。
(2)设点P的坐标为00(,)xy,∴22004xy(00y),∴22004yx。
∵0000:(2),:(2)22PAPByylyxlyxxx,将x=4代入,得0062Myyx,
0022Nyyx。∴00
00
62(4,),(4,)22yy
MN
xx
,MN=000000446222xyyxxy。
MN的中点坐标为004(1)(4,)xy。
以MN为直径的圆/O截x轴的线段长度为222000220004(4)16(1)42123xxxyyy
P
BANMyx
O