高二数学单元测试(平面解析几何初步)

高二数学单元测试（平面解析几何初步）
一、填空题
：本大题共14小题，每小题5分，满分70分.

1、与圆22(3)(1)2xy相切，且在两坐标轴上有相等截距的切线有___3___条.

2、已知圆C1：0276:07622222yyxCxyx与圆相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方
程为 x+y-3=0 .
3、过点P(2,3)作圆C：(x-1)2+(y-1)2=1的两条切线，切点分别为BA,，则过CBA,,三点的圆的方程为

240xy

4、如果圆2244100xyxy上至少有三点到直线0axby的距离为22，那么直线0axby的
倾斜角的取值范围为51212．
5、已知圆C方程为：224xy，直线l过点1,2P，且与圆C交于A、B两点，若||23AB，则直线l的
方程为3450xy或1x.
6、圆16:22yxC上两点)(),,(2,211yxByxA，若 34AB,则2121yyxx 8
7、若直线1kxy与圆0422mykxyx交于M、N两点，并且M、N关于直线0yx对称，则不等式

组0001ymykxykx表示的平面区域的面积是41.
8、由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为7.
9、点M（a,b）（ab≠0）是圆C：x2 + y2 = r2内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m的方程是ax
+ by = r2，那么直线l与直线m的关系是 平行 .
10、与直线20xy和曲线221212540xyxy都相的切的半径最小圆的标准方程是
2)2()2(22yx
.

11、设两直线的方程分别为0,0xyaxyb，已知,ab是关于x的方程20xxc的两个实数根，
且11168c，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值的差为467.
12、已知1:3:2::cba，方程02cbxax的两个根分别为x1,x2，则点P（x1,x2）在与圆222yx的
位置关系是 点在圆内 .

13、过x轴上一点P，作圆C：x2+(y－2)2=1的切线，切点分别为A，B，则△ABC面积的最大值为433.
14、设圆222(3)(5)(0)xyrr上有且仅有两个点到直线4320xy的距离等于1，则圆半径r的取
值范围是 （4,6） ．

二、解答题：
本大题共6题，15-17每小题14分，18-20每小题16分，共计90分，解答应写出文字说明，证

明过程和演算步骤.
15、已知直线l经过点P(－1，1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1=0及l2：x＋2y－3=0所截得的线段M1M2的中
点M在直线l3：x－y－1=0上，试求直线l的方程．
解法一：（1）当直线l斜率不存在时，直线l的方程是x＝－1，与直线l1，l2的交点分别为M1(－1，1)，M2(－1，

2)．线段M1M2的中点(－1，32)不在直线l3上，不合．

（2）当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x＋1)，分别与l1，l2联列解得M1(－1，1)，M2(1－2k1＋2k，1＋4k1＋2k），
线段M1M2的中点为M(－2k1＋2k，1＋3k1＋2k），因为M在直线l3上，代入得，k＝－27．代入得直线l的方程为2x＋7y－
5＝0．
解法二：因为被两平行直线l1，l2所截线段M1M2的中点在与l1，l2平行且与l1，l2等距离的直线上，而与l1，l
2

平行且与l1，l2等距离的直线方程为x＋2y－2＝0，又由已知线段M1M2的中点M在直线l3：x－y－1=0上，所以

由方程组x＋2y－2＝0，x－y－1=0解得线段M1M2中点M的坐标为(43，13)．从而直线l经过点P(－1，1)和M(43，13)，代入
两点式得直线l的方程为2x＋7y－5＝0．
16、已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线yx的距离等于2.
（1）求圆C的方程.（2）若直线l与x轴正半轴与y正半轴分别交于A（m,0），B(0,n)两点(2,2)mn，且
直线l与圆C相切，求三角形AOB面积的最小值．

解;（1）圆C方程为2222(1)(1)1,(1)(1)1xyxy或＋＋.
(2)直线0lnxmymn方程为，∵22:(1)(1)1lCxy直线与圆相切，

∴221,nmmnnm ∴222(),nmmnnm左边展开，整理得，222.mnmn
∴2.2mnmn
∵0,0,2mnmnmn，∴222mnmn，
∴2()420,mnmn∴22,22.mnmn或
∵2,2mn∴22mn，
∴mn≥6+42 mns21 ≥3+22三角形AOB面积的最小值为3+22
17、已知圆C方程为：224xy.
（Ⅰ）直线l过点1,2P，且与圆C交于A、B两点，若||23AB，求直线l的方程;
（Ⅱ）过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量OQOMON，求动点
Q
的轨迹方程.
解：（Ⅰ）①当直线l垂直于x轴时，则此时直线方程为1x，l与圆的两个交点坐标为3,1和3,1，其距

离为32 满足题意
②若直线l不垂直于x轴，设其方程为12xky，即02kykx

设圆心到此直线的距离为d，则24232d，得1d ∴1|2|12kk，34k，
故所求直线方程为3450xy 综上所述，所求直线为3450xy或1x
（Ⅱ）设点M的坐标为00,yx（00y），Q点坐标为yx,则N点坐标是0,0y
∵OQOMON，∴00,,2xyxy 即xx0，20yy

又∵42020yx，∴224(0)4yxy ∴Q点的轨迹方程是221(0)416xyy.
18、某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P（元/
件）：前10天每天单价呈直线下降趋势（第10天免费赠送品尝），后10天呈直线上升，其中4天的单价记录如
下表：
时间（将第x天记为x）x 1 10 1
1
18

单价（元/件）P 9 0 1 8
而这20天相应的销售量Q（百件/天）与x对应的点),(Qx在如图所示的半圆上．
（Ⅰ）写出每天销售收入y（元）与时间x（天）的函数关系式)(xfy；
（Ⅱ）在这20天中哪一天销售收入最高？为使每天销售收入最高，按此次测试结果应将单价P定为多少元为好？
（结果精确到1元）

解：（1）*,20,11,1010,1,10Nxxxxxp，

2

10100xQ
，*,20,1Nxx，

∴*22,20,1,1010010100100NxxxxQpy。

（2）∵250021010010101001022222xxxx，
∴当且仅当221010010xx，即2510x时，y有最大值。
∵*Nx，∴取173或x时，499951700maxy（元），
此时，7p（元）。答：第3天或第17天销售收入最高，此时应将单价P定为7元为好

（亦可转化为关于2)10(x的二次函数来求解）
19、已知圆C的方程为x2＋y2－6x－2y＋5＝0，过点P(2，0)的动直线l与圆C交于P1，P2两点，过点P1，P
2

分别作圆C的切线l1，l2，设l1与l2交于为M，求证：点M在一条定直线上，并求出这条定直线的方程．

解法一：因为⊙C：(x－3)2＋(y－1)2＝5，所以圆心C为(3，1)．设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，M(x0，y0)，因为P1MCP1，

所以MP1CP1＝0．所以(x1－x0)(x1－3)＋(y1－y0)(y1－1)＝0，即(x1－3)2＋(3－x0)(x1－3)＋(y1－1)2＋(1－y0)(y1－1)
＝0，因为(x1－3)2＋(y1－1)2＝5，所以(x0－3)(x1－3)＋(y0－1)(y1－1)＝5，
同理(x0－3)(x2－3)＋(y0－1)(y2－1)＝5．所以过点P1，P2的直线方程为(x－3)(x0－3)＋(y－1)(y0－1)＝5．因直线
P1P2过点(2，0)．所以代入得(2－3)(x0－3)＋(0－1)(y0－1)＝5，即x0＋y0＋1＝0．所以点M恒在直线x＋y＋1＝0
上．
解法二：设M(x0，y0)，则以MC为直径的圆C1的方程为(x－x0)(x－3)＋(y－y0)(y－1)＝0，即x2＋y2－(x0＋3)x－
(y0＋1)y＋3x0＋y0＝0，由平面几何知识可得，过M作⊙C的两条切线的切点分别为P1，P2，直线P1P2的方程即
为⊙C与⊙C1公共弦所在直线方程，从而由⊙C与⊙C1方程相减得直线P1P2的方程为（x0－3)x＋(y0－1)y＋5－
3x0－y0＝0，因为直线P1P2过点P(2，0)，代入得x0＋y0＋1＝0，即点M恒在直线x＋y＋1＝0上．

20、如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L⊥直线AB。点P是圆O上异于A、B的
任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点。
试建立适当的直角坐标系，解决下列问题：（1）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；（2）当点P变化
时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。
解：建立如图所示的直角坐标系，⊙O的方程为

22
4xy
，直线L的方程为4x。

（1）∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为(1,3)，∴
3
:(2)3APlyx
，:3(2)BPlyx。将x=4
代入，得

(4,23),(4,23)MN
。∴MN的中点坐标为（4，
0），

MN=43。∴以MN为直径的圆的方程为
22
(4)12xy
。

同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是22(4)12xy。
（2）设点P的坐标为00(,)xy，∴22004xy（00y），∴22004yx。

∵0000:(2),:(2)22PAPByylyxlyxxx，将x=4代入，得0062Myyx，

0022Nyyx。∴00
00

62(4,),(4,)22yy
MN

xx
，MN=000000446222xyyxxy。

MN的中点坐标为004(1)(4,)xy。
以MN为直径的圆/O截x轴的线段长度为222000220004(4)16(1)42123xxxyyy

P
BANMyx
O