第一讲 相似三角形的判定及有关性质 章末复习方案 课件(人教A选修4-1)
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人教A版数学【选修4-1】ppt课件：1-1第一讲-相似三角形的判定及有关性质
∴AD∥EF∥BC.
∵AE＝BE，∴DF＝CF. ∴F是DC的中点． ∵BC⊥DC，∴EF⊥DC. ∴EF是线段DC的垂直平分线． ∴EC＝ED.
3．等分已知线段 利用平行线等分线段定理可以把已知线段AB任意n等分， 其步骤如下： (1)过已知线段AB的一个端点A作射线AC； (2)在射线AC上，以适当的长度依次截取AA1＝A1A2＝A2A3 ＝„＝An－1An(其中n为题中要求AB的n等分)；
(3)连接AnB； (4)分别过点A1，A2，„，An－1作AnB的平行线，交AB于 B1，B2，„，Bn－1，则B1，B2，„，Bn－1为线段AB的n等分点．
答案 (1)C (2)相等
【例2】 已知：如图，AD是三角形ABC的中线，E为AD 1 的中点，BE的延长线交AC于F.求证：AF＝ AC. 3
【分析】
可利用平行线等分线段定理的推论1，添加过
三角形一边中点且平行于第三边的直线，确定F为AC的一个三 等分点．
【证明】
过D作DH∥BF交AC于H点，
2．对两个推论的理解 (1)推论1，如图所示，在△ABC中，D为AB的中点，DE∥ BC，交AC于E，过A作BC的平行线a，则a∥BC∥DE，由AD＝ DB知，AE＝EC，即E为AC的中点．
(2)推论2，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB的中 点，即AE＝EB，EF∥BC交CD于F，则由AD∥EF∥BC，AE＝ EB知，DF＝FC.即F为CD的中点．
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
一
平行线等分线段定理
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.探索并理解平行线等分线段定理的证明过程． 2．能独立证明平行线等分线段定理的推论1、推论2. 3．能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问 题． 4．会用尺规作图法等分一条已知线段.
2018_2019学年高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质讲末复习课件新人教A版选修4_1
答案
6
4.(2014· 陕西，15B)如图，△ABC 中，BC＝6，以 BC 为直径的半圆分别交 AB，AC 于点 E，F，若 AC＝2AE，则 EF＝________.
规律方法 对于(1)，判断△ABC的形状，由题意
转化为解不等式组.对于(2)，由于△PCQ的面积
无法直接利用面积公式求解，但可通过S△PQC＝ S△BPC－S△PBQ，将问题转化为求S△PBQ、S△BPC.
跟踪演练 2
如图，在锐角△ABC 中，AD，CE
分别是 BC， AB 边上的高， △ABC 和△BDE 的面 积分别等于 18 和 2，且 DE＝2 2，求点 B 到直 线 AC 的距离.
解
(1)a2＋b2－12a－16b＋100＝0，
即(a－6)2＋(b－8)2＝0，∴a＝6，b＝8. 2x－1 3 >x－4， 5 解不等式组 得 <x<11. 2x＋3<6x＋1， 2 2 ∴c＝10，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC 是直角三角形.
1 (2)由(1)得 S△ABC＝2ab＝24，S△PBC∶S△ABC＝PB∶AB， 12 12 ∴S△PBC＝ 5 (10－x)＝24－ 5 x.∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC， S△PBQ PB2 S△PBQ 10－x 2 ∴ ＝AB ，即 24 ＝ ， S△ABC 10 24 6 2 24 2 ∴S△PBQ＝100(10－x) ＝25x － 5 x＋24， 6 2 12 ∴S△PCQ＝S△PBC－S△PBQ＝－ x ＋ x， 25 5 6 2 12 即 y＝－25x ＋ 5 x(0<x<10).
规律方法 这是一道开放性试题，由于边长为2 的三角形三边关系不明确，边长为2的边可以是
《相似三角形的判定》课件1(人教A版选修4-1)
A D B E CB D O E
∵ DE∥BC ∴ △ ADE ∽ △ ABC
C
思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?
A
三边对应成 比例
A’
B’
பைடு நூலகம்
B
C
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
已知:如图△ABC和△A`B`C`中A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC. 求证:△ABC∽△A`B`C` A`
AB BC AC 如图已知 ， 试说明∠BAD=∠CAE. AD DE AE
AB BC AC 解 AD DE AE
∴Δ ABC∽Δ ADE B ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC 即∠BAD=∠CAE
A E D
C
如图在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C2， 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 不相似，请说明理由。
D
B` A
C`
E
因此DE=B`C`,EA=C`A`.
∴△ADE≌△A`B`C` ∴△A`B`C`∽△ABC
B C
A
A’
C
B
B’
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
△ABC∽△A’B’C’
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的 三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
简单地说:三边对应成比例,两三角形相似.
成比例 相等 1. 对应角_______, 对应边——————的两个三角形, 叫做相似三角形 . 对应角相等 成比例 2. 相似三角形的———————, 各对应边——————。
∵ DE∥BC ∴ △ ADE ∽ △ ABC
C
思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?
A
三边对应成 比例
A’
B’
பைடு நூலகம்
B
C
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
已知:如图△ABC和△A`B`C`中A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC. 求证:△ABC∽△A`B`C` A`
AB BC AC 如图已知 ， 试说明∠BAD=∠CAE. AD DE AE
AB BC AC 解 AD DE AE
∴Δ ABC∽Δ ADE B ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC 即∠BAD=∠CAE
A E D
C
如图在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C2， 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 不相似，请说明理由。
D
B` A
C`
E
因此DE=B`C`,EA=C`A`.
∴△ADE≌△A`B`C` ∴△A`B`C`∽△ABC
B C
A
A’
C
B
B’
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
△ABC∽△A’B’C’
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的 三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
简单地说:三边对应成比例,两三角形相似.
成比例 相等 1. 对应角_______, 对应边——————的两个三角形, 叫做相似三角形 . 对应角相等 成比例 2. 相似三角形的———————, 各对应边——————。
《相似三角形的判定》课件1(人教A版选修4-1)
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC ∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB 又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA ∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA.
D
B` A
C`
E
因此DE=B`C`,EA=C`A`.
∴△ADE≌△A`B`C` ∴△A`B`C`∽△ABC
B C
A
A’
C
B
B’
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
△ABC∽△A’B’C’
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的 三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
简单地说:三边对应成比例,两三角形相似.
AB BC AC 如图已知 ， 试说明∠BAD=∠CAE. AD DE AE
AB BC AC 解 AD DE AE
∴Δ ABC∽Δ ADE B ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC 即∠BAD=∠CAE
A E D
C
如图在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C2， 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 不相似，请说明理由。
成比例 相等 1. 对应角_______, 对应边——————的两个三角形, 叫做相似三角形 . 对应角相等 成比例 2. 相似三角形的———————, 各对应边——————。
3.如何识别两三角形是否相似? 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延 长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角 形相似;
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质单元整合课件新人教A版选修4-1
求证 :PQ=CF. 提示:利用相似三角形的性质,并结合 AP=AD 进行证明.
专题一
专题二
专题三
证明: ∵ AD,CF 是 △ABC 的两条高线, ∴ ∠ADB=∠ BFC.又 ∠B=∠B, ∴ △ABD ∽△ CBF.∴
������������ ������������
=
������������ . ������������
专题一
专题二
专题三
证明: ∵ PQ ∥BC,BC ∥AE,∴ PQ ∥AE. ∴ ∠ CPQ=∠ CEA,∠CQP= ∠CAE, ∴ △ CPQ∽△CEA. ∴ = 同理可得
������������ ������������ ������������ ������������ ������������ . ������������
=
������������ ������������ ,∴ ������������ ������������
=
������������ . ������������
而由题意知,AE=DE,∴ PQ=PB.
专题一
专题二
专题三
专题三 平行线分线段的规律性质
平行线分线段的相关定理即平行线等分线段定理、平行线分线段成比 例定理,其实质是揭示一组平行线在与其相交的直线上截得的线段所呈现 的规律;主要用来证明比例式成立,证明直线平行,计算线段的长度,也可以 作为计算某些图形的周长或面积的重要方法,其中,平行线等分线段定理是 线段的比为 1 的平行线分线段成比例定理的特例.
专题一
专题二
专题三
【例 1】 如图,已知△ABC 中,∠BAC=90° ,AD⊥BC 于点 D,E 是 AC 的
������������ ������������
高中数学第一讲三1相似三角形的判定课件新人教A版选修4-1
相似三角形的应用 [例 2] 如图，D 为△ABC 的边 AB 上一点，过 D 点作 DE∥ BC，DF∥AC，AF 交 DE 于 G，BE 交 DF 于 H，连接 GH.
求证：GH∥AB. [思路点拨] 根据此图形的特点可先证比例式GDEE＝EEHB成 立，再证△EGH∽△EDB，由相似三角形的定义得∠EHG＝ ∠EBD 即可．
成比例且夹角相等．故选项 A、B、D 都能推出两三角形相
似．在 C 项的条件下推不出两三角形相似．
答案：C
2．如图，在四边形 ABCD 中，AEEB＝FADF， BGGC＝DHHC，EH，FG 相交于点 O. 求证：△OEF∽△OHG. 证明：如图，连接 BD. ∵AEEB＝FADF， ∴EF∥BD. 又∵BGGC＝DHHC，
1.如图，D，E 分别是 AB，AC 上的两点，CD 与 BE 相交于点
O，下列条件中不能使△ABE 和△ACD 相似的是 ( )
A．∠B＝∠C
பைடு நூலகம்
B．∠ADC＝∠AEB
C．BE＝CD，AB＝AC D．AD∶AC＝AE∶AB 解析：在选项 A、B 的条件下，两三角形有两组对应角相等，
所以两三角形相似，在 D 项的条件下，两三角形有两边对应
相似三角形的判定
[例 1] 如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，∠ A＝36°，BD 是角平分线，证明：△ABC∽△BCD.
[思路点拨] 已知 AB＝AC，∠A＝36°，所以 ∠ABC＝∠C＝72°，而 BD 是角平分线，因此，可 以考虑使用判定定理 1.
判定两三角形相似，可按下面顺序进行： (1)有平行截线，用预备定理； (2)有一对等角时，①找另一对等角，②找夹这个角 的两边对应成比例； (3)有两对应边成比例时，①找夹角相等，②找第三 边对应成比例，③找一对直角．
《相似三角形的判定》课件1(人教A版选修4-1)
A D B E CB D O E
∵ DE∥BC ∴ △ ADE ∽ △ ABC
C
思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?
A
三边对应成 比例
A’
B’
B
C
C’
A' B' B' C' A' C' AABC和△A`B`C`中A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC. 求证:△ABC∽△A`B`C` A`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A`B`,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC ∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB 又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA ∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA.
成比例 相等 1. 对应角_______, 对应边——————的两个三角形, 叫做相似三角形 . 对应角相等 成比例 2. 相似三角形的———————, 各对应边——————。
3.如何识别两三角形是否相似? 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延 长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
AB BC AC 如图已知 ， 试说明∠BAD=∠CAE. AD DE AE
AB BC AC 解 AD DE AE
∴Δ ABC∽Δ ADE B ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC 即∠BAD=∠CAE
A E D
C
如图在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C2， 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 不相似，请说明理由。
例1：在△ABC和△A′B′C′中，已知：
(1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，
∵ DE∥BC ∴ △ ADE ∽ △ ABC
C
思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?
A
三边对应成 比例
A’
B’
B
C
C’
A' B' B' C' A' C' AABC和△A`B`C`中A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC. 求证:△ABC∽△A`B`C` A`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A`B`,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC ∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB 又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA ∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA.
成比例 相等 1. 对应角_______, 对应边——————的两个三角形, 叫做相似三角形 . 对应角相等 成比例 2. 相似三角形的———————, 各对应边——————。
3.如何识别两三角形是否相似? 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延 长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
AB BC AC 如图已知 ， 试说明∠BAD=∠CAE. AD DE AE
AB BC AC 解 AD DE AE
∴Δ ABC∽Δ ADE B ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC 即∠BAD=∠CAE
A E D
C
如图在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C2， 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 不相似，请说明理由。
例1：在△ABC和△A′B′C′中，已知：
(1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，
人教A版数学【选修4-1】ppt课件：1-2第一讲-相似三角形的判定及有关性质
变式2
如图所示，DE∥BC，EF∥DC.
求证：AD2＝AF· AB.
证明
在△ABC中，DE∥BC，
AD AE ∴ ＝ . AB AC AF AE AD AF 在△ADC中，EF∥DC，∴ ＝ ，∴ ＝ . AD AC AB AD ∴AD2＝AF· AB.
【例3】
如下图，平面α∥β∥γ，l1，l2是异面直线，l1交
思考探究3
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交
的直线，所截得的三角形与原三角形三边是否对应成比例？ 提示 截得的三角形与原三角形三边对应成比例.
名师点拨 1.平行线分线段成比例定理
(1)用数学符号语言表达 直线l1∥l2∥l3，直线l交l1，l2，l3于A，B，C，l′交l1， AB DE l2，l3于D，E，F，则BC＝ EF . AB AB (2)教材中就 为有理数时给出了证明，实际上当 为无 BC BC 理数时定理也成立． (3)定理的条件是一组平行线(至少三条)，且至少有两条直 线和这组平行线相交．
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
二
平行线分线段成比例定理
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.探索和理解平行线分线段成比例定理的证明过程． 2．理解定理的推论． 3．能应用定理及推论解决相关的几何计算问题和证明问 题． 4．感知平行线分线段成比例定理向空间的推广，探索并 证明空间形式的“平行面分线段成比例定理”.
课前预习 1.平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应__________． 2．平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所 得的__________.
答 案
第一讲 相似三角形的判定及有关性质 章末复习方案 课件(人教A选修4-1)
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3．利用相似三角形证明线段相等 [例3] 如图，AD、CF是△ABC的两条 高线，在AB上取一点P，使AP＝AD，再从
P点引BC的平行线与AC交于点Q，试说明
PQ＝CF.
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[解]
∵AD、CF 是△ABC 的两条高，
∴∠ADB＝∠BFC. 又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBF. AD AB ∴ ＝ .又∵PQ∥BC， CF CB ∴∠APQ＝∠B，∠AQP＝∠C， ∴△APQ∽△ABC， PQ AP AP AB AD AP ∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴ ＝ . BC AB PQ BC CF PQ 又∵AP＝AD，∴CF＝PQ.
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(1)利用射影定理时，要注意射影定理的适用条 件． (2)射影定理在求解线段的长度、证明三角形相似、 线段成比例等问题中有非常广泛的应用． 返回
[例 6]
如图，四边形 ABCD 是正方
1 形，E 为 AD 上一点，且 AE＝ AD，N 4 是 AB 的中点，NF⊥CE 于 F.求证：FN2 ＝EF· FC.
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[解]
(1)证明：过点 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点，
AE AF ∴ ＝ . ED FG BD 1 2 又 ＝ ，∴DC＝2BD＝ BC. DC 2 3 FG DC 2 ∵DG∥FC，∴ ＝ ＝ ， BF BC 3 2 AE AF 3AF ∴FG＝ BF，∴ ＝ ＝ . 3 ED (2)当 ＝ 时，有关等式： ＝ · . DC n ED n FB 证明：过 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点． AE AF ∴ ＝ . ED FG BD m BC m＋n 又∵ ＝ ，∴ ＝ . DC n DC n BF BC m＋n ∵DG∥FC，∴ ＝ ＝ ， FG DC n n ∴FG＝ BF， m＋n m＋n AF AE AF ∴ ＝ ＝ · . ED n n BF BF m＋n
1.3 第一课时 相似三角形的判定及性质 课件(人教A选修4-1)
定理2则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此
定理的情况较多．
3．直角三角形相似的判定定理 (1)定理：①如果两个直角三角形有一个 锐角对应相等，
那么它们相似；
②如果两个直角三角形的两条直角边 对应成比例 那么 它们相似． (2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与 另一个三角形的斜边和一条直角边 对应成比例 ，那么这两
判定两三角形相似，可按下面顺序进行：(1)有平
行截线，用预备定理；(2)有一对等角时，①找另一对
等角，②找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应 边成比例时，①找夹角相等，②找第三边对应成比例， ③找一对直角．
1. 如图，在▱ABCD中，E、F分别在AD 与CB的延长线 上，请写出图中所有 的相似三角形．
解析：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝F. AB BC AC 1 DE＝EF＝DF＝2.
答案：∠D ∠E ∠F DE BC DF 1 2
5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，
连接CF交AD于点E.
(1)求证：△CDE∽△FAE；
(2)当E是AD的中点，且BC
＝2CD时，求证：∠F＝∠BCF.
1．相似三角形
(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫
做 相似三角形 ，相似三角形对应边的比值叫做 相似比 或 (相似系数)． (2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或 两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 ．
2．相似三角形的判定定理 (1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形 的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个
的
．
(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的
人教版高中数学选修4-1第1讲 相似三角形的判定及有关性质 第1节ppt课件
证明： ∵DE⊥BC，∴∠BDE＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠BDE＝∠ACB，
∴DE∥CA．
∵D是BC的中点，∴E是AB的中点， ∴AB＝2CE.
课堂学案
平行线等分线段定理的应用
• 求作任一线段AB的五等分点(尺寸自定)． • [思路点拨] 根据平行线等分线段定理，需要构造定
理的基本图形，进行作图，这里要注意平行线组要
第一 讲
相似三角形的判定 及有关性
•第一节 平行线等分线段定理
目标定位
• 1．由观察或测量得到关于平行线等分线段定理的猜 想，进而进行证明．
• 2．灵活掌握并运用平行线等分线段定理及其推论．
[特别关注]
• 1．对平行线等分线段定理及其推论的考查(重点)．
• 2．本课考查题目形式多样，侧重于有关计算与证明 (难点)
∴AF＝13AC．
平行线等分线段定理推论2的运用
• 如图所示，梯形ABCD中， AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°， BC＝AB，E为AB的中点．
• 求证：△ECD为等边三角形．
[思路点拨] 证明AD∥EF∥BC ―推―论→2 F是DC中点 中―定垂 ―理→线
ED＝EC ―→ △ABC为等边三角形 ―→ △ECD为等边三角形
• [规律方法] 此类问题往往涉及平行线等分线段定理 的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或 平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达 到求解的结果．
2.如图，已知 AD 是三角形 ABC 的中线，E 为 AD 的中点， BE 的延长线交 AC 于 F.
求证：AF＝13AC．
证明： 过 D 作 DH∥BF 交 AC 于 H， ∵BD＝CD，DH∥BF，∴FH＝CH. 同理：AF＝FH. ∴AF＝FH＝CH，
∴DE∥CA．
∵D是BC的中点，∴E是AB的中点， ∴AB＝2CE.
课堂学案
平行线等分线段定理的应用
• 求作任一线段AB的五等分点(尺寸自定)． • [思路点拨] 根据平行线等分线段定理，需要构造定
理的基本图形，进行作图，这里要注意平行线组要
第一 讲
相似三角形的判定 及有关性
•第一节 平行线等分线段定理
目标定位
• 1．由观察或测量得到关于平行线等分线段定理的猜 想，进而进行证明．
• 2．灵活掌握并运用平行线等分线段定理及其推论．
[特别关注]
• 1．对平行线等分线段定理及其推论的考查(重点)．
• 2．本课考查题目形式多样，侧重于有关计算与证明 (难点)
∴AF＝13AC．
平行线等分线段定理推论2的运用
• 如图所示，梯形ABCD中， AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°， BC＝AB，E为AB的中点．
• 求证：△ECD为等边三角形．
[思路点拨] 证明AD∥EF∥BC ―推―论→2 F是DC中点 中―定垂 ―理→线
ED＝EC ―→ △ABC为等边三角形 ―→ △ECD为等边三角形
• [规律方法] 此类问题往往涉及平行线等分线段定理 的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或 平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达 到求解的结果．
2.如图，已知 AD 是三角形 ABC 的中线，E 为 AD 的中点， BE 的延长线交 AC 于 F.
求证：AF＝13AC．
证明： 过 D 作 DH∥BF 交 AC 于 H， ∵BD＝CD，DH∥BF，∴FH＝CH. 同理：AF＝FH. ∴AF＝FH＝CH，
(人教A版)高考数学复习：选修4-1(第1讲)相似三角形的判定及有关性质》课件
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， E 为 AC 的中点，ED、CB 的延长线交于一点 F.
求证：FD2＝FB·FC.
栏目 导引
选修4-1 几何证明选讲
证明：∵E 是 Rt△ACD 斜边上的中点， ∴ED＝EA，∴∠A＝∠1， ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A， ∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A ＝90°＋∠A，∴∠FBD＝∠FDC， ∵∠F 是公共角，∴△FBD∽△FDC， ∴FFDB＝FFDC，∴FD2＝FB·FC.
栏目 导引
选修4-1 几何证明选讲
解：由 CD＝2，AB＝4，EF＝3，得 EF＝12(CD＋AB)，所以 EF 是梯形 ABCD 的中位线，则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 有 相同的高，设为 h，则 S 梯形 ABFE∶S 梯形 EFCD＝12(3＋4)h∶12(2＋ 3)h＝7∶5.
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选修4-1 几何证明选讲
(2)平行线分线段成比例定理 定理：三条平行线截两条直线，所得的___对__应__线__段___成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) 所得的____对__应__线__段___成比例．
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选修4-1 几何证明选讲
2．相似三角形的判定与性质 (1)判定定理
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选修4-1 几何证明选讲
[规律方法] (1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵 活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘 积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题． (2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间 接证明线段相等．
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选修4-1 几何证明选讲
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求证：FD2＝FB·FC.
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选修4-1 几何证明选讲
证明：∵E 是 Rt△ACD 斜边上的中点， ∴ED＝EA，∴∠A＝∠1， ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A， ∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A ＝90°＋∠A，∴∠FBD＝∠FDC， ∵∠F 是公共角，∴△FBD∽△FDC， ∴FFDB＝FFDC，∴FD2＝FB·FC.
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选修4-1 几何证明选讲
解：由 CD＝2，AB＝4，EF＝3，得 EF＝12(CD＋AB)，所以 EF 是梯形 ABCD 的中位线，则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 有 相同的高，设为 h，则 S 梯形 ABFE∶S 梯形 EFCD＝12(3＋4)h∶12(2＋ 3)h＝7∶5.
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选修4-1 几何证明选讲
(2)平行线分线段成比例定理 定理：三条平行线截两条直线，所得的___对__应__线__段___成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) 所得的____对__应__线__段___成比例．
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选修4-1 几何证明选讲
2．相似三角形的判定与性质 (1)判定定理
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选修4-1 几何证明选讲
[规律方法] (1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵 活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘 积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题． (2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间 接证明线段相等．
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第一讲-相似三角形的判定及有关性质-章末复习课件(人教A选修4-1)
求 EF 的长．
[解] ∵AD∥BC，EF∥BC， ∴EF∥AD. ∵OODB＝ABDC，AD＝12 cm，BC＝20 cm， ∴OODB＝1220＝35，∴BODB＝58， ∴AODE＝OBDB＝58， ∴OE＝58×AD＝58×12＝125 (cm)， 同理：OF＝38×BC＝38×20＝125(cm)． ∴EF＝OE＋OF＝15(cm)．
证明：过 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点．
∴EADE＝AFFG.
又∵BDDC＝mn ，∴DBCC＝m＋n n.
∵DG∥FC，∴BFFG＝DBCC＝m＋n n，
∴FG＝m＋n nBF，
∴EADE＝
AF n
＝m＋n n·ABFF.
m＋nBF
(1)利用射影定理时，要注意射影定理的适用条 件．
(2)射影定理在求解线段的长度、证明三角形相似、 线段成比例等问题中有非常广泛的应用．
3．利用相似三角形证明线段相等
[例3] 如图，AD、CF是△ABC的两条 高线，在AB上取一点P，使AP＝AD，再从 P点引BC的平行线与AC交于点Q，试说明 PQ＝CF.
[解] ∵AD、CF 是△ABC 的两条高， ∴∠ADB＝∠BFC. 又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBF. ∴ACDF＝ACBB.又∵PQ∥BC， ∴∠APQ＝∠B，∠AQP＝∠C， ∴△APQ∽△ABC， ∴PBQC＝AABP，∴PAQP＝ABBC，∴ACDF＝PAQP. 又∵AP＝AD，∴CF＝PQ.
NC2＝BN2＋BC2＝2106a2. EC2＝DE2＋CD2＝2156a2. ∴NE2＋NC2＝EC2. ∴EN⊥CN. 即△ENC 为直角三角形． 又∵NF⊥EC， ∴FN2＝EF·FC.
[例 7] 如图，设 CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高，求证：
[解] ∵AD∥BC，EF∥BC， ∴EF∥AD. ∵OODB＝ABDC，AD＝12 cm，BC＝20 cm， ∴OODB＝1220＝35，∴BODB＝58， ∴AODE＝OBDB＝58， ∴OE＝58×AD＝58×12＝125 (cm)， 同理：OF＝38×BC＝38×20＝125(cm)． ∴EF＝OE＋OF＝15(cm)．
证明：过 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点．
∴EADE＝AFFG.
又∵BDDC＝mn ，∴DBCC＝m＋n n.
∵DG∥FC，∴BFFG＝DBCC＝m＋n n，
∴FG＝m＋n nBF，
∴EADE＝
AF n
＝m＋n n·ABFF.
m＋nBF
(1)利用射影定理时，要注意射影定理的适用条 件．
(2)射影定理在求解线段的长度、证明三角形相似、 线段成比例等问题中有非常广泛的应用．
3．利用相似三角形证明线段相等
[例3] 如图，AD、CF是△ABC的两条 高线，在AB上取一点P，使AP＝AD，再从 P点引BC的平行线与AC交于点Q，试说明 PQ＝CF.
[解] ∵AD、CF 是△ABC 的两条高， ∴∠ADB＝∠BFC. 又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBF. ∴ACDF＝ACBB.又∵PQ∥BC， ∴∠APQ＝∠B，∠AQP＝∠C， ∴△APQ∽△ABC， ∴PBQC＝AABP，∴PAQP＝ABBC，∴ACDF＝PAQP. 又∵AP＝AD，∴CF＝PQ.
NC2＝BN2＋BC2＝2106a2. EC2＝DE2＋CD2＝2156a2. ∴NE2＋NC2＝EC2. ∴EN⊥CN. 即△ENC 为直角三角形． 又∵NF⊥EC， ∴FN2＝EF·FC.
[例 7] 如图，设 CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高，求证：
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(1)利用射影定理时，要注意射影定理的适用条 件． (2)射影定理在求解线段的长度、证明三角形相似、 线段成比例等问题中有非常广泛的应用． 返回
[例 6]
如图，四边形 ABCD 是正方
1 形，E 为 AD 上一点，且 AE＝ AD，N 4 是 AB 的中点，NF⊥CE 于 F.求证：FN2 ＝EF· FC.
2 2 2
∴NE2＋NC2＝EC2. ∴EN⊥CN. 即△ENC 为直角三角形． 又∵NF⊥EC， ∴FN2＝EF· FC.
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[例 7]
如图，设 CD 是 Rt△ABC 的斜边
AB 上的高，求证： AC2 AD (1) 2＝ ； CB DB (2)CA· CD＝CB· AD.
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[证明]
(1)由射影定理得，
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[解]
(1)证明：过点 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点，
AE AF ∴ ＝ . ED FG BD 1 2 又 ＝ ，∴DC＝2BD＝ BC. DC 2 3 FG DC 2 ∵DG∥FC，∴ ＝ ＝ ， BF BC 3 2 AE AF 3AF ∴FG＝ BF，∴ ＝ ＝ . 3 ED 2 2BF BF 3
[解] 过 O 作 OG∥AB，交 BC 于 G 点．
∵∠COG＝∠CAB，∠CGO＝∠CBA， OG CG CO ∴△COG∽△CAB.∴ ＝ ＝ . AB CB CA 又∵O 是▱ABCD 的对角线的交点， 1 ∴CO＝ CA. 2
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1 1 1 1 ∴OG＝ AB＝ a，CG＝ BC＝ b. 2 2 2 2 1 ∴BG＝ b. 2 又∵OG∥AF，∴∠OGB＝∠GBF，∠GOF＝∠F. OG EG ∴△OGE∽△FBE.∴ ＝ . FB EB 1 1 a b－BE OG BG－BE 2 2 ∴ ＝ ，即 ＝ . FB BE c BE bc ∴BE＝ . a＋2c
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3．利用相似三角形证明线段相等 [例3] 如图，AD、CF是△ABC的两条 高线，在AB上取一点P，使AP＝AD，再从
P点引BC的平行线与AC交于点Q，试说明
PQ＝CF.
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[解]
∵AD、CF 是△ABC 的两条高，
∴∠ADB＝∠BFC. 又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBF. AD AB ∴ ＝ .又∵PQ∥BC， CF CB ∴∠APQ＝∠B，∠AQP＝∠C， ∴△APQ∽△ABC， PQ AP AP AB AD AP ∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴ ＝ . BC AB PQ BC CF PQ 又∵AP＝AD，∴CF＝PQ.
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BD m AE m＋n AF (2)当 ＝ 时，有关等式： ＝ · . DC n ED n FB 证明：过 D 作 DG∥CF 交 AB 于 G 点． AE AF ∴ ＝ . ED FG BD m BC m＋n 又∵ ＝ ，∴ ＝ . DC n DC n BF BC m＋n ∵DG∥FC，∴ ＝ ＝ ， FG DC n n ∴FG＝ BF， m＋n m＋n AF AE AF ∴ ＝ ＝ · . ED n n BF BF m＋n
[证明] 边长为 a， 1 3 1 则 AE＝ a，DE＝ a，AN＝BN＝ a. 4 4 2 5 2 ∴NE ＝AN ＋AE ＝ a . 16
2 2 2
分别连接 NE， NC.设正方形的
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20 2 NC ＝BN ＋BC ＝ a . 16
2 2 2
25 2 EC ＝DE ＋CD ＝ a . 16
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2．证明等积线段或成比例线段
[例2] 如图，已知：在△ABC中，
AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD
于E，交BC的延长线于F. 求证：FD2＝FB· FC. [证明] 连接AF，
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∵FE 是 AD 的垂直平分线， ∴FA＝FD， ∠FAD＝∠3， 又∵∠FAD＝∠2＋∠4，∠3＝∠1＋∠B， 且∠1＝∠2，∴∠B＝∠4. 又∵∠AFB＝∠CFA， ∴△ABF∽△CAF. FA FC ∴ ＝ .∴FA2＝FB· FC. FB FA 又∵FD＝FA(已证)，∴FD2＝FB· FC.
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相似三角形的判定定理与性质定理是计算式证明几何 问题的基础，要会灵活应用，同时，解题时要注意作辅助
线构造三角形相似的条件．
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1．利用相似三角形，求线段的长或线段的比
[例1] 如图，已知▱ABCD的对角
线相交于O，延长AB到F，连接OF交 BC于E，若AB＝a，BC＝b，BF＝c， 求BE的长．
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[例 5]
已知：在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，过点
C 任作一直线与边 AB 及 AD 分别交于点 F、E.
BD 1 AE 3AF (1)如图(1)，当 ＝ 时，求证： ＝ ； DC 2 ED 2FB BD m AE AF (2)如图(2)，当 ＝ 时，猜想： 与 之间是否存 DC n ED FB 在着一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的关系 式，并给出证明过程；若不存在，请说明理由．
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[解]
∵AD∥BC，EF∥BC，
∴EF∥AD. OD AD ∵ ＝ ，AD＝12 cm，BC＝20 cm， OB BC OD 12 3 OB 5 ∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ， OB 20 5 BD 8 OE OB 5 ∴ ＝ ＝ ， AD BD 8 5 5 15 ∴OE＝ ×AD＝ ×12＝ (cm)， 8 8 2 3 3 15 同理：OF＝ ×BC＝ ×20＝ (cm)． 8 8 2 ∴EF＝OE＋OF＝15(cm)．
AC2＝AD· AB，CB2＝BD· AB， AC2 AD· AB AD 所以 2＝ ＝ . CB BD· AB DB (2)因为∠ADC＝∠CDB＝90° ，∠B＝∠ACD， AC AD 所以△ACD∽△CBD，所以 ＝ . BC CD 即
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构造出平行关系或作一定的辅助线是解此类问题的关
键，利用成比例或一些特殊的图形形状是常用的构造平行
关系的方法．
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[例 4]
如图，已知梯形 ABCD 中，AD∥
BC，BD、AC 交于 O 点，过 O 的直线分别交 AB、CD 于 E、F，EF∥BC，AD＝12 cm，BC OD AD ＝20 cm， ＝ . OB BC 求 EF 的长．