数学理科课件与练习4-7

一、选择题
1．函数y＝(sin x－a)2＋1在sin x＝1时取得最大值，在sin x＝a时取得最小值，则a的取值范围是()
A．[0,1]B．[－1,0]
C．(－∞，－1) D．[1，＋∞)
【解析】－1≤sin x≤1，由二次函数的性质知a≤0，
又sin x能等于a，∴a≥－1，故－1≤a≤0.
【答案】 B
2．函数f(x)＝sin(ωx＋φ) cos(ωx＋φ)(ω＞0)以2为最小正周期，且能在x＝2处取得最大值，则φ的一个值是()
A．－3
4π B．－
5
4π
C.7
4π D.
π
2
【解析】f(x)＝1
2sin(2ωx＋2φ)，周期T＝
2π
2ω＝2，
∴ω＝π
2，f(x)＝
1
2sin(πx＋2φ)．
又f(x)max＝f(2)＝1
2sin(2π＋2φ)＝
1
2，
∴sin 2φ＝1，
∴2φ＝2kπ＋π
2(k∈Z)．
∴φ＝kπ＋π
4(k∈Z)，
∴φ的一个值为－3π4.
【答案】 A
3．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－3，－2]上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，则()
A．f(sin α)＞f(cos β) B．f(sin α)＜f(cos β)
C．f(sin α)＞f(sin β) D．f(cos α)＞f(cos β)
创新·预测演练
【解析】∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )的周期为2，且关于直线x ＝1对称，
∵当x ∈[－3，－2]时是减函数，∴x ∈[－1,0]上为减函数，又f (x )为偶函数，则在[0,1]上是增函数．
又α＋β＞π2，α＞π
2－β，
∴sin α＞cos β＞0.∴f (sin α)＞f (cos β)． 【答案】 A
4．函数y ＝3
sin 2x ＋sin 2x (x ≠k π，k ∈Z)的值域是( ) A ．[23，＋∞) B ．(1,23] C ．(0,4]
D ．[4，＋∞)
【解析】设t ＝sin 2x ，t ∈(0,1]，y ＝t ＋3t 在(0,1]上为减函数，∴y ≥1＋3
1＝4. 【答案】 D
5．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数．若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝cos x ，则f (11π
4)的值为( )
A.2
2 B ．－2
2 C ．－3
2
D.32
【解析】∵f (x )的最小正周期是π，
∴f (11π4)＝f (11π4－3π)＝f (－π4)． ∵f (x )是奇函数，
∴f (－π4)＝－f (π4)＝－cos π4＝－22， ∴f (11π4)＝－22. 【答案】 B 二、填空题
6．已知θ∈[0,2π], sin θ，cos θ分别是方程x 2－kx ＋k ＋1＝0的两个根，则角θ等于____________．
【解析】由已知得：⎩⎨⎧
sin θ＋cos θ＝k ， ①
sin θcos θ＝k ＋1， ②
①2－2×②得1＋2(k ＋1)＝k 2，
∴k 2－2k －3＝0即k ＝3或k ＝－1. 又||sin θ≤1，||cos θ≤1，
则sin θ＋cos θ＝k ≤2，因此k ＝3舍去． ∴k ＝－1, 则sin θ＋cos θ＝－1，sin θcos θ＝0， ∴θ＝3π
2或θ＝π. 【答案】 3π
2或π
7．已知0≤x ≤π2，则函数f (x )＝3sin(x ＋π6)＋3sin(π
3－x )的最大值为________． 【解析】f (x )＝3sin(x ＋π6)＋3cos(x ＋π6) ＝23[32sin(x ＋π6)＋12cos(x ＋π
6)] ＝23·sin(x ＋π
3)， ∵0≤x ≤π2， ∴π3≤x ＋π3≤5π6，
∴当x ＋π3＝π
2时，f (x )max ＝2 3.
故最大值是2 3. 【答案】 2 3
8．函数y ＝5sin 2x ＋3sin x ·cos x ＋6cos 2x ＋m 的最大值为1，则m ＝________. 【解析】y ＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋5＋m ＝3
2sin 2x ＋cos 2x ＋12＋5＋m ＝
sin(2x ＋π6)＋11
2＋m .
y max ＝1＋112＋m ＝1，∴m ＝－11
2. 【答案】 －11
2
9．若θ是钝角，则满足等式log 2(x 2－x ＋2)＝sin θ－3cos θ的实数x 的取值范围是__________．
【解析】因为θ是钝角，所以log 2(x 2－x ＋2)＝sin θ－3cos θ＝2sin(θ－π
3)∈(1,2]．
解不等式2＜x 2－x ＋2≤4可得x ∈[－1,0)∪(1,2]．
【答案】 [－1,0)∪(1,2] 三、解答题
10．已知P (1，cos x )，Q (cos x,1)，x ∈[－π4，π
4]． (1)求向量OP →和OQ →的夹角θ的余弦值f (x )； (2)求cos θ的最值．
【解析】(1)∵OP →·OQ →＝2cos x ，
|OP →|·|OQ →|＝1＋cos 2x ， ∴f (x )＝cos θ＝
2cos x 1＋cos 2x
(x ∈[－π4，π
4])．
(2)∵x ∈[－π4，π4]，∴cos x ∈[2
2，1]． ∴cos θ＝
2cos x
1＋cos 2x
＝
2
cos x ＋1cos x
，
∴2≤cos x ＋1cos x ≤32
2， ∴22
3≤cos θ≤1.
即cos θ的最大值为1，最小值为22
3. 11．已知函数f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a . (1)当f (x )＝0有实数解时，求a 的取值范围； (2)若x ∈R ，有1≤f (x )≤17
4，求a 的取值范围． 【解析】(1)f (x )＝0，
即a ＝sin 2x －sin x ＝(sin x －12)2－1
4， ∴当sin x ＝12时，a min ＝－1
4； 当sin x ＝－1时，a max ＝2. ∴a ∈[－1
4，2]．
(2)由1≤f (x )≤174，得⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤sin 2
x －sin x ＋174，a ≥sin 2x －sin x ＋1，
∵u1＝sin2x－sin x＋17
4＝(sin x－
1
2)
2＋4≥4，
u2＝sin2x－sin x＋1＝(sin x－1
2)
2＋
3
4≤3，
∴a的取值范围是[3,4]．
【点评】(1)本题是三角函数与函数方程、不等式的综合运用，考查了函数方程思想及转化与化归思想．
(2)一般情况下恒成立问题的解决方案是：先分离变量再根据a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
附加探究
∠A，∠B，∠C为锐角三角形ABC的三个内角，且tan A，tan B，tan C成
等差数列，f(x)满足f(tan C)＝
1 sin 2A.
(1)求x＞0时f(x)的表达式；
(2)设x＝tan C，求当(1)中f(x)取得最小值时，三角形ABC的最小角的值．
【解析】(1)∵tan A＋tan C＝2tan B＝－2tan(A＋C)＝－2×tan A＋tan C
1－tan A tan C
，
∴tan A＝
3 tan C.
又f(tan C)＝
1
sin 2A＝
sin2A＋cos2A
2sin A cos A＝
1＋tan2A
2tan A，
将tan A＝
3
tan C代入得f(tan C)＝
1
2(
tan C
3＋
3
tan C)，因∠C为锐角，故tan C＞0，
∴当x＞0时f(x)＝1
2(
x
3＋
3
x)．
(2)f(x)＝1
2(
x
3＋
3
x)≥
1
2·2
x
3·
3
x＝1，当且仅当
x
3＝
3
x即x＝3时取等号；
此时tan C＝3，∴tan A＝1，由△ABC是锐角三角形知：A＝π
4，且A为最小角．
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