高等数学(同济第六版)第三章第5节

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同济大学高数第六版基本概念及公式总结(土木数学兴趣小组)

四川建院土木1301（数学兴趣小组）目录第一章函数与极限薚……………………………………………………………………第一节函数……………………………………………………………………………….. 第二节数列的极限………………………………………………………………………………….. 第三节函数的极限…………………………………………………………………………………第四节无穷小与无穷大…………………………………………………………………………….. 第五节极限四则运算法则……………………………………………………………………………第六节极限存在准则、两个重要极限………………………………………………………………第七节无穷小的比较…………………………………………………………………………………第八节函数的连续性与间断点………………………………………………………………………第九节连续函数的运算与初等函数的连续性…………………………………………………….. 第十节闭区间上连续函数的性质……………………………………………………………………第二章导数与微分………………………………………………………………………. 第一节导数的概念……………………………………………………………………………………. 第二节函数的求导法则………………………………………………………………………………第三节初等函数的求导问题…………………………………………………………………………. 双曲函数与反双曲函数的导数…………………………………………………………………………第四节高阶导数………………………………………………………………………………………第五节隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数相关辩化率……………………………第六节函数的微分…………………………………………………………………………………….第三章中值定理与导数的应用…………………………………………………………第一节中值定理………………………………………………………………………………….. 第二节洛必达法则……………………………………………………………………………………第三节泰勒公式………………………………………………………………………………………第四节函数单调性的判定法…………………………………………………………………………第五节函数的极值与最值……………………………………………………………………………第六节曲线的凹凸与拐点……………………………………………………………………………第七节曲率……………………………………………………………………………………………第八节方程的近似解…………………………………………………………………………………第四章不定积分……………………………………………………………………….. 第一节不定积分的概念及其性质………………………………………………………………第二节不定积分的换元积分………………………………………………………………………第三节不定积分的分部积分法…………………………………………………………………….. 第四节几种特殊类型函数的积分……………………………………………………………………第五章定积分…………………………………………………………………………. 第一节定积分概念与性质…………………………………………………………………………第二节微积分基本定理………………………………………………………………………….. 第三节定积分换元积分法与分部积分法……………………………………………………..第四节广义积分……………………………………………………………………………..第六章定积分的应用……………………………………………………………….定积分的元素法……………………………………………………………………………………功水压力和引力…………………………………………………………………………………. 平均值……………………………………………………………………………………………..第七章空间解析几何与向量代数…………………………………………………. 第一节空间直角坐标系…………………………………………………………………………. 第二节向量及其加减法向量与数的乘法………………………………………………………第三节向量的坐标………………………………………………………………………………第四节数量积向量积混合积…………………………………………………………………. 第五节曲面及其方程……………………………………………………………………………第六节空间曲线及其方程………………………………………………………………………. 第七节平面及其方程…………………………………………………………………………….. 第八节空间直线及其方程………………………………………………………………………. 第九节二次曲面…………………………………………………………………………………第八章多元函数微分法及其应用…………………………………………………第一节多元函数的基本概念………………………………………………………………….第二节偏导数………………………………………………………………………………….第三节全微分………………………………………………………………………………….第四节多元复合函数的求导法则……………………………………………………………. 第五节隐函数的求导法则……………………………………………………………………第六节微分法在几何上的应用………………………………………………………………..第七节方向导数与梯度………………………………………………………………………..第八节多元函数的极值及其求法……………………………………………………………….第九章重积分………………………………………………………………………第一节二重积分的概念与性质…………………………………………………………….第二节二重积分的计算…………………………………………………………………………第三节二重积分的应用…………………………………………………………………………第四节三重积分的概念及其计算法……………………………………………………………. 第五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分………………………………………………第十章曲线积分与曲面积分………………………………………………………第一节对弧长的曲线积分…………………………………………………………………….第二节对坐标的曲线积分…………………………………………………………………….第三节格林公式及其应用……………………………………………………………………. 第四节对面积的曲面积分……………………………………………………………………. 第五节对坐标的曲面积分……………………………………………………………………. 第六节高斯公式通量与散度………………………………………………………………第七节斯托克斯公式环流量与旋度………………………………………………………第十一章无穷级数………………………………………………………………第一节常数项级数的概念和性质………………………………………………………….. 第二节常数项级数的申敛法…………………………………………………………………. 第三节幂级数…………………………………………………………………………………. 第四节函数展开成幂级数……………………………………………………………………第五节函数的幂级数展开式的应用…………………………………………………………第七节傅里叶级数……………………………………………………………………………. 第八节正弦级数与余弦级数…………………………………………………………………. 第九节周期为2l的周期函数的傅里叶级数………………………………………………...第十二章微分方程……………………………………………………………….. 第一节微分方程的基本概念……………………………………………………………….. 第二节可分离变量的微分方程………………………………………………………………第三节齐次方程……………………………………………………………………………第四节一阶线性微分方程…………………………………………………………………第五节全微分方程……………………………………………………………………………第六节可降阶的高阶微分方程………………………………………………………………第七节高阶线性微分方程……………………………………………………………………第八节二阶常系数齐次线性微分方程………………………………………………….. 第九节二阶常系数非齐次线性微分方程……………………………………………………第十节欧拉方程………………………………………………………………………………第十一节微分方程的幂级数解法……………………………………………………………. 第十二节常系数线性微分方程组解法举例…………………………………………………第一章函数与极限第一节函数教学目的：本节主要是复习高中阶段学过的集合以及函数的概念、性质；介绍邻域、分段函数、复合函数、初等函数的概念。

《高等数学》详细上册答案(一--七)

2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.天数学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第一天2h第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6)(8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数第二天3h1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5)(8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。

第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。

高等数学第三章第5节函数的极值与最值

极小值 f ( 3) 22.
9
f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5图形如下
M
m
10
例2. 求函数 f ( x) ( x 1) x 的极值 .
2 3
2 3
2 x 5 5 2 f ( x ) x ( x 1 ) x 解: 1) 求导数 3 3 3 x 2) 求极值可疑点 2 令 f ( x ) 0 , 得 x1 5 x2 0 导数不存在的点
所以 ( x0 , f ( x0 ))是y f ( x)的一个拐点。
18
因为当 x x0时，有f ( x) f ( x0 ) 0,
当x x0时，有f ( x) f ( x0 ) 0,
所以f ( x0 )是f ( x )的极小值，
即
f ( x) f ( x0 ) 0 所以f ( x)单增，
y y
o
x0

x

x0
o
x
(是极值点情形)
7
y

y

o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
(1)确定函数的定义域；
(2) 求函数的驻点及导数不存在的点 ; (3) 由定理判断极值点 ; (4) 求极值.
8
例1 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值. 解
x0不是f ( x)的极小值点。
19
二、最值的求法
若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，则f ( x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值存在.
y
y

《高等数学》(同济六版)教学课件★第3章.微分中值定理与导数的应用(2)

第六节
第三章
函数图形的描绘
一、曲线的渐近线二、函数图形的描绘
目录上页下页返回结束
一、曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M
y kxb
1)
y
(
x
2 1)3
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6）绘图
x (,1) 1 (1,1)
y
2
(极大)
铅直渐近线 x 1
斜渐近线
y1x5 44
特殊点
x0 y 9
2 1
44
1 (1,3) 3 (3, )
无定义
0
(极小)
y
y (x 3)2
4(x 1)
2 1
O1 2 3 5 x
y
1 4
x
5 4
x 1
x0
1 1
e e
x2 x2
目录上页下页返回结束
2. 曲线 y 1 ex2 的凹区间是
(
1 2
,
1 2
)
,
凸区间是
( ,
1 2
)
及
(
1 2
,
)
,
拐点为
(
1
1
,1e 2 )
2
,
渐近线
y 1
.
提示:
y 2ex2 (1 2 x2 )
y
1
(
1
,1
e
1 2
)
2
O
(

同济高等数学(第六版)第三章PPT D3 3泰勒公式

Rn ( x) f ( x) pn ( x)
( 在 x0 与 x 之间)
( n1) ( n1) pn ( x) 0 , Rn ( x) f ( n1) ( x)
Rn ( x)
f ( n1) ( ) (n 1) !
( x x0 ) n1 ( 在 x0 与 x 之间)
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则各项舍入误差之和不超过 7 0.5 10 , 总误差限为 7 0.5 106 10 6 5 106 这时得到的近似值不能保证误差不超过 10 6. 因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
6
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例2. 用近似公式
3 6 10 Rn (1) (n 1) ! 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 1 1 e 11 2.718282 2! 9!
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说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
1 1 本例 e 1 1 2! 9!
f ( x0 )( x x0 ) 2
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2. 余项估计
令 Rn ( x) f ( x) pn ( x) (称为余项) , 则有
Rn ( x) ( x x0 ) n1 (1 ) Rn Rn ( x) Rn ( x0 ) (1 在 x0 与 x 之间) n n1 (n 1)(1 x0 ) ( x x0 ) 0 (1 ) Rn ( 2 ) Rn Rn ( x0 ) ( 2 在 x0 与 n (n 1)(1 x0 ) 0 (n 1)n( 2 x0 ) n1 1 之间)
(n) ( n 1) R ( x ) R ( ) n 0 n ( 在 x0 与 xn 之间) (n 1) 2( n x0 ) 0 (n 1) !

同济高等数学(第六版)第三章PPT D3_2洛必达法则

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2)
x 0 x100
lim
1

1 x2
e
1 解: 令t 2 , 则 x
原式 = lim t
t 50 t
e
t 50 lim t t e
(用洛必达法则)
lim
50 t 49 e
t
t
(继续用洛必达法则)
lim
50 ! e
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x 例4. 求 lim x (n 0 , 0) . x e (2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
n
x k x n x k 1
从而
由(1)
x n x k 1 xk x x x e e e k k 1 x x lim x lim x 0 x e x e xn lim x 0 x e
1 2t 2 1 t 1 原式 lim t 0 t2
lim
t 0
洛
(1 2 t )
1 2
(1 t ) 2t
1 2
洛
lim
t 0
(1 2t )
3 2
1 (1 t ) 2 2
3 2
1 4
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作业 P138 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16),
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洛必达法则
推论1. 定理 1 中 x a 换为下列过程之一:
x a ,
f ( x) 推论 2. 若 lim F ( x) 理1条件, 则
x ,

同济六版高等数学第三章第五节课件

试求 f (x) 在[0 ,1] 上的 5. 设 f ( x) n x (1 x) n , n N ，
最大值 M (n) 及 lim M (n).
n
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铃
1 4. 试问a 为何值时, f ( x) a sin x sin 3 x 3 2 在 x 时取得极值 , 求出该极值, 并指出它是极大 3 还是极小.（P163 第3题）解: f ( x) a cos x cos 3x 由题意应有 2 ( ) a cos( 2 ) cos 3( 2 ) 0 f 3 3 3 a2
M
m x1 x2
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x3 x4 x5
返回下页结束铃
例3 求函数f(x)|x23x2|在[3 4]上的最大值与最小值
2 x[3, 1][2, 4] 解：解法一 f (x) x 3x 2 解 x 2 3x 2 x(1, 2) x(3, 1) (2, 4) 2x 3 f (x) 2x 3 x(1, 2) 3 在(3 4)内 f(x)的驻点为 x 不可导点为 x1 和 x2 23 1 由于 f(3)20 f(1)0 f ( ) f(2)0 f(4)6 2 4 比较可得f(3)20是 f(x)在[3 4]上的最大值 f(1)f(2)0是f(x) 在[3 4]上的最小值
确定极值点和极值的步骤
(1)求出导数f (x) (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点 (3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f (x)的符号 (4)确定出函数的所有极值点和极值
首页上页返回下页结束铃
例1 例 1 求函数 f (x) (x 4)3 (x 1)2 的极值解 (1)f(x)在( )内连续除x1外处处可导且

高等数学第五节极值最值精品文档

Fcos
相等时物体就将要移.(见动图)
G
容易求得正 GF 压 si力 n(G为为 G的模 ),于是
摩擦 (G F 力 s i)n ,
F的水平分力的大 Fc小 os,
从而得 F co s(G F si)n.
则目标函数为
FcosG sin,
其中 [0,).
6
所x 以 a是极,故大最值 x大点 a,最点大为容
6
6
V 2 a3. 27
例7 求内接(于半球径R为 )的圆柱体的最 . 大体
解设圆柱体 h,底的半高 r,径体为为积 V, 为
则目标函V数为 r2h,
其r,中 h应满 r2h 足 2R 2, 即r2R2h2.
例2 求函f数 (x)x33x的增减区间及 . 极值增(减)区间是:在指该区间上函数 (或是减增)的 .的
解函数的定义 (,域 )为又 . f(x)3x23. 令 f(x)0,即 3x230, 3 (x 1 )x ( 1 ) 0 , 得驻 x1 ,x点 1 .
这些点均应在义函域,否数内则的不定必 . 讨
(2)如果用定 ,那理么四就讨论驻微点点和两不侧附近导数,从的而正判负断出 . 极值点
(3 )如果,计用算定 f(x 驻 ) 理的点五正 , 处负从而判断 .当 f(x 出 )0时极 ,需值另点 .作
x4 x5 x
图3-7
如何去寻找极 ?有值如点下呢 .定理
定理一 (极值点的必要条件) 如 x 0 是果f函 (x )的数极 ,且 x 值 0 处在点函 , 数则 f(x0)0.
定理一讲的是这样一事个实, 对于可微,函极数值点必在导数等 ,即于在零 f方 (x的 )程 0的点根中 . 中

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第03章-中值定理与导数的应用

第三章中值定理与导数的应用教学目的：1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。

2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

5、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

6、知道方程近似解的二分法及切线性。

教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。

教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。

§3. 1 中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)),那么f '(x 0)=0.罗尔定理如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0.简要证明: (1)如果f (x )是常函数, 则f '(x )≡0, 定理的结论显然成立.(2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(a , b )内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(a , b ). 于是0)()(lim )()(≥--='='-→-ξξξξξx f x f f f x , 0)()(lim )()(≤--='='+→+ξξξξξx f x f f f x , 所以f '(x )=0.罗尔定理的几何意义:二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 那么在(a , b )内至少有一点ξ(a <ξ<b ), 使得等式f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )成立.拉格朗日中值定理的几何意义:f '(ξ)=ab a f b f --)()(, 定理的证明: 引进辅函数令 ϕ(x )=f (x )-f (a )-a b a f b f --)()((x -a ). 容易验证函数f (x )适合罗尔定理的条件: ϕ(a )=ϕ(b )=0, ϕ(x )在闭区间[a , b ] 上连续在开区间(a , b )内可导, 且ϕ '(x )=f '(x )-ab a f b f --)()(. 根据罗尔定理, 可知在开区间(a , b )内至少有一点ξ, 使ϕ '(ξ)=0, 即f '(ξ)-a b a f b f --)()(=0. 由此得 ab a f b f --)()(= f '(ξ) , 即 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ).定理证毕.f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b <a 也成立.拉格朗日中值公式的其它形式:设x 为区间[a , b ]内一点, x +∆x 为这区间内的另一点(∆x >0或∆x <0), 则在[x , x +∆x ] (∆x >0)或[x +∆x , x ] (∆x <0)应用拉格朗日中值公式, 得f (x +∆x )-f (x )=f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).如果记f (x )为y , 则上式又可写为∆y =f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).试与微分d y =f '(x ) ⋅∆x 比较: d y =f '(x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的近似表达式, 而f '(x +θ∆x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下定理:定理如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零, 那么f (x )在区间I 上是一个常数. 证在区间I 上任取两点x 1, x 2(x 1<x 2), 应用拉格朗日中值定理, 就得f (x 2)-f (x 1)=f '(ξ)(x 2 - x 1) (x 1<ξ< x 2).由假定, f '(ξ)=0, 所以f (x 2)-f (x 1)=0, 即f (x 2)=f (x 1).因为x 1, x 2是I 上任意两点, 所以上面的等式表明: f (x )在I 上的函数值总是相等的, 这就是说, f (x )在区间I 上是一个常数.例2. 证明当x >0时, x x xx <+<+)1ln(1. 证设f (x )=ln(1+x ), 显然f (x )在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f (x )-f (0)=f '(ξ)(x -0), 0<ξ<x 。

高等数学第3章第5节无穷小量与无穷大量

lim(2 sin 1) 不存在．但1
x(2 sin 1) x
3 ，所x0Fra bibliotekx0x
x0
x
x0
x
x
以 x 与 x(2 sin 1) 为当 x 0 时的同阶无穷小量． x
由上述记号可知：若 f 与 g 是当 x x0 时的同阶无穷小量，则一定有：f (x) O(g(x))(x x0) ．
有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量．
一、无穷小量
1．定义１：设
f
在某
U
0
(
x0
)
内有定义．若
lim
x x0
f
( x)
0 ，则称
f
为当 x

x0 时的无穷小量．记作：
f (x) 0(1)(x x0) .
（类似地可以定义当 x x0 , x x0 , x , x , x 时的无穷小量）．
称直线Ｌ为曲线Ｃ的渐近线．
形如 y kx b 的渐近线称为曲线Ｃ的斜渐近线；形如 x x0 的渐近线称为曲线Ｃ的垂直渐近线．
３．曲线的渐近线何时存在？存在时如何求出其方程？（１）斜渐近线
假设曲线 y f (x) 有斜渐近线 y kx b ，曲线上动点 p 到渐近线的距离为
答：按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲Ａ为函数 f (x) 当 x x0 时的极限，意味着Ａ是一个确定的数，而“ ”不具有这种属性，它仅仅是一个记号．所以不能简单地讲“无穷大量
是以为极限的函数”．但是，确实存在着这样的函数，当 x x0 时， f (x) 与 (or ) 无限接

高等数学第5节平面及其方程

z
z
oo
o y
y
x
x
若 C 0, Ax By D 0,
——法向量垂直z轴, 平面平行z轴.
Ax By 0, ——平面过z轴。
z
z
oo x
y
y o
x
若 A 0, B 0, Cz D 0, n (0,0,C )
——平面垂直z轴或平行xoy面。
z
n
o y
x
例3 求过点 (4,3,1) 及过x轴的平面方程.
2. 一般式平面方程点法式平面方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 化为 Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0 记 D ( Ax0 By0 Cz0 ), 则平面方程为
Ax By Cz D 0 —— 一般式平面方程
若 D 0, Ax By Cz 0, ——平面过原点
x 3 y z 1 0 都垂直的平面方程.
三、点到平面的距离
设 M0( x0, y0, z0 ) 是平面 : Ax By Cz D 0
外一点, 求点 M0 到平面的距离.
在平面上取一点 P( x1, y1, z1),
M0
PM0 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 )
z
o
y
x
若 A 0,
By Cz D 0, n (0, B,C )
——法向量垂直x轴, 平面平行x轴.
By Cz 0, ——平面过x轴。
z
o
y
x
若 B 0, Ax Cz D 0, n ( A,0,C )
——法向量垂直y轴, 平面平行y轴.
Ax Cz 0, ——平面过y轴。
d

高等数学第3章第五节函数的极值及其求法

7
2
例3 求f x 1 ( x 2) 3的极值。
解 1 f 'x 2 0
33 x 2
2x 2时，f x不存在.
2
3x ,2时，f x 0
x 2,时，f x 0
f 2 1为极大值.
习题如果
y ax3 bx2 cx d满足条件b2 3ac 0, 则这函数没有极值.
第五节函数的极值及其求法
极值定义
y
y f (x)
a x1 o x2
x4
x5 x6 b x
若Ux0 , ,x U x0 , , f x f x0 f x f x0 ,
则称f x0 为极大 (小) 值，x0为极大 (小) 值点.
f ( x2 )、f ( x5 ) 极大值，
f ( x1 )、f ( x4 )、f ( x6 )
（3）若函数在某区间内部有唯一的极值点，最大值，极小值一定是最小值。
则极大值一定是
2
y
y f (x)
a x1 o x2 x3 x4
x5 x6 b x
定理1（必要条件）设f x在x0点可导，f x0 为极值，则f x0 0.
驻点：使导数为零的点（即方程
f '( x) 0的实根）。
可导函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。
解 1 f 'x 3x 2 6x 9 3( x 1)(x 3)
2x1 1, x2 3时，y 0
法1
3x在 1的左侧附近时，f x 0 x在 1的右侧附近时，f x 0
f 1 10为极大值。
x在3的左侧附近时，f x 0
x在3的右侧附近时，f
x
0
f 3

高等数学第六版下册课后习题答案-同济大学

本答案由大学生必备网免费提供下载第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。

习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-解二：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)1limlim lim 4x y x y x y →→→===-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可.2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂==∂z y ∂==∂(4))ln(222z y x u ++= 解：222222222222,,u x u y u zx x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++(5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z uu u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)zx y x y x y x ∂=-++=-+∂ 4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂(3)⎰+=22 y x xtdt e z ，求22x z ∂∂， yx z ∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=，求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y-+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=，证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂ 由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则（1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。

高等数学第六版上下册同济大学出版社

y ex ex
y ch x
O
x
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又如, y f (x) ex ex
y 奇函数 ex ex
2
y sh x
记
sh x 双曲正弦
Ox
再如,
y
sh x ch x
e e
x x
e e
x x
奇函数
y
记
th x 双曲正切
说明: 给定 f (x), x (l, l)
1 y th x
周期为
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f (x) C
狄利克雷函数
1, x 为有理数 0 , x 为无理数
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3. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质
若函数
为单射, 则存在一新映射
使
其中
称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成
y f 1(x) , x f (D)
性质:
1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数
且也单调递增 (减) .
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2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
y Q(b, a)
两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0
u cot v , v k π (k 0, 1, 2,) v x , x (, )
2
可定义复合函数:
k Z
约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域, 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.

高等数学第五节函数连续性

O
但是由于
2
x
lim f(x)1f(0)0,
x 0
因此 x = 0 是该函数的第一类间断点 . 这类间断点又称为可移去间断点.
因为，如果修改定义 f (0) = 1，则函数
s inx
f
(x)
x
,
x 0,
在 x = 0 连续.
1 , x 0
y
1
2 O
2
x
所以，左、右极限存在且相等的间断点称为可移去间断点.
例如，由l于 im cc(c为常 )， li数 m xx0,且
x x0
x x0
x0 （，）的任因意此，点函数f， (x) = c, g (x) = x 在 ( ， ) 内连续.
例 1 证明函数 y = sin x 在其定义域内连续 .
证任取 x0 (- , + )，则因
y f (x0 + x) - f (x0) sin(x0 + x) - sinx0
定义 1 表明，函数在某点连续含有三层意思： (1)它在该点的一个邻域内有定义; (2)极限存在; (3) 极限值等于该点处的函数值.
函数 y = f (x) 在x0处连续的几何意义是：函数 y f (x) 的图形在点( x0,f (x0) )处不断开；
函数y = f (x) 在 (a, b) 连续的几何意义是：函数 y f (x) 的图形在 ( a, b) 内连绵不断.
l i m f(x)g(x)l i m f(x)l i m g(x)
x x0
x x0
x x0
f(x0)g(x0)，
因此 f (x) · g (x) 在 x0 处连续 .
定理 2 设函数 y = f (u) 在 u0 处连续，函数 u