青岛版2.5角平分线的性质课件

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新青岛版八年级数学上册《角平分线的性质》课件(共12张PPT)

教学目标
1.能够通过折纸、画图等操作，体会角的对称性，从而认识角平分线的性质；
2.能够利用尺规作图，作出角的平分线；运用作图和实验的方法，探索线段的垂直平分线的性质定理和逆定理；
活动一
1.不利用工具，请你将一张用纸片做的角∠BAC分成两个相等的角。你有什么办法？
2. 再把纸片展开后铺平，记折痕为AD。Βιβλιοθήκη A EDAC
P
D B
E
B
C
O
3.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
C
你会吗？
D
A
BE
完成导学案当堂达标
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月22日星期五2022/4/222022/4/222022/4/22 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/222022/4/222022/4/224/22/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/222022/4/22April 22, 2022
3.你发现∠BAC是轴对称图形吗？
4.如果是，它的对称轴是那一条直线？
5.归纳:角是轴对称图形，角平分线
B
所在的直线是它的对称轴。
A
C
活动二
1．在角平分线上任意取点P，过点P作PM⊥AB，PN⊥AC,垂足分别是M，N，
动手量一量，折一折
2.用圆规比较PM与PN的大小你发现什么？
请你给你同桌说明你的理由？ 3.如何转化为几何符号语言

青岛版八年级上册2.5-角平分线的性质课件(23张)

中 ABC内部画出M的位置吗？
C
A
B
动动手画一画
请同学们拿出一张纸，在纸
上任意画出一个角 BAC ,
把它剪下并对折，使角的两
边重合，然后展开铺平，你
有什么发现？
B
（1）思考：角是轴对称图形吗？
如果是，请找出它的对称轴。A
D
（2）结论：
C
角是轴对称图形，角的平分线所
在的直线是它的对称轴。
动动手做一做
自费 ,自带水 ,自带电筒! 九、注意事项:
听从 “ xx”指挥 ,统一行动 ,团结友好!单身聚乐部宣xx年 8月5日望各位积极报名,阿呀 ,既然来了就报个名吧!
情境引入天泉农副产品集散基地M位于李庄A、王庄B、赵庄C三个村庄之间，其位置到三条公路AB、 AC、BC的距离相等。你能在图
合肥市宁国路,逍遥津公园 ,杏花公园,步行街,万达广场等各黑暗脚落 ! 六、活动时间:
xx年 x月 x日。农历七月初七。七、活动流程:
1、通过 qq和手机联系,准时聚集单身人员! 2、第一步 ,纵队遛逛淮河路,宁国路遇到情侣迅速变阵 ,成列队穿插情侣间,脸皮厚者
A
到AB边的距离
B
D
C
4、 ΔABC的角平分线BM,CN相交于点P. 求证：点P到三边AB,BC,CA的距
离相等。
A
N M
P C线上的点到这个角的两边距离相等.
二.逆定理角的内部到角的两边距离相等的点,在角的平分线上.
三.遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一点向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理

《角的平分线》课件(青岛版八年级上)

利用角的平分线可以方便地将一个角分成两个相等的小角，这在图形设计和几何证明中非常有用。
在几何图形设计中，角的平分线常用于构造对称图形，如蝴蝶、雪花等具有对称美的图案。
其他实际问题中角平分线的应用
在航海、航空等领域，角的平分线被用于确定航向和航线，以保证航行安全和准确性。在光学领域，光的反射和折射现象也与角的平分线密切相关，利用这一原理可以设计出各种光学仪器和装置。在计算机图形学中，角的平分线也被广泛应用于图形变换、对称和裁剪等操作中。
多边形中的角平分线
多边形内心与角平分线关系
多边形的内心是其角平分线的交点，内心到多边形各边的距离相等。
通过多边形的内心，可以作出多边形的内切圆，该圆与多边形的各边都相切。
在多边形中，每条角平分线都将对应的顶角平分，同时将从内心出发的线段也将对应边平分。
多边形面积与角平分线关系
点击此处添加正文，请言简意赅的阐述观点。
实际问题中角的平分线应用
点击此处添加正文，请言简意赅的阐述观点。
目录
角的基本概念与性质
角的定义及表示方法
角的静态定义
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
角的动态定义
一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角，所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。
三角形的每条角平分线都是内切圆的一条切线，切点位于三角形的三边上。
通过内切圆和角平分线的关系，可以推导出三角形的一些重要性质和定理，如切线长定理等。
三角形的内切圆是与三角形三边都相切的圆，其圆心即为三角形的内心。

青岛版八年级数学上册 (角平分线的性质)教学课件

A
D
O
O
PC
E
（1题） B
A D
PC
E B
（2题）
（3题）
反过来，角的内部到角的两边距离相等的点是否
一定在这个角的平分线上呢？
自学探究三：
B
结论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
角平分线的性质2
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. B
应用所具备的条件：
M
（1）点P在∠BAC的内部；
（2）PM⊥AB PN⊥AC；
（3）PM=PN 符号语言：
1 A
2
D P
∵ PM⊥AB PN⊥AC PM=PN（已知）
∴点P在∠BAC的角平分线上（角的内部到角 N
的两边距离相等的点在角的平分线上.）
C

∴∠1=∠2（角的平分线的定义）
作用：判断点是否在角平分线上的依据.
测试二:
如图，P 是∠AOB 内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别
第2章图形的轴对称
角平分线的性质
教学目标
1、探索角的轴对称性质，丰富学生的数学活动经验，发展空间观念 2、探索并理解角平分线的性质 3、能用尺规完成基本作图：作一个角的平分线
（一）知识回顾
1、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
A
C
1
2 o
B
（一）知识回顾
P
A
N
可化为一元一次方程的分式方程
第1课时
含有未知数的等式叫方程.
能使方程左右两边相等的未知数叫做方程的解.
如，10x 48 2x， 90 60 . ①
30 v 30 v

《角平分线的性质》(第1课时)示范公开课教学PPT课件【青岛版八年级数学上册】

第二章图形的轴对称
2.5角平分线的性质第 1课时
学习目标
1.了解角是轴对称图形，知道它的对称轴 2.会用直尺和圆规作出已知角的平分线. 3.理解角平分线的性质.
情境导入
在纸上任意画一个∠BAC（图①），把它沿经过点 A 的某条直线对折，使角的两边 AB 与 AC重合，然后把纸展开后铺平，记折痕为 AD（图②）. 你发现∠BAC是轴对称图形吗？
探究新知
角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等
探究新知
想一想已知∠BAC ，经过∠BAC内部任意作直线 l1∥AB，作直线 l2∥AC，使 l2 与 AC 之间的距离等于 l1 与 AB 之间的距离. 记 l1，l2的交点为 P . 过点 P作 PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别为点 M，N，PM 与 PN 有怎样的大小关系？如果将∠BAC 沿直线 AP 对折. 你发现 ∠BAP 与 ∠CAP重合吗？由此你能得到什么结论？
课堂小结
1.角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等 . 2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
谢谢大家
应用新知
典型例题如图，OB、OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，
ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，则表示∠AOD的代数式
为（ A）
A.2α－β
B.α－β
C.α+β
D.2α
应用新知
1.如下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于
D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于（ B）
BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为（ C）
A.18
B.16
C.14
D.12

青岛版八年级上册课件第二章 2.5 角平分线的性质(共29张PPT)

P
FLeabharlann C两弧在∠BAC内部交于点P. 3、作射线AP，射线AP即为所求.
则射线AP即为所求。
思考：你能证明射线AP，就是∠BAC的角平分线吗？
求证： AP是∠BAC的角平分线证明:连结PE,PF，
在△AEP和△AFP中， AE=AF, PE=PF, AP=AP. ∴△AEP≌△AFP(SSS), ∴∠EAP=∠FAP. 即: AP 是∠BAC的角平分线. A
A 1 2 B
O
P
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
符号语言： ∵ PM⊥AB PN⊥AC PM=PN
A ∴AP平分∠BAC
M
B
1 2
N
P
D
温馨提示：该判定主要用于证明两角相等，
C
角的平分线的性质
角的平分线的判定
图形
C P P
C
已知条件结论
OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E OP平分∠AOB
判定用于证明两角相等
PD=PE
性质用于证明两线段相等
如图，△ABC的角平分线 BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
D 证明：过点P作PD⊥AB于D， F N PE⊥BC于E，PF⊥AC于F， P M ∵BM是△ABC的角平分线， PD⊥AB，PE⊥BC， C B E ∴PD=PE. 点P在∠A的平分线上吗同理可证：PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
=
角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.
符号表达： ∵AD平分∠BAC ∴PM=PN PM⊥AB PN⊥AC M P A D B

青岛版数学八上25《角平分线的性质》ppt课件

由此，你能得到什么结论？
P
角平分线的判定：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
性质和判定的区别和联系：
温馨提醒
性质说明只要是角平分线上的点，它到角两边的距离一定相等，无一例外；判定反映了只要是到角两边距离相等的点，都一定在角的平分线上，而绝不会漏掉一个。
前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等（角平分线）
s
Ｏ
公路
铁路
解：
作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。
D
C
s
Ｏ
公路
铁路
3，在Rt三角形ACB中，AD平分 ∠BAC 交BC于D,若BC=9，BD=6，求点D到AB边的距离
A
B
D
C
4、ΔABC的角平分线BM,CN相交于点P.求证：点P到三边AB,BC,CA的距离相等。
A
1、以A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于E，交AC于F。
2、分别以E、F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠BAC内部交于点P。
3、作射线AP，射线OP即为所求。
作法：
证明:连ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱPE,PC由作法知:
问题1.在上面作法的第二步中，去掉“大于 EF的长”这个条件行吗？
【答案】不行.因为去掉“大于 EF的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．
一填空：(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB ∴___________(___________________________________________)(2). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE∴__________(_____________________________________________)

青岛版(新)数学八年级上册 2.5角平分线的性质

青岛版（新）数学八年级上册 2.5角平分线的性质1. 引言在数学中，我们经常会遇到角的概念和性质。

角是由两条射线共享一个起点所形成的图形，它有自己的度数和特征。

本文将重点讨论青岛版数学八年级上册中的2.5角平分线的性质。

2. 什么是角平分线在图形中，角平分线是指将一个角分成两个相等角的射线或线段。

角的平分线有很多重要的性质和应用，我们将逐一进行介绍。

3. 2.5角平分线的性质3.1 角平分线的定义角平分线是指从角的顶点出发，将角分成两个相等的角的射线或线段。

如下图所示：A\\---------\\--------- 一条角平分线\\B在上图中，角AOB 是被射线AB 分成两个相等角的角平分线。

3.2 角平分线的基本性质角平分线有以下几个基本性质：•性质1：一个角的平分线唯一。

•性质2：如果一条线段同时是一个角的平分线和边，则这个线段同时平分这个角的另一边。

3.3 角平分线的应用角平分线的性质在几何题解中具有广泛的应用。

其中一个重要应用是在求解等腰三角形的问题中。

当一个角被平分线平分时，我们可以利用平分线的性质找到等腰三角形的一些特性。

同时，角平分线还可以用来证明一些几何定理和性质。

例如，我们可以利用角平分线的性质证明如下命题：命题：如果角ABC 是一个锐角,而AM是角ABC的平分线，则AM⊥BC。

证明：A\\---------\\--------- 平分线AM\\B C假设角ABC 是一个锐角，AM 是其平分线。

要证明AM⊥BC，我们需要证明两个条件：1. ∠BAM ≌ ∠CAM (平分线的定义)。

2. 反证法假设∠BAM ≌ ∠CAM ≈ 90°，即AM 与BC 不垂直。

3. 则有∠BAM + ∠CAM = 180° (线性角度补，任一线上两个角的外角之和为180°)。

4. 由于 AM 是角ABC 的平分线，所以∠BAM ≌ ∠CAM，于是∠BAM + ∠BAM = 180°。

青岛版八年级上册角平分线的性质课件

谢谢观看
度量单位
角度的度量单位是度，符号为°。一个完整的圆被分为360度。
角度的测量
角度可以使用量角器进行测量。量角器是一个半圆形的刻度工具，可以用来测量角度的大小。
05
角平分线的性质与三角形的内角和
角平分线的性质
角平分线性质1
角平分线将相对边分成两段相等的线段。
角平分线性质2
角平分线上的点到角的两边距离相等。
角平分线性质3
角的平分线是角的内部到角的两边距离相等的点的轨迹。
三角形的内角和
三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180度。
证明方法
通过作辅助线将三角形的三个内角转化为一个平角或两个直角进行证明。
三角形内角和的应用
在几何证明和解题中，三角形内角和定理是一个非常重要的工具，可以帮助我们解决许多问题。
角平分线性质定理
角平分线性质定理的证明
利用三角形全等定理，通过构造两个直角三角形并证明其全等，从而证明角平分线上的点到角的两边距离相等。
角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等。
角的度量
01
02
03
角度的概念
角是由两条射线共同确定的，这两条射线被称为角的边，它们所夹的部分被称为角的内部。
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
角平分线的性质证明
通过构造辅助线，利用三角形全等定理证明角平分线上的点到角的两边的距离相等。
利用角的平分线性质，证明角平分线上的点与角的顶点构成的线段被角平分线平分。
通过角的平分线性质，推导出角平分线将一个角分为两个相等的部分。
03
角平分线的性质应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ青岛版八年级上册角平分线的性质课件

2.5角平分线的性质(课件)2024-2025学年度青岛版数学八年级上册

感悟新知
解：做法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径作弧，知3－练交OA于点E，交OB 于点F；
(2)分别以点E，F 为圆心，以大于12EF 的长为半径作弧，两弧在∠ AOB 的内部交于点C； (3)画射线OC； (4)同理，作∠ AOC 的平分线OM. ∠ AOM 即为所求作的角(如图2 .5 -8).
感悟新知
解：如图，过点P分别作PE⊥OB于点E，
知1－练
PF⊥OA于点F，则∠CFP＝∠DEP＝90°.
因为OM是∠AOB的平分线，所以PE＝PF.
因为∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，
所以 ∠PCF＋ ∠PDO＝360° － ∠AOB－ ∠CPD＝
180°.因为∠PDE＋∠PDO＝180°，
所以∠PCF＝∠PDE.
所以PQ＝PT，PS＝PT.
所以PQ＝PS.
所以AP平分∠MAC，即AP平分△ABC的外角∠CAM.
感悟新知
(2)过点C 作CE ⊥AP，垂足是E，并延长CE 交
BM 于点D.试说明：CE=ED. 解：由(1)可知 AP 平分△BAC 的外角∠CAM，所以∠DAE＝∠CAE. 因为 CE⊥AP，所以∠AED＝∠AEC＝90°. 在△AED 和△AEC 中，∠AED＝AAEE＝，∠CAE，
感悟新知
解：因为OD 平分∠ EOF，
知1－练
所以∠ BOD= ∠ AOD.
又因为OB=OA，OD=OD，
所以△ BOD ≌△ AOD(SAS).
所以∠ BDO= ∠ ADO，所以DO 平分∠ BDA.
又因为P 为DO 上一点，且PM ⊥ DB，PN ⊥ DA，
所以PM=PN.
感悟新知
知1－练
1-1.[期中·济宁] 如图，已知∠ AOB= 90 °，OM是∠AOB 的平分线，三角尺的直角顶点P 在射线OM 上滑动，两直角边分别与OA，OB 交于点C，D，试说明：PC=PD．

青岛版八年级数学上册 2.5角平分线的性质课件

P
垂线段PO的长度
A
O
B
（二）探究新知
活动一：探究角的轴对称性
在纸上任意画一个∠BAC，把它沿经过点 A 的某条直线对折，使角的两边 AB 与 AC 重合，然后把纸展开后铺平，记折痕为 AD.你发现∠BAC 是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
B
A
D
结论：角是轴对称图形，角C的平分线所在的直线
测试一: 判断正误，并说明理由：
1.如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，D、E分
别在OA、OB上，则PD=PE
( ×)
2.如图，P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，则
PE=PF.( × )
3.如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA
的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.( √ )
是它的对称轴.
活动二：探索角平分线的第一个性质
请同学们在刚才折出的角平分线AD上，任意取一点 P，通过尺规作图，过点 P 作 PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别是点 M，N，用圆规比较 PM 与 PN 的大小，你有什么发现？说明你的理由.
M
B
A
PD
N C
结论：角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.
M
B
PD
N
C
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/142021/8/14Saturday, August 14, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/142021/8/142021/8/148/14/2021 5:15:07 AM

初中数学青岛版八年级上册高效课堂资料课件2.5角平分线的性质

2.5 角平分线的性质
作已知角的平分线的方法已知:∠AOB. 求作:∠AOB的平分线.
作法: ⑴以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于M,交OB于N. ⑵分别以M,N为圆心,大于的长为半径作弧,两弧在 ∠AOB的内部交于点C. ⑶作射线OC 射线OC即为所求.
1 MN 2
A
Ｍ
Ｃ
Ｂ
Ｎ
0
温馨提示: 作角平分线是最基本的尺规作图,一定要掌握噢!
证一证
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.
A D P O E

C
B
说一说
你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？
角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号表示为：
A
∵OP平分∠AOB PD ⊥OA ，PE ⊥OB
O
D P E B
∴PD=PE.

青岛初中数学八年级上册《2.5 角平分线课件

2、如图，已知△ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，
FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
G
∵点F在∠BCE的平分线上，
FG⊥AE， FM⊥BC
∴FG＝FM 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC
M H
∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE的平分线上
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请你帮帮它
• 如图，两条小河交汇形成的三角区，土壤肥沃，气候宜人，小猪看中了这块宝地，想在这里建一个小房子，并使房子到两条小河的距离相等，但它不知该如何选址，你能帮帮它吗？
房子该建在哪儿呢？
C
D
A
B
2、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于E,BD,CE
交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
M C D
F
A
EB
N
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D.四处
1、关于三角形的角平分线的说法错误的是( ) A.两角平分线的交点在三角形内 B.两角平分线的交点在第三个角的平分线上 C.两角平分线的交点到三边的距离相等 D.两角平分线的交点到三个顶点的距离相等 2、如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD为∠CAB的平分线，交BC于D，BC=5，
BD=2则点D到AB的距离为 ( )
实践应用
1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?

青岛版(五四制)八年级上册数学课件：2.5角平分线的性质

灿若寒星
3.△ABC中,AD为角平分线，DE⊥AB于E， DF⊥AC于F， AB=10厘米，AC =8厘米， △ABC的面积为45平方厘米，则DE的长为。 4.如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D到AB的距离是2，求点D的坐标。
灿若寒星
练习册第17页
灿若寒星
灿若寒星
从知识上，…… 谈收获
从方法上，……
灿若寒星
1.到三角形的三条边距离相等的点是（）。 A、三条角平分线的交点 B、三条中线的交点 C、三条高的交点 D、三条边的垂直平分线的交点 2.∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5,Q 是OB上任一点，则（）。 A、PQ>5 B、PQ≥5 C、PQ<5 D、P
2.5 角平分线的性质
浞景学校初二数学组
灿若寒星
活动一：做一做
1、画一个角 2、思考：角是轴对称图形吗？为什么？ 3、你能得到什么结论？
灿若寒星
活动二：画一画
1、如何用尺规作图画一个已知角的角平分线 2、依据是什么？ 3、画一画，在画图过程中应注意什么问题？
灿若寒星
活动三：性质探索一
1、在刚才画出已知角的角平分线上任取一点，再画出该点到角两边的垂线段，两条垂线段有什么关系？ 2、依据是什么？ 3、由此你能得到什么结论？
灿若寒星
活动四：性质探索二
1、思考：在角的内部到角的两边距离相等的点位置有什么特征？ 2、如何验证？ 3、由此你能得到什么结论？
灿若寒星
1、如右图所示，在一次军事演习中，红方侦查员发现蓝方指挥部在A区内，并且该指挥部到公路（实线）、铁路（虚线）的距离相等，距公路和铁路的交叉处B点 700m，如果你是红方的指挥员，请你在右所示的作战地图上标出蓝方指挥部的位置。（比例尺为1:40000）