组合卷参考答案2010.4.8

组合卷参考答案
=
（17（18）
4
（19）1005 （20）1:1
（21）022）1;47
[,]
34
（23）(-3,2)；(0)
（24）
2
π
；52
[,],
21223
k k
k Z
ππππ
++∈（25）
,0
32
32
x
x x
≤≤
⎪
≤≤
⎩
1、()()1
12
1
1
11
,
11
f
x
f x f x
x f x
+
+
===-
--
，()()3
2
34
23
1
11
,
111
f
f x
f x f x x
f x f
+
+-
====
-+-
，据此，
()()
4142
11
,
1
n n
x
f x f x
x x
++
+
==-
-
，()()
434
1
,
1
n n
x
f x f x x
x
+
-
==
+
，因2007为43
n+型，故1
1
x
x
-
+
.
2、据条件，1010
2,3是关于t的方程
33
1
56
x y
t t
+=
++
的两个根，即
()
233
560
t x y t
-+--+=
的两个根，所以101033
2356
x y
+=+--；
101033
2356
x y
+=+++．
3、设抛物线方程为2
2
y px
=，则顶点及焦点坐标为()
0,0,,0
2
p
O F
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，若设点M坐标为()
,
M x y，则
2222
22
2
2
2
4
2
M O x y x px
p
M F p
x px
x y
++
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭⎛⎫
++
-+
⎪
⎝⎭
()
22
2222
224
31323
4444
x px x px
px
x px x p x px
++
=≤=
+++++
，
故
3
M O
M F
≤（当()
()
,,
M x y p p
=或()()
,,
M x y p p
=-时取等号）
4、
1
sin10cos10
-=()
00
00
00
1
2cos1010
2sin3010
2
4
1
sin10cos10
sin20
2
⎛⎫
⎪
-
⎝⎭
==
5、设直线l上的点为()
,9
P t t+，取()
1
3,0
F-关于直线l的对称点()
9,6
Q-，据椭圆定义，1222
2a PF PF PQ PF QF
=+=+≥==，当且仅当
2
,,
Q P F共线，即
22PF Q F K K =，也即963
12
t t +=--时，上述不等式取等号，此时5t =-，点P 坐标为()5,4P -，
据3,c a ==得，
2
2
45,36a b ==，椭圆的方程为2
2
145
36
x
y
+
=.
6、据等价性，只须考虑单位正方体的切割情况，先说明4个不够，若为4个，因四面体的面皆为三角形，且互不平行，则正方体的上底至少要切割成两个三角形，下底也至少要切割成两个三角形，每个三角形的面积12
≤
，且这四个三角形要属于四个不同的四面体，以这种
三角形为底的四面体，其高1≤，故四个不同的四面体的体积之和112411
3
2
3
⎛⎫≤⨯⨯⨯=< ⎪⎝⎭
，不合；所以5k ≥，另一方面，可将单位正方体切割成5个四面体； 例如从正方体
1
111
A B C D A B C D -
中间挖出一个四面体11A BC D ，剩下四个角上的四面体，合计5个四面体.
7、因为2
11a a =，所以141,9a a ==。

由于B 中有9，因此A 中有3。

若33a =，则22a =，
于是255146a a +=，无正整数解。

若23a =，由于51011a ≤≤，所以2
25a a ≠，于是
22
3355152a a a a +++=。

又因为34a ≥，当510a =时，36a =；当511a =时，34a =，
因此满足条件的A 共有2个，分别为
{}{}1,3,4,9,11,1,3,6,9,10。

8、简称这种数为“好数”，则一位好数有3个；两位好数有3412⨯=个；三位好数有
2
3448⨯=个；…，k 位好数有1
34
k -⨯个；1,2,k = ，记1
1
34
n
k n k S -==∑，因562007S S <<，52007984S -=，即第2007个好数为第984个六位好数；而六位好数
中，首位为1的共有541024=个，前两位为10,11,12,13的各有4
4256=个，因此第2007个好数的前两位数为13，且是前两位数为13的第9843256216-⨯=个数；而前三位为
130,131,132,133的各64个，则2007a 的前三位为133，且是前三位数为133的第 21636424-⨯=个数；而前四位为1330,1331,1332,1333的各16个，则2007a 的前四位为1331，且是前四位数为1331的第24168-=个数；则2007a 的前五位为13311，且是前五
位数为13311的第844-=个数，则2007133113a =．
9、解：改写条件式为
()1
1
111n n
n a na +-
=+，则
()()()112211
11111
111
1122n n n n n na na n a n a n a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()121n n =-+=+，
所以()
11n a n n =
+，1
1
1111111
k
k
k
i
i i k x
a
i i k k ==⎛⎫=
=
-=-=
⎪+++⎝
⎭
∑∑；
()2
1
1
1
1
11k
k
k k
k i i i i i
y i i i i a =====
=
+=
+
=
∑
∑
∑
∑
()()
()()()
1211126
2
3
k k k k k k k k ++++++
=
；
()()()()2
2
1
1
11211
1223
3236n
n
k k k k n n n n n x y k
k ==+++⎛⎫=
+=
+⋅
⎪⎝⎭
∑
∑()()
2
1311436
n n n n +++=．
10、
11、解：（1）设过11(,)4
8
F -的直线方程为1
1()8
4
y k x +=-。

又设11(,)B x y ，22(,)C x y ，联立方
程组，
211()84128y k x y x x ⎧
+=-⎪⎪⎨
⎪=-+-⎪⎩
消去y ，得22(1)04
k
x k x +--=。

从而有，
1212
k x x -+=-
，2
1212111()2
4
2
4
k
y y k x x +=+--
=-
-。

设△ＡＢＣ的重心坐标为(,)x y ，则
12121431183x x x y y y ⎧
++⎪=⎪⎪⎨
⎪++
⎪=⎪⎩
2
3212368k x k y -⎧
=⎪⎪⇒⎨⎪=-+⎪⎩
消去ｋ，即得 263y x x =-+。

（2）因为1102
x <<
，21()x f x =21163x x =-+113(12)x x =-，所以
2
112112(12)3303(12)228x x x x x +-⎛⎫<=-≤= ⎪
⎝⎭
，
上式右边等号成立当且仅当114
x =。

假设308
k x <
≤
，则
2
12(12)3303(12)228k k k k k x x x x x ++-⎛⎫<=-≤
= ⎪
⎝⎭
，
上式右边等号成立当且仅当14
k x =。

由此得到308
k x <≤
（2,3,k = ）。

从而有
1
1
13333
018585k n
n
n
k
k k k x
+==⎡⎤⎛⎫⎛⎫<
≤=-<
⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦∑∑。

12、
解：（1）0a =时不合题意；
0a ≠时，方程221230ax x --=的两根设为1x 、2x ，则126x x a
+=
，1232x x a
=-
，由
题意知()2
2
12
12122
36
6
64x x x x x x a a =-=+-=
+
，
解得2a =-或3a =（舍），
2a =-．
（2）因为=)(x f 2
sin cos x x x b +
+
()1sin 21cos 2sin 222
32
x x b x b π⎛⎫
=
+
++=+
++ ⎪⎝
⎭， 设()sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，原不等式等价于“(
)2
f x b >-
-，[]0,x π∈”，
因为函数()f x 的最小正周期为π，[]0,π的长度恰为函数的一个正周期， 所以当12
2
b -
<
时，()2
f x b >-
-，[]0,x π∈的解集构成的各区间的长度和超过
3
π
，即b 的取值范围为2⎛⎫-
+∞ ⎪
⎪⎝⎭
（3）先解不等式711
x >+，整理得
6
01
x x -+>+，即()()160x x +-<
所以不等式
711
x >+的解集()1,6A =-
设不等式()22log log 32x tx t ++<的解集为B ，不等式组的解集为A B
不等式()22log log 32x tx t ++>等价于2
030340
x tx t tx tx ⎧>⎪
+>⎨⎪+-<⎩
所以()0,B ⊆+∞，()0,6A B ⊆ ，不等式组的解集的各区间长度和为6，所以不等式组2
30
340
tx t tx tx +>⎧⎨+-<⎩，当()0,6x ∈时，恒成立 当()0,6x ∈时，不等式30tx t +>恒成立，得0t > 当()0,6x ∈时，不等式2340tx tx +-<恒成立，即2
43t x x
<+恒成立
当()0,6x ∈时，
2
43x x
+的取值范围为2
,27⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
，所以实数227t ≤ 综上所述，t 的取值范围为20,27⎛⎤
⎥⎝
⎦。