江西省吉安县第三中学高中数学选修4-5课件：11简单形式的柯西不等式(共22张PPT)

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人教版高中数学选修4-5《第三讲柯西不等式与排序不等式一般形式的柯西不等式》

2 2 2 2
3 3 =3 ( x 0)
6
复习引入
设<m, n , 则m n | m | | n | cos | m n || m | | n | | cos || m | | n | | m n || m | | n | 当且仅当m // n时,等号成立. m (a, b, c), n (d , e, f ) m n ad be cf
2 2
1 1 2 (1 x 2 y ) 5 5
1 2 (当 x , y ) 5 5
4
复习引入下面我们来做几个巩固练习: 1 2 3.设 x, y R ,且 x+2y=36,求的最小值． x y
1 2 1 1 2 ( )( x 2 y) x y 36 x y 1 2 y 2x (1 4 ) 36 x y 1 2 y 2x (5 2 ) 36 x y
(a b c d ) (a b c d )(b c d a )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(ab bc cd da )
2 2 2 2
2
(ab bc cd da )
即 a b c d ab bc cd da
同样这个不等式也有着向量（n维向量）及几何背景，其应用广泛。
9
一般形式的柯西不等式示例源自例 1 已知 a1 , a2 , , an 都是实数，求证： 1 2 2 2 2 (a1 a2 an ) ≤ a1 a2 an n 1 1 2 2 ( a a a ) (1 a 1 a 1 a ) 证明： 1 2 n 1 2 n n n 1 2 2 2 2 2 (1 1 12 )(a1 a2 an ) n

人教A版高中数学选修4-5课件二维形式的柯西不等式.pptx

定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
你能简明地写出这个定理的证明？证明: (a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2
(ac bd)2 (ad bc)2 (ac bd )2
3.证明：在不等式的左端嵌乘以因式 x2 x3 L xn x1 ，
也即嵌以因式 x1 x2 L xn ，由柯西不等式，得
x12
x22
L
x2 n1
xn2
x2 x3
xn x1
( x2 x3 L xn x1 )
x1 x2
2
x2 x3
2
L
xn1 xn
2
xn x1
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位，简洁明了！
定理 2(柯西不等式的向量形式)
ur ur
ur ur ur ur
若 , 是两个向量,则 ≥ .
ur
ur ur
当且仅当是零向量或存在实数 k ，使 k
由22
x x
3y 3y
1得
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为1 ,最小值点为( 1 , 1 )
2
46
思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.
补充练习
1.若a, b R, 且a2 b2 10,则a b的取值范围是( A )
A. - 2 5,2 5

高中人教数学选修4-5课件：第三讲二维形式的柯西不等式

作业：
P36 1 、5 P37 6 、 9
二维形式的柯西不等式
新田一中高二备课组
定理1（二维形式的柯西不等式）: 若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
你能证明吗？
当且仅当ad=bc时,等号成立. 推论 a2 b2 c2 d 2 ac bd
a2 b2 c2 d 2 ac | | bd
例题分析例：1.已知a,b为实数,证明：
(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2
例2.求函数y 5 x 1 10 2x的最大值.
例3.设a,b∈R+,a+b=1,1a求证
1 b
4
练习：
1.已知a2 b2 1,
求证|a cos bsin |1
2.已知2x2 3y2 6, 求证x 2y 11
观y 察
0
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
x
0
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的边长关系:
x12 y12 x22 y22 (x1 x2)2 (y1 y2)2
定理３（二维形式的三角不等式）
设x1,
y, 1
x
,
2
y 2
R
，那么
x12 y12 x22 y22 (x1 x2)2 (y1 y2)2
ur r
| m n || m | | n | | cos || m | | n |
ur r ur r
| m n || m | | n |
ac bd a2 b2 c2 d 2
定理2: （柯西不等式的向 | || || |

人教A版选修4-5 第三章一二维形式的柯西不等式课件(29张)

【解】 (1)设 m＝coas θ，sinb θ，n＝(cos θ，sin θ)，
则|a＋b|＝coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ
＝|m·n|≤|m||n|
＝
a cos
θ2＋sinb
θ2·
1
＝ coas22θ＋sibn22θ，
所以(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
栏目导引
第三讲柯西不等式与排序不等式
利用柯西不等式求最值 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件； (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧； (3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．
栏目导引
第三讲柯西不等式与排序不等式
已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，求证：(ax＋by)2 ≤ax2＋by2. 证明：设 m＝( ax， by)，n＝( a， b)，则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n| ＝（ ax）2＋（ by）2· （ a）2＋（ b）2 ＝ ax2＋by2· a＋b ＝ ax2＋by2，所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.
栏目导引
第三讲柯西不等式与排序不等式
已知 a，b 都是正实数，且 ab＝2，求证：(1＋2a)(1＋b)≥9. 证明：因为 a，b 都是正实数，所以由柯西不等式可知(1＋2a)(1＋b) ＝[12＋( 2a)2][12＋( b)2]≥(1＋ 2ab)2，当且仅当 a＝1，b＝2 时取等号．因为 ab＝2，所以(1＋ 2ab)2＝9，所以(1＋2a)(1＋b)≥9.

人教版选修A4-5数学课件：3.2一般形式的柯西不等式(共22张PPT)

�� · √�� √��
��2 �� + (a+b+c)= + + �� √�� √�� 2 �� + · �� + · �� =(a+b+c)2 √ √ √�� √�� 2 ,又因为 a,b,c 为正实数 ,所以 ��
-4-
二一般形式的柯西不等式
首页
X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画 “×”. �� (1)在三维形式的柯西不等式中,等号成立的条件是 1 = 2 = 3 .
二
一般形式的柯西不等式
-1-
二一般形式的柯西不等式
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AYIJIEHUO
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ANGTANGJIANCE
学习目标思维脉络 1.掌握三维形式和一般形式的柯西不等式. 2.能够利用柯西不等式解决相关问题.
-2-
二一般形式的柯西不等式
+
-6-
二一般形式的柯西不等式
探究一探究二思维辨析
首页
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反思感悟应用柯西不等式证明不等式的方法与技巧应用柯西不等式证明不等式的关键是首先根据待证不等式的结构特点,构造符合柯西不等式的形式及特点,然后利用柯西不等式进行证明.构造符合柯西不等式的形式时,可以有以下几种方法,(1) 巧拆常数;(2)重新安排各项的次序;(3)改变式子的结构;(4)添项等.

《二一般形式的柯西不等式》课件4-优质公开课-人教A版选修4-5精品

新课标 ·数学选修4-5
二一般形式的柯西不等式
课
当
前
堂
自
双
主
基
导学
1.掌握三维形式和多维形式的柯西
达标
课标解读
不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解
课
决简单问题.
堂
互动探究
课时作业
菜单
新课标 ·数学选修4-5
1．三维形式的柯西不等式
课
设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a12＋a22＋a23)·(b21＋b22＋当
堂
互
即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.
动
探究
由条件可得，5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2.
课时作业
所以实数a的取值范围是[1,2]．
菜单
新课标 ·数学选修4-5
(教材第41页习题3.2第6题)设x1，x2，…，xn∈
课
当
前自主导
R＋，且x1＋x2＋…＋xn＝1，求证：1＋x21x1＋1＋x22x2＋…＋1＋x2nxn
不等式等基础知识，考查学生的运算能力和化归与转化的能
课力．
当
前自主导
【解析】 ∵(2×2 012＋1)(2＋a21a1＋2＋a22a2＋…＋
堂双基达
学
标
2＋a22a0212012)
课堂互动
＝[(2＋a1)＋(2＋a2)＋…＋(2＋a2 012)]·(2＋a21a1＋2＋a22a2＋…
堂双基达
学
标
≥n＋1 1.
课堂
(2012·淮安模拟)设a1，a2，…，a2 012都是正
互动探究

人教A版高中数学选修4-5课件：第三讲 3.1二维形式的柯西不等式(共56张PPT)

力。
君子看人背后，小人背后看人。远离那些背后说别人坏话的人，请记住，他（她）能说别人坏话，就能在暗地说你坏话！这就是俗话说的，不怕真小人，就怕伪君子！要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。我们这个世界，从不会给一个伤心的落伍者颁发奖牌。只要你确信自己正确就去做。做了有人说不好，不做还是有人说不好，不要逃避批判。读书也像开矿一样，“沙里淘金”。只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天。世间最容易的事是坚持，最难的事也是坚持。要记住，坚持到底就是胜利。学会下一次进步，是做大自己的有效法则。因此千万不要让自己睡在已有的成功温床上。在经过岁月的磨砺之后,每个人都可能拥有一对闪闪发光的翅膀,在自己的岁月里化茧成蝶。不可压倒一切，但你也不能被一切压倒。发光并非太阳的专利，你也可以发光，真的。漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。善良的人永远是受苦的，那忧苦的重担似乎是与生俱来的，因此只有忍耐。如果要给美好人生一个定义，那就是惬意。如果要给惬意一个定义，那就是三五知己、谈笑风生。失败的定义：什么都要做，什么都在做，却从未做完过，也未做好过。宁可失败在你喜欢的事情上，也不要成功在你所憎恶的事情上。好好扮演自己的角色，做自己该做的事。

最新人教版高中数学选修4-5《一般形式的柯西不等式》教材梳理

庖丁巧解牛知识·巧学一、二维形式的柯西不等式定理1 （二维形式的柯西不等式）已知a 1，a 2，b 1，b 2∈R ，则(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)2(b 12+b 22)2，当且仅当a 1b 2-a 2b 1=0时取等号.由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等式：对于任何实数a 1，a 2，b 1，b 2,以下不等式成立：22212221b b a a +∙+≥|a 1b 1+a 2b 2|; 22212221b b a a +∙+≥|a 1b 1|+|a 2b 2|.联想发散不等式中等号成立⇔a 1b 2-a 2b 1=0.这时我们称(a 1,a 2),(b 1,b 2)成比例,如果b 1≠0,b 2≠0,那么a 1b 2-a 2b 1=0⇔2211b a b a =.若b 1·b 2=0,我们分情况说明：①b 1=b 2=0,则原不等式两边都是0,自然成立;②b 1=0,b 2≠0,原不等式化为(a 12+a 22)b 22≥a 22b 22,也是自然成立的;③b 1≠0,b 2=0,原不等式和②的道理一样,自然成立.正是因为b 1·b 2=0时,不等式恒成立,因此我们研究柯西不等式时,总是假定b 1b 2≠0,等号成立的条件可以写成2211b a b a =,这种写法在表示一般形式(n 维)的柯西不等式等号成立的条件时更是方便、简洁的.定理2 （柯西不等式的向量形式）设α,β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α=k β时，等号成立. 学法一得定理2 中等号成立的充分必要条件是向量α和β平行（如α,β为非零向量，则定理2中等号成立的充分必要条件为向量α与β的夹角为0或π，即α与β对应的坐标分量成比例）,从而可以推知定理1中等号成立的充分必要条件为2211b a b a =（b i 为零时，a i 为零，i=1，2）. 定理3 （二维形式的三角不等式）设x 1,x 2,y 1,y 2∈R ，那么22122122222121)()(y y x x y x y x -+-≥+++.二维形式的三角不等式的变式：用x 1-x 3代替x 1，用y 1-y 3代替y 1，用x 2-x 3代替x 2，用y 2-y 3代替y 2，代入定理3，得232231231231)()()()(y y x x y y x x -+-+-+-221221)()(y y x x -+-≥二、一般形式的柯西不等式定理设a i ,b i ∈R (i=1,2, …,n),则(∑∑∑===≤ni i ni in i i i b a b a 121212)(.当数组a 1，a 2，…，a n ,b 1，b 2，…，b n 不全为0时，等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n).即(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2≤(a 12+a 22+…+a n 2)2(b 12+b 22+…+b n 2)2（a i ,b i ∈R ,i=1,2,…,n ）中等号成立的条件是2211b a b a ==…=n n b a. 记忆要诀这个式子在竞赛中极为常用，只需简记为“积和方小于和方积”.等号成立的条件比较特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数，因此应用范围较广. 一般形式的柯西不等式有两个很好的变式：变式1 设a i ∈R ，bc>0(i=1,2, …,n),则∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)(,等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n). 变式2 设a i ,b i 同号且不为0（i=1，2，…，n ），则∑∑∑≥=i i i ni iib a a b a 212)(,等号成立当且仅当b 1=b 2=…=b n .深化升华要求a i ，b i 均为正数.当然，这两个式子虽常用，但是记不记住并不太重要，只要将柯西不等式原始的式子记得很熟，这两个式子其实是一眼就能看出来的，这就要求我们对柯西不等式要做到活学活用.柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的a 1, …,a n ;b 1, …,b n 都表示实数）是：（1）a 12+a 22+…+a n 2=1,b 12+b 22+…+b n 2=1,则|a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n |≤1; （2）a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≤a 12+a 22+a 32;（3）(a 1+a 2+…+a n )2≤n(a 12+a 22+…+a n 2);（4）(a+b)(a 1+b1)≥4=(1+1)2，其中a 、b ∈R +; （5）(a+b+c)(a 1+b 1+c1)≥9=(1+1+1)2,其中a 、b 、c ∈R +.柯西不等式是一个重要的不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位. 典题·热题知识点一：用柯西不等式证明不等式例1 设a 1>a 2>…>a n >a n+1,求证：11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-=-++ >0. 思路分析：这道题初看起来似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构就可以使用了，我们不妨改为证： (a 1-a n+1)·［13221111+-++-+-n n a a a a a a ］>1.证明：为了运用柯西不等式，我们将a 1-a n+1写成a 1-a n+1=(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+ …+(a n -a n+1),于是［(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+…+(a n -a n+1)］·（13221111+-++-+-n n a a a a a a ）≥n 2>1.即(a 1-a n+1)·（13221111+-++-+-n n a a a a a a ）>1, ∴11132211111++->-++-+-n n n a a a a a a a a , 故11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-+-++ >0. 方法归纳我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式之和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明. 知识点二：用柯西不等式证明条件不等式例2 （经典回放）设x 1,x 2, …,x n ∈R +,求证：123221x x x x x x x x nn ++++ ≥x 1+x 2+…+x n . 思路分析：在不等式的左端嵌乘以因式(x 2+x 3+…+x n +x 1)，也即嵌以因式(x 1+x 2+…+x n )，由柯西不等式即可得证.证明：(123221x x x x x x x x nn ++++ )·(x 2+x 3+…+x n +x 1) =［(21x x )2+(22x x )2+…+(nn x x 1-)2+(1x x n )2］［(2x )2+(3x )2+…+(n x )2+(1x )2］ ≥(21x x ·2x +22x x ·3x +…+nn x x 1-·n x +1x x n ·1x ) =(x 1+x 2+…+x n )2,于是123221x x x x x x x x nn ++++ ≥x 1+x 2+…+x n . 巧解提示柯西不等式中有三个因式∑∑∑===ni ii ni ini iba b a 11212,,，而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一.知识点三：用柯西不等式求函数的极值例3 已知实数a,b,c,d 满足a+b+c+d=3，a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5,试求a 的最值. 思路分析：本题求极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解. 解：由柯西不等式得，有 (2b 2+3c 2+6d 2)(613121++)≥(b +c+d)2, 即2b 2+3c 2+6d 2≥(b+c+d)2. 由条件可得，5-a 2≥(3-a)2. 解得，1≤a≤2,当且仅当6/163/132/12dc b ==时等号成立. 代入b=1,c=31,d=61时，a max =2; b=1,c=32,d=31时,a min =1.巧妙变式为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决.而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一. 如：已知a,b 为正常数，且0<x<2π,求y=x bx a cos sin +的最小值. 解：利用柯西不等式，得)(32323232b a b a +=+(sin 2x+cos 2x)≥(3a sinx+3b cosx)2. 当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.于是33232a b a ≥+sinx+3b cosx.再由柯西不等式，得3232b a +(xbx a cos sin +) ≥(3a sinx+3b cosx)(xb x a cos sin +） ≥(xb xb x a x a cos cos sin sin 66+)2=(a 32+b 32)2. 当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.从而y=xb x a cos sin +≥(a 32+b 32)32.于是y=xb x a cos sin +的最小值是(a 32+b 32)32. 问题·探究思想方法探究问题试探究用柯西不等式导出重要公式.如n 个实数平方平均数不小于这n 个数的算术平均数，即若a 1,a 2,…,a n ∈R ，则na a a n a a a nn 2222121+++≤+++ . 探究过程:由柯西不等式可知(a 1+a 2+…+a n )2≤(a 1·1+a 2·1+…+a n ·1)2≤(a 12+a 22+…+a n 2)·(12+12+…+12)=(a 12+a 22+…+a n 2)·n,所以n a a a n 221)(+++ ≤a 12+a 22+…+a n 2,故na a a na a a nn2222121+++≤+++ .不等式na a a n a a a nn 2222121+++≤+++ ,把中学教材中仅有关于两个正数的“算术平均”，“几何平均”问题拓广到了“二次幂平均”问题，即nn a a a 21≤na a a n a a a nn 2222121+++≤+++ ，这不仅拓宽了中学生的眼界，而且为解决许多不等式的问题开辟了一条新路.探究结论:柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很好的指导作用，利用它能方便地解决一些中学数学中的有关问题. 交流讨论探究问题柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，试交流讨论使用柯西不等式的技巧,试举例归纳.探究过程:人物甲：构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数，如：设a 、b 、c 为正数且各不相等.求证cb a ac c b b a ++>+++++9222.我们可以如此分析：∵a 、b 、c 均为正,∴为证结论正确只需证2(a+b+c)［ac c b b a +++++111］>9.而2(a+b+d)=(a+b)+(b+c)+(c+a),又9=(1+1+1)2.人物乙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排某些项的次序，如：a 、b 为非负数，a+b=1,x 1,x 2∈R +,求证(ax 1+bx 2)(bx 1+ax 2)≥x 1x 2.我们可以如此分析：不等号左边为两个二项式积，a,b ∈R -,x 1,x 2∈R +，直接用柯西不等式做得不到预想结论，当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了.人物丙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以改变结构，从而能够使用柯西不等式，如：若a>b>c ，求证c b b a -+-11≥ca -4.我们可以如此分析：初式并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了.∵a-c=(a-b)+(b-c),a>c,∴a-c>0,∴结论改为(a-c)(cb b a -+-11)≥4.人物丁：构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项，如：若a,b,c ∈R +，求证b ac a c b c b a +++++≥23.我们可以如此分析：左端变形c b a ++1+ac b ++1+b a c ++1=(a+b+c)(b a a c c b +++++111),∴只需证此式≥29即可.探究结论:使用柯西不等式的技巧主要就是使用一些方法（巧拆常数、重新安排某些项的次序、添项等）构造符合柯西不等式的形式及条件.。

江西省吉安县第三中学高中数学选修4-5课件：3平均值不等式(共20张PPT)

高中数学·选修4-5
3.平均值不等式
吉安县第三中学高二数学备课组
导
[学习目标]
1．理解并掌握定理1、定理2、定理3、定理4，(重点) 2.能运用平均值不等式(两个正数的)解决某些实际问
题．（重点） 3.能运用三个正数的算术——几何平均不等式解决简
单的实际问题．（难点）
基本概念
定理1（重要不等式）
议、展
探究三利用三个正数的基本不等式证明不等式 3. 设 a、b、c∈R＋，求证：
(1)a12＋b12＋c12(a＋b＋c)2≥27； (2)(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋∵a，b，c∈R＋，
∴a＋b＋c≥33 abc＞0，
从而(a＋b＋c)2≥93 a2b2c2＞0，
入 x＋2y＋xy＝30 中可得 y＝3.故 xy 的最大值为 18.
规律方法在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：
(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值； (2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正； (3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．
议、解由 x＋2y＋xy＝30，得 y＝320＋－xx(0＜x＜30)，
xy＝302x＋－xx2＝－2＋x2＋2＋34x2＋x－64
展
＝34－x＋2＋x＋ 642，
注意到(x＋2)＋x＋ 642≥2 x＋2x＋ 642＝16，
可得 xy≤18，当且仅当 x＋2＝x＋ 642，即 x＝6 时等号成立．代
规律方法认真观察要证的不等式的结构特点，灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子．

人教A版数学选修4-5《二维形式的柯西不等式》（共15张PPT）课件

2
+ −
2
.
分析:平方 → 应用柯西不等式
.
2
+ 2
2
+ 2
2
证明：∵
+
= 2 + 2 + 2 2 + 2 • 2 + 2 + 2 + 2
≥ 2 + 2 + 2| + | + 2 + 2
≥ 2 + 2 − 2( + ) + 2 + 2
.
二、讲授新课：
1. 二维形式的柯西不等式：
定理1 (二维形式的柯西不等式
) 若a , b, c , d都是
实数, 则 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2
当且仅当ad bc时, 等号成立.
你能简明地写出这个定理的其它证明？
∵(a2+b2)(c2+d2)
当且仅当ad bc时, 等号成立.
( 2) a 2 b 2
c 2 d 2 ac bd
( 3) a 2 b 2
c 2 d 2 ac bd
(4)柯西不等式的向量形式 .当且仅当
是零向量, 或存在实数k , 使 k 时,等号成立.
证明：
= a2c2+b2d2+a2d2+ b2c2
=(ac+bd)2+(ad-bc)2
∵(ad-bc)2≥0,
∴ (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
(1)
当且仅当ad=bc时，等号成立.
）
二维形式的柯西不等式的变式:

苏教版高中数学选修4-5：柯西不等式_课件3

(2) 已知a,b为实数,求证： (a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
(3) 已知a, b都是正实数,且a +b =1,求证: 114 ab
例2 (1) 已知2x y 1,求x2 y2的最小值; (2) 已知x2 y2 4,求3x 4 y的最大值,最小值. (3) 求函数 y 5 x 1 10 2x 的最大值.
等号当且仅当-与 -同向时成立.
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (a, b, c, d R) 当且仅当ad bc时,等号成立.
(2) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd
(3) a2 b2 c2 d 2 ac bd
(4)柯西不等式的向量形式 .
(5)二维形式的三角形不等式 ( x1 x3 )2 ( y1 y3 )2 ( x2 x3 )2 ( y2 y3 )2
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
作业补充: 1.求函数y 2 1 x 2 x 1的最大值.
| || | | |, 即 | | | || |
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设 , 为平面上的两个向量, 则 | || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
例1 (1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
思考:一般地, 如图所示,结论是什么?
定理3(二维形式的三角形不等式) ( x1 x3 )2 ( y1 y3 )2 ( x2 x3 )2 ( y2 y3 )2 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2

2015高中数学选修4-5【精品课件】3-1 二维形式的柯西不等式(共21张PPT)

42 - 2 ,
于是长方形 ABCD 的周长
l=2(x+ 42 - 2 )=2(1×x+1× 42 - 2 ),
由柯西不等式,得 l≤2[x +(
2
1
1
42 - 2 )2]2 ×(12+12)2 =4
2R.
当且仅当 x= 42 - 2 ,即 x= 2R 时,等号成立,此时宽
BC= 42 -( 2R)2 = 2R,即 ABCD 为正方形,故周长最大的圆内接长方形
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
.
( 2x)2 + 2
= 3×
2 2 + 2 = 3,
当且仅当 2y= 2x,即 x=y 时,等号成立.
第二十页，编辑于星期五：十二点十六分。
一
问题导学
二维形式的柯西不等式
当堂检测
1
2
3
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
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KETANG HEZUO TANJIU
预习引导
预习交流
柯西不等式与基本不等式的区别是什么?
提示:柯西不等式与基本不等式相比,柯西不等式中的字母、数较多,
不容易记忆,这就要求认真理解代数形式、向量形式和三角形式的推导
过程,从数与形两个方面来理解和记忆.
第六页，编辑于星期五：十二点十六分。
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
利用柯西不等式证明某些不等式时,有时需要将数学表达式适当
的变形,这种变形往往具有很高的技巧,必须善于分析题目的特征,根据